المسافة من خط إلى خط طريقة تنسيق. المسافة من نقطة إلى خط في الفضاء - نظرية ، أمثلة ، حلول. إحداثيات الإسقاط نقطة والمسافة

معادلة لحساب المسافة من نقطة إلى خط مستقيم على مستوى

إذا أعطيت معادلة الخط المستقيم Ax + By + C \u003d 0 ، فيمكن إيجاد المسافة من النقطة M (M x، M y) إلى الخط المستقيم باستخدام الصيغة التالية

أمثلة على مهام لحساب المسافة من نقطة إلى خط مستقيم على مستوى

مثال 1.

أوجد المسافة بين الخط 3 س + 4 ص - 6 \u003d 0 والنقطة م (-1 ، 3).

القرار. عوّض في الصيغة بمعاملات الخط وإحداثيات النقطة

إجابة: المسافة من نقطة إلى خط مستقيم تساوي 0.6.

معادلة مستوى يمر عبر نقاط متعامدة مع متجه معادلة عامة لمستوى

يسمى متجه غير صفري عمودي على مستوى معين ناقلات الطبيعي (أو باختصار ، عادي ) لهذه الطائرة.

دع مساحة الإحداثيات (في نظام إحداثيات مستطيل) تعطى:

نقطة ;

ب) متجه غير صفري (الشكل 4.8 ، أ).

مطلوب وضع معادلة لمستوى يمر عبر نقطة عمودي على المتجه نهاية الإثبات.

دعونا الآن نفكر في أنواع مختلفة من المعادلات للخط المستقيم على المستوى.

1) المعادلة العامة للطائرةص .

يتبع من اشتقاق المعادلة التي في وقت واحد أ, ب و ج لا يساوي 0 (اشرح السبب).

النقطة تنتمي إلى الطائرة ص فقط إذا كانت إحداثياته \u200b\u200bتفي بمعادلة المستوى. اعتمادا على الاحتمالات أ, ب, ج و دطائرة ص يشغل منصبًا أو آخر:

- يمر المستوى من خلال أصل نظام الإحداثيات ، - لا يمر المستوى من خلال أصل نظام الإحداثيات ،

- المستوى موازي للمحور X,

X,

- المستوى موازي للمحور ص,

- المستوى غير موازي للمحور ص,

- المستوى موازي للمحور ض,

- المستوى غير موازي للمحور ض.

أثبت هذه العبارات بنفسك.

المعادلة (6) مشتقة بسهولة من المعادلة (5). في الواقع ، دع النقطة تكمن على الطائرة ص... ثم تلبي إحداثياتها المعادلة بطرح المعادلة (7) من المعادلة (5) وتجميع المصطلحات ، نحصل على المعادلة (6). ضع في اعتبارك الآن متجهين لهما إحداثيات على التوالي. من الصيغة (6) يتبع ذلك أن حاصل الضرب القياسي يساوي صفرًا. لذلك ، يكون المتجه عموديًا على المتجه ، وتكون بداية ونهاية المتجه الأخير على التوالي عند النقاط التي تنتمي إلى المستوى ص... لذلك ، فإن المتجه عمودي على المستوى ص... المسافة من نقطة إلى طائرة ص، المعادلة العامة التي هي تحددها الصيغة إن إثبات هذه الصيغة مماثل تمامًا لإثبات صيغة المسافة بين نقطة وخط (انظر الشكل 2).
الشكل: 2. لاشتقاق صيغة المسافة بين مستوى وخط مستقيم.

في الواقع ، المسافة د بين خط مستقيم ومستوى

أين هي نقطة ملقاة على متن طائرة. ومن ثم ، كما في المحاضرة رقم 11 ، يتم الحصول على الصيغة المذكورة أعلاه. مستويان متوازيان إذا كانت نواقلهما العادية متوازية. من هذا نحصل على حالة التوازي بين طائرتين - معاملات المعادلات العامة للطائرات. يكون مستويان متعامدين إذا كانت نواقلهما العادية متعامدة ، وبالتالي نحصل على حالة عمودية مستويين إذا كانت معادلاتهما العامة معروفة

زاوية f بين مستويين يساوي الزاوية بين نواقلهم العادية (انظر الشكل 3) ، وبالتالي ، يمكن حسابها بواسطة الصيغة
تحديد الزاوية بين المستويين.

(11)

المسافة من نقطة إلى طائرة وطرق العثور عليها

المسافة من نقطة إلى طائرة - تم إسقاط طول العمود العمودي من نقطة على هذا المستوى. توجد طريقتان على الأقل لمعرفة المسافة من نقطة إلى مستوى: هندسي و جبري.

بالطريقة الهندسية عليك أولاً أن تفهم كيف يقع العمود العمودي من نقطة إلى مستوى: ربما يقع في مستوى مناسب ، أو الارتفاع في مثلث مناسب (أو ليس كذلك) ، أو ربما يكون هذا العمودي عمومًا هو الارتفاع في بعض الهرم.

بعد هذه المرحلة الأولى والأكثر صعوبة ، تنقسم المهمة إلى عدة مهام محددة للقياس (ربما في مستويات مختلفة).

بالطريقة الجبرية لإيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى ، تحتاج إلى إدخال نظام إحداثيات ، والعثور على إحداثيات النقطة ومعادلة المستوى ، ثم تطبيق صيغة المسافة من نقطة إلى مستوى.

ضع في اعتبارك تطبيق الطرق التي تم تحليلها لإيجاد المسافة من نقطة معينة إلى خط مستقيم معين على مستوى عند حل مثال.

أوجد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم:

أولاً ، لنحل المشكلة بالطريقة الأولى.

في حالة المشكلة ، نعطي معادلة عامة للخط المستقيم أ بالصيغة:

لنجد المعادلة العامة للخط المستقيم ب الذي يمر عبر نقطة معينة عمودية على الخط المستقيم:

نظرًا لأن الخط b متعامد مع الخط a ، فإن متجه الاتجاه للخط b هو المتجه الطبيعي لخط معين:

أي أن متجه الاتجاه للخط المستقيم ب له إحداثيات. يمكننا الآن كتابة المعادلة الأساسية للخط المستقيم b على المستوى ، لأننا نعرف إحداثيات النقطة M 1 التي يمر من خلالها الخط المستقيم b ، وإحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم b:

من المعادلة الأساسية التي تم الحصول عليها للخط المستقيم ب ، ننتقل إلى المعادلة العامة للخط المستقيم:

سنجد الآن إحداثيات نقطة تقاطع الخطين المستقيمين أ وب (أشير إليها بواسطة H 1) عن طريق حل نظام المعادلات المكونة من المعادلات العامة للخطوط المستقيمة أ وب (إذا لزم الأمر ، راجع أنظمة حل المقالة المعادلات الخطية):

وهكذا ، فإن النقطة H 1 لها إحداثيات.

يبقى حساب المسافة المطلوبة من النقطة M 1 إلى الخط a باعتبارها المسافة بين النقاط و:

الطريقة الثانية لحل المشكلة.

نحصل على المعادلة العادية للخط المعطى. للقيام بذلك ، نحسب قيمة عامل التسوية ونضرب به كلا طرفي المعادلة العامة الأصلية للخط المستقيم:

(تحدثنا عن هذا في القسم الخاص باختزال المعادلة العامة للخط المستقيم إلى الشكل العادي).

عامل التطبيع هو

ثم يكون للمعادلة العادية للخط المستقيم الشكل:

نأخذ الآن التعبير الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة العادية الناتجة للخط المستقيم ، ونحسب قيمتها على النحو التالي:

المسافة المطلوبة من نقطة معينة إلى خط مستقيم معين:

بالتساوي قيمه مطلقه القيمة التي تم الحصول عليها ، أي خمسة ().

المسافة من نقطة إلى خط:

من الواضح أن ميزة طريقة إيجاد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم على المستوى ، بناءً على استخدام المعادلة العادية للخط المستقيم ، هي مقدار أصغر نسبيًا من العمل الحسابي. في المقابل ، الطريقة الأولى لإيجاد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم بديهية وتتميز بالثبات والاتساق.

نظام إحداثيات مستطيل Oxy مثبت على المستوى ، ويتم تحديد نقطة وخط مستقيم:

أوجد المسافة من نقطة معينة إلى خط مستقيم معين.

اول طريق.

يمكنك الانتقال من معادلة معينة لخط مستقيم بميل إلى المعادلة العامة لهذا الخط المستقيم والعمل بنفس الطريقة كما في المثال أعلاه.

لكن يمكنك أن تفعل خلاف ذلك.

نعلم أن حاصل ضرب ميل المستقيمات المتعامدة هو 1 (انظر المقال ، الخطوط العمودية ، الخطوط المتعامدة). لذلك ، ميل الخط المستقيم العمودي على خط مستقيم معين:

يساوي 2. ثم معادلة الخط العمودي على خط معين والمرور عبر نقطة لها الشكل:

لنجد الآن إحداثيات النقطة H 1 - نقاط تقاطع المستقيمين:

وبالتالي ، فإن المسافة المطلوبة من نقطة إلى خط مستقيم:

تساوي المسافة بين النقاط و:

الطريقة الثانية.

لننتقل من معادلة معينة لخط مستقيم بميل إلى معادلة عادية لهذا الخط المستقيم:

عامل التطبيع هو:

لذلك ، فإن المعادلة العادية لخط معين لها الشكل:

الآن نحسب المسافة المطلوبة من نقطة إلى خط:

احسب المسافة من نقطة إلى خط مستقيم:

وإلى الخط المستقيم:

نحصل على المعادلة العادية للخط:

الآن لنحسب المسافة من نقطة إلى خط:

عامل التطبيع لمعادلة الخط المستقيم:

يساوي 1. ثم تكون المعادلة العادية لهذا الخط بالشكل:

الآن يمكننا حساب المسافة من نقطة إلى خط:

إنها متساوية.

الجواب: و 5.

في الختام ، نفكر بشكل منفصل في كيفية العثور على المسافة من نقطة معينة من المستوى إلى خطوط الإحداثيات Ox و Oy.

في نظام الإحداثيات المستطيل Oxy ، يتم إعطاء خط الإحداثيات Oy بواسطة المعادلة العامة غير المكتملة للخط x \u003d 0 ، ويتم إعطاء خط الإحداثيات Ox بواسطة المعادلة y \u003d 0. هذه المعادلات المعادلات العادية الخطوط Oy و Ox ، لذلك ، يتم حساب المسافة من نقطة إلى هذه الخطوط بواسطة الصيغ:

على التوالي.

الشكل 5

تم إدخال نظام إحداثيات مستطيل Oxy على المستوى. أوجد المسافات من النقطة إلى خطوط الإحداثيات.

المسافة من نقطة معينة М 1 إلى خط الإحداثيات Ox (المعطاة بواسطة المعادلة y \u003d 0) تساوي معامل الإحداثي للنقطة М 1 ، أي.

المسافة من نقطة معينة M 1 إلى خط الإحداثيات Oy (وهي تقابل المعادلة x \u003d 0) تساوي القيمة المطلقة لمحيط النقطة M 1 :.

الجواب: المسافة من النقطة М 1 إلى الخط Ox هي 6 ، والمسافة من نقطة معينة لتنسيق الخط Oy تساوي.

دع نظام إحداثيات مستطيل الشكل يكون ثابتًا في مساحة ثلاثية الأبعاد Oxyz، معطى نقطة مباشرة أ والمطلوب إيجاد المسافة من النقطة و على التوالي أ.

سنعرض طريقتين لحساب المسافة من نقطة إلى خط مستقيم في الفضاء. في الحالة الأولى ، إيجاد المسافة من النقطة م 1 على التوالي أ يتم تقليله لإيجاد المسافة من نقطة م 1 الى حد، الى درجة ح 1 أين ح 1 - اسقطت قاعدة العمود العمودي من النقطة م 1 على خط مستقيم أ... في الحالة الثانية ، يمكن إيجاد المسافة من النقطة إلى المستوى بارتفاع متوازي الأضلاع.

اذا هيا بنا نبدأ.

الطريقة الأولى لإيجاد المسافة من نقطة إلى خط أ في الفضاء.

منذ التعريف المسافة من النقطة م 1 على التوالي أ هو طول العمودي م 1 ح 1 ، إذن ، بعد تحديد إحداثيات النقطة ح 1 ، سنكون قادرين على حساب المسافة المطلوبة مثل المسافة بين النقاط و حسب الصيغة.

وبالتالي ، يتم تقليل المشكلة إلى إيجاد إحداثيات قاعدة العمود المتعامد التي تم إنشاؤها من النقطة م 1 على التوالي أ... هذا سهل بما فيه الكفاية: أشر ح 1 هي نقطة تقاطع الخط المستقيم أ بطائرة تمر عبر النقطة م 1 عمودي على الخط المستقيم أ.

بالتالي، خوارزمية لتحديد المسافة من نقطة على التواليأ في الفضاءهذا هو:

تسمح لك الطريقة الثانية بإيجاد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم في الفراغ.

نظرًا لأننا في بيان المشكلة لدينا خط مستقيم أ، ثم يمكننا تحديد متجه الاتجاه وإحداثيات نقطة ما م 3 مستلقي على خط مستقيم أ... ثم إحداثيات النقاط و يمكننا حساب إحداثيات المتجه: (إذا لزم الأمر ، راجع إحداثيات المادة للمتجه من خلال إحداثيات نقطتي البداية والنهاية).

نضع النواقل جانبا ومن النقطة م 3 وبناء متوازي الأضلاع عليها. في هذا متوازي الأضلاع نرسم الارتفاع م 1 ح 1 .

من الواضح الارتفاع م 1 ح 1 من متوازي الأضلاع المركب يساوي المسافة المطلوبة من النقطة م 1 على التوالي أ... سوف نجدها.

من ناحية ، مساحة متوازي الأضلاع (نشير إليها س) من حيث المنتج المتجه للمتجهات وبالصيغة ... من ناحية أخرى ، مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب طول جانبه بالارتفاع ، أي ، أين - طول المتجه يساوي طول جانب متوازي الأضلاع قيد الدراسة. لذلك ، المسافة من نقطة معينة م 1 لخط مستقيم معين أ يمكن العثور عليها من المساواة مثل .

وبالتالي، للعثور على المسافة من نقطة على التواليأ في الفضاء الذي تحتاجه

حل مسائل إيجاد المسافة من نقطة معينة إلى خط مستقيم معين في الفضاء.

لنفكر في حل أحد الأمثلة.

مثال.

أوجد المسافة من النقطة على التوالي .

القرار.

اول طريق.

دعونا نكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة م 1 عمودي على خط مستقيم معين:

أوجد إحداثيات النقطة ح 1 - نقاط تقاطع المستوى وخط مستقيم معين. للقيام بذلك ، نقوم بعملية الانتقال من المعادلات المتعارف عليها خط مستقيم إلى معادلات مستويين متقاطعين

وبعد ذلك نحل نظام المعادلات الخطية طريقة كرامر:

وهكذا.

يبقى حساب المسافة المطلوبة من نقطة إلى خط مستقيم مثل المسافة بين النقاط و :.

الطريقة الثانية.

تمثل الأرقام في مقامات الكسور في المعادلات الأساسية للخط المستقيم الإحداثيات المقابلة لمتجه الاتجاه لهذا الخط المستقيم ، أي ، - توجيه متجه لخط مستقيم ... دعونا نحسب طوله: .

من الواضح أن الخط المستقيم يمر بالنقطة ، ثم المتجه الذي يبدأ من النقطة وتنتهي عند النقطة يوجد ... أوجد المنتج المتجه للمتجهات و :
ثم طول هذا الضرب المتقاطع .

الآن لدينا جميع البيانات لاستخدام الصيغة لحساب المسافة من نقطة معينة إلى مستوى معين: .

إجابة:

الترتيب المتبادل للخطوط المستقيمة في الفضاء

اوهووووووووووووووووووووووووووووو لذلك ، سوف ننتقل إلى القسم الأول ، آمل أن أحافظ في نهاية المقال على حالة ذهنية مبهجة.

الموضع النسبي لخطين مستقيمين

الحالة عندما يغني الجمهور جنبًا إلى جنب مع الكورس. يمكن لخطين مستقيمين:

1) المباراة ؛

2) كن متوازيًا ؛

3) أو تتقاطع عند نقطة واحدة :.

مساعدة الدمى : يرجى تذكر العلامة الرياضية للتقاطع ، ستكون شائعة جدًا. يشير الترميز إلى أن الخط المستقيم يتقاطع مع خط مستقيم عند نقطة.

كيف نحدد الموضع النسبي لخطين مستقيمين؟

لنبدأ بالحالة الأولى:

يتطابق خطان مستقيمان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما المقابلة متناسبة، وهذا هو ، مثل هذا العدد من "لامدا" أن المساواة

فكر في خطوط مستقيمة وقم بتكوين ثلاث معادلات من المعاملات المقابلة:. ويترتب على كل معادلة أن هذين الخطين يتطابقان.

في الواقع ، إذا كانت جميع معاملات المعادلة اضرب في -1 (علامات التغيير) ، وقلل جميع معاملات المعادلة بمقدار 2 ، ثم تحصل على نفس المعادلة :.

الحالة الثانية عندما تكون الخطوط متوازية:

خطان مستقيمان متوازيان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما للمتغيرات متناسبة: لكن.

كمثال ، فكر في سطرين. نتحقق من تناسب المعاملات المقابلة للمتغيرات:

ومع ذلك ، فمن الواضح أن.

والحالة الثالثة عندما يتقاطع الخطان:

يتقاطع خطان مستقيمان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما للمتغيرات غير متناسبةأي أنه لا توجد قيمة لامدا بحيث يتم إرضاء المساواة

لذلك ، بالنسبة للخطوط المستقيمة ، سنقوم بتكوين النظام:

من المعادلة الأولى يتبع ذلك ، ومن المعادلة الثانية: النظام غير متسق (لا توجد حلول). وبالتالي ، فإن معاملات المتغيرات ليست متناسبة.

الخلاصة: تتقاطع الخطوط

في المشاكل العملية ، يمكنك استخدام مخطط الحل الذي تم النظر فيه للتو. بالمناسبة ، إنها تشبه إلى حد بعيد خوارزمية فحص المتجهات للعلاقة الخطية المتداخلة ، والتي اعتبرناها في الدرس مفهوم الاعتماد الخطي (غير) للناقلات. أساس المتجه... لكن هناك عبوة أكثر حضارة:

مثال 1

اكتشف الموضع النسبي للخطوط المستقيمة:

القرار بناءً على دراسة متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

أ) من المعادلات نجد متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة: .

، لذلك لا تكون المتجهات على خط واحد وتتقاطع الخطوط.

فقط في حالة ، سأضع حجرًا بمؤشرات عند مفترق الطرق:

يقفز الباقي فوق الحجر ويتابع ، مباشرة إلى Kashchei the Immortal \u003d)

ب) ابحث عن متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

الخطوط لها نفس متجه الاتجاه ، مما يعني أنها إما متوازية أو متزامنة. ليست هناك حاجة لحساب المحدد هنا.

من الواضح أن معاملات المجهول متناسبة ، بينما.

دعونا نكتشف ما إذا كانت المساواة صحيحة:

وهكذا ،

ج) ابحث عن متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

دعونا نحسب المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات:
ومن ثم فإن نواقل الاتجاه متداخلة. الخطوط إما موازية أو متزامنة.

من السهل رؤية معامل التناسب "لامدا" مباشرة من نسبة متجهات الاتجاه الخطي. ومع ذلك ، يمكن أيضًا العثور عليها من خلال معاملات المعادلات نفسها: .

الآن دعنا نكتشف ما إذا كانت المساواة صحيحة. كلا المصطلحين الحرين صفرا ، لذلك

القيمة الناتجة تحقق هذه المعادلة (أي رقم يرضيها بشكل عام).

وهكذا تتطابق الخطوط.

إجابة:

قريبًا سوف تتعلم (أو حتى تعلمت بالفعل) كيفية حل المشكلة التي تم النظر فيها شفهيًا في غضون ثوانٍ. في هذا الصدد ، لا أرى أي سبب لاقتراح أي شيء لحل مستقل ، فمن الأفضل وضع لبنة مهمة أخرى في الأساس الهندسي:

كيف نبني خطا مستقيما موازيا لخط معين؟

لجهل هذه المهمة الأبسط ، يعاقب العندليب السارق بشدة.

مثال 2

يتم إعطاء الخط المستقيم بواسطة المعادلة. يساوي خطًا متوازيًا يمر بنقطة.

القرار: دعنا نشير إلى الرسالة المباشرة غير المعروفة. ماذا يقول الشرط عنها؟ يمر الخط المستقيم بالنقطة. وإذا كانت الخطوط المستقيمة متوازية ، فمن الواضح أن متجه التوجيه للخط المستقيم "tse" مناسب أيضًا لإنشاء الخط المستقيم "de".

نخرج متجه الاتجاه من المعادلة:

إجابة:

تبدو هندسة المثال بسيطة:

يتكون التحقق التحليلي من الخطوات التالية:

1) تحقق من أن الخطوط المستقيمة لها نفس متجه الاتجاه (إذا لم يتم تبسيط معادلة الخط المستقيم بشكل صحيح ، فستكون المتجهات على خط واحد).

2) تحقق مما إذا كانت النقطة تفي بالمعادلة التي تم الحصول عليها.

المراجعة التحليلية سهلة في معظم الحالات شفويا. انظر إلى المعادلتين وسيكتشف الكثير منكم بسرعة التوازي بين الخطوط المستقيمة دون أي رسم.

ستكون أمثلة الحل الذاتي اليوم خلاقة. لأنه لا يزال يتعين عليك التنافس مع بابا ياجا ، وهي ، كما تعلم ، من محبي جميع أنواع الألغاز.

مثال 3

قم بعمل معادلة لخط مستقيم يمر بنقطة موازية لخط مستقيم إذا

هناك حل عقلاني وليس عقلانيًا جدًا. أقصر طريق في نهاية الدرس.

لقد عملنا قليلاً مع الخطوط المتوازية وسنعود إليها لاحقًا. إن حالة تزامن الخطوط المستقيمة ليست ذات أهمية كبيرة ، لذا ضع في اعتبارك مشكلة معروفة جيدًا لك منها المناهج الدراسية:

كيف تجد نقطة تقاطع خطين؟

إذا كان مستقيما تتقاطع عند نقطة ، ثم إحداثياتها هي الحل أنظمة المعادلات الخطية

كيف تجد نقطة تقاطع الخطوط؟ حل النظام.

جزيلا لك المعنى الهندسي لنظام من معادلتين خطيتين في مجهولين عبارة عن خطين متقاطعين (غالبًا) على مستوى مستو.

مثال 4

أوجد نقطة تقاطع الخطوط

القرار: هناك طريقتان لحل - رسومية وتحليلية.

الطريقة الرسومية هي ببساطة رسم خطوط البيانات ومعرفة نقطة التقاطع مباشرة من الرسم:

ها هي وجهة نظرنا :. للتحقق من ذلك ، يجب أن تستبدل إحداثياته \u200b\u200bفي كل معادلة للخط المستقيم ، يجب أن تناسب كلاهما هناك وهناك. بمعنى آخر ، إحداثيات نقطة هي حل النظام. في الأساس ، نظرنا إلى طريقة رسومية لحلها أنظمة المعادلات الخطية مع معادلتين ، مجهولين.

الطريقة الرسومية ، بالطبع ، ليست سيئة ، لكن هناك عيوب ملحوظة. لا ، النقطة ليست أن طلاب الصف السابع قرروا ذلك ، النقطة المهمة هي أن الأمر سيستغرق وقتًا للحصول على رسم صحيح ودقيق. بالإضافة إلى ذلك ، ليس من السهل إنشاء بعض الخطوط المستقيمة ، وقد تكون نقطة التقاطع نفسها موجودة في مكان ما في المملكة الثلاثين خارج ورقة دفتر الملاحظات.

لذلك ، من الأفضل البحث عن نقطة التقاطع باستخدام الطريقة التحليلية. لنحل النظام:

لحل النظام ، تم استخدام طريقة إضافة المصطلحات لكل مصطلح. قم بزيارة الدرس لبناء المهارات ذات الصلة. كيف تحل نظام المعادلات؟

إجابة:

الشيك تافه - يجب أن تفي إحداثيات نقطة التقاطع بكل معادلة في النظام.

مثال 5

أوجد نقطة تقاطع الخطين إذا تقاطعا.

هذا مثال على حل افعل ذلك بنفسك. من المناسب تقسيم المهمة إلى عدة مراحل. يشير تحليل الحالة إلى ما هو مطلوب:
1) اجعل معادلة الخط المستقيم.
2) اجعل معادلة الخط المستقيم.
3) اكتشف الموضع النسبي للخطوط المستقيمة.
4) إذا تقاطع الخطان ، فابحث عن نقطة التقاطع.

يعد تطوير خوارزمية الإجراءات نموذجيًا للعديد من المشكلات الهندسية ، وسأركز بشكل متكرر على هذا.

الحل الكامل والجواب في نهاية الدرس:

زوج من الأحذية لم يتم ارتداؤه بعد ، حيث وصلنا إلى القسم الثاني من الدرس:

خطوط مستقيمة متعامدة. المسافة من نقطة إلى خط.
الزاوية بين الخطوط المستقيمة

لنبدأ بمهمة نموذجية وهامة للغاية. في الجزء الأول ، تعلمنا كيفية بناء خط مستقيم موازٍ لهذا الخط ، والآن سيتحول الكوخ على أرجل الدجاج إلى 90 درجة:

كيف نبني خطًا عموديًا على خط معين؟

مثال 6

يتم إعطاء الخط المستقيم بواسطة المعادلة. يساوي خطًا عموديًا عبر نقطة.

القرار: بشرط من المعروف أن. سيكون من الجيد إيجاد متجه الاتجاه للخط المستقيم. نظرًا لأن الخطوط متعامدة ، فإن الحيلة بسيطة:

من المعادلة "أزل" المتجه الطبيعي: والذي سيكون متجه اتجاه الخط المستقيم.

دعونا نؤلف معادلة الخط المستقيم بنقطة ومتجه الاتجاه:

إجابة:

دعنا نوسع الرسم الهندسي:

هممم ... سماء برتقالية ، بحر برتقالي ، جمل برتقالي.

التحقق التحليلي من الحل:

1) أخرج متجهات الاتجاه من المعادلات وبمساعدة المنتج النقطي للناقلات وصلنا إلى استنتاج مفاده أن الخطوط المستقيمة هي في الواقع عمودية:.

بالمناسبة ، يمكنك استخدام المتجهات العادية ، الأمر أسهل.

2) تحقق مما إذا كانت النقطة تفي بالمعادلة التي تم الحصول عليها .

الشيك ، مرة أخرى ، من السهل القيام به شفويا.

مثال 7

أوجد نقطة تقاطع المستقيمات المتعامدة إذا كانت المعادلة معروفة و نقطة.

هذا مثال على حل افعل ذلك بنفسك. هناك العديد من الإجراءات في المهمة ، لذلك من الملائم وضع الحل نقطة تلو الأخرى.

تستمر رحلتنا المثيرة:

المسافة من نقطة إلى خط

أمامنا شريط مستقيم من النهر ومهمتنا هي الوصول إليه بأقصر طريق. لا توجد عوائق ، وسيكون الطريق الأمثل هو الحركة على طول الخط العمودي. أي أن المسافة من نقطة إلى خط مستقيم هي طول الخط العمودي.

يُشار إلى المسافة في الهندسة بشكل تقليدي بالحرف اليوناني "ro" ، على سبيل المثال: - المسافة من النقطة "em" إلى الخط المستقيم "de".

المسافة من نقطة إلى خط معبر عنها بالصيغة

المثال 8

أوجد المسافة من نقطة إلى خط

القرار: كل \u200b\u200bما تحتاجه هو استبدال الأرقام بعناية في الصيغة وإجراء العمليات الحسابية:

إجابة:

لننفذ الرسم:

المسافة من النقطة إلى الخط الموجود هي بالضبط طول الخط الأحمر. إذا قمت برسم رسم على ورق مربعات بمقياس 1 وحدة. \u003d 1 سم (خليتان) ، ثم يمكن قياس المسافة بمسطرة عادية.

ضع في اعتبارك مهمة أخرى لنفس المخطط:

تتمثل المهمة في إيجاد إحداثيات نقطة متناظرة مع نقطة بالنسبة إلى خط مستقيم ... أقترح تنفيذ الإجراءات بنفسك ، لكنني سأحدد خوارزمية الحل بالنتائج الوسيطة:

1) أوجد خطًا عموديًا على الخط.

2) أوجد نقطة تقاطع الخطوط: .

تم تفصيل كلا الإجراءين في هذا الدرس.

3) النقطة هي منتصف المقطع المستقيم. نحن نعرف إحداثيات الوسط وأحد النهايات. بواسطة الصيغ لإحداثيات نقطة منتصف المقطع نجد.

لن يكون من غير الضروري التحقق من أن المسافة تبلغ أيضًا 2.2 وحدة.

قد تنشأ صعوبات هنا في العمليات الحسابية ، ولكن في البرج ، تساعد الآلة الحاسبة الدقيقة بشكل كبير ، مما يسمح لك بحساب الكسور العادية. نصحت مرارا ، وسوف تقدم المشورة ومرة \u200b\u200bأخرى.

كيف تجد المسافة بين خطين متوازيين؟

المثال 9

أوجد المسافة بين خطين متوازيين

هذا مثال آخر لحل مستقل. اسمح لي أن أقدم لك تلميحًا بسيطًا: هناك طرق عديدة لا نهائية لحلها. استخلاص المعلومات في نهاية الدرس ، ولكن من الأفضل أن تحاول التخمين بنفسك ، أعتقد أن براعتك كانت مشتتة بشكل جيد.

الزاوية بين خطين مستقيمين

كل زاوية هي دعامة:


في الهندسة ، تُؤخذ الزاوية بين خطين مستقيمين على أنها أصغر زاوية ، والتي من خلالها يتبين تلقائيًا أنه لا يمكن أن تكون منفرجة. في الشكل ، الزاوية التي يشير إليها القوس الأحمر لا تعتبر الزاوية بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة. ويعتبر جاره "الأخضر" على هذا النحو ، أو موجهة عكسيا ركن "قرمزي".

إذا كانت الخطوط المستقيمة متعامدة ، فيمكن اعتبار أي من الزوايا الأربع كزاوية بينهما.

كيف تختلف الزوايا؟ اتجاه. أولاً ، اتجاه "التمرير" الزاوية له أهمية أساسية. ثانيًا ، تُكتب الزاوية ذات الاتجاه السالب بعلامة ناقص ، على سبيل المثال ، إذا.

لماذا قلت هذا؟ يبدو أنه يمكنك تجاوز المفهوم المعتاد للزاوية. الحقيقة هي أنه في الصيغ التي سنجد بها الزوايا ، يمكنك بسهولة الحصول على نتيجة سلبية ، وهذا لا ينبغي أن يفاجئك. الزاوية بعلامة ناقص ليست أسوأ ، ولها معنى هندسي محدد للغاية. في الرسم ، للحصول على زاوية سالبة ، تأكد من الإشارة إلى اتجاهها بسهم (في اتجاه عقارب الساعة).

كيف تجد الزاوية بين خطين مستقيمين؟ توجد صيغتان للعمل:

المثال 10

أوجد الزاوية بين الخطوط المستقيمة

القرار و الطريقة الأولى

ضع في اعتبارك خطين مستقيمين تعطيهما المعادلات بشكل عام:

إذا كان مستقيما غير عموديثم الموجهة يمكن حساب الزاوية بينهما باستخدام الصيغة:

دعنا ننتبه جيدًا إلى المقام - هذا بالضبط منتج عددي ناقلات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

إذا اختفى مقام الصيغة ، وستكون المتجهات متعامدة والخطوط المستقيمة متعامدة. هذا هو السبب في إبداء تحفظ بشأن عدم تعامد الخطوط المستقيمة في الصياغة.

بناءً على ما سبق ، من الملائم ترتيب حل في خطوتين:

1) احسب الناتج القياسي لمتجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة:
، لذلك فإن الخطوط المستقيمة ليست عمودية.

2) تم إيجاد الزاوية بين الخطوط المستقيمة بالصيغة:

عبر وظيفة عكسية من السهل العثور على الزاوية نفسها. في هذه الحالة ، نستخدم غرابة قوس الظل (انظر. الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية):

إجابة:

في الإجابة ، نشير إلى القيمة الدقيقة ، وكذلك القيمة التقريبية (يفضل بالدرجات والراديان) ، المحسوبة باستخدام الآلة الحاسبة.

حسنًا ، ناقص ، ناقص ، لا بأس بذلك. هذا رسم هندسي:

ليس من المستغرب أن يكون للزاوية اتجاه سلبي ، لأن الرقم الأول في بيان المشكلة هو خط مستقيم ويبدأ به "التواء" الزاوية.

إذا كنت تريد حقًا الحصول على زاوية موجبة ، فأنت بحاجة إلى تبديل الخطوط المستقيمة ، أي أخذ المعاملات من المعادلة الثانية ، والمعاملات مأخوذة من المعادلة الأولى. باختصار ، يجب أن تبدأ بخط مستقيم .

طريقة التنسيق (المسافة بين النقطة والمستوى ، بين الخطوط المستقيمة)

المسافة بين النقطة والمستوى.

المسافة بين النقطة والخط.

المسافة بين خطين مستقيمين.

أول شيء من المفيد معرفته هو كيفية إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى:

القيم A و B و C و D - معاملات المستوى

س ، ص ، ض - إحداثيات النقطة

مهمة. أوجد المسافة بين النقطة أ \u003d (3 ؛ 7 ؛ −2) والمستوى 4x + 3y + 13z - 20 \u003d 0.

كل شيء معطى ، يمكنك على الفور استبدال القيم في المعادلة:

مهمة. أوجد المسافة من النقطة K \u003d (1 ؛ −2 ؛ 7) إلى الخط المستقيم المار بالنقطتين V \u003d (8 ؛ 6 ؛ −13) و T \u003d (−1 ؛ −6 ؛ 7).

1. أوجد متجه الخط المستقيم.
2. نحسب المتجه الذي يمر عبر النقطة المرغوبة وأي نقطة على الخط.
   
3. قمنا بتعيين المصفوفة وإيجاد المحدد من خلال المتجهين اللذين تم الحصول عليهما في النقطتين الأولى والثانية.
4. عندما نحصل على المسافة الجذر التربيعي من مجموع مربعات معاملات المصفوفة ، نقسم على طول المتجه الذي يحدد الخط المستقيم(أعتقد أنه ليس واضحًا ، فلننتقل إلى مثال محدد).

1) تلفزيون \u003d (8 - (- 1) ؛ 6 - (- 6) ؛ -13-7) \u003d (9 ؛ 12 ؛ −20)

2) تم العثور على المتجه من خلال النقطتين K و T ، على الرغم من أنه يمكن العثور على المتجه خلال K و V أو أي نقطة أخرى على الخط المحدد.

TK \u003d (1 - (- 1) ؛ −2 - (- 6) ؛ 7-7) \u003d (2 ؛ 4 ؛ 0)

3) نحصل على مصفوفة m بدون المعامل D (هنا ليست هناك حاجة للحل):

4) تحولت الطائرة بالمعاملات A \u003d 80 ، B \u003d 40 ، C \u003d 12 ،

x ، y ، z - إحداثيات متجه الخط المستقيم ، في هذه الحالة - إحداثيات Vector TV (9 ؛ 12 ؛ −20)

مهمة. أوجد المسافة بين الخط المستقيم المار بالنقاط Е \u003d (1؛ 0؛ −2)، G \u003d (2؛ 2؛ −1) والخط المار بالنقاط M \u003d (4؛ −1؛ 4)، L \u003d ( −2 ؛ 3 ؛ 0).

1. وضعنا نواقل كلا الخطين.
2. أوجد المتجه بأخذ نقطة واحدة من كل سطر.
3. نكتب مصفوفة من 3 متجهات (خطان من العنصر الأول ، سطر واحد من العنصر الثاني) ونجد محددها العددي.
4. قمنا بتعيين مصفوفة من المتجهين الأولين (في الخطوة 1). تم ضبط السطر الأول على x ، y ، z.
5. نحصل على المسافة عندما نقسم القيمة الناتجة من النقطة 3 على الجذر التربيعي لمجموع مربعات النقطة 4.

دعنا ننتقل إلى الأرقام.