Учебник Ю. Н. Макаричев и др. Тема на урока: Цели уравнения. Разлагащи уравнения Метод на разпадащи уравнения за тяхното решение

Остава да разгледаме множествата, дадени от уравнения (35.21), (35.23), (35.30), (35.31), (35.32), (47.7), (47.22) и (35.20)

Определение 47.16.Извиква се повърхността от втори ред разлагащ се ако се състои от две повърхности от първи ред.

Като пример, разгледайте повърхността, дадена от уравнението

Лявата страна на равенството (35.21) може да бъде разложена на фактори

(47.36)

По този начин точка лежи на повърхността, дадена от уравнение (35.21), тогава и само ако нейните координати отговарят на едно от следните уравнения или. И това са уравненията на две равнини, които съгласно параграф 36 (виж параграф 36.2, 10-ти ред на таблицата) преминават през оста на приложението OZ. Следователно , уравнение (35.21) определя дезинтегрираща повърхност, или по-скоро две пресичащи се равнини.

Задача: Докажете, че ако дадена повърхност е едновременно цилиндрична и конична и освен това се състои от повече от една права линия, тя се разделя, т.е. съдържа определена равнина.

Помислете сега за уравнението (35.30)

Може да се разложи на две линейни уравнения и. По този начин, ако една точка лежи на повърхността, дадена от уравнение (35.30), тогава нейните координати трябва да отговарят на едно от следните уравнения: и. И това, съгласно параграф 36 (виж стр. 36.2 6-ти ред на таблицата), е уравнението на равнините, успоредни на равнината. По този начин, уравнение (35.30) определя две успоредни равнини и също е дезинтегрираща повърхност.

Имайте предвид, че всяка двойка равнини и може да бъде зададена от следното уравнение от втори ред. Уравненията (35.21) и (35.30) са канонична уравнения на две равнини, тоест техните уравнения в специално подбрана координатна система, където те (тези уравнения) имат най-простата форма.

Уравнението същото (35.31)

като цяло е еквивалентно на едно линейно уравнение y \u003d 0 и представлява една равнина (съгласно параграф 36 от точка 36.2, 12-ти ред на таблицата, това уравнение определя равнина).

Имайте предвид, че всяка равнина може да бъде зададена от следното уравнение от втори ред.

По аналогия с уравнение (35.30) (при), понякога се казва, че равенството (35.20) определя две слети успоредни равнини.

Сега се обръщаме към дегенеративни случаи.

1. Уравнение (35.20)

Обърнете внимание, че точка M (x, y, z) принадлежи към множеството, дадено от уравнение (35.20), ако и само ако първите две координати x \u003d y \u003d 0 (а третата координата z може да бъде каквото и да е). Това означава, че уравнение (35.20) определя една права линия - оста на приложението OZ.

Имайте предвид, че уравнението на всяка права линия (виж параграф 40, точка 40.1, както и параграф 37, система (37.3)) могат да бъдат дефинирани от следното уравнение от втори ред. Равенството (35,20) е каноничнауравнение от втори ред за права линия, т.е. неговото уравнение от втори ред в специално подбрана координатна система, където то (това уравнение) има най-простото.

2. Уравнението (47.7)

Уравнение (47.7) може да бъде изпълнено само с една тройка от числа x \u003d y \u003d z \u003d 0. По този начин равенството (47,7) в пространствени набори само една точка О (0; 0; 0) - произход на координати; координатите на която и да е друга точка в пространството не могат да задоволят равенството (47.7). Имайте предвид също, че набор, състоящ се от една точка, може да бъде зададен от следното уравнение от втори ред:

3. Уравнение (35.23)

И това уравнение не може да бъде удовлетворено от координатите на която и да е точка в пространството, т.е. то дефинира празен набор... По аналогия с уравнение (33.4)

(вж. раздел 47.5, определение 47.8), той се нарича още въображаем елиптичен цилиндър.

4.Уравнение (35.32)

Координатите на която и да е точка в пространството също не могат да задоволят това уравнение, следователно то дефинира празен набор. По аналогия с подобното уравнение (35.30) тази „повърхност“ се нарича още въображаеми успоредни равнини.

5. Уравнението (47.22)

И това уравнение не може да бъде удовлетворено от координатите на която и да е точка в пространството и следователно то дефинира празен набор... По аналогия с равенството с равенството (47.17) (вж. Раздел 47.2), това множество се нарича още въображаем елипсоид.

Всички случаи са прегледани.

ДОКУМЕНТИ НА АКАДЕМИЯТА НА НАУКИТЕ, 2008, том 420, No 6, с. 744-745

МАТЕМАТИЧНА ФИЗИКА

РАЗРЕШЕНИЯ ЗА УПОТРЕБА НА УРАВНЕНИЕТО ВЕСЕЛОВ-НОВИКОВ

© 2008 Член-кореспондент на РАН И. А. Тайманов, С. П. Царев

Получено на 14 февруари 2008 г.

Уравнение на Веселов-Новиков

u, \u003d e3 u + E3 u + s E (vu) + zE (vu) \u003d o, E V \u003d E u

където E \u003d (Ex - ¿Ey), E \u003d 1 (Ex + ¿Ey), е двумерно обобщение на уравнението на Korteweg-de Vries (KdV)

u, \u003d 4 uhxx \u200b\u200b+ viih,

в която отива в едномерната граница: V \u003d u \u003d u (x). Уравнение (1) определя деформации на двумерния оператор на Шрьодингер

определя трансформацията на разтвора φ на уравнението Hf \u003d 0 в решение b на уравнението H b \u003d 0, където

H \u003d EE + u, u \u003d u + 2 EE 1n w.

В едномерната граница трансформацията на Мутар се свежда до добре познатата трансформация на Дарбу.

Moutard трансформацията се разширява до трансформация на системни решения

Hf \u003d 0, f (\u003d (E3 + E3 + 3 VE + 3 V * E) f, ^^^

където Е V \u003d Эи, ЭV * \u003d Э и, което е инвариантно при трансформация (разширена трансформация на Мутар)

\u003d ~ | ((f Eyyu-Eph) dz- (f Eyu-Ef) dz +

от формата H1 \u003d HA + 5H, където A, B са диференциални оператори. Такива деформации запазват "спектъра" на оператора Н на нулево енергийно ниво, трансформирайки решенията на уравнението

Hf \u003d (EE + u) f \u003d 0 (3)

според (Er + A) φ \u003d 0.

Съществува метод за конструиране на нови решения (u, φ) на уравнение (3) от стари решения (u, φ) на това уравнение, който се свежда до квадратури - преобразуването на Мутар. Състои се от следното: нека бъде даден оператор H с потенциал u и решение w от уравнение (3): Hw \u003d 0. Тогава формулата

W | [(f Esh - w Ef) dz - (f Esh - w Ef) dz]

Институт по математика. S.L. Соболев, Сибирски клон на Руската академия на науките, Новосибирск

Красноярски държавен педагогически университет

+ [f E u - u E f + u E f - f E u +

2 2 "2 _ ~ _2 + 2 (E f Esh - Ef E w) -2 (E f Esh - Ef E w) +

3V (f Esh - w Ef) + 3 V * (w Ef - f Esh)] dt),

u ^ u + 2EE lnm, V ^ V + 2E21nm

V * ^ u * + 2E21psh,

където w удовлетворява (4).

Уравнението на Веселов-Новиков (1) е

условието за съвместимост на системата (4) при V * \u003d V.

Когато решението w е реално, условията u \u003d u u

V * \u003d V се запазват и разширеното преобразуване на Мутар превежда реални решения и

уравнение (1) в други реални решения и това уравнение.

Всички рационални солитони от уравнението на KdV се получават чрез итерация на преобразуването на Дарбу от потенциала u \u003d 0. Освен това всички получени потенциали са единични.

В двуизмерния случай подобна конструкция може да доведе до несингуларни и дори бързо намаляващи потенциали вече след две повторения.

РАЗРЕШЕНИЯ ЗА УПОТРЕБА

уоки-токи. А именно, нека u0 \u003d 0 и ω1 ω2 са реални решения на система (4):

u, \u003d Γ (z, z) + f (z, z), \u003d i (z, z) + i (z, z), (5)

където / и π са холоморфни по r и отговарят на уравненията

fg \u003d Yyyy "yag \u003d yyyy"

Всяка от функциите uj u2 дефинира (разширеното) преобразуване на Мутар на потенциала u \u003d 0 и съответните решения на системата (4). Нека ги обозначим като Му и Ма. Получените потенциали ние

означаваме с u1 \u003d Myu (u0), u2 \u003d Myu (u0).

Нека δ1 e My (ω2), т.е. b1 се получава от ω2 чрез трансформиране на M ω. Обърнете внимание, че преобразуването на Мутар за φ зависи от константата на интегриране. Избираме константа такава, че b1 да е реална функция. Изборът на константа ни позволява често да контролираме несингулярността на итерирания потенциал (ще използваме това в конкретни примери).

Една проста проверка показва, че b2 \u003d - b1 f

e mu (yuh). Добре известната лема е валидна, което е вярно за произволен потенциал u0.

Лема 1. Нека u12 \u003d M01 (u2) и u21 \u003d M02 (u2). Тогава u12 \u003d u21.

За случая u0 \u003d 0 имаме лема 2. Нека ω1 и ω2 имат формата (5). Тогава потенциалът u \u003d Mb (My (u0)), където u0 \u003d 0 и b1 e My (u2), се дава по формулата

u \u003d 2EE 1nI ((/ I - fya) +) ((f "I - fя") dr + + (GY - G I) dr) +1 (Г "I - fя" "+ 2 (f" I " - GZ) + + GY "" - G "" I + 2 (zi - zi ")) dz).

Имайте предвид, че дори за стационарни начални решения ω1, ω2 на система (4), можем да получим решение на уравнението на Веселов-Новиков с нетривиална динамика в r.

Теорема 1. Нека U (z, z) е рационалният потенциал, получен чрез двойното преобразуване на Мутар от ω1 \u003d iz2 - i ~ z, ffl2 \u003d z2 + (1 +

I) z + ~ z + (1 - i) z. Потенциалът U е несингуларен и намалява като r-3 за r ^ Решение на уравнението на Веселов-Новиков (1) с изходни данни

U \\ t \u003d 0 \u003d U се превръща в сингуларно за крайно време и има сингулярност на формата

(3 x4 + 4 x3 + 6 x2 y2 + 3 y4 + 4 y3 + 30 - 12 t)

Коментирайте. Уравнението на Веселов-Новиков е инвариантно при преобразуването t ^ -t, z ^ -z. Лесно е да се види, че решението за това

уравнение с начални данни U (z, z, 0) \u003d U (-z, - z) е редовно за всички t\u003e 0.

Рационалният потенциал (1), даден в работата, намалява като r-6 и дава стационарно несингулярно решение на уравнението на Веселов-Новиков. Избирайки f (z) \u003d a3z3 + a2z2 + a1z2 + a0 + 6a3t, g (z) \u003d b3z3 + b2z2 + b1z2 + b0 + 6b3t, лесно е да се получат решения на уравнението на Веселов-Новиков, намаляващо в безкрайност, неособено при t \u003d 0 и имащо особености при крайни моменти t\u003e t0.

Имайте предвид, че решенията на уравнението на Korteweg-de Vries с гладки, бързо намаляващи изходни данни остават несингуларни за t\u003e 0 (вижте например).

Тази работа беше извършена с частична финансова подкрепа от Руската фондация за фундаментални изследвания (кодове на проекти 06-01-00094 за I.A.T. и 06-01-00814 за S.P.Ts.).

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Веселое А. П., Новиков С. П. // ДАН. 1984. Т. 279, No 1. С. 20-24.

2. Дубровин Б А., Кричевер И. М., Новиков СП. // ДАН. 1976. Т. 229. No 1. С. 15-19.

Учителят поздравява учениците и обявява:

Днес ще продължим да работим с вас по темата: цели уравнения

Трябва да консолидираме уменията за решаване на уравнения със степен, по-висока от втората; научете за трите основни класа на цели уравнения, овладейте начините за тяхното решаване

На гърба на дъската двама ученици вече са подготвили решение № 273 и са готови да отговорят на въпросите на учениците

Момчета, предлагам да припомня малко теоретичната информация, която научихме в предишния урок. Моля ви да отговорите на въпросите

Кое уравнение с една променлива се нарича цяло число? Дай примери

Как намирате степента на цялото уравнение?

До каква форма може да се сведе уравнението от първа степен

Какво ще бъде решението на такова уравнение

До каква форма може да се сведе уравнение от втора степен?

Как да решим такова уравнение?

Колко корени ще има?

До каква форма може да се сведе уравнението на третата степен?

Уравнение на четвърта степен?

Колко корени могат да имат?

Днес, момчета, ще научим повече за цели уравнения: ще проучим начини за решаване на 3 основни класа уравнения:

1) Биквадратни уравнения

Това са уравнения на формата
, където x е променлива, a, b, c са някои числа и a ≠ 0.

2) Уравнения на разпадане, които се свеждат до формата A (x) * B (x) \u003d 0, където A (x) и B (x) са полиноми по отношение на X.

Вече частично сте решили упадъчните уравнения в предишния урок.

3) Уравнения, решени чрез промяна на променливата.

УКАЗАНИЯ

Сега всяка група ще получи карти, в които методът на решение е описан подробно, трябва съвместно да анализирате тези уравнения и да изпълните задачите по тази тема. Във вашата група проверете отговорите с тези на вашите другари, намерете грешки и стигнете до общ отговор.

След като всяка група е изработила своите уравнения, те ще трябва да бъдат обяснени на останалите групи на черната дъска. Помислете кого делегирате от групата.

РАБОТА В ГРУПИ

Учител през групова работа наблюдава как момчетата разсъждават, дали отборите са сформирани, дали момчетата имат лидери.

Оказва помощ при необходимост. Ако група се справи със задачата по-рано от останалите, тогава учителят все още разполага с уравненията от тази карта с повишена сложност.

ЗАЩИТА НА КАРТИТЕ

Учителят предлага да реши, ако момчетата все още не са направили това, кой ще защити картата на черната дъска.

По време на работата на лидерите учителят може да коригира речта си, ако допуснат грешки.

И така, момчета, слушали сте се, уравненията за вашето собствено решение са написани на дъската. Захващам се за работа

Ур. Igr.

IIгр.

IIIгр.

Трябва да решите онези уравнения, които нямате.

№ 276 (б, г), 278 (б, г), 283 (а)

Така че, момчета, днес проучихме решението на нови уравнения в групи. Смятате ли, че работата ни мина добре?

Постигнахме ли целта си?

Какво ви спираше в работата?

Учителят оценява най-активните деца.

БЛАГОДАРЯ ЗА УРОКА !!!

В близко бъдеще е препоръчително да се извърши независима работа, съдържаща уравненията, анализирани в този урок.

„Решаване на уравнения от по-високи степени“ - Какво означава да се реши уравнение? Задачите на първия етап. ЗАГРЕВАНЕ (проверете за d / h). Решаване на уравнения от по-високи степени. Какви видове уравнения са написани на дъската? Физическо възпитание. Етап II Независима работа вариант 1 вариант 2. Какво се нарича корен на уравнението? Схема на решение линейно уравнение квадратно уравнение биквадратично уравнение.

"Методи за решаване на уравнения и неравенства" - Древен Египет... Кубични уравнения. Нестандартни методи за решаване на уравнения и неравенства. Идеята за хомогенност. Графичен начин за решаване на уравнения, съдържащи модул. Неравенства с модула. Решаване на уравнения за коефициенти. Оригиналното неравенство не съдържа никакво решение. Сумата на квадрата.

„Уравнения и неравенства“ - заместване. Намерете абсцисата на пресечната точка на графиките на функциите. При каква стойност на a е броят на корените на уравнението. "Графичният метод. Той се състои в следното: нанасяне на графики на две функции в една координатна система. Решения на уравнения и неравенства." Намерете най-малкото естествено решение на неравенството.

„Дробни уравнения“ - Решете полученото уравнение. Квадратно уравнение има 2 корена, ако ...... Елиминирайте корените, които не са включени в допустимите стойности на фракциите от уравнението. … Твоето писмо. Висока душа ". Алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения. И помнете - кое е основното в човека? Дробни рационални уравнения. Колко корени има това уравнение? 4. Как се казва това уравнение?

„Разрешаване на логаритмични уравнения“ - Ако уравнението съдържа логаритми с различни бази, тогава на първо място, трябва да намалите всички логаритми до една основа, използвайки формулите за преход. Изчислете стойностите на израза. Определение: За да обобщим материала за свойствата на логаритмите, логаритмична функция; разгледайте основните методи за решаване на логаритмични уравнения; развиват устни умения.

"Методи за решаване на логаритмични уравнения" - Намерете. Решаване на логаритмични уравнения. Това, което се нарича логаритъм. Систематизирайте знанията на учениците. Творческа работа... Намерете грешката. Система от уравнения. Решаване на логаритмични уравнения по различни методи. Вариант I Вариант II. Дадената функция. Метод за въвеждане на нова променлива. Сравнете. Методи за решаване на логаритмични уравнения.

Има общо 49 презентации