Изследване на линейна функция. Линейна функция. Подробна теория с примери (2019) Защита на личната информация

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите своя лична информациявсеки път, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

клас: 7

Функцията заема едно от водещите места в училищния курс по алгебра и има множество приложения в други науки. В началото на изследването, с цел мотивация и актуализиране на въпроса, ви информирам, че нито едно явление, нито един процес в природата не може да бъде изследван, нито една машина не може да бъде конструирана и след това да работи без пълно математическо описание. . Един инструмент за това е функция. Изучаването му започва в 7 клас, като правило децата не се задълбочават в определението. Особено трудни за достъп понятия са домейн на дефиниция и домейн на значение. Използвайки известни връзки между количествата в проблемите на движението и стойността, аз ги превеждам на езика на функция, поддържайки връзка с нейната дефиниция. Така учениците развиват понятието функция на съзнателно ниво. На същия етап се извършва усърдна работа върху нови понятия: област на дефиниция, област на стойност, аргумент, стойност на функция. Използвам напреднало обучение: въвеждам обозначението D(y), E(y), въвеждам понятието нула на функция (аналитично и графично), при решаване на задачи с области с постоянен знак. Колкото по-рано и по-често учениците се сблъскват с трудни концепции, толкова по-добре ги осъзнават на ниво дългосрочна памет. При изучаване на линейна функция е препоръчително да се покаже връзката с решението линейни уравненияи системи, а по-късно и с решаването на линейни неравенства и техните системи. На лекцията студентите получават голям блок (модул) нова информация, следователно в края на лекцията материалът се „изцежда“ и се съставя резюме, което студентите трябва да знаят. Практическите умения се развиват в процеса на изпълнение на упражнения с различни методи, които се основават на индивидуална и самостоятелна работа.

1. Малко информация за линейните функции.

Линейната функция се среща много често в практиката. Дължината на пръта е линейна функция на температурата. Дължината на релсите и мостовете също е линейна функция на температурата. Разстоянието, изминато от пешеходец, влак, кола, когато постоянна скоростдвижение, са линейни функции на времето на движение.

Линейната функция описва редица физически зависимости и закони. Нека разгледаме някои от тях.

1) l = l о (1+at) – линейно разширение на твърди тела.

2) v = v о (1+bt) – обемно разширение на твърди тела.

3) p=p o (1+at) – зависимост на съпротивлението на твърдите проводници от температурата.

4) v = v o + at – скорост на равномерно ускорено движение.

5) x= x o + vt – координата на равномерно движение.

Задача 1. Определете линейната функция от табличните данни:

х	1	3
при	-1	3

Решение. y= kx+b, задачата се свежда до решаване на система от уравнения: 1=k 1+b и 3=k 3 + b

Отговор: y = 2x – 3.

Задача 2. Движейки се равномерно и праволинейно, тялото е изминало 14 m за първите 8 s, а 12 m за още 4 s. Съставете уравнение на движението въз основа на тези данни.

Решение. Според условията на задачата имаме две уравнения: 14 = x o +8 v o и 26 = x o +12 v o, решавайки системата от уравнения, получаваме v = 3, x o = -10.

Отговор: x = -10 + 3t.

Задача 3. Автомобил излязъл от града, движейки се със скорост 80 km/h. След 1,5 часа го последвал мотоциклет, чиято скорост била 100 км/ч. Колко време ще отнеме на мотоциклета да го настигне? На какво разстояние от града ще стане това?

Отговор: 7,5 часа, 600 км.

Задача 4.Разстоянието между две точки в началния момент е 300m. Точките се движат една към друга със скорости 1,5 m/s и 3,5 m/s. Кога ще се срещнат? Къде ще стане това?

Отговор: 60 s, 90 m.

Задача 5.Медна линийка при 0 o C има дължина 1 m. Намерете увеличението на дължината му, когато температурата му се увеличи с 35 o, с 1000 o C (точката на топене на медта е 1083 o C)

Отговор: 0,6 мм.

2. Пряка пропорционалност.

Много закони на физиката се изразяват чрез пряка пропорционалност. В повечето случаи се използва модел за записване на тези закони

в някои случаи -

Нека дадем няколко примера.

1. S = v t (v – const)

2. v = a t (a – const, a – ускорение).

3. F = kx (закон на Хук: F – сила, k – коравина (const), x – удължение).

4. E= F/q (E е интензитетът в дадена точка на електрическото поле, E е const, F е силата, действаща върху заряда, q е големината на заряда).

Като математически модел на пряка пропорционалност можете да използвате сходството на триъгълниците или пропорционалността на сегментите (теорема на Талес).

Задача 1. Влакът е минал светофара за 5 s, а перона с дължина 150 m е преминал за 15 s. Каква е дължината на влака и неговата скорост?

Решение. Нека x е дължината на влака, x+150 е общата дължина на влака и платформата. В тази задача скоростта е постоянна, а времето е пропорционално на дължината.

Имаме пропорцията: (x+150) :15 = x: 5.

Където x = 75, v = 15.

Отговор. 75 м, 15 м/с.

Задача 2. За известно време лодката е изминала 90 км по течението. За същото време той би изминал 70 км срещу течението. Колко разстояние ще измине сала за това време?

Отговор. 10 км.

Задача 3. Каква е била първоначалната температура на въздуха, ако при нагряване с 3 градуса обемът му се е увеличил с 1% от първоначалния.

Отговор. 300 K (Келвин) или 27 0 C.

Лекция на тема "Линейна функция".

Алгебра 7 клас

1. Разгледайте примери за проблеми, използващи добре познати формули:

S = v t (формула на пътя), (1)

C = ck (формула за стойност). (2)

Задача 1. Автомобилът измина 20 км от точка А и продължи пътя си със скорост 62 км/ч. На какво разстояние от точка А ще бъде колата след t часа? Съставете израз за задачата, като означите разстоянието S, намерете го при t = 1 час, 2,5 часа, 4 часа.

1) По формула (1) намираме пътя, изминат от автомобил със скорост 62 km/h за време t, S 1 = 62t;
2) Тогава от точка А след t часа автомобилът ще бъде на разстояние S = S 1 + 20 или S = ​​62t + 20, нека намерим стойността на S:

при t = 1, S = 62*1 + 20, S = 82;
при t = 2,5, S = 62*2,5 + 20, S = 175;
при t = 4, S = 62*4+ 20, S = 268.

Отбелязваме, че при намиране на S се променя само стойността на t и S, т.е. t и S са променливи и S зависи от t, всяка стойност на t съответства на една стойност на S. Означавайки променливата S с Y и t с x, получаваме формула за решаване на тази задача:

Y= 62x + 20. (3)

Задача 2. В магазин купихме учебник за 150 рубли и 15 тетрадки по n рубли всяка. Колко пари платихте за покупката? Съставете израз за задачата, обозначаващ цената C, намерете я за n = 5,8,16.

1) По формула (2) намираме цената на тетрадките C 1 = 15n;
2) Тогава цената на цялата покупка е C = C 1 +150 или C = 15n+150, нека намерим стойността на C:

с n = 5, C = 15 5 + 150, C = 225;
с n = 8, C = 15 8 + 150, C = 270;
с n = 16, C = 15 16+ 150, C = 390.

По подобен начин отбелязваме, че C и n са променливи, за всяка стойност на n съответства една стойност на C. Означавайки променливата C като Y и n като x, получаваме формула за решаване на задача 2:

Y= 15x + 150. (4)

Сравнявайки формули (3) и (4), се убеждаваме, че променливата Y се намира чрез променливата x, като се използва същият алгоритъм. Разгледахме само два различни проблема, които описват явленията, които ни заобикалят всеки ден. Всъщност има много процеси, които се променят според получените закони, така че такава зависимост между променливите заслужава проучване.

Решенията на задачите показват, че стойностите на променливата x са избрани произволно, отговаряйки на условията на задачите (положителни в задача 1 и естествени в задача 2), т.е. x е независима променлива (нарича се аргумент) и Y е зависима променлива и между тях има съответствие едно към едно и по дефиниция такава зависимост е функция. Следователно, обозначавайки коефициента на x с буквата k, а свободния член с буквата b, получаваме формулата

Y= kx + b.

Определение: Функция на формата y= kx + b, където k, b са някои числа, x е аргумент, y е стойността на функцията, наречена линейна функция.

За да изучим свойствата на линейна функция, въвеждаме определения.

Определение 1. Наборът от допустими стойности на независима променлива се нарича област на дефиниране на функцията (допустимо - това означава тези числени стойности на x, за които се извършват изчисления y) и се обозначава D (y).

Определение 2. Наборът от стойности на зависимата променлива се нарича домейн на функцията (това са числените стойности, които y приема) и се обозначава E(y).

Определение 3. Графиката на функция е набор от точки на координатната равнина, чиито координати превръщат формулата в истинско равенство.

Определение 4. Коефициентът k на x се нарича наклон.

Нека разгледаме свойствата на линейна функция.

1. D(y) – всички числа (умножението е дефинирано върху множеството от всички числа).
2. E(y) – всички числа.
3. Ако y = 0, то x = -b/k, точката (-b/k;0) – пресечната точка с оста Ox, се нарича нула на функцията.
4. Ако x = 0, тогава y = b, точка (0; b) е пресечната точка с оста Oy.
5. Нека разберем на коя права линейната функция ще подреди точките координатна равнина, т.е. което е графиката на функцията. За да направите това, помислете за функциите

1) y= 2x + 3, 2) y= -3x – 2.

За всяка функция ще създадем таблица със стойности. Нека да зададем произволни стойности на променливата x и да изчислим съответните стойности на променливата Y.

х	-1,5	-2	0	1	2
Y	0	-1	3	5	7

След като конструираме получените двойки (x;y) в координатната равнина и ги свързваме за всяка функция поотделно (взехме стойностите x със стъпка 1, ако намалим стъпката, точките ще се подреждат по-често и ако стъпката е близо до нула, тогава точките ще се слеят в плътна линия), забелязваме, че точките се подреждат в права линия в случай 1) и в случай 2). Поради факта, че функциите са избрани произволно (конструирайте свои собствени графики y= 0.5x – 4, y= x + 5), заключаваме, че че графиката на линейна функция е права линия. Използвайки свойството на правата линия: има само една права линия, минаваща през две точки, достатъчно е да вземете две точки, за да построите права линия.

6. От геометрията е известно, че линиите могат или да се пресичат, или да са успоредни. Нека изследваме взаимно споразумениеграфики на няколко функции.

1) y= -x + 5, y= -x + 3, y= -x – 4; 2) y= 2x + 2, y= x + 2, y= -0,5x + 2.

Нека изградим групи от графики 1) и 2) и направим изводи.

Графиките на функциите 1) са разположени успоредно, като разглеждаме формулите, забелязваме, че всички функции имат еднакви коефициенти за x.

Графиките на функциите 2) се пресичат в една точка (0;2). Разглеждайки формулите, забелязваме, че коефициентите са различни и числото b = 2.

Освен това е лесно да се забележи, че правите линии, определени от линейни функции с k › 0, образуват остър ъгъл с положителната посока на оста Ox и тъп ъгъл с k ‹ 0. Следователно коефициентът k се нарича коефициент на наклон.

7. Да разгледаме частни случаи на линейна функция в зависимост от коефициентите.

1) Ако b=0, тогава функцията приема формата y= kx, тогава k = y/x (съотношението показва колко пъти е разликата или каква част y е от x).

Функция от вида Y= kx се нарича пряка пропорционалност. Тази функция има всички свойства на линейна функция, нейната особеност е, че за x=0 y=0. Графиката на пряката пропорционалност минава през началната точка (0;0).

2) Ако k = 0, тогава функцията приема формата y = b, което означава, че за всяка стойност на x функцията приема същата стойност.

Функция от вида y = b се нарича константа. Графиката на функцията е права линия, минаваща през точката (0;b) успоредна на оста Ox; при b=0 графиката на константната функция съвпада с абсцисната ос.

Резюме

1. Определение Функция от формата Y = kx + b, където k, b са някои числа, x е аргумент, Y е стойността на функцията, се нарича линейна функция.

D(y) – всички числа.

E(y) – всички числа.

Графиката на линейна функция е права линия, минаваща през точката (0;b).

2. Ако b=0, тогава функцията приема формата y= kx, наречена пряка пропорционалност. Графика на права пропорционалност минава през началото.

3. Ако k = 0, тогава функцията приема формата y= b и се нарича константа. Графиката на константна функция минава през точката (0;b), успоредна на абсцисната ос.

4. Взаимно подреждане на графики на линейни функции.

Дадени са функциите y= k 1 x + b 1 и y= k 2 x + b 2.

Ако k 1 = k 2, тогава графиките са успоредни;

Ако k 1 и k 2 не са равни, тогава графиките се пресичат.

5. Вижте по-горе примери за графики на линейни функции.

Литература.

1. Учебник Ю.Н. Макаричев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др. „Алгебра, 8.“
2. Дидактически материалипо алгебра за 8. клас / В.И. Жохов, Ю.Н. Макаричев, Н.Г. Миндюк. – М.: Образование, 2006. – 144 с.
3. Притурка към вестник 1 септември “Математика”, 2001, № 2, № 4.

Инструкции

За да намерите координатите на точка върху линия, изберете я върху линията и начертайте перпендикулярни линии върху координатната ос. Определете на кое число отговаря пресечната точка, пресечната точка с оста x е стойността на абсцисата, т.е. x1, пресечната точка с оста y е ординатата, y1.

Опитайте се да изберете точка, чиито координати могат да бъдат определени без дробни стойности, за удобство и точност на изчисленията. За да съставите уравнение, ви трябват поне две точки. Намерете координатите на друга точка, принадлежаща на тази права (x2, y2).

Заместете стойностите на координатите в уравнението на права линия с обща форма y=kx+b. Ще получите система от две уравнения y1=kx1+b и y2=kx2+b. Решете тази система, например, по следния начин.

Изразете b от първото уравнение и заменете във второто, намерете k, заменете във всяко уравнение и намерете b. Например решението на системата 1=2k+b и 3=5k+b ще изглежда така: b=1-2k, 3=5k+(1-2k); 3k=2, k=1,5, b=1-2*1,5=-2. Така уравнението на правата линия е y=1,5x-2.

Познавайки две точки на права, опитайте да използвате канонично уравнениеправа линия, изглежда така: (x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1). Заменете стойностите (x1;y1) и (x2;y2), опростете. Например точки (2;3) и (-1;5) принадлежат на правата линия (x-2)/(-1-2)=(y-3)/(5-3); -3(x-2)=2(y-3); -3x+6=2y-6; 2y=12-3x или y=6-1.5x.

За да намерите уравнението на функция, която има нелинейна графика, процедирайте по следния начин. Преглед на всички стандартни диаграми y=x^2, y=x^3, y=√x, y=sinx, y=cosx, y=tgx и др. Ако някой от тях ви напомня за вашия график, използвайте го като основа.

Начертайте стандартна графика на основната функция върху същата координатна ос и я намерете от вашата графика. Ако графиката се премести с няколко единици нагоре или надолу, това означава, че това число е добавено към функцията (например y=sinx+4). Ако графиката се премести надясно или наляво, това означава, че към аргумента е добавено число (например y=sin (x+P/2).

Удължена по височина графика показва, че аргументната функция е умножена по някакво число (например y=2sinx). Ако графиката, напротив, е намалена по височина, това означава, че числото пред функцията е по-малко от 1.

Сравнете графиката на основната функция и вашата функция по ширина. Ако е по-тесен, тогава x се предшества от число, по-голямо от 1, широко - число, по-малко от 1 (например y=sin0.5x).

Забележка

Може би графиката съответства на намереното уравнение само на определен сегмент. В този случай посочете за кои стойности на x е валидно полученото равенство.

Правата линия е алгебрична линия от първи ред. IN Декартова системакоординати на равнината, уравнението на права линия се дава от уравнение от първа степен.

Ще имаш нужда

• Знание за аналитична геометрия. Основни познания по алгебра.

Инструкции

Уравнението е дадено от две, през които трябва да минава тази права линия. Нека направим съотношение на координатите на тези точки. Нека първата точка има координати (x1,y1), а втората (x2,y2), тогава уравнението на правата ще бъде написано по следния начин: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1 )(y2-y1).

Нека преобразуваме полученото уравнение на права линия и изразим y явно чрез x. След тази операция уравнението на правата линия ще приеме крайната си форма: y=(x-x1)/((x2-x1)*(y2-y1))+y1.

Видео по темата

Забележка

Ако едно от числата в знаменателя е нула, това означава, че правата е успоредна на една от координатните оси.

Полезен съвет

След като сте написали уравнението на правата, проверете неговата коректност. За да направите това, заменете координатите на точките вместо съответните координати и се уверете, че равенството е изпълнено.

Често се знае, че y зависи линейно от x и е дадена графика на тази зависимост. В този случай е възможно да се намери уравнението на линията. Първо трябва да изберете две точки на права линия.

Инструкции

Намерете избраните точки. За да направите това, спуснете перпендикулярите от точките на координатната ос и запишете числата от скалата. Така че за точка B от нашия пример координатата x е -2, а координатата y е 0. По същия начин за точка A координатите ще бъдат (2;3).

Известно е, че правата линия има формата y = kx + b. Заместваме координатите на избраните точки в уравнението в общ вид, след което за точка А получаваме следното уравнение: 3 = 2k + b. За точка B получаваме друго уравнение: 0 = -2k + b. Очевидно имаме система от две уравнения с две неизвестни: k и b.

След това решаваме системата по всеки удобен начин. В нашия случай е възможно да се добавят уравненията на системата, тъй като неизвестното k е включено и в двете уравнения с коефициенти, които са еднакви по големина, но противоположни по знак. Тогава получаваме 3 + 0 = 2k - 2k + b + b, или, което е същото: 3 = 2b. Така b = 3/2. Заместете намерената стойност на b в някое от уравненията, за да намерите k. Тогава 0 = -2k + 3/2, k = 3/4.

Нека заместим намерените k и b в уравнението общ изгледи получаваме желаното уравнение на правата: y = 3x/4 + 3/2.

Видео по темата

Забележка

Коефициентът k се нарича наклон на правата и е равен на тангенса на ъгъла между правата и оста x.

От две точки може да се начертае права линия. Координатите на тези точки са „скрити“ в уравнението на правата линия. Уравнението ще ви разкрие всички тайни за линията: как се върти, от коя страна на координатната равнина се намира и т.н.

Инструкции

По-често се изисква изграждане в равнина. Всяка точка ще има две координати: x, y. Обърнете внимание на уравнението, то се подчинява на общата форма: y=k*x ±b, където k, b са свободни числа, а y, x са еднакви координати на всички точки на правата. От общото уравнение това до намерете координатата y, която трябва да знаете координатата x Най-интересното е, че можете да изберете всяка стойност за координатата x: от цялата безкрайност на известните числа. След това заместете x в уравнението и го решете, за да намерите y. Пример. Нека е дадено уравнението: y=4x-3. Измислете произволни две стойности за координатите на две точки. Например x1 = 1, x2 = 5. Заместете тези стойности в уравненията, за да намерите y координатите. y1 = 4*1 – 3 = 1. y2 = 4*5 – 3 = 17. Получаваме две точки A и B, A (1; 1) и B (5; 17).

Трябва да нанесете намерените точки върху координатната ос, да ги свържете и да видите самата права линия, която е описана от уравнението. За да построите права линия, трябва да работите в декартова координатна система. Начертайте осите X и Y. Задайте стойността на "нула" в пресечната точка. Нанесете числата върху осите.

В изградената система маркирайте двете точки, намерени в стъпка 1. Принципът на задаване на посочените точки: точка А има координати x1 = 1, y1 = 1; на оста X изберете числото 1, на оста Y - числото 1. В тази точка се намира точка A. Точка B е дадена със стойностите x2 = 5, y2 = 17. По аналогия намерете точка B на графиката. Свържете A и B, за да направите права линия.

Видео по темата

Терминът решаване на функция като такъв не се използва в математиката. Тази формулировка трябва да се разбира като извършване на определени действия върху дадена функция, за да се намери конкретна характеристика, както и намиране на необходимите данни за изграждане на графика на функцията.

Инструкции

Можете да разгледате приблизителна диаграма, според която поведението на функцията е подходящо и да изградите нейната графика.
Намерете домейна на функцията. Определете дали функцията е четна или нечетна. Ако намерите желания отговор, продължете само по необходимата полуос. Определете дали функцията е периодична. Ако отговорът е положителен, продължете изследването само за един период. Намерете точките и определете поведението му в близост до тези точки.

Намерете пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси. Намерете ги, ако съществуват. Използвайте първата производна, за да изследвате функция за екстремуми и интервали на монотонност. Също така направете изследване, използвайки втората производна за изпъкналост, вдлъбнатост и точки на инфлексия. Изберете точки, за да прецизирате функцията и да изчислите стойностите на функцията в тях. Постройте графика на функцията, като вземете предвид резултатите, получени от всички проведени изследвания.

На оста 0X трябва да се идентифицират характерни точки: точки на прекъсване, x = 0, нули на функцията, точки на екстремум, точки на инфлексия. Тези асимптоти ще дадат скица на графиката на функцията.

И така, използвайки конкретен пример за функцията y=((x^2)+1)/(x-1), направете изследване, използвайки първата производна. Пренапишете функцията като y=x+1+2/(x-1). Първата производна ще бъде равна на y’=1-2/((x-1)^2).
Намерете критични точки от първи вид: y’=0, (x-1)^2=2, резултатът ще бъде две точки: x1=1-sqrt2, x2=1+sqrt2. Маркирайте получените стойности в областта на дефиниране на функцията (фиг. 1).
Определете знака на производната на всеки от интервалите. Въз основа на правилото за редуване на знаци от „+“ до „-“ и от „-“ до „+“, получавате, че максималната точка на функцията е x1=1-sqrt2, а минималната точка е x2=1+ sqrt2. Същото заключение може да се направи и от знака на втората производна.

Маслова Ангелина

Изследователска работа по математика. Анджелина състави компютърен модел на линейна функция, който използва за провеждане на изследването.

Изтегли:

Преглед:

Общинска автономна образователна институция гимназия№ 8 градски район на Бор, област Нижни Новгород

Изследователска работа по компютърни науки и математика

Попълни ученичката от 7А клас Ангелина Маслова

Ръководител: учител по информатика, Воронина Анна Алексеевна.

Градски квартал Бор - 2015г

Въведение

1. Изследване на линейни функции в електронни таблици

Заключение

Библиография

Въведение

Тази година в часовете по алгебра се запознахме с линейните функции. Научихме се да изграждаме графика на линейна функция, определихме как трябва да се държи графиката на функция в зависимост от нейните коефициенти. Малко по-късно, в урок по информатика, научихме, че тези действия могат да бъдат обмислени математическо моделиране. Реших да видя дали е възможно да изследвам линейна функция с помощта на електронни таблици.

Цел на работата: изследвайте линейната функция в електронни таблици

Цели на изследването:

• намират и изучават информация за линейна функция;
• изграждат математически модел на линейна функция в електронна таблица;
• изследвайте линейна функция с помощта на конструирания модел.

Обект на изследване:математическо моделиране.

Предмет на изследване:математически модел на линейна функция.

Моделирането като метод на познание

Човек преживява света почти от раждането си. За да направи това, човек използва модели, които могат да бъдат много разнообразни.

Модел е нов обект, който отразява някои съществени свойства на реален обект.

Моделите на реални обекти се използват в различни ситуации:

1. Когато обектът е много голям (например Земята е модел: глобус или карта) или, обратно, твърде малък (биологична клетка).
2. Когато обектът е много сложен по структура (кола - модел: детска кола).
3. Когато даден обект е опасен за изследване (вулкан).
4. Когато обектът е много далеч.

Моделиране е процес на създаване и изучаване на модел.

Сами създаваме и използваме модели, понякога дори без да се замисляме. Например, правим снимки на някакво събитие от живота си и след това ги показваме на приятелите си.

Въз основа на вида информация, всички модели могат да бъдат разделени на няколко групи:

1. Вербални модели. Тези модели могат да съществуват в устна или писмена форма. Може да е просто словесно описаниенякакъв предмет или стихотворение, или може би статия във вестник или есе - всичко това са словесни модели.
2. Графични модели. Това са нашите рисунки, снимки, диаграми и графики.
3. Емблематични модели. Това са модели, написани на някакъв символичен език: бележки, математически, физически или химични формули.

Линейна функция и нейните свойства

Линейна функциянаречена функция на формата

Графиката на линейна функция е права линия.

1 . Да начертаете функция, имаме нужда от координатите на две точки, принадлежащи на графиката на функцията. За да ги намерите, трябва да вземете две стойности x, да ги замените в уравнението на функцията и да ги използвате, за да изчислите съответните стойности на y.

Например, за да начертаете функция, удобни за вземане и , тогава ординатите на тези точки ще бъдат равниИ .

Получаваме точки A(0;2) и B(3;3). Нека ги свържем и да получим графика на функцията:

2 . В уравнението на функцията y=kx+b, коефициентът k отговаря за наклона на графиката на функцията:

Коефициент b е отговорен за изместването на графиката по оста OY:

Фигурата по-долу показва графиките на функциите; ;

Имайте предвид, че във всички тези функции коефициентътпо-голямо от нула вдясно . Освен това, колкото по-голяма е стойността, толкова по-стръмна е правата линия.

Във всички функции– и виждаме, че всички графики пресичат оста OY в точка (0;3)

Сега нека да разгледаме графиките на функциите; ;

Този път във всички функции коефпо-малко от нула и всички графики на функции са наклонениналяво . Коефициентът b е същият, b=3, а графиките, както в предишния случай, пресичат оста OY в точка (0;3)

Нека да разгледаме графиките на функциите; ;

Сега във всички функционални уравнения коефициентитеса равни. И имаме три успоредни прави.

Но коефициентите b са различни и тези графики пресичат оста OY в различни точки:

Графика на функция (b=3) пресича оста OY в точка (0;3)

Графика на функция (b=0) пресича оста OY в точката (0;0) - началото.

Графика на функция (b=-2) пресича оста OY в точка (0;-2)

Така че, ако знаем знаците на коефициентите k и b, веднага можем да си представим как изглежда графиката на функцията.

Ако k 0, след това графиката на функциятаима формата:

Ако k>0 и b>0, след това графиката на функциятаима формата:

Ако k>0 и b , след това графиката на функциятаима формата:

Ако k, след това графиката на функциятаима формата:

Ако k=0, тогава функцията се превръща във функцияи графиката му изглежда така:

Ординатите на всички точки от графиката на функциятаравен

Ако b=0 , след това графиката на функциятапреминава през произхода:

4. Условие за успоредност на две прави:

Графика на функция успоредна на графиката на функцията, Ако

5. Условието за перпендикулярност на две прави линии:

Графика на функция перпендикулярна на графиката на функцията, ако или

6 . Пресечни точки на графика на функцияс координатни оси.

С OY ос. Абсцисата на всяка точка, принадлежаща на оста OY, е равна на нула. Следователно, за да намерите точката на пресичане с оста OY, трябва да замените нула в уравнението на функцията вместо x. Получаваме y=b. Тоест точката на пресичане с оста OY има координати (0; b).

С ос OX: Ординатата на всяка точка, принадлежаща на оста OX, е равна на нула. Следователно, за да намерите точката на пресичане с оста OX, трябва да замените нула в уравнението на функцията вместо y. Получаваме 0=kx+b. Оттук. Тоест точката на пресичане с оста OX има координати (;0):

Изследване на линейни функции в електронни таблици

За да изследвам линейна функция в среда на електронни таблици, компилирах следния алгоритъм:

1. Конструирайте математически модел на линейна функция в електронна таблица.
2. Попълнете таблицата за проследяване на стойностите на аргументите и функциите.
3. Начертайте линейна функция с помощта на съветника за диаграми.
4. Разгледайте линейната функция в зависимост от стойностите на коефициентите.

За да изучавам линейната функция, използвах Microsoft Office Excel 2007. Използвах формули за съставяне на таблици с аргументи и стойности на функции. Получих следната таблица със стойности:

Използвайки такъв математически модел, можете лесно да наблюдавате промените в графиката на линейна функция, като променяте стойностите на коефициентите в таблицата.

Освен това, използвайки електронни таблици, реших да наблюдавам как се променя относителната позиция на графиките на две линейни функции. След като изградих нов математически модел в електронна таблица, получих следния резултат:

Променяйки коефициентите на две линейни функции, бях ясно убеден в валидността на информацията, която бях научил за свойствата на линейните функции.

Заключение

Линейната функция в алгебрата се счита за най-простата. Но в същото време има много свойства, които не са ясни веднага. След като изградих математически модел на линейна функция в електронни таблици и го разгледах, свойствата на линейната функция ми станаха по-ясни. Успях ясно да видя как се променя графиката, когато се променят коефициентите на функцията.

Мисля, че изграденият от мен математически модел ще помогне на учениците от седми клас самостоятелно да изследват линейната функция и да я разберат по-добре.

Библиография

1. Учебник по алгебра за 7 клас.
2. Учебник по информатика за 7 клас
3. Wikipedia.org

Преглед:

За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Обект на изследване: линейна функция. Предмет на изследване: математически модел на линейна функция.

Цел на работата: да се изследва линейна функция в електронни таблици Цели на изследването: да се намери и проучи информация за линейната функция; изграждат математически модел на линейна функция в електронна таблица; изследвайте линейна функция с помощта на конструирания модел.

Линейната функция е функция от вида y= k x+ b, където x е аргумент, а k и b са някои числа (коефициенти).Графиката на линейната функция е права линия.

Да разгледаме функция y=kx+b такава, че k 0 , b=0 . Изглед: y=kx В една координатна система ще построим графики на тези функции: y=3x y=x y=-7x Ще построим всяка графика със съответния цвят x 0 1 y 0 3 x 0 1 y 0 1 x 0 1 y 0 7

Графиката на линейна функция от вида y = k x минава през началото. y=x y=3x y=-7x y x

Заключение: Графиката на линейна функция от вида y = kx + b пресича оста O Y в точка (0; b).

Да разгледаме функцията y=kx+b, където k=0. Изглед: y=b В една координатна система построете графики на функции: y=4 y=-3 y=0 Построяваме всяка графика с подходящ цвят

Графиката на линейна функция от вида y = b върви успоредно на оста OX и пресича оста O Y в точка (0; b). y=4 y=-3 y=0 y x

В една координатна система постройте графики на функции: Y=2x Y=2x+ 3 Y=2x-4 Построяваме всяка графика с подходящ цвят x 0 1 y 0 2 x 0 1 y 3 5 x 0 1 y -4 -2

Графиките на линейни функции от вида y=kx+b са успоредни, ако коефициентите на x са еднакви. y =2x+ 3 y =2x y =2x-4 y x

В една координатна система ще построим графики на функции: y=3x+4 Y= - 2x+4 Ще построим графики с подходящ цвят x 0 1 y 4 7 x 0 1 y 4 2

Графиките на две линейни функции от вида y=kx+b се пресичат, ако коефициентите на x са различни. y x

В една координатна система ще построим графики на функции: y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 3 x 0 4 y x 0 -2 y -4 0 x 0 4 y -2 0 x 0 1 y -1 3 x 0 - 4 y -3 -2

y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 3 Графиките на две линейни функции от вида y=kx+b са взаимно перпендикулярни, ако произведението на коефициентите на x е “- 1" .

Следователно коефициентът k се нарича наклон на правата - графиката на функцията y=kx+ b. Ако k е 0, тогава ъгълът на наклона на графиката спрямо оста O X е остър. Функцията се увеличава. y x y x

Електронна таблица

Електронна таблица

Линейни уравнения Алгебрично условие Геометрично извеждане y = k 1 x+ b 1 k 1 = k 2, b 1 ≠ b 2 y = k 2 x+ b 2 k 1 = k 2, b 1 = b 2 k 1 ≠ k 2 k 1 * до 2 = -1 Правите са успоредни Правите съвпадат Правите са перпендикулярни Правите се пресичат

Математическият модел, който изградих, ще помогне на учениците от седми клас самостоятелно да изследват линейната функция и да я разберат по-добре.

Обобщетеи систематизира знанията по темата „Линейна функция“:

• консолидират способността да четат и изграждат графики на функции, дадени по формулите y = kx+b, y = kx;
• консолидират способността за определяне на относителната позиция на графики на линейни функции;
• развиват умения за работа с графики на линейни функции.

Развивайте сеспособност да анализира, сравнява, прави изводи. Развитие на познавателен интерес към математиката, компетентна устна математическа реч, точност и прецизност в конструкцията.

Възпитаниевнимателност, самостоятелност в работата, способност за работа по двойки.

Оборудване: линийка, молив, карти със задачи, цветни моливи.

Тип урок: урок за консолидиране на научения материал.

План на урока:

1. Организиране на времето.
2. Устна работа. Математическа диктовка със самопроверка и самооценка. Историческа екскурзия.
3. Тренировъчни упражнения.
4. Самостоятелна работа.
5. Обобщение на урока.
6. Домашна работа.

По време на часовете

1. Посочете целта на урока.

Целта на урока е да се обобщят и систематизират знанията по темата „Линейна функция“.

2. Нека започнем с проверка на вашите теоретични знания.

– Дефинирайте функцията. Какво е независима променлива? Зависима променлива?

– Дефиниране на графиката на функция.

– Формулирайте дефиницията на линейна функция.

– Каква е графиката на линейна функция?

– Как да начертая графика на линейна функция?

– Формулирайте определението за права пропорционалност. Какво е графика? Как да изградим графика? Как е разположена графиката на функцията y = kx в координатната равнина за k > 0 и за k< 0?

Математическа диктовка със самопроверка и самооценка.

Погледни картинките и отговори на въпросите.

1) Графиката на коя функция е излишна?

2) Коя фигура показва графика на правата пропорционалност?

3) На коя фигура графиката на линейна функция има отрицателен наклон?

4) Определете знака на числото b. (Запишете отговора като неравенство)

Проверка на работата. Рейтинг.

Работете по двойки.

Дешифрирайте името на математика, който пръв използва термина функция. За да направите това, напишете в квадратчетата буквата, съответстваща на графиката на дадената функция. В останалото квадратче напишете буквата C. Допълнете чертежа с графика на функцията, съответстваща на тази буква.

Снимка 1

Фигура 2

Фигура 3

Готфрид Вилхелм Лайбниц, 1646-1716, немски философ, математик, физик и лингвист. Той и английският учен И. Нютон създават (независимо един от друг) основите на важен дял от математиката - математическия анализ. Лайбниц въвежда много понятия и символи, които все още се използват в математиката днес.

3. 1. Дадени са функциите, зададени с формулите: y = x-5; y = 0,5x; y = – 2x; y = 4.

Наименувайте функциите. Посочете графиките на коя от тези функции ще премине през точка М (8;4). Покажете схематично как ще изглежда чертежът, ако върху него изобразите графики на функции, минаващи през точка M.

2. Графиката на правата пропорционалност минава през точка C (2;1). Създайте формула, която определя пряката пропорционалност. При каква стойност на m графиката ще премине през точка B (-4;m).

3. Начертайте графика на функцията, дадена от y=1/2X. Как можете да получите от графиката на дадена функция графика на функция, дадена по формулата y=1/2X – 4 и y = 1/2X+3. Анализирайте получените графики.

4. Функциите са дадени по формулите:

1) y= 4x+9 и y= 6x-5;
2) y=1/2x-3 и y=0,5x+2;
3) y= x и y= -5x+2,4;
4) y= 3x+6 и y= -2,5x+6.

Каква е относителната позиция на графиките на функциите? Без да извършвате конструкция, намерете координатите на пресечната точка на първата двойка графики. (самотест)

4. Самостоятелна работа по двойки. (извършва се на ml хартия). Интердисциплинарна комуникация.

Необходимо е да се построят графики на функциите и да се избере тази част от тях, за точките на която е валидно съответното неравенство:

y = x + 6,	4 < х < 6;
y = -x + 6,	-6 < х < -4;
y = – 1/3 x + 10,	-6 < х < -3;
y = 1/3 x +10,	3 < х < 6;
y = -x + 14,	0 < х < 3;
y = x + 14,	-3 < х < 0;
y = 9x – 18,	2 < х < 4;
y = – 9x – 18	-4 < х < -2;
y = 0,	-2 < х < 2.

Какъв вид рисунка получихте? ( Лале.)

Малко за лалетата:

Известни са около 120 вида лалета, разпространени предимно в Централна, Източна и Южна Азия и Южна Европа. Ботаниците смятат, че културата на лалетата произхожда от Турция през 12 в. Растението придобива световна известност далеч от родината си, в Холандия, с право наричана Страната на лалетата.

Ето и легендата за лалето. Щастието се съдържаше в златната пъпка на жълто лале. Никой не можеше да достигне това щастие, защото нямаше такава сила, която да отвори пъпката му. Но един ден през поляната вървяла жена с дете. Момчето избяга от ръцете на майка си, изтича до цветето със звънлив смях и златната пъпка се отвори. Безгрижният детски смях постигна това, което никаква сила не можеше да направи. Оттогава стана обичай да се подаряват лалета само на онези, които се чувстват щастливи.

Творчески домашна работа. Създайте чертеж в правоъгълна координатна система, състояща се от сегменти, и създайте негов аналитичен модел.

6. Самостоятелна работа. Диференцирана задача (в два варианта)

Вариант I:

Скицирайте графиките на функциите:

Вариант II:

Начертайте схематично графиките на функциите, за които са изпълнени следните условия:

7. Обобщение на урока

Анализ на свършената работа. Класиране.