შესვლა ბაზაზე. ლოგარითმების თვისებები და მათი ამოხსნების მაგალითები. ყოვლისმომცველი სახელმძღვანელო (2020) ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

"შემოკლებული გამრავლების ფორმულები" - ორი მრავალწევრის გამრავლებისას პირველი მრავალწევრის თითოეული ტერმი გამრავლებულია მეორე მრავალწევრის თითოეულ ტერმინზე და დაემატება პროდუქტები. გამრავლების შემოკლებული ფორმულები. პოლინომების შეკრებისა და გამოკლებისას გამოიყენება ფრჩხილების გაფართოების წესები. მონომია არის რიცხვების, ცვლადების და მათი ბუნებრივი ხარისხების პროდუქტები.

"განტოლებათა სისტემის ამოხსნა" - გრაფიკული მეთოდი (ალგორითმი). განტოლება არის ტოლობა, რომელიც შეიცავს ერთ ან მეტ ცვლადს. განტოლება და მისი თვისებები. დეტერმინანტების მეთოდი (ალგორითმი). განტოლებების სისტემა და მისი ამოხსნა. სისტემის ამოხსნა შედარების გზით. ხაზოვანი განტოლება ორი ცვლადით. სისტემის ამოხსნა დამატების მეთოდით.

"უტოლობების სისტემების ამოხსნა" - შუალედები. მათემატიკური კარნახი. სისტემების ამოხსნების მაგალითები ხაზოვანი უტოლობები... უთანასწორობის სისტემების ამოხსნა. წრფივი უტოლობების სისტემის გადასაჭრელად საკმარისია მოაგვაროს მასში შეტანილი თითოეული უტოლობა და იპოვოთ მათი ამონახსნების სიმრავლეების გადაკვეთა. ჩამოწერეთ იმ უტოლობები, რომელთა ამოხსნის ნაკრებია ინტერვალი.

"ექსპონენციალური უტოლობები" - უტოლობის ნიშანი. უთანასწორობის ამოხსნა. მარტივი გამოსავალი ექსპონენციალური უტოლობები... ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა. რა უნდა იქნას გათვალისწინებული ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნისას? უმარტივესი ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა. ექსპონენტში უცნობი შემცველი უტოლობა ეწოდება ექსპონენციალურ უთანასწორობას.

"რიცხვების კოეფიციენტები" - რა არის პროპორცია? როგორ იწოდება m და n რიცხვები a: m \u003d n: b პროპორციაში? ორი რიცხვის კოეფიციენტს ორი რიცხვის თანაფარდობა ეწოდება. მარკეტინგის LAN. სწორი პროპორციით, უკიდურესი ტერმინების პროდუქტი ტოლია შუა ტერმინების პროდუქტისა და პირიქით. რა არის დამოკიდებულება? პროპორციები. თანაფარდობა შეიძლება გამოიხატოს პროცენტულად.

"კვადრატული განტოლების დისკრიმინატორი" - ვიეტას თეორემა. კვადრატული განტოლებები. დისკრიმინაციული. რა განტოლებებს ეწოდება არასრული კვადრატული განტოლებები? რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას, თუ მისი დისკრიმინატორი ნულოვანია? არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას, თუ მისი განმასხვავებელი უარყოფითია?

სულ 14 პრეზენტაციაა

ლოგარითმის მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონი (ODV)

ახლა მოდით ვისაუბროთ შეზღუდვების შესახებ (ODZ არის ცვლადების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი).

ჩვენ გვახსოვს, რომ, მაგალითად, Კვადრატული ფესვი არ შეიძლება უარყოფითი რიცხვებიდან ამოღება; ან თუ გვაქვს წილადი, მაშინ მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნული. ლოგარითმებს აქვთ მსგავსი შეზღუდვები:

ანუ, არგუმენტიც და ფუძეც ნულზე მეტი უნდა იყოს და ფუძეც არ შეიძლება იყოს ტოლი.

Რატომ არის, რომ?

დავიწყოთ მარტივი: ვთქვათ ეს. მაგალითად, რიცხვი არ არსებობს, ვინაიდან არ აქვს მნიშვნელობა რა ხარისხს ავიმაღლებთ, ის ყოველთვის გამოდის. უფრო მეტიც, ის არ არსებობს არცერთისთვის. მაგრამ ამავე დროს, ის შეიძლება ტოლი იყოს ყველაფრის (იგივე მიზეზით, იგი უდრის ნებისმიერი ხარისხის). ამიტომ, ობიექტი არანაირ ინტერესს არ წარმოადგენს და ის უბრალოდ მათემატიკიდან იქნა გადაყრილი.

საქმეში მსგავსი პრობლემა გვაქვს: ნებისმიერი პოზიტიური ხარისხით ის არის, მაგრამ უარყოფითი ხარისხით აწევა საერთოდ არ შეიძლება, რადგან ნულზე გაყოფა მიიღება (გახსოვდეთ ეს).

როდესაც ფრაქციული ძალაუფლების ამაღლების პრობლემის წინაშე ვდგავართ (რომელიც წარმოდგენილია როგორც ფესვი :. მაგალითად, (ეს არის), მაგრამ არ არსებობს.

ამიტომ, უარყოფითი ნიადაგის გადაგდება უფრო ადვილია, ვიდრე მათთან არეულობა.

კარგია, მას შემდეგ რაც a ბაზა გვაქვს მხოლოდ პოზიტიური, მაშინ რაც არ უნდა გავაუმჯობესოთ იგი, ყოველთვის მივიღებთ მკაცრად დადებით რიცხვს. ამრიგად, არგუმენტი უნდა იყოს პოზიტიური. მაგალითად, ის არ არსებობს, რადგან ის არანაირად არ იქნება უარყოფითი რიცხვი (და ნულიც კი, შესაბამისად არც ის არსებობს).

ლოგარითმებთან დაკავშირებული პრობლემების დროს, პირველი ნაბიჯი არის ODV- ის დაწერა. აი მაგალითი:

მოდით ამოვხსნათ განტოლება.

დაიმახსოვრე განმარტება: ლოგარითმი არის ხარისხი, რომელზედაც უნდა დადგეს საფუძველი არგუმენტის მისაღებად. პირობითად, ეს ხარისხი უდრის :.

ვიღებთ ჩვეულებას კვადრატული განტოლება: მოდით გადავწყვიტოთ ვიეტას თეორემის გამოყენებით: ფესვების ჯამი ტოლია და პროდუქტი. მარტივად ამოირჩევა, ეს არის ციფრები და.

თუ პასუხში დაუყოვნებლივ აიღებთ და ჩამოწერთ ორივე ამ რიცხვს, შეგიძლიათ მიიღოთ 0 ქულა პრობლემისთვის. რატომ? მოდით ვიფიქროთ რა ხდება, თუ ამ ფესვებს ჩავანაცვლებთ საწყის განტოლებაში?

ეს აშკარად არასწორია, რადგან ფუძე არ შეიძლება იყოს ნეგატიური, ანუ ფუძე არის “გარეთ”.

ამგვარი უსიამოვნო ხრიკების თავიდან ასაცილებლად, თქვენ უნდა დაწეროთ ODV, სანამ არ დაიწყებთ განტოლების ამოხსნას:

მას შემდეგ, რაც ფესვები მივიღეთ და, დაუყოვნებლივ გადავყრით ფესვს და ვწერთ სწორ პასუხს.

მაგალითი 1 (შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ ეს) :

იპოვნეთ განტოლების ფესვი. თუ რამდენიმე ფესვი არსებობს, თქვენს პასუხში მიუთითეთ მათგან ყველაზე მცირე.

გადაწყვეტილება:

უპირველეს ყოვლისა, მოდით დავწეროთ ODZ:

ახლა კი გავიხსენოთ რა არის ლოგარითმი: რა ხარისხით გჭირდებათ ბაზის ასამაღლებლად კამათის მისაღებად? მეორე ანუ:

როგორც ჩანს, პატარა ფესვი ტოლია. ეს ასე არ არის: ODZ– ის თანახმად, ფესვი გარეგანია, ანუ ის საერთოდ არ წარმოადგენს ამ განტოლების ფესვს. ამრიგად, განტოლებას მხოლოდ ერთი ფესვი აქვს:.

პასუხი: .

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

გავიხსენოთ ზოგადად ლოგარითმის განმარტება:

მოდით შევცვალოთ მეორე თანასწორობა ლოგარითმის ნაცვლად:

ამ თანასწორობას ეწოდება ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა... მიუხედავად იმისა, რომ არსებითად ეს თანასწორობა უბრალოდ სხვაგვარად არის დაწერილი ლოგარითმის განმარტება:

ეს არის ის ხარისხი, რომლის ასამაღლებლადც უნდა გაიზარდოთ.

Მაგალითად:

მოაგვარეთ შემდეგი მაგალითები:

მაგალითი 2.

იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება:

გავიხსენოთ წესი სექციიდან: ეს არის ის, რომ ენერგიაზე ენერგიის ამაღლებისას, მაჩვენებლები მრავლდება. მოდით გამოვიყენოთ იგი:

მაგალითი 3.

დაამტკიცეთ რომ.

გადაწყვეტილება:

ლოგარითმების თვისებები

სამწუხაროდ, ამოცანები ყოველთვის ასე მარტივია - ხშირად ჯერ უნდა გაამარტივოთ გამოხატვა, მიიტანოთ იგი ჩვეულ ფორმაში და მხოლოდ ამის შემდეგ იქნება შესაძლებელი მნიშვნელობის გამოანგარიშება. ამის უმარტივესი გზაა ცოდნა ლოგარითმების თვისებები... მოდით ვისწავლოთ ლოგარითმების ძირითადი თვისებები. თითოეულს დავუმტკიცებ, რადგან ნებისმიერი წესის დამახსოვრება უფრო ადვილია, თუ იცით, საიდან მოდის ეს.

ყველა ეს თვისება უნდა ახსოვდეს; მათ გარეშე ლოგარითმების პრობლემების უმეტესობა ვერ მოგვარდება.

ახლა კი ლოგარითმის ყველა მახასიათებლის შესახებ უფრო დეტალურად.

საკუთრება 1:

მტკიცებულება:

მოდით, მაშინ.

ჩვენ გვაქვს :, h.t.d.

თვისება 2: ლოგარითმების ჯამი

ლოგარითმების ჯამი იგივე ფუძით ტოლია პროდუქტის ლოგარითმის: .

მტკიცებულება:

მოდით, მაშ. მოდით, მაშ.

მაგალითი:იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა :.

გადაწყვეტილება:.

ახლახანს ნასწავლი ფორმულა ხელს უწყობს ლოგარითმების ჯამს და არა სხვაობას, ამიტომ ამ ლოგარითმების დაუყოვნებლად შერწყმა შეუძლებელია. ამის გაკეთება შეგიძლიათ პირიქით - პირველი ლოგარითმი „გაყოთ” ორად: აქ არის დაპირებული გამარტივება:
.
რატომ არის ეს საჭირო? კარგად, მაგალითად: რა მნიშვნელობა აქვს ამას?

ახლა აშკარაა, რომ.

ახლა გაამარტივეთ საკუთარი თავი:

Დავალებები:

პასუხები:

თვისება 3: ლოგარითმების სხვაობა:

მტკიცებულება:

ყველაფერი ზუსტად იგივეა, რაც მე -2 პუნქტში:

მოდით, მაშინ.

მოდით, მაშინ. Ჩვენ გვაქვს:

ბოლო პუნქტის მაგალითი ახლა კიდევ უფრო ადვილი ხდება:

უფრო რთული მაგალითი: შეგიძლიათ გამოიცნოთ როგორ უნდა გადაწყვიტოთ?

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ ჩვენ არ გვაქვს ერთი ფორმულა კვადრატში მყოფი ლოგარითმების შესახებ. ეს არის რაღაც მსგავსი გამოთქმისა - ამის დაუყოვნებლივი გამარტივება შეუძლებელია.

ამიტომ, მოდით განვიხილოთ ლოგარითმების შესახებ ფორმულები და ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა ფორმულებს ვიყენებთ მათემატიკაში ყველაზე ხშირად? მე -7 კლასიდან დაწყებულიც კი!

ეს -. თქვენ უნდა შეეჩვიოთ იმ ფაქტს, რომ ისინი ყველგან არიან! ექსპონენციალურ და ტრიგონომეტრიულ და ირაციონალურ პრობლემებში ისინი გვხვდება. ამიტომ, მათ უნდა ახსოვდეთ.

თუ კარგად დააკვირდებით პირველ ორ ტერმინს, ცხადი გახდება, რომ ეს კვადრატების სხვაობა:

პასუხი შემოწმების მიზნით:

გაამარტივეთ საკუთარი თავი.

მაგალითები

პასუხები

თვისება 4: ექსპონენტის ამოღება ლოგარითმის არგუმენტიდან:

მტკიცებულება:აქ ჩვენ ასევე ვიყენებთ ლოგარითმის განმარტებას: მოდით, მაშ. ჩვენ გვაქვს :, h.t.d.

ამ წესის გაგება შეგიძლიათ ასე:

ანუ, არგუმენტის ხარისხი გადაადგილდება ლოგარითმის წინ, როგორც კოეფიციენტი.

მაგალითი:იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება: .

თავად გადაწყვიტეთ:

მაგალითები:

პასუხები:

თვისება 5: ექსპონენტის ამოღება ლოგარითმის ფუძიდან:

მტკიცებულება:მოდით, მაშინ.

ჩვენ გვაქვს :, h.t.d.
დაიმახსოვრე: დან საფუძველი ხარისხი მოცემულია როგორც უკუ ნომერი, წინა შემთხვევისგან განსხვავებით!

თვისება 6: ექსპონენტის ამოღება ბაზიდან და ლოგარითმის არგუმენტი:

ან თუ ხარისხები იგივეა:.

თვისება 7: გადასვლა ახალ ბაზაზე:

მტკიცებულება:მოდით, მაშინ.

ჩვენ გვაქვს :, h.t.d.

თვისება 8: სვოპის ბაზა და ლოგარითმის არგუმენტი:

მტკიცებულება:ეს არის ფორმულა 7-ის განსაკუთრებული შემთხვევა: თუ ჩავანაცვლებთ, მივიღებთ: p.t.d.

მოდით ვნახოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 4.

იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა.

ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმების ნომერ 2 თვისებას - იგივე ბაზის მქონე ლოგარითმების ჯამი ტოლია პროდუქტის ლოგარითმის:

მაგალითი 5.

იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება:

ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმების # 3 და # 4 თვისებებს:

მაგალითი 6.

იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება:

# 7 თვისების გამოყენება - გადადით ბაზაზე 2:

მაგალითი 7.

იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება:

როგორ მოგწონთ სტატია?

თუ ამ სტრიქონებს კითხულობთ, მაშინ წაიკითხეთ მთელი სტატია.

და ეს მაგარია!

ახლა გვითხარით, როგორ მოგწონთ სტატია?

ისწავლეთ ლოგარითმების ამოხსნა? თუ არა, რა პრობლემაა?

მოგვწერეთ ქვემოთ მოცემულ კომენტარებში.

დიახ, წარმატებებს გისურვებთ თქვენს გამოცდებზე.

გამოცდაზე და გამოცდაზე და ზოგადად ცხოვრებაში

(ბერძნულიდან λόγος - "სიტყვა", "მიმართება" და ἀριθμός - "რიცხვი") რიცხვები ბ მიზეზით ა (ჟურნალი α ბ) ასეთ რიცხვს ეწოდება გდა ბ= ა გ, ანუ log α ბ=გ და ბ \u003d ა გ ეკვივალენტურია. ლოგარითმს აქვს აზრი, თუ a\u003e 0, და ≠ 1, b\u003e 0.

Სხვა სიტყვებით ლოგარითმი რიცხვები ბ მიზეზით დაფორმულირებულია როგორც ინდიკატორი ხარისხი , რომელშიც თქვენ უნდა დააყენოთ ნომერი ანომრის მისაღებად ბ(ლოგარითმი არსებობს მხოლოდ დადებითი რიცხვები).

ეს ფორმულირება გულისხმობს, რომ გამოთვლა x \u003d log α ბ, ექვივალენტურია a x \u003d b განტოლების ამოხსნისთვის.

Მაგალითად:

ჟურნალი 2 8 \u003d 3 რადგან 8 \u003d 2 3.

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ, რომ ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულირება ლოგარითმი საშუალებას იძლევა დაუყოვნებლივ დადგინდეს ლოგარითმის მნიშვნელობა, როდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის ფუძის გარკვეული ხარისხი. სინამდვილეში, ლოგარითმის ფორმულირება საშუალებას იძლევა დავამტკიცოთ, რომ თუ ბ \u003d ა გ, შემდეგ რიცხვის ლოგარითმი ბ მიზეზით ა ტოლია დან... ასევე გასაგებია, რომ ლოგარითმის თემა მჭიდრო კავშირშია თემასთან რიცხვის ხარისხი .

ლოგარითმის გაანგარიშება ეწოდება ლოგარითმის აღებით... ლოგარითმის აღება არის ლოგარითმის აღების მათემატიკური ოპერაცია. ლოგარითმის აღებისას, ფაქტორების პროდუქტი გარდაიქმნება ტერმინთა ჯამში.

პოტენციალიზაცია არის ლოგარითმის ინვერსიული მათემატიკური მოქმედება. გაძლიერებისას, მოცემული ბაზა იზრდება ძალა პოტენციურ გამოხატვას. ამ შემთხვევაში, წევრთა თანხები გარდაიქმნება ფაქტორების პროდუქტად.

ხშირად გამოიყენება ნამდვილი ლოგარითმები 2 (ორობითი), ეილერის ნომერი e ≈ 2.718 (ბუნებრივი ლოგარითმი) და 10 (ათობითი).

ამ ეტაპზე სასურველია განიხილონ ლოგარითმების ნიმუშებიჟურნალი 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

და lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ჩანაწერებს აზრი არ აქვს, ვინაიდან პირველ მათგანში მოთავსებულია ლოგარითმის ნიშანი უარყოფითი რიცხვი , მეორეში - უარყოფითი რიცხვი ძირში და მესამეში - ორივე უარყოფითი რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ერთი ფუძეზე.

ლოგარითმის განსაზღვრის პირობები.

ცალკე უნდა განვიხილოთ a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0 პირობები, რომლის პირობებშიც განმარტება ლოგარითმი. განვიხილოთ, რატომ არის მიღებული ეს შეზღუდვები. X \u003d log α ფორმის ტოლობა ბ ეწოდება ძირითადი ლოგარითმული პირადობა , რაც პირდაპირ გამომდინარეობს ზემოთ მოცემული ლოგარითმის განმარტებიდან.

ავიღოთ პირობა ა 1 ფუნტი სტერლინგი... მას შემდეგ, რაც ერთეული ნებისმიერ ხარისხი უდრის ერთს, მაშინ ტოლობა x \u003d ჟურნალი α ბ შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ მაშინ, როდესაც b \u003d 1, მაგრამ ამ შემთხვევაში ჟურნალი 1 1 იქნება ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვი ... ამ გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად ვიღებთ ა 1 ფუნტი სტერლინგი.

მოდით დავადასტუროთ მდგომარეობის აუცილებლობა a\u003e 0... Როდესაც a \u003d 0 ლოგარითმის ფორმულირების თანახმად, მას მხოლოდ b \u003d 0... და შესაბამისად შემდეგ ჟურნალი 0 0შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნულოვანი ნამდვილი რიცხვი, რადგან ნულოვანი ნულოვანი ნულოვანი ხარისხით ნულოვანია. ამ ბუნდოვანების გამორიცხვა მოცემულია პირობით ა 0... Და როცა ა<0 ჩვენ მოგვიწევს უარი თქვას ანალიზზე რაციონალური და არაგონივრული ლოგარითმის მნიშვნელობები, ვინაიდან რაციონალური და ირაციონალური ექსპონენტის მქონე ხარისხი განისაზღვრება მხოლოდ არაუარყოფითი საფუძვლებისთვის. ამ მიზეზით არის გათვალისწინებული მდგომარეობა a\u003e 0.

და ბოლო პირობა b\u003e 0 გამომდინარეობს უთანასწორობიდან a\u003e 0ვინაიდან x \u003d ჟურნალი α ბდა ხარისხის საფუძველი დადებითი ფუძით ა ყოველთვის პოზიტიური.

ლოგარითმების მახასიათებლები.

ლოგარითმები ხასიათდება გამორჩეული მახასიათებლები, რამაც გამოიწვია მათი ფართო გამოყენება, რომ მნიშვნელოვნად შეუწყო ხელი შრომისმოყვარე გამოთვლებს. "ლოგარითმების სამყაროში" გადასვლისას გამრავლება გარდაიქმნება ბევრად უფრო მარტივ დამატებად, დაყოფა გამოკლებად, ხოლო გამოხატვა და ფესვების ექსტრაცია შესაბამისად გარდაიქმნება გამრავლებით და განაწილებით ექსპონენტის მიერ.

ლოგარითმების ფორმულირება და მათი მნიშვნელობების ცხრილი (ამისთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები) პირველად გამოქვეყნდა 1614 წელს შოტლანდიელი მათემატიკოსის ჯონ ნაპიერის მიერ. ლოგარითმული ცხრილები, რომლებიც გადიდებულია და დეტალურად არის აღწერილი სხვა მეცნიერების მიერ, ფართოდ გამოიყენებოდა სამეცნიერო და საინჟინრო გამოთვლებში და რჩებოდა აქტუალური, სანამ ელექტრონული კალკულატორები და კომპიუტერები არ გამოვიყენებდით.