Емтихан тесттеріндегі күрделі экспоненциалдық теңдеулерді шешу. Көрсеткіштік теңдеулер. Логарифм әдісі. Тұрақты өрнекті бөлектеу

Менің сөздерімнен қорықпаңыз, сіз бұл әдісті 7-сыныпта көпмүшеліктерді оқығанда кездестірдіңіз.

Мысалы, егер сізге қажет болса:

Мұны топтастырайық: бірінші және үшінші тоқсан, сондай-ақ екінші және төртінші.

Бірінші және үшінші квадраттардың айырмашылығы екені түсінікті:

ал екіншісі мен төртіншісінің жалпы коэффициенті үшке тең:

Сонда түпнұсқа өрнек бұған тең:

Ортақ факторды қайда шығару енді қиын емес:

Демек,

Көрсеткіштік теңдеулерді шешкенде біз осылай әрекет етеміз: терминдердің ішінен «ортақтық» іздеп, оны жақшаның сыртына қойыңыз, сонда - мүмкін не болса да, біз бақытты боламыз деп сенемін \u003d))

№ 14 мысал

Оң жақта жеті дәрежеден алыс (мен оны тексердім!) Ал сол жақта - онша жақсы емес ...

Сіз, әрине, бірінші тоқсаннан бастап а факторын екіншісінен «кесіп» тастай аласыз, содан кейін нәтижемен айналысасыз, бірақ мұны сізбен ақылға қонымды жасайық.

Мен фракциялармен айналысқым келмейді, олар сөзсіз «іріктеу» нәтижесінде пайда болады, сондықтан шыдауым жақсы емес пе?

Сонда менде фракциялар болмайды: қалай айтсақ, қасқырлар тойып, қойлар қауіпсіз:

Жақшаның ішіндегі өрнекті санаңыз.

Сиқырлы, сиқырлы түрде, бұл шығады (таңқаларлық, бірақ тағы не күтуге болады?).

Содан кейін біз теңдеудің екі жағын да осы коэффициент бойынша жоямыз. Біз:, қайдан аламыз.

Мұнда күрделі мысал келтірілген (шынымен де):

Қандай қиындық! Бұл жерде біздің ортақ тіліміз жоқ!

Қазір не істеу керек екендігі толық түсініксіз.

Қолымыздан келгенді істейік: алдымен «төртеуді» бір жаққа, ал «бесті» екінші жағына қарай жылжыта берейік:

Енді «жалпыға» солға және оңға жылжытамыз:

Енді не?

Мұндай ақымақ топтың қандай пайдасы бар? Бір қарағанда, бұл мүлдем көрінбейді, бірақ тереңірек қарайық:

Енді сол жақта бізде тек қана өрнек, ал оң жақта - бәрі қалатындай етіп жасайық.

Біз мұны қалай жасаймыз?

Міне, осылайша: теңдеудің екі жағын да алдымен бөліңіз (осылайша біз оң жақтағы дәрежеден құтыламыз), содан кейін екі жағын да бөлеміз (осылайша сол жақтағы сандық фактордан құтыламыз).

Ақыры біз мынаны аламыз:

Керемет!

Сол жақта - өрнек, ал оң жақта - қарапайым.

Содан кейін біз бірден қорытынды жасаймыз

№ 15 мысал

Мен оның қысқаша шешімін айтамын (түсіндірмелермен көп мазаламай), шешімнің барлық «нәзіктіктерін» өзіңіз анықтап көріңіз.

Енді өткен материалдың соңғы консолидациясы.

Келесі 7 есепті өз бетінше шешу (жауаптарымен)

1. Жақшадан жалпы факторды шығарайық:
2. Біз бірінші өрнекті келесі түрінде ұсынамыз :, екі бөлікті де бөліп ал
3. , содан кейін бастапқы теңдеу келесі түрге ауысады: Ал енді, кеңес - бұл теңдеуді сіз бен біз қай жерде шешкенімізді іздеңіз!
4. Елестетіп көріңіз, қалай, қалай және қалай, содан кейін екі бөлікті де бөліңіз, осылайша сіз ең қарапайым экспоненциалдық теңдеуді аласыз.
5. Жақшаларды шығарыңыз.
6. Жақшаларды шығарыңыз.

ТҮСІНДІРУ ОРТАША ДЕҢГЕЙ

Мен айтқан бірінші мақаланы оқығаннан кейін деп ойлаймын экспоненциалдық теңдеулер дегеніміз не және оларды қалай шешуге болады, сіз қарапайым мысалдарды шешу үшін қажетті минимум білімін игердіңіз.

Енді мен экспоненциалдық теңдеулерді шешудің тағы бір әдісін талдайын ...

Жаңа айнымалы енгізу әдісі (немесе ауыстыру)

Ол экспоненциалдық теңдеулер тақырыбындағы «қиын» есептердің көпшілігін шешеді (тек теңдеулер емес).

Бұл әдіс бірі болып табылады көбінесе тәжірибеде қолданылады. Алдымен тақырыппен танысуға кеңес беремін.

Атаудан түсінгеніңіздей, бұл әдістің мәні айнымалының өзгеруін енгізу болып табылады, сонда сіздің экспоненциалдық теңдеуіңіз керемет түрде сіз оңай шеше алатын түрге айналдырады.

Осы өте «оңайлатылған теңдеуді» шешкеннен кейін сізге «кері ауыстыру» жасау керек: яғни ауыстырылғаннан ауыстырылғанға оралу.

Жаңа айтқанымызды өте қарапайым мысалмен көрсетейік:

Мысал 16. Қарапайым ауыстыру әдісі

Бұл теңдеуді қолдану арқылы шешіледі «Қарапайым ауыстыру», математиктер оны мысқылмен атайды.

Шынында да, ауыстыру бұл жерде ең айқын көрінеді. Адам мұны көруі керек

Сонда бастапқы теңдеу келесідей болады:

Егер сіз қосымша қалай елестетсеңіз, онда нені ауыстыру керек екені анық ...

Әрине, .

Сонда бастапқы теңдеу қандай болады? Ал міне:

Сіз оның тамырларын өзіңіз оңай таба аласыз:.

Енді не істеуіміз керек?

Бастапқы айнымалыға оралатын уақыт келді.

Мен нені көрсетуді ұмытып кеттім?

Атап айтқанда: белгілі бір дәрежені жаңа айнымалыға ауыстырған кезде (яғни көріністі өзгерткен кезде) мені қызықтырады тек оң тамырлар!

Неліктен сіз өзіңіз оңай жауап бере аласыз.

Осылайша, сіз бен бізді қызықтырмайды, бірақ екінші тамыр бізге өте қолайлы:

Сонда қайда.

Жауап:

Көріп отырғаныңыздай, алдыңғы мысалда ауыстыру біздің қолымызды сұрады. Өкінішке орай, бұл әрдайым бола бермейді.

Алайда, қайғылы жағдайға тікелей бармай-ақ, қарапайым ауыстырумен тағы бір мысалмен жаттығып көрейік

Мысал 17. Қарапайым ауыстыру әдісі

Оны ауыстыруға тура келетіні анық (бұл біздің теңдеуге енгізілген дәрежелердің ең кішісі).

Алайда ауыстыруды енгізбес бұрын біздің теңдеуіміз оған «дайын» \u200b\u200bболуы керек, атап айтқанда:,.

Сонда сіз ауыстыра аласыз, нәтижесінде мен келесі өрнекті аламын:

Ужас: оны шешудің формулалары толық кубтық теңдеу (жалпы сөзбен айтқанда).

Бірақ бірден үміт үзбей, не істеу керектігін ойластырайық.

Мен алдауды ұсынамын: біз «жағымды» жауап алу үшін оны триплеттің қандай да бір күші түрінде алуымыз керек екенін білеміз (неге олай, а?).

Біздің теңдеудің ең болмағанда бір түбірін болжауға тырысайық (мен үш қуатпен болжай бастайын).

Бірінші болжам. Бұл тамыр емес. Өкінішке орай ...

.
Сол жағы тең.
Оң жақ бөлігі!

Сонда бар! Сіз бірінші түбірді болжадыңыз. Енді бәрі оңай болады!

Сіз «бұрыштық» бөлу схемасы туралы білесіз бе? Әрине, сіз оны бір санды екінші санға бөлген кезде қолданатындығыңызды білесіз.

Бірақ көпмүшелермен дәл осылай жасауға болатынын бірнеше адам біледі.

Бір үлкен теорема бар:

Менің жағдайыма байланысты, бұл маған не бөлінетінін айтады.

Бөлу қалай жүзеге асырылады? Осылайша:

Мен алу үшін қандай мономалды көбейтуім керек екенін қарастырамын

Келесіде:

Алынған өрнекті алып тастаңыз, алыңыз:

Енді алу үшін нені көбейту керек?

Содан кейін мен алатыным анық:

және қалған өрнекті қайтадан алып тастаңыз:

Соңғы қадам, мен көбейтіп, қалған өрнектен шығарамын:

Ура, бөлісу аяқталды! Жеке кезде не жинадық?

Әрине: .

Содан кейін біз бастапқы көпмүшенің келесідей ыдырауын алдық:

Екінші теңдеуді шешейік:

Оның тамыры бар:

Сонда бастапқы теңдеу:

үш тамыры бар:

Біз, әрине, соңғы түбірді тастаймыз, өйткені ол нөлден аз.

Ал кері ауыстырудан кейінгі алғашқы екеуі бізге екі тамыр береді:

Жауап: ..

Мен сізді осы мысалмен қорқытқым келген жоқ!

Керісінше, менің мақсатым, бізде қарапайым ауыстыру болғанымен, оның шешімі бізден ерекше дағдыларды қажет ететін, өте күрделі теңдеуге алып келгенін көрсету болды.

Бұған ешкім де иммунитет бермейді. Бірақ бұл жағдайда ауыстыру өте айқын болды.

Мысал №18 (айқын емес ауыстырумен)

Біз не істеуіміз керек екендігі мүлдем түсініксіз: мәселе біздің теңдеуімізде екі түрлі негіздер бар және бір негізді басқасынан кез-келген (ақылға қонымды, табиғи) дәрежеге көтеру арқылы алуға болмайды.

Алайда, біз не көріп отырмыз?

Екі негіз тек белгілерімен ерекшеленеді, ал олардың көбейтіндісі бір квадратқа тең квадраттардың айырмасы:

Анықтама:

Сонымен, біздің мысалда негіз болатын сандар конъюгат болып табылады.

Бұл жағдайда ақылды қадам болар еді теңдеудің екі жағын да конъюгат санына көбейту.

Мысалы, онда теңдеудің сол жағы, ал оң жағы тең болады.

Егер біз алмастыруды жасасақ, онда біздің бастапқы теңдеуіміз келесідей болады:

оның тамыры, демек, біз мұны түсінеміз.

Жауап:,.

Әдетте, ауыстыру әдісі «мектеп» экспоненциалдық теңдеулердің көпшілігін шешу үшін жеткілікті.

Қолдану нұсқаларынан күрделілік деңгейінің келесі міндеттері алынды.

Емтихан нұсқаларынан күрделенген үш тапсырма

Сіз қазірдің өзінде осы мысалдарды өз бетінше шешуге құзыреттісіз. Мен тек қажетті ауыстыруды беремін.

1. Теңдеуді шешіңіз:
2. Теңдеудің түбірлерін табыңыз:
3. Теңдеуді шешіңіз:. Осы теңдеудің кесіндіге жататын барлық түбірлерін табыңыз:

Ал енді қысқаша түсіндірмелер мен жауаптар:

№ 19 мысал

Мұнда бізге және екенін атап өту жеткілікті.

Сонда бастапқы теңдеу мынаған тең болады:

Бұл теңдеу ауыстыру арқылы шешіледі

Қосымша есептеулерді өзіңіз жасаңыз.

Ақыр соңында, сіздің міндетіңіз қарапайым тригонометриялық шешуге дейін азаяды (синусқа немесе косинусқа байланысты). Мұндай мысалдардың шешімін біз басқа бөлімдерде талдаймыз.

№ 20 мысал

Сіз мұнда ауыстырмай-ақ жасай аласыз ...

Азайтылғанды \u200b\u200bоңға жылжытсақ және екі негіздің екеуінің дәрежелері арқылы көрсетілсе жеткілікті, содан кейін тікелей квадрат теңдеуге көшу керек.

№21 мысал

Ол сондай-ақ жеткілікті стандартты түрде шешіледі: қалай елестетіңіз.

Одан кейін біз квадрат теңдеу аламыз: содан кейін,

Логарифм дегеннің не екенін білесіз бе? Жоқ? Онда тақырыпты шұғыл оқып шығыңыз!

Бірінші түбір сегментке жатпасы анық, ал екіншісі түсініксіз!

Бірақ біз мұны жақын арада білетін боламыз!

Содан бері, содан кейін (бұл логарифмнің қасиеті!)

Екі бөліктен алып тастаңыз, содан кейін біз аламыз:

Сол жағы келесі түрде ұсынылуы мүмкін:

біз екі бөлікті де көбейтеміз:

көбейтуге болады, содан кейін

Содан кейін салыстырайық:

сол уақыттан бері:

Сонда екінші түбір қажетті интервалға жатады

Жауап:

Қалай көресің, экспоненциалдық теңдеулердің түбірлерін таңдау логарифмдердің қасиеттері туралы жеткілікті терең білімді қажет етедісондықтан мен сізге экспоненциалдық теңдеулерді шешуде мүмкіндігінше мұқият болуға кеңес беремін.

Сіз ойлағандай, математикада бәрі бір-бірімен байланысты!

Менің математика мұғалімім айтқандай: «математика, тарих сияқты, бір түнде оқи алмайсың».

Әдетте, барлығы күрделіліктің жоғарылаған мәселелерін шешудің қиындығы - бұл теңдеудің түбірлерін таңдау.

Оқытуға тағы бір мысал ...

22-мысал

Теңдеуді шешудің өзі қарапайым екендігі түсінікті.

Ауыстыруды енгізу арқылы біз бастапқы теңдеуді келесіге дейін төмендетеміз:

Алдымен қарастырайық бірінші түбір.

Салыстырып көрейік: содан бері, содан бері. (логарифмдік функцияның қасиеті, at).

Сонда бірінші түбір де біздің аралыққа жатпайтыны анық.

Енді екінші түбір:. (At функциясы артып келе жатқандықтан) екені түсінікті.

Және салыстыру қалады.

өйткені, содан кейін, сонымен бірге.

Осылайша, мен арасында қазықты жүргізе аламын.

Бұл қазық - сан.

Бірінші өрнек кішірек, ал екіншісі үлкенірек.

Сонда екінші өрнек біріншіден үлкен және түбір интервалға жатады.

Жауап:.

Соңында, алмастыру айтарлықтай стандартты емес болатын теңдеудің тағы бір мысалын қарастырайық.

Мысал № 23 (Стандартты емес алмастырумен теңдеу!)

Сіз бірден не істей алатыныңызды және не істей алатыныңызды бастайық, бірақ оны жасамағаны абзал.

Сіз бәрін үш, екі және алты күштер арқылы көрсете аласыз.

Ол қайда апарады?

Және бұл ештеңеге әкелмейді: градустық ходжеподж, ал олардың кейбіреулерінен құтылу өте қиын болады.

Ал содан кейін не қажет?

А екенін ескерейік

Бұл бізге не береді?

Біз бұл мысалдың шешімін жеткілікті қарапайым экспоненциалдық теңдеудің шешіміне келтіре аламыз!

Алдымен теңдеуді келесідей етіп жазайық:

Енді алынған теңдеудің екі жағын да бөлеміз:

Эврика! Енді біз алмастыра аламыз:

Ал енді, демонстрациялық мәселелерді шешу сендердің кезектеріңде, мен сендер адаспас үшін мен оларға қысқаша түсініктемелер беремін! Іске сәт!

№ 24 мысал

Ең қиын!

Мұнда оның орнын табу оңай емес! Осыған қарамастан біз бұл мысалды толықтай шеше аламыз толық шаршы таңдау.

Оны шешу үшін мынаны атап өту жеткілікті:

Міне, сіздің орныңыз:

(Назар аударыңыз, бұл жерде бізді ауыстыру кезінде біз теріс түбірді түсіре алмаймыз !!! Ал сіз неге ойлайсыз?)

Енді мысалды шешу үшін екі теңдеуді шешу керек:

Олардың екеуі де «стандартты ауыстыру» арқылы шешіледі (бірақ екіншісі бір мысалда!)

№ 25 мысал

2. Бұған назар аударыңыз және ауыстырыңыз.

Мысал № 26

3. Санды коприменттік факторларға бөліп, алынған өрнекті жеңілдетіңіз.

№ 27 мысал

4. Бөлшектің бөлгішін және бөлгішін (немесе, егер қаласаңыз) бөліп, немесе ауыстырыңыз.

№ 28 мысал

5. және сандардың жалғанғанын ескеріңіз.

ЛОГАРИФМ ӘДІСІ БОЙЫНША ЭКСПРЕСС ДЕНЕСІН ШЕШУ. АЛДЫҢҚЫ ДЕҢГЕЙ

Сонымен қатар, тағы бір әдісті қарастырайық - көрсеткіштік теңдеулерді логарифм әдісімен шешу.

Көрсеткіштік теңдеулерді осы әдіспен шешу өте танымал деп айта алмаймын, бірақ кейбір жағдайларда ол тек бізді өз теңдеуімізді дұрыс шешуге жетелейді.

Ол әсіресе «деп аталатын мәселелерді шешу үшін қолданылады аралас теңдеулер«: Яғни, әртүрлі типтегі функциялар тоғысатын жерлер.

№ 29 мысал

жалпы жағдайда оны тек екі жақтың да логарифмін алу арқылы шешуге болады (мысалы, негіз бойынша), онда бастапқы теңдеу келесіге айналады:

Келесі мысалды қарастырайық:

Логарифмдік функцияның ODZ бойынша бізді тек қызықтыратыны анық.

Алайда, бұл логарифмнің ODZ-інен ғана емес, басқа себептерден туындайды.

Сізге қайсысын болжау қиын болмайды деп ойлаймын.

Теңдеудің екі жағын да негізге келтірейік:

Көріп отырғаныңыздай, бастапқы теңдеудің логарифмін тез қабылдау бізді дұрыс (және әдемі!) Жауапқа жеткізді.

Тағы бір мысалмен тәжірибе жасайық.

№ 30 мысал

Мұнда да ешнәрсе жоқ: біз теңдеудің екі жағын да негіз арқылы логарифмдейміз, содан кейін мынаны аламыз:

Орнын ауыстырайық:

Алайда, бізге бірдеңе жетіспейді! Менің қай жерде қателескенімді байқадыңыз ба? Ақыр соңында, содан кейін:

бұл талапты қанағаттандырмайды (оның қайдан шыққанын ойлаңыз!)

Жауап:

Көрсеткіштік теңдеулердің шешімін өзіңіздің астыңызға жазып көріңіз:

Енді бұған қарсы шешіміңізді тексеріңіз:

Мысал № 31

Екі жағын да негізге қарай логарифмдеу:

(екінші түбір ауыстырудың арқасында бізге сәйкес келмейді)

Мысал №32

Логарифм базасы:

Алынған өрнекті келесі түрге айналдырамыз:

ТҮСІНДІРУ ҚЫСҚА СИПАТТАМА ЖӘНЕ НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Көрсеткіштік теңдеу

Пішін теңдеуі:

деп аталады ең қарапайым экспоненциалдық теңдеу.

Қуат қасиеттері

Шешім тәсілдері

• Сол негізге дейін төмендету
• Бір дәрежеге ауыстыру
• Ауыспалы ауыстыру
• Жоғарыда айтылғандардың бірін білдіруді және қолдануды жеңілдету.

Бұл сабақ экспоненциалдық теңдеулерді енді үйрене бастағандарға арналған. Әдеттегідей, анықтамадан және қарапайым мысалдардан бастайық.

Егер сіз осы сабақты оқып жатсаңыз, онда сізде ең қарапайым теңдеулер - сызықтық және квадрат туралы ең болмағанда минималды түсінік бар деп күдіктенемін: $ 56x-11 \u003d $ 0; $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $ және т.б. Енді талқыланатын тақырыпта «тұрып қалмау» үшін осындай құрылыстарды шеше білу өте қажет.

Сонымен, көрсеткіштік теңдеулер. Бірден екі мысал келтірейін:

\\ [((2) ^ (x)) \u003d 4; \\ quad ((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25); \\ quad ((9) ^ (x)) \u003d \u003d - 3 \\]

Олардың кейбіреулері сізге күрделі болып көрінуі мүмкін, ал кейбіреулері - керісінше, өте қарапайым. Бірақ олардың барлығын бір маңызды ерекшелік біріктіреді: олардың белгіленімдері $ f \\ left (x \\ right) \u003d ((a) ^ (x)) $ экспоненциалды функциясын қамтиды. Осылайша, біз анықтаманы енгіземіз:

Көрсеткіштік теңдеу деп экспоненциалды функцияны қамтитын кез келген теңдеуді айтады, яғни. $ ((a) ^ (x)) $ сияқты өрнек. Көрсетілген функциядан басқа, мұндай теңдеулерде кез-келген басқа алгебралық құрылымдар болуы мүмкін - көпмүшелер, түбірлер, тригонометрия, логарифмдер және т.б.

Ал жақсы. Біз оның анықтамасын анықтадық. Енді сұрақ: осының бәрін қалай шешуге болады? Жауап қарапайым әрі күрделі.

Жақсы жаңалықтардан бастайық: көптеген оқушылармен өткізген сабақтарымнан, мен олардың көпшілігінде экспоненциалдық теңдеулерді жасау сол логарифмдерге қарағанда әлдеқайда жеңіл, ал одан да тригонометрия деп айта аламын.

Бірақ жағымсыз жаңалықтар да бар: кейде әр түрлі оқулықтар мен емтихандарға арналған есептердің авторлары «шабыттанып» кетеді, ал олардың миы есірткіге шалдығады, соншалықты қатал теңдеулер шығара бастайды, оларды шешу студенттер үшін ғана емес проблемалы болып қалады - тіпті көптеген мұғалімдер осындай мәселелерге кептеліп қалады.

Алайда, қайғылы жайттар туралы айтпай-ақ қояйық. Әңгіменің басында келтірілген үш теңеуге оралсақ. Олардың әрқайсысын шешуге тырысайық.

Бірінші теңдеу: $ ((2) ^ (x)) \u003d 4 $. Ал, 4 санын алу үшін 2 санын қандай дәрежеге көтеру керек? Екінші шығар? Ақыр соңында, $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot 2 \u003d 4 $ - және біз дұрыс сандық теңдікті алдық, яғни. шынымен $ x \u003d 2 $. Рақмет, қақпа, бірақ бұл теңдеу соншалықты қарапайым болды, оны менің мысығым да шеше алды. :)

Келесі теңдеуді қарастырайық:

\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\]

Міне, ол қазірдің өзінде сәл күрделі. Көптеген студенттер $ ((5) ^ (2)) \u003d 25 $ көбейту кестесі екенін біледі. Кейбіреулер $ ((5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (5) $ мәні теріс дәрежелердің анықтамасы ($ ((a) ^ (- n)) формуласына ұқсас \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) $).

Ақырында, тек бірнеше таңдаулы адамдар бұл фактілерді біріктіруге болатындығын және нәтиже бойынша келесі нәтижеге қол жеткізуге болатындығын түсінеді:

\\ [\\ frac (1) (25) \u003d \\ frac (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

Осылайша, біздің теңдеуіміз келесідей қайта жазылады:

\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\ Rightarrow ((5) ^ (2x-3)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

Бірақ бұл қазірдің өзінде шешіледі! Теңдеуде сол жақта экспоненциалды функция, оң жақта теңдеуде көрсеткіштік функция бар, олардан басқа ешнәрсе жоқ. Сондықтан, сіз негіздерді «тастай» аласыз және индикаторларды ақымақтықпен теңестіре аласыз:

Біз кез-келген оқушы бірнеше жолда шеше алатын ең қарапайым сызықтық теңдеуді алдық. Жарайды, төрт жолда:

\\ [\\ begin (align) & 2x-3 \u003d -2 \\\\ & 2x \u003d 3-2 \\\\ & 2x \u003d 1 \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]

Егер сіз соңғы төрт жолда не болып жатқанын түсінбесеңіз, «сызықтық теңдеулер» тақырыбына оралып, оны қайталаңыз. Бұл тақырыпты нақты түсінбестен, сіз үшін экспоненциалдық теңдеулермен күресуге әлі ерте.

\\ [((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Мұны қалай шешуге болады? Бірінші ой: $ 9 \u003d 3 \\ cdot 3 \u003d ((3) ^ (2)) $, сондықтан бастапқы теңдеуді келесідей жазуға болады:

\\ [((\\ сол (((3) ^ (2)) \\ оң)) ^ (х)) \u003d - 3 \\]

Содан кейін қуатты қуатқа көтеру кезінде индикаторлар көбейтілетіні есімізде:

\\ [((\\ сол жақ (((3) ^ (2)) \\ оң)) ^ (х)) \u003d ((3) ^ (2х)) \\ оң жақ сызық ((3) ^ (2x)) \u003d - (( 3) ^ (1)) \\]

\\ [\\ begin (align) & 2x \u003d -1 \\\\ & x \u003d - \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]

Осындай шешім үшін біз адал еңбек сіңіреміз. Біз Покемонның теңдігімен үшеудің алдындағы минус белгіні дәл осы үштікке жібердік. Сіз мұны жасай алмайсыз. Міне, сондықтан. Үштіктің әртүрлі қуатына көз салыңыз:

\\ [\\ begin (матрица) ((3) ^ (1)) \u003d 3 & ((3) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (3) & ((3) ^ (\\ frac (1)) 2))) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (2)) \u003d 9 & ((3) ^ (- 2)) \u003d \\ frac (1) (9) & ((3) ^ (\\ 3) ^ (- \\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (3)) \\\\\\ end (matrix) \\]

Осы планшетті құрастырған кезде мен бұрмаланған бойда болдым: оң дәрежелерді, ал теріс, тіпті бөлшек деп санадым ... жақсы, мұнда кем дегенде бір теріс сан қайда? Ол жоқ! Бұл болуы мүмкін емес, өйткені $ y \u003d ((a) ^ (x)) $ экспоненциалды функциясы, біріншіден, әрқашан тек оң мәндерді қабылдайды (қаншаға көбейтсе де, екіге бөлсе де, ол оң сан болады), екіншіден, мұндай функцияның негізі - $ a $ саны - анықтамасы бойынша оң сан!

Енді $ ((9) ^ (x)) \u003d - 3 $ теңдеуін қалай шешуге болады? Бірақ ешқандай жолмен: тамырлар жоқ. Бұл тұрғыдан алғанда, экспоненциалдық теңдеулер квадраттыққа өте ұқсас - бұл жерде түбірлер болмауы да мүмкін. Бірақ егер болса квадрат теңдеулер түбірлердің саны дискриминантпен анықталады (дискриминант оң - 2 түбір, теріс - түбірлер жоқ), онда экспоненциалдыларда бәрі тең белгінің оң жағында тұрғанға байланысты.

Осылайша, біз негізгі тұжырымды тұжырымдаймыз: $ ((a) ^ (x)) \u003d b $ түріндегі ең қарапайым экспоненциалдық теңдеудің мәні, егер $ b \\ gt 0 $ болса ғана болады. Осы қарапайым фактіні біле отырып, сізге ұсынылған теңдеудің түбірлерінің бар-жоғын оңай анықтауға болады. Анау. оны шешудің қажеті бар ма, әлде тамырдың жоқтығын жаз.

Бұл білім бізге бірнеше рет күрделі мәселелерді шешуге көмектесетін болады. Әзірге лирика жеткілікті - экспоненциалдық теңдеулерді шешудің негізгі алгоритмін зерттеу уақыты келді.

Көрсеткіштік теңдеулерді қалай шешуге болады

Сонымен, мәселені тұжырымдайық. Көрсеткіштік теңдеуді шешу керек:

\\ [((a) ^ (x)) \u003d b, \\ quad a, b \\ gt 0 \\]

Біз бұрын әрекет еткен «аңғалдық» алгоритмі бойынша $ b $ санын $ a $ санының дәрежесі ретінде көрсету керек:

Сонымен қатар, егер $ x $ айнымалысының орнына кез-келген өрнек болса, біз шешуге болатын жаңа теңдеу аламыз. Мысалға:

\\ [\\ begin (align) & ((2) ^ (x)) \u003d 8 \\ Rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) \\ Rightarrow x \u003d 3; \\\\ & ((3) ^ (- x)) \u003d 81 \\ Оң жақ тар ((3) ^ (- x)) \u003d ((3) ^ (4)) \\ Оң жақ тар -x \u003d 4 \\ Оң жақ аралық x \u003d -4; \\\\ & ((5) ^ (2x)) \u003d 125 \\ Rightarrow ((5) ^ (2x)) \u003d ((5) ^ (3)) \\ Rightarrow 2x \u003d 3 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (3) { 2). \\\\\\ соңы (туралау) \\]

Бір қызығы, бұл схема шамамен 90% жұмыс істейді. Ал қалған 10% ше? Қалған 10% шамалы «шизофрениялық» экспоненциалдық теңдеулер:

\\ [((2) ^ (x)) \u003d 3; \\ quad ((5) ^ (x)) \u003d 15; \\ quad ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\]

3-ті алу үшін 2-ні қандай дәрежеге көтеру керек? Бірінші? Бірақ жоқ: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - жеткіліксіз. Екінші? $ ((2) ^ (2)) \u003d 4 $ - тым көп. Сонда не?

Білімді студенттер қазірдің өзінде болжаған шығар: мұндай жағдайларда «әдемі» шешуге мүмкіндік болмаған кезде, мәселе «ауыр артиллерия» - логарифмдермен байланысты болады. Логарифмдерді қолдану арқылы кез-келген оң санды кез-келген басқа оң санның дәрежесі ретінде көрсетуге болатындығын еске салайын (бірінен басқа):

Мына формула есіңізде ме? Мен оқушыларыма логарифмдер туралы айтқан кезде мен әрдайым ескертемін: бұл формула (бұл сонымен қатар негізгі логарифмдік сәйкестілік немесе егер сізге ұнайтын болса, логарифмнің анықтамасы) сізді ұзақ уақыт мазалайды және күтпеген жерлерде «пайда болады». Ол бетіне шықты. Біздің теңдеуімізді және мына формуланы қарастырайық:

\\ [\\ begin (align) & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\\\ & a \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\\\\\ end (align) \\]

Егер $ a \u003d 3 $ біздің оң жақтағы түпнұсқа санымыз, ал $ b \u003d 2 $ - бұл негіз экспоненциалды функция, біз оң жағын қысқартқымыз келсе, келесілерді аламыз:

\\ [\\ begin (align) & a \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\ Rightarrow 3 \u003d ((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3 )); \\\\ & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\ Оң жақ сызық ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3)) \\ Rightarrow x \u003d ( (\\ log) _ (2)) 3. \\\\\\ соңы (туралау) \\]

Біз аздап таңқаларлық жауап алдық: $ x \u003d ((\\ log) _ (2)) 3 $. Басқа тапсырмада көбісі осындай жауапқа күмәнданып, шешімін қайта тексере бастайды: егер бір жерде қате болса ше? Мен сізді қуантуға асығамын: бұл жерде қате жоқ, ал экспоненциалдық теңдеулердің тамырларындағы логарифмдер - бұл әдеттегі жағдай. Сондықтан үйреніңіз. :)

Енді қалған екі теңдеуді аналогия бойынша шешейік:

\\ [\\ begin (align) & ((5) ^ (x)) \u003d 15 \\ Rightarrow ((5) ^ (x)) \u003d ((5) ^ (((\\ log) _ (5)) 15)) \\ Rightarrow x \u003d ((\\ log) _ (5)) 15; \\\\ & ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\ Rightarrow ((4) ^ (2x)) \u003d ((4) ^ (((\\ log) _ (4)) 11)) \\ Rightarrow 2x \u003d ( (\\ log) _ (4)) 11 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (1) (2) ((\\ log) _ (4)) 11. \\\\\\ соңы (туралау) \\]

Осымен болды! Айтпақшы, соңғы жауапты басқаша жазуға болады:

Біз факторды логарифм аргументіне енгіздік. Бұл факторды базаға енгізу үшін бізді ешкім мазаламайды:

Сонымен қатар, барлық үш нұсқа да дұрыс - олар бірдей санды жазудың әртүрлі формалары. Осы шешімде қайсысын таңдап, жазып алу өз еркіңізде.

Сонымен, $ a (a) ^ (x)) \u003d b $ түріндегі кез-келген экспоненциалдық теңдеулерді шешуді үйрендік, мұндағы $ a $ және $ b $ сандары қатаң оң болады. Алайда, біздің әлемнің қатал шындығы сондай қарапайым тапсырмалар сізге өте сирек кездеседі. Көбінесе сіз осындай нәрсені кездестіресіз:

\\ [\\ begin (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11; \\\\ & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09. \\\\\\ соңы (туралау) \\]

Мұны қалай шешуге болады? Мұны мүлдем шешуге бола ма? Ал егер болса, қалай?

Дүрбелеме. Барлық осы теңдеулер біз қарастырған қарапайым формулаларға тез және оңай түсіріледі. Сізге тек алгебра курсынан бірнеше трюктарды білу және есте сақтау қажет. Әрине, ғылыми дәрежелермен жұмыс істеу ережелері жоқ. Мұның бәрі туралы қазір айтайын. :)

Көрсеткіштік теңдеулерді түрлендіру

Есте сақтау керек бірінші нәрсе: кез-келген экспоненциалдық теңдеуді, ол қаншалықты күрделі болғанына қарамастан, қандай-да бір жолмен ең қарапайым теңдеулерге келтіру керек - біз бұрын қарастырған және оны шешуді білеміз. Басқаша айтқанда, кез-келген көрсеткіштік теңдеуді шешудің схемасы келесідей:

1. Бастапқы теңдеуді жазыңыз. Мысалы: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Қандай да бір түсініксіз қоқыстар жасаңыз. Немесе «түрлендіру теңдеуі» деп аталатын бірнеше ақымақтық;
3. Шығару кезінде $ ((4) ^ (x)) \u003d 4 $ сияқты ең қарапайым өрнектерді немесе осыған ұқсас нәрсені алыңыз. Сонымен, бір теңдеу бірден бірнеше осындай өрнектер бере алады.

Бірінші нүктеден бастап бәрі түсінікті - менің мысығым да теңдеуді қағаз бетіне жаза алады. Үшінші тармақтың көмегімен де аз-кем түсінікті сияқты - біз жоғарыда осындай теңдеулердің тұтас тобын шештік.

Екінші нүкте туралы не деуге болады? Трансформацияның қандай түрі? Нені не нәрсеге айналдыру керек? Және қалай?

Ал, енді анықтайық. Алдымен мен мынаны атап өткім келеді. Барлық көрсеткіштік теңдеулер екі түрге бөлінеді:

1. Теңдеу негізі бірдей экспоненциалды функциялардан тұрады. Мысал: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Формула негіздері әртүрлі экспоненциалды функцияларды қамтиды. Мысалдар: $ ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ and $ ((100) ^ (x-1) ) $ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09 $.

Бірінші типтегі теңдеулерден бастайық - оларды шешу оңай. Оларды шешуде бізге тұрақты өрнектерді бөлектеу сияқты әдіс көмектеседі.

Тұрақты өрнекті бөлектеу

Енді осы теңдеуге тағы бір тоқталайық:

\\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 \\]

Біз не көріп отырмыз? Төртеуі әртүрлі дәрежеде көтеріліп жатыр. Бірақ бұл қуаттың барлығы $ x $ айнымалысының басқа сандармен қарапайым қосындылары. Сондықтан, дәрежелермен жұмыс істеу ережелерін есте сақтау қажет:

\\ [\\ begin (align) & ((a) ^ (x + y)) \u003d ((a) ^ (x)) \\ cdot ((a) ^ (y)); \\\\ & ((a) ^ (xy)) \u003d ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) \u003d \\ frac (((a) ^ (x)))) (((a ^ (y))). \\\\\\ соңы (туралау) \\]

Қарапайым тілмен айтсақ, дәреже көрсеткіштерін қосуды дәрежелер көбейтіндісіне, ал азайтуды бөлуге оңай айналдыруға болады. Осы формулаларды теңдеудегі дәрежелерге қолдануға тырысайық:

\\ [\\ begin (align) & ((4) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) \u003d ((4) ^) (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4); \\\\ & ((4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4. \\ Осы фактіні ескере отырып, бастапқы теңдеуді қайта жазайық, содан кейін сол жақтағы барлық терминдерді жинайық:

\\ [\\ begin (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 - он бір; \\\\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 + 11 \u003d 0. \\\\\\ соңы (туралау) \\]

Алғашқы төрт шарт $ ((4) ^ (x)) $ элементін қамтиды - оны жақша сыртына шығарайық:

\\ [\\ begin (align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (1+ \\ frac (1) (4) -4 \\ right) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (- \\ frac (11) (4) \\ right) \u003d - 11. \\\\\\ соңы (туралау) \\]

{!LANG-34d2229edd09fb5bdb4babd7c818ddf2!}

Теңдеудің екі жағын да $ - \\ frac (11) (4) $ бөлшегіне бөлу керек, яғни. $ - \\ frac (4) (11) $ $ - $ $ - \\ frac (4) $ бөлетін мәнге көбейтіңіз. Біз алып жатырмыз:

\\ [\\ begin (align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ сол (- \\ frac (11) (4) \\ right) \\ cdot \\ сол (- \\ frac (4) (11) \\ оң ) \u003d - 11 \\ cdot \\ сол жақ (- \\ frac (4) (11) \\ оң); \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d 4; \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d ((4) ^ (1)); \\\\ & x \u003d 1. \\\\\\ соңы (туралау) \\]

Осымен болды! Біз бастапқы теңдеуді ең қарапайымға дейін қысқарттық және соңғы жауапты алдық.

Сонымен қатар, шешу барысында $ ((4) ^ (x)) $ ортақ факторын таптық (және оны жақшадан шығардық) - бұл тұрақты өрнек. Оны жаңа айнымалы ретінде тағайындауға болады немесе оны дәл көрсетуге және жауап беруге болады. Кез-келген жағдайда шешудің негізгі принципі келесідей:

Бастапқы теңдеуден барлық экспоненциалды функциялардан оңай ажыратылатын айнымалысы бар тұрақты өрнекті табыңыз.

Жақсы жаңалық - іс жүзінде кез-келген экспоненциалдық теңдеу осындай тұрақты өрнек жасауға мүмкіндік береді.

Бірақ жағымсыз жаңалық - бұл сияқты сөйлемдер күрделі болуы мүмкін және оларды таңдау қиын болады. Сондықтан тағы бір тапсырманы талдап көрейік:

\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0,2) ^ (- x-1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2 \\]

Мүмкін енді біреуде сұрақ туындайтын шығар: «Паша, сен таспен ұрылдың ба? Мұнда әртүрлі негіздер бар - 5 және 0,2 ». Бірақ дәрежені 0,2 базисінен түрлендіріп көрейік. Мысалы, әдеттегі бөлшекке келтіріп, ондық бөлшектен арыламыз:

\\ [((0,2) ^ (- x-1)) \u003d ((0,2) ^ (- \\ сол (x + 1 \\ оң))) \u003d \u003d ((\\ сол (\\ frac (2) (10) ) \\ оң)) ^ (- \\ сол жақ (x + 1 \\ оң))) \u003d ((\\ сол (\\ frac (1) (5) \\ оң)) ^ (- \\ сол (х + 1 \\ оң))) )]

Көріп отырғаныңыздай, 5 саны бөлгіште болса да әлі де пайда болды. Сонымен бірге индикатор теріс деп қайта жазылды. Енді дәрежелермен жұмыс істеудің маңызды ережелерінің бірін еске түсірейік:

\\ [((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \\ Rightarrow ((\\ сол (\\ frac (1) (5) \\ оң)) ^ ^ - \\ солға (x + 1 \\ оңға))) \u003d ((\\ солға (\\ frac (5) (1) \\ оңға)) ^ (х + 1)) \u003d ((5) ^ (х + 1)) \\ Мұнда мен, әрине, аздап алдандым. Толық түсіну үшін жағымсыз көрсеткіштерден арылудың формуласын келесідей жазу керек еді:

\\ [((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \u003d ((\\ left (\\ frac (1) (a) \\ right)) ^ (n) )) \\ Rightarrow ((\\ сол жақ (\\ frac (1) (5) \\ оң)) ^ (- \\ сол (x + 1 \\ оң))) \u003d \u003d ((\\ сол (\\ frac (5) (1) \\ Екінші жағынан, бізге тек бір ғана фракциямен жұмыс істеуге ештеңе кедергі болмады:

\\ [((\\ сол (\\ frac (1) (5) \\ оң)) ^ (- \\ сол (x + 1 \\ оң))) \u003d \u003d ((\\ сол (((5) ^ (- 1)) \\ )) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]

{!LANG-864d2acd6e2c44f0816ab1138baac0d4!}

{!LANG-6579fb0af584a9a5f5d4d697e15834a6!}

Бірақ бұл жағдайда сіз дәрежені басқа дәрежеге көтере білуіңіз керек (есте сақтаңыз: бұл жағдайда көрсеткіштер қосылады). Бірақ фракцияларды «аударудың» қажеті жоқ еді, мүмкін кейбіреулер үшін бұл оңайырақ болар. :)

Кез келген жағдайда, бастапқы экспоненциалдық теңдеу келесі түрде жазылады:

\\ [\\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & 2 \\ cdot ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) \u003d 1. \\\\\\ соңы (туралау) \\]

Демек, бастапқы теңдеуді шешу бұрын қарастырылғанға қарағанда оңайырақ болады екен: мұнда сізге тұрақты өрнекті бөліп көрсетудің қажеті жоқ - бәрі өздігінен төмендеді. $ 1 \u003d ((5) ^ (0)) $, біз қайдан аламыз:

\\ [\\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0)); \\\\ & x + 2 \u003d 0; \\\\ & x \u003d -2. \\\\\\ соңы (туралау) \\]

Бұл барлық шешім! Біз соңғы жауабын алдық: $ x \u003d -2 $. Сонымен бірге, біз үшін барлық есептеулерді едәуір жеңілдеткен бір техниканы атап өткім келеді:

Көрсеткіштік теңдеулерде міндетті түрде ондық бөлшектерден арылыңыз, оларды жай бөлшектерге ауыстырыңыз. Бұл сізге градустың бірдей негіздерін көруге мүмкіндік береді және шешімді едәуір жеңілдетеді.

Енді көп нәрсеге көшейік күрделі теңдеулер, онда әр түрлі негіздер бар, олар бір-біріне градустың көмегімен төмендетілмейді.

Градус қасиетін пайдалану

Бізде тағы екі ерекше теңдеу бар екенін еске салайын:

\\ [\\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09. \\\\\\ соңы (туралау) \\]

Мұндағы басты қиындық - нені және қандай себеппен басқаратыны белгісіз. Орнатылған өрнектер қайда? Сол негіздер қайда? Мұның ешқайсысы жоқ.

Бірақ басқа жолмен жүруге тырысайық. Егер дайын бірдей негіздер болмаса, оларды бар негіздерді факторинг арқылы табуға тырысуға болады.

Бірінші теңдеуден бастайық:

\\ [\\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & 21 \u003d 7 \\ cdot 3 \\ Rightarrow ((21) ^ (3x)) \u003d ((\\ сол (7 \\ cdot 3 \\ оң)) ^ (3x)) \u003d ((7) ^ (3x)) \\ \\\\\\ соңы (туралау) \\]

Бірақ сіз керісінше жасай аласыз - 7 және 3 сандарынан 21 санын жасаңыз, мұны әсіресе сол жақта жасау оңай, өйткені екі дәреженің көрсеткіштері бірдей:

\\ [\\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((\\ сол (7 \\ cdot 3 \\ right)) ^ ^ (x +) 6)) \u003d ((21) ^ (x + 6)); \\\\ & ((21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & x + 6 \u003d 3x; \\\\ & 2x \u003d 6; \\\\ & x \u003d 3. \\\\\\ соңы (туралау) \\]

Осымен болды! Сіз өнімнің сыртына экспонентті алып, бірден екі жолда шешілетін әдемі теңдеу алдыңыз.

Енді екінші теңдеуге тоқталайық. Мұнда бәрі әлдеқайда күрделі:

\\ [((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09 \\]

\\ [((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((\\ сол (\\ frac (27) (10) \\ оң)) ^ (1-x)) \u003d \\ frac (9) (100) \\]

Бұл жағдайда фракциялар төмендетілмейтін болып шықты, бірақ егер бірдеңе азайтуға болатын болса, оны міндетті түрде азайтыңыз. Көбінесе бұл жұмыс істейтін қызықты негіздерді жасайды.

Өкінішке орай, біздің елде шынымен ештеңе пайда болған жоқ. Бірақ өнімнің сол жағындағы көрсеткіштер қарама-қарсы екенін көреміз:

Естеріңізге сала кетейін: индикатордағы минус белгісінен құтылу үшін тек бөлшекті «аудару» керек. Ал, бастапқы теңдеуді қайта жазайық:

\\ [\\ begin (align) & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((\\ сол (\\ frac (10) (27) \\ right)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9) )(жүз); \\\\ & ((\\ сол жақ (100 \\ cdot \\ frac (10) (27) \\ оң)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9) (100); \\\\ & ((\\ сол жақта (\\ frac (1000) (27) \\ оң)) ^ (х-1)) \u003d \\ frac (9) (100). \\\\\\ соңы (туралау) \\]

Екінші жолда біз жалпы көрсеткішті көбейтіндіден жақша сыртына $ ((a) ^ (x)) \\ cdot ((b) ^ (x)) \u003d \u003d ((\\ left (a \\ cdot b \\ right)) ^ ережесі бойынша жылжыттық. (x)) $, ал соңғысында олар 100 санын жай бөлшекке көбейтті.

Енді сол жақта (төменгі жағында) және оң жағында сандар бір-біріне ұқсас екенін ескеріңіз. Қарағанда? Бірақ бұл анық: олар бірдей санның күші! Бізде бар:

\\ [\\ begin (align) & \\ frac (1000) (27) \u003d \\ frac (((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) \u003d ((\\ left (\\ frac ( 10) (3) \\ оң)) ^ (3)); \\\\ & \\ frac (9) (100) \u003d \\ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) \u003d ((\\ left (\\ frac (3) (10)) \\ оң)) ^ (2)). \\\\\\ соңы (туралау) \\]

Осылайша, біздің теңдеуіміз келесідей қайта жазылады:

\\ [((\\ сол (((\\ сол (\\ frac (10) (3) \\ оң)) ^ (3)) \\ оң)) ^ (х-1)) \u003d ((\\ сол (\\ frac (3 ) (10) \\ оң)) ^ (2)) \\]

\\ [((\\ сол жақ (((\\ сол (\\ frac (10) (3) \\ оң)) ^ (3)) \\ оң)) ^ (х-1)) \u003d ((\\ сол (\\ frac (10 ) (3) \\ оң)) ^ (3 \\ сол (x-1 \\ оң))) \u003d ((\\ сол (\\ frac (10) (3) \\ оң)) ^ (3x-3)) \\]

Бұл жағдайда сіз оң жақта бірдей негізге ие бола аласыз, ол үшін жай бөлшекті «аудару» жеткілікті:

\\ [((\\ сол (\\ frac (3) (10) \\ оң)) ^ (2)) \u003d ((\\ сол (\\ frac (10) (3) \\ оң)) ^ (- 2)) \\]

Соңында, біздің теңдеуіміз келесідей болады:

\\ [\\ begin (туралау) & ((\\ сол (\\ frac (10) (3) \\ оң)) ^ (3x-3)) \u003d ((\\ сол (\\ frac (10) (3) \\ оң)) ^ (- 2)); \\\\ & 3x-3 \u003d -2; \\\\ & 3x \u003d 1; \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (3). \\\\\\ соңы (туралау) \\]

Бұл барлық шешім. Оның негізгі идеясы әр түрлі негіздер болғанымен, біз осы негіздерді бірдей етіп азайтуға тырысамыз немесе бұралқы жолмен тырысамыз. Бұл жағдайда бізге теңдеулерді қарапайым түрлендірулер және градуспен жұмыс істеу ережелері көмектеседі.

Бірақ қандай ережелер және қашан қолдану керек? Бір теңдеуде екі жағын да бір нәрсеге бөлу керек, ал екіншісінде экспоненциалды функцияның негізін көбейту керек екенін қалай түсінуге болады?

Бұл сұрақтың жауабы тәжірибемен келеді. Алдымен қолыңызды сынап көріңіз қарапайым теңдеулер, содан кейін тапсырмаларды біртіндеп қиындатыңыз - және жақын арада сіздің дағдыларыңыз сол емтиханнан кез-келген экспоненциалдық теңдеуді шешуге немесе кез-келген тәуелсіз / тест жұмысына жеткілікті болады.

Сізге осы қиын тапсырманы шешуге көмектесу үшін өзімнің веб-сайтыма тәуелсіз шешім үшін теңдеулер жиынтығын жүктеуді ұсынамын. Барлық теңдеулердің жауаптары бар, сондықтан сіз әрқашан өзіңізді тексере аласыз.

Жалпы, жаттығуларыңыз сәтті өтуіне тілектеспін. Келесі сабақта кездескенше - біз жоғарыда сипатталған әдістер енді жеткіліксіз болатын күрделі экспоненциалдық теңдеулерді талдаймыз. Қарапайым жаттығу да жеткіліксіз. :)

Алға алға

Назар аударыңыз! Слайдты алдын-ала қарау тек ақпараттық мақсатта қолданылады және презентацияның барлық нұсқаларын ұсынбауы мүмкін. Егер сізді осы жұмыс қызықтырса, толық нұсқасын жүктеп алыңыз.

Сабақтың түрі

: «тақырыбы бойынша білім, білік және дағдыларды жалпылау және кешенді қолдану сабағы Көрсеткіштік теңдеулер және оларды шешу жолдары »тақырыбында өтті.

Сабақтың мақсаттары.

Тәрбиелік:

«Көрсеткіштік теңдеулер, олардың шешімдері» тақырыбының негізгі материалын қайталау және жүйелеу; әр түрлі типтегі экспоненциалдық теңдеулерді шешу кезінде сәйкес алгоритмдерді қолдану қабілеттерін бекіту; емтиханға дайындық.

Даму:

оқушылардың логикалық және ассоциативті ойлау қабілетін дамыту; білімді өз бетімен қолдану дағдыларын дамытуға ықпал ету.

Тәрбиелік:

теңдеулерді шешуде мақсаттылыққа, зейінділікке және дәлдікке тәрбиелеу.

Жабдық:

компьютерлік және мультимедиялық проектор.

Сабақ қолданады ақпараттық технологиялар : сабақты әдістемелік қолдау microsoft Power Point бағдарламасындағы презентация.

Сабақ барысында

Кез-келген шеберлік еңбекпен беріледі

I. Сабақтың мақсатын қою(Слайд нөмірі 2 )

Бұл сабақта біз «Көрсеткіштік теңдеулер, оларды шешу жолдары» тақырыбын қорытып, жалпылаймыз. Осы тақырып бойынша әр жылдардағы USE-дің әдеттегі тапсырмаларымен танысайық.

Көрсеткіштік теңдеулерді шешуге арналған тапсырмаларды емтихан тапсырмаларының кез-келген бөлімінен табуға болады. «Бөлімінде IN « әдетте олар ең қарапайым экспоненциалдық теңдеулерді шешуді ұсынады. «Бөлімінде « шешімі көбінесе тапсырма кезеңдерінің бірі болатын күрделі экспоненциалдық теңдеулерді таба аласыз.

Мысалға ( Слайд нөмірі 3 ).

• Бірыңғай мемлекеттік емтихан - 2007 ж

4-сұрақ - өрнектің ең үлкен мәнін табыңыз x yқайда ( х; кезінде) - жүйелік шешім:

• Бірыңғай мемлекеттік емтихан - 2008 ж

B 1 - теңдеулерді шешу:

және) х 6 3х – 36 6 3х = 0;

б) 4 х +1 + 8 4 х= 3.

• Бірыңғай мемлекеттік емтихан - 2009 ж

4-сұрақ - өрнектің мағынасын табыңыз x + yқайда ( х; кезінде) - жүйелік шешім:

• Бірыңғай мемлекеттік емтихан - 2010 ж

– Теңдеуді шешіңіз: 7 х– 2 = 49. - теңдеудің түбірлерін табыңыз: 4 х2 + 3х – 2 - 0,5 2x2 + 2х – 1 = 0. - теңдеулер жүйесін шешіңіз:

II. Негізгі білімді жаңарту. Қайталау

(Слайдтар саны 4 - 6 сабаққа арналған презентациялар)

Экран көрсетіледі теориялық материалдың қысқаша мазмұны осы тақырып бойынша.

Келесі мәселелер талқыланады:

1. Қандай теңдеулер деп аталады индикативті?
2. Оларды шешудің негізгі жолдарын атаңыз. Олардың түрлеріне мысалдар келтіріңіз ( Слайд нөмірі 4 )

(Әр әдіс бойынша ұсынылған теңдеулерді өз бетінше шешіп, слайд көмегімен өзін-өзі тексеруді орындаңыз)

3. Форманың қарапайым экспоненциалдық теңдеулерін шешу үшін қандай теорема қолданылады: және f (x) \u003d a g (x)?
4. Көрсеткіштік теңдеулерді шешудің тағы қандай әдістері бар? ( Слайд нөмірі 5 )

• Факторинг әдісі
(градус қасиеттеріне негізделген дәл сол негіздер, қабылдау: жақшадан ең кіші дәрежелі дәреже алынады).
• Біртекті экспоненциалдық теңдеулерді шешу кезінде нөлден басқа экспоненциалды өрнекпен бөлуді (көбейтуді) қабылдау
.

• Кеңес:

экспоненциалдық теңдеулерді шешкенде, алдымен теңдеудің екі жағында бірдей негіздері бар дәрежелер алып, түрлендірулер жүргізген тиімді.

1. Соңғы екі әдіспен теңдеулерді түсініктемелерден кейін шешу

(Слайд нөмірі 6 ).

. 4 х+ 1 – 2 4 х– 2 = 124, 4 х– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 х– 2 62 = 124,

4 х– 2 = 2, 4 х– 2 = 4 0,5 , х– 2 = 0,5, x \u003d 2,5 .

2 2 2х - 3 2 х 5 х - 5 5 2х \u003d 0¦: 5 2 х0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) х - 5 = 0,

t \u003d (2/5) x, т > 0, 2т 2 - 3 т - 5 = 0, т= -1(?...), t \u003d 5/2; 5/2 \u003d (2/5) x, х= ?...

III. Емтихан тапсырмаларын шешу 2010 ж

Студенттер сабақ басында ұсынылған тапсырмаларды №3 слайдта шешімнің нұсқауларын пайдалана отырып өз бетінше шешеді, олардың шешім барысын тексереді және презентация көмегімен оларға жауап береді ( Слайд нөмірі 7 ). Жұмыс барысында варианттар мен шешу жолдары талқыланады, шешімдегі мүмкін қателіктерге назар аударылады.

: а) 7 х- 2 \u003d 49, b) (1/6) 12 - 7 х = 36. Жауап: және) х\u003d 4, b) х = 2. : 4 х2 + 3х – 2 - 0,5 2x2 + 2х - 1 \u003d 0. (0,5 \u003d 4 - 0,5 ауыстыруға болады)

Шешім. ,

х 2 + 3х – 2 = -х 2 - 4х + 0,5 …

Жауап: х= -5/2, х = 1/2.

: 5 5 тг ж + 4 \u003d 5 -тг ж , cos ж< 0.

Ерітіндіге нұсқау

... 5 5 тг ж + 4 \u003d 5 -тг ж T 5 тг ж 0,

5 5 2г ж + 4 5 тг у - 1 \u003d 0. Келіңіздер х\u003d 5 тг ж , …

5 тг ж = -1 (?...), 5 тг у \u003d1/5.

Tg бастап ж\u003d -1 және cos ж< 0, содан кейін кезінде II координаталық тоқсан

Жауап: кезінде= 3/4 + 2к, к N.

IV. Тақтада бірге жұмыс жасаңыз

Дайындықтың жоғары деңгейінің міндеті - Слайд нөмірі 8 ... Осы слайдтың көмегімен мұғалім мен оқушылар арасында диалог болып, шешімнің дамуына ықпал етеді.

- қандай параметр бойынша және теңдеу 2 2 х – 3 2 х + және 2 – 4және \u003d 0 екі түбірге ие?

Болсын т= 2 х қайда т > 0 ... Біз алып жатырмыз т 2 – 3т + (және 2 – 4және) = 0 .

1). Теңдеудің екі түбірі бар болғандықтан, D\u003e 0;

2). Қалай т 1,2\u003e 0, содан кейін т 1 т 2\u003e 0, яғни және 2 – 4және> 0 (?...).

Жауап: және(- 0,5; 0) немесе (4; 4,5).

V. Тексеру жұмысы

(Слайд нөмірі 9 )

Студенттер өнер көрсетеді тексеру жұмысы қағаз бетінде, тақырыпты растай отырып, презентация көмегімен орындалған жұмыстарға өзін-өзі бақылау және өзін-өзі бағалауды жүзеге асыру. Олар өздері үшін жұмыс дәптерлеріндегі қателіктер негізінде білімді реттеу және түзету бағдарламасын анықтайды. Аяқталған өзіндік жұмысы бар парақтар мұғалімге тексеру үшін тапсырылады.

Асты сызылған сандар - негізгі деңгей, жұлдызшамен - қиындығы артты.

Шешімі және жауаптары.

0,3 2х + 1 = 0,3 – 2 , 2х + 1 = -2, х= -1,5.

(1; 1).

3. 2 х– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 х– 1 76 = 19, 2 х– 1 = 1/4, 2 х– 1 = 2 – 2 , х– 1 = -2,

x \u003d -1.

4 * .3 9 x \u003d 2 3 х 5 х+ 5 25 х | : 25 х ,

3 (9/25) x \u003d 2 (3/5) х+ 5,

3 (9/27) х = 2 (3/5) х + 5 = 0,

3 (3/5) 2х – 2 (3/5) х - 5 = 0,…, (3/5) х = -1 (келмейді),

(3/5) х = 5, x \u003d -1.

Vi. Үй жұмысы

(Слайд нөмірі 10 )

• § 11, 12 қайталаңыз.
• Of емтихан материалдары 2008 - 2010 жж тақырып бойынша тапсырмаларды таңдау және оларды шешу.
• Үйдегі тест жұмысы
: