NAUDOJIMAS 2018. Matematika. profilio lygis. Lygčių ir nelygybių sprendimas. Sadovnichiy Yu.V.

M.: 2018. - 96 p.

Ši knyga skirta užduotims, panašioms į Vieningojo valstybinio matematikos egzamino 15 užduotį (lygčių ir nelygybių sprendimas). Svarstomi įvairūs tokių problemų sprendimo būdai, įskaitant originalius. Knyga pravers gimnazistams, matematikos mokytojams, korepetitoriams.

Formatas: pdf

Dydis: 860 Kb

Žiūrėti, parsisiųsti:drive.google

TURINYS
ĮVADAS 4
1 SKYRIUS. INTERVALINIS NETINGUMŲ SPRENDIMO METODAS 6
Užduotys skirtos nepriklausomas sprendimas 10
2 SKYRIUS. MODULIŲ ATSISAKYMAS LYGTYBĖSE IR NELYGYBĖSE 13
Savarankiško sprendimo užduotys 23
3 SKYRIUS. IRACIONALIOS LYGTYBĖS IR NELYGYBĖS 25
Savarankiško sprendimo užduotys 33
4 SKYRIUS. EKSPONENTINĖS IR LOGARINĖS LYGTYBĖS IR NELYGYBĖS 35
4.1. Pagrindinės formulės ir paprasčiausių lygčių bei nelygybių sprendimas 35
4.2. Logaritmų sumos ir skirtumo konvertavimas 36
Savarankiško sprendimo užduotys 41
4.3. Kintamojo pakeitimo metodas 42
Savarankiško sprendimo užduotys 47
4.4. Nelygybių padalijimas 49
Savarankiško sprendimo užduotys 55
4.5. Perėjimas prie naujos bazės 56
Savarankiško sprendimo užduotys 60
5 SKYRIUS. MIŠRAUS TIPO LYGTYBĖS IR NELYGYBĖS 61
Savarankiško sprendimo užduotys 68
6 SKYRIUS
Savarankiško sprendimo užduotys 75
7 SKYRIUS. ALGEBRINIŲ LYGČIŲ IR NELYGTYBIŲ SISTEMOS 76
Savarankiško sprendimo užduotys 84
ATSAKYMAI Į UŽDUOTIS SAVARANKIŠKAM SPRENDIMUI 88

Ši knyga skirta problemoms, panašioms į 15 problemą profilio egzaminas matematikoje (lygtys ir nelygybės). Knyga suskirstyta į skyrius pagal temas, medžiaga kiekviename skyriuje pateikiama „nuo paprastos iki sudėtingos“.
Ne paslaptis, kad 16-19 uždaviniai (planimetrija, tekstinis uždavinys, parametrų uždavinys, sveikųjų skaičių uždavinys) yra sunkūs daugumai abiturientų. vidurinė mokykla. Tą patį galima pasakyti apie 14 uždavinį (stereometriją). Todėl išspręsta 15 užduotis (kartu su 13 užduotimi) yra galimybė padidinti USE balą iki gero lygio.
Pirmieji trys skyriai yra parengiamieji, juose nagrinėjamas nelygybių sprendimas intervalų metodu, lygtys ir nelygybės su moduliu, neracionalios lygtys ir nelygybės.
Ketvirtasis skyrius yra pagrindinis šioje knygoje, nes jame pateiktos užduotys yra arčiausiai realios 15-ojo profilio matematikos egzamino užduoties. Šis skyrius suskirstytas į keletą skyrių, kurių kiekvienoje nagrinėjamas tam tikras tokios problemos sprendimo būdas.

Šioje vaizdo pamokoje išsamiai išanalizavau gana rimtą 15 užduotį iš vieningo valstybinio matematikos egzamino, kuriame yra ir logaritminis, ir trupmeninė racionalioji nelygybė. Ypatingas dėmesys skiriamas Bezout teoremai (polinomo šaknims rasti), taip pat daugianario padalijimo kampu metodui (faktoringui).

Šioje pamokoje mes analizuosime dviejų nelygybių sistemą iš USE matematikoje:

⎧⎩⎨⎪⎪ žurnalas7-2x(x+6) ≤0x− x−3x+6−x2 +27x+90x2 +8x+12≤−1 \left\( \begin (lygiuoti)& ((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le 0 \\& x-\frac(x-3)(x+6 )-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le -1 \\\end(lygiuoti) \dešinė.

Nelygybių sistemos sprendimas

Kaip matote, sistema susideda iš logaritminės nelygybės, taip pat iš klasikinės trupmeninės racionalios nelygybės, tačiau spręsdami pamatysime, kad ši nelygybė nėra tokia paprasta, kaip gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio. Pradėkime nuo logaritminio. Norėdami tai padaryti, parašykite jį atskirai:

žurnalas7-2x(x+6) ≤ 0

((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le \text( )0

Kaip ir bet kuri logaritminė nelygybė, ši konstrukcija sumažinama iki kanoninė forma t.y. kairėje paliekame viską nepakeistą, bet dešinėje rašome taip:

žurnalas7-2x(x+6) ≤ žurnalas7-2x 1

((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le ((\log )_(7-2x))1

Kaip naudoti racionalizavimo metodą

Dabar mes naudojame racionalizavimo metodą. Leiskite jums priminti, kad jei turime formos nelygybę

žurnalask (x) f(x) ⋃ žurnalask (x) g(x) ,

((\log )_(k\left(x \right)))f\left(x \right)\bigcup ((\log )_(k\left(x \right)))g\left(x \ teisingai),

tada galime pereiti prie kažko panašaus:

(f (x) −g(x) )(k (x) -1)⋃0

\left(f\left(x \right)-g\left(x \right) \right)\left(k\left(x \right)-1 \right)\bigcup 0

Žinoma, ši nelygybė neatsižvelgia į logaritmo sritį:

f (x) >0

f\left(x\right)>0

g (x) >0

g\left(x\right)>0

1≠k (x) >0

1\ne k\left(x\right)>0

Taigi, vaidmenyje f (x) f\left(x\right) yra tiesinė funkcija x+6 x+6, ir vaidmenyje g (x) g\left(x \right) yra tiesiog 1. Todėl savo logaritminę sistemos nelygybę perrašome taip:

(x+6-1) (7-2x-1)

\left(x+6-1 \right)\left(7-2x-1 \right)

Paskutinis 1 yra vienas x−1 x-1, kuris yra antrame skliaustelyje. Visi jie yra mažesni arba lygūs 0. Atliekant šią transformaciją išsaugomas nelygybės ženklas. Kiekviename skliaustelyje pateikiami panašūs:

(x+5) (6–2x) ≤0

\left(x+5 \right)\left(6-2x \right)\le 0

Intervalų metodo taikymas

Akivaizdu, kad turime paprasčiausią nelygybę, kuri lengvai išsprendžiama intervalo metodu. Nustatykite kiekvieną skliaustelį į 0:

(+5) =0→= −5

\left(+5 \right)=0\iki =-5

6−2=0→2=6

x=3

Visus šiuos taškus (tokie taškai yra du) pažymime koordinačių tiesėje. Atkreipkite dėmesį, kad jie yra užtamsinti:

Atkreipkite dėmesį į ženklus. Norėdami tai padaryti, paimkite bet kurį skaičių, didesnį nei 3. Pirmasis bus "minusas". Tada ženklai visur kaitaliojasi, nes nėra net daugybinių šaknų. Mus domina mažesnis arba lygybės ženklas, tai yra minuso ženklas. Dažome reikiamas vietas. Leiskite jums priminti, kad spręsdami nelygybes intervalų metodu, paskutine išraiška, kurią gavome prieš pereinant prie lygčių, pakeičiame 1 milijardą.

Taigi mes radome rinkinius. Bet, kaip suprantate, tai dar nėra nelygybės sprendimas. Dabar turime rasti logaritmo sritį. Norėdami tai padaryti, rašome šias funkcijas:

Klaidingas lygčių struktūrų įdėjimas

\left[ \begin(lygiuoti)& x+6>0 \\& 7-2x>0 \\& 7-2x\ne 1 \\\end(lygiuoti) \right.=>\left[ \begin(lygiuoti) )& x>-6 \\& 7>2x \\& 6\ne 2x \\\end(lygiuoti) \right.=>\left[ \begin(lygiuoti)& \\& x<\text{ }3,5 \\& x\ne \text{ }3 \\\end{align} \right.

Taigi, mes gavome tris vienu metu keliamus reikalavimus, t. y. visos šios nelygybės turi būti tenkinamos vienu metu. Nubrėžkime liniją, lygiagrečią mūsų atsakymo kandidatui:

Gavome galutinį atsakymą dėl pirmojo sistemos elemento:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6;-5 \right]\bigcup \left(3;3,5 \right). Šiuo metu daugeliui mokinių kyla klausimas. Pažiūrėkite, 3 yra išraižytas vienoje pusėje, bet kitoje pusėje , užpildomas tas pats taškas. Taigi kaip tai pažymėti kaip rezultatą?Kad teisingai ir visiems laikams išspręstumėte šią problemą, atsiminkite vieną paprastą taisyklę.

Ką reiškia aibių sankirta? Tai rinkinys, kuris vienu metu patenka ir į pirmąjį, ir į antrąjį. Kitaip tariant, užpildydami paveikslėlį žemiau, mes ieškome taškų, kurie vienu metu priklauso ir pirmai, ir antrai eilutėms. Todėl, jei kuris nors taškas nepriklauso bent vienai iš šių eilučių, nesvarbu, kaip jis atrodytų antroje eilutėje, jis mums netinka. Ir, ypač su 3, atsitinka būtent ši istorija: viena vertus, 3 punktas mums tinka kandidatams į atsakymą, nes jis yra uždažytas, bet, kita vertus, 3 yra pradurtas dėl to, kad logaritmas, todėl galutiniame rinkinyje šis taškas turi būti išmuštas. Viskas, atsakymas į pirmąją logaritminę sistemos nelygybę yra visiškai pagrįstas. Kad būtų saugu, pakartosiu jį dar kartą:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6;-5 \right]\bigcup \left(3;3,5 \right)

Dalinės-racionalinės nelygybės sprendimas

x− x−3x+6−x2 +27x+90x2 +8x+12≤−1 x-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)((x)^(2))+8x+12)\le - 1

Dabar perkelkite -1 į kairę:

x+1− x−3x+6−x2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 x+1-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \right)\left(x+2) \dešinė))\le 0

x+1 1 −x−3x+6−x2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 \frac(x+1)(1)-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \right) )\left(x+2 \right))\le 0

Sujungiame visą struktūrą į bendrą vardiklį:

(x+1) (x+6) (x+2) −(x−3) (x+2) − (x2 +27x+90)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+1 \right)\left(x+6 \right)\left(x+2 \right)-\left(x-3 \right)\left(x+2 \right)- \left(((x)^(2))+27x+90 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

Išplėskime skliaustus:

(x+2) ( (x+1) (x+6) −(x−3) )−x2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+2 \right)\left(\left(x+1 \right)\left(x+6 \right)-\left(x-3 \right) \right)-((x) )^(2))-27x-90)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

x3 +6x2 +9x+2 x2 +12x+18− x2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+6((x)^(2))+9x+2(x)^(2))+12x+18-((x)^(2)) -27x-90)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

x3 +7x2 −6x−72(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

Ką galima pasakyti apie susidariusią nelygybę? Pirma, jis yra šiek tiek racionalus, o vardiklis jau buvo įtrauktas. Todėl geriausias variantas būtų išspręsti šią nelygybę intervalų metodu. Tačiau norint ją išspręsti intervalų metodu, taip pat būtina skaitiklį koeficientuoti. Tai yra pagrindinis sunkumas, nes skaitiklis yra trečiojo laipsnio daugianario. Kas prisimena trečiojo laipsnio šaknų formulę? Asmeniškai aš neprisimenu. Bet mums šito nereikės.

Mums tereikia Bezouto teoremos, tiksliau, ne pačios teoremos, o vienos svarbiausių jos pasekmių, kuri teigia: jei daugianomas su sveikųjų skaičių koeficientais turi šaknį x1 ((x)_(1)), ir tai yra sveikasis skaičius, tada laisvasis koeficientas (mūsų atveju 72) būtinai dalijasi iš x1 ((x)_(1)). Kitaip tariant, jei norime rasti šios kubinės lygties šaknis, tereikia „įlįsti“ į veiksnius, į kuriuos išskaidomas skaičius 72.

Išskaidykime skaičių 72 į pirminius veiksnius:

72=8⋅9=2⋅2⋅2⋅3⋅3

72=8\cdot 9=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3

Taigi, norėdami gauti bent vieną kubinės išraiškos šaknį, turime pereiti visus dvejetų ir trigubų derinius. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad tai kombinatorinė užduotis, tačiau iš tikrųjų viskas nėra taip baisu. Pradėkime nuo minimalaus skaičiaus:

x=2

Patikrinkime, ar 2 yra atsakymas. Norėdami tai padaryti, prisiminkite, kas yra šaknis. Tai yra skaičius, kuris, pakeitus daugianarį, paverčia jį 0. Pakeiskime:

(2) =8+28−12−72<0

\left(2\right)=8+28-12-72<0

Mes tai gauname x−2 x-2 netinka. Pirmyn. Paimkime 4:

(4) =64+112−24−72>0

\left(4\right)=64+112-24-72>0

x=4 x=4 taip pat nėra mūsų konstrukcijos šaknis.

Pirmyn. Kas toliau x x analizuosime? Norėdami atsakyti į šį klausimą, atkreipkime dėmesį į įdomų faktą: kada x−2 x-2 mūsų daugianario buvo neigiamas, ir už x=4 x=4 pasirodė jau teigiamas. Tai reiškia, kad kažkur tarp taškų 2 ir 4 mūsų daugianomas kerta ašį x x. Kitaip tariant, kažkur šiame segmente mūsiškis virsta 0. Tai reiškia, kad šis taškas bus norimas skaičius. Pagalvokime, koks sveikasis skaičius yra tarp 4 ir 2. Akivaizdu, kad plėtinyje yra tik 3 ir 3, todėl tai iš tikrųjų gali būti mūsų išraiškos šaknis. Apsvarstykite šią parinktį:

x=3

(3) =27+63−18−72=90−90=0

\left(3\right)=27+63-18-72=90-90=0

Puiku, mūsų hipotezė pasitvirtino. tikrai, x=3 x=3 yra mūsų konstrukcijos šaknis. Bet kaip tai padeda mums išskirti tam tikrą daugianarį? Labai paprasta. Iš tos pačios Bezout teoremos išplaukia, kad jei x1 ((x)_(1)) yra daugianario šaknis p (x) p\left(x \right), o tai reiškia, kad galime parašyti taip:

x1 :p(x)=Q(x) (x− x1 )

((x)_(1)):p\left(x \right)=Q\left(x \right)\left(x-((x)_(1)) \right)

Kitaip tariant, žinant x1 ((x)_(1)) galime teigti, kad mūsų išraiškos faktorizavime būtinai bus veiksnys x1 ((x)_(1)). Mūsų atveju galime rašyti, kad mūsų daugianaris būtinai turi savo plėtimosi veiksnį (x–3)\left(x-3 \right), nes 3 yra jo šaknis.

x3 +7x2 −6x−72x−3=x2 +10x+24\frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(x-3)=((x)^(2))+10x+24

Kitaip tariant, savo nelygybę iš sistemos galime perrašyti taip:

(x+3) (x2 +10x+24)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))+10x+24 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right) ))\le 0

Atkreipkite dėmesį, kad antrajame skaitiklio skliaustelyje yra kvadratinis trinaris, kuris taip pat labai paprastai koeficientas, gauname:

(x+3) (x+6) (x+4)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(x+6 \right)\left(x+4 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right) )\le 0

Tai viskas, belieka tik išrašyti šaknis:

x=3

≠−6(2k)

\ne -6\kairė (2k\dešinė)

=−4

≠−2

Visus šiuos taškus, kurie gali būti sistemos sprendimas, pažymėkime koordinačių tiesėje x x:

Norėdami nustatyti ženklus, paimame bet kurį skaičių, didesnį nei 3, pakeičiame kiekviename iš šių skliaustų ir gauname penkis teigiamus skaičius, tai yra, į dešinę nuo 3 yra pliuso ženklas. Tada ženklai visur keičiasi, bet -6 niekas nesikeičia, nes -6 yra antrojo dauginio šaknis. Mus domina tos sritys, kuriose funkcijos ženklas yra neigiamas, todėl nuspalviname „minusus“.

Iš viso galime užrašyti savo pradinės nelygybės sprendimą – jis bus toks:

(−∞;−6) ⋃(−6;−4] ⋃(−2;3]

\left(-\infty ;-6 \right)\bigcup \left(-6;-4 \right]\bigcup \left(-2;3 \right]

Paskutiniai žingsniai

Išsprendėme antrąją mūsų sistemos nelygybę, o dabar belieka išspręsti pačią sistemą, t.y., susikirsti gautas aibes. Norėdami tai padaryti, siūlau nutiesti kitą liniją, lygiagrečią mūsų dviem senoms linijoms, atsakingoms už logaritminę nelygybę iš sistemos:

Galime parašyti galutinį antrojo nelygybių sistemos elemento atsakymą: (−6;−5] \left(-6;-5 \right]. Dabar galime grįžti į savo sistemą ir užsirašyti galutinį rinkinį:

x∈ (−6; −5]

x\in \left(-6;\text( )-5 \right]

Pagrindiniai klausimai

Šioje užduotyje vienu metu yra keletas pagrindinių punktų:

1. Jūs turite mokėti išspręsti logaritmines nelygybes naudodami perėjimą prie kanoninės formos.
2. Turite mokėti dirbti su trupmeninėmis racionaliomis nelygybėmis. Paprastai tai yra medžiaga, skirta 8–9 klasėms, taigi, jei dirbate su logaritmais, suprasite trupmenines racionalias nelygybes.
3. Bezouto teorema. Svarbiausia šios teoremos pasekmė yra ta, kad daugianario su sveikaisiais koeficientais šaknys yra jo laisvojo nario dalikliai.

Priešingu atveju tai yra paprasta, nors ir gana didelė užduotis sprendžiant lygčių sistemą. Tam tikrų sunkumų sprendžiant sistemą gali kilti ir visų aibių, ypač susijusių su tašku 3, sankirtoje. Čia viskas labai paprasta: tik atminkite, kad sankirta reiškia reikalavimą, kad visos nelygybės turi būti įvykdytos vienu metu, t.y. turi būti užpildytas norimas taškas. visose trijose ašyse. Jei bent vienoje ašyje jis neužpildytas ar išmuštas, tai toks taškas negali būti atsakymo dalimi.