Podręcznik Yu. N. Makarychev, itp. Temat lekcji: Całość równań. Rozpadające się równania Metoda równań rozkładu

Pozostaje rozważyć zbiory określone równaniami (35,21), (35,23), (35,30), (35,31), (35,32), (47,7), (47,22) i (35,20)

Definicja 47.16.Nazywa się powierzchnię drugiego rzędu rozkładający się jeśli składa się z dwóch powierzchni pierwszego rzędu.

Jako przykład rozważ powierzchnię podaną w równaniu

Lewą stronę równości (35,21) można rozłożyć na czynniki

(47.36)

Zatem punkt leży na powierzchni określonej równaniem (35.21) wtedy i tylko wtedy, gdy jego współrzędne spełniają jedno z poniższych równań lub. A to są równania dwóch płaszczyzn, które zgodnie z paragrafem 36 (patrz paragraf 36.2, 10. wiersz tabeli) przechodzą przez oś OZ. W związku z tym równanie (35.21) definiuje rozpadającą się powierzchnię, a raczej dwie przecinające się płaszczyzny.

Zadanie: Udowodnić, że jeśli powierzchnia jest jednocześnie cylindryczna i stożkowa, a także składa się z więcej niż jednej prostej, to rozpada się, tj. zawiera pewną płaszczyznę.

Rozważmy teraz równanie (35.30)

Można go rozłożyć na dwa równania liniowe i. Zatem, jeśli punkt leży na powierzchni określonej równaniem (35.30), to jego współrzędne muszą spełniać jedno z poniższych równań: i. A to, zgodnie z paragrafem 36 (patrz str. 36.2, 6. rząd tabeli), jest równaniem płaszczyzn równoległych do płaszczyzny. A zatem, równanie (35.30) definiuje dwie równoległe płaszczyzny a także rozpadająca się powierzchnia.

Zauważ, że dowolna para płaszczyzn i może być określona za pomocą następującego równania drugiego rzędu. Równania (35.21) i (35.30) są kanoniczny równania dwóch płaszczyzn, czyli ich równania w specjalnie dobranym układzie współrzędnych, gdzie one (te równania) mają najprostszą postać.

Równanie to samo (35.31)

generalnie jest to równoważne jednemu równaniu liniowemu y \u003d 0 i reprezentuje jedną płaszczyznę (zgodnie z paragrafem 36 pozycji 36.2, 12. wiersz tabeli, równanie to definiuje płaszczyznę).

Zauważ, że każdą płaszczyznę można zdefiniować za pomocą następującego równania drugiego rzędu.

Analogicznie do równania (35.30) (w), czasami mówi się, że równość (35,20) definiuje dwie połączone równoległe płaszczyzny.

Przejdźmy teraz do zdegenerowane przypadki.

1. równanie (35.20)

Zauważ, że punkt M (x, y, z) należy do zbioru określonego równaniem (35.20) wtedy i tylko wtedy, gdy jego pierwsze dwie współrzędne x \u003d y \u003d 0 (a jego trzecia współrzędna z może być dowolna). To znaczy że równanie (35.20) definiuje jedną prostą - oś aplikacji OZ.

Zauważ, że równanie dowolnej linii prostej (patrz paragraf 40, pozycja 40.1, a także paragraf 37, system (37.3)) można zdefiniować za pomocą następującego równania drugiego rzędu. Równość (35,20) jest kanonicznyrównanie drugiego rzędu dla prostej, tj. jego równanie drugiego rzędu w specjalnie dobranym układzie współrzędnych, gdzie (to równanie) ma najprostsze.

2. Równanie (47.7)

Równanie (47.7) może być spełnione tylko przez jedną potrójną liczbę x \u003d y \u003d z \u003d 0. Zatem równość (47,7) w zestawy przestrzeni tylko jeden punkt О (0; 0; 0) - początek współrzędnych; współrzędne żadnego innego punktu w przestrzeni nie mogą spełniać równości (47,7). Należy również zauważyć, że zbiór składający się z jednego punktu można określić za pomocą następującego równania drugiego rzędu:

3. Równanie (35,23)

A tego równania nie mogą spełnić współrzędne dowolnego punktu w przestrzeni, tj. to definiuje pusty zestaw... Analogicznie do równania (33.4)

(patrz sekcja 47.5, definicja 47.8), nazywany jest również wyimaginowanym cylindrem eliptycznym.

4.Równanie (35,32)

Współrzędne dowolnego punktu w przestrzeni również nie mogą spełnić tego równania, dlatego tak jest definiuje pusty zestaw. Analogicznie do podobnego równania (35.30), ta „powierzchnia” jest również nazywana wyimaginowanymi płaszczyznami równoległymi.

5. Równanie (47.22)

A tego równania nie mogą spełnić współrzędne dowolnego punktu w przestrzeni, a więc i ono definiuje pusty zestaw... Analogicznie do równości z równością (47.17) (patrz Rozdział 47.2), zbiór ten jest również nazywany urojoną elipsoidą.

Wszystkie sprawy zostały sprawdzone.

RAPORTY AKADEMII NAUK, 2008, tom 420, nr 6, s. 744-745

FIZYKA MATEMATYCZNA

ROZKŁADANIE ROZWIĄZAŃ RÓWNANIA VESELOV-NOVIKOV

© 2008 Członek korespondent RAS I. A. Taimanov, S. P. Carew

Otrzymano 14 lutego 2008 r

Równanie Weselowa-Nowikowa

u, \u003d e3 u + E3 u + s E (vu) + zE (vu) \u003d o, E V \u003d E u,

gdzie E \u003d (Ex - ¿Ey), E \u003d 1 (Ex + ¿Ey), jest dwuwymiarowym uogólnieniem równania Korteweg-de Vries (KdV)

i \u003d 4 uhxx \u200b\u200b+ viih,

do którego trafia w jednowymiarowej granicy: V \u003d u \u003d u (x). Równanie (1) definiuje odkształcenia dwuwymiarowego operatora Schrödingera

określa transformację rozwiązania φ równania Hf \u003d 0 na rozwiązanie b równania H b \u003d 0, gdzie

H \u003d EE + u, u \u003d u + 2 EE 1n w.

W jednowymiarowej granicy transformacja Moutarda sprowadza się do dobrze znanej transformacji Darboux.

Transformacja Moutarda obejmuje także transformację rozwiązań systemowych

Hf \u003d 0, f (\u003d (E3 + E3 + 3 VE + 3 V * E) f, ^^^

gdzie Э V \u003d Эи, ЭV * \u003d Э и, który jest niezmienny podczas transformacji (rozszerzona transformacja Moutarda)

\u003d ~ | ((f Eyyu-Eph) dz- (f Eyu-Ef) dz +

postaci H1 \u003d HA + 5H, gdzie A, B są operatorami różniczkowymi. Takie odkształcenia zachowują „widmo” operatora H na zerowym poziomie energii, przekształcając rozwiązania równania

Hf \u003d (EE + u) f \u003d 0 (3)

zgodnie z (Eg + A) φ \u003d 0.

Istnieje metoda konstruowania nowych rozwiązań (u, φ) równania (3) ze starych rozwiązań (u, φ) tego równania, które sprowadza się do kwadratur - transformacja Moutarda. Składa się ona z następujących czynności: niech operator H o \u200b\u200bpotencjale u i rozwiązanie w z równania (3) otrzymamy: Hw \u003d 0. Wtedy wzór

W | [(f Esh - w Ef) dz - (f Esh - w Ef) dz]

Instytut Matematyki. S.L. Sobolev, Syberyjski Oddział Rosyjskiej Akademii Nauk, Nowosybirsk

Państwowy Uniwersytet Pedagogiczny w Krasnojarsku

+ [f E u - u E f + u E f - f E u +

2 2 "2 _ ~ _2 + 2 (E f Esh - Ef E w) -2 (E f Esh - Ef E w) +

3 V (f Esh - w Ef) + 3 V * (w Ef - f Esh)] dt),

u ^ u + 2EE lnm, V ^ V + 2E21nm,

V * ^ u * + 2E21psh,

gdzie w spełnia (4).

Równanie Weselowa-Nowikowa (1) to

warunek zgodności dla systemu (4) przy V * \u003d V.

Gdy rozwiązanie w jest rzeczywiste, warunki u \u003d u u

V * \u003d V są zachowywane, a rozszerzona transformacja Moutarda przekłada rzeczywiste rozwiązania i

równanie (1) na inne rozwiązania rzeczywiste i to równanie.

Wszystkie racjonalne solitony równania KdV uzyskuje się przez iterację transformacji Darboux z potencjału u \u003d 0. Co więcej, wszystkie wynikające z tego potencjały są pojedyncze.

W przypadku dwuwymiarowego podobna konstrukcja może prowadzić do nieosobowych, a nawet szybko malejących potencjałów już po dwóch iteracjach.

ROZKŁADANIE ROZWIĄZAŃ RÓWNANIA

walkie-talkie. Mianowicie niech u0 \u003d 0 i ω1 ω2 będą realnymi rozwiązaniami układu (4):

u, \u003d Γ (z, z) + f (z, z), \u003d i (z, z) + i (z, z), (5)

gdzie / i π są holomorficzne w r i spełniają równania

fg \u003d Yyyy "yag \u003d yyyy"

Każda z funkcji uj u2 definiuje (rozszerzoną) transformację Moutarda potencjału u \u003d 0 i odpowiadające jej rozwiązania układu (4). Wyznaczmy ich jako Mu i Ma. Wynikające z tego potencjały my

oznaczamy przez u1 \u003d Myu (u0), u2 \u003d Myu (u0).

Niech δ1 e My (ω2), czyli b1 uzyskuje się z ω2 przez przekształcenie M ω. Zauważ, że transformacja Moutarda dla φ zależy od stałej integracji. Wybieramy taką stałą, że b1 jest funkcją rzeczywistą. Wybór stałej pozwala nam często kontrolować niejednolitość iterowanego potencjału (użyjemy tego w konkretnych przykładach).

Proste sprawdzenie pokazuje, że b2 \u003d - b1 f

e mu (yuh). Dobrze znany lemat zachodzi, co jest prawdziwe dla dowolnego potencjału u0.

Lemat 1. Niech u12 \u003d M01 (u2) i u21 \u003d M02 (u2). Wtedy u12 \u003d u21.

Dla przypadku u0 \u003d 0 mamy Lemat 2. Niech ω1 i ω2 będą miały postać (5). Wówczas potencjał u \u003d Mb (My (u0)), gdzie u0 \u003d 0 i b1 e My (u2), jest określony wzorem

u \u003d 2EE 1nI ((/ I - fya) +) ((f "I - fя") dg + + (GY - GI) dr) +1 (G "I - fя" "+ 2 (f" I " - GZ) + + GY "" - G "" I + 2 (zi - zi ")) dz).

Zauważ, że nawet dla stacjonarnych rozwiązań początkowych ω1, ω2 układu (4), możemy otrzymać rozwiązanie równania Weselowa-Nowikowa z nietrywialną dynamiką w r.

Twierdzenie 1. Niech U (z, z) będzie racjonalnym potencjałem uzyskanym przez podwójną transformację Moutarda z ω1 \u003d iz2 - i ~ z, ffl2 \u003d z2 + (1 +

I) z + ~ z + (1 - i) z. Potencjał U jest niesingularny i maleje jak r-3 dla r ^ Rozwiązanie równania Weselowa-Nowikowa (1) z danymi początkowymi

U \\ t \u003d 0 \u003d U staje się osobliwe w skończonym czasie i ma osobliwość postaci

(3 x4 + 4 x3 + 6 x2 y2 + 3 y4 + 4 y3 + 30 - 12 t)

Komentarz. Równanie Weselowa-Nowikowa jest niezmienne przy transformacji t ^ -t, z ^ -z. Łatwo zauważyć, że rozwiązanie tego problemu

równanie z danymi początkowymi U (z, z, 0) \u003d U (-z, - z) jest regularne dla wszystkich t\u003e 0.

Podany w pracy potencjał racjonalny (1) maleje jako r-6 i daje stacjonarne niesygnalizowane rozwiązanie równania Weselowa-Nowikowa. Wybierając f (z) \u003d a3z3 + a2z2 + a1z2 + a0 + 6a3t, g (z) \u003d b3z3 + b2z2 + b1z2 + b0 + 6b3t, łatwo jest otrzymać rozwiązania równania Veselov-Novikov malejące w nieskończoności, niejednoznaczne w t \u003d 0 i mające osobliwości w skończonych czasach t\u003e t0.

Zauważ, że rozwiązania równania Kortewega-de Vriesa z gładkimi, szybko malejącymi danymi początkowymi pozostają nieosobowe dla t\u003e 0 (patrz na przykład).

Prace zostały wykonane przy częściowym wsparciu finansowym Rosyjskiej Fundacji Badań Podstawowych (kody projektów 06-01-00094 dla I.A.T. i 06-01-00814 dla S.P.Ts.).

LISTA ODNIESIEŃ

1. Veseloe AP, Novikov SP // DAN. 1984. T. 279, nr 1. S. 20-24.

2. Dubrovin B. A., Krichever I. M., Novikov SP. // DAN. 1976. T. 229. Nr 1. S. 15-19.

Nauczyciel wita uczniów i ogłasza:

Dzisiaj będziemy kontynuować z wami pracę nad tematem: całe równania

Musimy utrwalić umiejętności rozwiązywania równań o stopniu wyższym niż drugi; poznaj trzy główne klasy całych równań, opanuj sposoby ich rozwiązywania

Z tyłu tablicy dwóch uczniów przygotowało już rozwiązanie nr 273 i jest gotowych odpowiedzieć na pytania uczniów

Chłopaki, proponuję przypomnieć sobie trochę teoretycznych informacji, których nauczyliśmy się na poprzedniej lekcji. Proszę o odpowiedź na pytania

Które równanie z jedną zmienną nazywa się liczbą całkowitą? Daj przykłady

Jak znaleźć stopień całego równania?

Do jakiej formy można sprowadzić równanie pierwszego stopnia

Jakie będzie rozwiązanie takiego równania

Do jakiej postaci można sprowadzić równanie drugiego stopnia?

Jak rozwiązać takie równanie?

Ile będzie miał korzeni?

Do jakiej postaci można sprowadzić równanie trzeciego stopnia?

Równanie czwartego stopnia?

Ile mogą mieć korzeni?

Dzisiaj, chłopaki, dowiemy się więcej o całych równaniach: będziemy badać sposoby rozwiązywania 3 głównych klas równań:

1) Równania dwukwadratowe

To są równania postaci
, gdzie x jest zmienną, a, b, c to kilka liczb, a a ≠ 0.

2) Rozkładające się równania, które sprowadza się do postaci A (x) * B (x) \u003d 0, gdzie A (x) i B (x) są wielomianami względem X.

Już częściowo rozwiązałeś rozkładające się równania z poprzedniej lekcji.

3) Równania rozwiązywane przez zmianę zmiennej.

INSTRUKCJE

Teraz każda grupa otrzyma karty, które szczegółowo opisują sposób rozwiązania, trzeba wspólnie przeanalizować te równania i wykonać zadania na ten temat. W swojej grupie sprawdź odpowiedzi z odpowiedziami swoich towarzyszy, znajdź błędy i znajdź wspólną odpowiedź.

Gdy każda grupa rozwiąże swoje równania, należy je wyjaśnić pozostałym grupom przy tablicy. Pomyśl, kogo delegujesz z grupy.

PRACA W GRUPACH

Podczas pracy w grupach nauczyciel obserwuje, jak dzieci rozumują, czy zespoły się utworzyły, czy mają liderów.

Zapewnia pomoc w razie potrzeby. Jeśli grupa poradziła sobie z zadaniem wcześniej niż inne, nauczyciel nadal ma na stanie równania z tej karty o zwiększonej złożoności.

OCHRONA KARTY

Nauczyciel proponuje, aby zdecydować, kto jeszcze tego nie zrobił, kto będzie bronił karty przy tablicy.

Nauczyciel może podczas pracy liderów poprawiać ich wypowiedzi, jeśli popełniają błędy.

Więc słuchajcie siebie nawzajem, równania dla twojego własnego rozwiązania są zapisane na tablicy. Przejdźmy do rzeczy

Ur. Igr.

IIgr.

IIIgr.

Musisz rozwiązać te równania, których nie masz.

Nr 276 (b, d), 278 (b, d), 283 (a)

Więc chłopaki, dzisiaj przestudiowaliśmy rozwiązanie nowych równań w grupach. Czy uważasz, że nasza praca poszła dobrze?

Czy osiągnęliśmy nasz cel?

Co cię powstrzymywało w pracy?

Nauczyciel ocenia najbardziej aktywne dzieci.

DZIĘKUJEMY ZA LEKCJĘ !!!

W najbliższym czasie wskazane jest wykonanie samodzielnej pracy zawierającej równania analizowane na tej lekcji.

„Rozwiązywanie równań wyższych stopni” - co to znaczy rozwiązywać równania? Zadania pierwszego etapu. ROZGRZEWANIE (sprawdzić d / h). Rozwiązywanie równań wyższych stopni. Jakie rodzaje równań są zapisane na tablicy? Wychowanie fizyczne. Etap II Praca samodzielna opcja 1 opcja 2. Jak nazywa się pierwiastek równania? Schemat rozwiązania równanie liniowe równanie kwadratowe równanie dwukwadratowe.

„Metody rozwiązywania równań i nierówności” - Starożytny Egipt. Równania sześcienne. Niestandardowe metody rozwiązywania równań i nierówności. Idea jednorodności. Graficzny sposób rozwiązywania równań zawierających moduł. Nierówności z modułem. Rozwiązywanie równań na współczynniki. Oryginalna nierówność nie zawiera żadnego rozwiązania. Suma kwadratu.

„Równania i nierówności” - podstawianie. Znajdź odciętą punktu przecięcia wykresów funkcji. Przy jakiej wartości a jest liczbą pierwiastków równania. "Metoda graficzna. Polega na: wykreśleniu wykresów dwóch funkcji w jednym układzie współrzędnych. Rozwiązania równań i nierówności." Znajdź najmniejsze naturalne rozwiązanie nierówności.

„Równania ułamkowe” - Rozwiąż wynikowe równanie. Równanie kwadratowe ma 2 pierwiastki, jeśli …… Usuń pierwiastki, które nie są uwzględnione w dopuszczalnych wartościach ułamków równania. … Twój list. Wysoka dusza ”. Algorytm rozwiązywania ułamkowych równań wymiernych. I pamiętaj - co jest najważniejsze w człowieku? Ułamkowe równania wymierne. Ile pierwiastków ma to równanie? 4. Jak nazywa się to równanie?

„Rozwiązywanie równań logarytmicznych” - Jeśli równanie zawiera logarytmy o różnych podstawach, to przede wszystkim należy zredukować wszystkie logarytmy do jednej podstawy za pomocą wzorów przejścia. Oblicz wartości wyrażenia. Definicja: Podsumowując materiał na własności logarytmów, funkcja logarytmiczna; rozważ główne metody rozwiązywania równań logarytmicznych; rozwijać umiejętności mówienia.

„Metody rozwiązywania równań logarytmicznych” - Znajdź. Rozwiązywanie równań logarytmicznych. To, co nazywa się logarytmem. Systematyzuj wiedzę uczniów. Kreatywna praca... Znajdź błąd. Układ równań. Rozwiązywanie równań logarytmicznych różnymi metodami. Wariant I Wariant II. Podana funkcja. Metoda wprowadzania nowej zmiennej. Porównać. Metody rozwiązywania równań logarytmicznych.

W sumie jest 49 prezentacji