GIA. Funcția pătratică. Lecția „Funcția y=ax2, graficul și proprietățile acesteia Graficul funcției y ax2 bx

Descrierea lecției video

Să luăm în considerare câteva cazuri speciale ale unei funcții pătratice.

Primul caz. Să aflăm care este graficul funcției y egal cu o treime x pătrat plus patru.

Pentru a face acest lucru, într-un sistem de coordonate, trasăm graficele funcțiilor y este egal cu o treime x pătrat .. și .. y este egal cu o treime x pătrat plus patru.

Să facem un tabel de valori ale funcției y egal cu o treime x pătrat. Să construim pe puncte date graficul funcției.

Pentru a obține un tabel de valori ale funcției y egal cu o treime x pătrat plus patru cu aceleași valori ale argumentului, ar trebui să adăugați patru la valorile găsite ale funcției y egal cu o treime x pătrat.

Să facem un tabel de valori pentru graficul funcției y este egal cu o treime x pătrat plus patru. Să construim puncte în funcție de coordonatele specificate și să le conectăm cu o linie netedă. Obținem graficul funcției y este egal cu o treime x pătrat plus patru.

Este ușor de înțeles că graficul funcției y este egal cu o treime x pătrat plus patru poate fi obținut din graficul funcției y este egal cu o treime x pătrat prin deplasarea a patru unități în sus paralel de-a lungul axei y.

Astfel, graficul funcției y este egal cu un x pătrat plus en este o parabolă, care se obține din graficul funcției y este egal cu un x pătrat prin translație paralelă de-a lungul axei y prin modulul en unități sus dacă en este mai mare decât zero sau în jos dacă en este mai mic decât zero.

Al doilea caz. Considerați că funcția y este egală cu o treime din pătratul diferenței dintre numerele x și șase și construiți graficul acesteia.

Să construim un tabel de valori ale funcției y este egal cu o treime x pătrat, indică punctele rezultate pe plan de coordonateși conectați-vă cu o linie netedă.

Acum să facem un tabel de valori pentru funcția y este egală cu o treime din pătratul diferenței dintre numerele x și șase. Să trasăm graficul funcției folosind punctele date.

Este de observat că fiecare punct al celui de-al doilea grafic este obținut din punctul corespunzător al primului grafic folosind o translație paralelă a șase unități de-a lungul axei x.

Graficul funcției y este egal cu a înmulțit cu pătratul diferenței dintre x și em .. este o parabolă care poate fi obținută din graficul funcției y este egal cu a x este pătrat prin translație paralelă de-a lungul x- axa după modulul unităților em la stânga dacă em este mai mare decât zero sau după modulul unităților em la dreapta dacă em este mai mică decât zero.

Considerăm acum că graficul funcției y este egal cu o treime ori pătratul diferenței x și doi plus cinci. Graficul său poate fi obținut din graficul funcției y egal cu o treime x pătrat cu ajutorul a două translații paralele - deplasând parabola la dreapta cu două unități și în sus cu cinci unități.

În același timp, transferurile paralele pot fi efectuate în orice ordine: mai întâi de-a lungul axei x, apoi de-a lungul axei y sau invers.

Dar de ce, atunci când numărul en este adăugat funcției, graficul său se mișcă în sus cu unitățile de modul en dacă en este mai mare decât zero sau în jos dacă en este mai mic decât zero, iar când numărul em este adăugat la argument, funcția se mută modulul em unități la dreapta dacă em este mai mic decât zero sau la stânga dacă em este mai mare decât zero?

Considera primul caz. Să fie necesar să se construiască un grafic al funcției y este egal cu ef din x .. plus en. Rețineți că ordonatele acestui grafic pentru toate valorile argumentului sunt cu en unități mai mari decât ordonatele corespunzătoare ale graficului y este egal cu eff lui x pentru en pozitiv și mai puțin cu en unități pentru negativ en. Prin urmare, graficul funcției y este egal cu eff din x ... plus en poate fi obținut prin translație paralelă de-a lungul axei y a graficului funcției y este egal cu ef din x prin modulul en units up dacă en este mai mare decât zero și prin modulul en unități în jos dacă en este mai mic decât zero.

Considera al doilea caz. Să fie necesar să se construiască un grafic al funcției y este egal cu eff din suma lui x și em. Considerăm că funcția y este egală cu eff lui x, care la un moment dat x egal cu x primul ia valoarea y primul este egal cu ef din x primul. În mod evident, funcția y este egală cu eff din suma x și em va lua aceeași valoare în punctul x secundă, a cărui coordonată este determinată din egalitatea x secundă plus em este egal cu x primul, adică x primul este egal cu x primul minus em. Mai mult, egalitatea luată în considerare este valabilă pentru toate valorile lui x din domeniul funcției. Prin urmare, graficul funcției poate fi obținut prin deplasarea paralelă a graficului funcției y egal cu ef de la x de-a lungul axei absciselor la stânga cu modulul unităților la stânga dacă em este mai mare decât zero și cu modulul lui em la dreapta dacă em este mai mic decât zero. Mișcarea paralelă a graficului funcției de-a lungul axei x cu unități em este echivalentă cu deplasarea axei y cu același număr de unități, dar în direcția opusă.

Când o parabolă se rotește în jurul axei sale, se obține o figură, care se numește paraboloid. Dacă suprafața interioară a paraboloidului este făcută oglindă și un fascicul de raze paralel cu axa de simetrie a parabolei este îndreptat către ea, atunci razele reflectate se vor aduna într-un punct numit focar. În același timp, dacă sursa de lumină este plasată la un focar, atunci razele reflectate de suprafața oglinzii paraboloidului vor fi paralele și nu se vor împrăștia.

Prima proprietate face posibilă obținerea unei temperaturi ridicate la focarul paraboloidului. Potrivit legendei, această proprietate a fost folosită de savantul grec antic Arhimede. În timpul apărării Siracizei în războiul împotriva romanilor, el a construit un sistem de oglinzi parabolice, care a făcut posibilă focalizarea razelor reflectate ale soarelui asupra navelor romane. Ca urmare, temperatura la focarele oglinzilor parabolice s-a dovedit a fi atât de ridicată încât a izbucnit un incendiu pe nave și acestea au ars. Această proprietate este folosită și la fabricarea antenelor parabolice.

A doua proprietate este folosită la fabricarea de spoturi și faruri auto.

Prezentarea „Funcția y=ax 2 , graficul și proprietățile sale” este un ajutor vizual care a fost creat pentru a însoți explicația profesorului pe această temă. Această prezentare discută în detaliu funcția pătratică, proprietățile acesteia, caracteristicile graficului, aplicarea practică a metodelor utilizate pentru rezolvarea problemelor din fizică.

Oferind un grad ridicat de vizibilitate, acest material va ajuta profesorul să crească eficiența predării, va oferi o oportunitate de a aloca mai rațional timpul în lecție. Cu ajutorul efectelor de animație, evidențierea conceptelor și Puncte importante culoare, atenția elevilor se concentrează asupra subiectului studiat, se realizează o mai bună memorare a definițiilor și cursul raționamentului la rezolvarea problemelor.

Prezentarea începe cu o introducere la titlul prezentării și conceptul de funcție pătratică. Se subliniază importanța acestui subiect. Elevii sunt invitați să memoreze definiția unei funcții pătratice ca dependență funcțională de forma y=ax 2 +bx+c, în care este o variabilă independentă, și sunt numere, în timp ce a≠0. Separat, pe slide-ul 4, se remarcă pentru a ne aminti că domeniul acestei funcții este întreaga axă a valorilor reale. În mod convențional, această afirmație este notă cu D(x)=R.

Un exemplu de funcție pătratică este aplicarea sa importantă în fizică - formula pentru dependența căii în mișcare accelerată uniform în timp. În paralel, la lecțiile de fizică, elevii studiază formulele pentru diferite tipuri de mișcare, deci vor avea nevoie de capacitatea de a rezolva astfel de probleme. Pe diapozitivul 5, elevilor li se reamintește că atunci când corpul se mișcă cu accelerație și la începutul referinței de timp se cunosc distanța parcursă și viteza de deplasare, atunci dependența funcțională reprezentând o astfel de mișcare se va exprima prin formula S=( la 2)/2+v 0 t+S 0 . Următorul este un exemplu de transformare a acestei formule într-o funcție pătratică dată dacă valorile accelerației = 8, viteza inițială = 3 și calea inițială = 18. În acest caz, funcția va lua forma S=4t 2 +3t+18.

Pe slide 6 se ia în considerare forma funcției pătratice y=ax 2, în care este prezentată la. Dacă =1, atunci funcția pătratică are forma y=x 2 . Se observă că graficul acestei funcții va fi o parabolă.

Următoarea parte a prezentării este dedicată trasării unui grafic al unei funcții pătratice. Se propune să se considere construcția unui grafic al funcției y=3x 2 . În primul rând, tabelul marchează corespondența dintre valorile funcției și valorile argumentului. Se observă că diferența dintre graficul construit al funcției y=3x 2 și graficul funcției y=x 2 este că fiecare valoare a acesteia va fi de trei ori mai mare decât cea corespunzătoare. Într-o vizualizare tabelară, această diferență este bine urmărită. În apropiere, în reprezentarea grafică, diferența de îngustare a parabolei este, de asemenea, clar vizibilă.

Următorul diapozitiv privește trasarea unei funcții pătratice y=1/3 x 2 . Pentru a construi un grafic, este necesar să indicați în tabel valorile funcției la un număr de puncte ale acesteia. Se observă că fiecare valoare a funcției y=1/3 x 2 este de 3 ori mai mică decât valoarea corespunzătoare a funcției y=x 2 . Această diferență, pe lângă tabel, este clar vizibilă pe grafic. Parabola sa este mai extinsă în raport cu axa y decât parabola funcției y=x 2 .

Exemplele te ajută să înțelegi regula generala, conform căruia apoi puteți construi mai simplu și mai rapid graficele corespunzătoare. Pe diapozitivul 9, este evidențiată o regulă separată conform căreia graficul funcției pătratice y \u003d ax 2 poate fi reprezentat în funcție de valoarea coeficientului prin întinderea sau îngustarea graficului. Dacă a>1, atunci graficul este întins de pe axa x în timp. Daca 0

Concluzia despre simetria graficelor funcțiilor y=ax 2 și y=-ax2 (la ≠0) față de axa absciselor este evidențiată separat pe slide 12 pentru memorare și afișată clar pe graficul corespunzător. În plus, conceptul de grafic al unei funcții pătratice y=x 2 este extins la un caz mai general al funcției y=ax 2 , argumentând că un astfel de grafic va fi numit și parabolă.

Slide 14 discută proprietățile funcției pătratice y=ax 2 pentru pozitiv. Se observă că graficul său trece prin origine și toate punctele, cu excepția acestuia, se află în semiplanul superior. Se notează simetria graficului față de axa y, precizând că valorile opuse ale argumentului corespund acelorași valori ale funcției. Se indică faptul că intervalul de scădere a acestei funcții este (-∞;0], iar creșterea funcției se realizează pe interval. Valorile acestei funcții acoperă întreaga parte pozitivă a axei reale, este egal cu zero în punct și nu are cea mai mare valoare.

Slide 15 descrie proprietățile funcției y=ax 2 dacă este negativ. Se observă că și graficul său trece prin origine, dar toate punctele sale, cu excepția, se află în semiplanul inferior. Se notează simetria graficului față de axă, iar valorile opuse ale argumentului corespund valorilor egale ale funcției. Funcția crește pe interval, scade pe. Valorile acestei funcții se află în interval, este egală cu zero în punct și nu are cea mai mică valoare.

Rezumând caracteristicile considerate, diapozitivul 16 arată că ramurile parabolei sunt îndreptate în jos spre, și în sus către. Parabola este simetrică față de axă, iar vârful parabolei este situat în punctul de intersecție cu axa. Parabola y=ax 2 are un vârf - originea.

De asemenea, o concluzie importantă despre transformările parabolei este prezentată în diapozitivul 17. Acesta prezintă opțiuni pentru transformarea graficului unei funcții pătratice. Se observă că graficul funcției y=ax 2 este transformat printr-o afișare simetrică a graficului în jurul axei. De asemenea, este posibil să comprimați sau să extindeți graficul în raport cu axa.

Pe ultimul diapozitiv se fac concluzii generalizatoare despre transformările graficului funcției. Se prezintă concluziile că graficul funcției se obține printr-o transformare simetrică în jurul axei. Iar graficul funcției este obținut din compresia sau întinderea graficului original de pe axă. În acest caz, întinderea de la axă în timp se observă în cazul în care. Prin contractarea la axă de 1/a ori, graficul se formează în caz.

Prezentarea „Funcția y=ax 2 , graficul și proprietățile sale” poate fi folosită de profesor ca ajutor vizual într-o lecție de algebră. De asemenea, acest manual acoperă bine subiectul, oferind o înțelegere aprofundată a subiectului, astfel încât să poată fi oferit studiului independent de către studenți. De asemenea, acest material îl va ajuta pe profesor să dea o explicație în timpul învățământului la distanță.

Lecție: cum se construiește o parabolă sau o funcție pătratică?

PARTEA TEORETICĂ

O parabolă este un grafic al unei funcții descrisă prin formula ax 2 +bx+c=0.
Pentru a construi o parabolă, trebuie să urmați un algoritm simplu de acțiuni:

1) Formula parabolă y=ax 2 +bx+c,
dacă a>0 apoi ramurile parabolei sunt dirijate sus,
iar apoi ramurile parabolei sunt dirijate mult mai jos.
membru liber c acest punct intersectează parabola cu axa OY;

2) , se găsește prin formula x=(-b)/2a, înlocuim x-ul găsit în ecuația parabolei și găsim y;

3)Zerourile funcției sau cu alte cuvinte, punctele de intersecție ale parabolei cu axa OX, se mai numesc și rădăcinile ecuației. Pentru a găsi rădăcinile, echivalăm ecuația cu 0 ax2+bx+c=0;

Tipuri de ecuații:

complet ecuație pătratică are forma ax2+bx+c=0și este rezolvată de discriminant;
b) Ecuație pătratică incompletă de formă ax2+bx=0. Pentru a o rezolva, trebuie să scoateți x din paranteze, apoi să echivalați fiecare factor cu 0:
ax2+bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 și ax+b=0;
c) Ecuație pătratică incompletă de formă ax2+c=0. Pentru a o rezolva, trebuie să mutați necunoscutul într-o parte și cunoscutul în cealaltă. x =±√(c/a);

4) Găsiți câteva puncte suplimentare pentru a construi funcția.

PARTEA PRACTICĂ

Și acum, cu un exemplu, vom analiza totul prin acțiuni:
Exemplul #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 înseamnă că parabola intersectează OY în punctul x=0 y=3. Ramurile parabolei se uită în sus pentru că a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 partea de sus este în punctul (-2;-1)
Aflați rădăcinile ecuației x 2 +4x+3=0
Găsim rădăcinile de la discriminant
a=1 b=4 c=3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3

Să luăm câteva puncte arbitrare care sunt aproape de vârf x=-2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Înlocuim în loc de x în ecuația y \u003d x 2 + 4x + 3 valori
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Din valorile funcției se poate observa că parabola este simetrică față de linia dreaptă x \u003d -2

Exemplul #2:
y=-x 2 +4x
c=0 înseamnă că parabola intersectează OY în punctul x=0 y=0. Ramurile parabolei privesc în jos deoarece a=-1 -1 Aflați rădăcinile ecuației -x 2 +4x=0
O ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0. Pentru a o rezolva, trebuie să scoateți x din paranteze, apoi să echivalați fiecare factor cu 0.
x(-x+4)=0, x=0 și x=4.

Să luăm câteva puncte arbitrare care sunt în apropierea vârfului x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Înlocuim în loc de x în ecuația y \u003d -x 2 +4x valori
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Din valorile funcției se poate observa că parabola este simetrică față de linia dreaptă x \u003d 2

Exemplul #3
y=x 2 -4
c=4 înseamnă că parabola intersectează OY în punctul x=0 y=4. Ramurile parabolei se uită în sus pentru că a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 vârful este în punctul (0;-4 )
Aflați rădăcinile ecuației x 2 -4=0
O ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +c=0. Pentru a o rezolva, trebuie să mutați necunoscutul într-o parte și cunoscutul în cealaltă. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x 2 \u003d -2

Să luăm câteva puncte arbitrare care sunt aproape de vârful x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Înlocuim în loc de x în ecuația y \u003d x 2 -4 valori
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Din valorile funcției se poate observa că parabola este simetrică față de dreapta x=0

Abonati-va pe canalul de pe YOUTUBE sa fii la curent cu toate noutatile si sa te pregatesti cu noi pentru examene.