Panghihimasok ng alon. Standing wave equation. Mga nababanat na alon. Nakatayo na mga alon. Equation ng alon. Mathematical equation para ilarawan ang plane at spherical waves. Wave vector Katulad nito, ang mga coordinate ng mga node ay matatagpuan mula sa kundisyon
Kung ang ilang mga alon ay kumakalat nang sabay-sabay sa isang daluyan, kung gayon ang mga oscillations ng mga particle ng medium ay magiging geometric na kabuuan ng mga oscillations na gagawin ng mga particle kung ang bawat isa sa mga wave ay hiwalay na nagpapalaganap. Dahil dito, ang mga alon ay nagpapatong lamang sa isa't isa nang hindi nakakagambala sa isa't isa. Ang pahayag na ito ay tinatawag na prinsipyo ng superposisyon ng alon.
Sa kaso kapag ang mga oscillations na dulot ng mga indibidwal na alon sa bawat punto ng daluyan ay may pare-parehong pagkakaiba sa bahagi, ang mga alon ay tinatawag na magkakaugnay. (Ang isang mas mahigpit na kahulugan ng pagkakaugnay ay ibibigay sa § 120.) Kapag ang magkakaugnay na mga alon ay idinagdag, ang hindi pangkaraniwang bagay ng interference ay lumitaw, na binubuo sa katotohanan na ang mga oscillations sa ilang mga punto ay lumalakas, at sa iba pang mga punto ay nagpapahina sa isa't isa.
Ang isang napakahalagang kaso ng interference ay sinusunod kapag ang dalawang counterpropagating plane wave na may parehong amplitude ay nakapatong. Ang resultang oscillatory process ay tinatawag na standing wave. Ang halos nakatayong mga alon ay lumilitaw kapag ang mga alon ay nakikita mula sa mga hadlang. Ang isang alon na bumabagsak sa isang balakid at isang nakalarawan na alon na tumatakbo patungo dito, na nagpapatong sa isa't isa, ay nagbubunga ng isang nakatayong alon.
Isulat natin ang mga equation ng dalawang plane wave na nagpapalaganap sa x axis sa magkasalungat na direksyon:
Ang pagdaragdag ng mga equation na ito nang sama-sama at pagbabago ng resulta gamit ang formula para sa kabuuan ng mga cosine, nakukuha natin
Ang equation (99.1) ay ang equation ng isang standing wave. Upang pasimplehin ito, pipiliin namin ang pinagmulan upang ang pagkakaiba , ay maging katumbas ng zero, at ang pinagmulan upang ang kabuuan ay katumbas ng zero. Bilang karagdagan, pinapalitan namin ang wave number k ng halaga nito
Pagkatapos ang equation (99.1) ay kukuha ng form
Mula sa (99.2) malinaw na sa bawat punto ng standing wave oscillations ay nangyayari sa parehong dalas ng mga counterpropagating wave, at ang amplitude ay nakasalalay sa x:
ang amplitude ng mga oscillation ay umabot sa pinakamataas na halaga nito. Ang mga puntong ito ay tinatawag na standing wave antinodes. Mula sa (99.3) ang mga halaga ng mga coordinate ng antinodes ay nakuha:
Dapat tandaan na ang antinode ay hindi isang solong punto, ngunit isang eroplano na ang mga punto ay may mga x coordinate na halaga na tinutukoy ng formula (99.4).
Sa mga punto na ang mga coordinate ay nakakatugon sa kondisyon
ang amplitude ng mga oscillations ay nagiging zero. Ang mga puntong ito ay tinatawag na standing wave node. Ang mga punto ng daluyan na matatagpuan sa mga node ay hindi umiikot. Mahalaga ang mga coordinate ng node
Ang isang node, tulad ng isang antinode, ay hindi isang punto, ngunit isang eroplano, na ang mga punto ay may mga halaga ng x coordinate na tinutukoy ng formula (99.5).
Mula sa mga formula (99.4) at (99.5) sumusunod na ang distansya sa pagitan ng mga katabing antinode, pati na rin ang distansya sa pagitan ng mga katabing node, ay katumbas ng . Ang mga antinode at mga node ay inilipat nang may kaugnayan sa isa't isa ng isang-kapat ng haba ng daluyong.
Bumalik tayo sa equation (99.2). Ang multiplier ay nagbabago ng sign kapag pumasa sa zero. Alinsunod dito, ang yugto ng mga oscillations sa magkabilang panig ng node ay naiiba sa pamamagitan ng Nangangahulugan ito na ang mga punto na nakahiga sa magkabilang panig ng node ay nag-oscillate sa antiphase. Ang lahat ng mga puntong matatagpuan sa pagitan ng dalawang magkatabing node ay nag-o-oscillate sa phase (ibig sabihin, sa parehong yugto). Sa Fig. 99.1 ay nagbibigay ng isang serye ng "mga snapshot" ng mga paglihis ng punto mula sa posisyon ng equilibrium.
Ang unang "litrato" ay tumutugma sa sandali kung kailan naabot ng mga paglihis ang kanilang pinakamalaking ganap na halaga. Ang mga kasunod na "mga larawan" ay kinukuha sa pagitan ng quarter period. Ang mga arrow ay nagpapahiwatig ng mga bilis ng butil.
Ang pagkakaroon ng pagkakaiba-iba ng equation (99.2) isang beses na may paggalang sa t, at sa isa pang oras na may paggalang sa x, nakita namin ang mga expression para sa bilis ng particle at para sa pagpapapangit ng medium:
Ang equation (99.6) ay naglalarawan ng standing velocity wave, at (99.7) ay naglalarawan ng standing deformation wave.
Sa Fig. 99.2 inihahambing ang "mga snapshot" ng displacement, velocity at deformation para sa mga sandali ng oras 0 at Mula sa mga graph ay malinaw na ang mga node at antinodes ng velocity ay nag-tutugma sa mga node at antinodes ng displacement; ang mga node at antinodes ng deformation ay nag-tutugma, ayon sa pagkakabanggit, sa mga antinodes at node ng displacement. Habang umaabot sa pinakamataas na halaga, ito ay napupunta sa zero, at kabaliktaran.
Alinsunod dito, dalawang beses sa bawat panahon ang enerhiya ng isang nakatayong alon ay na-convert alinman sa ganap na potensyal, na puro malapit sa mga node ng alon (kung saan matatagpuan ang mga deformation antinodes), o ganap na kinetic energy, na puro malapit sa mga wave antinodes (kung saan ang mga velocity antinodes. ay matatagpuan). Bilang resulta, lumilipat ang enerhiya mula sa bawat node patungo sa katabing antinodes at likod nito. Ang time-average na energy flux sa anumang seksyon ng wave ay zero.
Kabanata 7. Mechanical waves
Mga alon. Equation ng alon
Bilang karagdagan sa mga paggalaw na napag-isipan na natin, sa halos lahat ng mga lugar ng pisika ay matatagpuan ang isa pang uri ng paggalaw - mga alon. Natatanging katangian Ang natatangi sa kilusang ito ay hindi ang mga particle ng bagay mismo ang nagpapalaganap sa alon, ngunit ang mga pagbabago sa kanilang estado (perturbations).
Ang mga kaguluhan na lumaganap sa kalawakan sa paglipas ng panahon ay tinatawag mga alon . Ang mga alon ay mekanikal at electromagnetic.
Mga nababanat na alonay nagpapalaganap ng mga kaguluhan ng isang nababanat na daluyan.
Ang pagkagambala ng isang elastic medium ay anumang paglihis ng mga particle ng medium na ito mula sa posisyon ng equilibrium. Ang mga kaguluhan ay lumitaw bilang isang resulta ng pagpapapangit ng daluyan sa ilang lugar.
Ang hanay ng lahat ng mga punto kung saan ang alon ay umabot sa isang partikular na oras ay bumubuo ng isang ibabaw na tinatawag kaway sa harap .
Ayon sa hugis ng harap, ang mga alon ay nahahati sa spherical at flat. Direksyon natutukoy ang pagpapalaganap ng harap ng alon patayo sa harap ng alon, na tinatawag sinag . Para sa isang spherical wave, ang mga ray ay isang radially diverging beam. Para sa isang eroplanong alon, ang mga sinag ay isang sinag ng magkatulad na linya.
Sa anumang mekanikal na alon, dalawang uri ng paggalaw ang sabay-sabay na umiiral: mga vibrations ng mga particle ng medium at pagpapalaganap ng mga kaguluhan.
Ang isang alon kung saan ang mga oscillation ng mga particle ng medium at ang pagpapalaganap ng mga kaguluhan ay nangyayari sa parehong direksyon ay tinatawag pahaba (Larawan 7.2 A).
Ang isang alon kung saan ang mga particle ng daluyan ay nag-o-oscillate patayo sa direksyon ng pagpapalaganap ng mga kaguluhan ay tinatawag nakahalang (Larawan 7.2 b).
Sa isang longitudinal wave, ang mga disturbance ay kumakatawan sa compression (o rarefaction) ng medium, at sa isang transverse wave, kinakatawan nila ang mga displacement (shears) ng ilang layer ng medium na may kaugnayan sa iba. Ang mga longitudinal wave ay maaaring magpalaganap sa lahat ng media (likido, solid, at gas), habang ang mga transverse wave ay maaari lamang magpalaganap sa solid media.
Ang bawat alon ay naglalakbay sa isang tiyak na bilis . Sa ilalim bilis ng alon υ maunawaan ang bilis ng pagpapalaganap ng kaguluhan. Ang bilis ng isang alon ay tinutukoy ng mga katangian ng daluyan kung saan ang alon ay nagpapalaganap. Sa solids, ang bilis ng longitudinal waves ay mas malaki kaysa sa bilis ng transverse waves.
Haba ng daluyongAng λ ay ang distansya kung saan ang isang alon ay dumadaloy sa isang oras na katumbas ng panahon ng oscillation sa pinagmulan nito. Dahil ang bilis ng isang alon ay isang pare-parehong halaga (para sa isang naibigay na daluyan), ang distansya na nilakbay ng alon ay katumbas ng produkto ng bilis at ang oras ng pagpapalaganap nito. Kaya ang wavelength
Mula sa equation (7.1) sumusunod na ang mga particle ay naghihiwalay sa isa't isa sa pamamagitan ng isang pagitan λ oscillate sa parehong yugto. Pagkatapos ay maaari nating ibigay ang sumusunod na kahulugan ng wavelength: ang wavelength ay ang distansya sa pagitan ng dalawang pinakamalapit na puntos na nag-o-oscillating sa parehong yugto.
Magkaroon tayo ng equation para sa isang plane wave, na nagpapahintulot sa atin na matukoy ang displacement ng anumang punto sa wave sa anumang oras. Hayaang lumaganap ang alon kasama ang sinag mula sa pinagmulan na may tiyak na bilis v.
Ang pinagmulan ay nakakaganyak ng mga simpleng harmonic oscillations, at ang displacement ng anumang punto sa wave sa anumang oras ay tinutukoy ng equation
S = Asinωt (7.2)
Pagkatapos ang isang punto sa daluyan na matatagpuan sa layong x mula sa pinagmulan ng alon ay magsasagawa rin ng mga harmonic oscillations, ngunit may pagkaantala ng oras ng isang halaga, i.e. ang oras na kinakailangan para sa mga vibrations na lumaganap mula sa pinagmulan hanggang sa puntong ito. Ang displacement ng oscillating point na may kaugnayan sa equilibrium position sa anumang oras ay ilalarawan ng kaugnayan
Ito ang equation ng plane wave. Ang alon na ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga sumusunod na parameter:
· S - pag-aalis mula sa posisyon ng balanse ng punto ng nababanat na daluyan kung saan naabot ang oscillation;
· ω - paikot na dalas ng mga oscillations na nabuo ng pinagmulan, kung saan ang mga punto ng daluyan ay nag-oscillate din;
· υ - bilis ng pagpapalaganap ng alon (phase speed);
· Ang x ay ang distansya sa punto sa daluyan kung saan naabot ang oscillation at ang displacement ay katumbas ng S;
· t – oras na binibilang mula sa simula ng mga oscillation;
Sa pamamagitan ng pagpapasok ng wavelength λ sa expression (7.3), ang plane wave equation ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
(7. 4)
|
Panghihimasok ng alon. Nakatayo na mga alon. Standing wave equation
Ang mga nakatayong alon ay nabuo bilang resulta ng interference ng dalawang counterpropagating plane wave ng parehong frequency ω at amplitude A.
Isipin natin na sa puntong S mayroong isang vibrator kung saan ang isang alon ng eroplano ay nagpapalaganap sa sinag SO. Ang pagkakaroon ng naabot ang balakid sa punto O, ang alon ay makikita at pupunta sa magkasalungat na daan, ibig sabihin. Dalawang naglalakbay na alon ng eroplano ang kumakalat sa kahabaan ng sinag: pasulong at paatras. Ang dalawang alon na ito ay magkakaugnay, dahil ang mga ito ay nabuo ng parehong pinagmulan at, na nakapatong sa isa't isa, ay makagambala sa isa't isa.
Ang oscillatory state ng medium na nagreresulta mula sa interference ay tinatawag na standing wave.
Isulat natin ang equation ng forward at backward travelling waves:
tuwid - 
; reverse - 
kung saan ang S 1 at S 2 ay ang displacement ng isang arbitrary point sa SO ray. Isinasaalang-alang ang formula para sa sine ng kabuuan, ang nagresultang pag-aalis ay katumbas ng
Kaya, ang standing wave equation ay may anyo
Ang cosωt multiplier ay nagpapakita na ang lahat ng mga punto ng medium sa SO beam ay gumaganap ng mga simpleng harmonic oscillations na may dalas. Ang expression ay tinatawag na standing wave amplitude. Tulad ng nakikita mo, ang amplitude ay tinutukoy ng posisyon ng punto sa ray SO (x).
Pinakamataas na halaga Ang mga amplitude ay magkakaroon ng mga puntos kung saan
O (n = 0, 1, 2,….)
mula saan, o 
(4.70)
standing wave antinodes .
Pinakamababang halaga, katumbas ng zero, ay magkakaroon ng mga puntos na iyon
O kaya 
(n = 0, 1, 2,….)
mula saan o 
(4.71)
Ang mga puntos na may ganitong mga coordinate ay tinatawag nakatayo na mga node ng alon . Ang paghahambing ng mga expression (4.70) at (4.71), nakikita natin na ang distansya sa pagitan ng mga kalapit na antinode at mga kalapit na node ay katumbas ng λ/2.
Sa figure, ang solidong linya ay nagpapakita ng displacement ng mga oscillating point ng medium sa isang tiyak na sandali sa oras, ang dotted curve ay nagpapakita ng posisyon ng parehong mga punto sa pamamagitan ng T/2. Ang bawat punto ay nag-o-oscillate na may amplitude na tinutukoy ng distansya nito mula sa vibrator (x).
Hindi tulad ng isang naglalakbay na alon, walang paglipat ng enerhiya na nagaganap sa isang nakatayong alon. Ang enerhiya ay pumasa lamang mula sa potensyal (sa pinakamataas na pag-aalis ng mga punto sa daluyan mula sa posisyon ng ekwilibriyo) patungo sa kinetic (habang ang mga puntos ay dumadaan sa posisyon ng ekwilibriyo) sa loob ng mga limitasyon sa pagitan ng mga node na nananatiling hindi gumagalaw.
Ang lahat ng mga punto ng isang nakatayong alon sa loob ng mga limitasyon sa pagitan ng mga node ay nag-o-oscillate sa parehong yugto, at sa magkabilang panig ng node - sa antiphase.
Ang mga nakatayong alon ay lumitaw, halimbawa, sa isang tensioned string na naayos sa magkabilang dulo kapag ang mga transverse vibrations ay nasasabik dito. Bukod dito, sa mga lugar ng pangkabit ay may mga node ng isang nakatayong alon.
Kung ang isang nakatayong alon ay itinatag sa isang haligi ng hangin na bukas sa isang dulo (sound wave), pagkatapos ay isang antinode ay nabuo sa bukas na dulo, at isang node ay nabuo sa kabaligtaran na dulo.
Tunog. Epekto ng Doppler
Ang mga longitudinal elastic wave na nagpapalaganap sa gas, likido at solid ay hindi nakikita. Gayunpaman, sa ilalim ng ilang mga kundisyon maaari silang marinig. Kaya, kung nasasabik natin ang mga panginginig ng boses ng isang mahabang steel ruler na naka-clamp sa isang bisyo, hindi natin maririnig ang mga alon na nabuo nito. Ngunit kung paikliin natin ang nakausli na bahagi ng ruler at sa gayon ay tataas ang dalas ng mga oscillations nito, makikita natin na ang ruler ay magsisimulang tumunog.
Ang mga nababanat na alon na nagdudulot ng pandinig sa mga tao ay tinatawag mga sound wave o simple lang tunog.
Ang tainga ng tao ay may kakayahang makita ang mga nababanat na mekanikal na alon na may dalas na ν mula 16 Hz hanggang 20,000 Hz. Mga nababanat na alon na may dalas na ν<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000Hz - ultratunog.
Ang mga frequency sa saklaw mula 16 Hz hanggang 20,000 Hz ay tinatawag na sound frequency. Lumilikha ang anumang katawan (solid, likido o gas) na nag-vibrate sa dalas ng tunog kapaligiran sound wave.
Sa mga gas at likido, ang mga sound wave ay nagpapalaganap sa anyo ng longitudinal compression at rarefaction waves. Compression at rarefaction ng medium, na nagreresulta mula sa vibrations ng sound source (strings, binti ng tuning fork, vocal cords, atbp.), pagkaraan ng ilang oras ay maabot ang tainga ng tao at, nagiging sanhi ng sapilitang pag-vibrate ng eardrum, nagiging sanhi ng ilang pandinig. mga sensasyon sa isang tao.
Sa isang vacuum, ang mga sound wave ay hindi maaaring magpalaganap, dahil wala doon upang manginig. Ito ay mapapatunayan sa simpleng karanasan. Kung maglalagay tayo ng electric bell sa ilalim ng salamin na takip ng isang air pump, pagkatapos ay habang ang hangin ay pumped out ay makikita natin na ang tunog ay hihina at hihina hanggang sa ito ay ganap na huminto.
Tunog sa mga gas. Nabatid na kapag may thunderstorm, unang nakakakita tayo ng kidlat at saka lamang natin maririnig ang dagundong ng kulog. Ang pagkaantala na ito ay nangyayari dahil ang bilis ng tunog sa hangin ay makabuluhang mas mababa kaysa sa bilis ng liwanag. Ang bilis ng tunog sa hangin ay unang sinusukat ng Pranses na siyentipiko na si Marin Mersen noong 1646. Sa temperatura na +20ºС ito ay katumbas ng 343 m/s, i.e. 1235km/h.
Ang bilis ng tunog ay depende sa temperatura ng daluyan. Sa pagtaas ng temperatura ito ay tumataas, at sa pagbaba ng temperatura ay bumababa ito.
Ang bilis ng tunog ay hindi nakasalalay sa density ng gas kung saan naglalakbay ang tunog na ito. Gayunpaman, nakasalalay ito sa masa ng mga molekula nito. Kung mas malaki ang masa ng mga molekula ng gas, mas mababa ang bilis ng tunog sa loob nito. Kaya, sa isang temperatura
0 ºС ang bilis ng tunog sa hydrogen ay 1284 m/s, at sa carbon dioxide– 259 m/s.
Tunog sa mga likido. Ang bilis ng tunog sa mga likido ay karaniwang mas malaki kaysa sa bilis ng tunog sa mga gas. Ang bilis ng tunog sa tubig ay unang nasukat noong 1826. Ang mga eksperimento ay isinagawa sa Lake Geneva sa Switzerland. Sa isang bangka ay nagsunog sila ng pulbura at sabay na hinampas ang isang kampana na ibinaba sa tubig. Ang tunog ng kampana na ito, gamit ang isang espesyal na sungay, na ibinaba din sa tubig, ay nakuha sa isa pang bangka, na matatagpuan sa layo na 14 km mula sa una. Batay sa pagkakaiba ng oras sa pagitan ng flash ng liwanag at pagdating ng sound signal, ang bilis ng tunog sa tubig ay natukoy. Sa temperatura na 8 ºС ito ay naging katumbas ng 1435 m/s.
Sa mga likido, ang bilis ng tunog ay karaniwang bumababa sa pagtaas ng temperatura. Ang tubig ay isang pagbubukod sa panuntunang ito. Sa loob nito, ang bilis ng pagtaas ng tunog sa pagtaas ng temperatura at umabot sa maximum sa temperatura na 74 ºС, at sa karagdagang pagtaas ng temperatura ay bumababa ito.
Dapat sabihin na ang tainga ng tao ay hindi "gumana" nang maayos sa ilalim ng tubig. Karamihan ng Ang tunog ay makikita mula sa eardrum at samakatuwid ay hindi nagiging sanhi ng pandinig na mga sensasyon. Ito ang minsang nagbigay sa ating mga ninuno ng batayan upang isaalang-alang ang mundo sa ilalim ng dagat bilang isang "mundo ng katahimikan." Kaya naman ang pananalitang “pipi na parang isda.” Gayunpaman, iminungkahi din ni Leonardo da Vinci na makinig sa mga tunog sa ilalim ng tubig sa pamamagitan ng paglalagay ng iyong tainga sa isang sagwan na ibinaba sa tubig. Gamit ang pamamaraang ito, makikita mo na ang isda ay talagang madaldal.
Tunog sa solids. Ang bilis ng tunog sa mga solido ay mas malaki kaysa sa mga likido. Dito lamang dapat isaalang-alang na ang parehong paayon at mga nakahalang alon. Ang bilis ng mga alon na ito, tulad ng alam natin, ay iba. Halimbawa, sa bakal, ang mga transverse wave ay nagpapalaganap sa bilis na 3300 m/s, at ang mga longitudinal wave sa bilis na 6100 m/s. Ang katotohanan na ang bilis ng tunog sa isang solidong katawan ay mas malaki kaysa sa hangin ay maaaring ma-verify bilang mga sumusunod. Kung ang iyong kaibigan ay tumama sa isang dulo ng riles at inilagay mo ang iyong tainga sa kabilang dulo, dalawang hit ang maririnig. Ang tunog ay unang makakarating sa iyong tainga sa pamamagitan ng riles, at pagkatapos ay sa hangin.
Ang lupa ay may magandang conductivity. Samakatuwid, sa mga unang araw, sa panahon ng isang pagkubkob, ang "mga tagapakinig" ay inilagay sa mga pader ng kuta, na, sa pamamagitan ng tunog na ipinadala ng lupa, ay maaaring matukoy kung ang kaaway ay naghuhukay sa mga pader o hindi. Ang paglalagay ng isang tainga sa lupa ay naging posible upang makita ang paglapit ng mga kabalyerya ng kaaway.
Bilang karagdagan sa mga naririnig na tunog, crust ng lupa Ang mga infrasound wave ay kumakalat din, na hindi na nakikita ng tainga ng tao. Ang ganitong mga alon ay maaaring mangyari sa panahon ng lindol.
Ang malalakas na infrasound wave, na kumakalat sa lupa at sa himpapawid, ay nangyayari sa panahon ng pagsabog at pagsabog ng bulkan mga bomba atomika. Ang mga pinagmumulan ng infrasound ay maaari ding magsama ng mga air vortices sa atmospera, mga paglabas ng kargamento, mga putok ng baril, hangin, mga umaagos na taluktok ng mga alon ng dagat, mga operating jet engine, atbp.
Ang ultratunog ay hindi rin nakikita ng tainga ng tao. Gayunpaman, ang ilang mga hayop, tulad ng mga paniki at dolphin, ay maaaring maglabas at makakita nito. Sa teknolohiya, ang mga espesyal na aparato ay ginagamit upang makakuha ng ultrasound.
Ang isang napakahalagang kaso ng interference ay nangyayari kapag ang mga alon ng eroplano ng pantay na amplitude ay nakapatong. Ang nagresultang proseso ng oscillatory ay tinatawag nakatayong alon.
Ang halos nakatayong mga alon ay lumilitaw kapag ang mga alon ay nakikita mula sa mga hadlang. Ang isang alon na bumabagsak sa isang balakid at isang nakalarawan na alon na tumatakbo patungo dito, na nagpapatong sa isa't isa, ay nagbibigay ng isang nakatayong alon.
Isaalang-alang natin ang resulta ng interference ng dalawang sinusoidal plane wave ng parehong amplitude na nagpapalaganap sa magkasalungat na direksyon.
Para sa pagiging simple ng pangangatwiran, ipagpalagay natin na ang parehong mga alon ay nagdudulot ng mga oscillations sa parehong yugto sa pinagmulan.
Ang mga equation ng mga oscillation na ito ay may anyo:
Pagdaragdag ng parehong mga equation at pagbabago ng resulta, gamit ang formula para sa kabuuan ng mga sine na nakukuha natin:
- standing wave equation.
Ang paghahambing ng equation na ito sa equation ng harmonic oscillations, nakikita natin na ang amplitude ng mga nagresultang oscillations ay katumbas ng:
Mula noon , at , noon .
Sa mga punto sa medium kung saan , walang mga vibrations, i.e. . Ang mga puntong ito ay tinatawag nakatayo na mga node ng alon.
Sa mga punto kung saan , ang amplitude ng mga oscillations ay may pinakamataas na halaga, katumbas. Ang mga puntong ito ay tinatawag standing wave antinodes. Ang mga coordinate ng antinodes ay matatagpuan mula sa kondisyon, dahil , Yung .
Mula rito:
Katulad nito, ang mga coordinate ng mga node ay matatagpuan mula sa kondisyon:
saan:
Mula sa mga formula para sa mga coordinate ng mga node at antinodes, sumusunod na ang distansya sa pagitan ng mga katabing antinode, pati na rin ang mga distansya sa pagitan ng mga katabing node, ay katumbas ng . Ang mga antinode at mga node ay inilipat nang may kaugnayan sa isa't isa ng isang-kapat ng haba ng daluyong.
Ihambing natin ang likas na katangian ng mga oscillation sa isang nakatayo at naglalakbay na alon. Sa isang naglalakbay na alon, ang bawat punto ay sumasailalim sa mga oscillations, ang amplitude nito ay hindi naiiba sa amplitude ng iba pang mga punto. Ngunit ang mga oscillations ng iba't ibang mga punto ay nangyayari sa iba't ibang yugto.
Sa isang nakatayong alon, ang lahat ng mga particle ng medium na matatagpuan sa pagitan ng dalawang magkatabing node ay nag-o-oscillate sa parehong yugto, ngunit may iba't ibang mga amplitude. Kapag dumadaan sa isang node, ang oscillation phase ay biglang nagbabago ng , dahil nagbabago ang tanda.
Sa graphically, ang isang standing wave ay maaaring ilarawan bilang mga sumusunod:
Sa sandali ng oras kung kailan , ang lahat ng mga punto ng daluyan ay may pinakamataas na mga displacement, na ang direksyon ay tinutukoy ng tanda ng . Ang mga displacement na ito ay ipinapakita sa figure sa pamamagitan ng solid arrow.
Pagkatapos ng isang-kapat ng panahon, kapag , ang mga displacement ng lahat ng mga puntos ay katumbas ng zero. Ang mga particle ay dumadaan sa linya sa iba't ibang bilis.
Pagkatapos ng isa pang quarter ng panahon, kapag , ang mga particle ay magkakaroon muli ng pinakamataas na displacement, ngunit sa kabaligtaran ng direksyon (mga arrow na may tuldok).
Kapag naglalarawan ng mga proseso ng oscillatory sa nababanat na mga sistema, hindi lamang ang pag-aalis, kundi pati na rin ang bilis ng butil, pati na rin ang kamag-anak na pagpapapangit ng daluyan ay maaaring kunin bilang isang oscillating na dami.
Upang mahanap ang batas ng pagbabago sa bilis ng isang nakatayong alon, nag-iiba tayo sa pamamagitan ng equation ng displacement ng isang nakatayong alon, at upang mahanap ang batas ng pagbabago ng pagpapapangit, nag-iiba tayo sa pamamagitan ng equation ng isang nakatayong alon.
Sa pagsusuri sa mga equation na ito, makikita natin na ang mga node at antinodes ng velocity ay nag-tutugma sa mga node at antinodes ng displacement; ang mga node at antinodes ng deformation ay nag-tutugma, ayon sa pagkakabanggit, sa mga antinodes at node ng bilis at pag-aalis.
Mga vibrations ng string
Sa isang tensioned string na naayos sa magkabilang dulo, kapag ang mga transverse vibrations ay nasasabik, ang mga standing wave ay naitatag, at ang mga node ay dapat na matatagpuan sa mga lugar kung saan ang string ay naayos. Samakatuwid, ang gayong mga vibrations lamang ang nasasabik sa string, kalahati ng haba nito ay umaangkop sa isang integer na bilang ng beses sa haba ng string.
Ito ay nagpapahiwatig ng sumusunod na kondisyon:
saan ang haba ng string.
Kung hindi. Ang mga wavelength na ito ay tumutugma sa mga frequency , kung saan ang phase velocity ng wave. Ang magnitude nito ay tinutukoy ng tension force ng string at ng masa nito.
Sa - pangunahing dalas.
Sa - natural na mga frequency ng vibrations ng string o overtones.
Epekto ng Doppler
Isaalang-alang natin ang pinakasimpleng mga kaso kapag ang pinagmulan ng mga alon at ang tagamasid ay gumagalaw nang may kaugnayan sa daluyan sa parehong tuwid na linya:
1. Ang pinagmumulan ng tunog ay gumagalaw na may kaugnayan sa medium sa isang bilis , ang sound receiver ay nakapahinga.
Sa kasong ito, sa panahon ng oscillation, ang sound wave ay lalayo sa pinagmulan sa isang distansya, at ang pinagmulan mismo ay lilipat sa layo na katumbas ng .
Kung ang pinagmulan ay tinanggal mula sa receiver, i.e. lumipat sa direksyon na kabaligtaran sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon, pagkatapos ay ang haba ng daluyong .
Kung ang pinagmumulan ng tunog ay inilapit sa receiver, i.e. lumipat sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon, pagkatapos .
Ang dalas ng tunog na nakikita ng tatanggap ay:
Palitan natin ang kanilang mga halaga para sa parehong mga kaso:
Isinasaalang-alang ang katotohanan na , nasaan ang dalas ng oscillation ng pinagmulan, ang pagkakapantay-pantay ay kukuha ng anyo:
Hatiin natin ang numerator at denominator ng fraction na ito sa , pagkatapos:
2. Ang pinagmumulan ng tunog ay nakatigil, at ang receiver ay gumagalaw nang may kaugnayan sa medium sa isang bilis.
Sa kasong ito, ang wavelength sa daluyan ay hindi nagbabago at pantay pa rin. Kasabay nito, ang dalawang sunud-sunod na amplitude na naiiba sa oras sa pamamagitan ng isang panahon ng oscillation, na umabot sa gumagalaw na receiver, ay mag-iiba sa oras sa sandaling ang wave ay nakakatugon sa receiver para sa isang tagal ng panahon, ang halaga ng kung saan ay mas malaki o mas kaunti. depende sa kung ang receiver ay lumalayo o papalapit sa pinagmulan ng tunog. Sa paglipas ng panahon, ang tunog ay naglalakbay ng isang distansya, at ang receiver ay gumagalaw ng isang distansya. Ang kabuuan ng mga dami na ito ay nagbibigay sa atin ng wavelength:
Ang panahon ng mga oscillations na nakikita ng receiver ay nauugnay sa dalas ng mga oscillations na ito sa pamamagitan ng ratio:
Ang pagpapalit ng expression mula sa pagkakapantay-pantay (1) sa halip, makakakuha tayo ng:
kasi , nasaan ang dalas ng oscillation ng pinagmulan, at , pagkatapos:
3. Ang pinagmulan at tagatanggap ng tunog ay gumagalaw na may kaugnayan sa daluyan. Ang pagsasama-sama ng mga resulta na nakuha sa dalawang nakaraang kaso, nakuha namin:
Mga sound wave
Kung ang mga nababanat na alon na nagpapalaganap sa hangin ay may dalas na mula 20 hanggang 20,000 Hz, kung gayon kapag naabot nila ang tainga ng tao ay nagiging sanhi ito ng pandamdam ng tunog. Samakatuwid, ang mga alon na nakahiga sa saklaw ng dalas na ito ay tinatawag na tunog. Ang mga elastic wave na may dalas na mas mababa sa 20 Hz ay tinatawag infrasound . Ang mga alon na may dalas na higit sa 20,000 Hz ay tinatawag ultrasound. Ang tainga ng tao ay hindi nakakarinig ng mga ultrasound at infrasound.
Ang mga sensasyon ng tunog ay nailalarawan sa pamamagitan ng pitch, timbre at volume. Ang pitch ng tunog ay tinutukoy ng dalas ng vibration. Gayunpaman, ang pinagmumulan ng tunog ay naglalabas hindi lamang isa, ngunit isang buong spectrum ng mga frequency. Ang hanay ng mga frequency ng vibration na naroroon sa isang naibigay na tunog ay tinatawag na nito acoustic spectrum. Ang enerhiya ng vibration ay ipinamamahagi sa lahat ng mga frequency ng acoustic spectrum. Ang pitch ng isang tunog ay tinutukoy ng isa - ang pangunahing dalas, kung ang dalas na ito ay nagkakahalaga ng mas malaking halaga ng enerhiya kaysa sa bahagi ng iba pang mga frequency.
Kung ang spectrum ay binubuo ng maraming frequency na matatagpuan sa frequency range mula hanggang , kung gayon ang naturang spectrum ay tinatawag solid(halimbawa - ingay).
Kung ang spectrum ay binubuo ng isang hanay ng mga oscillations ng discrete frequency, kung gayon ang naturang spectrum ay tinatawag na pinasiyahan(halimbawa - mga tunog ng musika).
Ang acoustic spectrum ng tunog, depende sa kalikasan nito at sa pamamahagi ng enerhiya sa pagitan ng mga frequency, ay tumutukoy sa pagka-orihinal ng sound sensation, na tinatawag na timbre ng tunog. Ang iba't ibang mga instrumentong pangmusika ay may iba't ibang acoustic spectrum, i.e. magkaiba sa sound timbre.
Ang intensity ng tunog ay nailalarawan sa pamamagitan ng iba't ibang dami: vibrations ng mga particle ng daluyan, ang kanilang mga bilis, mga puwersa ng presyon, mga stress sa kanila, atbp.
Nailalarawan nito ang amplitude ng mga oscillations ng bawat isa sa mga dami na ito. Gayunpaman, dahil ang mga dami na ito ay magkakaugnay, ipinapayong ipakilala ang isang solong katangian ng enerhiya. Ang katangiang ito para sa anumang uri ng alon ay iminungkahi noong 1877. SA. Umovov.
Putol tayo sa isip ng isang plataporma mula sa harapan ng naglalakbay na alon. Sa paglipas ng panahon, ang lugar na ito ay lilipat ng layo , kung saan ang bilis ng alon.
Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng enerhiya ng isang yunit ng dami ng oscillating medium. Pagkatapos ang enerhiya ng buong volume ay magiging pantay.
Ang enerhiya na ito ay inilipat sa paglipas ng panahon sa pamamagitan ng isang alon na nagpapalaganap sa lugar.
Hinahati ang expression na ito sa pamamagitan ng at , nakukuha natin ang enerhiya na inilipat ng alon sa pamamagitan ng isang unit area sa bawat yunit ng oras. Ang dami na ito ay tinutukoy ng isang titik at tinatawag Umov vector
Para sa sound field vector Umov tinatawag na lakas ng tunog.
Ang lakas ng tunog ay pisikal na katangian intensity ng tunog. Sinusuri namin ito nang subjective, bilang dami tunog. Nakikita ng tainga ng tao ang mga tunog na ang lakas ay lumampas sa isang tiyak na minimum na halaga, naiiba para sa iba't ibang mga frequency. Ang halagang ito ay tinatawag threshold ng pandinig tunog. Para sa mga average na frequency ng pagkakasunud-sunod ng Hz, ang threshold ng pagdinig ay nasa pagkakasunud-sunod ng .
Sa napakataas na intensity ng tunog, ang tunog ay nakikita ng mga organo ng pagpindot sa tabi ng tainga, at nagiging sanhi ng pananakit sa mga tainga.
Ang halaga ng intensity kung saan ito nangyayari ay tinatawag Sakit na kayang tiisin. Ang threshold ng sakit, pati na rin ang threshold ng pandinig, ay depende sa dalas.
Ang tao ay may medyo kumplikadong kagamitan para sa pagdama ng mga tunog. Ang mga sound vibrations ay kinokolekta ng auricle at kumikilos sa eardrum sa pamamagitan ng auditory canal. Ang mga vibrations nito ay ipinapadala sa isang maliit na lukab na tinatawag na cochlea. Sa loob ng cochlea mayroong isang malaking bilang ng mga fibers na may iba't ibang haba at tensyon at, samakatuwid, iba't ibang mga natural na frequency ng vibration. Kapag nalantad sa tunog, ang bawat isa sa mga hibla ay tumutunog sa isang tono na ang dalas ay tumutugma sa natural na dalas ng hibla. Tinutukoy ng hanay ng mga resonant frequency sa hearing aid ang lugar ng mga sound vibrations na nakikita natin.
Ang volume na subjective na tinasa ng ating mga tainga ay tumataas nang mas mabagal kaysa sa intensity ng sound waves. Habang ang intensity ay tumataas nang exponentially, ang volume ay tumataas sa arithmetically. Sa batayan na ito, ang antas ng volume ay tinutukoy bilang ang logarithm ng ratio ng intensity ng isang naibigay na tunog sa intensity na kinuha bilang orihinal.
Ang yunit ng antas ng loudness ay tinatawag puti. Ginagamit din ang mas maliliit na yunit - decibels(10 beses na mas mababa kaysa sa puti).
nasaan ang sound absorption coefficient.
Ang halaga ng sound absorption coefficient ay tumataas sa proporsyon sa parisukat ng dalas ng tunog, kaya ang mababang tunog ay naglalakbay nang higit pa kaysa sa matataas.
Sa architectural acoustics para sa malalaking silid, isang mahalagang papel ang ginagampanan ng umalingawngaw o echoey rooms. Ang mga tunog, na nakakaranas ng maramihang pagmuni-muni mula sa mga nakapaloob na ibabaw, ay nakikita ng nakikinig sa medyo mahabang panahon. Pinatataas nito ang lakas ng tunog na umaabot sa atin, gayunpaman, kung ang reverberation ay masyadong mahaba, ang mga indibidwal na tunog ay magkakapatong sa isa't isa at ang pagsasalita ay hindi na malinaw na nakikita. Samakatuwid, ang mga dingding ng mga bulwagan ay natatakpan ng mga espesyal na materyales na sumisipsip ng tunog upang mabawasan ang reverberation.
Ang pinagmumulan ng mga tunog na panginginig ng boses ay maaaring maging anumang vibrating body: isang bell tongue, isang tuning fork, isang violin string, isang column ng hangin sa wind instruments, atbp. ang parehong mga katawan ay maaari ding magsilbi bilang sound receiver kapag sila ay gumagalaw sa ilalim ng impluwensya ng kapaligiran vibrations.
Ultrasound
Upang makakuha ng direksyon, i.e. malapit sa isang patag na alon, ang mga sukat ng emitter ay dapat na maraming beses na mas malaki kaysa sa haba ng daluyong. Ang mga sound wave sa hangin ay may haba na hanggang 15 m, sa likido at mga solido mas mahaba pa ang wavelength. Samakatuwid, halos imposible na bumuo ng isang radiator na lilikha ng isang direktang alon ng ganoong haba.
Ang mga ultrasonic vibrations ay may dalas na higit sa 20,000 Hz, kaya ang kanilang wavelength ay napakaikli. Habang bumababa ang wavelength, bumababa rin ang papel ng diffraction sa proseso ng pagpapalaganap ng alon. Samakatuwid, ang mga ultrasonic wave ay maaaring gawin sa anyo ng mga nakadirekta na beam, katulad ng mga beam ng liwanag.
Dalawang phenomena ang ginagamit upang pukawin ang mga ultrasonic wave: reverse piezoelectric effect At magnetostriction.
Ang reverse piezoelectric effect ay ang isang plato ng ilang mga kristal (rochelle salt, quartz, barium titanate, atbp.) sa ilalim ng impluwensya electric field bahagyang deformed. Sa pamamagitan ng paglalagay nito sa pagitan ng mga metal plate kung saan inilalapat ang alternating boltahe, maaaring magdulot ng sapilitang vibrations ng plate. Ang mga vibrations na ito ay ipinapadala sa kapaligiran at bumubuo ng isang ultrasonic wave sa loob nito.
Nangangahulugan ang magnetostriction na ang mga ferromagnetic substance (iron, nickel, ang kanilang mga haluang metal, atbp.) ay deformed sa ilalim ng impluwensya ng isang magnetic field. Samakatuwid, sa pamamagitan ng paglalagay ng isang ferromagnetic rod sa isang alternating magnetic field, ang mga mekanikal na panginginig ng boses ay maaaring nasasabik.
Ang mataas na halaga ng acoustic velocities at accelerations, pati na rin ang mahusay na binuo na mga pamamaraan para sa pag-aaral at pagtanggap ng mga ultrasonic vibrations, ay naging posible na gamitin ang mga ito upang malutas ang maraming mga teknikal na problema. Ilista natin ang ilan sa kanila.
Noong 1928, ang siyentipikong Sobyet na si S.Ya. Iminungkahi ni Sokolov ang paggamit ng ultrasound para sa mga layunin ng pagtuklas ng kapintasan, i.e. para sa pag-detect ng mga nakatagong panloob na depekto tulad ng mga cavity, bitak, pagkaluwag, pagsasama ng slag, atbp. sa mga produktong metal. Kung ang laki ng depekto ay lumampas sa wavelength ng ultrasound, ang ultrasonic pulse ay makikita mula sa depekto at bumalik. Sa pamamagitan ng pagpapadala ng mga ultrasonic pulse sa isang produkto at pagrerehistro ng mga sinasalamin na signal ng echo, posible hindi lamang upang makita ang pagkakaroon ng mga depekto sa mga produkto, ngunit din upang hatulan ang laki at lokasyon ng mga depektong ito. Sa kasalukuyan, ang pamamaraang ito ay malawakang ginagamit sa industriya.
Ang mga direktang ultrasonic beam ay nakahanap ng malawak na aplikasyon para sa mga layunin ng lokasyon, i.e. upang makita ang mga bagay sa tubig at matukoy ang distansya sa kanila. Ang ideya ng ultrasoniko na lokasyon ay unang iminungkahi ng isang natatanging Pranses na pisiko P. Langevin at binuo niya noong Unang Digmaang Pandaigdig upang makita ang mga submarino. Sa kasalukuyan, ang mga prinsipyo ng sonar ay ginagamit upang makita ang mga iceberg, mga paaralan ng isda, atbp. Ang mga pamamaraang ito ay maaari ring matukoy ang lalim ng dagat sa ilalim ng ilalim ng barko (echo sounder).
Ang mga high-amplitude na ultrasonic wave ay kasalukuyang malawakang ginagamit sa teknolohiya para sa mekanikal na pagproseso ng mga solidong materyales, paglilinis ng maliliit na bagay (mga bahagi ng orasan, pipeline, atbp.) na inilagay sa likido, degassing, atbp.
Lumilikha ng malakas na mga pulsation ng presyon sa daluyan sa panahon ng kanilang pagpasa, sanhi ng mga ultrasonic wave buong linya mga tiyak na phenomena: paggiling (dispersing) ng mga particle na nasuspinde sa likido, pagbuo ng mga emulsyon, pagpabilis ng mga proseso ng pagsasabog, pag-activate mga reaksiyong kemikal, epekto sa mga biyolohikal na bagay, atbp.
Isaalang-alang natin ang resulta ng interference ng dalawang sinusoidal plane wave ng parehong amplitude at frequency, na nagpapalaganap sa magkasalungat na direksyon. Para sa pagiging simple ng pangangatwiran, ipagpalagay natin na ang mga equation ng mga alon na ito ay may anyo:
Nangangahulugan ito na sa pinanggalingan ang parehong mga alon ay umiikot sa parehong yugto. Sa puntong A na may coordinate x, ang kabuuang halaga ng oscillating quantity, ayon sa prinsipyo ng superposition (tingnan ang § 19), ay katumbas ng
Ipinapakita ng equation na ito na bilang resulta ng interference ng forward at backward waves sa bawat punto ng medium (na may fixed coordinate), isang harmonic oscillation ang nangyayari na may parehong frequency, ngunit may amplitude.
depende sa halaga ng x coordinate. Sa mga punto sa daluyan kung saan walang mga oscillations: ang mga puntong ito ay tinatawag na mga oscillation node.
Sa mga punto kung saan ang oscillation amplitude ay may pinakamalaking halaga, katumbas ng Ang mga puntong ito ay tinatawag na oscillation antinodes. Madaling ipakita na ang distansya sa pagitan ng mga katabing node o katabing antinodes ay katumbas ng distansya sa pagitan ng antinode at ang pinakamalapit na node ay katumbas ng Kapag ang x ay nagbago ng cosine sa formula (5.16), ang sign ay nababaligtad (ang argumento nito ay nagbabago sa samakatuwid kung sa loob ng isang kalahating alon - mula sa isang node patungo sa isa pa - ang mga particle ng daluyan ay pinalihis sa isang direksyon, kung gayon sa loob ng katabing kalahating alon ang mga particle ng daluyan ay mapalihis sa tapat na direksyon.
Ang proseso ng alon sa isang medium na inilarawan ng formula (5.16) ay tinatawag na standing wave. Sa graphically, ang isang nakatayong alon ay maaaring ilarawan tulad ng ipinapakita sa Fig. 1.61. Ipagpalagay natin na ang y ay isang displacement ng mga puntos sa daluyan mula sa estado ng ekwilibriyo; pagkatapos ay inilalarawan ng formula (5.16) ang isang "standing displacement wave". Sa ilang mga punto sa oras, kapag ang lahat ng mga punto ng daluyan ay may pinakamataas na displacement, ang direksyon kung saan, depende sa halaga ng x coordinate, ay tinutukoy ng sign. Ang mga displacement na ito ay ipinapakita sa Fig. 1.61 na may mga solidong arrow. Pagkatapos ng isang-kapat ng panahon, kapag ang mga displacement ng lahat ng mga punto ng daluyan ay katumbas ng zero; ang mga particle ng medium ay dumadaan sa linya sa iba't ibang bilis. Pagkatapos ng isa pang quarter ng panahon, kapag ang mga particle ng medium ay magkakaroon muli ng pinakamataas na displacements, ngunit sa kabaligtaran direksyon; ang mga offset na ito ay ipinapakita sa
kanin. 1.61 na may mga tuldok na arrow. Ang mga punto ay mga antinodes ng isang standing displacement wave; mga punto at node ng wave na ito.
Ang mga katangiang katangian ng isang nakatayong alon, kabaligtaran sa isang ordinaryong nagpapalaganap, o naglalakbay, na alon ay ang mga sumusunod (ibig sabihin ay mga alon ng eroplano sa kawalan ng attenuation):
1) sa isang nakatayong alon, ang mga amplitude ng mga oscillation ay iba sa iba't ibang lugar ng system; ang sistema ay may mga node at antinodes ng mga oscillations. Sa isang "naglalakbay" na alon, ang mga amplitude na ito ay pareho sa lahat ng dako;
2) sa loob ng isang seksyon ng system mula sa isang node hanggang sa kalapit na isa, ang lahat ng mga punto ng daluyan ay nag-oscillate sa parehong yugto; kapag lumipat sa isang kalapit na seksyon, ang mga yugto ng mga oscillation ay nababaligtad. Sa isang naglalakbay na alon, ang mga yugto ng oscillations, ayon sa formula (5.2), ay nakasalalay sa mga coordinate ng mga puntos;
3) sa isang nakatayong alon ay walang one-way na paglipat ng enerhiya, tulad ng kaso sa isang naglalakbay na alon.
Kapag inilalarawan ang mga proseso ng oscillatory sa nababanat na mga sistema, ang oscillating value na y ay maaaring kunin hindi lamang bilang ang displacement o velocities ng mga particle ng system, kundi pati na rin ang halaga ng relative deformation o ang halaga ng compression, tension o shear stress, atbp. , sa isang nakatayong alon, sa mga lugar kung saan nabuo ang mga antinode ng bilis ng butil, matatagpuan ang mga deformation node at, sa kabaligtaran, ang mga node ng bilis ay tumutugma sa mga antinode ng pagpapapangit. Ang conversion ng enerhiya mula sa kinetic form sa potensyal na anyo at vice versa ay nangyayari sa loob ng seksyon ng system mula sa antinode hanggang sa kalapit na node. Maaari nating ipagpalagay na ang bawat naturang lugar ay hindi nakikipagpalitan ng enerhiya sa mga kalapit na lugar. Tandaan na ang conversion ng kinetic energy ng mga gumagalaw na particle sa potensyal na enerhiya ng mga deformed na seksyon ng medium ay nangyayari nang dalawang beses sa isang panahon.
Sa itaas, kapag isinasaalang-alang ang interference ng pasulong at paatras na mga alon (tingnan ang mga expression (5.16)), hindi kami interesado sa pinagmulan ng mga alon na ito. Ipagpalagay natin ngayon na ang daluyan kung saan ang mga vibrations ay nagpapalaganap ay may limitadong mga sukat, halimbawa, ang mga vibrations ay sanhi sa ilang solidong katawan - sa isang baras o string, sa isang haligi ng likido o gas, atbp. Isang alon na nagpapalaganap sa naturang medium ( body), ay makikita mula sa mga hangganan, samakatuwid, sa loob ng dami ng katawan na ito, ang interference ng mga alon na dulot ng isang panlabas na pinagmulan at nasasalamin mula sa mga hangganan ay patuloy na nangyayari.
Isaalang-alang natin pinakasimpleng halimbawa; Ipagpalagay, sa isang punto (Larawan 1.62) ng isang baras o string, ang isang oscillatory motion na may dalas ay nasasabik sa tulong ng isang panlabas na sinusoidal source; Pinipili namin ang simula ng bilang ng oras upang sa puntong ito ang displacement ay ipinahayag ng formula
kung saan ang amplitude ng mga oscillations sa punto Ang alon na dulot sa baras ay makikita mula sa pangalawang dulo ng baras 0% at pupunta sa tapat na direksyon
direksyon. Hanapin natin ang resulta ng interference ng direkta at sinasalamin na mga alon sa isang tiyak na punto ng baras na may coordinate x. Para sa pagiging simple ng pangangatwiran, ipinapalagay namin na walang pagsipsip ng enerhiya ng panginginig ng boses sa baras at samakatuwid ang mga amplitude ng direkta at sinasalamin na mga alon ay pantay.
Sa ilang mga punto ng oras kapag ang pag-aalis ng mga oscillating particle sa isang punto ay katumbas ng y, sa isa pang punto ng baras ang pag-aalis na dulot ng isang direktang alon ay, ayon sa formula ng alon, ay magiging katumbas ng
Ang sinasalamin na alon ay dumadaan din sa parehong punto A. Upang mahanap ang displacement na dulot sa point A ng reflected wave (sa parehong sandali sa oras, kinakailangan upang kalkulahin ang oras kung saan ang wave ay pupunta sa paraan mula sa at pabalik sa punto Dahil ang displacement na dulot sa punto ng masasalamin na alon ay magiging katumbas ng
Ipinapalagay na sa sumasalamin na dulo ng baras sa panahon ng pagmuni-muni ay walang biglang pagbabago sa yugto ng oscillation; Sa ilang mga kaso, ang pagbabago sa bahaging ito (tinatawag na pagkawala ng bahagi) ay nangyayari at dapat isaalang-alang.
Ang kumbinasyon ng mga oscillations na dulot sa iba't ibang mga punto ng baras sa pamamagitan ng direkta at sinasalamin na mga alon ay nagbibigay ng isang nakatayong alon; Talaga,
kung saan mayroong ilang pare-parehong yugto na independiyente sa x coordinate, at ang dami
ay ang amplitude ng mga oscillations sa isang punto; ito ay depende sa x coordinate, ibig sabihin, ito ay naiiba sa iba't ibang lugar ng rod.
Hanapin natin ang mga coordinate ng mga puntong iyon ng baras kung saan nabuo ang mga node at antinodes ng standing wave. Ang cosine ay nagiging zero o isa kapag ang mga halaga ng argumento ay multiple ng
kung saan ay isang integer. Kung ang bilang na ito ay kakaiba, ang cosine ay nagiging zero at ang formula (5.19) ay nagbibigay ng mga coordinate ng mga node ng standing wave; kung kahit na, makuha namin ang mga coordinate ng antinodes.
Sa itaas, dalawang alon lamang ang idinagdag: isang direktang alon na nagmumula at isang sinasalamin na alon na kumakalat mula sa Gayunpaman, dapat itong isaalang-alang na ang masasalamin na alon sa hangganan ng baras ay muling makikita at pupunta sa direksyon ng direktang alon. . Ang ganitong mga pagmumuni-muni
magkakaroon ng maraming mula sa mga dulo ng baras, at samakatuwid ito ay kinakailangan upang mahanap ang resulta ng pagkagambala ng hindi dalawa, ngunit lahat ng sabay-sabay na umiiral na mga alon sa baras.
Ipagpalagay natin na ang isang panlabas na pinagmumulan ng mga oscillation ay nagdulot ng mga alon sa baras sa loob ng ilang panahon, pagkatapos nito ay tumigil ang supply ng enerhiya ng oscillation mula sa labas. Sa panahong ito, ang mga pagmuni-muni ay naganap sa baras, kung saan ang oras kung saan ang alon ay dumaan mula sa isang dulo ng baras patungo sa isa pa. Dahil dito, ang mga alon na naglalakbay sa pasulong na direksyon at ang mga alon na naglalakbay sa kabaligtaran na direksyon ay magkakasabay na umiiral sa pamalo.
Ipagpalagay natin na bilang resulta ng interference ng isang pares ng mga alon (direkta at sinasalamin), ang displacement sa punto A ay lumalabas na katumbas ng y. Hanapin natin ang kondisyon kung saan ang lahat ng mga displacement y dulot ng bawat pares ng mga alon ay may parehong direksyon sa punto A ng baras at samakatuwid ay nagdaragdag. Upang gawin ito, ang mga yugto ng mga oscillations na dulot ng bawat pares ng mga alon sa isang punto ay dapat na mag-iba mula sa yugto ng mga oscillations na dulot ng susunod na pares ng mga alon. Ngunit ang bawat alon ay bumalik sa puntong A muli na may parehong direksyon ng pagpapalaganap lamang pagkatapos ng ilang sandali, ibig sabihin, ito ay nahuhuli sa yugto sa pamamagitan ng pagtutumbas ng lag na ito sa kung saan ang isang integer, nakukuha natin
ibig sabihin, ang isang integer na bilang ng mga kalahating alon ay dapat magkasya sa haba ng baras. Tandaan na sa ilalim ng kundisyong ito, ang mga yugto ng lahat ng mga alon na naglalakbay mula sa pasulong na direksyon ay naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng kung saan ang isang integer; sa parehong paraan, ang mga yugto ng lahat ng mga alon na naglalakbay mula sa tapat na direksyon ay naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng Samakatuwid, kung ang isang pares ng mga alon (pasulong at paatras) ay nagbibigay ng distribusyon ng mga displacement sa kahabaan ng baras, na tinutukoy ng formula (5.17), kung gayon kapag ang mga pares ng naturang mga alon ay nakakasagabal, ang pamamahagi ng mga displacement ay hindi magbabago; ang mga amplitude lamang ng mga oscillation ay tataas. Kung ang maximum na amplitude ng mga oscillations sa panahon ng interference ng dalawang waves, ayon sa formula (5.18), ay pantay-pantay, pagkatapos ay sa interference ng maraming waves ito ay magiging mas malaki. Ipahiwatig natin ito sa pamamagitan ng pagkatapos ay ang pamamahagi ng oscillation amplitude kasama ang baras sa halip na expression (5.18) ay matutukoy ng formula
Mula sa mga expression (5.19) at (5.20) ang mga punto kung saan ang cosine ay may halaga o 1 ay tinutukoy:
kung saan ay isang integer. Ang mga coordinate ng mga nakatayong wave node ay nakuha mula sa formula na ito para sa mga kakaibang halaga, pagkatapos ay depende sa haba ng rod, ibig sabihin, ang magnitude
ang mga coordinate ng antinodes ay makukuha sa pantay na halaga
Sa Fig. Figure 1.63 schematically ay nagpapakita ng isang nakatayong alon sa isang baras na ang haba ay ; ang mga punto ay mga antinode, ang mga punto ay mga node ng nakatayong alon na ito.
Sa ch. ipinakita na sa kawalan ng pana-panahong panlabas na impluwensya, ang likas na katangian ng mga paggalaw ng oscillatory sa system at, higit sa lahat, ang pangunahing dami - ang dalas ng mga oscillations - ay tinutukoy ng mga sukat at pisikal na katangian mga sistema. Ang bawat oscillatory system ay may sariling likas na oscillatory motion; ang oscillation na ito ay maaaring maobserbahan kung ang sistema ay inilabas sa ekwilibriyo at pagkatapos ay ang mga panlabas na impluwensya ay aalisin.
Sa ch. 4 na bahagi ako ay itinuturing na pangunahin mga oscillatory system na may mga bukol na parameter, kung saan ang ilang mga katawan (point body) ay may inertial mass, at ang iba pang mga katawan (springs) ay may nababanat na mga katangian. Sa kabaligtaran, ang mga oscillatory system kung saan ang mass at elasticity ay likas sa bawat elementary volume ay tinatawag na mga system na may mga distributed na parameter. Kabilang dito ang mga tungkod, mga string na tinalakay sa itaas, pati na rin ang mga haligi ng likido o gas (sa mga instrumentong pangmusika ng hangin), atbp. Para sa mga naturang sistema, ang mga natural na oscillation ay mga standing wave; ang pangunahing katangian ng mga alon na ito - haba ng daluyong o pamamahagi ng mga node at antinodes, pati na rin ang dalas ng oscillation - ay tinutukoy lamang ng mga sukat at katangian ng system. Ang mga nakatayong alon ay maaaring umiral kahit na walang panlabas (pana-panahong) impluwensya sa sistema; ang epektong ito ay kinakailangan lamang upang maging sanhi o mapanatili ang mga nakatayong alon sa system o upang baguhin ang mga amplitude ng mga oscillations. Sa partikular, kung ang isang panlabas na impluwensya sa isang sistema na may mga ipinamamahagi na mga parameter ay nangyayari na may dalas na katumbas ng dalas ng sarili nitong mga oscillations, ibig sabihin, ang dalas ng isang nakatayong alon, kung gayon ang kababalaghan ng resonance ay nangyayari, na tinalakay sa Kabanata. 5. ay pareho para sa iba't ibang mga frequency.
Kaya, sa mga system na may mga distributed na parameter, ang mga natural na oscillations - standing waves - ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang buong spectrum ng mga frequency na multiple ng bawat isa. Ang pinakamaliit sa mga frequency na ito na tumutugma sa pinakamahabang wavelength ay tinatawag na pangunahing frequency; ang natitira) ay mga overtones o harmonics.
Ang bawat sistema ay nailalarawan hindi lamang sa pagkakaroon ng gayong spectrum ng mga vibrations, kundi pati na rin ng isang tiyak na pamamahagi ng enerhiya sa pagitan ng mga vibrations ng iba't ibang mga frequency. Para sa mga Instrumentong pangmusika Ang pamamahagi na ito ay nagbibigay sa tunog ng isang kakaibang katangian, ang tinatawag na timbre ng tunog, na naiiba para sa iba't ibang mga instrumento.
Ang mga kalkulasyon sa itaas ay nalalapat sa isang malayang oscillating rod na may haba Gayunpaman, kadalasan ay mayroon kaming mga rod na naayos sa isa o magkabilang dulo (halimbawa, vibrating string), o may isa o higit pang mga attachment point sa kahabaan ng rod. Mga lugar ng attachment kung saan ang mga particle ng ang sistema ay hindi maaaring mag-vibrate ang mga paggalaw ay sapilitang mga displacement node. Halimbawa,
kung kinakailangan upang makakuha ng mga nakatayong alon sa isang baras sa isa, dalawa, tatlong punto ng attachment, atbp., kung gayon ang mga puntong ito ay hindi maaaring piliin nang basta-basta, ngunit dapat na matatagpuan sa kahabaan ng baras upang mapunta sila sa mga node ng resultang nakatayong alon. Ito ay ipinapakita, halimbawa, sa Fig. 1.64. Sa parehong figure, ang tuldok na linya ay nagpapakita ng pag-aalis ng mga punto ng baras sa panahon ng vibrations; Ang mga displacement antinodes ay palaging nabuo sa mga libreng dulo, ang mga displacement node ay palaging nabuo sa mga nakapirming dulo. Para sa mga oscillating air column sa mga pipe, ang displacement (at velocity) node ay nakuha sa reflective solid walls; Ang mga antinode ng mga displacement at bilis ay nabuo sa mga bukas na dulo ng mga tubo.
