Dalga girişimi. Duran dalga denklemi. Elastik dalgalar. duran dalgalar dalga denklemi. Düzlem ve küresel dalgaları tanımlamak için matematiksel denklem. Dalga vektörü Benzer şekilde, düğümlerin koordinatları koşuldan bulunur.
Ortamda aynı anda birkaç dalga yayılırsa, ortamın parçacıklarının salınımları, parçacıkların her bir dalganın ayrı ayrı yayılması sırasında yapacakları salınımların geometrik toplamı olur. Sonuç olarak, dalgalar birbirini rahatsız etmeden basitçe üst üste gelir. Bu ifadeye dalgaların üst üste gelme (süperpozisyon) ilkesi denir.
Ortamın her noktasında tek tek dalgaların neden olduğu salınımların sabit bir faz farkı olması durumunda, dalgalara koherent denir. (Uyumun daha kesin bir tanımı § 120'de verilecektir.) Tutarlı dalgalar birbirine eklendiğinde, bazı noktalarda salınımların artması ve diğer noktalarda birbirlerini zayıflatmalarından oluşan girişim fenomeni ortaya çıkar.
Aynı genliğe sahip iki karşı yayılan düzlem dalga üst üste bindirildiğinde çok önemli bir girişim durumu gözlemlenir. Ortaya çıkan salınım sürecine duran dalga denir. Pratik olarak duran dalgalar, dalgalar engellerden yansıdığında ortaya çıkar. Bariyerin üzerine düşen dalga ve ona doğru ilerleyen yansıyan dalga birbiri üzerine bindirilerek duran bir dalga verir.
Z ekseni boyunca zıt yönlerde yayılan iki düzlem dalganın denklemlerini yazalım:
Bu denklemleri bir araya getirerek ve sonucu kosinüslerin toplamı formülünü kullanarak dönüştürerek, şunu elde ederiz:
Denklem (99.1) duran dalga denklemidir. Basitleştirmek için, orijini, fark sıfıra eşit olacak ve orijini - böylece toplamın sıfır olacağı şekilde seçiyoruz.Ayrıca, k dalga numarasını değeriyle değiştiriyoruz.
Sonra denklem (99.1) formunu alır
(99.2)'den, duran dalganın her noktasında karşı dalgalarda olduğu gibi aynı frekansta salınımların meydana geldiği ve genliğin x'e bağlı olduğu görülebilir:
salınım genliği maksimum değerine ulaşır. Bu noktalara duran dalganın antinodları denir. (99.3)'ten antinode koordinatlarının değerleri elde edilir:
Antinodun tek bir nokta değil, noktaları formül (99.4) tarafından belirlenen x koordinat değerlerine sahip bir düzlem olduğu unutulmamalıdır.
Koordinatları koşulu sağlayan noktalarda
salınım genliği kaybolur. Bu noktalara duran dalganın düğümleri denir. Düğümlerde bulunan ortamın noktaları salınım yapmaz. Düğüm koordinatları önemlidir
Bir antinode gibi bir düğüm, tek bir nokta değil, noktaları formül (99.5) ile belirlenen x koordinat değerlerine sahip bir düzlemdir.
(99.4) ve (99.5) formüllerinden, komşu antinodlar arasındaki mesafenin yanı sıra komşu düğümler arasındaki mesafenin 'ye eşit olduğu sonucu çıkar. Antinodlar ve düğümler birbirlerine göre dalga boyunun dörtte biri kadar kaydırılır.
Tekrar denklem (99.2)'ye dönelim. Çarpan sıfırdan geçerken işaret değiştirir. Buna göre düğümün zıt taraflarındaki salınımların fazı şu şekilde farklılık gösterir: Bu, düğümün zıt taraflarında bulunan noktaların antifazda salınım yaptığı anlamına gelir. İki komşu düğüm arasındaki tüm noktalar fazda salınır (yani aynı fazda). Şek. 99.1 Denge konumundan noktaların sapmalarının bir dizi "anlık görüntüsü" verilir.
İlk "fotoğraf", sapmaların en büyük mutlak değerine ulaştığı ana karşılık gelir. Sonraki "fotoğraflar", çeyrek dönem aralıklarla çekildi. Oklar parçacık hızlarını gösterir.
Denklemi (99.2) bir kez t'ye göre ve bir kez daha x'e göre farklılaştırarak, parçacık hızı ve ortamın deformasyonu için ifadeler buluruz:
Denklem (99.6) duran bir hız dalgasını ve (99.7) - duran bir deformasyon dalgasını tanımlar.
Şek. 99.2 yer değiştirme, hız ve deformasyonun "anlık fotoğrafları" 0 kez karşılaştırılır ve Grafiklerden hızın düğümlerinin ve antinodlarının yer değiştirmenin düğümleri ve antinodları ile çakıştığı görülebilir; deformasyonun düğümleri ve antinodları, sırasıyla yer değiştirmenin antinodları ve düğümleri ile çakışır. Maksimum değerlere ulaşırken kayboluyor ve tam tersi.
Buna göre, bir periyotta iki kez duran dalganın enerjisi ya tamamen potansiyele dönüştürülür, esas olarak dalganın düğümlerinin yakınında yoğunlaşır (deformasyonun antinodlarının bulunduğu yerde), daha sonra tamamen kinetik enerjiye dönüştürülür, esas olarak antinodların yakınında konsantre edilir. dalga (hızın antinodlarının bulunduğu yer). Sonuç olarak, her bir düğümden kendisine bitişik antinodlara bir enerji aktarımı vardır ve bunun tersi de geçerlidir. Dalganın herhangi bir bölümündeki zaman ortalamalı enerji akışı sıfıra eşittir.
Bölüm 7
Dalgalar. dalga denklemi
Daha önce ele aldığımız hareketlere ek olarak, fiziğin neredeyse tüm alanlarında başka bir hareket türü daha vardır - dalgalar. Ayırt edici özellik Onu benzersiz kılan bu hareket, dalgada yayılan maddenin parçacıkları değil, durumlarındaki değişiklikler (tedirgeler) olmasıdır.
Uzayda zamanla yayılan bozulmalara denir. dalgalar . Dalgalar mekanik ve elektromanyetiktir.
elastik dalgalarelastik ortamın yayılan pertürbasyonlarıdır.
Elastik bir ortamın bozulması, bu ortamın parçacıklarının denge konumundan herhangi bir sapmasıdır. Ortamın herhangi bir yerindeki deformasyonun bir sonucu olarak bozulmalar ortaya çıkar.
Dalganın belirli bir zamanda ulaştığı tüm noktaların toplamı, dalga adı verilen bir yüzey oluşturur. dalga cephesi .
Önün şekline göre dalgalar küresel ve düzlemsel olarak ayrılır. Yön dalga cephesinin yayılımı belirlenir denilen dalga cephesine dik ışın . Küresel bir dalga için, ışınlar radyal olarak uzaklaşan bir ışındır. Düzlem dalga için ışın, paralel çizgilerden oluşan bir ışındır.
Herhangi bir mekanik dalgada aynı anda iki tür hareket vardır: ortamın parçacıklarının salınımları ve bir bozulmanın yayılması.
Ortamın parçacıklarının salınımlarının ve pertürbasyonun yayılmasının aynı yönde meydana geldiği dalgaya denir. boyuna (şek.7.2 a).
Ortamın parçacıklarının pertürbasyonların yayılma yönüne dik salınım yaptığı dalgaya denir. enine (Şekil 7.2 b).
Boyuna bir dalgada, bozulmalar ortamın bir sıkışmasını (veya seyrekleşmesini) temsil eder ve enine bir dalgada, ortamın bazı katmanlarının diğerlerine göre yer değiştirmeleridir (kesmeler). Boyuna dalgalar tüm ortamlarda (sıvı, katı ve gaz halinde) yayılabilirken, enine dalgalar yalnızca katı ortamlarda yayılabilir.
Her dalga belirli bir hızda yayılır . Altında dalga hızı υ Bozulmanın yayılma hızını anlayın. Bir dalganın hızı, bu dalganın yayıldığı ortamın özelliklerine göre belirlenir. Katılarda boyuna dalgaların hızı enine dalgaların hızından daha fazladır.
dalga boyuλ, bir dalganın kaynağındaki salınım periyoduna eşit bir sürede yayıldığı mesafedir.. Dalganın hızı sabit bir değer olduğundan (belirli bir ortam için), dalganın kat ettiği mesafe, hızın ve yayılma süresinin çarpımına eşittir. yani dalga boyu
Denklem (7.1)'den, bir λ aralığı ile birbirinden ayrılan parçacıkların aynı fazda salındığı sonucu çıkar. O halde dalga boyunun şu tanımını verebiliriz: dalga boyu, aynı fazda salınan en yakın iki nokta arasındaki mesafedir.
Herhangi bir zamanda dalganın herhangi bir noktasının yer değiştirmesini belirlememize izin veren bir düzlem dalga denklemini türetelim. Dalganın kaynaktan gelen ışın boyunca bir miktar v hızıyla yayılmasına izin verin.
Kaynak, basit harmonik salınımları uyarır ve herhangi bir zamanda dalganın herhangi bir noktasının yer değiştirmesi denklem tarafından belirlenir.
S = Asinωt (7.2)
O zaman dalga kaynağından x uzaklıkta olan ortamın noktası da harmonik salınımlar gerçekleştirecektir, ancak zaman açısından bir değer kadar gecikme olacaktır, yani. Titreşimlerin kaynaktan o noktaya yayılması için geçen süre. Herhangi bir zamanda denge konumuna göre salınım noktasının yer değiştirmesi, bağıntı ile tanımlanacaktır.
Bu düzlem dalga denklemidir. Bu dalga aşağıdaki parametrelerle karakterize edilir:
· S - salınımın ulaştığı elastik ortamın denge noktasının konumundan yer değiştirme;
· ω - kaynak tarafından üretilen ve ortamın noktalarının da salındığı döngüsel salınım frekansı;
· υ - dalga yayılma hızı (faz hızı);
x - salınımın ulaştığı ve yer değiştirmesi S'ye eşit olan ortamın o noktasına olan mesafe;
· t – salınımların başlangıcından itibaren sayılan süre;
λ dalga boyunu (7.3) ifadesine dahil ederek, düzlem dalga denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir:
(7. 4)
|
Dalga girişimi. duran dalgalar Duran dalga denklemi
Duran dalgalar, aynı frekans ω ve genliği A olan iki zıt düzlem dalganın girişiminin bir sonucu olarak oluşur.
S noktasında, SO ışını boyunca bir düzlem dalganın yayıldığı bir vibratör olduğunu hayal edin. O noktasındaki engele ulaşan dalga yansıyacak ve ters yön, yani iki hareketli düzlem dalgası ışın boyunca yayılır: ileri ve geri. Bu iki dalga uyumludur, çünkü aynı kaynak tarafından üretilirler ve üst üste bindirildiklerinde birbirleriyle girişim yapacaklardır.
Girişim sonucunda ortamın salınım durumuna durağan dalga denir.
Doğrudan ve geriye doğru hareket eden dalganın denklemini yazalım:
dümdüz - 
; tersi - 
burada S1 ve S2, SO ışını üzerindeki rastgele bir noktanın yer değiştirmesidir. Toplamın sinüs formülü dikkate alındığında, ortaya çıkan yer değiştirme şuna eşittir:
Böylece, duran dalga denklemi şu şekildedir:
cosωt faktörü, SO ışını üzerindeki ortamın tüm noktalarının bir frekansla basit harmonik salınımlar gerçekleştirdiğini gösterir. İfadeye duran dalganın genliği denir. Gördüğünüz gibi, genlik noktanın SO(x) ışını üzerindeki konumuna göre belirlenir.
Maksimum değer genliklerin hangi noktalara sahip olacağı
Veya (n = 0, 1, 2,….)
nereden veya 
(4.70)
duran dalganın antinodları .
Minimum değer, sıfıra eşit olduğu noktalara sahip olacaktır.
Veya 
(n=0, 1, 2,….)
nereden veya 
(4.71)
Bu koordinatlara sahip noktalara denir. duran dalga düğümleri . (4.70) ve (4.71) ifadelerini karşılaştırdığımızda, komşu antinodlar ile komşu düğümler arasındaki mesafenin λ/2'ye eşit olduğunu görüyoruz.
Şekilde, düz çizgi ortamın salınım noktalarının zaman içinde bir noktada yer değiştirmesini gösterir, noktalı eğri aynı noktaların konumunu T / 2 üzerinden gösterir. Her nokta, vibratöre (x) olan mesafesine göre belirlenen bir genlikle salınır.
Yürüyen bir dalganın aksine, duran bir dalgada enerji aktarımı yoktur. Enerji, hareketsiz kalan düğümler arasındaki sınırlar içinde basitçe potansiyelden (ortamın noktalarının denge konumundan maksimum yer değiştirmesi ile) kinetik (noktalar denge konumundan geçtiğinde) geçer.
Düğümler arasındaki sınırlar içinde duran bir dalganın tüm noktaları, aynı fazda ve düğümün zıt taraflarında - antifazda salınır.
Örneğin, her iki ucundan gerilmiş bir ipte enine titreşimler uyarıldığında duran dalgalar ortaya çıkar. Ayrıca, sabitleme yerlerinde duran bir dalganın düğümleri vardır.
Bir ucu açık olan bir hava sütununda (ses dalgası) duran bir dalga oluşursa, açık uçta bir antinod ve karşı uçta bir düğüm oluşur.
Ses. Doppler etkisi
Gaz, sıvı ve katılarda yayılan boyuna elastik dalgalar görünmezdir. Ancak, belirli koşullar altında duyulabilirler. Bu nedenle, bir mengeneye kenetlenmiş uzun bir çelik cetvelin titreşimlerini uyarırsak, onun ürettiği dalgaları duymayız. Ancak cetvelin çıkıntılı kısmını kısaltırsak ve böylece salınımlarının sıklığını arttırırsak, cetvelin ses çıkarmaya başlayacağını göreceğiz.
İnsanlarda işitsel duyumlara neden olan elastik dalgalara denir. ses dalgaları ya da sadece ses.
İnsan kulağı, 16 Hz'den 20.000 Hz'e kadar ν frekanslı elastik mekanik dalgaları algılayabilir. ν frekanslı elastik dalgalar<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000 Hz - ultrasonik.
16 Hz ile 20000 Hz aralığındaki frekanslara ses denir. Ses frekansı ile titreşen herhangi bir cisim (katı, sıvı veya gaz) çevre ses dalgası.
Gazlarda ve sıvılarda, ses dalgaları boyuna sıkıştırma ve seyrekleşme dalgaları şeklinde yayılır. Ses kaynağının (teller, akort çatalı ayakları, ses telleri vb.) titreşimleri sonucu oluşan ortamın bir süre sonra insan kulağına ulaşması ve kulak zarının zorlanmış titreşimler yapmasına neden olması sonucu oluşan ortamın sıkışması ve seyrekleşmesi, bir kişide belirli işitsel duyumlara neden olur.
Ses dalgaları boşlukta yayılamaz çünkü orada titreşecek hiçbir şey yoktur. Bu, üzerinde doğrulanabilir basit deneyim. Bir hava pompasının cam kubbesinin altına bir elektrikli zil yerleştirirsek, hava dışarı pompalanırken sesin tamamen durana kadar giderek zayıfladığını görürüz.
gazlarda ses. Bir fırtına sırasında önce bir şimşek çakması gördüğümüz ve ancak daha sonra gök gürültüsü duyduğumuz bilinmektedir. Bu gecikme, sesin havadaki hızının ışık hızından çok daha düşük olması nedeniyle oluşur. Sesin havadaki hızı ilk olarak 1646'da Fransız bilim adamı Marin Mersen tarafından ölçülmüştür. +20ºС sıcaklıkta 343 m/s'ye eşittir, yani. 1235km/s
Sesin hızı ortamın sıcaklığına bağlıdır. Artan sıcaklıkla artar ve azalan sıcaklıkla azalır.
Sesin hızı, bu sesin yayıldığı gazın yoğunluğuna bağlı değildir. Bununla birlikte, moleküllerinin kütlesine bağlıdır. Gaz moleküllerinin kütlesi ne kadar büyük olursa, içindeki ses hızı o kadar düşük olur. Yani bir sıcaklıkta
0 ºС sesin hidrojendeki hızı 1284m/s'dir ve karbon dioksit- 259 m / s.
Sıvılarda ses. Sesin sıvılardaki hızı, genellikle gazlardaki ses hızından daha fazladır. Sesin sudaki hızı ilk olarak 1826'da ölçülmüştür. Deneyler İsviçre'deki Cenevre Gölü'nde yapıldı. Bir teknede barutu ateşe verdiler ve aynı zamanda zili vurdular, suya indirdiler. Yine suya indirilen özel bir korna yardımıyla bu çanın sesi, ilkinden 14 km uzaklıkta bulunan başka bir teknede yakalandı. Sesin sudaki hızı, ışığın parlaması ile ses sinyalinin gelmesi arasındaki zaman farkından belirlendi. 8 ºС sıcaklıkta, 1435m/s'ye eşit olduğu ortaya çıktı.
Sıvılarda, sesin hızı genellikle artan sıcaklıkla azalır. Su bu kuralın bir istisnasıdır. İçinde sesin hızı artan sıcaklıkla artar ve 74 ºС sıcaklıkta maksimuma ulaşır ve sıcaklıkta daha fazla artışla azalır.
İnsan kulağının su altında “iyi çalışmadığı” söylenmelidir. Çoğu ses kulak zarından yansır ve bu nedenle işitsel duyumlara neden olmaz. Bir zamanlar atalarımıza sualtı dünyasını “sessizlik dünyası” olarak görmeleri için sebep veren buydu. Bu nedenle "bir balık gibi sessiz" ifadesi. Ancak Leonardo da Vinci bile kulağınızı suya indirilmiş bir küreğe koyarak su altı seslerini dinlemeyi önerdi. Bu yöntemi kullanarak balığın aslında oldukça konuşkan olduğundan emin olabilirsiniz.
Katılarda ses. Sesin katılardaki hızı sıvılardakinden bile daha fazladır. Sadece burada, katılarda hem boyuna hem de enine dalgalar. Bildiğimiz gibi bu dalgaların hızı farklıdır. Örneğin çelikte enine dalgalar 3300 m/s hızla, boyuna dalgalar ise 6100 m/s hızla yayılır. Sesin bir katıdaki hızının havadakinden daha büyük olduğu gerçeği şu şekilde doğrulanabilir. Arkadaşınız korkuluğun bir ucuna vurur ve diğer ucuna kulağınızı koyarsanız iki vuruş duyulur. Ses önce raydan sonra havadan kulağınıza ulaşacaktır.
Toprak iyi bir iletkenliğe sahiptir. Bu nedenle, eski günlerde, bir kuşatma sırasında, kale duvarlarına, toprak tarafından iletilen sesle, düşmanın duvarları kazıp kazmadığını belirleyebilecek “dinleyiciler” yerleştirildi. Kulağını yere dayamak, düşman süvarilerinin yaklaştığını tespit etmeyi de mümkün kıldı.
Duyulabilir seslere ek olarak, yerkabuğuİnsan kulağının artık algılamadığı kızılötesi dalgalar da yayılır. Bu tür dalgalar depremler sırasında ortaya çıkabilir.
Volkanik patlamalar ve patlamalar sırasında hem yerde hem de havada yayılan güçlü infrasonik dalgalar ortaya çıkar. atom bombaları. Atmosferdeki hava girdapları, kargo tahliyeleri, silah atışları, rüzgar, akan deniz dalgaları tepeleri, jet uçaklarının çalışan motorları vb.
Ultrason da insan kulağı tarafından algılanmaz. Ancak yarasalar ve yunuslar gibi bazı hayvanlar onu yayabilir ve yakalayabilir. Teknolojide, ultrason üretmek için özel cihazlar kullanılır.
Aynı genliğe sahip düzlem dalgalar üst üste bindirildiğinde çok önemli bir girişim durumu gözlemlenir. Ortaya çıkan salınım süreci denir durağan dalga.
Pratik olarak duran dalgalar, dalgalar engellerden yansıdığında ortaya çıkar. Bariyer üzerine gelen dalga ve ona doğru gelen yansıyan dalga birbiri üzerine bindirilerek duran bir dalga verir.
Zıt yönlerde yayılan aynı genliğe sahip iki sinüzoidal düzlem dalganın girişiminin sonucunu düşünün.
Akıl yürütmenin basitliği için, her iki dalganın da orijinde aynı fazda salınımlara neden olduğunu varsayıyoruz.
Bu salınımlar için denklemler şu şekildedir:
Her iki denklemi de ekleyerek ve sonucu sinüs toplamı formülüne göre dönüştürerek şunu elde ederiz:
- duran dalga denklemi.
Bu denklemi harmonik salınımların denklemi ile karşılaştırdığımızda, ortaya çıkan salınımların genliğinin şuna eşit olduğunu görüyoruz:
, ve , o zamandan beri .
Ortamın herhangi bir salınım olmadığı noktalarda, yani. . Bu noktalara denir duran dalga düğümleri.
Salınım genliğinin olduğu noktalarda en yüksek değer, eşittir . Bu noktalara denir duran dalganın antinodları. Antinode koordinatları koşuldan bulunur, çünkü , sonra .
Buradan:
Benzer şekilde, düğümlerin koordinatları şu koşuldan bulunur:
Neresi:
Düğümlerin ve antinodların koordinatları için formüllerden, komşu antinodlar arasındaki mesafenin yanı sıra komşu düğümler arasındaki mesafenin . Antinodlar ve düğümler birbirlerine göre dalga boyunun dörtte biri kadar kaydırılır.
Duran ve ilerleyen bir dalgadaki salınımların doğasını karşılaştıralım. Yürüyen bir dalgada, her nokta, genliği diğer noktaların genliğinden farklı olmayan salınım yapar. Ancak çeşitli noktalarda dalgalanmalar meydana gelir. farklı aşamalar.
Duran bir dalgada, iki komşu düğüm arasında bulunan ortamın tüm parçacıkları aynı fazda ancak farklı genliklerde salınır. Düğümden geçerken, salınımların fazı aniden değişir, çünkü işaret değişir.
Grafiksel olarak, duran bir dalga aşağıdaki gibi gösterilebilir:
Ortamın tüm noktalarının, yönü işaret tarafından belirlenen maksimum yer değiştirmeye sahip olduğu anda. Bu yer değiştirmeler şekilde düz oklarla gösterilmiştir.
Çeyrek periyottan sonra, tüm noktaların yer değiştirmeleri sıfıra eşittir. Parçacıklar hattan farklı hızlarda geçer.
Periyodun başka bir çeyreğinden sonra, parçacıklar tekrar maksimum yer değiştirmeye sahip olacak, ancak zıt yönde (kesikli oklar).
Elastik sistemlerde salınımlı süreçleri tanımlarken, sadece yer değiştirme değil, aynı zamanda partikül hızı ve ortamın göreli deformasyonunun büyüklüğü de salınımlı bir değer olarak alınabilir.
Duran bir dalganın hızındaki değişim yasasını bulmak için duran bir dalganın yer değiştirme denklemiyle türevini alırız ve deformasyondaki değişim yasasını bulmak için duran bir dalga denklemiyle türevini alırız.
Bu denklemleri analiz ederek, hızın düğümleri ve antinodlarının yer değiştirmenin düğümleri ve antinodları ile çakıştığını görüyoruz; deformasyonun düğümleri ve antinodları, sırasıyla hız ve yer değiştirmenin antinodları ve düğümleri ile çakışır.
sicim titreşimleri
Her iki ucundan gerilmiş bir ipte, enine titreşimler uyarıldığında, duran dalgalar oluşur ve ipin sabitlendiği yerlere düğümler yerleştirilmelidir. Bu nedenle, dizede yalnızca bu tür salınımlar uyarılır, uzunluğunun yarısı dizenin uzunluğuna tamsayı olarak uyan sayıdadır.
Bundan koşulu takip eder:
dize uzunluğu nerede.
Ya da. Bu dalga boyları, dalganın faz hızı olan frekanslara karşılık gelir. Değeri, ipin gerilim kuvveti ve kütlesi tarafından belirlenir.
At, temel frekanstır.
At - dizinin doğal titreşim frekansları veya imalar.
Doppler etkisi
Dalga kaynağının ve gözlemcinin ortama göre bir düz çizgi boyunca hareket ettiği en basit durumları ele alalım:
1. Ses kaynağı ortama göre bir hızla hareket eder, ses alıcısı hareketsizdir.
Bu durumda salınım periyodu sırasında ses dalgası kaynaktan uzaklaşacak ve kaynağın kendisi .
Kaynak alıcıdan çıkarılırsa, yani. dalga yayılma yönünün tersi yönde hareket ettirin, ardından dalga boyu.
Ses kaynağı alıcıya yaklaştırılırsa, yani. dalga yayılımı yönünde hareket ettirin, sonra .
Alıcı tarafından algılanan sesin frekansı:
Her iki durumda da değerleri yerine değiştirin:
Kaynağın salınım frekansının nerede olduğu dikkate alındığında eşitlik şu şekilde olur.:
Bu kesrin hem payını hem de paydasını şuna bölün:
2. Ses kaynağı sabittir ve alıcı ortama göre bir hızda hareket etmektedir.
Bu durumda ortamdaki dalga boyu değişmez ve yine eşittir. Aynı zamanda, hareketli alıcıya ulaşan bir salınım periyodu ile zaman içinde farklı olan iki ardışık genlik, dalganın alıcı ile buluşma anlarında, değeri bir zaman aralığı ile zaman içinde farklılık gösterecektir. alıcının uzaklaşıp uzaklaşmadığına veya kaynak sese yaklaşıp yaklaşmadığına bağlı olarak daha fazla veya daha az. Süre boyunca ses bir mesafe boyunca yayılır ve alıcı bir mesafe boyunca hareket eder. Bu miktarların toplamı bize dalga boyunu verir:
Alıcı tarafından algılanan salınımların periyodu, bu salınımların frekansı ile şu ilişki ile ilişkilidir:
(1) eşitliğindeki ifadesi yerine değiştirerek şunu elde ederiz:
Çünkü , kaynağın salınım frekansı nerede ve , sonra:
3. Ses kaynağı ve alıcı ortama göre hareket ediyor. Önceki iki durumda elde edilen sonuçları birleştirerek şunları elde ederiz:
ses dalgaları
Havada yayılan elastik dalgaların frekansı 20 ile 20.000 Hz arasında ise insan kulağına ulaştıklarında ses algısına neden olurlar. Bu nedenle bu frekans aralığında bulunan dalgalara ses dalgaları denir. Frekansı 20 Hz'den küçük olan elastik dalgalara denir. kızılötesi . Frekansı 20.000 Hz'den fazla olan dalgalara denir. ultrason. Ultrason ve infrasoundlar insan kulağı tarafından duyulamaz.
Ses duyumları perde, tını ve ses yüksekliği ile karakterize edilir. Sesin perdesi, titreşimlerin frekansı tarafından belirlenir. Bununla birlikte, ses kaynağı bir değil, bütün bir frekans spektrumu yayar. Belirli bir seste bulunan titreşim frekansları kümesine sesin adı verilir. akustik spektrum. Titreşim enerjisi, akustik spektrumun tüm frekansları arasında dağıtılır. Bir sesin perdesi bir tarafından belirlenir - eğer bu frekans diğer frekansların payından önemli ölçüde daha fazla miktarda enerji oluşturuyorsa, temel frekans.
Spektrum, ile arasındaki frekans aralığında olan bir dizi frekanstan oluşuyorsa, böyle bir spektruma denir. sağlam(örnek - gürültü).
Spektrum, ayrı frekansların bir dizi salınımından oluşuyorsa, böyle bir spektruma denir. yönetilen(örnek - müzikal sesler).
Sesin akustik spektrumu, doğasına ve enerjinin frekanslar arasındaki dağılımına bağlı olarak, sesin tınısı olarak adlandırılan ses duyusunun orijinalliğini belirler. Farklı müzik aletlerinin farklı akustik spektrumları vardır, yani. tonda farklılık gösterir.
Sesin yoğunluğu çeşitli niceliklerle karakterize edilir: ortamın parçacıklarının salınımları, hızları, basınç kuvvetleri, içlerindeki stresler vb.
Bu miktarların her birinin salınımlarının genliğini karakterize eder. Ancak, bu miktarlar birbiriyle ilişkili olduğundan, tek bir enerji karakteristiğinin tanıtılması tavsiye edilir. Her tür dalga için böyle bir özellik 1877'de önerildi. ÜZERİNDE. Umov.
Hareket eden dalganın önünden bir platformu zihinsel olarak keselim. Zamanla, bu alan dalganın hızının olduğu bir mesafeyi hareket ettirecektir.
Salınım yapan ortamın birim hacminin enerjisi ile belirtin. O zaman tüm hacmin enerjisi eşit olacaktır.
Bu enerji, alan boyunca yayılan bir dalga tarafından zaman içinde aktarıldı.
Bu ifadeyi ve ile bölerek, dalganın birim alandan birim zamanda aktardığı enerjiyi elde ederiz. Bu değer bir harf ile gösterilir ve vektör
Ses alanı için vektör sesin gücü denir.
Sesin gücü fiziksel özellik ses yoğunluğu. Subjektif olarak değerlendiriyoruz, Ses ses. İnsan kulağı, gücü, farklı frekanslar için farklı olan belirli bir minimum değeri aşan sesleri algılar. Bu değer denir işitme eşiği ses. Hz mertebesindeki orta frekanslar için, işitme eşiği mertebesindedir.
Düzenin çok büyük bir ses şiddeti ile ses, kulak dışındaki dokunma organları tarafından algılanır ve kulakta ağrıya neden olur.
Bunun gerçekleştiği yoğunluk değerine denir. Ağrı eşiği. Ağrı eşiği ve işitme eşiği, frekansa bağlıdır.
Bir kişinin seslerin algılanması için oldukça karmaşık bir aparatı vardır. Ses titreşimleri kulak kepçesi tarafından toplanır ve işitsel kanal aracılığıyla kulak zarına etki eder. Titreşimleri koklea adı verilen küçük bir boşluğa iletilir. Kokleanın içinde farklı uzunluklara ve gerilimlere ve dolayısıyla farklı doğal titreşim frekanslarına sahip çok sayıda lif bulunur. Ses uygulandığında, fiberlerin her biri, frekansı fiberin doğal frekansıyla çakışan bir tonda rezonansa girer. İşitme cihazındaki rezonans frekansları, tarafımızdan algılanan ses titreşimlerinin alanını belirler.
Kulağımız tarafından öznel olarak değerlendirilen ses seviyesi, ses dalgalarının yoğunluğundan çok daha yavaş artar. Yoğunluk katlanarak artarken, hacim katlanarak artar. Bu temelde, ses yüksekliği seviyesi, belirli bir sesin yoğunluğunun orijinal olarak alınan yoğunluğa oranının logaritması olarak tanımlanır.
Ses seviyesi birimi denir beyaz. Daha küçük birimler de kullanılır - desibel(beyazdan 10 kat daha az).
ses yutma katsayısı nerede.
Ses yutma katsayısının değeri, sesin frekansının karesiyle orantılı olarak artar, bu nedenle alçak sesler yüksek olanlardan daha uzağa yayılır.
Büyük odaların mimari akustiğinde önemli bir rol oynar. yankılanma veya tesislerin ses yüksekliği. Çevreleyen yüzeylerden çoklu yansımalar yaşayan sesler, dinleyici tarafından oldukça uzun bir süre algılanır. Bu, bize ulaşan sesin gücünü arttırır, ancak yankılanma çok uzun olursa, tek tek sesler birbirinin üzerine bindirilir ve konuşma artık net bir şekilde algılanmaz. Bu nedenle salonların duvarları yankılanmayı azaltmak için özel ses emici malzemelerle kaplanmıştır.
Titreşen herhangi bir cisim bir ses titreşimi kaynağı olarak hizmet edebilir: bir çan kamış, bir akort çatalı, bir keman teli, üflemeli çalgılarda bir hava sütunu, vb. bu aynı cisimler, çevrenin titreşimleriyle harekete geçtiklerinde ses alıcıları olarak da hizmet edebilirler.
ultrason
Yön almak için, yani düze yakın, emitörün dalga boyutları dalga boyundan birçok kez daha büyük olmalıdır. Havadaki ses dalgalarının uzunluğu 15 m'ye kadar, sıvı ve katı cisimlerde ise dalga boyu daha da uzundur. Bu nedenle, bu uzunlukta yönlendirilmiş bir dalga yaratacak bir emitör inşa etmek pratik olarak imkansızdır.
Ultrasonik titreşimlerin frekansı 20.000 Hz'in üzerindedir, bu nedenle dalga boyları çok küçüktür. Dalga boyu azaldıkça, dalga yayılımı sürecinde kırınımın rolü de azalır. Bu nedenle ultrasonik dalgalar, ışık ışınlarına benzer şekilde yönlendirilmiş ışınlar şeklinde elde edilebilir.
Ultrasonik dalgaları uyarmak için iki fenomen kullanılır: ters piezoelektrik etki ve manyetostriksiyon.
Ters piezoelektrik etki, bazı kristallerin (Rochelle tuzu, kuvars, baryum titanat vb.) Elektrik alanı biraz deforme olmuş Alternatif voltaj uygulanan metal plakaların arasına yerleştirilerek plakanın zorlanmış titreşimlerine neden olmak mümkündür. Bu titreşimler ortama iletilir ve içinde ultrasonik bir dalga oluşturur.
Manyetostriksiyon, ferromanyetik maddelerin (demir, nikel, alaşımları vb.) bir manyetik alanın etkisi altında deforme olması gerçeğinde yatmaktadır. Bu nedenle, alternatif bir manyetik alana bir ferromanyetik çubuk yerleştirerek mekanik titreşimleri uyarmak mümkündür.
Yüksek akustik hız ve ivme değerleri ile ultrasonik titreşimleri incelemek ve almak için iyi geliştirilmiş yöntemler, birçok teknik sorunu çözmek için bunları kullanmayı mümkün kılmıştır. Bunlardan bazılarını listeleyelim.
1928'de Sovyet bilim adamı S.Ya. Sokolov, kusur tespiti amacıyla ultrason kullanılmasını önerdi, yani. metal ürünlerde kabuklar, çatlaklar, dalgalanmalar, cüruf kalıntıları vb. gibi gizli iç kusurların tespiti için. Kusurun boyutu ultrason dalga boyunu aşarsa, ultrasonik darbe kusurdan yansıtılır ve geri döndürülür. Ürüne ultrasonik darbeler göndererek ve yansıyan yankı sinyallerini kaydederek, yalnızca ürünlerdeki kusurların varlığını tespit etmek değil, aynı zamanda bu kusurların boyutunu ve yerini de değerlendirmek mümkündür. Bu yöntem şu anda endüstride yaygın olarak kullanılmaktadır.
Yönlendirilmiş ultrasonik ışınlar, konum amaçları için geniş uygulama alanı bulmuştur, yani. sudaki nesneleri algılamak ve onlara olan mesafeyi belirlemek için. İlk kez, ultrasonik konum fikri seçkin bir Fransız fizikçi tarafından dile getirildi. P. Langevin ve onun tarafından Birinci Dünya Savaşı sırasında denizaltıları tespit etmek için geliştirildi. Şu anda, sonar prensipleri buzdağlarını, balık sürülerini vb. tespit etmek için kullanılmaktadır. bu yöntemler aynı zamanda geminin dibinin altındaki denizin derinliğini de belirleyebilir (eko siren).
Büyük genlikli ultrasonik dalgalar şu anda mühendislikte katı malzemelerin mekanik olarak işlenmesi, bir sıvıya yerleştirilen küçük nesnelerin (saat mekanizmasının parçaları, boru hatları vb.) temizlenmesi, gazdan arındırma vb. için yaygın olarak kullanılmaktadır.
Ortamda geçişleri sırasında güçlü basınç titreşimleri yaratan ultrasonik dalgalar, bütün çizgiözel fenomenler: bir sıvı içinde asılı kalan parçacıkların öğütülmesi (dağılması), emülsiyon oluşumu, difüzyon işlemlerinin hızlanması, aktivasyon kimyasal reaksiyonlar, biyolojik nesneler üzerindeki etki, vb.
Zıt yönlerde yayılan aynı genliğe ve frekansa sahip iki sinüzoidal düzlem dalganın girişiminin sonucunu düşünün. Akıl yürütmenin basitliği için, bu dalgaların denklemlerinin şu şekilde olduğunu varsayıyoruz:
Bu, orijinde her iki dalganın da aynı fazda salınımlara neden olduğu anlamına gelir. x koordinatlı A noktasında, süperpozisyon ilkesine göre salınan miktarın toplam değeri (bkz. § 19),
Bu denklem, ortamın her noktasında (sabit bir koordinatla) doğrudan ve geri dalgaların girişiminin bir sonucu olarak, aynı frekansta, ancak bir genlikte harmonik bir salınım meydana geldiğini göstermektedir.
x koordinatının değerine bağlıdır. Ortamda hiç titreşim olmayan noktalar: bu noktalara titreşim düğümleri denir.
Salınımların genliğinin en büyük değere sahip olduğu noktalarda bu noktalara salınımların antinodları denir. Komşu düğümler veya komşu antinodlar arasındaki mesafenin antinod ile en yakın düğüm arasındaki mesafeye eşit olduğunu göstermek kolaydır. bir yarım dalga - bir düğümden diğerine - ortamın parçacıkları bir yönde sapar, daha sonra komşu yarım dalga içinde ortamın parçacıkları ters yönde sapar.
Formül (5.16) ile tanımlanan bir ortamdaki dalga işlemine duran dalga denir. Grafik olarak, Şekil 2'de gösterildiği gibi duran bir dalga gösterilebilir. 1.61. y'nin denge durumundan ortamın noktalarının yer değiştirmesine sahip olduğunu varsayalım; daha sonra formül (5.16) bir "duran yer değiştirme dalgasını" tanımlar. Zamanın bir noktasında, ortamın tüm noktalarının maksimum yer değiştirmesi olduğunda, yönü x koordinatının değerine bağlı olarak işaret tarafından belirlenir.Bu yer değiştirmeler Şekil 2'de gösterilmiştir. 1.61 sağlam oklarla. Çeyrek periyottan sonra, ortamın tüm noktalarının yer değiştirmeleri sıfıra eşit olduğunda; ortamın parçacıkları çizgiden farklı hızlarda geçer. Periyodun bir çeyreğinden sonra, ortamın parçacıkları tekrar maksimum yer değiştirmeye sahip olacak, ancak ters yönde; bu ofsetler gösterilir
pilav. 1.61 kesikli oklar. Noktalar, duran yer değiştirme dalgasının antinodlarıdır; bu dalganın düğümlerini gösterir.
Geleneksel yayılan veya ilerleyen bir dalganın aksine duran bir dalganın karakteristik özellikleri aşağıdaki gibidir (zayıflamanın olmadığı düzlem dalgalar anlamına gelir):
1) duran bir dalgada, salınım genlikleri sistemin farklı bölümlerinde farklıdır; sistemin düğümleri ve salınım antinodları vardır. "Yürüyen" bir dalgada, bu genlikler her yerde aynıdır;
2) bir düğümden komşu düğüme sistem alanı içinde, ortamın tüm noktaları aynı fazda salınır; komşu bir bölüme geçerken salınımların fazları tersine çevrilir. Yürüyen bir dalgada, formül (5.2)'ye göre salınımların fazları, noktaların koordinatlarına bağlıdır;
3) Duran bir dalgada, ilerleyen bir dalgada olduğu gibi tek yönlü bir enerji transferi yoktur.
Elastik sistemlerde salınım süreçlerini tanımlarken, salınım değeri y sadece sistemdeki parçacıkların yer değiştirmesi veya hızı olarak değil, aynı zamanda bağıl deformasyonun değeri veya sıkıştırma, çekme veya kesme, vb. Aynı zamanda, duran bir dalgada, parçacık hızlarının antinodlarının oluştuğu yerlerde, deformasyon düğümleri bulunur ve bunun tersi, hız düğümleri deformasyon antinodlarıyla çakışır. Enerjinin kinetikten potansiyele ve tam tersi dönüşüm, sistemin antinoddan komşu düğüme olan bölümünde gerçekleşir. Bu tür bölümlerin her birinin komşu bölümlerle enerji alışverişi yapmadığını varsayabiliriz. Dikkat edin, dönüşüm kinetik enerji ortamın deforme olmuş bölümlerinin potansiyel enerjisi içine hareket eden parçacıkları bir periyotta iki kez meydana gelir.
Yukarıda, doğrudan ve geri dalgaların girişimi göz önüne alındığında (bkz. ifadeler (5.16)), bu dalgaların kökeni ile ilgilenmiyorduk. Şimdi, titreşimlerin yayıldığı ortamın sınırlı boyutlara sahip olduğunu varsayalım, örneğin, bazı katı cisimlerde - bir çubukta veya ipte, bir sıvı veya gaz sütununda, vb. Titreşimlere neden olur. Böyle bir ortamda yayılan bir dalga ( cisim), sınırlardan yansır, bu nedenle, bu cismin hacmi içinde, dış bir kaynaktan kaynaklanan ve sınırlardan yansıyan dalgaların girişimi sürekli olarak oluşur.
Düşünmek en basit örnek; bir çubuğun veya ipin bir noktasında (Şekil 1.62), harici bir sinüzoidal kaynak yardımıyla frekanslı bir salınım hareketinin uyarıldığını varsayalım; zaman referansının orijinini seçiyoruz, böylece bu noktada yer değiştirme formülle ifade ediliyor.
Çubukta indüklenen dalga, çubuğun ikinci ucundan %0 yansıtılacak ve ters yönde gidecektir.
yön. Koordinat x olan çubuğun belirli bir noktasında doğrudan ve yansıyan dalgaların girişiminin sonucunu bulalım. Akıl yürütmenin basitliği için, çubukta titreşim enerjisinin soğurulmadığını ve bu nedenle doğrudan ve yansıyan dalgaların genliklerinin eşit olduğunu varsayıyoruz.
Zamanın bir noktasında, bir noktada salınan parçacıkların yer değiştirmesi y'ye eşit olduğunda, çubuk üzerinde başka bir noktada, dalga formülüne göre, doğrudan bir dalganın neden olduğu yer değiştirme, eşit olacaktır.
Yansıyan dalga da aynı A noktasından geçer. Yansıyan dalganın A noktasında neden olduğu yer değiştirmeyi bulmak için (aynı zamanda dalganın yolu geçecek noktadan noktaya ve geri noktaya Yansıyan dalganın noktada neden olduğu yer değiştirme eşit olacağından
Bu durumda, yansıma sürecinde çubuğun yansıtıcı ucunda salınım fazında ani bir değişiklik olmadığı varsayılır; bazı durumlarda böyle bir faz değişikliği (faz kaybı olarak adlandırılır) meydana gelir ve dikkate alınması gerekir.
Çubuğun çeşitli noktalarında doğrudan ve yansıyan dalgaların neden olduğu titreşimlerin eklenmesi duran bir dalga verir; Gerçekten,
x koordinatından ve miktarından bağımsız bir sabit faz nerede
noktadaki salınım genliğidir; x koordinatına bağlıdır, yani çubuğun farklı yerlerinde farklıdır.
Duran dalganın düğümlerinin ve antinodlarının oluştuğu çubuğun bu noktalarının koordinatlarını bulalım. Kosinüs sıfıra döner veya katları olan argüman değerlerinde bir oluşur.
tamsayı nerede. Bu sayının tek bir değeri için kosinüs kaybolur ve formül (5.19) duran dalganın düğümlerinin koordinatlarını verir; çünkü biz bile antinodların koordinatlarını alıyoruz.
Yukarıda sadece iki dalga eklendi: biri doğrudan gelen ve biri de yayılan dalga. Bu tür yansımalar
çubuğun uçlarından çok şey olacak ve bu nedenle, iki değil, aynı anda çubukta bulunan tüm dalgaların girişiminin sonucunu bulmak gerekir.
Diyelim ki harici bir titreşim kaynağının çubukta bir süre dalgalara neden olduğunu ve ardından dışarıdan gelen titreşim enerjisi akışının durduğunu varsayalım. Bu süre zarfında çubukta yansımalar meydana geldi, burada dalganın çubuğun bir ucundan diğerine geçtiği süre. Sonuç olarak, çubukta aynı anda ileri yönde hareket eden dalgalar ve zıt yönde hareket eden dalgalar olacaktır.
Bir çift dalganın (doğrudan ve yansıyan) girişiminin bir sonucu olarak, A noktasındaki yer değiştirmenin y'ye eşit olduğunu varsayalım. Her bir dalga çiftinin neden olduğu tüm y yer değiştirmelerinin çubuğun A noktasında aynı yönlere sahip olduğu ve dolayısıyla toplandığı koşulu bulalım. Bunun için, bir noktada her bir dalga çiftinin neden olduğu salınımların fazları, bir sonraki dalga çiftinin neden olduğu salınımların fazından farklı olmalıdır. Ancak her dalga ancak bir süre sonra aynı yayılma yönü ile tekrar A noktasına geri döner, yani bir tamsayı olan bu gecikmeye eşitleyerek fazda geride kalır, elde ederiz.
yani, çubuğun uzunluğu boyunca tam sayıda yarım dalga sığmalıdır. Bu koşul altında, ileri yönde hareket eden tüm dalgaların fazlarının, bir tamsayının nerede olduğu ile birbirinden farklı olduğuna dikkat edin; tam olarak aynı şekilde, zıt yönden gelen tüm dalgaların fazları birbirinden farklıdır.Bu nedenle, eğer bir çift dalga (ileri ve geri) çubuk boyunca formül (5.17) ile belirlenen bir yer değiştirme dağılımı verirse , o zaman bu tür dalga çiftlerinin girişimi ile yer değiştirmelerin dağılımı değişmeyecektir; sadece salınımların genliği artacaktır. Formül (5.18)'e göre iki dalganın girişimi sırasında maksimum salınım genliği eşitse, o zaman birçok dalganın girişimi ile daha büyük olacaktır. (5.18) ifadesi yerine çubuk boyunca salınım genliğinin dağılımı formülle belirlenecek şekilde gösterelim.
(5.19) ve (5.20) ifadeleri, kosinüsün 1 veya 1 değerlerine sahip olduğu noktaları belirler:
nerede bir tamsayı Duran dalganın düğümlerinin koordinatları, bu formülden tek değerler için elde edilecektir, daha sonra çubuğun uzunluğuna, yani değere bağlı olarak
antinode koordinatları çift değerlerle elde edilecektir
Şek. 1.63, uzunluğu bir çubukta duran bir dalgayı şematik olarak göstermektedir; noktalar antinodlardır, noktalar bu duran dalganın düğümleridir.
ch. periyodik dış etkilerin yokluğunda, sistemdeki kodlama hareketlerinin doğasının ve hepsinden önemlisi, ana niceliğin - salınım frekansının - sistemin boyutları ve fiziksel özellikleri tarafından belirlendiği gösterilmiştir. Her salınım sisteminin kendine özgü salınım hareketi vardır; bu dalgalanma, sistemin denge dışına alınması ve ardından dış etkiler ortadan kaldırılması durumunda gözlemlenebilir.
ch. 4 saat esas olarak kabul edildim salınım sistemleri bazı cisimlerin (nokta cisimlerinin) atalet kütlesine ve diğer cisimlerin (yayların) elastik özelliklere sahip olduğu toplu parametrelerle. Buna karşılık, her bir temel hacimde kütle ve esnekliğin doğal olduğu salınımlı sistemler, dağıtılmış parametrelere sahip sistemler olarak adlandırılır. Bunlara yukarıda tartışılan çubuklar, teller ve sıvı veya gaz sütunları (rüzgarlı müzik aletlerinde) vb. dahildir. Bu tür sistemler için duran dalgalar doğal titreşimlerdir; bu dalgaların temel özelliği - dalga boyu veya düğümlerin ve antinodların dağılımı ile salınımların frekansı - yalnızca sistemin boyutu ve özellikleri ile belirlenir. Sistem üzerinde harici (periyodik) bir hareket olmadığında da duran dalgalar mevcut olabilir; bu eylem, yalnızca sistemde duran dalgalara neden olmak veya bunu sürdürmek veya salınımların genliklerini değiştirmek için gereklidir. Özellikle, dağıtılmış parametrelere sahip bir sistem üzerinde harici bir etki, doğal salınımlarının frekansına eşit bir frekansta, yani duran bir dalganın frekansında meydana gelirse, o zaman Bölüm'de ele alınan rezonans olayı meydana gelir. 5. Farklı frekanslar için aynıdır.
Böylece, dağıtılmış parametrelere sahip sistemlerde, doğal salınımlar - duran dalgalar - birbirinin katları olan bütün bir frekans spektrumu ile karakterize edilir. En uzun dalga boyuna karşılık gelen bu frekansların en küçüğüne temel frekans denir; geri kalanı) tonlar veya harmoniklerdir.
Her sistem, yalnızca böyle bir salınım spektrumunun varlığı ile değil, aynı zamanda farklı frekanslardaki salınımlar arasında belirli bir enerji dağılımı ile de karakterize edilir. İçin müzik Enstrümanları bu dağılım, sese, farklı enstrümanlar için farklı olan, ses tınısı adı verilen özel bir özellik verir.
Yukarıdaki hesaplamalar, serbest salınımlı bir "uzunluk çubuğuna atıfta bulunur. Bununla birlikte, genellikle bir veya iki uçta sabitlenmiş çubuklara sahibiz (örneğin, salınan ipler) veya çubuk boyunca bir veya daha fazla sabitleme noktası vardır. Hareketler zorunlu yer değiştirmedir düğümler.Örneğin,
çubukta bir, iki, üç sabitleme noktasında vb. duran dalgaların elde edilmesi gerekiyorsa, bu noktalar keyfi olarak seçilemez, ancak sonuçta ortaya çıkan duran dalganın düğümlerinde olacak şekilde çubuk boyunca yerleştirilmelidir. . Bu, örneğin Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.64. Aynı şekilde, noktalı çizgi, titreşimler sırasında çubuğun noktalarının yer değiştirmelerini göstermektedir; yer değiştirme antinodları her zaman serbest uçlarda ve yer değiştirme düğümleri sabit uçlarda oluşturulur. Borulardaki salınımlı hava kolonları için, yansıtıcı katı duvarlarda yer değiştirme düğümleri (ve hızlar) elde edilir; tüplerin açık uçlarında yer değiştirme ve hız antinodları oluşur.
