أدناه \ (f \) يشير إلى تحويل أفيني مكتوب فيه النظام الديكارتيإحداثيات \ (O ، \ boldsymbol (e) _ (1) ، \ boldsymbol (e) _ (2) \) بالصيغ
$$
x ^ (*) = a_ (1) x + b_ (1) y + c_ (1)، \ y ^ (*) = a_ (2) x + b_ (2) y + c_ (2). \ label ( المرجع 1)
$$
بشرط
$$
تبدأ (vmatrix)
أ_ (1) و ب_ (1) \\
أ_ (2) ، ب_ (2)
\ النهاية (vmatrix) \ neq 0. \ التسمية (المرجع 2)
$$

ضع في اعتبارك خطًا مستقيمًا على المستوى مع المعادلة \ (\ boldsymbol (r) = \ boldsymbol (r) _ (0) + \ boldsymbol (a) t \) وابحث عن صورته تحت التحول \ (f \). (تُفهم صورة الخط على أنها مجموعة صور نقاطه.) يمكن حساب متجه نصف القطر للصورة \ (M ^ (*) \) لنقطة عشوائية \ (M \) على النحو التالي:
$$
\ overrightarrow (OM ^ (*)) = \ overrightarrow (Of (O)) + f \ overrightarrow ((O) M ^ (*)) = \ boldsymbol (c) + f (\ boldsymbol (r)). \ nonumber
$$

هنا \ (\ boldsymbol (c) \) هو متجه ثابت \ (\ overrightarrow (Of) (O) \) و \ (\ boldsymbol (r) \) هو متجه نصف قطر النقطة \ (M \). وفقًا للفقرة (11) §2 نحصل عليها
$$
\ overrightarrow (OM ^ (*)) = \ boldsymbol (c) + f (\ boldsymbol (r) _ (0)) + f (\ boldsymbol (a)) t. \ label (ref3)
$$
نظرًا لأن \ (f \) هو تحول أفيني و \ (\ boldsymbol (أ) \ neq \ boldsymbol (0) \) ، فإن \ (\ boldsymbol (أ) \) سوف ينتقل إلى المتجه \ (f (\ boldsymbol ( أ)) \ neq 0 \) ، والمعادلة \ eqref (المرجع 3) هي معادلة خط مستقيم. وبالتالي ، فإن صور جميع نقاط الخط \ (\ boldsymbol (r) = \ boldsymbol (r) _ (0) + boldsymbol (a) t \) تقع على السطر \ eqref (المرجع 3).

علاوة على ذلك ، يُعرّف التحويل \ (f \) تعيينًا واحدًا لواحد من سطر إلى آخر ، لأنه مع اختيار النقاط الأولية ومتجهات الاتجاه التي تم إجراؤها هنا ، فإن النقطة \ (M ^ (*) \) على السطر \ eqref (ref3) له نفس معامل القيمة \ (t \) مثل النقطة \ (M \) في السطر الأصلي. من هنا نحصل على التأكيد الأول.

البيان 1.

مع تحول أفيني:

• يصبح الخط المستقيم خطاً مستقيماً ؛
• الجزء يذهب إلى الجزء ؛
• تصبح الخطوط المتوازية متوازية.

دليل - إثبات.

لإثبات التأكيد الثاني ، يكفي ملاحظة أن مقطع الخط يتكون من نقاط تحقق قيم المعلمات الخاصة بها عدم المساواة في النموذج \ (t_ (1) \ leq t \ leq t_ (2) \) التأكيد الثالث يتبع من حقيقة أنه في ظل التحول الأفيني - تصبح المتجهات على خط واحد.

البيان 2.

مع التحويل الأفيني ، لا تتغير نسبة أطوال الأجزاء المتوازية.

دليل - إثبات.

دع المقاطع \ (AB \) و \ (CD \) متوازيتان. هذا يعني أن هناك رقمًا \ (\ lambda \) مثل \ (\ overrightarrow (AB) = \ lambda \ overrightarrow (CD) \). ترتبط صور المتجهات \ (\ overrightarrow (AB) \) و \ (\ overrightarrow (CD) \) بنفس الاعتماد \ (\ overrightarrow (A ^ (*) B ^ (*)) = \ lambda \) السهم الزائد (C ^ (*) D ^ (*)) \). ومن ثم يتبع ذلك
$$
\ frac (| \ overrightarrow (AB) |) (| \ overrightarrow (CD) |) = \ frac (| \ overrightarrow (A ^ (*) B ^ (*)) |) (| \ overrightarrow (C ^ (* ) D ^ (*)) |) = | \ lambda |. \ nonumber
$$

عاقبة.

إذا قسمت نقطة \ (C \) المقطع \ (AB \) في بعض العلاقة \ (\ lambda \) ، فإن صورتها \ (C ^ (*) \) تقسم الصورة \ (A ^ (*) B ^ (*) \) مقطع \ (AB \) في نفس العلاقة \ (\ لامدا \).

تغيير المناطق الخاضعة للتحول الأفيني.

دعونا نلقي نظرة على البداية. نختار نظام إحداثيات ديكارتي مشترك \ (O ، \ boldsymbol (e) _ (1) ، \ boldsymbol (e) _ (2) \) ونشير إليه ب \ ((p_ (1) ، p_ (2)) \) و \ ((q_ (1)، q_ (2)) \) مكونات المتجهات \ (\ boldsymbol (p) \) و \ (\ boldsymbol (q) \) التي بنيت عليها. يمكننا حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام:
$$
S _ (\ pm) = S _ (\ pm) (\ boldsymbol (p) ، \ boldsymbol (q)) = (p_ (1) q_ (2) -p_ (2) q_ (1)) S _ (\ pm) ( \ boldsymbol (e) _ (1) ، boldsymbol (e) _ (2)).
$$

دع التحويل الأفيني \ (f \) يكتب في نظام الإحداثيات المختار بواسطة الصيغ \ eqref (المرجع 1). يتبع مما سبق أن المتجهات \ (f (\ boldsymbol (p)) \) و \ (f (\ boldsymbol (q)) \) لديها \ (f (\ boldsymbol (e) _ (1)) ، f (\ boldsymbol (e) _ (2)) \) نفس المكونات \ ((p_ (1) ، p_ (2)) \) و \ ((q_ (1) ، q_ (2)) \) ذلك والمتجهات \ (\ boldsymbol (p) \) و \ (\ boldsymbol (q) \) في الأساس \ (\ boldsymbol (e) _ (1) ، \ boldsymbol (e) _ (2) \). صورة متوازي الأضلاع مبنية على المتجهات \ (f (\ boldsymbol (p)) \) و \ (f (\ boldsymbol (q)) \) ، ومساحتها تساوي
$$
S _ (\ pm) ^ (*) = S _ (\ pm) (f (\ boldsymbol (p)) ، f (\ boldsymbol (q))) = (p_ (1) q_ (2) -p_ (2) q_ (1)) S _ (\ pm) (f (\ boldsymbol (e) _ (1)) ، f (\ boldsymbol (e) _ (2))). \ nonumber
$$

دعنا نحسب العامل الأخير. كما نعلم مما تم إثباته بالفعل ، فإن إحداثيات المتجهات \ (f (\ boldsymbol (e) _ (1)) ، f (\ boldsymbol (e) _ (2)) \) هي على التوالي \ ((a_ (1) ، أ_ (2)) \) و \ ((ب_ (1) ، ب_ (2)) \). لذا \ (S _ (\ pm) (f (\ boldsymbol (e) _ (1))، f (\ boldsymbol (e) _ (2))) = (a_ (1) b_ (2) -a_ (2) ب_ (1)) S _ (\ pm) (\ boldsymbol (e) _ (1) ، \ boldsymbol (e) _ (2)) \) و
$$
S _ (\ pm) ^ (*) = (p_ (1) q_ (2) -p_ (2) q_ (1)) (a_ (1) b_ (2) -a_ (2) b_ (1)) S_ ( \ pm) (\ boldsymbol (e) _ (1)، boldsymbol (e) _ (2)). \ nonumber
$$
من هنا نرى ذلك
$$
\ frac (S _ (\ pm) ^ (*)) (S _ (\ pm)) = \ start (vmatrix)
أ_ (1) و ب_ (1) \\
أ_ (2) ، ب_ (2)
نهاية (مصفوفة). التسمية (المرجع 4)
$$

وبالتالي ، فإن نسبة مساحة صورة متوازي الأضلاع الموجه إلى مساحة متوازي الأضلاع هذا هي نفسها لجميع متوازي الأضلاع وتساوي \ (a_ (1) b_ (2) -a_ (2) b_ (1) \).

ويترتب على ذلك أن هذا المحدد لا يعتمد على اختيار نظام الإحداثيات الذي تتم كتابة التحويل فيه ، على الرغم من أنه يتم حسابه بواسطة المعاملات التي تعتمد على نظام الإحداثيات. هذه الكمية ثابتة تعبر عن الخاصية الهندسية للتحول.

يمكن أن نرى من الصيغة \ eqref (المرجع 4) أن نسبة مساحة صورة متوازي أضلاع غير موجه إلى مساحته تساوي
$$
S ^ (*) / S = | a_ (1) b_ (2) -a_ (2) b_ (1) |. \ label (ref5)
$$

إذا \ (a_ (1) b_ (2) -a_ (2) b_ (1)> 0 \) ، فسيتم الحفاظ على اتجاهات جميع متوازي الأضلاع الموجهة أثناء التحويل ، وإذا \ (a_ (1) b_ (2) -a_ (2) ب_ (1)< 0\), то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации.

دعونا الآن نتعامل مع مجالات الشخصيات الأخرى. يمكن إكمال كل مثلث إلى متوازي أضلاع تبلغ مساحته ضعف مساحة المثلث. لذلك ، فإن نسبة مساحة صورة المثلث إلى مساحة هذا المثلث تحقق المساواة \ eqref (المرجع 5).

يمكن تقسيم كل مضلع إلى مثلثات. لذلك ، فإن الصيغة \ eqref (ref5) صالحة أيضًا للمضلعات العشوائية.

لن نتطرق هنا إلى تعريف منطقة الشكل التعسفي المنحني. سنقول فقط أنه في الحالات التي يتم فيها تحديد هذه المنطقة ، فإنها تساوي حد مناطق سلسلة معينة من المضلعات المدرجة في الشكل قيد النظر. يُعرف الافتراض التالي من نظرية الحدود: إذا كان التسلسل \ (S_ (n) \) يميل إلى الحد \ (S \) ، فإن التسلسل \ (\ دلتا S_ (n) \) ، حيث \ (\ دلتا \) ثابتة ، تميل إلى الحد \ (\ دلتا S \). بناءً على هذا الافتراض ، نستنتج أن الصيغة \ eqref (ref5) صالحة في الحالة العامة.

على سبيل المثال ، لنجد مقدار مساحة القطع الناقص بدلالة أنصاف محوره. لاحظنا سابقًا أنه يمكن الحصول على شكل بيضاوي بنصف محاور \ (أ \) و \ (ب \) عن طريق تقليص دائرة نصف قطرها \ (أ \) إلى خط مستقيم يمر عبر مركزها. نسبة الضغط \ (ب / أ \). في أحدها ، حصلنا على تدوين إحداثيات الضغط على السطر \ (x ^ (*) = x \) ، \ (y ^ (*) = \ lambda y \). محدد المعاملات في هذه الصيغ يساوي \ (\ lambda \) ، أي في حالتنا \ (ب / أ \). وبالتالي ، فإن نسبة مساحة القطع الناقص إلى مساحة الدائرة هي \ (b / a \) ، وهذه المنطقة هي \ (S = (b / a) \ pi a ^ (2) \ ). أخيرا لدينا
$$
S = \ pi ab. \ number
$$

صور سطور من الدرجة الثانية.

لقد رأينا أن الخط المستقيم يتحول إلى خط مستقيم. هذه حالة خاصة من البيان التالي.

البيان 3.

تحويل أفيني يحول خط جبري إلى خط جبري من نفس الترتيب.

دليل - إثبات.

في الواقع ، دع السطر \ (L \) في نظام الإحداثيات الديكارتية \ (O ، \ boldsymbol (e) _ (1) ، \ boldsymbol (e) _ (2) \) لها معادلة جبرية للترتيب \ (p \) ). نحن نعلم بالفعل أن صور جميع نقاط الخط \ (L \) تحت التحويل الأفيني \ (f \) لها في نظام الإحداثيات \ (f (O) ، f (\ boldsymbol (e) _ (1)) ، f (\ boldsymbol (e) _ (2)) \) هي نفس إحداثيات الصور السابقة في نظام الإحداثيات \ (O ، \ boldsymbol (e) _ (1) ، boldsymbol (e) _ (2 ) \). لذلك ، فإن إحداثيات الصور في النظام \ (f (O) ، f (\ boldsymbol (e) _ (1)) ، f (\ boldsymbol (e) _ (2)) \) مرتبطة بنفس المعادلة الجبرية من أجل \ (ع \). هذا يكفي لاستخلاص النتيجة التي نحتاجها.

من التأكيد الذي تم إثباته أعلاه ، على وجه الخصوص ، يترتب على ذلك أن سطر من الترتيب الثاني تحت تحويل أفيني يمر إلى سطر من الترتيب الثاني. سوف نثبت تأكيدا أقوى. كما نعلم بالفعل ، يمكن تقسيم خطوط الدرجة الثانية إلى. سنرى أن صنف الخط محفوظ في ظل التحول الأفيني. على هذا الأساس ، تسمى فئات الأسطر المدرجة في هذه النظرية بالفئات الأفينية. لذلك دعونا نثبت تأكيدًا جديدًا.

البيان 4.

السطر الثاني الذي ينتمي إلى إحدى الطبقات الأفينية ، تحت أي تحويل أفيني ، يمكن أن ينتقل فقط إلى سطر من نفس الفئة. يمكن نقل كل سطر من الترتيب الثاني عن طريق تحويل أفيني مناسب إلى أي سطر آخر من نفس الفئة الأفينية.

دليل - إثبات.

نسمي الخط المحدود إذا كان يقع داخل متوازي أضلاع. من السهل أن نرى أنه في ظل التحويل الأفيني ، يجب أن يمر الخط المحدود إلى خط محدود ، وخط غير محدود إلى خط غير محدود.

1. Ellipse - خط محدود من الدرجة الثانية. بالإضافة إلى الأشكال البيضاوية ، تكون الخطوط التي تتكون من نقطة واحدة فقط محدودة ، أي زوج من الخطوط المتقاطعة التخيلية. نظرًا لأن القطع الناقص محدود ويتكون من أكثر من نقطة واحدة ، فإنه يمكن أن ينتقل فقط إلى القطع الناقص.
2. يتكون القطع الزائد من فرعين منفصلين. يمكن صياغة هذه الخاصية بطريقة تجعل ثباتها في ظل التحولات الأفينية واضحًا. أي أن هناك خطًا مستقيمًا لا يتقاطع مع القطع الزائد ، ولكنه يتقاطع مع بعض أوتارها. ومن بين جميع خطوط الرتبة الثانية ، تمتلك هذه الخاصية فقط القطوع الزائدة وأزواج الخطوط المتوازية. إن فروع القطع الزائد ليست خطوطًا مستقيمة ، وبالتالي ، في ظل التحويل الأفيني ، يمكن فقط الانتقال إلى القطع الزائد.
3. القطع المكافئ - سطر غير محدود من الترتيب الثاني ، يتكون من قطعة واحدة غير مستقيمة. لا توجد هذه الخاصية في سطور أخرى من الترتيب الثاني ، وبالتالي لا يمكن للقطع المكافئ الانتقال إلا إلى القطع المكافئ.
4. إذا كان الخط من الترتيب الثاني عبارة عن نقطة (زوج من الخطوط المتقاطعة التخيلية) ، أو خط (زوج من الخطوط المتزامنة) ، أو زوج من الخطوط المتقاطعة ، أو زوج من الخطوط المتوازية ، فإنه يتبع من الخصائص المثبتة مسبقًا من التحولات التي لا يمكن لهذا الخط أن يمر بها إلى خط من أي فئة أخرى.

دعونا نثبت الجزء الثاني من الاقتراح. في المثبت بالفعل المعادلات المتعارف عليهاتتم كتابة سطور الدرجة الثانية في نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي وتحتوي على معلمات \ (أ ، ب ، ... \) إذا تخلينا عن القاعدة المتعامدة ، فيمكننا إجراء المزيد من التبسيط للمعادلات المتعارف عليها وإحضارها إلى شكل لا يحتوي على معلمات. على سبيل المثال ، يؤدي تغيير الإحداثيات \ (x '= x / a \) ، \ (y' = y / b \) إلى ترجمة معادلة القطع الناقص \ (x ^ (2) a ^ (2) + y ^ (2) ب ^ (2) = 1 \) في المعادلة \ (x '^ (2) + y' ^ (2) = 1 \) ، أيا كان \ (a \) و \ (b \). (المعادلة الأخيرة ليست معادلة الدائرة ، منذ ذلك الحين نظام جديدالإحداثيات ليست مستطيل ديكارتي.)

سيوضح القارئ بسهولة أن المعادلات المتعارف عليها لخطوط الدرجة الثانية يمكن تحويلها إلى المعادلات التالية بالتمرير إلى نظام إحداثيات مناسب:

1. \ (س ^ (2) + ص ^ (2) = 1 \) ؛
2. \ (س ^ (2) + ص ^ (2) = 0 \) ؛
3. \ (س ^ (2) -ص ^ (2) = 1 \) ؛
4. \ (س ^ (2) -ص ^ (2) = 0 \) ؛
5. \ (ص ^ (2) = 2 س) ؛
6. \ (ص ^ (2) -1 = 0 \) ؛
7. \ (ص ^ (2) = 0 \).

نحن نطلق على نظام الإحداثيات هذا نظام إحداثيات متعارف عليه.

ويترتب على ذلك من وقت سابق أن التحويل الأفيني الذي يجمع بين أنظمة الإحداثيات الكنسي الأفيني لخطين من نفس الفئة الأفينية يجمع أيضًا بين هذه الخطوط. هذا يكمل البرهان.

تحلل التحول المتعامد.

نظرية 1.

يتحلل كل تحويل متعامد إلى نتاج للترجمة والدوران وربما التناظر المحوري.

دليل - إثبات.

لنفترض \ (f \) أن يكون تحويلًا متعامدًا و \ (\ vartriangle ABC \) يكون مثلثًا قائم الزاوية متساوي الساقين بزاوية قائمة \ (A \). عندما يتحول \ (f \) إلى مثلث متساوٍ \ (\ vartriangle A ^ (*) B ^ (*) C ^ (*) \) بزاوية قائمة عند الرأس \ (A ^ (*) ) \). سيتم إثبات النظرية إذا كان بإمكاننا الجمع بين المثلثات \ (ABC \) و \ (إذا لزم الأمر) من خلال إجراء ترجمة متوازية بالتتابع \ (p \) ، والتناوب \ (q \) و (إذا لزم الأمر) التناظر المحوري \ (r \) أ ^ (*) ب ^ (*) ج ^ (*) \). في الواقع ، المنتج \ (rqp \) هو تحويل أفيني بنفس طريقة \ (f \) ، ويتم تحديد التحويل الأفيني بشكل فريد من خلال صور النقاط الثلاث التي لا تقع على خط مستقيم واحد. لذلك \ (rqp \) هو نفسه \ (f \).

لذلك ، نترجم \ (A \) و \ (A ^ (*) \) بالترجمة المتوازية \ (p \) إلى المتجه \ (\ overrightarrow (AA ^ (*)) \) (if \ (A = A ^ (*) \) ، ثم \ (ع \) - تحويل الهوية). ثم من خلال تدوير \ (q \) حول النقطة \ (A ^ (*) \) نجعل \ (p (B) \) متوافقًا مع \ (B ^ (*) \) (ربما ، سيظهر هذا التحول أيضًا لتكون متطابقة). النقطة \ (q (p (C)) \) إما تتزامن مع \ (C ^ (*) \) أو متماثلة معها فيما يتعلق بالسطر \ (A ^ (*) B ^ (*) \). في الحالة الأولى ، تم تحقيق الهدف بالفعل ، وفي الحالة الثانية ، يكون التناظر المحوري حول الخط المحدد مطلوبًا. لقد تم إثبات النظرية.

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن التحلل الناتج عن التحول المتعامد ليس فريدًا. علاوة على ذلك ، يمكن للمرء أن يحلل تناوبًا أو ترجمة موازية إلى منتج من التماثلات المحورية ، منتجًا للترجمة المتوازية ويمكن تمثيل الدوران كدورة واحدة ، وما إلى ذلك. لن نحدد كيفية القيام بذلك ، ولكن سنكتشف ما يلي الملكية المشتركةكل هذه التوسعات.

البيان 5.

بالنسبة لأي تحلل لتحويل متعامد إلى منتج لأي عدد من الترجمات المتوازية والدوران والتماثلات المحورية ، يكون التكافؤ في عدد التماثلات المحورية المتضمنة في التحلل هو نفسه.

دليل - إثبات.

لإثبات ذلك ، ضع في اعتبارك أساسًا تعسفيًا على المستوى واتبع التغيير في اتجاهه (اتجاه أقصر منعطف من \ (\ boldsymbol (e) _ (1) \) إلى \ (\ boldsymbol (e) _ (2 ) \)) في ظل التحولات. لاحظ أن الدوران والترجمة لا يغيران اتجاه أي أساس ، بينما يغير التناظر المحوري اتجاه أي أساس. لذلك ، إذا غيّر تحويل متعامد معين اتجاه الأساس ، فيجب أن يتضمن أي من توسعاته عددًا فرديًا من التماثلات المحورية. إذا لم يتغير اتجاه الأساس ، فيمكن أن يكون عدد التماثلات المحورية المتضمنة في التمدد زوجيًا فقط.

تعريف.

تسمى التحولات المتعامدة التي يمكن أن تتحلل إلى نتاج للترجمة والدوران التحولات المتعامدة من النوع الأول ، و البقية - التحولات المتعامدة من النوع الثاني .

تتم كتابة تحويل متعامد في نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي:
$$
تبدأ (مجموعة) (سم مكعب)


\ نهاية (مجموعة). \ رقم
$$
مع العلامات العليا للمعاملات y \ (y \) في هذه الصيغ ، فإن المحدد ، المكون من المعاملات ، يساوي +1 ، ومع العلامات السفلية يساوي -1. من هنا ومن الصيغة \ eqref (المرجع 4) يتبع التأكيد التالي.

البيان 6.

تتم كتابة تحويل متعامد من النوع الأول في نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي بواسطة الصيغ
$$
تبدأ (مجموعة) (سم مكعب)
& x ^ (*) = x \ cos \ varphi \ mp y \ sin \ varphi + c_ (1)، \\
& y ^ (*) = x \ sin \ varphi \ pm y \ cos \ varphi + c_ (2).
\ نهاية (مجموعة). \ رقم
$$
مع العلامات العليا للمعاملات عند \ (ص \) ، وتحول متعامد من النوع الثاني - بعلامات أقل.

تحلل تحول أفيني.

لقد رأينا كيف يمكن أن يغير التحويل الأفيني المستوى: يمكن أن تتحول الدائرة إلى قطع ناقص ، والمثلث العادي إلى شكل تعسفي تمامًا. يبدو أنه لا يمكن الحفاظ على أي زوايا في هذه الحالة. ومع ذلك ، فإن البيان التالي يحمل

البيان 7.

لكل تحويل أفيني ، هناك خطان متعامدان بشكل متبادل يذهبان إلى خطوط متعامدة بشكل متبادل.

دليل - إثبات.

لإثبات ذلك ، ضع في اعتبارك دائرة. مع هذا التحول الأفيني ، سوف يتحول إلى قطع ناقص. كل محور من القطع الناقص عبارة عن مجموعة من نقاط المنتصف من الحبال الموازية للمحور الآخر. مع تحويل أفيني ، سيتحول الوتر إلى وتر ، ويجب الحفاظ على التوازي ، وستنتقل نقطة منتصف المقطع إلى منتصف صورته. لذلك ، فإن الصور العكسية لمحاور الشكل البيضاوي هي مقاطع لها نفس الخاصية: كل منها عبارة عن مجموعة من نقاط المنتصف لأوتار الدائرة الموازية للمقطع الآخر. هذه القطع هي بالضرورة قطرين متعامدين بشكل متبادل من الدائرة. هذا ما نحتاجه: هناك قطرين متعامدين بشكل متبادل للدائرة ، ويمران إلى مقاطع متعامدة بشكل متبادل - محاور القطع الناقص.

تجدر الإشارة إلى حالة خاصة واحدة: يمكن أن تتحول الدائرة تحت التحويل الأفيني إلى دائرة. في هذه الحالة ، ينطبق نفس المنطق على أي قطرين متعامدين بشكل متبادل لصورة الدائرة. من الواضح ، في هذه الحالة ، أن أي اتجاهين متعامدين بشكل متبادل يظلان متعامدين.

تعريف.

يُطلق على اتجاهين متعامدين بشكل متبادل اتجاهات رئيسية أو متعرجة للتحول الأفيني \ (و \) إذا ذهبوا في اتجاهات متعامدة بشكل متبادل.

نظرية 2.

يتحلل كل تحول أفيني إلى منتج للتحول المتعامد وانقباضين إلى خطين متعامدين بشكل متبادل.

دليل - إثبات.

الإثبات مشابه للإثبات. ضع في اعتبارك تحويل أفيني \ (f \) واختر مثلثًا قائمًا متساوي الساقين \ (ABC \) بحيث يتم توجيه أرجله \ (AB \) و \ (AC \) على طول الاتجاهات الرئيسية للتحول \ (f \). قم بالإشارة بواسطة \ (A ^ (*) \) ، \ (B ^ (*) \) و \ (C ^ (*) \) صور رؤوسها. دعونا نجري تحويلًا متعامدًا \ (g \) بحيث \ (g (A) = A ^ (*) \) والنقاط \ (g (B) \) و \ (g (C) \) تقع على التوالي على الأشعة \ (A ^ (*) B ^ (*) \) و \ (A ^ (*) C ^ (*) \). (يمكن تحقيق ذلك بسهولة ، كما في النظرية 1 ، عن طريق الترجمة المتوازية ، والدوران ، والتناظر المحوري.)

دع \ (\ lambda = | A ^ (*) B ^ (*) | / | A ^ (*) g (B) | \) و \ (\ mu = | A ^ (*) C ^ (*) | / | A ^ (*) g (C) | \). ثم تقليص \ (p_ (1) \) إلى السطر \ (A ^ (*) C ^ (*) \) فيما يتعلق \ (\ lambda \) يأخذ \ (g (B) \) إلى \ (p_ ( 1) ز (ب) = ب ^ (*) \) ولا يغير النقاط \ (A ^ (*) \) و \ (g (C) \). وبالمثل ، فإن تقليص \ (p_ (2) \) إلى السطر \ (A ^ (*) B ^ (*) \) سيؤدي إلى تعيين \ (g (C) \) إلى \ (p_ (2) g (C) = C ^ (*) \) ولا يغير نقاط السطر \ (A ^ (*) B ^ (*) \).

هذا يعني أن المنتج \ (p_ (2) p_ (1) g \) يرسم النقاط \ (A \) و \ (B \) و \ (C \) إلى النقاط \ (A ^ (*) \) و \ (B ^ (*) \) و \ (C ^ (*) \) بالإضافة إلى التحويل \ (f \) المعطى لنا. كما تم إثباته سابقًا ، لدينا \ (p_ (2) p_ (1) g = f \) ، كما هو مطلوب.

الفصل الأول مفهوم التحول الهندسي

1.1 ما هو التحويل الهندسي؟

التناظر المحوري ، التناظر المركزي ، الدوران ، الترجمة المتوازية ، التماثل لديهم جميعًا "يحولون" كل شكل F إلى شكل جديد F1 ، لذلك يطلق عليهم التحولات الهندسية.

بشكل عام ، تسمى أي قاعدة تحويل هندسي يسمح لكل نقطة A على المستوى بالإشارة إلى نقطة جديدة A "يتم نقل النقطة A إليها من خلال التحويل المدروس. إذا تم إعطاء أي شكل F على المستوى ، فإن مجموعة من جميع النقاط التي تمر إليها الأشكال الرفيعة للشكل F التحول قيد النظر هو رقم جديد F. في هذه الحالة ، نقول أن F "تم الحصول عليها من F باستخدام التحويل المعني.

مثال. التناظر حول الخط l هو تحويل هندسي. القاعدة التي تسمح لك بالعثور على النقطة A المقابلة لها من النقطة A ، في هذه الحالة ، هي كما يلي: من النقطة A ، ينخفض ​​AP العمودي إلى الخط المستقيم l ، وعند استمراره بعد النقطة P ، المقطع PA "= ​​تم وضع AP.

إضافة التحولات الهندسية

لنفترض أننا نفكر في تحولين هندسيين ، أحدهما نسميه "الأول" والآخر "الثاني". لنأخذ نقطة عشوائية A على المستوى ونشير إلى A "النقطة التي يمر إليها A أثناء التحويل الأول. في المقابل ، يتم نقل النقطة A" من خلال التحويل الثاني إلى نقطة جديدة A. وبعبارة أخرى ، يتم الحصول على النقطة A "من النقطة A باستخدام التطبيق المتتالي لتحولين - الأول الأول ، ثم الثاني.

نتيجة التنفيذ المتتالي للتحولين اللذين تم إجراؤهما هو أيضًا تحول هندسي: يأخذ النقطة أ إلى النقطة أ. يسمى هذا التحول "الناتج" مجموع التحولات الأولى والثانية المعتبرة.

دعونا نعطي بعض الشكل F على المستوى. التحويل الأول يحوله إلى شكل ما F ". بالتحول الثاني ، هذا الشكل F" يُترجم إلى شكل جديد F "". يحول مجموع التحولات الأولى والثانية الشكل F على الفور إلى الشكل F.

مثال. لنفترض أن التحويل الأول يكون تناظرًا فيما يتعلق بالنقطة O1 ويكون التحول الثاني تناظرًا فيما يتعلق بنقطة أخرى O2. لنجد مجموع هذين التحولين.

دع "أ" تكون نقطة اعتباطية على الطائرة. افترض أولاً أن النقطة A لا تقع على الخط O1O2. دع "أ" يكون هو النقطة نقطة متناظرة A فيما يتعلق O1 ، ومن خلال A "- نقطة متناظرة مع النقطة A" بالنسبة إلى O2. بما أن O1O2 هو الخط الأوسط للمثلث AA "A" فإن "القطعة AA" موازية للقطعة O1O2 ولها ضعف الطول. الاتجاه من النقطة أ إلى النقطة أ "هو نفس الاتجاه من النقطة

O1 للإشارة إلى O2. دعونا الآن نشير بواسطة MN مثل هذا المتجه إلى أن المقاطع MN و O1 O2 متوازيتان ، والجزء MN هو ضعف طول المقطع O1O2 ، والأشعة MN و O1O2 لها نفس الاتجاه. ثم يتم الحصول على AA "= MN ، أي النقطة A" من النقطة A بنقل موازٍ إلى المتجه MN.

وينطبق الشيء نفسه على النقطة الواقعة على الخط O1O2.

أخيرًا ، نحصل على: مجموع التناظر حول النقطة O1 والتماثل حول النقطة O2 هو ترجمة موازية.

1.2 الحركة

التناظر المحوري ، والدوران (على وجه الخصوص ، التناظر المركزي) والترجمة الموازية تشترك في أن كل من هذه التحولات تترجم أي شكل F على المستوى إلى رقم متساوٍ F ". تسمى التحويلات التي لها هذه الخاصية بالحركات. Homothety هو مثال على تحول في الواقع ، كل حركة تحول أي شخصية إلى رقم مساوي لها ، أي أنها تغير فقط موضع الأشكال الموجودة على المستوى ، بينما يغير homothety أيضًا أحجام الأشكال.

دور الحركة في الهندسة

تلعب الحركات في الهندسة للغاية دورا هاما. إنهم لا يغيرون شكل أو حجم الأشكال ، بل يغيرون فقط موقع الشكل. لكن الأشكال ، التي تختلف فقط في موقعها على المستوى ، هي نفسها تمامًا من وجهة نظر الهندسة. هذا هو السبب في أنهم يطلق عليهم في الهندسة "أرقام متساوية". لا شيء من الخصائص الشكل الهندسيلا يختلف عن الخاصية المقابلة لشكله المتساوي. لذلك ، على سبيل المثال ، ليس للمثلثات المتساوية نفس الأضلاع فحسب ، بل لها أيضًا نفس الزوايا والوسيط والمنصفات والمساحات وأنصاف أقطار الدوائر المنقوشة والمحددة وما إلى ذلك.

في دروس الهندسة ، اعتبرنا دائمًا أن الأرقام المتساوية (أي تلك التي يمكن دمجها بمساعدة الحركة) هي نفسها أو لا يمكن تمييزها. غالبًا ما يتم الخلط بين هذه الأرقام لنفس الرقم. لهذا السبب يمكننا أن نقول ، على سبيل المثال ، أن مشكلة إنشاء مثلث على الجانبين أ ، ب والزاوية ج المحاطة بينهما لها حل واحد فقط. في الواقع ، بالطبع ، هناك عدد لا نهائي من المثلثات التي أعطت الجانبين أ وب وزاوية ج بقيمة معينة بينهما. ومع ذلك ، فإن كل هذه المثلثات متساوية ومتساوية ، لذا يمكن اعتبارها مثلثًا "واحدًا".

وهكذا ، تدرس الهندسة خصائص الأشكال المتشابهة للأرقام المتساوية. يمكن أن تسمى هذه الخصائص "الخصائص الهندسية". بمعنى آخر: الهندسة تدرس خصائص الأشكال التي لا تعتمد على موقعها. لكن الأرقام التي تختلف فقط في الترتيب (أرقام متساوية) هي تلك التي يمكن جمعها بالحركة. لذلك ، نأتي إلى التعريف التالي لموضوع الهندسة ؛ تدرس الهندسة خصائص الأشكال المحفوظة أثناء الحركات.

حركات في الهندسة والفيزياء

وبالتالي ، يلعب مفهوم الحركة دورًا أساسيًا في الهندسة. تم استخدام الحركات ("التراكبات") في الفئة السادسة لتحديد الأرقام المتساوية ، لإثبات علامات المساواة في المثلثات ؛ يتيح لنا مفهوم الحركة ، كما رأينا أعلاه ، تقديم وصف لشيء الهندسة.

وفي الوقت نفسه ، هناك فجوة في تعريفات مفهوم المساواة بين الشخصيات ومفهوم الحركة. في الواقع ، تم تعريف الأرقام المتساوية (في الفئة السادسة) على أنها أرقام يمكن دمجها عن طريق التراكب (أي بالحركة). تم تعريف الحركات أعلاه على أنها تحويلات تترجم مضلعين F1 و F بحيث يوجد مضلع F "متماثل F ويساوي F1 ، ثم تكون زوايا المضلع F تساوي على التوالي زوايا المضلع F" و أضلاع المضلع F ، على التوالي ، متناسبة مع جوانب المضلع F ". لكن المضلع F له نفس الزوايا والأضلاع مثل المضلع المتساوي F1. وبالتالي ، فإن المضلعين F1 و F متشابهان في المعنى الذي كان عليه يفهم في سياق هندسة الفئة الثامنة.

على العكس من ذلك ، دع المضلعين F1 و F بحيث تكون زاياهما متساويتين على التوالي وتكون أضلاعهما متناسبة على التوالي. يُشار إلى نسبة جوانب المضلع F1 إلى الجوانب المقابلة للمضلع F بالرمز k. علاوة على ذلك ، نشير إلى F "المضلع الذي تم الحصول عليه من F بواسطة تماثل مع معامل k (وأي مركز تماثل. في هذه الحالة ، بحكم النظرية ، سيكون للمضلعين F" و F1 جوانب وزوايا متساوية ، على التوالي ، أي هذه المضلعات ستكون متساوية ، لذا فإن المضلعين F1 و F سيكونان متشابهين أيضًا من حيث تعريف التشابه الوارد هنا.

الفصل الثاني: التحولات المحببة

2.1 تحولات التقارب من الطائرة

التحويل الأفيني α هو تحول للمستوى يأخذ أي خط مستقيم إلى خط مستقيم ويحافظ على العلاقة التي تقسم فيها النقطة المقطع.

في الشكل 1: L "= α (L) ، A" = α (A) ، B "= α (B) ، C" = α (C) ،

|

التحولات - الحركة والتشابه - هي حالات خاصة للحركة الأفينية ، نظرًا لخصائص الحركة والتشابه ، يتم استيفاء جميع متطلبات تعريف التحولات الأفينية.

دعونا نعطي مثالاً على تحول أفيني لا يختصر إلى تلك التي تم النظر فيها سابقًا. ولهذه الغاية ، ننظر أولاً إلى الإسقاط المتوازي لمستوى على مستوى.

دع الطائرات تُعطى: w و w1 خط مستقيم l (اتجاه الإسقاط) ، وليست موازية لأي من هذه المستويات (الشكل 2). النقطة Аw تسمى إسقاط النقطة А1єw1 ، إذا كان А1 || l ، فإن الخط А1 يسمى خط الإسقاط. الإسقاط المتوازي هو تخطيط للمستوى w1 على w.

لاحظ الخصائص التالية للإسقاط المتوازي.

1) صورة أي خط a1 عبارة عن خط.

في الواقع ، تشكل الخطوط التي تُسقط نقاط الخط a1 مستويًا (يمر عبر a1 بالتوازي مع l) ، والتي عند تقاطعها مع w ، تعطي صورة الخط a1 - الخط a (الشكل 2).

2) يتم الاحتفاظ بالعلاقة التي تقسم فيها النقطة المقطع ، أي

(الصورة 2)

يتبع مباشرة من نظرية تقاطع جوانب زاوية بخطوط متوازية.

دعونا ننتقل مباشرة إلى بناء مثال على تحول أفيني.

لنأخذ حالتين من المستوي w وننقل أحدهما إلى موضع آخر w1 (الشكل 3). تشير إلى الموضع الجديد لنقطة ما Аw بواسطة А1єw1. الآن نقوم بإسقاط المستوى w1 في موضع ما على w ، ونشير إلى إسقاط النقطة A1 على أنها A ".

لقد حصلنا على تحويل للمستوى w إلى نفسه ، تحته

. بحكم الخصائص المتماثلة للإسقاط الموازي ، يتم استيفاء كل من متطلبات تحويل أفيني معين لهذا التحول ، وبالتالي ، فإن التحول الذي تم إنشاؤه الآن هو تحويل شائع مستقبلي.

التحويل الأفيني هو الذي يحافظ على الخطوط المتوازية ، ولكن ليس بالضرورة الزوايا أو الأطوال.
في رسومات الكمبيوتر ، عادةً ما يتم الإشارة إلى كل ما يتعلق بالحالة ثنائية الأبعاد بالرمز 2D (2-البعد). افترض أنه تم إدخال نظام إحداثيات مستقيم على المستوى. ثم يتم تعيين زوج مرتب من الأرقام (س ، ص) لكل نقطة M (الشكل 1).

يمكن النظر في الصيغ أعلاه بطريقتين: إما أن يتم حفظ النقطة وتغيير نظام الإحداثيات ؛ في هذه الحالة ، تظل النقطة التعسفية M كما هي ، فقط إحداثياتها (س ، ص) (س * ، ص *) تتغير ، أو تتغير النقطة ويتم حفظ نظام الإحداثيات في هذه الحالة. في هذه الحالة ، تحدد الصيغ مخططًا يأخذ نقطة عشوائية M (x ، y) إلى النقطة M * (x * ، y *) ، إحداثياتها هي محددة في نفس نظام الإحداثيات. في المستقبل ، سوف نفسر الصيغ ، كقاعدة عامة ، يتم تحويل نقاط المستوى في نظام معين من الإحداثيات المستقيمة.
في التحولات الأفينية للطائرة ، يتم لعب دور خاص من خلال العديد من الحالات الخاصة المهمة التي لها خصائص هندسية محددة جيدًا. عند دراسة المعنى الهندسي للمعاملات العددية في الصيغ لهذه الحالات ، من الملائم افتراض أن نظام الإحداثيات المحدد هو نظام ديكارتي مستطيل.
يتم استخدام تقنيات رسومات الكمبيوتر التالية بشكل شائع: الترجمة ، والقياس ، والدوران ، والانعكاس. تم تلخيص التعبيرات الجبرية والأشكال التي توضح بيانات التحويل في الجدول 1.

تحولات على متن الطائرة

الترجمة هي إزاحة العناصر الأولية للمخرجات بنفس المتجه.
التحجيم هو زيادة أو نقص في الصورة بأكملها أو جزء منها. عند القياس ، يتم ضرب إحداثيات نقاط الصورة برقم معين.
يشير الدوران إلى دوران العناصر الأولية للمخرجات حول محور معين. (في مستوى الرسم ، يحدث الاستدارة حول نقطة.)
يُفهم الانعكاس على أنه الحصول على صورة معكوسة لصورة حول أحد المحاور (على سبيل المثال ، X).
يتم تحديد اختيار هذه الحالات الخاصة الأربع من خلال حالتين:
1. لكل من التحولات المذكورة أعلاه معنى هندسي بسيط وواضح (الأرقام الثابتة المضمنة في الصيغ أعلاه لها أيضًا معنى هندسي).
2. كما ثبت في الدورة الهندسة التحليلية، يمكن دائمًا تمثيل أي تحويل للنموذج (*) كتنفيذ متسلسل (تراكب) لأبسط التحولات في الشكل A و B و C و D (أو جزء من هذه التحولات).
وبالتالي ، فإن ما يلي هو الصحيح. خاصية مهمةتحويلات أفيني للمستوى: أي تعيين للشكل (*) يمكن وصفه باستخدام التعيينات المقدمة بواسطة الصيغ A و B و C و D.
من أجل الاستخدام الفعال لهذه الصيغ المعروفة في مشاكل رسومات الكمبيوتر ، من الأنسب كتابتها في شكل مصفوفة.
لدمج هذه التحولات ، يتم إدخال إحداثيات متجانسة. الإحداثيات المتجانسة لنقطة ما هي أي ثلاثة أرقام غير صفرية متزامنة x1 و x2 و x3 مرتبطة بالأرقام المعينة x و y بالعلاقات التالية:

ثم تتم كتابة النقطة M (x ، y) بالشكل M (hX ، hY ، h) ، حيث h 0 هو عامل المقياس. يمكن العثور على الإحداثيات الديكارتية ثنائية الأبعاد على شكل

في الهندسة الإسقاطية ، يتم تقديم هذه الإحداثيات للتخلص من حالات عدم اليقين التي تنشأ عند تحديد عناصر بعيدة (غير مناسبة) بشكل لا نهائي. يمكن تفسير الإحداثيات المتجانسة على أنها دمج لمستوى تم تحجيمه بمعامل h في المستوى Z = h في مساحة ثلاثية الأبعاد.
تتم كتابة النقاط في الإحداثيات المتجانسة كمتجهات صف ثلاثية العناصر. يجب أن يكون حجم مصفوفات التحويل 3x3.
بمساعدة ثلاث مرات من الإحداثيات والمصفوفات المتجانسة من الترتيب الثالث ، يمكن وصف أي تحول أفيني للطائرة.
في الواقع ، بافتراض أن h = 1 ، نقارن بين سجلين: تم تمييزهما بالرمز (*) والمصفوفة التالية:

يمكنك الآن استخدام تركيبات التحويل عن طريق تطبيق نتيجة واحدة بدلاً من سلسلة من التحويلات التي تتبع بعضها البعض. يمكنك ، على سبيل المثال ، تقسيم مشكلة معقدة إلى عدد من المشاكل البسيطة. يمكن تقسيم دوران النقطة A حول نقطة عشوائية B إلى ثلاث مهام:
نقل ، حيث B \ u003d 0 (حيث 0 هو الأصل) ؛
منعطف أو دور؛
النقل العكسي ، حيث تعود النقطة B إلى مكانها ، إلخ.
يحتوي تكوين الشكل الأكثر عمومية للعمليات T ، D ، R ، M على مصفوفة:

أعلى 2x2 هي مصفوفة التدوير والقياس المدمجة ، وتصف tx و ty الترجمة الكلية.
التحولات الأساسية الموضحة هي كما يلي:
التمريرتحريك نافذة على سطح التقديم (إذا كانت الحركة محدودة فقط في الاتجاهين العلوي والسفلي ، فيُطلق عليها التمرير الرأسي) ؛

تكبيرتكبير تدريجي
هبوطالتمثيل الديناميكي لأوليات الإخراج تدور حول بعض المحاور ، ويتغير اتجاهها باستمرار في الفضاء ؛
حرماننقل تدريجي للصورة من أجل خلق إحساس مرئي بالحركة.

UDC 004.932.0000

Kudrina M.A ، Murzin A.V.

S.P. جامعة كوروليف سمارة الدولة للفضاء (وطنية جامعة بحثية) "، سمارة ، روسيا

تحولات دقيقة للأشياء في رسومات الكمبيوتر

تتمثل إحدى المهام النموذجية التي يجب حلها عن طريق الرسومات الرسومية النقطية في تحويل كل من الصورة بأكملها ككل وشظاياها الفردية ، مثل: التحرك ، والدوران حول مركز معين ، وتغيير الأبعاد الخطية ، وما إلى ذلك.

تم حل هذه المشكلة باستخدام التحولات الأفينية.

يمكن أن تكون التحويلات التقريبية مفيدة جدًا في المواقف التالية:

1. لتكوين صورة مسطحة أو مشهد ثلاثي الأبعاد بالترتيب من عناصر من نفس النوع عن طريق نسخها وتحويلها ونقلها إلى أماكن مختلفة في الصورة. على سبيل المثال ، لإنشاء كائنات متناظرة مثل ندفة الثلج. يمكنك تطوير فكرة واحدة ثم تكوين صورة للكائن بأكمله من خلال انعكاسات وتدويرات وحركات هذا النموذج.

2. لعرض كائنات ثلاثية الأبعاد من وجهات نظر مختلفة. في هذه الحالة ، يمكنك إصلاح موضع الكاميرا وتدوير المشهد ، أو العكس ، وترك المشهد بلا حراك وتحريك الكاميرا حوله. يمكن إجراء معالجات مماثلة باستخدام تحويلات أفيني ثلاثية الأبعاد.

3. لإسقاط كائنات ثلاثية الأبعاد على مستوى وعرض المشهد في نافذة. لذلك ، على سبيل المثال ، بالنسبة للإسقاط المحوري ، يتم استخدام سلسلة من دورتين لمستوى الإسقاط ، وللعرض في النافذة ، يتم استخدام مزيج من القياس والتحريك.

التحولات المحببة على الطائرة في نظرة عامةبالصيغ التالية:

J X = Ax + By + C،. يتيح لك البرنامج أتمتة عملية تجميع مهام الاختبار.

المؤلفات

1. Porev V. N. رسومات الكمبيوتر. - سانت بطرسبرغ: BHV- بطرسبورغ ، 2002. - 432 صفحة. : سوف.

2. Hill F. Open GL. برمجة رسومات الحاسوب. للمهنيين. - سانت بطرسبرغ: بيتر ،

2002. - 1088s: مريض. ردمك 5-318-00219-6

3. Kudrina M.A.، Kudrin K.A.، Vytyagov A.A.، Ionov D.O. تطوير النظام الدراسة عن بعدلدورة "رسومات الحاسوب" باستخدام موودل: وقائع الندوة الدولية الموثوقية والجودة. 2010. T.I S. 165.

4. Kudrina M.A.، Kudrin K.A.، Degtyareva O.A. تصديق مادة قياس تربوية لدورة "رسومات الحاسوب" / / الموثوقية والجودة 2008. وقائع int. ندوة. بينزا ، 2008 ، ص.162-163.

5. Kudrina M.A. استخدام مواد المصادقة والقياس التربوي للدورة

"الرسومات الحاسوبية في العملية التعليمية" // التعليم استثمار في النجاح: مواد علمية -

خصائص التحويل التقريبي

1. صورة الخطوط المتوازية هي خطوط متوازية.

الإثبات بالتناقض. لنفترض أن صور الخطوط المتوازية l و m عبارة عن خطين l "و m" يتقاطعان عند النقطة A (الشكل 8). نظرًا للتحويل من واحد إلى واحد ، فإن النقطة لها صورة أولية ، والتي نشير إليها بواسطة A. ولكن منذ A "l" ، ثم l مشابه لـ Аєm وهذا يتعارض مع التوازي بين الخطين l و m.

2. مع التحويل الأفيني ، يتم الاحتفاظ بنسبة جزأين يقعان على نفس الخط المستقيم: (الشكل 9)

في الواقع ، من خلال تعريف التحول الأفيني:

3. مع التحويل الأفيني ، يتم الحفاظ على نسبة الأجزاء المتوازية.

معطى: AB || CD. وفقًا للخاصية 2 ، سيكون هناك أيضًا A "B" | C "D" (الشكل 10)

يجب أن نثبت:

لإثبات ذلك ، نرسم AC ، ثم DL || AC. سنقوم أيضًا ببناء A "C" و D "L" || A "C". حسب الخاصية 2 ، يمر السطر DL إلى D "L" ، وبالتالي ،. الآن بالتعريف:. لكن AL = CD ، A "L" = C "L" ، لذلك من هنا نحصل على ما نحتاج إليه على الفور.

4. في ظل التحويل الأفيني ، لا يتم الاحتفاظ بزاوية ونسبة المقاطع التعسفية ، بشكل عام ، حيث يمكن ترجمة أي مثلث إلى أي مثلث آخر. لذلك ، عادةً ما يتم تحويل ارتفاع المثلث ومنصفه إلى خطوط أخرى ، بينما ينتقل الوسيط إلى الوسيط ، نظرًا لأن نقطة منتصف المقطع تنتقل إلى المنتصف.

5. في ظل التحويل الأفيني ، يصبح متوازي الأضلاع متوازي أضلاع ، شبه منحرف إلى شبه منحرف.

أرقام معادلة

على غرار مفهوم المساواة والتشابه بين الأرقام ، يتم تقديم مفهوم التكافؤ الخاص بهم.

يقال أن الشكل F1 مكافئ بشكل وثيق للشكل F2 إذا كان من الممكن ترجمة F1 إلى F2 عن طريق تحويل أفيني.

تنبع صحة هذا التعريف من حقيقة أن التحولات الأفينية تشكل مجموعة ، وبالتالي ، فإن التكافؤ التقريبي المقدم هنا هو متعدٍ ، انعكاسي ، ومتماثل.

نلاحظ بعض فئات الأرقام المتكافئة.

واحد). جميع المثلثات متكافئة (يتبع من النظرية الرئيسية).

2). جميع متوازيات الأضلاع متكافئة.

3). بالنسبة للتكافؤ شبه المنحرف ، من الضروري والكافي أن تكون قواعدهم متناسبة.

المراسلات المنظورية - الأفينية لطائرتين

لنفترض أن مستويين w و w "يتقاطعان على طول الخط xx (الشكل 1). دعونا نحدد بعض الخط المستقيم l يتقاطع مع كلا المستويين. ضع علامة على نقطة عشوائية A على المستوى w وقم بإسقاطها على المستوى w" ، برسم a خط مستقيم من خلال أ ، موازي ل. دع خط الإسقاط يتقاطع مع المستوى "عند النقطة أ". يمكن اعتبار النقطة A "بمثابة إسقاط للنقطة A على المستوى w". يسمى هذا الإسقاط بالتوازي ويتم تحديده بتحديد الخط المستقيم l.

منذ إنشاء الإسقاط "أ" للنقطة "أ" ، من الواضح أن النقطة "أ" بدورها يمكن اعتبارها بمثابة إسقاط للنقطة "أ" على المستوى ث. وبالتالي ، فإن الإسقاط المتوازي هو جهاز له نفس القيمة تمامًا فيما يتعلق بكل من المستويين w و w ". يتعلق بكل نقطة (A) من المستوى الأول بنقطة محددة جيدًا (A") من الثانية ، و والعكس صحيح. نحصل على تطابق زوجي لنقاط المستويين w و w ". هذا التطابق هو واحد لواحد ، أي أن كل نقطة في مستوى واحد تقابل نقطة واحدة من الثانية ، والعكس صحيح.

تسمى مراسلات المستويين w و w "، التي تم إنشاؤها باستخدام إسقاط متوازي ، بالمنظور الأفيني أو ذات الصلة.

إذا أخذنا في الاعتبار عملية الانتقال من أحد المستويات المحددة (على سبيل المثال ، w) إلى مستوى آخر (w ") ، حيث تمر كل نقطة (A) من مستوى واحد (w) إلى النقطة المقابلة (A") من المستوى الآخر (w ") ، كأحادي الجانب ، يسمى تحويل المستوى (w) إلى المستوى (w" - في هذه الحالة ، تسمى النقطة A الصورة المعكوسة ، والنقطة A " يسمى صورتها.

بإسقاط المستوى w بالتوازي مع المستوى w "، نقوم بإجراء تحويل أفيني للمنظور للمستوى w إلى المستوى w".

من الممكن أيضًا استدعاء مجموعة جميع نقاط المستوى w بمجال النقاط w والتحدث عن تحويل مجال النقاط w إلى مجال النقاط w.

دعونا نضع لأنفسنا مهمة دراسة خصائص المراسلات المنظورية للطائرات.

دعونا أولاً وقبل كل شيء نتعامل مع مسألة النقاط المزدوجة أو الثابتة لمراسلاتنا ، أي تلك النقاط التي تتوافق مع النقاط المقابلة لها. نظرًا لأن كل نقطة مزدوجة يجب أن تنتمي إلى كل من المستوى الأول والمستوى الآخر ، يجب أن تقع على خط التقاطع xx للمستويين w و w. يسمى الخط المستقيم محور التوافق وفقًا لما سبق ، يمكن تعريف محور التطابق على أنه موضع النقاط المزدوجة.

وهكذا ، فإن الخط المستقيم على مستوى واحد يقابل خطًا مستقيمًا على المستوى الآخر. تسمى هذه الخاصية لمراسلات المنظور الأفيني العلاقة الخطية المتداخلة. بحكم التعريف ذاته للإسقاط الموازي لشكل ما كموقع الإسقاطات لجميع نقاط هذا الشكل ، فإن كل نقطة تقع على خط تقابل دائمًا نقطة تقع على الخط المقابل. لذلك ، فإن الانتماء المتبادل لنقطة وخط مستقيم على مستوى واحد يستلزم الانتماء المتبادل للعناصر المقابلة في المستوى الثاني.

2. الخاصية التالية لمراسلات المنظور تتعلق بما يسمى ب علاقة بسيطةثلاث نقاط من خط مستقيم.

ضع في اعتبارك ثلاث نقاط أ ، ب ، ج ، ملقاة على نفس الخط المستقيم (الشكل 1). يتم تحديد النسبة البسيطة للنقاط A و B و C بالصيغة:

مراسلات التحويل الهندسي

في هذه الصيغة ، تعتبر النقطتان A و B أساسيتين (أو أساسيتين) ، والنقطة C قابلة للانقسام. النسبة البسيطة (ABC) هي نسبة أطوال تلك الأجزاء التي تشكلها نقطة الانقسام مع الأجزاء الرئيسية. إذا كانت النقطة C تقع خارج القطعة A B ، فإن كلا الجزأين AC و BC موجهان بشكل متساوٍ ، وبالتالي في هذه الحالة تكون النسبة البسيطة (ABC) موجبة. في الحالة التي تكون فيها نقطة التقسيم C بين A و B ، تكون النسبة البسيطة (ABC) سالبة.

يوضح الشكل 1 ذلك النقاط أ ، ب، C للطائرة w تتوافق مع النقاط A "، B" ، C "للمستوى w". نظرًا لأن خطوط الإسقاط AA "، BB" ، CC "متوازية ، سيكون لدينا:

أو (ABC) = (أ "ب" ج ").

لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أنه في مراسلات المنظور ، فإن النسبة البسيطة لثلاث نقاط لخط مستقيم لمستوى ما تساوي دائمًا النسبة البسيطة لثلاث نقاط مقابلة لمستوى آخر.

3. قبل الشروع في النظر في المزيد من الخصائص لمراسلات المنظور ، دعونا نتناول مسألة الموقع المحتمل للطائرات المقابلة w و w "في الفضاء.

حتى الآن ، افترضنا أن هذه المستويات غير متطابقة ومتقاطعة على طول الخط xx من أجل إنشاء المراسلات المرتبطة بالمنظور التي تم النظر فيها أعلاه عن طريق الإسقاط المتوازي. بمجرد إنشاء مثل هذه المراسلات ، سيكون من الممكن جعل كلتا الطائرتين متطابقتين عن طريق تدوير أي منهما حول المحور xx. في الوقت نفسه ، لا تخضع جميع الصور الهندسية الموجودة في أي من المستويين لأي تغيير. وبالتالي ، في أي لحظة من دوران الطائرة ، وعندما يتم دمجها مع المستوى الثاني ، لا يتم انتهاك المراسلات المرتبطة بالمنظور التي تم إنشاؤها مسبقًا.

الخطوط المستقيمة التي تربط النقاط المقابلة ، مثل AA "، BB" ، SS "، ... ، تظل متوازية في أي موضع من المستوى الدوار ، وكذلك بعد محاذاتها مع المستوى الثابت. وهذا واضح من الحقيقة أن كل سطرين من الخطوط المذكورة (على سبيل المثال ، AA "و BB") يقعان دائمًا في نفس المستوى ، ويتم تحديدهما بواسطة زوج من الخطوط المتقاطعة (AB و AB "B") ، ومقطعان على جانبي الزاوية شرائح متناسبةمنذ (ABX) \ u003d (A "B" X). عندما يتم الجمع بين المستويين w و w "، فإن خطوط الإسقاط (AA" ، BB "، ...) ستقع في المستوى المتكون من طائرتين متطابقتين w و w" (الشكل 2).

من الأمور ذات الأهمية الخاصة بالنسبة لنا حالة الوضع المشترك للطائرات ، حيث يمكننا في هذه الحالة استخدام رسم مسطح يصور المراسلات الثابتة دون تشويه.

في حالة التراكب ، يمكن اعتبار كل نقطة من المستوى (المزدوج) على أنها تنتمي إلى المستوى w أو w "والإشارة إليها ، بناءً على ذلك ، بحرف كبير بدون شرطة أو شرطة. وهكذا ، لدينا يُشار إلى تحول المستوى إلى نفسه ، وحالته الأولية (المستوى قبل التحويل) بالحرف w ، والحالة الجديدة (المستوى بعد التحويل) يُشار إليها بالحرف w ".

لاحظ أنه بعد محاذاة المستويات ، يتوقف محور المراسلات xx عن كونه خط تقاطع هذه المستويات ، ولكن خلفه يتم الاحتفاظ بالتعريف الثاني كموقع للنقاط المزدوجة أو الثابتة.

4. الآن يمكننا التخلي عن الجهاز المكاني (الإسقاط الموازي) ، والذي ساعدنا في إنشاء المراسلات المنظورية لطائرتين ، وتحديد الأخير لمستوى مزدوج دون الذهاب إلى الفضاء. تحقيقا لهذه الغاية ، نثبت الافتراض التالي: يتم تحديد تحويل منظور المنظور للطائرة إلى نفسها تمامًا بواسطة المحور (xx) وزوج من النقاط المقابلة (A ، A ").

دليل - إثبات. دعنا نحدد المحور xx وزوج من النقاط المقابلة (AA ") للتحويل المرتبط بالمنظور (الشكل 3). دعنا نثبت أنه بالنسبة لأي نقطة B في المستوى ، من الممكن إنشاء مخطط فريد ومحدد جيدًا النقطة المقابلة ب ".

لنرسم خط AB. لنفترض أن X هي نقطة تقاطعها مع المحور xx. نظرًا لأن النقطة X تقابل نفسها (على أنها مستلقية على المحور) ، فإن الخط AX يتوافق مع الخط A "X. أخيرًا ، يجب أن تقع النقطة B" على السطر A "X وخط الإسقاط BB" ، بالتوازي مع أ ". هذا يسمح لنا ببناء النقطة المرغوبة ب". وبالتالي ، كانت هناك بيانات كافية ، وتمثل النقطة المقابلة "ب" الحل الوحيد.

لاحظ أن المراسلات المتعلقة بالمنظور ستتحقق بالفعل ، لأن البناء المشار إليه لا يمكن أن يؤدي إلى تناقض. من السهل التحقق من ذلك عن طريق تقليل البناء إلى جهاز الإسقاط المتوازي.

في الواقع ، إذا قمنا بطي الرسم 3 على طول الخط xx بحيث تشكل المستويان w و w "زاوية ثنائية السطوح ، فإن جميع خطوط الإسقاط (الخطوط التي تربط النقاط المقابلة ، على سبيل المثال BB") سوف تكون موازية للخط AA "(بسبب تناسب المقاطع). لذلك ، يمكن اعتبار المراسلات التي أنشأناها كنتيجة لإسقاط موازٍ.

ملحوظة. إذا قمنا في الرسم 3 بإحالة النقطة B إلى المستوى w "، والإشارة إليها بواسطة C" ، فإن بناء النقطة المقابلة سيقودنا إلى النقطة C ، والتي ، كما يتضح من الرسم 3 ، لا تتطابق دائمًا مع ب ". يمكن إثبات أن الشرط الضروري والكافي لمثل هذه المصادفة ، أي استقلالية المراسلات المتعلقة بالمنظور عما إذا كانت النقطة تشير إلى مستوى أو آخر ، تتمثل في قسمة الجزء أ" إلى النصف عند نقطة التقاطع مع المحور xx.

لذلك ، في هذه الحالة ، تكون المراسلات تماثلًا مائلًا أو مباشرًا (فيما يتعلق بمحور xx).

5. في الدراسة الإضافية لمراسلات المنظور الأفيني ، سنعتمد على الخصائص المحددة أعلاه: 1) العلاقة الخطية المتداخلة و 2) المساواة في النسب البسيطة لثلاثيات النقاط المقابلة.

لاحظ أنه في تحويلات المنظور ، تعبر هذه الخصائص عن الثبات ، أو الثبات ، لمفهوم الخط المستقيم ومفهوم النسبة البسيطة لثلاث نقاط من الخط المستقيم.

من هذه الخصائص ، يمكن للمرء أن يستنتج خط كامل"ثوابت" أخرى للتحول الأفيني المنظور ، والتي لم تعد بالتالي مستقلة. دعونا أولا وقبل كل شيء نثبت ثبات توازي الخطوط. لنفترض أنه على المستوى w لدينا سطرين a و b ، على المستوى w "يتوافق مع الخطين a" و b ". افترض أن المستقيمين a و b متوازيان (a || b). دعنا نثبت ذلك أ "|| ب ". دعنا نطبق البرهان" بالتناقض "افترض أن الخطين أ" وب "يتقاطعان ، ونشير إلى نقطة التقاطع بالحرف م" (الشكل 4). بعد ذلك ، نظرًا للتوافق الفردي بين المستويين w و w "إلى النقطة M" للمستوى w "يتوافق مع النقطة M على المستوى w. يجب أن تنتمي النقطة M إلى كل من الخط a و الخط ب. لذلك ، M هي نقطة تقاطع الخطين أ و ب ، وبالتالي ، نصل إلى تناقض ، والافتراض أن الخطين "أ" و "ب" مستحيلان ، لذلك ، أ "|| ب".

وبالتالي ، فإن التوازي بين الخطوط هو خاصية ثابتة لتحول المنظور.

ننضم إلى B مع D ونرسم خطًا من CF || إلى C. DB. على المستوى w "الخط المستقيم СF سوف يتوافق مع الخط المستقيم С" F "D" В "(بسبب ثبات التوازي) ، وبالتالي ، فإن النقطة F سوف تتوافق مع النقطة F". مع العلم أن العلاقة البسيطة بين ثلاث نقاط ثابتة ، يمكننا أن نكتب:

وهكذا نصل إلى المساواة:

يوضح الأخير أن نسبة جزأين متوازيين هي ثابتة لمراسلات المنظور.

إذا كان المقطعان AB و CD يقعان على نفس الخط المستقيم (الشكل 6) ، فإن نسبتهما تكون أيضًا ثابتة في المراسلات المرتبطة بالمنظور. في الواقع ، دع PQ يكون قطعة عشوائية موازية للخط AB. إذن لدينا:

6. ننتقل إلى النظر في مجالات الأرقام المقابلة. نثبت اللمة التالية: مسافات نقطتين متناظرتين (A ، A ") إلى محور التطابق (xx) هي في نسبة ثابتة ، مستقلة عن اختيار زوج من النقاط المتوافقة. الدليل. افترض أن النقطتين A و B تتوافق مع النقطتين A "و B" ((الشكل 7) بإسقاط الخطوط العمودية من هذه النقاط على المحور xx ، نحصل على مسافاتها مع المحور ، وسنعتبر دائمًا المسافات موجبة ، بغض النظر عن اتجاه الخطوط العمودية.

يمكننا أن نكتب:

لكن كما ترى من الرسم:

تثبت المساواة الناتجة اللمة التي تمت صياغتها أعلاه.

نشير إلى النسبة الثابتة لمسافات النقاط المقابلة بواسطة k ولنثبت النظرية التالية.

نسبة مساحتي مثلثين متقابلين ثابتة وتساوي ك.

ينقسم إثبات النظرية إلى الحالات التالية:

1. للمثلثات جانب مشترك على المحور xx.

تظهر هذه المثلثات في الرسم 8. يتم التعبير عن نسبة مساحتها على النحو التالي:

2. للمثلثات رأس مشترك على المحور xx.

هذان هما المثلثان الموضحان في الشكل 9. يجب أن يتقاطع الضلعان BC و B "C" من هذين المثلثين على المحور xx (عند النقطة X). القضية قيد النظر تختصر إلى السابقة. في الواقع ، بناءً على السابق ، يمكن للمرء أن يكتب:

لذلك سيكون لدينا:

3. الحالة العامة لمثلثين متطابقين.

دعنا نرسم 10 لدينا مثلثين متطابقين ABC و A "B" C. ضع في اعتبارك أحد هذه المثلثات ، على سبيل المثال ABC. يمكن تمثيل مساحة هذا المثلث على النحو التالي:

تشير جميع المثلثات الموجودة على الجانب الأيمن من هذه المساواة إلى الحالتين اللتين تم النظر فيهما بالفعل ، لذلك ، بتطبيق النظرية المثبتة عليها ، يمكننا إعادة كتابة المساواة الموجودة أعلاه على النحو التالي:

بالتالي،

7. خاصية مساحتي مثلثين متناظرين استنتجناها يمكن أن تمتد بسهولة إلى حالة المضلعات المقابلة. في الواقع ، يمكن تقسيم كل مضلع إلى عدة مثلثات ، ويتم التعبير عن مساحة المضلع كمجموع مناطق المثلثات المكونة له.

بالنسبة للمضلع المقابل ، نحصل على قسم مماثل إلى مثلثات. إذا تم الإشارة إلى مناطق المضلعين المتناظرين بالحرفين S و S "، وتم الإشارة إلى مناطق المثلثين المكونين المتناظرين بالحروف ، فيمكننا كتابة:

منذ ذلك الحين ، بالإضافة إلى مناطق المثلثات المقابلة ، لدينا:

وهكذا نحصل على:

أخيرًا ، يمكن تعميم نظرية نسبة المساحة في حالة منطقتين مقيَّدين بمنحنيات متناظرة ذات شكل تعسفي.

دعونا نشير إلى المناطق التي يحدها منحنيان متناظران بـ و. نكتب المضلع في المنحنى المحيط بالمنطقة ، ونشير إلى مساحة هذا المضلع بالحرف S. وسنزيد عدد أضلاع المضلع المنقوش إلى ما لا نهاية ، بشرط أن يميل كل جانب منه إلى الصفر ، ثم نحن نحصل:

بالنسبة للمنطقة ، سيكون لدينا عملية مماثلة:

حيث تشير S "إلى مساحة المضلع المقابلة للمضلع S. نظرًا لأنه أثناء العملية بأكملها (التغييرات في المضلعات) ، وفقًا للنظرية المثبتة أعلاه ، يجب أن يكون لديهم:

ثم التمرير إلى النهاية يعطي = ك.

بالتالي،

يمكن تمثيل الخاصية الناتجة على أنها ثابتة لمراسلات المنظور.

في الواقع ، نشير إلى المناطق التي يحدها منحنيان بشكل تعسفي ، و "و" - المناطق التي تحدها المنحنيات المقابلة ، إذن ، وفقًا لما تم إثباته ، سيكون لدينا:

أو إعادة ترتيب الشروط الوسطى للنسبة:

والتي يمكن التعبير عنها بالكلمات التالية: لا تتغير نسبة أي مجالين (ثابت) في المراسلات المرتبطة بالمنظور.

المراسلات العامة

يمكن الحصول على المراسلات ذات المنظور الأفيني لطائرتين باستخدام إسقاط متوازي.

لنتأمل الآن مراسلات طائرتين تشكلت من خلال التطبيق المتكرر للإسقاط المتوازي. لذلك ، في الرسم 11 ، يُسقط المستوى w موازيًا للخط l على المستوى w. "يُسقط هذا المستوى موازيًا للخط l" على المستوى w. وأخيرًا ، يُسقط الأخير بالتوازي مع الخط l "على الطائرة "". وهكذا ، يتم إنشاء تطابق بين الطائرات w و w "" التي النقاط أ ، ب ، جتتوافق النقاط أ "" ، ب "" ، ج "مع المستوى الأول. من السهل أن نرى أن هذا التطابق قد لا يكون إسقاطًا متوازيًا ، ولكنه في نفس الوقت له خصائص ثابتة لمراسلات منظور المنظور. في الواقع ، فإن المراسلات بين المستويين w و w "" هي سلسلة من الإسقاطات المتوازية المتعاقبة. وبما أن كل إسقاط من هذا القبيل يحافظ على العلاقة الخطية المتداخلة والنسبة البسيطة لثلاث نقاط ، فإن المراسلات الناتجة بين المستويين w و w "" يجب أن يكون لها بشكل واضح نفس الخصائص.

يمكن قول الشيء نفسه عن الخصائص الثابتة الأخرى التي يتم أخذها في الاعتبار في حالة المراسلات المرتبطة بالمنظور ، والتي يتبين بالتالي أنها حالة خاصة فقط عندما تكون الخطوط التي تربط النقاط المقابلة متوازية مع بعضها البعض:

لهذا السبب ، تسمى هذه المراسلات منظور أفيني.

تسمى مراسلات المستويين w و w "" أفيني. لقد توصلنا إلى هذا المفهوم باستخدام سلسلة من التحولات المرتبطة بالمنظور (أو الإسقاطات المتوازية). إذا تم الإشارة إلى كل منها بالأحرف P ، P "، P "والتحويل الناتج بالحرف A ، يمكننا تمثيل التحويل الأفيني A بالصيغة الرمزية التالية:

A \ u003d P * P "* P" ،

حيث يكون الجانب الأيمن "نتاجًا" للتحولات المرتبطة بالمنظور ، أي نتيجة تطبيقها المتتالي.

يمكن تنفيذ نفس المنطق دون ترك مستوى واحد ، وهو ما يكفي للنظر في سلسلة من التحولات الأفينية للمستوى في نفسه. يمكن إعطاء كل تحويل من خلال محور وزوج من النقاط المقابلة. لذلك ، على سبيل المثال ، في الرسم 12 ، يتم إعطاء التحويل الأول P بواسطة المحور xx والزوج (A ، A ") ؛ يتم إعطاء P الثاني بواسطة المحور والزوج (A" ، A ") ؛ الثالث P "هو المحور x" x "والزوج (A" "A" "). في التحويل الناتج A ، النقطة A تقابل النقطة A" ". يظهر الرسم نفسه بناء النقطة B" "، المقابلة للنقطة ب.

يوضح ما سبق أن التحويلات التي تم الحصول عليها باستخدام سلسلة من الإسقاطات المتوازية (أو التحولات المرتبطة بالمنظور) لها خصائص العلاقة الخطية المتداخلة والحفاظ على نسبة بسيطة من ثلاث نقاط.