Разстояние от линия до метод на координатите на линията. Разстояние от точка до права в пространството - теория, примери, решения. Точкови координати на проекция и разстояние

Формула за изчисляване на разстоянието от точка до права линия на равнина

Ако е дадено уравнението на правата Ax + By + C \u003d 0, тогава разстоянието от точката M (M x, M y) до правата линия може да бъде намерено по следната формула

Примери за задачи за изчисляване на разстоянието от точка до права на равнина

Пример 1.

Намерете разстоянието между линията 3x + 4y - 6 \u003d 0 и точката M (-1, 3).

Решение. Заместете във формулата коефициентите на линията и координатите на точката

Отговор: разстоянието от точка до права линия е 0,6.

уравнение на равнина, преминаваща през точки, перпендикулярни на вектор Общо уравнение на равнина

Извиква се ненулев вектор, перпендикулярен на дадена равнина нормален вектор (или, накратко, нормално ) за тази равнина.

Нека да се даде координатното пространство (в правоъгълна координатна система):

точка ;

б) ненулев вектор (Фигура 4.8, а).

Необходимо е да се направи уравнение на равнина, преминаваща през точка перпендикулярна на вектора Край на доказателството.

Нека сега разгледаме различни видове уравнения на права линия на равнина.

1) Общо уравнение на равнинатаP .

От извода на уравнението следва, че едновременно A, Б. и ° С не е равно на 0 (обяснете защо).

Точката принадлежи на равнината P само ако координатите му удовлетворяват уравнението на равнината. В зависимост от коефициента A, Б., ° С и дсамолет P заема една или друга позиция:

- равнината преминава през началото на координатната система, - равнината не преминава през началото на координатната система,

- равнината е успоредна на оста х,

х,

- равнината е успоредна на оста Y.,

- равнината не е успоредна на оста Y.,

- равнината е успоредна на оста Z.,

- равнината не е успоредна на оста Z..

Докажете тези твърдения сами.

Уравнение (6) лесно се извлича от уравнение (5). Всъщност, нека точката лежи в самолета P... Тогава неговите координати удовлетворяват уравнението Изваждайки уравнение (7) от уравнение (5) и групирайки членовете, получаваме уравнение (6). Разгледайте сега два вектора с координати съответно. От формула (6) следва, че скаларното им произведение е равно на нула. Следователно, векторът е перпендикулярен на вектора. Началото и краят на последния вектор са съответно в точките, които принадлежат на равнината P... Следователно, векторът е перпендикулярен на равнината P... Разстояние от точка до равнина P, чието общо уравнение е определя се по формулата Доказателството на тази формула е напълно аналогично на доказателството на формулата за разстоянието между точка и права (вж. Фиг. 2).
Фигура: 2. Към извода на формулата за разстоянието между равнина и права линия.

Наистина, разстоянието д между права и равнина е

където е точка, лежаща на равнина. Следователно, както в лекция № 11, се получава горната формула. Две равнини са успоредни, ако техните нормални вектори са успоредни. От това получаваме условието за паралелност на две равнини - коефициенти на общи уравнения на равнини. Две равнини са перпендикулярни, ако техните нормални вектори са перпендикулярни, следователно получаваме условието за перпендикулярност на две равнини, ако техните общи уравнения са известни

Ъгъл е между две равнини е равен на ъгъла между техните нормални вектори (виж фиг. 3) и следователно може да се изчисли по формулата
Определяне на ъгъла между равнините.

(11)

Разстояние от точка до равнина и начини за намирането му

Разстояние от точка до самолет - дължината на перпендикуляра, паднал от точка върху тази равнина. Има поне два начина за намиране на разстоянието от точка до равнина: геометрични и алгебричен.

С геометричния метод първо трябва да разберете как се намира перпендикулярът от точка до равнина: може би той се намира в някаква удобна равнина, височината ли е в някакъв удобен (или не толкова) триъгълник, или може би този перпендикуляр обикновено е височината в някаква пирамида.

След този първи и най-труден етап задачата се разделя на няколко конкретни контурни задачи (може би в различни равнини).

По алгебричен начин за да намерите разстоянието от точка до равнина, трябва да въведете координатна система, да намерите координатите на точката и уравнението на равнината и след това да приложите формулата за разстоянието от точка до равнина.

Помислете за прилагането на анализираните методи за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права линия на равнина при решаване на пример.

Намерете разстоянието от точка до права линия:

Първо, нека решим проблема по първия начин.

В условието на задачата ни е дадено общо уравнение на права линия a от вида:

Нека намерим общото уравнение на правата линия b, която преминава през дадена точка, перпендикулярна на правата линия:

Тъй като права b е перпендикулярна на права a, векторът на посоката на права b е нормалният вектор на дадена права:

т.е. векторът на посоката на права линия b има координати. Сега можем да напишем каноничното уравнение на права линия b върху равнината, тъй като знаем координатите на точката M 1, през която минава права линия b, и координатите на вектора на посоката на права линия b:

От полученото канонично уравнение на правата линия b преминаваме към общото уравнение на правата линия:

Сега ще намерим координатите на точката на пресичане на прави линии a и b (обозначаваме я с H 1) чрез решаване на системата от уравнения, съставена от общите уравнения на прави линии a и b (ако е необходимо, вижте системите за решаване на статии линейни уравнения):

По този начин точка Н 1 има координати.

Остава да се изчисли необходимото разстояние от точка M 1 до линия a като разстоянието между точките и:

Вторият начин за решаване на проблема.

Получаваме нормалното уравнение на дадената права. За целта изчисляваме стойността на нормализиращия коефициент и умножаваме по него двете страни на първоначалното общо уравнение на правата линия:

(говорихме за това в раздела за намаляване на общото уравнение на права линия до нормална форма).

Нормализиращият фактор е

тогава нормалното уравнение на правата линия има вида:

Сега вземаме израза от лявата страна на полученото нормално уравнение на правата линия и изчисляваме неговата стойност при:

Необходимото разстояние от дадена точка до дадена права линия:

по равно абсолютна стойност получената стойност, т.е. пет ().

разстояние от точка до линия:

Очевидно предимството на метода за намиране на разстоянието от точка до права линия на равнина, базирано на използването на нормалното уравнение на права линия, е относително по-малък обем изчислителна работа. На свой ред, първият метод за намиране на разстоянието от точка до права линия е интуитивен и се отличава с последователност и последователност.

На равнината е фиксирана правоъгълна координатна система Oxy, посочени са точка и права линия:

Намерете разстоянието от дадена точка до дадена права линия.

Първи начин.

Можете да преминете от дадено уравнение на права линия с наклон към общото уравнение на тази права линия и да продължите по същия начин, както в примера, обсъден по-горе.

Но можете да направите и друго.

Знаем, че произведението на наклоните на перпендикулярни линии е 1 (вижте статията перпендикулярни линии, перпендикулярни линии). Следователно наклонът на права линия, която е перпендикулярна на дадена права линия:

е равно на 2. Тогава уравнението на права, перпендикулярна на дадена права и преминаваща през точка, има вида:

Сега нека намерим координатите на точката H 1 - пресечните точки на линиите:

По този начин, необходимото разстояние от точка до права линия:

е равно на разстоянието между точките и:

Втори начин.

Нека преминем от дадено уравнение на права линия с наклон към нормално уравнение на тази права линия:

нормализиращият фактор е:

следователно нормалното уравнение на дадена права има вида:

Сега изчисляваме необходимото разстояние от точка до права:

Изчислете разстоянието от точка до права линия:

и до права линия:

Получаваме нормалното уравнение на линията:

Сега нека изчислим разстоянието от точка до права:

Нормализиращият фактор за уравнението с права линия:

е равно на 1. Тогава нормалното уравнение на тази права има вида:

Сега можем да изчислим разстоянието от точка до права:

то е равно.

Отговор: и 5.

В заключение разглеждаме отделно как се намира разстоянието от дадена точка на равнината до координатните линии Ox и Oy.

В правоъгълната координатна система Oxy координатната линия Oy се дава от непълното общо уравнение на линията x \u003d 0, а координатната линия Ox се дава от уравнението y \u003d 0. Тези уравнения са нормални уравнения линии Oy и Ox, следователно разстоянието от точка до тези линии се изчислява по формулите:

съответно.

Фигура 5

В равнината се въвежда правоъгълна координатна система Oxy. Намерете разстоянията от точката до координатните линии.

Разстоянието от дадена точка М 1 до координатната линия Ox (дадено е от уравнението y \u003d 0) е равно на модула на ордината на точка М 1, т.е.

Разстоянието от дадена точка M 1 до координатната линия Oy (съответства на уравнението x \u003d 0) е равно на абсолютната стойност на абсцисата на точка M 1 :.

Отговор: разстоянието от точка М 1 до права Ox е 6, а разстоянието от дадена точка до координатната линия Oy е равно на.

Нека правоъгълна координатна система бъде фиксирана в триизмерно пространство Oxyz, дадена точка, права а и се изисква да се намери разстоянието от точката И към прав а.

Ще покажем два начина за изчисляване на разстоянието от точка до права линия в пространството. В първия случай, намиране на разстоянието от точката М 1 към прав а се свежда до намиране на разстоянието от точка М 1 към основния въпрос З. 1 където З. 1 - основата на перпендикуляра, изпуснат от точката М 1 на права линия а... Във втория случай разстоянието от точката до равнината ще се намери като височината на успоредника.

Така че нека да започнем.

Първият начин за намиране на разстоянието от точка до линия a в пространството.

Тъй като по дефиниция разстоянието от точката М 1 към прав а Е дължината на перпендикуляра М 1 З. 1 , след като определи координатите на точката З. 1 , ще можем да изчислим необходимото разстояние като разстоянието между точките и според формулата.

Така проблемът се свежда до намиране на координатите на основата на перпендикуляра, построен от точката М 1 към прав а... Това е достатъчно лесно: точка З. 1 Е пресечната точка на права линия а с равнина, минаваща през точката М 1 перпендикулярна на права линия а.

Следователно, алгоритъм за определяне на разстоянието от точка към права в космосатова ли е:

Вторият метод ви позволява да намерите разстоянието от точка до права линия a в пространството.

Тъй като в постановката на проблема ни е дадена права линия а, тогава можем да определим неговия вектор на посока и координати на някаква точка М 3 легнал на права линия а... Тогава координатите на точките и можем да изчислим координатите на вектор: (ако е необходимо, обърнете се към координатите на статията на вектор чрез координатите на началната и крайната му точка).

Оставете настрана вектори и от точка М 3 и изградете паралелограм върху тях. В този паралелограм чертаем височината М 1 З. 1 .

Очевидно височината М 1 З. 1 на построения паралелограм е равно на необходимото разстояние от точката М 1 към прав а... Ще го намерим.

От една страна, площта на успоредника (ние го обозначаваме С) може да се намери по отношение на векторното произведение на вектори и по формулата ... От друга страна, площта на успоредник е равна на произведението на дължината на неговата страна на височината, т.е. където - векторна дължина равна на дължината на страната на разглеждания паралелограм. Следователно разстоянието от дадена точка М 1 до дадена права линия а може да се намери от равенството като .

Така, за да се намери разстоянието от точка към права в космоса, от който се нуждаете

Решаване на задачи за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права линия в пространството.

Нека разгледаме решението на пример.

Пример.

Намерете разстоянието от точката към прав .

Решение.

Първи начин.

Нека напишем уравнението на равнината, преминаваща през точката М 1 перпендикулярна на дадена права линия:

Намерете координатите на точката З. 1 - точки на пресичане на равнината и дадена права линия. За целта правим прехода от каноничните уравнения на правата линия към уравненията на две пресичащи се равнини

след което решаваме системата от линейни уравнения метод на Крамер:

По този начин, .

Остава да се изчисли необходимото разстояние от точка до права линия като разстоянието между точките и:.

Втори начин.

Числата в знаменателите на дроби в каноничните уравнения на права линия представляват съответните координати на вектора на посоката на тази права линия, т.е. - насочващ вектор на права линия ... Нека изчислим дължината му: .

Очевидно е, че права линия минава през точката , след това вектора, започващ от точката и завършват в точка има ... Намерете векторното произведение на вектори и :
тогава дължината на този кръстосан продукт е .

Сега имаме всички данни, за да използваме формулата за изчисляване на разстоянието от дадена точка до дадена равнина: .

Отговор:

Взаимно подреждане на прави линии в пространството

OoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooЗатова ще преминем към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще остана весел.

Относителното положение на две прави линии

Случаят, когато публиката пее заедно с припева. Две прави линии могат:

1) съвпадение;

2) да са успоредни :;

3) или се пресичат в една точка :.

Помощ за манекени : моля запомнете математическия знак на кръстовището, той ще бъде много често срещан. Нотацията показва, че права линия пресича права в точка.

Как да определим относителното положение на две прави линии?

Нека започнем с първия случай:

Две прави линии съвпадат тогава и само ако съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има такова число "ламбда", че равенствата

Помислете за прави линии и съставете три уравнения от съответните коефициенти :. От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Всъщност, ако всички коефициенти на уравнението умножете по –1 (променете знаците) и намалете всички коефициенти на уравнението по 2, след което получавате същото уравнение :.

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави линии са успоредни тогава и само ако техните коефициенти за променливите са пропорционални: но.

Като пример, разгледайте два реда. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Съвсем ясно е обаче, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави линии се пресичат тогава и само ако техните коефициенти за променливи НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава ламбда стойност, че да са изпълнени равенствата

И така, за прави линии ще съставим системата:

От първото уравнение следва това, а от второто уравнение: системата е непоследователна (няма решения). По този начин коефициентите на променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

При практически проблеми можете да използвате току-що разгледаната схема за решение. Между другото, той е много подобен на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в урока Понятието за линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа... Но има по-цивилизована опаковка:

Пример 1

Да открия взаимно договаряне директен:

Решение въз основа на изследването на вектори на посоката на прави линии:

а) От уравненията намираме векторите на посоката на правите линии: .

, така че векторите не са колинеарни и линиите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък с указатели на кръстовището:

Останалите прескачат камъка и продължават, направо до Кашчей Безсмъртния \u003d)

б) Намерете векторите на посоката на прави линии:

Линиите имат един и същ вектор на посока, което означава, че те са или успоредни, или съвпадат. Тук няма нужда да се брои детерминантата.

Очевидно е, че коефициентите за неизвестните са пропорционални, докато.

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете векторите на посоката на прави линии:

Нека изчислим детерминанта, съставена от координатите на тези вектори:
следователно векторите на посоката са колинеарни. Линиите са успоредни или съвпадат.

Коефициентът на пропорционалност "ламбда" е лесно да се види директно от съотношението на колинеарните вектори на посоката. Той обаче може да бъде намерен и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни условия са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение (всяко число обикновено го удовлетворява).

По този начин линиите съвпадат.

Отговор:

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате разглеждания проблем устно само за няколко секунди. В тази връзка не виждам причина да се предлага нещо за независимо решение, по-добре е да се положи друга важна тухла в геометричната основа:

Как да изградим права линия, успоредна на дадена?

За непознаване на тази най-проста задача Славеят Разбойник строго наказва.

Пример 2

Правата линия се дава от уравнението. Приравнете успоредна права, която минава през точка.

Решение: Да обозначим неизвестната пряка буква. Какво казва състоянието за нея? Правата линия минава през точката. И ако правите линии са успоредни, тогава е очевидно, че насочващият вектор на правата линия "tse" е подходящ и за конструиране на права линия "de".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Отговор:

Геометрията на примера изглежда проста:

Аналитичната проверка се състои от следните стъпки:

1) Проверете дали правите линии имат един и същ вектор на посока (ако уравнението на права линия не е опростено правилно, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката отговаря на полученото уравнение.

Аналитичният преглед в повечето случаи е лесен за устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще определят паралелизма на правите линии без никакво рисуване.

Примери за саморешаване днес ще бъдат креативни. Защото все още трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете ли, е любителка на всякакви загадки.

Пример 3

Направете уравнение на права линия, минаваща през точка, успоредна на права линия, ако

Има рационално и не много рационално решение. Най-краткият път е в края на урока.

Работили сме малко с успоредни линии и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи прави линии представлява малък интерес, така че помислете за проблем, който ви е добре известен училищна програма:

Как да намерим пресечната точка на две линии?

Ако направо пресичат се в точка, тогава нейните координати са решението системи от линейни уравнения

Как да намерим точката на пресичане на линии? Решете системата.

Толкова за теб геометрично значение на система от две линейни уравнения в две неизвестни Има две пресичащи се (най-често) прави линии на равнина.

Пример 4

Намерете точката на пресичане на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичният начин е просто да нарисувате линиите за данни и да откриете пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата точка :. За да го проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на правата линия, те трябва да се поберат както там, така и там. С други думи, координатите на точка са решението на системата. По принцип разгледахме графичен начин за решаване системи от линейни уравнения с две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е в това, че седмокласниците решават така, въпросът е, че ще отнеме време, за да получите правилна и ТОЧНА рисунка. Освен това някои прави линии не са толкова лесни за конструиране и самата точка на пресичане може да се намира някъде в тридесетте кралства извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно да се търси пресечната точка с помощта на аналитичния метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на постепенно добавяне на уравнения. Посетете урока, за да изградите подходящи умения. Как да решим система от уравнения?

Отговор:

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да отговарят на всяко уравнение в системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на линиите, ако те се пресичат.

Това е пример за решение „направи си сам“. Удобно е да разделите задачата на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага какво е необходимо:
1) Направете уравнението на правата линия.
2) Направете уравнението на правата линия.
3) Разберете относителното положение на правите линии.
4) Ако линиите се пресичат, намерете точката на пресичане.

Разработването на алгоритъм от действия е типично за много геометрични проблеми и ще се фокусирам върху това многократно.

Цялостно решение и отговорът в края на урока:

Чифт обувки все още не са износени, тъй като стигнахме до втория раздел на урока:

Перпендикулярни прави линии. Разстояние от точка до права.
Ъгъл между прави линии

Нека започнем с типична и много важна задача. В първата част научихме как да изградим права линия, успоредна на тази, и сега хижата на пилешки бутчета ще се обърне на 90 градуса:

Как да изградим линия, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия се дава от уравнението. Приравнете перпендикулярна права през точка.

Решение: По условие е известно, че. Би било хубаво да намерим вектора на посоката на правата линия. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението "премахнете" нормалния вектор :, който ще бъде векторът на посоката на правата линия.

Нека съставим уравнението на права линия от точка и вектор на посоката:

Отговор:

Нека разширим геометричната скица:

Хммм ... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверка на решението:

1) Извадете векторите на посоката от уравненията и с помощта точково произведение на вектори стигаме до извода, че правите линии наистина са перпендикулярни :.

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката отговаря на полученото уравнение .

Проверката отново е лесна за извършване устно.

Пример 7

Намерете точката на пресичане на перпендикулярни линии, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример за решение „направи си сам“. В задачата има няколко действия, така че е удобно да се изготви решението точка по точка.

Нашето вълнуващо пътешествие продължава:

Разстояние от точка до права

Пред нас е права ивица на реката и нашата задача е да я достигнем по най-краткия път. Няма препятствия и най-оптималният маршрут ще бъде движение по перпендикуляра. Тоест разстоянието от точка до права линия е дължината на една перпендикулярна линия.

Разстоянието в геометрията традиционно се обозначава с гръцката буква "ro", например: - разстоянието от точката "em" до правата линия "de".

Разстояние от точка до права изразено с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, от което се нуждаете, е внимателно да включите числата във формулата и да извършите изчисленията:

Отговор:

Нека изпълним чертежа:

Разстоянието от точката до намерената линия е точно дължината на червената линия. Ако съставите чертеж върху карирана хартия в мащаб 1 единица. \u003d 1 см (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Помислете за друга задача за същия план:

Задачата е да се намерят координатите на точка, която е симетрична на точка по отношение на права линия ... Предлагам да извършите действията сами, но ще очертая алгоритъма на решението с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на линията.

2) Намерете точката на пресичане на линиите: .

И двете действия са подробно описани в този урок.

3) Точката е средната точка на отсечката. Знаем координатите на средата и един от краищата. От формули за координатите на средната точка на сегмента намираме.

Няма да е излишно да проверите дали разстоянието също е 2,2 единици.

Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но в кулата микро калкулаторът помага чудесно, като ви позволява да преброите обикновените фракции. Многократно съветван, ще съветва и отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни линии?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни линии

Това е друг пример за независимо решение. Позволете ми да ви намекна малко: има безкрайно много начини да го разрешите. Дебрифинг в края на урока, но по-добре се опитайте да отгатнете сами, мисля, че доста добре разпръснахте изобретателността си.

Ъгъл между две прави линии

Всеки ъгъл е задник:


В геометрията ъгълът между две прави линии се приема за НАЙ-МАЛИЯ ъгъл, което автоматично означава, че не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащи се прави линии. И неговият „зелен“ съсед се счита за такъв, или противоположно ориентирани "Пурпурен" ъгъл.

Ако правите линии са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме като ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, посоката на ъгъла "превъртане" е от основно значение. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например, ако.

Защо казах това? Изглежда, че можете да се справите с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че във формулите, по които ще намерим ъглите, лесно можете да получите отрицателен резултат и това не бива да ви изненадва. Ъгълът със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа, за отрицателен ъгъл, не забравяйте да посочите ориентацията му със стрелка (по посока на часовниковата стрелка).

Как да намерим ъгъла между две прави линии? Има две работещи формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между прави линии

Решение и Метод първи

Помислете за две прави линии, дадени от уравнения в общ вид:

Ако направо не перпендикулярнотогава ориентирана ъгълът между тях може да бъде изчислен по формулата:

Нека обърнем голямо внимание на знаменателя - това е точно скаларен продукт вектори на посоката на прави линии:

Ако, тогава знаменателят на формулата изчезва и векторите ще бъдат ортогонални, а правите линии са перпендикулярни. Ето защо беше направена резервация относно неперпендикулярността на правите линии във формулировката.

Въз основа на гореизложеното е удобно да се подреди решение в две стъпки:

1) Изчислете скаларен продукт вектори на посоката на прави линии:
, следователно правите линии не са перпендикулярни.

2) Ъгълът между правите линии се намира по формулата:

През обратна функция самият ъгъл е лесен за намиране. В този случай използваме странността на арктангенса (вж. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

В отговора посочваме точната стойност, както и приблизителната стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатора.

Е, минус, значи минус, всичко е наред. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в постановката на задачата първото число е права линия и с него започна „усукването“ на ъгъла.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да замените правите линии, т.е. да вземете коефициентите от второто уравнение , а коефициентите са взети от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с права линия .

Координатен метод (разстояние между точка и равнина, между прави линии)

Разстояние между точка и равнина.

Разстояние между точка и права.

Разстояние между две прави линии.

Първото нещо, което е полезно да знаете, е как да намерите разстоянието от точка до равнина:

Стойности A, B, C, D - равнинни коефициенти

x, y, z - координати на точки

Задача. Намерете разстоянието между точката A \u003d (3; 7; −2) и равнината 4x + 3y + 13z - 20 \u003d 0.

Всичко е дадено, можете веднага да замените стойностите в уравнението:

Задача. Намерете разстоянието от точката K \u003d (1; −2; 7) до правата линия, преминаваща през точките V \u003d (8; 6; −13) и T \u003d (−1; −6; 7).

1. Намерете вектора на права линия.
2. Изчисляваме вектора, преминаващ през желаната точка и която и да е точка на линията.
   
3. Поставяме матрицата и намираме детерминанта от двата получени вектора в 1-ва и 2-ра точки.
4. Получаваме разстоянието, когато корен квадратен от сумата на квадратите на коефициентите на матрицата, разделяме на дължината на вектора, който определя правата линия(Мисля, че не е ясно, затова нека преминем към конкретен пример).

1) TV \u003d (8 - (- 1); 6 - (- 6); -13-7) \u003d (9; 12; −20)

2) Векторът се намира през точките K и T, въпреки че същото може да бъде през K и V или друга точка на тази права.

TK \u003d (1 - (- 1); −2 - (- 6); 7-7) \u003d (2; 4; 0)

3) Получаваме m матрица без коефициент D (тук не е необходима за решението):

4) Самолетът се оказа с коефициенти A \u003d 80, B \u003d 40, C \u003d 12,

x, y, z - координати на вектора с права линия, в този случай - вектор TV има координати (9; 12; −20)

Задача. Намерете разстоянието между правата линия, преминаваща през точките Е \u003d (1; 0; −2), G \u003d (2; 2; −1) и линията, минаваща през точките M \u003d (4; −1; 4), L \u003d ( −2; 3; 0).

1. Задаваме векторите на двете линии.
2. Намерете вектора, като вземете по една точка от всяка линия.
3. Записваме матрица от 3 вектора (два реда от 1-ви елемент, един ред от 2-ри) и намираме неговия цифров детерминант.
4. Зададохме матрица на първите два вектора (в стъпка 1). Първият ред е зададен като x, y, z.
5. Получаваме разстоянието, когато разделяме получената стойност от точка 3 по модул на квадратния корен от сумата на квадратите от точка 4.

Нека да преминем към цифрите.