Žemiau \(f\) žymi afininę transformaciją, parašytą Dekarto koordinačių sistemoje \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\) pagal formules
$$
x^(*)=a_(1)x+b_(1)y+c_(1),\ y^(*)=a_(2)x+b_(2)y+c_(2).\label( ref1)
$$
turint omenyje
$$
\begin(vmatrix)
a_(1) ir b_(1)\\
a_(2) ir b_(2)
\end(vmatrix) \neq 0.\label(ref2)
$$

Panagrinėkime tiesę plokštumoje su lygtimi \(\boldsymbol(r)=\boldsymbol(r)_(0)+\boldsymbol(a)t\) ir raskime jos atvaizdą transformacijoje \(f\). (Tiesijos vaizdas suprantamas kaip jos taškų vaizdų rinkinys.) Savavališko taško \(M\) vaizdo spindulio vektorius \(M^(*)\) gali būti apskaičiuojamas taip:
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\overrightarrow(Of(O))+f\overrightarrow((O)M^(*))=\boldsymbol(c)+f(\boldsymbol(r)).\nonumber
$$

Čia \(\boldsymbol(c)\) yra pastovus vektorius \(\overrightarrow(Of)(O)\), o \(\boldsymbol(r)\) yra taško \(M\) spindulio vektorius. Pagal (11) §2 gauname
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\boldsymbol(c)+f(\boldsymbol(r)_(0))+f(\boldsymbol(a))t.\label(ref3)
$$
Kadangi \(f\) yra gimininga transformacija, o \(\boldsymbol(a) \neq \boldsymbol(0)\), tada \(\boldsymbol(a)\) pateks į vektorių \(f(\boldsymbol( a) ) \neq 0\), o lygtis \eqref(ref3) yra tiesės lygtis. Taigi, visų linijos \(\boldsymbol(r)=\boldsymbol(r)_(0)+\boldsymbol(a)t\) atvaizdai yra tiesėje \eqref(ref3).

Be to, transformacija \(f\) nustato vienos linijos susiejimą su kita, nes čia pasirinkus pradinius taškus ir krypties vektorius, taškas \(M^(*)\) turi tą patį. reikšmė eilutėje \eqref(ref3) parametras \(t\), tokia pati kaip taškas \(M\) pradinėje eilutėje. Iš čia gauname pirmąjį teiginį.

1 teiginys.

Su afinine transformacija:

• tiesi linija virsta tiesia linija;
• segmentas pereina į segmentą;
• lygiagrečios tiesės tampa lygiagrečios.

Įrodymas.

Norint įrodyti antrąjį teiginį, pakanka pastebėti, kad tiesės atkarpa susideda iš taškų, kurių parametrų reikšmės tenkina formos \(t_(1) \leq t \leq t_(2)\) nelygybę. Trečiasis teiginys išplaukia iš to, kad afininės transformacijos metu kolineariniai--ieji vektoriai tampa kolineariniai.

2 teiginys.

Afininės transformacijos metu lygiagrečių atkarpų ilgių santykis nekinta.

Įrodymas.

Tegul atkarpos \(AB\) ir \(CD\) yra lygiagrečios. Tai reiškia, kad yra skaičius \(\lambda\), kad \(\overrightarrow(AB)=\lambda \overrightarrow(CD)\). Vektorių \(\overrightarrow(AB)\) ir \(\overrightarrow(CD)\) vaizdai yra sujungti ta pačia priklausomybe \(\overrightarrow(A^(*)B^(*))=\lambda \ rodyklė viršuje (C^( *)D^(*))\). Iš to išplaukia, kad
$$
\frac(|\overrightarrow(AB)|)(|\overrightarrow(CD)|)=\frac(|\overrightarrow(A^(*)B^(*))|)(|\overrightarrow(C^(*) )D^(*))|)=|\lambda|.\nonumerio
$$

Pasekmė.

Jei taškas \(C\) padalija atkarpą \(AB\) kokiu nors ryšiu \(\lambda\), tai jo vaizdas \(C^(*)\) padalija vaizdą \(A^(*)B^ (*) \) segmentas \(AB\) tuo pačiu ryšiu \(\lambda\).

Sritys pasikeitimas afininės transformacijos metu.

Pirma, pažiūrėkime. Pasirinkime bendrą Dekarto koordinačių sistemą \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\) ir pažymime ją \((p_(1), p_(2)) \) ir \ ((q_(1), q_(2))\) komponentai vektorių \(\boldsymbol(p)\) ir \(\boldsymbol(q)\), ant kurių jis sukurtas. Lygiagretainio plotą galime apskaičiuoti naudodami:
$$
S_(\pm)=S_(\pm) (\boldsymbol(p), \boldsymbol(q))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1)) S_(\pm) ( \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)).\nonumber
$$

Tegul afininė transformacija \(f\) įrašoma pasirinktoje koordinačių sistemoje formulėmis \eqref(ref1). Iš to, kas buvo įrodyta anksčiau, išplaukia, kad vektoriai \(f(\boldsymbol(p))\) ir \(f(\boldsymbol(q))\) turi \(f(\boldsymbol(e)_(1)) jų pagrindu f(\boldsymbol(e)_(2))\) tie patys komponentai \((p_(1), p_(2))\) ir \((q_(1), q_(2)) \) tai ir vektoriai \(\boldsymbol(p)\) ir \(\boldsymbol(q)\) pagrinde \(\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\ ). Lygiagretainio vaizdas sudarytas iš vektorių \(f(\boldsymbol(p))\) ir \(f(\boldsymbol(q))\), o jo plotas lygus
$$
S_(\pm)^(*)=S_(\pm) (f(\boldsymbol(p)), f(\boldsymbol(q)))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_ (1)) S_(\pm) (f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))).\nonumber
$$

Apskaičiuokime paskutinį koeficientą. Kaip žinome iš to, kas jau buvo įrodyta, vektorių \(f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))\) koordinatės yra atitinkamai lygios, \ ((a_(1), a_(2))\) ir \((b_(1), b_(2))\). Todėl \(S_(\pm) (f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2)))=(a_(1)b_(2)-a_(2) b_(1)) S_(\pm) (\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2))\) ir
$$
S_(\pm)^(*)=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1))(a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)) S_( \pm) (\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)).\nonumber
$$
Iš čia mes tai matome
$$
\frac(S_(\pm)^(*))(S_(\pm))=\begin(vmatrix)
a_(1) ir b_(1)\\
a_(2) ir b_(2)
\end(vmatrix).\label(ref4)
$$

Taigi, orientuoto lygiagretainio vaizdo ploto ir šio lygiagretainio ploto santykis yra vienodas visiems lygiagretainiams ir yra lygus \(a_(1)b_(2)-a_(2)b_ (1)\).

Iš to išplaukia, kad šis determinantas nepriklauso nuo pasirinktos koordinačių sistemos, kurioje rašoma transformacija, nors jis skaičiuojamas iš koeficientų, kurie priklauso nuo koordinačių sistemos. Šis dydis yra invariantas, išreiškiantis transformacijos geometrinę savybę.

Iš formulės \eqref(ref4) aišku, kad neorientuoto lygiagretainio vaizdo ploto ir jo ploto santykis yra lygus
$$
S^(*)/S=|a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)|.\label(ref5)
$$

Jei \(a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1) > 0\), tai visų orientuotų lygiagretainių orientacijos išsaugomos transformuojant, o jei \(a_(1)b_(2) -a_(2)b_(1)< 0\), то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации.

Dabar panagrinėkime kitų figūrų sritis. Kiekvienas trikampis gali būti išplėstas, kad susidarytų lygiagretainis, kurio plotas yra du kartus didesnis už trikampio plotą. Todėl trikampio vaizdo ploto ir šio trikampio ploto santykis atitinka lygybę \eqref(ref5).

Kiekvienas daugiakampis gali būti padalintas į trikampius. Todėl formulė \eqref(ref5) galioja ir savavališkiems daugiakampiams.

Čia neliesime savavališkos kreivinės figūros ploto nustatymo. Pasakysime tik tiek, kad tais atvejais, kai ši sritis yra apibrėžta, ji lygi tam tikros daugiakampių sekos plotų ribai, įrašytai į nagrinėjamą paveikslą. Iš ribų teorijos žinoma tokia prielaida: jei seka \(S_(n)\) linkusi į ribą \(S\), tai seka \(\delta S_(n)\), kur \(\ delta\) yra pastovus, linkęs riboti \(\delta S\). Remdamiesi šiuo pasiūlymu, darome išvadą, kad formulė \eqref(ref5) galioja bendriausiu atveju.

Kaip pavyzdį, raskime elipsės ploto išraišką jos pusašių atžvilgiu. Anksčiau pastebėjome, kad elipsę su pusiau ašimis \(a\) ir \(b\) galima gauti suspaudus \(a\) spindulio apskritimą iki tiesės, einančios per jo centrą. Suspaudimo laipsnis yra \(b/a\). Viename iš jų gavome suspaudimo į tiesę \(x^(*)=x\), \(y^(*)=\lambda y\) koordinačių įrašą. Koeficientų determinantas šiose formulėse yra lygus \(\lambda\), tai yra mūsų atveju \(b/a\). Taigi elipsės ploto ir apskritimo ploto santykis yra \(b/a\), o šis plotas yra \(S=(b/a)\pi a^(2)\ ). Pagaliau turime
$$
S=\pi ab.\nonumber
$$

Antrosios eilės eilučių vaizdai.

Matėme, kad tiesi linija virsta tiesia linija. Tai yra ypatingas šio teiginio atvejis.

3 teiginys.

Afininė transformacija paverčia algebrinę liniją tos pačios eilės algebrine eilute.

Įrodymas.

Tiesą sakant, tegul eilutė \(L\) Dekarto koordinačių sistemoje \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\) turi algebrinę eilės lygtį \(p \). Mes jau žinome, kad visų tiesės \(L\) taškų vaizdai pagal afininę transformaciją \(f\) yra koordinačių sistemoje \(f(O), f(\boldsymbol(e)_(1)) , f(\boldsymbol(e)_(2))\) yra tos pačios koordinatės kaip ir atvirkštiniai jų vaizdai koordinačių sistemoje \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2) \). Vadinasi, vaizdų koordinatės sistemoje \(f(O), f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))\) yra susietos ta pačia algebra eilės lygtis \(p\ ). To pakanka, kad padarytume reikiamą išvadą.

Iš aukščiau įrodyto teiginio, visų pirma, išplaukia, kad antros eilės eilutė po afininės transformacijos pavirs antros eilės eilute. Įrodysime tvirtesnį teiginį. Kaip jau žinome, antros eilės eilutes galima suskirstyti į . Pamatysime, kad afininės transformacijos metu išsaugoma linijos klasė. Tuo remiantis minėtoje teoremoje išvardytos eilučių klasės vadinamos afininėmis klasėmis. Taigi, įrodykime naują teiginį.

4 teiginys.

Antros eilės eilutė, priklausanti vienai iš giminingų klasių, gali transformuotis į tos pačios klasės eilutę tik atliekant bet kokią giminingą transformaciją. Kiekviena antros eilės linija gali būti paversta tinkama afinine transformacija į bet kurią kitą tos pačios afininės klasės eilutę.

Įrodymas.

Apribotą tiesę vadinsime, jei ji yra kokio nors lygiagretainio viduje. Nesunku pastebėti, kad atliekant afininę transformaciją, apribota linija turi tapti apribota, o neapribota linija – neribota.

1. Elipsė yra apribota antros eilės linija. Be elipsių, ribojamos tik linijos, susidedančios iš vieno taško, tai yra, įsivaizduojamų susikertančių linijų pora. Kadangi elipsė yra ribota ir susideda iš daugiau nei vieno taško, ji gali virsti tik elipse.
2. Hiperbolė turi dvi atskiras šakas. Šią savybę galima suformuluoti taip, kad būtų aiškus jos nekintamumas afininių transformacijų metu. Būtent, yra tiesė, kuri kerta ne hiperbolę, o kai kurias jos stygas.Iš visų antros eilės tiesių šią savybę turi tik hiperbolės ir lygiagrečių tiesių poros. Hiperbolės šakos nėra tiesios, todėl afininės transformacijos metu ji gali virsti tik hiperbole.
3. Parabolė yra neribota antrosios eilės linija, susidedanti iš vieno netiesios dalies. Jokia kita antros eilės eilutė neturi šios savybės, todėl parabolė gali virsti tik parabole.
4. Jei antros eilės linija žymi tašką (įsivaizduojamų susikertančių tiesių pora), tiesę (sutampančių tiesių porą), susikertančių tiesių porą arba lygiagrečių tiesių porą, tai iš anksčiau įrodytų giminingų transformacijų savybių išplaukia. kad ši linija negali transformuotis į jokios kitos klasės eilutę.

Įrodykime antrąją teiginio dalį. Tuo, ką mes jau įrodėme kanonines lygtis antrosios eilės eilutės parašytos Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje ir turi parametrus \(a, b, …\) Jei atsisakysime pagrindo ortonormalumo, galime dar labiau supaprastinti kanonines lygtis ir sudaryti jas tokia forma, kuri nėra parametrų. Pavyzdžiui, pakeitus koordinates \(x'=x/a\), \(y'=y/b\) transformuojasi elipsės lygtis \(x^(2)a^(2)+y^(2)b ^(2 )=1\) į lygtį \(x'^(2)+y'^(2)=1\), nesvarbu, kas yra \(a\) ir \(b\). (Paskutinė lygtis nėra apskritimo lygtis, nes nauja sistema koordinatės nėra Dekarto stačiakampės.)

Skaitytojas gali lengvai parodyti, kad antrosios eilės eilučių kanoninės lygtys gali būti transformuojamos į šias lygtis, pereinant prie tinkamos koordinačių sistemos:

1. \(x^(2)+y^(2)=1\);
2. \(x^(2)+y^(2)=0\);
3. \(x^(2)-y^(2)=1\);
4. \(x^(2)-y^(2)=0\);
5. \(y^(2)=2x\);
6. \(y^(2)-1=0\);
7. \(y^(2)=0\).

Tokią koordinačių sistemą vadinsime afinine kanonine koordinačių sistema.

Iš anksčiau išplaukia, kad afininė transformacija, sujungianti dviejų tos pačios giminingos klasės eilučių afinines kanonines koordinačių sistemas, taip pat sujungia šias eilutes. Tai užbaigia įrodymą.

Stačiakampių transformacijų skaidymas.

1 teorema.

Kiekviena stačiakampė transformacija suskaidoma į lygiagrečiojo vertimo, sukimosi ir, galbūt, ašinės simetrijos sandaugą.

Įrodymas.

Tegul \(f\) yra stačiakampė transformacija, o \(\vartriangle ABC\) yra lygiašonis taisyklingas trikampis su stačiu kampu \(A\). Transformuojant \(f\), jis pavirs lygiu trikampiu \(\vartriangle A^(*)B^(*)C^(*)\) su stačiu kampu viršūnėje \(A^(*) \). Teorema bus įrodyta, jei, atlikdami nuoseklų lygiagretųjį vertimą \(p\), sukimą \(q\) ir (jei reikia) ašinę simetriją \(r\), galime sujungti trikampius \(ABC\) ir \( A^ (*)B^(*)C^(*)\). Iš tiesų, sandauga \(rqp\) yra afininė transformacija, kaip ir \(f\), o giminingą transformaciją vienareikšmiškai lemia trijų taškų, kurie nėra toje pačioje tiesėje, vaizdai. Todėl \(rqp\) sutampa su \(f\).

Taigi, išverskime \(A\) ir \(A^(*)\) lygiagrečiai perkeldami \(p\) į vektorių \(\overrightarrow(AA^(*))\) (jei \(A=A) ^(* )\), tada \(p\) - tapatybės transformacija). Tada, sukant \(q\) aplink tašką \(A^(*)\), \(p(B)\) yra suderinamas su \(B^(*)\) (galbūt ši transformacija taip pat bus identiška ). Taškas \(q(p(C))\) arba sutampa su \(C^(*)\), arba yra jam simetriškas tiesės \(A^(*)B^(*)\ ). Pirmuoju atveju tikslas jau pasiektas, o antruoju bus reikalinga ašinė simetrija nurodytos tiesės atžvilgiu. Teorema įrodyta.

Reikėtų nepamiršti, kad gautas stačiakampės transformacijos išplėtimas nėra unikalus. Be to, sukimasis arba lygiagretus vertimas gali būti išskaidytas į ašinių simetrijų sandaugą, lygiagrečiojo posūkio ir sukimosi sandaugą galima pavaizduoti kaip vieną sukimąsi ir pan. Mes nepaaiškinsime, kaip tai padaryti, bet išsiaiškinsime toliau bendroji nuosavybė visi tokie skilimai.

5 teiginys.

Išplečiant stačiakampę transformaciją į bet kokio lygiagrečių poslinkių, sukimų ir ašinių simetrijų skaičiaus sandaugą, į plėtimąsi įtrauktų ašinių simetrijų skaičiaus paritetas yra toks pat.

Įrodymas.

Norėdami tai įrodyti, panagrinėkime savavališką pagrindą plokštumoje ir stebėkime jo orientacijos pokytį (trumpiausio sukimosi kryptis nuo \(\boldsymbol(e)_(1)\) į \(\boldsymbol(e)_ (2)\)) atliktų pertvarkų metu. Atkreipkite dėmesį, kad sukimasis ir lygiagretus vertimas nekeičia jokio pagrindo orientacijos, tačiau ašinė simetrija pakeičia bet kurio pagrindo orientaciją. Todėl, jei tam tikra stačiakampė transformacija pakeičia pagrindo orientaciją, tada bet koks jo išplėtimas turi apimti nelyginį ašinių simetrijų skaičių. Jei pagrindo orientacija nesikeičia, tada ašinių simetrijų skaičius, įtrauktas į plėtrą, gali būti tik lygus.

Apibrėžimas.

Vadinamos stačiakampės transformacijos, kurias galima išskaidyti į lygiagretaus vertimo ir sukimosi sandaugą pirmosios rūšies stačiakampės transformacijos , ir visi kiti - antrojo tipo stačiakampės transformacijos .

Stačiakampė transformacija Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje parašyta:
$$
\begin(masyvas)(cc)


\end(masyvas).\nonumber
$$
Su viršutiniais koeficientų ženklais \(y\) šiose formulėse iš koeficientų sudarytas determinantas yra lygus +1, o su apatiniais ženklais lygus -1. Iš čia ir iš formulės \eqref(ref4) seka toks teiginys.

6 teiginys.

Pirmojo tipo stačiakampė transformacija užrašoma Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje formulėmis
$$
\begin(masyvas)(cc)
& x^(*)=x \cos \varphi \mp y \sin \varphi+c_(1),\\
& y^(*)=x \sin \varphi \pm y \cos \varphi+c_(2).
\end(masyvas).\nonumber
$$
su viršutiniais \(y\) koeficientų ženklais, o antrojo tipo ortogonaliąja transformacija - su apatiniais ženklais.

Afininės transformacijos skilimas.

Matėme, kiek afininė transformacija gali pakeisti plokštumą: apskritimas gali virsti elipsė, taisyklingas trikampis – visiškai savavališka. Atrodytų, kad negalima išsaugoti jokių kampų. Tačiau toks teiginys galioja

7 teiginys.

Kiekvienai afininei transformacijai yra dvi viena kitai statmenos linijos, kurios transformuojasi į abipusiai statmenas linijas.

Įrodymas.

Norėdami tai įrodyti, apsvarstykite apskritimą. Su šia afinine transformacija ji pavirs elipsė. Kiekviena elipsės ašis yra lygiagrečių kitai ašiai stygų vidurio taškų rinkinys. Afininės transformacijos metu styga virsta styga, lygiagretumas turi būti išsaugotas, o atkarpos vidurio taškas transformuosis į jo vaizdo vidurio tašką. Todėl elipsės ašių prototipai yra atkarpos, turinčios tą pačią savybę: kiekvienas iš jų yra lygiagrečios su kitai atkarpai apskritimo stygų vidurio taškų rinkinys. Tokie segmentai tikrai yra du vienas kitam statmeni apskritimo skersmenys. To mums ir reikėjo: yra du vienas kitam statmeni apskritimo skersmenys, kurie transformuojasi į viena kitai statmenas atkarpas – elipsės ašis.

Verta paminėti vieną ypatingą atvejį: apskritimas po afininės transformacijos gali virsti apskritimu. Šiuo atveju tie patys samprotavimai taikomi bet kuriems dviem viena kitai statmeniems apskritimo atvaizdo skersmenims. Akivaizdu, kad šiuo atveju bet kurios dvi viena kitai statmenos kryptys išlieka statmenos.

Apibrėžimas.

Dvi viena kitai statmenos kryptys vadinamos pagrindinėmis arba vienaskaitos afininės transformacijos \(f\) kryptimis, jei jos virsta viena kitai statmenomis kryptimis.

2 teorema.

Kiekviena afininė transformacija išskaidoma į stačiakampės transformacijos ir dviejų suspaudimų sandaugą iki dviejų viena kitai statmenų linijų.

Įrodymas.

Įrodymas panašus į įrodymą. Apsvarstykite afininę transformaciją \(f\) ir pasirinkite lygiašonį stačiašnį trikampį \(ABC\), kad jo kojos \(AB\) ir \(AC\) būtų nukreiptos pagrindinėmis transformacijos kryptimis \(f\). Jo viršūnių atvaizdus pažymėkime \(A^(*)\), \(B^(*)\) ir \(C^(*)\). Padarykime stačiakampę transformaciją \(g\), kad \(g(A)=A^(*)\), o taškai \(g(B)\) ir \(g(C)\) būtų atitinkamai ant spindulių \(A^(*)B^(*)\) ir \(A^(*)C^(*)\). (Tai galima lengvai pasiekti, kaip nurodyta 1 teoremoje, lygiagrečiu vertimu, sukimu ir ašine simetrija.)

Tegu \(\lambda=|A^(*)B^(*)|/|A^(*)g(B)|\), a \(\mu=|A^(*)C^(*) |/|A^(*)g(C)|\). Tada \(p_(1)\) susitraukimas į eilutę \(A^(*)C^(*)\) santykyje \(\lambda\) pavers \(g(B)\) į \ (p_(1) g(B)=B^(*)\) ir nepaslinks taškų \(A^(*)\) ir \(g(C)\). Panašiai sutraukus \(p_(2)\) į eilutę \(A^(*)B^(*)\), \(g(C)\) bus pakeista į \(p_(2)g(C)= C^ (*)\) ir nepaslinks linijos \(A^(*)B^(*)\) taškų).

Tai reiškia, kad produktas \(p_(2)p_(1)g\) perkelia taškus \(A\), \(B\) ir \(C\) į taškus \(A^(*)\) , \ (B^(*)\) ir \(C^(*)\), taip pat mums suteikta transformacija \(f\). Pagal tai, kas buvo įrodyta anksčiau, turime \(p_(2)p_(1)g=f\), kaip reikalaujama.

I skyrius. Geometrinės transformacijos samprata

1.1 Kas yra geometrinė transformacija?

Ašinė simetrija, centrinė simetrija, sukimasis, lygiagretusis vertimas, homotetiškumas turi tai, kad jie visi „paverčia“ kiekvieną figūrą F į kokią nors naują figūrą F1, todėl jos vadinamos geometrinėmis transformacijomis.

Apskritai geometrine transformacija yra bet kokia taisyklė, leidžianti kiekvienam plokštumos taškui A nurodyti naują tašką A, į kurį atitinkama transformacija perkeliamas taškas A. Jei plokštumoje pateikta kokia nors figūra F, tai aibė visų taškų, į kuriuos plonosios F figūros pereina į nagrinėjamą transformaciją, reiškia naują figūrą F. Šiuo atveju sakome, kad F" gaunamas iš F naudojant nagrinėjamą transformaciją.

Pavyzdys. Simetrija apie tiesę l yra geometrinė transformacija. Taisyklė, leidžianti rasti atitinkamą tašką A" iš taško A" šiuo atveju yra tokia: iš taško A statmena AP nuleidžiama ant tiesės l, o jos tęsinyje už taško P atkarpa RA" = AP atleistas.

Geometrinių transformacijų papildymas

Tarkime, kad svarstome dvi geometrines transformacijas, iš kurių vieną vadiname „pirmąja“, o kitą – „antrąja“. Paimkime savavališką plokštumos tašką A ir pažymime A" tašką, į kurį A eina pirmosios transformacijos metu. Savo ruožtu taškas A" antrąja transformacija perkeliamas į kokį nors naują tašką A. Kitaip tariant, taškas A" yra gaunamas iš taško A naudojant nuosekliai taikant dvi transformacijas – pirmiausia pirmą, o paskui antrą.

Dviejų paimtų transformacijų nuoseklaus vykdymo rezultatas taip pat yra geometrinė transformacija: ji nukelia tašką A į tašką A." Ši "gauta" transformacija vadinama pirmosios ir antrosios nagrinėtų transformacijų suma.

Tegul plokštumoje pateikiama kokia nors figūra F. Pirmoji transformacija paverčia ją kokia nors figūra F". Antroji transformacija paverčia šią figūrą F" į kokią nors naują figūrą F". Pirmosios ir antrosios transformacijų suma figūrą F iškart paverčia figūra F.

Pavyzdys. Tegul pirmoji transformacija reiškia simetriją taško O1 atžvilgiu, o antroji transformacija reiškia simetriją kito taško O2 atžvilgiu. Raskime šių dviejų transformacijų sumą.

Tegu A yra savavališkas plokštumos taškas. Pirmiausia darykime prielaidą, kad taškas A nėra tiesėje O1O2. Pažymėkime A" tašką simetriškas taškas Santykis su O1, o per A" - taškas, simetriškas taškui A" O2 atžvilgiu. Kadangi O1O2 yra trikampio AA"A" vidurinė linija, atkarpa AA" yra lygiagreti atkarpai O1O2 ir yra dvigubai ilgesnė. Kryptis nuo taško A iki taško A" sutampa su kryptimi nuo taško

O1 į tašką O2. Dabar MN pažymėkime vektorių, kad atkarpos MN ir O1 O2 būtų lygiagrečios, atkarpa MN yra dvigubai ilgesnė už atkarpą O1O2, o spinduliai MN ir O1O2 yra vienodos krypties. Tada AA" = MN, ty taškas A" gaunamas iš taško A lygiagrečiai perkeliant į vektorių MN.

Tas pats pasakytina apie tašką, esantį tiesėje O1O2.

Galiausiai gauname: simetrijos taško O1 ir simetrijos taško O2 atžvilgiu suma yra lygiagretus vertimas.

1.2 Judesiai

Ašinė simetrija, sukimasis (ypač centrinė simetrija) ir lygiagretus vertimas turi bendrą tai, kad kiekviena iš šių transformacijų bet kurią figūrą F plokštumoje paverčia lygia figūra F ". Transformacijos, turinčios šią savybę, vadinamos judesiais. Homotetiškumas yra pavyzdys transformacija, kuri nėra judesys.Iš tiesų, kiekvienas judesys bet kurią figūrą paverčia lygia figūra, tai yra, keičia tik figūrų padėtį plokštumoje, homotetiškumas keičia ir figūrų dydžius.

Judesių vaidmuo geometrijoje

Judesiai vaidina didžiulį vaidmenį geometrijoje svarbus vaidmuo. Jie nekeičia nei figūrų formos, nei dydžio, keičia tik figūros vietą. Tačiau figūros, kurios skiriasi tik savo vieta plokštumoje, yra visiškai identiškos geometrijos požiūriu. Štai kodėl jos geometrijoje vadinamos „lygiomis figūromis“. Jokio turto geometrinė figūra nesiskiria nuo atitinkamos lygiavertės figūros savybės. Taigi, pavyzdžiui, lygūs trikampiai turi ne tik identiškas kraštines, bet ir vienodus kampus, medianas, pusiausvyras, plotus, įbrėžto ir apibrėžto apskritimo spindulius ir pan.

Geometrijos pamokose lygias figūras (tai yra tas, kurias galima sujungti judesiu) visada laikydavome vienodomis arba nesiskiriančiomis. Tokios figūros dažnai painiojamos su ta pačia figūra. Štai kodėl galime sakyti, kad, pavyzdžiui, trikampio sudarymo, naudojant dvi kraštines a, b ir kampą C tarp jų, uždavinys turi tik vieną sprendimą. Tiesą sakant, žinoma, galite rasti begalinį skaičių trikampių su nurodytomis kraštinėmis a ir b ir tam tikro dydžio kampu C tarp jų. Tačiau visi šie trikampiai yra vienodi, lygūs, todėl juos galima laikyti „vienu“ trikampiu.

Taigi geometrija tiria tas figūrų savybes, kurios yra vienodos lygioms figūroms. Tokios savybės gali būti vadinamos „geometrinėmis savybėmis“. Kitaip tariant: geometrija tiria figūrų savybes, kurios nepriklauso nuo jų vietos. Tačiau figūros, kurios skiriasi tik vieta (vienodos figūros), yra tos, kurias galima sujungti naudojant judesį. Todėl pasiekiame tokį geometrijos dalyko apibrėžimą; geometrija tiria tas figūrų savybes, kurios išsaugomos judesių metu.

Judesiai geometrijoje ir fizikoje

Taigi, judesio sąvoka vaidina pagrindinį vaidmenį geometrijoje. Judėjimai („persidengimas“) buvo naudojami VI klasėje vienodoms skaičiams nustatyti, trikampių lygybės požymiams įrodyti; judėjimo samprata, kaip matėme aukščiau, taip pat leidžia mums pateikti geometrijos dalyko aprašymą.

Tuo tarpu figūrų lygybės ir judėjimo sąvokos apibrėžimuose yra spraga. Tiesą sakant, lygios figūros buvo apibrėžtos (VI klasėje) kaip tos figūros, kurias galima sujungti superpozicija (ty judesiu). Judėjimai buvo apibrėžti aukščiau kaip tokios transformacijos, kurios paverčia du daugiakampius F1 ir F taip, kad būtų daugiakampis F" homotetinis su F ir lygus F1, tada daugiakampio F kampai yra atitinkamai lygūs daugiakampio F" kampams ir daugiakampio F kraštinės yra atitinkamai proporcingos daugiakampio F kraštinėms". Tačiau daugiakampis F turi tuos pačius kampus ir kraštines kaip ir jo lygus daugiakampis F1. Vadinasi, daugiakampiai F1 ir F yra panašūs ta prasme, kuria tai buvo suprato VIII klasės geometrijos kurse.

Ir atvirkščiai, tebūnie daugiakampiai F1 ir F tokie, kad jų kampai būtų atitinkamai lygūs, o kraštinės – proporcingos. Daugiakampio F1 kraštinių santykis su atitinkamomis daugiakampio F kraštinėmis bus žymimas k. Toliau pažymėkime F" daugiakampį, gautą iš F homotetiškumu su koeficientu k (ir bet kuriuo homotetiškumo centru. Šiuo atveju, remiantis teorema, daugiakampiai F" ir F1 turės atitinkamai lygias kraštines ir kampus, y., šie daugiakampiai bus lygūs, todėl daugiakampiai F1 ir F bus panašūs pagal čia pateiktą panašumo apibrėžimą.

II skyrius. Afininės transformacijos

2.1 Plokštumos afininės transformacijos

Afininė transformacija α yra plokštumos transformacija, kuri kiekvieną tiesę paverčia tiesia linija ir išsaugo ryšį, kai taškas dalija atkarpą.

1 pav.: L" = α(L), A" = α(A), B" = α(B), C" = α(C),

|

Transformacijos - judėjimas ir panašumas - yra ypatingi giminingų atvejai, nes dėl judėjimo ir panašumo savybių joms tenkinami visi afininių transformacijų apibrėžimo reikalavimai.

Pateiksime afininės transformacijos pavyzdį, kuris nėra redukuojamas į anksčiau nagrinėtas. Šiuo tikslu pirmiausia atsižvelgiame į lygiagrečią plokštumos projekciją į plokštumą.

Tegu pateiktos plokštumos: w ir w1, tiesė l (projektavimo kryptis), nelygiagreti nė vienai iš šių plokštumų (2 pav.). Taškas Aєw vadinamas taško A1єw1 projekcija, jei AA1||l, tai tiesė AA1 vadinama projekcija. Lygiagretusis dizainas yra w1 plokštumos atvaizdavimas w.

Atkreipkime dėmesį į šias lygiagrečiojo projektavimo savybes.

1) Bet kurios linijos a1 vaizdas yra tiesi linija.

Iš tikrųjų tiesės, projektuojančios tiesės a1 taškus, sudaro plokštumą (ji eina per a1 lygiagrečiai l), kuri, susikirtusi su w, suteikia tiesės a1 vaizdą - tiesė a (2 pav.).

2) Išsaugomas ryšys, kuriame taškas dalija atkarpą, t.y.

(2 pav.)

Tai iš karto išplaukia iš teoremos apie kampo kraštinių sankirtą lygiagrečiomis tiesėmis.

Pereikime tiesiai prie afininės transformacijos pavyzdžio.

Paimkime dvi w plokštumos kopijas ir vieną iš jų perkelkime į kitą padėtį w1 (3 pav.). Bet kurio taško Аєw nauja padėtis bus pažymėta А1єw1. Dabar mes projektuojame plokštumą w1 tam tikroje padėtyje ant w ir pažymime taško A1 projekciją A.

Rezultatas yra plokštumos w transformacija į save, kurioje

. Dėl lygiagrečios projekcijos simetriškų savybių šiai transformacijai tenkinami abu tam tikros afininės transformacijos reikalavimai, todėl dabar sukonstruota transformacija yra perspektyvinė.

Afininė transformacija yra tokia, kuri išsaugo linijų lygiagretumą, bet nebūtinai kampus ar ilgius.
Kompiuterinėje grafikoje viskas, kas priklauso dvimačiam atvejui, dažniausiai žymima simboliu 2D (2-dimensijos). Tarkime, plokštumoje įvesta tiesioji koordinačių sistema. Tada kiekvienam taškui M priskiriama sutvarkyta jo koordinačių skaičių pora (x, y) (1 pav.).

Aukščiau pateiktos formulės gali būti nagrinėjamos dviem būdais: arba taškas išsaugomas, o koordinačių sistema pasikeičia, tokiu atveju savavališkas taškas M išlieka toks pat, keičiasi tik jo koordinatės (x, y) (x*, y*), arba taškas pasikeičia ir koordinačių sistema šiuo atveju išsaugoma. Šiuo atveju formulės apibrėžia atvaizdavimą, kuris savavališką tašką M(x, y) perkelia į tašką M*(x*, y*), kurio koordinatės yra apibrėžta toje pačioje koordinačių sistemoje. Ateityje mes interpretuosime formules, kaip taisyklė, kad plokštumos taškai transformuojami tam tikroje tiesių koordinačių sistemoje.
Afininėse plokštumos transformacijose ypatingą vaidmenį atlieka keli svarbūs specialūs atvejai, turintys gerai atsekamas geometrines charakteristikas. Tiriant skaitinių koeficientų geometrinę reikšmę šių atvejų formulėse, patogu daryti prielaidą, kad duotoji koordinačių sistema yra stačiakampė Dekarto.
Dažniausiai naudojamos kompiuterinės grafikos technikos: vertimas, mastelio keitimas, sukimas, atspindys. Algebrinės išraiškos ir šias transformacijas paaiškinančios figūros yra apibendrintos 1 lentelėje.

Afininės transformacijos plokštumoje

Perkėlimu turime omenyje išvesties primityvų perkėlimą į tą patį vektorių.
Mastelio keitimas yra viso vaizdo arba jo dalies padidinimas arba sumažinimas. Didinant mastelį, vaizdo taškų koordinatės dauginamos iš tam tikro skaičiaus.
Sukimas reiškia išvesties primityvų sukimąsi aplink tam tikrą ašį. (Brėžimo plokštumoje sukimas vyksta aplink tašką.)
Atspindėjimas reiškia veidrodinio vaizdo atvaizdo gavimą, palyginti su viena iš ašių (pavyzdžiui, X).
Šių keturių ypatingų atvejų pasirinkimą lemia dvi aplinkybės:
1. Kiekviena iš aukščiau paminėtų transformacijų turi paprastą ir aiškią geometrinę reikšmę (į aukščiau pateiktas formules įtraukti pastovūs skaičiai taip pat turi geometrinę reikšmę).
2. Kaip įrodyta kurse analitinė geometrija, bet kuri formos (*) transformacija visada gali būti pavaizduota kaip nuoseklus paprasčiausių A, B, C ir D formos transformacijų (arba šių transformacijų dalių) vykdymas (superpozicija).
Taigi, tai yra tiesa svarbus turtas afininės plokštumos transformacijos: bet kokį (*) formos atvaizdavimą galima apibūdinti naudojant atvaizdus, ​​nurodytus A, B, C ir D formulėmis.
Norėdami efektyviai juos naudoti žinomos formulės Kompiuterinės grafikos uždaviniuose jų matricinis žymėjimas yra patogesnis.
Norint sujungti šias transformacijas, įvedamos vienalytės koordinatės. Homogeninės taško koordinatės yra bet koks vienu metu nulinių skaičių x1, x2, x3 trigubas, susietas su duotais skaičiais x ir y šiais ryšiais:

Tada taškas M(x, y) užrašomas kaip M(hX, hY, h), kur h 0 yra mastelio koeficientas. Dvimatis Dekarto koordinatės galima rasti kaip

Projekcinėje geometrijoje šios koordinatės įvedamos siekiant pašalinti neapibrėžtumus, atsirandančius nurodant be galo tolimus (netinkamus) elementus. Homogeninės koordinatės gali būti interpretuojamos kaip koeficientu h padidintos plokštumos įterpimas į Z=h plokštumą trimatėje erdvėje.
Vienarūšių koordinačių taškai rašomi trijų elementų eilučių vektoriais. Transformacijos matricos turi būti 3x3 dydžio.
Naudojant vienarūšių koordinačių trigubus ir trečiosios eilės matricas, galima aprašyti bet kokią afininę plokštumos transformaciją.
Tiesą sakant, darant prielaidą, kad h = 1, palyginkime du įrašus: pažymėtą simboliu (*) ir kitą matricą:

Dabar galite naudoti transformacijų kompozicijas, naudodami vieną rezultatą, o ne eilę viena po kitos sekančių transformacijų. Pavyzdžiui, galite suskirstyti sudėtingą problemą į keletą paprastų. Taško A sukimąsi aplink savavališką tašką B galima suskirstyti į tris užduotis:
perkėlimas, kuriame B = 0 (kur 0 yra pradžia);
pasukti;
atvirkštinis perkėlimas, kuriame taškas B grįžta į savo vietą ir kt.
Bendriausia operacijų T, D, R, M sudėtis turi matricą:

Viršutinė 2x2 dalis yra kombinuota sukimosi ir mastelio keitimo matrica, o tx ir ty apibūdina bendrą vertimą.
Pagrindinės transformacijos yra tokios:
slinkimas lango perkėlimas atvaizdavimo paviršiuje (jei judėjimas ribojamas tik aukštyn ir žemyn kryptimis, tada tai vadinama vertikaliu slinkimu);

priartinti laipsniškas vaizdo mastelio keitimas;
salto dinaminis apie tam tikrą ašį besisukančių išvesties primityvų, kurių orientacija erdvėje nuolat kinta, vaizdas;
keptuvę laipsniškas vaizdo perkėlimas, siekiant sukurti vizualinį judesio pojūtį.

UDC 004.932

Kudrina M.A., Murzinas A.V.

FSBEI HPE „Samaros valstijos kosmoso universitetas, pavadintas Ak. S. P. Korolevo vardu (nacionalinis mokslinių tyrimų universitetas)“, Samara, Rusija

AFINĖS OBJEKTŲ TRANSFORMACIJOS KOMPIUTERINĖJE GRAFIKOJE

Vienas iš tipinės užduotys, kuris turi būti sprendžiamas naudojant rastrinę grafiką, yra tiek viso vaizdo, tiek atskirų jo fragmentų transformacija, pvz.: judėjimas, sukimasis aplink nurodytą centrą, linijinių matmenų keitimas ir kt.

Ši problema išspręsta naudojant afinines transformacijas.

Afininės transformacijos gali būti labai naudingos šiose situacijose:

1. Sukomponuoti plokščią vaizdą ar trimatę sceną, išdėstant vienodo tipo elementus, juos kopijuojant, transformuojant ir perkeliant į skirtingas vaizdo vietas. Pavyzdžiui, sukurti simetriškus objektus, tokius kaip snaigė. Galite sukurti vieną motyvą ir tada sukurti viso objekto vaizdą atspindėdami, sukdami ir judindami šį motyvą.

2. Apžvelgti trimačius objektus iš skirtingų požiūrių. Tokiu atveju galite fiksuoti fotoaparato padėtį ir pasukti sceną arba atvirkščiai, palikti sceną nejudrią ir apjuosti kamerą aplink ją. Tokios manipuliacijos gali būti atliekamos naudojant trimates afinines transformacijas.

3. Suprojektuoti trimačius objektus į plokštumą ir rodyti sceną lange. Taigi, pavyzdžiui, aksonometrinei projekcijai naudojama dviejų projekcijos plokštumos sukimų seka, o rodymui lange naudojamas mastelio keitimo ir vertimo derinys.

Afininės transformacijos plokštumoje bendras vaizdas yra aprašyti tokiomis formulėmis:

J X = Ax + By + C, . Programa leidžia automatizuoti testo užduočių sudarymo procesą.

LITERATŪRA

1. Porevas V. N. Kompiuterinė grafika. - Sankt Peterburgas: BHV-Petersburg, 2002. - 432 p. : nesveikas.

2. Hill F. Open GL. Kompiuterinės grafikos programavimas. Profesionalams. – Sankt Peterburgas: Petras,

2002. - 1088 p.: iliustr. ISBN 5-318-00219-6

3. Kudrina M.A., Kudrinas K.A., Vytyagovas A.A., Ionovas D.O. Sistemos kūrimas nuotolinio mokymosi kursui „Kompiuterinė grafika“ naudojant Moodle: tarptautinio simpoziumo medžiaga Patikimumas ir kokybė. 2010. T. I. P. 165.

4. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Degtyareva O.A. Kurso „Kompiuterinė grafika“ sertifikavimo pedagoginė matavimo medžiaga // Patikimumas ir kokybė 2008. Proceedings of the international. simpoziumas. Penza, 2008, 162-163 p.

5. Kudrina M.A. Kurso sertifikavimo ir pedagoginės matavimo medžiagos naudojimas

„Kompiuterinė grafika“ ugdymo procese“//Išsilavinimas – investicijos į sėkmę: Mokslinė medžiaga –

Afininės transformacijos savybės

1. Lygiagrečių linijų vaizdas yra lygiagrečios tiesės.

Įrodymas prieštaravimu. Tarkime, kad lygiagrečių tiesių l ir m vaizdas yra tiesės l" ir m" susikertančios taške A" (8 pav.) Dėl transformacijos vienas su vienu taškas turi atvirkštinį vaizdą, kuris žymime A. Bet kadangi A"єl", tai Aєl . Panašiai kaip Аєm. Tai prieštarauja tiesių l ir m lygiagretumui.

2. Afininės transformacijos metu išsaugomas ryšys tarp dviejų segmentų, esančių toje pačioje linijoje: (9 pav.)

Iš tiesų, pagal afininės transformacijos apibrėžimą:

3. Afininės transformacijos metu išsaugomas lygiagrečių atkarpų ryšys.

Duota: AB||CD. Pagal 2 savybę taip pat bus A"B"||C"D" (10 pav.)

Turime įrodyti:

Norėdami tai įrodyti, atlikime AC, tada DL||AC. Taip pat sukonstruokime A"C" ir D"L"||A"C". Pagal 2 savybę tiesi linija DL eina į D"L", todėl . Dabar pagal apibrėžimą: . Bet AL=CD, A"L" = C"L", taigi iš čia iškart gauname tai, ko mums reikia.

4. Afininės transformacijos metu savavališkų atkarpų kampas ir santykis, paprastai tariant, neišsaugomas, nes bet kurį trikampį galima paversti bet kuriuo kitu. Todėl trikampio aukštis ir pusiaukraštis paprastai paverčiami kitomis tiesėmis, o mediana virsta mediana, nes atkarpos vidurys virsta viduriu.

5. Su afinine transformacija lygiagretainis pereina į lygiagretainį, trapecija – į trapeciją.

Lygiaverčiai skaičiai

Panašiai kaip ir figūrų lygybės ir panašumo samprata, įvedama jų afininio ekvivalentiškumo samprata.

Laikoma, kad figūra F1 yra lygiavertė figūrai F2, jei F1 gali būti paversta į F2 afinine transformacija.

Šio apibrėžimo teisingumas išplaukia iš to, kad afininės transformacijos sudaro grupę, todėl čia pateiktas afininis ekvivalentiškumas turi tranzityvumą, refleksyvumą ir simetriją.

Atkreipkime dėmesį į kai kurias panašių figūrų klases.

1). Visi trikampiai yra afiniškai lygiaverčiai (išplaukia iš pagrindinės teoremos).

2). Visi lygiagretainiai yra afiniškai lygiaverčiai.

3). Trapecijos afininiam ekvivalentiškumui būtina ir pakanka, kad jų bazės būtų proporcingos.

Dviejų plokštumų perspektyvinė-afininė atitiktis

Tarkime, kad dvi plokštumos w ir w" kertasi išilgai tiesės xx (1 pav.). Nubrėžkime kokią nors tiesę l, ​​kertančią abi plokštumas. Pažymėkime savavališką tašką A plokštumoje w ir suprojektuosime jį į plokštumą w “, nubrėždami tiesią liniją per A, lygiagrečią l. Tegul išsikišanti tiesė kerta plokštumą w" taške A". Taškas A" gali būti laikomas taško A projekcija į plokštumą w". Tokia projekcija vadinama lygiagrečia ir nustatoma nurodant tiesę l.

Iš pačios taško A projekcijos A" konstravimo aišku, kad, savo ruožtu, taškas A gali būti laikomas taško A" projekcija į plokštumą w. Taigi lygiagreti projekcija yra aparatas, turintis lygiai tą pačią reikšmę abiejų plokštumų w ir w atžvilgiu. . Gauname plokštumų w ir w taškų porinę atitiktį." Šis atitikimas yra vienas su vienu, t. y. kiekvienas vienos plokštumos taškas atitinka unikalų antrosios plokštumos tašką ir atvirkščiai.

Atitiktis tarp plokštumų w ir w“, nustatyta naudojant lygiagrečią projekciją, vadinama perspektyvine arba susijusia.

Jei atsižvelgsime į perėjimo iš vienos iš šių plokštumų (pavyzdžiui, w) į kitą plokštumą (w) procesą, kuriame kiekvienas vienos plokštumos (w) taškas (A) pereina į atitinkamą kitos plokštumos (A) tašką. plokštuma (w"), kaip vienpusė, tada ji vadinama plokštumos (w) pavertimu plokštuma (w") - šiuo atveju taškas A vadinamas atvirkštiniu vaizdu, o taškas A" yra jo vaizdas .

Projektuodami lygiagrečią plokštumą w į plokštumą w, atliekame perspektyvinę plokštumos w transformaciją į plokštumą w" .

Visų plokštumos w taškų rinkinį taip pat galime vadinti taškų w lauku ir kalbėti apie taškų w lauko transformaciją į taškų w lauką.

Iškelkime sau užduotį ištirti plokštumų perspektyvinės ir afininės atitikties savybes.

Pirmiausia panagrinėkime dvigubų arba fiksuotų mūsų korespondencijos taškų, ty tokių, kurie sutampa su atitinkamais taškais, klausimą. Kadangi kiekvienas dvigubas taškas turi priklausyti ir vienai, ir kitai plokštumai, jie turi būti ant plokštumų w ir w susikirtimo tiesės xx." Kita vertus, akivaizdu, kad kiekvienas tiesės xx taškas yra dvigubas taškas. kadangi ji atitinka pati save.Tiesioji vadinama korespondencijos ašimi.Pagal ankstesnę korespondencijos ašį galima apibrėžti kaip dvigubų taškų lokusą.

Taigi tiesi linija vienoje plokštumoje atitinka tiesią kitoje. Ši perspektyvos ir afininės atitikties savybė vadinama kolineariškumu. Pagal patį figūros lygiagrečios projekcijos apibrėžimą kaip visų šios figūros taškų projekcijų geometrinę vietą, kiekvienas taškas, esantis tiesėje, visada atitinka tašką, esantį atitinkamoje tiesėje. Todėl abipusis taško ir linijos priklausymas vienoje plokštumoje reiškia atitinkamų elementų tarpusavio priklausymą antroje plokštumoje.

2. Kita perspektyvinio-afininio atitikimo savybė susijusi su vadinamuoju paprasti santykiai trys taškai tiesioje linijoje.

Panagrinėkime tris taškus A, B, C, esančius toje pačioje tiesėje (1 pav.). Paprastas taškų A, B, C santykis nustatomas pagal formulę:

geometrinės transformacijos afininis atitikimas

Šioje formulėje taškai A ir B laikomi pagrindiniais (arba pagrindiniais), o taškais C – dalijančiais. Paprastasis santykis (ABC) – tai tų atkarpų, kurias skirstymo taškas sudaro su pagrindiniais, ilgių santykis. Jei taškas C yra už atkarpos A B ribų, tai abu atkarpos AC ir BC yra vienodai nukreiptos, todėl šiuo atveju paprastasis santykis (ABC) yra teigiamas. Tuo atveju, kai padalijimo taškas C yra tarp A ir B, paprastasis santykis (ABC) yra neigiamas.

1 brėžinyje matyti, kad taškai A, B, Iš w plokštumos atitinka w plokštumos taškus A, B, C. Kadangi išsikišančios tiesės AA, BB, SS yra lygiagrečios, turėsime:

arba (ABC) = (A"B"C").

Darome išvadą, kad perspektyvos ir afininio atitikimo atveju paprastasis trijų taškų santykis vienos plokštumos tiesėje visada lygus trijų atitinkamų kitos plokštumos taškų paprastam santykiui.

3. Prieš pradėdami nagrinėti tolesnes perspektyvinės ir afininės atitikties savybes, apsistokime ties atitinkamų w ir w" plokštumų galimos vietos erdvėje klausimu.

Iki šiol manėme, kad šios plokštumos nesutampa ir susikerta išilgai tiesės xx, kad per lygiagrečią projekciją būtų nustatyta pirmiau aptarta perspektyvinė ir afininė atitiktis. Nustačius tokį atitikimą, būtų galima sutapti abi plokštumas sukant bet kurią iš jų aplink xx ašį. Šiuo atveju visi geometriniai vaizdai, esantys vienoje ir kitoje plokštumoje, nepasikeičia. Vadinasi, tiek bet kuriuo plokštumos sukimosi momentu, tiek ją sujungus su antrąja plokštuma, anksčiau nustatyta perspektyvinė-afininė atitiktis nepažeidžiama.

Tiesios linijos, jungiančios atitinkamus taškus, pvz., AA", BB", SS",..., išlieka lygiagrečios bet kurioje besisukančios plokštumos padėtyje, taip pat ir po jos išlyginimo su stacionaria plokštuma. Tai matyti iš fakto kad kiekviena iš paminėtų tiesių (pavyzdžiui, AA" ir BB") visada yra toje pačioje plokštumoje, apibrėžtoje susikertančių tiesių pora (AB ir A"B"), ir yra nupjautos toje pačioje plokštumoje. kampas proporcingus segmentus, nes (ABX) = (A"B"X). Sujungus plokštumas w ir w" išsikišančios tiesės (AA", BB",...) atrodys esančios plokštumoje, sudarytoje iš dviejų sutampančių plokštumų w ir w" (2 pav.).

Mus ypač domina kombinuotos plokštumų padėties atvejis, nes šiuo atveju galime naudoti plokščią brėžinį, kuriame vaizduojama nustatyta korespondencija be iškraipymų.

Kombinacijos atveju kiekvienas (dvigubos) plokštumos taškas gali būti laikomas priklausančiu plokštumai w arba w" ir priklausomai nuo to žymimas didžiąja raide be pirminio skaičiaus arba su pirminiu. Taigi turime transformaciją plokštuma į save, o jos pradinė būsena (plokštuma prieš transformaciją) žymima raide w, o nauja būsena (plokštuma po transformacijos) – raide w“.

Atkreipkite dėmesį, kad sujungus plokštumas, atitikties ašis xx nustoja būti šių plokštumų susikirtimo linija, tačiau ji išlaiko antrąjį apibrėžimą kaip dvigubų arba fiksuotų taškų geometrinę vietą.

4. Dabar galėtume atsisakyti erdvinio aparato (lygiagrečios projekcijos), kuris mums padėjo nustatyti perspektyvinį-afininį atitikimą tarp dviejų plokštumų, ir nustatyti pastarąją dvigubai plokštumai, neišeinant į erdvę. Šiuo tikslu įrodome tokią prielaidą: Perspektyvinį-afininį plokštumos transformavimą į save visiškai lemia ašis (xx) ir atitinkamų taškų pora (A, A").

Įrodymas. Tegu pateikta perspektyvinės afininės transformacijos xx ašis ir atitinkamų taškų (AA") pora (3 pav.) Įrodykime, kad bet kuriam plokštumos taškui galima sukonstruoti tiksliai apibrėžtą ir unikalų atitikmenį taškas B".

Nubrėžkime tiesę AB. Tegul X yra jo susikirtimo su xx ašimi taškas. Kadangi taškas X atitinka save (kaip guli ant ašies), tiesė AX atitinka tiesę A"X. Galiausiai taškas B" turi būti tiesėje A"X" ir išsikišusioje tiesėje BB, lygiagrečioje su A A . Tai leidžia mums sukurti reikiamą tašką B. Taigi duomenų buvo pakankamai, o atitinkamas taškas B yra vienintelis sprendimas.

Atkreipkite dėmesį, kad perspektyvinis-afininis atitikimas bus realizuotas, nes nurodyta konstrukcija negali sukelti prieštaravimų. Tai galima lengvai patikrinti sumažinus konstrukciją iki lygiagrečios projekcijos aparato.

Tiesą sakant, jei sulenksime brėžinį 3 išilgai tiesės xx taip, kad plokštumos w ir w" sudarytų dvikampį kampą, tada visos išsikišančios tiesės (tiesios linijos, jungiančios atitinkamus taškus, pavyzdžiui, BB") pasirodys lygiagrečios. į tiesę AA" (dėl atkarpų proporcingumo). Vadinasi, mūsų sukonstruotą atitikmenį galima laikyti lygiagrečios projekcijos rezultatu.

Pastaba. Jei 3 brėžinyje tašką B priskirtume w plokštumai, žymėdami jį C, tai atitinkamo taško sukūrimas patektume į tašką C, kuris, kaip matyti iš 3 brėžinio, ne visada sutampa su B. būti įrodyta, kad būtina ir pakankama sąlyga tokiam sutapimui, t. y. perspektyvinio ir afininio atitikimo nepriklausomumui nuo to, ar taškas priskirtas vienai ar kitai plokštumai, yra atkarpą A A" padalyti per pusę sankirtos taške su xx ašis.

Todėl šiuo atveju korespondencija yra įstrižinė arba tiesioginė simetrija (xx ašies atžvilgiu).

5. Toliau tirdami perspektyvinį-afininį atitikimą, remsimės aukščiau nustatytomis savybėmis: 1) kolineariškumu ir 2) atitinkamų taškų tripletų paprastų santykių lygybe.

Atkreipkite dėmesį, kad perspektyvinėse transformacijose šios savybės išreiškia tiesės sąvokos ir paprasto trijų linijos taškų sąvokos nekintamumą arba nekintamumą.

Iš šių savybių galime spręsti visa linija kiti perspektyvinės-afininės transformacijos „invariantai“, kurie todėl nebėra nepriklausomi. Pirmiausia įrodykime tiesių lygiagretumo nekintamumą. Tarkime, kad plokštumoje w turime dvi tieses a ir b, kurios plokštumoje w" atitinka tieses a" ir b". Tarkime, kad tiesės a ir b yra lygiagrečios (a || b). Įrodysime kad „|| b". Taikykime įrodinėjimą pagal prieštaravimą. Tarkime, kad tiesės a" ir b" susikerta, o susikirtimo tašką pažymime raide M" (4 pav.). Tada dėl plokštumų w ir w atitikties vienas su vienu taškas M atitinka plokštumą w. Taškas M plokštumoje w atitinka tašką M plokštumoje w. Taškas M turi priklausyti ir tiesei a, ir tiesė b. Vadinasi, M yra tiesių a ir b susikirtimo taškas. Taigi gauname prieštaravimą. Prielaida, kad tiesės a" ir b" susikerta, yra neįmanoma. Todėl a" || b".

Taigi linijų lygiagretumas yra nekintama perspektyvinės afininės transformacijos savybė.

Sujungkime B su D ir nubrėžkime liniją CF || per C. DВ. Plokštumoje w" tiesė СF atitiks tiesę С"F" D"В" (dėl lygiagretumo invariancijos), todėl taškas F atitiks tašką F". Žinodami, kad paprastasis trijų taškų ryšys yra nekintamas, galime rašyti:

Taigi mes pasiekiame lygybę:

Pastarasis rodo, kad dviejų lygiagrečių atkarpų santykis yra perspektyvinės ir afininės atitikties invariantas.

Jei atkarpos AB ir CD yra toje pačioje tiesėje (6 pav.), tai jų ryšys taip pat yra nekintamas perspektyvos-afininėje atitiktyje. Iš tiesų, tegul PQ yra savavališka atkarpa, lygiagreti tiesei AB. Tada mes turime:

6. Pereikime prie atitinkamų figūrų plotų svarstymo. Įrodykime tokią lemą: Dviejų atitinkamų taškų (A, A") atstumai iki atitikimo ašies (xx) yra pastoviu santykiu, nepriklausomu nuo atitinkamų taškų poros pasirinkimo. Įrodymas. Tarkime, kad taškai A ir B atitinka taškus A" ir B" (7 pav.) Nuleidę statmenis iš šių taškų į xx ašį, gauname jų atstumus iki ašies. Atstumai visada bus laikomi teigiamais, neatsižvelgiant į statmenų kryptį.

Galime parašyti:

Bet kaip matyti iš piešinio:

Gauta lygybė įrodo aukščiau suformuluotą lemą.

Atitinkamų taškų atstumų pastovų santykį pažymėkime k. Įrodykime tokią teoremą.

Dviejų atitinkamų trikampių plotų santykis yra pastovus ir lygus.

Teoremos įrodymas skirstomas į šiuos atvejus:

1. Trikampiai turi bendrą kraštinę xx ašyje.

Tokie trikampiai pateikti 8 paveiksle. Jų plotų santykis bus išreikštas taip:

2. Trikampiai turi bendrą viršūnę xx ašyje.

Tai yra du trikampiai 9 brėžinyje. Atitinkamos šių trikampių kraštinės BC ir BC turi susikirsti xx ašyje (taške X). Nagrinėjamas atvejis sumažinamas iki ankstesnio. Tiesą sakant, remiantis ankstesniu, galime parašyti:

Todėl turėsime:

3. Bendrasis dviejų atitinkamų trikampių atvejis.

10 brėžinyje turime du atitinkamus trikampius ABC ir A"B"C. Apsvarstykite vieną iš šių trikampių, pavyzdžiui, ABC. Šio trikampio plotą galima pavaizduoti taip:

Visi trikampiai, esantys dešinėje šios lygybės pusėje, yra susiję su dviem jau nagrinėtais atvejais, todėl, pritaikę jiems įrodytą teoremą, aukščiau rastą lygybę galime perrašyti taip:

Vadinasi,

7. Dviejų atitinkamų trikampių plotų savybę galima lengvai išplėsti iki atitinkamų daugiakampių. Tiesą sakant, kiekvienas daugiakampis gali būti suskirstytas į kelis trikampius, o daugiakampio plotas išreiškiamas jį sudarančių trikampių plotų suma.

Atitinkamam daugiakampiui gauname panašų padalijimą į trikampius. Jei dviejų atitinkamų daugiakampių plotus žymėsime raidėmis S ir S", o dviejų atitinkamų sudedamųjų trikampių plotus – raidėmis, tada galime rašyti:

Kadangi, be to, atitinkamų trikampių plotams turime:

Taip gauname:

Galiausiai galime apibendrinti ploto santykio teoremą dviejų sričių, apribotų atitinkamomis savavališkos formos kreivėmis, atveju.

Dviejų atitinkamų kreivių apribotas sritis pažymėkime ir. Įrašykime daugiakampį į plotą ribojančią kreivę, o šio daugiakampio plotą pažymime raide S. Padidinsime įbrėžto daugiakampio kraštinių skaičių iki begalybės, jei kiekviena kraštinė linkusi į nulį, tada mes gauti:

Srityje turėsime panašų procesą: ,

kur S" reiškia daugiakampio plotą, atitinkantį daugiakampį S. Kadangi viso proceso metu (daugiakampių pasikeitimai), pagal aukščiau įrodytą teoremą, jie turi turėti:

tada pereinant prie ribos gaunama =k.

Vadinasi,

Gautą savybę galima pavaizduoti kaip perspektyvinės ir afininės atitikties invariantą.

Tiesą sakant, pažymėkime plotus, kuriuos riboja dvi savavališkos formos kreivės, o " ir " - sritis, apribotas atitinkamų kreivių, tada pagal tai, kas buvo įrodyta, turėsime:

arba pertvarkant vidurinius proporcijos narius:

kurią galima išreikšti tokiais žodžiais: bet kurių dviejų sričių santykis nekinta (yra nekintamas) perspektyvinėje-afininėje atitiktyje.

Bendras afininis atitikimas

Dviejų plokštumų perspektyvos ir afininės atitikties galima gauti naudojant lygiagrečią projekciją.

Dabar panagrinėkime dviejų plokštumų, susidariusių pakartotinai naudojant lygiagrečią projekciją, atitiktį. Taigi 11 brėžinyje plokštuma w projektuojama lygiagrečiai tiesei l į plokštumą w." Ši plokštuma projektuojama lygiagrečiai tiesei l" į plokštumą w. Galiausiai pastaroji projektuojama lygiagrečiai tiesei l" į plokštumą w. “ Taigi tarp plokštumų w ir w"" nustatoma atitiktis, kurioje taškai A, B, C pirmoji plokštuma atitinka antrosios taškus A", B", C". Nesunku įsitikinti, kad šis atitikimas gali būti ne lygiagreti projekcija, bet tuo pat metu turi nekintamąsias perspektyvos ir afininės atitikties savybes. . Iš tiesų, plokštumų w ir w"" atitikimas yra nuoseklių lygiagrečių projekcijų grandinė. Kadangi kiekviena tokia projekcija išsaugo kolinearumą ir paprastą trijų taškų ryšį, tada gauta plokštumų w ir w""" atitiktis akivaizdžiai turėtų turi tas pačias savybes.

Tą patį galima pasakyti ir apie kitas nekintamąsias savybes, nagrinėtas perspektyvinio-afininio atitikimo atveju, taigi, pasirodo, yra tik tas ypatingas atvejis, kai atitinkamus taškus jungiančios linijos yra lygiagrečios viena kitai:

Dėl šios priežasties toks atitikimas vadinamas perspektyviniu.

Plokštumų w ir w""" atitikimas vadinamas afininiu. Prie šios sąvokos priėjome naudodamiesi perspektyvinių-afininių transformacijų (arba lygiagrečių projekcijų) grandine. Jei kiekvieną iš jų žymėsime raidėmis P, P, P" ir gautą transformaciją raide A , afininę transformaciją A galime pavaizduoti tokia simboline formule:

A = P * P" * P",

kurioje dešinioji pusė yra perspektyvinių afininių transformacijų „produktas“, t.y. jų nuoseklaus taikymo rezultatas.

Tą patį samprotavimą būtų galima atlikti ir nepaliekant vienos plokštumos, tam pakanka apsvarstyti perspektyvinių-afininių plokštumos transformacijų į save grandinę. Kiekvieną transformaciją galima nurodyti ašimi ir atitinkamų taškų pora. Taigi, pavyzdžiui, 12 brėžinyje pirmoji transformacija P nurodoma xx ašimi ir pora (A, A"); antroji P" – ašimi ir pora (A, A"); trečiasis P" - x ašis "x" ir pora (A" "A""). Gautoje transformacijoje A taškas A atitinka tašką A"". Tame pačiame brėžinyje parodyta taško B konstrukcija"" , atitinkantis tašką B.

Tai, kas išdėstyta pirmiau, rodo, kad transformacijos, gautos naudojant lygiagrečių projekcijų grandinę (arba perspektyvines afinines transformacijas), turi kolineariškumo ir paprasto trijų taškų ryšio išsaugojimo savybes.