Lygtys. Tapatybės transformacijos Išraiškų transformacija. santrauka ir pagrindinės formulės

„Tapatybės. Išraiškų tapatumo transformacija“.

Pamokos tikslai

Švietimas:

supažindinti ir iš pradžių įtvirtinti sąvokas „identiški posakiai“, „tapatybė“, „identiškos transformacijos“;

svarstyti tapatybių įrodinėjimo būdus, prisidėti prie tapatybių įrodinėjimo įgūdžių ugdymo;

patikrinti mokinių įsisavintą nagrinėjamą medžiagą, formuoti studijuojamo pritaikymo naujo suvokimui įgūdžius.

Švietimo : ugdyti mokinių mąstymą, kalbą.

Švietimo : ugdyti darbštumą, tikslumą, pratimų sprendimo fiksavimo teisingumą.

Pamokos tipas: mokytis naujos medžiagos

Įranga : Multimedijos lenta, lenta, vadovėlis, darbaknygė.

P lan pamoka

Organizacinis momentas (nukreipti mokinius į pamoką)

Namų darbų tikrinimas (klaidų taisymas)

burnos pratimai

Naujos medžiagos tyrimas ("tapatybės", "identiškų transformacijų" sąvokų įvedimas ir pirminis įtvirtinimas).

Treniruočių pratimai(Sąvokų „tapatumas“, „identiškos transformacijos“ formavimasis).

Pamokos apibendrinimas (Apibendrinkite pamokoje gautą teorinę informaciją).

Namų darbų žinutė (paaiškinkite namų darbų turinį)

Per užsiėmimus

I. Organizacinis momentas.

Namų darbų tikrinimas.

Klausimai apie namų darbus.

Aptarimas lentoje.

Reikalinga matematika
Be jos neįmanoma
Mes mokome, mokome, draugai,
Ką prisimename ryte?

II . burnos pratimai.

Padarykime mankštą.

Papildymo rezultatas. (Suma)

Kiek skaičių žinai? (Dešimt)

Šimtas skaičius. (procentais)

padalijimo rezultatas? (privatus)

Mažiausias natūralusis skaičius? (vienas)

Ar galima dalijant natūraliuosius skaičius gauti nulį? (Ne)

Kokia yra skaičių nuo -200 iki 200 suma? (0)

Koks yra didžiausias neigiamas sveikasis skaičius. (-vienas)

Iš kokio skaičiaus negalima padalyti? (0)

Daugybos rezultatas? (Darbas)

Didžiausias dviženklis skaičius? (99)

Koks yra produktas nuo -200 iki 200? (0)

Atimties rezultatas. (Skirtumas)

Kiek gramų kilograme? (1000)

Komutacinė pridėjimo savybė. (Suma nesikeičia keičiant terminų vietas)

Komutacinė daugybos savybė. (Produktas nekinta keičiantis faktorių vietoms)

Asociatyvinė papildymo savybė. (Norėdami pridėti skaičių prie dviejų skaičių sumos, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių)

Asociacinė daugybos savybė. (jei norite padauginti dviejų skaičių sandaugą iš trečiojo skaičiaus, pirmąjį skaičių galite padauginti iš antrojo ir trečiojo sandaugos)

paskirstymo turtas. (Jei norite padauginti skaičių iš dviejų skaičių sumos, galite padauginti šį skaičių iš kiekvieno termino ir pridėti rezultatus)

III . Naujos medžiagos mokymasis .

Mokytojas. Raskite reiškinių reikšmę x=5 ir y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Gavome tą patį rezultatą. Iš paskirstymo savybės išplaukia, kad apskritai bet kurioms kintamųjų reikšmėms reiškinių 3(x + y) ir 3x + 3y reikšmės yra lygios.

Dabar apsvarstykite išraiškas 2x + y ir 2xy. Jei x=1 ir y=2, jie imami vienodos vertės:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

Tačiau galite nurodyti x ir y reikšmes taip, kad šių išraiškų reikšmės nebūtų lygios. Pavyzdžiui, jei x = 3, y = 4, tada

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

Apibrėžimas: Dvi išraiškos, kurių reikšmės yra lygios bet kuriai kintamųjų vertei, laikomos identiškomis.

Išraiškos 3(x+y) ir 3x+3y yra vienodos, tačiau išraiškos 2x+y ir 2xy nėra identiškai lygios.

Lygybė 3 (x + y) ir 3x + 3y galioja bet kurioms x ir y reikšmėms. Tokios lygybės vadinamos tapatybėmis.

Apibrėžimas: lygybė, kuri tinka bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinama tapatybe.

Tikrosios skaitinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis. Su tapatybėmis jau susitikome. Tapatybės – tai lygybės, išreiškiančios pagrindines veiksmų su skaičiais savybes (Kiekvieną savybę mokiniai komentuoja ištardami).

a + b = b + a ab=ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a (bc) a(b + c) = ab + ac

Galima pateikti kitų tapatybių pavyzdžių (Studentai komentuoja kiekvieną savybę, ištardami).

a + 0 = a

a * 1 = a

a + (-a) = 0

* (- b ) = - ab

a - b = a + (- b )

(- a ) * (- b ) = ab

Apibrėžimas: Vienos išraiškos pakeitimas kita, identiškai jai lygiaverte, vadinamas identiška transformacija arba tiesiog išraiškos transformacija.

Mokytojas:

Identiškos išraiškų transformacijos su kintamaisiais atliekamos remiantis operacijų su skaičiais savybėmis.

Išraiškų tapatybės transformacijos plačiai naudojamos skaičiuojant išraiškų reikšmes ir sprendžiant kitas problemas. Jau teko atlikti keletą identiškų transformacijų, pavyzdžiui, panašių terminų sumažinimas, skliaustų išplėtimas. Prisiminkite šių transformacijų taisykles:

Mokiniai:

Norint gauti panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir rezultatą padauginti iš bendrosios raidės dalies;

Jei prieš skliaustus yra pliuso ženklas, tada skliaustus galima praleisti, išsaugant kiekvieno termino ženklą skliausteliuose;

Jei prieš skliaustus yra minuso ženklas, tada skliaustus galima praleisti pakeitus kiekvieno skliausteliuose esančio termino ženklą.

Mokytojas:

Pavyzdys 1. Pateikiame panašius terminus

5x + 2x-3x=x(5+2-3)=4x

Kokią taisyklę naudojome?

Studentas:

Naudojome panašių terminų mažinimo taisyklę. Ši transformacija grindžiama daugybos paskirstymo savybe.

Mokytojas:

2 pavyzdys. Išskleiskite skliaustus 2a + (b-3 c) = 2 a + b – 3 c

Pritaikėme skliaustų atidarymo taisyklę su pliuso ženklu.

Studentas:

Atliekama transformacija remiasi asociatyvine sudėjimo savybe.

Mokytojas:

3 pavyzdys. Atidarykime skliaustus išraiškoje a - (4b- c) =a – 4 b + c

Naudojome skliaustų atidarymo taisyklę, prieš kurią rašomas minuso ženklas.

Kokia savybe pagrįsta ši transformacija?

Studentas:

Atliekama transformacija remiasi skirstomąją daugybos savybę ir asociatyvinę sudėties savybę.

IV . Treniruočių pratimai

(Prieš pradėdami užsiimame fizine veikla

Jie greitai atsistojo ir nusišypsojo.

Traukė vis aukščiau ir aukščiau.

Nagi, ištiesink pečius

Pakelti, nuleisti.

Pasukite į dešinę, pasukite į kairę

Atsisėsk, kelkis. Atsisėsk, kelkis.

Ir jie nubėgo vietoje.

(Gerai padaryta, atsisėskite).

Turėkime mini savarankiškas darbas- atitiktis, O tie, kurie tiki, kad tema gerai suprantama - nusprendžia internetu - testavimas.

1) 5 (3x -2) - (4x + 9) A) 5-10: x

2) 5x-4 (2x-5) + 5 B) 11x -19

3) (5x-10): x B) 3x + 25

4) 11x-4 (x - 3) + 5x D) -3x + 25

E) 12x +12

V . Apibendrinant pamoką .

Mokytojas užduoda klausimus, o mokiniai į juos atsako kaip nori.

Kokios dvi išraiškos vadinamos identiškai lygiomis? Pateikite pavyzdžių.

Kokia lygybė vadinama tapatybe? Pateikite pavyzdį.

Kokias identiškas transformacijas žinote?

VI . Namų darbai . 5 p., naudodamiesi internetu raskite senus identiškus posakius

Tapatybės konvertavimas yra darbas, kurį atliekame su skaitmeninėmis ir abėcėlinėmis išraiškomis, taip pat su išraiškomis, kuriose yra kintamųjų. Mes atliekame visas šias transformacijas, kad originali išraiška būtų tokia, kuri būtų patogi sprendžiant problemą. Šioje temoje apsvarstysime pagrindinius identiškų transformacijų tipus.

Išraiškos tapatumo transformacija. Kas tai yra?

Pirmą kartą su identiškų transformuotų mes sąvoka susiduriame algebros pamokose 7 klasėje. Tada pirmiausia susipažįstame su identiškai lygiaverčių posakių samprata. Panagrinėkime sąvokas ir apibrėžimus, kad būtų lengviau įsisavinti temą.

1 apibrėžimas

Išraiškos tapatumo transformacija yra veiksmai, atliekami siekiant pakeisti pradinę išraišką išraiška, kuri bus identiška pradinei.

Dažnai šis apibrėžimas vartojamas sutrumpinta forma, kurioje praleidžiamas žodis „identiškas“. Daroma prielaida, kad bet kuriuo atveju posakio transformaciją atliekame taip, kad gautume identišką pradinei išraišką, ir to atskirai pabrėžti nereikia.

Iliustruoti šis apibrėžimas pavyzdžių.

1 pavyzdys

Jei pakeisime išraišką x + 3 - 2į identiškai lygiavertę išraišką x+1, tada atliekame identišką išraiškos transformaciją x + 3 - 2.

2 pavyzdys

Išraiškos 2 ir 6 pakeitimas išraiška a 3 yra tapatybės transformacija, o išraiškos pakeitimas xį išraišką x2 nėra identiška transformacija, nes išraiškos x ir x2 nėra identiškai lygūs.

Atkreipiame dėmesį į posakių rašymo formą atliekant identiškas transformacijas. Paprastai pradinę išraišką ir gautą išraišką rašome kaip lygybę. Taigi rašymas x + 1 + 2 = x + 3 reiškia, kad išraiška x + 1 + 2 buvo sumažinta iki formos x + 3 .

Nuoseklus veiksmų atlikimas veda mus į lygybių grandinę, kuri yra keletas iš eilės identiškų transformacijų. Taigi, žymėjimą x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x suprantame kaip nuoseklų dviejų transformacijų įgyvendinimą: pirma, išraiška x + 1 + 2 buvo sumažinta iki formos x + 3 ir sumažinta iki forma 3 + x.

Tapatybės transformacijos ir ODZ

Kai kurios išraiškos, kurias pradedame studijuoti 8 klasėje, neturi prasmės jokioms kintamųjų reikšmėms. Tokiais atvejais atliekant identiškas transformacijas, reikia atkreipti dėmesį į leistinų kintamųjų reikšmių sritį (ODV). Atliekant identiškas transformacijas, ODZ gali likti nepakitęs arba susiaurinti.

3 pavyzdys

Atliekant perėjimą nuo išraiškos a + (-b)į išraišką a-b leistinų kintamųjų verčių diapazonas a ir b lieka toks pat.

4 pavyzdys

Perėjimas iš x išraiškos į išraišką x 2 x dėl to susiaurėja kintamojo x priimtinų reikšmių diapazonas nuo visų realiųjų skaičių aibės iki visų realiųjų skaičių, iš kurių nulis neįtrauktas.

5 pavyzdys

Išraiškos tapatumo transformacija x 2 x Išraiška x veda prie kintamojo x priimtinų reikšmių diapazono išplėtimo nuo visų realiųjų skaičių, išskyrus nulį, aibės iki visų realiųjų skaičių aibės.

Sprendžiant problemas svarbu susiaurinti arba išplėsti leistinų kintamųjų verčių diapazoną, kai atliekamos vienodos transformacijos, nes tai gali turėti įtakos skaičiavimų tikslumui ir sukelti klaidų.

Pagrindinės tapatybės transformacijos

Dabar pažiūrėkime, kas yra identiškos transformacijos ir kaip jos atliekamos. Išskirkime tuos identiškų transformacijų tipus, su kuriais dažniausiai susiduriame pagrindinėje grupėje.

Be pagrindinių tapatybės transformacijų, yra keletas transformacijų, susijusių su tam tikro tipo išraiškomis. Trupmenoms tai yra mažinimo ir redukavimo iki naujo vardiklio metodai. Posakiams su šaknimis ir galiomis – visi veiksmai, kurie atliekami remiantis šaknų ir galių savybėmis. Logaritminėms išraiškoms – veiksmai, kurie atliekami remiantis logaritmų savybėmis. Dėl trigonometrinės išraiškos visi veiksmai naudojant trigonometrines formules. Visos šios konkrečios transformacijos yra išsamiai aptariamos atskirose temose, kurias galite rasti mūsų šaltinyje. Dėl šios priežasties šiame straipsnyje apie juos nekalbėsime.

Pereikime prie pagrindinių identiškų transformacijų svarstymo.

Terminų, veiksnių pertvarkymas

Pradėkime nuo sąlygų pertvarkymo. Su šia identiška transformacija susiduriame dažniausiai. O pagrindine taisykle čia galima laikyti tokį teiginį: bet kokia suma terminų pertvarkymas į vietas rezultatui įtakos neturi.

Ši taisyklė pagrįsta komutacinėmis ir asociacinėmis sudėties savybėmis. Šios savybės leidžia pakeisti terminus vietomis ir tuo pačiu gauti išraiškas, kurios yra identiškos pirminėms. Štai kodėl terminų išdėstymas vietomis sumoje yra identiška transformacija.

6 pavyzdys

Turime trijų narių sumą 3 + 5 + 7 . Jei pakeisime terminus 3 ir 5, tada išraiška bus 5 + 3 + 7. Šiuo atveju yra keletas sąlygų pertvarkymo variantų. Visi jie leidžia gauti išraiškas, kurios yra identiškos pradinei.

Ne tik skaičiai, bet ir išraiškos gali veikti kaip sumos nariai. Juos, kaip ir skaičius, galima pertvarkyti nepažeidžiant galutinio skaičiavimo rezultato.

7 pavyzdys

Trijų 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 ir - 12 a formos 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + terminų sumoje ( - 12) terminus galima pertvarkyti, pavyzdžiui, taip (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . Savo ruožtu galite pertvarkyti terminus trupmenos 1 a + b vardiklyje, o trupmena bus 1 b + a forma. Ir išraiška po šaknies ženklu a 2 + 2 a + 5 taip pat yra suma, kuria terminai gali būti sukeisti.

Taip pat kaip ir terminai, pradinėse išraiškose galima sukeisti veiksnius ir gauti identiškai teisingas lygtis. Šį veiksmą reglamentuoja ši taisyklė:

2 apibrėžimas

Produkte veiksnių pertvarkymas vietomis neturi įtakos skaičiavimo rezultatui.

Ši taisyklė pagrįsta daugybos komutacinėmis ir asociacinėmis savybėmis, kurios patvirtina identiškos transformacijos teisingumą.

8 pavyzdys

Darbas 3 5 7 faktorių permutacija gali būti pavaizduota viena iš šių formų: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 arba 3 7 5.

9 pavyzdys

Pakeitus veiksnius sandaugoje x + 1 x 2 - x + 1 x gausite x 2 - x + 1 x x + 1

Kronšteino išplėtimas

Skliausteliuose gali būti skaitinių išraiškų ir išraiškų su kintamaisiais įrašai. Šiuos posakius galima paversti identiškai lygiaverčiais posakiais, kuriuose skliaustų iš viso nebus arba jų bus mažiau nei originaliuose posakiuose. Šis išraiškų konvertavimo būdas vadinamas skliaustų išplėtimu.

10 pavyzdys

Atlikime veiksmus su skliaustais formos išraiškoje 3 + x − 1 x kad gautumėte identišką tikrą išraišką 3 + x − 1 x.

Išraiška 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x gali būti konvertuojama į identišką išraišką be skliaustų 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Išsamiai aptarėme išraiškų konvertavimo su skliaustais taisykles temoje „Skliausto išplėtimas“, kuri yra paskelbta mūsų šaltinyje.

Grupavimo terminai, veiksniai

Tais atvejais, kai kalbame apie tris ar daugiau terminų, galime pasinaudoti tokio tipo identiškomis transformacijomis kaip terminų grupavimu. Šiuo transformavimo būdu suprantamas kelių terminų sujungimas į grupę, juos pertvarkant ir dedant skliausteliuose.

Grupuojant terminai sukeičiami taip, kad sugrupuoti terminai išraiškos įraše būtų vienas šalia kito. Po to jie gali būti uždėti skliausteliuose.

11 pavyzdys

Paimkite išraišką 5 + 7 + 1 . Jei sugrupuojame pirmąjį terminą su trečiuoju, gauname (5 + 1) + 7 .

Veiksnių grupavimas atliekamas panašiai kaip terminų grupavimas.

12 pavyzdys

Darbe 2 3 4 5 galima sugrupuoti pirmąjį veiksnį su trečiuoju, o antrą faktorių su ketvirtuoju, šiuo atveju gauname išraišką (2 4) (3 5). Ir jei sugrupuotume pirmąjį, antrąjį ir ketvirtąjį veiksnius, gautume išraišką (2 3 5) 4.

Sugrupuoti terminai ir veiksniai gali būti pavaizduoti kaip pirminiai skaičiai, taip pat posakius. Grupavimo taisyklės buvo išsamiai aptartos temoje „Grupavimo terminai ir veiksniai“.

Skirtumų pakeitimas sumomis, daliniais produktais ir atvirkščiai

Skirtumų pakeitimas sumomis tapo įmanomas dėl mūsų pažinties su priešingais skaičiais. Dabar atimkite iš skaičiaus a numeriai b gali būti vertinamas kaip numerio papildymas a numeriai −b. Lygybė a − b = a + (− b) gali būti laikomas sąžiningu ir jo pagrindu atlikti skirtumų pakeitimą sumomis.

13 pavyzdys

Paimkite išraišką 4 + 3 − 2 , kuriame skaičių skirtumas 3 − 2 galime rašyti kaip sumą 3 + (− 2) . Gauk 4 + 3 + (− 2) .

14 pavyzdys

Visi išraiškos skirtumai 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 galima pakeisti tokiomis sumomis kaip 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).

Iš bet kokių skirtumų galime pereiti prie sumų. Panašiai galime atlikti atvirkštinį pakeitimą.

Dalybos pakeitimas daugyba daliklio atvirkštiniu dydžiu yra įmanomas dėl atsakomųjų skaičių koncepcijos. Šią transformaciją galima parašyti kaip a: b = a (b – 1).

Ši taisyklė buvo paprastųjų trupmenų padalijimo taisyklės pagrindas.

15 pavyzdys

Privatus 1 2: 3 5 gali būti pakeistas formos gaminiu 1 2 5 3.

Panašiai pagal analogiją dalyba gali būti pakeista daugyba.

16 pavyzdys

Išraiškos atveju 1+5:x:(x+3) padalinimą pakeisti į x galima padauginti iš 1 x. Padalijimas pagal x + 3 galime pakeisti padaugindami iš 1 x + 3. Transformacija leidžia gauti išraišką, kuri yra identiška pradinei: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Daugybos pakeitimas padalijimu atliekamas pagal schemą a b = a: (b – 1).

17 pavyzdys

Išraiškoje 5 x x 2 + 1 - 3 daugyba gali būti pakeista padalijimu kaip 5: x 2 + 1 x - 3.

Veiksmų su skaičiais atlikimas

Atliekant operacijas su skaičiais galioja operacijų eilės taisyklė. Pirma, operacijos atliekamos su skaičių laipsniais ir skaičių šaknimis. Po to logaritmus, trigonometrines ir kitas funkcijas pakeičiame jų reikšmėmis. Tada atliekami skliausteliuose nurodyti veiksmai. Ir tada jau galite atlikti visus kitus veiksmus iš kairės į dešinę. Svarbu atsiminti, kad daugyba ir padalijimas atliekami prieš sudedant ir atimant.

Veiksmai su skaičiais leidžia paversti pradinę išraišką į identišką jai lygią.

18 pavyzdys

Transformuokime reiškinį 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, atlikdami visas įmanomas operacijas su skaičiais.

Sprendimas

Pirmiausia pažiūrėkime į laipsnį 2 3 ir šaknis 4 ir apskaičiuokite jų reikšmes: 2 3 = 8 ir 4 = 2 2 = 2 .

Pakeiskite gautas reikšmes į pradinę išraišką ir gaukite: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Dabar padarykime skliaustus: 8 − 1 = 7 . Ir pereikime prie išraiškos 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Mes tiesiog turime padaryti daugybą 3 ir 7 . Gauname: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Atsakymas: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Prieš operacijas su skaičiais gali būti atliekamos kitos tapatybės transformacijos, pvz., skaičių grupavimas arba skliaustų išplėtimas.

19 pavyzdys

Paimkite išraišką 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) – 2 + 11.

Sprendimas

Visų pirma pakeisime skliausteliuose esantį koeficientą 6: 3 apie jo reikšmę 2 . Gauname: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Išplėskime skliaustus: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Sugrupuokime skaitinius gaminio veiksnius, taip pat terminus, kurie yra skaičiai: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Padarykime skliaustus: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Atsakymas:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) – 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Jei dirbame su skaitinėmis išraiškomis, mūsų darbo tikslas bus rasti išraiškos reikšmę. Jei transformuosime išraiškas su kintamaisiais, mūsų veiksmų tikslas bus supaprastinti išraišką.

Bendrojo veiksnio apibrėžimas

Tais atvejais, kai išraiškos terminai turi tą patį veiksnį, šį bendrą veiksnį galime išimti iš skliaustų. Norėdami tai padaryti, pirmiausia turime pavaizduoti pradinę išraišką kaip bendro veiksnio ir išraiškos skliausteliuose sandaugą, kurią sudaro pradiniai terminai be bendro veiksnio.

20 pavyzdys

Skaitmeniškai 2 7 + 2 3 galime išskirti bendrą veiksnį 2 skliaustuose ir gauti identiškai teisingą formos išraišką 2 (7 + 3).

Atitinkamoje mūsų šaltinio skiltyje galite atnaujinti atmintį apie bendro faktoriaus ištraukimo iš skliaustų taisykles. Medžiagoje išsamiai aptariamos bendro faktoriaus išėmimo iš skliaustų taisyklės ir pateikiama daug pavyzdžių.

Panašių terminų mažinimas

Dabar pereikime prie sumų, kuriose yra panašūs terminai. Čia galimi du variantai: sumos, turinčios tuos pačius terminus, ir sumos, kurių terminai skiriasi skaitiniu koeficientu. Veiksmai su sumomis, turinčiomis panašius terminus, vadinamos panašių terminų mažinimu. Tai atliekama taip: bendrosios raidės dalį dedame iš skliaustų ir apskaičiuojame skaitinių koeficientų sumą skliausteliuose.

21 pavyzdys

Apsvarstykite išraišką 1 + 4 x - 2 x. Mes galime išimti pažodinę x dalį iš skliaustų ir gauti išraišką 1 + x (4–2). Apskaičiuokime reiškinio skliausteliuose reikšmę ir gaukime formos 1 + x · 2 sumą.

Skaičių ir išraiškų pakeitimas vienodomis išraiškomis

Skaičiai ir išraiškos, sudarantys pradinę išraišką, gali būti pakeisti išraiškomis, kurios yra identiškos jiems. Tokia pradinės išraiškos transformacija veda į išraišką, kuri jai yra identiška.

22 pavyzdys 23 pavyzdys

Apsvarstykite išraišką 1 + a5, kuriame laipsnį a 5 galime pakeisti sandauga, identiška jam, pavyzdžiui, formos a 4. Tai suteiks mums išraišką 1 + 4.

Atlikta transformacija dirbtinė. Tai prasminga tik ruošiantis kitoms transformacijoms.

24 pavyzdys

Apsvarstykite sumos transformaciją 4 x 3 + 2 x 2. Čia terminas 4x3 galime reprezentuoti kaip prekę 2x2x2x. Dėl to pirminė išraiška įgauna formą 2 x 2 2 x + 2 x 2. Dabar galime išskirti bendrą veiksnį 2x2 ir išimkite jį iš skliaustų: 2 x 2 (2 x + 1).

To paties skaičiaus pridėjimas ir atėmimas

To paties skaičiaus ar išraiškos pridėjimas ir atėmimas tuo pačiu metu yra dirbtinė išraiškos transformavimo technika.

25 pavyzdys

Apsvarstykite išraišką x 2 + 2 x. Iš jo galime pridėti arba atimti vieną, o tai leis vėliau atlikti kitą identišką transformaciją - pasirinkti dvinario kvadratą: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Tegu pateikiamos dvi algebrinės išraiškos:

Sudarykite kiekvienos iš šių išraiškų verčių lentelę skirtingoms raidės x skaitinėms reikšmėms.

Matome, kad visų tų verčių, kurios buvo suteiktos raidei x, abiejų išraiškų reikšmės pasirodė vienodos. Tas pats pasakytina ir apie bet kurią kitą x reikšmę.

Norėdami tai patikrinti, transformuojame pirmąją išraišką. Remdamiesi platinimo įstatymu, rašome:

Atlikę nurodytas operacijas su skaičiais, gauname:

Taigi, pirmoji išraiška po jos supaprastinimo pasirodė lygiai tokia pati kaip ir antroji išraiška.

Dabar aišku, kad bet kuriai x reikšmei abiejų išraiškų reikšmės yra lygios.

Išraiškos, kurių reikšmės yra lygios bet kurioms juose esančių raidžių reikšmėms, vadinamos identiškai lygiomis arba identiškomis.

Vadinasi, tai identiškos išraiškos.

Pareikškime vieną svarbią pastabą. Paimkime posakius:

Sudarę lentelę, panašią į ankstesnę, įsitikinsime, kad abi išraiškos bet kuriai x reikšmei, išskyrus , turi vienodas skaitines reikšmes. Tik tada, kai antroji išraiška lygi 6, o pirmoji praranda prasmę, nes vardiklis lygus nuliui. (Prisiminkite, kad negalima dalyti iš nulio.) Ar galime sakyti, kad šios išraiškos yra identiškos?

Anksčiau sutarėme, kad kiekviena išraiška bus svarstoma tik leistinoms raidžių reikšmėms, tai yra toms reikšmėms, kurioms išraiška nepraranda savo reikšmės. Tai reiškia, kad čia, lyginant dvi išraiškas, atsižvelgiame tik į tas raidžių reikšmes, kurios galioja abiem išraiškoms. Todėl turime neįtraukti vertės. Ir kadangi visoms kitoms x reikšmėms abi išraiškos turi tą pačią skaitinę reikšmę, mes turime teisę laikyti jas identiškomis.

Remdamiesi tuo, kas buvo pasakyta, pateikiame tokį identiškų posakių apibrėžimą:

1. Išraiškos vadinamos identiškomis, jei jos turi tas pačias skaitines reikšmes visoms leistinoms į jas įtrauktų raidžių reikšmėms.

Jei du identiškos išraiškos sujungiame lygybės ženklą, gauname tapatybę. Priemonės:

2. Tapatybė yra lygybė, kuri galioja visoms leistinoms į ją įtrauktų raidžių reikšmėms.

Su tapatybėmis jau esame susidūrę anksčiau. Taigi, pavyzdžiui, visos lygybės yra tapatybės, kuriomis išreiškėme pagrindinius sudėjimo ir daugybos dėsnius.

Pavyzdžiui, lygybės, išreiškiančios komutacinį sudėjimo dėsnį

ir asociatyvinis daugybos dėsnis

galioja bet kurioms raidžių reikšmėms. Vadinasi, šios lygybės yra tapatybės.

Visos tikrosios aritmetinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis, pavyzdžiui:

Algebroje dažnai tenka pakeisti išraišką kita, kuri jai yra identiška. Tegul, pavyzdžiui, reikia rasti išraiškos reikšmę

Skaičiavimus labai palengvinsime, jei nurodytą išraišką pakeisime jai identiška išraiška. Remdamiesi paskirstymo įstatymu, galime rašyti:

Tačiau skliausteliuose esantys skaičiai sudaro 100. Taigi, turime tapatybę:

Pakeitę 6.53 vietoj a į dešinę jo pusę, iškart (galvoje) randame skaitinė reikšmė(653) šios išraiškos.

Vienos išraiškos pakeitimas kita, jai identiška, vadinamas identiška šios išraiškos transformacija.

Prisiminkite, kad bet kokia bet kokių leistinų raidžių verčių algebrinė išraiška yra tam tikra

numerį. Tai reiškia, kad visi dėsniai ir savybės galioja algebrinėms išraiškoms aritmetinės operacijos kurie buvo pateikti ankstesniame skyriuje. Taigi, taikant aritmetinių operacijų dėsnius ir savybes, tam tikra algebrinė išraiška paverčiama jai identiška išraiška.

Kartu su operacijų ir jų savybių tyrimu algebroje, jie tiria tokias sąvokas kaip išraiška, lygtis, nelygybė . Pirminė pažintis su jais vyksta pradiniame matematikos kurse. Jos įvedamos, kaip taisyklė, be griežtų apibrėžimų, dažniausiai tariamai, o tai reikalauja iš mokytojo ne tik labai atsargiai vartoti šias sąvokas reiškiančius terminus, bet ir žinoti nemažai jų savybių. Todėl pagrindinis uždavinys, kurį keliame pradėdami studijuoti šios pastraipos medžiagą, yra išsiaiškinti ir pagilinti žinias apie išraiškas (skaitines ir su kintamaisiais), skaitines lygybes ir skaitines nelygybes, lygtis ir nelygybes.

Šių sąvokų tyrimas yra susijęs su matematinės kalbos vartojimu, tai reiškia dirbtines kalbas, kurios yra kuriamos ir plėtojamos kartu su konkrečiu mokslu. Kaip ir bet kuri kita matematinė kalba, ji turi savo abėcėlę. Mūsų kurse jis bus pateiktas iš dalies, nes reikia daugiau dėmesio skirti algebros ir aritmetikos ryšiui. Ši abėcėlė apima:

1) skaičiai 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; su jų pagalba skaičiai rašomi pagal specialias taisykles;

2) operacijų požymiai +, -, , :;

3) santykių požymiai<, >, =, M;

4) lotyniškos abėcėlės mažosios raidės, jos naudojamos skaičiams žymėti;

5) skliaustai (apvalūs, garbanoti ir kt.), jie vadinami techniniais ženklais.

Naudojant šią abėcėlę, algebroje formuojami žodžiai, vadinant juos posakiais, o iš žodžių gaunami sakiniai – skaitinės lygybės, skaitinės nelygybės, lygtys, nelygybės su kintamaisiais.

Kaip žinote, įrašai 3 + 7, 24: 8, 3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2-17 skambina skaitinės išraiškos. Jie formuojami iš skaičių, veiksmo ženklų, skliaustų. Jei atliksime visus reiškinyje nurodytus veiksmus, gausime vadinamą skaičių skaitinės išraiškos reikšmė . Taigi, skaitinės išraiškos reikšmė yra 3 × 2-4 yra lygus 2.

Yra skaitinių išraiškų, kurių reikšmių nepavyksta rasti. Sakoma, kad tokie posakiai neturi prasmės .

pavyzdžiui, 8 išraiška: (4 - 4) nėra prasmės, nes jo reikšmės negalima rasti: 4 - 4 = 0, o dalyti iš nulio neįmanoma. Išraiška 7-9 taip pat neturi prasmės, jei ją atsižvelgsime į natūraliųjų skaičių aibę, nes šioje aibėje negalima rasti išraiškos 7-9 reikšmių.

Apsvarstykite žymėjimą 2a + 3. Jis sudarytas iš skaičių, veiksmo ženklų ir raidės a. Jei vietoj a pakeisime skaičius, bus gautos skirtingos skaitinės išraiškos:

jei a = 7, tai 2 × 7 + 3;

jei a = 0, tai 2 × 0 + 3;

jei a = - 4, tada 2 × (- 4) + 3.

Žymėjime 2a + 3 tokia raidė a vadinama kintamasis , o pats įrašas 2a + 3 - kintamoji išraiška.

Matematikos kintamasis, kaip taisyklė, žymimas bet kokia mažąja lotyniškos abėcėlės raide. AT pradinė mokykla kintamajam žymėti, be raidžių, naudojami ir kiti ženklai, pavyzdžiui, œ. Tada išraiška su kintamuoju turi formą: 2ל + 3.

Kiekviena išraiška su kintamuoju atitinka skaičių rinkinį, kurį pakeičiant gaunama prasminga skaitinė išraiška. Šis rinkinys vadinamas išraiškos apimtis .

Pavyzdžiui, išraiškos sritis 5: (x - 7) susideda iš visų realiųjų skaičių, išskyrus skaičių 7, nes esant x = 7 išraiška 5: (7 - 7) neturi reikšmės.

Matematikoje laikomos išraiškos, kuriose yra vienas, du ar daugiau kintamųjų.

Pavyzdžiui, 2a + 3 yra vieno kintamojo išraiška, o (3x + 8y) × 2 yra išraiška su trimis kintamaisiais. Norėdami gauti skaitinę išraišką iš išraiškos su trimis kintamaisiais, vietoj kiekvieno kintamojo pakeiskite skaičius, priklausančius išraiškos apimčiai.

Taigi, išsiaiškinome, kaip iš matematinės kalbos abėcėlės formuojamos skaitinės išraiškos ir išraiškos su kintamaisiais. Jei nubrėžtume analogiją su rusų kalba, tada posakiai yra matematinės kalbos žodžiai.

Bet naudojant matematinės kalbos abėcėlę, galima sudaryti tokius, pavyzdžiui, įrašus: (3 + 2)) - × 12 arba 3x - y: +) 8, kurio negalima vadinti nei skaitine išraiška, nei išraiška su kintamuoju. Šie pavyzdžiai rodo, kad aprašymas – iš kurių formuojami matematinių kalbos posakių abėcėlės ženklai, skaitiniai ir su kintamaisiais, nėra šių sąvokų apibrėžimas. Pateiksime skaitinės išraiškos apibrėžimą (panašiai apibrėžiama ir išraiška su kintamaisiais).

Apibrėžimas.Jei f ir q yra skaitinės išraiškos, tada (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) yra skaitinės išraiškos. Kiekvienas skaičius laikomas skaitine išraiška.

Jei šio apibrėžimo būtų laikomasi tiksliai, tada tektų rašyti per daug skliaustų, pavyzdžiui, (7) + (5) arba (6): (2). Norėdami sutrumpinti žymėjimą, sutarėme nerašyti skliaustų, jei pridedamos arba atimamos kelios išraiškos, o šios operacijos atliekamos iš kairės į dešinę. Lygiai taip pat skliaustai nerašomi, kai keli skaičiai dauginami ar dalijami, o šios operacijos atliekamos eilės tvarka iš kairės į dešinę.

pavyzdžiui, jie rašo taip: 37 - 12 + 62 - 17 + 13 arba 120:15-7:12.

Be to, susitarėme, kad pirmiausia atliksime antrojo etapo veiksmus (daugyba ir padalijimas), o po to – pirmojo etapo veiksmus (sudėti ir atimti). Todėl išraiška (12-4:3) + (5-8:2-7) rašoma taip: 12 - 4: 3 + 5 - 8: 2 - 7.

Užduotis. Raskite reiškinio 3x (x - 2) + 4 (x - 2) reikšmę, kai x = 6.

Sprendimas

1 būdas. Šioje išraiškoje vietoj kintamojo pakeiskite skaičių 6: 3 × 6-(6 - 2) + 4 × (6 - 2). Norėdami rasti gautos skaitinės išraiškos reikšmę, atliekame visus nurodytus veiksmus: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. Todėl , kada X= 6 išraiškos 3x(x-2) + 4(x-2) reikšmė yra 88.

2 būdas. Prieš pakeisdami skaičių 6 šioje išraiškoje, supaprastinkime: Zx (x - 2) + 4 (x - 2) = (X - 2) (3x + 4). Ir tada pakeiskite gautą išraišką vietoj X 6, atlikite šiuos veiksmus: (6–2) × (3 × 6 + 4) = 4x (18 + 4) = 4x22 = 88.

Atkreipkime dėmesį į tai: ir pirmuoju problemos sprendimo būdu, ir antruoju vieną posakį pakeitėme kitu.

pavyzdžiui, išraiška 18 × 4 + 4 × 4 buvo pakeista išraiška 72 + 16, o išraiška 3x (x - 2) + 4 (x - 2) - išraiška (X - 2) (3x + 4), o šie pakeitimai lemia tą patį rezultatą. Matematikoje, aprašydami šios problemos sprendimą, sakoma, kad mes atlikome identiškos transformacijos posakius.

Apibrėžimas.Sakoma, kad dvi išraiškos yra identiškos, jei bet kurioms kintamųjų reikšmėms iš posakių srities atitinkamos jų reikšmės yra lygios.

Identiškai vienodų išraiškų pavyzdžiai yra reiškiniai 5(x + 2) ir 5x+ 10, nes už bet kokias tikras vertes X jų vertės yra vienodos.

Jei dvi išraiškos, kurios yra identiškos tam tikroje aibėje, yra sujungtos lygybės ženklu, tada gauname sakinį, vadinamą tapatybę šiame rinkinyje.

pavyzdžiui, 5(x + 2) = 5x + 10 yra realiųjų skaičių aibės tapatybė, nes visų realiųjų skaičių išraiškos 5(x + 2) ir 5x + 10 reikšmės yra vienodos. Naudojant bendrąjį kvantoriaus žymėjimą, šią tapatybę galima užrašyti taip: (" x н R) 5(x + 2) = 5x + 10. Tapatybėmis laikomos ir tikrosios skaitinės lygybės.

Išreiškimo pakeitimas kita, kuri yra identiška tam tikroje aibėje, vadinama identiška duotosios išraiškos transformacija šioje aibėje.

Taigi, reiškinį 5(x + 2) pakeitę jai identiškai lygiaverte išraiška 5x + 10, atlikome identišką pirmosios išraiškos transformaciją. Bet kaip, atsižvelgiant į dvi išraiškas, sužinoti, ar jos yra vienodos, ar ne? Rasti atitinkamas išraiškų reikšmes, kintamuosius pakeisdami tam tikrais skaičiais? Ilgai ir ne visada įmanoma. Bet tada kokių taisyklių reikia laikytis atliekant identiškas išraiškų transformacijas? Šių taisyklių yra daug, tarp jų yra algebrinių operacijų savybės.

Užduotis. Išreiškimo koeficientas ax - bx + ab - b 2 .

Sprendimas. Sugrupuokime šios išraiškos narius į dvi dalis (pirmasis su antruoju, trečiasis su ketvirtuoju): ax - bx + ab - b 2 \u003d (ax-bx) + (ab-b 2). Ši transformacija įmanoma remiantis realiųjų skaičių asociatyvumo savybe.

Iš kiekvienos skliaustos išimame bendrą gautos išraiškos koeficientą: (ax - bx) + (ab - b 2) \u003d x (a - b) + b (a - b) - ši transformacija galima remiantis skirstomuoju daugybos savybė realiųjų skaičių atėmimo atžvilgiu.

Gautoje išraiškoje terminai turi bendrą koeficientą, išimame jį iš skliaustų: x (a - b) + b (a - b) \u003d (a - b) (x - b). Atliktos transformacijos pagrindas yra daugybos skirstomoji savybė sudėjimo atžvilgiu.

Taigi, ax - bx + ab - b 2 \u003d (a - b) (x - b).

Pradiniame matematikos kurse, kaip taisyklė, atliekamos tik identiškos skaitinių išraiškų transformacijos. Teorinis pagrindas Tokios transformacijos yra sudėties ir daugybos savybės, įvairios taisyklės: sumos pridėjimas prie skaičiaus, skaičiaus prie sumos, skaičiaus atėmimas iš sumos ir kt.

pavyzdžiui, norėdami rasti sandaugą 35 × 4, turite atlikti transformacijas: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. Atliktos transformacijos grindžiamos: daugybos skirstomąją savybę sudėjimo atžvilgiu; skaičių rašymo dešimtainėje skaičių sistemoje principas (35 = 30 + 5); natūraliųjų skaičių daugybos ir sudėties taisyklės.

Skaičiai ir išraiškos, sudarantys pradinę išraišką, gali būti pakeisti išraiškomis, kurios yra identiškos jiems. Tokia pradinės išraiškos transformacija veda į išraišką, kuri jai yra identiška.

Pavyzdžiui, reiškinyje 3+x skaičius 3 gali būti pakeistas suma 1+2 , todėl gaunama išraiška (1+2)+x , kuri yra identiška pradinei išraiškai. Kitas pavyzdys: reiškinyje 1+a 5 laipsnio a 5 laipsnį galima pakeisti jam identiškai lygiaverte sandauga, pavyzdžiui, formos a·a 4 . Taip gausime išraišką 1+a·a 4 .

Ši transformacija neabejotinai yra dirbtinė ir dažniausiai yra pasiruošimas tam tikram tolimesniam pokyčiui. Pavyzdžiui, sumoje 4·x 3 +2·x 2 , atsižvelgiant į laipsnio savybes, terminas 4·x 3 gali būti pavaizduotas sandauga 2·x 2 ·2·x . Po tokios transformacijos pradinė išraiška bus 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Akivaizdu, kad terminai gautoje sumoje turi bendrą koeficientą 2 x 2, todėl galime atlikti tokią transformaciją – skliausteliuose. Po jo prieisime prie išraiškos: 2 x 2 (2 x+1) .

To paties skaičiaus pridėjimas ir atėmimas

Kita dirbtinė transformacija išraiška yra to paties skaičiaus ar išraiškos pridėjimas ir vienalaikis atėmimas. Tokia transformacija yra identiška, nes iš tikrųjų ji prilygsta nulio pridėjimui, o pridėjus nulį reikšmės nekeičiama.

Apsvarstykite pavyzdį. Paimkime išraišką x 2 +2 x . Jei prie jo pridėsite vieną, o kitą atimsite, tai leis ateityje atlikti dar vieną identišką transformaciją - pasirinkite dvinario kvadratą: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1-1=(x+1) 2 -1.

Bibliografija.

• Algebra: vadovėlis 7 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 17 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 240 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: vadovėlis 8 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 7 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich. - 17 leidimas, pridėti. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-02432-3.