Atstumas nuo linijos iki linijos koordinačių metodo. Atstumas nuo taško iki tiesės erdvėje - teorija, pavyzdžiai, sprendimai. Taško projekcijos koordinatės ir atstumas

Formulė, skirta apskaičiuoti atstumą nuo taško iki tiesios plokštumos

Jei pateikiama tiesės Ax + By + C \u003d 0 lygtis, atstumą nuo taško M (M x, M y) iki tiesės galima rasti naudojant šią formulę

Užduočių, kaip apskaičiuoti atstumą nuo taško iki tiesės plokštumoje, pavyzdžiai

1 pavyzdys.

Raskite atstumą tarp tiesės 3x + 4y - 6 \u003d 0 ir taško M (-1, 3).

Sprendimas. Formulėje pakeiskite tiesės koeficientus ir taško koordinates

Atsakymas: atstumas nuo taško iki tiesės yra 0,6.

plokštumos, einančios per taškus, statmenus vektoriui, lygtis Bendroji plokštumos lygtis

Vadinamas ne nulinis vektorius, statmenas tam tikrai plokštumai normalus vektorius (arba, trumpai tariant, normalus ) šiam lėktuvui.

Tegul bus nurodyta koordinačių erdvė (stačiakampėje koordinačių sistemoje):

taškas ;

b) nulis vektorius (4.8 pav., a).

Reikia parengti per tašką einančios plokštumos lygtį statmena vektoriui Įrodymo pabaiga.

Dabar apsvarstykime įvairių tipų tiesiosios plokštumos lygtis.

1) Bendroji plokštumos lygtisP .

Iš lygties išvedimo išplaukia, kad vienu metu A, B ir C nelygus 0 (paaiškinkite kodėl).

Taškas priklauso plokštumai P tik tuo atveju, jei jo koordinatės tenkina plokštumos lygtį. Priklausomai nuo šansų A, B, C ir Dlėktuvas P užima vieną ar kitą poziciją:

- plokštuma eina per koordinačių sistemos pradinę vietą, - plokštuma nepraeina pro koordinačių sistemos pradžią,

- plokštuma yra lygiagreti ašiai X,

X,

- plokštuma yra lygiagreti ašiai Y,

- plokštuma nėra lygiagreti ašiai Y,

- plokštuma yra lygiagreti ašiai Z,

- plokštuma nėra lygiagreti ašiai Z.

Įrodykite šiuos teiginius patys.

(6) lygtis lengvai gaunama iš (5) lygties. Iš tiesų tegul taškas guli lėktuve P... Tada jo koordinatės tenkina lygtį. Iš (5) lygties atėmus (7) lygtį ir sugrupavus terminus, gauname (6) lygtį. Dabar apsvarstykite du vektorius, kurių koordinatės yra atitinkamos. Iš formulės (6) darytina išvada, kad jų skaliarinis sandauga lygi nuliui. Todėl vektorius yra statmenas vektoriui. Paskutinio vektoriaus pradžia ir pabaiga yra atitinkamai taškuose, kurie priklauso plokštumai P... Todėl vektorius yra statmenas plokštumai P... Atstumas nuo taško iki plokštumos P, kurio bendra lygtis yra nustatoma pagal formulę Šios formulės įrodymas yra visiškai analogiškas atstumo tarp taško ir tiesės formulės įrodymui (žr. 2 pav.).
Paveikslėlis: 2. Į atstumo tarp plokštumos ir tiesės formulės išvedimą.

Iš tiesų, atstumas d tarp tiesios ir plokštumos yra

kur yra taškas, gulintis lėktuve. Taigi, kaip ir paskaitoje Nr. 11, gaunama aukščiau pateikta formulė. Dvi plokštumos yra lygiagrečios, jei jų įprasti vektoriai yra lygiagretūs. Iš to gauname dviejų plokštumų lygiagretumo sąlygą Ar yra plokščių lygčių koeficientai. Dvi plokštumos yra statmenos, jei jų įprasti vektoriai yra statmeni, taigi mes gauname dviejų plokštumų statmenumo sąlygą, jei žinomos jų bendrosios lygtys

Kampas f tarp dviejų plokštumų yra lygus kampui tarp jų įprastų vektorių (žr. 3 pav.), todėl jį galima apskaičiuoti pagal formulę
Kampo tarp plokštumų nustatymas.

(11)

Atstumas nuo taško iki plokštumos ir jo suradimo būdai

Atstumas nuo taško iki lėktuvas - statmens ilgis, nukritęs nuo taško ant šios plokštumos. Yra bent du būdai, kaip rasti atstumą nuo taško iki plokštumos: geometrinis ir algebrinė.

Su geometriniu metodu pirmiausia turite suprasti, kaip statmena yra taške į plokštumą: galbūt jis slypi kokioje nors patogioje plokštumoje, ar aukštis yra kokiame nors patogiame (ar ne tokiame) trikampyje, o gal šis statmenas paprastai yra kai kurios piramidės aukštis.

Po šio pirmo ir sunkiausio etapo užduotis suskirstoma į keletą konkrečių planimetrinių užduočių (galbūt skirtingose \u200b\u200bplokštumose).

Algebriniu būdu norint rasti atstumą nuo taško iki plokštumos, reikia įvesti koordinačių sistemą, surasti taško koordinates ir plokštumos lygtį, o tada taikyti atstumo nuo taško iki plokštumos formulę.

Apsvarstykite analizuojamų metodų taikymą ieškant atstumo nuo tam tikro taško iki tam tikros tiesios plokštumos plokštumos, kai sprendžiate pavyzdį.

Raskite atstumą nuo taško iki tiesės:

Pirmiausia išspręskime problemą pirmuoju būdu.

Esant uždavinio sąlygai, mums suteikiama bendra formos tiesės a lygtis:

Raskime bendrą tiesės b tiesę, einančią per tam tikrą tašką statmeną tiesei:

Kadangi tiesė b yra statmena tiesei a, linijos b krypties vektorius yra normalus nurodytos tiesės vektorius:

tai yra tiesės b krypties vektorius turi koordinates. Dabar galime parašyti tiesiosios b tiesės kanoninę lygtį plokštumoje, nes žinome taško М 1, per kurį eina tiesė, koordinates ir tiesės b krypties vektoriaus koordinates:

Iš gautos tiesinės b tiesinės kanoninės lygties pereiname prie bendros tiesės lygties:

Dabar mes rasime tiesių a ir b susikirtimo taško koordinates (pažymėkime H 1), išspręsdami lygčių sistemą, susidedančią iš bendrų tiesių a ir b tiesių lygčių (jei reikia, žr. Straipsnio sprendimo sistemas) tiesinės lygtys):

Taigi taškas H 1 turi koordinates.

Belieka apskaičiuoti reikiamą atstumą nuo taško M 1 iki linijos a kaip atstumą tarp taškų ir:

Antrasis problemos sprendimo būdas.

Gauname normalią duotosios tiesės lygtį. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame normalizuojančio koeficiento vertę ir padauginame iš jos abi pradinės bendrosios tiesės lygties puses:

(mes apie tai kalbėjome skyriuje apie bendrosios tiesės lygties sumažinimą iki normalios formos).

Normalizuojantis faktorius yra

tada normali tiesės lygtis turi formą:

Dabar paimame gautos tiesiosios linijos normaliosios lygties kairės pusės išraišką ir apskaičiuojame jos vertę:

Reikalingas atstumas nuo tam tikro taško iki tam tikros tiesės:

vienodai absoliučioji vertė gautą vertę, tai yra penkis ().

atstumas nuo taško iki linijos:

Akivaizdu, kad metodo pranašumas norint rasti atstumą nuo taško iki tiesės plokštumoje, remiantis įprasta tiesės lygtimi, yra palyginti mažesnis skaičiavimo darbas. Savo ruožtu pirmasis atstumo nuo taško iki tiesės nustatymo metodas yra intuityvus, nuoseklus ir logiškas.

Stačiakampė koordinačių sistema „Oxy“ yra fiksuota plokštumoje, nurodomas taškas ir tiesė:

Raskite atstumą nuo tam tikro taško iki tam tikros tiesės.

Pirmasis būdas.

Galite pereiti nuo nurodytos tiesės su nuolydžiu lygties prie bendros šios tiesės lygties ir tęsti taip pat, kaip aukščiau aptartame pavyzdyje.

Bet jūs galite padaryti kitaip.

Mes žinome, kad statmenų linijų nuolydžių sandauga yra 1 (žr. Straipsnį statmenos linijos, statmenos linijos). Todėl tiesios linijos, statmenos tam tikrai tiesei, nuolydis:

yra lygus 2. Tada tiesės, statmenos tam tikrai tiesei ir einančios per tašką, lygtis yra tokia:

Dabar rasime taško H 1 koordinates - tiesių susikirtimo taškus:

Taigi reikiamas atstumas nuo taško iki tiesės:

yra lygus atstumui tarp taškų ir:

Antrasis būdas.

Pereikime iš nurodytos tiesės su nuolydžiu lygties į įprastą šios tiesės lygtį:

normalizuojantis koeficientas yra:

todėl įprasta tam tikros tiesės lygtis yra tokia:

Dabar apskaičiuojame reikiamą atstumą nuo taško iki tiesės:

Apskaičiuokite atstumą nuo taško iki tiesės:

ir tiesiai:

Gauname normalią tiesės lygtį:

Dabar apskaičiuokime atstumą nuo taško iki tiesės:

Tiesiosios tiesės lygties normalizuojantis koeficientas:

yra lygus 1. Tada šios tiesės normali lygtis yra tokia:

Dabar galime apskaičiuoti atstumą nuo taško iki tiesės:

tai lygu.

Atsakymas: ir 5.

Apibendrindami mes atskirai svarstome, kaip randamas atstumas nuo tam tikro plokštumos taško iki koordinačių tiesių Ox ir Oy.

Stačiakampėje koordinačių sistemoje „Oxy“ koordinačių tiesė Oy pateikiama nebaigta tiesės x \u003d 0 bendra lygtimi, o koordinačių tiesė Ox - lygybe y \u003d 0. Šios lygtys yra normaliosios lygtys linijos Oy ir Ox, todėl atstumas nuo taško iki šių tiesių apskaičiuojamas pagal formules:

atitinkamai.

5 paveikslas

Stačiakampė koordinačių sistema Oxy įvedama plokštumoje. Raskite atstumus nuo taško iki koordinačių linijų.

Atstumas nuo tam tikro taško M 1 iki koordinačių tiesės Ox (ją pateikia lygybė y \u003d 0) yra lygus taško M 1 ordinatės moduliui, tai yra.

Atstumas nuo nurodyto taško M 1 iki koordinačių tiesės Oy (tai atitinka x \u003d 0 lygtį) yra lygus taško M 1 absceso absoliučiai vertei.

Atsakymas: atstumas nuo taško М 1 iki linijos Ox yra 6, o atstumas nuo tam tikro taško iki koordinačių linijos Oy yra lygus.

Tegul stačiakampė koordinačių sistema užfiksuojama trimatėje erdvėje Oxyz, duotas taškas, tiesus a ir reikia rasti atstumą nuo taško IR tiesiai a.

Parodysime du būdus, kaip apskaičiuoti atstumą nuo taško iki tiesės erdvėje. Pirmuoju atveju ieškant atstumo nuo taško M 1 tiesiai a sumažėja iki atstumo nuo taško radimo M 1 iki taško H 1 kur H 1 - statmens pagrindas nukrito nuo taško M 1 tiesia linija a... Antruoju atveju atstumas nuo taško iki plokštumos bus nustatytas kaip lygiagretainio aukštis.

Taigi pradėkime.

Pirmasis būdas rasti atstumą nuo taško iki linijos a erdvėje.

Kadangi pagal apibrėžimą atstumas nuo taško M 1 tiesiai a Ar statmens ilgis M 1 H 1 , tada, nustačius taško koordinates H 1 , galėsime apskaičiuoti reikiamą atstumą kaip atstumą tarp taškų ir pagal formulę.

Taigi problema sumažėja iki statmenos, sukonstruotos iš taško, pagrindo koordinačių radimo M 1 tiesiai a... Tai pakankamai lengva: taškas H 1 Ar tiesiosios linijos susikirtimo taškas a per tašką einančia plokštuma M 1 statmena tiesiai a.

Taigi, atstumo nuo taško nustatymo algoritmas tiesiaia kosmosear tai:

Antrasis metodas leidžia jums rasti atstumą nuo taško iki tiesės a erdvėje.

Kadangi problemos teiginyje mums pateikiama tiesi linija a, tada galime apibrėžti jo krypties vektorių ir tam tikro taško koordinatės M 3 gulėdamas tiesia linija a... Tada taškų koordinatės ir galime apskaičiuoti vektoriaus koordinates: (jei reikia, nurodykite vektoriaus straipsnio koordinates per jo pradžios ir pabaigos taškų koordinates).

Atidėkite vektorius ir nuo taško M 3 ir pastatykite ant jų lygiagretainį. Šiuo lygiagretainiu brėžiame aukštį M 1 H 1 .

Akivaizdu, kad aukštis M 1 H 1 sukonstruoto lygiagretainio plotas yra lygus reikalingam atstumui nuo taško M 1 tiesiai a... Rasime.

Viena vertus, lygiagretainio plotas (jį žymime S) galima rasti pagal vektorių vektorių sandaugą ir pagal formulę ... Kita vertus, lygiagretainio plotas yra lygus jo šono ilgio ir aukščio sandaugai, tai yra, kur - vektoriaus ilgis lygus nagrinėjamo lygiagretainio kraštinės ilgiui. Todėl atstumas nuo tam tikro taško M 1 iki tam tikros tiesės a galima rasti iš lygybės kaip .

Taigi, rasti atstumą nuo taško tiesiaia jums reikalingoje erdvėje

Problemų sprendimas, ieškant atstumo nuo tam tikro taško iki tam tikros tiesės erdvėje.

Panagrinėkime pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Raskite atstumą nuo taško tiesiai .

Sprendimas.

Pirmasis būdas.

Parašykime per tašką einančios plokštumos lygtį M 1 statmena tam tikrai tiesei:

Raskite taško koordinates H 1 - plokštumos ir tam tikros tiesės susikirtimo taškai. Norėdami tai padaryti, mes atliekame perėjimą nuo kanoninės lygtys dviejų tiesių plokštumų lygčių tiesė

po kurio mes išspręsime tiesinių lygčių sistemą cramerio metodas:

Taigi,.

Belieka apskaičiuoti reikiamą atstumą nuo taško iki tiesės kaip atstumą tarp taškų ir:

Antrasis būdas.

Skaičiai tiesiosios linijos kanoninėse lygtyse esančių trupmenų vardikliuose nurodo atitinkamas šios tiesės krypties vektoriaus koordinates, t. - tiesiosios linijos nukreipimo vektorius ... Apskaičiuokime jo ilgį: .

Akivaizdu, kad tiesi linija eina per tašką , tada vektorius pradedamas nuo taško ir baigiasi taške yra ... Raskite vektorių vektorių sandaugą ir :
tada šio kryžminio produkto ilgis yra .

Dabar mes turime visus duomenis, kad galėtume naudoti formulę atstumui nuo tam tikro taško iki tam tikros plokštumos apskaičiuoti: .

Atsakymas:

Abipusis tiesių linijų išdėstymas erdvėje

OoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooTodėl pereisime prie pirmojo skyriaus, tikiuosi, kad iki straipsnio pabaigos išlaikysiu linksmą mintį.

Santykinė dviejų tiesių padėtis

Tas atvejis, kai publika dainuoja kartu su choru. Dvi tiesios linijos gali:

1) degtukas;

2) būti lygiagreti :;

3) arba susikerta viename taške:.

Pagalba manekenams : prašau prisiminti matematinį sankryžos ženklą, jis bus labai dažnas. Žymėjimas rodo, kad tiesė tiese kerta tiesę.

Kaip nustatyti santykinę dviejų tiesių padėtį?

Pradėkime nuo pirmo atvejo:

Dvi tiesios sutampa tada ir tik tuo atveju, jei jų atitinkami koeficientai yra proporcingi, tai yra, yra toks skaičius "lambda", kad lygybės

Apsvarstykite tiesias linijas ir sudarykite tris lygtis iš atitinkamų koeficientų: Iš kiekvienos lygties matyti, kad šios eilutės sutampa.

Iš tiesų, jei visi lygties koeficientai padauginkite iš –1 (pakeiskite ženklus) ir sumažinkite visus lygties koeficientus iš 2, tada gausite tą pačią lygtį:.

Antrasis atvejis, kai linijos yra lygiagrečios:

Dvi tiesios yra lygiagrečios tik tada, kai jų kintamųjų koeficientai yra proporcingi: bet.

Apsvarstykite dvi eilutes. Mes tikriname kintamųjų atitinkamų koeficientų proporcingumą:

Tačiau tai visiškai aišku.

Trečias atvejis, kai linijos susikerta:

Dvi tiesios susikerta tik tada, kai jų kintamųjų koeficientai NE proporcingi, tai yra, NĖRA tokios „lambda“ vertės, kad būtų lygios

Taigi tiesioms linijoms sukursime sistemą:

Iš pirmosios lygties išplaukia, kad ir iš antrosios lygties: sistema nenuosekli (jokių sprendimų). Taigi kintamųjų koeficientai nėra proporcingi.

Išvada: linijos susikerta

Esant praktinėms problemoms, galite naudoti ką tik svarstytą sprendimo schemą. Beje, jis labai panašus į vektorių kolinearumo tikrinimo algoritmą, kurį mes svarstėme pamokoje Vektorių tiesinės (ne) priklausomybės samprata. Vektorinis pagrindas... Tačiau yra labiau civilizuota pakuotė:

1 pavyzdys

Sužinokite santykinę tiesių linijų padėtį:

Sprendimas remiantis tiesių linijų krypties vektorių tyrimu:

a) Iš lygčių randame tiesių linijų krypties vektorius: .

, todėl vektoriai nėra kolinearūs, o linijos susikerta.

Tik tam atvejui kryžkelėje pastatysiu akmenį su rodyklėmis:

Likusieji šokinėja per akmenį ir eina toliau tiesiai į Nemirtingąjį Kashchei \u003d)

b) Raskite tiesių linijų krypties vektorius:

Linijos turi tą patį krypties vektorių, o tai reiškia, kad jos yra lygiagrečios arba sutampa. Čia nereikia skaičiuoti determinanto.

Akivaizdu, kad nežinomiems koeficientai yra proporcingi, o.

Išsiaiškinkime, ar lygybė teisinga:

Taigi,

c) Raskite tiesių linijų krypties vektorius:

Apskaičiuokime determinantą, susidedantį iš šių vektorių koordinačių:
taigi krypties vektoriai yra kolinearūs. Linijos yra lygiagrečios arba sutampa.

Proporcingumo koeficientą „lambda“ lengva pamatyti tiesiogiai iš kolinearinės krypties vektorių santykio. Tačiau tai taip pat galima rasti naudojant pačių lygčių koeficientus: .

Dabar išsiaiškinkime, ar lygybė teisinga. Abi nemokamos sąlygos yra lygios nuliui, taigi:

Gauta vertė atitinka šią lygtį (bet koks skaičius ją paprastai tenkina).

Taigi, eilutės sutampa.

Atsakymas:

Labai greitai sužinosite (ar net jau išmokote), kaip pažodžiui svarstomą problemą išspręsti pažodžiui per kelias sekundes. Šiuo atžvilgiu nematau pagrindo siūlyti ką nors savarankiškam sprendimui, geriau geometriniame pamate pakloti dar vieną svarbią plytą:

Kaip nutiesti tiesę, lygiagrečią tam tikrai?

Už nežinojimą apie šią paprasčiausią užduotį plėšikas Lakštingala griežtai baudžia.

2 pavyzdys

Tiesią liniją pateikia lygtis. Sulyginkite lygiagrečią tiesę, einančią per tašką.

Sprendimas: Pažymėkime nežinomą tiesioginį laišką. Ką apie ją sako būklė? Tiesi linija eina per tašką. Ir jei tiesės yra lygiagrečios, tada akivaizdu, kad tiesiosios tiesės „tse“ nukreipimo vektorius taip pat tinka tiesiai „de“ konstruoti.

Iš lygties paimame krypties vektorių:

Atsakymas:

Pavyzdžio geometrija atrodo paprasta:

Analitinį patikrinimą sudaro šie veiksmai:

1) Patikrinkite, ar tiesios linijos turi tą patį krypties vektorių (jei tiesės linija nėra tinkamai supaprastinta, vektoriai bus kolinearūs).

2) Patikrinkite, ar taškas atitinka gautą lygtį.

Analitinę apžvalgą daugeliu atvejų lengva atlikti žodžiu. Pažvelkite į dvi lygtis ir daugelis iš jūsų greitai supras tiesių linijų lygiagretumą be jokio piešinio.

Šiandien savęs sprendimo pavyzdžiai bus kūrybingi. Nes jūs vis tiek turite konkuruoti su Baba Yaga, o ji, žinote, yra visokių mįslių mėgėja.

3 pavyzdys

Padarykite tiesės, einančios per tašką, lygiagrečią tiesei, lygtį, jei

Yra racionalus ir nelabai racionalus sprendimas. Trumpiausias kelias yra pamokos pabaigoje.

Mes šiek tiek dirbome lygiagrečiomis linijomis ir grįšime prie jų vėliau. Sutapusių tiesių atvejis mažai domina, todėl apsvarstykite jums gerai žinomą problemą mokyklos programa:

Kaip rasti dviejų tiesių susikirtimo tašką?

Jei tiesiai susikerta taške, tada jo koordinatės yra sprendimas tiesinių lygčių sistemos

Kaip rasti tiesių susikirtimo tašką? Išspręskite sistemą.

Tiek jūsų geometrinė dviejų tiesinių lygčių dviejų nežinomųjų sistemos prasmė Yra dvi susikertančios (dažniausiai) tiesios plokštumos plokštumos.

4 pavyzdys

Raskite tiesių susikirtimo tašką

Sprendimas: Yra du sprendimo būdai - grafinis ir analitinis.

Grafinis būdas yra tiesiog nubrėžti duomenų linijas ir sužinoti sankirtos tašką tiesiai iš piešinio:

Štai mūsų mintis: Norėdami jį patikrinti, kiekvienoje tiesės lygtyje turėtumėte pakeisti jo koordinates, jos turėtų tilpti ir ten, ir ten. Kitaip tariant, taško koordinatės yra sistemos sprendimas. Iš esmės mes pažvelgėme į grafinį sprendimo būdą tiesinių lygčių sistemos su dviem lygtimis, dviem nežinomais.

Grafinis metodas, žinoma, nėra blogas, tačiau yra pastebimų trūkumų. Ne, esmė ne ta, kad septintokai taip nusprendžia, esmė yra ta, kad prireiks laiko, kol gausime teisingą ir TIKSLŲ piešinį. Be to, kai kurias tiesias linijas nėra taip lengva pastatyti, o pats sankirtos taškas gali būti kažkur trisdešimt karalystėje už sąsiuvinio lapo.

Todėl tikslingiau susikirtimo taško ieškoti taikant analitinį metodą. Išspręskime sistemą:

Sistemai išspręsti buvo naudojamas lygčių pridėjimo terminas pagal terminą metodas. Apsilankykite pamokoje, kad sukurtumėte svarbių įgūdžių. Kaip išspręsti lygčių sistemą?

Atsakymas:

Patikrinimas yra nereikšmingas - sankirtos taško koordinatės turi atitikti visas sistemos lygtis.

5 pavyzdys

Raskite tiesių susikirtimo tašką, jei jie susikerta.

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Patogu padalinti užduotį į kelis etapus. Būklės analizė rodo, ko reikia:
1) Padarykite tiesios linijos lygtį.
2) Padarykite tiesios linijos lygtį.
3) Sužinokite santykinę tiesių linijų padėtį.
4) Jei tiesės susikerta, tada raskite susikirtimo tašką.

Veiksmų algoritmo sukūrimas yra būdingas daugeliui geometrinių problemų, ir aš tai sutelksiu pakartotinai.

Išsamus sprendimas ir atsakymą pamokos pabaigoje:

Batų pora dar nėra susidėvėjusi, nes patekome į antrą pamokos skyrių:

Statmenos tiesios linijos. Atstumas nuo taško iki linijos.
Kampas tarp tiesių linijų

Pradėkime nuo tipiškos ir labai svarbios užduoties. Pirmoje dalyje mes sužinojome, kaip nutiesti tiesią liniją lygiagrečiai šiai, o dabar namelis ant vištienos kojų pasisuks 90 laipsnių kampu:

Kaip pastatyti tiesę statmenai tam tikrai linijai?

6 pavyzdys

Tiesią liniją pateikia lygtis. Per tašką prilyginkite statmeną tiesę.

Sprendimas: Pagal sąlygą tai žinoma. Būtų malonu rasti tiesios krypties vektorių. Kadangi linijos yra statmenos, triukas yra paprastas:

Iš lygties "pašalinkite" įprastą vektorių :, kuris bus tiesios linijos krypties vektorius.

Sudarykime tiesės ir taško ir krypties vektoriaus lygtį:

Atsakymas:

Išplėskime geometrinį eskizą:

Hmmm ... Oranžinis dangus, oranžinė jūra, oranžinis kupranugaris.

Analitinis tirpalo patikrinimas:

1) Iš lygčių išimkite krypties vektorius ir su pagalba taškinis vektorių sandauga mes prieiname išvadą, kad tiesios linijos iš tiesų yra statmenos:

Beje, galite naudoti įprastus vektorius, tai dar lengviau.

2) Patikrinkite, ar taškas atitinka gautą lygtį .

Čekį vėlgi lengva atlikti žodžiu.

7 pavyzdys

Raskite statmenų tiesių susikirtimo tašką, jei lygtis žinoma ir taškas.

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Užduotyje yra keli veiksmai, todėl patogu parengti sprendimą po taško.

Mūsų įdomi kelionė tęsiasi:

Atstumas nuo taško iki linijos

Prieš mus yra tiesi upės juosta ir mūsų užduotis yra ją pasiekti trumpiausiu keliu. Jokių kliūčių nėra, o optimaliausias maršrutas bus judėjimas statmenu. Tai yra, atstumas nuo taško iki tiesės yra statmenos tiesės ilgis.

Atstumas geometrijoje tradiciškai žymimas graikiška raide „ro“, pavyzdžiui: - atstumas nuo taško „em“ iki tiesės „de“.

Atstumas nuo taško iki linijos išreikšta formule

8 pavyzdys

Raskite atstumą nuo taško iki linijos

Sprendimas: viskas, ko jums reikia, yra atsargiai pakeisti skaičius į formulę ir atlikti skaičiavimus:

Atsakymas:

Vykdykime piešinį:

Atstumas nuo taško iki rastos tiesės yra tiksliai raudonos linijos ilgis. Jei piešiate piešinį ant languoto popieriaus, kurio skalė yra 1 vienetas. \u003d 1 cm (2 langeliai), tada atstumą galima išmatuoti įprastu liniuote.

Apsvarstykite kitą to paties projekto užduotį:

Užduotis yra surasti taško, simetriško taškui, tiesės atžvilgiu, koordinates ... Siūlau atlikti veiksmus pats, bet išdėstysiu sprendimo algoritmą su tarpiniais rezultatais:

1) Raskite tiesę, statmeną tiesei.

2) Raskite tiesių susikirtimo tašką: .

Abu pamokos yra išsamiai aprašytos šioje pamokoje.

3) Taškas yra tiesės atkarpos vidurio taškas. Mes žinome vidurio ir vieno galo koordinates. Iki segmento vidurio taško koordinačių formulės mes randame.

Nebus nereikalinga patikrinti, ar atstumas taip pat yra 2,2 vieneto.

Čia gali kilti sunkumų atliekant skaičiavimus, tačiau bokšte labai padeda mikro skaičiuoklė, leidžianti suskaičiuoti įprastas trupmenas. Pakartotinai patarė, patars ir dar kartą.

Kaip rasti atstumą tarp dviejų lygiagrečių tiesių?

9 pavyzdys

Raskite atstumą tarp dviejų lygiagrečių tiesių

Tai dar vienas nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Leiskite jums pasakyti šiek tiek užuominos: yra be galo daug būdų tai išspręsti. Pranešimas pamokos pabaigoje, bet geriau pabandykite atspėti patys, manau, kad jūsų išradingumas buvo išsklaidytas gana gerai.

Kampas tarp dviejų tiesių

Kiekvienas kampas yra staktos:


Geometrijoje kampas tarp dviejų tiesių yra laikomas mažiausiu kampu, iš kurio automatiškai išplaukia, kad jis negali būti tylus. Paveiksle raudonu lanku nurodytas kampas nelaikomas kampu tarp susikertančių tiesių. Ir jo „žalias“ kaimynas laikomas tokiu, arba priešingai orientuota „Crimson“ kampelis.

Jei tiesios linijos yra statmenos, bet kurį iš 4 kampų galima laikyti kampu tarp jų.

Kuo skiriasi kampai? Orientacija. Pirma, pagrindinė reikšmė yra kampo „slinkimo“ kryptis. Antra, neigiamai orientuotas kampas rašomas su minuso ženklu, pavyzdžiui, jei.

Kodėl aš tai sakiau? Atrodo, kad galite susitvarkyti su įprasta kampo koncepcija. Faktas yra tas, kad formulėse, pagal kurias rasime kampus, galite lengvai gauti neigiamą rezultatą, ir tai neturėtų jūsų nustebinti. Kampas su minuso ženklu nėra blogesnis ir turi labai specifinę geometrinę prasmę. Piešinyje, jei norite neigiamą kampą, būtinai nurodykite jo orientaciją rodykle (pagal laikrodžio rodyklę).

Kaip rasti kampą tarp dviejų tiesių? Yra dvi darbo formulės:

10 pavyzdys

Raskite kampą tarp tiesių

Sprendimas ir Pirmasis metodas

Apsvarstykite dvi tieses, pateiktas lygčių bendroje formoje:

Jei tiesiai nėra statmenatada orientuotas kampą tarp jų galima apskaičiuoti pagal formulę:

Atkreipkime dėmesį į vardiklį - būtent taip skaliarinis produktas tiesių linijų krypties vektoriai:

Jei, tada formulės vardiklis išnyksta, o vektoriai bus stačiakampiai, o tiesios bus statmenos. Štai kodėl formuluotėje buvo daroma išlyga dėl tiesių linijų neprikertimo.

Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, patogu išdėstyti sprendimą dviem etapais:

1) Apskaičiuokite tiesių linijų krypties vektorių skaliarinį sandaugą:
, todėl tiesios linijos nėra statmenos.

2) Kampas tarp tiesių randamas pagal formulę:

Per atvirkštinė funkcija patį kampą lengva rasti. Šiuo atveju mes naudojame arktangento keistumą (žr. Pagrindinių funkcijų grafikai ir savybės):

Atsakymas:

Atsakyme nurodome tikslią vertę, taip pat apytikslę vertę (pageidautina tiek laipsniais, tiek radianais), apskaičiuotą naudojant skaičiuoklę.

Na, minusas, taigi minusas, viskas gerai. Štai geometrinė iliustracija:

Nenuostabu, kad pasirodė, kad kampas turi neigiamą orientaciją, nes problemos teiginyje pirmasis skaičius yra tiesi linija ir juo prasidėjo kampo „sukimas“.

Jei tikrai norite gauti teigiamą kampą, turite sukeisti tiesias linijas, ty paimti koeficientus iš antrosios lygties , o koeficientai paimti iš pirmosios lygties. Trumpai tariant, jūs turite pradėti nuo tiesios linijos .

Koordinatės metodas (atstumas tarp taško ir plokštumos, tarp tiesių)

Atstumas tarp taško ir plokštumos.

Atstumas tarp taško ir tiesės.

Atstumas tarp dviejų tiesių.

Pirmiausia naudinga žinoti, kaip rasti atstumą nuo taško iki plokštumos:

A, B, C, D vertės - plokštumos koeficientai

x, y, z - taškų koordinatės

Užduotis. Raskite atstumą tarp taško A \u003d (3; 7; −2) ir plokštumos 4x + 3y + 13z - 20 \u003d 0.

Viskas duota, jūs galite nedelsdami pakeisti reikšmes į lygtį:

Užduotis. Raskite atstumą nuo taško K \u003d (1; −2; 7) iki tiesės, einančios per taškus V \u003d (8; 6; −13) ir T \u003d (−1; −6; 7).

1. Raskite tiesios linijos vektorių.
2. Apskaičiuojame vektorių, einantį per norimą tašką ir bet kurį tiesės tašką.
   
3. Mes nustatome matricą ir nustatome determinantą pagal du gautus vektorius 1 ir 2 taškuose.
4. Atstumą gauname, kai kvadratinė šaknis iš matricos koeficientų kvadratų sumos padalijame iš vektoriaus, apibrėžiančio tiesę, ilgio(Manau, kad tai nėra aišku, todėl pereikime prie konkretaus pavyzdžio).

1) TV \u003d (8 - (- 1); 6 - (- 6); -13-7) \u003d (9; 12; −20)

2) Vektorius randamas per taškus K ir T, nors vektorių būtų galima rasti per K ir V ar bet kurį kitą duotos tiesės tašką.

TK \u003d (1 - (- 1); -2 - (- 6); 7-7) \u003d (2; 4; 0)

3) Gauname m matricą be koeficiento D (čia jo nereikia tirpalui):

4) plokštuma pasirodė su koeficientais A \u003d 80, B \u003d 40, C \u003d 12,

x, y, z - linijos vektoriaus koordinatės, šiuo atveju - vektoriaus TV turi koordinates (9; 12; −20)

Užduotis. Raskite atstumą tarp tiesės, einančios per taškus Е \u003d (1; 0; −2), G \u003d (2; 2; −1), ir tiesę, einančią per taškus M \u003d (4; −1; 4), L \u003d ( -2; 3; 0).

1. Nustatome abiejų tiesių vektorius.
2. Raskite vektorių, paimdami po vieną tašką iš kiekvienos tiesės.
3. Mes užrašome 3 vektorių matricą (dvi eilutės iš 1 punkto, viena eilutė iš 2) ir surandame jos skaitinį determinantą.
4. Mes nustatome pirmųjų dviejų vektorių matricą (1 žingsnyje). Pirmoji eilutė nustatyta kaip x, y, z.
5. Mes gauname atstumą, kai gautą vertę iš 3 taško modulo padalijame iš 4 taško kvadratų sumos kvadratinės šaknies.

Pereikime prie skaičių.