GIA. Funkcja kwadratowa. Lekcja „Funkcja y=ax2, jej wykres i własności Wykres funkcji y ax2 bx

Opis lekcji wideo

Rozważmy kilka szczególnych przypadków funkcji kwadratowej.

Pierwszy przypadek. Dowiedzmy się, jaki jest wykres funkcji y równa się jedna trzecia x kwadrat plus cztery.

Aby to zrobić, w jednym układzie współrzędnych wykreślamy wykresy funkcji y równa się jedna trzecia x kwadrat .. i .. y równa się jedna trzecia x kwadrat plus cztery.

Zróbmy tabelę wartości funkcji y równa jedna trzecia x kwadrat. Budujmy dalej podane punkty wykres funkcji.

Aby otrzymać tabelę wartości funkcji y równa się jedna trzecia x kwadrat plus cztery z tymi samymi wartościami argumentu, należy dodać cztery do znalezionych wartości funkcji y równa się jedna trzecia x kwadrat..

Zróbmy tabelę wartości dla wykresu funkcji y równa się jedna trzecia x kwadrat plus cztery. Zbudujmy punkty zgodnie z określonymi współrzędnymi i połączmy je gładką linią. Otrzymujemy wykres funkcji y równa się jedna trzecia x kwadrat plus cztery.

Łatwo zrozumieć, że wykres funkcji y równa się jednej trzeciej x kwadrat plus cztery można uzyskać z wykresu funkcji y równa się jednej trzeciej x kwadrat, przesuwając cztery jednostki w górę równolegle wzdłuż osi y.

Zatem wykres funkcji y równa się x kwadrat plus en jest parabolą, którą otrzymuje się z wykresu funkcji y równa się x kwadrat przez przesunięcie równoległe wzdłuż osi y o moduł en jednostki w górę, jeśli en jest większe od zera lub w dół jeśli en jest mniejsze od zera.

Drugi przypadek. Rozważmy, że funkcja y jest równa jednej trzeciej kwadratu różnicy między liczbami x i sześć i zbuduj jej wykres.

Zbudujmy tabelę wartości funkcji y równa się jedna trzecia x kwadrat, wskaż wynikowe punkty na płaszczyzna współrzędnych i połącz gładką linią.

Zróbmy teraz tabelę wartości dla funkcji y równej jednej trzeciej kwadratu różnicy między liczbami x i szóstką. Narysujmy wykres funkcji za pomocą podanych punktów.

Można zauważyć, że każdy punkt drugiego wykresu jest uzyskiwany z odpowiadającego mu punktu pierwszego wykresu przy użyciu równoległego przesunięcia sześciu jednostek wzdłuż osi x.

Wykres funkcji y jest równy pomnożonemu przez kwadrat różnicy między x i em .. jest parabolą, którą można otrzymać z wykresu funkcji y jest równe a x jest kwadratem przesunięcia równoległego wzdłuż x- o moduł jednostek em po lewej stronie, jeśli em jest większe od zera lub o moduł jednostek em po prawej stronie, jeśli em jest mniejsze od zera.

Rozważmy teraz wykres funkcji y równa się jednej trzeciej kwadratu różnicy x i dwa plus pięć. Jej wykres można otrzymać z wykresu funkcji y równa się jedna trzecia x kwadrat za pomocą dwóch równoległych przesunięć - przesunięcia paraboli w prawo o dwie jednostki i w górę o pięć jednostek.

Jednocześnie transfery równoległe mogą być wykonywane w dowolnej kolejności: najpierw wzdłuż osi x, a następnie wzdłuż osi y lub odwrotnie.

Ale dlaczego po dodaniu liczby en do funkcji jej wykres przesuwa się w górę o moduł en jednostek, jeśli en jest większe od zera lub w dół, jeśli en jest mniejsze od zera, a po dodaniu liczby em do argumentu funkcja przesuwa się moduł jednostki em po prawej stronie, jeśli em jest mniejsze od zera, czy po lewej stronie, jeśli em jest większe od zera?

Rozważać pierwszy przypadek. Niech będzie wymagane zbudowanie wykresu funkcji y równej ef od x .. dodać en. Zauważ, że rzędne tego wykresu dla wszystkich wartości argumentu są o jednostki en większe niż odpowiadające im rzędne wykresu y jest równe eff od x dla dodatniego en i mniejsze o jednostki en dla ujemnego en. Dlatego wykres funkcji y równa się eff od x ... dodać en można uzyskać przez przesunięcie równoległe wzdłuż osi y wykresu funkcji y równa się ef od x o moduł en w górę, jeśli en jest większe od zera i przez moduł en jednostek w dół, jeśli en jest mniejsze od zera.

Rozważać drugi przypadek. Niech będzie wymagane zbudowanie wykresu funkcji y równej eff z sumy x i em. Rozważmy, że funkcja y jest równa eff od x, która w pewnym momencie x równy x pierwszy przyjmuje wartość y pierwszy jest równy ef od x pierwszy. Oczywiście funkcja y jest równa eff z sumy x i em przyjmie tę samą wartość w punkcie x sekunda, której współrzędna jest określona z równości x sekunda plus em równa się x pierwszy, czyli x pierwszy równa się x pierwszy minus em. Ponadto rozważana równość obowiązuje dla wszystkich wartości x z dziedziny funkcji. Dlatego wykres funkcji można uzyskać przesuwając równolegle wykres funkcji y równej ef od x wzdłuż osi odciętej w lewo o moduł jednostek w lewo, jeśli em jest większe od zera i o moduł em po prawej, jeśli em jest mniejsze od zera. Równoległy ruch wykresu funkcji wzdłuż osi x o jednostki em jest równoważny przesunięciu osi y o taką samą liczbę jednostek, ale w przeciwnym kierunku.

Kiedy parabola obraca się wokół własnej osi, uzyskuje się figurę, która nazywa się paraboloidą. Jeśli wewnętrzna powierzchnia paraboloidy jest zwierciadlana i skierowana jest na nią wiązka promieni równoległa do osi symetrii paraboli, to odbite promienie gromadzą się w punkcie zwanym ogniskiem. Jednocześnie, jeśli źródło światła zostanie umieszczone w ognisku, promienie odbite od lustrzanej powierzchni paraboloidy będą równoległe i nie będą się rozpraszać.

Pierwsza właściwość umożliwia uzyskanie wysokiej temperatury w ognisku paraboloidy. Według legendy ta właściwość była używana przez starożytnego greckiego naukowca Archimedesa. Podczas obrony Syrakuz w wojnie z Rzymianami zbudował system parabolicznych luster, które umożliwiły skupienie odbitych promieni słońca na rzymskich statkach. W rezultacie temperatura w ogniskach luster parabolicznych okazała się tak wysoka, że ​​na statkach wybuchł pożar i spłonęły. Ta właściwość jest również wykorzystywana w produkcji anten parabolicznych.

Druga właściwość jest wykorzystywana w produkcji reflektorów i reflektorów samochodowych.

Prezentacja „Funkcja y=ax 2 , jej wykres i właściwości” to pomoc wizualna, która została stworzona, aby towarzyszyć wyjaśnieniom nauczyciela na ten temat. Niniejsza prezentacja szczegółowo omawia funkcję kwadratową, jej właściwości, cechy wykreślania, praktyczne zastosowanie metod stosowanych do rozwiązywania problemów fizycznych.

Zapewniając wysoki stopień widoczności, materiał ten pomoże nauczycielowi zwiększyć efektywność nauczania, zapewni możliwość bardziej racjonalnego przydziału czasu na lekcji. Za pomocą efektów animacji, podświetlania pojęć i ważne punkty kolor, uwaga studentów skupia się na badanym przedmiocie, lepsze zapamiętywanie definicji i toku rozumowania osiągane jest przy rozwiązywaniu problemów.

Prezentację rozpoczyna wprowadzenie do tytułu prezentacji oraz pojęcia funkcji kwadratowej. Podkreśla się wagę tego tematu. Zachęcamy uczniów do zapamiętania definicji funkcji kwadratowej jako funkcjonalnej zależności postaci y=ax 2 +bx+c, w której jest zmienną niezależną i są liczbami, natomiast a≠0. Osobno na slajdzie 4 wskazano na przypomnienie, że domeną tej funkcji jest cała oś wartości rzeczywistych. Konwencjonalnie to stwierdzenie jest oznaczane przez D(x)=R.

Przykładem funkcji kwadratowej jest jej ważne zastosowanie w fizyce - wzór na zależność toru w ruchu jednostajnie przyspieszonym od czasu. Równolegle na lekcjach fizyki uczniowie uczą się wzorów na różne rodzaje ruchu, więc będą potrzebować umiejętności rozwiązywania takich problemów. Na slajdzie 5 przypomina się uczniom, że gdy ciało porusza się z przyspieszeniem i na początku odniesienia czasu, przebyty dystans i prędkość ruchu są znane, to zależność funkcjonalna reprezentująca taki ruch będzie wyrażona wzorem S=( w 2)/2+v0 t+S0 . Poniżej znajduje się przykład przekształcenia tego wzoru w daną funkcję kwadratową, jeśli wartości przyspieszenia = 8, prędkość początkowa = 3 i droga początkowa = 18. W tym przypadku funkcja przyjmie postać S=4t 2 +3t+18.

Na slajdzie 6 rozważana jest postać funkcji kwadratowej y=ax 2, na której jest ona przedstawiona. Jeśli =1, to funkcja kwadratowa ma postać y=x 2 . Należy zauważyć, że wykres tej funkcji będzie parabolą.

Kolejna część prezentacji poświęcona jest wykreśleniu wykresu funkcji kwadratowej. Proponuje się rozważenie konstrukcji wykresu funkcji y=3x 2 . Po pierwsze, tabela oznacza zgodność między wartościami funkcji a wartościami argumentu. Należy zauważyć, że różnica między skonstruowanym wykresem funkcji y=3x2 a wykresem funkcji y=x2 polega na tym, że każda jego wartość będzie trzykrotnie większa od odpowiadającej. W ujęciu tabelarycznym ta różnica jest dobrze śledzona. W pobliżu na przedstawieniu graficznym wyraźnie widoczna jest również różnica w zwężeniu paraboli.

Następny slajd przedstawia wykreślenie funkcji kwadratowej y=1/3 x 2 . Aby zbudować wykres, konieczne jest wskazanie w tabeli wartości funkcji w wielu jej punktach. Należy zauważyć, że każda wartość funkcji y=1/3 x 2 jest 3 razy mniejsza niż odpowiadająca jej wartość funkcji y=x 2 . Ta różnica, oprócz tabeli, jest wyraźnie widoczna na wykresie. Jej parabola jest bardziej rozszerzona względem osi y niż parabola funkcji y=x 2 .

Przykłady pomagają zrozumieć główna zasada, zgodnie z którym można wtedy prościej i szybciej budować odpowiednie wykresy. Na slajdzie 9 zaznaczono oddzielną regułę, że wykres funkcji kwadratowej y \u003d ax 2 można wykreślić w zależności od wartości współczynnika poprzez rozciąganie lub zwężanie wykresu. Jeśli a>1, to wykres jest rozciągany od osi x w czasie. Jeśli 0

Wniosek dotyczący symetrii wykresów funkcji y=ax2 i y=-ax2 (przy ≠0) względem osi odciętej jest osobno wyróżniony na slajdzie 12 do zapamiętania i wyraźnie pokazany na odpowiednim wykresie. Co więcej, pojęcie wykresu funkcji kwadratowej y=x 2 zostało rozszerzone do bardziej ogólnego przypadku funkcji y=ax 2 , argumentując, że taki wykres będzie również nazywany parabolą.

Slajd 14 omawia własności funkcji kwadratowej y=ax 2 dla dodatnich. Należy zauważyć, że jego wykres przechodzi przez początek, a wszystkie punkty, z wyjątkiem, leżą w górnej półpłaszczyźnie. Odnotowano symetrię wykresu względem osi y, określając, że przeciwne wartości argumentu odpowiadają tym samym wartościom funkcji. Wskazuje się, że przedział spadku tej funkcji wynosi (-∞;0], a wzrost funkcji odbywa się na przedziale. Wartości tej funkcji obejmują całą dodatnią część osi rzeczywistej, jest to równa zeru w punkcie i nie ma największej wartości.

Slajd 15 opisuje właściwości funkcji y=ax 2, jeśli jest ujemna. Należy zauważyć, że jego wykres również przechodzi przez początek, ale wszystkie jego punkty, z wyjątkiem jednego, leżą w dolnej półpłaszczyźnie. Odnotowuje się symetrię wykresu względem osi, a przeciwne wartości argumentu odpowiadają równym wartościom funkcji. Funkcja zwiększa się na interwale, maleje na. Wartości tej funkcji leżą w przedziale, w punkcie jest równa zeru i nie ma najmniejszej wartości.

Podsumowując rozważane cechy, slajd 16 pokazuje, że gałęzie paraboli są skierowane w dół i w górę. Parabola jest symetryczna względem osi, a wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie jej przecięcia z osią. Parabola y=ax 2 ma wierzchołek - początek.

Również ważny wniosek dotyczący przekształceń paraboli przedstawiono na slajdzie 17. Przedstawia on opcje przekształcenia wykresu funkcji kwadratowej. Należy zauważyć, że wykres funkcji y=ax 2 jest przekształcany przez symetryczne wyświetlanie wykresu wokół osi. Możliwe jest również skompresowanie lub rozszerzenie wykresu względem osi.

Na ostatnim slajdzie wyciągnięto wnioski uogólniające na temat przekształceń wykresu funkcji. Przedstawiono wnioski, że wykres funkcji uzyskuje się poprzez przekształcenie symetryczne wokół osi. A wykres funkcji uzyskuje się z kompresji lub rozciągania oryginalnego wykresu od osi. W tym przypadku rozciąganie od osi w czasie obserwuje się w przypadku, gdy. Skurczając się do osi o 1/a razy, powstaje wykres w przypadku.

Prezentacja „Funkcja y=ax 2 , jej wykres i właściwości” może być wykorzystana przez nauczyciela jako pomoc wizualna na lekcji algebry. Ponadto ten podręcznik dobrze obejmuje temat, dając dogłębne zrozumienie tematu, dzięki czemu może być oferowany do samodzielnej nauki przez studentów. Również ten materiał pomoże nauczycielowi w udzielaniu wyjaśnień podczas nauczania na odległość.

Lekcja: jak zbudować parabolę lub funkcję kwadratową?

CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Parabola to wykres funkcji opisanej wzorem ax 2 +bx+c=0.
Aby zbudować parabolę, musisz postępować zgodnie z prostym algorytmem działań:

1) Wzór paraboli y=ax 2 +bx+c,
jeśli a>0 następnie skierowane są gałęzie paraboli w górę,
a następnie skierowane są gałęzie paraboli droga w dół.
Wolny Członek c punkt ten przecina parabolę z osią OY;

2) , znajduje się na podstawie wzoru x=(-b)/2a, podstawiamy znalezione x do równania paraboli i znajdujemy tak;

3)Zera funkcji lub innymi słowy, punkty przecięcia paraboli z osią OX, nazywane są również pierwiastkami równania. Aby znaleźć pierwiastki, przyrównujemy równanie do 0 ax2+bx+c=0;

Rodzaje równań:

a) Kompletny równanie kwadratowe ma formę ax2+bx+c=0 i jest rozwiązywany przez dyskryminator;
b) Niepełne równanie kwadratowe postaci ax2+bx=0. Aby to rozwiązać, musisz wyjąć x z nawiasów, a następnie zrównać każdy czynnik z 0:
ax2+bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 i ax+b=0;
c) Niepełne równanie kwadratowe postaci topór2+c=0. Aby go rozwiązać, musisz przenieść nieznane na jedną stronę, a znane na drugą. x =±√(c/a);

4) Znajdź dodatkowe punkty do zbudowania funkcji.

CZĘŚĆ PRAKTYCZNA

I tak teraz na przykładzie przeanalizujemy wszystko według działań:
Przykład 1:
y=x 2 +4x+3
c=3 oznacza, że ​​parabola przecina OY w punkcie x=0 y=3. Gałęzie paraboli patrzą w górę, ponieważ a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 wierzchołek jest w punkcie (-2;-1)
Znajdź pierwiastki równania x 2 +4x+3=0
Odnajdujemy korzenie przez wyróżnik
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3

Weźmy kilka dowolnych punktów, które są blisko szczytu x=-2

x -4 -3 -1 0
r 3 0 0 3

Zastępujemy zamiast x w równaniu y \u003d x 2 + 4x + 3 wartości
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Z wartości funkcji widać, że parabola jest symetryczna względem linii prostej x \u003d -2

Przykład #2:
y=-x 2 +4x
c=0 oznacza, że ​​parabola przecina OY w punkcie x=0 y=0. Gałęzie paraboli patrzą w dół, ponieważ a=-1 -1 Znajdź pierwiastki równania -x 2 +4x=0
Niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 +bx=0. Aby go rozwiązać, musisz wyjąć x z nawiasów, a następnie zrównać każdy czynnik z 0.
x(-x+4)=0, x=0 i x=4.

Weźmy kilka dowolnych punktów, które są w pobliżu wierzchołka x=2
x 0 1 3 4
r 0 3 3 0
Zastępujemy zamiast x w równaniu y \u003d -x 2 +4x wartości
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Z wartości funkcji widać, że parabola jest symetryczna względem linii prostej x \u003d 2

Przykład #3
y=x 2 -4
c=4 oznacza, że ​​parabola przecina OY w punkcie x=0 y=4. Gałęzie paraboli patrzą w górę, ponieważ a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 wierzchołek znajduje się w punkcie (0;-4 )
Znajdź pierwiastki równania x 2 -4=0
Niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 +c=0. Aby go rozwiązać, musisz przenieść nieznane na jedną stronę, a znane na drugą. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x 2 \u003d -2

Weźmy kilka dowolnych punktów, które są blisko szczytu x=0
x -2 -1 1 2
r 0 -3 -3 0
Zastępujemy zamiast x w równaniu y \u003d x 2 -4 wartości
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Z wartości funkcji widać, że parabola jest symetryczna względem prostej x=0

Subskrybuj na kanał na YOUTUBE aby być na bieżąco ze wszystkimi nowościami i przygotować się z nami do egzaminów.