Bir sayının bir kuvvete kökü nasıl hesaplanır. Mühendislik hesap makinesi. Kök işaretinin altındaki giriş

Kök çıkarma işlemini pratikte başarılı bir şekilde kullanmak için, bu işlemin özelliklerine aşina olmanız gerekir.
Tüm özellikler, yalnızca köklerin işaretleri altında bulunan değişkenlerin negatif olmayan değerleri için formüle edilir ve kanıtlanır.

Teorem 1. Kök n. derece(n = 2, 3, 4, ...) negatif olmayan iki yonga hücresinin çarpımından çarpımına eşittir n'nin kökleri bu sayıların kuvvetleri:

Yorum Yap:

1. Teorem 1, radikal ifadenin ikiden fazla negatif olmayan sayının ürünü olduğu durumda geçerli kalır.

Teorem 2.Eğer, ve n - doğal sayı 1'den büyükse eşitlik

Kısa bilgi(kesin olmamakla birlikte) pratikte kullanımı daha uygun olan formülasyon: Bir kesrin kökü, köklerin kesrine eşittir.

Teorem 1, m'yi çarpmamıza izin verir sadece aynı dereceden kökler , yani sadece aynı indekse sahip kökler.

Teorem 3 Eğer ,k bir doğal sayıdır ve n 1'den büyük bir doğal sayıdır, o zaman eşitlik

Başka bir deyişle, bir kök oluşturmak için doğal derece, radikal ifadeyi bu dereceye yükseltmek yeterlidir.
Bu Teorem 1'in bir sonucudur. Gerçekten de, örneğin, k = 3 için şunu elde ederiz: Aynı şekilde, k üssünün herhangi bir başka doğal değeri durumunda da akıl yürütebiliriz.

Teorem 4 Eğer ,k, n 1'den büyük doğal sayılardır, sonra eşitlik

Yani bir kökten kök çıkarmak için köklerin indislerini çarpmak yeterlidir.
Örneğin,

Dikkat olmak! Kökler üzerinde dört işlemin yapılabileceğini öğrendik: çarpma, bölme, üs alma ve kök çıkarma (kökten). Peki ya köklerin toplanması ve çıkarılması? Mümkün değil.
Örneğin, bunun yerine Gerçekten de yazmak mümkün değil, Ama şurası açık ki;

Teorem 5 Eğer kökün indisleri ve radikal ifade aynı doğal sayı ile çarpılır veya bölünürse kökün değeri değişmez, yani.

Görev çözme örnekleri

Örnek 1. Hesaplamak

Çözüm. Köklerin ilk özelliğini (Teorem 1) kullanarak şunu elde ederiz:

Örnek 2. Hesaplamak
Çözüm. Karışık sayıyı uygun olmayan bir kesre dönüştürün.
Köklerin ikinci özelliğini kullanıyoruz ( Teorem 2 ), şunu elde ederiz:

Örnek 3. Hesaplamak:

Çözüm. Cebirdeki herhangi bir formül, bildiğiniz gibi, sadece "soldan sağa" değil, aynı zamanda "sağdan sola" da kullanılır. Bu nedenle, köklerin ilk özelliği, formda gösterilebileceği ve tersine bir ifade ile değiştirilebileceği anlamına gelir. Aynısı köklerin ikinci özelliği için de geçerlidir. Bunu akılda tutarak, hesaplamaları yapalım.

Örnekler:

\ (\ sqrt (16) = 2 \) çünkü \ (2 ^ 4 = 16 \)
\ (\ sqrt (- \ frac (1) (125)) \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (5) \), çünkü \ ((- \ frac (1) (5) ) ^ 3 \) \ (= \) \ (- \ frak (1) (125) \)

nth kökü nasıl hesaplanır?

\ (n \) - inci gücün kökünü hesaplamak için kendinize şu soruyu sormanız gerekir: \ (n \) - th gücünde kök altında hangi sayı verilecek?

Örneğin... Kökü hesaplayın \ (n \) - inci derece: a) \ (\ sqrt (16) \); b) \ (\ sqrt (-64) \); c) \ (\ sqrt (0.00001) \); d) \ (\ kare (8000) \); e) \ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) \).

a) \ (4 \) - inci dereceden hangi sayı \ (16 \) verir? Açıkçası, \ (2 \). Böyle:

b) \ (3 \) -. dereceden hangi sayı \ (- 64 \) verir?

\ (\ kare (-64) = - 4 \)

c) \ (5 \) - inci derecede hangi sayı \ (0.00001 \) verecek?

\ (\ sqrt (0.00001) = 0.1 \)

d) \ (3 \) -. dereceden hangi sayı \ (8000 \) verir?

\ (\ kare (8000) = 20 \)

e) \ (4 \) - inci derecede \ (\ frac (1) (81) \) hangi sayıyı verecek?

\ (\ sqrt (\ frak (1) (81)) = \ frak (1) (3) \)

en çok düşündük basit örnekler kök ile \ (n \) - inci derece. Köklerle daha karmaşık problemleri çözmek için \ (n \) - inci derece - onları bilmek hayati önem taşır.

Örnek. Hesaplamak:

\ (\ kare 3 \ cdot \ kare (-3) \ cdot \ kare (27) \ cdot \ kare (9) - \) \ (= \)		Şu anda, köklerin hiçbiri hesaplanamaz. Bu nedenle, \ (n \) - inci derece kökünün özelliklerini uygular ve ifadeyi dönüştürürüz. \ (\ frak (\ sqrt (-64)) (\ sqrt (2)) \)\ (= \) \ (\ sqrt (\ frac (-64) (2)) \) \ (= \) \ (\ sqrt (-32) \) çünkü \ (\ frac (\ sqrt [n] (a)) (\ sqrt [n] (b)) \)\ (= \) \ (\ sqrt [n] (\ frac (a) (b)) \)
\ (= \ kare (3) \ cdot \ kare (-3) \ cdot \ kare (27) \ cdot \ kare (9) - \ kare (-32) = \)		Birinci terimdeki çarpanları yeniden düzenleyelim, böylece Kare kök ve kök \ (n \) - inci derece yan yana duruyordu. Bu, özelliklerin şu şekilde uygulanmasını kolaylaştıracaktır: \ (n \) -th köklerinin özelliklerinin çoğu yalnızca aynı dereceden köklerle çalışır. Ve 5. derecenin kökünü hesaplıyoruz.
\ (= \ kare (3) \ cdot \ kare (27) \ cdot \ kare (-3) \ cdot \ kare (9) - (- 5) = \)		\ (\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [n] (b) = \ sqrt [n] (a \ cdot b) \) özelliğini uygulayın ve köşeli ayracı genişletin
\ (= \ kare (81) \ cdot \ kare (-27) + 5 = \)		\ (\ sqrt (81) \) ve \ (\ sqrt (-27) \) hesaplayın
\ (= 9 \ cdot (-3) +5 = -27 + 5 = -22 \)

n'inci kök ve karekök ilişkili mi?

Her durumda, herhangi bir dereceden herhangi bir kök, alışılmadık bir biçimde yazılmış olsa da, yalnızca bir sayıdır.

n. derecenin kökünün özelliği

Kök \ (n \) - tek \ (n \) ile th gücü, negatif bile olsa herhangi bir sayıdan çıkarılabilir (başlangıçtaki örneklere bakın). Ancak \ (n \) çift ise (\ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \) ...), o zaman böyle bir kök çıkarılır sadece \ ( a ≥ 0 \) ise (bu arada, karekök aynıdır). Bunun nedeni, kök çıkarmanın üs almanın tersi olmasıdır.

Ve eşit bir güce yükseltmek, negatif bir sayıyı bile pozitif yapar. Nitekim, \ ((- 2) ^ 6 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) = 64 \). Bu nedenle, kök altında negatif bir sayının çift kuvvetini alamayız. Bu, negatif bir sayıdan böyle bir kök çıkaramayacağımız anlamına gelir.

Bu tür kısıtlamaların tek derecesi yoktur - tek dereceye yükseltilmiş negatif bir sayı negatif kalacaktır: \ ((- 2) ^ 5 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot ( -2) \ cdot (-2) = - 32 \). Bu nedenle, tek bir derecenin kökü altında negatif bir sayı elde edebilirsiniz. Bu, onu negatif bir sayıdan da çıkarabileceğiniz anlamına gelir.

Çevrimiçi mühendislik hesaplayıcısı

Tüm gelenlere ücretsiz bir mühendislik hesap makinesi sunmaktan mutluluk duyuyoruz. Onun yardımıyla, herhangi bir öğrenci çevrimiçi olarak çeşitli matematiksel hesaplamaları hızlı ve en önemlisi kolayca gerçekleştirebilir.

Siteden alınan hesap makinesi - web 2.0 bilimsel hesap makinesi

Göze batmayan ve anlaşılır bir arayüze sahip basit ve kullanımı kolay bir mühendislik hesaplayıcısı, en geniş İnternet kullanıcıları için gerçekten faydalı olacaktır. Şimdi, bir hesap makinesine ihtiyacınız olduğunda, web sitemizi ziyaret edin ve ücretsiz bir mühendislik hesap makinesi kullanın.

Bir mühendislik hesap makinesi hem basit aritmetik işlemleri hem de oldukça karmaşık matematiksel hesaplamaları gerçekleştirebilir.

Web20calc, örneğin tüm temel işlevlerin nasıl hesaplanacağı gibi çok sayıda işlevi olan bir mühendislik hesaplayıcısıdır. Ayrıca hesap makinesi destekler trigonometrik fonksiyonlar, matrisler, logaritmalar ve hatta grafikler.

Web20calc, basit çözümler arayan, arama motorlarına bir sorgu yazan bir grup insanın ilgisini çekecektir: matematiksel cevrimici hesap makinesi... Ücretsiz bir web uygulaması, örneğin çıkarma, toplama, bölme, kök çıkarma, bir güce yükseltme vb. gibi bazı matematiksel ifadelerin sonucunu anında hesaplamanıza yardımcı olur.

İfadede üs alma, toplama, çıkarma, çarpma, bölme, yüzde, sabit PI işlemlerini kullanabilirsiniz. Karmaşık hesaplamalar için parantez kullanın.

Mühendislik hesap makinesi özellikleri:

1. temel aritmetik işlemler;
2. standart bir biçimde sayılarla çalışın;
3. trigonometrik köklerin, fonksiyonların, logaritmaların, üslerin hesaplanması;
4. istatistiksel hesaplamalar: toplama, aritmetik ortalama veya standart sapma;
5. 2 değişkenli bir bellek hücresinin ve kullanıcı tanımlı fonksiyonların uygulanması;
6. radyan ve derece ölçülerinde açılarla çalışabilecektir.

Mühendislik hesaplayıcısı, çeşitli matematiksel işlevleri kullanmanıza olanak tanır:

Köklerin çıkarılması (kare kök, kübik ve n'inci kök);
ex (e üzeri x kuvveti), üs;
trigonometrik fonksiyonlar: sinüs - günah, kosinüs - kos, tanjant - tan;
ters trigonometrik fonksiyonlar: arksinüs - sin-1, arkkosin - cos-1, arktanjant - tan-1;
hiperbolik fonksiyonlar: sinüs - sinh, kosinüs - cosh, tanjant - tanh;
logaritma: ikili logaritma tabanı iki - log2x, ondalık logaritma on tabanı - log, doğal logaritma - ln.

Bu mühendislik hesaplayıcı ayrıca dönüştürülebilir bir miktar hesaplayıcı içerir. fiziksel özelliklerçeşitli ölçüm sistemleri için - bilgisayar birimleri, mesafe, ağırlık, zaman vb. Bu fonksiyon ile mili kilometreye, poundu kilograma, saniyeyi saate vb. anında çevirebilirsiniz.

Matematiksel hesaplamalar yapmak için önce uygun alana bir dizi matematiksel ifade girin, ardından eşittir işaretine tıklayın ve sonucu görün. Değerleri doğrudan klavyeden girebilirsiniz (bunun için hesap makinesi alanı aktif olmalıdır, bu nedenle imleci giriş alanına koymak gereksiz olmayacaktır). Diğer şeylerin yanı sıra, hesap makinesinin üzerindeki düğmeler kullanılarak veriler girilebilir.

Giriş alanında grafikler oluşturmak için, alanda belirtilen işlevi örneklerle yazın veya özel olarak tasarlanmış araç çubuğunu kullanın (ona gitmek için grafik şeklinde bir simgeye sahip düğmeye tıklayın). Değerleri dönüştürmek için Birim'e basın, matrislerle çalışmak için - Matrix.

Elektronik tablo kullanıcıları, bir sayının kökünü çıkarmak için işlevi kapsamlı bir şekilde kullanır. Verilerle çalışmak genellikle büyük sayıların işlenmesini gerektirdiğinden, manuel sayma oldukça zor olabilir. Bu makalede, Excel'de herhangi bir derecenin kökünü çıkarma sorununun ayrıntılı bir analizini bulacaksınız.

Oldukça kolay bir iş, çünkü programın listeden alınabilecek ayrı bir işlevi var. Bunu yapmak için aşağıdakileri yapmanız gerekir:

1. Fonksiyonu kaydetmek istediğiniz hücreyi farenin sol tuşu ile bir kez tıklayarak seçin. Siyah bir anahat görünür, etkin satır ve sütun turuncu ile vurgulanır ve ad adres hücresinde görünür.

   

2. Sütun adlarının üzerinde, adres hücresinden sonra, formül çubuğundan önce "fx" (İşlev Ekle) düğmesine tıklayın.

   

3. "Kök" işlevini bulmanız gereken bir açılır menü görünecektir. Bu, "Matematik" kategorisinde veya fare ile menüyü aşağı kaydırarak "Alfabetik listeyi tamamla" bölümünde yapılabilir.

   

4. Farenin sol tuşuyla bir kez tıklayarak "Kök" öğesini seçin, ardından - "Tamam" düğmesini tıklayın.

   

5. Aşağıdaki menü belirir - "Fonksiyon argümanları".

   

6. Bu ifadenin veya formülün daha önce yazıldığı bir sayı girin veya bir hücre seçin, bunun için "Sayı" satırına bir kez sol tıklayın, ardından imleci ihtiyacınız olan hücrenin üzerine getirin ve tıklayın. Hücre adı dizeye otomatik olarak doldurulacaktır.

   

7. "Tamam" düğmesine tıklayın.

   

8. Ve her şey hazır, fonksiyon karekökü hesapladı ve sonucu seçilen hücreye yazdı.

   

Bir sayı ve bir hücrenin (bu hücrede paketlenmiş veriler) veya iki hücrenin toplamının karekökünü çıkarmak da mümkündür, bunun için "Sayı" satırındaki değerleri girin. Numarayı yazın ve hücreye bir kez tıklayın, program ekleme işaretini kendisi koyacaktır.

Bir notta! Bu fonksiyon manuel olarak da girilebilir. Formül çubuğuna şu ifadeyi girin: "= KÖK (x)", burada x, aradığınız sayıdır.

3., 4. ve diğer derecelerin köklerinin çıkarılması.

Excel'de bu ifadeyi çözmek için ayrı bir işlev yoktur. n'inci kökü çıkarmak için önce onu matematiksel bir bakış açısıyla düşünmelisiniz.

N'inci kök, bir sayıyı karşı güce (1 / n) yükseltmeye eşittir. Yani karekök ½ (veya 0,5) kuvvetidir.

Örneğin:

• 16'nın dördüncü kökü ¼ üzeri 16'dır;
• 64 = 64 üzeri 1/3 kuvvetinin küp kökü;

Bunu bir elektronik tablo programında yapmanın iki yolu vardır:

1. İşlevi kullanma.
2. Derece simgesini “^” kullanarak ifadeyi manuel olarak girin.

Bir fonksiyon kullanarak herhangi bir derecenin kökünü çıkarma

1. İstediğiniz hücreyi seçin ve "Formüller" sekmesindeki "İşlev Ekle" seçeneğine tıklayın.

   

2. Kategori altındaki listeyi genişletin, Matematik veya Tam Alfabetik Liste altında Derece işlevini bulun.

   

   

3. "Sayı" satırına bir sayı (bizim durumumuzda bu 64 sayısıdır) veya bir kez tıklayarak hücrenin adını girin.

   

4. "Derece" satırına kökü yükseltmek istediğiniz dereceyi (1/3) yazın.

   

   Önemli! Bölme işaretini belirtmek için standart bölme işaretini ":" değil "/" işaretini kullanmalısınız.

5. "Tamam" ı tıklayın ve eylemin sonucu orijinal olarak seçilen hücrede görünecektir.

   

   

Not!İşlevlerle çalışma hakkında fotoğraflı en ayrıntılı talimatlar için yukarıdaki makaleye bakın.

"^" derece sembolünü kullanarak herhangi bir derecenin kökünü çıkarın

Not! Derece, kesir veya kesir olarak yazılabilir. ondalık sayı... Örneğin, ¼ kesri 0.25 olarak yazılabilir. Onda bir, yüzde bir, binde bir vb. ayırmak için matematikte olduğu gibi virgül kullanın..

İfade yazma örnekleri