Kub va kub farqi: qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash qoidalari. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari Kublarning farqi nimada

Arifmetikada, aniqrog'i algebrada katta algebraik ifodalarni tezroq hisoblash uchun formulalar yoki qisqartirilgan ko'paytirish qoidalari qo'llaniladi. Formulalarning o'zi bir nechta polinomlarni ko'paytirish uchun algebrada mavjud qoidalardan olingan.

Ushbu formulalardan foydalanish turli xil muammolarni tezda hal qilishni ta'minlaydi matematik muammolar, hamda ifodalarni soddalashtirishga yordam beradi. Algebraik o'zgartirishlar qoidalari ifodalar bilan ba'zi manipulyatsiyalarni bajarishga imkon beradi, shundan so'ng siz o'ng tomonda joylashgan tenglikning chap tomonidagi ifodani olishingiz yoki tenglikning o'ng tomonini o'zgartirishingiz mumkin (iborani olish uchun). teng belgisidan keyin chap tomon).

Xotiraga qisqartirilgan ko'paytirish uchun ishlatiladigan formulalarni bilish qulay, chunki ular ko'pincha masala va tenglamalarni echishda qo'llaniladi. Ushbu ro'yxatga kiritilgan asosiy formulalar va ularning nomlari quyida keltirilgan.

yig'indisi kvadrat

Yig'indining kvadratini hisoblash uchun siz birinchi hadning kvadratidan, birinchi va ikkinchi hadning ikki barobari va ikkinchisining kvadratidan iborat yig'indini topishingiz kerak. Ifoda shaklida bu qoida quyidagicha yoziladi: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Farqning kvadrati

Farqning kvadratini hisoblash uchun siz birinchi raqamning kvadratidan, birinchi raqamning ikkinchi ko'paytmasining ikki barobariga (qarama-qarshi belgi bilan olingan) va ikkinchi raqamning kvadratidan tashkil topgan summani hisoblashingiz kerak. Ifoda shaklida ushbu qoida quyidagicha ko'rinadi: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Kvadratchalar farqi

Ikki sonning kvadrati ayirmasining formulasi bu sonlar yig‘indisi va ularning ayirmasi ko‘paytmasiga teng. Ifoda shaklida bu qoida quyidagicha ko'rinadi: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

summa kubi

Ikki had yig'indisining kubini hisoblash uchun birinchi hadning kubidan iborat yig'indini hisoblash kerak, birinchi hadning kvadrati va ikkinchisining uch karra ko'paytmasi, birinchi hadning uch karra ko'paytmasi va ikkinchi kvadrat va ikkinchi hadning kubi. Ifoda shaklida bu qoida quyidagicha ko'rinadi: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Kublar yig'indisi

Formulaga ko'ra, bu hadlar yig'indisi va ularning to'liq bo'lmagan ayirma kvadratining ko'paytmasiga teng. Ifoda shaklida bu qoida quyidagicha ko'rinadi: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Misol. Ikki kubni qo'shish orqali hosil bo'lgan raqamning hajmini hisoblash kerak. Faqat ularning tomonlari kattaligi ma'lum.

Agar tomonlarning qiymatlari kichik bo'lsa, hisob-kitoblarni bajarish oson.

Agar tomonlarning uzunligi noqulay raqamlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu holda "Kublar yig'indisi" formulasini qo'llash osonroq bo'ladi, bu esa hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtiradi.

farq kubi

Kub farqining ifodasi shunday eshitiladi: birinchi hadning uchinchi darajali yig'indisi sifatida birinchi hadning kvadratining manfiy ko'paytmasini ikkinchisiga, birinchi hadning ko'paytmasini ikkinchisining kvadratiga uch marta ko'paytiring. , va ikkinchi hadning salbiy kubi. Matematik ifoda ko'rinishida farq kubi quyidagicha ko'rinadi: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Kublarning farqi

Kublarning farqi formulasi kublar yig'indisidan faqat bitta belgi bilan farq qiladi. Shunday qilib, kublarning farqi bu raqamlarning yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytmasiga teng formuladir. Shaklda kublarning farqi quyidagicha ko'rinadi: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Misol. Ko'k kub hajmidan sariq rangli hajmli raqamni, bu ham kubni ayirgandan keyin qoladigan raqam hajmini hisoblash kerak. Kichik va katta kubning faqat tomonining o'lchami ma'lum.

Agar tomonlarning qiymatlari kichik bo'lsa, hisob-kitoblar juda oddiy. Va agar tomonlarning uzunligi sezilarli raqamlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtiradigan "Kublar farqi" (yoki "Farq kubi") deb nomlangan formuladan foydalanishga arziydi.

Kvadratchalar farqi

$a^2-b^2$ kvadratlar farqi formulasini olamiz.

Buning uchun quyidagi qoidani yodda tuting:

Agar ifodaga har qanday monomial qo'shilsa va bir xil monomial ayirilsa, biz to'g'ri identifikatsiyani olamiz.

Keling, ifodamizga qo'shamiz va undan $ab$ monomialini ayiramiz:

Umuman olganda, biz quyidagilarni olamiz:

Ya'ni, ikkita monomial kvadratlarining ayirmasi ularning ayirmasi va yig'indisining ko'paytmasiga teng.

1-misol

$(4x)^2-y^2$ ko'paytmasi sifatida ifodalang

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\chap(2x-y\o'ng)(2x+y)\]

Kublar yig'indisi

Biz $a^3+b^3$ kublar yigʻindisi formulasini olamiz.

Qavslar ichidan umumiy omillarni chiqaramiz:

Qavslar ichidan $\left(a+b\right)$ chiqaramiz:

Umuman olganda, biz quyidagilarni olamiz:

Ya'ni, ikkita monomialning kublari yig'indisi ularning yig'indisining ayirmasining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytmasiga teng.

2-misol

$(8x)^3+y^3$ mahsulot sifatida ifodalang

Ushbu ifoda quyidagi shaklda qayta yozilishi mumkin:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

\[((2x))^3+y^3=\chap(2x+y\o'ng)(4x^2-2xy+y^2)\]

Kublarning farqi

Biz $a^3-b^3$ kublar farqi formulasini olamiz.

Buning uchun biz yuqoridagi qoidadan foydalanamiz.

Keling, ifodamizga qo'shilib, undan $a^2b\ va \ (ab)^2$ monomlarini ayirib chiqamiz:

Qavslar ichidan umumiy omillarni chiqaramiz:

Qavslar ichidan $\left(a-b\right)$ chiqaramiz:

Umuman olganda, biz quyidagilarni olamiz:

Ya'ni, ikkita monomial kublarining farqi ularning ayirmasining yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytmasiga teng.

3-misol

$(8x)^3-y^3$ ko'paytmasi sifatida ifodalang

Ushbu ifoda quyidagi shaklda qayta yozilishi mumkin:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

\[((2x))^3-y^3=\chap(2x-y\o'ng)(4x^2+2xy+y^2)\]

Kvadratlar ayirmasi va kublar yig'indisi va ayirmasi formulalaridan foydalanish bo'yicha topshiriqlarga misol

4-misol

Ko'paytiring.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Yechim:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Kvadratlar farqi formulasini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

\[((a+5))^2-3^2=\chap(a+5-3\o'ng)\chap(a+5+3\o'ng)=\chap(a+2\o'ng)(a +8)\]

Ushbu ifodani quyidagi shaklda yozamiz:

Keling, kub kublar formulasini qo'llaymiz:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Ushbu ifodani quyidagi shaklda yozamiz:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\chap(\frac(1)(3)\o'ng))^3-x^3\]

Keling, kub kublar formulasini qo'llaymiz:

\[(\left(\frac(1)(3)\o'ng))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\o‘ng)\]

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini o'rganish: yig'indining kvadrati va ikki ifodaning ayirmasining kvadrati; ikki ifoda kvadratlarining farqi; yig'indining kubi va ikki ifodaning ayirma kubi; ikki ifoda kublarining yig‘indisi va ayirmalari.

Misollarni yechishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.

Ifodalarni soddalashtirish uchun ko'phadlarni faktorlarga ajrating, ko'phadlarni ga kamaytiring standart shakl qisqartirilgan ko'paytirish formulalari qo'llaniladi. Yoddan bilishingiz kerak bo'lgan qisqartirilgan ko'paytirish formulalari.

a, b R bo'lsin. Keyin:

1. Ikki ifoda yig'indisining kvadrati birinchi ifodaning kvadratiga plyus birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasi va ikkinchi ortiqcha ikkinchi ifodaning kvadrati.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Ikki ifoda ayirmasining kvadrati birinchi ifodaning kvadratiga minus birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasi va ikkinchi ortiqcha ikkinchi ifodaning kvadrati.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Kvadratchalar farqi ikkita ifoda bu ifodalar ayirmasi va ularning yig‘indisi ko‘paytmasiga teng.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. summa kubi ikkita ifodaning kubi birinchi ifodaning kubiga plyus birinchi ifodaning uch karra kvadratiga ikkinchi plyus birinchi ifodaning uch karra ko‘paytmasi ikkinchi ifodaning kvadratiga va ikkinchi ifoda kubiga teng.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. farq kubi ikkita ifodaning kubi birinchi ifodaning kvadratining ko‘paytmasining uch marta ko‘paytmasiga, ikkinchisi esa birinchi ifodaning ko‘paytmasining uch marta va ikkinchisining kvadratining minus ikkinchi ifoda kubining ko‘paytmasiga teng.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Kublar yig'indisi ikkita ifoda birinchi va ikkinchi ifodalar yig‘indisining ushbu ifodalar ayirmasining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytmasiga teng.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Kublarning farqi ikki ifodaning birinchi va ikkinchi ifodalar ayirmasining ushbu ifodalar yig‘indisining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytmasiga teng.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Misollarni yechishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.

1-misol

Hisoblash

a) Ikki ifoda yig‘indisining kvadrati formulasidan foydalanib, biz bor

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Ikki ifodaning kvadrat ayirmasi formulasidan foydalanib, hosil qilamiz

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

2-misol

Hisoblash

Ikki ifoda kvadratlarining farqi uchun formuladan foydalanib, biz olamiz

3-misol

Ifodani soddalashtirish

(x - y) 2 + (x + y) 2

Ikki ifodaning yig'indisining kvadrati va ayirmasining kvadrati uchun formulalardan foydalanamiz

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Bitta jadvalda qisqartirilgan ko'paytirish formulalari:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Oldingi darslarda polinomni faktorlarga ajratishning ikkita usulini ko‘rib chiqdik: umumiy omilni qavs ichidan chiqarish Va guruhlash usuli.

Ushbu darsda biz ko'phadni ko'paytmalarga ajratishning yana bir usulini ko'rib chiqamiz qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida.

Har bir formulani kamida 12 marta yozishingizni tavsiya qilamiz. Yaxshiroq yodlash uchun o'zingiz uchun qisqartirilgan ko'paytirishning barcha formulalarini kichikga yozing aldash varaqasi.

Kublar farqining formulasi qanday ko'rinishini eslang.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Kublar formulasining farqini eslab qolish juda oson emas, shuning uchun biz foydalanishni tavsiya qilamiz maxsus yo'l uni eslash uchun.

Har qanday qisqartirilgan ko'paytirish formulasi ham ishlashini tushunish muhimdir teskari tomon.

(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 - b 3

Bir misolni ko'rib chiqing. Kublarning farqini faktorlarga ajratish kerak.

E'tibor bering, "27a 3" - "(3a) 3", ya'ni kublar farqi formulasi uchun "a" o'rniga biz "3a" dan foydalanamiz.

Biz kublarning farqi uchun formuladan foydalanamiz. "A 3" o'rnida bizda "27a 3" va formuladagi kabi "b 3" o'rniga "b 3" mavjud.

Kub farqini teskari tartibda qo'llash

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Qisqartirilgan ko'paytirish formulasi yordamida ko'phadlar mahsulotini kublar ayirmasiga aylantirish talab qilinadi.

E'tibor bering, "(x − 1) (x 2 + x + 1)" ko'phadlarning mahsuloti kublar farqi formulasining o'ng tomoniga o'xshaydi "", faqat "a" o'rniga " x", Va ichida "b" ning o'rni "1" dir.

"(x - 1)(x 2 + x + 1)" uchun biz teskari yo'nalishdagi kublar farqi uchun formuladan foydalanamiz.

Keling, qiyinroq misolni ko'rib chiqaylik. Polinomlar mahsulotini soddalashtirish talab qilinadi.

Agar "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" ni kublar farqi formulasining o'ng tomoni bilan solishtirsak
« a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)”, keyin birinchi qavsdagi “a” o‘rnida “y 2”, “b” o‘rnida esa “1” ekanligini tushunishingiz mumkin.