ماكارسكايا E. V. في الكتاب: أيام من علوم الطلاب. الربيع - 2011. م.: جامعة موسكو الحكومية للاقتصاد والإحصاءات والمعلوماتية، 2011. P. 135-139.

ينظر المؤلفون في التطبيق العملي لنظرية المعادلات التفاضلية الخطية لدراسة النظم الاقتصادية. توفر الورقة تحليلا للنماذج الديناميكية من كينز وسامويلسون هيكس مع العثور على حالات التوازن في النظم الاقتصادية.

إيفانوف أ. I.، Isakov I.، Demin A.V. وآخرون. 5. م.: كلمة، 2012.

فحص الدليل الأساليب الكمية لدراسة استهلاك الأكسجين من قبل الرجل أثناء الاختبارات مع الجرعة ممارسه الرياضهيؤديها في SSC RF-ICBP RAS. الدليل مخصص للعلماء وعلماء الفيزياء والأطباء الذين يعملون في مجال الفضاء والطب تحت الماء والرياضة.

Mikheev A. V. SPB: قسم الطباعة التشغيلية NSU HSE - سانت بطرسبرغ، 2012.

تحتوي هذه المجموعة على مهام بمعادل المعادلات التفاضلية، وقابلة للقراءة من قبل المؤلف في كلية الاقتصاد الاقتصادي الصحة والسلامة الدولية - سانت بطرسبرغ. في بداية كل موضوع، يتم تقديم ملخص موجز للحقائق النظرية الرئيسية ويتم التعامل مع أمثلة حلول المهام النموذجية. للطلاب والمستمعين في البرامج المهنية المهنية العليا.

Konakov v.d. STI. WP BRP. نشر مجلس أمناء الميكانيكا وجاية كلية الرياضيات بجامعة موسكو الحكومية، 2012. 2012.

في قلب دليل التدريب هذا، هناك دورة خاصة حول اختيار الطالب، وقراءت مؤلف الكاتب على كلية رياضيات ميكانيكيا لجامعة موسكو الحكومية. m.v. Lomonosov في 2010-2012. السنين الأكاديميةوبعد يقدم الدليل القارئ مع طريقة المعلمات والتناظرية المنفصلة، \u200b\u200bالتي تم تطويرها في المرة الأخيرة من قبل مؤلف الكتاب والمؤلفين المشاركين في زملائه. إنه يجمع بين المواد التي تم الاحتفاظ بها مسبقا فقط في عدد من مقالات المجلة. لا تسعى جاهدة لتحقيق أقصى عمومية العرض التقديمي، حدد المؤلف الهدف من إظهار إمكانيات الطريقة في إثبات نظرية الحد المحليين على تقارب سلاسل ماركوف إلى عملية الانتشار وعند استلام التقييمات الثنائية لنوع أرونسون بعض الانتشار المنخفض.

ISS. 20. نيويورك: سبرينغر، 2012.

هذا المنشور عبارة عن مجموعة من المقالات الفردية "المؤتمر الدولي الثالث حول نظم المعلومات"، التي وقعت في جامعة فلوريدا، 16-18 فبراير 2011. الغرض من هذا المؤتمر هو جمع العلماء والمهندسين من الصناعة والحكومات الدوائر العلمية حتى يتمكنوا من تبادل الاكتشافات الجديدة والنتائج في المسائل المتعلقة نظرية وممارسة ديناميات نظم المعلومات. ديناميات نظم المعلومات: الاكتشاف الرياضي دراسة حديثة ويهدف إلى الطلاب - طلاب الدراسات العليا والباحثين الذين يهتمون بأحدث الاكتشافات في نظرية المعلومات وأنظمة ديناميكية. يمكن للعلماء من التخصصات الأخرى الاستفادة من تطبيق التطورات الجديدة في مجالات البحث الخاصة بهم.

Palvelev R.، Sergeyev A. G. وقائع المعهد الرياضي. واو جروح Steklov. 2012. 277. P. 199-214.

تم دراسة الحد الأدلي في Landau Ginzburg Hyperbolic. باستخدام الحد المحدد، يتم إنشاء المراسلات بين حلول معادلات Ginzburg-Landau والمسارات ADIABatic في مساحة الحلول الثابتة، تسمى الدوامات. اقترح مينثون مبدأ الأديان الإجرامي الذي يفترض أن أي حل لمعادلات جينزبرج-لاناو مع طاقة حركية منخفضة بما فيه الكفاية يمكن الحصول عليها كقلق لبعض المسار اديا. دليل دقيق على هذه الحقيقة وجدت مؤخرا في مؤخرا أول مؤلف

نعطي صيغة صريحة للحصول على تشويش إيز مومورفية بين الأجهزة HyComm (هيدرولوجيا Homeology of the Homotopy Quitient Operable Batalin-Vilkovisky من قبل مشغل BV-VIVE). في كلمات OTER، نستمد معادلة HYCOMM-ALGEBRAS و BV-Algebras معززة مع HOMOTOPY التي تنفد من المشغل BV. ترد هذه الصيغ من حيث الرسوم البيانية الحيوية، ويتم إثباتها بطريقتين مختلفتين. يتم استخدام دليل واحد عمل المجموعة الحيوية، والدليل الآخر يمر سلسلة من الصيغ الصريحة على قرارات HYCOMM و BV. يعطي النهج الثاني، على وجه الخصوص، شرح متهور لعمل الجماعة الحيوية على HyComm-Algebras.

تحت علمية التحرير: أ. ميخائيلوف. 14. م.: كلية اجتماعية جامعة موسكو الحكومية، 2012.

تتم كتابة مواد هذه المجموعة على أساس التقارير المقدمة في عام 2011 في كلية الاجتماع الاجتماعي لجامعة موسكو الحكومية. m.v. LOMONOSOV في اجتماع للندوة العلمية السنوية العشرية متعددة التخصصات "النمذجة الرياضية للعمليات الاجتماعية" لهم. بطل الأكاديمية الاشتراكية العمالية A.A. سمارة.

تم تصميم المنشور للباحثين والمعلمين وطلاب الجامعات والمؤسسات العلمية من الجروح المهتمة بمشاكل وتطوير وتنفيذ المنهجية النمذجة الرياضية العمليات الاجتماعية.

وزارة التربية والتعليم والعلوم في الاتحاد الروسي البحوث الوطنية الجامعة النووية "MIFI" Bukharova، V. L. Kamynin، A. B. Kostin، D. B. Kostin، D. S. Tkachenko محاضرات بشأن المعادلات التفاضلية العادية التي أوصت بها أومو الفيزياء والتقنيات التعليمية عالية الجودة للطلاب المؤسسات التعليمية موسكو 2011 UDC 517.9 BBK 22.161.6 B94 Bukharova T.i.، Kamynin v.l.، Kostin A.B.، Tkachenko D.S. دورة محاضرة شائعة المعادلات التفاضلية: الدورة التعليمية وبعد - م.: نياو مافي، 2011. - 228 ص. تم إنشاء دليل التدريب على أساس محاضرات قراءته المؤلفون في هندسة موسكو والمعهد المادي على مر السنين. من المقصود للطلاب من قبل Niya Mythi من جميع الكليات، وكذلك لطلاب الجامعات مع زيادة الإعداد الرياضي. تم إعداد الدليل في إطار برنامج إنشاء وتطوير NIYA MAFI. المشارك: الدكتور فيز. حصيرة. العلوم N.A. كوبراشوف. ISBN 978-5-7262-1400-9 © البحوث الوطنية جامعة النووية "MIII"، 2011 جدول المحتويات. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد 5 أولا - مقدمة لنظرية المعادلات التفاضلية العادية المفاهيم الأساسية. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد cauchy. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد 6 6 11 إن وجود وتفرد حل مشكلة Cauchy لمعادلة الطلبات الأولى هو نظرية تفرد الطلب الأول. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد حل محلول مشكلة Cauchy للنظام الأول. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد مواصلة الحل للنظام الأول. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد III. مهمة Cauchy للمفاهيم الأساسية لنظام الاتصال N والنشر المعتاد وبعض الخصائص المساعدة لوظيفة متجه. وبعد وبعد وبعد هوية حل مشكلة Cauchy للنظام العادي. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد ؛ وبعد مفهوم الفضاء متري. Priniype من العصر الشاشات. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد نظرات المشكلة وتفرد حل مشكلة Cauchy للأنظمة العادية. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد 14 14 23 34 34 43 44 48 4. بعض فئات المعادلات التفاضلية العادية حلها في معادلة رباعية مع متغيرات فصل. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد النظام الخطي الأول. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد معادلات موحدة. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد المعادلة inernlli. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد المعادلة في تجار متماثلون تماما. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد 55 55 58 63 64 65 V. 67 لمعادلات الطلب الأول غير المسموح لها بالنسبة إلى مشكل مشكلة المشكلة وتفرد حل Oäu، غير مسموح به بالنسبة إلى المشتق. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد حل خاص. منحنى ächrimnant. عواء. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد المعلمة إدارة المعلمة. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد معادلة لاجران. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد معادلة كليرو. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد السادس. مفاهيم أنظمة ODE الخطية الأساسية. نظرية المشكلة وتفرد حل مشكلة أنظمة متجانسة من Oäu الخطي. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد المحدد هو ârnoy. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد حلول معقدة للنظام التجانس. الانتقال إلى CCR الأساسي. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد الأنظمة النظامية للخطية Oäu. ìtode variaii ثابت. وبعد وبعد وبعد وبعد أنظمة موحدة من oäu الخطي مع cobfinger ثابت. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وظيفة الإرشادية من المطران. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد 3 67 70 77 79 81 85 Cauchy 85. وبعد وبعد 87. وبعد وبعد 91. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد 96 97. وبعد وبعد مائة . وبعد وبعد 111 أنظمة النظام النظامية الخطية مع Cobfinger ثابتة. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد 116 السابع. يتم تقليل Adu Linear عالية الطلب إلى النظام الخطي Oäu. نظرية المشكلة وتفرد حل مشكلة Cauchy. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد الطلب الخطي الموحدة عالية. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد خصائص الحلول المعقدة للترتيب العالي الخطي متجانس. الانتقال من CPC المعقدة إلى الأساسي. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد الأساس خطوط خطية عالي الطلب. ìtode variaii ثابت. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد حلول عالية الطلب الخطي الموحد مع كوبفينجر ثابت. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد هذا هو خطي عالي الترتيب الخطي مع التأثير المستمر. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد 126 VIII. نظرية الاستقرار المفاهيم والتعاريف الأساسية المتعلقة بالاستدامة. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد استقرار حلول النظام الخطي. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد oregious lyapunov على الاستقرار. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد الاستقرار وفقا لتقريب الأول. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد سلوك مسارات المرحلة القريبة من نقطة الراحة 162. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد 126 128 136 139 142 150 162 168 172 182 187 IX. أول تكاديات من أنظمة ODU 1988 الجزء الأول من النظم المستقلة من المعادلات المعادية العادية المختلفة 198 أنظمة الحكم الذاتي لل Oäu. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد 205 أنظمة سجل متماثل Oäu. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد 206 × - المعادلات في المشتقات الخاصة من المعادلات الخطية الخطية الموحدة للنظام الأول في المشتقات الخاصة للمرة الأولى من Cauchy ç للحصول على معادلة خطية في المشتقات الخاصة من النظام الأول. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد المعادلات القوازية في مشتقات الشخصية الخاصة. وبعد وبعد وبعد يحتوي Cauchy على معادلة مستحقة في المشتقات الخاصة من الطلب الأول. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد قائمة المراجع. وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد وبعد -4- 210. وبعد وبعد وبعد وبعد 210. وبعد وبعد وبعد وبعد 212. وبعد وبعد وبعد وبعد 216. وبعد وبعد وبعد وبعد 223. وبعد وبعد وبعد وبعد 227 مقدمة عند إعداد الكتاب، كان المؤلفون يهدفون إلى تقييم في مكان واحد ومعلومات الدولة حول معظم القضايا المتعلقة بنظرية المعادلات التفاضلية العادية في شكل بأسعار معقولة. لذلك، بالإضافة إلى المواد الواردة في البرنامج الإلزامي لدورة القراءة المعادلات التفاضلية العادية القراءة في NIII (وفي الجامعات الأخرى)، يتضمن البدل أسئلة إضافية التي، كقاعدة عامة، لا يوجد وقت كاف في المحاضرات، ولكن والتي ستكون مفيدة لفهم أفضل. الموضوعات وسوف يأتي مع الطلاب الحاليين في أنشطتهم المهنية الإضافية. جميع بيانات الفوائد المقترحة هي دليل صارم رياضيا. هذه الأدلة عادة ما تكون أصلية، ولكن جميعها تم إعادة تصميمها وفقا لأسلوب عرض الدورات الرياضية في المد. وفقا للانتشار بين المعلمين والعلماء، يجب دراسة التخصصات الرياضية بأدلة كاملة ومفصلة، \u200b\u200bتتحرك تدريجيا من بسيطة إلى معقدة. مؤلفو هذا الدليل يلتزم بنفس الرأي. يتم دعم المعلومات النظرية المذكورة في الكتاب من خلال تحليل عدد كاف من الأمثلة التي، كما نأمل، تبسيط القارئ لدراسة المواد. يتم تناول الدليل إلى طلاب الجامعات مع زيادة الإعداد الرياضي، بادئ ذي بدء، طلاب NIYA MEPI. في الوقت نفسه، سيكون من المفيد أيضا على كل من يهتم بنظرية المعادلات التفاضلية ويستخدم هذا القسم من الرياضيات في عمله. -5- الفصل الأول. مقدمة نظرية المعادلات التفاضلية العادية 1. 1. سيتم الإشارة إلى المفاهيم الأساسية في كل مكان في الدليل من خلال HA، BI من قبل أي من المجموعات (أ، ب) ،، (A، B]، نحن الحصول على x0 2 zx ln 4c + 3 u (t) v (t) dt5 zx v (t) dt. ln c 6 x0 x0 بعد وجها لآخر عدم المساواة واستخدامه (2.3)، لدينا 2 × 3 zx zu ( x) 6 c + u (t) v (t) dt 6 c exp 4 v (t) dt5 x0 x0 على × 2 [1، 1]. نحن نقدر الفرق JF (x، y2) f (x، y1 ) j \u003d sin x y1 y2 6 على الإطلاق (x، y) 2 g. وهكذا، F يرز حالة Lipschitz مع L \u003d 1 في الواقع، حتى مع L \u003d SIN 1 على طول ذ. ومع ذلك، مشتق FY0 في النقاط ( X، 0) 6 \u003d (0، 0) غير موجودة. سوف تسمح النظرية التالية، مثيرة للاهتمام في حد ذاتها، لإثبات تفرد حل مشكلة Cauchy. نظرية 2. 1 (على تقييم الفرق بين حلولين). دع G منطقة 2 في ص، و f (x، y) 2 cg وتلقي في حالة g lipschitz g مع l. إذا Y1، Y2 حلول من المعادلة y 0 \u003d f (x، y ) في الجزء، ثم من العدل عدم المساواة (التقييم): JY2 (x) Y1 (X) J 6 JY2 (X0) y1 (x0) j exp l (x x0) 6 y1 على الإطلاق x 2. -19- Y2 دليل. بحكم التعريف 2. 2 حلول المعادلة (2.1) نحصل على 8 × 2 نقطة x، y1 (x) و x، y2 (x) 2 g. لجميع T 2، لدينا المساواة المؤيدة Y10 (T) \u003d FT، y1 (t) و y20 (t) \u003d ft، y2 (t)، والتي تدمج بواسطة T على القطاع، حيث × 2. التكامل قانوني، لأن الأجزاء اليمنى واليسرى مستمرة في الوظائف. نحصل على نظام المساواة ZX Y1 (x) y1 (x0) \u003d x0 zx y2 (x) y2 (x0) \u003d f t و y1 (t) dt و f t و y2 (t) dt. X0 طرح واحد من الآخر، لدينا JY1 (x) y2 (x) j \u003d y1 (x0) y2 (x0) + zx hft، y1 (t) ift، y2 (t) dt 6 x0 zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + ft، y1 (t) ft، y2 (t) dt 6 x0 zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + l y1 (t) y2 (t) dt. X0 تشير إلى C \u003d Y1 (x0) y2 (x0)\u003e 0، v (t) \u003d l\u003e 0، u (t) \u003d y1 (t) ثم، في عدم المساواة في Hronolla-Áellman، نحصل على تصنيف: JY2 (x) y1 (x) j 6 jy2 (x0) y1 (x0) j exp l (x x0) y2 (t)\u003e 0. لجميع × 2. ثبت أن نظرية. نتيجة نظرية مثبتة، نحصل على نظرية تفرد حل مشكلة Cauchy (2.1)، (2.2). بديل 1. دع وظيفة f (x، y) 2 cg وتلقي حالة lipschitz في y، ووظائف y1 (x) و y2 (x)، حلول المعادلة (2.1) على نفس القطاع، و X0 2. إذا y1 (x0) \u003d y2 (x0)، ثم y1 (x) y2 (x) on. شهادة. النظر في حالتين. -20-1- 1. اسمح X\u003e X0، إذن، من Theorem 2. 1 يتبع أن H I.E.E. y1 (x) y1 (x) y2 (x) 6 0 exp l (x x0)، y2 (x) at x\u003e x0. 2. اسمح ل X 6 X0، واسمحوا بديلا t \u003d x، ثم يي (x) \u003d yi (t) y ~ i (t) at i \u003d 1، 2. منذ X 2، T 2 [X0 و X1] والمساواة Y ~ 1 (x0) \u003d Y ~ 2 (x0) مصنوعة. نكتشف ما هي المعادلة مرضية y ~ i (t). السلسلة التالية من المساواة صحيحة: D y ~ i (t) \u003d dt d ~ yi (x) \u003d dx f x، yi (x) \u003d f (t، y ~ i (t)). هنا استفادنا من درجات التمايز وظيفة معقدة وحقيقة أن يي (س) هو حلول المعادلة (2.1). منذ الوظيفة f ~ (t، y) f (t، y) مستمر وتلبي الشرط lipschitz ل y، ثم بواسطة theorem 2. 1 لدينا هذا y ~ 1 (t) y ~ 1 (t) y ~ 1 (t) y ~ 2 (t) y ~ 1 (t) y ~ 1 (t ، X1]، أي Y1 (x) y2 (x) على. الجمع بين كلتا الحالتين النظر فيها، نحصل على موافقة التحقيق. بدلا من ذلك 2. (عند الاعتماد المستمر على البيانات الأولية)، دع وظيفة F (x، y) 2 CG وتلقي حالة Lipschitz على طول ذ مع L، والوظائف Y1 (X) و Y2 (X) هي حلول المعادلة (2.1) محددة على. نتوافق مع l \u003d x1 x0 و δ \u003d y1 (x0) y2 (x0). إذا كان في 8 × 2، فإن عدم المساواة Y1 (x) y2 (x) 6 δ δ l صحيح. يجب أن يكون الدليل على الفور من نظرية 2. 1. تسمى عدم المساواة من نتيجة نسبية 2 تقييم استدامة قرار بشأن البيانات الأولية. معناها هو أنه إذا كان في X \u003d X0، فإن الحلول هي "إغلاق"، ثم في الجزء الأخير، فهي أيضا قريبة. يعطي Theorem 2. 1 تقديرا مهما لوحدة الفرق من حلولين للتطبيقات، ونتيجة 1 هي تفرد حل مشكلة Cauchy (2.1)، (2.2). هناك أيضا شروط كافية أخرى لتفردها، واحدة منها نقدمها الآن. كما هو مذكور أعلاه، فإن التفرد هندسي لمشكلة Cauchy يعني أنه من خلال نقطة (X0، Y0) يمكن أن تمر G لا يزيد عن منحنى جزء لا يتجزأ من المعادلة (2.1). نظرية 2. 2 (Osguda حول التفرد). لنفترض أن الوظيفة F (x، y) 2 cg و 8 (x، y1)، (x، y2) 2 g تنفيذها غير المساواة F (x، y1) f (x، y2) 6 6 φ jy1 y2 j، حيث (U)\u003e 0 في u 2 (0، β]، (u) مستمر، و zβ du! +1، عندما ε! 0+. إذا كانت النقطة (x0، y0)، المنطقة (u ) ε g ليس أكثر منحنى لا يتجزأ (2.1). -21- دليل. لنفترض أن هناك حلولين y1 (x) و y2 (x) من المعادلة (2.1)، بحيث y1 (x0) \u003d y2 (x0) \u003d y0، defenes z (x) \u003d y2 (x) y1 (x). dyi as \u003d f (x، yi)، في i \u003d 1، 2، ثم ل z (x) المساواة dx dz \u003d f (x، y2 ) f (x، y1). dx dz \u003d f (x، y2) f (x، y1) JZJ 6 φ JZJ JZJ، أي اليمين ثم Z DX 1 D عدم المساواة JZJ2 6 φ JZJ JZJ، والتي يتبع منها مع JZJ 6 \u003d 0 DX DOZ - عدم المساواة المزدوجة: ZJZ2 J ZX2 DX 6 X1 2 D JZJ 6 2 JZJφ JZJ ZX2 DX، (2.5) X1 JZ1 J حيث يتم تكامله وفقا لأي شريحة عليه z (x)\u003e 0، و Zi \u003d Z (الحادي عشر)، أنا \u003d 1، 2. عن طريق الافتراض، Z (X) 6 0، علاوة على ذلك، فمن المستمر، لذلك تم العثور عليه هذا الجزء، وسوف نختار ذلك وإصلاحه. النظر في بعض الأمم N O X1 \u003d X X< x1 и z(x) = 0 , n o X2 = x x > x2 و z (x) \u003d 0. إذا لم تكن إحدى هذه المجموعات فارغة، نظرا لأن Z (x0) \u003d 0 و X0 62. اسمحوا، على سبيل المثال، X1 6 \u003d ∅، إنه محدود من أعلاه، وبالتالي 9 α \u003d SUP X1. لاحظ أن z (α) \u003d 0، I.E. α 2 x1، لأنه يفترض أن Z (α)\u003e 0، بحكم الاستمرارية، سيكون لدينا z (x)\u003e 0 في بعض الفاصل الزمني α δ1، α + δ1، وهذا يتعارض مع تعريف α \u003d sup X1. من الحالة Z (α) \u003d 0 ذلك يتبع ذلك α< x1 . По построению z(x) > 0 لجميع × 2 (α، x2]، وبفضل الاستمرارية Z (X)! 0+ في X! α + 0. كرر الحجج في دبوس (2.5)، دمج على الجزء [α + δ، X2 ]، حيث تم اختيار X2 أعلاه وثابتة، و δ 2 (0، x2 α) - التعسفي، نحصل على عدم المساواة: ZJZ2 J ZX2 DX 6 α + δ D JZJ2 6 2 JZJφ JZJ JZ (α + δ) J ZX2 DX. α + δ في هذا مزدوج سأحدد δ! 0+، ثم z (α + δ)! z (α + δ) \u003d 0، من zjz2 jd jzj2! +1، وفقا لاستمرارية z (x)، و ثم The Extretival 2 JZJφ JZJ نظرية JZJ (α + δ) J -22 - الجزء الأيمن من عدم المساكة RX2 DX \u003d x2 α δ 6 x2 α هو محدود α + δ من أعلى القيمة النهائية، وهو أمر مستحيل في وقت واحد. الناتج تناقض تثبت نظرية. 2. 2. ضروري حل مشكلة Cauchy للنظام الأول ما هي مهمة Cauchy (2.1)، (2.2) من المفهوم بمهمة العثور على وظيفة Y (X): 0 ذ \u003d f (x، y)، (x، y) 2 g، y (x0) \u003d y0، (x0، y0) 2 g، حيث f (x، y) 2 cg و (x0، y0) 2 ز؛ هي منطقة في R2. Lemma 2. 2. دع f (x، y) 2 cg. إذا كانت البيانات التالية تحدث: 1) كل شيء إعادة φ (X) المعادلة (2.1) على نطاق HA، BI، مرضية (2.2) X0 2 HA، BI، هي حل على HA، المعادلة النسامة BI ZX Y (X) \u003d Y0 + F τ، Y (τ) Dτ (2.6) x0 2) إذا (x) 2 C HA، حل ثنائي المعادلة المتكاملة (2.6) على هكتار، ثنائية، 1 حيث X0 2 HA، BI، ثم (x) 2 C هكتار، ثنائية الحل (2.1)، (2.2). شهادة. 1. دع φ (x)، القرار (2.1)، (2.2) بشأن هكتار، ثنائية. ثم، وفقا للملاحظة 2.2 (x) 2 c ha، bi و 8 τ 2 ha، bi، لدينا المساواة 0 (τ) \u003d f τ، (τ)، دمج أي من x0 إلى x، نحن الحصول على (في أي × 2 هكتار، bi) rx (x) (x0) \u003d f τ، (τ) dτ، مع φ (x0) \u003d y0، I.E. φ (x) - الحل (2.6). X0 2. دع y \u003d (x) 2 c ha، bi - solution (2.6). منذ FX، (x) مستمر على HA، BI حسب الشرط، ثم ZX φ (x) y0 + f τ، (τ) dτ 2 c 1 ha، bi x0 كإعداد مع حد كبير متغير من المستمر وظيفة. قم بتمييز المساواة الأخيرة من X، نحصل على 0 (x) \u003d f x، (x) 8 × 2 هكتار، ثنائية، من الواضح، (x0) \u003d y0، I.E. φ (x) هو حل مشكلة Cauchy (2.1)، (2.2). (كالمعتاد، يفهم المشتق المقابلة من جانب واحد في نهاية القطاع. إذا أثبكنا أن محلول المعادلة (2.6) موجودنا، نحصل على إمكانية القدرة والأهداف في Cauchy (2.1)، (2.2). يتم تنفيذ هذه الخطة في النظرية التالية. نظرية 2. 3 (نظرية الوجود المحلي). دع المستطيل P \u003d (X، Y) 2 R2: JX X0 J 6 α، JY Y0 J 6 β يكمن بالكامل في G من وظيفة تحديد الوظيفة F (x، y). و f (x، y) 2 c g وتلقي شرط lipschitz ل n y ov g مع l. l. المقابلة β m \u003d max f (x، y)، h \u003d min α، m. إذا كان هناك حل مهمة êshoshi (2.1)، (2.2). شهادة. على القطع، نؤسس وجود حل من المعادلة المتكاملة (2.6). للقيام بذلك، فكر في تسلسل الوظائف التالية: zx y0 (x) \u003d y0، y1 (x) \u003d y0 + f τ، y0 (τ) dτ، ... x0 zx yn (x) \u003d y0 + f τ τ، YN 1 (τ) Dτ، إلخ. X0 1. نعرض أن 8 ن 2 وظائف YN (تقريبية متتالية) محددة، أي نظهر أنه عند 8 × 2، يتم تنفيذ عدم المساواة YN (X) Y0 6 β للجميع N \u003d 1، 2،. وبعد وبعد نحن نستخدم طريقة الحث الرياضي (MMI): أ) أساس التعريفي: N \u003d 1. zx y1 (x) y0 \u003d f τ، y0 (τ) dτ 6 m0 x0 6 mh 6 β، x0 حيث m0 \u003d ماكس f (X، Y0) في JX X 0 J 6 α، M0 6 م؛ ب) خطوة الافتراض والتعريفي. دع عدم المساواة صحيحة بالنسبة ل YN 1 (x)، نثبت ذلك ل YN (X): ZX YN (X) Y0 \u003d f τ، yn 1 (τ) dτ 6 mx x0 لذلك، إذا كان JX X0 J 6 H، ثم yn (x) y0 6 β 8 n 2 n. -224 - x0 6 m h 6 β. هدفنا سيكون دليل على تخليق التقارب الأقرب لأقرب 1 YK (X) K \u003d 0، لهذا مناسب لتمثيله في النموذج: YN \u003d Y0 + NX YK 1 (x) \u003d y0 + y1 yk (x ) y0 + y2 y1 +. وبعد وبعد + YN YN 1، K \u003d 1 I.E. تسلسل مبالغ جزئية من السلسلة الوظيفية. 2. نقدر أعضاء هذه السلسلة من خلال إثبات عدم المساواة التالية 8 n 2 n و 8 × 2: x0 jn yn (x) yn 1 6 m0 l 6 m0 ln n! تطبيق طريقة التعريفي الرياضي: JX N 1 1 HN. ن! (2.7) أ) قاعدة التعريفي: ن \u003d 1. Y1 (x) x y 0 6 m0 x0 6 m0 h، مثبتة أعلاه؛ ب) خطوة الافتراض والتعريفي. دع عدم المساواة صحيحة ل n لكل واحد n: zx yn (x) yn 1 f τ τ، yn 1 (τ) \u003d f τ، yn 2 (τ) 1، dτ 6 x0 zx i yn 6 for lipsshitz 6 l h yn 1 2 dτ 6 x0 h zx i 6 بواسطة افتراض التعريفي 6 l n 2 m0 l jτ x0 jn 1 dτ \u003d (n 1)! X0 M0 LN 1 \u003d (N 1)! ZX Jτ N 1 X0 J M0 LN 1 JX X0 JN M0 L N 6 Dτ \u003d (N 1)! ن ن! 1 X0 RX هنا استخدمنا حقيقة أن التكامل i \u003d jτ x0 في x\u003e x0 مع x< x0 Rx I = (τ x0 Rx I = (x0 n 1 x0) τ)n 1 dτ = dτ = x0 (x (x0 x)n n Таким образом, неравенства (2.7) доказаны. -25- x0)n и n = jx x0 jn . n x0 jn 1 dτ : hn . 3. Рассмотрим тождество yn = y0 + ним функциональный ряд: y0 + 1 P n P yk (x) yk 1 (x) и связанный с k=1 yk 1 (x) . Частичные суммы это- yk (x) k=1 го ряда равны yn (x), поэтому, доказав его сходимость, получим сходимость 1 последовательности yk (x) k=0 . В силу неравенств (2.7) функциональный ряд мажорируется на отрезке k 1 P k 1 h числовым рядом M0 L . Этот числовой ряд сходится k! k=1 по признаку Даламбера, так как M0 Lk hk+1 k! ak+1 = ak (k + 1)! M0 L k 1 hk = h L ! 0, k+1 k ! 1. Тогда по признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональный 1 P ряд y0 + yk (x) yk 1 (x) сходится абсолютно и равномерно на отрезk=1 ке , следовательно и функциональная последовательность 1 yk (x) k=0 сходится равномерно на отрезке к некоторой функ- ции ϕ(x), а так как yn (x) 2 C , то и ϕ(x) 2 C как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. 4. Рассмотрим определение yn (x): Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ (2.8) x0 – это верное равенство при всех n 2 N и x 2 . У левой части равенства (2.8) существует предел при n ! 1, так как yn (x) ⇒ ϕ(x) на , поэтому и у правой части (2.8) тоже существует Rx предел (тот же самый). Покажем, что он равен функции y0 + f τ, ϕ(τ) dτ , x0 используя для этого следующий критерий равномерной сходимости функциональной последовательности: X yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 () sup yn (x) y(x) ! 0 при n ! 1 . x2X X Напомним, что обозначение yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 принято использовать для равномерной на множестве X сходимости функциональной последователь 1 ности yk (x) k=0 к функции ϕ(x). -26- Покажем, что y0 + Rx X f τ, yn 1 (τ) dτ ⇒ y0 + x0 здесь X = . Для этого рассмотрим f τ, yn 1 (τ) f τ, ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 Zx h i yn 1 (τ) 6 по условию Липшица 6 sup L ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 6 L h sup yn 1 (τ) ϕ(τ) ! 0 при n ! 1 τ 2X X в силу равномерной при n ! 1 сходимости yn (x) ⇒ ϕ(x). Таким образом, переходя к пределу в (2.8), получим при всех x 2 верное равенство Zx ϕ(x) = y0 + f τ, ϕ(τ) dτ, x0 в котором ϕ(x) 2 C . По доказанной выше лемме 2. 2 ϕ(x) – решение задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Замечание 2. 7. В теореме 2. 3 установлено существование решения на отрезке . По следствию 1 из теоремы 2. 1 это решение единственно в том смысле, что любое другое решение задачи Коши (2.1), (2.2), определенное на совпадает с ним на этом отрезке. Замечание 2. 8. Представим прямоугольник P в виде объединения двух (пересекающихся) прямоугольников P = P [ P + , (рис. 2. 3) где n P = (x, y) n P = (x, y) + x 2 ; x 2 ; -27- jy jy o y0 j 6 β , o y0 j 6 β . Рис. 2. 3. Объединение прямоугольников Обозначим f (x, y . M − = max − f (x, y , M + = max + P P Повторяя,с очевидными изменениями, доказательство теоремы 2. 3 отдель но для P + или P − , получим существование (и единственность) решения на отрезке n o β + + , где h = min α, M + или, соответственно, на , n o β − . Отметим, что при этом, вообще говоря, h+ 6= h− , а h h = min α, M − из теоремы 2. 3 есть минимум из h+ и h− . Замечание 2. 9. Существование решения задачи (2.1), (2.2) теоремой 2. 3 гарантируется лишь на некотором отрезке . В таком случае говорят, что теорема является локальной. Возникает вопрос: не является ли локальный характер теоремы 2. 3 следствием примененного метода ее доказательства? Может быть, используя другой метод доказательства, можно установить существование решения на всем отрезке , т.е. глобально, как это было со свойством единственности решения задачи Коши (2.1), (2.2)? Следующий пример показывает, что локальный характер теоремы 2. 3 связан с «существом» задачи, а не с методом ее доказательства. Пример 2. 1. Рассмотрим задачу Коши 0 y = −y 2 , (2.9) y(0) = 1 n o в прямоугольнике P = (x, y) jxj 6 2, jy − 1j 6 1 . Функция f (x, y) = −y 2 непрерывна в P и fy0 = −2y 2 C P , поэтому все условия тео1 β , α = и ремы 2. 3 выполнены, а M = max f (x, y) = 4. Тогда h = min P P M 4 -28- теорема 2. 3 гарантирует существование решения на отрезке 1 1 . Решим − , 4 4 эту задачу Коши, используя «разделение переменных»: − dy = dx y2 () y(x) = 1 . x+C 1 – решение задачи Коши (2.9). x+1 График решения представлен на рис. (2.4), из которого видно, что решение 1 при x < x = − покидает прямоугольник P , а при x 6 −1 даже не 2 существует. Подставляя x = 0, найдем C = 1 и y(x) = Рис. 2. 4. Локальный характер разрешимости задачи Коши В связи с этим возникает вопрос об условиях, обеспечивающих существование решения на всем отрезке . На приведенном примере мы видим, что решение покидает прямоугольник P , пересекая его «верхнее» основание, поэтому можно попробовать вместо прямоугольника P в теореме 2. 3 взять полосу: o n 2 A 6 x 6 B − 1 < y < +1 , A, B 2 R. Q = (x, y) 2 R Оказывается, что при этом решение существует на всем отрезке A, B , если f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y в Q. А именно, имеет место следующая важная для приложений теорема. Теорема 2. 4. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y с константой L в полосе Q = (x, y) 2 R2: A 6 x 6 B, y 2 R , -29- где A, B 2 R. Òогда при любых начальных данных x0 2 , y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем . Доказательство. Áудем считать, что x0 2 (A, B). Проведем рассуждения по схеме теоремы 2. 3 отдельно для полосы o n + 2 x 2 y 2 R и Q = (x, y) 2 R n Q = (x, y) 2 R2 o x 2 y 2 R . + Если x0 = A или x0 = B, то один из этапов рассуждений (для Q или, соответственно, для Q) отсутствует. + Возьмем полосу Q и построим последовательные приближения yn+ (x), + как в теореме 2. 3. Поскольку Q не содержит ограничений на размер по y, то пункт 1) доказательства теоремы 2. 3 не проверяем. Далее, как в предыдущей теореме, от последовательности переходим к ряду с частичными суммами yn+ (x) = y0 + n X yk+ (x) yk+ 1 (x) , где x 2 . k=1 Повторяя рассуждения, доказываем оценку вида (2.7) x0 jn x0)n n 1 (B 6 M0 L 6 M0 L (2.10) n! n! при всех x 2 ; здесь M0 = max f (x, y0) при x 2 , откуда yn+ (x) yn+ 1 n 1 jx yn+ (x) как и выше в теореме 2. 3 получим, что ⇒ ϕ+ (x), n ! 1, причем ϕ+ (x) 2 C , ϕ+ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Возьмем полосу Q и построим последовательность yn (x). Действуя ана логично, получим, что 9 ϕ (x) 2 C , ϕ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Определим функцию ϕ(x) как «сшивку» по непрерывности ϕ+ и ϕ , т.е. + ϕ (x), при x 2 , ϕ(x) = ϕ (x), при x 2 . Отметим, что ϕ+ (x0) = ϕ (x0) = y0 и потому ϕ(x) 2 C . Функции ϕ (x) по построению удовлетворяют интегральному уравнению (2.6), т.е. Zx ϕ (x) = y0 + f τ, ϕ (τ) dτ, x0 -30- где x 2 для ϕ+ (x) и x 2 для ϕ (x), соответственно. Следовательно, при любом x 2 функция ϕ(x) удовлетворяет инте 1 гральному уравнению (2.6). Тогда по лемме 2. 2, ϕ(x) 2 C и является решением задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Из доказанной теоремы 2. 4 нетрудно получить следствие для интервала (A, B) (открытой полосы). Ñледствие. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна в открытой полосе Q = (x, y) 2 R2: x 2 (A, B), y 2 R , причем A и B 2 R могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что f (x, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(x) 2 C(A, B), такая, что 8 x 2 (A, B) и 8 y1 , y2 2 R выполняется неравенство f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j. Òогда при любых начальных данных x0 2 (A, B), y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем (A, B). Доказательство. Для любой полосы Q1 = (x, y) 2 R2: x 2 , y2R , где A1 > A، B1.< B, лежащей строго внутри Q и содержащей (x0 , y0), справедлива теорема 2. 4, так как при доказательстве оценок вида (2.10), необходимых для обоснования равномерной на сходимости последовательности yn (x) , используются постоянные M0 = max f (x, y0) при x 2 и L = max L(x) x 2 . Эти постоянные не убывают при расширении (A, B). Возьмем последовательность расширяющихся отрезков , удовлетворяющих условиям B > BK + 1\u003e BK لجميع K 2 N؛ 1) أ.< Ak+1 < Ak , 2) x0 2 при всех k 2 N; 3) Ak ! A, Bk ! B при k ! 1. Заметим сразу, что S = (A, B) и, более того, для любого x 2 (A, B) k найдется номер x 2 . N (x) 2 N, такой, что при всех -31- k > يتم إجراء N من خلال إثبات هذا البيان الإضافي لحالة A، B 2 R (I.E.، A و B، إذا كان \u003d 1 أو B \u003d + 1، ثم بنفس الطريقة). تأخذ X A B X، التعسفي X 2 (A، B) و δ (x) \u003d Min، δ (x)\u003e 0. 2 2 2 من الرقم من تقارب AK! A و BK! ب نحصل على 9 N1 () 2 N: 8 K\u003e N1،< Ak < A + δ < x, 9 N2 (δ) 2 N: 8 k > N2، X.< B δ < Bk < B. Тогда для N = max N1 , N2 справедливо доказываемое свойство. Построим последовательность решений задачи Коши (2.1), (2.2) Yk (x), применяя теорему 2. 4 к соответствующему отрезку . Любые два из этих решений совпадают на общей области определения по следствию 1 из теоремы 2.1. Таким образом, два последовательных решения Yk (x) и Yk+1 (x) совпадают на , но Yk+1 (x) определено на более широком отрезке . Построим решение на всем (A, B). Возьмем и построим ϕ(x) – решение задачи (2.1), (2.2) на всем (по теореме 2. 4). Затем продолжим это решение на , . . . , . . . Получим, что решение ϕ(x) определено на всем (A, B). Докажем его единственность. Предположим, что существует решение ψ(x) задачи Коши (2.1), (2.2), также определенное на всем (A, B). Докажем, что ϕ(x) ψ(x) при любом x 2 (A, B). Пусть x – произвольная точка (A, B), найдется номер N (x) 2 N, такой, что x 2 при всех k > ن. تطبيق نتيجة 1 ص. 2.1 (أي نظرية التفرد)، نحصل على ذلك (t) ψ (t) على الإطلاق T 2، وعلى وجه الخصوص، في T \u003d X. نظرا لأن X هي نقطة تعسفية (أ، ب)، فإن تفرد الحل، ومع ذلك، ثبت النتيجة. الملاحظة 2. 10. في التحقيق المؤكد، التقينا لأول مرة بمفهوم مواصلة القرار بشأن مجموعة أوسع. في الفقرة التالية، سندرسها بمزيد من التفصيل. نحن نعطي بعض الأمثلة. S مثال 2. 2. للحصول على المعادلة Y 0 \u003d EJXJ X2 + Y 2، معرفة ما إذا كان محلوله موجودا على كل شيء (A، B) \u003d (1، +1). النظر في هذه المعادلة في "الشريط" Q \u003d R2، وظيفة P JXJ F (x، y) \u003d e x2 + y 2 ∂f y \u003d ejxj p، fy0 6 ejxj \u003d l (x). ∂Y X2 + Y 2 وفقا للمطالبة 2. 1 من الفقرة 2.1 وظيفة F (x، Y) ترضي شرط lipschitz على y مع "ثابت" l \u003d l \u003d l (x)، x ثابت. ثم يتم تنفيذ جميع شروط النتيجة، ومع أي بيانات أولية (X0، Y0) 2 R2، يوجد حل مشكلة Cauchy والورود هو الوحيد (1، +1). لاحظ أن المعادلة نفسها في الربع لا يتم حلها، ولكن يمكن بناء الحلول التقريبية عدديا. وهي مصممة ومستمرة في Q، -32- المثال 2. 3. بالنسبة ل Y 0 \u003d EX Y 2 المعادلة، تعرف على ما إذا كانت حلولها المحددة على R. إذا نظرنا مرة أخرى في هذه المعادلة في "الشريط" Q \u003d R2، حيث وظيفة ∂ ff (x، y) \u003d ex y 2 يتم تعريفها ومستمرة، a \u003d 2yex، يمكننا أن نلاحظ، ∂y أن حالة التحقيق تنتهك، وهي ليست وظيفة مستمرة من هذه الوظائف L (X) أن f (x، y2) f (x، y1) 6 l (x) jy2 y1 j مع كل y1، y2 2 r. في الواقع، f (x، y2) f (x، y1) \u003d ex jy2 + y1 j JY2 Y1 J، والتعبير JY2 + Y1 J لا يقتصر على Y1، Y2 2 R. وبالتالي، فإن النتيجة غير قابلة للتطبيق. قررت هذه المعادلة "فصل المتغيرات"، نحصل على حل عام: "y (x) \u003d 0، y (x) \u003d 1. ex + c تأخذ للحصول على الدقة x0 \u003d 0، y0 2 r. إذا y0 \u003d 0، ثم y (x) 0 - حل مشكلة Cauchy على R. 1 - حل مشكلة Cauchy. في Y0 2 [1، 0) يتم تعريف السابقين على All X 2 R، وفي Y0 2 (1، 1) [(0، +1) y0 + 1 يمكن أن يستمر من خلال النقطة x \u003d ln. على وجه التحديد، إذا كانت x\u003e 0، ثم Y0 1 الحل Y (x) \u003d y0 +1 محددة في x 2 (1، X)، وإذا X< 0 x e y0 y0 < 1 , то решение определено при x 2 (x , +1). В первом случае lim y(x) = +1, а во втором – lim y(x) = 1. Если y0 6= 0, то y(x) = x!x 0 y0 +1 y0 x!x +0 -33- Для наглядности нарисуем интегральные кривые при соответствующих значениях y0 (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Интегральные кривые уравнения y 0 = ex y 2 Таким образом, для задачи Коши 0 y = ex y 2 , y(0) = y0 имеем следующее: 1) если y0 2 [ 1, 0], то решение существует при всех x 2 R; y0 + 1 2) если y0 < 1, то решение существует лишь при x 2 ln ; +1 ; y0 y0 + 1 . 3) если y0 > 0، ثم المحلول موجود فقط في × 2 1؛ يوضح LN Y0 هذا المثال أن الحد الأقصى لنمو وظيفة F (X، Y) في النتيجة الحالية للنظرية 2. 4 ضروري لمواصلة الحل للجميع (أ، ب). وبالمثل، أمثلة مع وظيفة F (x، y) \u003d f1 (x) y 1 + ε مع أي ε\u003e 0، في المثال المحدد، ε \u003d 1 فقط لراحة العرض التقديمي يؤخذ. 2. 3. استمرار الحل للنظام الأول للترتيب الأول. التعريف 2. 5. النظر في المعادلة Y 0 \u003d F (X، Y) ودع Y (x) - حلها على HA، BI، و Y (x) - يحمل حلها، مع HA، BI في HA، BI و Y (X) \u003d Y (X) على HA، BI. ثم يسمى y (x) استمرار الحل Y (x) على هكتار، ثنائية، وحول y (x) يقولون أنه يستمر في ها، ثنائية. -34- في الفقرة 2.2، أثبتنا النظرية المحلية لوجود مشكلة Cauchy (2.1)، (2.2). تحت أي شروط يستمر هذا القرار في فجوة أوسع؟ تكرس هذه المشكلة لهذه المشكلة. والنتيجة الرئيسية هي كما يلي. نظرية 2. 5 (بناء على استمرار الحل في منطقة محدودة مغلقة). دع وظيفة F (X، Y) 2 CG وتلقي حالة Lipschitz على طول ذ في R2، A (X0، Y0) النقطة الداخلية للمنطقة المحدودة المحدودة G. حل المعادلة Y 0 \u003d F (X، Y)، واستمرت حتى ∂g حدود المنطقة G، أي يمكن أن يستمر في مثل هذا القطاع الذي يشير إلى أ، ص (أ) و B، Y (B) تكمن على ∂g. ∂f (x، y) مستمر في محدود من قبل OT، مغلق، محدب من قبل Y منطقة G، ثم وظيفة F (x، y) تلبية حالة lipschitz في المتغير y. انظر نتيجة الموافقة 2. 1 ∂f من الفقرة 2.1. لذلك، سيكون هذا نظرية صالحة إذا كان مستمرا في ∂y g. ملاحظة 2. 11. أذكر أنه إذا كان دليلا. منذ (X0، Y0) هي نقطة داخلية G، ثم هناك مستطيل مغلق رقم 2 ع \u003d (x، y) 2 r x0 6 α، y y0 6 β، كامل الكذب في g. ثم بواسطة نظرية 2. 3 2.2 هناك H\u003e 0 بحيث يكون هناك حل على الجزء (والجزء الوحيد) الحل Y \u003d (x) من المعادلة y 0 \u003d f (x، y). سأواصل أولا هذا القرار حتى يصل إلى حدود G من المنطقة، وكسر الدليل على الخطوات الفردية. 1. النظر في مجموعة ER: NO E \u003d α\u003e 0 الحل Y \u003d (x) باستمرار على الحل Y \u003d 1 (x) من المعادلة y 0 \u003d f (x، y)، تلبية ظروف cauchy 1 ~ ب \u003d ~ ب. وبالتالي، (x) و 1 (x) (x) هي حلول على شريحة ~ B H1، ~ B واحدة معادلات تتطابق مع النقطة X \u003d ~ B، لذلك تتزامن على الجزء بأكمله ~ B H1، ~ B، لذلك ، φ1 (x) هو استمرار الحل (x) من القطاع ~ b h1، ~ b إلى ~ b h1، ~ b + h1. النظر في الوظيفة ψ (x): (x)، x 2 x0، ψ (x) \u003d φ1 (x)، x 2 ~ b ~ b، h1، ~ b + h1 ~ b h1، x0 + α0 + h1، الذي هو حل المعادلة Y 0 \u003d f (x، y) ويرضي شرط cauchy ψ (x0) \u003d y0. ثم الرقم α0 + H1 2 E، وهذا يتعارض مع تعريف α0 \u003d SUP E. لذلك، الحالة 2 مستحيلة. وبالمثل، يستمر الحل (x) في اليسار، على القطاع، حيث النقطة أ، (a) 2 ∂g. أثبت نظرية تماما. -37- الفصل الثالث. مهمة Cauchy للنظام العادي للطلب n 3. 1. المفاهيم الأساسية وبعض الخصائص المساعدة لوظائف ناقلات في هذا الفصل سينظر في نظام الطلب N والنموذج الطبيعي للنموذج 8\u003e T، Y،. وبعد وبعد ، ذ y _ \u003d f 1 n 1 1\u003e،< y_ 2 = f2 t, y1 , . . . , yn , (3.1) . . . > \u003e: y_ \u003d f t، y،. وبعد وبعد ، ذ، ن ن 1 ن حيث غير معروف (المطلوب) هي الوظائف Y1 (T)،. وبعد وبعد ، YN (T)، وظائف فاي معروفة، وأنا \u003d 1، N، النقطة التي يدل على الوظيفة تشير إلى مشتق T. من المفترض أن يتم تعريف جميع FI في المنطقة G RN + 1. إنه مناسب لتسجيل النظام (3.1) في شكل ناقلات: y_ \u003d f (t، y)، حيث y (t) y1 (t). وبعد وبعد ، yn (t)، f (t، y) f1 (t، y). وبعد وبعد ، FN (T، Y)؛ سوف outrogors في تعيين المتجهات لن يكتب للإيجاز. سيتم أيضا الإشارة إلى مثل هذا السجل (3.1). دع النقطة T0، Y10،. وبعد وبعد ، YN0 الأكاذيب في G. مشكلة Cauchy لمدة (3.1) هي العثور على حل (T) من النظام (3.1) مرضية الحالة: 1 (T0) \u003d y10، 2 \u200b\u200b(t0) \u003d y20، ...، φn (t0) \u003d yn0، (3.2) أو في شكل متجه (t0) \u003d y 0. كما لوحظ في الفصل 1، بموجب حل النظام (3.1)، يتم فهم وظيفة المتجه (t) \u003d φ1 (t) على أنها نظام HA، BI. وبعد وبعد ، φn (t)، ظروف مرضية: 1) 8 t 2 ha، bi point t، (t) يكمن في g؛ 2) 8 ر 2 هكتار، ثنائية 9 د دي تي φ (ر)؛ 38 3) 8 ر 2 هكتار، BI (T) يرضي (3.1). إذا كان هذا القرار يرضي (3.2)، حيث T0 2 HA، BI، ثم يسمى حل مشكلة Cauchy. يتم استدعاء الشروط (3.2) القوى أو ظروف cauch، والعدد T0، Y10،. وبعد وبعد ، YN0 - بيانات Cauchy (البيانات الأولية). في حالة معينة، عندما يكون متغير وظيفة ناقلات F (T، Y) (n + 1) يعتمد على y1،. وبعد وبعد ، YN الخطي، أي لديها النموذج: f (t، y) \u003d a (t) y + g (t)، حيث يسمى (t) \u003d aij (t) - n n matrix، النظام (3.1) الخطي. في المستقبل، سنحتاج إلى خصائص وظائف المتجهات التي نحن هنا هنا لراحة الروابط. تشتهر قواعد الإضافة والضرب عن طريق عدد المتجهات من مجرى الجبر الخطي، هذه العمليات الأساسية تنفذ بالكامل. n إذا في ص لإدخال منتج العددية x، y \u003d x1 y1 +. وبعد وبعد + XN YN، نحصل على مساحة Euclidean، والتي سيتم الإشارة إليها أيضا بواسطة RN، مع طول S Q N P Vector JXJ \u003d X، X \u003d X2K (أو حسب القاعدة Euclidean). بالنسبة ل Scalar K \u003d 1، الأعمال والأطوال هي عادلان عدم المساواة الرئيسية: 1) 8 ×، Y 2 RN 2) 8 ×، Y 2 RN). X + Y 6 X + Y X، Y 6 X (عدم المساواة مثلث)؛ نعم (عدم المساواة في كوشي ينتمي - من سياق التحليل الرياضي للفصل الدراسي الثاني، من المعروف أن تقارب تسلسل النقاط (ناقلات) في الفضاء الإقليدي (الأبعاد المحدود) يعادل تقارب تسلسلات إحداثي من هذه المتجهلات، يقولون يعادل تقارب التنسيق. يتم اتباعها بسهولة من عدم المساواة: QP Max X 6 X21 + ... فيما يلي بعض عدم المساواة لوظائف المتجهات المستخدمة في المستقبل. 1. لأي وظيفة ناقلات y (t) \u003d y1 (t)،. وبعد وبعد ، yn (t) قابل للتكامل (على سبيل المثال، مستمر) على، عدم المساواة إلى حد ما ZB ZB Y (T) DT 6 AY \u200b\u200b(T) DT A -39- (3.3) أو في شكل تنسيق 0 ZB ZB Y1 (T) DT، @ Y2 (ر) DT،. وبعد وبعد ، 1 zb zb q yn (t) dt 6 y12 (t) +. وبعد وبعد YN2 (ر) DT. دليل. لاحظ أولا، أنه في عدم المساواة لا يستبعد حالة< a, для этого случая в правой части присутствует знак внешнего модуля. По определению, интеграл от вектор-функции – это предел интегральn P ных сумм στ (y) = y(ξk) tk при характеристике («мелкости») разбиения k=1 λ(τ) = max tk стремящейся к нулю. По условию στ ! k=1, N Rb y(t) dt , а по a неравенству треугольника получим στ 6 n X Zb y(ξk) tk ! k=1 при λ(τ) ! 0 y(t) dt, a (здесь мы для определенности считаем a < b). По теореме о переходе к пределу в неравенстве получим доказываемое. Случай b < a сводится к изученному, Rb Ra так как = . a b Аналоги теорем Ролля и Лагранжа отсутствуют для вектор-функций, однако можно получить оценку, напоминающую теорему Лагранжа. 2. Для любой вектор-функции x(t), непрерывно дифференцируемой на , имеет место оценка ¾приращения¿: x(b) x(a) 6 max x 0 (t) b a. (3.4) Доказательство. Неравенство (3.4) сразу получается из (3.3) при y(t) = x 0 (t). При доказательстве теоремы разрешимости для линейных систем нам понадобятся оценки с n n матрицами, которые мы сейчас и рассмотрим. 3. Пусть A(t) = aij (t) n n матрица, обозначим произведение Ax через y. Как оценить y через матрицу A и x ? Оказывается, справедливо неравенство Ax 6 A -40- 2 x, (3.5) где x = p jx1 j2 + . . . + jxn j2 , A 2 = n P ! 12 a2ij , а элементы матрицы i,j=1 A и координаты вектора x могут быть комплексными. Доказательство. Для любого i = 1, n, ai – أنا خط Matrix a، ثم: 2 2 2 يي \u003d ai1 x1 + ai2 x2 +. وبعد وبعد + Ain XN \u003d AI، X 6 H I 2 6 لعملية عدم المساواة في Cauchy-ányakovsky 6 JAI J2 X \u003d! ! N N X X 2 2 AIK XL \u003d، K \u003d 1 تلخيص هذه التفاوتات وفقا ل I \u003d 1، N، لدينا: 0 1 N X 2 2 2 AIK A X \u003d A Y [البريد الإلكتروني المحمي] 2 2 L \u003d 1 2 X، K، I \u003d 1 من حيث يتبع (3.5). التعريف 3. 1. القول أن وظيفة المتجهات F (T، Y) تفي بشرط Lipschitz على متغير ناقلات Y على MNA 1 G من المتغيرات (T، Y)، إذا كان 9 لتر\u003e 0 هذا مع أي ر ، Y، 2 T، Y 2 G يتم تنفيذ عدم المساواة FT، Y 2 FT، Y 1 6 L Y 2 Y 1. كما هو الحال في وظيفة اثنين من المتغيرين (انظر الموافقة 2.1)، فإن حالة كافية للشفوية في منطقة "محدب على Y"، هي المشتقات الجزئية المحدودة. دعونا إعطاء تعريف دقيق. التعريف 3. 2. يتم استدعاء نطاق G من المتغيرات (T، Y) Convex 1 2 بواسطة Y، إذا لأي نقطتين T، Y و T، Y الكذب في G، فهو ينتمي بالكامل إلى ذلك والجزء الذي يربط هذين النقاط، ر. ه. مجموعة N O T، Y Y \u003d Y 1 + τ 2 y 1، حيث τ 2. Approval 3. 1. إذا كان نطاق G من المتغيرات (T، Y) محددا إلى Y، ومشتقات خاصة ∂fi مستمرة ومحدودة على L Prostant L في G مع ∂yj All I، J \u003d 1، N، N ترضي وظيفة Vector FT في G، شرط Lipschitz ل Y مع L \u003d N L. 1 2 دليل. فكر في نقاط تعسفية T، Y و T، Y من شرائح G و 1 2، وربطها، I.E. المجموعة T، Y، حيث y \u003d y + τ y y1، t ثابت، و τ 2. -41- نقدم وظيفة متجه من حجة فرعي واحدة G (τ) \u003d FT، Y (τ)، 2 1 ثم G (1) G (0) \u003d FT، YFT، Y، ومن ناحية أخرى - Z1 G (1) g (0) \u003d dg (τ) dτ \u003d dτ z1 a (τ) dy (τ) dτ \u003d dτ 0 0 h \u003d بواسطة الفضيلة y \u003d y 1 + τ yi 1 z1 \u003d a (τ) Y 2 Y 1 Dτ 0 حيث A (τ) هو مصفوفة مع عناصر ∂fi، و ∂yj y2 y 1 هي العمود المقابل. هنا استغلنا قاعدة التمايز من الوظيفة المعقدة، وهي، على الإطلاق I \u003d 1، N، T - ثابت، لدينا: GI0 (τ) \u003d ∂fi ∂y1 ∂fi ∂y 2 ∂fi ∂yn d ، ص (τ) \u003d + + ... + \u003d dτ ∂y1 ∂τ ∂∂ ∂∂ ∂τ ∂τ ∂τ ∂fi ∂fi، ...، Y2 Y1. \u003d ∂y1 ∂yn إذ تشير إلى هذا في شكل مصفوفة، نحصل على: 0 2 1 جم (τ) \u003d a (τ) y y y مع n n matrix a (τ) \u003d aij (τ) ∂fi ∂yj. باستخدام تقدير التكامل (3.3) وعدم المساواة (3.5)، بعد الاستبدال، نحصل على: FT، Y 2 FT، Y 1 Z1 \u003d G 0 (τ) Dτ \u003d 0 Z1 6 a (τ) y 2 z1 y1 a (τ) y 2 0 z1 dτ 6 0 a (τ) a (τ) dτ y2 y1 y1 6 y2 y2 nl 0 6 max a (τ) منذ 2 y 1 dτ 6 2 2 np ∂fi \u003d i، j \u003d 1 ∂YJ 2 Y2 Y1، 2 6 N2 L2 في 8 τ 2. ثبت البيان. -42- 3. 2. Pericy من حل مشكلة Cauchy للنظام العادي للنظرية 3. 1 (بشأن تقييم الفرق من الحلول). دع G يكون بعض المناطق RN + 1، وظيفة Vector F (x، Y) مستمر في G وتلقي شرط Lipschitz على متغير ناقلات Y على مجموعة G مع L. إذا Y 1، Y 2 حلول النظام العادي (3.1) y_ \u003d f (x، y) على القطاع، ثم التصنيف y 2 (t) y 1 (t) 6 y 2 (t0) y 1 (t0) exp l (t t0) صالح لجميع ر 2. إثبات حرفيا، مع مراعاة الإصدادات الواضحة، يكرر إثبات نظرية 2.1 من الفقرة 2.1. 2 من هنا يسهل الحصول على نظرية التفرد واستقرار القرار بشأن البيانات الأولية. بالتناوب 3.1. دع وظيفة ناقلات F (T، Y) مستمر في المنطقة G وتلبية في حالة G Lipschitz على طول ذ، والوظائف Y 1 (T) و Y 2 (T) حلتين للنظام العادي (3.1) على نفس الجزء، علاوة على ذلك، T0 2. إذا كانت y 1 (t0) \u003d y 2 (t0)، ثم y 1 (t) y 2 (t) on. بالتناوب 3.2. (على الاعتماد المستمر على البيانات الأولية). دع وظيفة ناقلات f (t، y) تكون مستمرة في المنطقة G وتلبية في حالة G Lipschitz على طول ذ مع L\u003e 0، ووظائف ناقلات Y 1 (T) و Y 2 (T) هي حلول النظام العادي (3.1) محددة على. إذا كان عند 8 ر 2، فإن عدم المساواة y 1 (t) صحيح حيث δ \u003d y 1 (t0) y 2 (t0)، و l \u003d t1 y 2 (t) 6 δ δ l، t0. إثبات عواقب حرفيا، مع مراعاة الإصدادات الواضحة، يكرر إثبات العواقب 2.1 و 2.2. 2 دراسة لحمل مشكلة Cauchy (3.1)، (3.2)، كما هو الحال في القضية ذات الأبعاد، يتم تخفيضها إلى إمكانية القدرة على توفير المعادلة المتكاملة (ناقلات). Lemma 3. 1. دع f (t، y) 2 c g؛ RN 1. البيانات التالية تحدث: 1) أي حل (t) المعادلة (3.1) على الفجوة HA، BI، مرضية (3.2) T0 2 HA، هي حل مستمر على هكتار، ثنائية واحدة من خلال C؛ يتم اعتماد H للإشارة إلى مجموعة جميع الوظائف المستمرة في منطقة G مع القيم في الفضاء H. على سبيل المثال، F (T، Y) 2 C G؛ مكونات RN) المعرفة على مجموعة G. - مجموعة من جميع وظائف ناقلات المستمرة (من المعادلة النموذجية N -43 y (t) \u003d y 0 + zt f τ، y (τ) dτ؛ (3.6) t0 2) إذا ناقلات -function (t) 2 c ha، bi هو الحل المستمر للمعادلة المتكاملة (3.6) على هكتار، ثنائية، حيث t0 2 ha، bi، ثم (t) لديه مشتق مستمر على هكتار، ثنائية حل (3.1)، (3.2). شهادة. 1. دع 8 τ 2 هكتار، يتم تنفيذ ثنائية من قبل المساواة Dφ (τ) \u003d f τ، (τ). ثم دمج من T0 إلى T، مع الأخذ في الاعتبار (3.2)، Semidτ RT 0 Chim، أن (t) \u003d y + f τ، (τ) dτ، I.E. φ (ر) يرضي المعادلة (3.6). T0 2. دع وظيفة المتجهات المستمرة (T) تلبية المعادلة (3.6) على HA، BI، ثم FT، (T) مستمر على HA، BI بواسطة نظرية الاستمرارية للوظيفة المعقدة، وبالتالي الجانب اليدوي (3.6) (وبالتالي الجزء الأيسر) لديه مشتق مستمر ل T إلى HA، BI. في T \u003d T0 من (3.6) (t0) \u003d y 0، I.E. (T) هو حل مشكلة Cauchy (3.1)، (3.2). لاحظ أنه كالمعتاد، تحت المشتق في نهاية الجزء (إذا كان ينتمي إليها) من المفهوم أن تكون وظيفة مشتقة من جانب واحد. ثبت أن Lemma. ملاحظة 3. 1. استخدام تشبيه مع حالة واحدة بأحد الأبعاد (انظر الفصل 2) والموافقات المذكورة أعلاه، من الممكن إثبات التطلع على الوجود والاستمرار في حل مشكلة Cauchy، بناء تسلسل تكراري يحل لحل المعادلة المتكاملة (3.6) على شريحة معينة T0 H، T0 + H. نقدم هنا دليلا آخر على حلول نظرية الوجود (والتفرد) بناء على مبدأ تعيينات الضغط. نقوم بذلك من أجل مواعدة القارئ بطرق أكثر حداثة للنظرية، والتي سيتم تطبيقها في المستقبل، في دورات من المعادلات والمعادلات المتكاملة للفيزياء الرياضية. لتنفيذ خطتنا، ستحتاج إلى عدد من المفاهيم الجديدة والتأكيدات المساعدة، والتي سنواصلها. 3. 3. مفهوم الفضاء متري. مبدأ ضغط التعيينات يعتمد أهم مفهوم الحد في الرياضيات على مفهوم "القرب" من النقاط، أي الفرصة للعثور على المسافة بينهما. على المحور الرقمي، فإن المسافة هي الوحدة النمطية للرقمين، على الطائرة هي صيغة معروفة لمسافة Euclidean، إلخ. لا تستخدم العديد من حقائق التحليل الخصائص الجبرية للعناصر، وهي تستند إلى مفهوم المسافة مع العسل. تطوير هذا النهج، أي يؤدي تخصيص "المخلوقات" المتعلقة بمفهوم الحد إلى مفهوم المساحة المتردية. -44- التعريف 3. 3. اسمح X بتعددية من الطبيعة التعسفي، و ρ (x، y) - الوظيفة الفعلية لمتغيرين X، Y 2 X، تلبية البديهيات الثلاثة: 1) ρ (x، y) \u003e 0 8 x، y 2 x، و ρ (x، y) \u003d 0 فقط في x \u003d y؛ 2) ρ (x، y) \u003d ρ (y، x) (AXIOM التماثل)؛ 3) ρ (x، z) 6 ρ (x، y) + ρ (y، z) (عدم المساواة مثلث). في هذه الحالة، يسمى مجموعة X مع وظيفة معينة ρ (x، y) المساحة المترية (p)، والوظيفة ρ (x، y): x x 7! ص، مرضية 1) - 3)، متري أو المسافة. نقدم بعض الأمثلة على المساحات المترية. مثال 3. اسمح X \u003d ص مع مسافة ρ (x، y) \u003d x y، نحصل على mp r. n o n xi 2 r، i \u003d 1، n هو مثال 3. 2. اسمح X \u003d R \u003d X1،. وبعد وبعد ، مجموعة XN من مجموعات أمر من أرقام N صالحة S N 2 P X \u003d X1،. وبعد وبعد ، XN مع مسافة ρ (x، y) \u003d xk yk، نحصل على n1 k \u003d 1 n الأبعاد الفضاء euclidean r. مثال N 3. 3. اسمح X \u003d C A، B؛ ص هي مجموعة جميع المستمر على وظائف B القيم في RN، I.E. وظائف ناقلات مستمرة، مع مسافة ρ (f، g) \u003d max f (t) g (t)، حيث f \u003d f (t) \u003d f1 (t)،. وبعد وبعد ، fn (t)، t2 s n 2 p g \u003d g (t) g1 (t)،. وبعد وبعد ، gn (t)، f g \u003d fk (t) gk (t). K \u003d 1 للحصول على أمثلة 3. 1 -3. يتم فحص 3 أيام من البديهيات مباشرة، اتركها بمثابة تمرين للقارئ الضميري. كالعادة، إذا تم وضع كل N طبيعي وفقا للإلكترون XN 2 X، فإنه يقال أن تسلسل النقاط XN ìp X يتم تقديمه. التعريف 3. 4. تسلسل نقاط XN MP X يسمى X 2 X Point، إذا كان Lim ρ xn، x \u003d 0. n! 1 التعريف 3. 5. يسمى تسلسل XN أساسي، إذا كان هناك أي ε\u003e 0 هناك هذا الرقم الطبيعي N (ε) ذلك للجميع n\u003e n و م\u003e ن عدم المساواة ρ xn، xm< ε. Определение 3. 6. МП X называется полным (ПÌП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. -45- Полнота пространств из примеров 3. 1 и 3. 2 доказана в курсе математиче ского анализа. Докажем полноту пространства X = C a, b ; Rn из примера 3. 3. Пусть последовательность вектор-функций fn (t) фундаментальна в X. Это означает, что 8 ε > 0 9 n (ε) 2 n: 8M، n\u003e n \u003d) MAX FM (T) FN (T)< ε. Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на a, b сходи мости функциональной последовательности, т.е. fn (t) ⇒ f (t) при n ! 1. Как известно, предел f (t) в этом случае – непрерывная функция. Докажем, что f (t) – это предел fn (t) в метрике пространства C a, b ; Rn . Из равномерной сходимости получим, что для любого ε > 0 هناك رقم ن (ε) بحيث يكون ذلك للجميع n\u003e n وإلى كل t 2 a، يتم تنفيذ b عدم المساواة fn (t) f (t)< ε, а так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то и max fn (t) f (t) < ε. Это и есть сходимость в C a, b ; Rn , следовательно, полнота установлена. В заключение приведем пример МП, не являющегося полным. Пример 3. 4. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а расстояние ρ(x, y) = x y – модуль разностиpдвух чисел. Если взять последовательность десятичных приближений числа 2 , т.е. x1 = 1; x2 = 1, 4; x3 = 1, 41; . . ., p то, как известно, lim xn = 2 62 Q. При этом данная последовательность n!1 сходится в R, значит она фундаментальна в R, а следовательно, она фундаментальна и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в Q, но предела, лежащего в Q, не имеет. Пространство не является полным. Определение 3. 7. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A: X 7! X называется сжимающим отображением или сжатием, если 9 α < 1 такое, что для любых двух точек x, y 2 X выполняется неравенство: ρ Ax, Ay 6 α ρ(x, y). (3.7) Определение 3. 8. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A: X 7! X, если Ax = x . Замечание 3. 2. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность xn ! x, n ! 1, переводит в сходящуюся последовательность Axn ! Ax, n ! 1, а предел последовательности – в предел ее образа. Действительно, если A – сжимающий оператор, то положив в (3.7) X X y = xn ! x, n ! 1, получим, что Axn ! Ax, n ! 1. Теорема 3. 2 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство этого фундаментального факта см. , . -46- Приведем обобщение теоремы 3. 2, часто встречающееся в приложениях. Теорема 3. 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X таково, что оператор B = Am с некоторым m 2 N является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство. При m = 1 получаем теорему 3. 2. Пусть m > 1. النظر في ب \u003d صباح، ب: × 7! X، ب - ضغط. بواسطة Theorem 3. 2، يحتوي المشغل B على نقطة واحدة ثابتة X. نظرا لأن A و B غير قابلة للسمولة AB \u003d BA وبين BX \u003d X، لدينا B AX \u003d A BX \u003d AX، I.E. Y \u003d AX هو أيضا نقطة ثابتة ب، وبما أن هذه النقطة بواسطة Theorem 3. 2 فريدة من نوعها، ثم y \u003d x أو Ax \u003d x. من هنا X هي نقطة ثابتة للمشغل A. سنثبت التفرد. لنفترض أن x ~ 2 x و ~ x \u003d x ~، ثم m m 1 b x ~ \u003d a x ~ \u003d a x ~ \u003d. وبعد وبعد \u003d x ~، أي X ~ - أيضا نقطة ثابتة ل B، حيث x ~ \u003d x. ثبت أن نظرية. مناسبة خاصة للفضاء المتري هي مساحة طبيعية خطية. نعطي التعريف الدقيق. التعريف 3. 9. اسمح X بمساحة خطية (حقيقية أو معقدة)، والتي تحدد الوظيفة العددية X تعمل من X إلى R وتلبية البديهيات: 1) 8 × 2 × و X\u003e 0 و X \u003d 0 فقط مع x \u003d θ؛ 2) 8 × 2 × و 8 λ 2 r (أو c) 3) 8 ×، يتم تنفيذ y 2 x). x + y 6 x + y λx \u003d jλj x؛ (عدم المساواة في الثلاثي - ثم يسمى X المساحة العادية، X: X 7! R، مرضية 1) - 3)، - القاعدة. ويمكن تقديم الوظيفة الموجودة في الشفط الطبيعي المسافة بين العناصر بواسطة الصيغة ρ x، y \u003d x y. يتم التحقق بسهولة من أداء AXIOM من النائب. إذا كانت المساحة المتردية التي تم الحصول عليها بالكامل، فستسمح المساحة المألوفة المقابلة مساحة بانا. غالبا ما أدخل القاعدة على نفس المساحة الخطية بطرق مختلفة. في هذا الصدد، ينشأ هذا المفهوم. التعريف 3. 10. دع x يكون مساحة خطية، و - اثنين من المعايير 1 2 دخلت ذلك. وتسمى القواعد 1 2 المعايير، إذا 9 C1\u003e 0 و C2\u003e 0: 8 × 2 × C1 X 1 6 × 2 6 C2 X 1. ملاحظة 3. 3. إذا كان كلاهما معايير معادلة على x، و 1 2 مساحة X كاملة كاملة، فهو بالكامل وعلى قاعدة أخرى. هذا يتبع بسهولة من حقيقة أن تسلسل XN X، البرامج الأساسية، الأساسية أيضا، والتقارب إلى 1 2 من نفس العنصر X 2 X. -47- مراجعة 3. 4. غالبا ما يكون نظرية 3. 2 (أو 3. 3) ) يستخدم عند كرة مغلقة من هذا الفضاء O BR (A) \u003d x 2 x ρ x، a 6 r، حيث تم إصلاح R\u003e 0 و A 2 X كمسافة N كاملة. لاحظ أن كرة مغلقة في PMP نفسه هي PMP بنفس المسافة. إثبات هذه الحقيقة مغادرة القارئ بمثابة تمرين. ملاحظة 3.5 تأسست اكتمال المساحة أعلاه. 3. لاحظ أنه في الفضاء الخطي X \u003d C 0، T، R، يمكنك إدخال معدل KXK \u003d MAX X (T) بحيث تكون القيمة العادية باناخ. على نفس المجموعة المستمرة في الفضاء 0، T وظائف ناقلات T، يمكنك إدخال القاعدة المكافئة بواسطة Formula KXKα \u003d MAX E αT X (T) مع أي α 2 R. عند α\u003e 0، يتبع المعادلة من عدم المساواة E αt x (t) 6 e αt x (t) 6 × (t) على الإطلاق T 2 0، T، من حيث e αt kxk 6 kxkα 6 kxk. سوف نستخدم هذه الخاصية هذه من المعايير المكافئة في إثبات النظرية على القدرة على التحف الذي لا لبس فيه لمشكلة Cauchy للأنظمة الخطية (العادية). 3. 4. نظرية وجود وتفرد حل مشكلة Cauchy للنظم الطبيعية يعتبر مشكلة Cauchy (3.1) - (3.2)، حيث البيانات الأولية T0، Y 0 2 G، G RN + 1 هي مجال تحديد وظيفة ناقل F (T، Y). في هذه الفقرة، نفترض أن G لديه مظهر N مع معين G \u003d A، B O، حيث تقوم المنطقة RN، و BR (Y 0) \u003d Theorem. Y 2 RN Y Y0 6 R هو بالكامل. نظرية 3. 4. دع وظيفة ناقل f (t، y) 2 c g؛ RN، مع 9 م\u003e 0 و L\u003e 0 مثل هذه الشروط 1) 8 (T، Y) 2 g \u003d a، b f (t، y) 6 m 2) 8 (T، Y 1)، (T، y 2) 2 g f t، y 2 f t، y 1 6 l y 2 y 1. إصلاح الرقم δ 2 (0، 1) والسماح T0 2 (A، B). ص 1 δ 9 ح \u003d دقيقة؛ ؛ t0 a؛ B T0\u003e 0 مل موجود وأكثر من حل مشكلة فشوشي (3.1)، (3.2) y (t) على القسم JH \u003d T0 H، T0 + H، و Y (T) Y 0 6 R مع كل t 2 jh. -48- دليل. في Lemma 3. 1، مشكلة Cauchy (3.1)، (3.2) تعادل معادلة متكاملة (3.6) على القطاع، وبالتالي، على JH، حيث يتم اختيار H أعلاه. النظر في مساحة Banach X \u003d C (JH؛ RN) - تعددية من وظائف متجه مستمرة X (T) مع قاعدة KXK \u003d MAX X (T) ونحن نقدم مجموعة مغلقة: T2JH SR Y 0 N 8 T 2 JH \u003d y (t) 2 x y (t) n \u003d y (t) 2 x yy (t) o 0 6r \u003d o 0 y q6 r الكرة مغلقة في x. المشغل A، تحدد حسب القاعدة: AY \u003d Y 0 + ZT F τ ، y (τ) dτ، t 2 jh، t0 يترجم ريال ص 0 إلى نفسه، منذ Y 0 \u003d MAX AY ZT T2JH F τ τ، y (τ) dτ 6 h \u200b\u200bm 6 r t0 للشرط 1 من theorem و التعريف H. نثبت أن A هو على مشغل ضغط SR. خذ تعسفا 0 1 2 ونحن نقدر القيمة: y (t)، y (t) 2 sr y a 2 ay 1 \u003d max zt h t2jh f τ، y 2 (τ) إذا τ، y 1 (τ) dτ 6 T0 zt 6 max t2jh f τ، y 2 (τ) f τ، y 1 (τ) dτ 6 t0 6h l y2 y1 \u003d q y2 y1، حيث q \u003d h l 6 1 δ< 1 по условию теоремы. Отметим (см. замечание 3.4), что замкнутый шар SR y 0 в банаховом пространстве X является ПМП. Поэтому применим принцип сжимающих отображений (теорема 3. 2), по которому существует единственное решение y(t) 2 X интегрального уравнения (3.6) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h . Теорема доказана. Замечание 3. 6. Если t0 = a или t0 = b, то утверждение теоремы сохраняется с небольшими изменениями в формуле для h и отрезка Jh . Приведем эти изменения для случая t0 = a. В этом случае число h > 0 حدد وفقا ل R formula h \u003d min m؛ 1L؛ ب، وكخفية JH، من الضروري تناول -49- JH \u003d T0، T0 + H \u003d A، A + H. لا تتغير جميع الشروط الأخرى للنظرية، والدليل لها، مع مراعاة إعادة إصدارها. لحالة T0 \u003d B، وبالمثل، H \u003d MIN M؛ 1L؛ ب A، و JH \u003d B H، B. ملاحظة N 3. 7. في نظرية 3. 4، الشرط f (t، y) 2 c g؛ R، حيث G \u003d A، B D يمكن أن تضعف عن طريق استبدال متطلبات الاستمرارية F (T، Y) بالمتغير في كل مرة Y 2، مع الحفاظ على الشروط 1 و 2. الدليل لن يتغير. ملاحظة 3. 8. يكفي أن الظروف 1 و 2 من نظرية 3. 4 تم إجراء 0 على الإطلاق T، Y 2 A، B BR Y، والمستمر M و L تعتمد على، 0 يتحدث بشكل عام، من Y و R . مع المزيد من الصعب القيود المفروضة على وظيفة Vector FT، Y Vector، على غرار نظرية 2.4، صالحة لوجود نظرية الوجود وتفرد حل مشكلة Cauchy (3.1)، (3.2) على الجزء بأكمله أ، ب. n نظرية N 3.. اسمح لوظيفة FX Vector FX، Y 2 CG، R، حيث G \u003d A، B RN، موجود L\u003e 0، بحيث تكون الحالة 8 T، Y 1، T، Y 2 2 G FT، Y 2 FT، Y 1 6 LY 2 Y 1. إذا كان أي T0 2 و Y 0 2 RN، على أ، موجود ب، علاوة على ذلك، الحل الوحيد لمهمة فشوشي (3.1)، (3.2). شهادة. خذ التعسفي T0 2 و Y 0 2 RN وإصلاحها. مجموعة G \u003d A، B RN موجودة في النموذج: G \u003d G [G +، حيث RN، و G + \u003d T0، B RN، معتقدين أن T0 2 A، B، خلاف ذلك G \u003d A، T0 من ستكون مراحل الأدلة غائبة. إجراء منطق الشريط G +. في الجزء T0، B، مشكلة Cauchy (3.1)، (3.2) يعادل المعادلة (3.6). نقدم المشغل جزءا لا يتجزأ من: x 7! x، حيث x \u003d c t0، b؛ ص، وفقا لصيغة AY \u003d Y 0 + ZT F τ، y (τ) dτ. T0 ثم يمكن كتابة المعادلة المتكاملة (3.6) في شكل معادلة مشغل AY \u003d Y. (3.8) إذا أثبتنا أن معادلة المشغل (3.8) لها حل في PMP X، فإننا نحصل على إمكانية حل مشكلة Cauchy على T0 أو B أو ON A، T0 for G. إذا كان هذا الحل هو الوحيد، بسبب التكافؤ، فإن الحل الوحيد سيكون حل مشكلة Cauchy. نعطي دليلين على القدرة على التحف البصرية للمعادلة (3.8). برهان 1. النظر في وظائف ناقلات التعسفي 1 2 N Y، Y 2 X \u003d C T0، B؛ ص، ثم القيم صالحة لأي -50- T 2 T0، B AY 2: AY 1 ZT HF τ، y 2 (τ) \u003d 1 f τ، y (τ) i dτ 6 t0 zt y 2 (τ ) 6l y 1 (τ) dτ 6 l t t0 max y 2 (τ) y 1 (τ) 6 τ 2 t0 6l t t0 y2 y1. أذكر أنه في X يتم إدخال القاعدة كما يلي: kxk \u003d Max x (τ). من عدم المساواة الناتجة سيكون لدينا: 2 2 AY 2 1 ay zt hf τ، ay 2 (τ) \u003d 1 i τ t0 dτ f τ، ay (τ) dτ 6 t0 6 l2 τ a ay 2 (τ) ay 1 ( τ) dτ 6 l2 t0 zt y2 y1 6 t0 6 l2 t t0 2! 2 Y2 Y1. مواصلة هذه العملية، يمكن إثباتها عن طريق التعريفي على أن 8 كيلو 2 نك AK Y 2 AK Y 1 6 L T T0 K! k y2 y1. وبالتالي، أخيرا، نحصل على تقدير من AK Y 2 AK Y 1 \u003d ماكس AK Y 2 L B T0 AK Y 1 6 L B T0 K! k y2 y1. ك منذ α (ك) \u003d! 0 ل k! 1، ثم هناك K0 ذلك، ك! أن α (K0)< 1. Применим теорему 3. 3 с m = k0 , получим, что A имеет в X неподвижную точку, причем единственную. Доказательство 2. В банаховом пространстве X = C t0 , b ; Rn введем семейство эквивалентных норм, при α > 0 (انظر الملاحظة 3. 5) حسب الصيغة: X α \u003d ماكس E αt x (t). -51- سنظهر أنه يمكنك اختيار α بحيث يكون المشغل أ في الفضاء X مع القاعدة في α\u003e L سيكون الضغط. في الواقع، α AY 2 AY 1 α zt hf τ، y 2 (τ) αt \u003d max e 1 f τ، y (τ) i dτ 6 t0 6 max e αt zt y 2 (τ) l y 1 (τ) dτ \u003d T0 \u003d \u200b\u200bl max e zt αt e ατ y 2 (τ) eατ dτ 6 y 1 (τ) t0 6 l max e αt zt ατ dτ max e ατ y 2 (τ) y 1 (τ) \u003d y2 α t0 \u003d l ماكس e αt منذ α\u003e l، ثم q \u003d l α 1 1 αt e α e eαt0 l \u003d α α b t0 y 2 y1 y 1 α \u003d 1 e α b t0.< 1 и оператор A – сжимающий (например, с α = L). Таким образом, доказано, что существует и притом единственная вектор + функция ϕ (t) – решение Коши (3.1), (3.2) на t0 , b . задачи Rn задачу Коши сведем к предыдущей при Для полосы G = a, t0 помощи линейной замены τ = 2t0 t. В самом деле, для вектор-функция y(t) = y 2t0 τ = y~(t), задача Коши (3.1), (3.2) запишется в виде: y~(τ) = f (2t0 τ, y~(τ)) f~ (τ, y~(τ)) , y~(t0) = y 0 на отрезке τ 2 t0 , 2t0 a . Поэтому можно применить предыдущие рассуждения, взяв b = 2t0 a. Итак, существует и притом единственное решение задачи Коши y~(τ) на всем отрезке τ 2 t0 , 2t0 a и,следовательно, ϕ (t) = y~ 2t0 t – решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, t0 . Возьмем «сшивку» вектор-функций ϕ (t) и ϕ+ (t), т.е. вектор-функцию ϕ (t), при t 2 a, t0 ; ϕ(t) = ϕ+ (t), при t 2 t0 , b . d dτ Как при доказательстве теоремы 2.4, устанавливаем, что ϕ(t) – это решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, b . Единственность его следует из следствия 3.1. Теорема доказана. -52- Замечание 3.9. Утверждение 3. 1 дает достаточное условие того, что векторфункция f t, y в выпуклой по y области G удовлетворяет условию Лип∂fi шица. А именно, для этого достаточно, чтобы все частные производные ∂yj были непрерывны и ограничены некоторой константой в G. Аналогично следствию из теоремы 2.4 получаем такое утверждение для нормальных систем. Ñледствие 3.3. Пусть вектор-функция f (t, y) определена, непрерывна в открытой полосе o n n Q = (t, y) t 2 (A, B), y 2 R , причем A и B могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(t) 2 C(A, B) такая, что 8 t 2 (A, B) и 8 y 1 , y 2 2 Rn выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L(t) y 2 y 1 . Òогда при любых начальных данных t0 2 (A, B), y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) на всем интервале (A, B). Доказательство проводится повторением соответствующих рассуждений из п. 2.2, оставляем его добросовестному читателю. В качестве других следствий из доказанной теоремы 3. 5 получим теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной системы. Речь идет о задаче нахождения вектор-функции y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) из условий: d y(t) = A(t)y(t) + f 0 (t), t 2 a, b , (3.9) dt y(t0) = y 0 , (3.10) где A(t) = aij (t) – n n матрица, f 0 (t) – вектор-функция переменной t, t0 2 a, b , y 0 2 Rn – заданы. n 0 Теорема 3. 6. Пусть a (t) 2 C a, b , f (t) 2 C a, b ; R , ij t0 2 a, b , y 0 2 Rn заданы. Òогда существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всем отрезке a, b . Доказательство. Проверим, что для функции f t, y = A(t)y + f 0 (t) выполнены теоремы 3. 5. Во-первых, f t, y 2 C G; Rn , где условия G = a, b Rn , как сумма двух непрерывных функций. Во-вторых, (см. неравенство (3.5)): Ay 2 Ay 1 = A(t) y 2 y 1 6 A 2 y 2 y 1 6 L y 2 y 1 , -53- поскольку A n P 2 ! 21 aij (t) 2 – непрерывная на a, b функция. Тогда i,j=1 по теореме 3. 5 получим доказываемое утверждение. Теорема 3. 7. Пусть aij (t) 2 C (R), f 0 (t) 2 C (R; Rn) заданы. Òогда при любых начальных данных t0 2 R, y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всей числовой прямой. Доказательство. Проверим, что выполнены все условия следствия из теоре мы 3. 5 с A = 1, B = +1. Вектор-функция f t, y = A(t)y + f 0 (t) непрерывна в полосе Q = R Rn как функция (n + 1) переменной. Кроме того, L(t) y 2 y 1 , f t, y 2 f t, y 1 6 A(t) 2 y 2 y 1 где L(t) – непрерывная по условию теоремы на A, B = 1, +1 функция. Таким образом, все условия следствия выполнены, и теорема доказана. -54- Глава IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах, т.е. для его решения может быть получена явная формула. В таких случаях методика решения, как правило, следующая. 1. Предполагая, что решение существует, находят формулу, по которой решение выражается. 2. Существование решения затем доказывается непосредственной проверкой, т.е. подстановкой найденной формулы в исходное уравнение. 3. Используя дополнительные данные, (например, задавая начальные данные Коши) выделяют конкретное решение. 4. 1. Уравнение с разделяющимися переменными В данном параграфе применим уже использовавшуюся выше методику для решения уравнений с разделяющимися переменными, т.е. уравнений вида y 0 (x) = f1 (x) f2 (y), Áудем предполагать, что f1 (x) 2 C (ha, bi) , x 2 ha, bi, f2 (y) 2 C (hc, di) , y 2 hc, di. (4.1) f2 (y) 6= 0 на hc, di а следовательно, в силу непрерывности функции f2 (y), она сохраняет знак на hc, di . Итак, предположим, что в окрестности U(x0) точки x0 2 ha, bi существует решение y = ϕ(x) уравнения (4.1). Тогда имеем тождество dy = f1 (x) f2 (y), dx y = ϕ(x), 55 x 2 U(x0). Но тогда равны дифференциалы dy = f1 (x) dx f2 (y) мы учли, что f2 (y) 6= 0 . Из равенства дифференциалов вытекает равенство первообразных с точностью до постоянного слагаемого: Z Z dy = f1 (x) dx + C. (4.2) f2 (y) После введения обозначений Z F2 (y) = Z dy , f2 (y) F1 (x) = f1 (x) dx, получаем равенство F2 (y) = F1 (x) + C. (4.3) Заметим, что F20 (y) = 1/f2 (y) 6= 0, поэтому к соотношению (4.3) можно применить теорему об обратной функции, в силу которой равенство (4.3) можно разрешить относительно y и получить формулу y(x) = F2 1 F1 (x) + C , (4.4) справедливую в окрестности точки x0 . Покажем, что равенство (4.4) дает решение уравнения (4.1) в окрестности точки x0 . Действительно, используя теорему о дифференцировании обратной функции и учитывая соотношение F10 (x) = f1 (x), получим y 0 (x) = dF2 1 (z) dz z=F1 (x)+C F10 (x) = 1 F20 (y) y=y(x) F10 (x) = f2 y(x) f1 (x), откуда следует, что функция y(x) из (4.4) является решением уравнения (4.1). Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (4.1) с الحالة الأولية Y (x0) \u003d y0. (4.5) Formula (4.2) يمكن كتابة في شكل ZY Dξ \u003d F2 (ξ) ZX F1 (x) DX + C. X0 Y0 استبدال الحالة الأولية (4.5) هنا، نجد أن C \u003d 0، I.E. يتم تحديد محلول مشكلة Cauchy من العلاقة ZY Y0 Dξ \u003d F2 (ξ) ZX F1 (X) DX. X0 -56- (4.6) واضح، هو بالتأكيد تحديد. لذلك، يتم تقديم الحل العام للمعادلة (4.1) من قبل الصيغة (4.4)، وحل مشكلة Cauchy (4.4)، (4.5) من العلاقة (4.6). ملاحظة 4. 1. إذا f2 (y) \u003d 0 لبعض y \u003d yj، (j \u003d 1، 2، ..، من الواضح، من الواضح أن حلول المعادلة (4.1) هي أيضا وظائف Y (X) YJ ، ي \u003d 1، 2،. وبعد وبعد ، S، التي أثبتها الاستبدال الفوري لهذه المهام إلى المعادلة (4.1). ملاحظة 4. 2. للحصول على المعادلة (4.1)، يتم تحديد حل عام من النسبة F2 (Y) F1 (x) \u003d C. (4.7) وهكذا، فإن الجزء الأيسر من العلاقة (4.7) ثابت على كل حل المعادلة (4.1). يمكن تسجيل نسب النوع (4.7) عند حل ODUS الأخرى. هذه العلاقات عرفي أن تسمى التكاملات (الأدمان المشترك) من ODU ذات الصلة. دعونا إعطاء تعريف دقيق. التعريف 4. النظر في المعادلة y 0 (x) \u003d f (x، y). (4.8) النسبة (x، y) \u003d c، (4.9) حيث (x، y) هي وظيفة الفئة C 1، تسمى التكامل الشائع للمعادلة (4.8)، إذا كانت هذه النسبة غير متطابقة، ولكنها يؤديها على كل حل المعادلة (4.8). مع كل قيمة محددة من C 2 R، نحصل على جزء لا يتجزأ من الخدمة الخاصة. يتم الحصول على الحل العام للمعادلة (4.8) من إجمالي التكامل (4.9) باستخدام نظرية الوظيفة الضمنية. مثال 4. 1. النظر في المعادلة X (4.10) y 0 (x) \u003d y والشرط الأولية Y (2) \u003d 4. (4.11) تطبيق لحل المعادلة (4.10) الموصوفة أعلاه طريقة الفصل للمتغيرات، نحصل عليها Y DY \u003d X DX حيث نجد جزءا لا يتجزأ مشتركا للمعادلة (4.10) Y 2 X2 \u003d C. يتم تسجيل الحل العام للمعادلة (4.10) وفقا ل Formula Py \u003d C + X2، وحل مشكلة Cauchi ( 4.10)، (4.11) - وفقا لصيغة PY \u003d 12 + X2. -57- 4. 4. 2. النظام الخطي الأول من الترتيب الأول من الطلب الأول يسمى المعادلة y 0 (x) + p (x) y (x) \u003d q (x)، إذا q (x) 6 IF (x) × 2 هكتار، ثنائية. (4.12) 0، تسمى المعادلة غير ممانتوس. 0، تسمى المعادلة متجانسة: Y 0 (x) + p (x) y (x) \u003d 0. (4.120) theorem 4. 1. 1) إذا y1 (x)، y2 (x) حلول المعادلة المتجانسة (4.120)، α، β أرقام تعسفية، ثم وظيفة Y (x) αy1 (x) + βy2 (x) هي أيضا حل المعادلة (4.120). 2) للمحلول العام للمعادلة غير التجارية (4.12)، وصيغة يون \u003d YOO + ISTED؛ (4.13) هنا الحل العام للمعادلة غير التجارية (4. 12)، حل خاص لمعادلة غير متجانسة (4.12)، يوو الحل العام لمعادلة متجانسة (4.120). شهادة. يثبت البيان الأول من نظرية الاختيار المباشر: لدينا y 0 αy10 + βy20 \u003d αp (x) y1 βp (x) y2 \u003d p (x) αy1 + βy2 \u003d p (x) y. نثبت الموافقة الثانية. دع Y0 يكون محللا تعسفيا للمعادلة (4.120)، ثم Y00 \u003d P (X) Y0. من ناحية أخرى، 0 ychn \u003d p (x) ychn + q (x). لذلك، 0 y0 + ychn \u003d p (x) y0 + ychn + q (x)، مما يعني y0 y0 + ychn حل المعادلة (4.12). وبالتالي، يعطي الصيغة (4.13) حل معادلة غير متجانسة (4.12). نظهر أنه بالنسبة لهذه الصيغة، يمكن الحصول على جميع حلول المعادلات (4.12). في الواقع، دع Y ^ (x) يكون حل المعادلة (4.12). ضع y ~ (x) \u003d y ^ (x) ychn. لدينا y ~ 0 (x) \u003d y ^ 0 (x) 0 ychn (x) \u003d p (x) ^ y (x) + q (x) + p (x) bx (x) \u003d p (x) y ^ (x) q (x) \u003d ychn (x) \u003d p (x) ~ y (x). وبالتالي، Y ~ (x) هو حل معادلة متجانسة (4.120)، ولدينا y ^ (x) \u003d y ~ (x) + ychn، والذي يتوافق مع الصيغة (4.13). ثبت أن نظرية. -58- أدناه سينظر في تحديات Cauchy للمعادلات (4.12) و (4.120) مع الحالة الأولية Y (X0) \u003d Y0، X0 2 HA، BI. (4.14) فيما يتعلق بوظائف P (X) و Q (X) من (4.12)، نفترض أن P (x)، Q (X) 2 C (HA، BI). ملاحظة 4. 3. ضع f (x، y) \u003d p (x) y + q (x). ثم، بحكم الشروط المفروضة على p (x) و q (x)، لدينا f (x، y)، ∂f (x، y) 2 cg، ∂yg \u003d ha، bi r1، وبالتالي مشكلة Cauchy (4.12)، (4.14) نظرية عادلة من وجود وحل وتفردها، ثبت في الفصل 2. في نظرائه 4. 2، 4. 3، سيتم الحصول على الصيغ الصريحة لحلول المعادلات (4.120) و (4.12) وسيتم إظهار أن هذه الحلول ستظهر هناك على مجموعة كاملة من هكتار، ثنائية. النظر أولا معادلة متجانسة (4.120). نظرية 4. 2. الموافقة: دع p (x) 2 c (ha، bi). فيما يلي 1) يتم تعريف أي حل من المعادلة (4.120) في جميع أنحاء المجموعة بأكملها من HA، BI؛ 2) يتم تعيين الحل العام لمعادلة متجانسة (4.120) بواسطة الصيغة Y (X) \u003d C E حيث C R P (X) DX، (4.15) ثابتا تعسفيا؛ 3) يتم إعطاء حل مشكلة فشوشي (4.120)، (4.14) من قبل الصيغة RX Y (X) \u003d Y0 E X0 P (ξ) Dξ. (4.16) دليل. نحن نستمد صيغة (4.15) وفقا للمنهجية في بداية الفصل. بادئ ذي بدء، نلاحظ أن وظيفة Y 0 هي معادلة الحل (4.120). دع Y (x) يكون حل المعادلة (4.120)، و Y 6 0 على هكتار، ثنائية. ثم 9 × 1 2 هكتار، ثنائية بحيث ص (x 1) \u003d y0 6 \u003d 0. النظر في المعادلة (4.120) في حي النقطة X1. هذه معادلة مع متغيرات فصل، مع y (x) 6 \u003d 0 في بعض الحي من النقطة X1. بعد ذلك، بعد نتائج الفقرة السابقة، نحصل على صيغة واضحة لحل DY DY \u003d P (X) DX، LN Y \u003d P (X) DX + C، Y -59- حيث RY (X) \u003d C EP ( X) DX، C 6 \u003d 0، والذي يتوافق مع الصيغة (4.15). علاوة على ذلك، يتم تحديد الحل Y 0 أيضا حسب الصيغة (4.15) في C \u003d 0. الاستبدال المباشر إلى المعادلة (4.120) مقتنع بأن الوظيفة Y (X)، المحددة وفقا للصيغة (4.15) في أي ج، هو محلول المعادلة (4.120)، وعلى مجموعة كاملة من هكتار، ثنائية. نظهر أن الصيغة (4.15) تحدد الحل العام للمعادلة (4.120). في الواقع، دع Y ^ (x) يكون حل تعسفيا للمعادلة (4.120). إذا كانت y ^ (x) 6 \u003d 0 على HA، BI، ثم تكرار الوسيطات السابقة، نحصل على هذه الوظيفة تعطى بواسطة الصيغة (4.15) في بعض C: بدقة إذا ذ ^ (x0) \u003d y ^ 0، ثم RX p (ξ) dξ. Y ^ (x) \u003d y ^ 0 e x0 إذا 9x1 2 هكتار، ثنائية مثل y ^ (x 1) \u003d 0، ثم مشكلة Cauchy للمعادلة (4.120) مع الشرط الأولي y (x 1) \u003d 0 لديه حلولين ذ ^ (x) و y (x) 0. بحكم التعليق 4. 3، حل مشكلة Cauchy فريدة من نوعها، وبالتالي فإن y ^ (x) 0، وبالتالي، يتم تقديمها بواسطة الصيغة (4.15) في C \u003d 0. لذلك، ثبت أن معادلات الحلول العامة (4.120) المحددة على جميع هكتار، ثنائية وتعطى من قبل الصيغة (4.15). من الواضح أن الصيغة (4.16) هي حالة صيغة خاصة (4.15)، وبالتالي يتم حل وظيفة Y (x) بالمعادلة (4.120). بالإضافة إلى ذلك، X R0 P (ξ) dξ y (x0) \u003d y0 e x0 \u003d y0، لذلك، يعين الصيغة (4.16) حقا حل مشكلة Cauchy (4.120)، (4.14). نظرية 4. 2 ثبت. نحن نعتبر الآن معادلة غير معيشية (4.12). Theorem 4. 3. دع p (x)، q (x) 2 c (ha، bi). البيانات التالية عادلة: 1) يتم تعريف أي حل من المعادلة (4.12) في جميع أنحاء مجموعة HA، BI؛ 2) يحدد الحل العام للمعادلة غير التجارية (4.12) من قبل الصيغة ZR R RP (X) DX P (X) DX Q (X) DX (X) DX DX، (4.17) Y (X) \u003d CE + E حيث C هو ثابت تعسفي؛ 3) يحدد حل مشكلة êshoshi (4.12)، (4.14) بواسطة Formula RX Y (X) \u003d Y0 E X0 ZX P (ξ) Dξ + Q (ξ) E X0 -60- RX ξ P ( θ) dθ dξ. (4.18) دليل. وفقا ل Theorem 4. 1 و Formula (4.13) YON \u003d YOO + YCH، فمن الضروري العثور على حل خاص من المعادلة (4.12). لتجد أنه ينطبق طريقة ما يسمى باختلاف ثابت من الثابت التعسفي. جوهر هذه الطريقة على النحو التالي: نأخذ الصيغة (4.15)، نستبدل Constant C ثابتة في ذلك إلى وظيفة غير معروفة C (x) ونحن نبحث عن حل معين من المعادلة (4.12) في شكل جديد (x) \u003d c (x) e r p (x) dx. (4.19) استبدال YCHN (X) من (4.19) إلى المعادلة (4.12) والعثور على ج (س) بحيث تكون هذه المعادلة راضية. لدينا r r 0 ychn (x) \u003d c 0 (x) e p (x) dx + c (x) e p (x) dx p (x). استبدال (4.12)، نحصل على C 0 (x) e r p (x) dx + c (x) e r p (x) dx p (x) + c (x) p (x) e r p (x) dx \u003d q ( X)، من حيث RC 0 (X) \u003d Q (X) EP (X) DX. دمج النسبة الأخيرة واستبدال الموجود ج (س) في الصيغة (4.19)، نحصل على ذلك Z R R P (X) DX YCHN (X) \u003d E Q (X) E P (X) DX DX. بالإضافة إلى ذلك، بحكم Theorem 4. 2 R Yoo \u003d C E P (X) DX. لذلك، باستخدام Formula (4.13) من Theorem 4، نحصل على ذلك ZRRR P (X) DX P (X) DX Y (X) \u003d YOO + YCHN \u003d CE + EQ (X) EP (X) DX DX، الذي يتزامن مع صيغة (4.17). من الواضح أن الصيغة (4.17) تحدد الحل على مجموعة كاملة من HA، BI. أخيرا، يتم تقديم حل مشكلة Cauchy (4.12)، (4.14) بواسطة Formula RX Y (X) \u003d Y0 E RX P (ξ) Dξ X0 + EP (θ) Dθ ZX Rξ P (θ) dθ θ) dθ q ( ξ) EX0 X0 Dξ. (4.20) X0 في الواقع، الصيغة (4.20) هي حالة صيغة خاصة (4.17) في C \u003d Y0، لذلك يحدد محلول المعادلة (4.12). بالإضافة إلى ذلك، X R0 Y (X0) \u003d Y0 E X0 X R0 P (ξ) Dξ + EP (θ) Dθ ZX0 Rξ Q (ξ) E X0 X0 X0 -61- P (θ) dθ dξ \u003d y0، راضيا جدا البيانات الأولية (4.14). دعونا نقدم الصيغة (4.20) إلى الذهن (4.18). في الواقع، من (4.20) لدينا RX Y (X) \u003d y0 e zx p (ξ) dξ + x0 rξ q (ξ) exp (ξ) dθ rx dξ \u003d y0 e zx p (ξ) dξ + x0 x0 rx q (ξ) EP (θ) dθ dξ، ξ x0 يتزامن مع صيغة (4.18). نظرية 4. 3 ثبت. بدلا من ذلك (على تقييم حل مشكلة Cauchy للنظام الخطي). x0 2 ha، bi، p (x)، q (x) 2 c (ha، bi)، مع p (x) 6 k، q (x) 6 m دع 8 × 2 هكتار، ثنائية. إذا كان صحيحا لحل مشكلة êshoshi (4.12)، (4.14) تقدير M KJX X0 J KJX X0 J Y (X) 6 Y0 E + E 1 صالح. K (4.21) دليل. اسمح أولا X\u003e X0 أولا. بحكم (4.18)، لدينا RX ZX K Dξ Y (X) 6 Y0 EX0 RX K Dθ M Eξ + Dξ \u003d y0 ek (x x0) zx + m x0 \u003d y0 ek (x x0) ek (x ξ) dξ \u003d x0 m + k e k (x ξ) ξ \u003d x ξ \u003d x0 \u003d y0 e kjx x0 j m kjx + e k x0 j 1. الآن دع X.< x0 . Тогда, аналогично, получаем x R0 y(x) 6 y0 e x K dξ Zx0 + Rξ M ex K dθ dξ = y0 eK(x0 x) Zx0 +M x = y0 e K(x0 eK(ξ x) dξ = x M x) eK(ξ + K x) ξ=x0 ξ=x M h K(x0 x) = y0 e + e K M Kjx Kjx x0 j e = y0 e + K i 1 = K(x0 x) x0 j Таким образом, оценка (4.21) справедлива 8 x 2 ha, bi. Пример 4. 2. Решим уравнение y = x2 . x Решаем сначала однородное уравнение: y0 y0 y = 0, x dy dx = , y x ln jyj = ln jxj + C, -62- y = C x. 1 . Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной: y чн = C(x) x, Cx = x2 , x 0 C x+C 0 C = x, x2 C(x) = , 2 откуда x3 , 2 y чн = а общее решение исходного уравнения y =Cx+ x3 . 2 4. 3. Однородные уравнения Однородным уравнением называется уравнение вида y 0 y (x) = f , (x, y) 2 G, x (4.22) G – некоторая область в R2 . Áудем предполагать, что f (t) – непрерывная функция, x 6= 0 при (x, y) 2 G. Однородное уравнение заменой y = xz, где z(x) – новая искомая функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. В силу данной замены имеем y 0 = xz 0 + z. Подставляя в уравнение (4.22), получим xz 0 + z = f (z), откуда z 0 (x) = 1 x f (z) z . (4.23) Уравнение (4.23) представляет собой частный случай уравнения с разделяющимися переменными, рассмотренного в п. 4.1. Пусть z = ϕ(x) – решение уравнения (4.23). Тогда функция y = xϕ(x) является решением исходного уравнения (4.22). Действительно, y 0 = xϕ 0 (x) + ϕ(x) = x 1 x f (ϕ(x)) ϕ(x) + ϕ(x) = xϕ(x) y(x) = f ϕ(x) = f =f . x x Пример 4. 3. Ðешим уравнение y0 = y x -63- ey/x . Положим y = zx. Тогда xz 0 + z = z откуда y(x) = 1 z e, x z0 = ez , dz dx = , e z = ln jzj + C, z e x z = ln ln Cx , c 6= 0, x ln ln Cx , c 6= 0. 4. 4. Уравнение Áернулли Уравнением Áернулли называется уравнение вида y 0 = a(x)y + b(x)y α , α 6= 0, α 6= 1 . x 2 ha, bi (4.24) При α = 0 или α = 1 получаем линейное уравнение, которое было рассмотрено в п. 4.2. Áудем предполагать, что a(x), b(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 4. Если α > 0، ثم، من الواضح، وظيفة Y (x) 0 هي حل المعادلة (4.24). لحل معادلة Bernilli (4.24) α 6 \u003d 0، α 6 \u003d 1، نقسم كلا الجزأين من المعادلة على y α. عند α\u003e 0، من الضروري مراعاة ذلك بحكم التعليقات 4. 4، وظيفة Y (X) 0 هي محلول المعادلة (4.24)، والتي ستضيع مع هذا التقسيم. وبالتالي، في المستقبل، ستحتاج إلى إضافة إلى القرار العام. بعد الانقسام، نحصل على نسبة Y α y 0 \u003d a (x) y 1 α + b (x). مقدمة وظيفة جديدة مرغوبة Z \u003d y 1 α، ثم z 0 \u003d (1 لذلك، نصل إلى المعادلة بالنسبة إلى ZZ 0 \u003d (1 α) a (x) z + (1 α) y α) b (x) وبعد α Y 0، المعادلة (4.25) (4.25) هي معادلة خطية. تعتبر هذه المعادلات في الفقرة 4.2، حيث تم الحصول على صيغة حل عام، بموجب حلا z (x) من المعادلة (4.25) مكتوب في النموذج Z (x) \u003d CE R (α 1) (x) dx + + (1 α) e r (α 1) a (x) dx 1 z b (x) e r (α 1) a (x) dx dx. (4.26) ثم الوظيفة y (x) \u003d z 1 α (x)، حيث يتم تعريف z (x) في (4.26)، هو حل معادلة برنيلي (4.24). -64- بالإضافة إلى ذلك، كما هو موضح أعلاه، في α\u003e 0، الحل أيضا وظيفة Y (x) 0. مثال 4. 4. 4. المعادلة Y 0 + 2Y \u003d Y 2 EX. (4.27) نقسم المعادلة (4.27) إلى Y 2 وسنتبدل Z \u003d نحصل على معادلة غير متجانسة خطية 1 ص. نتيجة لذلك، z 0 + 2z \u003d السابقين. (4.28) أولا قررنا أولا المعادلة المتجانسة: Z 0 + 2Z \u003d 0، DZ \u003d 2DX، Z LN JZJ \u003d 2x + C، Z \u003d CE2X، C 2 R1. حل المعادلة غير المتجانس (4.28) نحن نبحث عن تباين ثابت ثابت: zn \u003d c (x) E2X، C 0 E2X 2CE2X + 2CE2X \u003d EX، C 0 \u003d EX، C (X) \u003d EX، من أين Zhen \u003d EX، الحل العام للمعادلة (4.28) Z (x) \u003d CE2X + EX. وبالتالي، يتم تسجيل حل معادلة برنيلي (4.24) كما y (x) \u003d 1. EX + CE2X بالإضافة إلى ذلك، فإن حل المعادلة (4.24) هو أيضا وظيفة Y (x) هذا الحل الذي فقدناه عند تقسيم هذه المعادلة إلى Y 2. 0. 4. 5. المعادلة في الفوارق الكاملة تنظر في المعادلة في الفوارق M (x، y) dx + n (x، y) dx \u003d 0، (x، y) 2 g، (4.29) g هي بعض المنطقة R2. تسمى هذه المعادلة المعادلة في الفوارق الكاملة إذا كانت هناك وظيفة F (x، y) 2 c 1 (g)، والتي تسمى الإمكانات، مثل DF (x، y) \u003d m (x، y) dx + n ( X، Y) DY، (x، y) 2 g. سنفترض أن M (x، y)، n (x، y) 2 c 1 (g)، والمنطقة G هو متصل واحد. في هذه الافتراضات، أدرك التحليل الرياضي (انظر، على سبيل المثال)، ثبت أن المحتملة F (x، Y) على المعادلة (4.29) موجودة (I.E. (4.29) - المعادلة في الفوارق التام) إذا وفقط عندما (x، y) \u003d nx (x، y) -65- 8 (x، y) 2 g. في نفس الوقت (x، zy) f (x، y) \u003d m (x، y) dx + n (x، y) dy، (4.30) (x0، y0) حيث النقطة (x0، y0) هو بعض نقطة ثابتة من G، x، y) - النقطة الحالية الموجودة في G، ويعتزم التكامل curvilinear على طول أي منحنى توصيل النقاط (x0، y0) و (x، y) والكذب بأكمله في المنطقة G. إذا المعادلة (4.29) هي المعادلة

تتم قراءة دورة المحاضرة هذه أكثر من 10 سنوات لطلاب الرياضيات النظرية والتطبيقية في جامعة ولاية الشرق الأقصى. يتوافق مع جيل المعيار الثاني ولكن هذه التخصصات. أوصت الطلاب والطلابون من التخصصات الرياضية.

نظرية Cauchy على وجود وتفرد حل مشكلة Cauchy من معادلة الطلبات الأولى.
في هذه الفقرة، نحن، فرض بعض القيود على الجانب الأيمن من المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى، نثبت وجود وتفرد الحل الذي تحدده البيانات الأولية (X0، U0). الدليل الأول على وجود حل المعادلات التفاضلية ينتمي إلى Cauchy؛ يتم إعطاء الدليل أدناه من قبل بيكار؛ يتم تنفيذها باستخدام طريقة التقريبات المتتالية.

جدول المحتويات
1. المعادلات الأولى
1.0. مقدمة
1.1. المعادلات مع فصل المتغيرات
1.2. معادلات موحدة
1.3. المعادلات التجانسية المعممة
1.4. معادلات خطية من الطلب الأول وأدى إليهم
1.5. معادلة برنولي
1.6. معادلة riccati
1.7. المعادلة في الفوارق الكامل
1.8. دمج المضاعف. أبسط حالات العثور على مضاعف دمج
1.9. المعادلات التي لم يتم حلها بالنسبة إلى المشتق
1.10. نظرية Cauchy على وجود وتفرد حل التحدي Cauchy من الدرجة الأولى
1.11. النقاط الخاصة
1.12. حلول خاصة
2. معادلات أوامر أعلى
2.1. المفاهيم والتعاريف الأساسية
2.2. أنواع معادلات طلب N التي تم حلها في Quadratures
2.3. التكاملات الوسيطة. المعادلات التي تسمح بالانخفاض في النظام
3. المعادلات التفاضلية الخطية على النظام
3.1. مفاهيم أساسية
3.2. معادلات تفاضلية متجانسة خطية على النظام
3.3. خفض ترتيب معادلة متجانسة الخطية
3.4. المعادلات الخطية غير المتجانسة
3.5. انخفاض النظام في معادلة غير معيشية الخطية
4. المعادلات الخطية مع معاملات ثابتة
4.1. معادلة خطية موحدة مع معاملات ثابتة
4.2. معادلات خطية غير متجانسة مع معاملات ثابتة
4.3. معادلات خطية للترتيب الثاني مع حلول تقلبات
4.4. التكامل عن طريق سلسلة السلطة
5. أنظمة خطية
5.1. أنظمة غير متجانسة ومتجانسة. بعض خصائص حلول النظم الخطية
5.2. الظروف المطلوبة والكافية للاستقلال الخطي لحلول نظام متجانس خطي
5.3. وجود مصفوفة أساسية. بناء حل عام لنظام متجانس خطي
5.4. بناء مجموعة كاملة من المصفوفات الأساسية لنظام متجانس خطي
5.5. أنظمة غير معيشية. بناء حل عام من خلال طريقة تباين الثابت التعسفي
5.6. أنظمة متجانسة خطية مع معاملات ثابتة
5.7. بعض المعلومات من نظرية الوظائف من المصفوفات
5.8. بناء مصفوفة أساسية لنظام المعادلات غير المتجانسة الخطية مع معاملات ثابتة في القضية العامة
5.9. نظرية الوجود والنظرية على الخصائص الوظيفية لحلول النظم العادية للمعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى
6. عناصر نظرية الاستقرار
6.1
6.2. أبسط أنواع من نقاط الراحة
7. المعادلات في المشتقات الجزئية للنظام الأول
7.1. معادلة متجانسة خطية في مشتقات جزئية للنظام الأول
7.2. معادلة خطية غير متجانسة في المشتقات الخاصة من 1 طلب
7.3. نظام المعادلات التفاضلية الجزئية مع 1 وظيفة غير معروفة
7.4. معادلة PFAFFA
8. خيارات لمهام الاختبار
8.1. امتحان №1
8.2. الفحص رقم 2.
8.3. الفحص رقم 3.
8.4. رقم الفحص 4.
8.5. الفحص رقم 5.
8.6. الفحص رقم 6.
8.7. الفحص رقم 7.
8.8. رقم الفحص 8.

تحميل مجاني للكتاب الإلكتروني بتنسيق مناسب، انظر وقراءة:
قم بتنزيل محاضرات الكتب على المعادلات التفاضلية العادية، Shepelev R.P.، 2006 - fileskachat.com، تنزيل سريع ومجاني.

تحميل PDF.
يمكنك أدناه شراء هذا الكتاب بأفضل سعر مع خصم مع التسليم في جميع أنحاء روسيا.

"محاضرات بشأن المعادلات التفاضلية العادية جزء 1. يتم تقديم عناصر النظرية العامة في الكتاب المدرسي الأحكام التي تشكل الأساس لنظرية المعادلات التفاضلية العادية: ..."

-- [ صفحة 1 ] --

أ. مامونتوف

محاضرات على العادي

المعادلات التفاضلية

عناصر النظرية العامة

الكتاب المدرسي يحدد الأحكام التي تشكل

أساس نظرية المعادلات التفاضلية العادية: مفهوم الحلول، وجودها، التفرد،

الاعتماد على المعلمات. أيضا (في الفقرة 3)، يتم إيلاء اهتمام معين للحل "الصريح" لبعض فئات المعادلات. الدليل مخصص ل دراسة متعمقة الدورة "المعادلات التفاضلية" من قبل الطلاب الذين يدرسون في كلية الرياضيات بجامعة نوفوسيبيرسك الدولة التربوية.

UDC 517.91 BBK B161.61 برنامج تعليمي مقدما للطلاب من كلية الرياضيات بجامعة Novosibirsk للجنة التربوية، والذين يرغبون في استكشاف الدورة الإلزامية "المعادلات التفاضلية" في حجم ممتد. تقدم القراء المفاهيم والنتائج الرئيسية التي تشكل أساس نظرية المعادلات التفاضلية العادية: مفهوم القرارات والنظارات المتعلقة بوجودهم وتفردهم اعتمادا على المعايير. يتم تقديم المواد الموصوفة في شكل نص منطقي لا ينفصل في الفقرة 1، 2، 4، 5. أيضا (في الفقرة 3، يقف من قبل العديد من القصر ومقاطع مؤشر الترابط الرئيسي للدورة) لفترة وجيزة النظر في التقنيات الأكثر طلبا من العثور على حلول "صريحة" لبعض فئات المعادلات. عند القراءة الأولى الفقرة 3، يمكنك تخطي أي ضرر كبير للهيكل المنطقي للدورة المنطقية.

تلعب التمارين دورا مهما، بكميات كبيرة مدرجة في النص. ينصح القارئ بشدة بشحذ "بكسلات الساخنة"، والتي تضمن استيعاب المواد وتكون بمثابة اختبار. علاوة على ذلك، غالبا ما تملأ هذه التمارين أنسجة منطقية، أي دون حلها، وليس كل الأحكام ستؤثف بدقة.

في أقواس مربعة في منتصف النص أدلى بتعليقات تحمل دور التعليقات (التفسيرات الممتدة أو الجانبية). من المعروف، هذه الشظايا تقاطع النص الرئيسي (أي، للحصول على قراءة متماسكة، يحتاجون إلى "عدم الإشعار")، ولكن لا يزال هناك حاجة إليها كشرح. بمعنى آخر، يجب أن ينظر إلى هذه الشظايا كما لو كانت وضعت في الحقول.

النص هناك مصنف بشكل منفصل "تعليقات المعلم" - يمكن حذفها عند قراءة الطلاب، ولكنها مفيدة للمدرس الذي سيستخدم الدليل، على سبيل المثال، عند قراءة المحاضرات - فهي تساعد بشكل أفضل على فهم منطق الدورة اتجاه التحسينات المحتملة (الامتدادات) للدورة. ومع ذلك، لا يمكن الترحيب بتطوير هذه التعليقات على الطلاب فقط.

يتم تشغيل دور مماثل من قبل "مبررات المعلم" - فهي في شكل مضغوط للغاية تعطي دليلا على بعض الأحكام المقدمة للقارئ كتمارين.

يتم استخدام المصطلحات الأكثر شيوعا (المفتاح) في شكل اختصارات، يتم تقديم القائمة المطلقة للراحة في النهاية. يوفر أيضا قائمة بالتعويضات الرياضية التي واجهتها النص، ولكن لا تتعلق بأكثر الشيوع (و / أو غير معروفة في الأدب غير المبثوق).

الرمز يعني نهاية الدليل، وصياغة الموافقة، والتعليقات، وما إلى ذلك (حيث من الضروري تجنب الارتباك).

يتم إجراء ترقيم الصيغ بشكل مستقل في كل فقرة. على النحو المشار إليه إلى جزء من الصيغة، يتم استخدام المؤشرات، على سبيل المثال (2) 3 تعني الجزء الثالث من الصيغة (2) (شظايا، مسافات مطبعية منفصلة، \u200b\u200bومن المراكز المنطقية - الرباط "و").

لا يمكن لهذا الدليل استبدال الدراسة العميقة للموضوع، والتي تتطلب مناورات مستقلة وقراءة الأدبيات الإضافية، على سبيل المثال، القائمة التي يتم تقديمها في نهاية الدليل. ومع ذلك، حاول المؤلف تحديد الأحكام الرئيسية للنظرية في شكل مضغوط بما فيه الكفاية مناسبة لدورة المحاضرات. في هذا الصدد، تجدر الإشارة إلى أنه عند قراءة دورة المحاضرة، يتم إجراء حوالي 10 محاضرات في هذا الدليل.

نسخة من 2 أجزاء أخرى (مجلدات)، التي تواصل هذا الدليل والدورة الحالية للمحاضرات حول موضوع "المعادلات التفاضلية العادية" هي المخطط لها: الجزء 2 (المعادلات الخطية)، الجزء 3 (النظرية الإضافية للمعادلات غير الخطية، المعادلات في مشتقات جزئية من الطلب الأول).

الفقرة 1. مقدمة المعادلة التفاضلية (DB) هي نسبة النموذج U1 U1 UN UN، أعلى المشتقات FY، U (Y)، ...، \u003d 0، Y1 Y2 YK (1) حيث Y \u003d (Y1،. ..، YK) RK - المتغيرات المستقلة، و U \u003d U (Y) - وظائف غير معروفة 1، U \u003d (U1، ...، UN). وهكذا، في (1) هناك N غير معروف، بحيث تكون هناك حاجة إلى المعادلات N، I.E. F \u003d (F1، ...، FN)، لذلك (1) هو، بشكل عام، النظام من المعادلات N. إذا كانت وظيفة غير معروفة واحدة (ن \u003d 1)، فستكون المعادلة (1) العددية (معادلة واحدة).

لذلك، يتم تعيين وظيفة (S) F (S)، ويتم البحث عنه. إذا كان k \u003d 1، ثم (1) يسمى ODU، وإلا - UCH. الحالة الثانية هي موضوع المسار الخاص ل UMF، المنصوص عليها في سلسلة الكتب المدرسية. في هذه السلسلة من الفوائد (تتكون من 3 أجزاء - أحجام)، سندرس فقط ODU، باستثناء الفقرة الأخيرة من الجزء الأخير (الحجم)، وسوف نبدأ في تعلم بعض حالات UCH الخاصة.

2u u مثال. 2 \u003d 0 - هذه عاجلة.

y1 Y القيم غير المعروفة يمكن أن تكون حقيقية أو معقدة، وهو أمر ضئيل، لأن هذه اللحظة تنطبق فقط على شكل معادلات التسجيل: يمكن تحويل أي سجل شامل إلى حقيقي، وفصل الأجزاء الحقيقية والخيالية (ولكن، بالطبع ، يضاعف عدد المعادلات وغير المعروفة)، والعكس صحيح، في بعض الحالات أنه مناسب للانتقال إلى سجل متكامل.

du d2v dv · 2 \u003d الأشعة فوق البنفسجية؛ U3 \u003d 2. هذا هو نظام 2 ODE مثال.

dY DY DY لمدة 2 وظائف غير معروفة من التناوب المستقل Y.

إذا كان k \u003d 1 (ODU)، فسيتم استخدام أيقونة "مباشرة" D / DY.

u (ذ) دو. إكسب (SIN Z) DZ هو ORD، لأنه يحتوي على مثال. \u003d U (U (Y)) في n \u003d 1 ليس جهاز تحكم عن بعد، ولكن الوظيفة هي معادلة تفاضلية تنمية.

هذا ليس جهاز تحكم عن بعد، ولكن معادلة تفاضلية Integro، لن ندرس هذه المعادلات. ومع ذلك، يتم تقليل المعادلة (2) بسهولة إلى ODU:

تمرين. للحد (2) إلى ODU.

ولكن بشكل عام، تعد المعادلات التكاملية كائن أكثر تعقيدا (تمت دراسته جزئيا في مسار التحليل الوظيفي)، على الرغم من أننا سنرى أدناه، فمن المساعدات الخاصة بهم بحيث يتم الحصول على بعض النتائج من أجل ODU.

تنشأ دو من كلا احتياجات الإيمان الحيواني (على سبيل المثال، في الهندسة التفاضلية) وفي التطبيقات (تاريخيا لأول مرة، والآن بشكل أساسي في الفيزياء). أبسط دو هي "المهمة الأساسية للحساب التفاضلي" على استعادة الوظيفة وفقا لمشتقاتها: \u003d H (Y). كما هو معروف من التحليل، فإن قراره لديه النموذج U (Y) \u003d + H (S) DS. أكثر عمالة دو لحلولها تتطلب أساليب خاصة. ومع ذلك، كما سنرى، يتم تقليل جميع الطرق تقريبا لحل ODU "صراحة" بشكل أساسي إلى الحالة التافهة المحددة.

في التطبيقات في معظم الأحيان، يحدث الكود عند وصف العمليات النامية في الوقت المناسب، بحيث يكون دور متغير مستقل يعمل عادة في وقت اللعب.

وبالتالي، فإن معنى ODU في مثل هذه التطبيقات هو وصف التغيير في معلمات النظام مع مرور الوقت، مريحة للغاية عند البناء النظرية العامة تشير ODE إلى متغير مستقل من خلال T (ودعاها بالوقت مع كل عواقب العواقب المصطفة)، والوظيفة غير المعروفة (AI) - من خلال x \u003d (x1، ...، XN). وبالتالي، فإن المنظر العام لأودي (أنظمة ODU) على النحو التالي:

حيث f \u003d (f1، ...، fn) هو ذلك. هذا هو نظام N ODU وظائف N X، وإذا كان n \u003d 1، ثم One One for 1 وظيفة x.

في هذه الحالة، X \u003d X (T)، T R، و X في التحدث بشكل عام معقد (هذا للراحة، نظرا لأن بعض الأنظمة مسجلة أكثر إغاثة).

يقال أن النظام (3) له طلب م على وظيفة XM.

تسمى المشتقات شيوخ، والباقي (بما في ذلك XM \u003d) - أصغر. إذا كان كل m \u003d، فهي ببساطة يقولون أن ترتيب النظام متساو.

صحيح، غالبا ما يسمى ترتيب النظام الرقم م، وهو أمر طبيعي أيضا، حيث يصبح واضحا.

سؤال الحاجة إلى دراسة قصيدة وتطبيقاتها سننظر في تخصصات أخرى معقولة بما فيه الكفاية (هندسة تفاضلية، تحليل رياضي، الميكانيكا النظرية، إلخ.)، وهي مغطاة جزئيا خلال الفئات العملية في حل المشكلات (على سبيل المثال، من المهمة). في الدورة الحالية، سنشارك حصريا في الدراسة الرياضية لأنظمة النموذج (3)، مما يعني الإجابة على الأسئلة التالية:

1. ماذا يعني "تقرر" المعادلة (النظام) (3)؛

2. كيفية القيام بذلك؛

3. ما هي العقارات لديها هذه القرارات، وكيفية استكشافها.

السؤال 1 غير واضح كما يبدو - انظر أدناه. لاحظ على الفور أن أي نظام (3) يمكن تخفيضه إلى نظام الطلب الأول، مما يدل على المشتقات الشباب كوظائف غير معروفة جديدة. أسهل شيء هو شرح هذا الإجراء باستخدام المثال:

من 5 معادلات لمدة 5 مجهولين. من السهل أن نفهم أن (4) و (5) معادلة بمعنى أن حل واحد منهم (بعد إعادة إصداره) هو حل الآخر. في الوقت نفسه، يجب أن تكون على دراية فقط بمسألة نعومة القرارات - وسيتم ذلك أبعد من ذلك عندما نواجه طلبا أعلى (أي ليس أول واحد).

ولكن الآن من الواضح أنه يكفي دراسة واحدة فقط من الطلب الأول، وقد يتطلب الآخرون فقط من أجل راحة التسميات (ستحدث هذا الوضع في بعض الأحيان).

والآن نقتصر أنفسنا بالترتيب الأول:

dimx \u003d dimf \u003d n.

دراسة المعادلة (النظام) (6) غير مريح بسبب حقيقة أنه لا يتم حلها بالنسبة إلى مشتقات DX / DT. كما هو معروف من التحليل (من نظرية الوظيفة الضمنية)، في ظل ظروف معينة على F، يمكن حل المعادلة (6) بالنسبة إلى DX / DT واكتبها في النموذج الذي تكون فيه: RN + 1 RN مجموعة، و x: rn هو المطلوب. يقال أن (7) هناك ODU، المسموح به بالنسبة للمشتقات (ORD من شكل طبيعي). أثناء الانتقال من (6) إلى (7)، وبطبيعة الحال، قد تنشأ الصعوبات:

مثال. لا يمكن تسجيل EXP (X) \u003d 0 المعاديات في النموذج (7)، وليس لديك حلول على الإطلاق، أي EXP لا يحتوي على الأصفار حتى في الطائرة المعقدة.

مثال. تتم كتابة المعادلة X 2 + X2 \u003d 1 في شكل اثنين من ODE العاديين \u003d ± 1 x2. يجب حل كل واحد منهم ثم يفسر النتيجة.

تعليق. للحصول على معلومات (3) إلى (6)، قد تحدث صعوبة إذا كان (3) لديه 0 من أجل بعض الوظائف أو جزء من الوظائف (أي معادلة تفاضلية وظيفية). ولكن، يجب استبعاد هذه الوظائف من قبل نظرية الوظيفة الضمنية.

مثال. x \u003d y، xy \u003d 1 × \u003d 1 / x. من الضروري العثور على X من ODU تم الحصول عليها، ثم Y من المعادلة الوظيفية.

ولكن في أي حال، تتعلق مشكلة الانتقال من (6) إلى (7) إلى مجال التحليل الرياضي من دولا، ونحن لن نفعل ذلك. ومع ذلك، عند حل ODE (6)، قد تحدث لحظات مثيرة للاهتمام من وجهة النظر، لذلك هذا السؤال مناسب للدراسة عند حل المهام (كما يتم ذلك على سبيل المثال ب) وسوف تتأثر قليلا في الفقرة 3. ولكن في بقية الدورة، سنتعامل مع النظم والمعادلات العادية فقط. لذلك، النظر في ODU (النظام ODU) (7). نحن نكتبها 1 مرة في نموذج اللمعان:

مفهوم "حل (7)" (وبشكل عام، أي القيام به) لفترة طويلة مفهومة باعتبارها البحث عن "الصيغة الصريحة" لحلها (أي في شكل وظائف أولية أو وظائفها الأساسية أو الخاصة، إلخ)، دون لهجة على نعومة الحل والفترة الفاصل لتعريفها. ومع ذلك، فإن الحالة الحالية لنظرية ODU وغيرها من أقسام الرياضيات (وفي العلوم العامة) تبين أن هذا النهج غير مرض - على الأقل لأن حصة ODUS أن الهبة إلى مثل "التكامل الصريح" صغير للغاية (حتى ل أبسط ODE X \u003d F (T) من المعروف أن الحل في الوظائف الابتدائية نادرا، على الرغم من وجود "صيغة واضحة").

مثال. المعادلة X \u003d T2 + X2، على الرغم من بسايتها الشديدة، لا تحتوي على حلول في الوظائف الأولية (وهناك حتى "لا صيغة").

وعلى الرغم من أنك تعرف فئات ODU، فإن الحل "الصريح" ممكن (بنفس الطريقة التي يكون من المفيد أن تكون قادرا على "حساب التكاملات"، عندما يكون ذلك ممكنا، على الرغم من أنه نادرا للغاية)، في هذا الصدد، تتميز الشروط بما يلي: "initengrilators ODU"، "Odu Integral Odu" (نظائرية قديمة للمفاهيم الحديثة "لحل ODU"، "قرار ODU")، والتي تعكس المفاهيم السابقة حول القرار. كيف تفهم المصطلحات الحديثة، ونحن سنذكر الآن.

وسيعتبر هذا السؤال في الفقرة 3 (وكذلك تقليديا الكثير من الاهتمام يتم إعطاء عند حل المهام في الفصول العملية)، ولكن لا ينبغي للمرء أن يتوقع أي تعددية من هذا النهج. كقاعدة عامة، بموجب عملية القرار (7) سوف نفهم خطوات مختلفة تماما.

يجب توضيح الوظيفة x \u003d x (t) قد يتم الإشارة إليها كحل (7).

بادئ ذي بدء، نلاحظ أن الصياغة الواضحة لمفهوم الحل من المستحيل دون تحديد المحدد الذي يتم تعريفه عليه، إذا كان الحل فقط وظيفة، وأي وظيفة (وفقا لتعريف المدرسة) هو قانون يطابق أي عنصر من عنصر معين (يسمى منطقة التعريف هذه الوظيفة) بعض عنصر مجموعة أخرى (قيم الوظيفة). وبالتالي، فإنه سخيف بحكم التعريف دون تحديد مجال تعريفه. تعمل الوظائف التحليلية (الابتدائية على نطاق أوسع) هنا "استثناء" (مضللة) تحت الأسباب المذكورة أدناه (وبعضها البعض)، ولكن في حالة دو هذه الحرية غير مقبولة.

وبشكل عام، دون تحديد مجموعات لتعريف جميع الوظائف المشاركة في (7). سيكون من المستحسن من أبعد من ذلك، من المستحسن ربط مفهوم حلها بشكل صارم بتعزيز التعريف الخاص به، والنظر في حلول مختلفة، إذا كانت مجموعات تعريفها مختلفة، حتى لو تزامن الصلبان هذه المجموعات.

في أغلب الأحيان، في مواقف محددة، هذا يعني أنه إذا تم بناء الحلول في شكل وظائف ابتدائية، بحيث تكون الحلول 2 تحتوي على "صيغة متطابقة"، فمن الضروري التحقق مما إذا كانت مجموعات مكتوبة بهذه الصيغ التي يتم كتابتها. كان الارتباك، لفترة طويلة من المسألة في هذا الشأن، استثناء، في حين تم النظر في القرارات في شكل وظائف ابتدائية، لأن المهام التحليلية تستمر بوضوح على فترات أوسع.

مثال. X1 (T) \u003d ET ON (0.2) و X2 (T) \u003d ET ON (1،3) - حلول مختلفة من المعادلة x \u003d x.

في الوقت نفسه، بشكل طبيعي، في جودة تعريف أي حل لاتخاذ فاصل مفتوح (ربما لا نهاية)، لأن هذه المجموعة يجب أن تكون:

1. فتح بحيث في أي وقت، من المنطقي التحدث عن المشتق (الثنائية)؛

2. svyaznoy، بحيث لا يصلح الحل إلى قطع غير متماسكة (في هذه الحالة هو أكثر ملاءمة للتحدث عن العديد من الحلول) - انظر المثال السابق.

وبالتالي، فإن الحل (7) هو زوج (، (أ، ب))، حيث يتم تعريف B + B + (A، B).

التعليق على المعلم. في بعض الكتب المدرسية، يسمح بإدراج نهاية الجزء في مجال تحديد القرار، ولكن من غير المناسب بسبب حقيقة أن تعقد العرض التقديمي فقط، والتعميم الحقيقي لا يعطي (انظر الفقرة 4).

لتسهيل فهم المزيد من التفكير، من المفيد استخدام تفسير هندسي (7). في الفضاء RN + 1 \u003d ((T، X)) في كل نقطة (T، X)، حيث يتم تعريف F، يمكن النظر في المتجه F (T، X). إذا قمت بإنشاء الرسم البياني للمحلول (7) في هذه المساحة (يطلق عليه منحنى متكامل للنظام (7))، فإنه يتكون من نقاط النموذج (T، X (T)). عند تغيير T (A، B)، تحركات هذه النقطة على طول IR. يحتوي الظل إلى الأشعة تحت الحمراء عند النقطة (T، x (t)) النموذج (1، x (t)) \u003d (1، f (t، x (t))). وبالتالي، فإن IR هي تلك والمنحنيات الوحيدة في مساحة RN + 1، والتي في كل نقطة خاصة بها (T، X) لديك متجه عرضي، متوازي (1، F (T، X)). في هذه الفكرة، تم بنائه إلى ذلك. طريقة Isocline للمشاركة التقريبية لأغراض الأشعة تحت الحمراء، والتي يتم استخدامها كجمهوريات من حلول ODUS المحددة (انظر

على سبيل المثال). على سبيل المثال، في N \u003d 1، يعني بناءنا ما يلي: في كل نقطة IR، منحدره إلى المحور T لديه خاصية TG \u003d F (T، X). من الطبيعي أن نفترض أنه من خلال اتخاذ أي نقطة من مجموعة من التعريف F، يمكننا أن نقضي IR من خلال ذلك. سيتم تبرير هذه الفكرة بشكل صارم. طالما نفتقر إلى الصياغة الصارمة من نعومة الحلول - سيتم ذلك أدناه.

الآن من الضروري توضيح مجموعة B، التي تحدد F. هذا كثير من القضاء بشكل طبيعي:

1. افتح (بحيث يمكن بناء IR في حي أي نقطة من B)، 2. متصل (وإلا يمكن النظر في جميع القطع المتصلة - على أي حال، IR (كخطاري لوظيفة مستمرة) القفز من قطعة واحدة في آخر، بحيث لا تؤثر البحث في المجتمع عن الحلول).

سننظر فقط في الحلول الكلاسيكية (7)، أي بحيث يكون X و X مستمر على (أ، ب). ثم يتطلب بطبيعة الحال f c (b). بعد ذلك، سيتم ضمن هذا الشرط من قبلنا. لذلك، نحصل أخيرا على تعريف. دع B RN + 1 كن المنطقة، F C (B).

يتم تحديد زوج (، (A، B))، AB +، من قبل (A، B)، يسمى الحل (7) إذا C (A، B)، في كل مرة t (a، b)، (t، (T)) B (T)، مع (T) \u003d f (t، (t)) (ثم تلقائيا C 1 (A، B)).

من الواضح هندسي أن (7) سيكون لديك الكثير من الحلول (التي من السهل فهمها بيانيا)، نظرا لتنفيذ الأشعة تحت الحمراء، بدءا من نقاط النموذج (T0، X0)، حيث تم إصلاح T0، ثم سوف نتلقى الأشعة تحت الحمراء مختلفة. بالإضافة إلى ذلك، فإن التغيير في الفاصل الزمني لتعريف القرار سيعطي حلا آخر، وفقا لتعريفنا.

مثال. X \u003d 0. الحل: x \u003d \u003d const rn. ومع ذلك، إذا قمت بتحديد بعض T0 وإصلاح القيمة X0 من الحل في النقطة T0: x (t0) \u003d x0، يتم تعريف القيمة بشكل فريد: \u003d x0، أي الحل، الحل فريد من نوعه بدقة الاختيار الفاصل (أ، ب) T0.

إن وجود مجموعة من الحلول "مجهوليهوية" غير مريح للعمل مع NIMI2 - إنه أكثر ملاءمة "استيراد" لهم على النحو التالي: أضف إلى (7) شروط إضافية بحيث تسليط الضوء على القرار الوحيد (بمعنى معين) القرار ، ثم، تعرض هذه الشروط، والعمل مع كل الحل منفصل (قد يكون الحل الهندسي واحد (IR)، وهناك العديد من القطع - مع هذا الإزعاج سيبحث في وقت لاحق).

تعريف. المهمة (7) هي (7) مع شروط إضافية.

اخترعنا بشكل كبير أبسط المهمة - هذه هي مهمة Cauchy: (7) مع شروط النموذج (بيانات Cauchy، البيانات الأولية):

وجهة نظر C من وجهة نظر التطبيقات هذه المهمة طبيعية: على سبيل المثال، إذا كان (7) يصف التغيير في بعض المعلمات x مع مرور الوقت ر، ثم (8) يعني أنه في بعض الوقت (الأولي) لحظة المعلمات معروفة وبعد من الضروري معرفة المهام الأخرى، وسوف نتحدث عن ذلك لاحقا، ولكن الآن سنركز على مهمة Cauchy. بطبيعة الحال، هذه المهمة منطقية في (T0، X0) B. وفقا لذلك، يسمى حل المشكلة (7)، (8) حلا (7) (بمعنى التعريف المذكور أعلاه) بحيث T0 (أ، ب)، ويتم تنفيذها (8).

أقرب مهمة لدينا هي إثبات وجود حل مشكلة Cauchy (7)، (8)، ومع بعض المثال الإضافي - معادلة مربعة، من الأفضل كتابة X1 \u003d ...، X2 \u003d ... X \u003d B / 2 ± ...

الافتراضات على F - وتفردها بمعنى معين.

تعليق. نحتاج إلى توضيح مفهوم قاعدة المتجه والمصفوفة (على الرغم من أن المصفوفات ستكون هناك حاجة فقط في الجزء 2). نظرا لحقيقة أنه في الفضاء المحدود الأبعاد، تعادل جميع القواعد، لا يهم اختيار قاعدة معينة إذا كنا مهتمين فقط كتقديرات، وليس قيما دقيقة. على سبيل المثال، بالنسبة للنظارات التي يمكنك تطبيقها | x | p \u003d (| xi | p) 1 / p، p - peano الجزء (pickara). النظر في مخروط K \u003d (| X X0 | F | T T0 |) وجزءها مقطوعا K1 \u003d K (T IP). من الواضح أن K1 C. فقط

نظرية. (فولو). دع متطلبات F في المشكلة (1) المحدد في تحديد الحل، أي:

f C (B)، حيث B هي منطقة في RN + 1. ثم، على الإطلاق (T0، X0) B، هناك حل للمهمة (1).

شهادة. تم ضبطه بشكل تعسفي (0، T0] وبناء ما يسمى. قصرة من المربين بخطوة، وهي مكسورة في RN + 1، حيث يحتوي كل رابط على إسقاط على المحور الطويل، أول رابط ل يبدأ اليمين عند النقطة (T0، X0) وهذا هو أنه dx / dt \u003d f (t0، x0)؛ يخدم الطرف الأيمن من هذا الرابط (T1، X1) كهيئة اليسارية للمرة الثانية، والتي dx / dt \u003d f (t1، x1)، وهلم جرا، وبالمثل، وبالمثل إلى اليسار. يحدد مكسور الناتج وظيفة خطية موصلة X \u003d (T). في حين أن T IP، لا يزال مكسور في K1 (وحتى أكثر من ج وبالتالي في ب)، وبالتالي فإن البناء صحيح - لهذا فعلا وتم إجراء بناء مساعد قبل نظرية.

في الواقع، في كل مكان باستثناء نقاط الاستراحة هناك، ثم (S) \u003d (T) \u003d (z) DZ، حيث توجد قيم مشتقة تعسفية في نقاط الاستراحة.

في الوقت نفسه (تتحرك على طول الراعدة التعريفي) على وجه الخصوص، | (T) X0 | F | T T0 |.

وبالتالي، في وظائف IP:

2. مستمر نسياسة، منذ lipshtsy:

هنا، إذا لزم الأمر، قم بتحديث معرفتي حول هذه المفاهيم والنتائج على النحو التالي: الاستمرارية العادل، التقارب الموحد، نظرية ARZEL ASCOL، إلخ.

بواسطة Thezel-Ascol Theorem، هناك تسلسل K 0 مثل K على IP، حيث C (IP). بواسطة البناء، (T0) \u003d x0، لذلك يبقى للتحقق من أننا سنثبت أنه من أجل S T.

تمرين. مماثلة للنظر في ر.

Set 0 ونجد 0 بحيث بالنسبة للجميع (T1، X1)، (T2، X2) C، يمكن القيام بذلك بسبب استمرارية موحدة F على المدمجة C. سوف نجد M N حتى إصلاح T INT ( IP) وأخذ أي in int (IP) هو أن TST +. ثم للجميع Z ولدينا | K (Z) K (T) | F، في الاعتبار (4) | K (Z) (T) | 2F.

لاحظ أن k (z) \u003d k (z) \u003d f (z) \u003d f (z، k (z))، حيث z هو abscissa من الطرف الأيسر من قطع مكسور يحتوي على النقطة (z، k (z)). ولكن النقطة (Z، K (Z)) يدخل الأسطوانة مع المعلمات (2F)، بنيت عند النقطة (T، (T)) (في الواقع، حتى في مخروط مقطوع - انظر الشكل ولكنه لا يهم الآن )، لذلك في ضوء (3) نحصل على | K (Z) F (T، (T)) |. لكسر، لدينا، كما ذكر أعلاه، فإن الصيغة ل K سوف تعطي (2).

تعليق. دع f c 1 (ب) يكون. ثم الحل المحدد على (A، B) سيكون من الفئة C 2 (A، B). في الواقع، على (A، B) لدينا: هناك f (t، x (t)) \u003d ft (t، x (t)) + (t، x (t)) x (t) (هنا - مصفوفة جاكوبي) - وظيفة مستمرة. الغش، هناك أيضا 2 ج (أ، ب). يمكنك الاستمرار في زيادة نعومة الحل إذا كانت F على نحو ناعم. إذا كانت f التحليلية، فيمكنك إثبات وجود وتفرد الحل التحليلي (ما يسمى ذلك. نظرية Cauchy)، على الرغم من أنه لا ينبغي أن يكون في المنطق السابق!

من الضروري هنا أن نتذكر ما هي الوظيفة التحليلية. لا يجب الخلط بينها مع الوظيفة، تمثيلها بواسطة رقم القوة (ليس فقط تمثيل الوظيفة التحليلية، بشكل عام، أجزاء من التعريف الخاص به)!

تعليق. عند المحدد (T0، X0)، من الممكن، اختلاف T و R، حاول زيادة T0. ومع ذلك، فإن هذا عادة غير مهم للغاية، حيث أن دراسة الفاصل الزمني الأقصى لوجود الحل هناك طرق خاصة (انظر الفقرة 4).

في نظرية بيرانو، لم يذكر أي شيء عن تفرد القرار. من خلال فهمنا للحل، ليس دائما الوحيد، لأنه إذا كان هناك بعض الحل، فستكون ضيقا من الحلول الأخرى للفواصل الضيقة. هذه اللحظة سننظر في مزيد من التفاصيل لاحقا (في الفقرة 4)، وحتى الآن، تحت التفرد، نفهم صدفة أي حلولين عند تقاطع فترات تعريفهم. حتى في هذا المعنى، فإن نظرية Peaano لا يقول أي شيء عن التفرد أنه ليس بالصدفة، لأنه من المستحيل ضمان التفرد.

مثال. n \u003d 1، f (x) \u003d 2 | x |. مشكلة Cauchy لها حل تافهة: X1 0، وإلى جانب X2 (T) \u003d T | T |. من بين هذين الحلولين، يمكن جمع عائلة عائلة من 2 كاملة من 2

حيث + (قيم لا نهاية لها تعني عدم وجود الفرع المقابل). إذا كنت تعول لمنطقة التعريف لجميع هذه الحلول، فإنها لا تزال هناك الكثير بلا حدود.

نلاحظ أنه إذا قمت بتطبيق دليل على نظرية الفينو من خلال النظير المكسور، فإن حل الصفر فقط سيكون. من ناحية أخرى، إذا كان في عملية بناء Euler مكسورة للسماح لخطأ صغير في كل خطوة، حتى بعد رغبة معلمة الخطأ إلى الصفر، ستبقى جميع الحلول. وبالتالي، فإن نظرية الفينو والمرض المكسور طبيعي كوسيلة لبناء حلول وترتبط ارتباطا وثيقا بالطرق العددية.

ترجع المشكلة التي لوحظت في المثال إلى حقيقة أن وظيفة F غير منتشرة بواسطة X. اتضح أنه إذا فرضت متطلبات إضافية للانتظام F بواسطة X، فيمكن ضمان الوحدة، وهذه الخطوة في إحساس معين ضروري (انظر أدناه).

أذكر بعض المفاهيم من التحليل. يسمى الوظيفة (Scalar أو Vector) G أداة تعريف مع مؤشر (0، 1] على المجموعة، إذا كانت حالة Lipshitz صحيحة. في 1، فمن الممكن فقط من أجل الوظائف الدائمة. الوظيفة المحددة على القطاع (حيث يستدعي الاختيار غير ذي صلة) وحدة الاستمرارية، إذا قالت إن ز يرضي في حالة البحث المعمم مع وحدة نمطية إذا كانت في هذه الحالة تسمى وحدة الاستمرارية G ج.

يمكن أن يظهر أن أي وحدة استمرارية هي وحدة الاستمرارية لبعض الوظائف المستمرة.

الحقيقة العكسية مهمة بالنسبة لنا، وهي: أي وظيفة مستمرة في المدمجة لديها وحدة الاستمرارية الخاصة بها، أي رضا (5) مع بعض. نحن نثبت ذلك. أذكر أنه إذا كان ذلك مضغوطا، و G C ()، فهذا هو مستمر بشكل موحد، I.E.

\u003d (): | x y | \u003d | g (x) g (y) |. اتضح أن هذا يعادل الحالة (5) مع بعض. في الواقع، إذا كان هناك، فهذا يكفي لبناء وحدة استمرارية بحيث (())، ثم في | X Y | \u003d \u003d \u003d () نحصل عليه (و) تعسفي، x و y يمكن أن يكون أي.

والعكس صحيح، إذا كان (5) صحيحا، فهذا يكفي العثور على ذلك (() ())، ثم في | X Y | \u003d () نحصل عليه لا يزال لإثبات التحولات المنطقية:

لرتابة وما يكفي لاتخاذ وظائف عكسيةبشكل عام، من الضروري استخدام ما يسمى. ردود فعل عامة. يتطلب وجودهم دليلا منفصلا على أننا لن نؤدي، ولكن دعونا نقول فقط فكرة (من المفيد مرافقة رسومات القراءة):

لأي f، نحن نحدد f (x) \u003d min f (y)، f (x) \u003d max f (y) هي وظائف رتيبة، وعكسها. من السهل التحقق من VVIF أن x x f (f (x))، (f) 1 (f (x)) x، f ((f) 1 (x)) x.

أفضل وحدة استمرارية هي خطية (حالة Lipschits). هذه هي وظائف "مختلفة تقريبا". لإعطاء شعور صارم، يتطلب آخر بيان بعض الجهود، وسوف نحد من أنفسنا لتقديرين:

1. التحدث بدقة، وليس كل وظيفة lipschitz التمييز، كمثال G (x) \u003d | X | على ص؛

2. ولكن من مختلف المباريات يتبع الشففاء، كما يظهر البيان التالي. أي وظيفة G، التي لديها جميع م على مجموعة محدبة، تلبي حالة lipschitz على ذلك.

[بينما للإيجاز، والنظر في وظائف العددية G.] دليل. للجميع X، Y لدينا بوضوح أن هذا البيان صحيح بالنسبة لوظائف ناقلات.

تعليق. إذا كانت f \u003d f (t، x) (عادة التحدث، توضيح ناقلات)، ثم يمكنك إدخال مفهوم "f lipschitsev by x"، I.E. | F (T، X) F (T، Y) | C | XY |، وأثبت أيضا أنه إذا كان D محددا في X لجميع T، فإن Lipshetsevity f بواسطة x in d، يكفي أن يكون مشتقات f بواسطة x، محدود في العبارة التي تلقينا تقديرات | G ( X) G (Y) | من خلال | X Y |. مع N \u003d 1، يتم ذلك عادة باستخدام صيغة زيادة محددة: g (x) g (y) \u003d g (z) (xy) (إذا كان g هو وظيفة متجه، ثم Z هو خاص به لكل مكون). بالنسبة ل N 1 أنها مريحة لاستخدام التناظرية التالية لهذه الصيغة:

ليمما. (أدامارا). دع f c (d) يكون (عموما، وظيفة ناقل)، حيث D (T \u003d T) محدب في أي T، و F (T، X) f (t، y) \u003d a (t، x، y) · (XY)، حيث يوجد مصفوفة مستطيلة مستطيلة.

شهادة. مع أي ر ثابت، نحن نطبق الحساب من إثبات الموافقة \u003d D (T \u003d T)، G \u003d FK. نحصل على التمثيل المرغوب مع (T، X، Y) \u003d A في الواقع مستمر.

دعنا نعود إلى مسألة تفرد حل المشكلة (1).

سنضع السؤال مثل هذا: ما يجب أن يكون وحدة الاستمرارية F بواسطة X، بحيث يكون الحل (1) هو الشيء الوحيد بمعنى أن 2 حلول محددة في نفس الفاصل الزمني يتزامن؟ يتم إعطاء الإجابة إلى Theorem التالي:

نظرية. (Osgood). واسمحوا تحت ظروف الفولو استمرارية استمرارية X في ب، أي الوظيفة في عدم المساواة ترضي الشرط (ج). ثم المشكلة (1) لا يمكن أن تحتوي على اثنين من الحلول المختلفة المعرفة في الفاصل الزمني نفسه (T0 A، T0 + B).

مقارنة مع مثال على الترابط أعلاه.

ليمما. إذا z c 1 (،)، ثم كل ذلك (،):

1. عند النقاط حيث z \u003d 0، موجود | z |، و || z | | | Z |؛

2. عند النقاط، حيث z \u003d 0، هناك مشتقات من جانب واحد | z | ±، و || z | ± | \u003d | z | (على وجه الخصوص، إذا z \u003d 0، ثم موجود | z | \u003d 0).

مثال. ن \u003d 1، z (t) \u003d t. في نقطة T \u003d 0 مشتق من | Z | لا يوجد، ولكن هناك مشتقات من جانب واحد.

شهادة. (Lemmas). في تلك النقاط حيث z \u003d 0، hasz · z it: exist | z | \u003d، و || z | | | z |. في تلك النقاط ر، حيث z (t) \u003d 0، لدينا:

الحالة 1: z (t) \u003d 0. ثم نحصل على وجود | z | (ر) \u003d 0.

الحالة 2: z (t) \u003d 0. ثم، في +0 أو 0 OCHIZ (T +) | | ض (ر) | الوحدة التي تساوي | Z (T) |.

حسب الحالة، F C 1 (0،)، F 0، F، F (+0) \u003d +. دع Z1،2 كن حلولين (1) محددة بواسطة (T0، T0 +). تشير إلى z \u003d z1 z2. نملك:

لنفترض أنه T1 (بالتأكيد T1 T0) بحيث z (T1) \u003d 0. مجموعة A \u003d (T T1 | z (t) \u003d 0) غير فارغ (T0 A) ومحدودية من أعلاه. وهذا يعني أنه يحتوي على وجه أعلى T1. من خلال البناء، Z \u003d 0 ON (، T1)، وبسبب استمرارية Z، لدينا Z () \u003d 0.

بواسطة Lemma | Z | ج 1 (، T1)، وفي هذا الوقت الفاصل | z | z | (| Z |)، بحيث دمج البرامج (T، T1) (حيث T (، T1)) يعطي f (| z (t) |) f (| z (t1) |) t1 t. مع T + 0، نحصل على تناقض.

نتيجة نسبية 1. إذا، في ظل ظروف Peano F Theorem، Lipshitsev وفقا ل X في B، فإن المشكلة (1) لديها حل واحد بالمعنى الموضح في نظرية OSGood، لأنه في هذه الحالة () \u003d C للإرضاء (7 ).

Corollary 2. إذا كان بموجب شروط Peaano C (B) نظرية، ثم الحل (1) المحدد على Int (IP)، الوحيد.

ليمما. مطلوب أي قرار (1)، المحدد على الملكية الفكرية، لتلبية التصنيف | X | \u003d | f (t، x) | F، وجدولها - تكمن في K1، وحتى أكثر من ذلك في جيم

شهادة. لنفترض أنه سيكون هناك IP T1 بحيث (T، X (T)) C. بالتأكيد، دع T1 T0. ثم هناك T2 (T0، T1] بحيث | x (t) x0 | \u003d r- وبالمثل، يمكن اعتبار الحجج الموجودة في إثبات نظرية OSCA أن T2 هي الأكثر ترك هذه النقطة، وعندينا (ر ، x (t)) c، لذلك | f (t، x (t، x (t)) | f، وبالتالي (t، x (t)) k1، الذي يتناقض مع | x (t2) x0 | \u003d r. so، (t ، X (T)) C على All IP، ثم (تكرار الحسابات) (T، X (T)) K1.

شهادة. (النتيجة الطبيعية 2). C هو MNOF مدمج برنامج F Lipszytsev في C، حيث تكمن الرسوم البيانية جميع الحلول في عرض Lemma. عن طريق التحقيق 1 نحصل على المطلوب.

تعليق. الحالة (7) تعني أن حالة Lipschitz ل F لا يمكن أن تضعف بشكل كبير. على سبيل المثال، لم تعد شرط Helder C 1 مناسب. فقط وحدات الاستمرارية قريبة من الخطي - مثل الترابط "السيئ":

تمرين. (معقدة بما فيه الكفاية). إثبات أنه إذا كان يرضي (7)، فهناك 1، مرضية (7) بحيث 1 / في الصفر.

بشكل عام، ليس من الضروري أن تتطلب شيئا من وحدة الاستمرارية F بواسطة X للحصول على التفرد - أنواع مختلفة من المناسبات الخاصة ممكنة، على سبيل المثال:

بيان. إذا، في ظروف نظرية الفينو، يمكن ملاحظة أي حلول 2 (1)، المعرفة على (9)، أن XC 1 (A، B)، ثم التمايز (9) يعطي (1) 1، و (1) ) 2 واضح.

على النقيض من (1)، لمدة (9)، من الطبيعي بناء حل على شريحة مغلقة.

اقترح بيكر لحل (1) \u003d (9) الطريقة التالية لتقرير التقريبات المتتالية. تشير x0 (t) x0، ثم على تحريض نظرية. (cauchy picara). دع تحت ظروف وظيفة The Peano Theorem Functs fipshitsev وفقا ل X في أي محدب من X Compact K من المنطقة B، I.E.

ثم لأي (T0، X0) B، تتمتع مهمة Cauchy (1) (IT (9)) حلا واحدا على INT (IP)، و XK X على IP، حيث يتم تعريف XK في (10).

تعليق. من الواضح أن نظرية لا تزال قوة إذا تم استبدال الحالة (11) ج (ب)، بسبب هذا الشرط، يتبع (11).

التعليق على المعلم. في الواقع، ليس من الضروري لجميع برامج المحدبة من قبل X، ولكن الأسطوانات فقط، ولكن الصياغة تتم بالضبط، لأنه في الفقرة 5 ستكون هناك حاجة إلى مزيد من الاتفاقات العامة، وبصور دقة، هذا هو بالضبط هذه الصياغة.

شهادة. اختر تعسفا (T0 أو X0) B وسنعمل نفس الإنشاءات المساعدة كما كان قبل نظرية الفينو. نثبت عن طريق التعريفي على أنه يتم تعريف جميع XK ومستمرة على الملكية الفكرية، والرسوم البيانية تكذب في K1، وحتى أكثر من ذلك في C. للحصول على X0 فمن الواضح. إذا كان هذا صحيحا ل XK1، فمن الواضح أن XK محددة ومستمرا على IP، وهذا ينتمي إلى K1.

الآن نثبت عن طريق التعريفي بتقييم IP:

(C هو محدب بواسطة X CD في B، ويتم تعريف L (C) لذلك). في K \u003d 0، هذا تقدير مثبت (T، X1 (T)) K1. إذا (12) صحيح بالنسبة ل K: \u003d K 1، ثم من (10) لدينا ما هو مطلوب. وبالتالي، فإن عدد من تخصص في أرقام IP المتقاربة، وبالتالي (يسمى هذا يطلق على نظرية Weierstrass) بالتساوي على IP يتقارن إلى بعض الوظائف X C (IP). ولكن هذا يعني XK X على IP. ثم في (10) على IP، انتقل إلى الحد والحصول على (9) على IP، وبالتالي (1) على INT (IP).

يتم الحصول على التفرد على الفور نتيجة 1 من نظرية OSGood، ولكن من المفيد إثبات ذلك وبطريقة أخرى باستخدام المعادلة (9). لنفترض أن هناك 2 حلول X1.2 المهام (1) (I.E. (9)) على INT (IP). كما هو مذكور أعلاه، فإن الرسوم البيانية ملقاة بالضرورة في K1، وحتى أكثر من ذلك في C. دع T i1 \u003d (T0، T0 +)، حيث - بعض العدد الإيجابي. ثم \u003d 1 / (2L (ج)). ثم \u003d 0. وهكذا، x1 \u003d x2 على i1.

التعليق على المعلم. لا يزال هناك دليل على التفرد بمساعدة Lemma of Hronole، وهو أمر طبيعي أكثر، لأنه يأخذ على الفور على المستوى العالمي، ولكن في حين أن Lemma of Hronula غير مريحة للغاية، لأنه من الصعب إدراكه بشكل كاف.

تعليق. آخر دليل على التفرد مفيد في ذلك مرة أخرى يظهر مرة أخرى في ضوء مختلف، حيث يؤدي التفرد المحلي إلى عالم عالمي (وهو غير صحيح للوجود).

تمرين. إثبات التفرد فورا على كل IP، بحجة من الخصم كما هو الحال في إثبات نظرية OSGood.

حالة خاصة مهمة (1) هي ODU الخطية، أي، حيث القيمة F (T، X) خطية بواسطة X:

في هذه الحالة، من أجل دخول شروط النظرية العامة، يجب أن تكون هناك حاجة بهذه الطريقة، في هذه الحالة، تبرز السلسلة، وحالة Lindsery (وحتى التقليد) وفقا ل X يتم تنفيذها تلقائيا: على الإطلاق (أ، ب)، x، y rn لدينا | f (t، x) f (t، y) | \u003d | (ر) (س ص) | | أ (ر) | | (X Y) |.

إذا قمت بتخصيص مدمجة مؤقتا (أ، ب)، فسيتم الحصول عليها | f (t، x) f (t، y) | L | (x y) |، حيث L \u003d ماكس | A |.

من نظرية Peano و Osgood نظرية أو Cauchy-Picar، يجب أن تكون غير مبالغة غير المبادلة للمشكلة (13) على بعض الفاصل الزمني (Peano-Picking) التي تحتوي على T0. علاوة على ذلك، فإن الحل على هذا الفاصل هو الحد الأقصى لتقرير متسقة من Pickara.

تمرين. العثور على هذا الفاصل.

لكن اتضح أنه في هذه الحالة، يمكن إثبات كل هذه النتائج على الفور على الصعيد العالمي، أي على كل شيء (أ، ب):

نظرية. فليكن صحيحة (14). ثم المشكلة (13) لديها حل واحد على (A، B)، وتقريب التوالي من اختيار التقاط بالتساوي على أي مدمج (أ، ب).

شهادة. مرة أخرى، كما هو الحال في TK-P، نبني حلا للمعادلة المتكاملة (9) بمساعدة تقريب متتالي من خلال الصيغة (10). ولكن الآن لا نحتاج إلى التحقق من الشرط لإدخال المخروط والأسطوانة، منذ ذلك الحين.

يتم تعريف F على All X، بينما T (A، B). من الضروري فقط التحقق من أن جميع XK محددة ومستمرة على (أ، ب)، وهو واضح لتحريض.

بدلا من (12)، الآن سنظهر الآن تقدير مماثل للأنواع حيث n رقم اعتمادا على الاختيار. الخطوة الحث الأولى لهذا التقييم لآخر (T. K. غير مرتبط K1): for k \u003d 0 | x1 (t) x0 | ن بسبب الاستمرارية X1، والخطوات التالية متشابهة (12).

لا يمكنك رسمها، لأنه واضح، ولكن يمكننا أن نلاحظ مرة أخرى XK X ON، و X هو حل المقابلة (10). ولكن وبالتالي قمنا ببناء حل على كل شيء (أ، ب)، لأن اختيار المدمجة تعسفية. يتبع التفرد من نظرية Osgood أو Coschi-Pickara (والتفكير أعلاه حول التفرد العالمي).

تعليق. كما ذكر أعلاه، فإن TC-P هو السجن رسميا بسبب وجود نظرية فولو وأوسجود، لكنه مفيد لمدة 3 أسباب - هي:

1. يسمح لك بربط مشكلة Cauchy من أجل ODU مع معادلة متكاملة؛

2. يدعو الطريقة البناءة لتقرير التوالي؛

3. يجعل من السهل إثبات وجود عالمي للمجموعة الخطية.

[على الرغم من أن الأخير يمكن أن يستمد من التفكير الفقرة 1.] بعد ذلك، سنشير في كثير من الأحيان إلى ذلك.

مثال. x \u003d x، x (0) \u003d 1. تقريب متسلسل يعني x (t) \u003d e - حل المهمة الأولية في جميع أنحاء R.

في معظم الأحيان سيتم الحصول على عدد، ولكن لا يزال تصميم معين. يمكنك أيضا تقييم الخطأ X XK (انظر).

تعليق. من Peano، Osguda، Theorem و Cauchy Picar، من السهل الحصول على النظرية المقابلة لأعلى ترتيب.

تمرين. صياغة مفاهيم مشكلة Cauchy، حلول النظام ومهام Cauchy، جميع النظرية للحصول على أعلى ترتيب، باستخدام تقليل أنظمة الدراسات الأول الواردة في الفقرة 1.

العديد من انتهاك منطق الدورة، ولكن بهدف الاستيعاب بشكل أفضل وإثارة الأساليب لحل المشاكل في الطبقات العملية، نقطع مؤقتا عرض النظرية العامة، وسنتعامل مع المشكلة الفنية في "القرار الصريح لل ODU ".

الفقرة 3. بعض تقنيات التكامل، النظر في معادلة العددية \u003d f (t، x). برودت خطوات حالة خاصة تعلمت الاندماج ما يسمى ذلك. URP، أي المعادلة التي تكون فيها f (t، x) \u003d a (t) b (x). الطريقة الرسمية لدمج URP هي "تقسيم" المتغيرات T و X (وبالتالي الاسم): \u003d A (T) DT، ثم تأخذ التكامل:

chim X \u003d B (A (T)). يحتوي هذا المنطق الرسمي على عدة نقاط تتطلب التبرير.

1. قرار بشأن B (X). نعتقد أن F مستمر، لذلك ج (،)، ب C (،)، أي مستطيل يبرز () ()(بشكل عام، لا نهاية لها). مجموعات (B (x) 0) و (B (x) 0) مفتوحة وبالتالي هي مجموعات محدودة أو قابلة للعد من الفواصل الزمنية. بين هذه الفواصل الزمنية توجد نقاط أو شرائح، حيث B \u003d 0. إذا ب (x0) \u003d 0، فإن مهمة Cauchy تحتوي على حل X X0. ربما لا يكون هذا الحل هو الوحيد، ثم في منطقة تعريفه، توجد فواصل زمنية، حيث B (x (t)) \u003d 0، ولكن بعد ذلك، يمكن تقسيمها إلى B (X (T)). لاحظنا في وقت واحد أنه في هذه الفواصل الزمنية وظيفة B Monotonne وبالتالي يمكن أن تؤخذ ب 1. إذا ب (x0) \u003d 0، ثم في حي T0 عن علم B (X (T) \u003d 0، والإجراء قانوني. وبالتالي، يجب تطبيق الإجراء الموصوف، بشكل عام، عند تقسيم المنطقة لتحديد الحل من جانبه.

2. دمج الأجزاء اليسرى واليمين وفقا لمتغيرات مختلفة.

الطريقة الأولى. دعنا نريد العثور على حل مهمة KDD (1) X \u003d (T). لدينا: \u003d A (T) B ((T))، من حيث حصلوا على نفس الصيغة بدقة.

الطريقة الثانية. المعادلة يسمى ذلك. سجل متماثل من ODU الأصلي، أي، هذا، وهذا غير محدد، وهو المتغير مستقل، والذي يعتمد. هذا النموذج منطقي فقط في حالة واحدة من معادلة من الدرجة الأولى قيد النظر بسبب نظرية النظرة الثابتة في شكل التفاضلية الأولى.

من المناسب فهم المزيد من التفاصيل مع مفهوم التفاضلية، مما يوضح ذلك بمثال لطائرة ((((T، X))، المنحنيات عليها، الروابط الناشئة، درجات الحرية، المعلمة على المنحنى.

وبالتالي، فإن المعادلة (2) يربط التفارق T و X على طول IR المطلوب. ثم دمج المعادلة (2) في الطريقة الموضحة في البداية تكون قانونية تماما - فهذا يعني، إذا كنت تريد، دمج على أي متغير محدد كمستقل.

في الطريقة الأولى، أظهرنا ذلك عن طريق اختيار كمتغير مستقل. الآن سنعرض ذلك عن طريق اختيار المعلمة S كأقل مستقلة على طول IR (نظرا لأن هذا هو أكثر وضوحا من المساواة T و X). دع القيمة S \u003d S0 تتوافق مع النقطة (T0، X0).

ثم لدينا: \u003d A (T (S) DS (S) DS، أنه بعد أن يمنحه للتأكيد على تنوع تسجيل متماثل، مثال: لا يتم تسجيل دائرة إما X (T)، ولا كما T (س)، ولكن x (s)، t (s).

يتم تقليل بعض ODU الأخرى من النظام الأول إلى URPS، والتي يمكن رؤيتها عند حل المهام (على سبيل المثال، في مهمة).

حالة مهمة أخرى هي رمز خطي:

طريقة I. الاختلاف إلى ثابت.

هذه حالة خاصة من نهج أكثر عمومية، والتي سيتم اعتبارها جزئيا 2. المعنى هو أن البحث عن الحلول في شكل خاص يقلل من ترتيب المعادلة.

يجب أن أكون أولا دعا. معادلة موحدة:

بحكم التفرد إما X 0، إما في كل مكان X \u003d 0. في الحالة الأخيرة (دعها تعطي ذلك (4)، فإنه يعطي جميع الحلول (3) 0 (بما في ذلك الصفر والسلبي).

في الفورمولا (4) هناك C1 ثابت التعسفي.

طريقة الاختلاف ثابتة تتكون في حقيقة أن الحل (3) C1 (T) \u003d C0 + مرئي (أما بالنسبة لأنظمة الخطية الجبرية) هيكل ORNA \u003d Chrn + Orou (حول هذا الموضوع بمزيد من التفاصيل في الجزء 2).

إذا كنا نريد حل مهمة Cauchy X (T0) \u003d x0، فأنت بحاجة إلى العثور على C0 من بيانات Cauchy - يمكنك بسهولة الحصول على C0 \u003d x0.

الطريقة الثانية. سنجدها، أي مثل هذه الوظيفة V، التي تحتاج إليها مضاعفة (3) (تم تسجيلها بحيث يتم تجميع جميع غير معروف في الجانب الأيسر: XA (T) X \u003d B (T)) بحيث يكون المشتق مشتقة من مزيج مريح.

لدينا: VX Vax \u003d (VX) إذا كان v \u003d AV، أي (مثل هذه المعادلة، (3) أي ما يعادل المعادلة التي تم حلها بسهولة بالفعل ويعطيها (5). إذا تم حل مهمة Cauchy، ثم في (6) من المريح على الفور، خذ جزءا لا يتجزأ من ODU الخطي (3) يتم تخفيض بعض الآخرين، كما يمكن رؤيته عند حل المشكلات (على سبيل المثال، في مهمة). سيتم النظر في حالة أكثر أهمية من ODUS الخطي (على الفور لأي n) الجزء 2.

كل من الحالات المعينة هي حالة خاصة تسمى. بوضع. النظر في الدرجة الأولى ODU (مع n \u003d 1) في شكل متماثل:

كما ذكر، (7) يحدد IR في الطائرة (T، X) دون توضيح أي متغير يعتبر مستقلا.

إذا اضرب (7) على وظيفة تعسفية M (T، X)، فسيتم الحصول على الشكل المعادل لتسجيل نفس المعادلة:

وبالتالي، فإن نفس الشيء لديه العديد من السجلات المتناظرة. من بينها، يتم تشغيل دور خاص ما يسمى. الإدخالات في الفوارلات الكاملة، اسم المحدث غير ناجح، لأن هذه الخاصية ليست معادلة، ولكن أشكال سجلها، أي بحيث يساوي الجزء الأيسر (7) DF (T، X) مع بعض F.

من الواضح أن (7) هناك تحديث ثم وفقط إذا كان \u003d FT، B \u003d FX مع بعض F. كما هو معروف من التحليل، فمن الضروري أن يكون الأخير، ونحن لا يبررون لحظات تقنية صارمة مثال، نعومة جميع الوظائف. والحقيقة هي أن § يلعب دورا بسيطا - فمن غير الضروري بشكل عام بأجزاء أخرى من الدورة، وأريد أن أقضي الجهود المفرطة على عرضها المنتشر.

وبالتالي، إذا تم تنفيذ (9)، فهناك مثل هذا (فهي فريدة من نوعها مع دقة ثابتة على الثابت المضيء)، والتي أعد كتابة (7) في شكل DF (T، X) \u003d 0 (على طول IC)، I.E.

F (T، X) \u003d CONST على طول الأشعة تحت الحمراء، أي جوهر الأشعة تحت الحمراء لخط المستوى الوظيفة F. نحصل على أن دمج المحدث هو مهمة تافهة، لأن البحث F By A و B مرضية (9) ليس كذلك صعبة. إذا لم يتم استيفاء (9)، فيجب العثور عليه هو M (T، X) بحيث يكون (8) هو التحديث، الذي من الضروري، بما يكفي لأداء التناظرية (9)، التي تأخذ النموذج:

على النحو التالي من نظرية UCH من الطلب الأول (الذي نعتبره في الجزء 3)، فإن المعادلة (10) لديها دائما حل، بحيث تكون موجودة. وبالتالي، فإن أي معادلة نموذج (7) لديه إدخال في شكل المحدث وبالتالي يسمح التكامل "الصريح". لكن هذه الحجج لا تعطي طريقة بناءة في القضية العامة، حيث لحل (10) بشكل عام، من الضروري إيجاد حل (7)، الذي نبحث عنه. ومع ذلك، هناك عدد من تقنيات البحث إليهم، والتي تعتبر تقليديا في التدريب العملي (انظر على سبيل المثال).

لاحظ أن التقنيات المذكورة أعلاه لقرار URP أو ODU الخطي هي حالة خاصة من الأيديولوجية.

في الواقع، URP DX / DT \u003d A (T) B (T)، المسجلة في نموذج متماثل DX \u003d A (T) B (x) DT، يتم حلها عن طريق مضاعفة ذلك 1 / b (x)، لأنه بعد هذا يتحول إلى DX / B (x) \u003d A (T) DT، إلخ. db (x) \u003d da (t). المعادلة الخطية dx / dt \u003d a (t) x + b (t) المسجلة في شكل متماثل DX A (T) XDT B (T) يتم حل DT عن طريق ضربها، وجميع طرق حل ODU "بشكل صريح"

(باستثناء كتلة كبيرة مرتبطة بأنظمة خطية)، فهي بذلك بمساعدة الأساليب الخاصة لخفض متغيرات الطلب واستبدالها، يتم تقليلها إلى الدرجة الأولى، والتي يتم تخفيضها بعد ذلك إلى المحدث، وهم هم حلها باستخدام نظرية حساب التفاضل والتكامل التفاضلية الرئيسية: DF \u003d 0 f \u003d const. يتم تضمين مسألة انخفاض في النظام تقليديا في سياق التدريب العملي (انظر على سبيل المثال).

دعونا نقول بضع كلمات حول الترتيب الأول من الدرجة الأولى، غير مسموح به بالنسبة للمشتقات:

كما ذكر في الفقرة 1، يمكنك محاولة حل (11) بالنسبة إلى X والحصول على نموذج عادي، لكنه ليس مناسبا دائما. في كثير من الأحيان هو أكثر ملاءمة لحل (11) مباشرة.

ضع في اعتبارك الفضاء ((T، X، P))، حيث يعتبر P \u003d x متغير مستقل مؤقتا. ثم (11) يحدد السطح في هذه المساحة (f (t، x، p) \u003d 0)، والتي يمكن كتابتها بشكل غير رسمي:

من المفيد أن تتذكر ما يعنيه، على سبيل المثال، بمساعدة كرة في R3.

ستتوافق الحلول المرغوبة مع المنحنيات الموجودة على هذا السطح: T \u003d S، X \u003d X (S)، P \u003d X (S) - يتم فقد درجة واحدة من الحرية لأن هناك اتصال DX \u003d PDT على الحلول. نكتب هذا الرابط من حيث المعلمات على السطح (12): gu du + gv dv \u003d h (fudu + fv dv)، I.E.

وبالتالي، فإن الحلول المرغوبة تتوافق مع المنحنيات على السطح (12)، حيث يتم توصيل المعلمات بالمعادلة (13). هذا الأخير هو ODE في شكل متماثل يمكن حلها.

حالة I. إذا في بعض المناطق (gu hfu) \u003d 0، ثم (12) ثم T \u003d f (v)، v)، x \u003d g ((v)، v) يعطي تسجيلا حدودا للمنحنيات المرغوبة في الطائرة ((T، X)) (أي نحن نعلم على هذه الطائرة، لأننا لا نحتاج).

القضية الثانية. وبالمثل، إذا (GV HFV) \u003d 0.

القضية الثالثة. في بعض النقاط في نفس الوقت، GU HFU \u003d GV HFV \u003d 0. يتطلب تحليلا منفصلا، سواء كان ذلك الكثير من الحلول (يتم استدعاءها بشكل خاص).

مثال. المعادلة Clero X \u003d TX + X 2. لدينا:

x \u003d TP + P2. parametize هذا السطح: t \u003d u، p \u003d v، x \u003d uv + v 2. سيستغرق المعادلة (13) النموذج (U + 2V) DV \u003d 0.

حالة I. غير منفذ.

القضية الثانية. U + 2V \u003d 0، ثم DV \u003d 0، I.E. V \u003d C \u003d CONST.

لذلك، T \u003d U، X \u003d CU + C 2 - تسجيل IR غير رسمي.

حرقها بسهولة في نموذج واضح X \u003d CT + C 2.

القضية الثالثة. U + 2V \u003d 0، I.E. V \u003d U / 2. لذلك، T \u003d U، X \u003d U2 / 4 - سجل حدوث "المرشح في IR".

للتحقق مما إذا كانت IR، نكتبها صراحة X \u003d T2 / 4. اتضح أن هذا هو القرار (خاص).

تمرين. إثبات أن الحل الخاص يتعلق بجميع الآخرين.

هذه حقيقة شائعة - جدول أي حل خاص هو مغلف عائلة جميع الحلول الأخرى. يعتمد هذا على تعريف آخر لحل خاص تماما مثل المغلف (انظر).

تمرين. لإثبات ذلك للحصول على معادلة كليرو أكثر عمومية X \u003d TX (X) مع وظيفة محدبة، يتم عرض حل معين X \u003d (T)، حيث - تحويل الحالي من، أي \u003d () 1، أو (t) \u003d كحد أقصى (TV (V)). وبالمثل، للمعادلة X \u003d TX + (X).

تعليق. اقرأ المزيد والمحتوى بعناية الفقرة 3 في الكتاب المدرسي.

التعليق على المعلم. عند قراءة مسار المحاضرات، قد يكون من المفيد توسيع الفقرة 3، مما يمنحه شكلا أكثر صرامة.

الآن عد إلى القماش الرئيسي بالدورة، واصل العرض العرض التقديمي بدأ في §§§§§.

§ 4. القدرة على التحف العالمي لمشكلة Cauchy في الفقرة 2 لقد أثبتنا أن وجود حل محلي لمشكلة Cauchy، أي فقط في فاصل معين يحتوي على نقطة T0.

مع بعض الافتراضات الإضافية على F، أثبتنا أيضا تفرد الحل، وفهمها كصدفة من الحلول المحددة في نفس الفاصل الزمني. إذا كانت F خطية بواسطة X، يتم الحصول على وجود عالمي، أي في جميع أنحاء الفاصل الزمني، حيث يتم تحديد معاملات المعادلة (النظام) واستمرار. ومع ذلك، بمثابة محاولة للاستخدام إلى النظام الخطي لبرامج النظرية العامة، فإن الفاصل الزمني للاختيار الفينو هو عموما أقل مما يمكن بناء الحل. الأسئلة الطبيعية تنشأ:

1. كيفية تحديد الحد الأقصى للفترة الزمنية التي يجب الموافقة عليها (1)؟

2. هل هذا الفاصل يتزامن دائما مع أقصى الجزء الأيمن (1) 1 هل من المنطقي؟

3. كيفية صياغة مفهوم تفرد الحل دون تحفظات حول الفاصل الزمني لتعريفه؟

الجواب على السؤال 2 يتحدث بشكل عام سلبي (أو يتطلب بدقة كبيرة)، يقول المثال التالي. x \u003d x2، x (0) \u003d x0. إذا كان x0 \u003d 0، ثم x 0 - لا توجد حلول أخرى على نظرية Osgood. إذا x0 \u003d 0، ثم نقرر إنشاء صورة). لا يمكن أن يكون الفاصل الزمني لوجود الحل أكبر من (1 / x0) أو (1 / x0 و +)، على التوالي، في X0 0 و X0 0 (الفرع الثاني لنوع النعالة لا يرتبط بالحلول! - هذا يكون خطأ نموذجي طلاب). للوهلة الأولى، لا شيء في المهمة الأولية "لم يتوقع مثل هذه النتيجة". في § 4 سنجد تفسيرا لهذه الظاهرة.

على سبيل المثال المعادلة X \u003d T2 + X2، يتجلى خطأ نموذجي للطلاب على الفاصل الزمني للحل. فيما يلي حقيقة أن "المعادلة موجودة في كل مكان يتم تعريفها" ليست على الإطلاق باستمرار استمرارية القرار على كامل مباشرة. هذا واضح حتى من وجهة نظر يومية بحتة، على سبيل المثال، فيما يتعلق بالقوانين القانونية والعمليات النامية تحتها: تولد القانون من الواضح أنه لم ينص على إنهاء وجود شركة في عام 2015، فهذا لا يعني ذلك لن تذهب الشركة قواعد لهذا العام. لأسباب داخلية (رغم القوة ضمن القانون).

من أجل الإجابة على الأسئلة 1-3 (وحتى صياغةها بوضوح)، فإن مفهوم الحل القصير ضروري. سنقوم (كما اتفقنا أعلاه) النظر في حلول المعادلة (1) 1 كزوج (، (TL ()، TR ())).

تعريف. الحل (، (TL ()، TR ())) هناك استمرار للحل (، (TL ()، TR () TR ())، إذا (TL ()، TR ()، TR ( ))، و | (TL ()، TR ()) \u003d.

تعريف. الحل (، (TL ()، TR ()) - قصيرة، إذا لم يكن لها غير تافهة (أي غير ذلك) الاستمرار. (انظر المثال أعلاه).

من الواضح أن NR قيمة خاصة، وبشروطها ضرورية لإثبات وجود وتفرد. هناك سؤال طبيعي - هل يمكنني بناء HP، بناء على قرار محلي، أو في مهمة Cauchy؟ اتضح نعم. لفهم هذا، نقدم المفاهيم:

تعريف. تتفق مجموعة من الحلول ((TL ()، TR ()، TR ()))) إذا تتزامن أي حلول من هذه المجموعة عند تقاطع فترات تعريفها.

تعريف. يطلق على مجموعة ثابتة من الحلول الحد الأقصى، إذا كان لا يمكن للمرء إضافة حلا آخر لذلك، بحيث تكون المجموعة الجديدة ثابتة وتتضمن نقاط جديدة في مجالات تعريف الحلول.

من الواضح أن بناء MNN يعادل بناء HP، وهو:

1. إذا كان هناك HP، فإن أي mnn، التي تحتوي على، لا يمكن أن تكون مجرد مجموعة من ضيقها.

تمرين. الشيك.

2. إذا كان هناك mnn، فسيتم بناء HP (، (T، T +) على النحو التالي:

ضع (t) \u003d (t)، حيث - أي عنصر ENN المحدد في هذه المرحلة. من الواضح أن هذه الوظيفة ستتم تعريفها بشكل فريد على كل شيء (تي، T +) (يتبع Unbigguity من تناسق المجموعة)، ويتزامن في كل نقطة مع جميع عناصر ENN المحددة في هذه المرحلة. لأي T (T، T +) هناك نوع من المعرفة فيه، وبالتالي في محيطها، وهلم جرا. في هذا الحي، هناك حل (1) 1، ثم - أيضا. وبالتالي، هناك حل (1) 1 على كل شيء (T، T +). إنه قصير، نظرا لأنه، يمكن إضافة استمرار غير خلافي إلى MNN على عكس أقصىه.

بناء مشكلة MNH (1) في الحالة العامة (بموجب شروط نظرية الفينو)، عندما لا يكون هناك تفرد محلي، فمن الممكن (انظر،)، ولكن مرهقة للغاية - يعتمد على استخدام خطوة بخطوة نظرية الفينو بتقدير من أسفل استمرار الفاصل الزمني. وبالتالي، فإن HP موجود دائما. نحن تبرر هذا فقط في القضية عندما يكون هناك تفرد محلي، ثم بناء MNN (وبالتالي HP) هو تافهة. على سبيل المثال، بالتأكيد، سنصرف في إطار TC-P.

نظرية. دع شروط TK-P في المنطقة B RN + 1 يتم تنفيذها. ثم لأي (T0، X0) B، فإن المشكلة (1) لديها HP واحد.

شهادة. النظر في مجموعة من جميع حلول المشكلة (1) (أنها ليست فارغة من قبل TK-P). إنها تشكل MNN - متسقة بسبب التفرد المحلي، والحد الأقصى بسبب حقيقة أن هذا كثير من جميع حلول مشكلة Cauchy. حتى موجود HP. هذا هو الوحيد للتفرد المحلي.

إذا كنت ترغب في بناء HP بناء على القرار المحلي الحالي (1) 1 (وليس مهمة Cauchy)، فإن هذه المشكلة في حالة التفرد المحلي يتم تقليلها إلى مهمة Cauchy: تحتاج إلى اختيار أي نقطة على ir المتاحة والنظر في مهمة cauchy المقابلة. سيكون HP لهذه المهمة استمرارا للحل الأولي بسبب التفرد. إذا لم يكن هناك أي تفرد، ثم استمرار تعيين الحل يتم تنفيذها وفقا للإجراء المشار إليه أعلاه.

تعليق. لا يمكن تكريس HP في نهايات الفاصل الزمني لوجودها (بغض النظر عن شرط التفرد) بحيث يكون حل وفي نقاط طرفية. لتبرير، من الضروري توضيح أن الفهم بموجب قرار ODU في نهايات القطاع:

1 - النهج 1. واسمحوا بموجب القرار (1) 1 بشأن الجزء من المفهوم كدالة ترضي المعادلة في الغايات بمعنى مشتق من جانب واحد. ثم تعني إمكانية الشهنة المحددة من بعض الحل، على سبيل المثال، في الطرف الأيمن من فترة وجودها (T و T +] أن IR لديه نقطة نهاية داخل B و C 1 (T و T +]. ولكن بعد ذلك تحديد مهمة Cauchy X (T +). \u003d (T +) ل (1) وإيجاد حلها، نحصل على الطرف الأيمن T + (عند النقطة T + كلا المشتقات الأحادية الجانب موجودة ومساوية F ( T +، (T +))، مما يعني أن هناك مشتق شائع)، أي ليس هو HP.

2. النهج 2. إذا كان بموجب الحل (1) 1 على القطاع، من المفهوم كدالة، فقط مستمرة في الغايات، ولكن بحيث تكون نهايات الأشعة تحت الحمراء ملقاة في B (حتى إذا لم تكن المعادلة غير مطلوبة) - اتضح نفس المنطق الوحيد من حيث المعادلة المتكاملة المقابلة (انظر التفاصيل).

وهكذا، تقتصر على الفور على الفواصل المفتوحة كمجموعات من تعريف الحلول، ونحن لا ننتهك المجتمع (وتجنب فقط VENE غير الضروري مع مشتقات من جانب واحد، وما إلى ذلك).

نتيجة لذلك، أجبنا على السؤال 3، الذي تم تسليمه في بداية الفقرة 4: عند إجراء شرط التفرد (على سبيل المثال، Osgood أو Cauchy-Picara)، فإن تفرد حل HP حل مشكلة Cauchy يحدث. إذا تم كسر حالة التفرد، فقد يكون هناك الكثير من مهام HP Cauchy، لكل منهما فاصل وجوده. أي حل (1) (أو ببساطة (1) 1) يمكن أن يستمر في HP.

للإجابة على الأسئلة 1.2، من الضروري أن تفكر في عدم المتغير بشكل منفصل، ولكن سلوك IC في الفضاء RN + 1. فيما يتعلق بمسألة كيفية تصرف IR "بالقرب من الغايات"، سنلاحظ أن فترة الوجود تنتهي، وقد لا تملكها IR (نهاية الأشعة تحت الحمراء في B دائما غير موجودة - انظر الملاحظة أعلاه، ولكن قد لا توجد موجودة ب - انظر أدناه).

نظرية. (عن مغادرة الميثاق).

نحن بصياغة ذلك في ظروف التفرد المحلي، ولكن هذا ليس بالضرورة - انظر، هناك tpk يتم صياغة كمعيار HP.

في ظروف TC-P، الرسم البياني لأي معادلات HP (1) 1 يترك أي مدمجة K B، أي K B (T، T +): (T، (T)) K مع T.

مثال. K \u003d ((((T، X) B | ((T، X)، B).

تعليق. وبالتالي، فإن IR NR بالقرب من T يقترب من B: ((T، (T))، B) 0 في T T ± - عملية استمرار الحل لا يمكن اختراقها بصرامة داخل B.

بشكل إيجابي، هنا بمثابة تمرين، من المفيد إثبات الإيجابية بين مجموعات متعددة مغلقة غير مدمرة، واحدة منها مدمجة.

شهادة. إصلاح K B. خذ أي 0 (0، (K، B)). إذا ب \u003d RN + 1، ثم بحكم تعريفنا (ك، B) \u003d +. المجموعة K1 \u003d ((((T، X) | (((((T، X)، K) 0/2) هناك أيضا مدمجة في B، لذلك هناك F \u003d MAX | F |. اختر أرقام T و D DoK صغيرة باستمرار بحيث يكون أي اسطوانة للنموذج على سبيل المثال، يكفي أن تأخذ T 2 + R2 2/4. ثم تتمتع مهمة نوع Cauchy بحل على حل TC-P على الفاصل الزمني غير موجود بالفعل من (T T0، T + T0)، حيث T0 \u003d Min (T، R / F) للجميع (T، X) K وبعد

الآن كقطة مطلوبة يمكن أن تؤخذ \u003d. في الواقع، من الضروري إظهار أنه إذا كان (t، (t)) k، t + t0 t t + t0. سنظهر، على سبيل المثال، عدم المساواة الثانية. يوجد حل مشكلة Cauchy (2) مع X \u003d (T) إلى اليمين على الأقل إلى النقطة T + T0، ولكن HP من نفس المشكلة، والتي في ضوء التفرد هناك استمرار، لذلك T + T0 T +.

وبالتالي، فإن مخطط HP دائما "يصل ب"، بحيث يعتمد الفاصل الزمني لوجود HP على هندسة الأشعة تحت الحمراء.

على سبيل المثال:

بيان. دع B \u003d (A، B) RN (الفاصل الزمني المحدود أو اللانهائي)، و F يرضية شروط TK-P في B، مشكلة HP (1) مع T0 (A، B). ثم إما t + \u003d b، أو | (t) | + في T T + (وتشبه ر).

شهادة. لذلك، دع T + B، ثم T + +.

النظر في مدمجة K \u003d B B. مع أي R + وفقا ل TPK، هناك (R) T + مثل نقطة TP ((R)، T +) نقطة (T، (T)) K. ولكن منذ ر +، ثم من الممكن فقط للحساب | (T) | R. لكنه يعني | (T) | + في T T +.

في هذه الحالة بالذات، نرى أنه إذا تم تعريف F "مع الكل X"، فقد يكون الفاصل الزمني لوجود NR أقل من الحد الأقصى الممكن (أ، ب) بسبب رغبة HP من خلال نهج نهايات الفاصل الزمني (T، T +) (في حالة عامة - إلى الحدود ب).

تمرين. لتلخيص البيان الأخير في حالة عندما ب \u003d (أ، ب)، حيث RN منطقة تعسفية.

تعليق. من الضروري أن نفهم ذلك | (ر) | + لا يعني أي k (t).

وهكذا، أجبنا على السؤال 2 (راجع المثال في البداية إلى البداية § 4): IR يأتي إلى B، لكن إسقاطه على المحور قد لا يصل إلى نهايات الإسقاط ب على المحور التي. يبقى السؤال 1 - هل هناك أي علامات، دون حل ODU، يمكن الحكم عليها بشأن إمكانية استمرار قرار "مجموعة واسعة من الفاصل الزمني"؟ نحن نعلم أنه بالنسبة للخدمات الإجمالية الخطية، فإن هذا الاستمرار ممكن دائما، وفي المثال في بداية الفقرة 4 أمر مستحيل.

النظر أولا في توضيح الحالة الخاصة ل URP في N \u003d 1:

تقارب H (S) لا يتجزأ غير المتكامل (غير المتوافق في الرأي \u003d + أو بسبب الميزات H في هذه النقطة) لا يعتمد على الاختيار (،). لذلك، دعونا نكتب فقط H (S) DS عندما يتعلق الأمر بالتقارب أو التباعد من هذا التكامل.

يمكن القيام بذلك بالفعل في نظرية Osguda وفي الادعاءات المرتبطة بها.

بيان. دع C (،)، B C (، +) يكون إيجابيا على فتراتهم. دع مشكلة Cauchy (حيث T0 (،)، X0) لديها HP X \u003d X (T) على الفاصل الزمني (T، T +) (،). ثم:

اللازمة - النتيجة. إذا كان \u003d 1، \u003d +،، ثم T + \u003d دليل. (موافقة). لاحظ أن x الزيادات الرائعة.

تمرين. إثبات.

لذلك، هناك X (T +) \u003d LIM X (T) +. لدينا حالة 1. T +، X (T +) + مستحيل على TPK، لأن X هو HP.

كلا متكاملة إما محدودة أو لا نهاية لها.

تمرين. الانتهاء من دليل.

مبرر للمعلم. في النهاية، نحصل على ذلك في حالة 3: (S) DS +، وفي حالة 4 (إذا تم تنفيذه عموما) نفس الشيء.

وبالتالي، لأبسط ODUS في N \u003d 1 من الأنواع x \u003d f (x)، يتم تحديد استمرارية الحلول بمزيد من التفصيل حول هيكل الحلول مثل (ما يسمى.

المعادلات ذاتية الحكم) ترى الجزء 3.

مثال. بالنسبة ل f (x) \u003d x، 1 (على وجه الخصوص، الحالة الخطية \u003d 1)، و f (x) \u003d x ln x، يمكنك ضمان استمرارية الحلول (الإيجابية) إلى +. بالنسبة ل f (x) \u003d x و f (x) \u003d x ln x، مع حلول واحدة، "دمرت في المرة النهائية".

بشكل عام، يتم تحديد الوضع من قبل العديد من العوامل وليس بهذه البساطة، ولكن أهمية "معدل النمو F ب X لا يزال أهميته. بالنسبة ل N 1، صياغة معايير الاستمرارية صعبة، ولكن الظروف الكافية موجودة. كقاعدة عامة، أنها تثبت بمساعدة ما يسمى. تقييمات مسبقة للحلول.

تعريف. دع H C (،)، H 0. يقال إنه لحلول بعض الغريب، هناك AO | X (T) | H (T) على (،)، إذا كان أي حل من هذه الحدوث يرضي هذا التقدير من جانب الفاصل الزمني (،)، حيث يتم تحديده (أي من المفترض أن الحلول محددة بالضرورة في الوقت الفاصل (،) ).

لكن اتضح أن توفر AO يضمن أن الحلول ستظل محددة على الإطلاق (، وبالتالي إرضاء التقييم طوال الفترة الزمنية)، لذلك يتحول التقييم البسيط إلى خلفي:

نظرية. دع مشكلة Cauchy (1) تلبي شروط TK-P، ولحلولها هناك AO على الفاصل الزمني () مع بعض HC (،)، واسطوانة Curvilinear (| X | H (T)، T ( )) ب. ثم يتم تعريف HP (1) على جميع (،) (وبالتالي يرضي JSC).

شهادة. نثبت أن T + (T مشابه). لنفترض T +. النظر في مدمجة K \u003d (| X | H (T)، T) B. وفقا ل TPK في T T +، فإن نقطة الرسم البياني (T، X (T)) يترك K، وهو أمر مستحيل بسبب JSC.

وبالتالي، لإثبات استمرارية الحل لبعض الفاصل الزمني، يكفي أن نقدر حل رسميا على الفاصل الزمني الكامل المطلوب.

تشبيه: قابلية تعيين وظيفة LEB والتقييم الرسمي ل Entrix Integral الوجود الفعلي للتكامل.

دعونا نعطي بعض الأمثلة على المواقف لأن هذه الأعمال المنطقية. دعنا نبدأ بتوضيح الأطروحة المذكورة أعلاه على "النمو F بواسطة X بما فيه الكفاية بطيئة".

بيان. دع B \u003d (،) RN، F يرضي شروط TK-P في B، | F (T، X) | A (T) B (| X |)، حيث تلبي A و B ظروف الموافقة السابقة C \u003d 0، و \u003d +. ثم مشكلة HP (1) موجودة على (،) على الإطلاق T0 (،)، X0 RN.

ليمما. إذا كان مستمر، (T0) (T0)؛ مع تي تي إثبات. لاحظ أنه في المناطق المحيطة (T0، T0 +): إذا كان (T0) (T0)، فهذا واضح على الفور، وإلا (إذا (T0) \u003d (T0) \u003d 0) have (t0) \u003d g (t0، 0 ) (T0)، الذي يعطي المطلوب مرة أخرى.

لنفترض الآن أن هناك T1 T0 مثل هذا (T1). يمكن العثور على التفكير الواضح (T1) T2 (T0، T1] بحيث (T2) \u003d (T2)، وعلى (T0، T2). ولكن بعد ذلك في النقطة T2، لدينا \u003d، - تناقض.

ز أي، وحل حقا تحتاج فقط، ج، وفي كل مكان حيث \u003d، هناك. ولكن من أجل عدم تسجيل الرأس، اعتبر كما هو الحال في Lemma. فيما يلي عدم المساواة بدقة، لكنه ODU غير خطي، ولا يزال هناك ما يسمى ذلك.

التعليق على المعلم. عدم المساواة في هذا النوع كما هو الحال في Lemma يسمى أوجه عدم المساواة القصيرة (LF). من السهل أن نرى أنه في Lemma، لم تكن هناك حاجة إلى التفرد، بحيث يكون هذا "صارم" صحيح وداخل إطار نظرية الفينو. من الواضح أن "LF غير القوي" مخطئا دون تفرد، لأن المساواة هي حالة خاصة من عدم المساواة غير الصارمة. أخيرا، فإن "عدم السكتة الدماغية" كجزء من شرط التفرد صحيح، ولكن من الممكن إثبات ذلك محليا فقط - بمساعدة ذلك.

شهادة. (موافقة). نثبت أن T + \u003d (T \u003d متشابه). لنفترض T +، ثم وفقا للموافقة أعلاه | X (T) | + في T T +، بحيث يمكن اعتبار x \u003d 0 إلى. إذا أثبتنا JSC | X | ح ل) (كرة للراحة مغلقة).

مهمة Cauchy X (0) \u003d 0 لديها HP X \u003d 0 ON R.

نشير إلى حالة كافية على F، حيث يمكن ضمان وجود HP على R + على الإطلاق X0 صغير X0 \u003d X (0). للقيام بذلك، لنفترض أن (4) لديه ما يسمى. وظيفة Lyapunova، أي مثل هذه الوظيفة الخامس، والتي:

1. v c 1 (b (0، r))؛

2. sgnv (x) \u003d sgn | x |؛

تحقق من الوفاء بالشروط A و B:

A. النظر في مهمة Cauchy حيث | X1 | r / 2. نحن نبني الأسطوانة B \u003d R B (0، r) هي حقل تحديد الوظيفة F، حيث إنها محدودة وفئة C 1، بحيث يكون هناك F \u003d MAX | F |. وفقا ل TC-P، هناك حل (5)، يحدد على الفاصل الزمني (T1 T0، T1 + T0)، حيث T0 \u003d دقيقة (T، R / (2F)). يمكن تحقيق اختيار T كبير بما فيه الكفاية T0 \u003d R / (2F). من المهم أن T0 لا يعتمد على الاختيار (T1، X1)، فقط | X1 | r / 2.

ب. في حين أن الحل (5) يحدد ويبقى في الكرة ب (0، ص)، يمكننا القيام بالتفكير التالي. نملك:

v (x (t)) \u003d f (x (t)) · v (x (t)) 0، i.e. v (x (t)) v (x1) m (r) \u003d max v (y). من الواضح أن M و M لا تنخفض، Incredia | r frivans في صفر، م (0) \u003d M (0) \u003d 0، وخارج الصفر هي إيجابية. لذلك، هناك 0 من هذا القبيل (R) M (R / 2). إذا | X1 | ص، ثم v (x (x (t)) v (x1) m (r) m (r / 2)، من حيث | x (t) | r / 2. لاحظ أن r r / 2.

الآن يمكننا صياغة نظرية ذلك من PP. أ، B يعرض الوجود العالمي للحلول (4):

نظرية. إذا كان (4) لديه وظيفة Lyapunov في B (0، R)، ثم على الإطلاق X0 B (0، R) (حيث يتم تعريف R أعلاه) مهام HP Cauchy X (T0) \u003d X0 للنظام (4) (مع أي T0) محددة إلى +.

شهادة. بحكم P. A، يمكن بناء الحل، حيث T1 \u003d T0 + T0 / 2. يكمن هذا الحل في B (0، R) واستخدام الفقرة ب، لذلك | X (T1) | r / 2. نحن مرة أخرى تنطبق على n. a ونحصل على حل على، حيث T2 \u003d T1 + T0 / 2، أي الآن، تم بناء الحل الآن. إلى هذا الحل، تطبيق الفقرة B واحصل على | X (T2) | R / 2، وما إلى ذلك لعدد الخطوات القابلة للعد، نحصل على حل ل § 5. اعتماد قرارات ODU من النظر في مهمة Cauchy حيث RK. إذا كان ذلك في بعض، T0 ()، X0 () هذه المهمة Cauchy تحتوي على HP، فذلك هي x (t،). السؤال ينشأ: كيفية دراسة الاعتماد X من؟ هذه المسألة مهمة بالنسبة للتطبيقات المختلفة (وسوف تنشأ بشكل خاص في الجزء 3)، أحدها (على الرغم من أنه ليس أهم شيء) قرارا تقريرا تقريرا من ODU.

مثال. النظر في مهمة Cauchy. موجودة HP وهي الوحيدة، على النحو التالي من TC-P، ولكن من المستحيل التعبير عنه في الوظائف الابتدائية. كيف ثم لاستكشاف خصائصها؟ طريقة واحدة إلى: لاحظ أن (2) "إغلاق" إلى المشكلة Y \u003d Y، Y (0) \u003d 1، يحدد حلها بسهولة: Y (T) \u003d ET. يمكن افتراض أن x (t) y (t) \u003d et. تم حساب هذه الفكرة: النظر في المشكلة في \u003d 1/100 هذا (2)، وفي \u003d 0 هي مهمة ل y. إذا أثبتنا أن x \u003d x (t،) مستمر من خلال (بمعنى معين)، نحصل على x (t،) y (t) في 0، وهذا يعني x (t، 1/100) y (t ) \u003d et.

صحيح، لا يزال غير واضح مدى إغلاق X إلى Y، ولكن دليل الاستمرارية لبرنامج X هو الخطوة الأولى الضرورية دون أي من المستحيل تعزيز المزيد.

وبالمثل، فمن المفيد والدراسة اعتمادا على المعلمات في البيانات الأولية. كما سنرى لاحقا، يقلل هذا الاعتماد بسهولة مع المعلمة على المعلمة في الجزء الأيمن من المعادلة، بحيث لا نزال نستطيع تقييد أنفسنا بمهمة النموذج يكون FC (د)، حيث د هي المنطقة في RN + K + 1؛ f lipszytseva بواسطة x في أي محدب على x compact من D (على سبيل المثال، كافية C (D)). إصلاح (T0، X0). تشير إلى م \u003d RK | (T0، X0،) D هو عبارة عن تعددية ممنوحة (في أي مهمة (4) منطقية). لاحظ أن م مفتوح. سوف نفترض أنه يتم اختيار (T0، X0) بحيث م \u003d. وفقا ل TK-P، للجميع م، هناك مشكلة واحدة NR (4) - وظيفة X \u003d (T،)، تحديدها على الفاصل الزمني T (T ()، T + ()).

بالتحدث بدقة، لأنه يعتمد على العديد من المتغيرات، تحتاج إلى التسجيل (4) لذلك:

حيث (5) 1 مصنوع على مجموعة G \u003d ((T،) | M، T (T ()، T + ())). ومع ذلك، فإن الفرق بين أيقونات D / T و / T هو نفسي بحت (يعتمد استخدامها على نفس المفهوم النفسي ل "إصلاح"). وبالتالي، فإن مجموعة G عبارة عن حد أقصى حد أقصى محدد للوظيفة، وينبغي التحقيق في مسألة الاستمرارية في G.

سنحتاج إلى نتيجة مساعدة:

ليمما. (holonolla). دع وظيفة C، 0، تلبي التقدير للجميع T. إذن، على الإطلاق، هذا التصريح صحيح بالنسبة للمعلم. عند قراءة محاضرة، لا يمكنك تذكر هذه الصيغة مقدما، ولكن اترك مكانا، وبعد الإخراج للدخول.

ولكن ثم احتفظ بهذه الصيغة في الأفق، حيث سيكون من الضروري في طن.

h \u003d A + B AH + B، من حيث تحصل على المطلوب.

معنى هذه الليمما: المعادلة التفاضلية وعدم المساواة، والعلاقة بينهما، والمعادلة المتكاملة وعدم المساواة، والعلاقة بينهما من قبل الجميع، والتفاضلي والتكامل Lemma من جرونولل والعلاقة بينهما.

تعليق. يمكنك إثبات هذه الليمما ومع افتراضات أكثر عمومية حول، A و B، ولكن ليس من الضروري بالنسبة لنا بعد، وسيتم ذلك في دورة UMF (لذلك من السهل أن نرى أننا لم نستخدم الاستمرارية أ و ب ، إلخ.).

الآن نحن مستعدون لصياغة النتيجة بوضوح:

نظرية. (طن) مع افتراضات F وإرادة تدوين إدخالها أعلاه، يمكن القول بأن G مفتوح، و C (G).

تعليق. من الواضح أن مجموعة M غير متصلة عموما، بحيث لا يتم توصيل G.

التعليق على المعلم. ومع ذلك، إذا تم تضميننا (T0، X0) في عدد المعلمات، فسيتم ذلك في الاتصال بذلك.

شهادة. دع (تي،) G. بحاجة إلى إثبات ذلك:

لنفترض بالتأكيد t t0. لدينا: م، بحيث يتم تعريف (T،) بواسطة (t ()، t + () t، t0، وبالتالي على بعض القطاع مثل هذا dot dot (t، t،)،) تشغيل المنحنى المدمج D (التشويذ الموازي (\u003d 0)). لذلك، يحتاج الكثير من النوع من النوع إلى الاستمرار أمام عينيك باستمرار!

أيضا هناك مدمج في D مع صغير بما فيه الكفاية A و B (محدب بواسطة X)، بحيث تكون وظيفة F Lipshitsev على X:

[يجب أن يتم الاحتفاظ بهذا التقييم قبل العيون باستمرار! ] والتساوي مستمر على جميع المتغيرات، وحتى أكثر من ذلك | F (t، x، 1) f (t، x، 2) | (| 12 |)، (ر، س، 1)، (T، X، 2).

[يجب أن يتم الاحتفاظ بهذا التقييم قبل العيون باستمرار! ] النظر في التعسفي 1 مثل هذا | 1 | بي الحل المقابل (T، 1). المجموعة (\u003d 1) مدمجة في D (\u003d 1)، وفي T \u003d T0، النقطة (T، 1)، 1) \u003d (T0، X0، 1) \u003d (T0، (T0، (T0، )، 1) (\u003d 1)، ووفقا TPK في T T + (1)، فإن النقطة (T، 1)، 1) يترك (\u003d 1). دع T2 T0 يكون (T2 T + (1)) تكون القيمة الأولى التي تأتي بها النقطة المذكورة.

بواسطة الإنشاء، T2 (T0، T1]. ستظهر مهمتنا أن T2 \u003d T1 مع قيود إضافية على. دع الآن T3. لديك (مع كل هذا T3، يتم استخدام جميع القيم المعرفة مزيد من البناء):

(T3، 1) (T3،) \u003d f (t، t، 1)، 1) f (t، t،)،) DT، دعونا نحاول إثبات أن هذه القيمة أقل من.

أين يتم تقييم الوظيفة المتكاملة على النحو التالي:

± f (t، (t،)،)، وليس ± f (t، (t،)،)، لأنه في الفرق | (T، 1) (T،) | لا يوجد تقييم الآن، لذلك (T، (T، 1)،) غير واضح، ولكن من أجل | 1 | هناك، و (ر، (ر،)، 1) معروف.

لذلك في النهاية | (T3، 1) (T3،) | K | (T، 1) (T،) | + (| 1 |) DT.

وهكذا، وظيفة (T3) \u003d | (T3، 1) (T3،) | (هذه وظيفة مستمرة) ترضي شروط Gronaole Lemma مع (S) K 0، B (| 1 |)، T \u003d T2، \u003d 0، لذلك نحصل على هذا Lemma [هذا التقييم الذي تحتاجه للحفاظ على قبل عينيك! ] إذا كنت تأخذ | 1 | 1 (T1). نحن نفترض أن 1 (T1) ب. جميع حججنا صحيحة لجميع T3.

وبالتالي، مع هذا الاختيار 1، عندما T3 \u003d T2، على الرغم من | (T2، 1) (T2،) | A، وكذلك | 1 | ب. لذلك، (T2، (T2، 1)، 1) ممكن فقط بسبب حقيقة أن T2 \u003d T1. ولكن هذا على وجه الخصوص يعني أنه (T، 1) محددة على الجزء بأكمله، I.E. T1 T + (1)، وجميع نقاط النموذج (T، 1) G، إذا ر، | 1 | 1 (T1).

هذا هو، على الرغم من أن T + يعتمد على ذلك، ولكن لا يزال القطاع هو اليسار T + () مع، قريب عن كثب من. الشكل يشبه T0، وجود أرقام T4 T0 و 2 (T4). إذا كانت T0، فإن النقطة (T،) B (، 1) G تشبه T0 T0، وإذا كانت T \u003d T0، فستكون كلتا الحالتين قابلة للتطبيق، لذلك (T0،) B (، 3) G، حيث 3 \u003d دقيقة (12). من المهم أن يجد المرء الثابت (t،) t1 (t،) بحيث t1 t 0 (أو t4 على التوالي)، و 1 (t1) \u003d 1 (t،) 0 (أو على التوالي 2)، لذلك اختيار 0 \u003d 0 (T،) واضح (ر. إلى. في الحي الأسطواني الناتج، يمكنك إدخال الكرة).

في الواقع، تم إثبات خاصية أكثر دقة: إذا تم تحديد HP على شريحة معينة، فإنه يحدد كل HP مع معلمات وثيقة بما فيه الكفاية (I.E.

كل HP سخط قليلا). ومع ذلك، على العكس من ذلك، يتبع هذا العقار من الانفتاح G، كما سيوضح أدناه، هؤلاء صياغة مكافئة.

وبالتالي، أثبتنا أن تكون 1.

إذا كنا في الأسطوانة المحددة في الفضاء، فإن التصنيف صحيح | 1 | 4 (، ر،). في الوقت نفسه | (T3،) (T،) | في | T3 T | 5 (، ر،) بسبب الاستمرارية عن طريق ر. نتيجة لذلك، عند (T3، 1) B ((T،)،) لدينا | (T3، 1) (T،) |، حيث \u003d دقيقة (4، 5). هذه هي الفقرة 2.

"وزارة التربية والعلم من الاتحاد الروسي الدولة الفيدرالية للميزانية التعليمية مؤسسة التعليم العالي المهنية دولة المعهد الإداري لإعداد برنامج العمل العلمي والعلمي لبرنامج الاختبارات التمهيدية حول علم الاجتماع الخاص علم الاجتماع إدارة MESCOW - 2014 1. المنظمة تعليمات منهجية يركز هذا البرنامج على التحضير للاختبارات التمهيدية للتسليم في مدرسة الدراسات العليا ... "

"جامعة ولاية أمور لعلم النفس وعلم البطريق التربوي والمنهجي، علم النفس الاستشاري للبرنامج التعليمي الأساسي في اتجاه المرحلة الجامعية 030300.62 علم النفس BLAGOVESHCHENSK 2012 UMCD تم تصميمه وإيوصى به في اجتماع بروتوكول إدارة علم النفس وبروتوكول علم التربية. "

"مزرعة السيارات) OMSK - 2009 الوكالة الفيدرالية للتعليم GOU VPO Siberian State Automobile Academy Academy (Sibadi) إدارة علم الترجمات الهندسية حول دراسة تقنيات التربوية الانضباطية لطلاب التخصص 050501 - التدريب المهني (السيارات والسيارات. "

"Series Scientific Court G. Rovsenberg، F.N. Ryansky Ooretical Ecology البرنامج التعليمي الذي أوصت به الجمعية المنهجية في التعليم الجامعي الكلاسيكي للاتحاد الروسي كدليل دراسي لطلاب المؤسسات التعليمية العليا في التخصصات البيئية 2nd Edition Nizhnevartovsk Publisher Nizhnevartovsky Pedagogical Institute 2005 BBK 28.080.1W73 P64 المراجعون: Dr. Biol. العلوم، البروفيسور V.I. Popchenko (معهد البيئة ... "

"وزارة التربية والعلوم في الاتحاد الروسي الدولة الفيدرالية للميزانية التعليمية المؤسسة التعليمية العليا التعليم المهني Krasnoyarsk جامعة الدولة التربوية. V.P. Astafieva على بعد Antipova ورشة عمل صغيرة عن الطبعة الإلكترونية النباتية Krasnoyarsk 2013 BBK 28.5 A 721 المراجعين: Vasilyev A.N.، D.B.، أستاذ KGPU. V.P. Astafieva؛ يامسكي g.yu.، d.g.n.، البروفيسور SFU Tretyakova، I.N.، الدكتور، البروفيسور، الموظف الرائد في معهد الغابات ... "

"وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي دولة فيدرالية مؤسسة ميزانية التربية المهنية التعليم المهني أمور جامعة الدولة قسم علم النفس والدرولوجية التدريس والانضباط المعقدة الأساسية أساسيات طب الأطفال والنظافة من البرنامج التعليمي الأساسي في اتجاه الإعداد 050400.62 نفسية و تم تطوير محلل التربية التربوية 2012 1 UMCD استعراض الموصى بها ويوصى به في اجتماع قسم علم النفس ... "

"التحقق من المهام مع شهادة حالة استجابة مفصلة (نهائية) لخريجي فئات التاسع من المؤسسات التعليمية العامة (في النموذج الجديد) 2013 جغرافيا موسكو 2013 للمؤلف مترجم: Abarcumova E.M. تحسين موضوعية نتائج نتائج الدولة (النهائي) لخريجي من 9 فصول من مؤسسات التعليم العام (في ... "

"توصيات عملية بشأن استخدام المحتوى المرجعي والمعلومات والمنهجية لتعليم اللغة الروسية بلغة دولة في الاتحاد الروسي. يتم توجيه التوصيات العملية إلى معلمي اللغة الروسية (بما في ذلك كل من غير التزوير). المحتوى: توصيات وإرشادات عملية للاختيار 1. محتوى المواد للدروس التعليمية والتعليمية المكرسة لمشاكل عمل اللغة الروسية ككلية دولة ... "

"E.V. Muriukina تنمية تفكير نقدي واختصاصات وسائل الإعلام للطلاب بصدد تحليل البرنامج التعليمي الصحفي للجامعات Taganrog 2008 2 Muriukina E.V. تطوير التفكير النقدي والكفاءة الإعلامية للطلاب في عملية التحليل المطابع. البرنامج التعليمي للجامعات. Taganrog: مركز التنمية الشخصية NP، 2008. 298 ج. يناقش دليل الدراسة تطوير عنصر التفكير النقدي والمكونات الإعلامية للطلاب في عملية التعليم الإعلامي. منذ الصحافة اليوم ... "

"حول. P. Golovchenko على تشكيل النشاط البدني للإنسان الجزء الثاني P. Ag Ogik A Moy GAT Yeln Oi Akti Fasters 3 الإنجليزية English Oleg Petrovich Physhchenko تشكيل النشاط البدني من البشر التعليمي الجزء الثاني ني. تخطيط الكمبيوتر Kosenkova يؤدي d.v.smolyak و s.v. Potapova *** وقعت في الطباعة 23.11. شكل 60 × 90 / 1/16. ورقة الكتابة سماعة الأوقات التشغيل طريقة الطباعة SL. P.L .... "

"المؤسسة التعليمية الدولة للتعليم العالي للتعليم المهني جامعة ولاية كازان. في و. المكتبات الإلكترونية Ulyanova-Lenin للموارد العلمية والتعليمية. دليل تعليمي وسييوي Abrosimov A.G. lazareva yu.i. Kazan 2008 المكتبات الإلكترونية للموارد العلمية والتعليمية. دليل تعليمي ومنهجي نحو الموارد التعليمية الإلكترونية. - قازان: جامعة الملك سعود، 2008. تم نشر دليل التدريس بموجب القرار ... "

"وزارة التربية والتعليم من الاتحاد الروسي، المؤسسة التعليمية التعليمية العليا التعليم المهني جامعة أورينبورغ فرع Akbulak Department of Pedagogy V.A. منهجية Tertskova للتدريس من المدارس الابتدائية للتعليمات المحلية التعليمية التعليمية الموصى بها لنشر مجلس التحرير والنشر المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني الأعلى جامعة ولاية أورينبورغ ... "

"وزارة التربية والعلم من الاتحاد الروسي وزارة التربية والتعليم بمؤسسة إقليم ستافروبول، المؤسسة التعليمية للتعليم المهني العالي Stavropol State Pedagogical Institute أدب الأطفال Jugutanova للأطفال المعقدة التعليمية والمنهجية التي تمت دراستها Stavropol 2010 1 طباعة من قرار الاتحاد الدولي للتنمية 82.0 مجلس النشر الافتتاحية لشركة بي بي سي 83.3 (0) Gou VPO Stavropol State D Pedagogical Institute: ... "

"اللوائح على النظام الجديد للتقييم داخل المدرسة لجودة تكوين مكيغو كاميشينسكي 1. الأحكام العامة 1.1. ينص الحكم على النظام الدولي للمدرسة لتقييم جودة التعليم (المشار إليه فيما يلي باسم الحكم) متطلبات موحدة في تنفيذ نظام تقييم جودة التعليم في التعليم داخل المدرسة (فيما يلي - SCO) في مؤسسة التعليم العام في الميزانية البلدية Kamyshin وسط مدرسة التعليم العام (فيما يلي - المدرسة). 1.2. تم بناء التنفيذ العملي ل Schok وفقا ل ... "

"وزارة الصحة في أكاديمية جمهورية أوزبكستان طشقند الطبية لإدارة إدارة VPP مع تحاضلات سريرية، توافق على نائب رئيسي للعمل الأكاديمي من قبل البروفيسور. o.r.teshaev _ 2012. توصيات لإعداد التطورات التعليمية والمنهجية للفصول العملية لنظام منهجي واحد تعليمات منهجية لمعلمي الجامعات الطبية Tashkent- 2012 وزارة الصحة في مركز جمهورية أوزبكستان لتطوير التعليم الطبي طشقند الطبي ... "

"الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة ولاية جورنو-ألتاي، AP Makoshev الجغرافيا السياسية والجغرافيا التعليمية والمنهجية Gorno-Altaisk Rio من جامعة جورنو-ألتاي الحكومية 2006 مطبوعة بموجب قرار مجلس التحرير والنشر بجامعة ولاية جورنو ألتاي Makoshev AP الجغرافيا السياسية والجغرافيا السياسية. دليل تعليمي وسييوي. - Gorno-Altaisk: ريو غاغا، 2006.-103 ص. تم تطوير الدليل التعليمي والمنهجي وفقا للتدريب ... "

"أ. نوفيتسكايا، L.I. مدرسة Nikolaev المدرسة التعليمية الحديثة المدرسة التعليمية المرحلة الصف 1 دليل منهجي للمعلمين الطبقة الأولية موسكو 2009 UDC 371 (075.8) بي بي سي 74.00 ن 68 حقوق الطبع والنشر محمية قانونا، إشارة إلى المؤلفين ملزمة. نوفيتسكايا A.V.، Nikolaeva l.i. H 68 برنامج الحياة التعليمية الحديثة. - م: أففالون، 2009. - 176 ص. ISBN 978 5 94989 141 4 يتم تناول هذا الكتيب في المقام الأول للمعلمين، ولكن، التمريض، مع معلوماتها ... "

"حق ريادة الأعمال التربوية والمنهجية الحقوق الروسية 030500 - مؤلف سوق موسكو 2013 - جمعت من قبل إدارة قانون القانون المدني مراجع - تعتبر المعقد التعليمي والمنهجي واعتماده في اجتماع لبروتوكول تخصصات قانون القانون المدني رقم من _2013. قانون ريادة الأعمال الروسي: التعليمية والمنهجية ... "

"و. أ. ياماشكين v. v. روهينكوف آل. أ. Yamashkin جغرافيا جمهورية موردوفيا تعليمي Saransk Mordovian جامعة دار النشر 2004 UDC 91 (075) (470.345) BBK D9 (2P351-6MO) YA549 مراجعون: قسم الجغرافيا الفيزيائية لجامعة فورونيج الحكومية الجامعية طبيب في العلوم الجغرافية أستاذ أ. م. ناستون؛ مدرس مجمع المدرسية رقم 39 - يطبع سارانسك أ. ف. ف. ليونتييف بقرار المجلس التربوي والمنهجي في كلية تدريب Dovuzovskaya والمتوسط \u200b\u200b... "

Alexander Viktorovich Abrosimov تاريخ الميلاد: 16 نوفمبر 1948 (1948 11 16) مكان الميلاد: Kuibyshev تاريخ الوفاة ... ويكيبيديا

أنا معادلات المعادلات التفاضلية التي تحتوي على الوظائف المطلوبة ومشتقاتها لأوامر مختلفة والمتغيرات المستقلة. نظرية D. ذ. نشأت في نهاية القرن السابع عشر. تحت تأثير احتياجات الميكانيكا وغيرها من التخصصات العلوم الطبيعية، ... ... موسوعة السوفياتية الكبرى

المعادلات التفاضلية العادية (ODU) هي معادلة تفاضلية للأنواع حيث وظيفة غير معروفة (ربما وظيفة المتجهات، ثم كقاعدة عامة، والمتجه هو أيضا وظيفة مع القيم في مساحة نفس البعد؛ في هذا ... ... ويكيبيديا

لدى ويكيبيديا مقالات عن أشخاص آخرين مثل هذا الاسم، انظر يودووفيتش. Viktor iosifovich Yudovich تاريخ الميلاد: 4 أكتوبر 1934 (1934 10 04) مكان الميلاد: تبليسي، الاتحاد السوفياتي تاريخ الموت ... ويكيبيديا

التفاضليه - (تفاضلي) تعريف الاختلاف، وظيفة التفاضلية، معلومات كتلة التفاضلية عن التعريف المختلفة، الوظيفة التفاضلية، محتوى كتلة التفاضلية محتوى المحتوى الرياضي غير الرسمي ... ... ... موسوعة المستثمر

أحد المفاهيم الأساسية في نظرية المعادلات التفاضلية مع المشتقات الخاصة. دور X. يظهر نفسه في الخصائص الأساسية لهذه المعادلات، مثل الخصائص المحلية للحلول، القدرة على التحف على المهام المختلفة، صحةها، وما إلى ذلك ... الموسوعة الرياضية

المعادلة، في الروم المجهول، هي وظيفة من متغير مستقل، وتشمل هذه المعادلة فقط وظيفة غير معروفة، ولكن أيضا مشتقاتها لأوامر مختلفة. تم تقديم مصطلح المعادلات التفاضلية ... ... الموسوعة الرياضية

Treneogin Vladilen Aleksandrovich V. A. Trenchy في محاضرات في Missis تاريخ الميلاد ... ويكيبيديا

Trenchyine، Vladilen Aleksandrovich Trenogin Vladilen Aleksandrovich V. A. Trenogin في المحاضرات في MISIS تاريخ الميلاد: 1931 (1931) ... ويكيبيديا

يمكن لمعادلة GAUSS، مع المعادلة التفاضلية العادية الخطية أو، في شكل جهاز توجيه الذات، المتغيرات والمعلمات في الحالة العامة أي قيم معقدة. بعد الاستبدال، يتم الحصول على الشكل ... ... الموسوعة الرياضية