دالة التوزيع لمتغير عشوائي. أنواع التوزيع. التوزيع الطبيعي (غاوسي) في إكسيل غاوسي عادي

) يلعب بشكل خاص دور مهمفي نظرية الاحتمالات وغالبا ما تستخدم في حل المشاكل العملية. له الميزة الأساسيةمن حيث أنه قانون مقيد تقترب منه قوانين التوزيع الأخرى في ظل ظروف نموذجية شائعة جدًا. على سبيل المثال، المبلغ يكفي عدد كبيرالمتغيرات العشوائية المستقلة (أو المعتمدة بشكل ضعيف) تخضع تقريبًا للقانون الطبيعي، وهذا صحيح كلما تم جمع المتغيرات العشوائية بشكل أكثر دقة.

لقد ثبت تجريبيًا أن أخطاء القياس والانحرافات في الأبعاد الهندسية وموضع عناصر هيكل المبنى أثناء تصنيعها وتركيبها والتباين في الخصائص الفيزيائية والميكانيكية للمواد والأحمال المؤثرة على هياكل البناء تخضع للقانون العادي.

تخضع جميع المتغيرات العشوائية تقريبًا للتوزيع الغوسي، الذي يكون انحرافه عن القيم المتوسطة ناتجًا عن مجموعة كبيرة من العوامل العشوائية، كل منها غير مهم على حدة (نظرية الحد المركزي).

التوزيع الطبيعييسمى التوزيع العشوائي قيمة مستمرة، والتي لها كثافة الاحتمال الشكل (الشكل 18.1).

أرز. 18.1. قانون التوزيع الطبيعي عند 1< a 2 .

(18.1)

حيث a و هي معلمات التوزيع.

الخصائص الاحتمالية متغير عشوائي، موزعة حسب القانون العادي، تساوي:

التوقع الرياضي (18.2)

التباين (18.3)

الانحراف المعياري (18.4)

معامل عدم التماثل أ = 0(18.5)

إفراط ه= 0. (18.6)

المعلمة σ المضمنة في التوزيع الغاوسي تساوي متوسط ​​نسبة المربع للمتغير العشوائي. ضخامة أيحدد موضع مركز التوزيع (انظر الشكل 18.1)، والقيمة أ— عرض التوزيع (الشكل 18.2)، أي انتشار إحصائي حول القيمة المتوسطة.

أرز. 18.2. قانون التوزيع الطبيعي عند σ 1< σ 2 < σ 3

يتم تحديد احتمال الوقوع في فترة معينة (من x 1 إلى x 2) للتوزيع الطبيعي، كما هو الحال في جميع الحالات، من خلال تكامل كثافة الاحتمال (18.1)، والذي لا يتم التعبير عنه من خلال الدوال الأولية ويتم تمثيله بواسطة دالة خاصة تسمى دالة لابلاس (تكامل الاحتمال).

أحد تمثيلات التكامل الاحتمالي:

(18.7)

ضخامة ومُسَمًّى الكمية

يمكن أن نرى أن Ф(kh) هي دالة فردية، أي Ф(-kh) = -Ф(kh) . يتم حساب قيم هذه الدالة وتقديمها على شكل جداول في الأدبيات التقنية والتعليمية.

يمكن التعبير عن وظيفة التوزيع للقانون الطبيعي (الشكل 18.3) من خلال التكامل الاحتمالي:

(18.9)

أرز. 18.2. دالة التوزيع الطبيعي.

احتمال وقوع متغير عشوائي موزع وفق قانون عادي في الفترة من X.إلى x، يتم تحديده بالتعبير:

تجدر الإشارة إلى ذلك

Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0.5; Ф(-∞) = -0.5.

عند حل المشكلات العملية المتعلقة بالتوزيع، غالبًا ما يكون من الضروري مراعاة احتمال الوقوع في فترة زمنية متماثلة فيما يتعلق بالتوقع الرياضي، إذا كان طول هذه الفترة، أي. إذا كان للفاصل الزمني نفسه حدود من إلى، فلدينا:

عند حل المسائل العملية يتم التعبير عن حدود انحرافات المتغيرات العشوائية من خلال المعيار وهو الانحراف المعياري مضروبا في عامل معين يحدد حدود منطقة انحرافات المتغير العشوائي.

بأخذ واستخدام الصيغة (18.10) والجدول Ф(kh) (الملحق رقم 1) نحصل على

تظهر هذه الصيغأنه إذا كان للمتغير العشوائي توزيع طبيعي، فإن احتمال انحرافه عن قيمته المتوسطة بما لا يزيد عن σ هو 68.27%، بما لا يزيد عن 2σ هو 95.45% وبما لا يزيد عن 3σ - 99.73%.

نظرًا لأن قيمة 0.9973 قريبة من الوحدة، فإنه يعتبر من المستحيل عمليًا أن ينحرف التوزيع الطبيعي للمتغير العشوائي عن التوقع الرياضي بأكثر من 3σ. وتسمى هذه القاعدة، والتي تنطبق فقط على التوزيع الطبيعي، بقاعدة ثلاثة سيجما. من المحتمل انتهاكه ف = 1 - 0.9973 = 0.0027. تُستخدم هذه القاعدة عند تحديد حدود الانحرافات المسموح بها لتفاوتات الخصائص الهندسية للمنتجات والهياكل.

تعريف. طبيعيهو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر، والذي يوصف بكثافة الاحتمال

ويسمى أيضًا قانون التوزيع الطبيعي قانون غاوس.

يحتل قانون التوزيع الطبيعي مكانة مركزية في نظرية الاحتمالات. ويرجع ذلك إلى أن هذا القانون يتجلى في جميع الحالات التي يكون فيها المتغير العشوائي نتيجة لعمل عدد كبير من العوامل المختلفة. جميع قوانين التوزيع الأخرى تقترب من القانون العادي.

يمكن بسهولة إثبات أن المعلمات والمتضمنة في كثافة التوزيع هي، على التوالي، التوقع الرياضي والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X.

دعونا نجد وظيفة التوزيع و(خ).

يسمى الرسم البياني للكثافة للتوزيع الطبيعي منحنى عاديأو منحنى غاوسي.

يتميز المنحنى الطبيعي بالخصائص التالية:

1) يتم تعريف الدالة على خط الأعداد بأكمله.

2) أمام الجميع Xتأخذ دالة التوزيع القيم الموجبة فقط.

3) محور OX هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني لكثافة الاحتمالية مع زيادة غير محدودة في القيمة المطلقة للوسيطة X، فإن قيمة الدالة تميل إلى الصفر.

4) أوجد الحد الأقصى للدالة.

لأن في ص > 0في س< m و ذ'< 0 في س> م، ثم عند هذه النقطة س = رالدالة لها الحد الأقصى يساوي .

5) الدالة متناظرة بالنسبة إلى خط مستقيم س = أ، لأن اختلاف

(س – أ) يتم تضمينها في دالة كثافة التوزيع التربيعية.

6) لإيجاد نقاط انعطاف الرسم البياني، سنجد المشتقة الثانية لدالة الكثافة.

في س = م+ و س = م- s المشتق الثاني يساوي صفر، وعند المرور بهذه النقاط تتغير علامته، أي. عند هذه النقاط يكون للوظيفة نقطة انعطاف.

عند هذه النقاط تكون قيمة الدالة .

لنرسم دالة كثافة التوزيع.

تم إنشاء الرسوم البيانية ل ت=0 وثلاث قيم محتملة للانحراف المعياري s = 1، s = 2 و s = 7. كما ترون، مع زيادة قيمة الانحراف المعياري، يصبح الرسم البياني مسطحًا وتنخفض القيمة القصوى.

لو أ> 0، فإن الرسم البياني سيتحول في اتجاه إيجابي إذا أ < 0 – в отрицательном.

في أ= 0 و s = 1 يسمى المنحنى تطبيع. معادلة المنحنى الطبيعي:

للإيجاز، يقولون أن CB X يطيع القانون N(m, s)، أي. X ~ N(م، ق). تتوافق المعلمات m و s مع الخصائص الرئيسية للتوزيع: m = m X، s = s X =. إذا كان CB X ~ N(0, 1)، فسيتم استدعاؤه القيمة العادية الموحدة. يتم استدعاء القيمة العادية الموحدة DF وظيفة لابلاسويشار إليه باسم ف(خ). باستخدامه، يمكنك حساب احتمالات الفاصل الزمني للتوزيع الطبيعي N(m, s):

ف(× 1 جنيه إسترليني ×< x 2) = Ф - Ф .

عند حل مشاكل التوزيع الطبيعي، غالبا ما يكون من الضروري استخدام القيم الجدولية لدالة لابلاس. بما أن دالة لابلاس تحمل العلاقة و(-x) = 1 - و(خ)، يكفي أن يكون لديك قيم جدولية للوظيفة و(خ)فقط لقيم الوسيطة الإيجابية.

بالنسبة لاحتمال الوقوع في فترة متماثلة بالنسبة للتوقع الرياضي، تكون الصيغة صالحة: P(|X - m X |< e) = 2×ه(ه/ث) - 1.

اللحظات المركزية للتوزيع الطبيعي تلبي علاقة التكرار: m n +2 = (n+1)s 2 m n , n = 1, 2, ... . ويترتب على ذلك أن جميع العزوم المركزية ذات الترتيب الفردي تساوي الصفر (حيث أن m 1 = 0).

دعونا نوجد احتمال وقوع متغير عشوائي موزع وفق قانون عادي في فترة زمنية معينة.

دعونا نشير

لأن لا يتم التعبير عن التكامل بدلالة الدوال الأولية، ثم يتم إدخال الدالة في الاعتبار

,

من اتصل وظيفة لابلاسأو احتمال لا يتجزأ.

قيم هذه الدالة لقيم مختلفة Xمحسوبة ومعروضة في جداول خاصة.

يوجد أدناه رسم بياني لوظيفة لابلاس.

تتميز دالة لابلاس بالخصائص التالية:

2) و(- X) = - ف( X);

وتسمى أيضا وظيفة لابلاس وظيفة الخطأوتدل على erf س.

لا تزال قيد الاستخدام تطبيعدالة لابلاس، والتي ترتبط بدالة لابلاس بالعلاقة:

يوجد أدناه رسم بياني لوظيفة لابلاس الطبيعية.

عند النظر في قانون التوزيع الطبيعي، تبرز حالة خاصة مهمة، تعرف باسم قاعدة ثلاثة سيجما.

دعونا نكتب احتمال أن يكون انحراف المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي عن التوقع الرياضي أقل من القيمة المعطاة D:

إذا أخذنا D = 3s، فباستخدام جداول قيم دالة لابلاس نحصل على:

أولئك. إن احتمال انحراف المتغير العشوائي عن توقعاته الرياضية بمقدار أكبر من ثلاثة أضعاف الانحراف المعياري هو صفر عمليًا.

تسمى هذه القاعدة قاعدة ثلاثة سيجما.

ومن الناحية العملية، يعتقد أنه إذا تم استيفاء قاعدة ثلاثة سيجما لأي متغير عشوائي، فإن هذا المتغير العشوائي له توزيع طبيعي.

مثال.القطار يتكون من 100 عربة. كتلة كل سيارة متغيرة عشوائية موزعة حسب القانون الطبيعي مع التوقع الرياضي أ= 65 طن والانحراف المعياري s = 0.9 طن، يمكن للقاطرة أن تحمل قطارًا لا يزيد وزنه عن 6600 طن، وإلا فمن الضروري ربط قاطرة ثانية. أوجد احتمال عدم الحاجة إلى القاطرة الثانية.

لا يلزم قاطرة ثانية إذا كان انحراف كتلة القطار عن المتوقع (100 × 65 = 6500) لا يتجاوز 6600 – 6500 = 100 طن.

لأن وبما أن كتلة كل سيارة لها توزيع طبيعي، فإن كتلة القطار بأكمله سيتم توزيعها بشكل طبيعي أيضًا.

نحن نحصل:

مثال.يتم تحديد المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي X بواسطة معلماته – أ=2 –التوقع الرياضي و s = 1 – الانحراف المعياري. تحتاج إلى كتابة كثافة الاحتمال ورسمها، والعثور على احتمال أن X سوف تأخذ قيمة من الفاصل الزمني (1؛ 3)، والعثور على احتمال أن ينحرف X (في القيمة المطلقة) عن التوقع الرياضي بما لا يزيد عن 2 .

كثافة التوزيع لها الشكل:

لنقم ببناء رسم بياني:

دعونا نوجد احتمال وقوع متغير عشوائي في الفترة (1؛ 3).

دعونا نجد احتمال انحراف متغير عشوائي عن التوقع الرياضي بمقدار لا يزيد عن 2.

يمكن الحصول على نفس النتيجة باستخدام دالة لابلاس الطبيعية.

المحاضرة 8 القانون أعداد كبيرة (القسم 2)

الخطوط العريضة للمحاضرة

نظرية الحد المركزي (صياغة عامة وصياغة خاصة للمتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل متماثل).

عدم المساواة في تشيبيشيف.

قانون الأعداد الكبيرة على شكل تشيبيشيف.

مفهوم تكرار الحدث

الفهم الإحصائي للاحتمال.

قانون الأعداد الكبيرة على شكل برنولي.

لقد أتاحت دراسة الأنماط الإحصائية إثبات أنه، في ظل ظروف معينة، يفقد السلوك الإجمالي لعدد كبير من المتغيرات العشوائية طابعه العشوائي ويصبح طبيعيًا (وبعبارة أخرى، تلغي الانحرافات العشوائية عن بعض السلوكيات المتوسطة بعضها البعض ). على وجه الخصوص، إذا كان التأثير على مجموع الحدود الفردية صغيرًا بشكل موحد، فإن قانون توزيع المجموع يقترب من الطبيعي. وترد الصيغة الرياضية لهذا البيان في مجموعة من النظريات تسمى قانون الأعداد الكبيرة.

قانون الأعداد الكبيرة – المبدأ العام، والذي يؤدي من خلاله العمل المشترك للعوامل العشوائية، في ظل ظروف معينة عامة جدًا، إلى نتيجة تكاد تكون مستقلة عن الصدفة. المثال الأول لهذا المبدأ هو تقارب تكرار الحدوث حدث عشوائيمع احتماليتها مع زيادة عدد الاختبارات (غالبًا ما تستخدم في الممارسة العملية، على سبيل المثال، عند استخدام تكرار حدوث أي صفة للمستجيب في العينة كتقدير عينة للاحتمال المقابل).

جوهر قانون الأعداد الكبيرةهو أنه مع وجود عدد كبير من التجارب المستقلة، فإن تكرار حدوث حدث ما يكون قريبًا من احتماله.

نظرية الحد المركزي (CLT) (في صياغة Lyapunov A.M. لـ SVs الموزعة بشكل متماثل).إذا كانت SVs المستقلة الزوجية X 1، X 2، ...، X n، ... لها نفس قانون التوزيع مع القوانين المحدودة الخصائص العددية M = m و D = s 2 ، ثم عندما يكون n ® ¥ فإن قانون توزيع SW يقترب إلى أجل غير مسمى من القانون الطبيعي N(n×m, ).

عاقبة.إذا كان في شروط نظرية SV ، ثم n ® ¥ يقترب قانون توزيع SV Y إلى ما لا نهاية من القانون الطبيعي N(m, s/).

نظرية دي موافر لابلاس.دع SV K هو عدد "النجاحات" في التجارب n وفقًا لمخطط برنولي. ثم، مع n ® ¥ وقيمة ثابتة لاحتمال "النجاح" في تجربة واحدة p، يقترب قانون توزيع SV K إلى أجل غير مسمى من القانون الطبيعي N(n×p, ).

عاقبة.إذا في ظروف النظرية، بدلاً من SV K، نأخذ في الاعتبار SV K/n - تكرار "النجاحات" في التجارب n وفقًا لمخطط برنولي، ثم قانون التوزيع الخاص بها لـ n ® ¥ وقيمة ثابتة لـ p إلى أجل غير مسمى يقترب من القانون الطبيعي N(p, ).

تعليق.دع SV K هو عدد "النجاحات" في التجارب n وفقًا لمخطط برنولي. قانون توزيع مثل هذا SV هو قانون ذو الحدين. ثم بالنسبة لـ n ® ¥ فإن قانون ذو الحدين له توزيعان نهائيان:

ن التوزيع بواسون(من أجل n ® ¥ و l = n×p = const)؛

ن التوزيع غاوس N(n×p, ) (لـ n ® ¥ و p = const).

مثال.احتمال "النجاح" في تجربة واحدة هو فقط p = 0.8. كم عدد الاختبارات التي يجب إجراؤها بحيث يمكننا، مع احتمال لا يقل عن 0.9، أن نتوقع أن تكرار "النجاح" الملحوظ في الاختبارات وفقًا لمخطط برنولي سوف ينحرف عن الاحتمال p بما لا يزيد عن e = 0.01؟

حل.للمقارنة، دعونا نحل المشكلة بطريقتين.

(حقيقي، إيجابي تمامًا)

التوزيع الطبيعي، أيضا يسمى التوزيع البيانيأو غاوس - لابلاس- التوزيع الاحتمالي، والذي يتم تحديده في الحالة أحادية البعد بواسطة دالة الكثافة الاحتمالية المتوافقة مع الدالة الغوسية:

f (x) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2 , (\displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi )))\\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\سيجما ^(2)))))،)

حيث المعلمة μ هي التوقع (القيمة المتوسطة) والوسيط وطريقة التوزيع، والمعلمة σ هي الانحراف المعياري (σ² هو التشتت) للتوزيع.

وبالتالي، فإن التوزيع الطبيعي أحادي البعد هو مجموعة توزيعات ذات معلمتين. تم وصف حالة المتغيرات المتعددة في المقالة "التوزيع متعدد المتغيرات العادي ".

التوزيع القياسييسمى التوزيع الطبيعي مع التوقع الرياضي μ = 0 والانحراف المعياري σ = 1.

يوتيوب الموسوعي

• 1 / 5

  أهمية التوزيع الطبيعي في العديد من مجالات العلوم (على سبيل المثال، الإحصاء الرياضي والفيزياء الإحصائية) تنبع من نظرية الحد المركزي لنظرية الاحتمالات. إذا كانت نتيجة الملاحظة هي مجموع العديد من الكميات العشوائية المترابطة بشكل ضعيف، كل منها تقدم مساهمة صغيرة بالنسبة إلى المجموع الإجمالي، فمع زيادة عدد الحدود، يميل توزيع النتيجة المركزية والموحدة إلى أن تكون طبيعية. وينتج عن نظرية قانون الاحتمالات هذا التوزيع الواسع النطاق للتوزيع الطبيعي، وهو أحد أسباب تسميتها.

  ملكيات

  لحظات

  إذا كانت المتغيرات عشوائية × 1 (\displaystyle X_(1))و × 2 (\displaystyle X_(2))مستقلة ولها توزيع طبيعي مع التوقعات الرياضية μ 1 (\displaystyle \mu _(1))و μ 2 (\displaystyle \mu _(2))والاختلافات σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2))و σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2))وفقا لذلك، ثم X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2))لديه أيضًا توزيع طبيعي مع توقع رياضي μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2))والتباين σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).)ويترتب على ذلك أنه يمكن تمثيل المتغير العشوائي العادي كمجموع عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية العادية المستقلة.

  الانتروبيا القصوى

  يحتوي التوزيع الطبيعي على أقصى قدر من الإنتروبيا التفاضلية بين جميع التوزيعات المستمرة التي لا يتجاوز تباينها قيمة معينة.

  نمذجة المتغيرات العشوائية الكاذبة

  تعتمد أبسط طرق النمذجة التقريبية على نظرية الحد المركزي. على وجه التحديد، إذا قمت بإضافة عدة كميات مستقلة موزعة بشكل متماثل مع تباين محدود، فسيتم توزيع المجموع تقريبًابخير. على سبيل المثال، إذا قمت بإضافة 100 منها بشكل مستقل بشكل قياسي بالتساويتوزيع المتغيرات العشوائية، فإن توزيع المجموع سيكون تقريبيا طبيعي.

  للتوليد البرمجي للمتغيرات العشوائية الكاذبة الموزعة بشكل طبيعي، يفضل استخدام تحويل Box-Muller. يسمح لك بإنشاء قيمة واحدة موزعة بشكل طبيعي بناءً على قيمة واحدة موزعة بشكل موحد.

  التوزيع الطبيعي في الطبيعة والتطبيقات

  التوزيع الطبيعي غالبا ما يوجد في الطبيعة. على سبيل المثال، تم تصميم المتغيرات العشوائية التالية بشكل جيد بواسطة التوزيع الطبيعي:

  • الانحراف عند التصوير.
  • أخطاء القياس (ومع ذلك، فإن أخطاء بعض أدوات القياس ليس لها توزيعات طبيعية).
  • بعض خصائص الكائنات الحية في مجتمع ما.

  هذا التوزيع واسع الانتشار لأنه توزيع مستمر قابل للقسمة بشكل لا نهائي مع تباين محدود. لذلك، يقترب البعض الآخر منه في الحد، على سبيل المثال، ذات الحدين وبواسون. يمثل هذا التوزيع العديد من العمليات الفيزيائية غير الحتمية.

  العلاقة مع التوزيعات الأخرى

  • التوزيع الطبيعي هو توزيع بيرسون من النوع الحادي عشر.
  • إن نسبة زوج من المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل طبيعي لها توزيع كوشي. أي إذا كان المتغير العشوائي إكس (\displaystyle X)يمثل العلاقة X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(أين ص (\displaystyle Y)و ض (\displaystyle Z)- المتغيرات العشوائية العادية المعيارية المستقلة) فيكون لها توزيع كوشي.
  • لو ض 1 , … , ض ك (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- متغيرات عشوائية عادية قياسية مستقلة بشكل مشترك، أي ض أنا ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right))ثم المتغير العشوائي x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2))لديه توزيع كاي مربع مع درجات الحرية ك.
  • إذا كان المتغير العشوائي إكس (\displaystyle X)يخضع للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي، فإن اللوغاريتم الطبيعي له توزيع طبيعي. وهذا هو، إذا X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right))، الذي - التي Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). والعكس صحيح إذا Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right))، الذي - التي X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \يمين)).
  • النسبة بين مربعي متغيرين عشوائيين عاديين قياسيين

  التوزيع الطبيعي ( التوزيع الطبيعي) - يلعب دورا هاما في تحليل البيانات.

  في بعض الأحيان بدلا من هذا المصطلح طبيعي توزيعاستخدم المصطلح التوزيع البيانيتكريما لـ K. Gauss (المصطلحات القديمة التي لا تستخدم عمليا في الوقت الحاضر: قانون غاوس، توزيع غاوس لابلاس).

  التوزيع الطبيعي أحادي المتغير

  التوزيع الطبيعي له كثافة::

  في هذه الصيغة، المعلمات الثابتة هي متوسط, - معيار انحراف.

  وترد الرسوم البيانية الكثافة لمختلف المعلمات.

  الوظيفة المميزة للتوزيع الطبيعي لها الشكل:

  

  التمييز بين الوظيفة المميزة والإعداد ر = 0، نحصل على لحظات من أي أمر.

  يكون منحنى كثافة التوزيع الطبيعي متماثلًا بالنسبة إلى وله حد أقصى واحد عند هذه النقطة يساوي

  تتراوح معلمة الانحراف المعياري من 0 إلى ∞.

  متوسط يختلف من -∞ إلى +∞.

  مع زيادة المعلمة، ينتشر المنحنى على طول المحور X، عندما يقترب من 0، فإنه يتقلص حول القيمة المتوسطة (تميز المعلمة بالانتشار والتشتت).

  عندما يتغير يتحول المنحنى على طول المحور X(انظر الرسوم البيانية).

  من خلال تغيير المعلمات و، نحصل على نماذج مختلفة من المتغيرات العشوائية التي تنشأ في الاتصالات الهاتفية.

  أحد التطبيقات النموذجية للقانون العادي في تحليل بيانات الاتصالات، على سبيل المثال، هو نمذجة الإشارات ووصف الضوضاء والتداخل والأخطاء وحركة المرور.

  مؤامرات التوزيع الطبيعي أحادي المتغير

  

  الشكل 1. مخطط الكثافة للتوزيع الطبيعي: المتوسط ​​هو 0، والانحراف المعياري هو 1

  

  الشكل 2. مخطط الكثافة للتوزيع الطبيعي القياسي مع المناطق التي تحتوي على 68% و95% من جميع الملاحظات

  

  الشكل 3. الرسوم البيانية للكثافة للتوزيعات الطبيعية بمتوسط ​​صفر وانحرافات مختلفة (=0.5، =1، =2)

  

  الشكل 4: رسوم بيانية لتوزيعين طبيعيين N(-2,2) وN(3,2).

  لاحظ أن مركز التوزيع قد تحول عند تغيير المعلمة.

  تعليق

  في برنامج إحصائياتيشير التعيين N(3,2) إلى القانون العادي أو القانون الغوسي مع المعلمات: المتوسط ​​= 3 والانحراف المعياري =2.

  في الأدب، في بعض الأحيان يتم تفسير المعلمة الثانية على أنها تشتت، أي. مربعالانحراف المعياري.

  حساب النقاط المئوية للتوزيع الطبيعي باستخدام حاسبة الاحتمالية إحصائيات

  باستخدام حاسبة الاحتمالية إحصائياتيمكنك حساب الخصائص المختلفة للتوزيعات دون اللجوء إلى الجداول المرهقة المستخدمة في الكتب القديمة.

  الخطوة 1.هيا نطلق تحليل / حاسبة الاحتمالية / توزيعات.

  في قسم التوزيع، حدد طبيعي.

  

  الشكل 5. تشغيل حاسبة التوزيع الاحتمالي

  الخطوة 2.نشير إلى المعلمات التي تهمنا.

  على سبيل المثال، نريد حساب نسبة 95% من التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​0 وانحراف معياري قدره 1.

  دعنا نشير إلى هذه المعلمات في حقول الآلة الحاسبة (انظر متوسط ​​حقول الآلة الحاسبة والانحراف المعياري).

  لندخل المعلمة p=0.95.

  خانة الاختيار "عكس f.r." سوف تظهر تلقائيا. حدد مربع "الجدول الزمني".

  انقر فوق الزر "احسب" في الزاوية اليمنى العليا.

  

  الشكل 6. تحديد المعلمات

  الخطوه 3.في الحقل Z نحصل على النتيجة: القيمة الكمية هي 1.64 (انظر النافذة التالية).

  

  الشكل 7. عرض نتيجة الآلة الحاسبة

  

  الشكل 8. قطع الكثافة ووظائف التوزيع. خط مستقيم س = 1.644485

  

  

  الشكل 9. الرسوم البيانية لوظيفة التوزيع الطبيعي. الخطوط المنقطة العمودية - x=-1.5، x=-1، x=-0.5، x=0

  

  الشكل 10. الرسوم البيانية لوظيفة التوزيع الطبيعي. الخطوط المنقطة العمودية - س=0.5، س=1، س=1.5، س=2

  تقدير معلمات التوزيع الطبيعي

  يمكن حساب قيم التوزيع الطبيعي باستخدام آلة حاسبة تفاعلية.

  التوزيع الطبيعي ثنائي المتغير

  التوزيع الطبيعي أحادي البعد يعمم بشكل طبيعي ثنائي الأبعادالتوزيع الطبيعي.

  على سبيل المثال، إذا كنت تفكر في إشارة عند نقطة واحدة فقط، فإن التوزيع أحادي البعد يكفيك، عند نقطتين - ثنائي الأبعاد، عند ثلاث نقاط - ثلاثي الأبعاد، وما إلى ذلك.

  الصيغة العامة للتوزيع الطبيعي ثنائي المتغير هي:

  

  أين العلاقة الزوجية بين × 1و × 2;

  × 1على التوالى؛

  المتوسط ​​والانحراف المعياري للمتغير × 2على التوالى.

  إذا كانت المتغيرات عشوائية × 1و × 2مستقلتين، فإن الارتباط يكون 0، = 0، على التوالي، ويختفي الحد الأوسط في الأس، ويصبح لدينا:

  و(س 1، س 2) = و(س 1)*و(س 2)

  بالنسبة للكميات المستقلة، تتحلل الكثافة ثنائية الأبعاد إلى حاصل ضرب كثافتين أحادية البعد.

  مخططات الكثافة للتوزيعات الطبيعية ثنائية المتغير

  

  الشكل 11. مخطط الكثافة للتوزيع الطبيعي ثنائي المتغير (متجه صفر للمتوسط، مصفوفة التغاير المشترك للوحدة)

  

  الشكل 12. قسم من الرسم البياني للكثافة للتوزيع الطبيعي ثنائي الأبعاد بمستوى z=0.05

  

  الشكل 13. مخطط الكثافة للتوزيع الطبيعي ثنائي الأبعاد (متجه صفر للقيمة المتوقعة، مصفوفة التغاير مع 1 على القطر الرئيسي و0.5 على القطر الجانبي)

  

  الشكل 14. قسم من الرسم البياني للكثافة للتوزيع الطبيعي ثنائي الأبعاد (متجه صفر للتوقعات الرياضية، مصفوفة التغاير مع 1 على القطر الرئيسي و0.5 على القطر الجانبي) بالمستوى z= 0.05

  

  الشكل 15. مخطط الكثافة للتوزيع الطبيعي ثنائي الأبعاد (متجه صفر للقيمة المتوقعة، مصفوفة التغاير مع 1 على القطر الرئيسي و-0.5 على القطر الجانبي)

  

  الشكل 16. قسم من الرسم البياني للكثافة للتوزيع الطبيعي ثنائي الأبعاد (متجه صفر للتوقعات الرياضية، مصفوفة التغاير مع 1 على القطر الرئيسي و-0.5 على القطر الجانبي) بالمستوى z=0.05

  

  الشكل 17. أقسام الرسوم البيانية للكثافة للتوزيع الطبيعي ثنائي الأبعاد بمستوى z=0.05

  لفهم التوزيع الطبيعي ثنائي المتغير بشكل أفضل، حاول حل المشكلة التالية.

  مهمة. انظر إلى الرسم البياني للتوزيع الطبيعي ثنائي المتغير. فكر في الأمر، هل يمكن تمثيله على أنه دوران في الرسم البياني للتوزيع الطبيعي أحادي البعد؟ متى يجب عليك استخدام تقنية التشوه؟

  يعد قانون التوزيع الطبيعي، أو ما يسمى بقانون غاوس، أحد أكثر القوانين شيوعًا. هذا هو القانون الأساسي في نظرية الاحتمالات وتطبيقها. غالبًا ما يتم العثور على التوزيع الطبيعي في دراسة الظواهر الطبيعية والاجتماعية والاقتصادية. وبعبارة أخرى، فإن معظم المجاميع الإحصائية في الطبيعة والمجتمع تخضع لقانون التوزيع الطبيعي. وبناء على ذلك، يمكننا القول أن تجمعات عدد كبير من العينات الكبيرة تخضع لقانون التوزيع الطبيعي. يمكن تقريب تلك المجموعات السكانية التي تنحرف عن التوزيع الطبيعي نتيجة للتحولات الخاصة إلى التوزيع الطبيعي. وفي هذا الصدد، يجب أن نتذكر أن السمة الأساسية لهذا القانون فيما يتعلق بقوانين التوزيع الأخرى هي أنه قانون الحدود الذي تقترب منه قوانين التوزيع الأخرى في ظروف (قياسية) معينة.

  تجدر الإشارة إلى أن مصطلح "التوزيع الطبيعي" له معنى تقليدي، كمصطلح مقبول بشكل عام في الأدبيات الرياضية والإحصائية. إن القول بأن علامة أو أخرى من أي ظاهرة تخضع لقانون التوزيع الطبيعي لا يعني على الإطلاق حرمة المعايير المفترض أنها متأصلة في الظاهرة قيد الدراسة، وتصنيف الأخير على أنه النوع الثاني من القانون لا يعني أي نوع من اضطراب هذه الظاهرة. وبهذا المعنى فإن مصطلح "التوزيع الطبيعي" ليس مناسبا تماما.

  التوزيع الطبيعي (قانون غاوس لابلاس) هو نوع من التوزيع المستمر. حيث اشتق موافر (ألف وسبعمائة وثلاثة وسبعون، فرنسا) القانون الطبيعي للتوزيع الاحتمالي. تم استخدام الأفكار الأساسية لهذا الاكتشاف لأول مرة في نظرية الأخطاء من قبل K. Gauss (1809، ألمانيا) وA. Laplace (1812، فرنسا)، الذي قدم مساهمة نظرية كبيرة في تطوير القانون نفسه. على وجه الخصوص، انطلق K. Gauss في تطوراته من الاعتراف بأن القيمة الأكثر احتمالا للمتغير العشوائي هي الوسط الحسابي. تم تحديد الشروط العامة لظهور التوزيع الطبيعي بواسطة A. M. Lyapunova. وأثبت أنه إذا كانت الخاصية محل الدراسة هي نتيجة التأثير الكلي لعوامل عديدة، كل منها لا يرتبط إلا قليلاً بأغلبية العوامل الأخرى، كما أن تأثير كل عامل على النتيجة النهائية يتداخل كثيراً مع التأثير الكلي للعوامل الأخرى. وبقية العوامل الأخرى يصبح التوزيع قريبا من الطبيعي.

  يسمى التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر عاديًا وله كثافة:

  1 +1 (& #) 2

  / (س، س،<т) = - ^ е 2 st2

  حيث x هو التوقع الرياضي أو القيمة المتوسطة. كما ترون، يتم تحديد التوزيع الطبيعي بواسطة معلمتين: x و°. ولتعريف التوزيع الطبيعي يكفي معرفة التوقع الرياضي أو المتوسط ​​والانحراف المعياري. تحدد هاتان الكميتان مركز التجميع والشكل

  منحنى على الرسم البياني. يُطلق على الرسم البياني للوظيفة u (xx، b) اسم المنحنى الطبيعي (منحنى غاوسي) مع المعلمات x و b (الشكل 12).

  يحتوي منحنى التوزيع الطبيعي على نقاط انعطاف عند X ± 1. إذا تم تمثيلها بيانيًا، فهي بين X = + ل و 1 = -1 هو 0.683 جزء من مساحة المنحنى بأكملها (أي 68.3%). ضمن حدود X = + 2 وX- 2. يوجد 0.954 منطقة (95.4%)، وبين X = + 3 وX = - 3 - 0.997 جزء من مساحة التوزيع بأكملها (99.7%). في التين. يوضح الشكل 13 طبيعة التوزيع الطبيعي بحدود 1 و2 و3 سيجما.

  في التوزيع الطبيعي، يكون الوسط الحسابي والمنوال والوسيط متساويين مع بعضهم البعض. شكل المنحنى الطبيعي له شكل منحنى متماثل أحادي الرأس، تقترب فروعه بشكل مقارب من محور الإحداثي السيني. أكبر إحداثي للمنحنى يتوافق مع x = 0. عند هذه النقطة على محور الإحداثي السيني، يتم وضع القيمة العددية للخصائص، مساوية للمتوسط ​​الحسابي والمنوال والوسيط. وعلى جانبي قمة المنحنى تأتي فروعه، فيتغير شكل التحدب إلى التقعر عند نقاط معينة. هذه النقاط متناظرة وتتوافق مع القيم x = ± 1، أي قيم المعالم التي تكون انحرافاتها عن المتوسط ​​مساوية عدديًا للانحراف المعياري. الإحداثي، الذي يتوافق مع الوسط الحسابي، يقسم المنطقة بأكملها بين المنحنى والإحداثي الإحداثي إلى النصف. لذا فإن احتمالات حدوث قيم الخاصية المدروسة أكبر وأقل من المتوسط

  الحسابية ستكون 0.50، أي x، (~ ^ x) = 0.50 فولت

  الشكل 12. منحنى التوزيع الطبيعي (منحنى غاوسي)

  يحدد شكل وموضع المنحنى الطبيعي قيمة المتوسط ​​والانحراف المعياري. وقد ثبت رياضياً أن تغيير قيمة المتوسط ​​(التوقع الرياضي) لا يغير شكل المنحنى الطبيعي، بل يؤدي فقط إلى إزاحته على طول محور الإحداثي السيني. يتحول المنحنى إلى اليمين إذا زاد ~، وإلى اليسار إذا جاء ~.

  

  الشكل 14. منحنيات التوزيع الطبيعي بقيم معلمات مختلفةالخامس

  حول تغيير شكل الرسم البياني المنحني العادي عند التغيير

  يمكن الحكم على الانحراف المعياري بالحد الأقصى

  دالة التوزيع الطبيعي التفاضلية، تساوي 1

  كما يمكن أن نرى، كلما زادت قيمة °، سينخفض ​​الحد الأقصى للإحداثيات للمنحنى. وبالتالي، فإن منحنى التوزيع الطبيعي سوف ينضغط باتجاه المحور السيني ويأخذ شكلًا أكثر استواءً.

  وعلى العكس من ذلك، مع انخفاض المعلمة β، يمتد المنحنى الطبيعي في الاتجاه الإيجابي للمحور الإحداثي، ويصبح شكل "الجرس" أكثر وضوحًا (الشكل 1). 14). لاحظ أنه بغض النظر عن قيم المعلمات ~ و، فإن المنطقة التي يحدها محور الإحداثي السيني والمنحنى تساوي دائمًا الوحدة (خاصية كثافة التوزيع). ويوضح الرسم البياني ذلك بوضوح (الشكل 13).

  تسمح لنا السمات المذكورة أعلاه لمظاهر "الحالة الطبيعية" للتوزيع بتحديد عدد من الخصائص الشائعة التي تمتلكها منحنيات التوزيع الطبيعي:

  1) يصل أي منحنى طبيعي إلى أقصى نقطة (x= x) يأتي بشكل مستمر إلى يمينه ويساره، ويقترب تدريجياً من المحور x؛

  2) أي منحنى طبيعي يكون متماثل بالنسبة لخط مستقيم،

  موازيا للمحور الإحداثي ويمر عبر النقطة القصوى (x= س)

  الحد الأقصى للإحداثيات هو ^^^ i;

  3) أي منحنى طبيعي له شكل "جرس" وله تحدّب موجه لأعلى إلى أقصى نقطة. عند النقاط x ~ ° و x + b يتغير التحدب، وكلما كان "الجرس" أصغر حجمًا، وكلما زاد حجمه، أصبح الجزء العلوي من "الجرس" أكثر عقابًا (الشكل 14). التغير في التوقع الرياضي (بقيمة ثابتة

  ج) لا يؤدي إلى تعديل شكل المنحنى.

  عندما تكون x = 0 و° = 1، يُسمى المنحنى الطبيعي بالمنحنى الطبيعي أو التوزيع الطبيعي في الشكل القانوني.

  يتم وصف المنحنى الطبيعي بالصيغة التالية:

  يتم بناء المنحنى الطبيعي بناءً على البيانات التجريبية باستخدام الصيغة:

  باي 1 - "" = --- 7 = ه

  حيث و ™ هو التكرار النظري لكل فترة (مجموعة) للتوزيع؛ "- مجموع الترددات يساوي حجم السكان؛ "- الخطوة الفاصلة؛

  نفس الشيء - نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، وهي

  هـ - قاعدة اللوغاريتمات الطبيعية تساوي 2.71828؛

  الجزءان الثاني والثالث من الصيغة) دالة

  الانحراف الطبيعي CN)، والذي يمكن حسابه لأي قيم X. تسمى جداول قيم CN) عادةً "الجداول الإحداثية للمنحنى الطبيعي" (الملحق 3). عند استخدام هذه الوظائف، تأخذ صيغة العمل للتوزيع الطبيعي شكلاً بسيطًا:

  مثال.لنفكر في حالة بناء منحنى عادي باستخدام مثال البيانات الخاصة بتوزيع 57 عاملاً حسب مستوى الدخل اليومي (الجدول 42). ووفقاً للجدول 42 نجد الوسط الحسابي:

  ~ = ^ = И6 54 =

  نحسب الانحراف المعياري:

  لكل صف من الجدول نجد قيمة الانحراف الطبيعي

  س و ~س | 12 جم => - = - ^ 2 = 1.92

  أ 6.25 (dd I من الفترة الأولى، وما إلى ذلك).

  في العمود 8 من الجدول. 42 نكتب القيمة الجدولية للدالة Di) من التطبيق، على سبيل المثال، للفاصل الأول X = 1.92 نجد "1.9" مقابل "2" (0.0632).

  لحساب التكرارات النظرية، أي إحداثيات منحنى التوزيع الطبيعي، يتم حساب المضاعف:

  * = ^ = 36,5 6.25

  نضرب جميع قيم الجدول التي تم العثور عليها للدالة / (r) في 36.5. لذلك، في الفترة الأولى نحصل على 0.0632x36.5 = 2.31 طن.

  الترددات (ف "<5) الجمع (في مثالنا - الفترتين الأوليين والأخيرتين).

  إذا كانت التكرارات النظرية المتطرفة تختلف بشكل كبير عن الصفر، فإن التناقض بين مجموع التكرارات التجريبية والنظرية قد يكون كبيرا.

  يظهر الرسم البياني لتوزيع الترددات التجريبية والنظرية (المنحنى الطبيعي) وفقًا للمثال قيد النظر في الشكل 15.

  لنأخذ مثالاً لتحديد ترددات التوزيع الطبيعي للحالة التي لا يوجد فيها تردد في الفترات القصوى (الجدول 43). هنا التجريبية

  X - الانحراف الطبيعي، (ج) أ - الانحراف المعياري.

  تردد الفترة الأولى هو صفر. المجموع الناتج للترددات غير المحددة لا يساوي مجموع قيمها التجريبية (56*57). في هذه الحالة، يتم حساب التردد النظري لغسل القيم التي تم الحصول عليها لمركز الفاصل والانحراف الطبيعي ووظيفته.

  وفي الجدول 43، هذه القيم محاطة بدائرة مستطيلة. عند رسم منحنى عادي، في مثل هذه الحالات يستمر المنحنى النظري. في الحالة قيد النظر، سيستمر المنحنى الطبيعي نحو الانحرافات السلبية عن المتوسط، حيث أن التكرار الأول غير المحدد يساوي 5. والتكرار النظري المحسوب (الموضح) للفترة الأولى سيكون مساوياً للوحدة. يتطابق مجموع الترددات المكررة مع الترددات التجريبية

  الجدول 42

  القيم المحسوبة

  المعلمات الإحصائية

  فاصلة،

  عدد الوحدات،

  خ) 2ن

  الإدارات تطبيع

  نظري تردد سلسلة التوزيع الطبيعي, / 0) س - أ

  >>

  ألف وستمائة وأربعة وخمسون

  أ = 6,25

  ^ ط = 36.5 أ

  الجدول 43

  حساب ترددات التوزيع الطبيعي (محاذاة الترددات التجريبية وفقًا للقانون العادي)

  عدد الوحدات،

  القيم المحسوبة

  المعلمات الإحصائية

  الفاصل الزمني (و-2)

  القيمة المتوسطة (المركز) للفاصل الزمني،

  (جي، -xf

  ^ س ر-س) 1 ن و

  الانحراف الطبيعي xs- العاشر ر= س --L

  القيمة الجدولية للدالة، f (t)

  نظري تردد سلسلة التوزيع الطبيعي

  توضيح قيمة التردد النظرية،

  ث

  -

  -

  -

  -

  -

  س = 2,41

  

  أرز. 15. التوزيع التجريبي(1) والمنحنى الطبيعي (2)

  يمكن بناء منحنى التوزيع الطبيعي للسكان قيد الدراسة بطريقة أخرى (على عكس تلك التي تمت مناقشتها أعلاه). لذلك، إذا كان من الضروري الحصول على فكرة تقريبية عن تطابق التوزيع الفعلي مع التوزيع الطبيعي، يتم إجراء الحسابات بالتسلسل التالي. يتم تحديد الإحداثي الأقصى الذي يتوافق مع متوسط ​​حجم الخصائص)، ثم بعد حساب الانحراف المعياري، يتم حساب إحداثيات نقاط منحنى التوزيع الطبيعي وفقا للمخطط المبين في الجدولين 42 و 43. وبالتالي، ووفقاً للبيانات الأولية والمحسوبة في الجدول 43 فإن المتوسط ​​يجب أن يكون ~ = 26 وهذه القيمة المتوسطة تتطابق مع مركز الفترة الرابعة (25-27). لذلك، يمكن اعتبار تكرار هذا الفاصل الزمني "20" (عند رسم الرسم البياني) باعتباره الحد الأقصى للإحداثيات). بوجود التشتت المحسوب (β = 2.41 سم، الجدول 43)، نقوم بحساب القيم الإحداثية لجميع النقاط الضرورية لمنحنى التوزيع الطبيعي (الجدولان 44، 45). باستخدام الإحداثيات التي تم الحصول عليها، نرسم منحنى عادي (الشكل 16)، مع اعتبار تردد الفاصل الرابع هو الحد الأقصى للإحداثيات.

  ويمكن أيضًا تحديد اتساق التوزيع التجريبي مع التوزيع الطبيعي من خلال حسابات مبسطة. وبالتالي، إذا كانت نسبة مؤشر درجة عدم التماثل (^) إلى متوسط ​​مربع خطأه sh a "أو نسبة مؤشر التفرطح (E x) إلى متوسط ​​مربع خطأه t & تجاوزت الرقم "3" في القيمة المطلقة، فإن تم التوصل إلى استنتاج حول التناقض بين التوزيع التجريبي وطبيعة التوزيعات الطبيعية (أي،

  أتي إس إي X

  لو ™ أ> 3 أو ث ه "> 3).

  هناك طرق أخرى لا تتطلب عمالة مكثفة لتحديد "الحالة الطبيعية" للتوزيع: أ) مقارنة المتوسط ​​الحسابي مع المنوال والوسيط؛ ب) استخدام أرقام Westergard؛ ج) تطبيق صورة رسومية باستخدام شبكة شبه لوغاريتمية عنفة؛د) حساب معايير المطابقة الخاصة، وما إلى ذلك.

  الجدول 44

  الإحداثيات 7 نقاط من منحنى التوزيع الطبيعي

  الجدول 45

  حساب إحداثيات نقاط منحنى التوزيع الطبيعي

  	س- 1,5 (7 =	X - أ = 23.6	X - 0,5 (7 = = 24,8		س + 0.5 = 27,2	X + أ = 28.4	س+1.5 (7 =

  

  الشكل 16. رسم منحنى التوزيع الطبيعي باستخدام سبع نقاط

  من الناحية العملية، عند دراسة مجتمع ما من أجل التوفيق بين توزيعه والتوزيع الطبيعي، غالبًا ما يتم استخدام "قاعدة 3cr".

  وقد ثبت رياضياً أن احتمال أن يكون الانحراف عن المتوسط ​​في القيمة المطلقة أقل من ثلاثة أضعاف الانحراف المعياري يساوي 0.9973، أي أن احتمال أن يكون قيمه مطلقهيتجاوز الانحراف ثلاثة أضعاف الانحراف المعياري، ويساوي 0.0027 أو يكون صغيرًا جدًا. واستنادا إلى مبدأ استحالة الأحداث غير المتوقعة، يمكن اعتبار "حالة تجاوز" المادة 3 مستحيلة عمليا. إذا تم توزيع المتغير العشوائي بشكل طبيعي فإن القيمة المطلقة لانحرافه عن التوقع الرياضي (الوسط) لا تتجاوز ثلاثة أضعاف الانحراف المعياري.

  في الحسابات العملية يعملون بهذه الطريقة. إذا، في ضوء الطبيعة المجهولة لتوزيع المتغير العشوائي قيد الدراسة، تبين أن القيمة المحسوبة للانحراف عن الوسط الحسابي أقل من قيمة 3ST، فإن هناك سببًا للاعتقاد بأن الخاصية قيد الدراسة موزعة عادة. إذا تجاوزت المعلمة المحددة القيمة العددية 3ST، يمكننا أن نفترض أن توزيع القيمة قيد الدراسة لا يتوافق مع التوزيع الطبيعي.

  عادةً ما يسمى حساب التكرارات النظرية لسلسلة التوزيع التجريبية قيد الدراسة بمحاذاة المنحنيات التجريبية وفقًا لقانون التوزيع الطبيعي (أو أي قانون آخر). هذه العملية لها أهمية نظرية وعملية. تكشف محاذاة البيانات التجريبية عن نمط في توزيعها، والذي يمكن أن يحجبه الشكل العشوائي لمظاهره. يمكن استخدام النمط المنشأ بهذه الطريقة لحل عدد من المشكلات العملية.

  ومع توزيع قريب من الطبيعي يجتمع الباحث في مختلف مجالات العلوم والمجالات الأنشطة العمليةشخص. وفي الاقتصاد، يعد هذا النوع من التوزيع أقل شيوعا منه، على سبيل المثال، في التكنولوجيا أو علم الأحياء. ويرجع ذلك إلى طبيعة الظواهر الاجتماعية والاقتصادية ذاتها، التي تتميز بالتعقيد الكبير للعوامل المترابطة والمترابطة، فضلا عن وجود عدد من الشروط التي تحد من "لعبة" القضايا الحرة. لكن يجب على الاقتصادي أن يشير إلى التوزيع الطبيعي، ويحلل بنية التوزيعات التجريبية، كنوع من المعايير. تتيح مثل هذه المقارنة توضيح طبيعة تلك الظروف الداخلية التي تحدد رقم التوزيع هذا.

  إن تغلغل مجال البحث الإحصائي في مجال الظواهر الاجتماعية والاقتصادية مكن من الكشف عن وجود عدد كبير من الظواهر. أنواع مختلفةمنحنيات التوزيع. ومع ذلك، لا ينبغي للمرء أن يفترض أن المفهوم النظري لمنحنى التوزيع الطبيعي ليس له فائدة كبيرة بشكل عام في التحليل الإحصائي والرياضي لهذا النوع من الظواهر. قد لا يكون مقبولا دائما في تحليل معين التوزيع الإحصائيولكن في مجال النظرية والتطبيق طريقة أخذ العيناتالبحث له أهمية قصوى.

  دعونا نذكر الجوانب الرئيسية لتطبيق التوزيع الطبيعي في التحليل الإحصائي والرياضي.

  1. لتحديد احتمال وجود قيمة محددة للخاصية. يعد ذلك ضروريًا عند اختبار الفرضيات حول توافق توزيع تجريبي معين مع الوضع الطبيعي.

  2. عند تقدير عدد من المعلمات، على سبيل المثال، المتوسطات، باستخدام طريقة الاحتمالية القصوى. ويكمن جوهرها في تعريف القانون الذي يخضع له الكل. يتم أيضًا تحديد التقدير الذي يعطي القيم القصوى. يتم إعطاء أفضل تقدير تقريبي لمعلمات السكان من خلال النسبة:

  ص = - 2 = ه 2

  3. تحديد احتمالية متوسطات العينة بالنسبة للمتوسطات العامة.

  4. عند تحديد فاصل الثقة الذي تقع فيه القيمة التقريبية لخصائص عامة السكان.