როგორ გამოვთვალოთ რიცხვის ფესვი ხარისხზე. საინჟინრო კალკულატორი. შესავალი ძირეული ნიშნის ქვეშ

ფესვის ამოღების ოპერაციის პრაქტიკაში წარმატებით გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა გაეცნოთ ამ ოპერაციის თვისებებს.
ყველა თვისება ჩამოყალიბებულია და დადასტურებულია მხოლოდ ფესვების ნიშნების ქვეშ მყოფი ცვლადების არაუარყოფითი მნიშვნელობებისთვის.

თეორემა 1. ფესვი n-ე ხარისხი(n = 2, 3, 4, ...) ორი არაუარყოფითი ჩიპცელის ნამრავლიდან უდრის ნამრავლს n-ის ფესვებიამ რიცხვების ძალა:

კომენტარი:

1. თეორემა 1 მოქმედებს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც რადიკალური გამოხატულება არის ორზე მეტი არაუარყოფითი რიცხვის ნამრავლი.

თეორემა 2.თუ, და n - ბუნებრივი რიცხვი 1-ზე მეტი, მაშინ ტოლობა

მოკლე(თუმცა არაზუსტი) ფორმულირება, რომელიც უფრო მოსახერხებელია პრაქტიკაში გამოსაყენებლად: წილადის ფესვი უდრის ფესვების წილადს.

თეორემა 1 საშუალებას გვაძლევს გავამრავლოთ m მხოლოდ იმავე ხარისხის ფესვები , ე.ი. მხოლოდ ფესვები იგივე ინდექსით.

თეორემა 3 თუ ,k არის ნატურალური რიცხვი და n არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი, შემდეგ ტოლობა

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფესვის აშენება ბუნებრივი ხარისხი, საკმარისია რადიკალური გამოხატულება ამ ხარისხით ავიმაღლოთ.
ეს არის თეორემა 1-ის შედეგი. მართლაც, მაგალითად, k = 3-ისთვის ვიღებთ: ანალოგიურად, შეიძლება ვიმსჯელოთ k მაჩვენებლის ნებისმიერი სხვა ბუნებრივი მნიშვნელობის შემთხვევაში.

თეორემა 4 თუ ,k, n არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვები, შემდეგ ტოლობა

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფესვიდან ფესვის ამოსაღებად საკმარისია ფესვების მაჩვენებლების გამრავლება.
Მაგალითად,

Ფრთხილად იყავი!გავიგეთ, რომ ფესვებზე შეიძლება შესრულდეს ოთხი ოპერაცია: გამრავლება, გაყოფა, გაძლიერება და ფესვის ამოღება (ფესვიდან). მაგრამ რა შეიძლება ითქვას ფესვების შეკრებაზე და გამოკლებაში? Არანაირად.
მაგალითად, ამის ნაცვლად შეუძლებელია დაწერო მართლაც, მაგრამ აშკარაა, რომ

თეორემა 5 თუ ფესვის და რადიკალური გამოხატვის ინდექსები მრავლდება ან იყოფა იმავე ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება, ე.ი.

ამოცანების გადაჭრის მაგალითები

მაგალითი 1.გამოთვალეთ

გამოსავალი.ფესვების პირველი თვისების (თეორემა 1) გამოყენებით მივიღებთ:

მაგალითი 2.გამოთვალეთ
გამოსავალი.შერეული რიცხვის გადაქცევა არასწორ წილადად.
ჩვენ გვაქვს ფესვების მეორე თვისების გამოყენება ( თეორემა 2 ), ვიღებთ:

მაგალითი 3.გამოთვალეთ:

გამოსავალი.ალგებრაში ნებისმიერი ფორმულა, როგორც მოგეხსენებათ, გამოიყენება არა მხოლოდ "მარცხნიდან მარჯვნივ", არამედ "მარჯვნიდან მარცხნივ". ასე რომ, ფესვების პირველი თვისება ნიშნავს, რომ ის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სახით და, პირიქით, შეიძლება შეიცვალოს გამოხატულებით. იგივე ეხება ფესვების მეორე თვისებას. ამის გათვალისწინებით, მოდით გავაკეთოთ გამოთვლები.

მაგალითები:

\ (\ sqrt (16) = 2 \) ვინაიდან \ (2 ^ 4 = 16 \)
\ (\ sqrt (- \ frac (1) (125)) \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (5) \), რადგან \ ((- \ frac (1) (5) ) ^ 3 \) \ (= \) \ (- \ ფრაკი (1) (125) \)

როგორ გამოვთვალოთ n-ე ფესვი?

\ (n \) - ე ხარისხის ფესვის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა დაუსვათ საკუთარ თავს კითხვა: რა რიცხვს \ (n \) - ხარისხში მისცემს ფესვის ქვეშ?

Მაგალითად... გამოთვალეთ ფესვი \ (n \) - th ხარისხი: a) \ (\ sqrt (16) \); ბ) \ (\ sqrt (-64) \); გ) \ (\ sqrt (0.00001) \); დ) \ (\ sqrt (8000) \); ე) \ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) \).

ა) რა რიცხვს მისცემს \ (4 \) - ე ხარისხი \ (16 \)? ცხადია, \ (2 \). Ამიტომაც:

ბ) \ (3 \) -ე ხარისხის რა რიცხვს მისცემს \ (- 64 \)?

\ (\ sqrt (-64) = - 4 \)

გ) რომელ რიცხვს მისცემს \ (5 \) - ე ხარისხი \ (0,00001 \)?

\ (\ sqrt (0.00001) = 0.1 \)

დ) \ (3 \) -ე ხარისხის რა რიცხვს მისცემს \ (8000 \)?

\ (\ sqrt (8000) = 20 \)

ე) რა რიცხვს მისცემს \ (4 \) - ე ხარისხი \ (\ ფრაკ (1) (81) \)?

\ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) = \ frac (1) (3) \)

ყველაზე მეტად განვიხილეთ მარტივი მაგალითებიფესვით \ (n \) - th ხარისხი. უფრო რთული ამოცანების გადასაჭრელად ფესვებით \ (n \) - მე-ე ხარისხის - სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია მათი ცოდნა.

მაგალითი. გამოთვალეთ:

\ (\ sqrt 3 \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9) - \) \ (= \)		ამ დროისთვის არცერთი ფესვის გამოთვლა შეუძლებელია. მაშასადამე, ჩვენ გამოვიყენებთ \ (n \) ფესვის თვისებებს - th ხარისხი და გარდაქმნით გამონათქვამს. \ (\ frac (\ sqrt (-64)) (\ sqrt (2)) \)\ (= \) \ (\ sqrt (\ frac (-64) (2)) \) \ (= \) \ (\ sqrt (-32) \) რადგან \ (\ frac (\ sqrt [n] (a)) (\ sqrt [n] (b)) \)\ (= \) \ (\ sqrt [n] (\ frac (a) (b)) \)
\ (= \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9) - \ sqrt (-32) = \)		მოდით გადავაწყოთ ფაქტორები პირველ ტერმინში ისე, რომ Კვადრატული ფესვიდა ფესვი \ (n \) - th ხარისხი იდგა გვერდიგვერდ. ეს გააადვილებს თვისებების გამოყენებას. \ (n \) -ე ფესვების თვისებების უმეტესობა მუშაობს მხოლოდ იმავე ხარისხის ფესვებთან. და ჩვენ ვიანგარიშებთ მე-5 ხარისხის ფესვს.
\ (= \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (9) - (- 5) = \)		გამოიყენეთ თვისება \ (\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [n] (b) = \ sqrt [n] (a \ cdot b) \) და გააფართოვეთ ფრჩხილი
\ (= \ sqrt (81) \ cdot \ sqrt (-27) + 5 = \)		გამოთვალეთ \ (\ sqrt (81) \) და \ (\ sqrt (-27) \)
\ (= 9 \ cdot (-3) +5 = -27 + 5 = -22 \)

დაკავშირებულია თუ არა n-ე ფესვი და კვადრატული ფესვი?

ნებისმიერ შემთხვევაში, ნებისმიერი ხარისხის ნებისმიერი ფესვი მხოლოდ რიცხვია, თუნდაც ის უცნობი ფორმით იყოს დაწერილი.

n-ე ხარისხის ფესვის თვისება

ფესვი \ (n \) - კენტი \ (n \) შეიძლება ამოღებული იყოს ნებისმიერი რიცხვიდან, თუნდაც უარყოფითი (იხილეთ მაგალითები დასაწყისში). მაგრამ თუ \ (n \) არის ლუწი (\ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \) ...), მაშინ ასეთი ფესვი ამოღებულია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ \ ( a ≥ 0 \) (სხვათა შორის, კვადრატულ ფესვს იგივე აქვს). ეს იმიტომ ხდება, რომ ფესვის ამოღება ეწინააღმდეგება ექსპონენტაციას.

ხოლო ლუწი ხარისხზე აწევა უარყოფით რიცხვსაც კი დადებითს ხდის. მართლაც, \ ((- 2) ^ 6 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) = 64 \). ამიტომ, ფესვის ქვეშ უარყოფითი რიცხვის ლუწი ხარისხს ვერ მივიღებთ. ეს ნიშნავს, რომ უარყოფითი რიცხვიდან ასეთი ფესვის ამოღება შეუძლებელია.

ასეთი შეზღუდვების კენტი ხარისხს არ გააჩნია - კენტ ხარისხზე გაზრდილი უარყოფითი რიცხვი დარჩება უარყოფითი: \ ((- 2) ^ 5 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot ( -2) \ cdot (-2) = - 32 \). ამიტომ, კენტი ფესვის ქვეშ, შეგიძლიათ მიიღოთ უარყოფითი რიცხვი. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ ასევე შეგიძლიათ ამოიღოთ იგი უარყოფითი რიცხვიდან.

საინჟინრო კალკულატორი ონლაინ

ჩვენ გვეჩქარება ყველას წარვუდგინოთ უფასო საინჟინრო კალკულატორი. მისი დახმარებით ნებისმიერ სტუდენტს შეუძლია სწრაფად და რაც მთავარია მარტივად შეასრულოს სხვადასხვა სახის მათემატიკური გამოთვლები ონლაინ.

საიტიდან აღებული კალკულატორი - web 2.0 სამეცნიერო კალკულატორი

მარტივი და ადვილად გამოსაყენებელი საინჟინრო კალკულატორი შეუმჩნეველი და გასაგები ინტერფეისით ნამდვილად გამოდგება ინტერნეტის მომხმარებელთა ფართო წრისთვის. ახლა, როცა კალკულატორი გჭირდებათ, ეწვიეთ ჩვენს ვებსაიტს და გამოიყენეთ უფასო საინჟინრო კალკულატორი.

საინჟინრო კალკულატორს შეუძლია შეასრულოს როგორც მარტივი არითმეტიკული ოპერაციები, ასევე საკმაოდ რთული მათემატიკური გამოთვლები.

Web20calc არის საინჟინრო კალკულატორი, რომელსაც აქვს ფუნქციების უზარმაზარი რაოდენობა, მაგალითად, როგორ გამოვთვალოთ ყველა ელემენტარული ფუნქცია. ასევე კალკულატორი მხარს უჭერს ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მატრიცები, ლოგარითმები და თუნდაც გრაფიკები.

ეჭვგარეშეა, Web20calc საინტერესო იქნება ადამიანთა იმ ჯგუფისთვის, ვინც მარტივი გადაწყვეტილებების ძიებაში აკრიფებს შეკითხვას საძიებო სისტემებში: მათემატიკური ონლაინ კალკულატორი... უფასო ვებ-აპლიკაცია დაგეხმარებათ მყისიერად გამოთვალოთ რაიმე მათემატიკური გამოთქმის შედეგი, მაგალითად, გამოკლოთ, დაამატოთ, გაყოთ, ამოიღოთ ფესვი, გაზარდოთ სიმძლავრემდე და ა.შ.

გამოხატულებაში შეგიძლიათ გამოიყენოთ ოპერაციები სიმძლავრე, დამატება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა, პროცენტი, მუდმივი PI. რთული გამოთვლებისთვის გამოიყენეთ ფრჩხილები.

საინჟინრო კალკულატორის მახასიათებლები:

1. ძირითადი არითმეტიკული მოქმედებები;
2. რიცხვებთან მუშაობა სტანდარტული ფორმით;
3. ტრიგონომეტრიული ფესვების, ფუნქციების, ლოგარითმების გამოთვლა, გაძლიერება;
4. სტატისტიკური გამოთვლები: შეკრება, საშუალო არითმეტიკული ან სტანდარტული გადახრა;
5. მეხსიერების უჯრედის გამოყენება და მომხმარებლის მიერ განსაზღვრული 2 ცვლადის ფუნქციები;
6. კუთხეებთან მუშაობა რადიანულ და გრადუსიან ზომებში.

საინჟინრო კალკულატორი საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ სხვადასხვა მათემატიკური ფუნქციები:

ფესვების ამოღება (კვადრატული ფესვი, კუბური და n-ე ფესვი);
ex (e x სიმძლავრემდე), მაჩვენებელი;
ტრიგონომეტრიული ფუნქციები: სინუსი - ცოდო, კოსინუსი - cos, ტანგენსი - თან;
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები: რკალი - სინ-1, არკოზინი - კოს-1, არქტანგენსი - ტან-1;
ჰიპერბოლური ფუნქციები: sine - sinh, კოსინუსი - cosh, tangent - tanh;
ლოგარითმები: ორობითი ლოგარითმის საფუძველი ორი - log2x, ათობითი ლოგარითმის საფუძველი ათი - log, ბუნებრივი ლოგარითმი - ln.

ეს საინჟინრო კალკულატორი ასევე შეიცავს რაოდენობის კალკულატორს, რომელსაც აქვს ფიზიკური სიდიდეების გარდაქმნის უნარი სხვადასხვა საზომი სისტემებისთვის - კომპიუტერული ერთეული, მანძილი, წონა, დრო და ა.შ. ამ ფუნქციით თქვენ შეგიძლიათ მყისიერად გადაიყვანოთ მილები კილომეტრებში, ფუნტი კილოგრამებად, წამებში საათებად და ა.შ.

მათემატიკური გამოთვლების გასაკეთებლად ჯერ შესაბამის ველში შეიყვანეთ მათემატიკური გამონათქვამების თანმიმდევრობა, შემდეგ დააწკაპუნეთ ტოლობის ნიშანზე და ნახეთ შედეგი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ მნიშვნელობები პირდაპირ კლავიატურიდან (ამისთვის, კალკულატორის არე უნდა იყოს აქტიური, შესაბამისად, ზედმეტი არ იქნება კურსორის შეყვანის ველში ჩასმა). სხვა საკითხებთან ერთად, მონაცემების შეყვანა შესაძლებელია თავად კალკულატორის ღილაკების გამოყენებით.

შეყვანის ველში გრაფიკების ასაგებად ჩაწერეთ ფუნქცია, როგორც ეს მითითებულია ველში მაგალითებით, ან გამოიყენეთ სპეციალურად შექმნილი ხელსაწყოების ზოლი (მასზე გადასასვლელად დააწკაპუნეთ ღილაკზე ხატულაზე გრაფიკის სახით). მნიშვნელობების გადასაყვანად დააჭირეთ Unit-ს, მატრიცებთან მუშაობისთვის - Matrix.

ცხრილების მომხმარებლები ფართოდ იყენებენ ფუნქციას რიცხვის ფესვის ამოსაღებად. ვინაიდან მონაცემებთან მუშაობა, როგორც წესი, მოითხოვს დიდი რაოდენობით დამუშავებას, ხელით დათვლა შეიძლება საკმაოდ რთული იყოს. ამ სტატიაში თქვენ ნახავთ Excel-ში ნებისმიერი ხარისხის ფესვის ამოღების საკითხს დეტალურ ანალიზს.

საკმაოდ მარტივი ამოცანაა, რადგან პროგრამას აქვს ცალკე ფუნქცია, რომლის აღება შესაძლებელია სიიდან. ამისათვის თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

1. აირჩიეთ უჯრედი, რომელშიც გსურთ დაარეგისტრიროთ ფუნქცია მასზე ერთხელ დაჭერით მაუსის მარცხენა ღილაკით. ჩნდება შავი მონახაზი, აქტიური მწკრივი და სვეტი მონიშნულია ნარინჯისფრად და სახელი გამოჩნდება მისამართის უჯრედში.

   

2. დააწკაპუნეთ ღილაკზე "fx" (ფუნქციის ჩასმა) სვეტების სახელების ზემოთ, მისამართის უჯრედის შემდეგ, ფორმულის ზოლის წინ.

   

3. ჩამოსაშლელი მენიუ გამოჩნდება, რომელშიც უნდა იპოვოთ "Root" ფუნქცია. ეს შეიძლება გაკეთდეს კატეგორიაში „მათემატიკა“ ან „სრული ანბანური სია“ მენიუში მაუსის ქვევით გადახვევით.

   

4. აირჩიეთ "Root" ელემენტი მაუსის მარცხენა ღილაკით ერთხელ დაწკაპუნებით, შემდეგ - ღილაკზე "OK".

   

5. ჩნდება შემდეგი მენიუ - "ფუნქციის არგუმენტები".

   

6. შეიყვანეთ რიცხვი ან აირჩიეთ უჯრედი, რომელშიც ადრე იყო დაწერილი ეს გამოთქმა ან ფორმულა, ამისათვის დააწკაპუნეთ ერთხელ მაუსის მარცხენა ღილაკით "ნომერი" ხაზზე, შემდეგ გადაიტანეთ კურსორი თქვენთვის საჭირო უჯრედზე და დააწკაპუნეთ მასზე. უჯრედის სახელი ავტომატურად შეივსება სტრიქონში.

   

7. დააჭირეთ ღილაკს "OK".

   

8. და ყველაფერი მზად არის, ფუნქციამ გამოითვალა კვადრატული ფესვი, ჩაწერა შედეგი არჩეულ უჯრედში.

   

ასევე შესაძლებელია რიცხვისა და უჯრედის ჯამის კვადრატული ფესვის ამოღება (მონაცემები, რომლებიც შეფუთულია ამ უჯრედში) ან ორი უჯრედი, ამისათვის შეიყვანეთ მნიშვნელობები "ნომერი" ხაზში. ჩაწერეთ ნომერი და დააწკაპუნეთ ერთხელ უჯრედზე, პროგრამა თავად დააყენებს დამატების ნიშანს.

შენიშვნაზე!ამ ფუნქციის ხელით შეყვანაც შესაძლებელია. ფორმულების ზოლში შეიყვანეთ შემდეგი გამოთქმა: "= ROOT (x)", სადაც x არის რიცხვი, რომელსაც ეძებთ.

მე-3, მე-4 და სხვა ხარისხის ფესვების ამოღება.

Excel-ში ამ გამოთქმის გადასაჭრელად ცალკე ფუნქცია არ არსებობს. n-ე ფესვის ამოსაღებად, ჯერ უნდა განიხილოს ის მათემატიკური თვალსაზრისით.

n-ე ფესვი უდრის რიცხვის საპირისპირო ხარისხზე აწევას (1/n). ანუ კვადრატული ფესვი არის ½ (ან 0,5) სიმძლავრე.

Მაგალითად:

• 16-ის მეოთხე ფესვი არის 16 ხარისხად ¼;
• კუბის ფესვი 64 = 64 1/3 სიმძლავრისკენ;

ელცხრილების პროგრამაში ამის გაკეთების ორი გზა არსებობს:

1. ფუნქციის გამოყენებით.
2. ხარისხის ხატის "^" გამოყენებით, შეიყვანეთ გამოხატვა ხელით.

ნებისმიერი ხარისხის ფესვის ამოღება ფუნქციის გამოყენებით

1. აირჩიეთ სასურველი უჯრედი და დააჭირეთ "ფუნქციის ჩასმა" ჩანართში "ფორმულები".

   

2. გააფართოვეთ სია კატეგორიაში, მათემატიკის ან სრული ანბანური სიის ქვეშ, იპოვეთ ხარისხი ფუნქცია.

   

   

3. "ნომერის" ხაზში შეიყვანეთ ნომერი (ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის ნომერი 64) ან უჯრედის სახელი მასზე ერთხელ დაწკაპუნებით.

   

4. სტრიქონში "ხარისხი" ჩაწერეთ რა ხარისხით გსურთ ფესვის აწევა (1/3).

   

   Მნიშვნელოვანი! გაყოფის ნიშნის აღსანიშნავად უნდა გამოიყენოთ "/" ნიშანი და არა სტანდარტული გაყოფის ნიშანი ":".

5. დააჭირეთ "OK" და მოქმედების შედეგი გამოჩნდება თავდაპირველად არჩეულ უჯრედში.

   

   

Შენიშვნა!ფუნქციებთან მუშაობის შესახებ ყველაზე დეტალური ინსტრუქციებისთვის ფოტოთი, იხილეთ სტატია ზემოთ.

ამოიღეთ ნებისმიერი ხარისხის ფესვი ხარისხის სიმბოლოს "^" გამოყენებით

Შენიშვნა!ხარისხი შეიძლება დაიწეროს წილადად ან ათობითი რიცხვი... მაგალითად, წილადი ¼ შეიძლება დაიწეროს როგორც 0,25. მეათედების, მეასედების, მეათასედების და ასე შემდეგ გამოსაყოფად გამოიყენეთ მძიმით, როგორც ეს ჩვეულებრივ მათემატიკაშია..

წერითი გამონათქვამების მაგალითები