Równania. Transformacje tożsamościowe Transformacje wyrażeń. podsumowanie i podstawowe wzory

„Tożsamości. Transformacja tożsamości wyrażeń”.

Cele Lekcji

Edukacyjny:

zapoznanie i wstępne utrwalenie pojęć „identycznie równych wyrażeń”, „tożsamości”, „identycznych przekształceń”;

rozważenie sposobów potwierdzania tożsamości, przyczynienie się do rozwoju umiejętności potwierdzania tożsamości;

sprawdzenie przyswajania przez uczniów przerabianego materiału, wyrobienie umiejętności zastosowania przestudiowanego do percepcji nowego.

Edukacyjny : rozwijać myślenie, mowę uczniów.

Edukacyjny : pielęgnować pracowitość, dokładność, poprawność zapisu rozwiązania ćwiczeń.

Rodzaj lekcji: nauka nowego materiału

Sprzęt : Tablica multimedialna, tablica, podręcznik, zeszyt ćwiczeń.

P Lan lekcja

Moment organizacyjny (aby skierować uczniów na lekcję)

Sprawdzanie pracy domowej (korekta błędów)

ćwiczenia ustne

Studium nowego materiału (Wprowadzenie i pierwotne utrwalenie pojęć „tożsamość”, „przekształcenia identyczne”).

Ćwiczenia szkoleniowe(Kształtowanie się pojęć „tożsamość”, „przekształcenia identyczne”).

Podsumowanie lekcji (Podsumuj informacje teoretyczne uzyskane na lekcji).

Wiadomość do pracy domowej (Wyjaśnij treść pracy domowej)

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.

Sprawdzam pracę domową.

Pytania dotyczące pracy domowej.

Odprawa na tablicy.

Potrzebna matematyka
Bez niej to niemożliwe
Uczymy, uczymy, przyjaciele,
Co pamiętamy rano?

II . ćwiczenia ustne.

Zróbmy trening.

Wynik dodawania. (Suma)

Ile liczb znasz? (Dziesięć)

Setna liczba. (Procent)

wynik podziału? (Prywatny)

Najmniejsza liczba naturalna? (jeden)

Czy to możliwe przy dzieleniu? liczby naturalne dostać zero? (Nie)

Jaka jest suma liczb od -200 do 200? (0)

Jaka jest największa ujemna liczba całkowita. (-jeden)

Przez jaką liczbę nie można podzielić? (0)

Wynik mnożenia? (Praca)

Największa dwucyfrowa liczba? (99)

Jaki jest produkt od -200 do 200? (0)

Wynik odejmowania. (Różnica)

Ile gramów na kilogram? (1000)

Przemienność dodawania. (Kwota nie zmienia się po przestawieniu miejsc terminów)

Przemienność mnożenia. (Produkt nie zmienia się z permutacji miejsc czynników)

Asocjacyjna własność dodawania. (Aby dodać liczbę do sumy dwóch liczb, możesz dodać sumę drugiej i trzeciej do pierwszej liczby)

Asocjacyjna własność mnożenia. (aby pomnożyć iloczyn dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć pierwszą liczbę przez iloczyn drugiej i trzeciej)

własność dystrybucji. (Aby pomnożyć liczbę przez sumę dwóch liczb, możesz pomnożyć tę liczbę przez każdy wyraz i dodać wyniki)

III . Nauka nowego materiału .

Nauczyciel. Znajdź wartość wyrażeń przy x=5 i y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Otrzymaliśmy ten sam wynik. Z własności rozdzielczej wynika, że ​​na ogół dla dowolnych wartości zmiennych wartości wyrażeń 3(x + y) i 3x + 3y są równe.

Rozważmy teraz wyrażenia 2x + y i 2xy. Dla x=1 i y=2 przyjmują równe wartości:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

Można jednak określić wartości x i y tak, aby wartości tych wyrażeń nie były równe. Na przykład, jeśli x=3, y=4, to

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

Definicja: Mówi się, że dwa wyrażenia, których wartości są równe dla dowolnych wartości zmiennych, są identycznie równe.

Wyrażenia 3(x+y) i 3x+3y są identycznie równe, ale wyrażenia 2x+y i 2xy nie są identycznie równe.

Równość 3(x+y) i 3x+3y jest prawdziwa dla dowolnych wartości x i y. Takie równości nazywamy tożsamościami.

Definicja: Równość, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych, nazywana jest tożsamością.

Prawdziwe równości liczbowe są również uważane za tożsamości. Spotkaliśmy się już z tożsamościami. Tożsamości to równości, które wyrażają podstawowe właściwości działań na liczbach (Uczniowie komentują każdą właściwość, wypowiadając ją).

a + b = b + a ab=ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Można podać inne przykłady tożsamości (Uczniowie komentują każdą właściwość, wypowiadając ją).

a + 0 = a

a * 1 = a

a + (-a) = 0

ale * (- b ) = - ab

a - b = a + (- b )

(- a ) * (- b ) = ab

Definicja: Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie mu równym, nazywa się identyczną transformacją lub po prostu transformacją wyrażenia.

Nauczyciel:

Transformacje tożsamości wyrażenia ze zmiennymi są wykonywane na podstawie właściwości operacji na liczbach.

Transformacje tożsamości wyrażeń są szeroko stosowane przy obliczaniu wartości wyrażeń i rozwiązywaniu innych problemów. Musiałeś już wykonać kilka identycznych przekształceń, na przykład redukcję podobnych terminów, rozszerzenie nawiasów. Przypomnij sobie zasady tych przekształceń:

Studenci:

Aby uzyskać podobne terminy, należy dodać ich współczynniki i pomnożyć wynik przez wspólną część literową;

Jeżeli przed nawiasami znajduje się znak plus, to nawiasy można pominąć, zachowując znak każdego terminu w nawiasie;

Jeśli przed nawiasami znajduje się znak minus, to nawiasy można pominąć, zmieniając znak każdego terminu zawartego w nawiasach.

Nauczyciel:

Przykład 1. Przedstawiamy podobne terminy

5x + 2x-3x=x(5+2-3)=4x

Jakiej zasady zastosowaliśmy?

Student:

Posłużyliśmy się zasadą redukcji podobnych terminów. Ta transformacja opiera się na rozdzielczej własności mnożenia.

Nauczyciel:

Przykład 2. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2a + (b-3 C) = 2 a + b – 3 C

Zastosowaliśmy zasadę otwierania nawiasów poprzedzoną znakiem plus.

Student:

Przeprowadzona transformacja opiera się na asocjacyjnej własności dodawania.

Nauczyciel:

Przykład 3. Otwórzmy nawiasy w wyrażeniu a - (4b- c) =a – 4 b + C

Zastosowaliśmy zasadę otwierania nawiasów, które poprzedzone są znakiem minus.

Na jakiej właściwości opiera się ta transformacja?

Student:

Przeprowadzona transformacja opiera się na rozdzielczej własności mnożenia i asocjacyjnej własności dodawania.

IV . Ćwiczenia szkoleniowe

(Przed rozpoczęciem wykonujemy aktywność fizyczną

Szybko wstali i uśmiechnęli się.

Ciągnięty coraz wyżej.

Chodź, wyprostuj ramiona

Podnieś, opuść.

Skręć w prawo, skręć w lewo

Usiądź, wstań. Usiądź, wstań.

I pobiegli na miejscu.

(Dobra robota, usiądź).

Zróbmy mini niezależna praca- zgodność, a ci, którzy uważają, że temat jest dobrze zrozumiany - decyduje online - testowanie.

1) 5 (3x -2) - (4x + 9) A) 5-10: x

2) 5x-4 (2x-5) + 5 B) 11x -19

3) (5x-10): x B) 3x + 25

4) 11x-4 (x - 3) + 5x D) -3x + 25

E) 12x +12

V . Podsumowując lekcję .

Nauczyciel zadaje pytania, a uczniowie odpowiadają na nie według własnego uznania.

Jakie dwa wyrażenia nazywamy identycznie równymi? Daj przykłady.

Jaka równość nazywa się tożsamością? Daj przykład.

Jakie znasz identyczne przekształcenia?

VI . Praca domowa . s.5, znajdź stare identyczne wyrażenia za pomocą Internetu

Konwersje tożsamości to praca, którą wykonujemy z wyrażeniami numerycznymi i alfabetycznymi, a także z wyrażeniami zawierającymi zmienne. Wszystkie te przekształcenia przeprowadzamy w celu doprowadzenia oryginalnego wyrażenia do formy, która będzie dogodna do rozwiązania problemu. W tym temacie rozważymy główne typy identycznych przekształceń.

Transformacja tożsamości wyrażenia. Co to jest?

Po raz pierwszy spotykamy się z pojęciem identycznego przekształcenia na lekcjach algebry w klasie 7. Następnie zapoznajemy się najpierw z pojęciem wyrażeń identycznie równych. Zajmijmy się pojęciami i definicjami, aby ułatwić przyswojenie tematu.

Definicja 1

Transformacja tożsamości wyrażenia to akcje wykonywane w celu zastąpienia oryginalnego wyrażenia wyrażeniem, które będzie identyczne z oryginalnym.

Często ta definicja jest używana w formie skróconej, w której pomija się słowo „identyczny”. Zakłada się, że w każdym przypadku przekształcenie wyrażenia przeprowadzamy w taki sposób, aby uzyskać wyrażenie identyczne z oryginalnym i nie trzeba tego osobno podkreślać.

Zilustrować ta definicja przykłady.

Przykład 1

Jeśli zamienimy wyrażenie x + 3 - 2 do identycznie równego wyrażenia x+1, następnie przeprowadzamy identyczną transformację wyrażenia x + 3 - 2.

Przykład 2

Zamiana wyrażenia 2 na 6 na wyrażenie 3 to transformacja tożsamości, podczas gdy zastąpienie wyrażenia x do wyrażenia x2 nie jest identyczną transformacją, ponieważ wyrażenia x I x2 nie są identycznie równe.

Zwracamy uwagę na formę pisania wyrażeń podczas przeprowadzania identycznych przekształceń. Zwykle zapisujemy oryginalne wyrażenie i wynikowe wyrażenie jako równość. Zatem napisanie x + 1 + 2 = x + 3 oznacza, że ​​wyrażenie x + 1 + 2 zostało zredukowane do postaci x + 3 .

Sekwencyjne wykonywanie działań prowadzi nas do łańcucha równości, który jest kilkoma następującymi po sobie identycznymi przekształceniami. Rozumiemy więc zapis x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x jako sekwencyjną implementację dwóch przekształceń: najpierw wyrażenie x + 1 + 2 zostało zredukowane do postaci x + 3 i zostało zredukowane do forma 3 + x.

Transformacje tożsamości i ODZ

Szereg wyrażeń, które zaczynamy studiować w klasie 8, nie ma sensu dla żadnych wartości zmiennych. Przeprowadzenie identycznych przekształceń w tych przypadkach wymaga od nas zwrócenia uwagi na region dopuszczalnych wartości zmiennych (ODV). Wykonywanie identycznych przekształceń może pozostawić obszar ODZ bez zmian lub go zawęzić.

Przykład 3

Podczas wykonywania przejścia z wyrażenia a + (−b) do wyrażenia a-b zakres dozwolonych wartości zmiennych a I b nie zmienia się.

Przykład 4

Przejście od wyrażenia x do wyrażenia x 2 x prowadzi do zawężenia zakresu dopuszczalnych wartości zmiennej x ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych do zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, z którego zostało wykluczone zero.

Przykład 5

Transformacja tożsamości wyrażenia x 2 x wyrażenie x prowadzi do rozszerzenia zakresu dopuszczalnych wartości zmiennej x ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera do zbioru wszystkich liczb rzeczywistych.

Zawężenie lub rozszerzenie zakresu dopuszczalnych wartości zmiennych podczas przeprowadzania identycznych przekształceń jest ważne w rozwiązywaniu problemów, ponieważ może wpływać na dokładność obliczeń i prowadzić do błędów.

Podstawowe przekształcenia tożsamości

Zobaczmy teraz, czym są identyczne przekształcenia i jak są wykonywane. Wyróżnijmy te typy identycznych przekształceń, z którymi mamy do czynienia najczęściej, do grupy głównej.

Oprócz podstawowych przekształceń tożsamości istnieje szereg przekształceń, które odnoszą się do wyrażeń określonego typu. Dla ułamków są to metody redukcji i redukcji do nowego mianownika. W przypadku wyrażeń z pierwiastkami i potęgami, wszystkie czynności wykonywane na podstawie właściwości pierwiastków i potęg. W przypadku wyrażeń logarytmicznych: czynności wykonywane na podstawie właściwości logarytmów. Do wyrażenia trygonometryczne wszystkie działania przy użyciu formuły trygonometryczne. Wszystkie te konkretne przemiany są szczegółowo omówione w osobnych tematach, które można znaleźć w naszym zasobie. Z tego powodu nie będziemy się nad nimi rozwodzić w tym artykule.

Przejdźmy do rozważenia głównych identycznych przekształceń.

Przegrupowanie terminów, czynników

Zacznijmy od zmiany terminów. Najczęściej mamy do czynienia z tą identyczną transformacją. Za główną zasadę można uznać następujące stwierdzenie: w dowolnej sumie zmiana układu terminów w miejscach nie wpływa na wynik.

Zasada ta opiera się na przemiennych i asocjacyjnych właściwościach dodawania. Własności te pozwalają nam przestawiać terminy w miejscach i jednocześnie uzyskiwać wyrażenia identyczne z oryginalnymi. Dlatego przegrupowanie wyrazów w miejscach w sumie jest identyczną transformacją.

Przykład 6

Mamy sumę trzech wyrazów 3 + 5 + 7 . Jeśli zamienimy terminy 3 i 5, to wyrażenie przyjmie postać 5 + 3 + 7. W tym przypadku istnieje kilka opcji zmiany kolejności terminów. Wszystkie prowadzą do uzyskania wyrażeń identycznych z oryginalnym.

Nie tylko liczby, ale także wyrażenia mogą pełnić rolę terminów w sumie. Podobnie jak liczby, można je przestawiać bez wpływu na końcowy wynik obliczeń.

Przykład 7

W sumie trzech wyrazów 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 i - 12 a postaci 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) terminy można przestawiać, na przykład tak (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . Z kolei możesz zmienić kolejność terminów w mianowniku ułamka 1 a + b, podczas gdy ułamek przyjmie formę 1 b + a. A wyrażenie pod znakiem korzenia a 2 + 2 a + 5 to również suma, w której terminy mogą być zamieniane.

W ten sam sposób jak terminy, w oryginalnych wyrażeniach można wymieniać czynniki i uzyskać identycznie poprawne równania. Ta akcja rządzi się następującą zasadą:

Definicja 2

W produkcie zmiana rozmieszczenia współczynników w miejscach nie wpływa na wynik obliczeń.

Zasada ta opiera się na przemiennych i łącznych własnościach mnożenia, które potwierdzają poprawność identycznego przekształcenia.

Przykład 8

Praca 3 5 7 permutację czynników można przedstawić w jednej z następujących postaci: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 lub 3 7 5.

Przykład 9

Permutując czynniki w iloczynie x + 1 x 2 - x + 1 x da x 2 - x + 1 x x + 1

Rozszerzenie wspornika

Nawiasy mogą zawierać wpisy wyrażeń numerycznych i wyrażeń ze zmiennymi. Wyrażenia te można przekształcić w identycznie równe wyrażenia, w których nie będzie w ogóle nawiasów lub będzie ich mniej niż w wyrażeniach oryginalnych. Ten sposób konwersji wyrażeń nazywa się rozwinięciem nawiasów.

Przykład 10

Wykonajmy czynności z nawiasami w wyrażeniu formy 3 + x − 1 x aby otrzymać identycznie prawdziwe wyrażenie 3 + x − 1 x.

Wyrażenie 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x można przekonwertować na identycznie równe wyrażenie bez nawiasów 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Szczegółowo omówiliśmy zasady konwersji wyrażeń z nawiasami w temacie „Rozwijanie nawiasów”, który znajduje się w naszym zasobie.

Terminy grupujące, czynniki

W przypadkach, gdy mamy do czynienia z trzema lub więcej terminami, możemy uciec się do takiego typu identycznych przekształceń, jak grupowanie terminów. Przez tę metodę transformacji rozumie się połączenie kilku terminów w grupę poprzez ich przestawienie i umieszczenie w nawiasach.

Podczas grupowania terminy są wymieniane w taki sposób, że zgrupowane terminy znajdują się obok siebie w rekordzie wyrażenia. Następnie można je ująć w nawiasy.

Przykład 11

Weź wyrażenie 5 + 7 + 1 . Jeśli zgrupujemy pierwszy termin z trzecim, otrzymamy (5 + 1) + 7 .

Grupowanie czynników odbywa się podobnie jak grupowanie terminów.

Przykład 12

W pracy 2 3 4 5 można zgrupować pierwszy czynnik z trzecim, a drugi czynnik z czwartym, w tym przypadku dochodzimy do wyrażenia (2 4) (3 5). A gdybyśmy pogrupowali pierwszy, drugi i czwarty czynnik, otrzymalibyśmy wyrażenie (2 3 5) 4.

Zgrupowane terminy i czynniki mogą być reprezentowane zarówno przez liczby pierwsze, jak i przez wyrażenia. Zasady grupowania zostały szczegółowo omówione w temacie „Pojęcia i czynniki grupujące”.

Zastępowanie różnic sumami, produktami częściowymi i odwrotnie

Zastąpienie różnic sumami stało się możliwe dzięki naszej znajomości liczb przeciwnych. Teraz odejmowanie od liczby a liczby b może być postrzegany jako dodatek do liczby a liczby −b. Równość a − b = a + (− b) można uznać za sprawiedliwy i na jego podstawie dokonać zamiany różnic na kwoty.

Przykład 13

Weź wyrażenie 4 + 3 − 2 , w którym różnica liczb 3 − 2 możemy napisać jako sumę 3 + (− 2) . Dostwać 4 + 3 + (− 2) .

Przykład 14

Wszystkie różnice w wyrazie 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 można zastąpić sumami takimi jak 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Możemy przejść do sum z dowolnych różnic. Podobnie możemy dokonać odwrotnego podstawienia.

Zastąpienie dzielenia przez mnożenie przez odwrotność dzielnika jest możliwe dzięki koncepcji liczb odwrotności. Tę transformację można zapisać jako a: b = a (b − 1).

Ta reguła była podstawą reguły dzielenia zwykłych ułamków.

Przykład 15

Prywatny 1 2: 3 5 można zastąpić produktem w formie 1 2 5 3.

Podobnie, przez analogię, dzielenie można zastąpić mnożeniem.

Przykład 16

W przypadku wyrażenia 1+5:x:(x+3) zastąp dzielenie przez x można pomnożyć przez 1x. Podział według x + 3 możemy zastąpić mnożąc przez 1x + 3. Przekształcenie pozwala uzyskać wyrażenie identyczne z oryginalnym: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Zamiana mnożenia przez dzielenie odbywa się zgodnie ze schematem a b = a: (b − 1).

Przykład 17

W wyrażeniu 5 x x 2 + 1 - 3 mnożenie można zastąpić dzieleniem jako 5: x 2 + 1 x - 3.

Wykonywanie akcji z liczbami

Wykonywanie operacji na liczbach podlega zasadzie kolejności operacji. Po pierwsze, operacje wykonywane są na potęgach liczb i pierwiastkach liczb. Następnie zastępujemy ich wartościami logarytmy, funkcje trygonometryczne i inne. Następnie wykonywane są czynności w nawiasach. A potem możesz już wykonywać wszystkie inne czynności od lewej do prawej. Należy pamiętać, że mnożenie i dzielenie przeprowadza się przed dodawaniem i odejmowaniem.

Operacje na liczbach pozwalają przekształcić oryginalne wyrażenie w identyczne, równe mu.

Przykład 18

Przekształćmy wyrażenie 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x wykonując wszystkie możliwe operacje na liczbach.

Rozwiązanie

Najpierw spójrzmy na stopień 2 3 i pierwiastek 4 i obliczyć ich wartości: 2 3 = 8 i 4 = 2 2 = 2 .

Podstaw uzyskane wartości do oryginalnego wyrażenia i uzyskaj: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Teraz zróbmy nawiasy: 8 − 1 = 7 . Przejdźmy do wyrażenia 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Musimy tylko zrobić mnożenie 3 I 7 . Otrzymujemy: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Odpowiedź: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Operacje na liczbach mogą być poprzedzone innymi rodzajami przekształceń tożsamościowych, takimi jak grupowanie liczb lub rozwijanie nawiasów.

Przykład 19

Weź wyrażenie 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Rozwiązanie

Przede wszystkim zmienimy iloraz w nawiasach 6: 3 o jego znaczeniu 2 . Otrzymujemy: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Rozwińmy nawiasy: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Pogrupujmy czynniki liczbowe w produkcie, a także terminy będące liczbami: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Zróbmy nawiasy: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Odpowiedź:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Jeśli pracujemy z wyrażeniami liczbowymi, to celem naszej pracy będzie znalezienie wartości wyrażenia. Jeśli przekształcamy wyrażenia ze zmiennymi, celem naszych działań będzie uproszczenie wyrażenia.

Nawiasowanie wspólnego czynnika

W przypadkach, gdy terminy w wyrażeniu mają ten sam czynnik, możemy usunąć ten wspólny czynnik z nawiasów. Aby to zrobić, najpierw musimy przedstawić oryginalne wyrażenie jako iloczyn wspólnego czynnika i wyrażenie w nawiasach, które składa się z oryginalnych terminów bez wspólnego czynnika.

Przykład 20

Liczebnie 2 7 + 2 3 możemy usunąć wspólny czynnik 2 poza nawiasami i uzyskać identycznie poprawny wyraz formy 2 (7 + 3).

Możesz odświeżyć pamięć o zasadach umieszczania wspólnego czynnika poza nawiasami w odpowiedniej sekcji naszego zasobu. W materiale szczegółowo omówiono zasady wyciągania wspólnego czynnika z nawiasów oraz podano liczne przykłady.

Redukcja podobnych terminów

Przejdźmy teraz do sum, które zawierają podobne terminy. Możliwe są tutaj dwie opcje: sumy zawierające te same terminy oraz sumy, których terminy różnią się współczynnikiem liczbowym. Operacje na sumach zawierających terminy podobne nazywamy redukcją terminów podobnych. Odbywa się to w następujący sposób: wyjmujemy wspólną część literową z nawiasów i obliczamy sumę współczynników liczbowych w nawiasach.

Przykład 21

Rozważ wyrażenie 1 + 4 x − 2 x. Możemy wyciągnąć dosłowną część x z nawiasów i uzyskać wyrażenie 1 + x (4 − 2). Obliczmy wartość wyrażenia w nawiasach i otrzymajmy sumę postaci 1 + x · 2 .

Zastępowanie liczb i wyrażeń identycznie równymi wyrażeniami

Liczby i wyrażenia składające się na oryginalne wyrażenie można zastąpić wyrażeniami identycznymi z nimi. Taka transformacja pierwotnego wyrażenia prowadzi do wyrażenia identycznego z nim.

Przykład 22 Przykład 23

Rozważ wyrażenie 1 + a5, w którym możemy zastąpić stopień a 5 iloczynem identycznie mu równym, np. postaci 4. To da nam wyrażenie 1 + 4.

Przeprowadzona transformacja jest sztuczna. Ma to sens tylko w przygotowaniu do innych przekształceń.

Przykład 24

Rozważ przekształcenie sumy 4x3 + 2x2. Tutaj termin 4x3 możemy reprezentować jako produkt 2x2x2x. W rezultacie pierwotne wyrażenie przybiera formę 2x2 2x + 2x2. Teraz możemy wyizolować wspólny czynnik 2x2 i wyjmij go z nawiasów: 2x2 (2x+1).

Dodawanie i odejmowanie tej samej liczby

Dodawanie i odejmowanie tej samej liczby lub wyrażenia w tym samym czasie jest techniką sztucznej transformacji wyrażeń.

Przykład 25

Rozważ wyrażenie x 2 + 2 x. Możemy dodać lub odjąć od niego jeden, co pozwoli nam następnie przeprowadzić kolejną identyczną transformację - wybrać kwadrat dwumianu: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Niech dane będą dwa wyrażenia algebraiczne:

Zróbmy tabelę wartości każdego z tych wyrażeń dla różnych wartości liczbowych litery x.

Widzimy, że dla wszystkich tych wartości, które zostały podane literze x, wartości obu wyrażeń okazały się równe. To samo dotyczy każdej innej wartości x.

Aby to zweryfikować, przekształcamy pierwsze wyrażenie. W oparciu o prawo dystrybucyjne piszemy:

Po wykonaniu wskazanych operacji na liczbach otrzymujemy:

Tak więc pierwsze wyrażenie, po uproszczeniu, okazało się dokładnie takie samo jak drugie.

Teraz jest jasne, że dla dowolnej wartości x wartości obu wyrażeń są równe.

Wyrażenia, których wartości są równe dla dowolnych wartości zawartych w nich liter, nazywane są identycznie równymi lub identycznymi.

Dlatego są to wyrażenia identyczne.

Zróbmy jedną ważną uwagę. Weźmy wyrażenia:

Po skompilowaniu tabeli podobnej do poprzedniej upewnimy się, że oba wyrażenia, dla dowolnej wartości x, z wyjątkiem mają równe wartości liczbowe. Tylko wtedy, gdy drugie wyrażenie jest równe 6, a pierwsze traci znaczenie, ponieważ mianownik wynosi zero. (Przypomnij sobie, że nie można dzielić przez zero.) Czy możemy powiedzieć, że te wyrażenia są identyczne?

Uzgodniliśmy wcześniej, że każde wyrażenie będzie rozpatrywane tylko dla dopuszczalnych wartości liter, czyli dla tych wartości, dla których wyrażenie nie traci znaczenia. Oznacza to, że tutaj, porównując dwa wyrażenia, bierzemy pod uwagę tylko te wartości literowe, które są ważne dla obu wyrażeń. Dlatego musimy wykluczyć wartość. A ponieważ dla wszystkich pozostałych wartości x oba wyrażenia mają tę samą wartość liczbową, mamy prawo uznać je za identyczne.

Na podstawie tego, co zostało powiedziane, podajemy następującą definicję identycznych wyrażeń:

1. Wyrażenia nazywane są identycznymi, jeśli mają te same wartości liczbowe dla wszystkich dopuszczalnych wartości zawartych w nich liter.

Jeśli połączymy dwa identyczne wyrażenia znakiem równości, otrzymamy tożsamość. Oznacza:

2. Tożsamość to równość, która jest prawdziwa dla wszystkich dopuszczalnych wartości zawartych w niej liter.

Zetknęliśmy się już wcześniej z tożsamościami. Na przykład wszystkie równości są tożsamościami, za pomocą których wyrażamy podstawowe prawa dodawania i mnożenia.

Na przykład równości wyrażające przemienne prawo dodawania

i asocjacyjne prawo mnożenia

obowiązują dla dowolnych wartości liter. Stąd te równości są tożsamościami.

Wszystkie prawdziwe równości arytmetyczne są również uważane za tożsamości, na przykład:

W algebrze często trzeba zastąpić wyrażenie innym, które jest do niego identyczne. Niech na przykład wymagane jest znalezienie wartości wyrażenia

Znacznie ułatwimy obliczenia, jeśli zastąpimy dane wyrażenie wyrażeniem, które jest z nim identyczne. Na podstawie prawa dystrybucyjnego możemy napisać:

Ale liczby w nawiasach sumują się do 100. Mamy więc tożsamość:

Zastępując 6,53 zamiast a po prawej stronie, od razu (w umyśle) znajdujemy wartość liczbową (653) tego wyrażenia.

Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznym z nim, nazywa się identyczną transformacją tego wyrażenia.

Przypomnijmy, że każde wyrażenie algebraiczne dla dowolnych dopuszczalnych wartości liter to niektóre

numer. Wynika z tego, że wszystkie prawa i własności działań arytmetycznych, które zostały podane w poprzednim rozdziale, mają zastosowanie do wyrażeń algebraicznych. Zatem zastosowanie praw i własności operacji arytmetycznych przekształca dane wyrażenie algebraiczne w wyrażenie, które jest z nim identyczne.

Wraz z badaniem działań i ich własności w algebrze badają takie pojęcia, jak: wyrażenie, równanie, nierówność . Wstępna znajomość z nimi następuje na początkowym kursie matematyki. Wprowadzane są one z reguły bez ścisłych definicji, najczęściej ostensywnie, co wymaga od nauczyciela nie tylko bardzo ostrożnego posługiwania się terminami oznaczającymi te pojęcia, ale także znajomości szeregu ich właściwości. Dlatego głównym zadaniem, jakie stawiamy przystępując do studiowania materiału tego paragrafu, jest wyjaśnienie i pogłębienie wiedzy na temat wyrażeń (liczbowych i ze zmiennymi), równości liczbowych i nierówności liczbowych, równań i nierówności.

Badanie tych pojęć wiąże się z użyciem języka matematycznego, odnosi się do języków sztucznych, które są tworzone i rozwijane wraz z konkretną nauką. Jak każdy inny język matematyczny, ma swój własny alfabet. W naszym kursie zostanie to przedstawione częściowo, ze względu na potrzebę zwrócenia większej uwagi na związek między algebrą a arytmetyką. Ten alfabet obejmuje:

1) numery 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; z ich pomocą liczby są pisane według specjalnych zasad;

2) oznaki operacji +, -, , :;

3) znaki związku<, >, =, M;

4) małe litery alfabetu łacińskiego, służą do oznaczania liczb;

5) nawiasy (okrągłe, kręcone itp.), nazywane są znakami technicznymi.

Używając tego alfabetu, w algebrze tworzy się słowa, nazywając je wyrażeniami, a ze słów otrzymuje się zdania - równości liczbowe, nierówności liczbowe, równania, nierówności ze zmiennymi.

Jak wiecie rekordy 3 + 7, 24: 8, 3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2-17 nazywa się wyrażenia liczbowe. Tworzą je cyfry, znaki akcji, nawiasy. Jeśli wykonamy wszystkie czynności wskazane w wyrażeniu, otrzymamy liczbę o nazwie wartość wyrażenia liczbowego . Zatem wartość wyrażenia liczbowego wynosi 3 × 2 - 4 równa się 2.

Istnieją wyrażenia numeryczne, których wartości nie można znaleźć. Mówi się, że takie wyrażenia są nie ma sensu .

Na przykład, wyrażenie 8: (4 - 4) nie ma sensu, ponieważ nie można znaleźć jego wartości: 4 - 4 = 0, a dzielenie przez zero jest niemożliwe. Wyrażenie 7-9 również nie ma sensu, jeśli rozpatrujemy je na zbiorze liczb naturalnych, ponieważ wartości wyrażenia 7-9 nie można znaleźć na tym zbiorze.

Rozważ notację 2a + 3. Składa się z cyfr, znaków akcji i litery a. Jeżeli zamiast a podstawimy liczby, to otrzymamy różne wyrażenia liczbowe:

jeśli a = 7, to 2 × 7 + 3;

jeśli a = 0, to 2 × 0 + 3;

jeśli a = - 4, to 2 × (- 4) + 3.

W zapisie 2a + 3 taka litera a nazywa się zmienny , a sam wpis 2a + 3 - wyrażenie zmienne.

Zmienna w matematyce z reguły jest oznaczona dowolną małą literą alfabetu łacińskiego. W Szkoła Podstawowa do oznaczenia zmiennej oprócz liter stosuje się inne znaki, np. œ. Wówczas wyrażenie ze zmienną ma postać: 2ל + 3.

Każde wyrażenie ze zmienną odpowiada zestawowi liczb, zastępując, co daje sensowne wyrażenie liczbowe. Ten zestaw nazywa się zakres wyrażenia .

Na przykład, dziedzina wyrażenia 5: (x - 7) składa się ze wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby 7, gdyż dla x = 7 wyrażenie 5: (7 - 7) nie ma znaczenia.

W matematyce uważa się, że wyrażenia zawierają jedną, dwie lub więcej zmiennych.

Na przykład, 2a + 3 to wyrażenie z jedną zmienną, a (3x + 8y) × 2 to wyrażenie z trzema zmiennymi. Aby uzyskać wyrażenie liczbowe z wyrażenia z trzema zmiennymi, zamiast każdej zmiennej podstawić liczby należące do zakresu wyrażenia.

Tak więc dowiedzieliśmy się, jak z alfabetu języka matematycznego powstają wyrażenia numeryczne i wyrażenia ze zmiennymi. Jeśli narysujemy analogię z językiem rosyjskim, to wyrażenia są słowami języka matematycznego.

Ale za pomocą alfabetu języka matematycznego można tworzyć na przykład zapisy: (3 + 2)) - × 12 lub 3x - y: +) 8, którego nie można nazwać ani wyrażeniem liczbowym, ani wyrażeniem ze zmienną. Przykłady te wskazują, że opis - z jakich znaków alfabetu wyrażeń języka matematycznego są tworzone, liczbowych i ze zmiennymi, nie jest definicją tych pojęć. Podajmy definicję wyrażenia liczbowego (podobnie definiuje się wyrażenie ze zmiennymi).

Definicja.Jeśli f i q są wyrażeniami liczbowymi, to (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) są wyrażeniami liczbowymi. Każda liczba jest uważana za wyrażenie liczbowe.

Gdyby dokładnie przestrzegać tej definicji, to należałoby wpisać zbyt wiele nawiasów, np. (7) + (5) lub (6): (2). Aby skrócić notację, postanowiliśmy nie pisać nawiasów, jeśli dodamy lub odejmiemy kilka wyrażeń, a operacje te wykonujemy od lewej do prawej. W ten sam sposób nawiasy nie są zapisywane, gdy kilka liczb jest mnożonych lub dzielonych, a operacje te są wykonywane w kolejności od lewej do prawej.

Na przykład, piszą tak: 37 - 12 + 62 - 17 + 13 lub 120:15-7:12.

Dodatkowo uzgodniliśmy, że najpierw wykonamy czynności drugiego etapu (mnożenie i dzielenie), a następnie czynności pierwszego etapu (dodawanie i odejmowanie). Dlatego wyrażenie (12-4:3) + (5-8:2-7) zapisujemy w następujący sposób: 12 - 4: 3 + 5 - 8: 2 - 7.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia 3x (x - 2) + 4(x - 2) dla x = 6.

Rozwiązanie

1 sposób. Podstaw liczbę 6 zamiast zmiennej w tym wyrażeniu: 3 × 6-(6 - 2) + 4 × (6 - 2). Aby znaleźć wartość wynikowego wyrażenia liczbowego, wykonujemy wszystkie wskazane czynności: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. Dlatego , gdy x= 6 wartość wyrażenia 3x(x-2) + 4(x-2) wynosi 88.

2 sposób. Zanim zastąpimy liczbę 6 w tym wyrażeniu, uprośćmy to: Zx (x - 2) + 4 (x - 2) = (X - 2)(3x + 4). A następnie, podstawiając w wynikowym wyrażeniu zamiast x numer 6, wykonaj następujące czynności: (6 - 2) × (3 × 6 + 4) = 4x (18 + 4) = 4x22 = 88.

Zwróćmy uwagę na to, że zarówno w pierwszej metodzie rozwiązania problemu, jak iw drugiej zastąpiliśmy jedno wyrażenie innym.

Na przykład, wyrażenie 18 × 4 + 4 × 4 zostało zastąpione wyrażeniem 72 + 16, a wyrażenie 3x (x - 2) + 4(x - 2) - wyrażeniem (X - 2)(3x + 4), a te zmiany prowadzą do tego samego wyniku. W matematyce, opisując rozwiązanie tego problemu, mówią, że wykonaliśmy identyczne przekształcenia wyrażenia.

Definicja.Mówi się, że dwa wyrażenia są identycznie równe, jeśli dla dowolnych wartości zmiennych z dziedziny wyrażeń odpowiadające im wartości są równe.

Przykładami identycznie równych wyrażeń są wyrażenia 5(x + 2) i 5x+ 10, bo dla dowolnych wartości rzeczywistych x ich wartości są równe.

Jeśli dwa wyrażenia identycznie równe w pewnym zbiorze połączymy znakiem równości, to otrzymamy zdanie o nazwie tożsamość na tym zestawie.

Na przykład, 5(x + 2) = 5x + 10 jest identycznością na zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ dla wszystkich liczb rzeczywistych wartości wyrażenia 5(x + 2) i 5x + 10 są takie same. Używając ogólnej notacji kwantyfikatora, tożsamość tę można zapisać w następujący sposób: (" x н R) 5(x + 2) = 5x + 10. Prawdziwe równości liczbowe są również uważane za tożsamości.

Zastąpienie wyrażenia innym identycznie mu równym w pewnym zbiorze nazywa się identyczne przekształcenie danego wyrażenia na tym zbiorze.

Zatem zastępując wyrażenie 5(x + 2) wyrażeniem 5x + 10, które jest mu identyczne, wykonaliśmy identyczną transformację pierwszego wyrażenia. Ale jak, mając dwa wyrażenia, dowiedzieć się, czy są one identycznie równe, czy nie? Znajdź odpowiednie wartości wyrażeń, zastępując zmienne określone liczby? Długo i nie zawsze możliwe. Ale jakie są zasady, których należy przestrzegać podczas wykonywania identycznych przekształceń wyrażeń? Istnieje wiele takich reguł, wśród nich są właściwości operacji algebraicznych.

Zadanie. Rozkład wyrażenia ax - bx + ab - b 2 na czynniki .

Rozwiązanie. Pogrupujmy elementy tego wyrażenia na dwie części (pierwszy z drugim, trzeci z czwartym): ax - bx + ab - b 2 \u003d (ax-bx) + (ab-b 2). Ta transformacja jest możliwa w oparciu o własność asocjatywności dodawania liczb rzeczywistych.

Z każdego nawiasu wyjmujemy wspólny czynnik: (ax - bx) + (ab - b 2) \u003d x (a - b) + b (a - b) - ta transformacja jest możliwa na podstawie rozdzielności własność mnożenia względem odejmowania liczb rzeczywistych.

W wynikowym wyrażeniu terminy mają wspólny czynnik, wyjmujemy go z nawiasów: x (a - b) + b (a - b) \u003d (a - b) (x - b). Podstawą dokonywanego przekształcenia jest rozdzielcza własność mnożenia względem dodawania.

Tak więc ax - bx + ab - b 2 \u003d (a - b) (x - b).

W początkowym toku matematyki z reguły wykonuje się tylko identyczne przekształcenia wyrażeń liczbowych. Podstawy teoretyczne Takie przekształcenia to właściwości dodawania i mnożenia, różne zasady: dodawanie sumy do liczby, liczby do sumy, odejmowanie liczby od sumy itp.

Na przykład, aby znaleźć iloczyn 35 × 4, musisz wykonać przekształcenia: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. Wykonywane przekształcenia opierają się na: rozdzielczej własności mnożenia względem dodawania; zasada pisania liczb w systemie liczb dziesiętnych (35 = 30 + 5); zasady mnożenia i dodawania liczb naturalnych.

Liczby i wyrażenia składające się na oryginalne wyrażenie można zastąpić wyrażeniami identycznymi z nimi. Taka transformacja pierwotnego wyrażenia prowadzi do wyrażenia identycznego z nim.

Na przykład w wyrażeniu 3+x liczbę 3 można zastąpić sumą 1+2 , co daje w wyniku wyrażenie (1+2)+x , które jest identyczne z wyrażeniem oryginalnym. Inny przykład: w wyrażeniu 1+a 5 stopień a 5 można zastąpić iloczynem identycznie mu równym, na przykład postaci a·a 4 . To da nam wyrażenie 1+a·a 4 .

Ta przemiana jest niewątpliwie sztuczna i zwykle jest przygotowaniem do jakiejś dalszej przemiany. Na przykład w sumie 4·x 3 +2·x 2 , biorąc pod uwagę właściwości stopnia, wyraz 4·x 3 można przedstawić jako iloczyn 2·x 2 ·2·x . Po takiej transformacji oryginalne wyrażenie przyjmie postać 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Oczywiście wyrazy w otrzymanej sumie mają wspólny dzielnik 2 x 2, więc możemy wykonać następującą transformację - nawiasy. Po tym dojdziemy do wyrażenia: 2 x 2 (2 x+1) .

Dodawanie i odejmowanie tej samej liczby

Inny sztuczna transformacja wyrażenie to dodawanie i jednoczesne odejmowanie tej samej liczby lub wyrażenia. Taka transformacja jest identyczna, ponieważ w rzeczywistości jest równoznaczna z dodaniem zera, a dodanie zera nie zmienia wartości.

Rozważ przykład. Weźmy wyrażenie x 2 +2 x . Jeśli dodasz do niego jeden i odejmiesz jeden, to pozwoli ci to w przyszłości wykonać kolejną identyczną transformację - wybierz kwadrat dwumianu: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliografia.

• Algebra: podręcznik na 7 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 17. ed. - M. : Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich AG Algebra. 7 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów placówek oświatowych / A.G. Mordkovich. - 17. ed., dodaj. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ch. ISBN 978-5-346-02432-3.