Metoda de coordonare a distanței de la linie la linie. Distanța de la punct la linie în spațiu - teorie, exemple, soluții. Coordonate de proiecție punctuală și distanță

Formula pentru calcularea distanței de la un punct la o dreaptă pe un plan

Dacă este dată ecuația liniei drepte Ax + By + C \u003d 0, atunci distanța de la punctul M (M x, M y) la linia dreaptă poate fi găsită folosind următoarea formulă

Exemple de sarcini pentru calcularea distanței de la un punct la o linie pe un plan

Exemplul 1.

Găsiți distanța dintre linia 3x + 4y - 6 \u003d 0 și punctul M (-1, 3).

Decizie. Înlocuiți în formulă coeficienții liniei și coordonatele punctului

Răspuns: distanța de la un punct la o linie dreaptă este de 0,6.

ecuația unui plan care trece prin puncte perpendiculare pe un vector Ecuația generală a unui plan

Se numește un vector diferit de zero perpendicular pe un plan dat vector normal (sau, pe scurt, normal ) pentru acest avion.

Să se acorde spațiul de coordonate (într-un sistem de coordonate dreptunghiular):

un punct ;

b) vector diferit de zero (Figura 4.8, a).

Este necesară întocmirea unei ecuații a unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector Sfârșitul dovezii.

Să luăm acum în considerare diferite tipuri de ecuații ale unei drepte pe un plan.

1) Ecuația generală a planuluiP .

Rezultă din derivarea ecuației care simultan A, B și C nu este egal cu 0 (explicați de ce).

Punctul aparține avionului P numai dacă coordonatele sale satisfac ecuația plană. În funcție de cote A, B, C și Davion P ocupă o poziție sau alta:

- planul trece prin originea sistemului de coordonate; - planul nu trece prin originea sistemului de coordonate;

- planul este paralel cu axa X,

X,

- planul este paralel cu axa Da,

- planul nu este paralel cu axa Da,

- planul este paralel cu axa Z,

- planul nu este paralel cu axa Z.

Dovediți singur aceste afirmații.

Ecuația (6) este ușor derivată din ecuația (5). Într-adevăr, lăsați punctul să se afle în avion P... Atunci coordonatele sale satisfac ecuația Scăderea ecuației (7) din ecuația (5) și gruparea termenilor, obținem ecuația (6). Luați în considerare acum doi vectori cu coordonate, respectiv. Din formula (6) rezultă că produsul lor scalar este egal cu zero. Prin urmare, vectorul este perpendicular pe vector. Începutul și sfârșitul ultimului vector sunt respectiv în punctele care aparțin planului P... Prin urmare, vectorul este perpendicular pe plan P... Distanța de la punct la plan P, a cărui ecuație generală este determinată de formulă Dovada acestei formule este complet analogă cu dovada formulei pentru distanța dintre un punct și o linie (vezi Fig. 2).
Figura: 2. La derivarea formulei pentru distanța dintre un plan și o dreaptă.

Într-adevăr, distanța d între o linie dreaptă și un plan este

unde este un punct întins pe un avion. Prin urmare, la fel ca în prelegerea nr. 11, se obține formula de mai sus. Două planuri sunt paralele dacă vectorii lor normali sunt paraleli. Din aceasta obținem condiția paralelismului a două planuri Sunt coeficienții ecuațiilor generale ale planurilor. Două planuri sunt perpendiculare dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari, deci obținem condiția perpendicularității a două planuri dacă sunt cunoscute ecuațiile lor generale

Unghi f între două planuri este egal cu unghiul dintre vectorii lor normali (vezi Fig. 3) și, prin urmare, poate fi calculat prin formulă
Determinarea unghiului dintre planuri.

(11)

Distanța de la punct la plan și modalități de a-l găsi

Distanța de la punct la avion - lungimea perpendicularei scăzută dintr-un punct pe acest plan. Există cel puțin două moduri de a găsi distanța de la un punct la un avion: geometric și algebric.

Cu metoda geometrică mai întâi trebuie să înțelegeți cum este situată perpendiculara de la punct la plan: poate se află într-un plan convenabil, este înălțimea într-un triunghi convenabil (sau nu foarte) sau poate această perpendiculară este în general înălțimea unei piramide.

După această primă și cea mai dificilă etapă, sarcina se împarte în mai multe sarcini planimetrice specifice (poate în diferite planuri).

În mod algebric pentru a găsi distanța de la un punct la un plan, trebuie să introduceți un sistem de coordonate, să găsiți coordonatele punctului și ecuația planului, apoi să aplicați formula pentru distanța de la un punct la un plan.

Luați în considerare aplicarea metodelor analizate pentru a găsi distanța de la un punct dat la o dreaptă dată pe un plan atunci când rezolvați un exemplu.

Găsiți distanța de la un punct la o linie dreaptă:

În primul rând, să rezolvăm problema în primul rând.

În starea problemei, ni se oferă o ecuație generală a liniei drepte a formei:

Să găsim ecuația generală a dreptei b, care trece printr-un punct dat perpendicular pe dreapta:

Deoarece linia b este perpendiculară pe linia a, vectorul de direcție al liniei b este vectorul normal al unei linii date:

adică vectorul de direcție al liniei b are coordonate. Acum putem scrie ecuația canonică a dreptei b pe plan, deoarece știm coordonatele punctului M 1 prin care trece dreapta b și coordonatele vectorului de direcție al dreptei b:

Din ecuația canonică obținută a dreptei b, trecem la ecuația generală a dreptei:

Acum vom găsi coordonatele punctului de intersecție a dreților a și b (să o notăm cu H 1) prin rezolvarea sistemului de ecuații compus din ecuațiile generale ale dreptelor a și b (dacă este necesar, consultați sistemele de rezolvare a articolelor ecuatii lineare):

Astfel, punctul H 1 are coordonate.

Rămâne să calculăm distanța necesară de la punctul M 1 la linia a ca distanță între puncte și:

A doua modalitate de a rezolva problema.

Obținem ecuația normală a liniei date. Pentru a face acest lucru, calculăm valoarea factorului de normalizare și înmulțim cu acesta ambele părți ale ecuației generale inițiale a liniei drepte:

(am vorbit despre acest lucru în secțiunea privind reducerea ecuației generale a unei linii drepte la formă normală).

Factorul normalizator este

atunci ecuația normală a liniei drepte are forma:

Acum luăm expresia din partea stângă a ecuației normale rezultate a liniei drepte și îi calculăm valoarea la:

Distanța necesară de la un punct dat la o linie dreaptă dată:

in aceeasi masura valoare absolută valoarea obținută, adică cinci ().

distanța de la punct la linie:

Evident, avantajul metodei de a găsi distanța de la un punct la o linie dreaptă pe un plan, bazat pe utilizarea ecuației normale a unei linii drepte, este o cantitate relativ mică de muncă de calcul. La rândul său, prima modalitate de a găsi distanța de la un punct la o linie dreaptă este intuitivă și este consecventă și logică.

Un sistem de coordonate dreptunghiulare Oxy este fixat pe plan, se specifică un punct și o linie dreaptă:

Găsiți distanța de la un punct dat la o dreaptă dată.

Prima cale.

Puteți trece de la o ecuație dată a unei linii drepte cu o pantă la ecuația generală a acestei linii drepte și puteți continua în același mod ca în exemplul discutat mai sus.

Dar poți face altfel.

Știm că produsul pantelor liniilor perpendiculare este 1 (vezi articolul liniile perpendiculare, liniile perpendiculare). Prin urmare, panta unei drepte care este perpendiculară pe o dreaptă dată:

este egal cu 2. Atunci ecuația unei linii perpendiculare pe o linie dată și care trece printr-un punct are forma:

Acum să găsim coordonatele punctului H 1 - punctele de intersecție ale liniilor:

Astfel, distanța necesară de la un punct la o linie dreaptă:

este egală cu distanța dintre puncte și:

A doua cale.

Trecem de la ecuația dată a unei linii drepte cu o pantă la ecuația normală a acestei linii drepte:

factorul normalizator este:

prin urmare, ecuația normală a unei linii date are forma:

Acum calculăm distanța necesară de la un punct la o linie:

Calculați distanța de la un punct la o dreaptă:

și la linia dreaptă:

Obținem ecuația normală a liniei:

Acum să calculăm distanța de la un punct la o linie:

Factor de normalizare pentru o ecuație de linie dreaptă:

este egal cu 1. Atunci ecuația normală a acestei linii are forma:

Acum putem calcula distanța de la un punct la o linie:

este egal.

Răspuns: și 5.

În concluzie, luăm în considerare separat modul în care se găsește distanța de la un punct dat al planului la liniile de coordonate Ox și Oy.

În sistemul de coordonate dreptunghiulare Oxy, linia de coordonate Oy este dată de ecuația generală incompletă a liniei x \u003d 0, iar linia de coordonate Ox este dată de ecuația y \u003d 0. Aceste ecuații sunt ecuații normale liniile Oy și Ox, prin urmare, distanța de la un punct la aceste linii este calculată prin formulele:

respectiv.

Figura 5

Sistemul de coordonate dreptunghiulare Oxy este introdus în plan. Găsiți distanțele de la punct la liniile de coordonate.

Distanța de la un punct dat М 1 la linia de coordonate Ox (este dată de ecuația y \u003d 0) este egală cu modulul ordonatei punctului М 1, adică.

Distanța de la un punct dat M 1 la linia de coordonate Oy (corespunde ecuației x \u003d 0) este egală cu valoarea absolută a abscisei punctului M 1 :.

Răspuns: distanța de la punctul М 1 la linia Ox este 6, iar distanța de la un punct dat la linia de coordonată Oy este egală cu.

Să fie fixat un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu tridimensional Oxyz, punct dat, drept a și este necesar să se găsească distanța față de punct ȘI la drept a.

Vom arăta două moduri de a calcula distanța de la un punct la o linie dreaptă în spațiu. În primul caz, găsirea distanței de la punct M 1 la drept a se reduce la găsirea distanței de la un punct M 1 până la punctul H 1 Unde H 1 - baza perpendicularului a scăzut din punct M 1 pe o linie dreaptă a... În al doilea caz, distanța de la punct la plan va fi găsită ca înălțimea paralelogramului.

Deci sa începem.

Prima modalitate de a găsi distanța de la punctul la linia a în spațiu.

Deoarece prin definiție distanța de la punct M 1 la drept a Este lungimea perpendicularei M 1 H 1 , apoi, după ce am determinat coordonatele punctului H 1 , vom putea calcula distanța necesară ca distanță între puncte și conform formulei.

Astfel, problema se reduce la găsirea coordonatelor bazei perpendicularei construite din punct M 1 la drept a... Acest lucru este destul de ușor: punct H 1 Este punctul de intersecție al liniei drepte a cu un avion care trece prin punct M 1 perpendicular pe linia dreaptă a.

Prin urmare, algoritm pentru determinarea distanței de la un punct la drepta in spatiueste acesta:

A doua metodă vă permite să găsiți distanța de la un punct la o dreaptă a în spațiu.

Deoarece în enunțul problemei ni se dă o linie dreaptă a, atunci putem defini vectorul său de direcție și coordonatele unui anumit punct M 3 întins pe o linie dreaptă a... Apoi coordonatele punctelor și putem calcula coordonatele unui vector: (dacă este necesar, consultați coordonatele articolului unui vector prin coordonatele punctelor sale de început și de sfârșit).

Lasă deoparte vectorii și din punct M 3 și construiește un paralelogram pe ele. În acest paralelogram desenăm înălțimea M 1 H 1 .

Evident înălțimea M 1 H 1 paralelogramului construit este egal cu distanța necesară față de punct M 1 la drept a... O vom găsi.

Pe de o parte, aria paralelogramului (o denotăm S) pot fi găsite în termenii produsului vectorial al vectorilor și prin formula ... Pe de altă parte, aria unui paralelogram este egală cu produsul lungimii laturii sale de înălțime, adică Unde - lungimea vectorului egală cu lungimea laturii paralelogramului luat în considerare. Prin urmare, distanța de la un punct dat M 1 la o linie dreaptă dată a pot fi găsite din egalitate la fel de .

Asa de, pentru a găsi distanța de la un punct la drepta în spațiu aveți nevoie

Rezolvarea problemelor pentru a găsi distanța de la un punct dat la o dreaptă dată în spațiu.

Să luăm în considerare soluția unui exemplu.

Exemplu.

Găsiți distanța față de punct la drept .

Decizie.

Prima cale.

Să scriem ecuația planului care trece prin punct M 1 perpendicular pe o dreaptă dată:

Găsiți coordonatele punctului H 1 - punctele de intersecție ale planului și o dreaptă dată. Pentru a face acest lucru, efectuăm tranziția de la ecuații canonice linie dreaptă la ecuațiile a două plane care se intersectează

după care rezolvăm sistemul de ecuații liniare metoda lui Cramer:

Prin urmare, .

Rămâne să calculați distanța necesară de la un punct la o linie dreaptă ca distanță între puncte și:.

A doua cale.

Numerele din numitorii fracțiilor din ecuațiile canonice ale unei drepte reprezintă coordonatele corespunzătoare ale vectorului de direcție al acestei drepte, adică - vectorul director al unei linii drepte ... Să-i calculăm lungimea: .

Evident, linia dreaptă trece prin punct , apoi vectorul începând de la punctul și se termină la punct există ... Găsiți produsul vectorial al vectorilor și :
atunci lungimea acestui produs încrucișat este .

Acum avem toate datele pentru a utiliza formula pentru a calcula distanța de la un punct dat la un plan dat: .

Răspuns:

Aranjarea reciprocă a liniilor drepte în spațiu

Oh-oh-oh-oh-oh ... și staniu, dacă citești singură propoziția \u003d) Dar relaxarea va ajuta, mai ales astăzi cumpărate accesorii potrivite. Prin urmare, vom trece la prima secțiune, sper, până la sfârșitul articolului, voi rămâne vesel.

Poziția relativă a două linii drepte

Cazul când publicul cântă împreună cu refrenul. Două linii drepte pot:

1) meci;

2) fii paralel :;

3) sau se intersectează într-un singur punct :.

Ajutor pentru manechini : vă rugăm să vă amintiți semnul matematic al intersecției, va fi foarte comun. Notarea indică faptul că o linie dreaptă intersectează o linie dreaptă într-un punct.

Cum se determină poziția relativă a două linii drepte?

Să începem cu primul caz:

Două linii drepte coincid dacă și numai dacă coeficienții lor corespunzători sunt proporționali, adică există un astfel de număr „lambda” încât egalitățile

Luați în considerare liniile drepte și compuneți trei ecuații din coeficienții corespunzători :. Din fiecare ecuație rezultă că, prin urmare, aceste linii coincid.

Într-adevăr, dacă toți coeficienții ecuației înmulțiți cu –1 (semnele de schimbare) și reduceți toți coeficienții ecuației cu 2, obțineți aceeași ecuație:.

Al doilea caz, când liniile sunt paralele:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor pentru variabile sunt proporționale: dar.

De exemplu, luați în considerare două linii. Verificăm proporționalitatea coeficienților corespunzători pentru variabile:

Cu toate acestea, este destul de clar că.

Și al treilea caz, când liniile se intersectează:

Două linii drepte se intersectează dacă și numai dacă coeficienții lor pentru variabile NU sunt proporționale, adică NU există o astfel de valoare lambda încât egalitățile sunt satisfăcute

Deci, pentru linii drepte vom compune sistemul:

Din prima ecuație rezultă că, și din a doua ecuație :, prin urmare, sistemul este inconsistent (fără soluții). Astfel, coeficienții variabilelor nu sunt proporționale.

Concluzie: liniile se intersectează

În problemele practice, puteți utiliza schema de soluții tocmai luată în considerare. Apropo, este foarte similar cu algoritmul de verificare a vectorilor pentru colinearitate, pe care l-am luat în considerare în lecție Conceptul de dependență liniară (non) a vectorilor. Baza vectorială... Dar există un ambalaj mai civilizat:

Exemplul 1

Aflați poziția relativă a liniilor drepte:

Decizie pe baza studiului vectorilor de direcție a liniilor drepte:

a) Din ecuații găsim vectorii de direcție ai liniilor drepte: .

, deci vectorii nu sunt coliniari și liniile se intersectează.

Pentru orice eventualitate, voi pune o piatră cu indicii la răscruce:

Restul sar peste piatră și continuă, direct la Kashchei Nemuritorul \u003d)

b) Găsiți vectorii de direcție ai liniilor drepte:

Liniile au același vector de direcție, ceea ce înseamnă că sunt fie paralele, fie coincidente. Nu este necesar să se numere determinantul aici.

Este evident că coeficienții pentru necunoscute sunt proporționale, în timp ce.

Să aflăm dacă egalitatea este adevărată:

Prin urmare,

c) Găsiți vectorii de direcție ai liniilor drepte:

Să calculăm determinantul compus din coordonatele acestor vectori:
deci vectorii de direcție sunt coliniari. Liniile sunt fie paralele, fie coincidente.

Coeficientul de proporționalitate „lambda” este ușor de văzut direct din raportul vectorilor de direcție coliniară. Cu toate acestea, poate fi găsit și prin coeficienții ecuațiilor în sine: .

Acum, să aflăm dacă egalitatea este adevărată. Ambii termeni gratuiți sunt zero, deci:

Valoarea rezultată satisface această ecuație (orice număr o satisface în general).

Astfel, liniile coincid.

Răspuns:

Foarte curând veți învăța (sau chiar ați învățat deja) să rezolvați problema examinată oral în doar câteva secunde. În acest sens, nu văd niciun motiv pentru a propune ceva pentru o soluție independentă, este mai bine să așezați o altă cărămidă importantă în fundația geometrică:

Cum se construiește o linie dreaptă paralelă cu una dată?

Pentru necunoașterea acestei sarcini simple, Nightingale the Robber pedepsește aspru.

Exemplul 2

Linia dreaptă este dată de ecuație. Egalează o linie paralelă care trece printr-un punct.

Decizie: Să denotăm litera directă necunoscută. Ce spune starea despre ea? Linia dreaptă trece prin punct. Și dacă liniile drepte sunt paralele, atunci este evident că vectorul de direcție al liniei drepte "tse" este potrivit și pentru construirea liniei drepte "de".

Scoatem vectorul de direcție din ecuație:

Răspuns:

Geometria exemplului arată simplă:

Verificarea analitică constă din următorii pași:

1) Verificăm dacă liniile au același vector de direcție (dacă ecuația liniei nu este simplificată corect, atunci vectorii vor fi coliniari).

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația obținută.

Revizuirea analitică este, în majoritatea cazurilor, ușor de realizat oral. Uită-te la cele două ecuații și mulți dintre voi vor descoperi rapid paralelismul liniilor drepte fără nici un desen.

Exemple pentru auto-soluție astăzi vor fi creative. Pentru că tot trebuie să concurezi cu Baba Yaga, iar ea, știi, este o iubitoare de tot felul de ghicitori.

Exemplul 3

Faceți o ecuație a unei drepte care trece printr-un punct paralel cu o dreaptă dacă

Există o soluție rațională și nu foarte rațională. Cea mai scurtă cale este la sfârșitul lecției.

Am lucrat puțin cu linii paralele și vom reveni la ele mai târziu. Cazul liniilor drepte coincidente este de puțin interes, așadar luați în considerare o problemă care vă este bine cunoscută curiculumul scolar:

Cum se găsește punctul de intersecție a două linii?

Dacă este drept intersectează într-un punct, atunci coordonatele sale sunt soluția sisteme de ecuații liniare

Cum se găsește punctul de intersecție a liniilor? Rezolvați sistemul.

Atât de mult pentru tine semnificație geometrică a unui sistem de două ecuații liniare în două necunoscute Sunt două linii drepte care se intersectează (cel mai adesea) pe un plan.

Exemplul 4

Găsiți punctul de intersecție a liniilor

Decizie: Există două moduri de rezolvare - grafică și analitică.

Modul grafic este să trasați pur și simplu liniile de date și să aflați punctul de intersecție direct din desen:

Iată ideea noastră :. Pentru ao verifica, ar trebui să-i înlocuiți coordonatele în fiecare ecuație a unei linii drepte, acestea ar trebui să se potrivească atât acolo, cât și acolo. Cu alte cuvinte, coordonatele unui punct sunt soluția sistemului. Practic, am analizat o modalitate grafică de a rezolva sisteme de ecuații liniare cu două ecuații, două necunoscute.

Metoda grafică, desigur, nu este rea, dar există dezavantaje vizibile. Nu, ideea nu este aceea că elevii de clasa a șaptea decid astfel, punctul este că va fi nevoie de timp pentru a obține un desen corect și EXACT. În plus, unele linii drepte nu sunt atât de ușor de construit, iar punctul de intersecție în sine poate fi situat undeva în regatul treizeci în afara foii caietului.

Prin urmare, este mai oportun să căutați punctul de intersecție folosind metoda analitică. Să rezolvăm sistemul:

Pentru a rezolva sistemul, s-a folosit metoda adăugării ecuațiilor de la un termen la altul. Vizitați lecția pentru a dezvolta abilități relevante. Cum se rezolvă un sistem de ecuații?

Răspuns:

Verificarea este banală - coordonatele punctului de intersecție trebuie să satisfacă fiecare ecuație din sistem.

Exemplul 5

Găsiți punctul de intersecție al liniilor dacă acestea se intersectează.

Acesta este un exemplu pentru o soluție de bricolaj. Este convenabil să împărțiți sarcina în mai multe etape. Analiza stării sugerează ce este necesar:
1) Faceți ecuația liniei drepte.
2) Faceți ecuația liniei drepte.
3) Aflați poziția relativă a liniilor drepte.
4) Dacă liniile se intersectează, atunci găsiți punctul de intersecție.

Dezvoltarea unui algoritm de acțiuni este tipic pentru multe probleme geometrice și mă voi concentra asupra acestui lucru în mod repetat.

Soluție completă și răspunsul la sfârșitul tutorialului:

O pereche de pantofi nu este încă uzată, deoarece am ajuns la a doua secțiune a lecției:

Liniile drepte perpendiculare. Distanța de la punct la linie.
Unghi între linii drepte

Să începem cu o sarcină tipică și foarte importantă. În prima parte, am învățat cum să construim o linie dreaptă paralelă cu aceasta, iar acum coliba de pe picioarele de pui se va întoarce la 90 de grade:

Cum se construiește o linie perpendiculară pe una dată?

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuație. Egalează o linie perpendiculară printr-un punct.

Decizie: Prin condiție se știe că. Ar fi frumos să găsim vectorul de direcție al liniei drepte. Deoarece liniile sunt perpendiculare, trucul este simplu:

Din ecuația „eliminați” vectorul normal:, care va fi vectorul de direcție al liniei drepte.

Să compunem ecuația unei drepte printr-un punct și un vector de direcție:

Răspuns:

Să extindem schița geometrică:

Hmmm ... Cer portocaliu, mare portocaliu, cămilă portocalie.

Verificarea analitică a soluției:

1) Scoateți vectorii de direcție din ecuații și cu ajutorul produs punct de vectori ajungem la concluzia că liniile drepte sunt într-adevăr perpendiculare :.

Apropo, puteți folosi vectori normali, este și mai ușor.

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația obținută .

Verificarea este, din nou, ușor de realizat oral.

Exemplul 7

Găsiți punctul de intersecție al liniilor perpendiculare dacă ecuația este cunoscută și punct.

Acesta este un exemplu pentru o soluție de bricolaj. Există mai multe acțiuni în sarcină, deci este convenabil să stabiliți soluția punct cu punct.

Călătoria noastră interesantă continuă:

Distanța de la punct la linie

În fața noastră este o fâșie dreaptă a râului și sarcina noastră este să ajungem la el pe cel mai scurt traseu. Nu există obstacole, iar traseul cel mai optim va fi deplasarea de-a lungul perpendicularei. Adică distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea unei linii perpendiculare.

Distanța în geometrie este în mod tradițional notată prin litera greacă „ro”, de exemplu: - distanța de la punctul „em” la linia dreaptă „de”.

Distanța de la punct la linie exprimat prin formula

Exemplul 8

Găsiți distanța de la punct la linie

Decizie: tot ce aveți nevoie este să înlocuiți cu atenție numerele în formulă și să efectuați calculele:

Răspuns:

Să executăm desenul:

Distanța de la punctul la linia găsită este exact lungimea liniei roșii. Dacă întocmiți un desen pe hârtie în carouri pe o scară de 1 unitate. \u003d 1 cm (2 celule), atunci distanța poate fi măsurată cu o riglă obișnuită.

Luați în considerare o altă sarcină pentru același plan:

Sarcina este de a găsi coordonatele unui punct care este simetric cu un punct în raport cu o linie dreaptă ... Propun să efectuați acțiunile dvs., dar voi contura algoritmul soluției cu rezultate intermediare:

1) Găsiți o linie care este perpendiculară pe linie.

2) Găsiți punctul de intersecție al liniilor: .

Ambele acțiuni sunt detaliate în această lecție.

3) Punctul este punctul de mijloc al segmentului de linie. Știm coordonatele mijlocului și unul dintre capete. De formule pentru coordonatele punctului de mijloc al segmentului găsim.

Nu va fi de prisos să verificați dacă distanța este, de asemenea, de 2,2 unități.

Aici pot apărea dificultăți în calcule, dar în turn, un micro calculator ajută foarte bine, permițându-vă să numărați fracțiile obișnuite. Recomandat în mod repetat, vă va sfătui și din nou.

Cum se găsește distanța dintre două linii paralele?

Exemplul 9

Găsiți distanța dintre două linii paralele

Acesta este un alt exemplu pentru o soluție independentă. Permiteți-mi să vă dau un mic indiciu: există infinit de multe modalități de a o rezolva. Rezumat la sfârșitul lecției, dar mai bine încearcă să ghicești singur, cred că ingeniozitatea ta a fost destul de bine dispersată.

Unghi între două linii drepte

Fiecare unghi este un jamb:


În geometrie, unghiul dintre două linii drepte este luat ca cel mai mic unghi, ceea ce implică automat că nu poate fi obtuz. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat unghiul dintre liniile drepte care se intersectează. Și vecinul său „verde” este considerat ca atare sau orientat opus Colțul „Crimson”.

Dacă liniile drepte sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.

Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția colțului „defilare” este de o importanță fundamentală. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu un semn minus, de exemplu, dacă.

De ce am spus asta? Se pare că puteți face cu conceptul obișnuit de unghi. Faptul este că în formulele prin care vom găsi unghiurile, puteți obține cu ușurință un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă surprindă. Un unghi cu semn minus nu este mai rău și are o semnificație geometrică foarte specifică. În desen, pentru un unghi negativ, asigurați-vă că indicați orientarea acestuia cu o săgeată (în sensul acelor de ceasornic).

Cum se găsește unghiul dintre două linii drepte? Există două formule de lucru:

Exemplul 10

Găsiți unghiul dintre linii drepte

Decizie și Prima metodă

Luați în considerare două linii drepte date de ecuații în formă generală:

Dacă este drept nu perpendiculareapoi orientat unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula:

Să acordăm o atenție deosebită numitorului - acesta este exact produs scalar vectori de direcție ai liniilor drepte:

Dacă, atunci numitorul formulei dispare, iar vectorii vor fi ortogonali și liniile drepte sunt perpendiculare. De aceea s-a făcut o rezervare cu privire la non-perpendicularitatea liniilor drepte din formulare.

Pe baza celor de mai sus, este convenabil să aranjați o soluție în doi pași:

1) Calculați produsul scalar al vectorilor de direcție ai liniilor drepte:
, deci liniile drepte nu sunt perpendiculare.

2) Unghiul dintre linii drepte se găsește prin formula:

Prin funcție inversă colțul în sine este ușor de găsit. În acest caz, folosim arctangenta ciudată (vezi. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare):

Răspuns:

În răspuns, indicăm valoarea exactă, precum și valoarea aproximativă (de preferință atât în \u200b\u200bgrade, cât și în radiani), calculate folosind un calculator.

Ei bine, minus, deci minus, este în regulă. Iată o ilustrare geometrică:

Nu este surprinzător faptul că unghiul s-a dovedit a avea o orientare negativă, deoarece în enunțul problemei primul număr este o linie dreaptă și „răsucirea” unghiului a început de la aceasta.

Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile drepte, adică să luați coeficienții din a doua ecuație , iar coeficienții sunt luați din prima ecuație. Pe scurt, trebuie să începeți cu o linie dreaptă .

Metoda coordonatelor (distanța dintre punct și plan, între linii drepte)

Distanța dintre punct și plan.

Distanța dintre punct și linie.

Distanța dintre două linii drepte.

Primul lucru care este util să știm este cum să găsim distanța de la un punct la un avion:

Valorile A, B, C, D - coeficienții planului

x, y, z - coordonate punct

O sarcină. Găsiți distanța dintre punctul A \u003d (3; 7; −2) și planul 4x + 3y + 13z - 20 \u003d 0.

Totul este dat, puteți înlocui imediat valorile în ecuație:

O sarcină. Găsiți distanța de la punctul K \u003d (1; −2; 7) la linia dreaptă care trece prin punctele V \u003d (8; 6; −13) și T \u003d (−1; −6; 7).

1. Găsiți vectorul unei linii drepte.
2. Calculăm vectorul care trece prin punctul dorit și orice punct de pe linie.
   
3. Stabilim matricea și găsim determinantul prin cei doi vectori obținuți în punctele 1 și 2.
4. Obținem distanța când rădăcină pătrată din suma pătratelor coeficienților matricei, împărțim la lungimea vectorului care definește linia dreaptă(Cred că nu este clar, deci să trecem la un exemplu specific).

1) TV \u003d (8 - (- 1); 6 - (- 6); -13-7) \u003d (9; 12; −20)

2) Vectorul se găsește prin punctele K și T, deși același lucru ar putea fi prin K și V sau orice alt punct de pe această linie.

TK \u003d (1 - (- 1); −2 - (- 6); 7-7) \u003d (2; 4; 0)

3) Obținem o matrice m fără coeficientul D (aici nu este necesară soluția):

4) Planul sa dovedit cu coeficienții A \u003d 80, B \u003d 40, C \u003d 12,

x, y, z - coordonatele vectorului de linie, în acest caz - vectorul TV are coordonate (9; 12; −20)

O sarcină. Găsiți distanța dintre linia dreaptă care trece prin punctele Е \u003d (1; 0; −2), G \u003d (2; 2; −1) și linia dreaptă care trece prin punctele M \u003d (4; −1; 4), L \u003d ( −2; 3; 0).

1. Stabilim vectorii ambelor linii.
2. Găsiți vectorul luând un punct din fiecare linie.
3. Scriem o matrice de 3 vectori (două linii din primul element, o linie din al doilea) și găsim determinantul său numeric.
4. Am stabilit o matrice a primilor doi vectori (la pasul 1). Prima linie este setată ca x, y, z.
5. Obținem distanța atunci când împărțim valoarea rezultată din punctul 3 modul la rădăcina pătrată a sumei pătratelor punctului 4.

Să trecem la cifre.