Har kuni. Furye seriyasi: matematik mexanizmning tarixi va fan rivojiga ta'siri Furye seriyasining doimiy komponenti e ga teng.
Furye seriyasi - ixtiyoriy ravishda olingan funktsiyani qator sifatida ma'lum bir davri bilan tasvirlash. DA umumiy ko'rinish bu yechim elementning ortogonal asosda parchalanishi deyiladi. Furye qatoridagi funksiyalarning kengayishi argument va konvolyutsiyada ifodani integrasiyalash, differentsiatsiyalash, shuningdek o‘zgartirish paytida ushbu transformatsiyaning xususiyatlari tufayli turli muammolarni hal qilish uchun juda kuchli vositadir.
Oliy matematika, shuningdek, frantsuz olimi Furye asarlari bilan tanish bo'lmagan odam, ehtimol, bu "seriyalar" nima ekanligini va ular nima uchun ekanligini tushunmaydi. Ayni paytda, bu o'zgarish bizning hayotimizda juda zich bo'ldi. U nafaqat matematiklar, balki fiziklar, kimyogarlar, shifokorlar, astronomlar, seysmologlar, okeanologlar va boshqalar tomonidan ham qo'llaniladi. O'z davridan oldin kashfiyot qilgan buyuk fransuz olimining asarlarini ham batafsil ko'rib chiqaylik.
Inson va Furye o'zgarishi
Fourier seriyasi - usullardan biri (tahlil va boshqalar bilan birga) Bu jarayon inson har qanday tovushni eshitganida sodir bo'ladi. Bizning qulog'imiz elementar zarralarni avtomatik ravishda elastik muhitga aylantiradi, ular turli balandlikdagi ohanglar uchun tovush darajasining ketma-ket qiymatlari qatorlariga (spektr bo'ylab) parchalanadi. Keyinchalik, miya bu ma'lumotlarni bizga tanish bo'lgan tovushlarga aylantiradi. Bularning barchasi bizning xohishimiz yoki ongimizdan tashqari, o'z-o'zidan sodir bo'ladi, ammo bu jarayonlarni tushunish uchun oliy matematikani o'rganish uchun bir necha yil kerak bo'ladi.
Furye transformatsiyasi haqida ko'proq
Furye konvertatsiyasi analitik, raqamli va boshqa usullar bilan amalga oshirilishi mumkin. Furye seriyalari har qanday tebranish jarayonlarini parchalashning raqamli usulini anglatadi - okean to'lqinlari va yorug'lik to'lqinlaridan quyosh (va boshqa astronomik ob'ektlar) faolligi davrlarigacha. Ushbu matematik usullardan foydalanib, har qanday tebranish jarayonlarini minimaldan maksimalgacha va aksincha, sinusoidal komponentlar qatori sifatida ifodalovchi funktsiyalarni tahlil qilish mumkin. Furye transformatsiyasi ma'lum bir chastotaga mos keladigan sinusoidlarning fazasi va amplitudasini tavsiflovchi funktsiyadir. Bu jarayon juda hal qilish uchun ishlatilishi mumkin murakkab tenglamalar, tasvirlaydi dinamik jarayonlar issiqlik, yorug'lik yoki elektr energiyasi ta'sirida paydo bo'lgan. Shuningdek, Furye seriyalari murakkab tebranish signallarida doimiy komponentlarni ajratib olishga imkon beradi, bu esa tibbiyot, kimyo va astronomiyada olingan eksperimental kuzatishlarni to'g'ri talqin qilish imkonini beradi.
Tarix ma'lumotnomasi
Bu nazariyaning asoschisi fransuz matematigi Jan Baptist Jozef Furyedir. Keyinchalik bu o'zgarish uning nomi bilan ataldi. Dastlab olim issiqlik o'tkazish mexanizmlarini o'rganish va tushuntirish uchun o'z usulini qo'lladi - issiqlik tarqalishi qattiq moddalar. Furye dastlabki tartibsiz taqsimotni eng oddiy sinusoidlarga parchalash mumkinligini taklif qildi, ularning har biri o'z haroratining minimal va maksimal darajasiga, shuningdek, o'z fazasiga ega bo'ladi. Bunday holda, har bir bunday komponent minimaldan maksimalgacha va aksincha o'lchanadi. Egri chiziqning yuqori va pastki cho'qqilarini, shuningdek har bir harmonikaning fazasini tavsiflovchi matematik funktsiya harorat taqsimotining Furye transformatsiyasi deb ataladi. Nazariya muallifi umumiy taqsimot funktsiyasini qisqartirdi, bu qiyin matematik tavsif, kosinus va sinusning juda qulay qatoriga, xulosa qilib, asl taqsimotni beradi.
Transformatsiya tamoyili va zamondoshlar qarashlari
Olimning zamondoshlari - XIX asr boshlarining yetakchi matematiklari bu nazariyani qabul qilmadilar. Asosiy e'tiroz Furyening to'g'ri chiziq yoki uzluksiz egri chiziqni tavsiflovchi uzluksiz funktsiyani uzluksiz sinusoidal ifodalar yig'indisi sifatida tasvirlash mumkin degan fikri edi. Misol tariqasida, Heavisidening "qadamini" ko'rib chiqing: uning qiymati bo'shliqning chap tomonida nolga teng va o'ngda bitta. Ushbu funktsiya kontaktlarning zanglashiga olib yopilganda elektr tokining vaqt o'zgaruvchisiga bog'liqligini tavsiflaydi. O'sha paytdagi nazariyaning zamondoshlari uzluksiz ifoda ko'rsatkichli, sinusoid, chiziqli yoki kvadratik kabi uzluksiz, oddiy funktsiyalarning kombinatsiyasi bilan tavsiflanadigan bunday vaziyatga hech qachon duch kelmagan edi.
Furye nazariyasida frantsuz matematiklarini nima chalkashtirib yubordi?
Axir, agar matematik o'z bayonotlarida to'g'ri bo'lgan bo'lsa, unda cheksiz trigonometrik Furye qatorini yig'ish orqali, agar u ko'plab shunga o'xshash bosqichlarga ega bo'lsa ham, bosqichli ifodaning aniq tasvirini olish mumkin. O'n to'qqizinchi asrning boshlarida bunday bayonot bema'ni tuyuldi. Ammo barcha shubhalarga qaramay, ko'plab matematiklar bu hodisani o'rganish doirasini kengaytirib, uni issiqlik o'tkazuvchanligini o'rganish doirasidan tashqariga chiqarishdi. Biroq, ko'pchilik olimlarni "Sinusoidal qatorlar yig'indisi uzluksiz funktsiyaning aniq qiymatiga yaqinlasha oladimi?" Degan savol bilan qiynashda davom etishdi.
Furye seriyasining konvergentsiyasi: misol
Cheksiz sonlar qatorini yig'ish zarurati tug'ilganda konvergentsiya masalasi ko'tariladi. Ushbu hodisani tushunish uchun ko'rib chiqing klassik misol. Har bir keyingi qadam oldingisining yarmiga teng bo'lsa, devorga etib bora olasizmi? Maqsaddan ikki metr masofada turibsiz deylik, birinchi qadam sizni yarim yo'lga, keyingisi to'rtdan uch belgisiga yaqinlashtiradi va beshinchi qadamdan keyin siz deyarli 97 foiz yo'lni bosib o'tasiz. Biroq, qancha qadam tashlasangiz ham, qat'iy matematik ma'noda ko'zlangan maqsadga erisha olmaysiz. Raqamli hisob-kitoblardan foydalanib, oxirida o'zboshimchalik bilan kichik berilgan masofaga yaqinlashish mumkinligini ko'rsatish mumkin. Bu dalil yarim, to'rtdan bir va hokazolarning umumiy qiymati birga moyil bo'lishini ko'rsatishga teng.
Konvergentsiya masalasi: Ikkinchi Kelish yoki Lord Kelvinning apparati
Bu savol o'n to'qqizinchi asrning oxirida yana ko'tarildi, o'shanda Furye seriyalari pasayish va oqimning intensivligini taxmin qilish uchun foydalanishga harakat qilingan. Bu vaqtda lord Kelvin harbiy va savdo floti dengizchilariga ushbu tabiiy hodisani kuzatish imkonini beruvchi analog hisoblash qurilmasi bo'lgan qurilmani ixtiro qildi. Ushbu mexanizm fazalar va amplitudalar to'plamini yil davomida ma'lum bir bandargohda diqqat bilan o'lchangan to'lqin balandligi jadvali va ularning tegishli vaqt momentlarini aniqladi. Har bir parametr to'lqin balandligi ifodasining sinusoidal komponenti edi va muntazam komponentlardan biri edi. O'lchov natijalari Lord Kelvinning kalkulyatoriga kiritildi, u kelgusi yil uchun vaqt funktsiyasi sifatida suvning balandligini bashorat qiladigan egri chiziqni sintez qildi. Tez orada dunyoning barcha portlari uchun shunga o'xshash egri chiziqlar chizilgan.
Va agar jarayon uzluksiz funktsiya tomonidan buzilgan bo'lsa?
O'sha paytda, ko'p sonli hisoblash elementlariga ega bo'lgan to'lqin to'lqinining bashoratchisi ko'p sonli fazalar va amplitudalarni hisoblab chiqishi va shu tariqa aniqroq bashoratlarni berishi aniq ko'rinardi. Shunga qaramay, sintez qilinadigan to'lqin ifodasi keskin sakrashni o'z ichiga olgan, ya'ni uzluksiz bo'lgan hollarda bunday qonuniyat kuzatilmasligi ma'lum bo'ldi. Agar ma'lumotlar vaqt jadvalidan qurilmaga kiritilgan bo'lsa, u bir nechta Furye koeffitsientlarini hisoblab chiqadi. Asl funktsiya sinusoidal komponentlar (topilgan koeffitsientlar bo'yicha) tufayli tiklanadi. Asl va tiklangan ifoda o'rtasidagi tafovutni istalgan nuqtada o'lchash mumkin. Takroriy hisob-kitoblar va taqqoslashlar olib borilganda, qiymatni ko'rish mumkin eng katta xato kamaymaydi. Biroq, ular uzilish nuqtasiga mos keladigan mintaqada lokalizatsiya qilinadi va boshqa har qanday nuqtada nolga moyil bo'ladi. 1899 yilda bu natija Yel universitetidan Joshua Villard Gibbs tomonidan nazariy jihatdan tasdiqlangan.
Furye qatorlarining yaqinlashishi va umuman matematikaning rivojlanishi
Furye tahlili ma'lum bir oraliqda cheksiz sonli portlashlarni o'z ichiga olgan ifodalarga taalluqli emas. Umuman olganda, Furye seriyasi, agar asl funktsiya haqiqiy natija bilan ifodalangan bo'lsa jismoniy o'lchov, har doim birlashadi. Bu jarayonning muayyan funktsiyalar sinflari uchun yaqinlashuvi masalalari matematikada yangi bo'limlarning, masalan, umumlashtirilgan funktsiyalar nazariyasining paydo bo'lishiga olib keldi. Bu L. Shvarts, J. Mikusinskiy va J. Templ kabi nomlar bilan bog'liq. Ushbu nazariya doirasida aniq va aniq nazariy asos Dirac delta funktsiyasi (u nuqtaning cheksiz kichik qo'shnisida to'plangan yagona hududning mintaqasini tasvirlaydi) va Heavisidening "qadami" kabi iboralar ostida. Ushbu ish tufayli Furye seriyasi intuitiv tushunchalar paydo bo'ladigan tenglamalar va muammolarni hal qilishda qo'llanilishi mumkin bo'ldi: nuqta zaryadi, nuqta massasi, magnit dipollar, shuningdek, nurga konsentrlangan yuk.
Furye usuli
Furye seriyalari interferensiya tamoyillariga muvofiq, murakkab shakllarni oddiyroqlarga parchalashdan boshlanadi. Masalan, issiqlik oqimining o'zgarishi uning tartibsiz shakldagi issiqlik izolyatsiyalovchi materialdan yasalgan turli to'siqlardan o'tishi yoki er yuzasining o'zgarishi - zilzila, orbitaning o'zgarishi bilan izohlanadi. samoviy jism- sayyoralarning ta'siri. Qoidaga ko'ra, oddiy klassik tizimlarni tavsiflovchi o'xshash tenglamalar har bir alohida to'lqin uchun elementar hal qilinadi. Furye buni ko'rsatdi oddiy echimlar murakkabroq muammolarning yechimlarini olish uchun ham umumlashtirilishi mumkin. Matematika tilida ifodalangan Furye seriyasi ifodani garmonikalar - kosinus va sinusoidlar yig'indisi sifatida ifodalash usulidir. Shunung uchun bu tahlil"Garmonik tahlil" deb ham ataladi.
Furye seriyasi - "kompyuter asri" oldidan ideal texnika
Kompyuter texnologiyalari yaratilishidan oldin, Furye texnikasi bizning dunyomizning to'lqinli tabiati bilan ishlashda olimlar arsenalidagi eng yaxshi qurol edi. Murakkab shakldagi Furye seriyasi nafaqat Nyuton mexanikasi qonunlariga to'g'ridan-to'g'ri qo'llanilishi mumkin bo'lgan oddiy muammolarni, balki asosiy tenglamalarni ham hal qilishga imkon beradi. XIX asrda Nyuton fanining ko'pgina kashfiyotlari faqat Furye texnikasi yordamida amalga oshirildi.
Furye seriyasi bugun
Kompyuterlarning rivojlanishi bilan Furye o'zgarishlari sifat jihatidan yangi darajaga ko'tarildi. Ushbu texnika fan va texnologiyaning deyarli barcha sohalarida mustahkam o'rnashgan. Misol tariqasida raqamli audio va video signallarni keltirish mumkin. Uni amalga oshirish faqat XIX asr boshlarida frantsuz matematigi tomonidan ishlab chiqilgan nazariya tufayli mumkin bo'ldi. Shunday qilib, Furye seriyasi murakkab shaklda kosmik fazoni o'rganishda yutuq yaratishga imkon berdi. Bundan tashqari, bu yarimo'tkazgichlar va plazma fizikasi, mikroto'lqinli akustika, okeanografiya, radar va seysmologiyani o'rganishga ta'sir qildi.
Trigonometrik Furye seriyasi
Matematikada Furye seriyasi o'zboshimchalik bilan ifodalash usulidir murakkab funktsiyalar oddiylarining yig'indisi. Umuman olganda, bunday iboralar soni cheksiz bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, hisoblashda ularning soni qanchalik ko'p hisobga olinsa, yakuniy natija shunchalik aniq bo'ladi. Ko'pincha, kosinus yoki sinusning trigonometrik funktsiyalari eng oddiylari sifatida ishlatiladi. Bunda Furye qatori trigonometrik, bunday ifodalarning yechimi esa garmonikning kengayishi deyiladi. Bu usul o'ynaydi muhim rol matematikada. Avvalo, trigonometrik qator funksiyalarni o'rganish bilan bir qatorda tasvir uchun vositani ham ta'minlaydi, u nazariyaning asosiy apparati hisoblanadi. Bundan tashqari, u matematik fizikaning bir qator masalalarini hal qilish imkonini beradi. Nihoyat, bu nazariya hayotga olib kelingan rivojlanishga hissa qo'shdi butun chiziq matematika fanining juda muhim bo'limlari (integrallar nazariyasi, davriy funksiyalar nazariyasi). Bundan tashqari, u haqiqiy o'zgaruvchining quyidagi funktsiyalarini ishlab chiqish uchun boshlang'ich nuqta bo'lib xizmat qildi va garmonik tahlilning boshlanishini ham belgiladi.
Davriy funksiyalarning Furye qatori davri 2p.
Furye seriyasi davriy funksiyalarni tarkibiy qismlarga ajratish orqali o‘rganish imkonini beradi. O'zgaruvchan toklar va kuchlanishlar, siljishlar, krank mexanizmlarining tezligi va tezlashishi va akustik to'lqinlar davriy funktsiyalarni muhandislik hisoblarida qo'llashning odatiy amaliy misollaridir.
Furye qatorining kengayishi -p ≤ x ≤ p oraliqdagi amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan barcha funksiyalarni konvergent trigonometrik qator sifatida ifodalash mumkin degan farazga asoslanadi (agar uning a’zolaridan tashkil topgan qisman yig‘indilar ketma-ketligi yaqinlashsa, qator konvergent hisoblanadi). :
Sinx va cosx yig'indisi orqali standart (=odatiy) yozuv
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
bu yerda a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. haqiqiy doimiylar, yaʼni.
Bu erda -p dan p gacha bo'lgan diapazon uchun Furye seriyasining koeffitsientlari quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:
a o ,a n va b n koeffitsientlari deyiladi Furye koeffitsientlari, va agar ular topilsa, u holda (1) qator deyiladi Furye yaqinida, f(x) funksiyasiga mos keladi. (1) qator uchun atama (a 1 cosx+b 1 sinx) birinchi yoki deyiladi asosiy garmonika,
Seriyani yozishning yana bir usuli acosx+bsinx=csin(x+a) munosabatidan foydalanishdir.
f(x)=a o +c 1 sin(x+a 1)+c 2 sin(2x+a 2)+...+c n sin(nx+a n)
a o doimiy bo'lsa, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 turli komponentlarning amplitudalari va n \ ga teng. u003d arctg a n /b n.
(1) qator uchun atama (a 1 cosx + b 1 sinx) yoki c 1 sin (x + a 1) birinchi yoki deyiladi. asosiy garmonika,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) yoki c 2 sin(2x+a 2) deyiladi. ikkinchi garmonik va hokazo.
Murakkab signalni to'g'ri ifodalash uchun odatda cheksiz ko'p atamalar talab qilinadi. Biroq, ko'pgina amaliy masalalarda faqat birinchi bir nechta atamalarni ko'rib chiqish kifoya.
Davriy bo'lmagan funksiyalarning Furye qatori 2p davri.
Furye qatorida davriy bo'lmagan funksiyalarning kengayishi.
Agar f(x) funktsiyasi davriy bo'lmasa, uni x ning barcha qiymatlari uchun Furye qatorida kengaytirib bo'lmaydi. Biroq, 2p kenglikdagi istalgan diapazondagi funktsiyani ifodalovchi Furye qatorini aniqlash mumkin.
Davriy bo'lmagan funktsiyani hisobga olgan holda, ma'lum bir diapazonda f (x) qiymatlarini tanlash va ularni ushbu diapazondan tashqarida 2p oraliqda takrorlash orqali yangi funktsiya tuzish mumkin. Yangi funktsiya 2p davri bilan davriy bo'lgani uchun uni x ning barcha qiymatlari uchun Furye qatorida kengaytirish mumkin. Masalan, f(x)=x funksiya davriy emas. Biroq, agar uni 0 dan 2p gacha bo'lgan oraliqda Furye qatoriga kengaytirish zarur bo'lsa, u holda bu oraliqdan tashqarida davriy funktsiya 2p ga teng bo'ladi (quyidagi rasmda ko'rsatilganidek).
f(x)=x kabi davriy bo'lmagan funksiyalar uchun yig'indi Furye seriyasi belgilangan diapazondagi barcha nuqtalarda f(x) qiymatiga teng, lekin diapazondan tashqaridagi nuqtalar uchun f(x) ga teng emas. Davriy bo'lmagan funksiyaning Furye qatorini 2p oralig'ida topish uchun Furye koeffitsientlarining bir xil formulasidan foydalaniladi.
Juft va toq funksiyalar.
Ular y=f(x) funksiyasini aytishadi. hatto agar x ning barcha qiymatlari uchun f(-x)=f(x) bo'lsa. Juft funksiyalar grafiklari har doim y o'qiga nisbatan simmetrik bo'ladi (ya'ni ular aks ettiriladi). Juft funksiyalarga ikkita misol: y=x 2 va y=cosx.
Aytishlaricha, y=f(x) funksiya g'alati, agar f(-x)=-f(x) x ning barcha qiymatlari uchun. Toq funksiyalarning grafiklari har doim kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.
Ko'pgina funktsiyalar juft ham, toq ham emas.
Kosinuslarda Furye qatorining kengayishi.
2p davriga ega bo'lgan f(x) juft davriy funksiyaning Furye qatori faqat kosinus hadlarni o'z ichiga oladi (ya'ni sinus hadlarni o'z ichiga olmaydi) va doimiy hadni o'z ichiga olishi mumkin. Binobarin,
Furye seriyasining koeffitsientlari qayerda,
2p davrli f(x) toq davriy funktsiyaning Furye qatori faqat sinusli hadlarni o'z ichiga oladi (ya'ni, kosinusli hadlarni o'z ichiga olmaydi).
Binobarin,
Furye seriyasining koeffitsientlari qayerda,
Yarim sikldagi Furye seriyasi.
Agar funktsiya faqat 0 dan 2p gacha emas, deylik, 0 dan p gacha bo'lgan diapazon uchun aniqlangan bo'lsa, u faqat sinuslar bo'yicha yoki faqat kosinuslar bo'yicha qatorga kengaytirilishi mumkin. Olingan Furye qatori deyiladi Yarim tsiklda Furye yaqinida.
Agar siz parchalanishni olishni istasangiz Kosinuslarda yarim sikl bo'yicha Furye f(x) funksiyalari 0 dan p gacha bo‘lgan oraliqda bo‘lsa, u holda juft davriy funksiya tuzish kerak bo‘ladi. Shaklda. quyida f(x)=x funksiyasi x=0 dan x=p gacha bo'lgan oraliqda qurilgan. Juft funktsiya f(x) o'qiga nisbatan simmetrik bo'lgani uchun, rasmda ko'rsatilganidek, AB chizig'ini chizamiz. quyida. Agar ko'rib chiqilgan oraliqdan tashqarida, natijada uchburchak shakli 2p davri bilan davriy bo'ladi deb faraz qilsak, yakuniy grafik ko'rinishga ega bo'ladi. rasmda. quyida. Kosinuslarda Furye kengayishini olish kerak bo'lganligi sababli, avvalgidek, biz a o va a n Furye koeffitsientlarini hisoblaymiz.
Agar 0 dan p gacha bo'lgan oraliqda f (x) funksiyalarni olishni istasangiz, u holda toq davriy funktsiyani tuzishingiz kerak. Shaklda. quyida f(x)=x funksiyasi x=0 dan x=p gacha bo'lgan oraliqda qurilgan. Toq funktsiya koordinataga nisbatan simmetrik bo'lganligi sababli, rasmda ko'rsatilganidek, CD chizig'ini quramiz. Agar ko'rib chiqilayotgan oraliqdan tashqarida qabul qilingan arra tish signali 2p davri bilan davriy deb faraz qilsak, yakuniy grafik shaklda ko'rsatilgan shaklga ega. Furye kengayishini sinuslar bo'yicha yarim tsiklda olish talab qilinganligi sababli, avvalgidek, Furye koeffitsientini hisoblaymiz. b
Ixtiyoriy interval uchun Furye qatori.
Davriy funktsiyaning L davri bilan kengayishi.
Davriy funktsiya f(x) x ning L ga ortishi bilan takrorlanadi, ya'ni. f(x+L)=f(x). Oldin ko'rib chiqilgan 2p davriga ega funktsiyalardan L davriga ega funktsiyalarga o'tish juda oddiy, chunki u o'zgaruvchining o'zgarishi yordamida amalga oshirilishi mumkin.
-L/2≤x≤L/2 oralig'ida f(x) funksiyaning Furye qatorini topish uchun f(x) funksiyaning u ga nisbatan 2p davri bo'lishi uchun yangi u o'zgaruvchisini kiritamiz. Agar u=2px/L bo'lsa, u=-p uchun x=-L/2 va u=p uchun x=L/2. Shuningdek, f(x)=f(Lu/2p)=F(u) bo‘lsin. Furye qatori F(u) shaklga ega
Furye seriyasining koeffitsientlari qayerda?
Ko'pincha, yuqoridagi formula x ga bog'liqlikka olib keladi. Chunki u=2px/L, keyin du=(2p/L)dx va integrallash chegaralari -p dan p ga emas, -L/2 dan L/2 gacha. Shuning uchun, x ga bog'liqlik uchun Furye qatori shaklga ega
bu erda -L/2 dan L/2 oralig'ida Furye seriyasining koeffitsientlari,
(Integratsiya chegaralari L uzunlikdagi istalgan interval bilan almashtirilishi mumkin, masalan, 0 dan L gacha)
L≠2p oraliqda berilgan funksiyalar uchun yarim sikldagi Furye seriyasi.
u=px/L almashtirish uchun x=0 dan x=L gacha bo'lgan interval u=0 dan u=p gacha bo'lgan intervalga to'g'ri keladi. Shuning uchun funktsiya faqat kosinuslar bo'yicha yoki faqat sinuslar bo'yicha qatorga kengaytirilishi mumkin, ya'ni. ichida Yarim tsikldagi Furye seriyasi.
0 dan L gacha bo'lgan oraliqda kosinuslardagi kengayish shaklga ega
Funktsiya barcha qiymatlar uchun belgilangan x chaqirdi davriy nashr, agar shunday raqam bo'lsa T (T≠ 0), bu har qanday qiymat uchun x tenglik f(x + T) = f(x). Raqam T bu holda funksiyaning davri.
Davriy funksiyalarning xossalari:
1) Davriy davr funksiyalarining yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi va qismi T davrning davriy funksiyasi hisoblanadi T.
2) Agar funktsiya f(x) davri bor T, keyin funksiya f(bolta) davri bor
Darhaqiqat, har qanday dalil uchun X:
(argumentni raqamga ko'paytirish bu funktsiyaning grafigini eksa bo'ylab siqish yoki cho'zish demakdir. OH)
Masalan, funksiyaning davri bor, funksiyaning davri
3) Agar f(x) davriy funksiya T, u holda bu funktsiyaning istalgan ikkita integrali teng bo'lib, uzunlik oralig'ida olinadi T(bu integrallar mavjud deb taxmin qilinadi).
T= davriga ega funktsiya uchun Furye qatori .
Trigonometrik qator quyidagi shakldagi qatordir:
yoki qisqasi,
Bu yerda , , , , , … , , , … haqiqiy sonlar qator koeffitsientlari deyiladi.
Trigonometrik qatorning har bir atamasi davrning davriy funktsiyasidir (chunki - har qanday
davr, va davr () , va shuning uchun ). Har bir atama (), bilan n= 1,2,3… oddiy garmonik tebranishning analitik ifodasi, bu yerda A- amplituda,
boshlang'ich bosqichi. Yuqoridagilarni hisobga olsak, biz quyidagilarga erishamiz: agar trigonometrik qator davr uzunligining bir qismiga yaqinlashsa, u butun son o'q bo'ylab yaqinlashadi va uning yig'indisi davrning davriy funktsiyasidir.
Trigonometrik qatorlar bir segmentda (shuning uchun har qanday segmentda) bir xilda yaqinlashsin va uning yig'indisi ga teng bo'lsin. Ushbu qatorning koeffitsientlarini aniqlash uchun biz quyidagi tengliklardan foydalanamiz:
Shuningdek, biz quyidagi xususiyatlardan foydalanamiz.
1) Ma'lumki, ma'lum bir segmentda bir xil yaqinlashuvchi uzluksiz funktsiyalardan tashkil topgan qator yig'indisining o'zi bu segmentdagi uzluksiz funktsiyadir. Buni hisobga olsak, segmentda bir xil yaqinlashuvchi trigonometrik qatorlar yig'indisi butun real o'qda uzluksiz funktsiya ekanligini tushunamiz.
2) Agar qatorning barcha a'zolari shu segmentda uzluksiz bo'lgan funksiyaga ko'paytirilsa, qatorning segmentdagi bir xil yaqinlashuvi buzilmaydi.
Xususan, berilgan trigonometrik qatorning segmentida bir xil yaqinlashish buzilmaydi, agar qatorning barcha a'zolari ga yoki ga ko'paytirilsa.
Shart bo'yicha
Bir xil konvergent qatorlarni (4.2) muddatlar boʻyicha integrallash natijasida va yuqoridagi tengliklarni (4.1) hisobga olgan holda (trigonometrik funksiyalarning ortogonalligi) hosil boʻladi:
Shuning uchun koeffitsient
Tenglikni (4.2) ga ko'paytirib, yuqoridagi (4.1) ifodalarni hisobga olgan holda bu tenglikni dan gacha va oralig'ida integrallashtirib olamiz:
Shuning uchun koeffitsient
Xuddi shunday, tenglikni (4.2) ga ko'paytirsak va uni dan gacha bo'lgan chegaralar ichida integrallash, tenglikni (4.1) hisobga olgan holda, biz:
Shuning uchun koeffitsient
Shunday qilib, Furye seriyasining koeffitsientlari uchun quyidagi ifodalar olinadi:
Funksiyani Furye qatoriga kengaytirish uchun yetarli mezon. Shuni esda tutingki, nuqta x o funksiya uzilishi f(x) Agar funktsiyaning o'ng va chap tomonida chekli chegaralar mavjud bo'lsa, u birinchi turdagi uzilish nuqtasi deb ataladi. f(x) nuqtaga yaqin joyda.
O'ng tomonda chegara
Chap chegara.
Teorema (Dirichlet). Agar funktsiya f(x) davri bor va segmentda uzluksiz yoki birinchi turdagi chekli sonli uzilish nuqtalariga ega va qo'shimcha ravishda segmentni cheklangan miqdordagi segmentlarga bo'lish mumkin, shunda ularning har biri ichida f(x) monotonik, keyin funktsiya uchun Furye seriyasi f(x) barcha qiymatlar uchun birlashadi x. Bundan tashqari, funktsiyaning uzluksizligi nuqtalarida f(x) uning summasi f(x), va funksiyaning uzilish nuqtalarida f(x) uning yig'indisi, ya'ni. chap va o'ngdagi chegara qiymatlarining arifmetik o'rtacha qiymati. Bundan tashqari, funktsiya uchun Furye seriyasi f(x) uchlari bilan birgalikda funktsiya uzluksizligi oralig'iga tegishli bo'lgan har qanday segmentga bir xilda yaqinlashadi. f(x).
Misol: Funksiyani Furye qatorida kengaytiring
Shartni qondirish.
Yechim. Funktsiya f(x) Furye kengayish shartlarini qondiradi, shuning uchun biz yozishimiz mumkin:
Formulalarga (4.3) muvofiq, Furye seriyasi koeffitsientlarining quyidagi qiymatlarini olish mumkin:
Furye seriyasining koeffitsientlarini hisoblashda "qismlar bo'yicha integratsiya" formulasidan foydalanilgan.
Va shuning uchun
T = davrli juft va toq funksiyalar uchun Furye qator.
ga nisbatan simmetrik ustidan integralning quyidagi xossasidan foydalanamiz x=0 oraliq:
Agar a f(x)- g'alati funktsiya,
agar f(x) juft funksiya hisoblanadi.
E'tibor bering, ikkita juft yoki ikkita toq funktsiyaning ko'paytmasi juft funktsiya, juft va toq funksiyaning ko'paytmasi toq funktsiyadir. Keling f(x)- davr bilan hatto davriy funksiya , Furye qatoriga kengayish shartlarini qondiradi. Keyin, integrallarning yuqoridagi xususiyatidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Shunday qilib, juft funktsiya uchun Furye qatori faqat juft funksiyalarni - kosinuslarni o'z ichiga oladi va quyidagicha yoziladi:
va koeffitsientlar bn = 0.
Shunga o'xshash bahslashsak, biz buni olamiz f(x) - Furye qatoriga kengayish shartlarini qondiradigan toq davriy funktsiya, demak, toq funktsiya uchun Furye qatori faqat toq funksiyalarni - sinuslarni o'z ichiga oladi va quyidagicha yoziladi:
unda an=0 da n=0, 1,…
Misol: davriy funktsiyani Furye qatorida kengaytiring
Berilgan toq funksiyadan beri f(x) u holda Furye kengayish shartlarini qondiradi
yoki, qaysi bir xil,
Va bu funktsiya uchun Furye seriyasi f(x) shunday yozilishi mumkin:
Har qanday davr funksiyalari uchun Furye qatori T=2 l.
Mayli f(x)- har qanday davrning davriy funktsiyasi T=2l(l- yarim davr), oraliqda bo'lak-silliq yoki parcha-parcha-monoton [ -l,l]. Taxmin qilib x=at, funksiyasini oling f(ot) dalil t, kimning davri . Keling, tanlaylik a Shunday qilib, funktsiyaning davri f(ot) ga teng edi, ya'ni. T = 2l
Yechim. Funktsiya f(x)- g'alati, Furye qatoriga kengayish shartlarini qondiradigan, shuning uchun (4.12) va (4.13) formulalar asosida bizda:
(integralni hisoblashda "qismlar bo'yicha integrallash" formulasidan foydalanilgan).
Furye qatorining juft va toq funksiyalarning kengayishi segmentda berilgan funksiyani sinus yoki kosinuslar bo‘yicha qatorga kengaytirish Ixtiyoriy davriy funktsiya uchun Furye qatori Furye seriyasining umumiy ortogonal funksiyalar sistemasida Furye seriyasining kompleks tasviri Furye qatori. ortogonal sistemada Furye koeffitsientlarining minimal xossasi Bessel tengsizligi Tenglik Parseval yopiq tizimlar Tizimlarning to`liqligi va yopiqligi
Juft va toq funksiyalarning Furye qator kengayishi \-1 segmentida aniqlangan, I > 0 bo'lgan f(x) funksiya hattoki juft funksiya grafigi y o'qiga nisbatan simmetrik bo'lsa ham chaqiriladi. I > 0 bo'lgan J segmentida aniqlangan f(x) funksiya, agar toq funktsiyaning grafigi boshiga nisbatan simmetrik bo'lsa, toq deyiladi. Misol. a) Funksiya |-jt, jt segmentida juft bo'ladi), chunki barcha x e uchun b) Funksiya toq, chunki Furye qatori juft va toq funksiyalarning kengayishi segmentda berilgan funktsiyaning qatorda kengayishidir. sinus yoki kosinuslar Furye qatori ixtiyoriy davri boʻlgan funksiya uchun Furye seriyasining kompleks yozuvi Funksiyalarning umumiy ortogonal sistemasidagi Furye qatori Ortogonal sistemasidagi Furye qatori Furye koeffitsientlarining minimal xossasi Bessel tengsizligi Parseval tengligi Yopiq tizimlar toʻliqligi va yopiqligi c) f(x)=x2-x funksiya, bu yerda na juft, na toq funksiyalarga tegishli emas, chunki 1-teorema shartlarini qanoatlantiruvchi f(x) funksiya x| segmentida juft bo‘lsin. Keyin hamma uchun, ya'ni. /(g) cos nx juft funksiya, f(x)sinnx esa toq funksiyadir. Demak, juft funktsiyaning Furye koeffitsientlari /(x) teng bo'ladi.Demak, juft funksiyaning Furye qatori f(x) sin nx juft funksiya ko'rinishga ega. Demak, bizda shunday bo'ladi, toq funktsiyaning Furye qatori shaklga ega Bizda qismlar bo'yicha integratsiyani ikki marta qo'llagan holda, biz shuni tushunamizki, bu funktsiyaning Furye qatori quyidagicha ko'rinadi: yoki kengaytirilgan shaklda, bu tenglik har qanday x € uchun amal qiladi, chunki x = ±ir nuqtalarda yig'indisi bo'ladi. qator f(x) = x2 funksiyaning qiymatlari bilan mos keladi, chunki f(x) = x funktsiyaning grafiklari va natijada olingan qatorlarning yig'indilari shaklda berilgan. Izoh. Ushbu Furye seriyasi konvergent raqamli qatorlardan birining yig'indisini topishga imkon beradi, ya'ni x \u003d 0 uchun biz buni olamiz /(x) funktsiyasi 1-teorema shartlarini qondiradi, shuning uchun uni Furye qatoriga kengaytirish mumkin, bu funktsiyaning g'alatiligi tufayli qismlar bo'yicha integratsiyalashgan shaklga ega bo'ladi, biz Furye koeffitsientlarini topamiz Shuning uchun Furye Ushbu funktsiyaning qatori bu tenglik barcha x V nuqtalari uchun amal qiladi x - ±tg Furye qatorining yig'indisi funktsiyaning / (x) = x qiymatlariga to'g'ri kelmaydi, chunki u tashqarida tengdir segment [- *, n-] qatorlar yig'indisi / (x) \u003d x funktsiyasining davriy davomi; uning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 6. § 6. Intervalda berilgan funktsiyani sinus yoki kosinus bo'yicha qatorga kengaytirish. Chegaralangan bo'lakli monoton funksiya / intervalda berilgan bo'lsin. Ushbu funktsiyaning qiymatlari 0| oralig'ida turli yo‘llar bilan aniqlash mumkin. Masalan, / mc segmentida] funksiyasini shunday aniqlash mumkinki, /. Bu holda aytiladiki) "0] segmentiga teng ravishda kengaytiriladi"; uning Furye seriyasi faqat kosinuslarni o'z ichiga oladi. Ammo, agar /(x) funksiya [-x, mc] segmentida aniqlangan bo'lsa, shunday qilib /(, u holda g'alati funktsiya olinadi va keyin biz / "segmentga [-*, 0 kengaytirilganligini aytamiz. ] in an g'alati tarzda"; bu holda, Furye qatori faqat sinuslarni o'z ichiga oladi. Demak, segmentda aniqlangan har bir cheklangan parcha-monoton funksiya /(x), ikkala nuqtai nazardan ham Furye qatoriga kengaytirilishi mumkin. sinus va kosinuslar.Misol 1. Funksiyani Furye qatorida kengaytiring: a) kosinuslar bo‘yicha; b) sinuslar bo'ylab. M Bu funksiya |-x, 0) segmentiga juft va toq kengaytmalari bilan chegaralangan va parcha-parcha monotonik bo'ladi. a) / (z) segmentiga 0) davom etamiz a) j \ x) segmentga (-m, 0 | ni tekis holda davom ettiramiz (7-rasm), keyin uning Furye qatori i P ko'rinishga ega bo'ladi. \u003d 1, bu erda Furye koeffitsientlari mos ravishda teng, Shuning uchun b) [-x,0] segmentida /(z) ni g'alati tarzda davom ettiramiz (8-rasm). Keyin uning Furye seriyasi 7-§. Ixtiyoriy davriga ega funktsiya uchun Furye seriyasi. Funktsiya 21,1 ^ 0 davri bilan davriy bo'lsin. Uni I > 0 oraliqda Furye qatoriga kengaytirish uchun biz x = jt o'rnatib, o'zgaruvchini o'zgartiramiz. . Keyin F(t) = / ^tj funksiyasi t argumentining davrli davriy funksiyasi bo'ladi va uni Furye qatoridagi segmentga kengaytirish mumkin. kuch ixtiyoriy davriga ega davriy funksiyalar uchun ham 21. Xususan, funktsiyani Furye qatoriga kengaytirish uchun yetarli mezon ham o'z kuchida qoladi. Misol 1. Formula bo'yicha [-/,/] segmentida berilgan davri 21 bo'lgan davriy funktsiyani Furye qatorida kengaytiring (9-rasm). Bu funktsiya juft bo'lganligi sababli uning Furye seriyasi Furye koeffitsientlarining topilgan qiymatlarini Furye qatoriga almashtirib, biz bir narsaga e'tibor qaratamiz. muhim mulk davriy funktsiyalar. Teorema 5. Agar funktsiya T davriga ega bo'lsa va integrallansa, u holda har qanday a soni uchun m tenglik bajariladi. ya'ni uzunligi T davriga teng bo'lgan segmentdagi integral ushbu segmentning haqiqiy o'qdagi holatidan qat'i nazar, bir xil qiymatga ega. Darhaqiqat, biz ikkinchi integralda o'zgaruvchini o'zgartiramiz, faraz qilamiz Bu beradi va shuning uchun, Geometrik, bu xususiyat shakl soyali maydon taqdirda, degan ma'noni anglatadi. 10 ta maydon bir-biriga teng. Xususan, davrli f(x) funksiya uchun, juft va toq funksiyalarning Furye qator kengayishida segmentda berilgan funksiyaning sinuslar yoki kosinuslar bo‘yicha qatorga kengayishi bilan funksiya uchun Furye qatorini olamiz. ixtiyoriy davr Furye seriyasining umumiy ortogonal sistemalar funksiyalarida Furye seriyasining murakkab tasviri Ortogonal sistemada Furye qatori Furye koeffitsientlarining minimal xossasi Bessel tengsizligi Parseval tengligi Yopiq tizimlar davriy funktsiyaning Furye koeffitsientlari f(x) bo'lgan tizimlarning to'liqligi va yopiqligi. 21 davri bilan a ixtiyoriy haqiqiy son bo'lgan formulalar yordamida hisoblanishi mumkin (cos - va sin funktsiyalari 2/ davriga ega ekanligini unutmang). Misol 3. 2x davriga ega bo'lgan oraliqda berilgan funktsiyani Furye qatorida kengaytiring (11-rasm). 4 Bu funksiyaning Furye koeffitsientlarini toping. Formulalarni kiritsak, Shuning uchun Furye qatori quyidagicha ko'rinishini topamiz: x = jt nuqtada (birinchi turdagi uzilish nuqtasi) bizda §8 mavjud. Furye seriyasining murakkab yozuvi Ushbu bo'limda kompleks tahlilning ba'zi elementlari qo'llaniladi (XXX bobga qarang, bu erda murakkab ifodalar bilan bajarilgan barcha operatsiyalar qat'iy asoslanadi). f(x) funksiya Furye qatoriga kengayish uchun yetarli shartlarni qanoatlantirsin. Keyin x] segmentida uni bir qator shaklda ifodalash mumkin Eyler formulalaridan foydalanish Bu ifodalarni (1) qatorga cos nx va sin xy o‘rniga qo‘yish bizda quyidagi yozuvni kiritamiz Keyin (2) qator. shaklni oladi Shunday qilib, Furye seriyasi (1) murakkab shaklda (3) taqdim etiladi. Koeffitsientlar uchun integrallar bo'yicha ifodalar topilsin. Bizda xuddi shunday, biz topamiz Nihoyat, s„, s_p va s uchun formulalarni quyidagicha yozish mumkin: . . cn koeffitsientlari funktsiyaning kompleks Furye koeffitsientlari deb ataladi Davriy davriy funktsiya uchun), Furye seriyasining kompleks shakli chegaralar mavjud bo'lsa, w shaklidagi qiymatlarni oladi Misol. Davr funksiyasini murakkab Furye qatoriga kengaytirish Bu funksiya Furye qatoriga kengaytirish uchun yetarli shartlarni qondiradi. Bu funksiyaning kompleks Furye koeffitsientlari topilsin. Bizda juft n uchun toq yoki qisqasi bor. Qiymatlarni almashtirib, biz nihoyat qo'lga kiritamiz E'tibor bering, bu qatorni quyidagicha yozish ham mumkin: Funksiyalarning umumiy ortogonal tizimlarida Furye qatorlari 9.1. Ortogonal funksiyalar sistemalari [a, 6] oraliqda integral bo‘ladigan va kvadrat shaklida aniqlangan barcha (haqiqiy) funksiyalar to‘plami, ya’ni integral mavjud bo‘lgan funksiyalar to‘plami bilan belgilang. Xususan, barcha f(x) funksiyalar. [a , 6] oralig'ida uzluksiz bo'lib, 6 ga tegishlidir va ularning Lebeg integrallarining qiymatlari Riemann integrallarining qiymatlari bilan mos keladi. Ta'rif. Funktsiyalar tizimi, bu erda, [a, b\ oraliqda ortogonal deyiladi, agar (1) shart, xususan, funktsiyalarning hech biri nolga teng emasligini nazarda tutsa. Integral Lebeg ma'nosida tushuniladi. miqdorni esa funksiya normasi deb ataymiz.Agar ortogonal sistemada har qanday n uchun bizda mavjud bo‘lsa, funksiyalar sistemasi ortonormal deyiladi. Agar (y>n(x)) sistema ortogonal bo'lsa, sistema 1-misol. Trigonometrik sistema segmentda ortogonaldir. Funktsiyalar tizimi - bu funksiyalarning ortonormal tizimi, 2-misol. Kosinuslar tizimi va sinuslar tizimi ortonormaldir. Ularning segmentda ortogonal ekanligi (0, f|, lekin ortonormal emas (I ↦ 2 uchun) belgilarini kiritamiz. Ularning me'yorlari COS bo'lgani uchun, funktsiyalar segmentda ortonormal funktsiyalar tizimini tashkil qiladi. Ko'rsatamiz, masalan, Legendre koʻphadlari ortogonal boʻlsin.m > n boʻlsin.Unda n marta boʻlaklar boʻyicha integrallash, topamiz, chunki t/m = (z2 - I)m funksiya uchun m tartibli barcha hosilalar - I inklyuziv segmentning oxirida yo'qoladi [-1,1). Ta'rif. Funktsiyalar sistemasi (pn(x)) ortogonal (a, b) oraliqda p(x) ortogonal deyiladi, agar: 1) barcha n = 1,2 uchun integrallar mavjud bo'lsa,... Bu yerda shunday deb taxmin qilinadi. og'irlik funksiyasi p (x) aniqlangan va (a, b) oralig'ida hamma joyda musbat bo'ladi, p (x) yo'qolishi mumkin bo'lgan chekli nuqtalar bundan mustasno. Formula (3) bo'yicha farqlashni amalga oshirgandan so'ng, biz topamiz. Chebishev-Germit ko'phadlari ortogonal ekanligini ko'rsatish mumkin oraliqda 4-misol. Bessel funksiyalar tizimi (jL(pix)^ Bessel funksiyasining nollar oralig'ida ortogonaldir 5-misol. Chebishev-Germit ko'phadlarini ko'rib chiqaylik, tenglik yordamida aniqlanishi mumkin. Ortogonal sistemada Furye qatori (a, 6) oraliqda ortogonal funksiyalar sistemasi va qator (cj = const) shu oraliqda f(x) funksiyaga yaqinlashsin: Oxirgi tenglikning har ikki tomonini - ga ko'paytirish. sobit) va a dan 6 gacha bo'lgan x ni integrallash, tizimning ortogonalligi tufayli biz ushbu operatsiya, umuman olganda, sof rasmiy xarakterga ega ekanligini bilib olamiz. Biroq, ba'zi hollarda, masalan, (4) qator bir xilda yaqinlashganda, barcha funktsiyalar uzluksiz va (a, 6) interval cheklangan bo'lsa, bu amal qonuniydir. Ammo hozir biz uchun rasmiy talqin muhim ahamiyatga ega. Deylik, funksiya berilgan. (5) formula bo'yicha c * raqamlarini hosil qilamiz va yozamiz O'ng tarafdagi qator f (x) funktsiyaning sistemaga nisbatan Furye qatori deb ataladi (^n (n)) - Cn raqamlari f (x) funksiyaning bu sistemada Furye koeffitsientlari deb ataladi. (6) formuladagi ~ belgisi faqat Cn raqamlari f(x) funksiyasi bilan (5) formula bo'yicha bog'langanligini bildiradi (bu holda o'ngdagi qatorlar umuman yaqinlashmaydi, bundan kamroq yaqinlashadi deb hisoblanmaydi. f(x) funksiyasiga). Shu sababli, tabiiy ravishda savol tug'iladi: bu seriyaning xususiyatlari qanday? Qaysi ma’noda f(x) funksiyani “timsollaydi”? 9.3. O'rtacha konvergentsiya ta'rifi. Agar me'yor fazoda bo'lsa, ketma-ketlik o'rtacha ] elementga yaqinlashadi. Teorema 6. Agar ketma-ketlik ) bir xilda yaqinlashsa, u ham o'rtacha yaqinlashadi. M ()) ketma-ketlik [a, b] segmentida f(x) funksiyaga bir xilda yaqinlashsin. Bu shuni anglatadiki, har qanday, etarlicha katta n uchun bizda Demak, bizning tasdiqimiz kelib chiqadi. Buning aksi to'g'ri emas: ketma-ketlik () o'rtacha / (x) ga yaqinlashishi mumkin, lekin bir xilda yaqinlashmaydi. Misol. nx ketma-ketligini ko'rib chiqamiz. Ko'rish oson, ammo bu yaqinlashuv bir xil emas: masalan, ixtiyoriy davri bo'lgan funktsiya uchun Furye qatori segmentida n qanchalik katta bo'lmasin, e mavjud. Furye qatori Furye seriyasi umumiy ortogonal funksiyalar sistemasida Furye qatori ortogonal sistemasidagi Furye qatori Furye koeffitsientlarining minimal xossasi Bessel tengsizligi Parseval tengligi Yopiq tizimlar Ortonormal sistemada tizimlarning toʻliqligi va yopiqligi va ruxsat ) b n ^ 1 boʻlgan chiziqli birikmani koʻrib chiqaylik. sobit butun son va integral minimal qiymatini oladigan doimiylarning qiymatlarini toping. Keling, batafsilroq yozamiz Atama bo'yicha integratsiyalash, tizimning ortonormalligi tufayli, biz tenglikning o'ng tomonidagi dastlabki ikkita atama (7) mustaqil, uchinchi had esa salbiy emas. Demak, integral (*) ak = sk da minimal qiymat qabul qiladi.Integral Tn(x) ning chiziqli birikmasi sifatida f(x) funksiyaning ildiz-o`rta kvadratga yaqinlashishi deyiladi. Shunday qilib, /\ funktsiyasining ildiz o'rtacha kvadratiga yaqinlashishi qachon minimal qiymatni oladi. Tn(x) sistemadagi /(x) funksiyaning Furye qatorining 71- qisman yig‘indisi bo‘lganda (. Ak = ck ni o‘rnatib, (7) dan Tenglikni olamiz (9) Bessel o‘ziga xosligi deb ataladi. Uning chap qismidan boshlab. tomoni manfiy emas, u holda undan Bessel tengsizligi kelib chiqadi Bu yerda i ixtiyoriy bo'lgani uchun Bessel tengsizligi kuchaytirilgan shaklda ifodalanishi mumkin, ya'ni har qanday funktsiya uchun /, ortonormal sistemada bu funktsiyaning kvadrat Furye koeffitsientlari qatori ) yaqinlashadi. . Tizim [-x, r] segmentida ortonormal bo'lganligi sababli, trigonometrik Furye qatorining odatiy yozuviga tarjima qilingan tengsizlik (10) integrallanuvchi kvadratga ega bo'lgan har qanday f(x) funktsiyasi uchun do munosabatini beradi. Agar f2(x) integrallansa, u holda tufayli zarur shart(11) tengsizlikning chap tomonidagi qatorning yaqinlashuvi, biz buni olamiz. Parseval tengligi Ayrim tizimlar (^n(x)) uchun (10) formuladagi tengsizlik belgisini (barcha f(x) 6 x funksiyalar uchun) tenglik belgisi bilan almashtirish mumkin. Olingan tenglik Parseval-Steklov tengligi (to'liqlik sharti) deb ataladi. Bessel identifikatori (9) shartni (12) ekvivalent shaklda yozishga imkon beradi kosmik norma bo'yicha 6]. Ta'rif. Ortonormal sistema ( b2[ay b] da to'liq deyiladi, agar biron bir funktsiyani shaklning chiziqli birikmasi orqali o'rtacha aniqlik bilan yaqinlashtirsa bo'ladi. katta raqam atamalar, ya'ni har qanday f(x) ∈ b2[a, b\ funksiya uchun va har qanday e > 0 uchun mavjud bo'lsa. natural son nq va a\, a2y... raqamlari shundayki, Yo‘q Yuqoridagi mulohaza 7-teoremani nazarda tutadi. Agar ortonormallashtirish yo‘li bilan ) sistema fazoda to‘liq bo‘lsa, bu sistemadagi har qanday funktsiya / ning Furye qatori f(x) ga yaqinlashadi. o'rtacha, ya'ni norma bo'yicha Trigonometrik tizim fazoda to'liq ekanligini ko'rsatish mumkin.Bu tasdiqni nazarda tutadi. Teorema 8. Agar funktsiya /0 bo'lsa, uning trigonometrik Furye qatori unga o'rtacha yaqinlashsa. 9.5. yopiq tizimlar. Tizimlarning to'liqligi va yopiqligi Ta'rif. Ortonormal funksiyalar sistemasi \, yopiq deyiladi, agar Li\a fazoda b) barcha funksiyalarga ortogonal nolga teng bo'lmagan funksiya bo'lmasa L2\a, b\ fazoda ortonormal sistemalarning to'liqligi va yopiqligi tushunchalari. mos keladi. Mashqlar 1. Funksiyani Furye qatoridagi (-i-, x) oraliqda kengaytiring. (-r, r) 4. (-jt, r) funksiyada Furye qatorida kengaytirish 5. (-r, r) oraliqda Furye qatorida f (x) \u003d x + x funksiyasini kengaytirish . 6. Furye qatorida (-jt, r) funktsiyani n 7. Furye qatorida (-r, x) / (x) \u003d sin2 x funksiyasini kengaytiring. 8. f(x) = y funktsiyani (-m, jt) oraliqda Furye qatorida kengaytiring 9. Furye qatorini (-mm, -k) oraliqda yoying f(x) = | sinx|. 10. f(x) = g funksiyani (-x-, r) oraliqda Furye qatorida kengaytiring. 11. f (x) \u003d sin § funktsiyasini (-r, r) oraliqda Furye qatorida kengaytiring. 12. (0, x) oraliqda berilgan f (x) = n -2x funksiyani Furye qatorida (-x, 0) oraliqda davom ettirib kengaytiring: a) juftlikda; b) g'alati tarzda. 13. (0, x) oraliqda berilgan / (x) \u003d x2 funktsiyasini sinuslar bo'yicha Furye qatorida kengaytiring. 14. Furye qatorida (-2,2) oraliqda berilgan / (x) \u003d 3-x funksiyasini kengaytiring. 15. (-1,1) oraliqda berilgan f (x) \u003d |x | funksiyasini Furye qatorida kengaytiring. 16. (0,1) oraliqda ko'rsatilgan f (x) \u003d 2x funktsiyasini sinuslar bo'yicha Furye qatorida kengaytiring.
