Jak obliczyć pierwiastek liczby do potęgi. Kalkulator inżynierski. Wprowadzenie pod znakiem korzenia

Aby z powodzeniem wykorzystać operację wyodrębniania korzenia w praktyce, należy zapoznać się z właściwościami tej operacji.
Wszystkie właściwości są formułowane i udowadniane tylko dla nieujemnych wartości zmiennych zawartych pod znakami korzeni.

Twierdzenie 1. Źródło n-ty stopień(n = 2, 3, 4, ...) z iloczynu dwóch nieujemnych komórek chipowych jest równy iloczynowi korzenie nth uprawnienia tych liczb:

Komentarz:

1. Twierdzenie 1 pozostaje ważne w przypadku, gdy wyrażenie radykalne jest iloczynem więcej niż dwóch liczb nieujemnych.

Twierdzenie 2.Gdyby, oraz n - Liczba naturalna większe niż 1, to równość

Krótki(choć nieprecyzyjne) sformułowanie, które jest wygodniejsze w praktyce: korzeń ułamka jest równy ułamkowi korzeni.

Twierdzenie 1 pozwala nam pomnożyć m tylko korzenie tego samego stopnia , tj. tylko korzenie o tym samym indeksie.

Twierdzenie 3 Jeśli ,k jest liczbą naturalną, a n jest liczbą naturalną większą od 1, to równość

Innymi słowy, aby zbudować zakorzenienie w stopień naturalny wystarczy podnieść do tego stopnia radykalny wyraz.
Jest to konsekwencja Twierdzenia 1. Rzeczywiście, na przykład dla k = 3 otrzymujemy: W ten sam sposób można rozumować w przypadku dowolnej innej naturalnej wartości wykładnika k.

Twierdzenie 4 Jeśli ,k, n są liczbami naturalnymi większymi od 1, to równość

Innymi słowy, aby wydobyć korzeń z korzenia, wystarczy pomnożyć indeksy korzeni.
Na przykład,

Bądź ostrożny! Dowiedzieliśmy się, że na pierwiastkach można wykonać cztery operacje: mnożenie, dzielenie, potęgowanie i ekstrakcję korzenia (z korzenia). Ale co z dodawaniem i odejmowaniem korzeni? Nie ma mowy.
Na przykład zamiast tego nie da się napisać Rzeczywiście, ale jest oczywiste, że

Twierdzenie 5 Jeśli indeksy pierwiastka i radykalnego wyrażenia są mnożone lub dzielone przez tę samą liczbę naturalną, wtedy wartość pierwiastka nie zmieni się, tj.

Przykłady rozwiązywania zadań

Przykład 1. Oblicz

Rozwiązanie. Korzystając z pierwszej własności pierwiastków (Twierdzenie 1), otrzymujemy:

Przykład 2. Oblicz
Rozwiązanie. Zamień liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy.
Używamy drugiej właściwości korzeni ( Twierdzenie 2 ), otrzymujemy:

Przykład 3. Oblicz:

Rozwiązanie. Każda formuła w algebrze, jak dobrze wiesz, jest używana nie tylko „od lewej do prawej”, ale także „od prawej do lewej”. Tak więc pierwsza właściwość pierwiastków oznacza, że ​​można ją przedstawić w formie i odwrotnie, można ją zastąpić wyrażeniem. To samo dotyczy drugiej właściwości korzeni. Mając to na uwadze, wykonajmy obliczenia.

Przykłady:

\ (\ sqrt (16) = 2 \) ponieważ \ (2 ^ 4 = 16 \)
\ (\ sqrt (- \ frac (1) (125)) \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (5) \), ponieważ \ ((- \ frac (1) (5) ) ^ 3 \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (125) \)

Jak obliczyć n-ty pierwiastek?

Aby obliczyć pierwiastek \ (n \) - tego stopnia, musisz zadać sobie pytanie: jaka liczba w \ (n \) - tej mocy da pod pierwiastkiem?

Na przykład... Oblicz pierwiastek \ (n \) - stopień: a) \ (\ sqrt (16) \); b) \ (\ sqrt (-64) \); c) \ (\ sqrt (0.00001) \); d) \ (\ sqrt (8000) \); e) \ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) \).

a) Jaka liczba w \ (4 \) --tym stopniu da \ (16 \)? Oczywiście \ (2 \). Dlatego:

b) Jaka liczba w \ (3 \) -tym stopniu da \ (- 64 \)?

\ (\ sqrt (-64) = - 4 \)

c) Jaka liczba w \ (5 \) --tym stopniu da \ (0.00001 \)?

\ (\ sqrt (0.00001) = 0.1 \)

d) Jaka liczba w \ (3 \) -tym stopniu da \ (8000 \)?

\ (\ sqrt (8000) = 20 \)

e) Jaką liczbę w \ (4 \) --tym stopniu da \ (\ frac (1) (81) \)?

\ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) = \ frac (1) (3) \)

Rozważyliśmy najbardziej proste przykłady z korzeniem \ (n \) --tym stopniu. Aby rozwiązać bardziej złożone problemy z pierwiastkami \ (n \) - stopnia - niezbędna jest ich znajomość.

Przykład. Oblicz:

\ (\ sqrt 3 \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9) - \) \ (= \)		W tej chwili nie można obliczyć żadnego z pierwiastków. Dlatego zastosujemy właściwości pierwiastka \ (n \) - tego stopnia i przekształcimy wyrażenie. \ (\ frac (\ sqrt (-64)) (\ sqrt (2)) \)\ (= \) \ (\ sqrt (\ frac (-64) (2)) \) \ (= \) \ (\ sqrt (-32) \) ponieważ \ (\ frac (\ sqrt [n] (a)) (\ sqrt [n] (b)) \)\ (= \) \ (\ sqrt [n] (\ frac (a) (b)) \)
\ (= \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9) - \ sqrt (-32) = \)		Zmieńmy czynniki w pierwszym członie tak, aby: Pierwiastek kwadratowy a pierwiastek \ (n \) - stopień stał obok siebie. Ułatwi to nakładanie właściwości. większość właściwości \ (n \) -tego pierwiastka działa tylko z pierwiastkami tego samego stopnia. I obliczamy pierwiastek piątego stopnia.
\ (= \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (9) - (- 5) = \)		Zastosuj właściwość \ (\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [n] (b) = \ sqrt [n] (a \ cdot b) \) i rozwiń nawias
\ (= \ sqrt (81) \ cdot \ sqrt (-27) + 5 = \)		Oblicz \ (\ sqrt (81) \) i \ (\ sqrt (-27) \)
\ (= 9 \ cdot (-3) +5 = -27 + 5 = -22 \)

Czy pierwiastek n-ty i pierwiastek kwadratowy są powiązane?

W każdym razie każdy rdzeń dowolnego stopnia jest tylko liczbą, nawet jeśli jest napisany w nieznanej formie.

Cecha pierwiastka n-tego stopnia

Pierwiastek \ (n \) --ta potęga o nieparzystym \ (n \) może zostać wydobyty z dowolnej liczby, nawet ujemnej (patrz przykłady na początku). Ale jeśli \ (n \) jest parzyste (\ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \) ...), to taki korzeń jest wyodrębniany tylko jeśli \ ( a ≥ 0 \) (nawiasem mówiąc, pierwiastek kwadratowy ma to samo). Dzieje się tak, ponieważ wyodrębnianie korzenia jest przeciwieństwem potęgowania.

A podniesienie do równej potęgi sprawia, że ​​nawet liczba ujemna jest dodatnia. Rzeczywiście, \ ((- 2) ^ 6 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) = 64 \). Dlatego nie możemy uzyskać parzystej potęgi liczby ujemnej pod pierwiastkiem. Oznacza to, że nie możemy wydobyć takiego pierwiastka z liczby ujemnej.

Nieparzysty stopień takich ograniczeń nie ma - liczba ujemna podniesiona do nieparzystej potęgi pozostanie ujemna: \ ((- 2) ^ 5 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot ( -2) \ cdot (-2) = - 32 \). Dlatego pod pierwiastkiem nieparzystego stopnia możesz uzyskać liczbę ujemną. Oznacza to, że możesz go również wyodrębnić z liczby ujemnej.

Kalkulator inżynierski online

Spieszymy się, aby przedstawić wszystkim darmowy kalkulator inżynierski. Z jego pomocą każdy uczeń może szybko i co najważniejsze łatwo wykonywać różnego rodzaju obliczenia matematyczne online.

Kalkulator pobrany ze strony - kalkulator naukowy web 2.0

Prosty i łatwy w obsłudze kalkulator inżynierski z dyskretnym i zrozumiałym interfejsem naprawdę przyda się najszerszemu gronu internautów. Teraz, gdy potrzebujesz kalkulatora, odwiedź naszą stronę internetową i skorzystaj z bezpłatnego kalkulatora inżynierskiego.

Kalkulator inżynierski jest w stanie wykonywać zarówno proste operacje arytmetyczne, jak i dość złożone obliczenia matematyczne.

Web20calc to kalkulator inżynierski, który ma ogromną liczbę funkcji, na przykład jak obliczyć wszystkie funkcje podstawowe. Również kalkulator obsługuje funkcje trygonometryczne, macierze, logarytmy, a nawet wykresy.

Niewątpliwie Web20calc zainteresuje tę grupę osób, które w poszukiwaniu prostych rozwiązań wpisują zapytanie w wyszukiwarkach: matematycznych kalkulator online... Bezpłatna aplikacja internetowa pomoże Ci natychmiast obliczyć wynik jakiegoś wyrażenia matematycznego, na przykład odejmowanie, dodawanie, dzielenie, wyciąganie pierwiastka, podnoszenie do potęgi itp.

W wyrażeniu można użyć operacji potęgowania, dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, procentu, stałego PI. W przypadku złożonych obliczeń użyj nawiasów.

Funkcje kalkulatora inżynierskiego:

1. podstawowe działania arytmetyczne;
2. pracować z liczbami w standardowej formie;
3. obliczanie pierwiastków trygonometrycznych, funkcji, logarytmów, potęgowanie;
4. obliczenia statystyczne: dodawanie, średnia arytmetyczna lub odchylenie standardowe;
5. zastosowanie komórki pamięci i zdefiniowane przez użytkownika funkcje 2 zmiennych;
6. pracować z kątami w radianach i stopniach.

Kalkulator inżynierski umożliwia korzystanie z różnych funkcji matematycznych:

Ekstrakcja korzeni (pierwiastek kwadratowy, sześcienny i n-ty);
ex (e do potęgi x), wykładnik;
funkcje trygonometryczne: sinus – sin, cosinus – cos, tangens – tan;
odwrotne funkcje trygonometryczne: arcus - sin-1, arcus - cos-1, arcus tangens - tan-1;
funkcje hiperboliczne: sinus – sinh, cosinus – cosh, tangens – tanh;
logarytmy: logarytm binarny o podstawie dwa - log2x, logarytm dziesiętny o podstawie dziesiątej - log, logarytm naturalny - ln.

Ten kalkulator inżynierski zawiera również kalkulator ilościowy z możliwością przeliczania wielkości fizycznych dla różnych systemów miar - jednostek komputerowych, odległości, wagi, czasu itp. Dzięki tej funkcji możesz natychmiast zamienić mile na kilometry, funty na kilogramy, sekundy na godziny itp.

Aby wykonać obliczenia matematyczne, najpierw wprowadź sekwencję wyrażeń matematycznych w odpowiednim polu, a następnie kliknij znak równości i zobacz wynik. Możesz wprowadzać wartości bezpośrednio z klawiatury (w tym celu obszar kalkulatora musi być aktywny, dlatego nie będzie zbyteczne umieszczanie kursora w polu wprowadzania). Między innymi dane można wprowadzać za pomocą przycisków na samym kalkulatorze.

Aby zbudować wykresy należy wpisać funkcję w polu wejściowym tak jak wskazano w polu z przykładami lub skorzystać ze specjalnie zaprojektowanego paska narzędzi (aby przejść do niej należy kliknąć na przycisk z ikoną w postaci wykresu). Aby przeliczyć wartości naciśnij Unit, aby pracować z macierzami - Matrix.

Użytkownicy arkuszy kalkulacyjnych intensywnie korzystają z tej funkcji, aby wyodrębnić pierwiastek liczby. Ponieważ praca z danymi zwykle wymaga przetwarzania dużych liczb, ręczne liczenie może być dość trudne. W tym artykule znajdziesz szczegółową analizę problemu wyodrębniania korzenia dowolnego stopnia w Excelu.

Całkiem proste zadanie, ponieważ program ma osobną funkcję, którą można pobrać z listy. Aby to zrobić, musisz wykonać następujące czynności:

1. Wybierz komórkę, w której chcesz zarejestrować funkcję, klikając ją raz lewym przyciskiem myszy. Pojawia się czarny kontur, aktywny wiersz i kolumna są podświetlone na pomarańczowo, aw komórce adresu pojawia się nazwa.

   

2. Kliknij przycisk „fx” (Wstaw funkcję) nad nazwami kolumn, po komórce adresu, przed paskiem formuły.

   

3. Pojawi się rozwijane menu, w którym musisz znaleźć funkcję „Root”. Można to zrobić w kategorii „Matematyka” lub w „Pełnej liście alfabetycznej”, przewijając menu myszą.

   

4. Wybierz element "Root", klikając raz lewym przyciskiem myszy, a następnie - przycisk "OK".

   

5. Pojawia się następujące menu - „Argumenty funkcji”.

   

6. Wprowadź liczbę lub wybierz komórkę, w której wcześniej zapisano to wyrażenie lub formułę, w tym celu kliknij raz lewym przyciskiem myszy wiersz „Numer”, a następnie przesuń kursor nad potrzebną komórkę i kliknij ją. Nazwa komórki zostanie automatycznie wypełniona ciągiem.

   

7. Kliknij przycisk „OK”.

   

8. I wszystko gotowe, funkcja obliczyła pierwiastek kwadratowy, zapisując wynik do wybranej komórki.

   

Możliwe jest również wyodrębnienie pierwiastka kwadratowego z sumy liczby i komórki (dane, które są zapakowane w tę komórkę) lub dwóch komórek, w tym celu wprowadź wartości w wierszu „Liczba”. Wpisz numer i kliknij raz komórkę, program sam wstawi znak dodawania.

Uwaga! Funkcję tę można również wprowadzić ręcznie. Na pasku formuły wprowadź następujące wyrażenie: „= ROOT (x)”, gdzie x to szukana liczba.

Ekstrakcja korzeni III, IV i innych stopni.

Nie ma oddzielnej funkcji do rozwiązywania tego wyrażenia w programie Excel. Aby wyodrębnić n-ty pierwiastek, musisz najpierw rozważyć go z matematycznego punktu widzenia.

N-ty pierwiastek jest równy podniesieniu liczby do przeciwnej potęgi (1 / n). Oznacza to, że pierwiastek kwadratowy to potęga ½ (lub 0,5).

Na przykład:

• czwarty pierwiastek z 16 to 16 do potęgi ¼;
• pierwiastek sześcienny 64 = 64 do potęgi 1/3;

W programie do obsługi arkuszy kalkulacyjnych można to zrobić na dwa sposoby:

1. Korzystanie z funkcji.
2. Używając ikony stopni „^”, wprowadź wyrażenie ręcznie.

Wyodrębnianie pierwiastka dowolnego stopnia za pomocą funkcji

1. Wybierz żądaną komórkę i kliknij „Wstaw funkcję” w zakładce „Formuły”.

   

2. Rozwiń listę w obszarze Kategoria, w obszarze Matematyka lub Pełna lista alfabetyczna, znajdź funkcję Stopień.

   

   

3. W wierszu „Numer” wprowadź liczbę (w naszym przypadku jest to liczba 64) lub nazwę komórki, klikając ją raz.

   

4. W wierszu „Stopień” wpisz stopień, w jakim chcesz podnieść korzeń (1/3).

   

   Ważny! Aby wskazać znak podziału, musisz użyć znaku „/”, a nie standardowego znaku podziału ":".

5. Kliknij "OK", a wynik akcji pojawi się w pierwotnie wybranej komórce.

   

   

Notatka! Najbardziej szczegółowe instrukcje ze zdjęciem dotyczące pracy z funkcjami znajdują się w powyższym artykule.

Wyodrębnij pierwiastek dowolnego stopnia za pomocą symbolu stopnia „^”

Notatka! Stopień można zapisać jako ułamek lub liczba dziesiętna... Na przykład ułamek ¼ można zapisać jako 0,25. Aby oddzielić części dziesiąte, setne, tysięczne itd., użyj przecinka, jak to jest w zwyczaju w matematyce.

Przykłady pisania wyrażeń