Długość wektora jest określona przez równość. Wektor. Współrzędne wektora. Wybór układu współrzędnych
Przede wszystkim musimy zrozumieć samo pojęcie wektora. Aby wprowadzić definicję wektora geometrycznego, przypomnijmy sobie, czym jest odcinek. Wprowadźmy następującą definicję.
Definicja 1
Odcinek to część linii, która ma dwie granice w postaci punktów.
Segment może mieć 2 kierunki. Aby oznaczyć kierunek, jedną z granic odcinka nazwiemy jego początkiem, a drugą końcem. Kierunek jest wskazywany od początku do końca segmentu.
Definicja 2
Odcinkiem wektorowym lub skierowanym będzie odcinek, dla którego wiadomo, która z granic odcinka jest uważana za początek, a która za jego koniec.
Oznaczenie: Dwuliterowe: $\overline(AB)$ – (gdzie $A$ to początek, a $B$ to koniec).
Jedną małą literą: $\overline(a)$ (ryc. 1).
Wprowadźmy teraz bezpośrednio pojęcie długości wektorów.
Definicja 3
Długość wektora $\overline(a)$ będzie długością odcinka $a$.
Notacja: $|\overline(a)|$
Pojęcie długości wektora kojarzone jest na przykład z takim pojęciem, jak równość dwóch wektorów.
Definicja 4
Dwa wektory nazwiemy równymi, jeśli spełniają dwa warunki: 1. Są współkierunkowe; 1. Ich długości są równe (ryc. 2).
Aby zdefiniować wektory należy podać układ współrzędnych i określić współrzędne wektora w wprowadzonym układzie. Jak wiemy, dowolny wektor można rozłożyć do postaci $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, gdzie $m$ i $n$ są liczbami rzeczywistymi, a $\overline (i )$ i $\overline(j)$ są wektorami jednostkowymi odpowiednio na osi $Ox$ i $Oy$.
Definicja 5
Współrzędne tego wektora we wprowadzonym układzie współrzędnych nazwiemy współczynnikami rozwinięcia wektora $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$. Matematycznie:
$\overline(c)=(m,n)$
Jak znaleźć długość wektora?
Aby wyprowadzić wzór na obliczenie długości dowolnego wektora ze względu na jego współrzędne, należy rozważyć następujący problem:
Przykład 1
Dane: wektor $\overline(α)$ o współrzędnych $(x,y)$. Znajdź: długość tego wektora.
Wprowadźmy na płaszczyźnie kartezjański układ współrzędnych $xOy$. Odsuńmy $\overline(OA)=\overline(a)$ od początków wprowadzonego układu współrzędnych. Skonstruujmy rzuty $OA_1$ i $OA_2$ skonstruowanego wektora odpowiednio na osie $Ox$ i $Oy$ (rys. 3).
Skonstruowany przez nas wektor $\overline(OA)$ będzie wektorem promienia punktu $A$, zatem będzie miał współrzędne $(x,y)$, co oznacza
$=x$, $[OA_2]=y$
Teraz możemy łatwo znaleźć wymaganą długość, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Odpowiedź: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Wniosek: Aby znaleźć długość wektora, którego współrzędne są podane, należy znaleźć pierwiastek kwadratowy z sumy tych współrzędnych.
Przykładowe zadania
Przykład 2
Znajdź odległość pomiędzy punktami $X$ i $Y$, które mają współrzędne odpowiednio: $(-1,5)$ i $(7,3)$.
Dowolne dwa punkty można łatwo powiązać z pojęciem wektora. Rozważmy na przykład wektor $\overline(XY)$. Jak już wiemy, współrzędne takiego wektora można znaleźć odejmując odpowiednie współrzędne punktu początkowego ($X$) od współrzędnych punktu końcowego ($Y$). Rozumiemy to
Przede wszystkim musimy zrozumieć samo pojęcie wektora. Aby wprowadzić definicję wektora geometrycznego, przypomnijmy sobie, czym jest odcinek. Wprowadźmy następującą definicję.
Definicja 1
Odcinek to część linii, która ma dwie granice w postaci punktów.
Segment może mieć 2 kierunki. Aby oznaczyć kierunek, jedną z granic odcinka nazwiemy jego początkiem, a drugą końcem. Kierunek jest wskazywany od początku do końca segmentu.
Definicja 2
Odcinkiem wektorowym lub skierowanym będzie odcinek, dla którego wiadomo, która z granic odcinka jest uważana za początek, a która za jego koniec.
Oznaczenie: Dwuliterowe: $\overline(AB)$ – (gdzie $A$ to początek, a $B$ to koniec).
Jedną małą literą: $\overline(a)$ (ryc. 1).
Wprowadźmy teraz bezpośrednio pojęcie długości wektorów.
Definicja 3
Długość wektora $\overline(a)$ będzie długością odcinka $a$.
Notacja: $|\overline(a)|$
Pojęcie długości wektora kojarzone jest na przykład z takim pojęciem, jak równość dwóch wektorów.
Definicja 4
Dwa wektory nazwiemy równymi, jeśli spełniają dwa warunki: 1. Są współkierunkowe; 1. Ich długości są równe (ryc. 2).
Aby zdefiniować wektory należy podać układ współrzędnych i określić współrzędne wektora w wprowadzonym układzie. Jak wiemy, dowolny wektor można rozłożyć do postaci $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, gdzie $m$ i $n$ są liczbami rzeczywistymi, a $\overline (i )$ i $\overline(j)$ są wektorami jednostkowymi odpowiednio na osi $Ox$ i $Oy$.
Definicja 5
Współrzędne tego wektora we wprowadzonym układzie współrzędnych nazwiemy współczynnikami rozwinięcia wektora $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$. Matematycznie:
$\overline(c)=(m,n)$
Jak znaleźć długość wektora?
Aby wyprowadzić wzór na obliczenie długości dowolnego wektora ze względu na jego współrzędne, należy rozważyć następujący problem:
Przykład 1
Dane: wektor $\overline(α)$ o współrzędnych $(x,y)$. Znajdź: długość tego wektora.
Wprowadźmy na płaszczyźnie kartezjański układ współrzędnych $xOy$. Odsuńmy $\overline(OA)=\overline(a)$ od początków wprowadzonego układu współrzędnych. Skonstruujmy rzuty $OA_1$ i $OA_2$ skonstruowanego wektora odpowiednio na osie $Ox$ i $Oy$ (rys. 3).
Skonstruowany przez nas wektor $\overline(OA)$ będzie wektorem promienia punktu $A$, zatem będzie miał współrzędne $(x,y)$, co oznacza
$=x$, $[OA_2]=y$
Teraz możemy łatwo znaleźć wymaganą długość, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Odpowiedź: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Wniosek: Aby znaleźć długość wektora, którego współrzędne są podane, należy znaleźć pierwiastek kwadratowy z sumy tych współrzędnych.
Przykładowe zadania
Przykład 2
Znajdź odległość pomiędzy punktami $X$ i $Y$, które mają współrzędne odpowiednio: $(-1,5)$ i $(7,3)$.
Dowolne dwa punkty można łatwo powiązać z pojęciem wektora. Rozważmy na przykład wektor $\overline(XY)$. Jak już wiemy, współrzędne takiego wektora można znaleźć odejmując odpowiednie współrzędne punktu początkowego ($X$) od współrzędnych punktu końcowego ($Y$). Rozumiemy to
W tym artykule zaczniemy omawiać jedną „magiczną różdżkę”, która pozwoli Ci zredukować wiele problemów geometrycznych do prostej arytmetyki. Ten „kij” może znacznie ułatwić Ci życie, zwłaszcza gdy nie masz pewności co do konstruowania figur przestrzennych, przekrojów itp. Wszystko to wymaga pewnej wyobraźni i umiejętności praktycznych. Metoda, którą zaczniemy tutaj rozważać, pozwoli ci prawie całkowicie abstrahować od dowolnego rodzaju konstrukcje geometryczne i rozumowanie. Metoda nazywa się „metoda współrzędnych”. W tym artykule rozważymy następujące pytania:
- Płaszczyzna współrzędnych
- Punkty i wektory na płaszczyźnie
- Konstruowanie wektora z dwóch punktów
- Długość wektora (odległość między dwoma punktami).
- Współrzędne środka odcinka
- Iloczyn skalarny wektorów
- Kąt między dwoma wektorami
Myślę, że już zgadłeś, dlaczego tak nazywa się metoda współrzędnych? Zgadza się, otrzymał taką nazwę, ponieważ nie współpracuje z obiekty geometryczne, a wraz z nimi charakterystyki numeryczne(współrzędne). A sama transformacja, która pozwala przejść od geometrii do algebry, polega na wprowadzeniu układu współrzędnych. Jeśli pierwotna figura była płaska, wówczas współrzędne są dwuwymiarowe, a jeśli figura jest trójwymiarowa, wówczas współrzędne są trójwymiarowe. W tym artykule rozważymy tylko przypadek dwuwymiarowy. A głównym celem artykułu jest nauczenie Cię, jak korzystać z niektórych podstawowych technik metody współrzędnych (czasem okazują się one przydatne przy rozwiązywaniu problemów z planimetrii w Części B egzaminu Unified State Exam). Kolejne dwie części tego tematu poświęcone są omówieniu metod rozwiązywania problemów C2 (zagadnienie stereometrii).
Od czego logiczne byłoby rozpoczęcie dyskusji na temat metody współrzędnych? Prawdopodobnie z koncepcji układu współrzędnych. Przypomnij sobie, kiedy spotkałeś ją po raz pierwszy. Wydaje mi się, że w 7 klasie, kiedy dowiedziałeś się o istnieniu funkcja liniowa, Na przykład. Przypomnę, że budowałeś to punkt po punkcie. Pamiętasz? Wybrałeś dowolną liczbę, podstawiłeś ją do wzoru i obliczyłeś w ten sposób. Na przykład, jeśli, to, jeśli, to itd. Co ostatecznie otrzymałeś? I otrzymałeś punkty ze współrzędnymi: i. Następnie narysowałeś „krzyż” (układ współrzędnych), wybrałeś na nim skalę (ile komórek będziesz miał jako segment jednostkowy) i zaznaczyłeś na nim uzyskane punkty, które następnie połączyłeś linią prostą; otrzymany wynik linia jest wykresem funkcji.
Jest tu kilka punktów, które należy wyjaśnić nieco bardziej szczegółowo:
1. Wybierasz pojedynczy segment ze względu na wygodę, aby wszystko ładnie i zwięźle zmieściło się na rysunku.
2. Przyjmuje się, że oś biegnie od lewej do prawej, a oś biegnie od dołu do góry
3. Przecinają się pod kątem prostym, a punkt ich przecięcia nazywany jest początkiem. Jest to oznaczone literą.
4. Pisząc współrzędne punktu, np. po lewej stronie w nawiasie podaje się współrzędne punktu wzdłuż osi, a po prawej stronie wzdłuż osi. W szczególności oznacza to po prostu, że w danym momencie
5. Aby określić dowolny punkt na osi współrzędnych należy wskazać jego współrzędne (2 cyfry)
6. Dla dowolnego punktu leżącego na osi
7. Dla dowolnego punktu leżącego na osi
8. Oś nazywana jest osią x
9. Oś nazywana jest osią y
Teraz zróbmy kolejny krok: zaznaczmy dwa punkty. Połączmy te dwa punkty odcinkiem. I umieścimy strzałkę tak, jakbyśmy rysowali odcinek od punktu do punktu: to znaczy, że skierujemy nasz odcinek!
Pamiętasz, jak nazywa się inny segment kierunkowy? Zgadza się, nazywa się to wektorem!
Jeśli więc połączymy kropkę z kropką, i początek będzie punktem A, a końcem będzie punkt B, wtedy otrzymamy wektor. Ty też robiłeś tę konstrukcję w 8 klasie, pamiętasz?
Okazuje się, że wektory, podobnie jak punkty, można oznaczyć dwiema liczbami: liczby te nazywane są współrzędnymi wektorowymi. Pytanie: Czy sądzisz, że wystarczy znać współrzędne początku i końca wektora, aby znaleźć jego współrzędne? Okazuje się, że tak! Odbywa się to bardzo prosto:
Zatem, ponieważ w wektorze punkt jest początkiem, a punkt końcem, wektor ma następujące współrzędne:
Na przykład, jeśli, to współrzędne wektora
Teraz zróbmy odwrotnie, znajdź współrzędne wektora. Co musimy w tym celu zmienić? Tak, musisz zamienić początek i koniec: teraz początek wektora będzie w punkcie, a koniec będzie w punkcie. Następnie:
Przyjrzyj się uważnie, jaka jest różnica między wektorami a? Jedyną różnicą są znaki we współrzędnych. Są przeciwieństwami. Fakt ten jest zwykle zapisywany w ten sposób:
Czasami, jeśli nie jest wyraźnie określone, który punkt jest początkiem wektora, a który końcem, wówczas wektory oznacza się nie dwiema dużymi literami, ale jedną małą literą, na przykład: , itp.
Teraz trochę ćwiczyć siebie i znajdź współrzędne następujących wektorów:
Badanie:
Teraz rozwiąż nieco trudniejszy problem:
Wektor mający początek w punkcie ma współ-lub-di-na-ty. Znajdź punkty abs-cis-su.
Wszystko to samo jest dość prozaiczne: niech będą współrzędnymi punktu. Następnie
Skompilowałem system w oparciu o definicję współrzędnych wektorowych. Wtedy punkt ma współrzędne. Nas interesuje odcięta. Następnie
Odpowiedź:
Co jeszcze można zrobić z wektorami? Tak, prawie wszystko jest takie samo jak w przypadku zwykłych liczb (z wyjątkiem tego, że nie można dzielić, ale można pomnożyć na dwa sposoby, z których jeden omówimy tutaj nieco później)
- Wektory można dodawać do siebie
- Wektory można od siebie odejmować
- Wektory można mnożyć (lub dzielić) przez dowolną liczbę niezerową
- Wektory można mnożyć przez siebie
Wszystkie te operacje mają bardzo wyraźną reprezentację geometryczną. Na przykład zasada trójkąta (lub równoległoboku) dotycząca dodawania i odejmowania:
Wektor rozciąga się, kurczy lub zmienia kierunek po pomnożeniu lub podzieleniu przez liczbę:
Jednak tutaj będziemy zainteresowani pytaniem, co dzieje się ze współrzędnymi.
1. Dodając (odejmując) dwa wektory, dodajemy (odejmujemy) ich współrzędne element po elemencie. To jest:
2. Podczas mnożenia (dzielenia) wektora przez liczbę wszystkie jego współrzędne są mnożone (dzielone) przez tę liczbę:
Na przykład:
· Znajdź ilość co-or-din-nat stulecie-ra.
Najpierw znajdźmy współrzędne każdego z wektorów. Obydwa mają ten sam początek – punkt początkowy. Ich końcówki są inne. Następnie, . Teraz obliczmy współrzędne wektora, wtedy suma współrzędnych wynikowego wektora będzie równa.
Odpowiedź:
Teraz rozwiąż samodzielnie następujący problem:
· Znajdź sumę współrzędnych wektorowych
Sprawdzamy:
Rozważmy teraz następujący problem: mamy dwa punkty płaszczyzna współrzędnych. Jak znaleźć odległość między nimi? Niech będzie pierwszy punkt i drugi. Oznaczmy odległość między nimi przez. Dla przejrzystości zróbmy następujący rysunek:
Co ja zrobiłem? Przede wszystkim podłączyłem kropki i, a także z punktu narysowałem linię równoległą do osi, a z punktu narysowałem linię równoległą do osi. Czy przecięły się w jednym punkcie, tworząc niezwykłą figurę? Co jest w niej takiego wyjątkowego? Tak, ty i ja wiemy o tym prawie wszystko trójkąt prostokątny. No cóż, na pewno twierdzenie Pitagorasa. Wymagany odcinek to przeciwprostokątna tego trójkąta, a segmenty to nogi. Jakie są współrzędne punktu? Tak, łatwo je znaleźć na obrazku: Ponieważ odcinki są równoległe do osi i odpowiednio ich długości są łatwe do znalezienia: jeśli oznaczymy długości odcinków odpowiednio przez, to
Skorzystajmy teraz z twierdzenia Pitagorasa. Znamy długości nóg, znajdziemy przeciwprostokątną:
Zatem odległość między dwoma punktami jest pierwiastkiem sumy kwadratów różnic ze współrzędnych. Lub - odległość między dwoma punktami to długość łączącego je odcinka. Łatwo zauważyć, że odległość między punktami nie zależy od kierunku. Następnie:
Stąd wyciągamy trzy wnioski:
Poćwiczmy trochę obliczanie odległości między dwoma punktami:
Na przykład, jeśli, to odległość między i jest równa
Albo pójdźmy inną drogą: znajdź współrzędne wektora
I znajdź długość wektora:
Jak widać, to samo!
Teraz poćwicz trochę sam:
Zadanie: znajdź odległość pomiędzy wskazanymi punktami:
Sprawdzamy:
Oto kilka kolejnych problemów wykorzystujących tę samą formułę, chociaż brzmią one nieco inaczej:
1. Znajdź kwadrat długości powieki.
2. Znajdź kwadrat długości powieki
Myślę, że poradziłeś sobie z nimi bez trudności? Sprawdzamy:
1. A to dla uważności) Współrzędne wektorów znaleźliśmy już wcześniej: . Wtedy wektor ma współrzędne. Kwadrat jego długości będzie równy:
2. Znajdź współrzędne wektora
Wtedy kwadrat jego długości wynosi
Nic skomplikowanego, prawda? Prosta arytmetyka, nic więcej.
Poniższych problemów nie da się jednoznacznie sklasyfikować, raczej są ogólna erudycja i umiejętność rysowania prostych obrazów.
1. Znajdź sinus kąta odcięcia, łączącego punkt z osią odciętych.
I
Jak będziemy tutaj postępować? Musimy znaleźć sinus kąta pomiędzy i osią. Gdzie możemy szukać sinusa? Zgadza się, w trójkącie prostokątnym. Co więc musimy zrobić? Zbuduj ten trójkąt!
Ponieważ współrzędne punktu to i, to segment jest równy, i segment. Musimy znaleźć sinus kąta. Przypomnę, że sinus to zatem stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej
Co nam pozostało do zrobienia? Znajdź przeciwprostokątną. Można to zrobić na dwa sposoby: korzystając z twierdzenia Pitagorasa (nogi są znane!) lub korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami (właściwie to samo, co w przypadku pierwszej metody!). Ja pójdę drugą drogą:
Odpowiedź:
Następne zadanie będzie Ci się wydawać jeszcze łatwiejsze. Znajduje się na współrzędnych punktu.
Zadanie 2. Od tego miejsca per-pen-di-ku-lyar jest opuszczany na oś odciętą. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.
Zróbmy rysunek:
Podstawą prostopadłej jest punkt, w którym przecina ona oś x (oś), dla mnie jest to punkt. Z rysunku wynika, że ma on współrzędne: . Nas interesuje odcięta - czyli składnik „x”. Ona jest równa.
Odpowiedź: .
Zadanie 3. W warunkach poprzedniego zadania znajdź sumę odległości punktu od osi współrzędnych.
Zadanie jest na ogół elementarne, jeśli wiadomo, jaka jest odległość punktu od osi. Wiesz, że? Mam nadzieję, ale i tak przypomnę:
Czy na powyższym rysunku narysowałem już jedną taką prostopadłą? Na której osi się znajduje? Do osi. A jaka jest w takim razie jego długość? Ona jest równa. Teraz samodzielnie narysuj prostopadłą do osi i znajdź jej długość. Będzie równo, prawda? Wtedy ich suma jest równa.
Odpowiedź: .
Zadanie 4. W warunkach zadania 2 znajdź rzędną punktu, punkt symetryczny względem osi odciętej.
Myślę, że intuicyjnie jest dla ciebie jasne, czym jest symetria? Wiele obiektów to ma: wiele budynków, stołów, samolotów, wiele figury geometryczne: kula, walec, kwadrat, romb itp. Z grubsza symetrię można rozumieć w następujący sposób: figura składa się z dwóch (lub więcej) identycznych połówek. Symetria ta nazywana jest symetrią osiową. Czym zatem jest oś? To jest dokładnie linia, wzdłuż której figurę można, mówiąc relatywnie, „przeciąć” na równe połowy (na tym zdjęciu oś symetrii jest prosta):
Wróćmy teraz do naszego zadania. Wiemy, że szukamy punktu, który jest symetryczny względem osi. Wtedy ta oś jest osią symetrii. Oznacza to, że musimy zaznaczyć taki punkt, aby oś przecięła odcinek na dwie równe części. Spróbuj sam oznaczyć taki punkt. Teraz porównaj z moim rozwiązaniem:
Czy u Ciebie zadziałało to w ten sam sposób? Cienki! Nas interesuje rzędna znalezionego punktu. To jest równe
Odpowiedź:
A teraz powiedz mi, po kilku sekundach zastanowienia, jaka będzie odcięta punktu symetrycznego do punktu A względem rzędnej? Jaka jest twoja odpowiedź? Poprawna odpowiedź: .
Ogólnie regułę można zapisać w następujący sposób:
Punkt symetryczny do punktu względem osi odciętej ma współrzędne:
Punkt symetryczny do punktu względem osi rzędnych ma współrzędne:
Cóż, teraz jest to całkowicie przerażające zadanie: znajdź współrzędne punktu symetrycznego do punktu względem początku układu współrzędnych. Najpierw pomyśl sam, a potem spójrz na mój rysunek!
Odpowiedź:
Teraz problem z równoległobokiem:
Zadanie 5: Punkty pojawiają się ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Znajdź lub-di-na-tym punkcie.
Problem ten można rozwiązać na dwa sposoby: logicznie i metodą współrzędnych. Najpierw użyję metody współrzędnych, a potem powiem, jak można to rozwiązać inaczej.
Jest całkiem jasne, że odcięta punktu jest równa. (leży na prostopadłej poprowadzonej od punktu do osi odciętej). Musimy znaleźć współrzędną. Skorzystajmy z faktu, że nasza figura jest równoległobokiem, to znaczy, że. Znajdźmy długość odcinka, korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami:
Opuszczamy prostopadłą łączącą punkt z osią. Punkt przecięcia oznaczę literą.
Długość odcinka jest równa. (sam znajdź problem, w którym omawialiśmy ten punkt), wówczas długość odcinka znajdziemy za pomocą twierdzenia Pitagorasa:
Długość odcinka pokrywa się dokładnie z jego rzędną.
Odpowiedź: .
Inne rozwiązanie (podam tylko zdjęcie ilustrujące to)
Postęp rozwiązania:
1. Postępowanie
2. Znajdź współrzędne punktu i długość
3. Udowodnij to.
Inny Problem z długością segmentu:
Punkty pojawiają się na górze trójkąta. Znajdź długość jego linii środkowej, równoległej.
Czy pamiętasz, jaka jest linia środkowa trójkąta? W takim razie to zadanie jest dla Ciebie elementarne. Jeśli nie pamiętasz, przypomnę: środkowa linia trójkąta to linia łącząca środki przeciwległych boków. Jest równoległy do podstawy i równy jej połowie.
Podstawą jest segment. Musieliśmy wcześniej szukać jego długości, jest równa. Następnie długość linii środkowej jest o połowę mniejsza i równa.
Odpowiedź: .
Komentarz: problem ten można rozwiązać w inny sposób, do którego przejdziemy nieco później.
Tymczasem mam dla Ciebie kilka zadań, poćwicz nad nimi, są bardzo proste, ale pomagają Ci lepiej posługiwać się metodą współrzędnych!
1. Punkty znajdują się na górze tra-pecji. Znajdź długość jego linii środkowej.
2. Punkty i występy ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Znajdź lub-di-na-tym punkcie.
3. Znajdź długość od cięcia, łącząc punkt i
4. Znajdź obszar za kolorową figurą na płaszczyźnie współrzędnych.
5. Przez ten punkt przechodzi okrąg o środku w na-cha-le ko-or-din-nat. Znajdź jej rad-di-nas.
6. Znajdź di-te ra-di-us koła, opisz-san-noy o kącie prostym-no-ka, wierzchołki czegoś mają współ-lub -di-na-jesteś tak odpowiedzialny
Rozwiązania:
1. Wiadomo, że linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy jego podstaw. Podstawa jest równa i podstawa. Następnie
Odpowiedź:
2. Najprostszym sposobem rozwiązania tego problemu jest zanotowanie tego (reguła równoległoboku). Obliczanie współrzędnych wektorów nie jest trudne: . Podczas dodawania wektorów dodawane są współrzędne. Następnie ma współrzędne. Punkt ma również te współrzędne, ponieważ początkiem wektora jest punkt o współrzędnych. Nas interesuje rzędna. Ona jest równa.
Odpowiedź:
3. Od razu postępujemy zgodnie ze wzorem na odległość między dwoma punktami:
Odpowiedź:
4. Spójrz na ilustrację i powiedz mi, pomiędzy którymi dwiema postaciami „wciśnięty” jest zacieniony obszar? Jest wciśnięty pomiędzy dwa kwadraty. Następnie obszar pożądanej figury jest równy obszarowi dużego kwadratu minus obszar małego. Bok małego kwadratu to odcinek łączący punkty, a jego długość wynosi
Następnie obszar małego kwadratu wynosi
To samo robimy z dużym kwadratem: jego bok jest odcinkiem łączącym punkty, a jego długość
Następnie obszar dużego kwadratu wynosi
Obszar pożądanej figury znajdujemy za pomocą wzoru:
Odpowiedź:
5. Jeśli okrąg ma początek w środku i przechodzi przez punkt, to jego promień będzie dokładnie równy długości odcinka (zrób rysunek, a zrozumiesz, dlaczego to oczywiste). Znajdźmy długość tego odcinka:
Odpowiedź:
6. Wiadomo, że promień okręgu opisanego na prostokącie jest równy połowie jego przekątnej. Znajdźmy długość dowolnej z dwóch przekątnych (w końcu w prostokącie są one równe!)
Odpowiedź:
No cóż, poradziłeś sobie ze wszystkim? Nie było zbyt trudno to rozgryźć, prawda? Zasada jest tu tylko jedna – umieć stworzyć obraz wizualny i po prostu „odczytać” z niego wszystkie dane.
Niewiele nam zostało. Są jeszcze dwie kwestie, które chciałbym omówić.
Spróbujmy rozwiązać ten prosty problem. Niech dwa punkty zostaną podane. Znajdź współrzędne środka odcinka. Rozwiązanie tego problemu jest następujące: niech punkt będzie pożądanym środkiem, wówczas będzie miał współrzędne:
To jest: współrzędne środka odcinka = średnia arytmetyczna odpowiednich współrzędnych końców odcinka.
Zasada ta jest bardzo prosta i zazwyczaj nie sprawia uczniom trudności. Zobaczmy, jakie problemy i jak się z niego korzysta:
1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, połącz punkt i
2. Punkty wydają się być na szczycie świata. Znajdź punkty di-te or-di-na-tu per-re-se-che-niya jego dia-go-na-ley.
3. Znajdź di-te abs-cis-su środek okręgu, opisz-san-noy o prostokątnym-nie-ka, wierzchołki czegoś mają współ-lub-di-na-ty tak-odpowiedzialnie-ale.
Rozwiązania:
1. Pierwszy problem jest po prostu klasyczny. Natychmiast przystępujemy do wyznaczania środka odcinka. Ma współrzędne. Rzędna jest równa.
Odpowiedź:
2. Łatwo zauważyć, że ten czworokąt jest równoległobokiem (nawet rombem!). Możesz to sam udowodnić, obliczając długości boków i porównując je ze sobą. Co wiem o równoległobokach? Jego przekątne są podzielone na pół w punkcie przecięcia! Tak! Jaki jest zatem punkt przecięcia przekątnych? To jest środek dowolnej przekątnej! Wybiorę w szczególności przekątną. Wtedy punkt ma współrzędne. Współrzędna punktu jest równa.
Odpowiedź:
3. Z czym pokrywa się środek okręgu opisanego na prostokącie? Pokrywa się z punktem przecięcia jego przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta? Są równe i punkt przecięcia dzieli je na pół. Zadanie zostało zredukowane do poprzedniego. Weźmy na przykład przekątną. Zatem jeśli jest środkiem okręgu opisanego, to jest jego środkiem. Szukam współrzędnych: Odcięta jest równa.
Odpowiedź:
Teraz poćwicz trochę sam, podam odpowiedzi na każde pytanie, abyś mógł się sprawdzić.
1. Find-di-te ra-di-us koła, opisz-san-noy o trójkącie-no-ka, wierzchołki czegoś mają co-or-di -no panowie
2. Znajdź di-te lub-di-on-ten środek koła, opisz-san-noy o trójkącie-no-ka, którego wierzchołki mają współrzędne
3. Jakiego rodzaju ra-di-u-sa powinien mieć okrąg ze środkiem w punkcie tak, aby dotykał osi odciętej?
4. Znajdź-te lub-di-na-tym punkcie ponownego oddzielenia osi i od cięcia, połącz punkt i
Odpowiedzi:
Czy wszystko się udało? Naprawdę na to liczę! Teraz - ostatnie pchnięcie. Zachowaj teraz szczególną ostrożność. Materiał, który teraz wyjaśnię, jest bezpośrednio związany nie tylko z prostymi problemami metody współrzędnych z Części B, ale można go również znaleźć wszędzie w Zadaniu C2.
Której z moich obietnic jeszcze nie dotrzymałem? Pamiętacie, jakie operacje na wektorach obiecałem wprowadzić, a jakie ostatecznie wprowadziłem? Jesteś pewien, że o niczym nie zapomniałem? Zapomniałem! Zapomniałem wyjaśnić, co oznacza mnożenie wektorów.
Istnieją dwa sposoby pomnożenia wektora przez wektor. W zależności od wybranej metody otrzymamy obiekty o różnym charakterze:
Iloczyn krzyżowy jest wykonany całkiem sprytnie. O tym, jak to zrobić i dlaczego jest to potrzebne, porozmawiamy w następnym artykule. W tym przypadku skupimy się na iloczynie skalarnym.
Obliczamy to na dwa sposoby:
Jak się domyślasz, wynik powinien być taki sam! Przyjrzyjmy się więc najpierw pierwszej metodzie:
Iloczyn kropkowy za pomocą współrzędnych
Znajdź: - ogólnie przyjęte oznaczenie produkt kropkowy
Wzór do obliczeń jest następujący:
Oznacza to, że iloczyn skalarny = suma iloczynów współrzędnych wektorowych!
Przykład:
Znajdź-di-te
Rozwiązanie:
Znajdźmy współrzędne każdego z wektorów:
Iloczyn skalarny obliczamy korzystając ze wzoru:
Odpowiedź:
Widzisz, absolutnie nic skomplikowanego!
Cóż, teraz spróbuj sam:
· Znajdź skalarne pro-iz-ve-de-nie stuleci i
Czy udało Ci się? Może zauważyłeś mały haczyk? Sprawdźmy:
Współrzędne wektorowe, jak w poprzednim zadaniu! Odpowiedź: .
Oprócz współrzędnych istnieje inny sposób obliczenia iloczynu skalarnego, a mianowicie poprzez długości wektorów i cosinus kąta między nimi:
Oznacza kąt między wektorami i.
Oznacza to, że iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości wektorów i cosinusa kąta między nimi.
Po co nam ta druga formuła, skoro mamy pierwszą, która jest znacznie prostsza, to przynajmniej nie ma w niej cosinusów. I jest to potrzebne, abyśmy z pierwszego i drugiego wzoru mogli wywnioskować, jak znaleźć kąt między wektorami!
Niech zatem zapamiętamy wzór na długość wektora!
Następnie, jeśli podstawię te dane do wzoru na iloczyn skalarny, otrzymam:
Ale w inny sposób:
Więc co ty i ja dostaliśmy? Mamy teraz wzór, który pozwala nam obliczyć kąt między dwoma wektorami! Czasami dla zwięzłości zapisano to również w ten sposób:
Oznacza to, że algorytm obliczania kąta między wektorami jest następujący:
- Oblicz iloczyn skalarny za pomocą współrzędnych
- Znajdź długości wektorów i pomnóż je
- Wynik z punktu 1 podziel przez wynik z punktu 2
Poćwiczmy na przykładach:
1. Znajdź kąt między powiekami i. Podaj odpowiedź w grad-du-sah.
2. W warunkach poprzedniego zadania znajdź cosinus między wektorami
Zróbmy tak: pomogę Ci rozwiązać pierwszy problem, a drugi spróbuj zrobić sam! Zgadzać się? Zatem zaczynajmy!
1. Te wektory to nasi starzy przyjaciele. Obliczyliśmy już ich iloczyn skalarny i był równy. Ich współrzędne to: , . Następnie znajdujemy ich długości:
Następnie szukamy cosinusa między wektorami:
Jaki jest cosinus kąta? To jest róg.
Odpowiedź:
Cóż, teraz rozwiąż sam drugi problem, a następnie porównaj! Podam tylko bardzo krótkie rozwiązanie:
2. ma współrzędne, ma współrzędne.
Niech będzie kątem między wektorami i, a następnie
Odpowiedź:
Należy zauważyć, że problemy bezpośrednio na wektorach i metodzie współrzędnych w części B arkusz egzaminacyjny dość rzadkie. Jednak zdecydowaną większość problemów C2 można łatwo rozwiązać poprzez wprowadzenie układu współrzędnych. Można więc potraktować ten artykuł jako podstawę, na podstawie której wykonamy całkiem sprytne konstrukcje, które będą nam potrzebne do rozwiązania skomplikowanych problemów.
WSPÓŁRZĘDNE I WEKTORY. ŚREDNI POZIOM
Ty i ja kontynuujemy naukę metody współrzędnych. W ostatniej części wyprowadziliśmy szereg ważnych formuł, które pozwalają na:
- Znajdź współrzędne wektora
- Znajdź długość wektora (alternatywnie: odległość między dwoma punktami)
- Dodawanie i odejmowanie wektorów. Pomnóż je przez liczbę rzeczywistą
- Znajdź środek odcinka
- Oblicz iloczyn skalarny wektorów
- Znajdź kąt między wektorami
Oczywiście cała metoda współrzędnych nie mieści się w tych 6 punktach. Leży u podstaw takiej nauki jak geometria analityczna, z którą zapoznasz się na studiach. Chcę tylko zbudować fundament, który pozwoli rozwiązać problemy w jednym państwie. egzamin. Zajęliśmy się zadaniami z Części B. Teraz czas przejść na zupełnie nowy poziom! Artykuł ten zostanie poświęcony metodzie rozwiązywania tych problemów C2, w których zasadne byłoby przejście na metodę współrzędnych. O tej racjonalności decyduje to, co należy znaleźć w zadaniu i jaka liczba jest podana. Użyłbym więc metody współrzędnych, jeśli pytania brzmią:
- Znajdź kąt między dwiema płaszczyznami
- Znajdź kąt między linią prostą a płaszczyzną
- Znajdź kąt między dwiema prostymi
- Znajdź odległość punktu od płaszczyzny
- Znajdź odległość punktu od linii
- Znajdź odległość prostej od płaszczyzny
- Znajdź odległość między dwiema liniami
Jeśli figura podana w opisie problemu jest ciałem obrotowym (kula, cylinder, stożek...)
Odpowiednie liczby dla metody współrzędnych to:
- Prostokątny równoległościan
- Piramida (trójkątna, czworokątna, sześciokątna)
Również z mojego doświadczenia niewłaściwe jest używanie metody współrzędnych dla:
- Znajdowanie obszarów przekroju
- Obliczanie objętości ciał
Należy jednak od razu zaznaczyć, że trzy „niekorzystne” sytuacje dla metody współrzędnych występują w praktyce dość rzadko. W większości zadań może stać się Twoim wybawieniem, zwłaszcza jeśli nie jesteś zbyt dobry w konstrukcjach trójwymiarowych (które czasami mogą być dość skomplikowane).
Jakie są wszystkie liczby, które wymieniłem powyżej? Nie są już płaskie, jak na przykład kwadrat, trójkąt, koło, ale obszerne! W związku z tym musimy rozważyć nie dwuwymiarowy, ale trójwymiarowy układ współrzędnych. Jest to dość proste w konstrukcji: oprócz osi odciętej i rzędnych wprowadzimy jeszcze jedną oś, oś aplikacyjną. Rysunek schematycznie pokazuje ich względne położenie:
Wszystkie są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w jednym punkcie, który nazwiemy początkiem współrzędnych. Tak jak poprzednio, będziemy oznaczać oś odciętych, oś rzędnych - , oraz wprowadzoną oś zastosowania - .
Jeżeli poprzednio każdy punkt na płaszczyźnie charakteryzowano dwiema liczbami – odciętą i rzędną, to każdy punkt w przestrzeni jest już opisany trzema liczbami – odciętą, rzędną i aplikacją. Na przykład:
W związku z tym odcięta punktu jest równa, rzędna wynosi , a zastosowanie wynosi .
Czasem odciętą punktu nazywa się także rzutem punktu na oś odciętych, rzędną - rzutem punktu na oś rzędnych, a aplikatą - rzutem punktu na oś rzędnych. Odpowiednio, jeśli podany jest punkt, to punkt o współrzędnych:
nazywa się rzutem punktu na płaszczyznę
nazywa się rzutem punktu na płaszczyznę
Powstaje naturalne pytanie: czy wszystkie wzory wyprowadzone dla przypadku dwuwymiarowego obowiązują w przestrzeni? Odpowiedź brzmi: tak, są uczciwe i mają taki sam wygląd. Dla małego szczegółu. Myślę, że już zgadłeś, który to. We wszystkich wzorach będziemy musieli dodać jeszcze jeden człon odpowiedzialny za oś zastosowania. Mianowicie.
1. Jeżeli dane są dwa punkty: , to:
- Współrzędne wektora:
- Odległość między dwoma punktami (lub długość wektora)
- Środek odcinka ma współrzędne
2. Jeżeli dane są dwa wektory: i, to:
- Ich iloczyn skalarny jest równy:
- Cosinus kąta między wektorami jest równy:
Jednak przestrzeń nie jest taka prosta. Jak rozumiesz, dodanie jeszcze jednej współrzędnej wprowadza znaczne zróżnicowanie w spektrum postaci „żyjących” w tej przestrzeni. A dla dalszej narracji będę musiał wprowadzić pewne, z grubsza rzecz ujmując, „uogólnienie” linii prostej. To „uogólnienie” będzie płaszczyzną. Co wiesz o samolocie? Spróbuj odpowiedzieć na pytanie, czym jest samolot? Bardzo trudno powiedzieć. Jednak wszyscy intuicyjnie wyobrażamy sobie, jak to wygląda:
Z grubsza rzecz biorąc, jest to rodzaj nieskończonej „arkusza” wklejonej w przestrzeń. Przez „nieskończoność” należy rozumieć, że płaszczyzna rozciąga się we wszystkich kierunkach, to znaczy jej powierzchnia jest równa nieskończoności. Jednak to „praktyczne” wyjaśnienie nie daje najmniejszego pojęcia o budowie samolotu. I to ona będzie nami zainteresowana.
Przypomnijmy sobie jeden z podstawowych aksjomatów geometrii:
- linia prosta przechodzi przez dwa różne punkty na płaszczyźnie i tylko jeden:
Lub jego odpowiednik w przestrzeni:
Oczywiście pamiętasz, jak wyprowadzić równanie prostej z dwóch danych punktów, nie jest to wcale trudne: jeśli pierwszy punkt ma współrzędne: a drugi, to równanie prostej będzie wyglądało następująco:
Robiłeś to w 7 klasie. W przestrzeni równanie prostej wygląda następująco: dajmy sobie dwa punkty o współrzędnych: , wówczas równanie prostej przechodzącej przez nie ma postać:
Na przykład linia przechodzi przez punkty:
Jak należy to rozumieć? Należy to rozumieć następująco: punkt leży na prostej, jeżeli jego współrzędne odpowiadają układowi:
Równanie linii nie będzie nas zbytnio interesowało, ale musimy zwrócić uwagę na bardzo ważne pojęcie wektora kierunku linii. - dowolny niezerowy wektor leżący na danej linii lub do niej równoległy.
Na przykład oba wektory są wektorami kierunkowymi linii prostej. Niech będzie punktem leżącym na prostej i niech będzie jego wektorem kierunku. Wówczas równanie prostej można zapisać w postaci:
Powtórzę jeszcze raz: nie będę specjalnie zainteresowany równaniem linii prostej, ale naprawdę musisz sobie przypomnieć, czym jest wektor kierunkowy! Ponownie: jest to DOWOLNY niezerowy wektor leżący na linii lub do niej równoległy.
Wycofać równanie płaszczyzny na podstawie trzech danych punktów nie jest już tak trywialne i zazwyczaj ta kwestia nie jest poruszana na kursach Liceum. Ale na próżno! Technika ta jest niezbędna, gdy do rozwiązywania złożonych problemów uciekamy się do metody współrzędnych. Zakładam jednak, że chcesz nauczyć się czegoś nowego? Co więcej, będziesz mógł zaimponować swojemu nauczycielowi na uczelni, gdy okaże się, że potrafisz już zastosować technikę, której zwykle uczy się na kursie geometria analityczna. Więc zacznijmy.
Równanie płaszczyzny nie różni się zbytnio od równania prostej na płaszczyźnie, a mianowicie ma postać:
niektóre liczby (nie wszystkie równe zero), ale zmienne, na przykład: itp. Jak widać, równanie płaszczyzny nie różni się zbytnio od równania linii prostej (funkcja liniowa). Pamiętasz jednak, o czym ty i ja się pokłóciliśmy? Powiedzieliśmy, że jeśli mamy trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej, to równanie płaszczyzny można z nich jednoznacznie zrekonstruować. Ale jak? Spróbuję ci to wyjaśnić.
Ponieważ równanie płaszczyzny ma postać:
A punkty należą do tej płaszczyzny, to podstawiając współrzędne każdego punktu do równania płaszczyzny powinniśmy otrzymać poprawną tożsamość:
Zatem istnieje potrzeba rozwiązania trzech równań z niewiadomymi! Dylemat! Zawsze jednak możesz tak założyć (aby to zrobić, musisz podzielić przez). W ten sposób otrzymujemy trzy równania z trzema niewiadomymi:
Nie rozwiążemy jednak takiego układu, ale zapiszemy tajemnicze wyrażenie, które z niego wynika:
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty
\[\lewo| (\begin(tablica)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(tablica)) \right| = 0\]
Zatrzymywać się! Co to jest? Jakiś bardzo nietypowy moduł! Jednak obiekt, który widzisz przed sobą, nie ma nic wspólnego z modułem. Obiekt ten nazywany jest wyznacznikiem trzeciego rzędu. Odtąd, gdy będziesz miał do czynienia z metodą współrzędnych na płaszczyźnie, bardzo często będziesz spotykał się z tymi samymi wyznacznikami. Co to jest wyznacznik trzeciego rzędu? Co dziwne, to tylko liczba. Pozostaje zrozumieć, jaką konkretną liczbę porównamy z wyznacznikiem.
Zapiszmy najpierw wyznacznik trzeciego rzędu w bardziej ogólnej formie:
Gdzie są jakieś liczby. Ponadto przez pierwszy indeks rozumiemy numer wiersza, a przez indeks numer kolumny. Oznacza to na przykład, że liczba ta znajduje się na przecięciu drugiego wiersza i trzeciej kolumny. Zadajmy sobie pytanie: jak dokładnie obliczymy taki wyznacznik? To znaczy, jaką konkretną liczbę z nią porównamy? Dla wyznacznika trzeciego rzędu obowiązuje heurystyczna (wizualna) reguła trójkąta, która wygląda następująco:
- Iloczyn elementów głównej przekątnej (od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu) Iloczyn elementów tworzących pierwszy trójkąt „prostopadle” do głównej przekątnej iloczyn elementów drugiego trójkąta „prostopadle” do główna przekątna
- Iloczyn elementów drugiej przekątnej (od prawego górnego rogu do lewego dolnego rogu) Iloczyn elementów tworzących pierwszy trójkąt „prostopadle” do drugiej przekątnej iloczyn elementów drugiego trójkąta „prostopadle” do przekątna wtórna
- Następnie wyznacznik równa różnicy wartości uzyskane na etapie i
Jeśli zapiszemy to wszystko w liczbach, otrzymamy następujące wyrażenie:
Jednak nie trzeba pamiętać sposobu liczenia w tej formie, wystarczy po prostu zachować w głowie trójkąty i samo pojęcie, co się do czego dodaje, a co następnie od czego odejmuje).
Zilustrujmy metodę trójkąta na przykładzie:
1. Oblicz wyznacznik:
Zastanówmy się, co dodajemy, a co odejmujemy:
Terminy z plusem:
To jest główna przekątna: iloczyn elementów jest równy
Pierwszy trójkąt „prostopadły do głównej przekątnej: iloczyn elementów jest równy
Drugi trójkąt „prostopadły do głównej przekątnej: iloczyn elementów jest równy
Dodaj trzy liczby:
Terminy z minusem
To jest przekątna boczna: iloczyn elementów jest równy
Pierwszy trójkąt „prostopadły do drugiej przekątnej: iloczyn elementów jest równy
Drugi trójkąt „prostopadły do drugiej przekątnej: iloczyn elementów jest równy
Dodaj trzy liczby:
Wszystko, co pozostaje do zrobienia, to odjąć sumę wyrazów „plus” od sumy wyrazów „minus”:
Zatem,
Jak widać, w obliczaniu wyznaczników trzeciego rzędu nie ma nic skomplikowanego ani nadprzyrodzonego. Ważne jest tylko, aby pamiętać o trójkątach i nie popełniać błędów arytmetycznych. Teraz spróbuj obliczyć to samodzielnie:
Sprawdzamy:
- Pierwszy trójkąt prostopadły do głównej przekątnej:
- Drugi trójkąt prostopadły do głównej przekątnej:
- Suma wyrazów z plusem:
- Pierwszy trójkąt prostopadły do drugiej przekątnej:
- Drugi trójkąt prostopadły do przekątnej boku:
- Suma wyrazów z minusem:
- Suma wyrazów z plusem minus suma wyrazów z minusem:
Oto jeszcze kilka wyznaczników, sam oblicz ich wartości i porównaj z odpowiedziami:
Odpowiedzi:
Cóż, czy wszystko się zbiegło? Świetnie, możesz iść dalej! Jeśli pojawią się trudności, moja rada jest następująca: w Internecie istnieje wiele programów do obliczania wyznacznika online. Wystarczy wymyślić własny wyznacznik, samodzielnie go obliczyć, a następnie porównać z tym, co obliczy program. I tak dalej, aż wyniki zaczną się pokrywać. Jestem pewien, że ten moment nie zajmie dużo czasu!
Wróćmy teraz do wyznacznika, który zapisałem, gdy mówiłem o równaniu płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty:
Wystarczy bezpośrednio obliczyć jego wartość (metodą trójkąta) i ustawić wynik na zero. Naturalnie, ponieważ są to zmienne, otrzymasz wyrażenie zależne od nich. To właśnie to wyrażenie będzie równaniem płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty, które nie leżą na tej samej prostej!
Zilustrujmy to prostym przykładem:
1. Konstruuj równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
Zestawiamy wyznacznik dla tych trzech punktów:
Uprośćmy:
Teraz obliczamy to bezpośrednio, korzystając z reguły trójkąta:
\[(\left| (\begin(tablica)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(tablica)) \ prawo| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]
Zatem równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty ma postać:
Teraz spróbuj samodzielnie rozwiązać jeden problem, a następnie omówimy go:
2. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
Cóż, omówmy teraz rozwiązanie:
Stwórzmy wyznacznik:
I oblicz jego wartość:
Wtedy równanie płaszczyzny ma postać:
Lub redukując przez otrzymujemy:
Teraz dwa zadania do samokontroli:
- Skonstruuj równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty:
Odpowiedzi:
Czy wszystko się zbiegło? Ponownie, jeśli pojawią się pewne trudności, moja rada jest następująca: zabierz z głowy trzy punkty (z dużym prawdopodobieństwem nie będą one leżeć na tej samej linii prostej), zbuduj na ich podstawie samolot. A potem sprawdzasz siebie w Internecie. Na przykład na stronie:
Jednak za pomocą wyznaczników skonstruujemy nie tylko równanie płaszczyzny. Pamiętaj, mówiłem, że dla wektorów definiuje się nie tylko iloczyn skalarny. Istnieje również produkt wektorowy, a także produkt mieszany. A jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest liczbą, to iloczyn wektorowy dwóch wektorów będzie wektorem, a wektor ten będzie prostopadły do danych:
Co więcej, jego moduł będzie równy powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach i. Będziemy potrzebować tego wektora do obliczenia odległości punktu od linii. Jak możemy obliczyć iloczyn wektorowy wektorów i czy są podane ich współrzędne? Z pomocą znowu przychodzi nam wyznacznik trzeciego rzędu. Zanim jednak przejdę do algorytmu obliczania iloczynu wektorowego muszę zrobić małą dygresję.
Ta dygresja dotyczy wektorów bazowych.
Schematycznie pokazano je na rysunku:
Jak myślisz, dlaczego nazywa się je podstawowymi? Fakt jest taki :
Lub na zdjęciu:
Ważność tej formuły jest oczywista, ponieważ:
Grafika wektorowa
Teraz mogę zacząć wprowadzać produkt krzyżowy:
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem, który oblicza się według następującej reguły:
Podajmy teraz kilka przykładów obliczania iloczynu krzyżowego:
Przykład 1: Znajdź iloczyn wektorów:
Rozwiązanie: Tworzę wyznacznik:
I obliczam to:
Teraz, przechodząc przez wektory bazowe, powrócę do zwykłego zapisu wektorów:
Zatem:
Teraz spróbuj.
Gotowy? Sprawdzamy:
I tradycyjnie dwa zadania dla kontroli:
- Znajdź iloczyn wektorowy następujących wektorów:
- Znajdź iloczyn wektorowy następujących wektorów:
Odpowiedzi:
Iloczyn mieszany trzech wektorów
Ostatnią konstrukcją, której będę potrzebować, jest iloczyn mieszany trzech wektorów. To, podobnie jak skalar, jest liczbą. Można to obliczyć na dwa sposoby. - poprzez wyznacznik, - poprzez iloczyn mieszany.
Mianowicie, dajmy sobie trzy wektory:
Następnie mieszany iloczyn trzech wektorów, oznaczony przez, można obliczyć jako:
1. - czyli iloczyn mieszany jest iloczynem skalarnym wektora i iloczynem wektorowym dwóch innych wektorów
Na przykład mieszany iloczyn trzech wektorów to:
Spróbuj obliczyć to samodzielnie, korzystając z iloczynu wektorowego i upewnij się, że wyniki się zgadzają!
I znowu - dwa przykłady dla niezależna decyzja:
Odpowiedzi:
Wybór układu współrzędnych
Cóż, teraz mamy całą niezbędną wiedzę do rozwiązywania złożonych problemów geometrii stereometrycznej. Zanim jednak przejdę bezpośrednio do przykładów i algorytmów ich rozwiązywania, uważam, że warto zastanowić się nad następującym pytaniem: jak dokładnie wybrać układ współrzędnych dla konkretnej figury. Przecież to wybór względnego położenia układu współrzędnych i figury w przestrzeni ostatecznie zadecyduje o tym, jak uciążliwe będą obliczenia.
Przypomnę, że w tej sekcji rozważamy następujące liczby:
- Prostokątny równoległościan
- Pryzmat prosty (trójkątny, sześciokątny...)
- Piramida (trójkątna, czworokątna)
- Czworościan (taki sam jak piramida trójkątna)
W przypadku prostokątnego równoległościanu lub sześcianu polecam następującą konstrukcję:
Oznacza to, że umieściłem figurę „w rogu”. Sześcian i równoległościan to bardzo dobre figury. Dla nich zawsze można łatwo znaleźć współrzędne jego wierzchołków. Na przykład, jeśli (jak pokazano na rysunku)
wówczas współrzędne wierzchołków są następujące:
Oczywiście nie musisz o tym pamiętać, ale wskazane jest pamiętanie o tym, jak najlepiej ustawić sześcian lub prostokątny równoległościan.
Prosty pryzmat
Pryzmat jest bardziej szkodliwą figurą. Można go ustawić w przestrzeni na różne sposoby. Najbardziej akceptowalna wydaje mi się jednak następująca opcja:
Trójkątny pryzmat:
Oznacza to, że jeden z boków trójkąta umieszczamy całkowicie na osi, a jeden z wierzchołków pokrywa się z początkiem współrzędnych.
Pryzmat sześciokątny:
Oznacza to, że jeden z wierzchołków pokrywa się z początkiem, a jeden z boków leży na osi.
Piramida czworokątna i sześciokątna:
Sytuacja jest podobna do sześcianu: wyrównujemy dwa boki podstawy z osiami współrzędnych, a jeden z wierzchołków wyrównujemy z początkiem współrzędnych. Jedyną niewielką trudnością będzie obliczenie współrzędnych punktu.
Dla piramidy sześciokątnej - tak samo jak dla pryzmatu sześciokątnego. Głównym zadaniem ponownie będzie znalezienie współrzędnych wierzchołka.
Czworościan (trójkątna piramida)
Sytuacja jest bardzo podobna do tej, którą podałem dla pryzmatu trójkątnego: jeden wierzchołek pokrywa się z początkiem, jeden bok leży na osi współrzędnych.
Cóż, teraz ty i ja w końcu jesteśmy bliscy rozpoczęcia rozwiązywania problemów. Z tego, co powiedziałem na samym początku artykułu, można wyciągnąć następujący wniosek: większość problemów C2 dzieli się na 2 kategorie: problemy kątowe i problemy odległościowe. Najpierw przyjrzymy się problemom znalezienia kąta. Dzielą się one z kolei na następujące kategorie (w miarę wzrostu złożoności):
Problemy ze znalezieniem kątów
- Znalezienie kąta między dwiema prostymi
- Znalezienie kąta pomiędzy dwiema płaszczyznami
Przyjrzyjmy się tym problemom po kolei: zacznijmy od znalezienia kąta pomiędzy dwiema prostymi. Cóż, pamiętaj, czy ty i ja nie rozwiązaliśmy już podobnych przykładów? Pamiętasz, mieliśmy już coś podobnego... Szukaliśmy kąta pomiędzy dwoma wektorami. Przypomnę, jeśli dane są dwa wektory: i, to kąt między nimi wyznacza się z zależności:
Teraz naszym celem jest znalezienie kąta pomiędzy dwiema prostymi. Spójrzmy na „płaski obraz”:
Ile kątów otrzymaliśmy po przecięciu dwóch prostych? Tylko kilka rzeczy. To prawda, że \u200b\u200btylko dwa z nich nie są równe, podczas gdy inne są względem nich pionowe (a zatem pokrywają się z nimi). Który więc kąt powinniśmy wziąć pod uwagę kąt pomiędzy dwiema liniami prostymi: lub? Tutaj zasada jest następująca: kąt między dwiema prostymi jest zawsze nie większy niż stopnie. Oznacza to, że z dwóch kątów zawsze będziemy wybierać kąt o najmniejszej mierze stopnia. Oznacza to, że na tym obrazku kąt między dwiema liniami prostymi jest równy. Aby nie zawracać sobie głowy znajdowaniem za każdym razem najmniejszego z dwóch kątów, przebiegli matematycy zaproponowali zastosowanie modułu. Zatem kąt między dwiema prostymi jest określony wzorem:
Jako uważny czytelnik powinieneś zadać sobie pytanie: skąd dokładnie mamy te liczby, których potrzebujemy do obliczenia cosinusa kąta? Odpowiedź: weźmiemy je z wektorów kierunkowych linii! Zatem algorytm znajdowania kąta między dwiema prostymi jest następujący:
- Stosujemy wzór 1.
Lub bardziej szczegółowo:
- Poszukujemy współrzędnych wektora kierunku pierwszej prostej
- Poszukujemy współrzędnych wektora kierunku drugiej prostej
- Obliczamy moduł ich iloczynu skalarnego
- Szukamy długości pierwszego wektora
- Szukamy długości drugiego wektora
- Pomnóż wyniki z punktu 4 przez wyniki z punktu 5
- Wynik punktu 3 dzielimy przez wynik punktu 6. Otrzymujemy cosinus kąta między liniami
- Jeśli ten wynik pozwala dokładnie obliczyć kąt, poszukaj go
- W przeciwnym razie piszemy poprzez arc cosinus
No cóż, czas przejść do problemów: szczegółowo zademonstruję rozwiązanie dwóch pierwszych, w skrócie przedstawię rozwiązanie drugiego, a do dwóch ostatnich podam jedynie odpowiedzi; musisz sam przeprowadzić dla nich wszystkie obliczenia.
Zadania:
1. W prawym tet-ra-ed-re znajdź kąt między wysokością tet-ra-ed-ra a środkową stroną.
2. W prawym sześciokątnym pi-ra-mi-de sto os-no-va-niya jest równych, a krawędzie boczne są równe, znajdź kąt między liniami i.
3. Długości wszystkich krawędzi prawego czterowęglowego pi-ra-mi-dy są sobie równe. Znajdź kąt między prostymi i jeśli z cięcia - jesteś z danym pi-ra-mi-dy, punkt jest se-re-di-na jego bo-co- drugim żebrze
4. Na krawędzi sześcianu znajduje się punkt, w którym należy znaleźć kąt między prostymi a
5. Punkt - na krawędziach sześcianu. Znajdź kąt pomiędzy prostymi i.
To nie przypadek, że ułożyłem zadania w takiej kolejności. Chociaż nie zacząłeś jeszcze poruszać się po metodzie współrzędnych, sam przeanalizuję najbardziej „problematyczne” figury i zostawię cię, abyś zajął się najprostszą kostką! Stopniowo będziesz musiał nauczyć się pracować ze wszystkimi figurami, będę zwiększać złożoność zadań z tematu na temat.
Zacznijmy rozwiązywać problemy:
1. Narysuj czworościan, umieść go w układzie współrzędnych, jak sugerowałem wcześniej. Ponieważ czworościan jest regularny, wszystkie jego ściany (łącznie z podstawą) są regularnymi trójkątami. Ponieważ nie mamy podanej długości boku, mogę przyjąć, że jest ona równa. Myślę, że rozumiesz, że kąt tak naprawdę nie będzie zależał od tego, jak bardzo nasz czworościan jest „rozciągnięty”? Narysuję także wysokość i środkową w czworościanie. Po drodze narysuję jej bazę (nam też się przyda).
Muszę znaleźć kąt pomiędzy i. Co wiemy? Znamy tylko współrzędne punktu. Oznacza to, że musimy znaleźć współrzędne punktów. Teraz myślimy: punkt to punkt przecięcia wysokości (lub dwusiecznych lub środkowych) trójkąta. A punkt jest punktem podniesionym. Punkt jest środkiem odcinka. Następnie musimy w końcu znaleźć: współrzędne punktów: .
Zacznijmy od najprostszej rzeczy: współrzędnych punktu. Spójrz na rysunek: Jasne jest, że zastosowanie punktu jest równe zeru (punkt leży na płaszczyźnie). Jego rzędna jest równa (ponieważ jest medianą). Trudniej jest znaleźć jej odciętą. Można to jednak łatwo zrobić w oparciu o twierdzenie Pitagorasa: Rozważmy trójkąt. Jej przeciwprostokątna jest równa i jedna z jej nóg jest równa. Następnie:
Wreszcie mamy: .
Teraz znajdźmy współrzędne punktu. Jest oczywiste, że jego zastosowanie jest znowu równe zeru, a jego rzędna jest taka sama jak rzędna punktu. Znajdźmy jego odciętą. Odbywa się to dość trywialnie, jeśli o tym pamiętasz wysokości trójkąta równobocznego w punkcie przecięcia dzieli się proporcjonalnie, licząc od góry. Ponieważ: , to wymagana odcięta punktu, równa długości odcinka, jest równa: . Zatem współrzędne punktu to:
Znajdźmy współrzędne punktu. Oczywiste jest, że jego odcięta i rzędna pokrywają się z odciętą i rzędną punktu. A aplikacja jest równa długości odcinka. - to jedna z nóg trójkąta. Przeciwprostokątna trójkąta to odcinek - noga. Poszukiwano go z powodów, które podkreśliłem pogrubioną czcionką:
Punkt jest środkiem odcinka. Następnie musimy zapamiętać wzór na współrzędne środka odcinka:
To wszystko, teraz możemy poszukać współrzędnych wektorów kierunkowych:
Cóż, wszystko jest gotowe: podstawiamy wszystkie dane do wzoru:
Zatem,
Odpowiedź:
Nie powinieneś bać się takich „przerażających” odpowiedzi: w przypadku problemów C2 jest to powszechna praktyka. Wolałbym być zaskoczony „piękną” odpowiedzią w tej części. Ponadto, jak zauważyłeś, praktycznie nie uciekałem się do niczego innego niż twierdzenie Pitagorasa i własność wysokości trójkąta równobocznego. Oznacza to, że aby rozwiązać problem stereometrii, użyłem minimum stereometrii. Zysk w tym zakresie jest częściowo „wygaszony” przez dość kłopotliwe obliczenia. Ale są dość algorytmiczne!
2. Przedstawmy regularną piramidę sześciokątną wraz z układem współrzędnych i jej podstawą:
Musimy znaleźć kąt między liniami i. Zatem nasze zadanie sprowadza się do znalezienia współrzędnych punktów: . Współrzędne trzech ostatnich znajdziemy za pomocą małego rysunku, a współrzędne wierzchołka znajdziemy poprzez współrzędną punktu. Pracy jest mnóstwo, ale trzeba zacząć!
a) Współrzędna: jasne jest, że jej zastosowanie i rzędna są równe zeru. Znajdźmy odciętą. Aby to zrobić, rozważ trójkąt prostokątny. Niestety, znamy w nim tylko przeciwprostokątną, która jest równa. Spróbujemy znaleźć nogę (jasne jest, że podwojenie długości nogi da nam odciętą punktu). Jak możemy go szukać? Przypomnijmy, jaką figurę mamy u podstawy piramidy? To jest zwykły sześciokąt. Co to znaczy? Oznacza to, że wszystkie boki i wszystkie kąty są równe. Musimy znaleźć jeden taki kąt. Jakieś pomysły? Pomysłów jest wiele, ale jest pewna formuła:
Suma kątów regularnego n-kąta wynosi .
Zatem suma kątów zwykły sześciokąt równe stopniom. Wtedy każdy z kątów jest równy:
Spójrzmy jeszcze raz na zdjęcie. Wiadomo, że odcinek jest dwusieczną kąta. Wtedy kąt jest równy stopniom. Następnie:
Więc skąd.
Zatem ma współrzędne
b) Teraz możemy łatwo znaleźć współrzędne punktu: .
c) Znajdź współrzędne punktu. Ponieważ jego odcięta pokrywa się z długością odcinka, jest równa. Znalezienie rzędnej również nie jest bardzo trudne: jeśli połączymy kropki i wyznaczymy punkt przecięcia prostej jako, powiedzmy, . (zrób to sam, prosta konstrukcja). Zatem rzędna punktu B jest równa sumie długości odcinków. Spójrzmy jeszcze raz na trójkąt. Następnie
Wtedy od Wtedy punkt ma współrzędne
d) Teraz znajdźmy współrzędne punktu. Rozważ prostokąt i udowodnij, że współrzędne punktu to:
e) Pozostaje znaleźć współrzędne wierzchołka. Oczywiste jest, że jego odcięta i rzędna pokrywają się z odciętą i rzędną punktu. Znajdźmy aplikację. Od tego czasu. Rozważmy trójkąt prostokątny. Zgodnie z warunkami problemu, krawędź boczna. To jest przeciwprostokątna mojego trójkąta. Wtedy wysokość piramidy to noga.
Wtedy punkt ma współrzędne:
No cóż, to wszystko, mam współrzędne wszystkich punktów, które mnie interesują. Szukam współrzędnych wektorów kierujących linii prostych:
Szukamy kąta pomiędzy tymi wektorami:
Odpowiedź:
Ponownie przy rozwiązywaniu tego problemu nie posłużyłem się żadnymi wyrafinowanymi technikami poza wzorem na sumę kątów n-kąta foremnego oraz definicją cosinusa i sinusa trójkąta prostokątnego.
3. Ponieważ znowu nie podano długości krawędzi piramidy, uznam je za równe jedności. Tak więc, ponieważ WSZYSTKIE krawędzie, a nie tylko boczne, są sobie równe, to u podstawy piramidy i u mnie jest kwadrat, a ściany boczne są regularnymi trójkątami. Narysujmy taką piramidę, a także jej podstawę na płaszczyźnie, zwracając uwagę na wszystkie dane podane w tekście zadania:
Szukamy kąta pomiędzy i. Kiedy będę szukać współrzędnych punktów, dokonam bardzo krótkich obliczeń. Będziesz musiał je „rozszyfrować”:
b) - środek segmentu. Jego współrzędne:
c) Znajdę długość odcinka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie. Mogę to znaleźć, korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie.
Współrzędne:
d) - środek segmentu. Jego współrzędne to
e) Współrzędne wektora
f) Współrzędne wektora
g) Szukanie kąta:
Sześcian to najprostsza figura. Jestem pewien, że rozwiążesz to sam. Odpowiedzi na zadania 4 i 5 są następujące:
Znalezienie kąta między linią prostą a płaszczyzną
Cóż, czas na proste łamigłówki się skończył! Teraz przykłady będą jeszcze bardziej skomplikowane. Aby znaleźć kąt między prostą a płaszczyzną, postępujemy w następujący sposób:
- Korzystając z trzech punktów, konstruujemy równanie płaszczyzny
,
przy użyciu wyznacznika trzeciego rzędu. - Wykorzystując dwa punkty szukamy współrzędnych wektora kierującego prostej:
- Stosujemy wzór na obliczenie kąta między prostą a płaszczyzną:
Jak widać, wzór ten jest bardzo podobny do tego, którego używaliśmy do obliczania kątów między dwiema prostymi. Struktura po prawej stronie jest po prostu taka sama, a po lewej stronie szukamy teraz sinusa, a nie cosinusa jak poprzednio. No cóż, dodano jedną paskudną czynność - szukanie równania płaszczyzny.
Nie zwlekajmy przykłady rozwiązań:
1. Główny, ale-va-ni-em bezpośredni pryzmat – jesteśmy trójkątem równym biednym. Znajdź kąt między prostą a płaszczyzną
2. W prostokącie par-ral-le-le-pi-pe-de od zachodu Znajdź kąt między prostą a płaszczyzną
3. W prawym pryzmacie o sześciu narożnikach wszystkie krawędzie są równe. Znajdź kąt między prostą a płaszczyzną.
4. W prawym trójkątnym pi-ra-mi-de z os-no-va-ni-em znanych żeber Znajdź róg, ob-ra-zo-van -płaski u podstawy i prosty, przechodzący przez szary żeberka i
5. Długości wszystkich krawędzi prawego czworokąta pi-ra-mi-dy z wierzchołkiem są sobie równe. Znajdź kąt między prostą a płaszczyzną, jeśli punkt leży po stronie krawędzi pi-ra-mi-dy.
Ponownie rozwiążę szczegółowo dwa pierwsze problemy, trzeci krótko, a dwa ostatnie pozostawię do samodzielnego rozwiązania. Poza tym mieliście już do czynienia z piramidami trójkątnymi i czworokątnymi, ale z pryzmatami jeszcze nie.
Rozwiązania:
1. Przedstawmy pryzmat i jego podstawę. Połączmy to z układem współrzędnych i zanotujmy wszystkie dane podane w opisie problemu:
Przepraszam za pewne nieprzestrzeganie proporcji, ale dla rozwiązania problemu nie jest to tak naprawdę ważne. Płaszczyzna jest po prostu „tylną ścianą” mojego pryzmatu. Wystarczy zgadnąć, że równanie takiej płaszczyzny ma postać:
Można to jednak pokazać bezpośrednio:
Wybierzmy dowolne trzy punkty na tej płaszczyźnie: na przykład .
Utwórzmy równanie płaszczyzny:
Ćwicz dla Ciebie: sam oblicz ten wyznacznik. Udało Ci się? Wtedy równanie płaszczyzny wygląda następująco:
Lub po prostu
Zatem,
Aby rozwiązać przykład, muszę znaleźć współrzędne wektora kierunku linii prostej. Ponieważ punkt pokrywa się z początkiem współrzędnych, współrzędne wektora po prostu pokrywają się ze współrzędnymi punktu. Aby to zrobić, najpierw znajdujemy współrzędne punktu.
Aby to zrobić, rozważ trójkąt. Narysujmy wysokość (znaną również jako medianę i dwusieczną) od wierzchołka. Ponieważ rzędna punktu jest równa. Aby znaleźć odciętą tego punktu, musimy obliczyć długość odcinka. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa mamy:
Wtedy punkt ma współrzędne:
Kropka to „podniesiona” kropka:
Następnie współrzędne wektora to:
Odpowiedź:
Jak widać, nie ma nic zasadniczo trudnego w rozwiązywaniu takich problemów. W rzeczywistości proces ten jest nieco bardziej uproszczony przez „prostotę” figury takiej jak pryzmat. Przejdźmy teraz do następnego przykładu:
2. Narysuj równoległościan, narysuj w nim płaszczyznę i linię prostą, a także osobno narysuj jego dolną podstawę:
Najpierw znajdujemy równanie płaszczyzny: Współrzędne trzech leżących na niej punktów:
(dwie pierwsze współrzędne uzyskuje się w sposób oczywisty, a ostatnią współrzędną z obrazka łatwo znaleźć z punktu). Następnie układamy równanie płaszczyzny:
Obliczamy:
Szukamy współrzędnych wektora prowadzącego: jasne jest, że jego współrzędne pokrywają się ze współrzędnymi punktu, prawda? Jak znaleźć współrzędne? Są to współrzędne punktu podniesione wzdłuż osi aplikacji o jeden! . Następnie szukamy żądanego kąta:
Odpowiedź:
3. Narysuj regularną sześciokątną piramidę, a następnie narysuj w niej płaszczyznę i linię prostą.
Tutaj nawet narysowanie płaszczyzny jest problematyczne, nie mówiąc już o rozwiązaniu tego problemu, ale metoda współrzędnych nie ma znaczenia! Jego główną zaletą jest wszechstronność!
Samolot przechodzi przez trzy punkty: . Szukamy ich współrzędnych:
1) . Sam znajdź współrzędne dwóch ostatnich punktów. Aby to zrobić, musisz rozwiązać problem piramidy sześciokątnej!
2) Konstruujemy równanie płaszczyzny:
Szukamy współrzędnych wektora: . (Zobacz ponownie problem piramidy trójkątnej!)
3) Szukanie kąta:
Odpowiedź:
Jak widać, w tych zadaniach nie ma nic nadprzyrodzonego. Trzeba tylko bardzo uważać na korzenie. Odpowiedzi udzielę tylko na dwa ostatnie problemy:
Jak widać, technika rozwiązywania problemów jest wszędzie taka sama: głównym zadaniem jest znalezienie współrzędnych wierzchołków i podstawienie ich do określonych wzorów. Musimy jeszcze rozważyć jeszcze jedną klasę problemów obliczania kątów, a mianowicie:
Obliczanie kątów pomiędzy dwiema płaszczyznami
Algorytm rozwiązania będzie następujący:
- Korzystając z trzech punktów szukamy równania pierwszej płaszczyzny:
- Korzystając z pozostałych trzech punktów szukamy równania drugiej płaszczyzny:
- Stosujemy wzór:
Jak widać, wzór jest bardzo podobny do dwóch poprzednich, za pomocą których szukaliśmy kątów między prostymi oraz między prostą a płaszczyzną. Więc zapamiętanie tego nie będzie dla ciebie trudne. Przejdźmy do analizy zadań:
1. Bok podstawy prawego graniastosłupa trójkątnego jest równy i przekątna ściany bocznej jest równa. Znajdź kąt między płaszczyzną a płaszczyzną osi pryzmatu.
2. W prawym czterokątnym pi-ra-mi-de, którego wszystkie krawędzie są równe, znajdź sinus kąta między płaszczyzną a płaską kością, przechodząc przez punkt per-pen-di-ku- kłamca, ale prosto.
3. W zwykłym pryzmacie czterokątnym boki podstawy są równe, a krawędzie boczne są równe. Na krawędzi znajduje się punkt od-me-che-on, więc tak. Znajdź kąt między płaszczyznami i
4. W prawym czworokątnym pryzmacie boki podstawy są równe i krawędzie boczne są równe. Na krawędzi punktu znajduje się punkt, dzięki któremu Znajdź kąt między płaszczyznami i.
5. Znajdź w sześcianie co-sinus kąta między płaszczyznami i
Rozwiązania problemów:
1. Rysuję regularny (u podstawy trójkąt równoboczny) trójkątny pryzmat i zaznaczam na nim płaszczyzny występujące w opisie problemu:
Musimy znaleźć równania dwóch płaszczyzn: Równanie podstawy jest trywialne: można ułożyć odpowiedni wyznacznik z trzech punktów, ale ja od razu ułożę równanie:
Teraz znajdźmy równanie Punkt ma współrzędne Punkt - Ponieważ jest to mediana i wysokość trójkąta, łatwo go znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa w trójkącie. Wtedy punkt ma współrzędne: Znajdźmy zastosowanie punktu. Aby to zrobić, rozważmy trójkąt prostokątny
Otrzymujemy wtedy następujące współrzędne: Układamy równanie płaszczyzny.
Obliczamy kąt między płaszczyznami:
Odpowiedź:
2. Wykonanie rysunku:
Najtrudniej jest zrozumieć, co to za tajemnicza płaszczyzna, przechodząca prostopadle przez ten punkt. Cóż, najważniejsze jest to, co to jest? Najważniejsze jest uważność! W rzeczywistości linia jest prostopadła. Linia prosta jest również prostopadła. Wtedy płaszczyzna przechodząca przez te dwie linie będzie prostopadła do tej linii i, nawiasem mówiąc, przejdzie przez punkt. Ta płaszczyzna przechodzi również przez szczyt piramidy. Następnie pożądany samolot - A samolot został już nam dany. Szukamy współrzędnych punktów.
Znajdujemy współrzędną punktu przechodzącego przez punkt. Z małego obrazka łatwo wywnioskować, że współrzędne punktu będą następujące: Co jeszcze pozostaje do znalezienia, aby znaleźć współrzędne wierzchołka piramidy? Musisz także obliczyć jego wysokość. Odbywa się to za pomocą tego samego twierdzenia Pitagorasa: najpierw udowodnij to (trywialnie z małych trójkątów tworzących kwadrat u podstawy). Ponieważ według warunku mamy:
Teraz wszystko jest gotowe: współrzędne wierzchołków:
Tworzymy równanie płaszczyzny:
Jesteś już ekspertem w obliczaniu wyznaczników. Bez trudności otrzymasz:
Lub inaczej (jeśli pomnożymy obie strony przez pierwiastek z dwóch)
Znajdźmy teraz równanie płaszczyzny:
(Nie zapomniałeś, jak dostajemy równanie płaszczyzny, prawda? Jeśli nie rozumiesz, skąd się wzięło to minus jeden, to wróć do definicji równania płaszczyzny! Po prostu zawsze okazywało się wcześniej mój samolot należał do początku współrzędnych!)
Obliczamy wyznacznik:
(Możesz zauważyć, że równanie płaszczyzny pokrywa się z równaniem prostej przechodzącej przez punkty i! Zastanów się dlaczego!)
Teraz obliczmy kąt:
Musimy znaleźć sinus:
Odpowiedź:
3. Podchwytliwe pytanie: Jak myślisz, czym jest pryzmat prostokątny? To tylko równoległościan, który dobrze znasz! Zróbmy rysunek od razu! Bazy nie trzeba nawet osobno przedstawiać, tutaj na niewiele się to przyda:
Płaszczyzna, jak zauważyliśmy wcześniej, jest zapisana w postaci równania:
Teraz stwórzmy samolot
Natychmiast tworzymy równanie płaszczyzny:
Szukam kąta:
A teraz odpowiedzi na dwa ostatnie problemy:
Cóż, teraz jest czas na małą przerwę, ponieważ ty i ja jesteśmy wspaniali i wykonaliśmy świetną robotę!
Współrzędne i wektory. Poziom zaawansowany
W tym artykule omówimy z Państwem inną klasę problemów, które można rozwiązać za pomocą metody współrzędnych: problemy z obliczaniem odległości. Mianowicie rozważymy następujące przypadki:
- Obliczanie odległości między przecinającymi się liniami.
Zadania uporządkowałem według rosnącego stopnia trudności. Okazuje się, że najłatwiej go znaleźć odległość punktu od płaszczyzny, a najtrudniej jest znaleźć odległość pomiędzy przecinającymi się liniami. Chociaż oczywiście nie ma rzeczy niemożliwych! Nie zwlekajmy i od razu przystąpmy do rozważenia pierwszej klasy problemów:
Obliczanie odległości punktu od płaszczyzny
Czego potrzebujemy, aby rozwiązać ten problem?
1. Współrzędne punktu
Tak więc, gdy tylko otrzymamy wszystkie niezbędne dane, stosujemy formułę:
Powinieneś już wiedzieć, jak konstruujemy równanie płaszczyzny z poprzednich problemów, które omawiałem w ostatniej części. Przejdźmy od razu do zadań. Schemat jest następujący: 1, 2 - pomagam ci podjąć decyzję, a bardziej szczegółowo 3, 4 - tylko odpowiedź, sam przeprowadzasz rozwiązanie i porównujesz. Zaczynajmy!
Zadania:
1. Biorąc pod uwagę kostkę. Długość krawędzi sześcianu jest równa. Znajdź odległość se-re-di-na od cięcia do płaszczyzny
2. Biorąc pod uwagę prawy czterowęglowy pi-ra-mi-tak, bok boku jest równy podstawie. Znajdź odległość od punktu do płaszczyzny, w której - se-re-di-na krawędziach.
3. W prawym trójkącie pi-ra-mi-de z os-no-va-ni-em krawędź boczna jest równa, a sto ro-na os-no-va-nia jest równe. Znajdź odległość wierzchołka od płaszczyzny.
4. W prawym pryzmacie sześciokątnym wszystkie krawędzie są równe. Znajdź odległość punktu od płaszczyzny.
Rozwiązania:
1. Narysuj sześcian o pojedynczych krawędziach, skonstruuj odcinek i płaszczyznę, oznacz literą środek odcinka
.
Najpierw zacznijmy od najłatwiejszego: znajdź współrzędne punktu. Od tego czasu (pamiętajcie współrzędne środka odcinka!)
Teraz układamy równanie płaszczyzny za pomocą trzech punktów
\[\lewo| (\begin(tablica)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(tablica)) \right| = 0\]
Teraz mogę zacząć znajdować odległość:
2. Zaczynamy od nowa z rysunkiem, na którym zaznaczamy wszystkie dane!
W przypadku piramidy przydatne byłoby osobne narysowanie jej podstawy.
Nawet fakt, że rysuję jak kurczak łapą, nie przeszkodzi nam w łatwym rozwiązaniu tego problemu!
Teraz łatwo jest znaleźć współrzędne punktu
Ponieważ współrzędne punktu, a następnie
2. Zatem skoro współrzędne punktu a są środkiem odcinka
Bez problemu znajdziemy współrzędne dwóch kolejnych punktów na płaszczyźnie, tworzymy równanie płaszczyzny i upraszczamy je:
\[\lewo| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(tablica)) \right|) \right| = 0\]
Ponieważ punkt ma współrzędne: , obliczamy odległość:
Odpowiedź (bardzo rzadka!):
Cóż, wpadłeś na to? Wydaje mi się, że wszystko tutaj jest tak samo techniczne, jak w przykładach, które oglądaliśmy w poprzedniej części. Jestem więc pewien, że jeśli opanowałeś ten materiał, to rozwiązanie pozostałych dwóch problemów nie będzie dla Ciebie trudne. Podam Ci tylko odpowiedzi:
Obliczanie odległości od prostej do płaszczyzny
Tak naprawdę nie ma tu nic nowego. Jak można ustawić linię prostą i płaszczyznę względem siebie? Mają tylko jedną możliwość: przeciąć się, czyli linia prosta jest równoległa do płaszczyzny. Jak myślisz, jaka jest odległość prostej od płaszczyzny, z którą ta prosta przecina się? Wydaje mi się, że tutaj jest jasne, że taka odległość jest równa zeru. Niezbyt ciekawy przypadek.
Drugi przypadek jest trudniejszy: tutaj odległość jest już niezerowa. Ponieważ jednak prosta jest równoległa do płaszczyzny, to każdy punkt linii jest w równej odległości od tej płaszczyzny:
Zatem:
Oznacza to, że moje zadanie zostało zredukowane do poprzedniego: szukamy współrzędnych dowolnego punktu na prostej, szukamy równania płaszczyzny i obliczamy odległość punktu od płaszczyzny. W rzeczywistości takie zadania są niezwykle rzadkie w jednolitym egzaminie państwowym. Udało mi się znaleźć tylko jeden problem, a dane w nim były takie, że metoda współrzędnych nie bardzo miała do niego zastosowanie!
Przejdźmy teraz do innej, znacznie ważniejszej klasy problemów:
Obliczanie odległości punktu od prostej
Czego potrzebujemy?
1. Współrzędne punktu, od którego szukamy odległości:
2. Współrzędne dowolnego punktu leżącego na prostej
3. Współrzędne wektora kierującego linii prostej
Jakiej formuły używamy?
Co oznacza mianownik tego ułamka, powinno być dla ciebie jasne: jest to długość wektora kierującego linii prostej. To bardzo trudny licznik! Wyrażenie oznacza moduł (długość) iloczynu wektorów oraz Jak obliczyć iloczyn wektorowy, badaliśmy w poprzedniej części pracy. Odśwież swoją wiedzę, będzie nam teraz bardzo potrzebna!
Zatem algorytm rozwiązywania problemów będzie następujący:
1. Szukamy współrzędnych punktu, od którego szukamy odległości:
2. Poszukujemy współrzędnych dowolnego punktu na prostej, do którego szukamy odległości:
3. Skonstruuj wektor
4. Zbuduj wektor kierunkowy linii prostej
5. Oblicz iloczyn wektorowy
6. Szukamy długości wynikowego wektora:
7. Oblicz odległość:
Mamy dużo pracy, a przykłady będą dość skomplikowane! Więc teraz skup całą swoją uwagę!
1. Biorąc pod uwagę trójkątny pi-ra-mi-da z wierzchołkiem. Sto ro-na podstawie pi-ra-mi-dy jest równe, jesteście równi. Znajdź odległość od szarej krawędzi do prostej, gdzie punkty i są szarymi krawędziami oraz od weterynaryjnej.
2. Długości żeber i kąta prostego-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da są odpowiednio równe i Znajdź odległość od góry do linii prostej
3. W prawym pryzmacie sześciokątnym wszystkie krawędzie są równe, znajdź odległość punktu od linii prostej
Rozwiązania:
1. Wykonujemy schludny rysunek, na którym zaznaczamy wszystkie dane:
Mamy mnóstwo pracy! Na początek chciałbym opisać słowami czego będziemy szukać i w jakiej kolejności:
1. Współrzędne punktów i
2. Współrzędne punktu
3. Współrzędne punktów i
4. Współrzędne wektorów i
5. Ich produkt krzyżowy
6. Długość wektora
7. Długość produktu wektorowego
8. Odległość od do
Cóż, przed nami mnóstwo pracy! Zabieramy się do tego z podwiniętymi rękawami!
1. Aby znaleźć współrzędne wysokości ostrosłupa, musimy znać współrzędne punktu.Jego aplikator wynosi zero, a jego rzędna jest równa odciętej i jest równa długości odcinka.Ponieważ jest to wysokość trójkąt równoboczny, dzieli się go w stosunku, licząc od wierzchołka, stąd. Wreszcie mamy współrzędne:
Współrzędne punktu
2. - środek segmentu
3. - środek segmentu
Środek odcinka
4.Współrzędne
Współrzędne wektora
5. Oblicz iloczyn wektorowy:
6. Długość wektora: najłatwiej zamienić tak, aby odcinek stanowił linię środkową trójkąta, czyli był równy połowie podstawy. Więc.
7. Oblicz długość iloczynu wektorowego:
8. Na koniec znajdujemy odległość:
Uff, to tyle! Powiem Ci szczerze: rozwiązanie tego problemu tradycyjnymi metodami (poprzez konstrukcję) byłoby znacznie szybsze. Ale tutaj zredukowałem wszystko do gotowego algorytmu! Myślę, że algorytm rozwiązania jest dla Ciebie jasny? Dlatego poproszę Cię o samodzielne rozwiązanie pozostałych dwóch problemów. Porównajmy odpowiedzi?
Powtarzam: łatwiej (szybciej) rozwiązać te problemy poprzez konstrukcje, niż uciekać się do nich metoda współrzędnych. Zademonstrowałem tę metodę rozwiązania tylko po to, aby pokazać uniwersalną metodę, która pozwala „nie kończyć niczego budowania”.
Na koniec rozważmy ostatnią klasę problemów:
Obliczanie odległości pomiędzy przecinającymi się liniami
Tutaj algorytm rozwiązywania problemów będzie podobny do poprzedniego. Co mamy:
3. Dowolny wektor łączący punkty pierwszej i drugiej linii:
Jak znaleźć odległość między liniami?
Formuła jest następująca:
Licznik to moduł iloczynu mieszanego (wprowadziliśmy go w poprzedniej części), a mianownikiem jest, podobnie jak w poprzednim wzorze (moduł iloczynu wektorowego wektorów kierunkowych prostych, odległość między którymi liczymy szuka).
Przypomnę ci to
Następnie wzór na odległość można przepisać jako:
To jest wyznacznik podzielony przez wyznacznik! Chociaż szczerze mówiąc, nie mam tu czasu na żarty! Wzór ten jest w istocie bardzo uciążliwy i prowadzi do dość skomplikowanych obliczeń. Na Twoim miejscu uciekałbym się do tego tylko w ostateczności!
Spróbujmy rozwiązać kilka problemów powyższą metodą:
1. W prawym trójkątnym pryzmacie, którego wszystkie krawędzie są równe, znajdź odległość między liniami prostymi i.
2. Biorąc pod uwagę prawy trójkątny pryzmat, wszystkie krawędzie podstawy są równe przekroju przechodzącemu przez żebro korpusu, a żebra se-re-di-well są kwadratem. Znajdź odległość między liniami prostymi i
Ja decyduję o pierwszym i na tej podstawie Ty decydujesz o drugim!
1. Rysuję pryzmat i zaznaczam linie proste oraz
Współrzędne punktu C: wtedy
Współrzędne punktu
Współrzędne wektora
Współrzędne punktu
Współrzędne wektora
Współrzędne wektora
\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(tablica)(*(20)(l))(\begin(tablica)(*(20)(c))0&1&0\end(tablica))\\(\begin(tablica)(*(20) (c))0&0&1\end(tablica))\\(\begin(tablica)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(tablica))\end(tablica)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]
Obliczamy iloczyn wektorowy między wektorami i
\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(tablica)(l)\begin(tablica)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(tablica)\end(tablica) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]
Teraz obliczamy jego długość:
Odpowiedź:
Teraz spróbuj dokładnie wykonać drugie zadanie. Odpowiedź na to będzie brzmieć: .
Współrzędne i wektory. Krótki opis i podstawowe wzory
Wektor jest segmentem skierowanym. - początek wektora, - koniec wektora.
Wektor jest oznaczony przez lub.
Całkowita wartość wektor - długość odcinka reprezentującego wektor. Oznaczone jako.
Współrzędne wektora:
,
gdzie są końce wektora \displaystyle a .
Suma wektorów: .
Iloczyn wektorów:
Iloczyn skalarny wektorów:
Iloczyn skalarny wektorów jest równy ich iloczynowi Wartości bezwzględne przez cosinus kąta między nimi:
POZOSTAŁE 2/3 ARTYKUŁÓW DOSTĘPNE JEST TYLKO DLA MĄDRYCH STUDENTÓW!
Zostań uczniem YouClever,
Przygotuj się do Unified State Exam lub Unified State Exam z matematyki w cenie „filiżanki kawy miesięcznie”,
A także uzyskaj nieograniczony dostęp do podręcznika „YouClever”, Programu Przygotowawczego (zeszyt ćwiczeń) „100gia”, bez ograniczeń próbny jednolity egzamin państwowy i OGE, 6000 problemów z analizą rozwiązań i innymi usługami YouClever i 100gia.
12. Długość wektora, długość odcinka, kąt między wektorami, warunek prostopadłości wektorów.
Wektor - Jest to skierowany odcinek łączący dwa punkty w przestrzeni lub na płaszczyźnie. Wektory są zwykle oznaczane małymi literami lub punktami początkowymi i końcowymi. Zwykle na górze znajduje się kreska.
Na przykład wektor skierowany od punktu A do momentu B, można wyznaczyć A ,
Wektor zerowy 0 lub 0 - Jest to wektor, którego punkty początkowe i końcowe pokrywają się, tj. A = B. Stąd, 0 = – 0 .
Długość wektora (moduł)A jest długością reprezentującego go odcinka AB, oznaczone przez |A | . W szczególności | 0 | = 0.
Wektory nazywane są współliniowy, jeśli ich skierowane odcinki leżą na liniach równoległych. Wektory współliniowe A I B są wyznaczone A || B .
Nazywa się trzy lub więcej wektorów współpłaszczyznowy, jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie.
Dodatek wektorowy. Ponieważ wektory są skierowany segmentów, wówczas można dokonać ich dodania geometrycznie. (Dodawanie algebraiczne wektorów opisano poniżej, w paragrafie „Wektory ortogonalne jednostkowe”). Udawajmy, że
A = AB I B = PŁYTA CD,
następnie wektor __ __
A + B = AB+ płyta CD
jest wynikiem dwóch operacji:
A)transfer równoległy jeden z wektorów tak, aby jego punkt początkowy pokrywał się z punktem końcowym drugiego wektora;
B)dodatek geometryczny, tj. konstruowanie wynikowego wektora przechodzącego od punktu początkowego ustalonego wektora do punktu końcowego przeniesionego wektora.
Odejmowanie wektorów. Operację tę sprowadza się do poprzedniej poprzez zastąpienie wektora odejmowania jego przeciwnym: A – B =A + (– B ) .
Prawa dodawania.
I. A + B = B + A (Prawo przejściowe).
II. (A + B ) + C = A + (B + C ) (Prawo kombinacyjne).
III. A + 0 = A .
IV. A + (– A ) = 0 .
Prawa mnożenia wektora przez liczbę.
I. 1 · A = A , 0 · A = 0 , M· 0 = 0 , (– 1) · A = – A .
II. MA = A M,| MA | = | M | · | | .
III. m (nA ) = (min)A . (C o m b e t a l
prawo mnożenia przez liczbę).
IV. (m+n) A = MA + rzA , (DYSTRYBUCJA
M(A + B ) = MA + mB . prawo mnożenia przez liczbę).
Iloczyn skalarny wektorów. __ __
Kąt między niezerowymi wektorami AB I płyta CD– jest to kąt utworzony przez wektory, gdy są przenoszone równolegle, aż punkty zrównają się A I C. Iloczyn skalarny wektorówA I B nazywa się liczbą równą iloczyn ich długości i cosinus kąta między nimi:
Jeżeli jeden z wektorów jest równy zero, to ich iloczyn skalarny, zgodnie z definicją, jest równy zero:
(A, 0 ) = ( 0 , B ) = 0 .
Jeżeli oba wektory są niezerowe, wówczas cosinus kąta między nimi oblicza się ze wzoru:
Iloczyn skalarny ( za, za ), równy | A | 2, tzw kwadrat skalarny. Długość wektora A i jego kwadrat skalarny są powiązane wzorem:
Iloczyn skalarny dwóch wektorów:
- pozytywnie, jeśli kąt między wektorami pikantny;
- negatywny, jeśli kąt między wektorami tępy.
Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest wtedy równy zero i tylko wtedy, gdy kąt między nimi jest prosty, tj. gdy te wektory są prostopadłe (ortogonalne):
Właściwości iloczynu skalarnego. Dla dowolnych wektorów A, pne i dowolny numer M obowiązują następujące zależności:
I. (A, B ) = (b, a ) . (Prawo przejściowe)
II. (MA, B ) = M(A, B ) .
III.(a+b, c ) = (A, C ) + (B, C ). (Prawo rozdzielcze)
Jednostkowe wektory ortogonalne. W każdym razie układ prostokątny można wprowadzić współrzędne jednostkowe wektory ortogonalne paramiI , J I k powiązane z osiami współrzędnych: I – z osią X, J – z osią Y I k – z osią Z. Zgodnie z tą definicją:
(I ,J ) = (I , k ) = (J , k ) = 0,
| ja | =| j | =| k | = 1.
Dowolny wektor A można wyrazić za pomocą tych wektorów w unikalny sposób: A = Xja+ yj+ zk . Inna forma nagrywania: A = (x, y, z). Tutaj X, y, z - współrzędne wektor A w tym układzie współrzędnych. Zgodnie z ostatnią zależnością i własnościami jednostkowych wektorów ortogonalnych ja, j , k Iloczyn skalarny dwóch wektorów można wyrazić inaczej.
Pozwalać A = (x, y, z); B = (ty, v, w). Następnie ( A, B ) = xu + yw + zw.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy sumie iloczynów odpowiednich współrzędnych.
Długość wektora (moduł) A = (X, y, z ) jest równe:
Ponadto mamy teraz możliwość prowadzenia algebraiczny operacje na wektorach, czyli dodawanie i odejmowanie wektorów, można wykonywać za pomocą współrzędnych:
+ b = (x + u, y + v, z + w) ;
A – b = (X–ty, y– v, z–w) .
Iloczyn krzyżowy wektorów. Grafika wektorowa [A, B ] wektoryA IB (w tej kolejności) nazywa się wektorem:
Istnieje inny wzór na długość wektora [ a, b ] :
| [ a, b ] | = | A | | B | grzech ( a, b ) ,
tj. długość ( moduł ) iloczyn wektorowy wektorówA IB jest równy iloczynowi długości (modułów) tych wektorów i sinusa kąta między nimi. Innymi słowy: długość (moduł) wektora[ a, b ] liczbowo równy obszarowi równoległoboku zbudowanego na wektorach A IB .
Właściwości produktu wektorowego.
I. Wektor [ a, b ] prostopadle (prostokątny) oba wektory A I B .
(Udowodnij to, proszę!).
II.[ A, B ] = – [b, a ] .
III. [ MA, B ] = M[A, B ] .
IV. [ a+b, c ] = [ A, C ] + [ B, C ] .
V. [ A, [ pne ] ] = B (a, c ) – C (a, b ) .
VI. [ [ A, B ] , C ] = B (a, c ) – A (pne ) .
Warunek konieczny i wystarczający kolinearności wektory A = (x, y, z) I B = (ty, v, w) :
Warunek konieczny i wystarczający współpłaszczyznowości wektory A = (x, y, z), B = (ty, v, w) I C = (p, q, r) :
PRZYKŁAD Dane są wektory: A = (1, 2, 3) i B = (– 2 , 0 ,4).
Oblicz ich iloczyny punktowe i krzyżowe oraz kąt
pomiędzy tymi wektorami.
Rozwiązanie Stosując odpowiednie wzory (patrz wyżej) otrzymujemy:
A). iloczyn skalarny:
(a, b ) = 1 · (– 2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;
B). produkt wektorowy:
| " |
