Metoda współrzędnych odległości od linii do linii. Odległość od punktu do linii w przestrzeni - teoria, przykłady, rozwiązania. Współrzędne i odległość rzutowania punktów

Wzór na obliczanie odległości od punktu do linii prostej na płaszczyźnie

Jeśli podane jest równanie prostej Ax + By + C \u003d 0, to odległość od punktu M (M x, M y) do prostej można obliczyć za pomocą następującego wzoru

Przykłady zadań obliczania odległości od punktu do linii na płaszczyźnie

Przykład 1.

Znajdź odległość między linią 3x + 4y - 6 \u003d 0 a punktem M (-1, 3).

Decyzja. Zastąp we wzorze współczynniki prostej i współrzędne punktu

Odpowiedź: odległość od punktu do linii prostej wynosi 0,6.

równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty prostopadłe do wektora Ogólne równanie płaszczyzny

Wywoływany jest niezerowy wektor prostopadły do \u200b\u200bdanej płaszczyzny wektor normalny (lub w skrócie normalna ) dla tego samolotu.

Niech przestrzeń współrzędnych (w prostokątnym układzie współrzędnych) będzie podana:

punkt ;

b) wektor niezerowy (rysunek 4.8, a).

Konieczne jest sporządzenie równania płaszczyzny przechodzącej przez punkt prostopadle do wektora Koniec dowodu.

Rozważmy teraz różne typy równań prostej na płaszczyźnie.

1) Ogólne równanie samolotuP. .

Z wyprowadzenia równania wynika, że \u200b\u200bjednocześnie ZA, b i do różna od 0 (wyjaśnij dlaczego).

Punkt należy do płaszczyzny P. tylko wtedy, gdy jego współrzędne spełniają równanie płaszczyzny. W zależności od szans ZA, b, do i resamolot P. zajmuje takie czy inne stanowisko:

- płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych, - płaszczyzna nie przechodzi przez początek układu współrzędnych,

- płaszczyzna jest równoległa do osi X,

X,

- płaszczyzna jest równoległa do osi Y,

- płaszczyzna nie jest równoległa do osi Y,

- płaszczyzna jest równoległa do osi Z,

- płaszczyzna nie jest równoległa do osi Z.

Udowodnij sobie te stwierdzenia.

Równanie (6) można łatwo wyprowadzić z równania (5). Rzeczywiście, niech punkt leży na płaszczyźnie P.... Wtedy jego współrzędne spełniają równanie Odejmując równanie (7) od równania (5) i grupując wyrazy, otrzymujemy równanie (6). Rozważmy teraz odpowiednio dwa wektory ze współrzędnymi. Ze wzoru (6) wynika, że \u200b\u200bich iloczyn skalarny jest równy zero. Dlatego wektor jest prostopadły do \u200b\u200bwektora, a początek i koniec ostatniego wektora znajdują się odpowiednio w punktach należących do płaszczyzny P.... Dlatego wektor jest prostopadły do \u200b\u200bpłaszczyzny P.... Odległość od punktu do płaszczyzny P., którego ogólne równanie to określony wzorem Dowód tego wzoru jest całkowicie analogiczny do dowodu wzoru na odległość między punktem a linią (patrz rys. 2).
Postać: 2. Do wyprowadzenia wzoru na odległość między płaszczyzną a linią prostą.

Rzeczywiście, odległość re między linią prostą a płaszczyzną jest

gdzie jest punkt leżący w samolocie. Stąd, podobnie jak w wykładzie nr 11, otrzymujemy powyższy wzór. Dwie płaszczyzny są równoległe, jeśli ich wektory normalne są równoległe. Z tego uzyskujemy warunek równoległości dwóch płaszczyzn - współczynniki ogólnych równań płaszczyzn. Dwie płaszczyzny są prostopadłe, jeśli ich wektory normalne są prostopadłe, stąd otrzymujemy warunek prostopadłości dwóch płaszczyzn, jeśli znane są ich ogólne równania

Kąt fa między dwiema płaszczyznami jest równy kątowi między ich normalnymi wektorami (patrz rys. 3) i dlatego można go obliczyć za pomocą wzoru
Określenie kąta między płaszczyznami.

(11)

Odległość od punktu do płaszczyzny i sposoby jej znalezienia

Odległość od punktu do samolot - długość prostopadłej zrzuconej z punktu na tę płaszczyznę. Istnieją co najmniej dwa sposoby, aby znaleźć odległość od punktu do płaszczyzny: geometryczny i algebraiczny.

Metodą geometryczną najpierw musisz zrozumieć, w jaki sposób prostopadła jest położona od punktu do płaszczyzny: może leży na jakiejś dogodnej płaszczyźnie, jest wysokością w jakimś dogodnym (lub nie) trójkącie, a może ta prostopadła jest ogólnie wysokością w jakiejś piramidzie.

Po tym pierwszym i najtrudniejszym etapie zadanie dzieli się na kilka konkretnych zadań planimetrycznych (być może na różnych płaszczyznach).

W sposób algebraiczny aby znaleźć odległość od punktu do płaszczyzny, należy wprowadzić układ współrzędnych, znaleźć współrzędne punktu i równanie płaszczyzny, a następnie zastosować wzór na odległość od punktu do płaszczyzny.

Rozważ zastosowanie analizowanych metod do wyznaczania odległości od danego punktu do danej prostej na płaszczyźnie podczas rozwiązywania przykładu.

Znajdź odległość od punktu do linii prostej:

Najpierw rozwiążmy problem w pierwszy sposób.

W stanie zadania otrzymujemy ogólne równanie prostej a postaci:

Znajdźmy ogólne równanie prostej b, która przechodzi przez dany punkt prostopadły do \u200b\u200bprostej:

Ponieważ linia b jest prostopadła do prostej a, wektor kierunkowy linii b jest wektorem normalnym danej linii:

to znaczy wektor kierunkowy prostej b ma współrzędne. Teraz możemy zapisać równanie kanoniczne prostej b na płaszczyźnie, ponieważ znamy współrzędne punktu M 1, przez który przechodzi prosta b, oraz współrzędne wektora kierunkowego prostej b:

Z otrzymanego równania kanonicznego prostej b przechodzimy do ogólnego równania prostej:

Teraz współrzędne punktu przecięcia prostych a i b (oznaczmy to przez H 1) znajdziemy rozwiązując układ równań składających się z ogólnych równań prostych a i b (w razie potrzeby odwołaj się do artykułu rozwiązywanie układów równania liniowe):

Zatem punkt H 1 ma współrzędne.

Pozostaje obliczyć wymaganą odległość od punktu M 1 do linii a jako odległość między punktami i:

Drugi sposób rozwiązania problemu.

Otrzymujemy równanie normalne podanej linii. Aby to zrobić, obliczamy wartość współczynnika normalizującego i mnożymy przez niego obie strony pierwotnego ogólnego równania prostej:

(rozmawialiśmy o tym w części poświęconej redukcji ogólnego równania prostej do postaci normalnej).

Czynnikiem normalizującym jest

wtedy normalne równanie prostej ma postać:

Teraz bierzemy wyrażenie po lewej stronie wynikowego równania normalnego linii prostej i obliczamy jego wartość przy:

Wymagana odległość od danego punktu do danej prostej:

na równi całkowita wartość uzyskana wartość, czyli pięć ().

odległość od punktu do linii:

Oczywiście zaletą metody znajdowania odległości od punktu do linii prostej na płaszczyźnie, opartej na zastosowaniu równania normalnego prostej, jest stosunkowo mniejsza ilość pracy obliczeniowej. Z kolei pierwsza metoda wyznaczania odległości od punktu do linii prostej jest intuicyjna i wyróżnia się konsekwencją i konsekwencją.

Prostokątny układ współrzędnych Oxy jest ustalony na płaszczyźnie, określono punkt i linię prostą:

Znajdź odległość od danego punktu do danej prostej.

Pierwszy sposób.

Możesz przejść od podanego równania prostej z nachyleniem do ogólnego równania tej prostej i postępować tak samo jak w powyższym przykładzie.

Ale możesz zrobić inaczej.

Wiemy, że iloczyn nachyleń prostych prostopadłych wynosi 1 (patrz artykuł Proste prostopadłe, proste prostopadłe). Dlatego nachylenie prostej prostopadłej do danej prostej:

jest równe 2. Wówczas równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt ma postać:

Teraz znajdźmy współrzędne punktu H 1 - punkty przecięcia linii:

Zatem wymagana odległość od punktu do linii prostej:

jest równa odległości między punktami i:

Drugi sposób.

Przechodzimy od podanego równania prostej ze spadkiem do normalnego równania tej prostej:

czynnikiem normalizującym jest:

dlatego normalne równanie danej linii ma postać:

Teraz obliczamy wymaganą odległość od punktu do linii:

Oblicz odległość od punktu do linii:

i do prostej:

Otrzymujemy normalne równanie linii:

Teraz obliczmy odległość od punktu do linii:

Współczynnik normalizujący dla równania prostego:

jest równe 1. Wówczas normalne równanie tej linii ma postać:

Teraz możemy obliczyć odległość od punktu do linii:

to jest równe.

Odpowiedź: i 5.

Podsumowując, osobno rozważamy, w jaki sposób znajduje się odległość od danego punktu samolotu do linii współrzędnych Ox i Oy.

W prostokątnym układzie współrzędnych Oxy, linia współrzędnych Oy jest określona przez niekompletne równanie ogólne linii x \u003d 0, a linia współrzędnych Ox jest określona równaniem y \u003d 0. Te równania są normalne równania linie Oy i Ox, dlatego odległość od punktu do tych linii jest obliczana według wzorów:

odpowiednio.

Rycina 5

Na płaszczyźnie wprowadzono prostokątny układ współrzędnych Oxy. Znajdź odległości od punktu do linii współrzędnych.

Odległość od danego punktu М 1 do linii współrzędnych Ox (określa ją równanie y \u003d 0) jest równa modułowi rzędnej punktu М 1, czyli.

Odległość od danego punktu M 1 do linii współrzędnych Oy (odpowiada to równaniu x \u003d 0) jest równa bezwzględnej wartości odciętej punktu M 1 :.

Odpowiedź: odległość od punktu М 1 do linii Ox wynosi 6, a odległość od danego punktu do linii współrzędnych Oy jest równa.

Niech prostokątny układ współrzędnych zostanie ustalony w przestrzeni trójwymiarowej Oxyz, dany punkt, prosto za i trzeba znaleźć odległość od punktu I prosto za.

Pokażemy dwa sposoby obliczenia odległości od punktu do prostej w przestrzeni. W pierwszym przypadku znalezienie odległości od punktu M 1 prosto za sprowadza się do znalezienia odległości od punktu M 1 do momentu H. 1 gdzie H. 1 - podstawa prostopadłej opuszczona z punktu M 1 w linii prostej za... W drugim przypadku odległość od punktu do płaszczyzny zostanie wyznaczona jako wysokość równoległoboku.

Więc zacznijmy.

Pierwszy sposób na znalezienie odległości od punktu do linii a w przestrzeni.

Ponieważ z definicji odległość od punktu M 1 prosto za Jest długością prostopadłej M 1 H. 1 , a następnie określając współrzędne punktu H. 1 , będziemy mogli obliczyć wymaganą odległość jako odległość między punktami i zgodnie ze wzorem.

Zatem problem sprowadza się do znalezienia współrzędnych podstawy prostopadłości zbudowanej z punktu M 1 prosto za... To jest dość łatwe: punkt H. 1 Jest punktem przecięcia prostej za z płaszczyzną przechodzącą przez punkt M 1 prostopadle do prostej za.

W związku z tym, algorytm wyznaczania odległości od punktu prostoza w kosmosieczy to jest:

Druga metoda pozwala znaleźć odległość od punktu do prostej a w przestrzeni.

Ponieważ w stwierdzeniu problemu otrzymujemy linię prostą za, wtedy możemy zdefiniować jego wektor kierunkowy i współrzędne pewnego punktu M 3 leżąc w linii prostej za... Następnie współrzędne punktów i możemy obliczyć współrzędne wektora: (w razie potrzeby odwołaj się do współrzędnych artykułu wektora poprzez współrzędne jego punktu początkowego i końcowego).

Odłóż na bok wektory i od punktu M 3 i zbuduj na nich równoległobok. Na tym równoległoboku narysujemy wysokość M 1 H. 1 .

Oczywiście wysokość M 1 H. 1 zbudowanego równoległoboku jest równa wymaganej odległości od punktu M 1 prosto za... Znajdziemy to.

Z jednej strony obszar równoległoboku (oznaczamy go S) można znaleźć w kategoriach iloczynu wektorów wektorów i według wzoru ... Z drugiej strony pole powierzchni równoległoboku jest równe iloczynowi długości jego boku przez wysokość, to znaczy gdzie - długość wektora równa długości boku rozpatrywanego równoległoboku. Dlatego odległość od danego punktu M 1 do danej prostej za można znaleźć w równości tak jak .

Więc, znaleźć odległość od punktu prostoza w przestrzeni, której potrzebujesz

Rozwiązywanie zadań, aby znaleźć odległość od danego punktu do danej prostej w przestrzeni.

Rozważmy rozwiązanie na przykładzie.

Przykład.

Znajdź odległość od punktu prosto .

Decyzja.

Pierwszy sposób.

Napiszmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt M 1 prostopadle do danej prostej:

Znajdź współrzędne punktu H. 1 - punkty przecięcia płaszczyzny i zadanej prostej. Aby to zrobić, wykonujemy przejście z równania kanoniczne prosta do równań dwóch przecinających się płaszczyzn

po czym rozwiązujemy układ równań liniowych metoda Cramera:

Zatem.

Pozostaje obliczyć wymaganą odległość od punktu do linii prostej jako odległość między punktami i:.

Drugi sposób.

Liczby w mianownikach ułamków w równaniach kanonicznych linii prostej reprezentują odpowiednie współrzędne wektora kierunkowego tej prostej, to znaczy - wektor kierujący linii prostej ... Obliczmy jego długość: .

Oczywiście prosta przechodzi przez punkt , a następnie wektor zaczynający się w punkcie i zakończ w punkcie jest ... Znajdź iloczyn wektorowy wektorów i :
to długość tego iloczynu krzyżowego wynosi .

Teraz mamy wszystkie dane potrzebne do obliczenia odległości z danego punktu do płaszczyzny za pomocą wzoru: .

Odpowiedź:

Wzajemne ułożenie linii prostych w przestrzeni

Oh-oh-oh-oh-oh ... i puszka, jeśli sam przeczytałeś to zdanie \u003d) Ale wtedy relaks pomoże, zwłaszcza dzisiaj kupiłem pasujące akcesoria. Dlatego przejdziemy do pierwszej części, mam nadzieję, że do końca artykułu zachowam wesoły nastrój.

Względne położenie dwóch prostych

Przypadek, kiedy publiczność śpiewa razem z chórem. Dwie proste mogą:

1) mecz;

2) być równoległe :;

3) lub przecinają się w jednym punkcie:

Pomoc dla opornych : pamiętaj o matematycznym znaku przecięcia, będzie bardzo powszechny. Notacja wskazuje, że prosta linia przecina prostą w punkcie.

Jak określić względne położenie dwóch prostych?

Zacznijmy od pierwszego przypadku:

Dwie proste pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im współczynniki są proporcjonalneto znaczy jest taka liczba „lambda”, że równości

Rozważ linie proste i ułóż trzy równania z odpowiednich współczynników: Z każdego równania wynika zatem, że linie te pokrywają się.

Rzeczywiście, jeśli wszystkie współczynniki równania pomnóż przez –1 (zmień znaki) i zmniejsz wszystkie współczynniki równania o 2, otrzymasz to samo równanie:

Drugi przypadek, gdy proste są równoległe:

Dwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki dla zmiennych są proporcjonalne: ale.

Jako przykład rozważ dwie linie. Sprawdzamy proporcjonalność odpowiednich współczynników dla zmiennych:

Jednak jest to całkiem jasne.

I trzeci przypadek, gdy linie się przecinają:

Dwie proste przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki dla zmiennych NIE są proporcjonalneto znaczy, że nie ma takiej wartości „lambda”, aby dokonać równości

Tak więc dla linii prostych skomponujemy system:

Z pierwszego równania wynika, że \u200b\u200boraz z drugiego równania: system jest niespójny (brak rozwiązań). Zatem współczynniki zmiennych nie są proporcjonalne.

Wniosek: linie przecinają się

W przypadku problemów praktycznych można skorzystać z właśnie rozważanego schematu rozwiązania. Nawiasem mówiąc, jest bardzo podobny do algorytmu sprawdzania wektorów pod kątem kolinearności, który rozważaliśmy w lekcji Pojęcie liniowej (nie) zależności wektorów. Podstawa wektorowa... Ale jest bardziej cywilizowane opakowanie:

Przykład 1

Znajdź względne położenie prostych:

Decyzja na podstawie badania wektorów kierunkowych prostych:

a) Z równań wyznaczamy wektory kierunkowe prostych: .

, więc wektory nie są współliniowe i linie się przecinają.

Na wszelki wypadek postawię kamień ze wskazówkami na skrzyżowaniu:

Reszta przeskakuje przez kamień i idzie dalej, prosto do Kashchei the Immortal \u003d)

b) Znajdź wektory kierunkowe prostych:

Linie mają ten sam wektor kierunkowy, co oznacza, że \u200b\u200bsą równoległe lub pokrywają się. Nie ma tutaj potrzeby liczenia wyznacznika.

Jest oczywiste, że współczynniki dla niewiadomych są proporcjonalne, natomiast.

Sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa:

A zatem,

c) Znajdź wektory kierunkowe prostych:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów:
stąd wektory kierunkowe są współliniowe. Linie są równoległe lub zbiegają się.

Współczynnik proporcjonalności „lambda” nie jest trudny do ustalenia bezpośrednio ze stosunku współliniowych wektorów kierunkowych. Jednak można to również znaleźć poprzez współczynniki samych równań: .

Teraz sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa. Oba bezpłatne terminy wynoszą zero, więc:

Wynikowa wartość spełnia to równanie (każda liczba zazwyczaj je spełnia).

Zatem linie pokrywają się.

Odpowiedź:

Już wkrótce nauczysz się (a nawet nauczyłeś się) ustnego rozwiązywania rozważanego problemu w ciągu zaledwie kilku sekund. W związku z tym nie widzę powodu, aby proponować cokolwiek dla niezależnego rozwiązania, lepiej położyć kolejną ważną cegłę w geometrycznym fundamencie:

Jak zbudować prostą równoległą do danej?

Za nieznajomość tego najprostszego zadania, Nightingale the Robber surowo karze.

Przykład 2

Prosta jest określona równaniem. Zrównaj równoległą linię przechodzącą przez punkt.

Decyzja: Oznaczmy nieznaną bezpośrednią literę. Co mówi o niej stan? Prosta przechodzi przez punkt. A jeśli proste są równoległe, to jest oczywiste, że wektor kierujący prostej „tse” nadaje się również do konstruowania prostej „de”.

Wyciągamy wektor kierunkowy z równania:

Odpowiedź:

Geometria przykładu wygląda prosto:

Weryfikacja analityczna składa się z następujących kroków:

1) Sprawdź, czy proste mają ten sam wektor kierunkowy (jeśli równanie prostej nie zostanie odpowiednio uproszczone, to wektory będą współliniowe).

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie.

W większości przypadków przegląd analityczny jest łatwy do wykonania ustnie. Spójrz na dwa równania, a wielu z was szybko odkryje równoległość prostych linii bez żadnego rysunku.

Przykłady dzisiejszego samodzielnego rozwiązania będą kreatywne. Ponieważ nadal musisz konkurować z Babą Jagą, a ona, wiesz, jest miłośniczką wszelkiego rodzaju zagadek.

Przykład 3

Zrób równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do \u200b\u200bprostej, jeśli

Istnieje racjonalne i niezbyt racjonalne rozwiązanie. Najkrótsza droga znajduje się na końcu lekcji.

Zrobiliśmy trochę pracy z liniami równoległymi i wrócimy do nich później. Przypadek zbieżnych linii prostych jest mało interesujący, więc rozważ problem, z którego jesteś dobrze znany program nauczania:

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch linii?

Jeśli prosto przecinają się w punkcie, rozwiązaniem są jego współrzędne układy równań liniowych

Jak znaleźć punkt przecięcia linii? Rozwiąż system.

Tyle dla ciebie geometryczne znaczenie układu dwóch równań liniowych w dwóch niewiadomych Są to dwie przecinające się (najczęściej) proste linie na płaszczyźnie.

Przykład 4

Znajdź punkt przecięcia linii

Decyzja: Istnieją dwa sposoby rozwiązania - graficzne i analityczne.

Graficzny sposób polega po prostu na narysowaniu linii danych i znalezieniu punktu przecięcia bezpośrednio z rysunku:

Oto nasz punkt: Aby to sprawdzić, należy podstawić jego współrzędne w każdym równaniu prostej, powinny one pasować zarówno tam, jak i tam. Innymi słowy, współrzędne punktu są rozwiązaniem systemu. Zasadniczo przyjrzeliśmy się graficznemu sposobowi rozwiązania układy równań liniowych z dwoma równaniami, dwiema niewiadomymi.

Metoda graficzna oczywiście nie jest zła, ale są zauważalne wady. Nie, nie chodzi o to, że siódmoklasiści tak decydują, chodzi o to, że uzyskanie prawidłowego i DOKŁADNEGO rysunku zajmie trochę czasu. Ponadto niektóre proste linie nie są tak łatwe do skonstruowania, a sam punkt przecięcia może znajdować się gdzieś w trzydziestym królestwie poza arkuszem zeszytu.

Dlatego bardziej celowe jest poszukiwanie punktu przecięcia metodą analityczną. Rozwiążmy system:

Aby rozwiązać ten układ, zastosowano metodę sumowania równań między członami. Odwiedź lekcję, aby rozwinąć odpowiednie umiejętności. Jak rozwiązać układ równań?

Odpowiedź:

Sprawdzenie jest banalne - współrzędne punktu przecięcia muszą spełniać każde równanie w układzie.

Przykład 5

Znajdź punkt przecięcia linii, jeśli się przecinają.

To jest przykład rozwiązania zrób to sam. Wygodne jest podzielenie zadania na kilka etapów. Analiza stanu sugeruje, co jest potrzebne:
1) Zrób równanie prostej.
2) Zrób równanie prostej.
3) Znajdź względne położenie prostych.
4) Jeśli linie się przecinają, znajdź punkt przecięcia.

Opracowanie algorytmu działań jest typowe dla wielu problemów geometrycznych i będę się nad tym wielokrotnie koncentrował.

Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu samouczka:

Para butów nie jest jeszcze zużyta, ponieważ dotarliśmy do drugiej części lekcji:

Proste prostopadłe. Odległość od punktu do linii.
Kąt między prostymi liniami

Zacznijmy od typowego i bardzo ważnego zadania. W pierwszej części nauczyliśmy się, jak zbudować prostą linię równoległą do tej, a teraz chatka na udkach kurczaka obróci się o 90 stopni:

Jak zbudować prostą prostopadłą do danej?

Przykład 6

Prosta jest określona równaniem. Zrównaj prostopadłą linię przechodzącą przez punkt.

Decyzja: Warunkiem jest to znane. Byłoby miło znaleźć wektor kierunkowy prostej. Ponieważ linie są prostopadłe, sztuczka jest prosta:

Z równania „usuń” wektor normalny :, który będzie wektorem kierunkowym prostej.

Ułóżmy równanie prostej z punktu i wektora kierunku:

Odpowiedź:

Rozwińmy szkic geometryczny:

Hmmm ... Pomarańczowe niebo, pomarańczowe morze, pomarańczowy wielbłąd.

Weryfikacja analityczna rozwiązania:

1) Usuń wektory kierunkowe z równań iz pomocą iloczyn skalarny wektorów dochodzimy do wniosku, że proste są rzeczywiście prostopadłe:

Nawiasem mówiąc, możesz używać normalnych wektorów, jest to jeszcze łatwiejsze.

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie .

Czek jest łatwy do wykonania ustnie.

Przykład 7

Znajdź punkt przecięcia prostych prostopadłych, jeśli znane jest równanie i wskaż.

To jest przykład rozwiązania zrób to sam. W zadaniu jest kilka czynności, więc wygodnie jest ustawić rozwiązanie punkt po punkcie.

Nasza ekscytująca podróż trwa:

Odległość od punktu do linii

Przed nami prosty pas rzeki, a naszym zadaniem jest dotarcie do niego jak najkrótszą drogą. Nie ma przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie ruch po prostopadłej. Oznacza to, że odległość od punktu do linii prostej jest długością prostej prostopadłej.

Odległość w geometrii jest tradycyjnie oznaczana grecką literą „ro”, na przykład: - odległość od punktu „em” do linii prostej „de”.

Odległość od punktu do linii wyrażone wzorem

Przykład 8

Znajdź odległość od punktu do linii

Decyzja: wszystko, czego potrzebujesz, to ostrożnie wprowadzić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:

Odpowiedź:

Wykonajmy rysunek:

Odległość od punktu do znalezionej linii to dokładnie długość czerwonej linii. Jeśli sporządzisz rysunek na papierze w kratkę w skali 1 jednostki. \u003d 1 cm (2 komórki), wtedy odległość można zmierzyć zwykłą linijką.

Rozważ inne zadanie dla tego samego planu:

Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu, który jest symetryczny do punktu względem linii prostej ... Proponuję wykonać czynności samodzielnie, ale zarysuję algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:

1) Znajdź prostą prostopadłą do prostej.

2) Znajdź punkt przecięcia linii: .

Oba kroki są szczegółowo opisane w tym samouczku.

3) Punkt jest środkiem odcinka linii. Znamy współrzędne środka i jednego końca. Przez wzory na współrzędne punktu środkowego segmentu znaleźliśmy.

Nie będzie zbyteczne sprawdzanie, czy odległość wynosi również 2,2 jednostki.

Tutaj mogą pojawić się trudności w obliczeniach, ale w wieży bardzo pomaga mikro kalkulator, który pozwala liczyć zwykłe ułamki. Wielokrotnie doradzam, doradzę i jeszcze raz.

Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?

Przykład 9

Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami

To kolejny przykład na niezależne rozwiązanie. Pozwólcie, że dam wam małą wskazówkę: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania tego problemu. Podsumowanie na koniec lekcji, ale lepiej spróbuj się domyślić, myślę, że całkiem dobrze udało ci się rozproszyć swoją pomysłowość.

Kąt pomiędzy dwiema prostymi liniami

Każdy kąt jest ościeżem:


W geometrii kąt między dwiema prostymi jest przyjmowany jako NAJMNIEJSZY kąt, co automatycznie oznacza, że \u200b\u200bnie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany przez czerwony łuk nie jest uważany za kąt między przecinającymi się prostymi. Za takiego uważa się jego „zielonego” sąsiada, lub zorientowany przeciwnie Kącik „Crimson”.

Jeśli proste są prostopadłe, to dowolny z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.

Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek „przewijania” narożnika ma fundamentalne znaczenie. Po drugie, ujemnie zorientowany kąt jest zapisywany ze znakiem minus, na przykład, jeśli.

Dlaczego to powiedziałem? Wydaje się, że można sobie poradzić ze zwykłą koncepcją kąta. Faktem jest, że we wzorach, za pomocą których znajdziemy kąty, możesz łatwo uzyskać wynik ujemny, a to nie powinno Cię zaskoczyć. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego należy wskazać jego orientację za pomocą strzałki (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Jak znaleźć kąt między dwiema prostymi? Istnieją dwie działające formuły:

Przykład 10

Znajdź kąt między prostymi

Decyzja i Metoda pierwsza

Rozważ dwie linie proste podane przez równania w ogólnej postaci:

Jeśli prosto nie prostopadlenastępnie zorientowany kąt między nimi można obliczyć ze wzoru:

Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - to jest dokładnie iloczyn skalarny wektory kierunkowe prostych:

Jeśli, to mianownik wzoru znika, a wektory będą ortogonalne, a proste są prostopadłe. Dlatego zastrzeżono nieprostopadłość prostych w sformułowaniu.

W związku z powyższym wygodnie jest zaaranżować rozwiązanie w dwóch krokach:

1) Oblicz iloczyn skalarny wektorów kierunkowych prostych:
dlatego też proste nie są prostopadłe.

2) Kąt między liniami prostymi określa wzór:

Przez funkcja odwrotna sam róg jest łatwy do znalezienia. W tym przypadku używamy dziwności arcus tangens (patrz. Grafy i własności funkcji elementarnych):

Odpowiedź:

W odpowiedzi wskazujemy dokładną wartość, a także przybliżoną wartość (najlepiej w stopniach i radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.

Cóż, minus, więc minus, w porządku. Oto ilustracja geometryczna:

Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć negatywną orientację, ponieważ w zadaniu pierwsza liczba jest linią prostą i od niej zaczynało się „skręcanie” kąta.

Jeśli naprawdę chcesz uzyskać dodatni kąt, musisz zamienić linie proste, to znaczy wziąć współczynniki z drugiego równania , a współczynniki są pobierane z pierwszego równania. Krótko mówiąc, musisz zacząć od linii prostej .

Metoda współrzędnych (odległość między punktem a płaszczyzną, między prostymi)

Odległość między punktem a płaszczyzną.

Odległość między punktem a linią.

Odległość między dwiema prostymi liniami.

Pierwszą rzeczą, którą warto wiedzieć, jest to, jak obliczyć odległość od punktu do płaszczyzny:

Wartości A, B, C, D - współczynniki płaszczyzny

x, y, z - współrzędne punktu

Zadanie. Znajdź odległość między punktem A \u003d (3; 7; −2) a płaszczyzną 4x + 3y + 13z - 20 \u003d 0.

Wszystko jest podane, możesz od razu podstawić wartości do równania:

Zadanie. Znajdź odległość od punktu K \u003d (1; −2; 7) do prostej przechodzącej przez punkty V \u003d (8; 6; −13) i T \u003d (−1; −6; 7).

1. Znajdź wektor prostej.
2. Obliczamy wektor przechodzący przez żądany punkt i dowolny punkt na linii.
   
3. Ustawiamy macierz i znajdujemy wyznacznik po dwóch otrzymanych wektorach w pierwszym i drugim punkcie.
4. Dostajemy odległość, kiedy pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów współczynników macierzy dzielimy przez długość wektora definiującego prostą(Myślę, że nie jest to jasne, więc przejdźmy do konkretnego przykładu).

1) TV \u003d (8 - (- 1); 6 - (- 6); -13-7) \u003d (9; 12; −20)

2) Wektor znajduje się przez punkty K i T, chociaż to samo może przechodzić przez K i V lub jakikolwiek inny punkt na tej prostej.

TK \u003d (1 - (- 1); −2 - (- 6); 7-7) \u003d (2; 4; 0)

3) Otrzymujemy macierz m bez współczynnika D (tutaj nie jest to potrzebne do rozwiązania):

4) Samolot okazał się ze współczynnikami A \u003d 80, B \u003d 40, C \u003d 12,

x, y, z - współrzędne wektora liniowego, w tym przypadku - wektor TV ma współrzędne (9; 12; −20)

Zadanie. Znajdź odległość między prostą przechodzącą przez punkty Е \u003d (1; 0; −2), G \u003d (2; 2; −1), a prostą przechodzącą przez punkty M \u003d (4; −1; 4), L \u003d ( -2; 3; 0).

1. Ustawiamy wektory obu linii.
2. Znajdź wektor, biorąc jeden punkt z każdej linii.
3. Piszemy macierz 3 wektorów (dwie linie z pierwszej pozycji, jedna linia z drugiej) i znajdujemy jej numeryczny wyznacznik.
4. Ustawiamy macierz dwóch pierwszych wektorów (w kroku 1). Pierwsza linia jest ustawiona jako x, y, z.
5. Odległość otrzymamy, gdy podzielimy otrzymaną wartość z punktu 3 modulo przez pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów punktu 4.

Przejdźmy do liczb.