Zaloguj się według bazy. Własności logarytmów i przykłady ich rozwiązań. Kompleksowy przewodnik (2020). Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Wzory na mnożenie skrócone - gdy mnoży się dwa wielomiany, każdy wyraz z pierwszego wielomianu jest mnożony przez każdy wyraz z drugiego wielomianu, a iloczyny są dodawane. Skrócone wzory mnożenia. Podczas dodawania i odejmowania wielomianów używane są zasady rozwijania nawiasów. Monomiały są iloczynami liczb, zmiennych i ich naturalnych stopni.

„Rozwiązywanie układu równań” - Metoda graficzna (algorytm). Równanie to równość zawierająca jedną lub więcej zmiennych. Równanie i jego własności. Metoda wyznaczników (algorytm). Układ równań i jego rozwiązanie. Porównanie rozwiązania systemu. Równanie liniowe z dwiema zmiennymi. Rozwiązanie systemu metodą dodawania.

„Rozwiązywanie układów nierówności” - przedziały. Dyktowanie matematyczne. Przykłady rozwiązań systemów nierówności liniowe... Rozwiązywanie układów nierówności. Aby rozwiązać układ nierówności liniowych, wystarczy rozwiązać każdą z zawartych w nim nierówności i znaleźć przecięcie zbiorów ich rozwiązań. Zapisz nierówności, których zestawy rozwiązań są przedziałami.

„Wykładnicze nierówności” - znak nierówności. Rozwiąż nierówności. Najprostsze rozwiązanie nierówności wykładnicze... Rozwiązanie nierówności wykładniczych. Co należy wziąć pod uwagę przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych? Rozwiązanie najprostszych nierówności wykładniczych. Nierówność zawierająca nieznaną w wykładniku nazywana jest nierównością wykładniczą.

„Wskaźniki liczbowe” - co to jest proporcja? Jakie są liczby m i n zwane w proporcji a: m \u003d n: b? Iloraz dwóch liczb nazywa się stosunkiem dwóch liczb. Marketingowa sieć LAN. We właściwej proporcji iloczyn skrajnych warunków jest równy iloczynowi środkowych składników i odwrotnie. Co to jest postawa? Proporcje. Stosunek można wyrazić w procentach.

„Rozróżniacz równania kwadratowego” - twierdzenie Viety. Równania kwadratowe. Dyskryminujący. Jakie równania nazywane są niepełnymi równaniami kwadratowymi? Ile pierwiastków ma równanie, jeśli jego dyskryminator wynosi zero? Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych. Ile pierwiastków ma równanie, jeśli jego dyskryminator jest ujemny?

W sumie jest 14 prezentacji

Zakres prawidłowych wartości (ODV) logarytmu

Porozmawiajmy teraz o ograniczeniach (ODZ to zakres dozwolonych wartości zmiennych).

Pamiętamy, że na przykład pierwiastek kwadratowy nie można wyodrębnić z liczb ujemnych; lub jeśli mamy ułamek, to mianownik nie może wynosić zero. Logarytmy mają podobne ograniczenia:

Oznacza to, że zarówno argument, jak i podstawa muszą być większe od zera, a podstawa również nie może być równa.

Dlaczego?

Zacznijmy prosto: powiedzmy to. Wtedy na przykład liczba nie istnieje, ponieważ bez względu na to, o jaki stopień podnosimy, zawsze się okazuje. Co więcej, dla żadnego nie istnieje. Ale jednocześnie może być równy wszystkim (z tego samego powodu jest równy w każdym stopniu). Dlatego obiekt nie jest interesujący i został po prostu wyrzucony z matematyki.

Podobny problem mamy w przypadku: w jakimkolwiek dodatnim stopniu tak jest, ale nie można go w ogóle podnieść do stopnia ujemnego, ponieważ otrzymamy dzielenie przez zero (pamiętaj o tym).

Kiedy stajemy przed problemem podniesienia do potęgi ułamkowej (która jest reprezentowana jako pierwiastek:) Na przykład (to znaczy), ale nie istnieje.

Dlatego łatwiej jest wyrzucić negatywne podstawy, niż z nimi zadzierać.

Cóż, ponieważ podstawę a mamy tylko dodatnią, to bez względu na to, w jakim stopniu ją podniesiemy, zawsze otrzymamy liczbę ściśle dodatnią. Dlatego argument musi być pozytywny. Na przykład nie istnieje, ponieważ nie będzie w żaden sposób liczbą ujemną (a nawet zerem, dlatego też nie istnieje).

W przypadku problemów z logarytmami pierwszym krokiem jest zapisanie wartości ODV. Oto przykład:

Rozwiążmy równanie.

Zapamiętaj definicję: logarytm to stopień, w jakim należy podnieść podstawę, aby uzyskać argument. A pod warunkiem, stopień ten jest równy:

Dostajemy zwykłe równanie kwadratowe:. Rozwiążmy to za pomocą twierdzenia Viety: suma pierwiastków jest równa, a iloczyn. Łatwe do wybrania, to są liczby i.

Ale jeśli od razu weźmiesz i zapiszesz obie te liczby w odpowiedzi, możesz otrzymać 0 punktów za zadanie. Czemu? Zastanówmy się, co się stanie, jeśli podstawimy te pierwiastki w początkowym równaniu?

Jest to oczywiście błędne, ponieważ podstawa nie może być ujemna, to znaczy korzeń jest „na zewnątrz”.

Aby uniknąć takich nieprzyjemnych sztuczek, musisz zapisać ODV, zanim zaczniesz rozwiązywać równanie:

Następnie, po otrzymaniu korzeni, natychmiast odrzucamy korzeń i piszemy poprawną odpowiedź.

Przykład 1 (spróbuj rozwiązać to samodzielnie) :

Znajdź pierwiastek równania. Jeśli jest kilka pierwiastków, w odpowiedzi wskaż najmniejszy z nich.

Decyzja:

Przede wszystkim napiszmy ODZ:

Pamiętajmy teraz, czym jest logarytm: do jakiego stopnia należy podnieść podstawę, aby uzyskać argument? Druga. To znaczy:

Wydawałoby się, że mniejszy pierwiastek jest równy. Ale tak nie jest: zgodnie z ODZ pierwiastek jest zewnętrzny, to znaczy w ogóle nie jest pierwiastkiem danego równania. Zatem równanie ma tylko jeden pierwiastek:

Odpowiedź: .

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Przypomnij sobie ogólną definicję logarytmu:

Podstawmy w drugiej równości zamiast logarytmu:

Ta równość jest nazywana podstawowa tożsamość logarytmiczna... Chociaż w istocie ta równość jest po prostu napisana inaczej definicja logarytmu:

To jest stopień, w jakim musisz podnieść, aby otrzymać.

Na przykład:

Rozwiąż następujące przykłady:

Przykład 2.

Znajdź znaczenie wyrażenia.

Decyzja:

Przypomnijmy regułę z sekcji: to znaczy, podnosząc stopień do potęgi, wskaźniki są mnożone. Zastosujmy to:

Przykład 3.

Udowodnij to.

Decyzja:

Własności logarytmów

Niestety zadania nie zawsze są takie proste - często trzeba najpierw uprościć wyrażenie, doprowadzić je do jego zwykłej formy, a dopiero wtedy będzie można obliczyć wartość. Najłatwiej to zrobić, wiedząc własności logarytmów... Nauczmy się więc podstawowych właściwości logarytmów. Każdą z nich udowodnię, bo każdą regułę łatwiej zapamiętać, jeśli wiesz, skąd ona pochodzi.

Należy pamiętać o wszystkich tych właściwościach, bez nich większości problemów z logarytmami nie da się rozwiązać.

A teraz bardziej szczegółowo o wszystkich właściwościach logarytmów.

Właściwość 1:

Dowód:

Niech więc.

Mamy :, h.t.d.

Właściwość 2: Suma logarytmów

Suma logarytmów o tych samych zasadach jest równa logarytmowi iloczynu: .

Dowód:

Niech więc. Niech więc.

Przykład:Znajdź znaczenie wyrażenia:

Decyzja: .

Formuła, której właśnie się nauczyłeś, pomaga uprościć sumę logarytmów, a nie różnicę, więc tych logarytmów nie można od razu połączyć. Ale możesz zrobić coś odwrotnego - „podzielić” pierwszy logarytm na dwie części: A oto obiecane uproszczenie:
.
Dlaczego jest to potrzebne? Na przykład: jakie to ma znaczenie?

Teraz jest to oczywiste.

Teraz uprość się:

Zadania:

Odpowiedzi:

Właściwość 3: Różnica logarytmów:

Dowód:

Wszystko jest dokładnie takie samo jak w punkcie 2:

Niech więc.

Niech więc. Mamy:

Przykład z ostatniego akapitu staje się teraz jeszcze łatwiejszy:

Bardziej skomplikowany przykład: Czy możesz zgadnąć, jak zdecydować?

Należy tutaj zauważyć, że nie mamy ani jednego wzoru na logarytmy do kwadratu. To jest coś w rodzaju wyrażenia - nie da się tego od razu uprościć.

Dlatego odejdźmy od formuł dotyczących logarytmów i zastanówmy się, jakich formuł najczęściej używamy w matematyce? Nawet zaczynając od 7 klasy!

To - . Musisz przyzwyczaić się do tego, że są wszędzie! Znajdują się one w problemach wykładniczych, trygonometrycznych i irracjonalnych. Dlatego należy o nich pamiętać.

Jeśli przyjrzysz się bliżej dwóm pierwszym terminom, stanie się jasne, że to różnica kwadratów:

Odpowiedź do weryfikacji:

Uprość się.

Przykłady

Odpowiedzi.

Właściwość 4: Usuwanie wykładnika z argumentu logarytmu:

Dowód:I tutaj również używamy definicji logarytmu: niech więc. Mamy :, h.t.d.

Możesz zrozumieć tę zasadę w następujący sposób:

Oznacza to, że stopień argumentacji jest umieszczony przed logarytmem jako współczynnik.

Przykład:Znajdź znaczenie wyrażenia.

Decyzja: .

Zdecyduj sam:

Przykłady:

Odpowiedzi:

Właściwość 5: Usuwanie wykładnika z podstawy logarytmu:

Dowód:Niech więc.

Mamy :, h.t.d.
Pamiętaj: od fusy stopień jest renderowany jako odwrócić numer, w przeciwieństwie do poprzedniego przypadku!

Właściwość 6: Usunięcie wykładnika z podstawy i argumentu logarytmu:

Lub jeśli stopnie są takie same:

Właściwość 7: Przejście do nowej bazy:

Dowód:Niech więc.

Mamy :, h.t.d.

Właściwość 8: Zamiana argumentu podstawy i logarytmu:

Dowód:Jest to szczególny przypadek wzoru 7: jeśli podstawimy, otrzymamy :, p.t.d.

Spójrzmy na kilka innych przykładów.

Przykład 4.

Znajdź znaczenie wyrażenia.

Używamy własności logarytmów numer 2 - suma logarytmów o tej samej podstawie jest równa logarytmowi iloczynu:

Przykład 5.

Znajdź znaczenie wyrażenia.

Decyzja:

Używamy własności logarytmów # 3 i # 4:

Przykład 6.

Znajdź znaczenie wyrażenia.

Decyzja:

Korzystając z właściwości # 7 - przejdź do bazy 2:

Przykład 7.

Znajdź znaczenie wyrażenia.

Decyzja:

Jak ci się podoba ten artykuł?

Jeśli czytasz te wiersze, to przeczytałeś cały artykuł.

I to jest super!

Teraz powiedz nam, jak ci się podoba ten artykuł?

Czy nauczyłeś się rozwiązywać logarytmy? Jeśli nie, w czym problem?

Napisz do nas w komentarzach poniżej.

I tak, powodzenia na egzaminach.

Na egzaminie i egzaminie i ogólnie w życiu

(z greckiego λόγος - „słowo”, „relacja” i ἀριθμός - „liczba”) liczby b z powodu za (log α b) nazywa się taką liczbą doi b= a cczyli log α b=do i b \u003d a do są równoważne. Logarytm ma sens, jeśli a\u003e 0 i ≠ 1, b\u003e 0.

Innymi słowy logarytm liczby b z powodu isformułowane jako wskaźnik stopień , do którego musisz podnieść liczbę zaaby uzyskać numer b(logarytm istnieje tylko dla liczby dodatnie).

Z tego sformułowania wynika, że \u200b\u200bobliczenie x \u003d log α b, jest równoważne rozwiązaniu równania a x \u003d b.

Na przykład:

log 2 8 \u003d 3 ponieważ 8 \u003d 2 3.

Podkreślamy, że powyższe sformułowanie logarytm umożliwia natychmiastowe ustalenie wartość logarytmu, gdy liczba pod znakiem logarytmu jest pewnym stopniem podstawy. I rzeczywiście, sformułowanie logarytmu pozwala udowodnić, że jeśli b \u003d a c, a następnie logarytm liczby b z powodu za jest równy z... Jest również jasne, że temat logarytmu jest ściśle powiązany z tematem stopień liczby .

Nazywa się obliczanie logarytmu biorąc logarytm... Przyjmowanie logarytmu to operacja matematyczna polegająca na braniu logarytmu. Biorąc logarytm, iloczyn czynników jest przekształcany na sumę składników.

Wzmocnienie jest operacją matematyczną odwrotną do logarytmu. Podczas wzmacniania dana podstawa jest podnoszona do moc ekspresji, która ma być wzmocniona. W tym przypadku sumy członków są przekształcane na iloczyn czynników.

Często używane są logarytmy rzeczywiste o podstawie 2 (binarne), liczba Eulera e ≈ 2,718 (logarytm naturalny) i 10 (liczba dziesiętna).

Na tym etapie wskazane jest rozważenie próbki logarytmówlog 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

A wpisy lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nie mają sensu, ponieważ w pierwszym z nich pod znakiem logarytmu znajduje się liczba ujemna , w drugim - liczba ujemna u podstawy, aw trzecim - zarówno liczba ujemna pod znakiem logarytmu, jak i u podstawy.

Warunki wyznaczania logarytmu.

Warto osobno rozpatrzyć warunki a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0 w jakich definicja logarytm. Zastanówmy się, dlaczego te ograniczenia są brane. Równość postaci x \u003d log α b nazywany podstawowym logarytmicznym tożsamość , co bezpośrednio wynika z podanej powyżej definicji logarytmu.

Przyjrzyjmy się warunkowi a ≠ 1... Ponieważ jednostka w dowolnym stopień jest równa jeden, to równość x \u003d log α b może istnieć tylko wtedy, gdy b \u003d 1, ale w tym przypadku log 1 1 będzie dowolny prawdziwy numer ... Aby wyeliminować tę niejednoznaczność, bierzemy a ≠ 1.

Udowodnijmy konieczność tego warunku a\u003e 0... Kiedy a \u003d 0 zgodnie z formułowaniem logarytmu może istnieć tylko dla b \u003d 0... A zatem odpowiednio log 0 0może mieć wartość inną niż zero prawdziwy numer, ponieważ zero w dowolnym niezerowym stopniu jest równe zero. Aby wyeliminować tę niejednoznaczność, warunek a ≠ 0... I kiedy za<0 musielibyśmy odrzucić parsowanie racjonalny i irracjonalny wartości logarytmu, ponieważ stopień z wykładnikiem wymiernym i nieracjonalnym jest definiowany tylko dla nieujemnych podstaw. Z tego powodu warunek jest określony a\u003e 0.

I ostatni warunek b\u003e 0 wynika z nierówności a\u003e 0ponieważ x \u003d log α boraz wartość stopnia o dodatniej podstawie za zawsze pozytywny.

Cechy logarytmów.

Logarytmy charakteryzuje się charakterystycznym cechy, co doprowadziło do ich powszechnego stosowania, aby znacznie ułatwić skrupulatne obliczenia. W przejściu „do świata logarytmów” mnożenie przekształca się w znacznie łatwiejsze dodawanie, dzielenie na odejmowanie, a potęgowanie i wyciąganie korzeni przekształcają się odpowiednio w mnożenie i dzielenie przez wykładnik.

Sformułowanie logarytmów i tabela ich wartości (dla funkcje trygonometryczne) została po raz pierwszy opublikowana w 1614 roku przez szkockiego matematyka Johna Napiera. Tabele logarytmiczne, powiększone i uszczegółowione przez innych naukowców, były szeroko stosowane w obliczeniach naukowych i inżynieryjnych i pozostawały aktualne do czasu użycia kalkulatorów elektronicznych i komputerów.