zorientowany wykres. Definicja macierzy sąsiedztwa grafów skierowanych Przykład

Krawędź to uporządkowana para wierzchołków. Graf, dla którego wskazany jest kierunek każdej z jego krawędzi, nazywa się zorientowany.

Oczywiście aplikacja do turniejów. Na przykład strzałka biegnie od drużyny przegrywającej do zwycięskiej, więc ukierunkowany wykres pokazuje nie tylko, kto z kim grał, ale także kto wygrał.

Możliwe jest również zdefiniowanie sekwencji lub relacji preferencji za pomocą grafów skierowanych.

Na przykład, w grafach algorytmów wierzchołki grafu odpowiadają sobie wykonywana operacja, a łuki (zorientowane krawędzie) odpowiadają zależności danych(tj. jakie dane wejściowe są potrzebne do wykonania operacji).

Na przykład w złożonej ocenie próbki (na przykład w geologii) kierunek krawędzi wskazuje na preferencję. Normalny system preferencji nie powinien mieć cykli.

Tania Natasza

abyś zawsze mógł dokonać wyboru, w przeciwnym razie musisz ponownie rozważyć system preferencji.

Jednokierunkowa.

Mapa drogowa z kierunkiem podróży zawiera specjalne przykłady grafów skierowanych. Aby poradzić sobie z drogami dwukierunkowymi, zamiast jednej drogi (lub zamiast jednej krawędzi nieukierunkowanej) wprowadzamy dwie krawędzie skierowane, łączące te same wierzchołki i mające przeciwne kierunki.

Pytanie brzmi, pod jakimi warunkami ulice miasta mogą być zorientowane w taki sposób, aby z dowolnego punktu można było przejść do dowolnego innego bez naruszania zasad ruch drogowy przez ulice.

W języku teorii grafów formułuje się to następująco: pod jakim warunkiem krawędzie grafu G mogą być zorientowane tak, że dla dowolnej pary jego wierzchołków istnieje zorientowana ścieżka łącząca je?

Oczywiste jest, że każdy taki wykres musi być połączony, ale to nie wystarczy.

Krawędź E = (A, B) zostanie wywołana krawędź łącząca, lub przesmyk jeśli jest to jedyna ścieżka z A do B (lub odwrotnie).

Krawędź łącząca dzieli wszystkie wierzchołki grafu na dwa zbiory: te, do których można dotrzeć z A bez przechodzenia wzdłuż krawędzi E oraz te, do których można dotrzeć z B bez przechodzenia przez E. Graf w tym przypadku składa się z dwóch części G 1 i G 2 połączone tylko krawędzią E (rys. a i a+1).

Na mapie miasta żebro łączące jest jedyną autostradą łączącą poszczególne części miasta. Oczywiste jest, że gdyby na takiej autostradzie powstał ruch jednokierunkowy, to nie byłoby przejścia z jednej części miasta do drugiej.

Jeśli krawędź E i = (A i , B i) nie łączy, to istnieje inna ścieżka, która łączy A i i B i i nie przechodzi przez E i . Dlatego taka krawędź będzie nazywana krawędzią cykliczną.

rys. 2 Podłączanie rys. 2 2+1 Końcowy (łączący) Rys. 2+2 Cykliczny

żebro żebro

Twierdzenie 1 Jeśli G- spójny graf, to zawsze można zorientować krawędzie cykliczne G , pozostawiając krawędzie łączące nieukierunkowane, tak że dowolna para wierzchołków na tym grafie może być połączona ścieżką skierowaną.

W przypadku planu miasta stwierdzenie to można sformułować w następujący sposób: jeżeli ruch dwukierunkowy zostanie pozostawiony tylko na mostach (pod warunkiem, że ten most jest jedynym mostem przez rzekę) i na ślepych zaułkach, to na wszystkich pozostałych ulicach ruch jednokierunkowy można ustawić w taki sposób, aby transport zapewniał komunikację wszystkimi częściami miasta.

Możemy udowodnić to twierdzenie, pokazując sposób prawidłowej orientacji wykresu. Wybierzmy się G dowolna krawędź mi \u003d (A, B) . Jeśli mi - krawędź łącząca, pozostanie dwustronna, a następnie będzie można z niej zejść ALE do W iz powrotem (rys. 2+3).

rys. 2+3 rys. 2+4

Jeśli mi jest krawędzią cykliczną, to należy do jakiegoś cyklu Z, na którym można ustawić orientację cykliczną (rys. 2+4).

Załóżmy, że już zorientowaliśmy jakąś część H liczyć G, tak, że z dowolnego wierzchołka grafu H możesz przejść do dowolnego innego jego wierzchołka zgodnie z zasadami ruchu jednokierunkowego. Od wykresu G jest podłączony, to albo H pasuje do całego wykresu g, albo jest krawędź mi \u003d (A, B), który nie należy H , ale jeden z jego wierzchołków, powiedzmy ALE , należy H .

Jeśli mi - żebro łączące AB , to pozostanie dwustronny. Następnie dla dowolnego wierzchołka X liczyć H można znaleźć zorientowany łańcuch R złączony X z A , co oznacza (przez krawędź mi ) , i z W . Powrót od góry W nad krawędzią mi możesz iść do ALE , a następnie - wzdłuż łańcucha orientacyjnego Z - z ALE do X (Rysunek a+5). Dołączając mi do H , już mamy bardzo liczyć G z wymaganymi właściwościami. Jeśli krawędź mi \u003d (A, B) jest cykliczny, należy do jakiegoś cyklu Z . Wyznaczyliśmy kierunek dla Z z ALE zanim W i dalej Z na pierwszy szczyt D z Z posiadany przez H (Rys. a+6).

Ryż. a+5 rys. a+6

Dodajmy wszystkie te krawędzie do H . Wynajmować X - dowolny wierzchołek z H , a Na - dowolny wierzchołek Z ; można znaleźć zorientowany łańcuch R , posiadany H i łączenia X Z ALE a potem razem Z idź na szczyt Na z Z . Powrót z Na możesz iść Z na szczyt D , a od tego - przynależność H zorientowany łańcuch Z - z D do X . Dlatego skierowany wykres uzyskany przez dodanie do H określone krawędzie cyklu Z , spełnia również wymagane warunki. Kontynuując ten proces, ostatecznie orientujemy oryginalny wykres w wymagany sposób G .

Stopnie wierzchołków.

W przypadku grafów skierowanych w każdym wierzchołku mamy liczbę p(A) wychodzących krawędzi i liczbę p*(A) krawędzi przychodzących. Łącznażeber jest równe:

N \u003d p (A 1) + p (A 2) + ... + p (A n) \u003d p * (A 1) + p * (A 2) + ... + p * (A n)

Do dyspozycji różne rodzaje grafy, dla których stopnie wierzchołków mają pewne specjalne właściwości. Licznik jest wywoływany jednorodny, jeśli stopnie wszystkich jego wierzchołków są równe tej samej liczbie r: dla każdego wierzchołka A:

p(A) = p * (A) = r

Ćwiczenie

Skonstruuj jednorodne grafy skierowane stopnia r = 2 o n = 2,6,7,8 wierzchołkach.

RELACJE.

Relacje i wykresy.

Każdy system matematyczny zajmuje się zbiorem pewnych obiektów lub elementów. (Znaki: algebra, geometria)

Aby budować teoria matematyczna, potrzebujemy nie tylko samych tych elementów, ale także relacje między nimi. (Przykłady: dla liczb a > b; w geometrii - równość trójkątów, // prostych; w teorii mnogości - równość i inkluzje zbiorów.)

Wszystkie te relacje dotyczą dwóch obiektów, stąd ich nazwa relacje binarne, lub po prostu relacje, istnieją inne rodzaje relacji, na przykład stosunki trójstronne odnoszące się do trzech obiektów. (Na przykład punkt A leży między punktami B i C).

Wprowadźmy ogólną definicję relacji binarnej R: аRв - в jest w stosunku do R do a.

Na przykład relacja a > b oznacza, że ​​b należy do zbioru wszystkich liczb mniejszych od a

W rzeczywistości każdy graf skierowany G definiuje pewną relację w zbiorze swoich wierzchołków. Stosunek ten można zapisać jako: аGв. Oznacza to, że graf ma krawędź skierowaną biegnącą od a do b.

Specjalne warunki.

Niech będzie dana relacja R. Jeżeli element a jest w relacji R z samym sobą, to odpowiada pętli w grafie

Relacja R, dla której spełniony jest warunek аRв dla dowolnego A, jest nazywany odblaskowy.

Jeśli warunek aRv nie jest spełniony dla żadnego elementu, to wywoływane jest R postawa antyrefleksyjna W tym przypadku żaden z wierzchołków grafu nie ma pętli.

Dla każdej relacji R można zdefiniować stosunek odwrotny R*, zakładając, że аR* в wtedy i tylko wtedy, gdy аRв.

Z definicji zależności odwrotnej widać, że jeśli wykres G odpowiadający R ma krawędź (a, b), to wykres G* odpowiadający R* musi mieć krawędź (c, a). Innymi słowy, wykres G* jest odwrotny do G, tj. wykres o takich samych krawędziach jak G, ale zorientowany przeciwnie.

Relacja nazywa się symetryczny, jeśli z аRв wynika вРа.

Relacja symetryczna odpowiada grafowi z nieukierunkowanymi krawędziami; i odwrotnie, wykres z nieskierowanymi krawędziami definiuje pewną relację symetryczną.

Relacja nazywa się antysymetryczny, jeśli z аRв wynika, że ​​z pewnością nie zachodzi w Rа. Grafy relacji antysymetrycznych nie mają nieskierowanych lub przeciwnie zorientowanych krawędzi łączących tę samą parę wierzchołków; ponadto nie ma na nich pętli, tj. relacje te są antyrefleksyjne.

Stosunek przechodni, jeżeli z dwóch warunków aRb i bRc wynika, że ​​aRc.

Wykres relacji przechodniej ma następującą charakterystyczną właściwość: dla każdej pary krawędzi (a, b), (b, c) istnieje zamknięcie Brzeg. Wielokrotnie stosując tę ​​właściwość, dochodzimy do wniosku, że jeśli ten graf ma ścieżkę skierowaną od wierzchołka X do wierzchołka Y, to istnieje również skierowana krawędź (x, y).

Załóżmy, że istnieje graf G o skierowanych krawędziach, który nie jest przechodni. We wszystkich przypadkach graf skierowany G można uczynić przechodnim, dodając do niego skierowane krawędzie, aż do każdej pary kolejnych krawędzi zostanie dołączone zamknięcie. Otrzymany w ten sposób nowy wykres G m nazywa się domknięcie przechodnie Hrabia G.

Relacje równoważności.

Relacja równoważności, zwykle oznaczana przez ~ , ma następujące trzy właściwości:

jeden). Zwrotność: a ~ a;

2). Symetria: od ~ do z do ~ a;

3). Przechodniość: od a ~ do i do ~ c Þ a ~ c.

W rzeczywistości relacja równoważności jest uogólnieniem własności równości.

Relacja równoważności wprowadza podział do zbioru wierzchołków rozłączne klasy równoważności.

Niech B i będzie zbiorem wierzchołków grafu równoważności G, które są równoważne wierzchołkowi i. Wtedy wszystkie wierzchołki należące do B i są połączone krawędziami, tj. W i - pełny wykres G ja . W każdym wierzchołku takiego grafu znajduje się pętla.Graf G dzieli się na zbiór spójnych składowych G i .

Zamówienie częściowe.

Nastawienie częściowe zamówienie jest (na przykładzie zbiorów):

jeden). Zwrotność: A Ę A

2). Przechodniość: jeśli A Ę B i B Ę C Þ A Ę C

3). Tożsamość: jeśli A Ę B i B Ę Az A = B

Ścisłe relacje integracyjne -

jeden). Antyrefleksyjność: ÉA nigdy nie ma miejsca;

2). Przechodniość: jeśli A É B i B É C, to A É C

Relacja porządkująca(w ścisłym tego słowa znaczeniu) nazywa się ścisłym porządkiem, a > b, dla którego oprócz poprzednich warunków spełnione są również następujące warunki:

warunek kompletności. Dla dowolnych dwóch nie pokrywających się elementów w i a zawsze spełniona jest jedna z dwóch relacji a>b lub b>a.

Zazwyczaj graf częściowo uporządkowany jest przedstawiany w postaci uporządkowanej. Ponieważ dla dowolnych krawędzi (a, b) i (b, c) istnieje krawędź zamykająca (a, c), można ją pominąć.

PŁASKIE WYKRESY.

Warunki dla grafów planarnych.

Hrabia Kuratowski K. 3.3

Problem z wykresem dotyczący trzech domów i trzech studni

Hrabia Kuratowski K 5

Te dwa wykresy NIE SĄ PŁASKIE!

Rozszerzenie wykresu- nowe wierzchołki zostały umieszczone na niektórych krawędziach, więc te krawędzie

stały się łańcuchami elementarnymi składającymi się z kilku krawędzi.

Operacja odwrotna, w którym wierzchołki oddzielające są usuwane z łańcuchów elementarnych, nazywa się kompresja wykres.

Twierdzenie Kuratowskiego

Aby graf był płaski, konieczne i wystarczające jest, aby nie zawierał w sobie żadnego wykresu, który można skompresować do wykresu K 3,3 lub wykresu K 5.

Formuła Eulera

Rozważymy grafy planarne, które tworzą się na płaszczyźnie sieci wielokątne. oznacza to, że krawędzie wykresu płaskiego G tworzą zestaw sąsiadujących ze sobą wielokątów, dzieląc płaszczyznę na obszary wielokątne.

Z definicji grafów wielokątnych wynika, że ​​są one połączone. Wymagamy również, aby żaden wielokąt nie leżał wewnątrz innego. Krawędzie graniczne każdego takiego wielokąta tworzą cykl, zwany czasem minimalny cykl. Nazywa się część płaszczyzny zamkniętą w wielokącie twarz wykresu. Wykres też ma maksymalny cykl C 1, otaczająca całość wykres ze wszystkimi jego ścianami. Rozważymy część płaszczyzny leżącą poza C 1, także jako ścianę grafu z granicą C 1 - nieskończony twarz F ¥ .

Oznacz przez

liczba wierzchołków, krawędzi i ścian wielokąt kosmiczny..

Twierdzenie Eulera

c - p + r = 2

Dowód: Formuła jest oczywista dla wielokąta o n krawędziach. Rzeczywiście, n wierzchołków i n krawędzi, a także dwie ściany F 1 F ¥

Do grafu o r ściankach dodajemy nową ścianę rysując wzdłuż ściany F ¥ jakiś łańcuch elementarny łączący dwa wierzchołki grafu maksymalnego G. Jeżeli ten łuk ma r krawędzi, to musimy dodać r - 1 nowy wierzchołek i jeden nowy Twarz. Ale wtedy

c' - p' + r' = (c + r - 1) - (p + r) + (r + 1) = c - p + r (= 2!)

przez hipotezę indukcyjną.

Reprezentacje macierzowe.

1. Macierz incydentów A.

a). Dla grafów nieskierowanych macierz częstości jest macierzą, której wiersze odpowiadają wierzchołkom, a kolumny krawędziom. Element macierzy jest równy 1, jeśli wierzchołek jest incydentny z krawędzią. W przeciwnym razie element macierzy przyjmuje wartość 0.

b). W przypadku wykresu skierowanego element macierzy incydencji wynosi +1, gdy wierzchołek padający na łuk jest początkowym wierzchołkiem łuku (tj. łuk pochodzi z tego wierzchołka). Element ma wartość -1, gdy łuk wchodzi w wierzchołek. Jeśli wierzchołek nie jest incydentny z łukiem, wówczas element macierzy wynosi 0.

2. Macierz cykli C.

a). W przypadku wykresu nieskierowanego wiersze macierzy cykli odpowiadają prostym cyklom grafu, a kolumny odpowiadają jego krawędziom. Element macierzy a ij =1 jeśli cykl С i zawiera krawędź e j . W przeciwnym razie ij = 0.

b). Dla wykresu skierowanego a ij =1, -1 lub 0, w zależności od tego, czy orientacja cyklu Ci i łuku ej jest taka sama czy przeciwna, czy też cykl ten w ogóle nie zawiera łuku ej.

3. Macierz sąsiedztwa wierzchołków (lub po prostu macierz sąsiedztwa) V jest macierzą, której wiersze i kolumny odpowiadają wierzchołkom, a element macierzy a ij w przypadku grafu nieskierowanego jest równy liczbie krawędzi łączących wierzchołki i oraz j . Dla grafu skierowanego element a ij jest równy liczbie krawędzi skierowanych od wierzchołka i do wierzchołka j.

Podstawowe twierdzenia dot reprezentacje macierzowe wykresy.

1) Ranga (maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn) macierzy incydencji A połączonego grafu (skierowanego i nieskierowanego) o n wierzchołkach jest równa (n-1).

2). Ranga macierzy cykli C spójnego grafu o m krawędziach i n wierzchołkach wynosi (m-n+1).

Przykład zastosowania macierzy sąsiedztwa.

Poniższe odwzorowanie pokazuje, że wykresy G1 i G2 są izomorficzne

W macierzach przylegania wiersze i kolumny są jednocześnie permutowane, co można wykonać za pomocą transformacji podobieństwa i macierzy permutacji.

A 2 \u003d PA 1 P”, gdzie

P = lub p ij =d p(i),j (symbol Kroneckera)

a R" to transponowana macierz.

Znalezienie macierzy P może być trudne.

Izomorfizm G 1 i G 2 oznacza, że ​​A 1 i A 2 mają te same wartości własne. Warunek ten nie jest jednak wystarczający (przykład poniżej).

Wynajmować V, D są dowolnymi zbiorami i V??. Oznacz przez V 2 Zestaw kwadratów kartezjańskich V.

Graf skierowany lub w skrócie digraf G zwany potrójnym V, D, c) : gdzie c- pewne odwzorowanie zbioru D na zbiór V 2. Ustaw elementy V oraz D nazywane są odpowiednio wierzchołkami i łukami dwuznaku G. Zbiory wierzchołków i łuków dwuznaku G dogodnie oznaczone przez VG oraz DG odpowiednio. Jeśli f- w takim razie łuk c(f) jest uporządkowaną parą ( i, w), gdzie oraz : v J V. Łuk f wychodząc z góry oraz i idzie na górę w; z kolei oraz oraz w zwane wierzchołkami końcowymi łuku f; w przyszłości napiszemy f= (a czasem nawet - f = UV jeśli nie ma niebezpieczeństwa pomyłki).

Pisząc dowolny dwuznak, zwykle będzie on reprezentowany jako G = (V, D).

Digrafy są zwykle przedstawiane za pomocą diagramów podobnych do diagramów dla wykresów. Jedyną różnicą jest to, że linia przedstawiająca łuk ma kierunek.

Z każdym dwuznakiem G = (V, D) w naturalny sposób połączyć wykres G o = (V, E), zwaną podstawą danego digrafu. Aby uzyskać podstawę, konieczne jest w dwuznaku G wymienić każdy łuk f= krawędź e = uv

na ryc. 8 przedstawia dwuznak i jego podstawę

Cyfra 8

dwuznak G nazywamy spójną, jeśli jej podstawa jest spójna. Trasa zorientowana lub w skrócie trasa w dwuznaku G nazywana jest naprzemienną sekwencją wierzchołków i łuków

W którym

Ta trasa to tzw (w o , w t) - trasa standardowa; szczyty w o oraz w t nazywane są odpowiednio początkowym i końcowym wierzchołkiem takiej trasy. Jeśli w o = w t, wtedy trasa or jest nazywana zamkniętą. Liczba łuków tworzących wzór to długość wzoru.

Ścieżka bez powtarzających się łuków nazywana jest orłańcuchem. Prosty orchain to orchain bez powtarzających się wierzchołków (z wyjątkiem być może tych samych wierzchołków początkowych i końcowych). Zamknięty prosty orłańcuch nazywany jest orcyklem lub konturem.

Łatwo sprawdzić, że istnienie (i w;) - orroute gwarantuje istnienie prostego ( i, w) - orcepi.

Mówią, że szczyt w dostępny od góry oraz, jeśli istnieje ( i v) trasa. dwuznak G jest silnie spójny lub op-połączony, jeśli którykolwiek z jego wierzchołków jest osiągalny z dowolnego innego wierzchołka. Oczywiście silnie spójny dwuznak jest spójny; odwrotność jest oczywiście nieprawdziwa.

Wykres G nazywa się orientowalną, jeśli jest podstawą jakiegoś silnie spójnego digrafu.

Twierdzenie 1.3. Połączony wykres G jest orientowalny wtedy i tylko wtedy, gdy każda z jego krawędzi nie jest mostem.

Dowód. Niech policzy G jest podstawą dwuznaku H oraz G zawiera mostek mi. potem w H jest łuk f=, gdzie i, w- końcówki żeber mi. Oczywiście w H Nie ( ty, w) - trasy. Dlatego wykres G nie jest orientowalny.

Wróć, niech policzy G nie ma mostków, tj. każdą krawędź grafu G zawarte w cyklu. Ponieważ każdy cykl jest grafem orientowalnym, w grafie G istnieje maksymalny zorientowany podgraf H. Upewnijmy się, że H = G. Załóżmy, że ta równość nie jest spełniona. Ze względu na spójność wykresu G istnieje krawędź e incydentna z wierzchołkiem w z H a nie leżeć H. Z założenia krawędź e leży w jakimś cyklu Z. Oznacz przez Q zbiór krawędzi cyklu, które nie należą do podgrafu H. Łatwo to zauważyć, dodając do H wszystkie krawędzie z zestawu Q, ponownie otrzymujemy orientowalny podgraf, wbrew wyborowi H.

Wynajmować G jest dowolnym digrafem. Stopień wyniku stopień szczyty w jest liczbą wszystkich łuków mających w jako początek. Podobnie stopień wpisu stopień jest liczbą wszystkich łuków, dla których wierzchołek w jest koniec. Dwuznak zawierający P szczyty i tłuki będą nazywane ( n, t) jest dwuznakiem.

Stopnie zewnętrzne i stopnie wstępne są powiązane w następujący oczywisty sposób.

Lemat 1. Wynajmować G- arbitralny ( n, t) jest dwuznakiem. Następnie

Twierdzenie to jest podobne do lematu 1 z rozdz. 1.1; jest często określany jako uścisk dłoni lub lemat.

Kierowany wykres(krótko dwuznak) jest (multi)grafem, którego krawędziom przypisano kierunek. Krawędzie skierowane są również nazywane łuki, aw niektórych źródłach i tylko krawędzie. Graf, w którym żadnej krawędzi nie jest przypisany kierunek, nazywamy grafem nieskierowanym lub nie-digraf.

Podstawowe koncepcje

Formalnie dwuznak re = (V , mi) (\ Displaystyle D = (V, E)) składa się z wielu V (\ displaystyle V), którego elementami są tzw szczyty i zestawy mi (\ Displaystyle E) uporządkowane pary wierzchołków u , v ∈ V (\ Displaystyle u, v \ in V).

Łuk (u , v) (\ Displaystyle (u, v)) przypadkowy szczyty u (\ displaystyle u) oraz v (\ displaystyle v). Jednocześnie tak mówią u (\ displaystyle u) - początkowy szczytłuki i v (\ displaystyle v) - szczyt terminala.

Łączność

trasa w dwuznaku nazywamy naprzemienną sekwencją wierzchołków i łuki, uprzejmy v 0 (v 0 , v 1 ) v 1 ( v 1 , v 2 ) v 2 . . . v n (\ Displaystyle v_ (0) \ (v_ (0), v_ (1) \) v_ (1) \ (v_ (1), v_ (2) \) v_ (2) ... v_ (n))(wierzchołki mogą się powtarzać). Długość trasy- liczba łuków w nim zawartych.

Ścieżka jest trasa w dwuznaku bez powtarzających się łuków, łatwy sposób- brak powtarzających się wierzchołków. Jeśli istnieje ścieżka z jednego wierzchołka do drugiego, to drugi wierzchołek osiągalny od pierwszego.

Okrążenie jest zamknięty ścieżka.

Do pół trasy usunięto ograniczenie kierunku łuków, W połowie drogi oraz półkonturowy.

dwuznak silnie powiązany, lub po prostu silny, jeśli wszystkie jego wierzchołki są wzajemne osiągalny; połączone w jedną stronę, lub po prostu jednostronny jeśli dla dowolnych dwóch wierzchołków co najmniej jeden jest osiągalny z drugiego; luźno połączone, lub po prostu słaby, jeśli zignorujemy kierunek łuków, otrzymamy spójny (multi)wykres;

Maksymalny silny podgraf nazywa się mocny składnik; element jednostronny oraz słaby element są definiowane w podobny sposób.

kondensacja dwuznak re (\ Displaystyle D) nazywamy digrafem, którego wierzchołki są mocnymi składowymi re (\ Displaystyle D), a łuk w re ⋆ (\ Displaystyle D ^ (\ gwiazda)) wskazuje na obecność co najmniej jednego łuku między wierzchołkami zawartymi w odpowiednich komponentach.

Dodatkowe definicje

Skierowany graf acykliczny lub hamak jest digrafem bezkonturowym.

Nazywamy graf skierowany otrzymany z danego przez odwrócenie kierunku krawędzi odwrócić.

Obraz i właściwości wszystkich dwuznaków z trzema węzłami

Legenda: Z- słaby, system operacyjny- jednostronny, SS- silny, H- jest grafem skierowanym, G- jest hamakiem (acyklicznym), T- jest turniejem

0 łuków	1 łuk	2 łuki	3 łuki	4 łuki	5 łuków	6 łuków
pusty, N, G	N, G		system operacyjny	CC	CC	pełny, CC
		OS, N, G	CC, N, T	CC
		C, N, G	OS, N, G, T	system operacyjny
		C, N, G	system operacyjny

Zanim zaczniesz bezpośrednio studiować algorytmy, musisz mieć podstawową wiedzę na temat samych wykresów, aby zrozumieć, w jaki sposób są one reprezentowane w komputerze. Tutaj nie zostaną szczegółowo opisane wszystkie aspekty teorii grafów (nie jest to wymagane), a jedynie te, których nieznajomość znacząco skomplikuje przyswojenie tej dziedziny programowania.

Kilka przykładów da nieco powierzchowne wyobrażenie o wykresie. Typowym wykresem jest więc mapa metra lub inna trasa. W szczególności programista jest zaznajomiony z siecią komputerową, która jest również grafem. Cechą wspólną jest tutaj obecność kropek połączonych liniami. Tak więc w sieci komputerowej punkty to osobne serwery, a linie to różne rodzaje sygnałów elektrycznych. W metrze pierwsza to stacje, druga to tunele między nimi. W teorii grafów punkty nazywa się szczyty (węzły) i linie żebra (łuki). W ten sposób, wykres jest zbiorem wierzchołków połączonych krawędziami.

Matematyka operuje nie treścią rzeczy, ale ich strukturą, abstrahując ją od wszystkiego, co jest dane jako całość. Używając właśnie tej techniki, możemy wnioskować o niektórych obiektach jak o grafach. A ponieważ teoria grafów jest częścią matematyki, nie ma dla niej żadnego znaczenia, czym w zasadzie jest przedmiot; jedyną ważną rzeczą jest to, czy jest to graf, tj. czy ma właściwości wymagane dla grafów. Dlatego przed podaniem przykładów wyróżniamy w rozpatrywanym obiekcie tylko to, co naszym zdaniem pozwoli nam pokazać analogię, szukamy czegoś wspólnego.

Wróćmy do sieci komputerowej. Ma określoną topologię i może być konwencjonalnie przedstawiony jako liczba komputerów i łączących je ścieżek. Poniższy rysunek przedstawia jako przykład topologię z pełną siatką.

To w zasadzie wykres. Pięć komputerów to wierzchołki, a połączenia (ścieżki sygnalizacyjne) między nimi to krawędzie. Zastępując komputery wierzchołkami, otrzymujemy obiekt matematyczny - graf, który ma 10 krawędzi i 5 wierzchołków. Wierzchołki można numerować dowolnie, niekoniecznie w sposób pokazany na rysunku. Warto zauważyć, że w tym przykładzie nie stosuje się pętli, czyli takiej krawędzi, która opuszcza wierzchołek i natychmiast w niego wchodzi, ale w problemach mogą wystąpić pętle.

Oto kilka ważnych notacji używanych w teorii grafów:

• G=(V, E), tutaj G to graf, V to jego wierzchołki, a E to krawędzie;
• |V| – rząd (liczba wierzchołków);
• |E| – rozmiar grafu (liczba krawędzi).

W naszym przypadku (rys. 1) |V|=5, |E|=10;

Gdy dowolny inny wierzchołek jest dostępny z dowolnego wierzchołka, wówczas taki graf nazywa się niezorientowany połączony wykres (ryc. 1). Jeżeli graf jest spójny, ale ten warunek nie jest spełniony, to taki graf nazywa się zorientowany lub digraf (ryc. 2).

Grafy skierowane i nieskierowane mają pojęcie stopnia wierzchołka. Stopień wierzchołka jest liczbą krawędzi łączących go z innymi wierzchołkami. Suma wszystkich stopni grafu jest równa dwukrotności liczby wszystkich jego krawędzi. Na rysunku 2 suma wszystkich potęg wynosi 20.

W digrafie, w przeciwieństwie do grafu nieskierowanego, możliwe jest przejście z wierzchołka h do wierzchołka s bez wierzchołków pośrednich tylko wtedy, gdy krawędź wychodzi z h i wchodzi w s, ale nie odwrotnie.

Grafy skierowane mają następującą notację:

G=(V, A), gdzie V to wierzchołki, A to skierowane krawędzie.

Trzeci typ wykresów - mieszany wykresy (ryc. 3). Mają zarówno krawędzie skierowane, jak i niekierunkowe. Formalnie graf mieszany zapisuje się w następujący sposób: G=(V, E, A), gdzie każda z liter w nawiasach oznacza również to, co zostało mu wcześniej przypisane.

Na wykresie na rysunku 3 niektóre łuki są skierowane [(e, a), (e, c), (a, b), (c, a), (d, b)], inne są nieskierowane [( e, d), (e, b), (d, c)…].

Dwa lub więcej wykresów na pierwszy rzut oka może wydawać się różną strukturą, co wynika z ich odmiennej reprezentacji. Ale nie zawsze tak jest. Weźmy dwa wykresy (ryc. 4).

Są sobie równoważne, ponieważ nie zmieniając struktury jednego wykresu, można zbudować inny. Grafy takie nazywane są izomorficzny, tj. mający tę właściwość, że dowolny wierzchołek o określonej liczbie krawędzi na jednym grafie ma identyczny wierzchołek na innym. Rysunek 4 przedstawia dwa wykresy izomorficzne.

Gdy każdej krawędzi grafu przypiszemy jakąś wartość, zwaną wagą krawędzi, to taki graf zawieszony. W różnych zadaniach różne rodzaje pomiarów mogą pełnić rolę wag, na przykład długości, ceny tras itp. W graficznym przedstawieniu wykresu wartości wag są zwykle wskazywane obok krawędzi.

Na każdym z rozważanych przez nas wykresów można wybrać ścieżkę, a ponadto więcej niż jedną. Ścieżka jest ciągiem wierzchołków, z których każdy jest połączony krawędzią z następnym. Jeśli pierwszy i ostatni wierzchołek pokrywają się, to taka ścieżka nazywa się cyklem. Długość ścieżki jest określona przez liczbę krawędzi, które ją tworzą. Na przykład na rysunku 4.a ścieżka jest sekwencją [(e), (a), (b), (c)]. Ścieżka ta jest podgrafem, ponieważ stosuje się do niej definicja tego ostatniego, a mianowicie: wykres G'=(V', E') jest podgrafem grafu G=(V, E) tylko wtedy, gdy V' i E' należą do V, E.

W poprzednich rozdziałach przedstawiliśmy niektóre z głównych wyników teorii grafów nieskierowanych. Jednak grafy nieskierowane nie wystarczą do opisania niektórych sytuacji. Na przykład podczas przedstawiania mapy ruchu z wykresem, którego krawędzie odpowiadają ulicom, krawędziom należy przypisać orientację, aby wskazać dopuszczalny kierunek ruchu. Innym przykładem jest program komputerowy modelowany przez graf, którego krawędzie przedstawiają przepływ sterowania z jednego zestawu instrukcji do drugiego. W tej reprezentacji programu krawędzie muszą mieć również orientację wskazującą kierunek przepływu sterowania. Innym przykładem układu fizycznego, który wymaga przedstawienia skierowanego wykresu, jest obwód elektryczny. Zastosowania grafów skierowanych i powiązanych z nimi algorytmów omówiono w rozdz. 11-15.

W tym rozdziale przedstawiono główne wyniki teorii grafów skierowanych. Omówiono zagadnienia związane z istnieniem zorientowanych łańcuchów Eulera i cykli Hamiltona. Rozważane są również drzewa zorientowane i ich związek ze zorientowanymi łańcuchami Eulera.

5.1. Podstawowe definicje i pojęcia

Zacznijmy od wprowadzenia kilku podstawowych definicji i pojęć związanych z grafami skierowanymi.

Graf skierowany składa się z dwóch zbiorów: zbioru skończonego V, którego elementy nazywane są wierzchołkami, oraz zbioru skończonego E, którego elementy nazywane są krawędziami lub łukami. Każdy łuk jest powiązany z uporządkowaną parą wierzchołków.

Symbole służą do oznaczania wierzchołków, a symbole służą do oznaczania łuków. Jeżeli , to nazywane są wierzchołkami końcowymi, oraz - wierzchołkiem początkowym, - wierzchołkiem końcowym . Wszystkie łuki, które mają tę samą parę wierzchołków początkowych i końcowych, nazywane są równoległymi. Łuk nazywamy pętlą, jeśli incydentny wierzchołek jest jednocześnie wierzchołkiem początkowym i końcowym.

W graficznej reprezentacji grafu skierowanego wierzchołki są reprezentowane przez kropki lub okręgi, a krawędzie (łuki) są reprezentowane przez segmenty.

linie łączące kropki lub okręgi reprezentujące ich punkty końcowe. Ponadto łukom przypisana jest orientacja wskazywana przez strzałkę wskazującą od wierzchołka początkowego do wierzchołka końcowego.

Na przykład, jeśli taki, że Ich), graf skierowany może być reprezentowany przez rys. 5.1. Na tym wykresie - równoległe łuki i - pętla.

Ryż. 5.1. zorientowany wykres.

Mówimy, że łuk jest incydentny z jego wierzchołkami końcowymi. Wierzchołki nazywane są sąsiednimi, jeśli są końcowe dla jednego łuku. Jeśli łuki mają wspólny wierzchołek końcowy, nazywa się je sąsiadującymi.

Nazywa się łuk wychodzący z początkowego wierzchołka i wchodzący w końcowy wierzchołek. Mówimy, że wierzchołek jest izolowany, jeśli nie ma padających łuków.

Stopień wierzchołka to liczba łuków do niego incydentnych. Stopień wejściowy wierzchołka to liczba łuków wchodzących do V], a stopień wyjściowy to liczba łuków wychodzących. Symbole i b" oznaczają minimalny stopień zewnętrzny i stopień wejściowy wykresu skierowanego. Podobnie symbole oznaczają odpowiednio maksymalny stopień zewnętrzny i stopień wejściowy.

Zbiory dowolnego wierzchołka definiuje się następująco: . Na przykład na wykresie na ryc. 5.1.

Zauważ, że pętla zwiększa pół stopnia zarówno wejścia, jak i wyjścia tego wierzchołka. Następujące twierdzenie jest konsekwencją faktu, że każdy łuk zwiększa o 1 sumę półstopni wejścia i wyjścia wykresu skierowanego.

Twierdzenie 5.1. W grafie skierowanym z łukami

Suma stopni wejściowych = Suma stopni zewnętrznych = m.

Podgrafy i wygenerowane podgrafy grafu skierowanego są definiowane w taki sam sposób jak w przypadku grafów nieskierowanych (rozdz. 1.2).

Graf nieskierowany wynikający z usunięcia orientacji z łuków grafu skierowanego G nazywany jest leżącym u jego podstaw grafem nieskierowanym G i jest oznaczony przez .

Skierowana ścieżka grafu skierowanego to skończony ciąg wierzchołków

Co to jest łuk grafu G. Taka trasa jest zwykle nazywana trasą skierowaną, a początkowy wierzchołek jest końcowym wierzchołkiem trasy, a wszystkie pozostałe wierzchołki są wewnętrzne. Wierzchołki początkowe i końcowe ścieżki skierowanej nazywane są jej wierzchołkami końcowymi. Zauważ, że łuki, a co za tym idzie wierzchołki, mogą pojawić się więcej niż raz na ścieżce skierowanej.

Trasę zorientowaną nazywamy otwartą, jeśli jej wierzchołki końcowe są różne, w przeciwnym razie nazywamy ją zamkniętą.

Ścieżka zorientowana jest nazywana ścieżką zorientowaną, jeśli wszystkie jej łuki są różne. Zorientowana ścieżka jest otwarta, jeśli jej punkty końcowe są różne, w przeciwnym razie jest zamknięta.

Otwarta ścieżka zorientowana jest nazywana ścieżką zorientowaną, jeśli wszystkie jej wierzchołki są różne.

Zamknięty zorientowany łańcuch nazywany jest zorientowanym cyklem lub konturem, jeśli jego wierzchołki, z wyjątkiem końcowych, są różne.

Mówimy, że graf skierowany jest acykliczny lub bezkonturowy, jeśli nie ma konturów. Na przykład skierowany wykres na ryc. 1 jest acykliczny. 5.2.

Ryż. 5.2. Acykliczny graf skierowany.

Ryż. 5.3. Silnie spójny graf skierowany.

Sekwencja wierzchołków w grafie skierowanym G nazywana jest ścieżką w grafie G, jeśli jest ścieżką w leżącym u jej podstaw grafie nieskierowanym.Na przykład sekwencja na grafie na ryc. 5.2 to trasa, ale nie zorientowana.

Łańcuch, ścieżka i cykl grafu skierowanego są definiowane podobnie.

Mówimy, że graf skierowany jest spójny, jeśli leżący u jego podstaw graf nieskierowany jest spójny.

Podgraf grafu skierowanego G nazywamy składową grafu G, jeśli jest składową grafu

Wierzchołki grafu skierowanego G nazywamy silnie spójnymi, jeśli istnieją skierowane ścieżki z i z powrotem do G. Jeśli jest silnie powiązany z wtedy, oczywiście, jest silnie powiązany z . Każdy wierzchołek jest ze sobą silnie powiązany.

Jeśli wierzchołek jest silnie połączony z wierzchołkiem, to, jak łatwo zauważyć, wierzchołek jest silnie połączony z wierzchołkiem, stąd w tym przypadku mówimy po prostu, że wierzchołki są silnie połączone.

Mówimy, że graf skierowany jest silnie spójny, jeśli wszystkie jego wierzchołki są silnie spójne. Na przykład wykres na rys. 5.3.

Maksymalnie silnie spójny podgraf grafu skierowanego G nazywany jest silnie spójnym składnikiem G. Jeśli graf skierowany jest silnie spójny, to ma jeden silnie spójny składnik, a mianowicie siebie.

Rozważ graf skierowany. Łatwo zauważyć, że każdy z jego wierzchołków należy do dokładnie jednej silnie spójnych składowych grafu G. Dlatego zbiory wierzchołków silnie spójnych składowych tworzą podział zbioru wierzchołków Y grafu

Ryż. 5.4. Wykres i jego kondensacja.

Na przykład graf skierowany na ryc. 5.4, ​​a ma trzy silnie połączone składowe ze zbiorami wierzchołków i tworzące podział zbioru wierzchołków grafu skierowanego.

Co ciekawe, graf skierowany może zawierać łuki, które nie należą do silnie powiązanych elementów grafu. Na przykład żadne silnie połączone komponenty nie zawierają łuków na wykresie na ryc. 5.4, ​​a.

Tak więc, chociaż właściwość „silnie powiązana” pociąga za sobą podzielenie zbioru wierzchołków wykresu, może nie generować podziału zbioru łuków.

Suma, przecięcie, suma mod 2 i inne operacje na grafach skierowanych definiuje się dokładnie tak samo, jak w przypadku grafów nieskierowanych (rozdz. 1.5).

Wykres powstały ze skrócenia wszystkich łuków silnie połączonych składowych grafu skierowanego G nazywany jest wykresem skondensowanym G. Kondensacja wykresu pokazanego na ryc. 5.4, ​​​​a, pokazano na ryc. 5.4b.

Wierzchołki grafu odpowiadają silnie spójnym składowym grafu G i nazywane są skondensowanymi obrazami składowych.

Ranga i liczba cykliczna grafu skierowanego są takie same, jak w odpowiednim grafie nieskierowanym. Oznacza to, że jeśli graf skierowany G ma łuki, wierzchołki i składowe, to rząd i liczba cyklomatyczna grafu G są określone wzorem

Zdefiniujemy teraz grafy skierowane minimalnie spójnych i zbadamy niektóre z ich właściwości.

Mówi się, że skierowany graf G jest minimalnie spójny, jeśli jest silnie spójny, a usunięcie dowolnego łuku pozbawia go właściwości silnie spójnych.

Ryż. 5.5. Minimalnie spójny graf skierowany.

Minimalnie spójny jest na przykład wykres pokazany na ryc. 5.5.

Oczywiście minimalnie połączone grafy nie mogą mieć równoległych łuków i pętli.

Wiemy, że graf nieskierowany jest minimalnie spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest drzewem (przykład 2.13). Zgodnie z Twierdzeniem 2.5 drzewo ma co najmniej dwa wierzchołki stopnia 1. Zatem minimalnie połączone grafy nieskierowane mają co najmniej dwa wierzchołki stopnia 1.

Ustalmy podobny wynik dla grafów skierowanych. Stopień dowolnego wierzchołka silnie spójnego skierowanego wykresu musi wynosić co najmniej 2, ponieważ każdy wierzchołek musi mieć wychodzące i przychodzące łuki. W poniższym twierdzeniu dowodzimy, że minimalnie spójny graf skierowany ma co najmniej dwa wierzchołki stopnia 2.