Poniżej \(f\) oznacza zapisaną transformację afiniczną system kartezjański współrzędne \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\) według wzorów
$$
x^(*)=a_(1)x+b_(1)y+c_(1),\ y^(*)=a_(2)x+b_(2)y+c_(2).\etykieta( ref1)
$$
na warunkach
$$
\begin(vmatrix)
a_(1)& b_(1)\\
a_(2) & b_(2)
\end(vmatrix) \neq 0.\label(ref2)
$$

Rozważmy linię prostą na płaszczyźnie o równaniu \(\boldsymbol(r)=\boldsymbol(r)_(0)+\boldsymbol(a)t\) i znajdźmy jej obraz pod przekształceniem \(f\). (Obraz linii rozumiany jest jako zbiór obrazów jej punktów.) Wektor promienia obrazu \(M^(*)\) dowolnego punktu \(M\) można obliczyć w następujący sposób:
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\overrightarrow(Of(O))+f\overrightarrow((O)M^(*))=\boldsymbol(c)+f(\boldsymbol(r)).\nonnumer
$$

Tutaj \(\boldsymbol(c)\) jest wektorem stałym \(\overrightarrow(Of)(O)\), a \(\boldsymbol(r)\) jest wektorem promienia punktu \(M\). Zgodnie z (11) §2 otrzymujemy
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\boldsymbol(c)+f(\boldsymbol(r)_(0))+f(\boldsymbol(a))t.\label(ref3)
$$
Ponieważ \(f\) jest transformacją afiniczną i \(\boldsymbol(a) \neq \boldsymbol(0)\), to \(\boldsymbol(a)\) przejdzie do wektora \(f(\boldsymbol( a) ) \neq 0\), a równanie \eqref(ref3) jest równaniem linii prostej. Zatem obrazy wszystkich punktów prostej \(\boldsymbol(r)=\boldsymbol(r)_(0)+\boldsymbol(a)t\) leżą na prostej \eqref(ref3).

Co więcej, transformacja \(f\) definiuje odwzorowanie jeden do jednego z jednej prostej na drugą, ponieważ przy dokonanym tutaj wyborze punktów początkowych i wektorów kierunkowych punkt \(M^(*)\) na prostej \eqref(ref3) ma taką samą wartość parametru \(t\) jak punkt \(M\) na oryginalnej linii. Stąd otrzymujemy pierwsze twierdzenie.

Oświadczenie 1.

Z transformacją afiniczną:

• linia prosta staje się linią prostą;
• segment przechodzi w segment;
• linie równoległe stają się równoległe.

Dowód.

Aby udowodnić drugie twierdzenie, wystarczy zauważyć, że odcinek składa się z punktów, dla których wartości parametrów spełniają nierówność postaci \(t_(1) \leq t \leq t_(2)\) Twierdzenie trzecie wynika z faktu, że przy transformacji afinicznej -te wektory stają się współliniowe.

Oświadczenie 2.

W przypadku transformacji afinicznej stosunek długości odcinków równoległych nie zmienia się.

Dowód.

Niech odcinki \(AB\) i \(CD\) będą równoległe. Oznacza to, że istnieje taka liczba \(\lambda\) taka, że ​​\(\overrightarrow(AB)=\lambda \overrightarrow(CD)\). Obrazy wektorów \(\overrightarrow(AB)\) i \(\overrightarrow(CD)\) są powiązane tą samą zależnością \(\overrightarrow(A^(*)B^(*))=\lambda \ overrightarrow(C^( *)D^(*))\). Stąd wynika, że
$$
\frac(|\overrightarrow(AB)|)(|\overrightarrow(CD)|)=\frac(|\overrightarrow(A^(*)B^(*))|)(|\overrightarrow(C^(* )D^(*))|)=|\lambda|.\liczba
$$

Konsekwencja.

Jeżeli punkt \(C\) dzieli odcinek \(AB\) w jakiejś relacji \(\lambda\), to jego obraz \(C^(*)\) dzieli obraz \(A^(*)B^ (*) \) odcinek \(AB\) w tej samej relacji \(\lambda\).

Zmiana obszarów podlegających transformacji afinicznej.

Przyjrzyjmy się najpierw. Wybieramy wspólny kartezjański układ współrzędnych \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\) i oznaczamy przez \((p_(1), p_(2))\) i \ ((q_(1), q_(2))\) składowe wektorów \(\boldsymbol(p)\) i \(\boldsymbol(q)\) na których jest zbudowany. Możemy obliczyć powierzchnię równoległoboku za pomocą:
$$
S_(\pm)=S_(\pm) (\boldsymbol(p), \boldsymbol(q))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1)) S_(\pm) ( \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)).\nnumer
$$

Niech transformację afiniczną \(f\) zapiszemy w wybranym układzie współrzędnych za pomocą wzorów \eqref(ref1). Z powyższego wynika, że ​​wektory \(f(\boldsymbol(p))\) i \(f(\boldsymbol(q))\) mają \(f(\boldsymbol(e)_(1)), f (\boldsymbol(e)_(2))\) te same składowe \((p_(1), p_(2))\) i \((q_(1), q_(2))\) to i wektory \(\boldsymbol(p)\) i \(\boldsymbol(q)\) w bazie \(\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\). Obraz równoległoboku jest zbudowany z wektorów \(f(\boldsymbol(p))\) i \(f(\boldsymbol(q))\), a jego pole jest równe
$$
S_(\pm)^(*)=S_(\pm) (f(\boldsymbol(p)), f(\boldsymbol(q)))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_ (1)) S_(\pm) (f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))).\nonliczba
$$

Obliczmy ostatni czynnik. Jak wiemy z tego, co już zostało udowodnione, współrzędne wektorów \(f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))\) wynoszą odpowiednio \((a_ (1), a_( 2))\) i \((b_(1), b_(2))\). Więc \(S_(\pm) (f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2)))=(a_(1)b_(2)-a_(2) b_(1)) S_(\pm) (\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2))\) i
$$
S_(\pm)^(*)=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1))(a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)) S_( \pm) (\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)).\nonnumer
$$
Stąd to widzimy
$$
\frac(S_(\pm)^(*))(S_(\pm))=\begin(vmatrix)
a_(1)& b_(1)\\
a_(2) & b_(2)
\end(vmatrix).\label(ref4)
$$

Zatem stosunek obszaru obrazu zorientowanego równoległoboku do obszaru tego równoległoboku jest taki sam dla wszystkich równoległoboków i jest równy \(a_(1)b_(2)-a_(2)b_ (1)\).

Wynika z tego, że wyznacznik ten nie zależy od wyboru układu współrzędnych, w którym zapisana jest transformacja, chociaż jest obliczany za pomocą współczynników zależnych od układu współrzędnych. Ta wielkość jest niezmiennikiem wyrażającym geometryczną właściwość transformacji.

Ze wzoru \eqref(ref4) widać, że stosunek powierzchni obrazu niezorientowanego równoległoboku do jego powierzchni jest równy
$$
S^(*)/S=|a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)|.\etykieta(ref5)
$$

Jeśli \(a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1) > 0\), to orientacje wszystkich zorientowanych równoległoboków są zachowane podczas transformacji, a jeśli \(a_(1)b_(2) -a_(2 )b_(1)< 0\), то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации.

Zajmijmy się teraz polami innych figur. Każdy trójkąt można uzupełnić do równoległoboku, którego pole jest dwa razy większe od pola trójkąta. Dlatego stosunek pola obrazu trójkąta do pola tego trójkąta spełnia równość \eqref(ref5).

Każdy wielokąt można podzielić na trójkąty. Dlatego formuła \eqref(ref5) obowiązuje również dla dowolnych wielokątów.

Nie będziemy tutaj dotykać definicji obszaru dowolnej figury krzywoliniowej. Powiemy tylko, że w tych przypadkach, w których obszar ten jest określony, jest on równy granicy obszarów pewnej sekwencji wielokątów wpisanych w rozważaną figurę. Z teorii granic znane jest następujące założenie: jeśli ciąg \(S_(n)\) dąży do granicy \(S\), to ciąg \(\delta S_(n)\), gdzie \(\ delta\) jest stała, dąży do ograniczenia \(\delta S\). Na podstawie tego twierdzenia dochodzimy do wniosku, że formuła \eqref(ref5) jest poprawna w najbardziej ogólnym przypadku.

Jako przykład znajdźmy wyrażenie na pole elipsy pod względem jej półosi. Wcześniej zauważyliśmy, że elipsę o półosiach \(a\) i \(b\) można otrzymać, skracając okrąg o promieniu \(a\) do prostej przechodzącej przez jego środek. Współczynnik kompresji wynosi \(b/a\). W jednym z nich otrzymaliśmy współrzędne zapisu kompresji do prostej \(x^(*)=x\), \(y^(*)=\lambda y\). Wyznacznik współczynników w tych wzorach jest równy \(\lambda\), czyli w naszym przypadku \(b/a\). Zatem stosunek pola elipsy do pola koła wynosi \(b/a\), a to pole to \(S=(b/a)\pi a^(2)\ ). Wreszcie mamy
$$
S=\pi ab.\liczba
$$

Obrazy linii drugiego rzędu.

Widzieliśmy, że linia prosta zamienia się w linię prostą. Jest to szczególny przypadek następującego stwierdzenia.

Oświadczenie 3.

Transformacja afiniczna przekształca prostą algebraiczną w prostą algebraiczną tego samego rzędu.

Dowód.

Rzeczywiście, niech prosta \(L\) w kartezjańskim układzie współrzędnych \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\) ma równanie algebraiczne rzędu \(p\ ). Wiemy już, że obrazy wszystkich punktów prostej \(L\) pod transformacją afiniczną \(f\) mają w układzie współrzędnych \(f(O), f(\boldsymbol(e)_(1)) , f(\boldsymbol( e)_(2))\) to te same współrzędne co ich obrazy wstępne w układzie współrzędnych \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2 )\). Dlatego współrzędne obrazów w układzie \(f(O), f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))\) są powiązane tym samym równaniem algebraicznym rzędu \(p\ ). To wystarczy, aby wyciągnąć wniosek, którego potrzebujemy.

Z powyższego twierdzenia wynika w szczególności, że linia drugiego rzędu pod przekształceniem afinicznym przechodzi w linię drugiego rzędu. Udowodnimy mocniejsze twierdzenie. Jak już wiemy, linie drugiego rzędu można podzielić na . Przekonamy się, że klasa linii jest zachowana przy transformacji afinicznej. Na tej podstawie klasy linii wymienione w tym twierdzeniu nazywane są klasami afinicznymi. Udowodnijmy więc nowe twierdzenie.

Oświadczenie 4.

Linia drugiego rzędu należąca do jednej z klas afinicznych, w ramach dowolnej transformacji afinicznej, może przejść tylko do linii tej samej klasy. Każdą linię drugiego rzędu można przenieść przez odpowiednią transformację afiniczną do dowolnej innej linii tej samej klasy afinicznej.

Dowód.

Linię nazywamy ograniczoną, jeśli leży wewnątrz pewnego równoległoboku. Łatwo zauważyć, że przy transformacji afinicznej prosta ograniczona musi przechodzić w ograniczoną, a prosta w nieograniczoną.

1. Elipsa - ograniczona linia drugiego rzędu. Oprócz elips ograniczone są tylko linie składające się z jednego punktu, to znaczy pary wyimaginowanych przecinających się linii. Ponieważ elipsa jest ograniczona i składa się z więcej niż jednego punktu, może przejść tylko do elipsy.
2. Hiperbola składa się z dwóch oddzielnych gałęzi. Właściwość tę można sformułować w taki sposób, że jej niezmienniczość przy przekształceniach afinicznych będzie jasna. Mianowicie istnieje linia prosta, która nie przecina hiperboli, ale przecina niektóre jej cięciwy.Spośród wszystkich linii drugiego rzędu tylko hiperbola i pary linii równoległych mają tę właściwość. Gałęzie hiperboli nie są liniami prostymi, dlatego w przypadku transformacji afinicznej może ona przejść tylko do hiperboli.
3. Parabola - nieograniczona linia drugiego rzędu, składająca się z jednej nieprostoliniowej części. Żadne inne linie drugiego rzędu nie mają tej właściwości, dlatego parabola może przejść tylko do paraboli.
4. Jeżeli linia drugiego rzędu jest punktem (parą wyimaginowanych przecinających się linii), linią (parą pokrywających się linii), parą przecinających się linii lub parą równoległych linii, to wynika to z wcześniej udowodnionych właściwości przekształceń afinicznych, których ta linia nie może przejść w linię żadnej innej klasy.

Udowodnijmy drugą część twierdzenia. W już udowodnionym równania kanoniczne linie drugiego rzędu są zapisane w prostokątnym układzie współrzędnych kartezjańskich i zawierają parametry \(a, b, ...\) Jeśli porzucimy ortonormalność bazy, możemy dokonać dalszych uproszczeń równań kanonicznych i doprowadzić je do postaci który nie zawiera parametrów. Na przykład zmiana współrzędnych \(x'=x/a\), \(y'=y/b\) tłumaczy równanie elipsy \(x^(2)a^(2)+y^(2) b^(2 )=1\) do równania \(x'^(2)+y'^(2)=1\), czymkolwiek są \(a\) i \(b\). (Ostatnie równanie nie jest równaniem okręgu, ponieważ nowy system współrzędne nie jest prostokątem kartezjańskim).

Czytelnik łatwo wykaże, że równania kanoniczne prostych drugiego rzędu można przekształcić w następujące równania przechodząc do odpowiedniego układu współrzędnych:

1. \(x^(2)+y^(2)=1\);
2. \(x^(2)+y^(2)=0\);
3. \(x^(2)-y^(2)=1\);
4. \(x^(2)-y^(2)=0\);
5. \(y^(2)=2x\);
6. \(y^(2)-1=0\);
7. \(y^(2)=0\).

Taki układ współrzędnych nazywamy afinicznym kanonicznym układem współrzędnych.

Z wcześniejszego wynika, że ​​transformacja afiniczna, która łączy afiniczne kanoniczne układy współrzędnych dwóch linii tej samej klasy afinicznej, również łączy te linie. To kończy dowód.

Dekompozycja transformacji ortogonalnej.

Twierdzenie 1.

Każda transformacja ortogonalna rozkłada się na produkt translacji, obrotu i prawdopodobnie symetrii osiowej.

Dowód.

Niech \(f\) będzie transformacją ortogonalną, a \(\trójkąt wielokątny ABC\) będzie trójkątem prostokątnym równoramiennym o kącie prostym \(A\). Kiedy \(f\) zostanie przekształcone, przejdzie w trójkąt równoramienny \(\vartriangle A^(*)B^(*)C^(*)\) z kątem prostym w wierzchołku \(A^(* )\). Twierdzenie zostanie udowodnione, jeśli wykonując sekwencyjnie równoległe przesunięcie \(p\), obrót \(q\) i (jeśli to konieczne) symetrię osiową \(r\), możemy połączyć trójkąty \(ABC\) i \( A^ (*)B^(*)C^(*)\). Rzeczywiście, iloczyn \(rqp\) jest transformacją afiniczną w taki sam sposób jak \(f\), a transformacja afiniczna jest jednoznacznie określona przez obrazy trzech punktów, które nie leżą na jednej prostej. Dlatego \(rqp\) jest tym samym co \(f\).

Zatem tłumaczymy \(A\) i \(A^(*)\) poprzez translację równoległą \(p\) na wektor \(\overrightarrow(AA^(*))\) (jeśli \(A=A ^(* )\), następnie \(p\) - przemiana tożsamości). Następnie obracając \(q\) wokół punktu \(A^(*)\) sprawiamy, że \(p(B)\) jest zgodne z \(B^(*)\) (prawdopodobnie ta transformacja również się okaże być identycznym). Punkt \(q(p(C))\) albo pokrywa się z \(C^(*)\) albo jest do niego symetryczny względem prostej \(A^(*)B^(*)\). W pierwszym przypadku cel został już osiągnięty, w drugim wymagana jest symetria osiowa względem określonej linii. Twierdzenie zostało udowodnione.

Należy pamiętać, że otrzymana dekompozycja transformacji ortogonalnej nie jest jednoznaczna. Ponadto można rozłożyć obrót lub przesunięcie równoległe na iloczyn symetrii osiowych, iloczyn przesunięcia równoległego i obrotu można przedstawić jako jeden obrót i tak dalej. Nie określimy, jak to zrobić, ale dowiemy się, co następuje wspólna własność wszystkie takie rozszerzenia.

Oświadczenie 5.

Dla dowolnego rozkładu transformacji ortogonalnej na iloczyn dowolnej liczby równoległych translacji, obrotów i symetrii osiowych parzystość liczby symetrii osiowych zawartych w rozkładzie jest taka sama.

Dowód.

Aby to udowodnić, rozważmy dowolną bazę na płaszczyźnie i prześledźmy zmianę jej orientacji (kierunek najkrótszego skrętu od \(\boldsymbol(e)_(1)\) do \(\boldsymbol(e)_(2 )\)) w ramach przekształceń. Zauważ, że obrót i translacja nie zmieniają orientacji żadnej podstawy, podczas gdy symetria osiowa zmienia orientację dowolnej podstawy. Dlatego, jeśli dana transformacja ortogonalna zmienia orientację bazy, to dowolne jej rozwinięcie musi zawierać nieparzystą liczbę symetrii osiowych. Jeśli orientacja podstawy się nie zmienia, to liczba symetrii osiowych zawartych w rozszerzeniu może być tylko parzysta.

Definicja.

Nazywa się transformacje ortogonalne, które można rozłożyć na iloczyn translacji i obrotu przekształcenia ortogonalne pierwszego rodzaju , i reszta - przekształcenia ortogonalne drugiego rodzaju .

Transformacja ortogonalna w prostokątnym układzie współrzędnych kartezjańskich jest zapisana:
$$
\begin(tablica)(cc)


\end(tablica).\liczba
$$
Przy górnych znakach współczynników y\(y\) w tych wzorach wyznacznik złożony ze współczynników jest równy +1, a przy dolnych znakach jest równy -1. Stąd i ze wzoru \eqref(ref4) wynika następujące twierdzenie.

Oświadczenie 6.

Transformacja ortogonalna pierwszego rodzaju jest zapisywana w prostokątnym układzie współrzędnych kartezjańskich za pomocą wzorów
$$
\begin(tablica)(cc)
& x^(*)=x \cos \varphi \mp y \sin \varphi+c_(1),\\
& y^(*)=x \sin \varphi \pm y \cos \varphi+c_(2).
\end(tablica).\liczba
$$
z górnymi znakami współczynników przy \(y\), a transformacją ortogonalną drugiego rodzaju - z dolnymi znakami.

Dekompozycja transformacji afinicznej.

Widzieliśmy, jak transformacja afiniczna może zmienić płaszczyznę: okrąg może zamienić się w elipsę, a regularny trójkąt w całkowicie dowolny. Wydawałoby się, że w tym przypadku nie da się zachować żadnych kątów. Jednak następujące stwierdzenie jest aktualne

Oświadczenie 7.

Dla każdej transformacji afinicznej istnieją dwie wzajemnie prostopadłe linie, które przechodzą do wzajemnie prostopadłych linii.

Dowód.

Aby to udowodnić, rozważ koło. Dzięki tej transformacji afinicznej zmieni się w elipsę. Każda oś elipsy to zbiór punktów środkowych cięciw równoległych do drugiej osi. W przypadku transformacji afinicznej akord zmieni się w akord, równoległość musi zostać zachowana, a środek odcinka znajdzie się na środku jego obrazu. Dlatego odwrotne obrazy osi elipsy są odcinkami, które mają tę samą właściwość: każdy z nich jest zbiorem punktów środkowych cięciw okręgu równoległych do drugiego odcinka. Takie segmenty to koniecznie dwie wzajemnie prostopadłe średnice koła. Tego właśnie potrzebowaliśmy: są dwie wzajemnie prostopadłe średnice koła, które przechodzą w wzajemnie prostopadłe segmenty - osie elipsy.

Warto zwrócić uwagę na jeden szczególny przypadek: koło pod wpływem transformacji afinicznej może zamienić się w koło. W tym przypadku to samo rozumowanie dotyczy dowolnych dwóch wzajemnie prostopadłych średnic koła-obrazu. Oczywiście w tym przypadku dowolne dwa wzajemnie prostopadłe kierunki pozostają prostopadłe.

Definicja.

Dwa wzajemnie prostopadłe kierunki nazywamy głównymi lub sinugularnymi kierunkami transformacji afinicznej \(f\), jeśli przechodzą one w wzajemnie prostopadłe kierunki.

Twierdzenie 2.

Każda transformacja afiniczna rozkłada się na iloczyn transformacji ortogonalnej i dwóch skurczów na dwie wzajemnie prostopadłe proste.

Dowód.

Dowód jest podobny do dowodu. Rozważmy transformację afiniczną \(f\) i wybierzmy trójkąt prostokątny równoramienny \(ABC\) tak, aby jego ramiona \(AB\) i \(AC\) były skierowane wzdłuż głównych kierunków transformacji \(f\). Oznaczmy przez \(A^(*)\), \(B^(*)\) i \(C^(*)\) obrazy jego wierzchołków. Dokonajmy transformacji ortogonalnej \(g\) takiej, że \(g(A)=A^(*)\) oraz punkty \(g(B)\) i \(g(C)\) leżą odpowiednio na promienie \(A^(*)B^(*)\) i \(A^(*)C^(*)\). (Można to łatwo osiągnąć, tak jak w Twierdzeniu 1, poprzez równoległe przesunięcie, obrót i symetrię osiową).

Niech \(\lambda=|A^(*)B^(*)|/|A^(*)g(B)|\) i \(\mu=|A^(*)C^(*) |/|A^(*)g(C)|\). Następnie skurcz \(p_(1)\) do prostej \(A^(*)C^(*)\) względem \(\lambda\) prowadzi do \(g(B)\) do \(p_( 1) g(B)=B^(*)\) i nie przesuwa punktów \(A^(*)\) i \(g(C)\). Podobnie, zmniejszenie \(p_(2)\) do linii \(A^(*)B^(*)\) zmapuje \(g(C)\) do \(p_(2)g(C)= C^ (*)\) i nie przesuwa punktów prostej \(A^(*)B^(*)\).

Oznacza to, że iloczyn \(p_(2)p_(1)g\) odwzorowuje punkty \(A\), \(B\) i \(C\) na punkty \(A^(*)\) , \ (B^(*)\) i \(C^(*)\) oraz podane nam przekształcenie \(f\). Jak wcześniej udowodniono, mamy \(p_(2)p_(1)g=f\), zgodnie z wymaganiami.

Rozdział I. Pojęcie transformacji geometrycznej

1.1 Co to jest transformacja geometryczna?

Wspólną cechą symetrii osiowej, symetrii centralnej, rotacji, translacji równoległej, jednorodności jest to, że wszystkie one „przekształcają” każdą figurę F w nową figurę F1. Dlatego nazywa się je transformacjami geometrycznymi.

Ogólnie transformacją geometryczną nazywamy każdą regułę, która pozwala każdemu punktowi A na płaszczyźnie wskazać nowy punkt A, do którego przenoszony jest punkt A przez rozważaną transformację. Jeżeli na płaszczyźnie dana jest jakakolwiek figura F, to zbiór wszystkich punktów, w które cienkie figury figury F przechodzą rozważane przekształcenie, jest nową figurą F. W tym przypadku mówimy, że F" otrzymuje się z F za pomocą przedmiotowego przekształcenia.

Przykład. Symetria względem prostej l jest transformacją geometryczną. Reguła, która pozwala znaleźć odpowiadający mu punkt A z punktu A, w tym przypadku jest następująca: od punktu A prostopadła AP jest obniżana do linii prostej l, a na jej kontynuacji poza punkt P , ułożony jest odcinek PA "=AP.

Dodanie przekształceń geometrycznych

Załóżmy, że rozważamy dwie transformacje geometryczne, z których jedną nazywamy „pierwszą”, a drugą „drugą”. Weźmy dowolny punkt A na płaszczyźnie i oznaczmy przez A „punkt, do którego A przechodzi podczas pierwszego przekształcenia. Z kolei punkt A” zostaje przeniesiony przez drugie przekształcenie do jakiegoś nowego punktu A. Innymi słowy, punkt A” otrzymuje się z punktu A stosując kolejne zastosowanie dwóch przekształceń – najpierw pierwszego, a następnie drugiego.

Wynikiem kolejnego wykonania dwóch podjętych przekształceń jest również przekształcenie geometryczne: prowadzi ono z punktu A do punktu A. Ta „wynikowa” transformacja nazywana jest sumą pierwszej i drugiej rozpatrywanej transformacji.

Niech jakaś figura F będzie dana na płaszczyźnie. Pierwsza transformacja przekształca ją w pewną figurę F" . Poprzez drugą transformację ta figura F" jest tłumaczona na nową figurę F"". Suma pierwszej i drugiej transformacji natychmiast przekształca figurę F w figurę F.

Przykład. Niech pierwsza transformacja będzie symetrią względem punktu O1, a druga transformacja będzie symetrią względem innego punktu O2. Znajdźmy sumę tych dwóch przekształceń.

Niech A będzie dowolnym punktem na płaszczyźnie. Załóżmy najpierw, że punkt A nie leży na prostej O1O2. Niech A będzie punktem symetryczny punkt A względem O1, a przez A „- punkt symetryczny do punktu A” względem O2. Ponieważ O1O2 jest środkową linią trójkąta AA „A”, „odcinek AA” jest równoległy do ​​odcinka O1O2 i ma dwa razy większą długość. Kierunek od punktu A do punktu A” jest taki sam jak kierunek od punktu

O1 do punktu O2. Oznaczmy teraz przez MN taki wektor, że odcinki MN i O1O2 są równoległe, odcinek MN jest dwa razy dłuższy od odcinka O1O2, a promienie MN i O1O2 mają ten sam kierunek. Wówczas AA" = MN, tj. punkt A" otrzymuje się z punktu A przez równoległe przeniesienie do wektora MN.

To samo dotyczy punktu leżącego na prostej O1O2.

Ostatecznie otrzymujemy: suma symetrii względem punktu O1 i symetrii względem punktu O2 jest translacją równoległą.

1.2 Ruch

Cechą wspólną symetrii osiowej, rotacji (w szczególności symetrii centralnej) i translacji równoległej jest to, że każda z tych transformacji przekłada dowolną figurę F na płaszczyźnie na równą figurę F”. Transformacje, które mają tę właściwość, nazywane są ruchami. Jednorodność jest przykładem transformacja Rzeczywiście, każdy ruch przekształca dowolną figurę w figurę równą sobie, tj. zmienia tylko położenie figur na płaszczyźnie, podczas gdy jednorodność zmienia również rozmiary figur.

Rola ruchu w geometrii

Ruchy grają w geometrii niezwykle ważna rola. Nie zmieniają kształtu ani rozmiaru figur, a jedynie zmieniają położenie figury. Ale figury, które różnią się tylko położeniem na płaszczyźnie, są dokładnie takie same z punktu widzenia geometrii. Dlatego w geometrii nazywane są „figurami równymi”. Żadna z właściwości figura geometryczna nie różni się od odpowiedniej właściwości jej równej liczby. Na przykład równe trójkąty mają nie tylko te same boki, ale także te same kąty, środkowe, dwusieczne, obszary, promienie okręgów wpisanych i opisanych itd.

Na lekcjach geometrii zawsze uważaliśmy równe figury (to znaczy te, które można łączyć za pomocą ruchu) za takie same lub nie do odróżnienia. Takie liczby są często mylone z tą samą figurą. Dlatego możemy powiedzieć, że np. problem zbudowania trójkąta o dwóch bokach a, b i zawartym między nimi kątem C ma tylko jedno rozwiązanie. W rzeczywistości istnieje oczywiście nieskończenie wiele trójkątów mających dane boki a i b oraz kąt C o danej wartości między nimi. Jednak wszystkie te trójkąty są takie same, równe, więc można je traktować jako „jeden” trójkąt.

Tak więc geometria bada te właściwości figur, które są takie same dla równych figur. Takie właściwości można nazwać „właściwościami geometrycznymi”. Innymi słowy: geometria bada właściwości figur, które nie zależą od ich położenia. Ale figury, które różnią się tylko układem (figury równe), to te, które można połączyć ruchem. Dochodzimy zatem do następującej definicji przedmiotu geometrii; geometria bada te właściwości figur, które są zachowywane podczas ruchów.

Ruchy w geometrii i fizyce

Zatem koncepcja ruchu odgrywa nadrzędną rolę w geometrii. Ruchy („nakładki”) stosowano w klasie VI do wyznaczania figur równych, do dowodzenia znaków równości trójkątów; pojęcie ruchu, jak widzieliśmy powyżej, pozwala nam również podać opis przedmiotu geometrii.

Tymczasem istnieje luka w definicjach pojęcia równości figur i pojęcia ruchu. W rzeczywistości figury równe zostały zdefiniowane (w klasie VI) jako takie, które można łączyć przez superpozycję (tj. przez ruch). Ruchy zdefiniowano powyżej jako takie przekształcenia, które przesuwają dwa wielokąty F1 i F tak, że istnieje wielokąt F" homotetyczny F i równy F1, wtedy kąty wielokąta F są odpowiednio równe kątom wielokąta F" i boki wielokąta F są odpowiednio proporcjonalne do boków wielokąta F”. Ale wielokąt F ma te same kąty i boki, co jego równy wielokąt F1. W konsekwencji wielokąty F1 i F są podobne w tym sensie, w jakim były rozumiane w toku geometrii kl. VIII.

Odwrotnie, niech wielokąty F1 i F będą takie, że ich kąty są odpowiednio równe, a ich boki odpowiednio proporcjonalne. Stosunek boków wielokąta F1 do odpowiednich boków wielokąta F jest oznaczony przez k. Dalej, przez F" oznaczamy wielokąt uzyskany z F przez jednorodność o współczynniku k (i dowolnym środku jednorodności. W tym przypadku, na mocy twierdzenia, wielokąty F" i F1 będą miały odpowiednio równe boki i kąty, tj. , wielokąty te będą równe, zatem wielokąty F1 i F będą również podobne w sensie podanej tu definicji podobieństwa.

Rozdział II Transformacje afiniczne

2.1 Transformacje afiniczne płaszczyzny

Przekształcenie afiniczne α to takie przekształcenie płaszczyzny, które zamienia dowolną prostą w prostą i zachowuje relację, w jakiej punkt dzieli odcinek.

Na rys. 1: L"= α(L), A"=α(A), B"=α(B), C"=α(C),

|

Transformacje - ruch i podobieństwo - są szczególnymi przypadkami transformacji afinicznych, ponieważ ze względu na właściwości ruchu i podobieństwa są dla nich spełnione wszystkie wymagania definicji transformacji afinicznych.

Podajmy przykład transformacji afinicznej, która nie sprowadza się do rozważanych wcześniej. W tym celu rozważymy najpierw równoległy rzut płaszczyzny na płaszczyznę.

Niech płaszczyznami będą dane: w i w1 prosta l (kierunek rzutu), nierównoległa do żadnej z tych płaszczyzn (rys. 2). Punkt Аєw nazywamy rzutem punktu А1єw1, jeżeli АА1||l , to prosta АА1 nazywana jest linią rzutującą. Rzut równoległy to odwzorowanie płaszczyzny w1 na w.

Zwróć uwagę na następujące właściwości rzutowania równoległego.

1) Obraz dowolnej linii a1 jest linią.

Rzeczywiście linie rzutujące na punkty prostej a1 tworzą płaszczyznę (przechodzi przez a1 równoległą do l), która po przecięciu z w daje obraz prostej a1 - prostej a (ryc. 2).

2) Zachowana jest relacja, w jakiej punkt dzieli odcinek, tj.

(rys. 2)

Bezpośrednio wynika z twierdzenia o przecięciu boków kąta prostymi równoległymi.

Przejdźmy od razu do konstrukcji przykładowej transformacji afinicznej.

Weźmy dwa przypadki płaszczyzny w i przesuńmy jeden z nich w inne miejsce w1 (rys. 3). Oznaczmy nowe położenie jakiegoś punktu Aєw przez A1єw1. Teraz rzutujemy płaszczyznę w1 w jakimś położeniu na w, oznaczmy rzut punktu A1 jako A”.

Otrzymaliśmy transformację płaszczyzny w na samą siebie, pod którą

. Ze względu na symetryczne właściwości projekcji równoległej oba wymagania pewnej transformacji afinicznej są spełnione dla tej transformacji, dlatego skonstruowana teraz transformacja jest transformacją prospektywnie afiniczną.

Transformacja afiniczna to taka, która zachowuje równoległe linie, ale niekoniecznie kąty lub długości.
W grafice komputerowej wszystko, co dotyczy przypadku dwuwymiarowego, jest zwykle oznaczane symbolem 2D (dwuwymiarowy). Załóżmy, że na płaszczyźnie wprowadzono prostoliniowy układ współrzędnych. Następnie każdemu punktowi M przypisujemy uporządkowaną parę liczb (x, y) jego współrzędnych (rys. 1).

Powyższe wzory można rozpatrywać dwojako: albo punkt zostaje zapisany, a układ współrzędnych zmienia się; w tym przypadku dowolny punkt M pozostaje taki sam, zmieniają się tylko jego współrzędne (x, y) (x*, y*), lub w tym przypadku punkt się zmienia, a układ współrzędnych jest zapisywany.W tym przypadku formuły definiują odwzorowanie, które przenosi dowolny punkt M(x, y) do punktu M*(x*, y*), którego współrzędne to zdefiniowane w tym samym układzie współrzędnych. W przyszłości będziemy interpretować wzory z reguły, że punkty płaszczyzny są przekształcane w zadany układ współrzędnych prostoliniowych.
W przekształceniach afinicznych płaszczyzny szczególną rolę odgrywa kilka ważnych przypadków specjalnych, które mają dobrze określone cechy geometryczne. Badając geometryczne znaczenie współczynników liczbowych we wzorach dla tych przypadków, wygodnie jest założyć, że dany układ współrzędnych jest prostokątnym układem kartezjańskim.
Najczęściej stosowane są następujące techniki grafiki komputerowej: translacja, skalowanie, obrót, odbicie. Wyrażenia algebraiczne i figury wyjaśniające dane transformacji podsumowano w tabeli 1.

Transformacje afiniczne na płaszczyźnie

Translacja jest przemieszczeniem wyjściowych prymitywów o ten sam wektor.
Skalowanie to zwiększenie lub zmniejszenie całego obrazu lub jego części. Podczas skalowania współrzędne punktów obrazu są mnożone przez określoną liczbę.
Obrót odnosi się do obrotu prymitywów wyjściowych wokół danej osi. (Na płaszczyźnie rysunkowej obrót odbywa się wokół punktu).
Przez odbicie rozumie się uzyskanie lustrzanego odbicia obrazu wokół jednej z osi (na przykład X).
O wyborze tych czterech szczególnych przypadków decydują dwie okoliczności:
1. Każde z powyższych przekształceń ma proste i jasne znaczenie geometryczne (liczby stałe zawarte w powyższych wzorach również mają znaczenie geometryczne).
2. Jak udowodniono w trakcie geometria analityczna, dowolne przekształcenie postaci (*) zawsze można przedstawić jako sekwencyjne wykonanie (nałożenie) najprostszych przekształceń postaci A, B, C i D (lub części tych przekształceń).
Tak więc następujące jest prawdziwe. ważna właściwość przekształcenia afiniczne płaszczyzny: dowolne odwzorowanie postaci (*) można opisać odwzorowaniami określonymi wzorami A, B, C i D.
W celu efektywnego wykorzystania tych dobrze znanych formuł w problemach grafiki komputerowej wygodniej jest zapisać je w postaci macierzowej.
Aby połączyć te przekształcenia, wprowadza się współrzędne jednorodne. Współrzędne jednorodne punktu to dowolna trójka jednocześnie niezerowych liczb x1 , x2 , x3 związana z danymi liczbami x i y następującymi zależnościami:

Wówczas punkt M(x, y) zapiszemy jako M(hX, hY, h), gdzie h 0 jest współczynnikiem skali. Dwuwymiarowe współrzędne kartezjańskie można znaleźć jako

W geometrii rzutowej współrzędne te są wprowadzane w celu wyeliminowania niepewności, które pojawiają się podczas określania nieskończenie odległych (niewłaściwych) elementów. Współrzędne jednorodne można interpretować jako osadzenie płaszczyzny wyskalowanej ze współczynnikiem h w płaszczyźnie Z= h w przestrzeni trójwymiarowej.
Punkty we współrzędnych jednorodnych są zapisywane jako trzyelementowe wektory rzędowe. Macierze transformacji muszą mieć rozmiar 3x3.
Za pomocą trójek jednorodnych współrzędnych i macierzy trzeciego rzędu można opisać dowolną transformację afiniczną płaszczyzny.
Rzeczywiście, zakładając h = 1, porównujemy dwa rekordy: oznaczony symbolem (*) i następującą macierz:

Możesz teraz używać kompozycji przekształceń, stosując pojedynczy wynik zamiast serii następujących po sobie przekształceń. Możesz na przykład podzielić złożony problem na kilka prostych. Obrót punktu A wokół dowolnego punktu B można podzielić na trzy zadania:
przelew, w którym B \u003d 0 (gdzie 0 to początek);
skręcać;
transfer odwrotny, w którym punkt B wraca na swoje miejsce itp.
Złożenie najbardziej ogólnej postaci operacji T, D, R, M ma macierz:

Górne 2x2 to połączona macierz rotacji i skalowania, a tx i ty opisują całkowite przesunięcie.
Zarysowane podstawowe przekształcenia są następujące:
przewijanie przesuwanie okna po powierzchni renderującej (jeśli ruch ogranicza się tylko do kierunku góra-dół, wówczas nazywa się to przewijaniem w pionie);

Powiększenie stopniowe powiększanie;
koziołkujący dynamiczna reprezentacja prymitywów wyjściowych obracających się wokół pewnej osi, której orientacja stale zmienia się w przestrzeni;
patelnia stopniowe przenoszenie obrazu w celu stworzenia wizualnego wrażenia ruchu.

UDC 004.932

Kudrina MA, Murzin A.V.

SP Korolev Samara State Aerospace University (krajowy uniwersytet badawczy)", Samara, Rosja

PRZEKSZTAŁCENIA AFINICZNE OBIEKTÓW W GRAFICE KOMPUTEROWEJ

Jednym z typowych zadań, które musi być rozwiązane za pomocą grafiki rastrowej, jest transformacja zarówno całego obrazu jako całości, jak i poszczególnych jego fragmentów, takich jak: przesuwanie, obracanie wokół zadanego środka, zmiana wymiarów liniowych itp.

Problem ten rozwiązuje się za pomocą przekształceń afinicznych.

Transformacje afiniczne mogą być bardzo przydatne w następujących sytuacjach:

1. Skomponować płaski obraz lub trójwymiarową scenę, układając z elementów tego samego typu, kopiując je, konwertując i przesuwając w różne miejsca obrazu. Na przykład, aby utworzyć symetryczne obiekty, takie jak płatek śniegu. Możesz rozwinąć jeden motyw, a następnie skomponować obraz całego obiektu poprzez odbicia, obroty i ruchy tego motywu.

2. Aby oglądać obiekty 3D z różnych perspektyw. W takim przypadku możesz ustalić położenie kamery i obrócić scenę lub odwrotnie, pozostawić scenę nieruchomą i przesuwać kamerę wokół niej. Podobne manipulacje można przeprowadzić za pomocą trójwymiarowych transformacji afinicznych.

3. Do rzutowania obiektów trójwymiarowych na płaszczyznę i wyświetlania sceny w oknie. Na przykład w przypadku rzutowania aksonometrycznego stosowana jest sekwencja dwóch obrotów płaszczyzny rzutowania, a przy wyświetlaniu w oknie stosowana jest kombinacja skalowania i przesuwania.

Przekształcenia afiniczne na płaszczyźnie w ogólna perspektywa opisują następujące wzory:

J X = Ax + By + C, . Program pozwala zautomatyzować proces kompilacji zadań testowych.

LITERATURA

1. Porev V. N. Grafika komputerowa. - Petersburg: BHV-Petersburg, 2002. - 432 s. : chory.

2. Hill F. Open GL. Programowanie grafiki komputerowej. Dla profesjonalistów. - Petersburg: Piotr,

2002. - 1088s.: chory. ISBN 5-318-00219-6

3. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Vytyagov A.A., Ionov D.O. Rozwój systemu nauka na odległość za kurs „Grafika komputerowa” z wykorzystaniem platformy Moodle: Materiały z międzynarodowego sympozjum Rzetelność i jakość. 2010. TIS 165.

4. Kudrina MA, Kudrin K.A., Degtyareva O.A. Atest pedagogiczny materiał pomiarowy dla przedmiotu "Grafika komputerowa" // Rzetelność i jakość 2008r. Obrady int. sympozjum. Penza, 2008, s. 162-163.

5. Kudrina mgr Wykorzystanie atestacji i pedagogicznych materiałów pomiarowych na kursie

„Grafika komputerowa” w procesie edukacyjnym”//Edukacja to inwestycja w sukces: Materiały naukowe –

Właściwości transformacji afinicznej

1. Obraz linii równoległych to linie równoległe.

Dowód przez sprzeczność. Załóżmy, że obrazami prostych równoległych l i m są proste l" i m" przecinające się w punkcie A (ryc. 8). Ze względu na przekształcenie jeden do jednego punkt ma przedobraz, który oznaczamy przez A. Ale ponieważ A "єl", następnie Аєl Podobne do Аєm Jest to sprzeczne z równoległością prostych l i m.

2. Przy transformacji afinicznej zachowany jest stosunek dwóch segmentów znajdujących się na tej samej linii prostej: (ryc. 9)

Rzeczywiście, zgodnie z definicją transformacji afinicznej:

3. Przy transformacji afinicznej zachowany jest stosunek segmentów równoległych.

Biorąc pod uwagę: AB||CD. Zgodnie z właściwością 2 będzie też A „B” | | C „D” (ryc. 10)

Musimy udowodnić:

Aby to udowodnić, rysujemy AC, a następnie DL||AC. Skonstruujemy również A"C" i D"L"||A"C". Według właściwości 2 linia DL przechodzi w D"L", a zatem . Teraz z definicji: . Ale AL=CD, A"L"=C"L", więc stąd od razu dostajemy to, czego potrzebujemy.

4. W przypadku transformacji afinicznej kąt i stosunek dowolnych segmentów, ogólnie rzecz biorąc, nie są zachowywane, ponieważ każdy trójkąt można przetłumaczyć na dowolny inny. Dlatego wysokość i dwusieczna trójkąta są zwykle przekształcane na inne proste, podczas gdy środkowa przechodzi w środkową, ponieważ środek odcinka przechodzi w środek.

5. W wyniku przekształcenia afinicznego równoległobok staje się równoległobokiem, a trapez w trapez.

Liczby równoważne

Podobnie jak pojęcie równości i podobieństwa figur, wprowadza się pojęcie ich równoważności afinicznej.

O figurze F1 mówi się, że jest afinicznie równoważna figurze F2, jeśli F1 można przełożyć na F2 przez transformację afiniczną.

Poprawność tej definicji wynika z faktu, że przekształcenia afiniczne tworzą grupę, a co za tym idzie, wprowadzona tu równoważność afiniczna jest przechodnia, zwrotna i symetryczna.

Zauważamy kilka klas figur afinicznie równoważnych.

jeden). Wszystkie trójkąty są równoważne afinicznie (wynika z głównego twierdzenia).

2). Wszystkie równoległoboki są równoważne afinicznie.

3). Dla równoważności afinicznej trapezów konieczne i wystarczające jest, aby ich podstawy były proporcjonalne.

Korespondencja perspektywiczno-afiniczna dwóch płaszczyzn

Załóżmy, że dwie płaszczyzny w i w „przecinają się wzdłuż prostej xx (rys. 1). Zdefiniujmy prostą l przecinającą obie płaszczyzny. Zaznaczmy dowolny punkt A na płaszczyźnie w i zrzućmy go na płaszczyznę w”, rysując prosta przechodząca przez A, równoległa l. Niech wystająca linia przecina płaszczyznę w” w punkcie A”. Punkt A” można uznać za rzut punktu A na płaszczyznę w”. Taki rzut nazywany jest równoległym i jest określany przez podanie prostej l.

Z samej konstrukcji rzutu A „punktu A wynika, że ​​z kolei punkt A można uznać za rzut punktu A” na płaszczyznę w. Tak więc rzut równoległy to urządzenie, które ma dokładnie taką samą wartość w odniesieniu do obu płaszczyzn w i w ". Odnosi się do każdego punktu (A) pierwszej płaszczyzny dobrze określonego punktu (A") drugiej i nawzajem. Otrzymujemy zgodność parami punktów płaszczyzn w i w”. Ta zgodność jest jeden do jednego, tj. Każdy punkt jednej płaszczyzny odpowiada pojedynczemu punktowi drugiej i odwrotnie.

Zgodność płaszczyzn w i w”, ustalona za pomocą rzutu równoległego, nazywana jest perspektywiczno-afiniczną lub pokrewną.

Jeżeli rozważymy proces przejścia z jednej z danych płaszczyzn (np. w) na inną płaszczyznę (w"), w którym każdy punkt (A) jednej płaszczyzny (w) przechodzi do odpowiedniego punktu (A") druga płaszczyzna (w"), jako jednostronna, to nazywa się to przekształceniem płaszczyzny (w) w płaszczyznę (w" - w tym przypadku punkt A nazywany jest obrazem odwrotnym, a punkt A" nazywa się jego obrazem.

Rzutując płaszczyznę w równolegle do płaszczyzny w" wykonujemy perspektywiczną transformację płaszczyzny w na płaszczyznę w".

Można też nazwać zbiór wszystkich punktów płaszczyzny w ciałem punktów w i mówić o przekształceniu pola punktów w w ciało punktów w.

Postawmy sobie za zadanie zbadanie właściwości perspektywiczno-afinicznej korespondencji płaszczyzn.

Zajmijmy się przede wszystkim kwestią podwójnych lub stałych punktów naszej korespondencji, to znaczy takich punktów, które pokrywają się z odpowiadającymi im punktami. Ponieważ każdy punkt podwójny musi należeć zarówno do jednej, jak i do drugiej płaszczyzny, muszą one leżeć na linii przecięcia xx płaszczyzn w i w. Prostą nazywamy osią korespondencji Zgodnie z powyższym oś korespondencji można zdefiniować jako miejsce punktów podwójnych.

Zatem linia prosta na jednej płaszczyźnie odpowiada linii prostej na drugiej. Ta właściwość korespondencji afinicznej z perspektywą nazywana jest kolinearnością. Z samej definicji rzutu równoległego figury jako miejsca rzutów wszystkich punktów tej figury wynika, że ​​każdemu punktowi leżącemu na prostej odpowiada zawsze punkt leżący na odpowiedniej prostej. Dlatego wzajemna przynależność punktu i prostej na jednej płaszczyźnie pociąga za sobą wzajemną przynależność odpowiednich elementów na drugiej.

2. Kolejna właściwość korespondencji perspektywiczno-afinicznej dotyczy tzw prosty związek trzy punkty linii prostej.

Rozważmy trzy punkty A, B, C leżące na tej samej linii prostej (ryc. 1). Prosty stosunek punktów A, B, C określa wzór:

zgodność afiniczna transformacji geometrycznej

W tej formule punkty A i B są uważane za podstawowe (lub podstawowe), a punkt C dzieli. Prosty stosunek (ABC) to stosunek długości tych odcinków, które tworzy punkt podziału z głównymi. Jeżeli punkt C leży poza odcinkiem A B, to oba odcinki AC i BC są jednakowo skierowane, a zatem w tym przypadku prosty iloraz (ABC) jest dodatni. W przypadku, gdy punkt podziału C znajduje się między A i B, prosty stosunek (ABC) jest ujemny.

Pokazuje to rysunek 1 punkty A, B, C płaszczyzny w odpowiadają punktom A", B", C" płaszczyzny w". Ponieważ wystające linie AA", BB", CC" są równoległe, otrzymamy:

lub (ABC) = (A"B"C").

Dochodzimy do wniosku, że w relacji perspektywiczno-afinicznej stosunek prosty trzech punktów prostej jednej płaszczyzny jest zawsze równy stosunkowi prostemu trzech odpowiadających sobie punktów innej płaszczyzny.

3. Zanim przejdziemy do rozważań nad dalszymi własnościami powinowactwa perspektywicznego, zastanówmy się nad możliwym położeniem odpowiednich płaszczyzn w i w" w przestrzeni.

Do tej pory zakładaliśmy, że płaszczyzny te nie pokrywają się i przecinają wzdłuż linii xx, aby ustalić rozważaną powyżej korespondencję perspektywiczno-afiniczną za pomocą rzutowania równoległego. Po ustaleniu takiej zgodności możliwe byłoby doprowadzenie obu płaszczyzn do koincydencji poprzez obrót jednej z nich wokół osi xx. Jednocześnie wszystkie obrazy geometryczne znajdujące się w obu płaszczyznach nie podlegają żadnym zmianom. W konsekwencji zarówno w dowolnym momencie obrotu płaszczyzny, jak i w połączeniu z drugą płaszczyzną, wcześniej ustalona korespondencja perspektywiczno-afiniczna nie zostaje naruszona.

Proste łączące odpowiednie punkty, takie jak AA", BB", SS", ..., pozostają równoległe w dowolnym położeniu płaszczyzny obracającej się, jak również po ustawieniu jej w płaszczyźnie stałej. Wynika to z faktu, że że każde dwie z wymienionych linii (na przykład AA „i BB”) leżą zawsze w tej samej płaszczyźnie, określonej przez parę przecinających się linii (AB i AB „B”) i odcięte po bokach narożnika segmenty proporcjonalne, ponieważ (ABX) \u003d (A „B” X). Kiedy płaszczyzny w i w "połączą się, wystające linie (AA", BB", ...) będą leżeć w płaszczyźnie utworzonej z dwóch pokrywających się płaszczyzn w i w" (ryc. 2).

Szczególnie interesujący nas jest przypadek połączonego położenia płaszczyzn, ponieważ w tym przypadku możemy posłużyć się płaskim rysunkiem przedstawiającym ustaloną korespondencję bez zniekształceń.

W przypadku superpozycji każdy punkt (podwójnej) płaszczyzny można uznać za należący do płaszczyzny w lub w” i oznaczyć go, w zależności od tego, wielką literą bez liczby pierwszej lub z liczbą pierwszą. Mamy więc transformacja płaszczyzny w siebie, a jej stan początkowy (płaszczyzna przed transformacją) jest oznaczony literą w, a stan nowy (płaszczyzna po transformacji) jest oznaczony literą w”.

Zauważ, że po wyrównaniu płaszczyzn oś xx przestaje być linią przecięcia tych płaszczyzn, ale za nią druga definicja zostaje zachowana jako locus podwójnych lub stałych punktów.

4. Moglibyśmy teraz zrezygnować z aparatu przestrzennego (projekcja równoległa), który służył nam do ustalania perspektywiczno-afinicznej zgodności dwóch płaszczyzn, i określić tę drugą dla płaszczyzny podwójnej bez wchodzenia w przestrzeń. W tym celu udowodnimy następujące założenie: Perspektywiczna transformacja płaszczyzny w samą siebie jest całkowicie zdeterminowana przez oś (xx) i parę odpowiednich punktów (A, A").

Dowód. Niech będzie dana oś xx i para odpowiadających jej punktów (AA") transformacji perspektywiczno-afinicznej (rys. 3). Udowodnijmy, że dla dowolnego punktu B na płaszczyźnie można skonstruować dobrze określoną i jednoznaczną odpowiedni punkt B”.

Narysujmy linię AB. Niech X będzie punktem jego przecięcia z osią xx. Ponieważ punkt X odpowiada sobie (jako leżącemu na osi), to prosta AX odpowiada prostej A „X. Ostatecznie punkt B” musi leżeć na prostej A „X i wystającej prostej BB”, równoległej do A A ". To pozwala nam skonstruować żądany punkt B". Tak więc było wystarczająco dużo danych, a odpowiedni punkt B” reprezentuje jedyne rozwiązanie.

Należy zauważyć, że zgodność perspektywiczno-afiniczna rzeczywiście zostanie zrealizowana, ponieważ wskazana konstrukcja nie może prowadzić do sprzeczności. Łatwo to zweryfikować sprowadzając konstrukcję do aparatu rzutu równoległego.

Rzeczywiście, jeśli złożymy rysunek 3 wzdłuż linii xx tak, że płaszczyzny w i w „tworzą kąt dwuścienny, to wszystkie wystające linie (linie łączące odpowiednie punkty, na przykład BB”) okażą się równoległe do prostej AA " (ze względu na proporcjonalność segmentów). Skonstruowaną przez nas korespondencję można więc uznać za wynik projekcji równoległej.

Notatka. Gdybyśmy na rysunku 3 odnieśli punkt B do płaszczyzny w”, oznaczając ją przez C”, to konstrukcja odpowiedniego punktu doprowadziłaby nas do punktu C, który, jak widać z rysunku 3, nie zawsze pokrywa się z B". Można dowieść, że warunkiem koniecznym i wystarczającym takiej zbieżności, tj. niezależności pokrewieństwa perspektywicznego od tego, czy punkt odnosi się do tej czy innej płaszczyzny, jest podzielenie odcinka A A "na pół w punkt przecięcia z osią xx.

Dlatego w tym przypadku zgodność jest symetrią ukośną lub bezpośrednią (względem osi xx).

5. W dalszym badaniu korespondencji perspektywiczno-afinicznej będziemy się opierać na właściwościach ustalonych powyżej: 1) kolinearność i 2) równość prostych stosunków trójek odpowiednich punktów.

Zauważ, że w przekształceniach afinicznych perspektywicznych właściwości te wyrażają niezmienność lub niezmienność pojęcia linii prostej i pojęcia prostego stosunku trzech punktów linii prostej.

Z tych właściwości można wywnioskować cała linia inne „niezmienniki” transformacji afinicznej perspektywy, które w ten sposób nie są już niezależne. Najpierw udowodnijmy niezmienniczość równoległości prostych. Załóżmy, że na płaszczyźnie w mamy dwie proste a i b, którym na płaszczyźnie w" odpowiadają proste a" i b". Załóżmy, że proste a i b są równoległe (a || b). Udowodnijmy, że "|| b”. Zastosujmy dowód „przez sprzeczność”. Załóżmy, że linie a „i b” przecinają się i oznaczmy punkt przecięcia literą M „(ryc. 4). Wtedy, ze względu na zgodność jeden do jednego płaszczyzn w i w „punktowi M” płaszczyzny w „odpowiada punktowi M na płaszczyźnie w. Punkt M musi należeć zarówno do prostej a, jak i prosta b. Zatem M jest punktem przecięcia prostych a i b. W ten sposób dochodzimy do sprzeczności. Założenie, że proste a" i b" się przecinają, jest niemożliwe. Zatem a" || b".

Zatem równoległość linii jest niezmienną właściwością transformacji afinicznej perspektywy.

Łączymy B z D i rysujemy prostą CF || przechodzącą przez C. DB. Na płaszczyźnie w" prosta СF będzie odpowiadać prostej С"F" D"В" (ze względu na niezmienniczość równoległości) iw konsekwencji punkt F będzie odpowiadał punktowi F". Wiedząc, że prosta relacja trzech punktów jest niezmienna, możemy napisać:

W ten sposób dochodzimy do równości:

To ostatnie pokazuje, że stosunek dwóch równoległych segmentów jest niezmiennikiem korespondencji perspektywiczno-afinicznej.

Jeżeli odcinki AB i CD leżą na tej samej linii prostej (ryc. 6), to ich stosunek jest również niezmienny w korespondencji perspektywiczno-afinicznej. Rzeczywiście, niech PQ będzie dowolnym odcinkiem równoległym do prostej AB. Następnie mamy:

6. Przechodzimy do rozważenia obszarów odpowiednich figur. Dowodzimy następującego lematu: Odległości dwóch odpowiadających sobie punktów (A, A") do osi korespondencji (xx) są w stałym stosunku, niezależnym od wyboru pary odpowiednich punktów. Dowód. Załóżmy, że punkty A i B odpowiadają punktom A" i B" ( (Rys. 7) Opuszczając prostopadłe z tych punktów na oś xx, otrzymujemy ich odległości od osi. Odległości będziemy zawsze uważać za dodatnie, niezależnie od kierunku prostopadłych.

Możemy pisać:

Ale jak widać na rysunku:

Otrzymana równość potwierdza sformułowany powyżej lemat.

Stały stosunek odległości odpowiednich punktów oznaczamy przez k. Udowodnijmy następujące twierdzenie.

Stosunek pól dwóch odpowiednich trójkątów jest stały i równy k.

Dowód twierdzenia dzieli się na następujące przypadki:

1. Trójkąty mają wspólny bok na osi xx.

Takie trójkąty pokazano na rysunku 8. Stosunek ich pól wyraża się następująco:

2. Trójkąty mają wspólny wierzchołek na osi xx.

Są to dwa trójkąty na rysunku 9. Odpowiednie boki BC i B"C" tych trójkątów muszą przecinać się na osi xx (w punkcie X). Rozpatrywany przypadek ogranicza się do poprzedniego. Rzeczywiście, na podstawie poprzedniego, można napisać:

Dlatego będziemy mieli:

3. Ogólny przypadek dwóch odpowiednich trójkątów.

Niech na rysunku 10 mamy dwa odpowiadające trójkąty ABC i A „B” C. Rozważmy jeden z tych trójkątów, na przykład ABC Obszar tego trójkąta można przedstawić w następujący sposób:

Wszystkie trójkąty po prawej stronie tej równości odnoszą się do dwóch już rozważanych przypadków, dlatego stosując do nich udowodnione twierdzenie, możemy przepisać równość znalezioną powyżej w następujący sposób:

W konsekwencji,

7. Własność pól dwóch odpowiednich trójkątów, którą wyprowadziliśmy, można łatwo rozszerzyć na przypadek odpowiednich wielokątów. Rzeczywiście, każdy wielokąt można podzielić na kilka trójkątów, a obszar wielokąta jest wyrażony jako suma obszarów jego trójkątów składowych.

Dla odpowiedniego wielokąta otrzymujemy podobny podział na trójkąty. Jeżeli pola dwóch odpowiednich wielokątów są oznaczone literami S i S”, a pola dwóch odpowiednich trójkątów składowych są oznaczone literami, to możemy napisać:

Ponieważ dodatkowo dla obszarów odpowiednich trójkątów mamy:

W ten sposób otrzymujemy:

Wreszcie twierdzenie o stosunku powierzchni można uogólnić na przypadek dwóch obszarów ograniczonych odpowiednimi krzywymi o dowolnej postaci.

Oznaczmy obszary ograniczone dwiema odpowiadającymi sobie krzywymi przez i. Wpisujemy wielokąt w krzywą ograniczającą obszar i oznaczamy obszar tego wielokąta literą S. Zwiększymy liczbę boków wpisanego wielokąta do nieskończoności, pod warunkiem, że każdy jego bok dąży do zera, a następnie otrzymujemy:

Dla obszaru będziemy mieli podobny proces:

gdzie S" oznacza pole wielokąta odpowiadające wielokątowi S. Ponieważ podczas całego procesu (zmian wielokątów), zgodnie z udowodnionym powyżej twierdzeniem, muszą one mieć:

następnie przejście do granicy daje = k .

W konsekwencji,

Wynikowa właściwość może być reprezentowana jako niezmiennik korespondencji perspektywiczno-afinicznej.

Rzeczywiście, oznaczamy przez i obszary ograniczone dwiema krzywymi o dowolnej postaci, a przez „i” - obszary ograniczone odpowiednimi krzywymi, to zgodnie z tym, co zostało udowodnione, będziemy mieli:

lub przestawiając środkowe wyrazy proporcji:

co można wyrazić następującymi słowami: stosunek dowolnych dwóch obszarów nie zmienia się (jest niezmiennikiem) w korespondencji perspektywiczno-afinicznej.

Ogólna korespondencja afiniczna

Perspektywiczną zgodność dwóch płaszczyzn można uzyskać za pomocą rzutu równoległego.

Rozważmy teraz zgodność dwóch płaszczyzn utworzoną przez wielokrotne stosowanie rzutowania równoległego. Tak więc na rysunku 11 płaszczyzna w jest rzutowana równolegle do prostej l na płaszczyznę w. „Ta płaszczyzna jest rzutowana równolegle do prostej l” na płaszczyznę w. Wreszcie ta ostatnia jest rzutowana równolegle do prostej l” na samolot w"". W ten sposób ustala się zgodność między płaszczyznami w i w "", w których punkty A, B, C punkty A”, B”, C” odpowiadają pierwszej płaszczyźnie. Łatwo zauważyć, że ta zgodność może nie być rzutem równoległym, ale jednocześnie ma niezmienne właściwości korespondencji perspektywiczno-afinicznej. Rzeczywiście , zgodność płaszczyzn w i w"" jest łańcuchem kolejnych rzutów równoległych. Ponieważ każdy taki rzut zachowuje współliniowość i prosty stosunek trzech punktów, wynikowa zgodność płaszczyzn w i w""" musi oczywiście mieć takie same nieruchomości.

To samo można powiedzieć o innych niezmiennych właściwościach rozważanych w przypadku korespondencji perspektywiczno-afinicznej, która okazuje się więc tylko tym szczególnym przypadkiem, gdy linie łączące odpowiednie punkty są do siebie równoległe:

Z tego powodu taka korespondencja nazywana jest afiniczną perspektywą.

Odpowiedniość płaszczyzn w i w """ nazywamy afiniczną. Doszliśmy do tego pojęcia za pomocą łańcucha przekształceń perspektywiczno-afinicznych (lub rzutów równoległych). Jeśli każda z nich jest oznaczona literami P, P", P „i wynikające z tego przekształcenie literą A , możemy przedstawić przekształcenie afiniczne A za pomocą następującego wzoru symbolicznego:

A \u003d P. * P. "* P",

w którym prawa strona jest „wytworem” przekształceń perspektywiczno-afinicznych, czyli wynikiem ich sukcesywnego stosowania.

To samo rozumowanie można przeprowadzić bez opuszczania jednej płaszczyzny, dla czego wystarczy rozważyć łańcuch perspek- tywizyjno-afinicznych przekształceń płaszczyzny w siebie. Każda z transformacji może być dana przez oś i parę odpowiednich punktów. Tak więc, na przykład, na rysunku 12, pierwsza transformacja P jest dana przez oś xx i parę (A, A "); druga P" jest dana przez oś i parę (A", A "); trzecie P" to oś x"x" i para (A""A""). W powstałej transformacji A punkt A odpowiada punktowi A". Ten sam rysunek przedstawia konstrukcję punktu B"", odpowiada punktowi B.

Z powyższego wynika, że ​​przekształcenia otrzymane za pomocą łańcucha rzutów równoległych (lub przekształceń perspektywiczno-afinicznych) mają właściwości współliniowości i zachowania prostego stosunku trzech punktów.