Interferencja fal. Równanie fali stojącej. Fale sprężyste. stojące fale. równanie falowe. Równanie matematyczne opisujące fale płaskie i sferyczne. Wektor falowy Podobnie współrzędne węzłów znajdują się z warunku

Jeżeli w ośrodku propaguje się jednocześnie kilka fal, wówczas oscylacje cząstek ośrodka okazują się sumą geometryczną oscylacji, które wytworzyłyby cząstki podczas propagacji każdej z fal z osobna. W konsekwencji fale po prostu nakładają się na siebie, nie przeszkadzając sobie nawzajem. To stwierdzenie nazywa się zasadą superpozycji (superpozycji) fal.

W przypadku, gdy oscylacje wywołane pojedynczymi falami w każdym z punktów ośrodka mają stałą różnicę faz, fale nazywamy koherentnymi. (Bardziej rygorystyczna definicja koherencji zostanie podana w § 120.) Przy sumowaniu fal koherentnych powstaje zjawisko interferencji, polegające na tym, że oscylacje w niektórych punktach wzmacniają się, aw innych osłabiają.

Bardzo ważny przypadek interferencji obserwuje się, gdy nakładają się na siebie dwie przeciwbieżne fale płaskie o tej samej amplitudzie. Powstały proces oscylacyjny nazywa się falą stojącą. Praktycznie stojące fale powstają, gdy fale odbijają się od przeszkód. Fala padająca na barierę i biegnąca w jej kierunku fala odbita, nakładające się na siebie, tworzą falę stojącą.

Napiszmy równania dwóch fal płaskich rozchodzących się wzdłuż osi x w przeciwnych kierunkach:

Łącząc te równania razem i przekształcając wynik za pomocą wzoru na sumę cosinusów, otrzymujemy

Równanie (99.1) to równanie fali stojącej. W uproszczeniu dobieramy początek tak, aby różnica , stała się równa zeru, a początek - tak, aby suma okazała się zerem .Dodatkowo zastępujemy liczbę falową k jej wartością

Wtedy równanie (99.1) przyjmuje postać

Z (99.2) widać, że w każdym punkcie fali stojącej występują oscylacje o tej samej częstotliwości co w przeciwfalach, a amplituda zależy od x:

amplituda oscylacji osiąga maksymalną wartość. Punkty te nazywane są antywęzłami fali stojącej. Z (99.3) otrzymujemy wartości współrzędnych antywęzłów:

Należy pamiętać, że antywęzeł nie jest pojedynczym punktem, ale płaszczyzną, której punkty mają wartości współrzędnych x określone wzorem (99,4).

W punktach, których współrzędne spełniają warunek

amplituda oscylacji znika. Punkty te nazywane są węzłami fali stojącej. Punkty ośrodka znajdujące się w węzłach nie drgają. Współrzędne węzła mają znaczenie

Węzeł, podobnie jak anty-węzeł, nie jest pojedynczym punktem, ale płaszczyzną, której punkty mają wartości współrzędnych x określone wzorem (99,5).

Ze wzorów (99.4) i (99.5) wynika, że ​​odległość między sąsiednimi antywęzłami oraz odległość między sąsiednimi węzłami są równe . Antywęzły i węzły są przesunięte względem siebie o jedną czwartą długości fali.

Zwróćmy się ponownie do równania (99,2). Mnożnik zmienia znak przy przejściu przez zero. Zgodnie z tym faza oscylacji po przeciwnych stronach węzła różni się o Oznacza to, że punkty leżące po przeciwnych stronach węzła oscylują w przeciwfazie. Wszystkie punkty zawarte między dwoma sąsiednimi węzłami oscylują w fazie (tj. w tej samej fazie). Na ryc. 99,1 podana jest seria „zdjęć” odchyleń punktów od położenia równowagi.

Pierwsze „zdjęcie” odpowiada momentowi, w którym odchylenia osiągają największą wartość bezwzględną. Kolejne „fotografie” wykonywano w odstępach ćwierćokresowych. Strzałki pokazują prędkości cząstek.

Równanie różniczkujące (99.2) raz względem t, a innym razem względem x, otrzymujemy wyrażenia na prędkość cząstki i na odkształcenie ośrodka:

Równanie (99,6) opisuje stojącą falę prędkości, a (99,7) – stojącą falę deformacji.

Na ryc. 99,2 „chwilowe fotografie” przemieszczenia, prędkości i odkształcenia są porównywane dla czasów 0 i Z wykresów widać, że węzły i antywęzły prędkości pokrywają się z węzłami i antywęzłami przemieszczenia; węzły i antywęzły deformacji pokrywają się odpowiednio z antywęzłami i węzłami przemieszczenia. Osiągając maksymalne wartości, znika i vice versa.

W związku z tym dwa razy w okresie energia fali stojącej przekształca się albo całkowicie w energię potencjalną, skoncentrowaną głównie w pobliżu węzłów fali (gdzie znajdują się antywęzły deformacji), albo całkowicie w energię kinetyczną, skoncentrowaną głównie w pobliżu antywęzłów deformacji. fala (gdzie znajdują się antywęzły prędkości). W rezultacie następuje transfer energii z każdego węzła do sąsiadujących z nim antywęzłów i odwrotnie. Uśredniony w czasie strumień energii w dowolnym odcinku fali jest równy zeru.

Rozdział 7

Fale. równanie falowe

Oprócz ruchów, które już rozważaliśmy, w prawie wszystkich dziedzinach fizyki istnieje inny rodzaj ruchu - fale. Osobliwość Ten ruch, który czyni go wyjątkowym, polega na tym, że to nie cząstki materii rozchodzą się w fali, ale zmiany ich stanu (perturbacje).

Perturbacje, które rozchodzą się w przestrzeni w czasie, nazywane są fale . Fale są mechaniczne i elektromagnetyczne.

elastyczne falepropagują zaburzenia ośrodka sprężystego.

Zaburzeniem ośrodka elastycznego jest każde odchylenie cząstek tego ośrodka od położenia równowagi. Zaburzenia powstają w wyniku deformacji ośrodka w dowolnym z jego miejsc.

Suma wszystkich punktów, do których fala dotarła w określonym czasie, tworzy powierzchnię zwaną fala frontu .

W zależności od kształtu frontu fale dzielą się na sferyczne i płaskie. Kierunek określa się propagację czoła fali prostopadłe do czoła fali, zwane Belka . W przypadku fali kulistej promienie są promieniowo rozbieżną wiązką. Dla fali płaskiej promień jest wiązką równoległych linii.

W każdej fali mechanicznej jednocześnie istnieją dwa rodzaje ruchu: oscylacje cząstek ośrodka i propagacja zakłócenia.

Fala, w której oscylacje cząstek ośrodka i propagacja zaburzeń zachodzą w tym samym kierunku, nazywa się wzdłużny (rys.7.2 a).

Fala, w której cząstki ośrodka oscylują prostopadle do kierunku propagacji zaburzeń nazywa się poprzeczny (Rys. 7.2 b).

W fali podłużnej zaburzenia reprezentują kompresję (lub rozrzedzenie) ośrodka, a w fali poprzecznej są to przemieszczenia (ścinanie) jednych warstw ośrodka względem innych. Fale podłużne mogą rozchodzić się we wszystkich ośrodkach (w ciekłych, stałych i gazowych), podczas gdy fale poprzeczne mogą rozchodzić się tylko w stałych.

Każda fala rozchodzi się z pewną prędkością . Pod prędkość fali υ zrozumieć prędkość propagacji zakłócenia. Prędkość fali zależy od właściwości ośrodka, w którym ta fala się rozchodzi. W ciałach stałych prędkość fal podłużnych jest większa niż prędkość fal poprzecznych.

Długość faliλ to odległość, na której rozchodzi się fala w czasie równym okresowi drgań w jej źródle. Ponieważ prędkość fali jest wartością stałą (dla danego ośrodka), droga przebyta przez falę jest równa iloczynowi prędkości i czasu jej propagacji. Więc długość fali

Z równania (7.1) wynika, że ​​cząstki oddzielone od siebie o przedział λ oscylują w tej samej fazie. Następnie możemy podać następującą definicję długości fali: długość fali to odległość między dwoma najbliższymi punktami oscylującymi w tej samej fazie.

Wyprowadźmy równanie fali płaskiej, które pozwala określić przemieszczenie dowolnego punktu fali w dowolnym momencie. Niech fala rozchodzi się wzdłuż wiązki ze źródła z pewną prędkością v.

Źródło wzbudza proste oscylacje harmoniczne, a przemieszczenie dowolnego punktu fali w dowolnym momencie określa równanie

S = Asinωt (7. 2)

Wówczas punkt ośrodka, który znajduje się w odległości x od źródła fali, również będzie wykonywał oscylacje harmoniczne, ale z opóźnieniem w czasie o wartość tj. czas potrzebny na rozchodzenie się wibracji od źródła do tego punktu. Przemieszczenie punktu oscylacyjnego względem położenia równowagi w dowolnym momencie będzie opisane zależnością

To jest równanie fali płaskiej. Fala ta charakteryzuje się następującymi parametrami:

· S - przemieszczenie od położenia punktu równowagi ośrodka sprężystego, do którego doszło do oscylacji;

· ω - cykliczna częstotliwość drgań generowanych przez źródło, z którą oscylują również punkty ośrodka;

· υ - prędkość propagacji fali (prędkość fazy);

x – odległość do tego punktu ośrodka, w którym nastąpiła oscylacja i którego przemieszczenie jest równe S;

· t – czas liczony od początku drgań;

Wprowadzając długość fali λ do wyrażenia (7.3), równanie fali płaskiej można zapisać w następujący sposób:

(7. 4)

Ryż. 7,3

gdzie nazwany numerem fali (liczba fal na jednostkę długości).

Interferencja fal. stojące fale. Równanie fali stojącej

Fale stojące powstają w wyniku interferencji dwóch przeciwległych fal płaskich o tej samej częstotliwości ω i amplitudzie A.

Wyobraź sobie, że w punkcie S znajduje się wibrator, z którego wzdłuż promienia SO rozchodzi się fala płaska. Po dotarciu do przeszkody w punkcie O fala zostanie odbita i popłynie do odwrotny kierunek, tj. wzdłuż wiązki rozchodzą się dwie fale płaszczyzny podróżującej: do przodu i do tyłu. Te dwie fale są spójne, ponieważ są generowane przez to samo źródło i nakładające się na siebie będą się wzajemnie zakłócać.

Stan oscylacyjny ośrodka powstający w wyniku interferencji nazywany jest falą stojącą.

Napiszmy równanie fali biegnącej w kierunku prostym i wstecznym:

proste - ; odwrócić -

gdzie S 1 i S 2 to przemieszczenie dowolnego punktu na promieniu SO. Biorąc pod uwagę wzór na sinus sumy, wynikowe przemieszczenie jest równe

Zatem równanie fali stojącej ma postać

Współczynnik cosωt pokazuje, że wszystkie punkty ośrodka na wiązce SO wykonują proste oscylacje harmoniczne o częstotliwości . Wyrażenie nazywa się amplitudą fali stojącej. Jak widać, amplituda zależy od położenia punktu na promieniu SO(x).

Maksymalna wartość amplitudy będą miały punkty, dla których

Lub (n = 0, 1, 2,….)

skąd, lub (4.70)

antywęzły fali stojącej .

Minimalna wartość, równy zero, będzie miał te punkty, dla których

Lub (n=0, 1, 2,….)

skąd lub (4.71)

Punkty o takich współrzędnych nazywane są węzły fali stojącej . Porównując wyrażenia (4.70) i ​​(4.71), widzimy, że odległość między sąsiednimi antywęzłami a sąsiednimi węzłami jest równa λ/2.

Na rysunku linia ciągła pokazuje przemieszczenie punktów oscylacyjnych ośrodka w pewnym momencie, krzywa kropkowana pokazuje położenie tych samych punktów przez T/2. Każdy punkt oscyluje z amplitudą określoną przez jego odległość od wibratora (x).

W przeciwieństwie do fali biegnącej fala stojąca nie przenosi energii. Energia po prostu przechodzi od potencjału (przy maksymalnym przesunięciu punktów ośrodka z położenia równowagi) do kinetycznego (gdy punkty przechodzą przez położenie równowagi) w granicach pomiędzy węzłami, które pozostają nieruchome.

Wszystkie punkty fali stojącej w granicach między węzłami oscylują w tej samej fazie, a po przeciwnych stronach węzła – w przeciwfazie.

Fale stojące powstają np. w rozciągniętej na obu końcach strunie, gdy wzbudzane są w niej drgania poprzeczne. Ponadto w miejscach zamocowań znajdują się węzły fali stojącej.

Jeśli fala stojąca utworzy się w słupie powietrza, który jest otwarty na jednym końcu (fala dźwiękowa), to na otwartym końcu tworzy się antywęzeł, a na przeciwległym końcu tworzy się węzeł.

Dźwięk. efekt Dopplera

Fale sprężyste wzdłużne rozchodzące się w gazie, cieczy i ciałach stałych są niewidoczne. Jednak pod pewnymi warunkami można je usłyszeć. Jeśli więc wzbudzimy drgania długiej stalowej linijki, zaciśniętej w imadle, to nie usłyszymy generowanych przez nią fal. Ale jeśli skrócimy wystającą część linijki i tym samym zwiększymy częstotliwość jej oscylacji, przekonamy się, że linijka zacznie brzmieć.

Nazywane są fale sprężyste, które wywołują wrażenia słuchowe u ludzi fale dźwiękowe lub po prostu dźwięk.

Ludzkie ucho jest w stanie odbierać elastyczne fale mechaniczne o częstotliwości ν od 16 Hz do 20 000 Hz. Fale sprężyste o częstotliwości ν<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000 Hz - ultradźwiękowy.

Częstotliwości w zakresie od 16 Hz do 20000 Hz nazywane są dźwiękiem. Każde ciało (stałe, płynne lub gazowe) wibrujące z częstotliwością dźwięku tworzy in środowisko fala dźwiękowa.

W gazach i cieczach fale dźwiękowe rozchodzą się w formie wzdłużnej kompresji i fal rozrzedzenia. Kompresja i rozrzedzenie medium, do którego dochodzi w wyniku drgań źródła dźwięku (struny, nóżki kamertonu, struny głosowe itp.), po pewnym czasie dociera do ucha ludzkiego i powoduje wymuszone drgania błony bębenkowej, powodować pewne wrażenia słuchowe u osoby.

Fale dźwiękowe nie mogą się rozchodzić w próżni, ponieważ nie ma tam nic do wibrowania. Można to zweryfikować na proste doświadczenie. Jeśli umieścimy dzwonek elektryczny pod szklaną kopułą pompy powietrza, gdy powietrze będzie wypompowywane, przekonamy się, że dźwięk będzie coraz słabszy, aż całkowicie ustanie.

dźwięk w gazach. Wiadomo, że podczas burzy najpierw widzimy błysk pioruna, a dopiero potem słyszymy grzmot. To opóźnienie występuje, ponieważ prędkość dźwięku w powietrzu jest znacznie mniejsza niż prędkość światła. Prędkość dźwięku w powietrzu została po raz pierwszy zmierzona przez francuskiego naukowca Marina Mersena w 1646 roku. W temperaturze +20ºС wynosi ona 343 m/s, czyli. 1235km/h

Prędkość dźwięku zależy od temperatury medium. Wzrasta wraz ze wzrostem temperatury i maleje wraz ze spadkiem temperatury.

Prędkość dźwięku nie zależy od gęstości gazu, w którym ten dźwięk się rozchodzi. Zależy to jednak od masy jego cząsteczek. Im większa masa cząsteczek gazu, tym mniejsza prędkość dźwięku w nim. Tak więc w temperaturze

0 ºС prędkość dźwięku w wodorze wynosi 1284 m/s, a in dwutlenek węgla- 259 m/s.

Dźwięk w płynach. Prędkość dźwięku w cieczach jest na ogół większa niż prędkość dźwięku w gazach. Prędkość dźwięku w wodzie została po raz pierwszy zmierzona w 1826 roku. Eksperymenty przeprowadzono na Jeziorze Genewskim w Szwajcarii. Na jednej łodzi podpalili proch i jednocześnie uderzyli w spuszczony do wody dzwon. Dźwięk tego dzwonu, za pomocą specjalnego rogu, również opuszczonego do wody, został złapany na innej łodzi, która znajdowała się w odległości 14 km od pierwszej. Prędkość dźwięku w wodzie została wyznaczona z różnicy czasu między błyskiem światła a nadejściem sygnału dźwiękowego. W temperaturze 8 ºС okazało się, że wynosi 1435 m/s.

W cieczach prędkość dźwięku zwykle spada wraz ze wzrostem temperatury. Woda jest wyjątkiem od tej reguły. W nim prędkość dźwięku wzrasta wraz ze wzrostem temperatury i osiąga maksimum w temperaturze 74 ºС, a przy dalszym wzroście temperatury maleje.

Trzeba powiedzieć, że ucho ludzkie nie „pracuje” dobrze pod wodą. Większość dźwięk odbija się od błony bębenkowej i dlatego nie powoduje wrażeń słuchowych. Właśnie to dało kiedyś naszym przodkom powód, aby uważać podwodny świat za „świat ciszy”. Stąd wyrażenie „niemy jak ryba”. Jednak nawet Leonardo da Vinci zasugerował słuchanie podwodnych dźwięków, przykładając ucho do wiosła opuszczonego do wody. Korzystając z tej metody, możesz upewnić się, że ryby są rzeczywiście dość rozmowne.

Dźwięk w ciałach stałych. Prędkość dźwięku w ciałach stałych jest nawet większa niż w cieczach. Tylko tutaj należy wziąć pod uwagę, że w bryłach zarówno podłużne, jak i Fale poprzeczne. Jak wiemy, prędkość tych fal jest inna. Na przykład w stali fale poprzeczne rozchodzą się z prędkością 3300 m/s, a fale podłużne z prędkością 6100 m/s. To, że prędkość dźwięku w ciele stałym jest większa niż w powietrzu, można zweryfikować w następujący sposób. Jeśli twój przyjaciel uderzy w jeden koniec szyny, a ty przyłożysz ucho do drugiego końca, usłyszysz dwa uderzenia. Dźwięk dotrze najpierw do ucha przez szynę, a następnie przez powietrze.

Ziemia ma dobrą przewodność. Dlatego w dawnych czasach, podczas oblężenia, w murach twierdzy umieszczano „słuchaczy”, którzy na podstawie dźwięku przekazywanego przez ziemię mogli określić, czy wróg kopie mury, czy nie. Przyłożenie ucha do ziemi umożliwiło również wykrycie zbliżającej się wrogiej kawalerii.

Oprócz dźwięków słyszalnych, skorupa Ziemska Rozchodzą się również fale infradźwiękowe, których ludzkie ucho już nie odbiera. Takie fale mogą wystąpić podczas trzęsień ziemi.

Potężne fale infradźwiękowe rozchodzące się zarówno w ziemi, jak i w powietrzu powstają podczas erupcji wulkanów i eksplozji bomby atomowe. Źródłem infradźwięków mogą być również wiry powietrzne w atmosferze, zrzuty ładunków, wystrzały, wiatr, płynące grzbiety fal morskich, pracujące silniki samolotów odrzutowych itp.

Ultradźwięki również nie są odbierane przez ludzkie ucho. Jednak niektóre zwierzęta, takie jak nietoperze i delfiny, mogą go emitować i chwytać. W technologii do wytwarzania ultradźwięków stosuje się specjalne urządzenia.

Bardzo ważny przypadek interferencji obserwuje się, gdy nakładają się na siebie fale płaskie o tej samej amplitudzie. Powstały proces oscylacyjny nazywa się stojąca fala.

Praktycznie stojące fale powstają, gdy fale odbijają się od przeszkód. Fala padająca na barierę i biegnąca w jej kierunku fala odbita, nałożone na siebie, tworzą falę stojącą.

Rozważmy wynik interferencji dwóch sinusoidalnych fal płaskich o tej samej amplitudzie rozchodzących się w przeciwnych kierunkach.

Dla uproszczenia rozumowania zakładamy, że obie fale wywołują oscylacje w tej samej fazie u źródła.

Równania dla tych oscylacji mają postać:

Dodając oba równania i przekształcając wynik, zgodnie ze wzorem na sumę sinusów, otrzymujemy:

- równanie fali stojącej.

Porównując to równanie z równaniem oscylacji harmonicznych, widzimy, że amplituda powstałych oscylacji jest równa:

Od , i wtedy .

W punktach ośrodka, gdzie , nie ma oscylacji, tj. . Te punkty nazywają się węzły fali stojącej.

W punktach, gdzie amplituda oscylacji ma najwyższa wartość, równy . Te punkty nazywają się antywęzły fali stojącej. Współrzędne antywęzłów znajdują się z warunku , ponieważ , następnie .

Stąd:

Podobnie współrzędne węzłów znajdują się z warunku:

Gdzie:

Ze wzorów na współrzędne węzłów i antywęzłów wynika, że ​​odległość między sąsiednimi antywęzłami oraz odległość między sąsiednimi węzłami jest równa . Antywęzły i węzły są przesunięte względem siebie o jedną czwartą długości fali.

Porównajmy naturę oscylacji fali stojącej i biegnącej. W fali biegnącej każdy punkt oscyluje, którego amplituda nie różni się od amplitudy innych punktów. Ale fluktuacje różnych punktów występują z różne fazy.

W fali stojącej wszystkie cząstki ośrodka znajdujące się pomiędzy dwoma sąsiednimi węzłami oscylują w tej samej fazie, ale z różnymi amplitudami. Po przejściu przez węzeł faza oscylacji zmienia się gwałtownie na , ponieważ znak się zmienia.

Graficznie falę stojącą można przedstawić w następujący sposób:

W momencie, gdy wszystkie punkty ośrodka mają maksymalne przemieszczenia, których kierunek wyznacza znak . Przemieszczenia te są pokazane na rysunku za pomocą pełnych strzałek.

Po jednej czwartej okresu, w którym przemieszczenia wszystkich punktów są równe zeru. Cząsteczki przechodzą przez linię z różnymi prędkościami.

Po kolejnej ćwiartce okresu, kiedy , cząstki znów będą miały maksymalne przemieszczenia, ale w przeciwnym kierunku (strzałki przerywane).

Opisując procesy oscylacyjne w układach elastycznych, jako wartość oscylacyjną można przyjąć nie tylko przemieszczenie, ale także prędkość cząstek, a także wielkość względnego odkształcenia ośrodka.

Aby znaleźć prawo zmiany prędkości fali stojącej, różnicujemy za pomocą równania przemieszczenia fali stojącej, a aby znaleźć prawo zmiany odkształcenia, różnicujemy za pomocą równania fali stojącej.

Analizując te równania, widzimy, że węzły i antywęzły prędkości pokrywają się z węzłami i antywęzłami przemieszczenia; węzły i antywęzły deformacji pokrywają się odpowiednio z antywęzłami i węzłami prędkości i przemieszczenia.

wibracje strun

W strunie rozciągniętej na obu końcach, gdy wzbudzane są drgania poprzeczne, tworzą się fale stojące, a węzły muszą znajdować się w miejscach mocowania struny. Dlatego w strunie wzbudzane są tylko takie drgania, których połowa długości mieści się na długości struny liczbę razy całkowitą.

Z tego wynika warunek:

gdzie jest długość ciągu.

Lub w przeciwnym wypadku. Te długości fal odpowiadają częstotliwościom , gdzie jest prędkością fazową fali. Jej wartość zależy od siły naciągu struny i jej masy.

At jest podstawową częstotliwością.

At - naturalne częstotliwości drgań struny lub podteksty.

efekt Dopplera

Rozważmy najprostsze przypadki, gdy źródło fal i obserwator poruszają się względem ośrodka po jednej prostej:

1. Źródło dźwięku porusza się względem medium z prędkością , odbiornik dźwięku jest w stanie spoczynku.

W takim przypadku w okresie oscylacji fala dźwiękowa oddali się od źródła na odległość, a samo źródło przesunie się na odległość równą .

Jeśli źródło zostanie usunięte z odbiornika, tj. poruszać się w kierunku przeciwnym do kierunku propagacji fali, a następnie długości fali .

Jeśli źródło dźwięku zostanie zbliżone do odbiornika, tj. poruszać się w kierunku propagacji fali, a następnie .

Częstotliwość dźwięku odbieranego przez odbiornik to:

Zastąp zamiast ich wartości w obu przypadkach:

Biorąc pod uwagę fakt, że , gdzie jest częstotliwość drgań źródła, równość przyjmuje postać:

Podziel licznik i mianownik tego ułamka przez , a następnie:

2. Źródło dźwięku jest nieruchome, a odbiornik porusza się w stosunku do medium z dużą prędkością.

W tym przypadku długość fali w ośrodku nie zmienia się i nadal jest równa . Jednocześnie dwie kolejne amplitudy różniące się w czasie o jeden okres oscylacji po dotarciu do ruchomego odbiornika będą się różnić w czasie w momentach spotkania fali z odbiornikiem o przedział czasu, którego wartość wynosi większa lub mniejsza, w zależności od tego, czy odbiornik oddala się, czy zbliża do źródła dźwięku. W tym czasie dźwięk rozchodzi się na odległość, a odbiornik przemieści się na odległość. Suma tych wielkości daje nam długość fali:

Okres oscylacji odbieranych przez odbiornik jest powiązany z częstotliwością tych oscylacji zależnością:

Podstawiając zamiast jej wyrażenia z równości (1), otrzymujemy:

Dlatego , gdzie jest częstotliwością drgań źródła, a , to:

3. Źródło dźwięku i odbiornik poruszają się względem medium. Łącząc wyniki uzyskane w dwóch poprzednich przypadkach otrzymujemy:

fale dźwiękowe

Jeżeli fale sprężyste rozchodzące się w powietrzu mają częstotliwość od 20 do 20 000 Hz, to docierając do ucha ludzkiego wywołują wrażenie dźwięku. Dlatego fale leżące w tym zakresie częstotliwości nazywane są falami dźwiękowymi. Nazywa się fale sprężyste o częstotliwości mniejszej niż 20 Hz infradźwięki . Nazywane są fale o częstotliwości powyżej 20 000 Hz ultradźwięk. Ultradźwięki i infradźwięki nie są słyszalne przez ludzkie ucho.

Wrażenia dźwiękowe charakteryzują się wysokością, barwą i głośnością. Wysokość dźwięku zależy od częstotliwości drgań. Jednak źródło dźwięku emituje nie jedną, a całe spektrum częstotliwości. Zbiór częstotliwości wibracyjnych występujących w danym dźwięku nazywamy its widmo akustyczne. Energia wibracji jest rozłożona na wszystkie częstotliwości widma akustycznego. Wysokość dźwięku jest określona przez jedną - częstotliwość podstawową, jeśli ta częstotliwość ma znacznie większą ilość energii niż udział innych częstotliwości.

Jeśli widmo składa się z zestawu częstotliwości, które znajdują się w zakresie częstotliwości od do , to takie widmo nazywa się ciągły(przykład - hałas).

Jeśli widmo składa się z zestawu oscylacji dyskretnych częstotliwości, wówczas takie widmo nazywa się rządził(przykład - dźwięki muzyczne).

Akustyczne widmo dźwięku, w zależności od jego charakteru i rozkładu energii pomiędzy częstotliwościami, decyduje o oryginalności odczucia dźwiękowego, nazywanego barwą dźwięku. Różne instrumenty muzyczne mają różne spektrum akustyczne, tj. różnią się tonem.

Natężenie dźwięku charakteryzuje się różnymi wielkościami: oscylacjami cząstek ośrodka, ich prędkościami, siłami ciśnienia, naprężeniami w nich itp.

Charakteryzuje amplitudę oscylacji każdej z tych wielkości. Ponieważ jednak wielkości te są ze sobą powiązane, wskazane jest wprowadzenie jednej charakterystyki energetycznej. Taką charakterystykę dla fal dowolnego typu zaproponowano w 1877 roku. NA. Umow.

Wytnijmy w myślach platformę z przodu wędrującej fali. Z czasem obszar ten przesunie się na odległość , gdzie jest prędkość fali.

Oznacz jako energię jednostki objętości ośrodka oscylacyjnego. Wtedy energia całej objętości będzie równa .

Energia ta była z czasem przekazywana przez falę rozchodzącą się po okolicy.

Dzieląc to wyrażenie przez i , otrzymujemy energię przenoszoną przez falę przez jednostkę powierzchni w jednostce czasu. Ta wartość jest oznaczona literą i nazywa się wektor Umov

Dla pola dźwiękowego wektor Umov nazywana jest mocą dźwięku.

Siła dźwięku to cechy fizyczne natężenie dźwięku. Oceniamy to subiektywnie, ponieważ tom dźwięk. Ucho ludzkie odbiera dźwięki, których siła przekracza pewną minimalną wartość, różną dla różnych częstotliwości. Ta wartość nazywa się próg słyszenia dźwięk. Dla średnich częstotliwości rzędu Hz próg słyszalności jest rzędu .

Przy bardzo dużej mocy dźwięku rzędu, dźwięk jest odbierany z wyjątkiem ucha przez narządy dotyku i powoduje ból w uszach.

Wartość intensywności, przy której to się dzieje, nazywa się próg bólu. Próg bólu, a także próg słyszenia zależy od częstotliwości.

Osoba ma dość złożony aparat do percepcji dźwięków. Drgania dźwiękowe są zbierane przez małżowinę uszną i poprzez kanał słuchowy oddziałują na błonę bębenkową. Jego wibracje przenoszone są do małej wnęki zwanej ślimakiem. Wewnątrz ślimaka znajduje się duża liczba włókien o różnej długości i naprężeniu, a co za tym idzie o różnych częstotliwościach drgań własnych. Po zastosowaniu dźwięku każde z włókien rezonuje ton, którego częstotliwość pokrywa się z naturalną częstotliwością włókna. Zbiór częstotliwości rezonansowych w aparacie słuchowym określa obszar odbieranych przez nas drgań dźwiękowych.

Głośność, subiektywnie oceniana przez nasze ucho, rośnie znacznie wolniej niż natężenie fal dźwiękowych. Podczas gdy intensywność rośnie wykładniczo, głośność rośnie wykładniczo. Na tej podstawie poziom głośności definiuje się jako logarytm stosunku natężenia danego dźwięku do natężenia przyjętego jako pierwotna

Jednostka poziomu głośności nazywa się biały. Używane są również mniejsze jednostki - decybele(10 razy mniej niż biały).

gdzie jest współczynnik pochłaniania dźwięku.

Wartość współczynnika pochłaniania dźwięku wzrasta proporcjonalnie do kwadratu częstotliwości dźwięku, więc niskie dźwięki rozchodzą się dalej niż wysokie.

W akustyce architektonicznej dużych pomieszczeń istotną rolę odgrywa: pogłos lub głośność lokalu. Dźwięki doznające wielu odbić od otaczających powierzchni są odbierane przez słuchacza przez dość długi czas. Zwiększa to siłę docierającego do nas dźwięku, jednak jeśli pogłos jest zbyt długi, poszczególne dźwięki nakładają się na siebie i mowa nie jest już odbierana w sposób artykulacyjny. Dlatego ściany hal pokryto specjalnymi materiałami dźwiękochłonnymi, aby ograniczyć pogłos.

Źródłem drgań dźwiękowych może być każdy wibrujący korpus: stroik dzwonkowy, kamerton, struna skrzypiec, słup powietrza w instrumentach dętych itp. te same ciała mogą również służyć jako odbiorniki dźwięku, gdy są wprawiane w ruch przez wibracje otoczenia.

Ultradźwięk

Aby uzyskać kierunkowy, tj. zbliżony do płaskiego, wymiary fal emitera muszą być wielokrotnie większe niż długość fali. Fale dźwiękowe w powietrzu mają długość do 15 m, w ciałach ciekłych i stałych długość fali jest jeszcze dłuższa. Dlatego praktycznie niemożliwe jest zbudowanie emitera, który tworzyłby skierowaną falę o takiej długości.

Wibracje ultradźwiękowe mają częstotliwość ponad 20 000 Hz, więc ich długość fali jest bardzo mała. Wraz ze zmniejszaniem się długości fali zmniejsza się również rola dyfrakcji w procesie propagacji fali. Dlatego fale ultradźwiękowe można uzyskać w postaci wiązek ukierunkowanych, podobnych do wiązek świetlnych.

Do wzbudzenia fal ultradźwiękowych wykorzystywane są dwa zjawiska: odwrócony efekt piezoelektryczny oraz magnetostrykcja.

Odwrotny efekt piezoelektryczny polega na tym, że płytka niektórych kryształów (sól Rochelle, kwarc, tytanian baru itp.) pod działaniem pole elektryczne lekko zdeformowany. Umieszczając go pomiędzy metalowymi płytkami, na które doprowadzone jest napięcie przemienne, można wywołać wymuszone drgania płytki. Wibracje te są przekazywane do otoczenia i generują w nim falę ultradźwiękową.

Magnetostrykcja polega na tym, że substancje ferromagnetyczne (żelazo, nikiel, ich stopy itp.) odkształcają się pod wpływem pola magnetycznego. Dlatego umieszczając pręt ferromagnetyczny w zmiennym polu magnetycznym, można wzbudzić wibracje mechaniczne.

Wysokie wartości prędkości i przyspieszeń akustycznych oraz dopracowane metody badania i odbioru drgań ultradźwiękowych pozwoliły na ich wykorzystanie do rozwiązywania wielu problemów technicznych. Wymieńmy niektóre z nich.

W 1928 roku radziecki naukowiec S.Ya. Sokołow zasugerował użycie ultradźwięków w celu wykrywania wad, tj. do wykrywania ukrytych wad wewnętrznych takich jak łupiny, pęknięcia, zmarszczki, wtrącenia żużla itp. w wyrobach metalowych. Jeśli wielkość wady przekracza długość fali ultradźwiękowej, impuls ultradźwiękowy jest odbijany od wady i zwracany z powrotem. Wysyłając do produktu impulsy ultradźwiękowe i rejestrując odbite sygnały echa, można nie tylko wykryć obecność defektów w produktach, ale także ocenić wielkość i lokalizację tych defektów. Ta metoda jest obecnie szeroko stosowana w przemyśle.

Ukierunkowane wiązki ultradźwiękowe znalazły szerokie zastosowanie do celów lokalizacyjnych, m.in. do wykrywania obiektów w wodzie i określania odległości do nich. Po raz pierwszy ideę lokalizacji ultradźwiękowej wyraził wybitny francuski fizyk P. Langevina i opracowany przez niego podczas I wojny światowej do wykrywania okrętów podwodnych. Obecnie zasady sonaru są wykorzystywane do wykrywania gór lodowych, ławic ryb itp. metody te mogą również określić głębokość morza pod dnem statku (echosonda).

Fale ultradźwiękowe o dużej amplitudzie są obecnie szeroko stosowane w inżynierii do obróbki mechanicznej materiałów stałych, czyszczenia drobnych przedmiotów (części mechanizmów zegarowych, rurociągów itp.) umieszczonych w cieczy, odgazowywania itp.

Tworząc podczas ich przejścia silne pulsacje ciśnienia w medium, powodują fale ultradźwiękowe cała linia specyficzne zjawiska: rozdrabnianie (dyspersja) cząstek zawieszonych w cieczy, tworzenie emulsji, przyspieszenie procesów dyfuzji, aktywacja reakcje chemiczne, wpływ na obiekty biologiczne itp.

Rozważmy wynik interferencji dwóch sinusoidalnych fal płaskich o tej samej amplitudzie i częstotliwości propagujących się w przeciwnych kierunkach. Dla uproszczenia rozumowania przyjmujemy, że równania tych fal mają postać:

Oznacza to, że u źródła obie fale powodują oscylacje w tej samej fazie. W punkcie A o współrzędnej x całkowita wartość wielkości oscylacyjnej, zgodnie z zasadą superpozycji (patrz § 19), wynosi

Z równania tego wynika, że ​​w wyniku interferencji fal bezpośrednich i wstecznych w każdym punkcie ośrodka (o stałej współrzędnej) powstają drgania harmoniczne o tej samej częstotliwości, ale o amplitudzie

zależne od wartości współrzędnej x. W punktach ośrodka, w których w ogóle nie ma wibracji: te punkty nazywane są węzłami wibracji.

W punktach, w których amplituda drgań ma największą wartość, punkty te nazywane są antywęzłami drgań. Łatwo pokazać, że odległość między sąsiednimi węzłami lub sąsiednimi antywęzłami jest równa odległości między anty-węzłem a najbliższym węzłem. Gdy x we ​​wzorze (5.16 zmienia się o cosinus), odwraca swój znak (jego argument zmienia się na więc jeśli w granicach jedna półfala - z jednego węzła do drugiego - cząstki ośrodka odchylają się w jednym kierunku, następnie w sąsiedniej półfali cząstki ośrodka będą odchylane w przeciwnym kierunku.

Proces falowy w ośrodku opisany wzorem (5.16) nazywany jest falą stojącą. Graficznie falę stojącą można przedstawić, jak pokazano na ryc. 1.61. Załóżmy, że y ma przemieszczenie punktów ośrodka ze stanu równowagi; wówczas wzór (5.16) opisuje „stojącą falę przemieszczenia”. W pewnym momencie, gdy wszystkie punkty ośrodka mają maksymalne przemieszczenia, których kierunek w zależności od wartości współrzędnej x określa znak. Przemieszczenia te pokazano na rys. 1,61 z solidnymi strzałkami. Po jednej czwartej okresu, gdy przemieszczenia wszystkich punktów ośrodka są równe zeru; cząstki medium przechodzą przez linię z różnymi prędkościami. Po kolejnej ćwiartce okresu, kiedy cząstki ośrodka znów będą miały maksymalne przemieszczenia, ale w przeciwnym kierunku; te przesunięcia są pokazane w

Ryż. 1,61 przerywanych strzałek. Punkty są antywęzłami stojącej fali przemieszczenia; punkty węzły tej fali.

Charakterystyczne cechy fali stojącej, w przeciwieństwie do konwencjonalnej fali rozchodzącej się lub biegnącej, są następujące (czyli fale płaskie przy braku tłumienia):

1) w fali stojącej amplitudy drgań są różne w różnych częściach układu; system ma węzły i antywęzły oscylacji. W „wędrującej” fali amplitudy te są wszędzie takie same;

2) na obszarze systemu od jednego węzła do sąsiedniego wszystkie punkty ośrodka oscylują w tej samej fazie; przy przejściu do sąsiedniej sekcji fazy oscylacji są odwrócone. W fali biegnącej fazy oscylacji zgodnie ze wzorem (5.2) zależą od współrzędnych punktów;

3) w fali stojącej nie ma jednokierunkowego transferu energii, jak ma to miejsce w przypadku fali biegnącej.

Opisując procesy oscylacyjne w układach sprężystych, wartość oscylacyjną y można przyjąć nie tylko jako przemieszczenie lub prędkość cząstek układu, ale także jako wartość odkształcenia względnego lub wartość naprężenia przy ściskaniu, rozciąganiu lub ścinanie itp. Jednocześnie, w fali stojącej, w miejscach, w których powstają antywęzły prędkości cząstek, znajdują się węzły deformacji i odwrotnie, węzły prędkości pokrywają się z antywęzłami deformacji. Transformacja energii z kinetycznej na potencjalną i odwrotnie zachodzi na odcinku układu od antywęzła do sąsiedniego węzła. Możemy założyć, że każdy taki odcinek nie wymienia energii z sąsiednimi odcinkami. Zauważ, że transformacja energia kinetyczna przeniesienie cząstek w energię potencjalną odkształconych odcinków ośrodka w jednym okresie następuje dwukrotnie.

Powyżej, biorąc pod uwagę interferencję fal bezpośrednich i wstecznych (patrz wyrażenia (5.16)), nie interesowało nas pochodzenie tych fal. Załóżmy teraz, że ośrodek, w którym rozchodzą się drgania, ma ograniczone wymiary, na przykład drgania powstają w jakimś ciele stałym - w pręcie lub sznurku, w słupie cieczy lub gazu itp. Fala propagująca się w takim ośrodku ( ciało) , odbija się od granic, dlatego w obrębie objętości tego ciała stale występuje interferencja fal wywołanych przez zewnętrzne źródło i odbita od granic.

Rozważać najprostszy przykład; załóżmy, że w punkcie (ryc. 1.62) pręta lub struny ruch oscylacyjny o częstotliwości jest wzbudzany za pomocą zewnętrznego źródła sinusoidalnego; wybieramy początek odniesienia czasowego tak, aby w tym momencie przemieszczenie wyrażało się wzorem

gdzie amplituda oscylacji w punkcie Fala indukowana w pręcie zostanie odbita od drugiego końca pręta 0% i pójdzie w przeciwnym kierunku

kierunek. Znajdźmy wynik interferencji fal bezpośrednich i odbitych w pewnym punkcie pręta o współrzędnej x. Dla uproszczenia rozumowania zakładamy, że w pręcie nie ma absorpcji energii drgań, a zatem amplitudy fal bezpośrednich i odbitych są równe.

W pewnym momencie, gdy przemieszczenie oscylujących cząstek w jednym punkcie jest równe y, w innym punkcie pręta, przemieszczenie wywołane falą bezpośrednią będzie, zgodnie ze wzorem falowym, równe

Odbita fala przechodzi również przez ten sam punkt A. Aby znaleźć przemieszczenie wywołane w punkcie A przez falę odbitą (jednocześnie należy obliczyć czas, w którym fala przejdzie drogę od do i z powrotem do punktu Ponieważ przemieszczenie wywołane w punkcie przez falę odbitą będzie równe

W tym przypadku zakłada się, że na odbijającym końcu pręta w procesie odbicia nie ma nagłej zmiany fazy oscylacji; w niektórych przypadkach zachodzi taka zmiana fazy (zwana zanikiem fazy), którą należy wziąć pod uwagę.

Dodanie drgań wywołanych w różnych punktach pręta przez fale bezpośrednie i odbite daje falę stojącą; naprawdę,

gdzie jest pewna stała faza, niezależna od współrzędnej x i ilości

jest amplitudą oscylacji w punkcie, która zależy od współrzędnej x, tzn. jest różna w różnych miejscach pręta.

Znajdźmy współrzędne tych punktów pręta, w których powstają węzły i antywęzły fali stojącej. Cosinus zwraca się do zera lub jeden występuje przy wartościach argumentów, które są wielokrotnościami

gdzie jest liczbą całkowitą. Dla nieparzystej wartości tej liczby znika cosinus i wzór (5.19) podaje współrzędne węzłów fali stojącej; bo nawet otrzymujemy współrzędne antywęzłów.

Powyżej dodano tylko dwie fale: bezpośrednią wychodzącą i odbitą rozchodzącą się, należy jednak liczyć się z tym, że fala odbita na granicy pręta zostanie ponownie odbita i pójdzie w kierunku fali bezpośredniej. Takie refleksje

będzie dużo z końców pręta, dlatego konieczne jest znalezienie wyniku interferencji nie dwóch, ale wszystkich fal jednocześnie istniejących w pręcie.

Załóżmy, że zewnętrzne źródło drgań powodowało falowanie w pręcie przez pewien czas, po czym ustał przepływ energii drgań z zewnątrz. W tym czasie w pręcie pojawiały się odbicia, gdzie jest to czas, w którym fala przechodziła z jednego końca pręta na drugi. W konsekwencji w pręcie będą jednocześnie występować fale biegnące w kierunku do przodu i fale biegnące w kierunku przeciwnym.

Załóżmy, że w wyniku interferencji jednej pary fal (bezpośredniej i odbitej) przemieszczenie w punkcie A okazało się równe y. Znajdźmy warunek, w którym wszystkie przemieszczenia y wywołane przez każdą parę fal mają te same kierunki w punkcie A pręta i dlatego się sumują. W tym celu fazy oscylacji wywołanych przez każdą parę fal w danym punkcie muszą różnić się od fazy oscylacji wywołanych przez następną parę fal. Ale każda fala ponownie powraca do punktu A z tym samym kierunkiem propagacji dopiero po pewnym czasie, tj. Opóźnia się w fazie przez wyrównanie tego opóźnienia, gdzie jest liczbą całkowitą, otrzymujemy

tzn. całkowita liczba półfal musi zmieścić się na całej długości pręta. Zauważ, że pod tym warunkiem fazy wszystkich fal przemieszczających się w kierunku do przodu różnią się od siebie o gdzie jest liczbą całkowitą; dokładnie w ten sam sposób fazy wszystkich fal biegnących w przeciwnych kierunkach różnią się od siebie o. Dlatego jeśli jedna para fal (do przodu i do tyłu) daje rozkład przemieszczeń wzdłuż pręta, określony wzorem (5.17) , to przy interferencji par takich fal rozkład przemieszczeń nie ulegnie zmianie; wzrośnie tylko amplituda oscylacji. Jeżeli maksymalna amplituda drgań podczas interferencji dwóch fal, zgodnie ze wzorem (5.18), jest równa, to przy interferencji wielu fal będzie ona większa. Oznaczmy to, gdyż wtedy rozkład amplitudy drgań wzdłuż pręta zamiast wyrażenia (5.18) będzie określony wzorem

Wyrażenia (5.19) i (5.20) określają punkty, w których cosinus ma wartości lub 1:

gdzie jest liczbą całkowitą Współrzędne węzłów fali stojącej zostaną otrzymane z tego wzoru dla wartości nieparzystych wtedy, w zależności od długości pręta, czyli wartości

współrzędne antywęzłów zostaną uzyskane z wartościami parzystymi

Na ryc. 1,63 przedstawia schematycznie falę stojącą w pręcie, którego długość; punkty są antywęzłami, punkty są węzłami tej fali stojącej.

W rozdz. wykazano, że przy braku okresowych wpływów zewnętrznych charakter ruchów kodowania w układzie, a przede wszystkim główna wielkość – częstotliwość drgań – są determinowane przez wymiary i właściwości fizyczne układu. Każdy system oscylacyjny ma swój własny, nieodłączny ruch oscylacyjny; fluktuację tę można zaobserwować, jeśli system zostanie wytrącony z równowagi, a następnie wyeliminowane zostaną wpływy zewnętrzne.

W rozdz. 4 godziny brałem pod uwagę głównie systemy oscylacyjne o parametrach skupionych, w których niektóre ciała (ciała punktowe) miały masę bezwładną, a inne (sprężyny) miały właściwości sprężyste. Natomiast układy oscylacyjne, w których masa i elastyczność są nieodłączne dla każdej objętości elementarnej, nazywane są układami o parametrach rozłożonych. Należą do nich omówione powyżej pręty, struny, a także kolumny cieczy lub gazu (w dętych instrumentach muzycznych) itp. Dla takich systemów fale stojące są naturalnymi wibracjami; główna cecha tych fal - długość fali lub rozkład węzłów i antywęzłów, a także częstotliwość oscylacji - jest określona tylko przez wymiary i właściwości układu. Fale stojące mogą również istnieć w przypadku braku zewnętrznego (okresowego) działania na system; to działanie jest konieczne tylko do wywołania lub utrzymania fal stojących w systemie lub do zmiany amplitudy oscylacji. W szczególności, jeżeli oddziaływanie zewnętrzne na układ o parametrach rozłożonych występuje z częstotliwością równą częstotliwości jego drgań własnych, tj. częstotliwości fali stojącej, to zachodzi zjawisko rezonansu, które rozważano w rozdz. 5. dla różnych częstotliwości jest taki sam.

Tak więc w układach o parametrach rozłożonych oscylacje naturalne – fale stojące – charakteryzują się całym spektrum częstotliwości będących wielokrotnością siebie. Najmniejsza z tych częstotliwości odpowiadająca najdłuższej długości fali nazywana jest częstotliwością podstawową; reszta) to alikwoty lub harmoniczne.

Każdy system charakteryzuje się nie tylko obecnością takiego spektrum drgań, ale także pewnym rozkładem energii pomiędzy drganiami o różnych częstotliwościach. Do instrumenty muzyczne taki rozkład nadaje dźwiękowi swoistą cechę, tzw. barwę dźwięku, która jest różna dla różnych instrumentów.

Powyższe obliczenia odnoszą się do swobodnie oscylującego „prętu o długości. Jednak zwykle mamy pręty zamocowane na jednym lub obu końcach (na przykład oscylujące struny) lub istnieje jeden lub więcej punktów mocowania wzdłuż pręta. ruchy są przemieszczeniem wymuszonym węzły.Na przykład

jeśli konieczne jest uzyskanie fal stojących w pręcie w jednym, dwóch, trzech punktach mocowania itp., Punkty te nie mogą być wybrane dowolnie, ale muszą być umieszczone wzdłuż pręta, tak aby znajdowały się w węzłach powstałej fali stojącej . Pokazano to na przykład na ryc. 1.64. Na tym samym rysunku linia przerywana pokazuje przemieszczenia punktów pręta podczas drgań; Antywęzły przemieszczenia są zawsze tworzone na swobodnych końcach, a węzły przemieszczenia na stałych końcach. W przypadku oscylujących kolumn powietrza w rurach węzły przemieszczenia (i prędkości) uzyskuje się na odbijających ścianach litych; na otwartych końcach rurek powstają antywęzły przemieszczeń i prędkości.