În fiecare zi. Seria Fourier: istoria și influența mecanismului matematic asupra dezvoltării științei Componenta constantă e a seriei Fourier este egală cu

Seria Fourier este o reprezentare a unei funcții luate în mod arbitrar cu o anumită perioadă ca serie. LA vedere generala această soluție se numește descompunerea unui element pe bază ortogonală. Extinderea funcțiilor într-o serie Fourier este un instrument destul de puternic pentru rezolvarea diferitelor probleme datorită proprietăților acestei transformări la integrarea, diferențierea, precum și schimbarea unei expresii într-un argument și convoluție.

O persoană care nu este familiarizată cu matematica superioară, precum și cu lucrările omului de știință francez Fourier, cel mai probabil nu va înțelege ce sunt aceste „serii” și pentru ce sunt. Între timp, această transformare a devenit destul de densă în viața noastră. Este folosit nu numai de matematicieni, ci și de fizicieni, chimiști, medici, astronomi, seismologi, oceanografi și mulți alții. Să aruncăm o privire mai atentă și asupra lucrărilor marelui om de știință francez, care a făcut o descoperire înaintea timpului său.

Omul și transformata Fourier

Seria Fourier este una dintre metode (împreună cu analiză și altele) Acest proces are loc de fiecare dată când o persoană aude orice sunet. Urechea noastră transformă automat particulele elementare într-un mediu elastic, ele sunt descompuse în rânduri (de-a lungul spectrului) de valori succesive ale nivelului de volum pentru tonuri de diferite înălțimi. Apoi, creierul transformă aceste date în sunete familiare nouă. Toate acestea se întâmplă pe lângă dorința sau conștiința noastră, de la sine, dar pentru a înțelege aceste procese, va dura câțiva ani pentru a studia matematica superioară.

Mai multe despre transformata Fourier

Transformarea Fourier poate fi efectuată prin metode analitice, numerice și alte metode. Seria Fourier se referă la modul numeric de descompunere a oricăror procese oscilatorii - de la maree oceanice și unde luminoase la cicluri de activitate solară (și alte obiecte astronomice). Folosind aceste tehnici matematice, este posibilă analizarea funcțiilor, reprezentând orice procese oscilatorii ca o serie de componente sinusoidale care merg de la minim la maxim și invers. Transformata Fourier este o funcție care descrie faza și amplitudinea sinusoidelor corespunzătoare unei anumite frecvențe. Acest proces poate fi folosit pentru a rezolva foarte multe ecuații complexe, care descriu procese dinamice apărute sub acţiunea energiei termice, luminoase sau electrice. De asemenea, seriile Fourier fac posibilă izolarea componentelor constante în semnale oscilatorii complexe, ceea ce a făcut posibilă interpretarea corectă a observațiilor experimentale obținute în medicină, chimie și astronomie.

Referință istorică

Părintele fondator al acestei teorii este matematicianul francez Jean Baptiste Joseph Fourier. Această transformare a fost ulterior numită după el. Inițial, omul de știință și-a aplicat metoda pentru a studia și explica mecanismele conducției căldurii - răspândirea căldurii în solide. Fourier a sugerat că distribuția neregulată inițială poate fi descompusă în cele mai simple sinusoide, fiecare dintre acestea având propria temperatură minimă și maximă, precum și propria sa fază. În acest caz, fiecare astfel de componentă va fi măsurată de la minim la maxim și invers. Funcția matematică care descrie vârfurile superioare și inferioare ale curbei, precum și faza fiecăreia dintre armonici, se numește transformată Fourier a expresiei distribuției temperaturii. Autorul teoriei a redus funcția de distribuție generală, ceea ce este dificil de realizat descriere matematică, la o serie foarte convenabilă de cosinus și sinus, însumând pentru a da distribuția originală.

Principiul transformării și punctele de vedere ale contemporanilor

Contemporanii omului de știință - matematicienii de seamă de la începutul secolului al XIX-lea - nu au acceptat această teorie. Principala obiecție a fost afirmația lui Fourier că o funcție discontinuă care descrie o linie dreaptă sau o curbă discontinuă poate fi reprezentată ca o sumă de expresii sinusoidale care sunt continue. Ca exemplu, luați în considerare „pasul” lui Heaviside: valoarea sa este zero la stânga decalajului și unu la dreapta. Această funcție descrie dependența curentului electric de variabila de timp când circuitul este închis. Contemporanii teoriei de la acea vreme nu întâlniseră niciodată o astfel de situație, când o expresie discontinuă ar fi descrisă printr-o combinație de funcții continue, obișnuite, cum ar fi o exponențială, sinusoidă, liniară sau pătratică.

Ce i-a derutat pe matematicienii francezi în teoria lui Fourier?

La urma urmei, dacă matematicianul a avut dreptate în afirmațiile sale, atunci prin însumarea seriei infinite trigonometrice Fourier, se poate obține o reprezentare exactă a expresiei în trepte chiar dacă are mulți pași similari. La începutul secolului al XIX-lea, o astfel de afirmație părea absurdă. Dar, în ciuda tuturor îndoielilor, mulți matematicieni au extins sfera studiului acestui fenomen, ducându-l dincolo de sfera studiilor de conductivitate termică. Cu toate acestea, majoritatea oamenilor de știință au continuat să fie chinuiți de întrebarea: „Poate converge suma seriei sinusoidale către valoarea exactă a funcției discontinue?”

Convergența seriei Fourier: un exemplu

Problema convergenței se pune ori de câte ori este necesară însumarea unor serii infinite de numere. Pentru a înțelege acest fenomen, luați în considerare exemplu clasic. Poți ajunge vreodată la perete dacă fiecare pas succesiv este jumătate din dimensiunea celui precedent? Să presupunem că ești la doi metri de poartă, primul pas te apropie de jumătatea drumului, următorul de marcajul trei sferturi, iar după al cincilea pas vei parcurge aproape 97 la sută din drum. Cu toate acestea, indiferent de câți pași ai face, nu vei atinge scopul propus într-un sens strict matematic. Folosind calcule numerice, se poate demonstra că în final este posibil să se apropie de o distanță dată arbitrar de mică. Această dovadă este echivalentă cu demonstrarea că valoarea totală a unei jumătăți, a unui sfert etc. va tinde spre unu.

O chestiune de convergență: a doua venire sau aparatul lordului Kelvin

Această întrebare a fost ridicată din nou la sfârșitul secolului al XIX-lea, când s-a încercat să fie folosite seriile Fourier pentru a prezice intensitatea fluxului și refluxului. În acest moment, Lord Kelvin a inventat un dispozitiv, care este un dispozitiv de calcul analogic care a permis marinarilor din flota militară și comercială să urmărească acest fenomen natural. Acest mecanism a determinat seturile de faze și amplitudini dintr-un tabel de înălțimi ale mareelor ​​și momentele lor de timp corespunzătoare, măsurate cu atenție într-un anumit port în timpul anului. Fiecare parametru a fost o componentă sinusoidală a expresiei înălțimii mareei și a fost una dintre componentele regulate. Rezultatele măsurătorilor au fost introduse în calculatorul lui Lord Kelvin, care a sintetizat o curbă care a prezis înălțimea apei în funcție de timp pentru anul următor. Foarte curând au fost trasate curbe similare pentru toate porturile lumii.

Și dacă procesul este întrerupt de o funcție discontinuă?

La acea vreme, părea evident că un predictor de undă mare cu un număr mare de elemente de numărare ar putea calcula un număr mare de faze și amplitudini și astfel să ofere predicții mai precise. Cu toate acestea, s-a dovedit că această regularitate nu se observă în acele cazuri când expresia mareelor ​​de sintetizat conținea un salt brusc, adică era discontinuu. În cazul în care datele sunt introduse în dispozitiv din tabelul momentelor de timp, atunci acesta calculează mai mulți coeficienți Fourier. Funcția inițială este restabilită datorită componentelor sinusoidale (după coeficienții aflați). Discrepanța dintre expresia originală și cea restaurată poate fi măsurată în orice punct. Când se efectuează calcule și comparații repetate, se poate observa că valoarea cea mai mare greseala nu scade. Cu toate acestea, ele sunt localizate în regiunea corespunzătoare punctului de discontinuitate și tind la zero în orice alt punct. În 1899, acest rezultat a fost confirmat teoretic de Joshua Willard Gibbs de la Universitatea Yale.

Convergența seriilor Fourier și dezvoltarea matematicii în general

Analiza Fourier nu este aplicabilă expresiilor care conțin un număr infinit de rafale într-un anumit interval. În general, seria Fourier, dacă funcția inițială este reprezentată de rezultatul unui real dimensiunea fizică, converg mereu. Întrebările legate de convergența acestui proces pentru clase specifice de funcții au condus la apariția de noi secțiuni în matematică, de exemplu, teoria funcțiilor generalizate. Este asociat cu nume precum L. Schwartz, J. Mikusinsky și J. Temple. În cadrul acestei teorii, un clar și precis fundal teoretic sub expresii precum funcția deltă Dirac (descrie o regiune dintr-o singură zonă concentrată într-o vecinătate infinitezimală a unui punct) și „pasul” lui Heaviside. Datorită acestei lucrări, seria Fourier a devenit aplicabilă pentru rezolvarea ecuațiilor și a problemelor în care apar concepte intuitive: o sarcină punctiformă, o masă punctuală, dipoli magnetici și, de asemenea, o sarcină concentrată pe un fascicul.

Metoda Fourier

Seria Fourier, în conformitate cu principiile interferenței, încep cu descompunerea formelor complexe în altele mai simple. De exemplu, o modificare a fluxului de căldură se explică prin trecerea acestuia prin diferite obstacole din material termoizolant de formă neregulată sau o modificare a suprafeței pământului - un cutremur, o schimbare a orbitei corp ceresc- influența planetelor. De regulă, ecuații similare care descriu sisteme clasice simple sunt rezolvate elementar pentru fiecare undă individuală. Fourier a arătat asta solutii simple poate fi rezumat și pentru a obține soluții la probleme mai complexe. Exprimată în limbajul matematicii, seria Fourier este o tehnică de reprezentare a unei expresii ca sumă de armonici - cosinus și sinusoide. De aceea această analiză cunoscută și sub denumirea de „analiza armonică”.

Seria Fourier - tehnica ideală înainte de „era computerului”

Înainte de crearea tehnologiei informatice, tehnica Fourier era cea mai bună armă din arsenalul oamenilor de știință atunci când lucrau cu natura ondulată a lumii noastre. Seria Fourier într-o formă complexă permite rezolvarea nu numai a unor probleme simple care pot fi aplicate direct legile mecanicii lui Newton, ci și a ecuațiilor fundamentale. Majoritatea descoperirilor științei newtoniene din secolul al XIX-lea au fost posibile doar prin tehnica lui Fourier.

Seria Fourier azi

Odată cu dezvoltarea computerelor, transformatele Fourier s-au ridicat la un nivel calitativ nou. Această tehnică este ferm înrădăcinată în aproape toate domeniile științei și tehnologiei. Un exemplu este un semnal audio și video digital. Realizarea lui a devenit posibilă doar datorită teoriei dezvoltate de un matematician francez la începutul secolului al XIX-lea. Astfel, seria Fourier într-o formă complexă a făcut posibilă realizarea unei descoperiri în studiul spațiului cosmic. În plus, acest lucru a influențat studiul fizicii materialelor semiconductoare și a plasmei, acustica microundelor, oceanografie, radar și seismologie.

Seria Fourier trigonometrică

În matematică, o serie Fourier este o modalitate de a reprezenta arbitrar funcții complexe suma celor mai simple. În cazuri generale, numărul de astfel de expresii poate fi infinit. Mai mult, cu cât numărul lor este luat în considerare în calcul, cu atât rezultatul final este mai precis. Cel mai adesea, funcțiile trigonometrice cosinus sau sinus sunt folosite ca cele mai simple. În acest caz, seriile Fourier se numesc trigonometrice, iar soluția unor astfel de expresii se numește expansiunea armonicii. Această metodă joacă rol importantîn matematică. În primul rând, seria trigonometrică oferă un mijloc pentru imagine, precum și studiul funcțiilor, este principalul aparat al teoriei. În plus, permite rezolvarea unui număr de probleme de fizică matematică. În cele din urmă, această teorie a contribuit la dezvoltarea adusă la viață întreaga linie secțiuni foarte importante ale științei matematice (teoria integralelor, teoria funcțiilor periodice). În plus, a servit ca punct de plecare pentru dezvoltarea următoarelor funcții ale unei variabile reale și a marcat, de asemenea, începutul analizei armonice.

Serii Fourier de funcții periodice cu perioada 2π.

Seria Fourier vă permite să studiați funcțiile periodice prin descompunerea lor în componente. Curenții și tensiunile alternative, deplasările, viteza și accelerația mecanismelor de manivelă și undele acustice sunt exemple practice tipice de aplicare a funcțiilor periodice în calculele inginerești.

Expansiunea seriei Fourier se bazează pe presupunerea că toate funcțiile de importanță practică din intervalul -π ≤ x ≤ π pot fi exprimate ca serii trigonometrice convergente (o serie este considerată convergentă dacă șirul sumelor parțiale formate din membrii săi converge) :

Notație standard (=obișnuită) prin suma lui sinx și cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

unde a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. sunt constante reale, i.e.

Unde, pentru intervalul de la -π la π, coeficienții seriei Fourier sunt calculați prin formulele:

Se numesc coeficienții a o ,a n și b n Coeficienții Fourier, iar dacă pot fi găsite, atunci se numește seria (1). lângă Fourier, corespunzător funcţiei f(x). Pentru seria (1), termenul (a 1 cosx+b 1 sinx) se numește primul sau armonică principală,

O altă modalitate de a scrie o serie este să folosiți relația acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Unde a o este o constantă, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 sunt amplitudinile diferitelor componente și este egal cu a n \ u003d arctg a n /b n.

Pentru seria (1), termenul (a 1 cosx + b 1 sinx) sau c 1 sin (x + α 1) se numește primul sau armonică principală,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) sau c 2 sin(2x+α 2) se numește a doua armonică si asa mai departe.

Pentru a reprezenta cu acuratețe un semnal complex, de obicei este necesar un număr infinit de termeni. Cu toate acestea, în multe probleme practice este suficient să luăm în considerare doar primii termeni.

Serii Fourier de funcții neperiodice cu perioada 2π.

Extinderea funcțiilor neperiodice într-o serie Fourier.

Dacă funcția f(x) este neperiodică, atunci nu poate fi extinsă într-o serie Fourier pentru toate valorile lui x. Cu toate acestea, este posibil să se definească o serie Fourier reprezentând o funcție pe orice interval de lățime 2π.

Având în vedere o funcție neperiodică, se poate compune o nouă funcție alegând valori f(x) într-un anumit interval și repetându-le în afara acestui interval la intervale de 2π. Deoarece noua funcție este periodică cu o perioadă de 2π, poate fi extinsă într-o serie Fourier pentru toate valorile lui x. De exemplu, funcția f(x)=x nu este periodică. Cu toate acestea, dacă este necesar să o extindem într-o serie Fourier pe intervalul de la 0 la 2π, atunci o funcție periodică cu o perioadă de 2π este construită în afara acestui interval (așa cum se arată în figura de mai jos).

Pentru funcțiile neperiodice, cum ar fi f(x)=x, suma Seria Fourier este egală cu valoarea lui f(x) în toate punctele din intervalul specificat, dar nu este egal cu f(x) pentru punctele din afara intervalului. Pentru a găsi seria Fourier a unei funcții neperiodice în intervalul 2π, se folosește aceeași formulă a coeficienților Fourier.

Funcții pare și impare.

Ei spun că funcția y=f(x) chiar dacă f(-x)=f(x) pentru toate valorile lui x. Graficele funcțiilor pare sunt întotdeauna simetrice față de axa y (adică sunt oglindite). Două exemple de funcții pare: y=x 2 și y=cosx.

Ei spun că funcția y=f(x) ciudat, dacă f(-x)=-f(x) pentru toate valorile lui x. Graficele funcțiilor impare sunt întotdeauna simetrice față de origine.

Multe funcții nu sunt nici pare, nici impare.

Expansiunea seriei Fourier în cosinus.

Seria Fourier a unei funcții periodice par f(x) cu perioada 2π conține numai termeni cosinus (adică nu conține termeni sinus) și poate include un termen constant. Prin urmare,

unde sunt coeficienții seriei Fourier,

Seria Fourier a unei funcții periodice impare f(x) cu perioada 2π conține numai termeni cu sinusuri (adică nu conține termeni cu cosinus).

Prin urmare,

unde sunt coeficienții seriei Fourier,

Seria Fourier pe jumătate de ciclu.

Dacă o funcție este definită pentru un interval, să spunem de la 0 la π, și nu doar de la 0 la 2π, ea poate fi extinsă într-o serie numai în termeni de sinusuri sau numai în termeni de cosinus. Seria Fourier rezultată se numește lângă Fourier pe o jumătate de ciclu.

Dacă vrei să obții o descompunere Fourier pe un semiciclu în cosinus funcțiile f(x) în intervalul de la 0 la π, atunci este necesar să se compună o funcție periodică pară. Pe fig. mai jos este funcția f(x)=x construită pe intervalul de la x=0 la x=π. Deoarece funcția pare este simetrică față de axa f(x), desenăm linia AB, așa cum se arată în Fig. de mai jos. Dacă presupunem că în afara intervalului considerat, forma triunghiulară rezultată este periodică cu o perioadă de 2π, atunci graficul final are forma display. în fig. de mai jos. Deoarece este necesar să se obțină expansiunea Fourier în cosinus, ca și mai înainte, calculăm coeficienții Fourier a o și a n

Dacă doriți să obțineți funcții f (x) în intervalul de la 0 la π, atunci trebuie să compuneți o funcție periodică impară. Pe fig. mai jos este funcția f(x)=x construită pe intervalul de la x=0 la x=π. Deoarece funcția impară este simetrică față de origine, construim linia CD, așa cum se arată în Fig. Dacă presupunem că în afara intervalului considerat, semnalul dinte de ferăstrău primit este periodic cu o perioadă de 2π, atunci graficul final are forma prezentată în Fig. Deoarece este necesar să se obțină expansiunea Fourier pe un semiciclu în termeni de sinusuri, ca mai înainte, calculăm coeficientul Fourier. b

Serii Fourier pentru un interval arbitrar.

Expansiunea unei funcții periodice cu perioada L.

Funcția periodică f(x) se repetă pe măsură ce x crește cu L, adică. f(x+L)=f(x). Trecerea de la funcțiile considerate anterior cu perioada 2π la funcțiile cu perioada L este destul de simplă, deoarece se poate face folosind o schimbare de variabilă.

Pentru a găsi seria Fourier a funcției f(x) în intervalul -L/2≤x≤L/2, introducem o nouă variabilă u astfel încât funcția f(x) să aibă o perioadă de 2π față de u. Dacă u=2πx/L, atunci x=-L/2 pentru u=-π și x=L/2 pentru u=π. De asemenea, fie f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Seria Fourier F(u) are forma

Unde sunt coeficienții seriei Fourier,

Mai des, însă, formula de mai sus duce la dependență de x. Deoarece u=2πх/L, atunci du=(2π/L)dx, iar limitele de integrare sunt de la -L/2 la L/2 în loc de -π la π. Prin urmare, seria Fourier pentru dependența de x are forma

unde în intervalul de la -L/2 la L/2 sunt coeficienții seriei Fourier,

(Limitele de integrare pot fi înlocuite cu orice interval de lungime L, de exemplu, de la 0 la L)

Serii Fourier pe un semiciclu pentru funcții date în intervalul L≠2π.

Pentru substituția u=πx/L, intervalul de la x=0 la x=L corespunde intervalului de la u=0 la u=π. Prin urmare, funcția poate fi extinsă într-o serie numai în termeni de cosinus sau numai în termeni de sinusuri, i.e. în Seria Fourier pe jumătate de ciclu.

Expansiunea în cosinus în intervalul de la 0 la L are forma

Funcție definită pentru toate valorile X numit periodic, dacă există un astfel de număr T (T≠ 0), asta pentru orice valoare X egalitate f(x + T) = f(x). Număr Tîn acest caz este perioada funcției.

Proprietățile funcțiilor periodice:

1) Suma, diferența, produsul și câtul funcțiilor perioadei periodice T este o funcție periodică a perioadei T.

2) Dacă funcţia f(x) are punct T, apoi funcția fax) are punct

Intr-adevar, pentru orice argument X:

(înmulțirea argumentului cu un număr înseamnă strângerea sau întinderea graficului acestei funcții de-a lungul axei OH)

De exemplu, o funcție are o perioadă, perioada unei funcții este

3) Dacă f(x) funcție periodică a perioadei T, atunci oricare două integrale ale acestei funcții sunt egale, luate pe intervalul de lungime T(se presupune că aceste integrale există).

Seria Fourier pentru o funcție cu perioada T= .

O serie trigonometrică este o serie de forma:

sau, pe scurt,

Unde , , , , , … , , , … sunt numere reale, numite coeficienți ai seriei.

Fiecare termen al seriei trigonometrice este o funcție periodică a perioadei (deoarece - are oricare

perioadă, iar perioada () este și, prin urmare, ). Fiecare termen (), cu n= 1,2,3... este o expresie analitică a unei oscilații armonice simple, unde A- amplitudine,

Faza initiala. Având în vedere cele de mai sus, obținem: dacă seria trigonometrică converge pe un segment al lungimii perioadei, atunci converge pe întreaga axă numerică și suma sa este o funcție periodică a perioadei.

Fie seria trigonometrică să convergă uniform pe un segment (și deci pe orice segment) iar suma sa este egală cu . Pentru a determina coeficienții acestei serii, folosim următoarele egalități:

De asemenea, folosim următoarele proprietăți.

1) După cum se știe, suma unei serii compuse din funcții continue convergente uniform pe un anumit segment este ea însăși o funcție continuă pe acest segment. Având în vedere acest lucru, obținem că suma unei serii trigonometrice care converge uniform pe un segment este o funcție continuă pe întreaga axă reală.

2) Convergența uniformă a seriei pe un segment nu va fi încălcată dacă toți termenii seriei sunt înmulțiți cu o funcție care este continuă pe acest segment.

În special, convergența uniformă pe un segment dintr-o serie trigonometrică dată nu va fi încălcată dacă toți membrii seriei sunt înmulțiți cu sau cu .

După condiție

Ca rezultat al integrării termen cu termen a seriei uniform convergente (4.2) și ținând cont de egalitățile de mai sus (4.1) (ortogonalitatea funcțiilor trigonometrice), obținem:

Prin urmare, coeficientul

Înmulțind egalitatea (4.2) cu , integrând această egalitate în intervalul de la până la și, ținând cont de expresiile de mai sus (4.1), obținem:

Prin urmare, coeficientul

În mod similar, înmulțind egalitatea (4.2) cu și integrând-o în limitele de la la , luând în considerare egalitățile (4.1), avem:

Prin urmare, coeficientul

Astfel, se obțin următoarele expresii pentru coeficienții seriei Fourier:

Criterii suficiente pentru extinderea unei funcții într-o serie Fourier. Amintiți-vă că ideea X o întrerupere de funcție f(x) se numește punct de discontinuitate de primul fel dacă există limite finite la dreapta și la stânga funcției f(x)în vecinătatea punctului.

Limită pe dreapta

Limită din stânga.

Teorema (Dirichlet). Dacă funcţia f(x) are o perioadă și este continuă pe segment sau are un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel și, în plus, segmentul poate fi împărțit într-un număr finit de segmente astfel încât în ​​interiorul fiecăruia dintre ele f(x) este monotonă, apoi seria Fourier pentru funcție f(x) converge pentru toate valorile X. Mai mult, în punctele de continuitate a funcției f(x) suma sa este f(x), și la punctele de discontinuitate ale funcției f(x) suma sa este , i.e. media aritmetică a valorilor limită din stânga și dreapta. În plus, seria Fourier pentru funcția f(x) converge uniform pe orice segment care, impreuna cu capetele sale, apartine intervalului de continuitate al functiei f(x).

Exemplu: extinde funcția într-o serie Fourier

Satisfacerea conditiei.

Soluţie. Funcţie f(x) satisface condițiile de expansiune Fourier, deci putem scrie:

În conformitate cu formulele (4.3), se pot obține următoarele valori ale coeficienților seriei Fourier:

La calcularea coeficienților seriei Fourier s-a folosit formula „integrare pe părți”.

Prin urmare

Serii Fourier pentru funcții pare și impare cu perioada T = .

Folosim următoarea proprietate a integralei peste o simetrică în raport cu x=0 interval:

În cazul în care un f(x)- functie impara,

dacă f(x) este o funcție uniformă.

Rețineți că produsul a două funcții pare sau a două funcții impare este o funcție pară, iar produsul dintre o funcție pare și o funcție impară este o funcție impară. Lasă acum f(x)- chiar functie periodica cu punct , care satisface condiţiile expansiunii într-o serie Fourier. Apoi, folosind proprietatea de mai sus a integralelor, obținem:

Astfel, seria Fourier pentru o funcție pare conține numai funcții pare - cosinus și se scrie după cum urmează:

și coeficienții bn = 0.

Argumentând în mod similar, obținem că dacă f(x) - o funcție periodică impară care satisface condițiile de expansiune într-o serie Fourier, atunci, prin urmare, seria Fourier pentru o funcție impară conține numai funcții impare - sinusuri și se scrie după cum urmează:

în care an=0 la n=0, 1,…

Exemplu: extinde într-o serie Fourier o funcție periodică

Deoarece funcția impară dată f(x) satisface condițiile de expansiune Fourier, atunci

sau, care este la fel,

Și seria Fourier pentru această funcție f(x) se poate scrie asa:

Serii Fourier pentru funcții de orice perioadă T=2 l.

Lăsa f(x)- funcţia periodică a oricărei perioade T=2l(l- semiperioada), pe bucăți-neted sau pe bucăți-monoton pe interval [ -ll]. Presupunând x=la, obțineți funcția gras) argument t, a cărui perioadă este . Să alegem A astfel încât perioada funcţiei gras) a fost egal cu , i.e. T = 2l

Soluţie. Funcţie f(x)- impar, îndeplinind condițiile expansiunii într-o serie Fourier, așadar, pe baza formulelor (4.12) și (4.13), avem:

(la calcularea integralei s-a folosit formula „integrare pe părți”).

Extinderea seriei Fourier a funcțiilor pare și impare extinderea unei funcții dată pe un segment într-o serie în termeni de sinusuri sau cosinus Seria Fourier pentru o funcție cu o perioadă arbitrară Reprezentare complexă a seriei Fourier Seria Fourier în sistemele generale ortogonale de funcții Seria Fourier într-un sistem ortogonal Proprietatea minimă a coeficienților Fourier Inegalitatea lui Bessel Egalitate Parseval Sisteme închise Completitudinea și caracterul de închidere a sistemelor

Expansiunea seriei Fourier a funcțiilor pare și impare Funcția f(x), definită pe segmentul \-1, unde I > 0, se numește chiar dacă Graficul funcției pare este simetrică față de axa y. Funcția f(x) definită pe segmentul J, unde I > 0, se numește impar dacă Graficul funcției impare este simetric față de origine. Exemplu. a) Funcția este pară pe segmentul |-jt, jt), deoarece pentru toate x e b) Funcția este impară, deoarece extinderea seriei Fourier a funcțiilor pare și impare este extinderea unei funcții dată pe segment într-o serie de sinusuri sau cosinusuri Serii Fourier pentru o funcție cu o perioadă arbitrară Notarea complexă a seriei Fourier Seria Fourier în general sisteme ortogonale de funcții Seria Fourier într-un sistem ortogonal Proprietatea minimă a coeficienților Fourier Inegalitatea Bessel Egalitate parseval Sisteme închise Completitudinea și închiderea sistemelor c) Funcția f(x)=x2-x, unde nu aparține nici funcțiilor pare, nici impare, deoarece Fie funcția f(x) care îndeplinește condițiile teoremei 1 să fie pară pe segmentul x|. Atunci pentru toti i.e. /(g) cos nx este o funcție pară, iar f(x)sinnx este una impară. Prin urmare, coeficienții Fourier ai unei funcții pare /(x) vor fi egali.De aceea, seria Fourier a unei funcții pare are forma f(x) sin nx este o funcție pară. Prin urmare, vom avea. Astfel, seria Fourier a unei funcții impare are forma Aplicând integrarea prin părți de două ori, obținem că. Prin urmare, seria Fourier a acestei funcții arată astfel: sau, în formă extinsă, Această egalitate este valabilă pentru orice x €, deoarece în punctele x = ±ir suma seria coincide cu valorile funcției f(x) = x2, deoarece graficele funcției f(x) = x și sumele seriei rezultate sunt date în fig. Cometariu. Această serie Fourier vă permite să găsiți suma uneia dintre seriile numerice convergente, și anume, pentru x \u003d 0, obținem că Funcția /(x) îndeplinește condițiile teoremei 1, prin urmare poate fi extinsă într-o serie Fourier, care, datorită neobișnuității acestei funcții, va avea forma integrând pe părți, găsim coeficienții Fourier. Prin urmare, Fourier serie a acestei funcții are forma Această egalitate este valabilă pentru toate x  puncte x - ±tg suma seriei Fourier nu coincide cu valorile funcției / (x) = x, deoarece este egală cu În afara segmentul [- *, n-] suma seriei este o continuare periodică a funcției / (x) \u003d x; graficul său este prezentat în fig. 6. § 6. Extinderea unei funcţii dată pe un interval într-o serie în termeni de sinusuri sau cosinusuri Fie dată o funcţie monotonă pe bucăţi mărginită / pe un interval . Valorile acestei funcții pe intervalul 0| poate fi definită în diferite moduri. De exemplu, este posibil să se definească funcția / pe segmentul mc] în așa fel încât /. În acest caz se spune că) „se extinde până la segmentul 0] în mod uniform”; seria lui Fourier va conține numai cosinusuri. Dacă, totuși, funcția /(x) este definită pe segmentul [-x, mc] astfel încât /(, atunci se obține o funcție impară, și atunci spunem că / "este extins la segmentul [-*, 0 ] într-un mod ciudat"; în acest caz, seria Fourier va conține doar sinusuri. Deci, fiecare funcție monotonă pe bucăți mărginită /(x), definită pe segmentul , poate fi extinsă într-o serie Fourier atât în ​​termeni de sinusuri și cosinus.Exemplu 1. Extindeți funcția într-o serie Fourier: a) prin cosinus; b) de-a lungul sinurilor. M Această funcție, cu extensiile sale pare și impare la segmentul |-x, 0) va fi mărginită și monotonă pe bucăți. a) Continuăm / (z) în segmentul 0) a) Continuăm j \ x) în segmentul (-m, 0 | într-un mod uniform (Fig. 7), apoi seria lui Fourier i va avea forma P \u003d 1 unde coeficienții Fourier sunt egali, respectiv pentru Prin urmare, b) Să continuăm /(z) în segmentul [-x,0] într-un mod ciudat (Fig. 8). Apoi seria lui Fourier §7. Seria Fourier pentru o funcție cu o perioadă arbitrară Fie ca funcția fix) să fie periodică cu o perioadă de 21,1 ^ 0. Pentru a o extinde într-o serie Fourier pe intervalul în care I > 0, facem o schimbare de variabilă setând x = jt . Atunci funcția F(t) = / ^tj va fi o funcție periodică a argumentului t cu o perioadă și poate fi extinsă pe un segment dintr-o serie Fourier Revenind la variabila x, adică stabilind, obținem , rămânem în forță și pentru funcțiile periodice cu o perioadă arbitrară 21. În special, rămâne valabil și criteriul suficient pentru extinderea unei funcții într-o serie Fourier. Exemplul 1. Extindeți într-o serie Fourier o funcție periodică cu o perioadă de 21, dată pe segmentul [-/,/] prin formula (Fig. 9). Deoarece această funcție este pară, seria sa Fourier are forma Înlocuind valorile găsite ale coeficienților Fourier în seria Fourier, obținem Notă un lucru proprietate importantă funcții periodice. Teorema 5. Dacă o funcție are o perioadă T și este integrabilă, atunci pentru orice număr a egalitatea m este valabilă. adică integrala pe un segment a cărui lungime este egală cu perioada T are aceeași valoare indiferent de poziția acestui segment pe axa reală. Într-adevăr, facem o schimbare de variabilă în integrala a doua, presupunând Aceasta dă și prin urmare, Geometric, această proprietate înseamnă că în cazul zonei umbrite în Fig. 10 zone sunt egale între ele. În special, pentru o funcție f(x) cu perioadă, obținem la expansiunea seriei Fourier a funcțiilor pare și impare extinderea unei funcții dată pe un segment într-o serie în termeni de sinusuri sau cosinusuri seria Fourier pentru o funcție cu o perioadă arbitrară Reprezentare complexă a seriei Fourier Seria Fourier în funcții generale ale sistemelor ortogonale Seria Fourier într-un sistem ortogonal Proprietatea minimă a coeficienților Fourier Inegalitatea Bessel Egalitate parseval Sisteme închise Completitudinea și închiderea sistemelor pe care coeficienții Fourier ai unei funcții periodice f(x) cu o perioadă de 21 poate fi calculată folosind formulele în care a este un număr real arbitrar (de observat că funcțiile cos - și sin au perioada de 2/). Exemplul 3. Extindeți într-o serie Fourier o funcție dată pe un interval cu o perioadă de 2x (Fig. 11). 4 Aflați coeficienții Fourier ai acestei funcții. Introducând formulele constatăm că pentru Prin urmare, seria Fourier va arăta astfel: În punctul x = jt (punct de discontinuitate de primul fel) avem §8. Notarea complexă a seriei Fourier În această secțiune sunt folosite câteva elemente de analiză complexă (vezi Capitolul XXX, unde toate operațiile efectuate aici cu expresii complexe sunt strict justificate). Fie funcția f(x) să satisfacă condiții suficiente pentru extinderea într-o serie Fourier. Apoi pe segmentul x] poate fi reprezentat printr-o serie de forma Folosind formulele lui Euler Înlocuind aceste expresii în seria (1) în loc de cos nx și sin xy vom avea Introducem următoarea notație Apoi seria (2) ia forma Astfel, seria Fourier (1) este prezentată sub forma complexă (3). Să găsim expresii pentru coeficienți în termeni de integrale. Avem În mod similar, găsim În sfârșit, formulele pentru с„, с_п și с pot fi scrise după cum urmează: . . Coeficienții cn se numesc coeficienții Fourier complecși ai funcției Pentru o funcție periodică cu perioadă), forma complexă a seriei Fourier ia forma valori w dacă există limite Exemplu. Extindeți funcția de perioadă într-o serie Fourier complexă Această funcție satisface condiții suficiente pentru extinderea într-o serie Fourier. Fie Găsiți coeficienții Fourier complecși ai acestei funcții. Avem ca impar pentru n par sau, pe scurt. Inlocuind valorile), obtinem in sfarsit Notam ca aceasta serie poate fi scrisa si astfel: Seria Fourier in sistemele generale ortogonale de functii 9.1. Sisteme ortogonale de funcții Se notează prin mulțimea tuturor funcțiilor (reale) care sunt definite în pătrat și integrabile pe intervalul [a, 6], adică acelea pentru care există o integrală. În special, toate funcțiile f(x) care sunt continue pe intervalul [a , 6], aparțin lui 6], iar valorile integralelor lor Lebesgue coincid cu valorile integralelor Riemann. Definiție. Sistemul de funcții, unde, se numește ortogonal pe intervalul [a, b\, dacă Condiția (1) presupune, în special, că niciuna dintre funcții nu este identic egală cu zero. Integrala este înțeleasă în sensul lui Lebesgue. iar cantitatea o numim norma unei functii.Daca intr-un sistem ortogonal pentru orice n avem, atunci sistemul de functii se numeste ortonormal. Dacă sistemul (y>n(x)) este ortogonal, atunci sistemul Exemplul 1. Un sistem trigonometric este ortogonal pe un segment. Sistemul de funcții este un sistem ortonormal de funcții pe, Exemplul 2. Sistemul cosinus și sistemul sinus este ortonormal. Să introducem notația că sunt ortogonale pe segment (0, f|, dar nu ortonormale (pentru I ↦ 2). Deoarece normele lor sunt COS, funcțiile formează un sistem ortonormal de funcții pe un segment. Să arătăm, de exemplu, că polinoamele Legendre sunt ortogonale Fie m > n. În acest caz, integrând de n ori pe părți, găsim, deoarece pentru funcția t/m = (z2 - I)m, toate derivatele de până la ordinul m - I inclusiv dispar la capetele segmentului [-1,1). Definiție. Sistemul de funcții (pn(x)) se numește ortogonal pe intervalul (a, b) prin depășire p(x) dacă: 1) există integrale pentru tot n = 1,2,... Aici se presupune că funcția de pondere p(x) este definită și pozitivă peste tot pe intervalul (a, b), cu posibila excepție a unui număr finit de puncte în care p(x) poate să dispară. După efectuarea diferențierii în formula (3), găsim. Se poate arăta că polinoamele Chebyshev-Hermite sunt ortogonale pe intervalul Exemplul 4. Sistemul de funcții Bessel (jL(pix)^ este ortogonal pe intervalul de zerouri ale funcției Bessel Exemplul 5. Luați în considerare polinoamele Chebyshev-Hermite, care poate fi definit folosind egalitatea. Seria Fourier într-un sistem ortogonal Fie un sistem ortogonal de funcții în intervalul (a, 6) și seria (cj = const) converge pe acest interval către funcția f(x): Înmulțind ambele părți ale ultimei egalități cu - fix) și integrând peste x de la a până la 6, datorită ortogonalității sistemului, obținem că Această operație are, în general, un caracter pur formal. Totuși, în unele cazuri, de exemplu, când seria (4) converge uniform, toate funcțiile sunt continue și intervalul (a, 6) este finit, această operație este legală. Dar interpretarea formală este cea care este importantă pentru noi acum. Deci, să presupunem că este dată o funcție. Formăm numerele c * după formula (5) și scriem. Seria din dreapta se numește seria Fourier a funcției f (x) față de sistemul (^n (n)) - Numerele Cn sunt numiți coeficienții Fourier ai funcției f (x) în acest sistem. Semnul ~ din formula (6) înseamnă doar că numerele Cn sunt legate de funcția f(x) prin formula (5) (în acest caz, nu se presupune că seria din dreapta converge deloc, cu atât mai puțin converge). la funcția f(x)). Prin urmare, se pune firesc întrebarea: care sunt proprietățile acestei serii? În ce sens „reprezintă” funcția f(x)? 9.3. Definiția convergenței medii. O secvență converge către un element ] în medie dacă norma este în spațiu Teorema 6. Dacă o secvență ) converge uniform, atunci converge și ea în medie. M Fie ca șirul ()) să convergă uniform pe segmentul [a, b] către funcția f(x). Aceasta înseamnă că pentru orice, pentru toți n suficient de mare, avem Prin urmare, din care rezultă afirmația noastră. Reversul nu este adevărat: secvența () poate converge în medie către /(x), dar nu poate fi convergentă uniform. Exemplu. Să considerăm șirul nx Este ușor de observat că Dar această convergență nu este uniformă: există e, de exemplu, astfel încât oricât de mare este n, pe segmentul serie Fourier pentru o funcție cu o perioadă arbitrară Reprezentare complexă a seria Fourier Seria Fourier în sistemele ortogonale generale de funcții Seria Fourier într-un sistem ortogonal Proprietatea minimă a coeficienților Fourier Inegalitatea Bessel Egalitate parseval Sisteme închise Completitudinea și închiderea sistemelor și fie ) în sistemul ortonormal b Considerăm o combinație liniară în care n ^ 1 este un număr întreg fix și găsiți valorile constantelor pentru care integrala își ia valoarea minimă. Să o scriem mai detaliat. Integrând termen cu termen, datorită ortonormalității sistemului, obținem Primii doi termeni din partea dreaptă a egalității (7) sunt independenți, iar al treilea termen este nenegativ. Prin urmare, integrala (*) ia o valoare minimă la ak = sk. Integrala se numește aproximarea rădăcină-pătrată medie a funcției f(x) ca o combinație liniară a lui Tn(x). Astfel, aproximarea rădăcină pătrată medie a funcției /\ ia o valoare minimă când. când Tn(x) este a 71-a sumă parțială a seriei Fourier a funcției /(x) din sistem (. Setarea ak = ck, din (7) obținem Egalitatea (9) se numește identitatea Bessel. Deoarece stânga sa latura este nenegativă, atunci din aceasta rezultă inegalitatea lui Bessel Deoarece i este arbitrară aici, inegalitatea lui Bessel poate fi reprezentată într-o formă întărită, adică pentru orice funcție /, seria coeficienților Fourier pătrați ai acestei funcții într-un sistem ortonormal ) converge . Deoarece sistemul este ortonormal pe segmentul [-x, r], atunci inegalitatea (10) tradusă în notația uzuală a seriei trigonometrice Fourier dă relația do valabilă pentru orice funcție f(x) cu un pătrat integrabil. Dacă f2(x) este integrabil, atunci datorită conditie necesara convergența seriei pe partea stângă a inegalității (11), obținem că. Egalitatea lui Parseval Pentru unele sisteme (^n(x)) semnul inegalității din formula (10) poate fi înlocuit (pentru toate funcțiile f(x) 6 x) cu un semn egal. Egalitatea rezultată se numește egalitatea Parseval-Steklov (condiția de completitudine). Identitatea Bessel (9) ne permite să scriem condiția (12) într-o formă echivalentă prin norma spațială 6]. Definiție. Un sistem ortonormal ( se numește complet în b2[ay b] dacă orice funcție poate fi aproximată cu orice precizie în medie printr-o combinație liniară a formei cu suficient un numar mare termeni, adică dacă pentru orice funcție f(x) ∈ b2[a, b\ și pentru orice e > 0 există numar natural nq și numerele a\, a2y..., astfel încât Nu Raționamentul de mai sus implică Teorema 7. Dacă, prin ortonormalizare, sistemul ) este complet în spațiu, seria Fourier a oricărei funcții / din acest sistem converge către f(x) în medie, adică după norma Se poate demonstra că sistemul trigonometric este complet în spațiu.Aceasta implică afirmația. Teorema 8. Dacă o funcție /0 seria sa trigonometrică Fourier converge către ea în medie. 9.5. sisteme închise. Completitudinea si inchiderea sistemelor Definitie. Un sistem ortonormal de functii \, se numeste inchis daca in spatiul Li\a, b) nu exista o functie nenula ortogonala tuturor functiilor.In spatiul L2\a, b\ conceptele de completitudine si inchidere a sistemelor ortonormale coincide. Exerciții 1. Extindeți funcția din seria Fourier în intervalul (-i-, x) 2. Extindeți funcția din seria Fourier în intervalul (-r, r) 3. Extindeți funcția din seria Fourier în interval (-r, r) 4. Extindeți într-o serie Fourier în intervalul (-jt, r) funcția 5. Extindeți într-o serie Fourier în intervalul (-r, r) funcția f (x) \u003d x + x . 6. Extindeți într-o serie Fourier în intervalul (-jt, r) funcția n 7. Extindeți într-o serie Fourier în intervalul (-r, x) funcția / (x) \u003d sin2 x. 8. Extindeți într-o serie Fourier în intervalul (-m, jt) funcția f(x) = y 9. Extindeți într-o serie Fourier în intervalul (-mm, -k) funcția f(x) = | sinx|. 10. Extindeți într-o serie Fourier în intervalul (-x-, r) funcția f(x) = g. 11. Extindeți într-o serie Fourier în intervalul (-r, r) funcția f (x) \u003d sin §. 12. Extindeți într-o serie Fourier funcția f (x) = n -2x, dată în intervalul (0, x), continuând-o în intervalul (-x, 0): a) în mod par; b) într-un mod ciudat. 13. Extindeți într-o serie Fourier în termeni de sinus funcția / (x) \u003d x2, dată în intervalul (0, x). 14. Extindeți într-o serie Fourier funcția / (x) \u003d 3-x, dată în intervalul (-2,2). 15. Extindeți într-o serie Fourier funcția f (x) \u003d |x |, dată în intervalul (-1,1). 16. Extindeți într-o serie Fourier în termeni de sinusuri funcția f (x) \u003d 2x, specificată în intervalul (0,1).