ხაზიდან ხაზამდე მანძილის კოორდინატების მეთოდი. მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე სივრცეში - თეორია, მაგალითები, ამოხსნები. წერტილის პროექტორის კოორდინატები და მანძილი

სიბრტყიდან წერტილიდან სწორ ხაზამდე მანძილის გაანგარიშების ფორმულა

თუ მოცემულია სწორი ხაზის Ax + By + C \u003d 0 განტოლება, მაშინ მანძილი M წერტილიდან (M x, M y) სწორ ხაზამდე შეგიძლიათ იხილოთ შემდეგი ფორმულის გამოყენებით

ამოცანის მაგალითები თვითმფრინავზე წერტილიდან სწორ ხაზამდე დაშორების გამოსათვლელად

მაგალითი 1.

იპოვნეთ მანძილი 3x + 4y ხაზს - 6 \u003d 0 და M წერტილს (-1, 3).

გადაწყვეტილება. ფორმულაში შეცვალეთ წრფის კოეფიციენტები და წერტილის კოორდინატები

პასუხი: მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე არის 0,6.

ვექტორის პერპენდიკულარულ წერტილებზე გამავალი სიბრტყის განტოლება სიბრტყის ზოგადი განტოლება

მოცემული სიბრტყის პერპენდიკულარულად ნულოვანი ვექტორი ეწოდება ნორმალური ვექტორი (ან, მოკლედ, ნორმალური ) ამ თვითმფრინავისთვის.

მიეცით საკოორდინატო სივრცე (მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში):

ა) წერტილი ;

ბ) არა ნულოვანი ვექტორი (სურათი 4.8, ა).

საჭიროა წერტილის გავლით სიბრტყის განტოლების შედგენა ვექტორის პერპენდიკულარული მტკიცების დასასრული.

ახლა განვიხილოთ წრფის სხვადასხვა ტიპის განტოლებები სიბრტყეზე.

1) სიბრტყის ზოგადი განტოლებაპ .

ეს განტოლების წარმოებიდან გამომდინარეობს, რომ ერთდროულად ა, ბ და გ არ უდრის 0-ს (ახსენით რატომ).

წერტილი თვითმფრინავს ეკუთვნის პ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ სიბრტყის განტოლებას. შანსებზეა დამოკიდებული ა, ბ, გ და დთვითმფრინავი პ იკავებს ამა თუ იმ პოზიციას:

- თვითმფრინავი გადის კოორდინატების სისტემის სათავეში, - თვითმფრინავი არ გადის საკოორდინატო სისტემის წარმოშობას,

- თვითმფრინავი ღერძის პარალელურია X,

X,

- თვითმფრინავი ღერძის პარალელურია ი,

- თვითმფრინავი არ არის ღერძის პარალელური ი,

- თვითმფრინავი ღერძის პარალელურია ზ,

- თვითმფრინავი არ არის ღერძის პარალელური ზ.

თავად დაამტკიცეთ ეს განცხადებები.

განტოლება (6) ადვილად მიიღება განტოლებისგან (5). მართლაც, მოდით წერტილი თვითმფრინავში იყოს პ... შემდეგ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ განტოლებას (5) განტოლების გამოკლება (5) და ტერმინების დაჯგუფება, მივიღებთ (6) განტოლებას. ახლა განვიხილოთ ორი ვექტორი შესაბამისად კოორდინატებით. (6) ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ მათი სკალარული პროდუქტი ნულის ტოლია. ამიტომ, ვექტორი არის ვექტორის პერპენდიკულარული. ბოლო ვექტორის დასაწყისი და დასასრული შესაბამისად იმ წერტილებშია, რომლებიც თვითმფრინავს მიეკუთვნება პ... ამიტომ, ვექტორი პერპენდიკულარულია სიბრტყეზე პ... მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე პ, რომლის ზოგადი განტოლებაა ფორმულით განსაზღვრული ამ ფორმულის მტკიცებულება სრულიად ანალოგიურია ფორმულის მტკიცებულებას წერტილსა და ხაზს შორის მანძილზე (იხ. ნახ. 2).
ფიგურა: 2. თვითმფრინავსა და სწორ ხაზს შორის მანძილის ფორმულის გამოსაყვანად.

მართლაც, მანძილი დ სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის არის

სად არის წერტილი თვითმფრინავში. აქედან გამომდინარე, როგორც ლექცია No11- ში, მიიღება ზემოთ მოცემული ფორმულა. ორი სიბრტყე პარალელურია, თუ მათი ნორმალური ვექტორები პარალელურია. აქედან ვიღებთ ორი სიბრტყის პარალელიზმის პირობას - სიბრტყეების ზოგადი განტოლებების კოეფიციენტები. ორი სიბრტყე პერპენდიკულარულია, თუ მათი ნორმალური ვექტორები პერპენდიკულარულია, აქედან გამომდინარე, ვიღებთ ორი სიბრტყის პერპენდიკულარულობის პირობას, თუ მათი ზოგადი განტოლებები ცნობილია

კუთხე ვ ორ სიბრტყეს შორის ტოლია მათი ნორმალური ვექტორების კუთხე (იხ. სურათი 3) და, შესაბამისად, მისი გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულით
კუთხის განსაზღვრა სიბრტყეებს შორის.

(11)

მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე და მისი პოვნის გზები

მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავი - პერპენდიკულარის სიგრძე დაეშვა წერტილიდან ამ სიბრტყეზე. მინიმუმ ორი გზა არსებობს წერტილიდან თვითმფრინავამდე მანძილის დასადგენად: გეომეტრიული და ალგებრული.

გეომეტრიული მეთოდით პირველ რიგში უნდა გესმოდეთ, თუ როგორ მდებარეობს პერპენდიკულური წერტილიდან სიბრტყემდე: იქნებ იგი მდგომარეობს რაიმე მოსახერხებელ სიბრტყეში, არის სიმაღლე რომელიმეს მოსახერხებელ (ან არც თუ ისე) სამკუთხედში, ან იქნებ ეს პერპენდიკულარი ზოგადად არის სიმაღლე რომელიმე პირამიდაში.

ამ პირველი და ყველაზე რთული ეტაპის შემდეგ, ამოცანა იშლება რამდენიმე სპეციფიკურ პლანმეტრიულ ამოცანად (შესაძლოა სხვადასხვა სიბრტყეებში).

ალგებრული გზით იმისათვის, რომ იპოვოთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე, უნდა მიუთითოთ საკოორდინატო სისტემა, იპოვოთ წერტილის კოორდინატები და სიბრტყის განტოლება და შემდეგ გამოიყენოთ წერტილიდან თვითმფრინავამდე დაშორების ფორმულა.

განვიხილოთ გაანალიზებული მეთოდების გამოყენება სიბრტყეზე მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე მანძილის დასადგენად, მაგალითის ამოხსნისას.

იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე:

პირველ რიგში, მოდით გადავწყვიტოთ პრობლემა პირველი გზით.

პრობლემის პირობებში მოცემულია ფორმის a სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება:

მოდით ვიპოვოთ b სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება, რომელიც გადის მოცემული წერტილით სწორი ხაზის პერპენდიკულარულად:

მას შემდეგ, რაც b ხაზი პერპენდიკულარულია a წრფეზე, b ხაზის მიმართულების ვექტორი მოცემული ხაზის ნორმალური ვექტორია:

ანუ b სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორს აქვს კოორდინატები. ახლა ჩვენ შეგვიძლია ჩავწეროთ b სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება სიბრტყეზე, ვინაიდან ვიცით M 1 წერტილის კოორდინატები, რომლითაც გაივლის b ხაზი და b ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატები:

B სწორი ხაზის მიღებული კანონიკური განტოლებიდან გადავდივართ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებაზე:

ახლა ჩვენ ვიპოვით a და b სწორი ხაზების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატებს (აღვნიშნავთ მას H 1) განტოლებების სისტემის ამოხსნით, რომლებიც შედგება a და b სწორი ხაზების ზოგადი განტოლებებისგან (საჭიროების შემთხვევაში, იხილეთ სტატიების ამოხსნის სისტემები ხაზოვანი განტოლებები):

ამრიგად, H 1 წერტილს აქვს კოორდინატები.

რჩება საჭირო მანძილის გამოთვლა M 1 წერტილიდან a ხაზამდე, როგორც მანძილი წერტილებს შორის:

პრობლემის გადაჭრის მეორე გზა.

ვიღებთ მოცემული წრფის ნორმალურ განტოლებას. ამისათვის ჩვენ გამოვთვლით ნორმალიზაციის ფაქტორის მნიშვნელობას და გავამრავლებთ სწორი ხაზის თავდაპირველი ზოგადი განტოლების ორივე მხარეს:

(ამის შესახებ ვისაუბრეთ სექციის სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების ნორმალურ ფორმაზე შემცირებაზე).

ნორმალიზების ფაქტორია

მაშინ სწორი ხაზის ნორმალურ განტოლებას აქვს ფორმა:

ახლა ჩვენ ვიღებთ გამოხატულებას მარცხენა მხარეს, სწორი ხაზის ნორმალური განტოლების შედეგად და გამოვთვლით მის მნიშვნელობას შემდეგზე:

საჭირო მანძილი მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე:

თანაბრად აბსოლუტური მნიშვნელობა მიღებული მნიშვნელობა, ანუ ხუთი ().

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე:

ცხადია, რომ თვითმფრინავზე წერტილიდან სწორ ხაზამდე მანძილის პოვნის მეთოდის უპირატესობა, რომელიც ეფუძნება სწორი ხაზის ნორმალური განტოლების გამოყენებას, შედარებით მცირე რაოდენობის გამოთვლითი სამუშაოა. თავის მხრივ, წერტილიდან სწორ ხაზამდე მანძილის პოვნის პირველი მეთოდი ინტუიციურია და თანმიმდევრული და ლოგიკურია.

მართკუთხა კოორდინატების სისტემა Oxy ფიქსირდება სიბრტყეზე, მითითებულია წერტილი და სწორი ხაზი:

იპოვნეთ მანძილი მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე.

პირველი გზა.

თქვენ შეგიძლიათ გადახვიდეთ წრფივი სწორი ხაზის მოცემული განტოლებიდან ამ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებაში და იმოქმედოთ ისე, როგორც ზემოთ მოცემულ მაგალითში.

მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ სხვაგვარად გააკეთოთ.

ჩვენ ვიცით, რომ პერპენდიკულარული ხაზების ფერდობების პროდუქტი არის 1 (იხილეთ სტატია პერპენდიკულარული ხაზები, პერპენდიკულარული ხაზები). ამიტომ, სწორი ხაზის დახრა, რომელიც მოცემული სწორი ხაზის პერპენდიკულარულია:

ტოლია 2. მაშინ მოცემული წრფის პერპენდიკულარული წრფის განტოლებას და წერტილის გავლით აქვს ფორმა:

ახლა მოდით ვიპოვოთ H 1 წერტილის კოორდინატები - ხაზების გადაკვეთის წერტილები:

ამრიგად, საჭირო მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე:

ტოლია მანძილს შორის წერტილებს და:

მეორე გზა.

ჩვენ წრფივი სწორი ხაზის მოცემული განტოლებიდან გადავდივართ ამ სწორი ხაზის ნორმალურ განტოლებაზე:

ნორმალიზების ფაქტორია:

ამიტომ მოცემული ხაზის ნორმალურ განტოლებას აქვს შემდეგი ფორმა:

ახლა ჩვენ გამოვთვლით საჭირო მანძილს წერტილიდან ხაზამდე:

გამოთვალეთ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე:

და სწორი ხაზი:

მივიღებთ წრფის ნორმალურ განტოლებას:

მოდით გამოვთვალოთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე:

სწორი ხაზის განტოლების ნორმალიზების ფაქტორი:

ტოლია 1. მაშინ ამ ხაზის ნორმალურ განტოლებას აქვს ფორმა:

ახლა შეგვიძლია გამოვთვალოთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე:

თანაბარია.

პასუხი: და 5.

დასასრულს, ჩვენ ცალკე განვიხილავთ, თუ როგორ ხდება მანძილი თვითმფრინავის მოცემული წერტილიდან კოორდინატ ხაზებამდე Ox და Oy.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში Oxy, კოორდინატთა წრფე Oy მოცემულია x \u003d 0 წრფის არასრული ზოგადი განტოლებით, ხოლო კოორდინატების ხაზი Ox მოცემულია y \u003d 0 განტოლებით. ეს განტოლებებია ნორმალური განტოლებები ხაზები Oy და Ox, ამიტომ მანძილი წერტილიდან ამ ხაზებამდე გამოითვლება ფორმულებით:

შესაბამისად.

სურათი 5

მართკუთხა კოორდინატების სისტემა Oxy შემოდის სიბრტყეზე. იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან საკოორდინატო ხაზებამდე.

მოცემული წერტილიდან M 1 მანძილი კოორდინატ ხაზამდე Ox (ის მოცემულია y \u003d 0 განტოლებით) უდრის M 1 წერტილის კოორდინატის მოდულს, ანუ.

მანძილი მოცემული წერტილიდან M 1 კოორდინატ ხაზამდე Oy (ის შეესაბამება x \u003d 0 განტოლებას) უდრის M 1 წერტილის აბსცისის აბსოლუტურ მნიშვნელობას:.

პასუხი: მანძილი М 1 წერტილიდან Ox ხაზამდე არის 6, ხოლო მანძილი მოცემული წერტილიდან Oy კოორდინაციის ხაზამდე ტოლია.

მოდით მართკუთხა კოორდინატების სისტემა დაფიქსირდეს სამგანზომილებიან სივრცეში ოქსიზი, მოცემული წერტილი, სწორი ა და საჭიროა წერტილიდან მანძილის პოვნა და პირდაპირ ა.

ჩვენ ვაჩვენებთ სივრცეში წერტილიდან სწორ ხაზამდე მანძილის გამოსათვლელად. პირველ შემთხვევაში, წერტილის დაშორების პოვნა მ 1 პირდაპირ ა მცირდება წერტილიდან მანძილის პოვნით მ 1 წერტილამდე ჰ 1 სად ჰ 1 - პერპენდიკულურის ფუძე დაეცა წერტილიდან მ 1 სწორ ხაზზე ა... მეორე შემთხვევაში, მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე იპოვნება, როგორც პარალელოგრამის სიმაღლე.

მოდით დავიწყოთ.

სივრცეში წერტილამდე ხაზამდე მანძილის პოვნის პირველი გზა.

რადგან განმარტებით მანძილი წერტილამდე მ 1 პირდაპირ ა არის პერპენდიკულარული სიგრძე მ 1 ჰ 1 შემდეგ დაადგინეთ წერტილის კოორდინატები ჰ 1 , ჩვენ შევძლებთ გამოვთვალოთ საჭირო მანძილი, როგორც მანძილი წერტილებს შორის და ფორმულის მიხედვით.

ამრიგად, პრობლემა მცირდება წერტილიდან აგებული პერპენდიკულარის ფუძის კოორდინატების მოძიებით მ 1 პირდაპირ ა... ეს საკმაოდ მარტივია: წერტილი ჰ 1 არის სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილი ა წერტილში გამავალი თვითმფრინავით მ 1 სწორი ხაზის პერპენდიკულარული ა.

აქედან, წერტილიდან მანძილის განსაზღვრის ალგორითმი პირდაპირა კოსმოსშიეს არის:

მეორე მეთოდი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე a სივრცეში.

მას შემდეგ, რაც პრობლემის დებულებაში მოცემულია სწორი ხაზი ა, მაშინ შეგვიძლია განვსაზღვროთ მისი მიმართულების ვექტორი და გარკვეული წერტილის კოორდინატები მ 3 სწორ ხაზზე იწვა ა... შემდეგ წერტილების კოორდინატები და შეგვიძლია გამოვთვალოთ ვექტორის კოორდინატები: (საჭიროების შემთხვევაში, მიმართეთ ვექტორის სტატიების კოორდინატებს მისი საწყისი და ბოლო წერტილების კოორდინატების საშუალებით).

განათავსეთ ვექტორები და წერტილიდან მ 3 და ააშენეთ პარალელოგრამი მათზე. ამ პარალელოგრამში ვხატავთ სიმაღლეს მ 1 ჰ 1 .

აშკარად სიმაღლე მ 1 ჰ 1 აშენებული პარალელოგრამის ტოლი არის საჭირო მანძილი წერტილიდან მ 1 პირდაპირ ა... ჩვენ ვიპოვით მას.

ერთის მხრივ, პარალელოგრამის ფართობი (ჩვენ აღვნიშნავთ მას ს) გვხვდება ვექტორების ვექტორული პროდუქტის თვალსაზრისით და ფორმულით ... მეორეს მხრივ, პარალელოგრამის ფართობი ტოლია მისი გვერდის სიგრძის პროდუქტის სიმაღლეზე, ანუ სად - ვექტორის სიგრძე განსახილველი პარალელოგრამის გვერდის სიგრძის ტოლი. ამიტომ, მანძილი მოცემული წერტილიდან მ 1 მოცემულ სწორ ხაზამდე ა შეგიძლიათ იპოვოთ თანასწორობიდან როგორც .

Ისე, წერტილიდან მანძილის პოვნა პირდაპირა სივრცეში გჭირდებათ

პრობლემების გადაჭრა მოცემული წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზამდე მანძილზე.

განვიხილოთ მაგალითის გადაწყვეტა.

მაგალითი.

იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან პირდაპირ .

გადაწყვეტილება.

პირველი გზა.

მოდით დავწეროთ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება მ 1 მოცემული სწორი ხაზის პერპენდიკულარული:

იპოვნეთ წერტილის კოორდინატები ჰ 1 - თვითმფრინავის და მოცემული სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილები. ამისათვის ჩვენ ვასრულებთ გადასვლას კანონიკური განტოლებები სწორი ხაზი ორი გადაკვეთის სიბრტყის განტოლებამდე

რის შემდეგაც ჩვენ ამოვხსნით წრფივი განტოლების სისტემას კრამერის მეთოდი:

ამრიგად,

რჩება საჭირო მანძილის გამოანგარიშება წერტილიდან სწორ ხაზამდე, როგორც მანძილს წერტილებს შორის და:.

მეორე გზა.

სწორი წრფის კანონიკურ განტოლებებში წილადების მნიშვნელობებში რიცხვები წარმოადგენენ ამ სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის შესაბამის კოორდინატებს, ანუ - სწორი ხაზის ვექტორის სარეჟისორო ... მოდით გამოვთვალოთ მისი სიგრძე: .

ცხადია, სწორი ხაზი გადის წერტილს , შემდეგ ვექტორი იწყება წერტილში და დასრულდება წერტილი იქ არის ... იპოვნეთ ვექტორების ვექტორული პროდუქტი და :
მაშინ ამ ჯვარედინი პროდუქტის სიგრძეა .

ახლა ჩვენ გვაქვს ყველა მონაცემი ფორმულის გამოსაყენებლად მოცემული წერტილიდან მოცემულ სიბრტყემდე მანძილის გამოსათვლელად: .

პასუხი:

სივრცეში სწორი ხაზების ორმხრივი მოწყობა

ოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოოლოდ ამიტომ, ჩვენ პირველ მონაკვეთზე გადავალთ, იმედი მაქვს, რომ სტატიის ბოლოს შევინარჩუნებ მხიარულ გონებას.

ორი სწორი ხაზის ფარდობითი პოზიცია

შემთხვევა, როდესაც მაყურებელი გუნდთან ერთად მღერის. ორი სწორი ხაზი შეიძლება:

1) მატჩი;

2) იყოს პარალელური :;

3) ან იკვეთება ერთ წერტილზე:.

დახმარება Dummies : გახსოვდეთ გადაკვეთის მათემატიკური ნიშანი, ეს ძალიან გავრცელებული იქნება. აღნიშვნა მიუთითებს იმაზე, რომ სწორი ხაზი სწორ ხაზს კვეთს წერტილზე.

როგორ განვსაზღვროთ ორი სწორი ხაზის ფარდობითი პოზიცია?

დავიწყოთ პირველი შემთხვევით:

ორი სწორი ხაზი ემთხვევა თუ და მხოლოდ მათი შესაბამისი კოეფიციენტები პროპორციულია, ანუ არსებობს ისეთი რიცხვი "ლამბდა", რომ ტოლობები

განვიხილოთ სწორი ხაზები და შევადგინოთ სამი განტოლება შესაბამისი კოეფიციენტებიდან:. თითოეული განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ, შესაბამისად, ეს ხაზები ემთხვევა ერთმანეთს.

მართლაც, თუ განტოლების ყველა კოეფიციენტი გამრავლეთ –1 – ზე (შეცვალეთ ნიშნები) და შეამცირეთ განტოლების ყველა კოეფიციენტი 2 – ით, მიიღებთ იგივე განტოლებას:.

მეორე შემთხვევა, როდესაც ხაზები პარალელურია:

ორი სწორი ხაზი პარალელურია თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი კოეფიციენტები ცვლადებისთვის პროპორციულია: მაგრამ.

მაგალითად, განვიხილოთ ორი ხაზი. ჩვენ ვამოწმებთ შესაბამისი კოეფიციენტების პროპორციულობას ცვლადებისთვის:

ამასთან, ცხადია, რომ.

და მესამე შემთხვევა, როდესაც ხაზები იკვეთება:

ორი სწორი ხაზი იკვეთება მხოლოდ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი კოეფიციენტები ცვლადებისათვის პროპორციული არ არის, ანუ, ლამბდას მნიშვნელობა არ არის, რომ ტოლობები დაკმაყოფილდეს

ასე რომ, სწორი ხაზებისთვის ჩვენ შევადგენთ სისტემას:

პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, და მეორე განტოლებიდან :, სისტემა არათანმიმდევრულია (გამოსავალი არ არის). ამრიგად, ცვლადების კოეფიციენტები არ არის პროპორციული.

დასკვნა: ხაზები იკვეთება

პრაქტიკულ პრობლემებში შეგიძლიათ გამოიყენოთ ახლახან განხილული ამოხსნის სქემა. სხვათა შორის, ის ძალიან ჰგავს ვექტორების კოლინერულობის შემოწმების ალგორითმს, რომელიც გაკვეთილზე განვიხილეთ. ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულების ცნება. ვექტორული საფუძველი... მაგრამ არსებობს უფრო ცივილიზებული შეფუთვა:

მაგალითი 1

გაეცანით სწორი ხაზების ფარდობით პოზიციას:

გადაწყვეტილება სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორების შესწავლის საფუძველზე:

ა) განტოლებებიდან ვხვდებით სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორებს: .

, ასე რომ ვექტორები არ არის ხაზოვანი და ხაზები იკვეთება.

ყოველი შემთხვევისთვის, გზაჯვარედინზე დავდებ ქვას მითითებით:

დანარჩენები გადადი ქვაზე და მიჰყევით პირდაპირ Kashchei the Immortal \u003d)

ბ) იპოვნეთ სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორები:

ხაზებს აქვთ იგივე მიმართულების ვექტორი, რაც ნიშნავს რომ ისინი ან პარალელურია ან ემთხვევა ერთმანეთს. აქ საჭირო არ არის დეტერმინანტის დათვლა.

აშკარაა, რომ უცნობი კოეფიციენტები პროპორციულია, ხოლო.

მოდით გაირკვეს, შეესაბამება თუ არა თანასწორობა:

ამრიგად,

გ) იპოვნეთ სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორები:

მოდით გამოვთვალოთ დეტერმინანტი, რომელიც შედგება ამ ვექტორების კოორდინატებისგან:
შესაბამისად, მიმართულების ვექტორები კოლინერულია. ხაზები ან პარალელურია ან ემთხვევა ერთმანეთს.

პროპორციულობის კოეფიციენტი "ლამბდა" ადვილი შესამჩნევია სწორხაზოვანი მიმართულების ვექტორების თანაფარდობიდან. ამასთან, მისი პოვნა ასევე შესაძლებელია განტოლებების კოეფიციენტების საშუალებით: .

ახლა გავეცნოთ სიმართლეს შეესაბამება თუ არა სიმართლე. ორივე უფასო ტერმინი ნულოვანია, ასე რომ:

მიღებული მნიშვნელობა აკმაყოფილებს ამ განტოლებას (ნებისმიერი რიცხვი ზოგადად აკმაყოფილებს მას).

ამრიგად, ხაზები ემთხვევა ერთმანეთს.

პასუხი:

ძალიან მალე გაიგებთ (ან თუნდაც უკვე ისწავლეთ) როგორ უნდა გადაწყვიტოთ ზეპირად განხილული პრობლემა ფაქტიურად წამებში. ამ მხრივ, მე ვერ ვხედავ რაიმე მიზეზს დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, უკეთესია გეომეტრიული საფუძვლის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი აგურის ჩაყრა:

როგორ უნდა ავაშენოთ მოცემული ხაზის პარალელურად სწორი ხაზი?

ამ მარტივი ამოცანის არცოდნისთვის, ბულბული ყაჩაღი მკაცრად სჯის.

მაგალითი 2

სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით. გაუტოლეთ პარალელური ხაზი, რომელიც გადის წერტილზე.

გადაწყვეტილება: მოდით აღვნიშნოთ უცნობი პირდაპირი წერილი. რას ამბობს მდგომარეობა მის შესახებ? სწორი ხაზი გადის წერტილს. და თუ სწორი ხაზები პარალელურია, აშკარაა, რომ სწორი ხაზის "tse" - ს სარეჟისორო ვექტორი ასევე შესაფერისია "de" წრფის შესაქმნელად.

განტოლებიდან ამოიღეთ მიმართულების ვექტორი:

პასუხი:

გეომეტრია მაგალითი მარტივად გამოიყურება:

ანალიტიკური შემოწმება შედგება შემდეგი ნაბიჯებისაგან:

1) ჩვენ ვამოწმებთ, რომ სტრიქონებს აქვთ ერთი და იგივე მიმართულების ვექტორი (თუ წრფის განტოლება სწორად არ არის გამარტივებული, მაშინ ვექტორები წრფივი იქნება).

2) შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა წერტილი მიღებულ განტოლებას.

ანალიტიკური მიმოხილვა უმეტეს შემთხვევაში ადვილად ხდება ზეპირად. გადახედეთ ორ განტოლებას და ბევრი თქვენგანი სწრაფად განსაზღვრავს სწორი ხაზების პარალელიზმს ყოველგვარი ნახაზის გარეშე.

დღეს თვითგამორკვევის მაგალითები შემოქმედებითი იქნება. იმიტომ, რომ თქვენ კვლავ უნდა შეეჯიბროთ ბაბა იაგას და ის, იცით, რომ ყველანაირი გამოცანების მოყვარულია.

მაგალითი 3

გააკეთე სწორი წრფის განტოლება, რომელიც გადის წერტილზე სწორი პარალელურად, თუ

არსებობს რაციონალური და არც თუ ისე რაციონალური გადაწყვეტა. უმოკლესი გზა არის გაკვეთილის ბოლოს.

ჩვენ ცოტა რამ გავაკეთეთ პარალელური ხაზებით და მათ მოგვიანებით დავუბრუნდებით. სწორი ხაზების დამთხვევის შემთხვევა მცირე ინტერესს იწვევს, ამიტომ გაითვალისწინეთ პრობლემა, რომელიც თქვენთვის კარგად არის ცნობილი სკოლის სასწავლო გეგმა:

როგორ მოვძებნოთ ორი ხაზის გადაკვეთის წერტილი?

თუ პირდაპირ იკვეთება ერთ წერტილში, მაშინ მისი კოორდინატებია გამოსავალი წრფივი განტოლების სისტემები

როგორ მოვძებნოთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი? მოაგვარეთ სისტემა.

შენთვის იმდენი ორი უცნობი განტოლების სისტემის გეომეტრიული მნიშვნელობა სიბრტყეზე ორი გადაკვეთა (ყველაზე ხშირად) სწორი ხაზია.

მაგალითი 4

იპოვნეთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი

გადაწყვეტილება: გადაჭრის ორი გზა არსებობს - გრაფიკული და ანალიტიკური.

გრაფიკული გზაა მონაცემთა ხაზების უბრალოდ დახაზვა და კვეთის წერტილის გარკვევა პირდაპირ ნახაზიდან:

აი, ჩვენი აზრი: მისი შესამოწმებლად, მისი კოორდინატები უნდა ჩაანაცვლოთ სწორი ხაზის თითოეულ განტოლებაში, ისინი უნდა შეესაბამებოდეს იქაც და იქაც. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წერტილის კოორდინატები წარმოადგენს სისტემის ამოხსნას. ძირითადად, ჩვენ გადავხედეთ გადაჭრის გრაფიკულ გზას წრფივი განტოლების სისტემები ორი განტოლებით, ორი უცნობით.

გრაფიკული მეთოდი, რა თქმა უნდა, არ არის ცუდი, მაგრამ აქ არის შესამჩნევი უარყოფითი მხარეები. არა, საქმე იმაში არ არის, რომ მეშვიდე კლასის მოსწავლეები ასე წყვეტენ, საქმე იმაშია, რომ დრო დაჭირდება სწორი და ზუსტი ნახატის მისაღებად. გარდა ამისა, ზოგიერთი სწორი ხაზის აგება არც ისე ადვილია და თავად გადაკვეთის წერტილი შეიძლება მდებარეობდეს სადღაც ოცდაათი სამეფოში, ბლოკნოტის ფურცლის გარეთ.

ამიტომ, უფრო მიზანშეწონილია გადაკვეთის წერტილის ძებნა ანალიტიკური მეთოდის გამოყენებით. მოდით გადავწყვიტოთ სისტემა:

სისტემის გადასაჭრელად გამოყენებული იქნა განტოლებების ტერმინ-პერიოდული დამატება. ეწვიეთ გაკვეთილს შესაბამისი უნარების შესაქმნელად. როგორ გადავჭრათ განტოლებათა სისტემა?

პასუხი:

შემოწმება ტრივიალურია - გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს სისტემაში არსებულ ყველა განტოლებას.

მაგალითი 5

იპოვნეთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი, თუ ისინი იკვეთება.

ეს არის მაგალითი საკუთარი თავის გაკეთების შესახებ. მოსახერხებელია დავალების დაყოფა რამდენიმე ეტაპად. მდგომარეობის ანალიზი მიანიშნებს რა არის საჭირო:
1) გააკეთე სწორი ხაზის განტოლება.
2) გააკეთე სწორი ხაზის განტოლება.
3) გაირკვეს სწორი ხაზების ფარდობითი პოზიცია.
4) თუ ხაზები იკვეთება, იპოვეთ გადაკვეთის წერტილი.

მოქმედებების ალგორითმის შემუშავება დამახასიათებელია მრავალი გეომეტრიული პრობლემისთვის და ამაზე განმეორებით გავამახვილებ ყურადღებას.

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს:

ფეხსაცმლის ფეხსაცმელი ჯერ არ არის ნახმარი, რადგან გაკვეთილის მეორე განყოფილებაში მივედით:

პერპენდიკულარული სწორი ხაზები. მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.
კუთხე სწორ ხაზებს შორის

დავიწყოთ ტიპიური და ძალიან მნიშვნელოვანი დავალებიდან. პირველ ნაწილში ჩვენ ვისწავლეთ, თუ როგორ უნდა ავაშენოთ სწორი ხაზი პარალელურად, ახლა ქათმის ფეხებზე ქოხი 90 გრადუსი გახდება:

როგორ უნდა ავაშენოთ მოცემული ხაზის პერპენდიკულარული ხაზი?

მაგალითი 6

სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით. წერტილის გავლით პერპენდიკულარული წრფის გათანაბრება.

გადაწყვეტილება: პირობითად ცნობილია, რომ. კარგი იქნება სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის პოვნა. მას შემდეგ, რაც ხაზები არის პერპენდიკულარული, შეასრულა მარტივია:

განტოლებიდან "ამოიღეთ" ნორმალური ვექტორი:, რომელიც იქნება სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.

მოდით, შევადგინოთ სწორი ხაზის განტოლება წერტილით და მიმართულების ვექტორით:

პასუხი:

მოდით გავაფართოვოთ გეომეტრიული ესკიზი:

ჰმმმ ... ნარინჯისფერი ცა, ნარინჯისფერი ზღვა, ნარინჯისფერი აქლემი.

ამოხსნის ანალიზური შემოწმება:

1) განტოლებებიდან ამოიღეთ მიმართულების ვექტორები და დახმარებით ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტი ჩვენ მივედით იმ დასკვნამდე, რომ სწორი ხაზები მართლაც არის პერპენდიკულარული:.

სხვათა შორის, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვეულებრივი ვექტორები, ეს კიდევ უფრო ადვილია.

2) შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა წერტილი მიღებულ განტოლებას .

შემოწმება, მარტივია, ზეპირად გაკეთება.

მაგალითი 7

იპოვნეთ პერპენდიკულარული ხაზების გადაკვეთის წერტილი, თუ განტოლება ცნობილია და მიუთითეთ.

ეს მაგალითია საკუთარი თავის გაკეთების შესახებ. ამოცანაში რამდენიმე მოქმედებაა, ამიტომ მოსახერხებელია ამოხსნის წერტილზე შედგენა.

ჩვენი საინტერესო მოგზაურობა გრძელდება:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

ჩვენს წინაშე მდინარის სწორი ზოლია და ჩვენი ამოცანაა მასზე უმოკლესი გზით მივაღწიოთ. არანაირი დაბრკოლება არ არსებობს და ყველაზე ოპტიმალური მარშრუტი იქნება მოძრაობა პერპენდიკულურის გასწვრივ. ანუ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე არის პერპენდიკულარული ხაზის სიგრძე.

გეომეტრიაში მანძილი ტრადიციულად აღინიშნება ბერძნული ასოთი "ro", მაგალითად: - მანძილი "em" წერტილიდან სწორი ხაზის "de".

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე ფორმულით გამოხატული

მაგალითი 8

იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

გადაწყვეტილება: თქვენ გჭირდებათ ციფრების გულდასმით შეტანა ფორმულაში და გაანგარიშება:

პასუხი:

მოდით შევასრულოთ ნახაზი:

მანძილი წერტილიდან ნაპოვნი ხაზამდე ზუსტად არის წითელი ხაზის სიგრძე. თუ შუშის ქაღალდზე შეადგენთ ნახატს 1 ერთეულის მასშტაბით. \u003d 1 სმ (2 უჯრედი), მაშინ მანძილი შეიძლება გავზომოთ ჩვეულებრივი სახაზავით.

განვიხილოთ კიდევ ერთი ამოცანა იგივე გეგმისთვის:

ამოცანაა წერტილის კოორდინატების პოვნა, რომელიც სიმეტრიულია წერტილის მიმართ სწორი ხაზის მიმართ ... მე ვთავაზობ მოქმედებების შესრულებას თვითონ, მაგრამ გამოვსახავ ამოხსნის ალგორითმს შუალედური შედეგებით:

1) იპოვნეთ წრფე, რომელიც წრფის პერპენდიკულარულია.

2) იპოვნეთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი: .

ორივე მოქმედება მოცემულია გაკვეთილზე.

3) წერტილი არის წრფის სეგმენტის შუა წერტილი. ჩვენ ვიცით შუა და ერთ-ერთი ბოლოების კოორდინატები. ავტორი სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატების ფორმულები ჩვენ ვიპოვეთ.

არ იქნება ზედმეტი იმის შემოწმება, რომ მანძილი ასევე 2.2 ერთეულია.

აქ სირთულეები შეიძლება წარმოიშვას გამოთვლებში, მაგრამ კოშკში მიკრო კალკულატორი შესანიშნავად გეხმარებათ, რაც საშუალებას გაძლევთ ჩათვალოთ ჩვეულებრივი წილადები. განმეორებით ურჩია, გირჩევთ და ისევ.

როგორ მოვძებნოთ მანძილი ორ პარალელურ ხაზს შორის?

მაგალითი 9

იპოვნეთ მანძილი ორ პარალელურ ხაზს შორის

ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტის კიდევ ერთი მაგალითი. ნება მიბოძეთ ცოტათი მინიშნოთ: მისი გადაჭრის უსასრულოდ მრავალი გზა არსებობს. გაკვეთილის ბოლოს დებრიფინგი, მაგრამ სცადეთ თავად გამოიცნოთ, ვფიქრობ, რომ თქვენი ჭკვიანობა საკმაოდ კარგად გაიფანტა.

კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის

ყველა კუთხე არის jamb:


გეომეტრიაში, კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის მიიღება, როგორც ყველაზე მცირე კუთხე, საიდანაც ის ავტომატურად მიჰყვება, რომ ის არ შეიძლება იყოს ბლაგვი. ნახატზე, წითელი რკალით მითითებული კუთხე არ ითვლება გადაკვეთულ სწორ ხაზებს შორის. და მისი "მწვანე" მეზობელი ასეთად ითვლება, ან საწინააღმდეგოდ ორიენტირებული "ჟოლოსფერი" კუთხე.

თუ სწორი ხაზები პერპენდიკულარულია, მაშინ 4 კუთხიდან რომელიმე შეიძლება მივიღოთ მათ შორის კუთხედ.

რით განსხვავდება კუთხეები? ორიენტაცია. პირველი, ფუნდამენტური მნიშვნელობა აქვს კუთხის "გადახვევის" მიმართულებას. მეორე, უარყოფითად ორიენტირებული კუთხე იწერება მინუს ნიშნით, მაგალითად, თუ.

რატომ ვუთხარი ამას? როგორც ჩანს, შეგიძლიათ გააკეთოთ კუთხის ჩვეულებრივი კონცეფცია. ფაქტია, რომ იმ ფორმულებში, რომელთა მიხედვითაც ვხვდებით კუთხეებს, შეგიძლიათ მარტივად მიიღოთ უარყოფითი შედეგი და ეს არ უნდა გაგიკვირდეთ. უარყოფითი ნიშანი არ არის კუთხე მინუს ნიშნით და აქვს ძალიან სპეციფიკური გეომეტრიული მნიშვნელობა. ნახატზე, უარყოფითი კუთხისთვის, აუცილებლად მიუთითეთ მისი ორიენტაცია ისრით (საათის ისრის მიმართულებით).

როგორ მოვძებნოთ კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის? არსებობს ორი სამუშაო ფორმულა:

მაგალითი 10

იპოვნეთ კუთხე სწორ ხაზებს შორის

გადაწყვეტილება და მეთოდი პირველი

განვიხილოთ განტოლებებით ზოგადი ფორმით მოცემული ორი სწორი ხაზი:

თუ პირდაპირ არა პერპენდიკულარულიშემდეგ ორიენტირებული მათ შორის კუთხის გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით:

დიდი ყურადღება მივაქციოთ მნიშვნელს - ეს ზუსტად ის არის სკალარული პროდუქტი სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორები:

თუ, მაშინ ფორმულის მნიშვნელი გაქრება და ვექტორები ორთოგონალური იქნება, ხოლო სწორი ხაზები პერპენდიკულარული. ამიტომ გაკეთდა დათქმა ფორმულირებაში სწორი ხაზების არაპერპენდიკულარულობის შესახებ.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, მოსახერხებელია გამოსავალი მოვაწყოთ ორ ეტაპად:

1) გამოთვალეთ სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორების სკალარული პროდუქტი:
, შესაბამისად, სწორი ხაზები არ არის პერპენდიკულარული.

2) სწორ ხაზებს შორის კუთხე გვხვდება ფორმულით:

მეშვეობით შებრუნებული ფუნქცია კუთხის პოვნა ადვილია. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვიყენებთ არქტანგენტის უცნაურობას (იხ. ელემენტარული ფუნქციების დიაგრამა და თვისებები):

პასუხი:

პასუხში, ჩვენ მიუთითეთ ზუსტი მნიშვნელობა, ისევე როგორც სავარაუდო მნიშვნელობა (სასურველია როგორც გრადუსებში, ასევე რადიანებში), რომელიც გამოითვლება კალკულატორის გამოყენებით.

კარგი, მინუსი, ასე მინუსი, კარგია. აი გეომეტრიული ილუსტრაცია:

გასაკვირი არ არის, რომ კუთხეს უარყოფითი ორიენტაცია აქვს, რადგან პრობლემის დებულებაში პირველი რიცხვი არის სწორი ხაზი და ამით იწყება კუთხის „გადახრა“.

თუ ნამდვილად გსურთ მიიღოთ დადებითი კუთხე, უნდა შეცვალოთ სწორი ხაზები, ანუ აიღოთ კოეფიციენტები მეორე განტოლებიდან , და კოეფიციენტები აღებულია პირველი განტოლებიდან. მოკლედ, თქვენ უნდა დაიწყოთ სწორი ხაზით .

საკოორდინაციო მეთოდი (მანძილი წერტილსა და სიბრტყეს შორის, სწორ ხაზებს შორის)

მანძილი წერტილსა და სიბრტყეს შორის.

მანძილი წერტილსა და ხაზს შორის.

მანძილი ორ სწორ ხაზს შორის.

პირველი, რისი ცოდნაც არის სასარგებლო, არის როგორ იპოვოთ მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე:

მნიშვნელობები A, B, C, D - სიბრტყის კოეფიციენტები

x, y, z - წერტილის კოორდინატები

Დავალება. იპოვნეთ მანძილი A \u003d (3; 7; −2) წერტილსა და 4x + 3y + 13z სიბრტყეს შორის - 20 \u003d 0.

ყველაფერი მოცემულია, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ შეცვალოთ მნიშვნელობები განტოლებაში:

Დავალება. იპოვნეთ მანძილი K \u003d წერტილიდან (1; −2; 7) V \u003d (8; 6; −13) და T \u003d (−1; −6; 7) წერტილების გავლით სწორ ხაზამდე.

1. იპოვნეთ სწორი ხაზის ვექტორი.
2. ჩვენ გამოვთვლით ვექტორს, რომელიც გაივლის სასურველ წერტილს და ხაზის ნებისმიერ წერტილს.
   
3. ჩვენ ვადგენთ მატრიცას და პოულობენ დეტერმინანტს ორი მიღებული ვექტორის მიერ 1 და 2 წერტილებში.
4. ჩვენ ვიღებთ მანძილს როდის Კვადრატული ფესვი მატრიცის კოეფიციენტების კვადრატების ჯამიდან ვყოფთ ვექტორის სიგრძეზე, რომელიც განსაზღვრავს სწორ ხაზს(ვფიქრობ, ეს არ არის გასაგები, მოდით გადავიდეთ კონკრეტულ მაგალითზე).

1) ტელევიზორი \u003d (8 - (- 1); 6 - (- 6); -13-7) \u003d (9; 12; −20)

2) ვექტორი გვხვდება K და T წერტილების საშუალებით, თუმცა იგივე შეიძლება იყოს K და V ან ამ ხაზის ნებისმიერი სხვა წერტილის საშუალებით.

TK \u003d (1 - (- 1); −2 - (- 6); 7-7) \u003d (2; 4; 0)

3) მივიღებთ მ \u200b\u200bმატრიცას კოეფიციენტის გარეშე D (აქ გამოსავალი არ არის საჭირო):

4) თვითმფრინავი აღმოჩნდა A \u003d 80, B \u003d 40, C \u003d 12 კოეფიციენტებით

x, y, z - სწორი ხაზის ვექტორის კოორდინატები, ამ შემთხვევაში - ვექტორულ ტელევიზორს აქვს კოორდინატები (9; 12; −20)

Დავალება. იპოვნეთ მანძილი Е \u003d (1; 0; −2), G \u003d (2; 2; −1) წერტილებზე გატარებულ სწორ ხაზს შორის და M \u003d (4; −1; 4), L \u003d წერტილებში გატარებულ სწორ ხაზს შორის. 2; 3; 0).

1. ჩვენ ვადგენთ ორივე ხაზის ვექტორებს.
2. იპოვნეთ ვექტორი თითოეული სტრიქონიდან ერთი წერტილის აღებით.
3. ჩვენ ვწერთ 3 ვექტორის მატრიცას (ორი პუნქტი 1 პუნქტიდან, ერთი ხაზი მე -2დან) და ვპოულობთ მის რიცხვით განმსაზღვრელს.
4. ჩვენ ვადგენთ პირველი ორი ვექტორის მატრიცას (ნაბიჯი 1). პირველი სტრიქონი არის x, y, z.
5. მანძილი მიიღება, როდესაც მიღებულ მნიშვნელობას 3 მოდულისგან გავყოფთ 4 წერტილის კვადრატების ჯამის კვადრატულ ფესვზე.

გადავიდეთ ციფრებზე.