На секој ден. Фуриевата серија: историја и влијание на математичкиот механизам врз развојот на науката Константната компонента e од серијата Фурие е еднаква на

Фуриеовите серии се приказ на произволна функција со одреден период во форма на серија. ВО општ погледова решение се нарекува проширување на елементот во ортогонална основа. Проширувањето на функциите во Фуриеовите серии е прилично моќна алатка за решавање на различни проблеми поради својствата на оваа трансформација за време на интеграција, диференцијација, како и поместување на изразите со аргумент и конволуција.

Човек кој не е запознаен со вишата математика, како и со делата на францускиот научник Фурие, најверојатно нема да разбере што се овие „серијали“ и за што се потребни. Во меѓувреме, оваа трансформација стана доста интегрирана во нашите животи. Го користат не само математичари, туку и физичари, хемичари, лекари, астрономи, сеизмолозите, океанографите и многу други. Да ги погледнеме подетално делата на големиот француски научник кој дошол до откритие кое било пред своето време.

Човекот и Фуриевата трансформација

Фуриеовите серии се еден од методите (заедно со анализа и други) Овој процес се случува секогаш кога човек ќе слушне звук. Нашето уво автоматски ги трансформира елементарните честички во еластична средина во редови (по должината на спектарот) со последователни нивоа на волумен за тонови со различна висина. Следно, мозокот ги претвора овие податоци во звуци кои ни се познати. Сето ова се случува без наша желба или свест, само по себе, но за да се разберат овие процеси ќе бидат потребни неколку години да се изучува вишата математика.

Повеќе за Фуриевата трансформација

Фуриевата трансформација може да се изврши со користење на аналитички, нумерички и други методи. Фуриеовите серии се однесуваат на нумеричкиот метод на разложување на сите осцилаторни процеси - од плимата и осеката на океаните и светлосните бранови до циклусите на сончевата (и другите астрономски објекти) активност. Користејќи ги овие математички техники, можете да анализирате функции, претставувајќи ги сите осцилаторни процеси како серија синусоидни компоненти кои се движат од минимум до максимум и назад. Фуриевата трансформација е функција која ја опишува фазата и амплитудата на синусоидите што одговараат на одредена фреквенција. Овој процес може да се користи за решавање на многу сложени равенки, кои опишуваат динамични процеси, кои произлегуваат под влијание на топлинска, светлина или електрична енергија. Исто така, сериите Фурие овозможуваат да се изолираат константни компоненти во сложени осцилаторни сигнали, што овозможува правилно да се толкуваат експерименталните набљудувања добиени во медицината, хемијата и астрономијата.

Историска референца

Основач на оваа теорија е францускиот математичар Жан Батист Жозеф Фурие. Оваа трансформација подоцна беше именувана по него. Првично, научникот го користел својот метод за проучување и објаснување на механизмите на топлинска спроводливост - ширење на топлина во цврсти материи. Фурие сугерираше дека почетната неправилна дистрибуција може да се разложи на едноставни синусоиди, од кои секој ќе има свој температурен минимум и максимум, како и своја фаза. Во овој случај, секоја таква компонента ќе се мери од минимум до максимум и назад. Математичката функција која ги опишува горните и долните врвови на кривата, како и фазата на секоја од хармониците, се нарекува Фуриеова трансформација на изразот на распределбата на температурата. Авторот на теоријата ја намалил функцијата на општата дистрибуција, што е тешко да се математички опис, до многу удобна серија на косинус и синус, кои заедно ја даваат оригиналната дистрибуција.

Принципот на трансформација и ставовите на современиците

Современиците на научникот - водечки математичари од почетокот на деветнаесеттиот век - не ја прифатија оваа теорија. Главниот приговор беше тврдењето на Фурие дека дисконтинуираната функција, која опишува права линија или дисконтинуирана крива, може да се претстави како збир од синусоидални изрази кои се континуирани. Како пример, земете го чекорот Хевисајд: неговата вредност е нула лево од дисконтинуитетот и една надесно. Оваа функција ја опишува зависноста на електричната струја од привремена променлива кога колото е затворено. Современиците на теоријата во тоа време никогаш не наишле на слична ситуација каде што дисконтинуираниот израз би бил опишан со комбинација на континуирани, обични функции како што се експоненцијални, синусни, линеарни или квадратни.

Што ги збуни француските математичари во врска со теоријата на Фурие?

На крајот на краиштата, ако математичарот беше во право во своите изјави, тогаш, сумирајќи го бесконечното тригонометриски серииФурие, можно е да се добие точна репрезентација на чекор израз дури и ако има многу слични чекори. На почетокот на деветнаесеттиот век, таквата изјава изгледаше апсурдна. Но, и покрај сите сомнежи, многу математичари го проширија опсегот на проучување на овој феномен, земајќи го надвор од проучувањето на топлинската спроводливост. Сепак, повеќето научници продолжија да ги мачи прашањето: „Дали збирот на синусоидална серија може да се конвергира до точната вредност на дисконтинуираната функција?

Конвергенција на Фуриеовите серии: пример

Прашањето за конвергенција се поставува секогаш кога е потребно да се сумираат бесконечни серии на броеви. За да го разберете овој феномен, размислете класичен пример. Дали некогаш ќе можете да стигнете до ѕидот ако секој следен чекор е половина од големината на претходниот? Да речеме дека сте на два метри од вашата цел, првиот чекор ве води до половина пат, следниот ве носи до три четвртини, а по петтиот ќе имате поминато речиси 97 проценти од патот. Сепак, без разлика колку чекори ќе преземете, нема да ја постигнете целта во строга математичка смисла. Користејќи нумерички пресметки, може да се докаже дека евентуално е можно да се приближи колку што е дадено растојание. Овој доказ е еквивалентен на докажување дека збирот од една половина, една четвртина, итн. ќе се стреми кон единство.

Прашањето за конвергенција: Второто доаѓање или уредот на Лорд Келвин

Ова прашање беше повторно покренато на крајот на деветнаесеттиот век, кога тие се обидоа да ги користат сериите на Фурие за да го предвидат интензитетот на плимата и осеката. Во тоа време, Лорд Келвин измислил инструмент, аналоген компјутерски уред кој им овозможувал на воените и трговските морнари морнари да го следат овој природен феномен. Овој механизам одредуваше групи на фази и амплитуди од табелата со височини на плимата и соодветните временски точки, внимателно измерени во дадено пристаниште во текот на годината. Секој параметар беше синусоидна компонента на изразот на висината на плимата и беше една од правилните компоненти. Мерењата беа внесени во пресметковниот инструмент на Лорд Келвин, кој синтетизираше крива што ја предвидува висината на водата во функција на времето за следната година. Наскоро слични криви беа направени за сите пристаништа во светот.

Што ако процесот е нарушен од дисконтинуирана функција?

Во тоа време се чинеше очигледно дека предвидувачот на плимните бранови со голем број елементи за броење може да пресмета голем број фази и амплитуди и на тој начин да обезбеди попрецизни предвидувања. Сепак, се покажа дека оваа шема не е забележана во случаи кога плимниот израз што треба да се синтетизира содржел остар скок, односно бил дисконтинуиран. Ако податоците од табела со временски моменти се внесуваат во уредот, тој пресметува неколку Фуриеови коефициенти. Оригиналната функција е вратена благодарение на синусоидалните компоненти (во согласност со пронајдените коефициенти). Несовпаѓањето помеѓу оригиналниот и реконструираниот израз може да се измери во која било точка. При вршење на повторени пресметки и споредби, јасно е дека вредноста најголема грешкане се намалува. Сепак, тие се локализирани во регионот што одговара на точката на дисконтинуитет, а во која било друга точка тие имаат тенденција на нула. Во 1899 година, овој резултат беше теоретски потврден од Џошуа Вилард Гибс од Универзитетот Јеил.

Конвергенција на Фуриеовите серии и развојот на математиката воопшто

Фуриевата анализа не е применлива за изрази кои содржат бесконечен број на шила во одреден интервал. Општо земено, серијата на Фурие, ако оригиналната функција е претставена со резултат на реалното физичка димензија, секогаш се спојуваат. Прашањата за конвергенцијата на овој процес за специфични класи на функции доведоа до појава на нови гранки во математиката, на пример, теоријата на генерализирани функции. Таа е поврзана со имиња како Л. Шварц, Ј. Микусински и Ј. Темпл. Во рамките на оваа теорија, јасна и прецизна теоретска основапод такви изрази како што е функцијата на делтата на Дирак (таа опишува регион од една област концентрирана во бесконечно мало соседство на точка) и Хевисајд „чекор“. Благодарение на оваа работа, серијата Фурие стана применлива за решавање на равенки и проблеми кои вклучуваат интуитивни концепти: точкаст полнеж, точка маса, магнетни диполи и концентрирано оптоварување на зрак.

Фуриеров метод

Фуриеовите серии, во согласност со принципите на интерференција, започнуваат со разложување на сложените форми на поедноставни. На пример, промената на топлинскиот проток се објаснува со неговото поминување низ разни пречки направени од топлинско-изолационен материјал со неправилна форма или промена на површината на земјата - земјотрес, промена на орбитата небесно тело- влијание на планетите. Како по правило, таквите равенки кои опишуваат едноставни класични системи може лесно да се решат за секој поединечен бран. Фурие го покажа тоа едноставни решенијаможе да се сумира и за да се добијат решенија за посложени проблеми. Во математичка смисла, Фуриеовите серии се техника за претставување на израз како збир на хармоници - косинус и синус. Затоа оваа анализапознат и како хармонична анализа.

Фуриевата серија - идеална техника пред „компјутерската ера“

Пред создавањето на компјутерската технологија, техниката Фурие беше најдоброто оружје во арсеналот на научниците при работа со брановата природа на нашиот свет. Серијата Фурие во сложена форма овозможува да се решат не само едноставни проблеми кои се подложни на директна примена на Њутновите закони за механика, туку и фундаментални равенки. Повеќето откритија на Њутновата наука во деветнаесеттиот век биле овозможени само со техниката на Фурие.

Фурие серијата денес

Со развојот на компјутерите, Фуриеовите трансформации се искачија на квалитативно ново ниво. Оваа техникацврсто етаблиран во речиси сите области на науката и технологијата. Пример е дигитално аудио и видео. Неговата имплементација стана возможна само благодарение на теоријата развиена од француски математичар на почетокот на деветнаесеттиот век. Така, серијата Фурие во сложена форма овозможи да се направи чекор напред во проучувањето на вселената. Покрај тоа, влијаеше на проучувањето на физиката на полупроводничките материјали и плазмата, микробрановата акустика, океанографијата, радарот и сеизмологијата.

Тригонометриска серија на Фурие

Во математиката, Фуриевата серија е начин на претставување произволно сложени функциизбирот на поедноставните. Во општи случаи, бројот на такви изрази може да биде бесконечен. Покрај тоа, колку повеќе нивниот број се зема предвид при пресметката, толку е попрецизен конечниот резултат. Најчесто, тригонометриските функции на косинус или синус се користат како наједноставни. Во овој случај, Фуриеовите серии се нарекуваат тригонометриски, а решението на таквите изрази се нарекува хармонско проширување. Овој метод игра важна улогапо математика. Пред сè, тригонометриската серија обезбедува средство за прикажување и проучување на функциите; таа е главниот апарат на теоријата. Покрај тоа, ви овозможува да решите голем број проблеми во математичката физика. Конечно, оваа теорија придонесе за развојот и оживеа цела линијамногу важни делови од математичката наука (теорија на интеграли, теорија на периодични функции). Покрај тоа, таа послужи како почетна точка за развој на следните функции на реална променлива, а исто така ја постави основата за хармонична анализа.

Фуриеова серија на периодични функции со период 2π.

Серијата Фурие ни овозможува да ги проучуваме периодичните функции со нивно разложување на компоненти. Наизменичните струи и напони, поместувањата, брзината и забрзувањето на механизмите на чудакот и акустичните бранови се типични практични примери за употреба на периодични функции во инженерските пресметки.

Проширувањето на серијата Фурие се заснова на претпоставката дека сите функции од практично значење во интервалот -π ≤x≤ π може да се изразат во форма на конвергентна тригонометриска серија (серијата се смета за конвергентна ако низата парцијални суми составена од нејзините членови конвергира):

Стандардна (=обична) ознака преку збирот на sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

каде што a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. се реални константи, т.е.

Каде, за опсегот од -π до π, коефициентите на серијата Фурие се пресметуваат со помош на формулите:

Се нарекуваат коефициентите a o , a n и b n Фуриеови коефициенти, а ако можат да се најдат, тогаш се нарекува серија (1). веднаш до Фурие,што одговара на функцијата f(x). За серијата (1), терминот (a 1 cosx+b 1 sinx) се нарекува прв или фундаментална хармоника,

Друг начин да се напише серија е да се користи релацијата acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Каде a o е константа, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 се амплитудите на различните компоненти и е еднаква на a n =arctg a n /b n.

За серијата (1), терминот (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin (x+α 1) се нарекува прв или фундаментална хармоника,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) се вика втор хармоники така натаму.

За прецизно претставување на сложен сигнал обично е потребен бесконечен број термини. Меѓутоа, во многу практични проблеми доволно е да се земат предвид само првите неколку термини.

Фуриеова серија на непериодични функции со период 2π.

Проширување на непериодични функции во Фуриеови серии.

Ако функцијата f(x) е непериодична, тоа значи дека не може да се прошири во Фуриеова серија за сите вредности на x. Сепак, можно е да се дефинира Фуриеова серија што претставува функција во кој било опсег на ширина 2π.

Со оглед на непериодична функција, нова функција може да се конструира со избирање вредности на f(x) во одреден опсег и нивно повторување надвор од тој опсег во интервали од 2π. Бидејќи новата функција е периодична со период 2π, може да се прошири во Фуриеова серија за сите вредности на x. На пример, функцијата f(x)=x не е периодична. Меѓутоа, ако е потребно да се прошири во Фуриеова серија во интервалот од o до 2π, тогаш надвор од овој интервал се конструира периодична функција со период од 2π (како што е прикажано на сликата подолу).

За непериодични функции како што се f(x)=x, збирот на Фуриеовата серија е еднаков на вредноста на f(x) во сите точки во даден опсег, но не е еднаков на f(x) за точките надвор од опсегот. За да се најде Фуриеовата серија на непериодична функција во опсегот 2π, се користи истата формула на Фуриеовите коефициенти.

Парни и непарни функции.

Ја кажуваат функцијата y=f(x) дури, ако f(-x)=f(x) за сите вредности на x. Графиконите на парните функции се секогаш симетрични за y-оската (односно, тие се огледални слики). Два примери на парни функции: y=x2 и y=cosx.

Велат дека функцијата y=f(x) чудно,ако f(-x)=-f(x) за сите вредности на x. Графиконите на непарните функции се секогаш симетрични во однос на потеклото.

Многу функции не се ниту парни, ниту непарни.

Проширување на Фуриеовите серии во косинуси.

Фуриеовата серија на парна периодична функција f(x) со период 2π содржи само косинусни членови (т.е. нема синусни членови) и може да вклучува константен член. Оттука,

каде се коефициентите на серијата Фурие,

Фуриевата серија на непарна периодична функција f(x) со период 2π содржи само членови со синуси (односно, не содржи членови со косинуси).

Оттука,

каде се коефициентите на серијата Фурие,

Фуриерска серија на половина циклус.

Ако функцијата е дефинирана за опсег, да речеме од 0 до π, а не само од 0 до 2π, таа може да се прошири во серија само во синуси или само во косинуси. Резултирачката Фуриеова серија се нарекува во близина на Фурие на половина циклус.

Ако сакате да го добиете распаѓањето Полуциклус Фурие по косинусифункционира f(x) во опсег од 0 до π, тогаш е потребно да се конструира парна периодична функција. На сл. Подолу е функцијата f(x)=x, изградена на интервалот од x=0 до x=π. Бидејќи функцијата парна е симетрична во однос на оската f(x), ја повлекуваме правата AB, како што е прикажано на сл. подолу. Ако претпоставиме дека надвор од разгледуваниот интервал добиената триаголна форма е периодична со период од 2π, тогаш конечниот график изгледа вака: во Сл. подолу. Бидејќи треба да го добиеме Фуриеовото проширување во косинуси, како и досега, ги пресметуваме Фуриеовите коефициенти a o и a n

Ако сакате да ги добиете функциите f(x) во опсег од 0 до π, тогаш треба да конструирате непарна периодична функција. На сл. Подолу е функцијата f(x)=x, изградена на интервалот од x=0 до x=π. Бидејќи непарната функција е симетрична во однос на потеклото, ја конструираме линијата CD, како што е прикажано на сл. Ако претпоставиме дека надвор од разгледуваниот интервал добиениот сигнал за пила е периодичен со период од 2π, тогаш конечниот графикон ја има формата прикажана на сл. Бидејќи треба да го добиеме Фуриеовото проширување на полуциклусот во однос на синусите, како и досега, го пресметуваме Фуриеовиот коефициент. б

Фуриеова серија за произволен интервал.

Проширување на периодична функција со период L.

Периодичната функција f(x) се повторува додека x се зголемува за L, т.е. f(x+L)=f(x). Преминот од претходно разгледаните функции со период од 2π кон функции со период од L е прилично едноставен, бидејќи може да се направи со помош на промена на променлива.

За да се најде Фуриеовата серија на функцијата f(x) во опсегот -L/2≤x≤L/2, воведуваме нова променлива u така што функцијата f(x) има период од 2π во однос на u. Ако u=2πx/L, тогаш x=-L/2 за u=-π и x=L/2 за u=π. Исто така нека f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Фуриевата серија F(u) има форма

Каде се коефициентите на серијата Фурие,

Меѓутоа, почесто горната формула резултира со зависност од x. Бидејќи u=2πx/L, тоа значи du=(2π/L)dx, а границите на интеграција се од -L/2 до L/2 наместо - π до π. Следствено, Фуриеовата серија за зависноста од x ја има формата

каде што во опсег од -L/2 до L/2 се коефициентите на серијата Фурие,

(Границите на интеграцијата може да се заменат со кој било интервал со должина L, на пример, од 0 до L)

Фуриеова серија на полуциклус за функции наведени во интервалот L≠2π.

За замена u=πх/L, интервалот од x=0 до x=L одговара на интервалот од u=0 до u=π. Следствено, функцијата може да се прошири во серија само во косинуси или само во синуси, т.е. В Фуриерска серија на половина циклус.

Косинусната експанзија во опсег од 0 до L ја има формата

Функцијата е дефинирана за сите вредности x повикани периодични, доколку постои таков број T (T≠ 0), тоа за која било вредност xважи еднаквоста f(x + T) = f(x). Број Тво овој случај е периодот на функцијата.

Својства на периодични функции:

1) Збир, разлика, производ и количник на периодични функции на период Те периодична функција на период Т.

2) Ако функцијата f(x)има период Т, потоа функцијата f(секира)има период

Навистина, за секој аргумент X:

(множење на аргумент со број значи компресија или истегнување на графикот на оваа функција по оската О)

На пример, функцијата има период, периодот на функцијата е

3) Ако f(x)функција на периодичен период Т, тогаш кои било два интеграли на оваа функција, земени во интервал од должина, се еднакви Т(се претпоставува дека овие интеграли постојат).

Фуриеова серија за функција со период T= .

Тригонометриска серија е серија од формата:

или накратко,

Каде , , , , , … , , , … се реални броеви наречени коефициенти на серијата.

Секој член од тригонометриската серија е периодична функција на периодот (бидејќи - има било кој

период, а периодот () е еднаков на , и затоа, ). Секој термин (), со n= 1,2,3... е аналитички израз за проста хармонска осцилација, каде А- амплитуда,

Почетна фаза. Земајќи го предвид горенаведеното, добиваме: ако тригонометриската серија конвергира на отсечка со должина на период, тогаш таа конвергира на целата бројна права и нејзиниот збир е периодична функција на период.

Нека тригонометриската серија рамномерно се спојува на отсечка (а со тоа и на која било отсечка) и нејзиниот збир е еднаков на . За да ги одредиме коефициентите на оваа серија, ги користиме следните еднаквости:

Ќе ги користиме и следните својства.

1) Како што е познато, збирот на серија составена од континуирани функции што рамномерно конвергира на одреден сегмент е сам по себе континуирана функција на овој сегмент. Земајќи го ова предвид, откриваме дека збирот на тригонометриска серија рамномерно конвергирана на отсечка е непрекината функција на целата бројна права.

2) Еднообразната конвергенција на серија на отсечка нема да биде нарушена ако сите членови од серијата се помножат со функцијата континуирана на овој сегмент.

Конкретно, еднообразната конвергенција на сегмент од дадена тригонометриска серија нема да биде нарушена ако сите членови од серијата се помножат со или со .

По услов

Како резултат на интеграција по термин на рамномерно конвергентна серија (4.2) и земајќи ги предвид горенаведените еднаквости (4.1) (ортогоналност на тригонометриските функции), добиваме:

Затоа, коефициентот

Со множење на еднаквоста (4.2) со , интегрирајќи ја оваа еднаквост во опсегот од до и, земајќи ги предвид горенаведените изрази (4.1), добиваме:

Затоа, коефициентот

Слично на тоа, множејќи ја еднаквоста (4.2) со и интегрирајќи ја во опсег од до , земајќи ги предвид еднаквостите (4.1) имаме:

Затоа, коефициентот

Така, се добиваат следните изрази за коефициентите на серијата Фурие:

Доволни критериуми за разградливост на функција во Фуриеова серија.Потсетиме дека поентата x o прекин на функцијата f(x)наречена точка на дисконтинуитет од првиот вид ако има конечни граници десно и лево од функцијата f(x)во близина на точка.

Ограничување на десната страна

Лева граница.

Теорема (Дирихле).Доколку функцијата f(x)има период и е непрекинато на отсечката или има конечен број точки на дисконтинуитет од првиот вид и, покрај тоа, отсечката може да се подели на конечен број отсечки така што во секоја од нив f(x)е монотона, потоа Фуриевата серија за функцијата f(x)конвергира за сите вредности x. Притоа, во точките на континуитет на функцијата f(x)неговиот збир е еднаков f(x), и во точките на дисконтинуитет на функцијата f(x)неговиот збир е еднаков, т.е. аритметичката средина на граничните вредности лево и десно. Покрај тоа, серијата Фурие за функцијата f(x)рамномерно конвергира на кој било сегмент кој заедно со неговите краеви припаѓа на интервалот на континуитет на функцијата f(x).

Пример: проширете ја функцијата во Фуриеова серија

Задоволување на состојбата.

Решение.Функција f(x)ги задоволува условите за проширување во Фуриеова серија, така што можеме да напишеме:

Во согласност со формулите (4.3), може да се добијат следните вредности на коефициентите на серијата Фурие:

При пресметување на коефициентите на серијата Фурие, се користеше формулата за „интеграција по делови“.

А со тоа и

Фуриеова серија за парни и непарни функции со период T = .

Го користиме следново својство на интегралот над симетричното во однос на x=0празнина:

Ако f(x)- непарна функција,

Ако f(x)- дури и функција.

Забележете дека производот на две парни или две непарни функции е парна функција, а производот на парна функција и непарна функција е непарна функција. Нека сега f(x)- дури и периодична функција со точка , задоволувајќи ги условите за проширување во Фуриеова серија. Потоа, користејќи го горното својство на интегралите, добиваме:

Така, серијата Фурие за парна функција содржи само парни функции - косинуси и е напишана на следниов начин:

и коефициентите bn = 0.

Расудувајќи слично, откриваме дека ако f (x) -е непарна периодична функција која ги задоволува условите за проширување во Фуриеова серија, тогаш, според тоа, Фуриеовата серија за непарна функција содржи само непарни функции - синуси и е напишана на следниов начин:

при што an =0на n= 0, 1,…

Пример:прошири периодична функција во Фуриеова серија

Бидејќи дадената непарна функција f(x)ги задоволува условите за проширување во Фуриеова серија, тогаш

или, што е истото,

И серијата Фурие за оваа функција f(x)може да се напише вака:

Фуриеова серија за функции од кој било период Т=2 л.

Нека f(x)- периодична функција на кој било период Т=2л(л-полуциклус), парче мазна или парче монотона на сегментот [ - л, л]. Верувајќи x=at,ја добиваме функцијата f (на)аргумент т,чиј период е еднаков . Ајде да избереме Атака што периодот на функцијата f (на)беше еднаков, т.е. Т = 2л

Решение.Функција f(x)- непарно, задоволувајќи ги условите за проширување во Фуриеова серија, затоа, врз основа на формулите (4.12) и (4.13), имаме:

(при пресметување на интегралот ја користевме формулата „интеграција по делови“).

Фуриеова серија проширување на парни и непарни функции проширување на функција дадена на интервал во серија во синуси или косинуси Фуриеова серија за функција со произволен период Сложено претставување на Фуриевата серија Фуриеова серија во општи ортогонални системи на функции Фуриеова серија во ортогонален систем Минимално својство на Фуриеовите коефициенти Беселова неравенка Равенка Парсевал Затворени системи Комплетност и затвореност на системите

Проширување на фуриевата серија на парни и непарни функции Функција f(x), дефинирана на интервалот \-1, каде што I > 0, се повикува дури и ако графикот на парната функција е симетричен во однос на оската на ординатите. Функцијата f(x), дефинирана на отсечката J), каде што I > 0, се нарекува непарна ако графикот на непарната функција е симетричен во однос на потеклото. Пример. а) Функцијата е парна на интервалот |-jt, jt), бидејќи за сите x e б) Функцијата е непарна, бидејќи проширувањето на Фуриеовите серии на парни и непарни функции е проширување на функција дадена на интервал во серија во синуси или косинуси Фуриеова серија за функција со произволен период Сложено претставување на фуриевата серија Фуриеова серија за општи ортогонални системи на функции Фуриеова серија за ортогонален систем Минимално својство на Фуриеовите коефициенти Беселова неравенка Парсевалова еднаквост Затворени системи Комплетност и затвореност на системите в) Функција f (x)=x2-x, каде што не припаѓа ниту на парни ниту на непарни функции, бидејќи Нека функцијата f(x), која ги задоволува условите од теоремата 1, е парна на интервалот x|. Тогаш за сите т.е. /(g) cos nx е дури и функција , а f(x)sinnx е непарен. Според тоа, Фуриеовите коефициенти на парна функција f(x) ќе бидат еднакви.Затоа, Фуриеовата серија на парна функција има форма f(x) sin х - парна функција. Според тоа, ќе имаме Така, Фуриеовата серија на непарна функција има форма Пример 1. Проширете ја функцијата 4 во Фуриеова серија на интервалот -x ^ x ^ n Бидејќи оваа функција е парна и ги задоволува условите од теорема 1, тогаш неговата Фуриеова серија има форма Најди ги Фуриеовите коефициенти. Имаме Примена на интеграција по делови двапати, добиваме дека така, Фуриеовата серија на оваа функција изгледа вака: или, во проширена форма, оваа еднаквост важи за било кој x €, бидејќи во точките x = ±ir збирот на серијата се совпаѓа со вредностите на функцијата f(x) = x2, бидејќи графиконите на функцијата f(x) = x и збирот на добиената серија се дадени на сл. Коментар. Оваа Фуриеова серија ни овозможува да најдеме збир на една од конвергентните нумерички серии, имено, за x = 0 го добиваме тој Пример 2. Проширете ја функцијата /(x) = x во Фуриеова серија на интервалот. Функцијата /(x) ги задоволува условите од теоремата 1, затоа може да се прошири во Фуриеова серија, која поради необичноста на оваа функција ќе има форма Интегрирање по делови ги наоѓаме Фуриеовите коефициенти. Фуриевата серија на оваа функција ја има формата Оваа еднаквост важи за сите x B во точките x - ±t збирот на серијата на Фурие не се совпаѓа со вредностите на функцијата /(x) = x, бидејќи е еднаква на Надвор од интервалот [-*, i-] збирот на серијата е периодично продолжение на функцијата /(x) = x; неговиот график е прикажан на сл. 6. § 6. Проширување на функција дадена на интервал во низа во синуси или косинуси Нека на интервалот е дадена ограничена парче монотона функција /. Вредностите на оваа функција на интервалот 0| може дополнително да се дефинира на различни начини. На пример, можете да дефинирате функција / на сегментот tc] така што /. Во овој случај тие велат дека) „се проширува на сегментот 0] на рамномерен начин“; неговата серија Фурие ќе содржи само косинуси. Ако функцијата /(x) е дефинирана на интервалот [-l-, mc] така што /(, тогаш резултатот е непарна функција, а потоа велат дека / е „проширена на интервалот [-*, 0] на чуден начин"; во овој случај, Фуриеовата серија ќе содржи само синуси. Така, секоја ограничена делумна монотона функција /(x) дефинирана на интервалот може да се прошири во Фуриеова серија и во синуси и во косинуси. Пример 1 Рашири ја функцијата во Фуриеова серија: а) со косинуси; б) по синуси. M Оваа функција, со своите парни и непарни продолжувања во отсечката |-x,0) ќе биде ограничена и на делови монотона. а) Да го прошириме /(z) во отсечката 0) а) да го прошириме j\x) во отсечката (-тр,0| на парен начин (сл. 7), тогаш неговата Фуриеова серија i ќе има форма П= 1 каде што Фуриеовите коефициенти се еднакви, соодветно за Затоа, б) Да го прошириме /(z) во отсечката [-x,0] на непарен начин (сл. 8). Потоа неговата Фуриеова серија §7. Фуриеова серија за функција со произволен период Нека функцијата фиксира) е периодична со период од 21,1 ^ 0. За да ја прошириме во Фуриеова серија на интервалот каде што I > 0, правиме промена на променливата со поставување x = jt . Тогаш функцијата F(t) = / ^tj ќе биде периодична функција на аргументот t со точка и може да се прошири на сегментот во Фуриеова серија. Враќајќи се на променливата x, т.е., поставување, ги добиваме сите теореми валидни за Фуриеовите серии на периодични функции со период 2π , остануваат валидни за периодични функции со произволен период 21. Особено, останува валиден доволен критериум за разградливост на функција во Фуриеова серија. Пример 1. Проширете во Фуриеова серија периодична функција со период од 21, дадена на интервалот [-/,/] со формулата (сл. 9). Бидејќи оваа функција е парна, нејзината Фуриеова серија има форма Заменувајќи ги пронајдените вредности на Фуриеовите коефициенти во Фуриеовите серии, добиваме Забележуваме една работа важен имотпериодични функции. Теорема 5. Ако функцијата има период T и е интеграбилна, тогаш за кој било број a важи еднаквоста m. односно интегралот на отсечка чија должина е еднаква на периодот Т има иста вредност без разлика на положбата на оваа отсечка на бројната оска. Всушност, правиме промена на променливата во вториот интеграл, под претпоставка. Ова дава и затоа, геометриски, ова својство значи дека во случајот на областа засенчена на сл. 10 области се еднакви една со друга. Конкретно, за функција f(x) со период добиваме при Проширување во Фуриеова серија од парни и непарни функции, проширување на функција дадена на интервал во серија во синуси или косинуси Фуриеова серија за функција со произволна период Комплексна нотација на Фуриевата серија Фуриеова серија генерално ортогонални системи функции Фуриеова серија во ортогонален систем Минимално својство на Фуриеовите коефициенти Беселова неравенка Парсевалова еднаквост Затворени системи Комплетност и затвореност на системи Пример 2. Функцијата x е периодична со точка Поради необичноста на оваа функција, без да пресметуваме интеграли, можеме да констатираме дека за кое било. произволен реален број (забележете дека функциите cos - и sin имаат период од 2/). Пример 3. Проширете во Фуриеова серија функција дадена на интервал со период од 2x (сл. 11). 4 Да ги најдеме Фуриеовите коефициенти на оваа функција. Вметнувајќи ги формулите, откриваме дека за Затоа, серијата Фурие ќе изгледа вака: Во точката x = jt (точка на дисконтинуитет од првиот вид) имаме §8. Комплексно снимање на серијата Фурие Овој дел користи некои елементи на сложена анализа (види Поглавје ХХХ, каде што сите дејства извршени овде со сложени изрази се строго оправдани). Нека функцијата f(x) задоволува доволни услови за проширување во Фуриеова серија. Потоа на отсечката x] може да се претстави со низа од формата Користење на Ојлеровите формули Заменувајќи ги овие изрази во серии (1) наместо cos πx и sin φx ќе имаме Дозволете ни да ја воведеме следната нотација Потоа серијата (2) ќе ја земе формата Така, Фуриеовата серија (1) е претставена во сложена форма (3). Да најдеме изрази за коефициентите преку интеграли. Имаме Слично, наоѓаме Конечните формули за с„, с_п и с можат да се напишат на следниов начин: . . Коефициентите c“ се нарекуваат сложени Фуриеови коефициенти на функцијата За периодична функција со период) сложена форма Фуриевата серија ќе има форма каде што коефициентите Cn се пресметуваат со помош на формулите Конвергенцијата на сериите (3) и (4) се подразбира на следниов начин: сериите (3) и (4) се нарекуваат конвергентни за дадена вредност x ако има граници Пример. Проширете ја функцијата период во сложена Фуриеова серија Оваа функција задоволува доволно услови за проширување во Фуриеова серија. Дозволете ни да ги најдеме сложените Фуриеови коефициенти на оваа функција. Имаме за непарни за парни n, или накратко. Заменувајќи ги вредностите), конечно добиваме Забележете дека оваа серија може да се запише и на следниов начин: Фуриеова серија за општи ортогонални системи на функции 9.1. Ортогонални системи на функции Да означиме со множеството од сите (реални) функции дефинирани и интегрирани на интервалот [a, 6] со квадрат, т.е. оние за кои постои интеграл. Особено, сите функции f(x) континуирано на интервалот [a, 6], припаѓаат на 6], а вредностите на нивните Лебешки интеграли се совпаѓаат со вредностите на Римановите интеграли. Дефиниција. Систем на функции, каде што, се нарекува ортогонален на интервалот [a, b\, ако условот (1), особено, претпоставува дека ниту една од функциите не е идентично нула. Интегралот се сфаќа во Лебежова смисла. а величината ја нарекуваме норма на функцијата.Ако во ортогонален систем за кое било n имаме, тогаш системот на функции се нарекува ортонормален. Ако системот (y>„(x)) е ортогонален, тогаш системот Пример 1. Тригонометрискиот систем е ортогонален на отсечка. Системот на функции е ортонормален систем на функции на, Пример 2. Косинус системот и синусниот систем се ортонормални. Да ја воведеме ознаката дека тие се ортогонални на интервалот (0, f|, но не се ортонормални (за I Ф- 2). n = 0 имаме Може да се докаже , дека функциите формираат правонормален систем на функции на интервалот.Да ја покажеме, на пример, ортогоналноста на полиномите на Лежандре.Нека m > n.Во овој случај, интегрирање на n пати со делови, наоѓаме бидејќи за функцијата t/m = (z2 - I)m сите изводи до редот m - I заклучно исчезнуваат на краевите на отсечката [-1,1). Дефиниција. Систем од функции (pn(x)) се нарекува ортогонален на интервалот (a, b) со настрешница p(x) ако: 1) за сите n = 1,2,... има интеграли.Еве го се претпоставува дека тежинската функција p(x) е дефинирана и позитивна насекаде во интервалот (a, b) со можен исклучок на конечен број точки каде што p(x) може да исчезне. Откако извршивме диференцијација во формулата (3), наоѓаме. Може да се покаже дека полиномите Чебишев-Хермит се ортогонални на интервалот Пример 4. Системот на Беселови функции (jL(pix)^ е ортогонален на интервалот на нули на Беселовата функција Пример 5. Да ги разгледаме полиномите Чебишев-Хермит, кои можат да се дефинираат со помош на еднаквост Фуриевата серија на ортогонален систем Нека има ортогонална систем на функции во интервалот (a, 6) и нека серијата (cj = const) конвергира на овој интервал до функцијата f(x): множење на двете страни на последната еднаквост со - фиксна) и интегрирање над x од a до 6, поради ортогоналноста на системот, добиваме дека оваа операција има, општо земено, чисто формален карактер. Меѓутоа, во некои случаи, на пример, кога серијата (4) се конвергира подеднакво, сите функции се континуирани и интервалот (a, 6) е конечен, оваа операција е легална. Но, за нас сега е важно формалното толкување. Значи, нека биде дадена функција. Да ги формираме броевите c* според формулата (5) и да запишеме Серијата од десната страна се нарекува Фуриеова серија на функцијата f(x) во однос на системот (^n(i)).Броевите Cn се нарекуваат Фуриеови коефициенти на функцијата f(x) во однос на овој систем. Знакот ~ во формулата (6) значи само дека броевите Cn се поврзани со функцијата f(x) со формулата (5) (не се претпоставува дека серијата десно воопшто конвергира, а уште помалку конвергира со функцијата f (x)). Затоа, природно се поставува прашањето: кои се својствата на оваа серија? Во која смисла ја „претставува“ функцијата f(x)? 9.3. Конвергенција во просек Дефиниција. Низата конвергира кон елементот ] во просек ако нормата е во просторот Теорема 6. Ако низата ) се конвергира рамномерно, тогаш таа конвергира во просек. M Нека низата ()) рамномерно конвергира на интервалот [a, b] до функцијата /(x). Тоа значи дека за секого, за сите доволно големи n, имаме Затоа, од што следи нашата изјава. Обратно не е точно: низата () може во просек да конвергира до /(x), но да не биде рамномерно конвергентна. Пример. Размислете за низата nx Лесно е да се види дека Но оваа конвергенција не е униформа: постои e, на пример, такво што, без разлика колку е голем n, на интервалните косинуси Фуриеова серија за функција со произволен период Сложено претставување од Фуриевата серија Фуриеова серија за општи ортогонални системи на функции Фуриеова серија за ортогонален систем Минимално својство на Фуриеовите коефициенти Беселова неравенка Парсевалова еднаквост Затворени системи Комплетност и затвореност на системите и нека ги означиме со c* Фуриеовите коефициенти на функцијата /(x ) со ортонормален систем b Размислете за линеарна комбинација каде што n ^ 1 е фиксен цел број и пронајдете ги вредностите на константите на кои интегралот зема минимална вредност. Да го напишеме подетално Интегрирајќи член по член, поради ортонормалноста на системот, добиваме.Првите два члена од десната страна на еднаквоста (7) се независни, а третиот член е ненегативен. Затоа, интегралот (*) зема минимална вредност при ak = sk.Интегралот се нарекува средно квадратно приближување на функцијата /(x) со линеарна комбинација на Tn(x). Така, коренското средно квадратно приближување на функцијата /\ зема минимална вредност кога. кога Tn(x) е 71-та парцијална сума на Фуриеовата серија на функцијата /(x) над системот (. Поставувањето ak = sk, од (7) се добива Равенството (9) се нарекува Беселовиот идентитет. страната е ненегативна, тогаш од неа следи Беселовата неравенка. Бидејќи јас сум овде произволно, Беселовата неравенка може да се претстави во зајакната форма, т.е., за која било функција / серијата на квадратни Фуриеови коефициенти на оваа функција во ортонормален систем ) конвергира . Бидејќи системот е ортонормален на интервалот [-x, m], тогаш неравенката (10) преведена во вообичаената нотација на тригонометриската Фуриеова серија ја дава релацијата do која важи за која било функција /(x) со интеграбилен квадрат. Ако f2(x) е интеграбилна, тогаш поради неопходен условконвергенција на серијата на левата страна на неравенството (11), го добиваме тоа. Парсевалова еднаквост За некои системи (^„(x)), знакот за нееднаквост во формулата (10) може да се замени (за сите функции f(x) 6 ×) со знак за еднаквост. Добиената еднаквост се нарекува еднаквост Парсевал-Стеклов (услов за комплетност). Беселовиот идентитет (9) ни овозможува да го запишеме условот (12) во еквивалентна форма.Така, исполнувањето на условот за комплетност значи дека парцијалните суми Sn(x) од Фуриеовите серии на функцијата /(x) се конвергираат во функцијата /(x) во просек, т.е. според нормата на просторот 6]. Дефиниција. Ортонормален систем ( се нарекува целосен во b2[ау b] ако секоја функција може да се приближи во просек со каква било точност со доволно линеарна комбинација од формата c голем бројтермини, т.е. ако за секоја функција f(x) € b2[a, b\ и за која било e > 0 постои природен број nq и броевите a\, a2y..., такви што Не Од горенаведеното расудување следи теорема 7. Ако со ортонормализација системот ) е комплетен во просторот, Фуриеовата серија на која било функција / над овој систем конвергира во f(x) на просек, т.е. по норма Може да се покаже дека тригонометрискиот систем е комплетен во просторот.Ова го подразбира исказот. Теорема 8. Ако функцијата /o нејзината тригонометриска Фуриеова серија конвергира кон неа во просек. 9.5. Затворени системи. Комплетност и затвореност на системите Дефиниција. Ортонормален систем на функции \ се нарекува затворен ако во просторот Li\a, б) нема ненулта функција ортогонална на сите функции.Во просторот L2\a, b\ концептите за комплетност и затвореност на ортонормалните системи се совпаѓаат. Вежби 1. Прошири ја функцијата 2 во Фуриеова серија во интервалот (-i-, x) 2. Рашири ја функцијата во Фуриеова серија во интервалот (-tr, tr) 3. Прошири ја функцијата 4 во Фуриеова серија во интервалот (-tr, tr) во Фуриеова серија во интервалот (-jt, tr) функцијата 5. Проширете ја функцијата f(x) = x + x во Фуриеова серија во интервалот (-tr, tr). 6. Проширете ја функцијата n во Фуриеова серија во интервалот (-jt, tr) 7. Проширете ја функцијата /(x) = sin2 x во Фуриеова серија во интервалот (-tr, x). 8. Рашири ја функцијата f(x) = y во Фуриеова серија во интервалот (-tr, jt) 9. Прошири ја функцијата f(x) = | грев x|. 10. Проширете ја функцијата f(x) = § во Фуриеова серија во интервалот (-π-, π). 11. Проширете ја функцијата f(x) = sin § во Фуриеова серија во интервалот (-tr, tr). 12. Проширете ја функцијата f(x) = n -2x, дадена во интервалот (0, x), во Фуриеова серија, проширувајќи ја во интервалот (-x, 0): а) на парен начин; б) на чуден начин. 13. Проширете ја функцијата /(x) = x2, дадена во интервалот (0, x), во Фуриеова серија во синуси. 14. Проширете ја функцијата /(x) = 3, дадена во интервалот (-2,2), во Фуриеова серија. 15. Проширете ја функцијата f(x) = |x|, дадена во интервалот (-1,1), во Фуриеова серија. 16. Проширете ја функцијата f(x) = 2x, наведена во интервалот (0,1), во Фуриеова серија во синуси.