Cum se calculează rădăcina unui număr într-un grad. Calculator de inginerie. Introducere sub semnul rădăcinii

Pentru a utiliza cu succes operația de extragere a rădăcinii în practică, trebuie să vă familiarizați cu proprietățile acestei operațiuni.
Toate proprietățile sunt formulate și dovedite numai pentru valorile nenegative ale variabilelor conținute sub semnele rădăcinii.

Teorema 1. Rădăcină gradul al n-lea(n=2, 3, 4,...) din produsul a două jetoane nenegative este egal cu produsul rădăcinile a n-a grade din aceste numere:

Cometariu:

1. Teorema 1 rămâne valabilă pentru cazul în care expresia radicală este produsul a mai mult de două numere nenegative.

Teorema 2.Dacă, si n- numar natural mai mare decât 1, atunci egalitatea

Scurt Formulare (deși inexactă) care este mai convenabilă de utilizat în practică: rădăcina fracției este egală cu fracția rădăcinilor.

Teorema 1 ne permite să înmulțim m numai rădăcini de acelaşi grad , adică numai rădăcini cu același exponent.

Teorema 3. Dacă ,k este un număr natural și n este un număr natural mai mare decât 1, apoi egalitatea

Cu alte cuvinte, să rădăcini grad natural, este suficient să ridicăm expresia radicală la această putere.
Aceasta este o consecință a teoremei 1. Într-adevăr, de exemplu, pentru k = 3 obținem

Teorema 4. Dacă ,k, n sunt numere naturale mai mari decât 1, apoi egalitatea

Cu alte cuvinte, pentru a extrage o rădăcină dintr-o rădăcină, este suficient să înmulțiți exponenții rădăcinilor.
De exemplu,

Ai grija! Am aflat că pe rădăcini pot fi efectuate patru operații: înmulțirea, împărțirea, exponențiarea și extragerea rădăcinii (din rădăcină). Dar cum rămâne cu adunarea și scăderea rădăcinilor? În nici un caz.
De exemplu, nu poți scrie în loc de Într-adevăr, dar este evident că

Teorema 5. Dacă indicatorii rădăcinii și expresia rădăcinii sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr natural, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica, i.e.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1 calculati

Soluţie. Folosind prima proprietate a rădăcinilor (teorema 1), obținem:

Exemplul 2 calculati
Soluţie. Convertiți numărul mixt într-o fracție improprie.
Avem Folosind a doua proprietate a rădăcinilor ( teorema 2 ), primim:

Exemplul 3 Calculati:

Soluţie. Orice formulă în algebră, după cum știți bine, este folosită nu numai „de la stânga la dreapta”, ci și „de la dreapta la stânga”. Deci, prima proprietate a rădăcinilor înseamnă că poate fi reprezentată ca și, invers, poate fi înlocuită cu expresia. Același lucru este valabil și pentru a doua proprietate a rădăcinilor. Având în vedere acest lucru, să facem calculele.

Exemple:

\(\sqrt(16)=2\) deoarece \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\), pentru că \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

Cum se calculează rădăcina gradului al n-lea?

Pentru a calcula rădăcina \(n\)-a, trebuie să vă puneți întrebarea: ce număr la gradul \(n\)-lea va da sub rădăcină?

de exemplu. Calculați a \(n\)-a rădăcină: a)\(\sqrt(16)\); b) \(\sqrt(-64)\); c) \(\sqrt(0,00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

a) Ce număr la \(4\)-a putere va da \(16\)? Evident, \(2\). Asa de:

b) Ce număr la \(3\)-a putere va da \(-64\)?

\(\sqrt(-64)=-4\)

c) Ce număr va da \(0,00001\) puterii \(5\)-a?

\(\sqrt(0,00001)=0,1\)

d) Ce număr de gradul \(3\)-al-lea va da \(8000\)?

\(\sqrt(8000)=20\)

e) Ce număr la \(4\)-a putere va da \(\frac(1)(81)\)?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

Noi am revizuit cel mai mult exemple simple cu o rădăcină de gradul \(n\)-lea. Pentru a rezolva probleme mai complexe cu rădăcini de gradul \(n\)-lea, este vital să le cunoaștem.

Exemplu. Calculati:

\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\)		Momentan, niciuna dintre rădăcini nu poate fi calculată. Prin urmare, aplicăm proprietățile rădăcinii \(n\)-al-lea grad și transformăm expresia. \(\frac(\sqrt(-64))(\sqrt(2))\)\(=\)\(\sqrt(\frac(-64)(2))\) \(=\)\(\sqrt(-32)\) deoarece \(\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))\)\(=\)\(\sqrt[n](\frac(a)(b))\)
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\)		Să rearanjam factorii în primul termen astfel încât Rădăcină pătrată iar rădăcina \(n\)-al-lea grad stătea una lângă alta. Acest lucru va ușura aplicarea proprietăților. majoritatea proprietăților rădăcinilor \(n\)-a funcționează numai cu rădăcini de același grad. Și calculăm rădăcina gradului 5.
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(9)-(-5)=\)		Aplicați proprietatea \(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) și extindeți paranteza
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\)		Calculați \(\sqrt(81)\) și \(\sqrt(-27)\)
\(=9\cdot(-3)+5=-27+5=-22\)

Rădăcina a n-a și rădăcina pătrată sunt legate?

În orice caz, orice rădăcină de orice grad este doar un număr, deși scris într-o formă neobișnuită pentru tine.

Singularitatea rădăcinii a n-a

O rădăcină \(n\)-a cu \(n\) impar poate fi luată din orice număr, chiar și din cele negative (vezi exemplele de la început). Dar dacă \(n\) este par (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…), atunci o astfel de rădăcină este extrasă numai dacă \( a ≥ 0\) (apropo, rădăcina pătrată are același lucru). Acest lucru se datorează faptului că extragerea unei rădăcini este opusul exponențiației.

Și ridicarea la o putere pară face ca și un număr negativ pozitiv. Într-adevăr, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Prin urmare, nu putem obține un număr negativ sub rădăcina unui grad par. Aceasta înseamnă că nu putem extrage o astfel de rădăcină dintr-un număr negativ.

O putere impară nu are astfel de restricții - un număr negativ ridicat la o putere impară va rămâne negativ: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) ) \ cdot(-2)=-32\). Prin urmare, sub rădăcina unui grad impar, puteți obține un număr negativ. Aceasta înseamnă că este posibil să-l extragi și dintr-un număr negativ.

Calculator de inginerie online

Ne grăbim să prezentăm tuturor un calculator de inginerie gratuit. Cu el, orice student poate efectua rapid și, cel mai important, cu ușurință diverse tipuri de calcule matematice online.

Calculatorul este preluat de pe site - calculator stiintific web 2.0

Un calculator de inginerie simplu și ușor de utilizat, cu o interfață discretă și intuitivă, va fi cu adevărat util pentru cea mai largă gamă de utilizatori de internet. Acum, când aveți nevoie de un calculator, vizitați site-ul nostru web și utilizați calculatorul de inginerie gratuit.

Un calculator de inginerie poate efectua atât operații aritmetice simple, cât și calcule matematice destul de complexe.

Web20calc este un calculator de inginerie care are un număr mare de funcții, de exemplu, cum se calculează toate funcțiile elementare. Calculatorul suportă, de asemenea funcții trigonometrice, matrici, logaritmi și chiar grafice.

Fără îndoială, Web20calc va fi de interes pentru acel grup de oameni care, în căutarea unor soluții simple, tastează în motoarele de căutare interogarea: matematică calculator online. Aplicația web gratuită vă va ajuta să calculați instantaneu rezultatul oricărei expresii matematice, de exemplu, scădeți, adăugați, împărțiți, extrageți rădăcina, ridicați la o putere etc.

În expresie, puteți utiliza operațiile de exponențiere, adunare, scădere, înmulțire, împărțire, procent, constantă PI. Parantezele trebuie folosite pentru calcule complexe.

Caracteristicile calculatorului de inginerie:

1. operații aritmetice de bază;
2. lucrul cu numere într-o formă standard;
3. calculul rădăcinilor trigonometrice, funcțiilor, logaritmilor, exponențiației;
4. calcule statistice: adunare, medie aritmetică sau abatere standard;
5. aplicarea unei celule de memorie și funcții utilizator a 2 variabile;
6. lucrați cu unghiuri în radiani și măsuri de grade.

Calculatorul de inginerie permite utilizarea unei varietăți de funcții matematice:

Extragerea rădăcinilor (rădăcină pătrată, rădăcină cubică, precum și rădăcina de gradul n);
ex (e la x putere), exponent;
funcții trigonometrice: sinus - sin, cosinus - cos, tangentă - tan;
funcții trigonometrice inverse: arcsinus - sin-1, arccosinus - cos-1, arctangent - tan-1;
funcții hiperbolice: sinus - sinh, cosinus - cosh, tangentă - tanh;
logaritmi: logaritmul binar din baza doi este log2x, logaritmul din baza zece din baza zece este log, logaritmul natural este ln.

Acest calculator de inginerie include și un calculator de conversie mărimi fizice pentru diverse sisteme de măsurare - unități computerizate, distanță, greutate, timp etc. Cu această funcție, puteți converti instantaneu mile în kilometri, lire în kilograme, secunde în ore etc.

Pentru a face calcule matematice, introduceți mai întâi o secvență de expresii matematice în câmpul corespunzător, apoi faceți clic pe semnul egal și vedeți rezultatul. Puteți introduce valori direct de la tastatură (pentru aceasta, zona calculatorului trebuie să fie activă, prin urmare, va fi util să puneți cursorul în câmpul de introducere). Printre altele, datele pot fi introduse folosind butoanele calculatorului propriu-zis.

Pentru a construi grafice în câmpul de introducere, scrieți funcția așa cum este indicat în câmpul exemplu sau utilizați bara de instrumente special concepută pentru aceasta (pentru a merge la ea, faceți clic pe butonul cu pictograma sub formă de grafic). Pentru a converti valori, apăsați Unitate, pentru a lucra cu matrice - Matrice.

Utilizatorii foilor de calcul folosesc pe scară largă funcția rădăcină pătrată. Deoarece lucrul cu date necesită de obicei procesarea unor numere mari, poate fi destul de dificil de numărat manual. În acest articol, veți găsi o analiză detaliată a problemei extragerii rădăcinii oricărui grad în Excel.

O sarcină destul de ușoară, deoarece programul are o funcție separată care poate fi luată din listă. Pentru a face acest lucru, trebuie să faceți următoarele:

1. Selectați celula în care doriți să scrieți funcția făcând clic pe ea o dată cu butonul stâng al mouse-ului. Va apărea un contur negru, rândul și coloana active vor fi evidențiate în portocaliu, iar numele va apărea în celula adresei.

   

2. Faceți clic pe butonul „fx” („Inserare funcție”), care se află deasupra numelor coloanelor, după celula adresei, înaintea barei de formule.

   

3. Va apărea un meniu derulant în care trebuie să găsiți funcția „Root”. Acest lucru se poate face în categoria „Matematică” sau în „Lista alfabetică completă” derulând cu mouse-ul în meniul de mai jos.

   

4. Selectați elementul „Root” făcând clic o dată cu butonul stâng al mouse-ului, apoi - butonul „OK”.

   

5. Va apărea următorul meniu - „Argumente ale funcției”.

   

6. Introduceți un număr sau selectați celula în care a fost scrisă în prealabil această expresie sau formulă, pentru a face acest lucru, faceți clic stânga o dată pe linia „Număr”, apoi mutați cursorul peste celula de care aveți nevoie și faceți clic pe ea. Numele celulei va fi completat automat într-un șir.

   

7. Faceți clic pe butonul „OK”.

   

8. Și totul este gata, funcția a calculat rădăcina pătrată, scriind rezultatul în celula selectată.

   

De asemenea, este posibil să extrageți rădăcina pătrată a sumei unui număr și a unei celule (datele care sunt completate în această celulă) sau două celule, pentru aceasta, introduceți valorile în linia „Număr”. Scrieți un număr și faceți clic o dată pe celulă, programul va pune semnul de adunare în sine.

Pe o notă! Această funcție poate fi introdusă și manual. În bara de formule, introduceți următoarea expresie: „=SQRT(x)”, unde x este numărul pe care îl căutați.

Extragerea rădăcinilor de gradul 3, 4 și alte grade.

Nu există o funcție separată pentru rezolvarea acestei expresii în Excel. Pentru a extrage rădăcina a n-a, trebuie mai întâi să o considerați din punct de vedere matematic.

Rădăcina a n-a este egală cu ridicarea numărului la puterea opusă (1/n). Adică, rădăcina pătrată corespunde numărului cu puterea lui ½ (sau 0,5).

De exemplu:

• a patra rădăcină a lui 16 este 16 la puterea lui ¼;
• rădăcină cubă de 64 = 64 la puterea 1/3;

Există două moduri de a efectua această acțiune într-un program de foaie de calcul:

1. Cu o funcție.
2. Folosind semnul gradului „^”, introduceți manual expresia.

Extragerea unei rădăcini de orice grad folosind o funcție

1. Selectați celula dorită și faceți clic pe „Inserare funcție” în fila „Formule”.

   

2. Extindeți lista în elementul „Categorie”, în categoria „Matematică” sau „Lista alfabetică completă”, găsiți funcția „Grad”.

   

   

3. În linia „Număr”, introduceți un număr (în cazul nostru, acesta este numărul 64) sau un nume de celulă făcând clic pe el o dată.

   

4. În linia „Putere” introduceți puterea la care doriți să ridicați rădăcina (1/3).

   

   Important! Simbolul „/” trebuie folosit pentru a indica semnul de divizare, și nu semnul standard de împărțire „:”.

5. Faceți clic pe „OK” și rezultatul acțiunii va apărea în celula selectată inițial.

   

   

Notă! Pentru cele mai detaliate instrucțiuni cu o fotografie despre lucrul cu funcții, consultați articolul de mai sus.

Extragerea rădăcinii oricărui grad folosind semnul gradului „^”

Notă! Puteți scrie gradul ca fracție sau numar decimal. De exemplu, fracția ¼ poate fi scrisă ca 0,25. Pentru a separa zecimi, sutimi, miimi și așa mai departe, folosiți o virgulă, așa cum este obișnuit în matematică.

Exemple de scriere a expresiei