Sa araw-araw. Serye ng Fourier: kasaysayan at impluwensya ng mekanismo ng matematika sa pag-unlad ng agham Ang pare-parehong bahagi e ng seryeng Fourier ay katumbas ng
Ang Fourier series ay isang representasyon ng isang arbitrary na function na may partikular na panahon sa anyo ng isang serye. SA pangkalahatang pananaw ang solusyon na ito ay tinatawag na pagpapalawak ng elemento sa isang orthogonal na batayan. Ang pagpapalawak ng mga function sa seryeng Fourier ay isang medyo makapangyarihang tool para sa paglutas ng iba't ibang mga problema dahil sa mga katangian ng pagbabagong ito sa panahon ng integration, differentiation, pati na rin ang paglilipat ng mga expression sa pamamagitan ng argumento at convolution.
Ang isang tao na hindi pamilyar sa mas mataas na matematika, pati na rin sa mga gawa ng Pranses na siyentipiko na si Fourier, malamang na hindi mauunawaan kung ano ang mga "serye" na ito at kung ano ang kailangan nila. Samantala, ang pagbabagong ito ay naging lubos na isinama sa ating buhay. Ginagamit ito hindi lamang ng mga mathematician, kundi pati na rin ng mga physicist, chemist, doktor, astronomer, seismologist, oceanographer at marami pang iba. Tingnan din natin ang mga gawa ng mahusay na Pranses na siyentipiko na nakagawa ng isang pagtuklas na nauna sa panahon nito.
Ang Tao at ang Fourier ay nagbabago
Ang seryeng Fourier ay isa sa mga pamamaraan (kasama ang pagsusuri at iba pa). Ang prosesong ito ay nangyayari sa tuwing nakakarinig ng tunog ang isang tao. Awtomatikong binabago ng ating tainga ang mga elementarya na particle sa isang elastic na medium sa mga hilera (sa spectrum) ng sunud-sunod na antas ng volume para sa mga tono ng iba't ibang taas. Susunod, ginagawa ng utak ang data na ito sa mga tunog na pamilyar sa atin. Ang lahat ng ito ay nangyayari nang wala ang ating pagnanais o kamalayan, sa sarili nitong, ngunit upang maunawaan ang mga prosesong ito, aabutin ng ilang taon upang pag-aralan ang mas mataas na matematika.
Higit pa tungkol sa Fourier transform
Ang pagbabagong Fourier ay maaaring isagawa gamit ang analytical, numerical at iba pang mga pamamaraan. Ang Fourier series ay tumutukoy sa numerical na paraan ng pag-decomposing ng anumang oscillatory na proseso - mula sa karagatan at light waves hanggang sa mga siklo ng solar (at iba pang astronomical na bagay) na aktibidad. Gamit ang mga mathematical technique na ito, maaari mong pag-aralan ang mga function, na kumakatawan sa anumang oscillatory na proseso bilang isang serye ng mga sinusoidal na bahagi na lumilipat mula sa minimum hanggang sa maximum at pabalik. Ang Fourier transform ay isang function na naglalarawan sa phase at amplitude ng sinusoids na tumutugma sa isang tiyak na frequency. Ang prosesong ito ay maaaring gamitin upang malutas ang napaka kumplikadong mga equation, na naglalarawan mga dinamikong proseso, na nagmumula sa ilalim ng impluwensya ng thermal, liwanag o elektrikal na enerhiya. Gayundin, ginagawang posible ng serye ng Fourier na ihiwalay ang mga pare-parehong bahagi sa mga kumplikadong oscillatory signal, na ginagawang posible na wastong bigyang-kahulugan ang mga eksperimentong obserbasyon na nakuha sa medisina, kimika at astronomiya.
Makasaysayang sanggunian
Ang founding father ng teoryang ito ay ang French mathematician na si Jean Baptiste Joseph Fourier. Ang pagbabagong ito ay ipinangalan sa kanya pagkatapos. Sa una, ginamit ng siyentipiko ang kanyang pamamaraan upang pag-aralan at ipaliwanag ang mga mekanismo ng thermal conductivity - ang pagkalat ng init sa mga solido. Iminungkahi ni Fourier na ang paunang hindi regular na pamamahagi ay maaaring mabulok sa mga simpleng sinusoid, na ang bawat isa ay magkakaroon ng sarili nitong minimum at maximum na temperatura, pati na rin ang sarili nitong yugto. Sa kasong ito, ang bawat naturang bahagi ay susukatin mula sa minimum hanggang sa maximum at pabalik. Ang mathematical function na naglalarawan sa upper at lower peak ng curve, pati na rin ang phase ng bawat harmonic, ay tinatawag na Fourier transform ng temperature distribution expression. Binawasan ng may-akda ng teorya ang pangkalahatang function ng pamamahagi, na mahirap gawin paglalarawan sa matematika, sa isang napaka-maginhawang serye ng cosine at sine, na magkakasamang nagbibigay ng orihinal na pamamahagi.
Ang prinsipyo ng pagbabago at mga pananaw ng mga kontemporaryo
Ang mga kontemporaryo ng siyentipiko - mga nangungunang mathematician noong unang bahagi ng ikalabinsiyam na siglo - ay hindi tinanggap ang teoryang ito. Ang pangunahing pagtutol ay ang paninindigan ni Fourier na ang isang discontinuous function, na naglalarawan sa isang tuwid na linya o isang discontinuous curve, ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan ng sinusoidal expression na tuluy-tuloy. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang Heaviside step: ang value nito ay zero sa kaliwa ng discontinuity at isa sa kanan. Inilalarawan ng function na ito ang pag-asa ng electric current sa isang pansamantalang variable kapag ang circuit ay sarado. Ang mga kontemporaryo ng teorya noong panahong iyon ay hindi pa nakatagpo ng katulad na sitwasyon kung saan ang isang di-tuloy na pagpapahayag ay ilalarawan sa pamamagitan ng kumbinasyon ng tuluy-tuloy, ordinaryong mga pag-andar tulad ng exponential, sine, linear o quadratic.
Ano ang nakalilito sa mga French mathematician tungkol sa teorya ni Fourier?
Pagkatapos ng lahat, kung tama ang mathematician sa kanyang mga pahayag, kung gayon, pagbubuod ng walang katapusan serye ng trigonometriko Fourier, posibleng makakuha ng eksaktong representasyon ng isang step expression kahit na marami itong katulad na hakbang. Sa simula ng ikalabinsiyam na siglo, ang gayong pahayag ay tila walang katotohanan. Ngunit sa kabila ng lahat ng mga pagdududa, maraming mga mathematician ang pinalawak ang saklaw ng pag-aaral ng hindi pangkaraniwang bagay na ito, na dinadala ito sa kabila ng pag-aaral ng thermal conductivity. Gayunpaman, ang karamihan sa mga siyentipiko ay patuloy na pinahihirapan ng tanong na: "Maaari bang ang kabuuan ng isang serye ng sinusoidal ay magtatagpo sa eksaktong halaga ng hindi tuloy-tuloy na pag-andar?"
Convergence ng Fourier series: isang halimbawa
Ang tanong ng convergence ay bumangon sa tuwing kinakailangan na magsama ng walang katapusang serye ng mga numero. Upang maunawaan ang hindi pangkaraniwang bagay na ito, isaalang-alang klasikong halimbawa. Maaabot mo ba ang pader kung ang bawat susunod na hakbang ay kalahati ng laki ng nauna? Sabihin nating dalawang metro ka mula sa iyong target, ang unang hakbang ay magdadala sa iyo sa kalahating marka, ang susunod ay magdadala sa iyo sa tatlong-kapat na marka, at pagkatapos ng ikalima ay nasasaklaw mo na ang halos 97 porsiyento ng daan. Gayunpaman, gaano man karaming mga hakbang ang iyong gawin, hindi mo makakamit ang iyong nilalayon na layunin sa isang mahigpit na kahulugan ng matematika. Gamit ang mga numerical na kalkulasyon, mapapatunayan na sa kalaunan ay posible na makakuha ng mas malapit sa ibinigay na distansya. Ang patunay na ito ay katumbas ng pagpapakita na ang kabuuan ng kalahati, ikaapat, atbp. ay may posibilidad sa pagkakaisa.
The Question of Convergence: The Second Coming, or Lord Kelvin's Device
Muling ibinangon ang isyung ito sa pagtatapos ng ikalabinsiyam na siglo, nang sinubukan nilang gamitin ang serye ng Fourier upang mahulaan ang tide ng tides. Sa oras na ito, nag-imbento si Lord Kelvin ng isang instrumento, isang analog computing device na nagpapahintulot sa mga mandaragat ng militar at mangangalakal na masubaybayan ang natural na hindi pangkaraniwang bagay na ito. Tinukoy ng mekanismong ito ang mga hanay ng mga phase at amplitude mula sa isang talaan ng mga taas ng tubig at kaukulang mga punto ng oras, na maingat na sinusukat sa isang partikular na daungan sa buong taon. Ang bawat parameter ay isang sinusoidal na bahagi ng pagpapahayag ng taas ng tubig at isa sa mga regular na bahagi. Ang mga sukat ay ipinasok sa instrumento sa pagkalkula ni Lord Kelvin, na nag-synthesize ng isang curve na hinulaang ang taas ng tubig bilang isang function ng oras para sa susunod na taon. Sa lalong madaling panahon ang mga katulad na kurba ay iginuhit para sa lahat ng mga daungan ng mundo.
Paano kung ang proseso ay naabala ng isang hindi tuloy na paggana?
Sa oras na iyon ay tila halata na ang isang tidal wave predictor na may malaking bilang ng mga elemento ng pagbibilang ay maaaring kalkulahin ang isang malaking bilang ng mga phase at amplitudes at sa gayon ay nagbibigay ng mas tumpak na mga hula. Gayunpaman, lumabas na ang pattern na ito ay hindi sinusunod sa mga kaso kung saan ang tidal expression na dapat i-synthesize ay naglalaman ng isang matalim na pagtalon, iyon ay, ito ay hindi natuloy. Kung ang data mula sa isang talaan ng mga sandali ng oras ay ipinasok sa aparato, kinakalkula nito ang ilang mga Fourier coefficient. Ang orihinal na pag-andar ay naibalik salamat sa mga bahagi ng sinusoidal (alinsunod sa mga natagpuang coefficient). Ang pagkakaiba sa pagitan ng orihinal at muling itinayong expression ay maaaring masukat sa anumang punto. Kapag nagsasagawa ng paulit-ulit na mga kalkulasyon at paghahambing, malinaw na ang halaga pinakamalaking pagkakamali hindi bumababa. Gayunpaman, ang mga ito ay naisalokal sa rehiyon na tumutugma sa discontinuity point, at sa anumang iba pang punto ay may posibilidad silang maging zero. Noong 1899, ang resultang ito ay theoretically nakumpirma ni Joshua Willard Gibbs ng Yale University.
Convergence ng Fourier series at ang pag-unlad ng matematika sa pangkalahatan
Ang pagsusuri ng Fourier ay hindi naaangkop sa mga expression na naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga spike sa isang partikular na agwat. Sa pangkalahatan, Fourier series, kung ang orihinal na function ay kinakatawan ng resulta ng real pisikal na dimensyon, laging nagtatagpo. Ang mga tanong tungkol sa convergence ng prosesong ito para sa mga tiyak na klase ng mga function ay humantong sa paglitaw ng mga bagong sangay sa matematika, halimbawa, ang teorya ng generalised function. Siya ay nauugnay sa mga pangalan tulad ng L. Schwartz, J. Mikusinski at J. Temple. Sa loob ng balangkas ng teoryang ito, isang malinaw at tumpak teoretikal na batayan sa ilalim ng mga expression tulad ng Dirac delta function (ito ay naglalarawan ng isang rehiyon ng isang solong lugar na puro sa isang infinitesimal na kapitbahayan ng isang punto) at ang Heaviside "step". Salamat sa gawaing ito, naging naaangkop ang serye ng Fourier sa paglutas ng mga equation at mga problemang kinasasangkutan ng mga intuitive na konsepto: point charge, point mass, magnetic dipoles, at concentrated load sa isang beam.
Fourier na pamamaraan
Ang serye ng Fourier, alinsunod sa mga prinsipyo ng panghihimasok, ay nagsisimula sa agnas ng mga kumplikadong anyo sa mas simple. Halimbawa, ang pagbabago sa daloy ng init ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng pagdaan nito sa iba't ibang mga hadlang na gawa sa heat-insulating material na hindi regular na hugis o pagbabago sa ibabaw ng lupa - isang lindol, isang pagbabago sa orbit. celestial body- impluwensya ng mga planeta. Bilang isang patakaran, ang mga equation na naglalarawan ng mga simpleng klasikal na sistema ay madaling malutas para sa bawat indibidwal na alon. Ipinakita iyon ni Fourier mga simpleng solusyon ay maaari ding isama upang makakuha ng mga solusyon sa mas kumplikadong mga problema. Sa mga terminong pangmatematika, ang seryeng Fourier ay isang pamamaraan para sa kumakatawan sa isang ekspresyon bilang kabuuan ng mga harmonika - cosine at sine. kaya lang pagsusuring ito kilala rin bilang harmonic analysis.
Fourier series - isang perpektong pamamaraan bago ang "panahon ng computer"
Bago ang paglikha ng teknolohiya ng computer, ang diskarteng Fourier ay ang pinakamahusay na sandata sa arsenal ng mga siyentipiko kapag nagtatrabaho sa likas na alon ng ating mundo. Ang seryeng Fourier sa kumplikadong anyo ay ginagawang posible upang malutas hindi lamang ang mga simpleng problema na pumapayag sa direktang aplikasyon ng mga batas ng mekanika ni Newton, kundi pati na rin ang mga pangunahing equation. Karamihan sa mga natuklasan ng Newtonian science noong ikalabinsiyam na siglo ay naging posible lamang sa pamamagitan ng pamamaraan ni Fourier.
Fourier series ngayon
Sa pag-unlad ng mga computer, ang Fourier transforms ay tumaas sa isang qualitatively bagong antas. Ang diskarteng ito matatag na itinatag sa halos lahat ng larangan ng agham at teknolohiya. Ang isang halimbawa ay digital audio at video. Ang pagpapatupad nito ay naging posible lamang salamat sa isang teorya na binuo ng isang Pranses na matematiko sa simula ng ikalabinsiyam na siglo. Kaya, ang seryeng Fourier sa isang kumplikadong anyo ay naging posible upang makagawa ng isang pambihirang tagumpay sa pag-aaral ng kalawakan. Bilang karagdagan, naimpluwensyahan nito ang pag-aaral ng pisika ng mga semiconductor na materyales at plasma, microwave acoustics, oceanography, radar, at seismology.
Serye ng Trigonometric Fourier
Sa matematika, ang seryeng Fourier ay isang paraan ng pagkatawan ng arbitraryo kumplikadong mga pag-andar ang kabuuan ng mga mas simple. Sa mga pangkalahatang kaso, ang bilang ng mga naturang expression ay maaaring walang katapusan. Bukod dito, kung higit na isinasaalang-alang ang kanilang numero sa pagkalkula, mas tumpak ang huling resulta. Kadalasan, ang mga trigonometriko na pag-andar ng cosine o sine ay ginagamit bilang pinakasimpleng mga. Sa kasong ito, ang serye ng Fourier ay tinatawag na trigonometric, at ang solusyon ng naturang mga expression ay tinatawag na harmonic expansion. Ang pamamaraang ito ay gumaganap mahalagang papel sa matematika. Una sa lahat, ang serye ng trigonometriko ay nagbibigay ng isang paraan para sa paglalarawan at pag-aaral din ng mga pag-andar; ito ang pangunahing kagamitan ng teorya. Bilang karagdagan, pinapayagan ka nitong malutas ang isang bilang ng mga problema sa matematikal na pisika. Sa wakas, ang teoryang ito ay nag-ambag sa pag-unlad at binigyang buhay buong linya napakahalagang mga seksyon ng agham ng matematika (ang teorya ng mga integral, ang teorya ng mga pana-panahong pag-andar). Bilang karagdagan, ito ay nagsilbing panimulang punto para sa pagbuo ng mga sumusunod na pag-andar ng isang tunay na variable, at inilatag din ang pundasyon para sa harmonic analysis.
Fourier na serye ng mga periodic function na may period 2π.
Ang seryeng Fourier ay nagpapahintulot sa amin na pag-aralan ang mga pana-panahong pag-andar sa pamamagitan ng pag-decomposing sa mga ito sa mga bahagi. Ang mga alternating current at voltages, displacements, speed at acceleration ng crank mechanisms at acoustic waves ay mga tipikal na praktikal na halimbawa ng paggamit ng periodic functions sa mga kalkulasyon ng engineering.
Ang pagpapalawak ng serye ng Fourier ay batay sa pagpapalagay na ang lahat ng mga function ng praktikal na kahalagahan sa pagitan -π ≤x≤ π ay maaaring ipahayag sa anyo ng convergent trigonometric series (ang isang serye ay itinuturing na convergent kung ang pagkakasunud-sunod ng mga partial sums na binubuo ng mga termino nito nagtatagpo):
Karaniwang (=ordinaryong) notation sa pamamagitan ng kabuuan ng sinx at cosx
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
kung saan ang a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. ay mga tunay na constants, i.e.
Kung saan, para sa hanay mula -π hanggang π, ang mga coefficient ng seryeng Fourier ay kinakalkula gamit ang mga formula:
Ang mga coefficient na a o , a n at b n ay tinatawag Fourier coefficients, at kung mahahanap ang mga ito, tatawagin ang serye (1). sa tabi ni Fourier, naaayon sa function na f(x). Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx+b 1 sinx) ay tinatawag na una o pangunahing harmonic,
Ang isa pang paraan upang magsulat ng isang serye ay ang paggamit ng ugnayang acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Kung saan ang a o ay pare-pareho, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 ay ang mga amplitude ng iba't ibang bahagi, at katumbas ng a n =arctg a n /b n.
Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx+b 1 sinx) o c 1 sin(x+α 1) ay tinatawag na una o pangunahing harmonic,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) o c 2 sin(2x+α 2) ay tinatawag pangalawang harmonic at iba pa.
Upang tumpak na kumatawan sa isang kumplikadong signal ay karaniwang nangangailangan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino. Gayunpaman, sa maraming praktikal na mga problema sapat na upang isaalang-alang lamang ang mga unang ilang termino.
Fourier series ng non-periodic functions na may period 2π.
Pagpapalawak ng mga non-periodic function sa Fourier series.
Kung ang function na f(x) ay hindi pana-panahon, nangangahulugan ito na hindi ito mapalawak sa isang seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Gayunpaman, posibleng tumukoy ng seryeng Fourier na kumakatawan sa isang function sa anumang saklaw ng lapad na 2π.
Dahil sa isang non-periodic function, ang isang bagong function ay maaaring mabuo sa pamamagitan ng pagpili ng mga value ng f(x) sa loob ng isang partikular na range at pag-uulit ng mga ito sa labas ng range na iyon sa 2π interval. Dahil ang bagong function ay panaka-nakang may tuldok 2π, maaari itong palawakin sa seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Halimbawa, ang function na f(x)=x ay hindi pana-panahon. Gayunpaman, kung kinakailangan na palawakin ito sa isang seryeng Fourier sa pagitan mula o hanggang 2π, pagkatapos ay sa labas ng agwat na ito isang pana-panahong pag-andar na may panahon na 2π ay itinayo (tulad ng ipinapakita sa figure sa ibaba).
Para sa mga non-periodic function tulad ng f(x)=x, ang kabuuan ng Fourier series ay katumbas ng halaga ng f(x) sa lahat ng punto sa isang partikular na range, ngunit hindi ito katumbas ng f(x) para sa mga puntos sa labas ng saklaw. Upang mahanap ang seryeng Fourier ng isang non-periodic function sa 2π range, ang parehong formula ng Fourier coefficients ay ginagamit.
Kahit at kakaibang mga function.
Sabi nila ang function y=f(x) kahit, kung f(-x)=f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng kahit na mga function ay palaging simetriko tungkol sa y-axis (iyon ay, sila ay mga mirror na imahe). Dalawang halimbawa ng even functions: y=x2 at y=cosx.
Sinasabi nila na ang function na y=f(x) kakaiba, kung f(-x)=-f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng mga kakaibang function ay palaging simetriko tungkol sa pinagmulan.
Maraming mga pag-andar ay hindi kahit na o kakaiba.
Pagpapalawak ng serye ng Fourier sa mga cosine.
Ang Fourier series ng even periodic function f(x) na may period 2π ay naglalaman lamang ng mga cosine terms (ibig sabihin, walang sine terms) at maaaring may kasamang constant term. Kaya naman,
nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,
Ang seryeng Fourier ng isang kakaibang periodic function na f(x) na may tuldok 2π ay naglalaman lamang ng mga terminong may mga sine (iyon ay, hindi ito naglalaman ng mga termino na may mga cosine).
Kaya naman,
nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,
Fourier series sa kalahating cycle.
Kung ang isang function ay tinukoy para sa isang saklaw, sabihin nating mula 0 hanggang π, at hindi lamang mula 0 hanggang 2π, maaari itong palawakin sa isang serye sa mga sine o lamang sa mga cosine. Ang nagresultang serye ng Fourier ay tinatawag malapit sa Fourier sa kalahating ikot.
Kung gusto mong makuha ang agnas Half-cycle Fourier sa pamamagitan ng mga cosine function na f(x) sa hanay mula 0 hanggang π, kung gayon kinakailangan na bumuo ng pantay na periodic function. Sa Fig. Nasa ibaba ang function na f(x)=x, na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang kahit na function ay simetriko tungkol sa f(x) axis, gumuhit kami ng linya AB, tulad ng ipinapakita sa Fig. sa ibaba. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng itinuturing na agwat, ang nagreresultang triangular na hugis ay panaka-nakang may tuldok na 2π, kung gayon ang huling graph ay ganito ang hitsura: sa Fig. sa ibaba. Dahil kailangan nating makuha ang Fourier expansion sa mga cosine, tulad ng dati, kinakalkula natin ang Fourier coefficients a o at a n
Kung gusto mong makakuha ng mga function na f(x) sa hanay mula 0 hanggang π, kailangan mong bumuo ng kakaibang periodic function. Sa Fig. Nasa ibaba ang function na f(x)=x, na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang kakaibang pag-andar ay simetriko tungkol sa pinagmulan, binubuo namin ang linya ng CD, tulad ng ipinapakita sa Fig. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng isinasaalang-alang na pagitan ang nagreresultang signal ng sawtooth ay panaka-nakang may panahon na 2π, kung gayon ang panghuling graph ay may anyo na ipinapakita sa Fig. Dahil kailangan nating makuha ang Fourier expansion ng half-cycle sa mga tuntunin ng mga sine, tulad ng dati, kinakalkula namin ang Fourier coefficient. b
Fourier series para sa arbitrary na pagitan.
Pagpapalawak ng periodic function na may period L.
Ang periodic function na f(x) ay umuulit habang ang x ay tumataas ng L, i.e. f(x+L)=f(x). Ang paglipat mula sa naunang itinuturing na mga function na may panahon na 2π hanggang sa mga function na may isang panahon ng L ay medyo simple, dahil ito ay maaaring gawin gamit ang isang pagbabago ng variable.
Upang mahanap ang seryeng Fourier ng function na f(x) sa hanay na -L/2≤x≤L/2, ipinakilala namin ang isang bagong variable na u upang ang function na f(x) ay may panahon na 2π na may kaugnayan sa u. Kung u=2πx/L, kung gayon ang x=-L/2 para sa u=-π at x=L/2 para sa u=π. Hayaan din ang f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ang seryeng Fourier F(u) ay may anyo
Nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,
Gayunpaman, mas madalas ang formula sa itaas ay nagreresulta sa isang pagtitiwala sa x. Dahil u=2πx/L, nangangahulugan ito ng du=(2π/L)dx, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay mula -L/2 hanggang L/2 sa halip na - π hanggang π. Dahil dito, ang seryeng Fourier para sa pagtitiwala sa x ay may anyo
kung saan sa hanay mula -L/2 hanggang L/2 ay ang mga coefficient ng seryeng Fourier,
(Ang mga limitasyon ng pagsasama ay maaaring mapalitan ng anumang pagitan ng haba L, halimbawa, mula 0 hanggang L)
Fourier series sa kalahating cycle para sa mga function na tinukoy sa interval L≠2π.
Para sa pagpapalit na u=πх/L, ang pagitan mula x=0 hanggang x=L ay tumutugma sa pagitan mula u=0 hanggang u=π. Dahil dito, ang function ay maaaring palawakin sa isang serye lamang sa mga cosine o lamang sa mga sine, i.e. V Fourier series sa kalahating cycle.
Ang pagpapalawak ng cosine sa hanay mula 0 hanggang L ay may anyo
Tinukoy ang function para sa lahat ng value x tinawag pana-panahon, kung may ganoong numero T (T≠ 0), na para sa anumang halaga x pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay f(x + T) = f(x). Numero T sa kasong ito ay ang panahon ng pag-andar.
Mga katangian ng pana-panahong pag-andar:
1) Kabuuan, pagkakaiba, produkto at quotient ng periodic functions ng period T ay isang periodic function ng period T.
2) Kung ang function f(x) may period T, pagkatapos ay ang function f(ax) may period
Sa katunayan, para sa anumang argumento X:
(Ang pagpaparami ng argumento sa isang numero ay nangangahulugan ng pag-compress o pag-stretch sa graph ng function na ito kasama ang axis OH)
Halimbawa, ang isang function ay may period, ang period ng function ay
3) Kung f(x) periodic period function T, kung gayon ang alinmang dalawang integral ng function na ito, na kinuha sa pagitan ng haba, ay pantay T(Ipinapalagay na ang mga integral na ito ay umiiral).
Fourier series para sa isang function na may period T= .
Ang isang trigonometriko serye ay isang serye ng anyo:
o, sa madaling salita,
Kung saan ang , , , , , … , , , … ay mga tunay na numero na tinatawag na coefficients ng serye.
Ang bawat termino ng trigonometriko serye ay isang panaka-nakang pag-andar ng panahon (dahil - mayroon
tuldok, at tuldok () ay katumbas ng , at samakatuwid, ). Bawat termino (), na may n= 1,2,3... ay isang analytical expression para sa isang simpleng harmonic oscillation, kung saan A- malawak,
Unang bahagi. Isinasaalang-alang ang nasa itaas, nakukuha natin: kung ang isang trigonometriko na serye ay nagtatagpo sa isang bahagi ng haba ng panahon, kung gayon ito ay nagtatagpo sa buong linya ng numero at ang kabuuan nito ay isang periodic function ng period.
Hayaang magtagpo nang pantay ang trigonometriko sa isang segment (at samakatuwid sa anumang segment) at ang kabuuan nito ay katumbas ng . Upang matukoy ang mga coefficient ng seryeng ito, ginagamit namin ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay:
Gagamitin din namin ang mga sumusunod na katangian.
1) Gaya ng nalalaman, ang kabuuan ng isang serye na binubuo ng tuluy-tuloy na mga function na pare-parehong nagtatagpo sa isang partikular na segment ay mismong isang tuluy-tuloy na function sa segment na ito. Isinasaalang-alang ito, nalaman namin na ang kabuuan ng isang trigonometriko na serye na pare-parehong nagtatagpo sa isang segment ay isang tuluy-tuloy na function sa buong linya ng numero.
2) Ang pare-parehong convergence ng isang serye sa isang segment ay hindi lalabag kung ang lahat ng mga termino ng serye ay i-multiply sa isang function na tuluy-tuloy sa segment na ito.
Sa partikular, ang pare-parehong convergence sa isang segment ng isang ibinigay na trigonometriko na serye ay hindi lalabagin kung ang lahat ng mga tuntunin ng serye ay i-multiply sa o sa .
Sa pamamagitan ng kondisyon
Bilang resulta ng term-by-term na pagsasama ng pare-parehong convergent na serye (4.2) at isinasaalang-alang ang mga pagkakapantay-pantay sa itaas (4.1) (orthogonality ng trigonometriko function), nakukuha namin ang:
Samakatuwid, ang koepisyent
Pag-multiply ng pagkakapantay-pantay (4.2) sa pamamagitan ng , pagsasama ng pagkakapantay-pantay na ito sa hanay mula hanggang at, isinasaalang-alang ang mga expression sa itaas (4.1), nakukuha natin ang:
Samakatuwid, ang koepisyent
Katulad nito, ang pagpaparami ng pagkakapantay-pantay (4.2) sa pamamagitan ng at pagsasama nito sa hanay mula hanggang , na isinasaalang-alang ang mga pagkakapantay-pantay (4.1) mayroon tayo:
Samakatuwid, ang koepisyent
Kaya, ang mga sumusunod na expression para sa mga coefficient ng serye ng Fourier ay nakuha:
Sapat na pamantayan para sa decomposability ng isang function sa isang Fourier series. Alalahanin na ang punto x o function break f(x) tinatawag na discontinuity point ng unang uri kung may mga hangganan na limitasyon sa kanan at kaliwa ng function f(x) sa paligid ng isang punto.
Limitahan sa kanan
Kaliwang limitasyon.
Teorama (Dirichlet). Kung ang function f(x) ay may tuldok at tuloy-tuloy sa segment o may hangganang bilang ng mga discontinuity point ng unang uri at, bilang karagdagan, ang segment ay maaaring hatiin sa isang may hangganang bilang ng mga segment upang sa loob ng bawat isa sa kanila f(x) ay monotonic, pagkatapos ay ang Fourier series para sa function f(x) nagtatagpo para sa lahat ng mga halaga x. Bukod dito, sa mga punto ng pagpapatuloy ng pag-andar f(x) ang kabuuan nito ay katumbas f(x), at sa mga punto ng discontinuity ng function f(x) ang kabuuan nito ay katumbas, i.e. ang ibig sabihin ng aritmetika ng mga halaga ng limitasyon sa kaliwa at kanan. Bilang karagdagan, ang Fourier series para sa function f(x) pantay na nagtatagpo sa anumang segment na, kasama ang mga dulo nito, ay kabilang sa pagitan ng pagpapatuloy ng function f(x).
Halimbawa: palawakin ang function sa isang seryeng Fourier
Satisfying the condition.
Solusyon. Function f(x) natutugunan ang mga kondisyon ng pagpapalawak sa isang seryeng Fourier, upang maisulat natin:
Alinsunod sa mga formula (4.3), ang mga sumusunod na halaga ng mga coefficient ng serye ng Fourier ay maaaring makuha:
Kapag kinakalkula ang mga coefficient ng serye ng Fourier, ginamit ang formula ng "pagsasama ng mga bahagi".
At samakatuwid
Fourier series para sa even at odd na function na may period T = .
Ginagamit namin ang sumusunod na katangian ng integral sa ibabaw ng simetriko na may paggalang sa x=0 gap:
Kung f(x)- kakaibang pag-andar,
Kung f(x)- kahit na function.
Tandaan na ang produkto ng dalawang even o dalawang odd function ay isang even function, at ang product ng even function at odd function ay isang odd na function. Hayaan mo na f(x)- kahit na periodic function na may period , nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon ng pagpapalawak sa isang serye ng Fourier. Pagkatapos, gamit ang nasa itaas na pag-aari ng mga integral, nakukuha namin ang:
Kaya, ang seryeng Fourier para sa isang kahit na pag-andar ay naglalaman lamang ng mga pag-andar - mga cosine at nakasulat bilang mga sumusunod:
at ang mga coefficient bn = 0.
Nangangatuwiran din, nalaman natin na kung f(x) - ay isang kakaibang periodic function na nakakatugon sa mga kundisyon ng pagpapalawak sa isang Fourier series, kung gayon, ang Fourier series para sa isang kakaibang function ay naglalaman lamang ng mga kakaibang function - mga sine at nakasulat bilang mga sumusunod:
kung saan isang =0 sa n= 0, 1,…
Halimbawa: palawakin ang isang periodic function sa isang Fourier series
Dahil ang ibinigay na kakaibang function f(x) natutugunan ang mga kondisyon ng pagpapalawak sa isang seryeng Fourier, kung gayon
o, ano ang pareho,
At ang Fourier series para sa function na ito f(x) maaaring isulat ng ganito:
Fourier series para sa mga function ng anumang period T=2 l.
Hayaan f(x)- panaka-nakang pag-andar ng anumang panahon T=2l(l- kalahating cycle), piecewise smooth o piecewise monotononic sa segment [ -l, l]. Naniniwala x=at, makuha namin ang function f(sa) argumento t, na ang panahon ay katumbas . Pumili tayo A upang ang panahon ng pag-andar f(sa) ay pantay, i.e. T = 2l
Solusyon. Function f(x)- kakaiba, nakakatugon sa mga kondisyon ng pagpapalawak sa isang serye ng Fourier, samakatuwid, batay sa mga formula (4.12) at (4.13), mayroon kaming:
(kapag kinakalkula ang integral, ginamit namin ang formula na "pagsasama ng mga bahagi").
Fourier series expansion ng even at odd function expansion ng isang function na ibinigay sa isang interval sa isang series sa sines o cosine Fourier series para sa isang function na may arbitrary period Complex representation ng Fourier series Fourier series sa pangkalahatang orthogonal system ng mga function Fourier series sa isang orthogonal system Minimal na pag-aari ng Fourier coefficients Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bessel Pagkakapantay-pantay Parseval Mga saradong sistema Pagkakumpleto at pagsasara ng mga system
Fourier series expansion ng even at odd functions Ang isang function na f(x), na tinukoy sa interval \-1, kung saan ang I > 0, ay tinatawag kahit na ang graph ng even function ay simetriko tungkol sa ordinate axis. Ang isang function na f(x), na tinukoy sa segment na J), kung saan ang I > 0, ay tinatawag na kakaiba kung ang graph ng kakaibang function ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan. Halimbawa. a) Ang function ay kahit sa pagitan |-jt, jt), dahil para sa lahat x e b) Ang function ay kakaiba, dahil ang Fourier series expansion ng even at odd function ay pagpapalawak ng isang function na ibinigay sa isang interval sa isang serye sa sines o cosine Fourier series para sa isang function na may arbitrary period Complex na representasyon ng Fourier series Fourier series para sa pangkalahatang orthogonal system ng mga function Fourier series para sa orthogonal system Minimal na ari-arian ng Fourier coefficients Hindi pagkakapantay-pantay ni Bessel Parseval's equality Closed systems Completeness and closedness of systems c) Function f (x)=x2-x, kung saan ay hindi kabilang sa kahit na o sa kakaibang mga function, dahil Hayaan ang function na f(x), na nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon ng Theorem 1, maging kahit sa pagitan ng x|. Pagkatapos para sa lahat i.e. /(g) dahil ang nx ay kahit function , at ang f(x)sinnx ay kakaiba. Samakatuwid, ang Fourier coefficients ng isang even function f(x) ay magiging pantay.Samakatuwid, ang Fourier series ng isang even function ay may anyong f(x) sin х - isang even function. Samakatuwid, magkakaroon tayo ng Kaya, ang Fourier series ng isang kakaibang function ay may anyo na Halimbawa 1. Palawakin ang function 4 sa isang Fourier series sa interval -x ^ x ^ n Dahil ang function na ito ay even at nakakatugon sa mga kondisyon ng Theorem 1, pagkatapos ang seryeng Fourier nito ay may anyo na Find the Fourier coefficients. Mayroon kaming Paglalapat ng pagsasama sa pamamagitan ng mga bahagi nang dalawang beses, nakuha namin na Kaya, ang serye ng Fourier ng function na ito ay ganito ang hitsura: o, sa pinalawak na anyo, Ang pagkakapantay-pantay na ito ay wasto para sa anumang x €, dahil sa mga puntong x = ±ir ang kabuuan ng ang serye ay tumutugma sa mga halaga ng function na f(x ) = x2, dahil ang mga graph ng function na f(x) = x at ang kabuuan ng resultang serye ay ibinibigay sa Fig. Magkomento. Ang Fourier series na ito ay nagpapahintulot sa amin na mahanap ang kabuuan ng isa sa convergent numerical series, ibig sabihin, para sa x = 0 makuha namin ang Halimbawa 2. Palawakin ang function /(x) = x sa isang Fourier series sa pagitan. Ang function na /(x) ay nakakatugon sa mga kondisyon ng Theorem 1, samakatuwid maaari itong palawakin sa isang Fourier series, na, dahil sa kakaiba ng function na ito, ay magkakaroon ng form na Integrating by parts, makikita natin ang Fourier coefficients. Samakatuwid, ang Ang serye ng Fourier ng function na ito ay may anyo Ang pagkakapantay-pantay na ito ay humahawak para sa lahat ng x B sa mga puntos na x - ±t ang kabuuan ng seryeng Fourier ay hindi tumutugma sa mga halaga ng function /(x) = x, dahil ito ay katumbas ng Sa labas ng pagitan [-*, i-] ang kabuuan ng serye ay isang pana-panahong pagpapatuloy ng function na /(x) = x; ang graph nito ay ipinapakita sa Fig. 6. § 6. Pagpapalawak ng isang function na ibinigay sa isang interval sa isang serye sa mga sine o cosine Hayaan ang isang bounded piecewise monotonic function / ay ibigay sa pagitan. Ang mga halaga ng function na ito sa pagitan 0| maaaring higit pang tukuyin sa iba't ibang paraan. Halimbawa, maaari mong tukuyin ang isang function / sa segment tc] upang /. Sa kasong ito, sinasabi nila na) "ay pinalawak sa segment 0] sa pantay na paraan"; ang Fourier series nito ay maglalaman lamang ng mga cosine. Kung ang pag-andar /(x) ay tinukoy sa pagitan [-l-, mc] upang /(, kung gayon ang resulta ay isang kakaibang pag-andar, at pagkatapos ay sinasabi nila na / ay "pinalawak sa pagitan [-*, 0] sa isang kakaibang paraan"; sa kasong ito, ang Fourier series ay maglalaman lamang ng mga sine. Kaya, ang bawat bounded piecewise monotonic function /(x) na tinukoy sa pagitan ay maaaring palawakin sa isang Fourier series sa parehong mga sine at cosine. Halimbawa 1 Palawakin ang function sa isang Fourier series: a) sa pamamagitan ng cosine; b) sa pamamagitan ng mga sine. M Ang function na ito, kasama ang pantay at kakaibang mga pagpapatuloy nito sa segment |-x,0) ay magiging bounded at piecewise monotonic. a) I-extend /(z) sa segment 0) a) Extend j\x) sa segment (-π,0| sa pantay na paraan (Fig. 7), pagkatapos ang Fourier series na i nito ay magkakaroon ng form na Π = 1 kung saan ang Fourier coefficients ay pantay, ayon sa pagkakasunod-sunod para sa Samakatuwid, b) I-extend natin ang /(z) sa segment [-x,0] sa kakaibang paraan (Fig. 8). Pagkatapos ang seryeng Fourier nito §7. Fourier series para sa function na may arbitrary period Hayaang ang function fix) ay periodic na may period na 21.1 ^ 0. Para palawakin ito sa Fourier series sa interval kung saan I > 0, gumawa kami ng pagbabago ng variable sa pamamagitan ng pagtatakda ng x = jt . Pagkatapos ang function na F(t) = / ^tj ay magiging periodic function ng argument t na may period at maaari itong palawakin sa segment sa isang Fourier series. Pagbabalik sa variable x, ibig sabihin, setting, makuha namin ang lahat ng theorems valid para sa Fourier series ng periodic functions na may period 2π , mananatiling valid para sa periodic functions na may arbitrary period 21. Sa partikular, ang isang sapat na criterion para sa decomposability ng isang function sa isang Fourier series ay nananatiling valid din. Halimbawa 1. I-expand sa Fourier series ang periodic function na may period na 21, na ibinigay sa pagitan ng [-/,/] ng formula (Fig. 9). Dahil ang pag-andar na ito ay pantay, ang seryeng Fourier nito ay may anyo na Pinapalitan ang mga nahanap na halaga ng mga Fourier coefficient sa seryeng Fourier, nakuha namin ang isang bagay. mahalagang ari-arian mga pana-panahong pag-andar. Theorem 5. Kung ang isang function ay may tuldok na T at maaaring isama, kung gayon para sa anumang numero a ang pagkakapantay-pantay na m ay hawak. ibig sabihin, ang integral ng isang segment na ang haba ay katumbas ng period T ay may parehong halaga anuman ang posisyon ng segment na ito sa number axis. Sa katunayan, gumawa kami ng pagbabago ng variable sa pangalawang integral, sa pag-aakalang. Ito ay nagbibigay at samakatuwid, Geometrically, ang ari-arian na ito ay nangangahulugan na sa kaso ng lugar na may kulay sa Fig. 10 mga lugar ay katumbas ng bawat isa. Sa partikular, para sa isang function na f(x) na may panahon na nakukuha namin sa Expansion sa isang Fourier series ng even at odd na function, pagpapalawak ng isang function na ibinigay sa isang interval sa isang series sa sines o cosine Fourier series para sa isang function na may arbitrary panahon Complex notation ng Fourier series Fourier series in general orthogonal system functions Fourier series in an orthogonal system Minimal property of Fourier coefficients Bessel's inequality Parseval's equality Closed systems Completeness and closedness of systems Halimbawa 2. Ang function x ay panaka-nakang may period Dahil sa kakaiba ng function na ito, nang walang pagkalkula ng mga integral, maaari nating sabihin na para sa anumang Ang napatunayang pag-aari, sa partikular, ay nagpapakita na ang Fourier coefficients ng isang periodic function na f(x) na may panahon na 21 ay maaaring kalkulahin gamit ang mga formula kung saan ang a ay isang arbitrary real number (tandaan na ang mga function cos - at sin ay may panahon na 2/). Halimbawa 3. Palawakin sa isang seryeng Fourier ang isang function na ibinigay sa isang pagitan na may tuldok na 2x (Larawan 11). 4 Hanapin natin ang Fourier coefficients ng function na ito. Ang paglalagay sa mga formula ay makikita natin na para sa Samakatuwid, ang seryeng Fourier ay magiging ganito: Sa puntong x = jt (discontinuity point ng unang uri) mayroon tayong §8. Kumplikadong pag-record ng seryeng Fourier Gumagamit ang seksyong ito ng ilang elemento ng kumplikadong pagsusuri (tingnan ang Kabanata XXX, kung saan ang lahat ng pagkilos na isinagawa dito na may mga kumplikadong ekspresyon ay mahigpit na nabibigyang katwiran). Hayaang matugunan ng function na f(x) ang mga sapat na kundisyon para sa pagpapalawak sa isang seryeng Fourier. Pagkatapos sa segment na x] maaari itong katawanin ng isang serye ng anyo Gamit ang mga formula ni Euler Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa serye (1) sa halip na cos πx at sin φx ay magkakaroon tayo. form Kaya, ang seryeng Fourier (1) ay kinakatawan sa kumplikadong anyo (3). Maghanap tayo ng mga expression para sa mga coefficient sa pamamagitan ng mga integral. Mayroon kaming Katulad, nakita namin Ang mga huling formula para sa с„, с_п at с ay maaaring isulat bilang mga sumusunod: . . Ang mga coefficient c„ ay tinatawag na complex Fourier coefficients ng function. Para sa isang periodic function na may period) kumplikadong anyo Ang seryeng Fourier ay kukuha ng anyo kung saan ang mga coefficient Cn ay kinakalkula gamit ang mga formula. Ang convergence ng serye (3) at (4) ay nauunawaan bilang mga sumusunod: serye (3) at (4) ay tinatawag na convergent para sa isang ibinigay na halaga x kung may mga limitasyon Halimbawa. Palawakin ang period function sa isang kumplikadong serye ng Fourier. Ang function na ito ay nakakatugon sa mga sapat na kundisyon para sa pagpapalawak sa isang Fourier series. Hanapin natin ang kumplikadong Fourier coefficient ng function na ito. Mayroon kaming para sa kakaiba para sa kahit n, o, sa madaling salita. Ang pagpapalit sa mga halaga), sa wakas ay nakuha namin Tandaan na ang seryeng ito ay maaari ding isulat tulad ng sumusunod: Fourier series para sa pangkalahatang orthogonal system ng mga function 9.1. Orthogonal na mga sistema ng mga pag-andar Ipatukoy natin sa pamamagitan ng hanay ng lahat ng (totoong) function na tinukoy at maisasama sa pagitan [a, 6] na may parisukat, ibig sabihin, yaong kung saan mayroong isang integral. Sa partikular, lahat ng mga function f(x) tuloy-tuloy sa pagitan [a , 6], nabibilang sa 6], at ang mga halaga ng kanilang mga integral sa Lebesgue ay tumutugma sa mga halaga ng mga integral ng Riemann. Kahulugan. Ang isang sistema ng mga pag-andar, kung saan, ay tinatawag na orthogonal sa pagitan [a, b\, kung ang Kondisyon (1) ay ipinapalagay, sa partikular, na wala sa mga function ay magkaparehong zero. Ang integral ay nauunawaan sa kahulugan ng Lebesgue. at tinatawag natin ang dami bilang pamantayan ng function.Kung sa isang orthogonal system para sa anumang n mayroon tayo, kung gayon ang sistema ng mga function ay tinatawag na orthonormal. Kung ang sistema (y>„(x)) ay orthogonal, kung gayon ang sistema Halimbawa 1. Ang trigonometric system ay orthogonal sa isang segment. Ang sistema ng mga function ay isang orthonormal na sistema ng mga function sa, Halimbawa 2. Ang cosine system at ang sine system ay orthonormal. Ipakilala natin ang notasyon na sila ay orthogonal sa pagitan (0, f|, ngunit hindi orthonormal (para sa I Ф- 2). Dahil ang kanilang mga pamantayan ay COS Halimbawa 3. Ang mga polynomial na tinukoy ng pagkakapantay-pantay ay tinatawag na Legendre polynomials (polynomials). Para sa n = 0 mayroon tayo Maaari itong mapatunayan, na ang mga function ay bumubuo ng isang orthonormal na sistema ng mga function sa pagitan. Ipakita natin, halimbawa, ang orthogonality ng Legendre polynomials. Hayaan ang m > n. Sa kasong ito, ang pagsasama ng n beses sa pamamagitan ng mga bahagi, nahanap namin dahil para sa function na t/m = (z2 - I)m lahat ng derivatives hanggang sa order m - I inclusive maglaho sa dulo ng segment [-1,1). Kahulugan. Ang isang sistema ng mga function (pn(x)) ay tinatawag na orthogonal sa pagitan (a, b) ng isang overhang p(x) kung: 1) para sa lahat ng n = 1,2,... may mga integral. Narito ito ipinapalagay na ang function ng timbang na p(x) ay tinukoy at positibo sa lahat ng dako sa pagitan (a, b) na may posibleng pagbubukod ng isang may hangganang bilang ng mga puntos kung saan ang p(x) ay maaaring maglaho. Ang pagkakaroon ng pagsasagawa ng pagkita ng kaibhan sa formula (3), nakita namin. Maaaring ipakita na ang mga polynomial ng Chebyshev-Hermite ay orthogonal sa pagitan ng Halimbawa 4. Ang sistema ng Bessel functions (jL(pix)^ ay orthogonal sa pagitan ng mga zero ng Bessel function Halimbawa 5. Isaalang-alang ang Chebyshev-Hermite polynomials, na maaaring tukuyin gamit ang pagkakapantay-pantay. Fourier series sa isang orthogonal system Let there be an orthogonal sistema ng mga function sa pagitan (a, 6) at hayaan ang serye (cj = const) na magtagpo sa interval na ito sa function na f(x): Pag-multiply sa magkabilang panig ng huling pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng - fixed) at pagsasama-sama sa ibabaw ng x mula a hanggang 6, dahil sa orthogonality ng system, nakuha namin na ang operasyong ito ay, sa pangkalahatan, puro pormal na karakter. Gayunpaman, sa ilang mga kaso, halimbawa, kapag ang serye (4) ay nagkakaisa nang pantay, ang lahat ng mga pag-andar ay tuluy-tuloy at ang pagitan (a, 6) ay may hangganan, ang operasyong ito ay legal. Ngunit para sa atin ngayon ang pormal na interpretasyon ang mahalaga. Kaya, hayaan ang isang function na ibinigay. Buuin natin ang mga numerong c* ayon sa formula (5) at isulat. Ang serye sa kanang bahagi ay tinatawag na Fourier series ng function na f(x) na may kinalaman sa system (^n(i)). Ang mga numerong Cn ay tinatawag na Fourier coefficients ng function na f(x) na may kinalaman sa sistemang ito. Ang sign na ~ sa formula (6) ay nangangahulugan lamang na ang mga numerong Cn ay nauugnay sa function na f(x) sa pamamagitan ng formula (5) (hindi ipinapalagay na ang serye sa kanan ay nagtatagpo sa lahat, higit na mas mababa ang converge sa function na f (x)). Samakatuwid, ang tanong ay natural na lumitaw: ano ang mga katangian ng seryeng ito? Sa anong kahulugan ito ay "kumakatawan" sa function na f(x)? 9.3. Convergence sa average na Kahulugan. Ang isang sequence ay nagtatagpo sa elemento ] sa average kung ang norm ay nasa space Theorem 6. Kung ang isang sequence ) ay nagkakatagpo ng pantay, pagkatapos ito ay nagtatagpo sa average. M Hayaang magtagpo ang sequence ()) nang pantay sa pagitan [a, b] sa function /(x). Nangangahulugan ito na para sa lahat, para sa lahat ng sapat na malaki n, mayroon tayong Samakatuwid, kung saan sumusunod ang ating pahayag. Ang kabaligtaran ay hindi totoo: ang sequence () ay maaaring magtagpo sa average sa /(x), ngunit hindi pare-parehong nagtatagpo. Halimbawa. Isaalang-alang ang sequence nx. Madaling makita iyon Ngunit ang convergence na ito ay hindi pare-pareho: mayroong e, halimbawa, tulad na, gaano man kalaki ang n, sa pagitan ng mga cosine Fourier series para sa isang function na may arbitrary period Complex representation ng Fourier series Fourier series para sa pangkalahatang orthogonal system of functions Fourier series para sa orthogonal system Minimal na pag-aari ng Fourier coefficients Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bessel Parseval's equality Closed systems Completeness and closedness of systems and let We denote by c* the Fourier coefficients of the function /(x ) sa pamamagitan ng isang orthonormal system b Isaalang-alang ang isang linear na kumbinasyon kung saan ang n ^ 1 ay isang nakapirming integer, at hanapin ang mga halaga ng mga constant kung saan ang integral ay tumatagal ng isang minimum na halaga. Isulat natin ito nang mas detalyado. Ang pagsasama ng termino sa pamamagitan ng termino, dahil sa orthonormality ng system, nakuha natin. Ang unang dalawang termino sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (7) ay independyente, at ang ikatlong termino ay hindi negatibo. Samakatuwid, ang integral (*) ay kumukuha ng pinakamababang halaga sa ak = sk. Ang integral ay tinatawag na mean square approximation ng function /(x) sa pamamagitan ng linear na kumbinasyon ng Tn(x). Kaya, ang root mean square approximation ng function /\ ay tumatagal ng pinakamababang halaga kapag. kapag ang Tn(x) ay ang 71st partial sum ng Fourier series ng function /(x) sa ibabaw ng system (. Setting ak = sk, mula sa (7) makuha natin ang Equality (9) ay tinatawag na Bessel identity. Dahil kaliwa ito side ay di-negatibo, pagkatapos ay mula dito ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bessel ay sumusunod. Dahil ako ay narito nang arbitraryo, ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bessel ay maaaring katawanin sa isang pinalakas na anyo, ibig sabihin, para sa anumang function / ang serye ng mga squared Fourier coefficients ng function na ito sa isang orthonormal system ) ay nagtatagpo . Dahil orthonormal ang sistema sa pagitan [-x, m], kung gayon ang inequality (10) na isinalin sa karaniwang notasyon ng trigonometric Fourier series ay nagbibigay ng ugnayang do na wasto para sa anumang function /(x) na may integrable na parisukat. Kung ang f2(x) ay integrable, dahil sa kinakailangang kondisyon convergence ng serye sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (11), nakuha namin iyon. Parseval's equality Para sa ilang system (^„(x)), ang inequality sign sa formula (10) ay maaaring palitan (para sa lahat ng function f(x) 6 ×) ng isang equal sign. Ang resultang pagkakapantay-pantay ay tinatawag na Parseval-Steklov equality (kondisyon ng pagkakumpleto). Ang pagkakakilanlan ni Bessel (9) ay nagbibigay-daan sa amin na magsulat ng kundisyon (12) sa isang katumbas na anyo. Kaya, ang katuparan ng kundisyon ng pagkakumpleto ay nangangahulugan na ang mga bahagyang kabuuan na Sn(x) ng seryeng Fourier ng function /(x) ay nagtatagpo sa function /(x) sa karaniwan, i.e. ayon sa pamantayan ng espasyo 6]. Kahulugan. Ang isang orthonormal system ( ay tinatawag na kumpleto sa b2[ау b] kung ang bawat function ay maaaring tantiyahin sa average na may anumang katumpakan sa pamamagitan ng isang linear na kumbinasyon ng form c nang sapat isang malaking bilang termino, ibig sabihin, kung para sa bawat function f(x) € b2[a, b\ at para sa alinmang e > 0 ay mayroong natural na numero nq at mga numerong a\, a2y..., tulad na Hindi Mula sa pangangatwiran sa itaas ay sumusunod sa Theorem 7. Kung sa pamamagitan ng orthonormalization ang sistema ) ay kumpleto sa espasyo, ang Fourier series ng anumang function / sa ibabaw ng system na ito ay nagtatagpo sa f(x) sa average, i.e. sa pamamagitan ng norm Maaari itong ipakita na ang trigonometric system ay kumpleto sa espasyo.Ito ay nagpapahiwatig ng pahayag. Theorem 8. Kung ang isang function /o nito trigonometric Fourier series ay nagtatagpo dito sa average. 9.5. Mga saradong sistema. Pagkakumpleto at pagsasara ng mga system Definition. Ang orthonormal system of functions \ ay tinatawag na closed kung sa space Li\a, b) walang nonzero function orthogonal sa lahat ng function. Mga Pagsasanay 1. Palawakin ang function 2 sa isang Fourier series sa pagitan (-i-, x) 2. Palawakin ang function sa isang Fourier series sa interval (-tr, tr) 3. Palawakin ang function 4 sa isang Fourier series sa ang interval (-tr, tr) sa isang Fourier series sa interval (-jt, tr) function 5. Palawakin ang function f(x) = x + x sa isang Fourier series sa interval (-tr, tr). 6. Palawakin ang function n sa isang Fourier series sa interval (-jt, tr) 7. Palawakin ang function /(x) = sin2 x sa isang Fourier series sa interval (-tr, x). 8. Palawakin ang function f(x) = y sa isang Fourier series sa pagitan (-tr, jt) 9. Palawakin ang function f(x) = | kasalanan x|. 10. Palawakin ang function na f(x) = § sa isang Fourier series sa pagitan (-π-, π). 11. Palawakin ang function na f(x) = sin § sa isang seryeng Fourier sa pagitan (-tr, tr). 12. Palawakin ang function na f(x) = n -2x, na ibinigay sa pagitan (0, x), sa isang seryeng Fourier, pinalawak ito sa pagitan (-x, 0): a) sa pantay na paraan; b) sa kakaibang paraan. 13. Palawakin ang function /(x) = x2, na ibinigay sa pagitan (0, x), sa isang seryeng Fourier sa mga sine. 14. Palawakin ang function /(x) = 3, na ibinigay sa pagitan (-2,2), sa isang seryeng Fourier. 15. Palawakin ang function na f(x) = |x|, na ibinigay sa pagitan (-1,1), sa isang seryeng Fourier. 16. Palawakin ang function na f(x) = 2x, na tinukoy sa pagitan (0,1), sa isang seryeng Fourier sa mga sine.
