Lektura #2

matematika

Paksa: "Mga konsepto sa matematika"

Mga konsepto sa matematika

Kahulugan ng mga konsepto

Mga kinakailangan para sa kahulugan ng mga konsepto

Ilang uri ng mga kahulugan

1. Mga konsepto sa matematika

Ang mga konseptong pinag-aaralan sa paunang kurso ng matematika ay karaniwang ipinakita sa anyo ng apat na grupo. Ang una ay kinabibilangan ng mga konseptong nauugnay sa mga numero at mga operasyon sa mga ito: numero, karagdagan, termino, higit pa, atbp. Ang pangalawa ay kinabibilangan ng mga konseptong algebraic: expression, pagkakapantay-pantay, equation, atbp. Ang pangatlo ay kinabibilangan ng mga geometric na konsepto: tuwid na linya, segment, tatsulok, atbp. d. Ang ikaapat na pangkat ay nabuo sa pamamagitan ng mga konsepto na may kaugnayan sa mga dami at ang kanilang pagsukat.

Paano pag-aralan ang gayong kasaganaan ng iba't ibang mga konsepto?

Una sa lahat, ang isa ay dapat magkaroon ng isang ideya ng konsepto bilang isang lohikal na kategorya at ang mga tampok ng mga konsepto ng matematika.

Sa lohika, ang mga konsepto ay itinuturing bilang isang anyo ng pag-iisip na sumasalamin sa mga bagay (mga bagay o phenomena) sa kanilang mga esensyal at pangkalahatang katangian. Ang linguistic form ng isang konsepto ay isang salita o isang grupo ng mga salita.

Upang bumuo ng isang konsepto tungkol sa isang bagay ay nangangahulugan na magagawang makilala ito mula sa iba pang mga bagay na katulad nito. Ang mga konsepto ng matematika ay may ilang mga tampok. Ang pangunahing isa ay ang mga bagay sa matematika kung saan kinakailangan upang bumuo ng isang konsepto ay hindi umiiral sa katotohanan. Ang mga bagay sa matematika ay nilikha ng isip ng tao. Ito ay mga perpektong bagay na sumasalamin sa mga tunay na bagay o phenomena. Halimbawa, sa geometry, ang hugis at sukat ng mga bagay ay pinag-aralan, nang hindi isinasaalang-alang ang kanilang iba pang mga katangian: kulay, masa, tigas, atbp. Mula sa lahat ng ito sila ay ginulo, abstract. Samakatuwid, sa geometry, sa halip na ang salitang "bagay" ay sinasabi nila " geometric na pigura».

Ang resulta ng abstraction ay tulad din ng mga konseptong matematikal bilang "numero" at "halaga".

Sa pangkalahatan, ang mga bagay sa matematika ay umiiral lamang sa pag-iisip ng tao at sa mga palatandaan at simbolo na bumubuo sa wikang matematika.

Maaari itong idagdag sa sinabi na, sa pag-aaral ng mga spatial form at quantitative na relasyon ng materyal na mundo, ang matematika ay hindi lamang gumagamit ng iba't ibang paraan ng abstraction, ngunit ang abstraction mismo ay gumaganap bilang isang multi-stage na proseso. Sa matematika, isinasaalang-alang hindi lamang ang mga konsepto na lumitaw sa pag-aaral ng mga tunay na bagay, kundi pati na rin ang mga konsepto na lumitaw batay sa dating. Halimbawa, pangkalahatang konsepto Ang mga function bilang isang sulat ay isang generalization ng mga konsepto ng mga tiyak na function, i.e. abstraction mula sa abstractions.

Upang makabisado ang mga pangkalahatang diskarte sa pag-aaral ng mga konsepto sa paunang kurso ng matematika, ang guro ay nangangailangan ng kaalaman tungkol sa saklaw at nilalaman ng konsepto, tungkol sa kaugnayan sa pagitan ng mga konsepto at tungkol sa mga uri ng mga kahulugan ng mga konsepto.

2. Ang saklaw at nilalaman ng konsepto. Mga ugnayan sa pagitan ng mga konsepto

Ang bawat bagay sa matematika ay may ilang mga katangian. Halimbawa, ang isang parisukat ay may apat na panig, apat na tamang anggulo na katumbas ng dayagonal. Maaari mo ring tukuyin ang iba pang mga katangian.

Sa mga katangian ng isang bagay, nakikilala ang mahalaga at hindi mahalaga. Ang isang ari-arian ay itinuturing na mahalaga para sa isang bagay kung ito ay likas sa bagay na ito at kung wala ito ay hindi ito umiiral. Halimbawa, para sa isang parisukat, lahat ng mga katangian na binanggit sa itaas ay mahalaga. Ang property na "side AD is horizontal" ay hindi mahalaga para sa square ABCD. Kung ang parisukat ay pinaikot, ang gilid AD ay matatagpuan sa ibang paraan (Larawan 26).

Samakatuwid, upang maunawaan kung ano ang isang ibinigay na bagay sa matematika, dapat malaman ng isa ang mga mahahalagang katangian nito.

Kapag pinag-uusapan ang isang konseptong matematikal, kadalasang nangangahulugan ang mga ito ng isang set ng mga bagay na tinutukoy ng isang termino (isang salita o isang grupo ng mga salita). Kaya, nagsasalita tungkol sa isang parisukat, ang ibig nilang sabihin ay lahat ng mga geometric na hugis na mga parisukat. Ito ay pinaniniwalaan na ang hanay ng lahat ng mga parisukat ay ang saklaw ng konsepto ng "parisukat".

Sa pangkalahatan ang saklaw ng isang konsepto ay ang hanay ng lahat ng mga bagay na tinutukoy ng isang termino.

Ang anumang konsepto ay hindi lamang saklaw, kundi pati na rin ang nilalaman.

Isaalang-alang, halimbawa, ang konsepto ng isang "parihaba".

Ang saklaw ng konsepto ay isang hanay ng iba't ibang mga parihaba, at ang nilalaman nito ay kinabibilangan ng mga katangian ng mga parihaba bilang "may apat na tamang anggulo", "may magkaparehong magkabilang panig", "may pantay na mga diagonal", atbp.

Mayroong kaugnayan sa pagitan ng dami ng isang konsepto at ng nilalaman nito: kung tumaas ang dami ng isang konsepto, bababa ang nilalaman nito, at kabaliktaran. Kaya, halimbawa, ang saklaw ng konsepto ng "square" ay bahagi ng saklaw ng konsepto ng "rectangle", at ang nilalaman ng konsepto ng "square" ay naglalaman ng higit pang mga katangian kaysa sa nilalaman ng konsepto ng "rectangle" ("lahat ng panig ay pantay", "diagonal ay magkaparehong patayo", atbp.). ).

Ang anumang konsepto ay hindi maa-asimilasyon nang hindi napagtatanto ang kaugnayan nito sa ibang mga konsepto. Samakatuwid, mahalagang malaman kung ano ang maaaring maging mga konsepto ng relasyon, at upang maitatag ang mga koneksyong ito.

Ang mga relasyon sa pagitan ng mga konsepto ay malapit na nauugnay sa mga relasyon sa pagitan ng kanilang mga volume, i.e. set.

Sumang-ayon tayo na magtalaga ng mga konsepto sa pamamagitan ng maliliit na titik ng alpabetong Latin: a, b, c, ..., z.

Hayaang ibigay ang dalawang konsepto a at b. Tukuyin natin ang kanilang mga volume bilang A at B, ayon sa pagkakabanggit.

Kung ang B (A ≠ B), pagkatapos ay sinasabi nila na ang konsepto a - tiyak kaugnay ng konseptob, at ang konsepto b- generic kaugnay ng konsepto a.

Halimbawa, kung ang a ay isang "parihaba", ang b ay isang "quadrilateral", kung gayon ang kanilang mga volume A at B ay nauugnay sa pagsasama (A B at A ≠ B), dahil ang bawat parihaba ay isang quadrilateral. Samakatuwid, maaari itong maitalo na ang konsepto ng "parihaba" ay tiyak na may kaugnayan sa konsepto ng "quadrilateral", at ang konsepto ng "quadrilateral" ay generic na may kaugnayan sa konsepto ng "rectangle".

Kung A = B, sasabihin natin iyan mga konsepto a atbay magkapareho.

Halimbawa, ang mga konsepto ng "equilateral triangle" at "equiangular triangle" ay magkapareho, dahil ang kanilang mga volume ay pareho.

Kung ang mga set A at B ay hindi konektado sa pamamagitan ng isang inclusion relation, pagkatapos ay sinasabi nila na ang mga konsepto a at b ay hindi nauugnay sa genus at species at hindi magkapareho. Halimbawa, ang mga konsepto ng "tatsulok" at "parihaba" ay hindi konektado ng gayong mga ugnayan.

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang kaugnayan ng genus at species sa pagitan ng mga konsepto. Una, ang mga konsepto ng genus at species ay kamag-anak: ang parehong konsepto ay maaaring generic na may kaugnayan sa isang konsepto at species na may kaugnayan sa isa pa. Halimbawa, ang konsepto ng "rectangle" ay generic na may kaugnayan sa konsepto ng "square" at tiyak na may kaugnayan sa konsepto ng "quadrilateral".

Pangalawa, para sa konseptong ito madalas na posibleng tumukoy ng ilang generic na konsepto. Kaya, para sa konsepto ng "rectangle" ang mga konsepto ng "quadrilateral", "parallelogram", "polygon" ay generic. Kabilang sa mga ito, maaari mong tukuyin ang pinakamalapit. Para sa konsepto ng "rectangle" ang pinakamalapit ay ang konsepto ng "parallelogram".

Pangatlo, ang tiyak na konsepto ay may lahat ng katangian ng generic na konsepto. Halimbawa, ang isang parisukat, bilang isang konsepto ng species na may kaugnayan sa konsepto ng isang "parihaba", ay mayroong lahat ng mga katangian na likas sa isang parihaba.

Dahil ang saklaw ng isang konsepto ay isang set, ito ay maginhawa, kapag nagtatatag ng mga relasyon sa pagitan ng mga saklaw ng mga konsepto, upang ilarawan ang mga ito gamit ang mga lupon ng Euler.

Itatag natin, halimbawa, ang ugnayan sa pagitan ng mga sumusunod na pares ng konsepto a at b, kung:

1) a - "parihaba", b - "rhombus";

2) a - "polygon", b - "parallelogram";

3) a - "tuwid na linya", b - "segment".

Sa kaso 1) ang mga volume ng mga konsepto ay nagsalubong, ngunit hindi isang set ang subset ng isa pa (Larawan 27).

Samakatuwid, maaari itong mapagtatalunan na ang mga konseptong ito a at b ay hindi nauugnay sa genus at species.

Sa kaso 2), ang mga volume ng mga konseptong ito ay may kaugnayan sa pagsasama, ngunit hindi nag-tutugma - bawat parallelogram ay isang polygon, ngunit hindi kabaligtaran (Fig. 28). Kaya naman, maaaring ipangatuwiran na ang konsepto ng "parallelogram" ay tiyak na may kaugnayan sa konsepto ng "polygon", at ang konsepto ng "polygon" ay generic na may kaugnayan sa konsepto ng "parallelogram".

Sa kaso 3), ang mga volume ng mga konsepto ay hindi nagsalubong, dahil walang segment na masasabing isang tuwid na linya, at walang tuwid na linya ang maaaring tawaging segment (Larawan 29).

Samakatuwid, ang mga konseptong ito ay hindi nauugnay sa genus at species.

Tungkol sa mga konsepto ng "tuwid na linya" at "segment" ay masasabing sila ay may kaugnayan sa kabuuan at bahagi: Ang isang segment ay isang bahagi ng isang linya, hindi isang uri nito. At kung ang tiyak na konsepto ay may lahat ng mga katangian ng generic na konsepto, kung gayon ang bahagi ay hindi kinakailangang magkaroon ng lahat ng mga katangian ng kabuuan. Halimbawa, ang isang segment ay walang property na tuwid na linya gaya ng infinity nito.

Pagbuo ng mga konseptong pang-elementarya sa matematika ng isang nakababatang mag-aaral

E.Yu. Togobetskaya, master student ng Department of Pedagogy and Teaching Methods

Togliatti Pedagogical University, Togliatti (Russia)

Mga keyword: mga konseptong matematikal, ganap na konsepto, kamag-anak na konsepto, mga kahulugan.

Anotasyon: Sa pagsasanay sa paaralan, pinipilit ng maraming guro ang mga mag-aaral na isaulo ang mga kahulugan ng mga konsepto at nangangailangan ng kaalaman sa kanilang mga pangunahing katangian upang mapatunayan. Gayunpaman, ang mga resulta ng naturang pagsasanay ay karaniwang hindi gaanong mahalaga. Nangyayari ito dahil ang karamihan ng mga mag-aaral, kapag nag-aaplay ng mga konseptong natutunan sa paaralan, ay umaasa sa mga hindi mahalagang palatandaan, habang ang mga mag-aaral ay napagtanto at nagagawa lamang ang mga mahahalagang palatandaan ng mga konsepto kapag sumasagot sa mga tanong na nangangailangan ng kahulugan ng konsepto. Kadalasan ang mga mag-aaral ay tumpak na nagpaparami ng mga konsepto, iyon ay, natutuklasan nila ang kaalaman sa mga mahahalagang katangian nito, ngunit hindi nila mailalapat ang kaalamang ito sa pagsasanay, umaasa sila sa mga random na tampok na natukoy sa pamamagitan ng direktang karanasan. Ang proseso ng asimilasyon ng mga konsepto ay maaaring kontrolin, maaari silang mabuo gamit ang mga ibinigay na katangian.

mga keyword: mga konseptong matematikal, ganap na konsepto, kamag-anak na konsepto, mga kahulugan.

Abstract: Sa pagsasanay sa paaralan, maraming mga guro ang nakakamit mula sa mga mag-aaral ng pag-aaral ng mga kahulugan ng mga konsepto at ang kaalaman sa kanilang mga pangunahing hinihingi ng napatunayang katangian. Gayunpaman, ang mga resulta ng naturang pagsasanay ay karaniwang hindi gaanong mahalaga. Nangyayari ito dahil ang karamihan ng mga mag-aaral, na nag-aaplay ng mga konseptong nakuha sa paaralan, ang mga mag-aaral ay nakasandal sa mga hindi mahalagang palatandaan, ang mga mahahalagang palatandaan ng mga konsepto ay napagtanto at nagpaparami lamang sa sagot sa mga tanong na humihingi ng kahulugan ng konsepto. Kadalasan ang mga mag-aaral ay walang alinlangan na nagpaparami ng mga konsepto, iyon ay, alamin ang kaalaman sa mga mahahalagang palatandaan nito, ngunit ang kaalamang ito ay hindi maaaring, sandalan laban sa mga kaswal na palatandaan na inilaan salamat sa isang unang karanasan. Ang proseso ng mastering ng mga konsepto ay posible na gumana, bumuo ng mga ito gamit ang mga set na katangian.

Kapag pinagkadalubhasaan ang kaalamang siyentipiko, ang mga mag-aaral sa elementarya ay nahaharap sa iba't ibang uri ng mga konsepto. Ang kawalan ng kakayahan ng mag-aaral sa pagkakaiba-iba ng mga konsepto ay humahantong sa kanilang hindi sapat na asimilasyon.

Ang lohika sa mga konsepto ay nakikilala ang dami at nilalaman. Ang lakas ng tunog ay nauunawaan bilang ang klase ng mga bagay na kabilang sa konseptong ito, ay pinagsama nito. Kaya, ang saklaw ng konsepto ng isang tatsulok ay kinabibilangan ng buong hanay ng mga tatsulok, anuman ang kanilang mga tiyak na katangian (mga uri ng mga anggulo, laki ng mga gilid, atbp.).

Ang nilalaman ng mga konsepto ay nauunawaan bilang ang sistema ng mga mahahalagang katangian, ayon sa kung saan ang mga bagay na ito ay pinagsama sa isang solong klase. Upang maihayag ang nilalaman ng isang konsepto, kinakailangan upang maitatag sa pamamagitan ng paghahambing kung anong mga palatandaan ang kinakailangan at sapat upang i-highlight ang kaugnayan nito sa iba pang mga bagay. Hangga't ang nilalaman at mga tampok ay hindi naitatag, ang kakanyahan ng bagay na sinasalamin ng konseptong ito ay hindi malinaw, imposibleng tumpak at malinaw na makilala ang bagay na ito mula sa mga katabi nito, ang pagkalito ng pag-iisip ay nangyayari.

Halimbawa, ang konsepto ng isang tatsulok, tulad ng mga katangian ay kinabibilangan ng mga sumusunod: isang closed figure, ay binubuo ng tatlong mga segment ng linya. Ang hanay ng mga katangian kung saan ang mga bagay ay pinagsama sa isang klase ay tinatawag na kinakailangan at sapat na mga tampok. Sa ilang mga konsepto, ang mga tampok na ito ay umaakma sa isa't isa, na bumubuo ng sama-samang nilalaman, ayon sa kung aling mga bagay ang pinagsama sa isang solong klase. Ang isang halimbawa ng gayong mga konsepto ay isang tatsulok, isang anggulo, isang bisector, at marami pang iba.

Ang hanay ng mga bagay na ito kung saan nalalapat ang konseptong ito ay bumubuo ng isang lohikal na klase ng mga bagay. Ang isang lohikal na klase ng mga bagay ay isang koleksyon ng mga bagay na may mga karaniwang tampok, bilang isang resulta kung saan ang mga ito ay ipinahayag ng isang karaniwang konsepto. Ang lohikal na klase ng mga bagay at ang saklaw ng kaukulang konsepto ay magkapareho.Ang mga konsepto ay nahahati sa mga uri ayon sa nilalaman at saklaw, depende sa kalikasan at bilang ng mga bagay kung saan sila nalalapat. Sa dami, nahahati ang mga konsepto sa matematika sa isahan at pangkalahatan. Kung ang saklaw ng konsepto ay kinabibilangan lamang ng isang bagay, ito ay tinatawag na isahan.

Mga halimbawa ng iisang konsepto: "ang pinakamaliit na dalawang-digit na numero", "numero 5", "parisukat na may haba ng gilid na 10 cm", "bilog na may radius na 5 cm". Ang pangkalahatang konsepto ay nagpapakita ng mga tampok ng isang tiyak na hanay ng mga bagay. Ang dami ng naturang mga konsepto ay palaging mas malaki kaysa sa dami ng isang elemento. Mga halimbawa ng pangkalahatang konsepto: "isang set ng dalawang-digit na numero", "triangles", "equation", "hindi pagkakapantay-pantay", "mga numero na multiple ng 5", "mga aklat-aralin sa matematika sa primaryang paaralan". Ayon sa nilalaman, nakikilala ang mga konsepto ng conjunctive at disjunctive, absolute at concrete, irrelative at relative.

Ang mga konsepto ay tinatawag na conjunctive kung ang kanilang mga tampok ay magkakaugnay at wala sa kanila ang isa-isa na nagpapahintulot sa iyo na makilala ang mga bagay ng klase na ito, ang mga tampok ay konektado sa pamamagitan ng unyon "at". Halimbawa, ang mga bagay na nauugnay sa konsepto ng isang tatsulok ay kinakailangang binubuo ng tatlong mga segment ng linya at sarado.

Sa iba pang mga konsepto, ang relasyon sa pagitan ng kinakailangan at sapat na mga tampok ay naiiba: hindi sila umakma sa bawat isa, ngunit pinapalitan. Nangangahulugan ito na ang isang tampok ay katumbas ng isa pa. Ang isang halimbawa ng ganitong uri ng relasyon sa pagitan ng mga palatandaan ay maaaring magsilbi bilang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga segment, anggulo. Ito ay kilala na ang klase ng pantay na mga segment ay kinabibilangan ng mga segment na: a) alinman ay nag-tutugma kapag pinatong; b) o hiwalay na katumbas ng pangatlo; c) o binubuo ng pantay na bahagi, atbp.

Sa kasong ito, ang mga nakalistang tampok ay hindi kinakailangan nang sabay-sabay, tulad ng kaso sa magkakaugnay na uri ng mga konsepto; dito ito ay sapat na magkaroon ng isa sa lahat ng mga tampok na nakalista: bawat isa sa kanila ay katumbas ng alinman sa iba. Dahil dito, ang mga palatandaan ay konektado ng unyon "o". Ang ganitong koneksyon ng mga katangian ay tinatawag na disjunction, at ang mga konsepto ay tinatawag na disjunctive. Mahalaga rin na isaalang-alang ang paghahati ng mga konsepto sa ganap at kamag-anak.

Pinagsasama-sama ng mga ganap na konsepto ang mga bagay sa mga klase ayon sa ilang mga katangian na nagpapakilala sa kakanyahan ng mga bagay na ito. Kaya, ang konsepto ng anggulo ay sumasalamin sa mga katangian na nagpapakilala sa kakanyahan ng anumang anggulo tulad nito. Ang sitwasyon ay katulad ng maraming iba pang mga geometric na konsepto: bilog, sinag, rhombus, atbp.

Pinagsasama ng mga kamag-anak na konsepto ang mga bagay sa mga klase ayon sa mga katangian na nagpapakilala sa kanilang kaugnayan sa iba pang mga bagay. Kaya, sa konsepto ng mga patayong linya, kung ano ang nagpapakilala sa relasyon ng dalawang linya sa bawat isa ay naayos: intersection, pagbuo sa parehong oras tamang anggulo. Katulad nito, ang konsepto ng numero ay sumasalamin sa ratio ng sinusukat na halaga at ang tinatanggap na pamantayan. Ang mga kamag-anak na konsepto ay nagdudulot ng mas malubhang kahirapan sa mga mag-aaral kaysa sa mga ganap na konsepto. Ang kakanyahan ng mga paghihirap ay tiyak na nakasalalay sa katotohanan na ang mga mag-aaral ay hindi isinasaalang-alang ang relativity ng mga konsepto at nagpapatakbo sa kanila tulad ng mga ganap na konsepto. Kaya, kapag hiniling ng guro sa mga mag-aaral na gumuhit ng patayo, ang ilan sa kanila ay gumuhit ng patayo. Ang partikular na atensyon ay dapat bayaran sa konsepto ng numero.

Ang numero ay ang ratio ng kung ano ang binibilang (haba, timbang, dami, atbp.) sa pamantayan na ginagamit para sa pagtatasa na ito. Malinaw, ang numero ay nakadepende sa sinusukat na halaga at sa pamantayan. Kung mas malaki ang sinusukat na halaga, mas malaki ang numero na magkakaroon ng parehong pamantayan. Sa kabaligtaran, mas malaki ang pamantayan (sukat), mas maliit ang bilang kapag sinusuri ang parehong halaga. Samakatuwid, dapat na maunawaan ng mga mag-aaral sa simula pa lang na ang paghahambing ng mga numero sa magnitude ay maaari lamang gawin kapag sila ay sinusuportahan ng parehong pamantayan. Sa katunayan, kung, halimbawa, ang lima ay nakuha kapag sinusukat ang haba sa sentimetro, at tatlo kapag sinusukat sa metro, kung gayon ang tatlo ay nagpapahiwatig ng isang mas mataas na halaga kaysa sa lima. Kung hindi natutunan ng mga mag-aaral ang kamag-anak na katangian ng numero, makakaranas sila ng malubhang kahirapan sa pag-aaral ng sistema ng numero. Ang mga paghihirap sa asimilasyon ng mga kamag-anak na konsepto ay nananatili sa mga mag-aaral sa gitna at maging sa mga matataas na baitang ng paaralan. May kaugnayan sa pagitan ng nilalaman at saklaw ng konsepto: mas maliit ang saklaw ng konsepto, mas malaki ang nilalaman nito.

Halimbawa, ang konsepto ng "parihaba" ay may mas maliit na saklaw kaysa sa saklaw ng konsepto ng "parihaba" dahil ang anumang parisukat ay isang parihaba, ngunit hindi bawat parihaba ay isang parisukat. Samakatuwid, ang konsepto ng "parihaba" ay may mas malaking nilalaman kaysa sa konsepto ng "parihaba": ang isang parisukat ay may lahat ng mga katangian ng isang parihaba at ilang iba pa (para sa isang parisukat, lahat ng panig ay pantay, ang mga dayagonal ay magkaparehong patayo).

Sa proseso ng pag-iisip, ang bawat konsepto ay hindi umiiral nang hiwalay, ngunit pumapasok sa ilang mga koneksyon at relasyon sa iba pang mga konsepto. Sa matematika, isang mahalagang anyo ng koneksyon ang generic na pag-asa.

Halimbawa, isaalang-alang ang mga konsepto ng "parisukat" at "parihaba". Ang saklaw ng konsepto ng "parisukat" ay bahagi ng saklaw ng konsepto ng "parihaba". Samakatuwid, ang una ay tinatawag na species, at ang pangalawa - generic. Sa mga ugnayan ng genus-species, dapat makilala ng isa ang konsepto ng pinakamalapit na genus at ang mga susunod na generic na hakbang.

Halimbawa, para sa view na "square" ang pinakamalapit na genus ay ang genus na "rectangle", para sa rectangle ang pinakamalapit na genus ay ang genus na "parallelogram", para sa "parallelogram" - "quadrilateral", para sa "quadrilateral" - "polygon", at para sa "polygon" - " flat figure.

V mababang Paaralan sa unang pagkakataon, ang bawat konsepto ay ipinakilala nang biswal, sa pamamagitan ng pagmamasid sa mga partikular na bagay o sa pamamagitan ng praktikal na operasyon (halimbawa, kapag binibilang ang mga ito). Ang guro ay kumukuha ng kaalaman at karanasan ng mga bata na kanilang natamo edad ng paaralan. Ang pagiging pamilyar sa mga konsepto ng matematika ay naayos sa tulong ng isang termino o isang termino at isang simbolo. Ang pamamaraang ito ng pagtatrabaho sa mga konsepto ng matematika sa mababang Paaralan ay hindi nangangahulugan na ang iba't ibang uri ng mga kahulugan ay hindi ginagamit sa kursong ito.

Upang tukuyin ang isang konsepto ay ang paglista ng lahat ng mahahalagang katangian ng mga bagay na kasama sa konseptong ito. Ang pandiwang kahulugan ng isang konsepto ay tinatawag na termino. Halimbawa, ang "number", "triangle", "circle", "equation" ay mga termino.

Ang kahulugan ay nalulutas ang dalawang problema: ito ay nag-iisa at naghihiwalay ng isang tiyak na konsepto mula sa lahat ng iba at nagpapahiwatig ng mga pangunahing tampok na kung wala ang konsepto ay hindi maaaring umiral at kung saan nakasalalay ang lahat ng iba pang mga tampok.

Ang kahulugan ay maaaring higit pa o mas malalim. Ito ay depende sa antas ng kaalaman tungkol sa konseptong ibig sabihin. Kung mas alam natin ito, mas malamang na mabibigyan natin ito ng mas mahusay na kahulugan. Sa pagsasanay ng pagtuturo sa mga mas batang mag-aaral, ang tahasan at implicit na mga kahulugan ay ginagamit. Ang mga tahasang kahulugan ay nasa anyo ng pagkakapantay-pantay o pagkakaisa ng dalawang konsepto.

Halimbawa: "Ang propeedeutics ay isang panimula sa anumang agham." Dito, dalawang konsepto ang tinutumbasan ng isa sa isa - "propaedeutics" at "pagpasok sa anumang agham". Sa kahulugan na "Ang isang parisukat ay isang parihaba kung saan ang lahat ng panig ay pantay-pantay" mayroon tayong isang pagkakataon ng mga konsepto. Sa pagtuturo sa mga mas batang mag-aaral, ang kontekstwal at ostensive na mga kahulugan ay partikular na interes sa mga implicit na kahulugan.

Anumang sipi mula sa teksto, anuman ang konteksto, kung saan naganap ang konsepto na kinagigiliwan natin, ay, sa ilang diwa, isang implicit na kahulugan nito. Inilalagay ng konteksto ang konsepto na may kaugnayan sa iba pang mga konsepto at sa gayon ay ipinapakita ang nilalaman nito.

Halimbawa, kapag nagtatrabaho sa mga bata ang mga expression tulad ng "hanapin ang mga halaga ng expression", "ihambing ang halaga ng mga expression 5 + a at (a - 3) 2 kung a = 7", "basahin ang mga expression na mga kabuuan ”, “basahin ang mga expression , at pagkatapos ay basahin ang mga equation”, ipinapakita namin ang konsepto ng “mathematical expression” bilang isang talaan na binubuo ng mga numero o variable at mga palatandaan ng mga aksyon. Halos lahat ng mga kahulugan na ating nakikilala Araw-araw na buhay ay mga kontekstwal na kahulugan. Nang marinig ang isang hindi kilalang salita, sinisikap naming itatag ang kahulugan nito sa aming sarili batay sa lahat ng sinabi. Totoo rin ito sa pagtuturo sa mga batang estudyante. Maraming mga konseptong matematikal sa elementarya ang binibigyang kahulugan sa pamamagitan ng konteksto. Ito ay, halimbawa, tulad ng mga konsepto tulad ng "malaki - maliit", "anumang", "anuman", "isa", "marami", "numero", "operasyon ng aritmetika", "equation", "gawain" at iba pa.

Nananatili ang mga kahulugan sa konteksto para sa pinaka-bahagi hindi kumpleto at hindi kumpleto. Ginagamit ang mga ito kaugnay ng hindi kahandaan ng nakababatang mag-aaral na unawain nang buo at, lalo na, ang pang-agham na kahulugan.

Ang mga ostensive na kahulugan ay mga kahulugan sa pamamagitan ng pagpapakita. Ang mga ito ay kahawig ng mga ordinaryong kahulugan sa konteksto, ngunit ang konteksto dito ay hindi isang sipi ng ilang teksto, ngunit ang sitwasyon kung saan matatagpuan ang bagay na tinutukoy ng konsepto. Halimbawa, ang guro ay nagpapakita ng isang parisukat (drawing o papel na modelo) at nagsasabing "Tingnan mo - ito ay isang parisukat." Ito ay isang tipikal na ostensive na kahulugan.

Sa elementarya, ginagamit ang mga ostensive na kahulugan kapag isinasaalang-alang ang mga konsepto gaya ng "pula (puti, itim, atbp.) na kulay", "kaliwa - kanan", "kaliwa pakanan", "numero", "nauuna at kasunod na numero", " mga palatandaan ng mga operasyong aritmetika", "mga palatandaan ng paghahambing", "tatsulok", "quadrilateral", "kubo", atbp.

Batay sa asimilasyon ng mga kahulugan ng mga salita sa isang ostensive na paraan, posibleng ipakilala sa diksyunaryo ng bata ang pandiwang kahulugan ng mga bagong salita at parirala. Ostensive na mga kahulugan - at sila lamang - ang nag-uugnay sa salita sa mga bagay. Kung wala ang mga ito, ang wika ay isang verbal lace lamang na walang layunin, mahalagang nilalaman. Tandaan na sa elementarya, ang mga katanggap-tanggap na kahulugan ay tulad ng "Gagamitin namin ang salitang 'pentagon' para tumukoy sa isang polygon na may limang panig." Ito ang tinatawag na "nominal definition". Iba't ibang tahasang kahulugan ang ginagamit sa matematika. Ang pinakakaraniwan sa mga ito ay ang kahulugan sa pamamagitan ng pinakamalapit na genus at karakter ng species. Ang pangkalahatang kahulugan ay tinatawag ding klasikal.

Mga halimbawa ng mga kahulugan sa pamamagitan ng isang genus at isang partikular na tampok: "Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay magkatulad", "Ang isang rhombus ay isang parallelogram na ang mga gilid ay pantay", "Ang isang parihaba ay isang parallelogram na ang mga anggulo ay tama", "A parisukat ay isang parihaba kung saan ang mga gilid ay pantay-pantay", "Ang isang parisukat ay isang rhombus na may tamang mga anggulo".

Isaalang-alang ang mga kahulugan ng isang parisukat. Sa unang kahulugan, ang pinakamalapit na genus ay magiging "parihaba", at ang katangian ng species ay "lahat ng panig ay pantay". Sa pangalawang kahulugan, ang pinakamalapit na genus ay "rhombus", at ang partikular na tampok ay "mga tamang anggulo". Kung hindi natin kukunin ang pinakamalapit na genus ("parallelogram"), magkakaroon ng dalawang partikular na palatandaan ng isang parisukat "Ang parallelogram ay tinatawag na parisukat, kung saan ang lahat ng panig ay pantay at lahat ng mga anggulo ay tama."

Sa generic na kaugnayan ay ang mga konsepto ng "pagdaragdag (pagbabawas, pagpaparami, paghahati)" at "pagpapatakbo ng aritmetika", ang konsepto ng "talamak (kanan, mapurol) anggulo" at "anggulo". Walang napakaraming halimbawa ng mga tahasang generic na ugnayan sa maraming konseptong matematikal na isinasaalang-alang sa elementarya. Ngunit isinasaalang-alang ang kahalagahan ng kahulugan sa pamamagitan ng genus at katangian ng species sa karagdagang edukasyon, ito ay kanais-nais na makamit ang pag-unawa ng mga mag-aaral sa kakanyahan ng kahulugan ng species na ito na nasa mga pangunahing baitang.

Maaaring isaalang-alang ng magkakahiwalay na kahulugan ang konsepto at ang paraan ng pagbuo o paglitaw nito. Ang ganitong uri ng kahulugan ay tinatawag na genetic. Mga halimbawa ng genetic na kahulugan: "Ang anggulo ay ang mga sinag na lumalabas mula sa isang punto", "Ang dayagonal ng isang parihaba ay isang segment na nag-uugnay sa magkasalungat na mga vertices ng parihaba." Sa elementarya, ginagamit ang mga genetic na kahulugan para sa mga konsepto gaya ng "segment", "broken line", "right angle", "circle". Ang kahulugan sa pamamagitan ng listahan ay maaari ding maiugnay sa mga genetic na konsepto.

Halimbawa, "Ang natural na serye ng mga numero ay ang mga numero 1, 2, 3, 4, atbp." Ang ilang mga konsepto sa elementarya ay ipinakilala lamang sa pamamagitan ng termino. Halimbawa, ang mga yunit ng oras ay taon, buwan, oras, minuto. May mga konsepto sa elementarya na baitang na ipinakita sa isang simbolikong wika sa anyo ng pagkakapantay-pantay, halimbawa, a 1 = a, at 0 = 0

Mula sa itaas, maaari nating tapusin na sa mga pangunahing baitang, maraming mga konsepto sa matematika ang unang nakuha nang mababaw, malabo. Sa unang kakilala, ang mga mag-aaral ay natututo lamang tungkol sa ilang mga katangian ng mga konsepto, mayroon silang isang napaka-makitid na ideya ng kanilang saklaw. At ito ay natural. Hindi lahat ng konsepto ay madaling maunawaan. Ngunit hindi mapag-aalinlanganan na ang pag-unawa at napapanahong paggamit ng guro sa ilang uri ng mga kahulugan ng mga konseptong matematikal ay isa sa mga kondisyon para sa pagbuo ng matatag na kaalaman tungkol sa mga konseptong ito sa mga mag-aaral.

Bibliograpiya:

1. Bogdanovich M.V. Kahulugan ng mga konsepto sa matematika // Primary school 2001. - No. 4.

2. Gluzman N. A. Pagbuo ng mga pangkalahatang pamamaraan ng aktibidad ng kaisipan sa mga mas batang mag-aaral. - Yalta: KSGI, 2001. - 34 p.

3. Drozd V.L. Urban M.A. Mula sa maliliit na problema hanggang sa malalaking pagtuklas. //Paaralang elementarya. - 2000. - Hindi. 5.

Ministri ng Edukasyon ng Republika ng Belarus

"Gomel Pambansang Unibersidad sila. F. Scaryna"

Faculty of Mathematics

Kagawaran ng MPM

abstract

Mga konsepto sa matematika

Tagapagpatupad:

Mag-aaral ng pangkat M-32

Molodtsova A.Yu.

Siyentipikong tagapayo:

Cand. pisika at matematika Agham, Associate Professor

Lebedeva M.T.

Gomel 2007

Panimula

Ang mga pormulasyon ng maraming mga kahulugan (theorems, axioms) ay naiintindihan ng mga mag-aaral, madaling matandaan pagkatapos ng isang maliit na bilang ng mga pag-uulit, kaya ipinapayong imungkahi muna na isaulo ang mga ito, at pagkatapos ay turuan kung paano ilapat ang mga ito sa paglutas ng mga problema.

magkahiwalay.

1. Ang saklaw at nilalaman ng konsepto. Pag-uuri ng konsepto

Ang mga bagay ng realidad ay mayroong: a) mga karaniwang katangian na nagpapahayag ng mga natatanging katangian nito (halimbawa, isang third-degree na equation na may isang variable - isang cubic equation); b) mga pangkalahatang katangian na maaaring maging katangi-tangi kung ipinapahayag nila ang mga mahahalagang katangian ng bagay (mga tampok nito) na nagpapaiba nito sa maraming iba pang mga bagay.

Ang terminong "konsepto" ay ginagamit upang tukuyin ang isang mental na imahe ng isang tiyak na klase ng mga bagay, mga proseso. Tinutukoy ng mga sikologo ang tatlong anyo ng pag-iisip:

1) mga konsepto (halimbawa, ang median ay isang segment na nagkokonekta sa isang vertex sa kabaligtaran na bahagi ng isang tatsulok);

2) mga paghatol (halimbawa, para sa mga anggulo ng isang di-makatwirang tatsulok ito ay totoo:);

3) mga hinuha (halimbawa, kung a>b at b>c, pagkatapos ay a>c).

Katangian para sa mga anyo ng pag-iisip sa mga konsepto ay: a) ito ay isang produkto ng lubos na organisadong bagay; b) sumasalamin sa materyal na mundo; c) lumilitaw sa katalusan bilang isang paraan ng paglalahat; d) nangangahulugang partikular na aktibidad ng tao; e) ang pagbuo nito sa isip ay hindi mapaghihiwalay sa pagpapahayag nito sa pamamagitan ng pananalita, pagsulat o simbolo.

Ang konsepto ng matematika ay sumasalamin sa ating pag-iisip ng ilang mga anyo at relasyon ng katotohanan, na nakuha mula sa mga totoong sitwasyon. Ang kanilang pagbuo ay nangyayari ayon sa scheme:

Ang bawat konsepto ay pinagsasama ang isang hanay ng mga bagay o relasyon, na tinatawag ang saklaw ng konsepto, at ang mga katangiang katangian na likas sa lahat ng elemento ng set na ito at ang mga ito lamang, na nagpapahayag ang nilalaman ng konsepto.

Halimbawa, ang konsepto ng matematika ay isang quadrilateral. Ang kanyang dami: parisukat, parihaba, paralelogram, rhombus, trapezoid, atbp. Nilalaman: 4 na gilid, 4 na sulok, 4 na taluktok (mga katangian ng katangian).

Ang nilalaman ng isang konsepto ay mahigpit na tumutukoy sa saklaw nito at, sa kabaligtaran, ang saklaw ng isang konsepto ay ganap na tumutukoy sa nilalaman nito. Ang paglipat mula sa pandama hanggang sa lohikal na antas ay nangyayari sa pamamagitan ng paglalahat: o sa pamamagitan ng pagpili ng mga karaniwang tampok ng bagay (parallelogram - quadrilateral - polygon); o sa pamamagitan ng mga pangkalahatang palatandaan kasama ng espesyal o isahan, na humahantong sa isang tiyak na konsepto.

Sa proseso ng generalization, lumalawak ang volume, at lumiliit ang content. Sa proseso ng pagdadalubhasa ng konsepto, lumiliit ang volume, at lumalawak ang nilalaman.

Halimbawa:

polygons - paralelograms;

ang mga tatsulok ay equilateral triangles.

Kung ang saklaw ng isang konsepto ay nakapaloob sa saklaw ng isa pang konsepto, kung gayon ang pangalawang konsepto ay tinatawag generic, kaugnay ng una; at ang una ay tinawag tiyak kaugnay ng pangalawa. Halimbawa: paralelogram - rhombus (genus) (tingnan).

Ang proseso ng paglilinaw sa saklaw ng isang konsepto ay tinatawag pag-uuri, na ang schema ay ganito ang hitsura:

hayaan ang isang set at ilang ari-arian ang ibigay, at hayaang mayroong mga elemento sa parehong pagkakaroon at hindi pagkakaroon ng ari-arian na ito. Hayaan:

Pumili sa isang bagong property at hatiin sa property na ito:

Halimbawa: 1) pag-uuri ng mga numerical set, na sumasalamin sa pagbuo ng konsepto ng numero; 2) pag-uuri ng mga tatsulok: a) sa gilid; b) mga sulok.

Gawain bilang 1. Kinakatawan namin ang hanay ng mga tatsulok gamit ang mga punto ng parisukat.

Isosceles ari-arian;

Pag-aari ng parihaba;

Mayroon bang mga tatsulok na may mga katangiang ito nang sabay-sabay?

2. Mga kahulugan sa matematika. Mga uri ng pagkakamali sa pagtukoy ng mga konsepto

Ang huling yugto sa pagbuo ng isang konsepto ay ang kahulugan, ibig sabihin. pagtanggap ng kondisyong kasunduan. Ang kahulugan ay nauunawaan bilang isang enumeration ng mga kinakailangan at sapat na katangian ng isang konsepto, na binabawasan sa isang magkakaugnay na pangungusap (berbal o simboliko).

2.1 Mga paraan ng pagtukoy ng mga konsepto

Sa una, ang mga hindi natukoy na konsepto ay nakikilala, batay sa kung saan ang mga konsepto ng matematika ay tinukoy sa mga sumusunod na paraan:

1) sa pamamagitan ng pinakamalapit na pagkakaiba ng genus at species: a) naglalarawan(ipinapaliwanag ang proseso kung saan binuo ang kahulugan, o inilalarawan ang panloob na istraktura, depende sa mga operasyong iyon kung saan depinisyon na ito ay binuo mula sa hindi natukoy na mga konsepto); b) nakabubuo(o genetic) na nagsasaad ng pinagmulan ng konsepto.

Halimbawa: a) ang isang parihaba ay isang paralelogram na may lahat ng tamang anggulo; b) isang bilog ay isang pigura na binubuo ng lahat ng mga punto ng eroplano na katumbas ng distansya mula sa isang naibigay na punto. Ang puntong ito ay tinatawag na sentro ng bilog.

2) pasaklaw. Halimbawa, ang kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika:

3) sa pamamagitan ng abstraction. Halimbawa, ang natural na numero ay isang katangian ng mga klase ng katumbas na finite set;

4) axiomatic (hindi direktang kahulugan). Halimbawa, ang pagtukoy sa lugar ng isang figure sa geometry: para sa mga simpleng figure, ang lugar ay isang positibong halaga, numerical value na kung saan ay may mga sumusunod na katangian: a) pantay na mga numero ay may pantay na mga lugar; b) kung ang isang figure ay nahahati sa mga bahagi na mga simpleng figure, kung gayon ang lugar ng figure na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga bahagi nito; c) ang lugar ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng yunit ng pagsukat ay katumbas ng isa.

2.2 Malinaw at implicit na mga kahulugan

Ang mga kahulugan ay nahahati sa:

a) tahasan, kung saan ang tinukoy at pagtukoy ng mga konsepto ay malinaw na nakikilala (halimbawa, kahulugan sa pamamagitan ng pinakamalapit na genus at tiyak na pagkakaiba);

b) implicit, na binuo sa prinsipyo ng pagpapalit ng isang konsepto sa isa pa na may mas malawak na saklaw at ang dulo ng chain ay isang hindi natukoy na konsepto, i.e. pormal na lohikal na kahulugan (halimbawa, ang isang parisukat ay isang rhombus na may tamang anggulo; ang isang rhombus ay isang parallelogram na may pantay na magkatabing panig; isang parallelogram ay isang quadrangle na may magkapares na magkatulad na mga gilid; ang isang quadrilateral ay isang figure na binubuo ng 4 na anggulo, 4 na vertices, 4 na panig). V mga kahulugan ng paaralan kadalasan ang unang paraan ay isinasagawa, ang pamamaraan kung saan ay ang mga sumusunod: mayroon kaming mga hanay at ilang ari-arian noon

Ang pangunahing kinakailangan para sa pagbuo ng mga kahulugan ay ang set na tinutukoy ay dapat na isang subset ng minimal set. Halimbawa, paghambingin natin ang dalawang kahulugan: (1) Ang parisukat ay isang rhombus na may tamang anggulo; (2) Ang parisukat ay isang paralelogram na may pantay na panig at isang tamang anggulo (kalabisan).

Ang anumang kahulugan ay isang solusyon sa problema ng "patunay ng pag-iral". Halimbawa, ang tamang tatsulok ay isang tatsulok na may tamang anggulo; ang pagkakaroon nito ay isang konstruksyon.

2.3 Mga katangian ng mga pangunahing uri ng mga pagkakamali

Tandaan karaniwang mga pagkakamali na kinakaharap ng mga mag-aaral sa pagtukoy ng mga konsepto:

1) ang paggamit ng isang di-minimal na hanay bilang isang pagtukoy, ang pagsasama ng mga katangiang nakadepende sa lohikal (karaniwang kapag inuulit ang materyal).

Halimbawa: a) ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay magkapantay at magkatulad; b) ang isang linya ay tinatawag na patayo sa isang eroplano kung ito, sa intersecting sa eroplanong ito, ay bumubuo ng isang tamang anggulo sa bawat linya na iginuhit sa eroplano sa pamamagitan ng intersection point, sa halip na: "isang linya ay tinatawag na patayo sa isang eroplano kung ito ay patayo sa lahat ng linya ng eroplanong ito”;

2) ang paggamit ng tinukoy na konsepto at bilang isang pagtukoy.

Halimbawa, ang tamang anggulo ay tinukoy hindi bilang isa sa magkapantay na magkatabing mga anggulo, ngunit bilang mga anggulo na may magkabilang panig na patayo;

3) tautolohiya - ang isang konsepto ay binibigyang kahulugan sa pamamagitan ng konsepto mismo.

Halimbawa, ang dalawang figure ay tinatawag na magkatulad kung sila ay isinalin sa isa't isa sa pamamagitan ng isang pagkakatulad na pagbabago;

4) minsan ang kahulugan ay hindi nagsasaad ng pagtukoy sa hanay kung saan ang tinukoy na subset ay pinili.

Halimbawa, "ang median ay isang tuwid na linya ..." sa halip na "ang median ay isang segment na nagkokonekta ...";

5)sa mga depinisyon na ibinigay ng mga mag-aaral, kung minsan ang konseptong binibigyang kahulugan ay ganap na wala, na posible lamang kapag ang mga mag-aaral ay hindi nakasanayan na magbigay ng buong sagot.

Ang pamamaraan para sa pagwawasto ng mga pagkakamali sa mga kahulugan ay nagsasangkot, sa simula, alamin ang kakanyahan ng mga pagkakamaling nagawa, at pagkatapos ay pinipigilan ang kanilang pag-uulit.

3. Istruktura ng kahulugan

1) Pinagdugtong na istraktura: dalawang puntos at tinatawag na simetriko na may paggalang sa linyang p( A(x)) kung ang linyang p ay patayo sa segment at dumadaan sa gitnang punto nito. Ipagpalagay din namin na ang bawat punto ng linya p ay simetriko sa sarili nito na may paggalang sa linya p (ang pagkakaroon ng unyon "at") (* - "Ang bisector ng isang anggulo ay isang sinag na nagmumula sa tuktok nito, pumasa. sa pagitan ng mga gilid nito at hinahati ang anggulo sa kalahati").

2)Istruktura ng istruktura: “Let be a given figure and p a fixed line. Kumuha ng di-makatwirang punto ng figure at i-drop ang patayo sa linya p. Sa pagpapatuloy ng patayo sa kabila ng punto, magtabi ng isang segment na katumbas ng segment. Ang pagbabagong-anyo ng isang figure sa isang figure, kung saan ang bawat punto ay napupunta sa isang punto na binuo sa isang tiyak na paraan, ay tinatawag na symmetry na may kinalaman sa linya p."

3) Disjunctive na istraktura: itakda ang kahulugan Z ang mga integer ay maaaring isulat sa wika ng mga katangian sa anyo Z N o N o = 0, kung saan N- set ng mga numero na kabaligtaran ng natural na mga numero.

4. Mga katangian ng mga pangunahing yugto sa pag-aaral ng mga konsepto sa matematika

Ang pamamaraan para sa paggawa sa isang kahulugan ay kinabibilangan ng: 1) kaalaman sa kahulugan; 2) pag-aaral na makilala ang isang bagay na tumutugma sa isang ibinigay na kahulugan; 3) pagbuo ng iba't ibang mga counterexamples. Halimbawa, ang konsepto ng "kanang tatsulok" at nagsusumikap sa pagkilala sa mga elementong bumubuo nito:

Ang pag-aaral ng mga kahulugan ng matematika ay maaaring nahahati sa tatlong yugto:

Stage 1 - panimula - paglikha ng isang sitwasyon sa aralin kapag ang mga mag-aaral ay maaaring "nakatuklas" ng mga bagong bagay sa kanilang sarili, nakapag-iisa na bumubuo ng mga kahulugan para sa kanila, o naghahanda lamang para sa kanilang pag-unawa.

Stage 2 - pagtiyak ng asimilasyon - bumubuhos sa pagtiyak na ang mga mag-aaral ay:

a) natutong gamitin ang kahulugan;

b) isaulo ang mga ito nang mabilis at tumpak;

c) naunawaan ang bawat salita sa kanilang mga pormulasyon.

Ang ika-3 yugto - pagsasama-sama - ay isinasagawa sa mga kasunod na aralin at bumababa sa pag-uulit ng kanilang mga pormulasyon at pagproseso ng mga kasanayan sa aplikasyon sa paglutas ng mga problema.

Ang pagkilala sa mga bagong konsepto ay isinasagawa:

Paraan 1: naghahanda ang mga mag-aaral para sa independiyenteng pagbuo ng isang kahulugan.

Paraan 2: naghahanda ang mga mag-aaral para sa malay-tao na pang-unawa, pag-unawa sa isang bagong matematikal na pangungusap, ang pagbabalangkas kung saan pagkatapos ay iniulat sa kanila sa tapos na anyo.

Paraan 3: ang guro mismo ay bumalangkas ng isang bagong kahulugan nang walang anumang paghahanda, at pagkatapos ay nakatuon ang mga pagsisikap ng mga mag-aaral sa kanilang asimilasyon at pagsasama-sama.

Ang mga pamamaraan 1 at 2 ay kumakatawan sa heuristic na pamamaraan, paraan 3 - dogmatiko. Ang paggamit ng alinman sa mga pamamaraan ay dapat na angkop sa antas ng paghahanda ng klase at sa karanasan ng guro.

5. Mga katangian ng mga pamamaraan para sa pagpapakilala ng mga konsepto

Ang mga sumusunod na pamamaraan ay posible kapag nagpapakilala ng mga konsepto:

1) Maaari kang lumikha ng mga pagsasanay na nagbibigay-daan sa mga mag-aaral na mabilis na bumalangkas ng kahulugan ng isang bagong konsepto.

Halimbawa: a) Isulat ang unang ilang miyembro ng sequence (), na may =2, . Ang sequence na ito ay tinatawag na geometric progression. Subukang bumalangkas ng kahulugan nito. Maaari mong limitahan ang iyong sarili sa paghahanda para sa pang-unawa ng isang bagong konsepto.

b) Isulat ang unang ilang miyembro ng sequence (), na may = 4, Pagkatapos ay sinabi ng guro na ang naturang sequence ay tinatawag na arithmetic progression at siya mismo ang nagbibigay ng kahulugan nito.

2) kapag nag-aaral ng mga geometric na konsepto, ang mga pagsasanay ay binuo sa paraang ang mga mag-aaral ay bumuo ng kinakailangang figure sa kanilang sarili at magagawang i-highlight ang mga palatandaan ng isang bagong konsepto na kinakailangan para sa pagbabalangkas ng isang kahulugan.

Halimbawa: bumuo ng isang di-makatwirang tatsulok, ikonekta ang vertex nito sa isang segment sa gitnang punto ng kabaligtaran. Ang segment na ito ay tinatawag na median. Bumuo ng kahulugan ng median.

Minsan iminungkahi na gumuhit ng isang modelo o, isinasaalang-alang ang mga yari na modelo at mga guhit, i-highlight ang mga tampok ng isang bagong konsepto at bumalangkas ng kahulugan nito.

Halimbawa: ang kahulugan ng parallelepiped ay ipinakilala sa grade 10. Batay sa mga iminungkahing modelo ng oblique, straight at rectangular parallelepipeds, tukuyin ang mga tampok kung saan naiiba ang mga konseptong ito. Bumuo ng kaukulang mga kahulugan ng kanan at parihabang parallelepiped.

3) Maraming mga konseptong algebraic ang ipinakilala batay sa mga partikular na halimbawa.

Halimbawa: ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya.

4)Ang paraan ng mga kapaki-pakinabang na gawain,(binuo ni S.I. Shokhor-Trotsky) Sa tulong ng isang espesyal na napiling gawain, ang mga mag-aaral ay dumating sa konklusyon na ito ay kinakailangan upang ipakilala ang isang bagong konsepto at ito ay kapaki-pakinabang upang bigyan ito ng eksaktong parehong kahulugan na mayroon na ito sa matematika.

Sa mga baitang 5-6, ang mga konsepto ay ipinakilala sa pamamagitan ng pamamaraang ito: equation, equation root, solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ang konsepto ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati sa ibabaw. natural na mga numero, decimal at ordinaryong fraction, atbp.

Konkretong inductive na pamamaraan

Kakanyahan:

a) ang mga tiyak na halimbawa ay isinasaalang-alang;

b) itinatampok ang mahahalagang katangian;

c) nabuo ang isang kahulugan;

d) isinasagawa ang mga pagsasanay: para sa pagkilala; para sa disenyo;

e) magtrabaho sa mga ari-arian na hindi kasama sa kahulugan;

e) aplikasyon ng mga ari-arian.

Halimbawa: paksa - mga paralelogram:

1, 3, 5 - mga paralelogram.

b) mahahalagang katangian: may apat na gilid, pairwise parallelism ng mga gilid.

c) pagkilala, pagbuo:

d) hanapin (buuin) ang ikaapat na vertex ng parallelogram (* - gawain Blg. 3, art. 96, Geometry grade 7-11: Ilang parallelograms ang maaaring itayo gamit ang mga vertices sa tatlo binigay na puntos hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya? Buuin ang mga ito.).

e) iba pang mga katangian:

Ang AC at BD ay nagsalubong sa punto O at AO=OC, BO=OD; AB=CD, AD=BC.

e) A=C, B=D.

Pagsasama-sama: paglutas ng mga problema No. 4-23, pp. 96-97, Geometry 7-11, Pogorelov.

Halaga ng pananaw:

a) ay ginagamit sa pag-aaral at kahulugan ng isang parihaba at isang rhombus;

b) ang prinsipyo ng parallelism at pagkakapantay-pantay ng mga segment na nakapaloob sa pagitan ng mga parallel na linya sa Thales theorem;

c) ang konsepto ng parallel na pagsasalin (vector);

d) ang pag-aari ng isang paralelogram ay ginagamit kapag kinukuha ang lugar ng isang tatsulok;

e) parallelism at perpendicularity sa espasyo; parallelepiped; prisma.

Abstract-deductive na pamamaraan

Kakanyahan:

a) kahulugan ng konsepto: - quadratic equation;

b) pagpili ng mahahalagang katangian: x - variable; a, b, c - mga numero; a?0 sa

c) concretization ng konsepto: - nabawasan; mga halimbawa ng equation

d) mga pagsasanay: para sa pagkilala, para sa pagtatayo;

e) ang pag-aaral ng mga katangian na hindi kasama sa kahulugan: ang mga ugat ng equation at ang kanilang mga katangian;

e) paglutas ng problema.

Sa paaralan, ang abstract-deductive method ay ginagamit kapag ang bagong konsepto ay ganap na inihanda sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga nakaraang konsepto, kabilang ang pag-aaral ng pinakamalapit na generic na konsepto, at ang tiyak na pagkakaiba ng bagong konsepto ay napakasimple at naiintindihan ng mga mag-aaral.

Halimbawa: ang kahulugan ng rhombus pagkatapos pag-aralan ang paralelogram.

Gayundin, ang pamamaraan sa itaas ay ginagamit:

1) kapag pinagsama-sama ang "pedigree" ng kahulugan ng konsepto:

Ang parisukat ay isang parihaba na ang lahat ng panig ay pantay.

Ang parihaba ay isang paralelogram na may lahat ng tamang anggulo.

Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay parallel.

Ang quadrilateral ay isang figure na binubuo ng apat na puntos at apat na segment na nag-uugnay sa kanila sa serye.

Sa madaling salita, ang genealogy ay isang hanay ng mga konsepto na binuo sa pamamagitan ng mga generalization ng nakaraang konsepto, ang pangwakas ay isang hindi matukoy na konsepto (alalahanin na sa kurso ng geometry ng paaralan ang mga ito ay kinabibilangan ng isang punto, isang pigura, isang eroplano, isang distansya ( magsinungaling sa pagitan));

2) pag-uuri;

3) inilapat sa mga patunay ng theorems at paglutas ng problema;

4) ay malawakang ginagamit sa proseso ng pag-update ng kaalaman.

Isaalang-alang ang prosesong ito, na kinakatawan ng isang sistema ng gawain:

a) Nabigyan ng tamang tatsulok na may mga gilid na 3 cm at 4 cm. Hanapin ang haba ng median na iginuhit sa hypotenuse.

b) Patunayan na ang median na iginuhit mula sa vertex ng tamang anggulo ng tatsulok ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

c) Patunayan na sa isang tamang tatsulok ang bisector ng tamang anggulo ay hinahati ang anggulo sa pagitan ng median at ang altitude na iginuhit sa hypotenuse.

d) Sa pagpapatuloy ng pinakamahabang bahagi ng AC ng tatsulok na ABC, ang segment na CM ay naka-plot, katumbas ng gilid na BC. Patunayan mo na si AVM ay matapang.

Sa karamihan ng mga kaso, ang concrete-inductive na paraan ay ginagamit sa pagtuturo sa paaralan. Sa partikular, ang pamamaraang ito ay nagpapakilala ng mga konsepto sa propaedeutic cycle ng mga simula ng algebra at geometry sa mga baitang 1-6, at maraming pagtukoy sa mga konsepto ang ipinakilala nang deskriptibo, nang walang mahigpit na mga pormulasyon.

Ang kamangmangan ng guro sa iba't ibang paraan ng pagpapakilala ng mga kahulugan ay humahantong sa pormalismo, na nagpapakita ng sarili tulad ng sumusunod:

a) nahihirapan ang mga mag-aaral na ilapat ang mga kahulugan sa isang hindi pangkaraniwang sitwasyon, bagama't naaalala nila ang mga salita nito.

Halimbawa: 1) itinuturing nilang pantay ang function, dahil “cos” - kahit;

2) - hindi maunawaan ang kaugnayan sa pagitan ng monotonicity ng isang function at ang solusyon ng isang hindi pagkakapantay-pantay, i.e. hindi maaaring ilapat ang kaukulang mga kahulugan, kung saan ang pangunahing paraan ng pananaliksik ay upang tantiyahin ang tanda ng pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng function, i.e. sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay.

b) ang mga mag-aaral ay may mga kasanayan upang malutas ang mga problema ng anumang uri, ngunit hindi maipaliwanag batay sa kung anong mga kahulugan, axiom, teorema ang kanilang ginagawa sa ilang mga pagbabago.

Halimbawa: 1) - transform ayon sa formula na ito at 2) isipin na sa talahanayan ay isang modelo ng isang quadrangular pyramid. Anong polygon ang magiging base ng pyramid na ito kung ang modelo ay ilalagay sa mesa na may gilid na mukha? (quadrilateral).

Ang proseso ng pagbuo ng kaalaman, kasanayan at kakayahan ay hindi limitado sa komunikasyon ng bagong kaalaman.

Ang kaalamang ito ay dapat makuha at pagsamahin.

6. Pamamaraan para matiyak ang asimilasyon ng mga konseptong matematikal (mga pangungusap)

1. Ang mga pormulasyon ng maraming mga kahulugan (theorems, axioms) ay naiintindihan ng mga mag-aaral, madaling matandaan pagkatapos ng isang maliit na bilang ng mga pag-uulit, kaya ipinapayong imungkahi muna na isaulo ang mga ito, at pagkatapos ay turuan kung paano ilapat ang mga ito sa paglutas ng mga problema.

Ang pamamaraan kung saan ang mga proseso ng pag-alala ng mga kahulugan at ang pagbuo ng mga kasanayan para sa kanilang aplikasyon ay nangyayari sa mga mag-aaral nang hindi sabay-sabay (hiwalay) ay tinatawag magkahiwalay.

Ang hiwalay na paraan ay ginagamit sa pag-aaral ng mga kahulugan ng isang chord, trapezium, even at odd functions, Pythagorean theorems, signs of parallel lines, Vieta's theorem, properties of numerical inequalities, multiplication rules for ordinary fractions, addition of fractions with the same denominators, atbp.

Pamamaraan:

a) bumalangkas ang guro ng bagong kahulugan;

b) ang mga mag-aaral ng klase para sa pagsasaulo ay ulitin ito ng 1-3 beses;

c) nagsasanay sa mga pagsasanay.

2. Compact paraan Binubuo ang katotohanan na ang mga mag-aaral ay nagbabasa ng isang mathematical na kahulugan o pangungusap sa mga bahagi at, sa kurso ng pagbabasa, sabay-sabay na nagsasagawa ng isang ehersisyo.

Sa pagbabasa ng mga salita ng ilang beses, kabisado nila ito sa daan.

Pamamaraan:

a) paghahanda ng isang panukalang matematika para sa aplikasyon. Ang kahulugan ay nahahati sa mga bahagi ayon sa mga tampok, ang teorama - sa isang kondisyon at isang konklusyon;

b) isang sample ng mga aksyon na inaalok ng guro, na nagpapakita kung paano magtrabaho kasama ang inihandang teksto: binabasa namin ito sa mga bahagi at ginagawa ang mga pagsasanay sa parehong oras;

c) binabasa ng mga mag-aaral ang kahulugan sa mga bahagi at sabay na nagsasagawa ng mga pagsasanay, na ginagabayan ng inihandang teksto at ang modelo ng guro;

Halimbawa: ang kahulugan ng bisector sa ikalimang baitang:

1) ang pagpapakilala ng konsepto ay isinasagawa sa pamamagitan ng paraan ng mga kapaki-pakinabang na problema sa modelo ng anggulo;

2) ang isang kahulugan ay nakasulat: "Ang isang sinag na umuusbong mula sa tuktok ng isang anggulo at hinahati ito sa dalawang pantay na bahagi ay tinatawag na bisector ng anggulo";

3) ang gawain ay isinasagawa: ipahiwatig kung alin sa mga linya sa mga guhit ang mga bisector ng anggulo (ang mga pantay na anggulo ay tinutukoy ng parehong bilang ng mga arko).

Sa isa sa mga guhit, ipinakita ng guro ang aplikasyon ng kahulugan (tingnan sa ibaba);

4) ang gawain ay ipinagpatuloy ng mga mag-aaral.

3. Kumbinasyon ng hiwalay at compact na paraan : pagkatapos ng pagtatapos ng isang bagong tuntunin, ito ay paulit-ulit na 2-3 beses, at pagkatapos ay ang guro ay nangangailangan sa proseso ng paggawa ng mga pagsasanay upang bumalangkas ng panuntunan sa mga bahagi.

4. Algorithmic na pamamaraan ay ginagamit upang mabuo ang mga kasanayan sa paglalapat ng mga mathematical na pangungusap.

Pamamaraan: Ang mga matematikal na pangungusap ay pinapalitan ng isang algorithm. Salit-salit na binabasa ang mga tagubilin ng algorithm, nalulutas ng mag-aaral ang problema. Kaya, nabubuo niya ang kasanayan sa paglalapat ng mga kahulugan, axiom at theorems. Sa kasong ito, pinapayagan ang kasunod na pagsasaulo ng kahulugan, o ang pagbabasa ng mismong kahulugan kasama ng algorithm.

Ang mga pangunahing yugto ng pamamaraan:

a) paghahanda para sa gawain ng isang listahan ng mga tagubilin, na maaaring ibigay sa tapos na anyo, na sinusundan ng isang paliwanag, o ang mga mag-aaral ay humantong sa independiyenteng pagsasama-sama nito;

b) isang sample ng sagot ng guro;

c) ang mga mag-aaral ay gumagawa sa parehong paraan.

Ang mga hiwalay at compact na pamamaraan ay ginagamit sa pag-aaral ng mga kahulugan. Ang algorithm ay maaaring ilapat lamang kapag nag-aaral ng mga kahulugan na mahirap i-assimilate (halimbawa, kinakailangan at sapat na mga kondisyon). Ang algorithmic na pamamaraan ay pinakamalawak na ginagamit sa pagbuo ng mga kasanayan sa paglutas ng problema.

7. Mga paraan ng pag-aayos ng mga konsepto at pangungusap sa matematika

1st reception:

iminumungkahi ng guro ang pagbabalangkas at paglalapat ng ilang mga kahulugan, axioms, theorems na nakatagpo sa kurso ng paglutas ng mga problema.

Halimbawa: mag-plot ng function graph; kahulugan ng kahit na (kakaibang) function; kailangan at sapat na kondisyon para sa pagkakaroon.

2nd reception:

iminumungkahi ng guro ang pagbabalangkas ng isang bilang ng mga kahulugan, theorems, axioms sa panahon ng isang frontal survey upang ulitin ang mga ito at sa parehong oras suriin kung naaalala ng mga mag-aaral ang mga ito. Ang pamamaraan na ito ay hindi epektibo sa labas ng paglutas ng mga problema. Posibleng pagsamahin ang isang pangharap na survey sa mga espesyal na pagsasanay na nangangailangan ng mga mag-aaral na mailapat ang mga kahulugan, teorema, axiom sa iba't ibang sitwasyon, ang kakayahang mabilis na mag-navigate sa mga kondisyon ng problema.

Konklusyon

Ang kaalaman sa kahulugan ay hindi ginagarantiyahan ang asimilasyon ng konsepto. Trabaho sa pamamaraan na may mga konsepto ay dapat na naglalayong pagtagumpayan ang pormalismo, na ipinapakita sa katotohanan na ang mga mag-aaral ay hindi makilala ang bagay na tinukoy sa iba't ibang mga sitwasyon kung saan ito nangyayari.

Ang pagkilala sa isang bagay na tumutugma sa isang ibinigay na kahulugan at pagbuo ng mga counterexamples ay posible lamang sa isang malinaw na pag-unawa sa mga istruktura ng isinasaalang-alang na kahulugan, na sa scheme ng kahulugan () ay nangangahulugang ang istraktura ng kanang bahagi.

Panitikan

1. K.O. Ananchenko " Pangkalahatang pamamaraan pagtuturo ng matematika sa paaralan", Mn., "Universitetskaya", 1997

2. N.M. Roganovsky "Mga paraan ng pagtuturo sa mataas na paaralan", Mn.," graduate School", 1990

3. G. Freudenthal “Matematika bilang gawaing pedagogical”, M., “Enlightenment”, 1998

4. N.N. "Matematical laboratory", M., "Enlightenment", 1997

5. Yu.M. Kolyagin "Mga paraan ng pagtuturo ng matematika sa sekondaryang paaralan", M., "Prosveshchenie", 1999

6. A.A. Stolyar "Mga lohikal na problema ng pagtuturo ng matematika", Mn., "Higher School", 2000

Mga Katulad na Dokumento

Mga batayan ng pamamaraan para sa pag-aaral ng mga konsepto ng matematika. Mga konsepto sa matematika, ang kanilang nilalaman at saklaw, pag-uuri ng mga konsepto. Mga tampok na sikolohikal at pedagogical ng pagtuturo ng matematika sa mga baitang 5-6. Sikolohikal na aspeto ng pagbuo ng konsepto.

thesis, idinagdag noong 08/08/2007


Ang kakanyahan ng pagbuo ng mga konsepto, ang pangkalahatang pamamaraan at tampok nito, mga yugto ng pagpapatupad at mga posibleng paraan. Pag-uuri ng mga konsepto at pamamaraan nito para sa mga disiplinang matematika. Kahulugan bilang ang huling yugto sa pagbuo ng isang konsepto, mga uri at katangian nito.

abstract, idinagdag 04/24/2009


"Konsepto" sa sikolohikal, pedagogical, pilosopikal, panitikang pang-edukasyon. Mga uri at kahulugan ng mga konsepto ng matematika sa elementarya na matematika. Ang papel, pag-andar ng pag-uuri sa pagbuo ng mga konsepto. Ang sistema ng pagbuo ng mga konsepto sa matematika.

thesis, idinagdag noong 11/23/2008


Mga pundasyong sikolohikal at pedagogical para sa pagbuo ng mga konseptong pang-agham. Kakanyahan at pinagmumulan ng edukasyong vitagenic. Mga pamamaraan at pamamaraan para sa pagtukoy at pag-update ng vitagenic na karanasan ng mga mag-aaral. Pagbuo ng mga siyentipikong konsepto bilang problemang pedagogical. Mga uri ng mga konseptong pang-agham.

thesis, idinagdag noong 12/13/2009


Pagsusuri ng mga pangunahing konsepto ng matematika. Mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga tabular na kaso ng multiplikasyon at paghahati. Mga gawain para sa pansariling gawain mga mag-aaral. Pagpapatupad ng isang indibidwal na diskarte sa pag-aaral. Mga pagsasanay para sa mastering ang multiplication table, mga pamamaraan ng pagsubok ng kaalaman.

thesis, idinagdag noong 12/13/2013


artikulo, idinagdag noong 09/15/2009


Visualization bilang isang paraan ng mastering grammatical konsepto. Isang sistema para sa pag-aaral ng mga konsepto ng gramatika sa mga araling Ruso gamit ang visualization. Ang mga resulta ng eksperimento upang matukoy ang antas ng pag-aaral ng mga konsepto ng gramatika ng mga nakababatang mag-aaral.

thesis, idinagdag noong 05/03/2015


Mga bahagi ng mga kakayahan sa matematika, ang antas ng kanilang pagpapakita sa edad ng elementarya, natural na mga kinakailangan at mga kondisyon ng pagbuo. Ang mga pangunahing anyo at pamamaraan ng mga ekstrakurikular na aktibidad: mga klase ng bilog, mga gabi sa matematika, olympiad, mga laro.

thesis, idinagdag noong 11/06/2010


Ang paraan ng pag-familiarize sa mga mag-aaral sa mga axiom sa kurso ng geometry ng paaralan, tradisyonal na mga pamamaraan ng synthetic coordinate vector, ang papel ng mga axiom sa pagbuo ng kurso sa paaralan. Mga pamamaraan para sa pagpapakilala ng mga konsepto at teorema, isang pamamaraan para sa pag-aaral ng mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

abstract, idinagdag noong 03/07/2010


Mga tampok ng pag-aaral ng matematika sa elementarya ayon sa Federal State Educational Standard para sa Primary General Education. Nilalaman ng kurso. Pagsusuri ng mga pangunahing konsepto ng matematika. Ang kakanyahan ng indibidwal na diskarte sa didactics.

Lektura 5. Mga konsepto sa matematika

1. Ang saklaw at nilalaman ng konsepto. Mga ugnayan sa pagitan ng mga konsepto

2. Kahulugan ng mga konsepto. Tinukoy at hindi natukoy na mga konsepto.

3. Mga paraan upang tukuyin ang mga konsepto.

4. Mga Pangunahing Natuklasan

Ang mga konsepto na pinag-aaralan sa elementarya na kurso ng matematika ay karaniwang ipinakita sa anyo ng apat na grupo. Ang una ay kinabibilangan ng mga konseptong nauugnay sa mga numero at mga operasyon sa mga ito: numero, karagdagan, termino, higit pa, atbp. Ang pangalawa ay kinabibilangan ng mga konseptong algebraic: pagpapahayag, pagkakapantay-pantay, mga equation, atbp. Ang ikatlong pangkat ay binubuo ng mga geometric na konsepto: tuwid na linya, segment, tatsulok , atbp. .d. Ang ikaapat na pangkat ay nabuo sa pamamagitan ng mga konsepto na may kaugnayan sa mga dami at ang kanilang pagsukat.

Upang pag-aralan ang buong iba't ibang mga konsepto, kailangan mong magkaroon ng ideya tungkol sa konsepto bilang isang lohikal na kategorya at ang mga tampok ng mga konsepto sa matematika.

Sa lohika mga konsepto itinuturing bilang anyo ng pag-iisip sumasalamin sa mga bagay (mga bagay at phenomena) sa kanilang mahahalagang at karaniwang katangian Oh. Ang linggwistikong anyo ng konsepto ay salita (term) o grupo ng mga salita.

Upang bumuo ng isang konsepto tungkol sa isang bagay - ϶ᴛᴏ ay nangangahulugang magagawang makilala ito mula sa iba pang mga bagay na katulad nito. Ang mga konsepto ng matematika ay may ilang mga tampok. Ang pangunahing isa ay, sa katunayan, na ang mga bagay sa matematika tungkol sa kung saan napakahalaga na bumuo ng isang konsepto ay hindi umiiral sa katotohanan. Ang mga bagay sa matematika ay nilikha ng isip ng tao. Ito ay mga perpektong bagay na sumasalamin sa mga tunay na bagay o phenomena. Halimbawa, sa geometry, ang hugis at sukat ng mga bagay ay pinag-aralan, nang hindi isinasaalang-alang ang iba pang mga katangian: kulay, masa, tigas, atbp. Mula sa lahat ng ito sila ay abstracted. Para sa kadahilanang ito, sa geometry, sa halip na ang salitang "object" ay sinasabi nilang "geometric figure".

Ang resulta ng abstraction ay tulad din ng mga konseptong matematikal bilang "numero" at "halaga".

Sa pangkalahatan, ang mga bagay sa matematika ay umiiral lamang sa pag-iisip ng tao at sa mga palatandaan at simbolo na bumubuo sa wikang matematika.

Maaari itong idagdag sa sinabi na, sa pamamagitan ng pag-aaral spatial forms at quantitative relations ng materyal na mundo, ang matematika ay hindi lamang gumagamit ng iba't ibang paraan ng abstraction, ngunit ang abstraction mismo ay gumaganap bilang isang multi-stage na proseso. Sa matematika, isinasaalang-alang hindi lamang ang mga konsepto na lumitaw sa pag-aaral ng mga tunay na bagay, kundi pati na rin ang mga konsepto na lumitaw batay sa dating. Halimbawa, ang pangkalahatang konsepto ng isang function bilang isang sulat ay isang generalization ng mga konsepto ng mga partikular na function, ᴛ.ᴇ. abstraction mula sa abstractions.

1. Ang saklaw at nilalaman ng konsepto. Mga ugnayan sa pagitan ng mga konsepto

Ang bawat bagay sa matematika ay may ilang mga katangian. Halimbawa, ang isang parisukat ay may apat na panig, apat na tamang anggulo na katumbas ng dayagonal. Maaari mo ring tukuyin ang iba pang mga katangian.

Sa mga katangian ng isang bagay, mayroong mahalaga at hindi mahalaga. Pakiramdam ng ari-arian mahalaga para sa isang bagay kung ito ay likas sa bagay na ito at kung wala ito ay hindi ito umiiral. Halimbawa, para sa isang parisukat, lahat ng mga katangian na binanggit sa itaas ay mahalaga. Ang property na “side AB is horizontal” ay hindi mahalaga para sa square ABCD.

Kapag pinag-uusapan ang isang matematikal na konsepto, kadalasang nangangahulugan sila ng isang hanay ng mga bagay na tinutukoy ng isa termino(salita o pangkat ng mga salita). Kaya, nagsasalita tungkol sa isang parisukat, ang ibig nilang sabihin ay ang lahat ng mga geometric na numero na mga parisukat. Ito ay pinaniniwalaan na ang hanay ng lahat ng mga parisukat ay ang saklaw ng konsepto ng "parisukat".

Sa pangkalahatan, ang saklaw ng konsepto ay ϶ᴛᴏ ang set ng lahat ng bagay na tinutukoy ng isang termino.

Ang anumang konsepto ay hindi lamang saklaw, kundi pati na rin ang nilalaman.

Isaalang-alang, halimbawa, ang konsepto ng isang parihaba.

Ang saklaw ng konsepto ay ϶ᴛᴏ isang set ng iba't ibang mga parihaba, at kasama sa nilalaman nito ang mga katangian ng mga parihaba gaya ng "may apat na tamang anggulo", "may magkaparehong magkabilang gilid", "may pantay na diagonal", atbp.

Sa pagitan ng saklaw ng isang konsepto at nilalaman nito, mayroon relasyon: kung tumataas ang dami ng isang konsepto, bababa ang nilalaman nito, at kabaliktaran. Kaya, halimbawa, ang saklaw ng konsepto ng "square" ay bahagi ng saklaw ng konsepto ng "rectangle", at ang nilalaman ng konsepto ng "square" ay naglalaman ng higit pang mga katangian kaysa sa nilalaman ng konsepto ng "rectangle" ("lahat ng panig ay pantay-pantay", "mga dayagonal ay magkaparehong patayo" at iba pa).

Ang anumang konsepto ay hindi maa-asimilasyon nang hindi napagtatanto ang kaugnayan nito sa ibang mga konsepto. Para sa kadahilanang ito, mahalagang malaman kung ano ang maaaring maging mga konsepto ng relasyon, at upang maitatag ang mga koneksyong ito.

Ang mga relasyon sa pagitan ng mga konsepto ay malapit na konektado sa mga relasyon sa pagitan ng kanilang mga volume, ᴛ.ᴇ. set.

Sumang-ayon tayo na magtalaga ng mga konsepto sa pamamagitan ng maliliit na titik ng alpabetong Latin: a, b, c, d, ..., z.

Hayaang ibigay ang dalawang konsepto a at b. Tukuyin natin ang kanilang mga volume bilang A at B, ayon sa pagkakabanggit.

Kung A ⊂ B (A ≠ B), sasabihin nila na ang konsepto a ay tiyak na may kaugnayan sa konsepto b, at ang konsepto b ay generic na may kaugnayan sa konsepto a.

Halimbawa, kung ang a ay isang "rectangle", ang b ay isang "quadrilateral", kung gayon ang kanilang mga volume na A at B ay nauugnay sa pagsasama (A ⊂ B at A ≠ B), na may kaugnayan dito, ang anumang parihaba ay isang quadrilateral. Para sa kadahilanang ito, maaari itong argued na ang konsepto ng "parihaba" ay tiyak na may kaugnayan sa konsepto ng "quadrilateral", at ang konsepto ng "quadrilateral" ay generic na may kaugnayan sa konsepto ng "parihaba".

Kung A = B, ang mga konseptong A at B ay sinasabing magkapareho.

Halimbawa, ang mga konsepto ng "equilateral triangle" at "isosceles triangle" ay magkapareho, dahil ang kanilang mga volume ay pareho.

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang kaugnayan ng genus at species sa pagitan ng mga konsepto.

1. Una sa lahat, ang mga konsepto ng genus at species ay kamag-anak: ang parehong konsepto ay maaaring generic na may kaugnayan sa isang konsepto at species na may kaugnayan sa isa pa. Halimbawa, ang konsepto ng "rectangle" ay generic na may kaugnayan sa konsepto ng "square" at tiyak na may kaugnayan sa konsepto ng "quadrilateral".

2. Pangalawa, para sa isang binigay na konsepto, kadalasang posibleng tumukoy ng ilang generic na konsepto. Kaya, para sa konsepto ng "rectangle" ang mga konsepto ng "quadrilateral", "parallelogram", "polygon" ay generic. Kabilang sa mga ito, maaari mong tukuyin ang pinakamalapit. Para sa konsepto ng "rectangle" ang pinakamalapit ay ang konsepto ng "parallelogram".

3. Pangatlo, ang konsepto ng species ay mayroong lahat ng katangian ng generic na konsepto. Halimbawa, ang isang parisukat, bilang isang tiyak na konsepto na may kaugnayan sa konsepto ng isang "parihaba", ay mayroong lahat ng mga katangian na likas sa isang parihaba.

Dahil ang saklaw ng isang konsepto ay isang set, ito ay maginhawa, kapag nagtatatag ng mga relasyon sa pagitan ng mga saklaw ng mga konsepto, upang ilarawan ang mga ito gamit ang mga lupon ng Euler.

Itatag natin, halimbawa, ang ugnayan sa pagitan ng mga sumusunod na pares ng konsepto a at b, kung:

1) a - "parihaba", b - "rhombus";

2) a - "polygon", b - "parallelogram";

3) a - "tuwid", b - "segment".

Ang mga ugnayan sa pagitan ng mga hanay ay ipinapakita sa figure, ayon sa pagkakabanggit.

2. Kahulugan ng mga konsepto. Tinukoy at hindi natukoy na mga konsepto.

Ang paglitaw sa matematika ng mga bagong konsepto, at samakatuwid ay ang mga bagong termino na nagsasaad ng mga konseptong ito, ay nagpapahiwatig ng kanilang kahulugan.

Kahulugan karaniwang tinatawag na pangungusap na nagpapaliwanag sa kakanyahan ng isang bagong termino (o pagtatalaga). Bilang isang patakaran, ginagawa ito batay sa mga naunang ipinakilala na konsepto. Halimbawa, ang isang parihaba ay maaaring tukuyin tulad ng sumusunod: "Ang isang parihaba ay tinatawag na isang quadrilateral, kung saan ang lahat ng mga sulok ay tama." Ang kahulugan na ito ay may dalawang bahagi - ang tinukoy na konsepto (parihaba) at ang pagtukoy ng konsepto (isang quadrilateral na may lahat ng tamang anggulo). Kung tinutukoy natin ang unang konsepto sa pamamagitan ng a, at ang pangalawang konsepto sa pamamagitan ng b, kung gayon ang kahulugan na ito ay maaaring katawanin bilang mga sumusunod:

a ay (sa kahulugan) b.

Ang mga salitang "ay (sa pamamagitan ng kahulugan)" ay kadalasang pinapalitan ng simbolo ⇔, at pagkatapos ay ganito ang hitsura ng kahulugan:

Nabasa nila: "a ay katumbas ng b sa pamamagitan ng kahulugan." Mababasa mo rin ang entry na ito tulad nito: “and if and only if b.

Ang mga kahulugan na may ganitong istraktura ay tinatawag tahasan. Isaalang-alang natin ang mga ito nang mas detalyado.

Bumaling tayo sa ikalawang bahagi ng kahulugan ng "parihaba".

Maaari itong makilala:

1) ang konsepto ng "quadrilateral", ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ ay generic na may kaugnayan sa konsepto ng "rectangle".

2) ang property na “to have all right angles”, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ ay nagpapahintulot sa iyo na pumili ng isang uri mula sa lahat ng posibleng quadrangles - mga parihaba; sa bagay na ito, ito ay tinatawag na pagkakaiba ng species.

Sa pangkalahatan, ang partikular na pagkakaiba ay ϶ᴛᴏ mga katangian (isa o higit pa) na nagbibigay-daan sa iyong makilala ang mga tinukoy na bagay mula sa saklaw ng generic na konsepto.

Ang mga resulta ng aming pagsusuri ay maaaring ipakita sa anyo ng isang diagram:

Ang "+" sign ay ginagamit bilang isang kapalit para sa "at" particle.

Alam natin na ang anumang konsepto ay may saklaw. Kung ang konsepto a ay tinukoy sa pamamagitan ng genus at tiyak na pagkakaiba, kung gayon ang dami nito - ang set A - ay masasabing naglalaman ito ng mga bagay na kabilang sa set C (ang dami ng generic na konsepto c) at may ari-arian na P:

A = (x/ x ∈ C at P(x)).

Dahil ang kahulugan ng isang konsepto sa pamamagitan ng isang genus at isang partikular na pagkakaiba ay mahalagang isang kondisyonal na kasunduan sa pagpapakilala ng isang bagong termino upang palitan ang anumang hanay ng mga kilalang termino, imposibleng sabihin ang tungkol sa kahulugan kung ito ay totoo o mali; ito ay hindi napatunayan o hindi pinatutunayan. Ngunit, kapag bumubuo ng mga kahulugan, sumusunod sila sa isang bilang ng mga patakaran. Tawagan natin sila.

1. Ang kahulugan ay dapat proporsyonal. Nangangahulugan ito na ang saklaw ng tinukoy at pagtukoy ng mga konsepto ay dapat tumugma.

2. Sa kahulugan (o kanilang sistema) dapat walang bisyo bilog. Nangangahulugan ito na ang isang konsepto ay hindi maaaring tukuyin sa mga tuntunin ng sarili nito.

3. Ang kahulugan ay dapat malinaw. Kinakailangan, halimbawa, na ang mga kahulugan ng mga terminong kasama sa pagtukoy sa konsepto ay malalaman sa oras na ipinakilala ang kahulugan ng bagong konsepto.

4. Tukuyin ang parehong konsepto sa pamamagitan ng genus at tiyak na pagkakaiba, na sinusunod ang mga panuntunang nabuo sa itaas, maaaring sa iba't ibang paraan. Kaya, ang isang parisukat ay maaaring tukuyin bilang:

a) isang parihaba na ang mga katabing gilid ay pantay;

b) isang parihaba na ang mga dayagonal ay magkaparehong patayo;

c) isang rhombus na may tamang anggulo;

d) isang paralelogram, kung saan ang lahat ng panig ay pantay, at ang mga anggulo ay tama.

Ang iba't ibang mga kahulugan ng parehong konsepto ay posible dahil sa malaking bilang ng mga katangian na kasama sa nilalaman ng konsepto, iilan lamang ang kasama sa kahulugan. At pagkatapos ay pinili ang isa sa mga posibleng kahulugan, na nagpapatuloy kung saan ang isa ay mas simple at mas kapaki-pakinabang para sa karagdagang pagbuo ng teorya.

Pangalanan natin ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na dapat nating sundin kung gusto nating kopyahin ang kahulugan ng isang pamilyar na konsepto o bumuo ng isang kahulugan ng bago:

1. Pangalanan ang konsepto (term) na tinutukoy.

2. Ipahiwatig ang pinakamalapit na generic na konsepto (kaugnay ng tinukoy) na konsepto.

3. Ilista ang mga katangian na nagpapakilala sa mga bagay na tinutukoy mula sa dami ng generic, ibig sabihin, bumalangkas ng tiyak na pagkakaiba.

4. Suriin kung ang mga tuntunin para sa pagtukoy ng konsepto ay natutugunan (kung ito ay proporsyonal, kung mayroong isang mabisyo na bilog, atbp.).

Kabilang sa mga kasanayang itinuturo ng matematika at kailangan ninyong matutunan, pinakamahalaga may kakayahan uriin mga konsepto.

Ang katotohanan ay ang matematika, tulad ng maraming iba pang mga agham, ay hindi nag-aaral ng mga solong bagay o phenomena, ngunit malaki at mabigat. Kaya, kapag pinag-aralan mo ang mga tatsulok, pinag-aaralan mo ang mga katangian ng anumang mga tatsulok, at mayroong isang walang katapusang bilang ng mga ito. Sa pangkalahatan, ang dami ng anumang konsepto sa matematika, bilang panuntunan, ay walang hanggan.

Upang makilala ang mga bagay ng mga konsepto ng matematika, upang pag-aralan ang kanilang mga katangian, ang mga konseptong ito ay karaniwang nahahati sa mga uri, mga klase. Pagkatapos ng lahat, bilang karagdagan sa mga pangkalahatang katangian, ang anumang konsepto ng matematika ay may higit pa mahahalagang katangian, hindi likas sa lahat ng mga bagay ng konseptong ito, ngunit sa mga bagay lamang ng isang tiyak na uri. Kaya, kanang tatsulok, bilang karagdagan sa mga pangkalahatang katangian ng anumang mga tatsulok, ay may maraming mga katangian na napakahalaga para sa pagsasanay, halimbawa ang Pythagorean theorem, ugnayan sa pagitan ng mga anggulo at panig, atbp.

Sa proseso ng ilang siglong pag-aaral ng mga konseptong matematika, sa proseso ng kanilang maraming aplikasyon sa buhay, sa ibang mga agham, ang ilan mga espesyal na uri pagkakaroon ng pinakamaraming kawili-wiling mga katangian pinakakaraniwang nakatagpo at inilalapat sa pagsasanay. Kaya, mayroong walang katapusang maraming iba't ibang mga quadrilateral, ngunit sa pagsasagawa, sa teknolohiya, ang ilang mga uri lamang ng mga ito ang pinaka ginagamit: mga parisukat, parihaba, parallelograms, rhombuses, trapezoids.

Ang paghahati ng saklaw ng isang konsepto sa mga bahagi ay ang pag-uuri ng konseptong ito. Mas tiyak, ang pag-uuri ay nauunawaan bilang pamamahagi ng mga bagay ng isang konsepto sa magkakaugnay na mga klase (mga uri, uri) ayon sa karamihan. mahahalagang katangian(ari-arian). Ang tanda (pag-aari), ayon sa kung saan ang pag-uuri (dibisyon) ng konsepto sa mga uri (mga klase) ay ginawa, ay tinatawag na batayan pag-uuri.

Ang isang wastong itinayo na pag-uuri ng isang konsepto ay sumasalamin sa mga pinakamahalagang katangian at koneksyon sa pagitan ng mga bagay ng konsepto, tumutulong upang mas mahusay na mag-navigate sa karamihan ng mga bagay na ito, ginagawang posible na magtatag ng mga naturang katangian ng mga bagay na ito na pinakamahalaga para sa paggamit nito. konsepto sa iba pang mga agham at pang-araw-araw na kasanayan.

Ang konsepto ay inuri ayon sa isa o higit pa sa mga pinakamahalagang batayan.

Kaya, ang mga tatsulok ay maaaring uriin ayon sa laki ng mga anggulo. Nakukuha namin ang mga sumusunod na uri: acute-angled (lahat ng anggulo ay acute), rectangular (isang anggulo ay tama, ang iba ay acute), obtuse-angled (isang anggulo ay obtuse, ang iba ay acute). Kung kukunin natin ang mga ratios sa pagitan ng mga panig bilang batayan para sa paghahati ng mga tatsulok, pagkatapos ay makuha natin ang mga sumusunod na uri: maraming nalalaman, isosceles at regular (equilateral).

Ito ay mas mahirap kapag kailangan mong uriin ang isang konsepto sa ilang mga batayan. Kaya, kung ang mga convex quadrilateral ay inuri ayon sa parallelism ng mga gilid, kung gayon sa esensya kailangan nating hatiin ang lahat ng convex quadrangles nang sabay-sabay ayon sa dalawang pamantayan: 1) isang pares ng magkasalungat na panig ay parallel o hindi; 2) ang pangalawang pares ng magkabilang panig ay kahanay o hindi. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng tatlong uri ng convex quadrilaterals: 1) quadrilaterals na may hindi magkatulad na panig; 2) quadrilaterals na may isang pares ng parallel na gilid - trapezoids; 3) quadrilaterals na may dalawang pares ng parallel na gilid - parallelograms.

Kadalasan, ang konsepto ay inuri sa mga yugto: una, ayon sa isang base, pagkatapos ang ilang mga uri ay nahahati sa mga subspecies ayon sa isa pang batayan, atbp. Ang isang halimbawa ay ang pag-uuri ng quadrangles. Sa unang yugto, nahahati sila sa batayan ng convexity. Pagkatapos ay ang convex quadrilaterals ay nahahati ayon sa parallelism ng magkabilang panig. Sa turn, ang mga paralelogram ay nahahati ayon sa pagkakaroon ng mga tamang anggulo, atbp.

Kapag nag-uuri, ang ilang mga patakaran ay dapat sundin. Ituro natin ang mga pangunahing.

1. Bilang batayan para sa pag-uuri, ang isa ay maaaring kumuha lamang ng isang karaniwang katangian ng lahat ng mga bagay ng isang ibinigay na konsepto. Kaya, halimbawa, imposibleng kunin bilang batayan para sa pag-uuri ng mga algebraic na expression ang tanda ng pag-aayos ng mga termino sa mga kapangyarihan ng ilang variable. Ang katangiang ito ay hindi karaniwan sa lahat ng algebraic na expression, halimbawa, hindi ito makatuwiran para sa mga fractional na expression o monomial. Ang mga polynomial lang ang may ganitong feature, kaya ang mga polynomial ay maaaring uriin ayon sa pinakamataas na antas ng pangunahing variable.
2. Ang mga mahahalagang katangian (mga tampok) ng mga konsepto ay dapat kunin bilang batayan para sa pag-uuri. Isaalang-alang muli ang konsepto ng isang algebraic expression. Ang isa sa mga katangian ng konseptong ito ay ang mga variable na kasama sa algebraic expression ay tinutukoy ng ilang mga titik. Ang pag-aari na ito ay pangkalahatan, ngunit hindi mahalaga, dahil ang likas na katangian ng expression ay hindi nakasalalay sa kung aling titik ito o ang variable na iyon ay itinalaga. Kaya, algebraic expression x+y at a+b ay mahalagang parehong expression. Samakatuwid, hindi kinakailangang pag-uri-uriin ang mga expression batay sa pagtatalaga ng mga variable na may mga titik. Ang isa pang bagay ay kung gagawin natin bilang batayan para sa pag-uuri ng mga algebraic expression ang tanda ng uri ng mga aksyon kung saan ang mga variable ay konektado, iyon ay, ang mga aksyon na ginagawa sa mga variable. Ang karaniwang tampok na ito ay napakahalaga, at ang pag-uuri ayon sa tampok na ito ay magiging tama at kapaki-pakinabang.
3. Sa bawat yugto ng pag-uuri, isang batayan lamang ang maaaring ilapat. Imposibleng sabay-sabay na uriin ang isang konsepto ayon sa dalawang magkaibang pamantayan. Halimbawa, imposibleng agad na maiuri ang mga tatsulok kapwa sa laki at sa ratio sa pagitan ng mga gilid, dahil bilang resulta ay makakakuha tayo ng mga klase ng mga tatsulok na may mga karaniwang elemento (halimbawa, acute-angled at isosceles o obtuse-angled at isosceles. , atbp.). Ang sumusunod na kinakailangan sa pag-uuri ay nilabag dito: bilang resulta ng pag-uuri sa bawat yugto, ang mga resultang klase (mga uri) ay hindi dapat magsalubong.
4. Sa parehong oras Ang pag-uuri sa ilang kadahilanan ay dapat na kumpleto at ang bawat bagay ng konsepto ay dapat mahulog bilang isang resulta ng pag-uuri sa isa at isang klase lamang.

Samakatuwid, ang paghahati ng lahat ng integer sa positibo at negatibo ay hindi tama, dahil ang integer zero ay hindi nahulog sa alinman sa mga klase. Dapat nating sabihin ito: ang mga integer ay nahahati sa tatlong klase - positibo, negatibo at ang numerong zero.

Kadalasan, kapag nag-uuri ng mga konsepto, ilang mga klase lamang ang malinaw na nakikilala, habang ang iba ay ipinahiwatig lamang. Kaya, halimbawa, kapag nag-aaral ng mga algebraic na expression, ang mga ganitong uri lamang ng mga expression ay karaniwang nakikilala: monomials, polynomials, fractional expression, hindi makatwiran. Ngunit ang mga uri na ito ay hindi nauubos ang lahat ng uri ng mga algebraic na expression, kaya ang ganitong pag-uuri ay hindi kumpleto.

Ang isang kumpletong wastong pag-uuri ng mga algebraic na expression ay maaaring gawin tulad ng sumusunod.

Sa unang yugto ng pag-uuri ng mga algebraic expression, nahahati sila sa dalawang klase: rational at non-rational. Sa ikalawang yugto, ang mga rational na expression ay nahahati sa integer at fractional. Sa ikatlong yugto, ang mga integer na expression ay nahahati sa monomials, polynomials, at complex integer expression.

Ang pag-uuri na ito ay maaaring ilarawan bilang mga sumusunod

Gawain 7

7.1. Bakit hindi ma-classify ang mga rational na numero ayon sa pagkakapare-pareho ng mga ito?

7.2. Tukuyin kung tama ang paghahati ng konsepto:

a) Ang mga halaga ay maaaring pantay o hindi pantay.

b) Ang mga function ay tumataas o bumababa.

c) Ang mga isosceles triangle ay maaaring talamak, kanan o mahina.

d) Ang mga parihaba ay mga parisukat at rhombus.

7.3. Gumawa ng isang dibisyon ng konsepto ng "geometric figure" ayon sa ari-arian upang sakupin ang bahagi ng eroplano at magbigay ng mga halimbawa ng bawat uri.

7.4. Bumuo ng mga posibleng scheme ng pag-uuri para sa mga rational na numero.

7.5. Bumuo ng scheme ng pag-uuri para sa mga sumusunod na konsepto:

a) isang may apat na gilid;

b) dalawang sulok.

7.6. Uriin ang mga sumusunod na konsepto:

a) isang tatsulok at isang bilog;

b) mga anggulo sa isang bilog;

c) dalawang bilog;

d) tuwid na linya at bilog;

e) mga parisukat na equation;

f) isang sistema ng dalawang equation ng unang degree na may dalawang hindi alam.