Wykład #2

matematyka

Temat: „Pojęcia matematyczne”

Koncepcje matematyczne

Definicje pojęć

Wymagania dotyczące definicji pojęć

Niektóre rodzaje definicji

1. Koncepcje matematyczne

Pojęcia, które są studiowane na początkowym kursie matematyki, przedstawiane są zwykle w formie czterech grup. Pierwsza obejmuje pojęcia związane z liczbami i operacjami na nich: liczba, dodawanie, wyraz, więcej itp. Druga obejmuje pojęcia algebraiczne: wyrażenie, równość, równanie itp. Trzecia obejmuje pojęcia geometryczne: linia prosta, odcinek, trójkąt itp. re. Czwartą grupę tworzą pojęcia związane z wielkościami i ich pomiarem.

Jak badać taką obfitość różnych pojęć?

Przede wszystkim trzeba mieć pojęcie o pojęciu jako kategorii logicznej oraz o cechach pojęć matematycznych.

W logice pojęcia są uważane za formę myśli, która odzwierciedla przedmioty (przedmioty lub zjawiska) w ich podstawowych i ogólnych właściwościach. Formą językową pojęcia jest słowo lub grupa słów.

Komponowanie pojęcia o przedmiocie oznacza umiejętność odróżnienia go od innych podobnych do niego przedmiotów. Pojęcia matematyczne mają wiele cech. Głównym z nich jest to, że obiekty matematyczne, na temat których konieczne jest sformułowanie pojęcia, w rzeczywistości nie istnieją. Obiekty matematyczne są tworzone przez ludzki umysł. Są to idealne obiekty, które odzwierciedlają rzeczywiste obiekty lub zjawiska. Na przykład w geometrii badany jest kształt i wielkość obiektów, bez uwzględniania ich innych właściwości: koloru, masy, twardości itp. Od tego wszystkiego są rozpraszani, abstrahowani. Dlatego w geometrii zamiast słowa „obiekt” mówią „ figura geometryczna».

Wynikiem abstrakcji są również takie pojęcia matematyczne jak „liczba” i „wartość”.

Ogólnie rzecz biorąc, przedmioty matematyczne istnieją tylko w ludzkim myśleniu oraz w tych znakach i symbolach, które tworzą język matematyczny.

Można dodać do tego, co zostało powiedziane, że matematyka badając formy przestrzenne i relacje ilościowe świata materialnego nie tylko posługuje się różnymi metodami abstrakcji, ale sama abstrakcja działa jako proces wieloetapowy. W matematyce bierze się pod uwagę nie tylko pojęcia, które pojawiły się w badaniu przedmiotów rzeczywistych, ale także pojęcia, które powstały na podstawie tych pierwszych. Na przykład, ogólna koncepcja funkcje jako korespondencja to uogólnienie pojęć określonych funkcji, tj. abstrakcja od abstrakcji.

Do opanowania ogólnych podejść do badania pojęć na początkowym kursie matematyki nauczycielowi potrzebna jest wiedza o zakresie i treści pojęcia, o relacjach między pojęciami oraz o rodzajach definicji pojęć.

2. Zakres i treść pojęcia. Relacje między pojęciami

Każdy przedmiot matematyczny ma określone właściwości. Na przykład kwadrat ma cztery boki, cztery kąty proste równe przekątnej. Możesz również określić inne właściwości.

Wśród właściwości przedmiotu wyróżnia się istotne i nieistotne. Właściwość jest uważana za niezbędną dla przedmiotu, jeśli jest nieodłączna dla tego przedmiotu i bez niej nie może istnieć. Na przykład w przypadku kwadratu wszystkie wymienione powyżej właściwości są niezbędne. Właściwość „bok AD jest poziomy” nie jest istotna dla kwadratu ABCD. Jeśli kwadrat jest obrócony, to boczny AD będzie umiejscowiony inaczej (ryc. 26).

Dlatego, aby zrozumieć, czym jest dany obiekt matematyczny, trzeba znać jego podstawowe właściwości.

Mówiąc o pojęciu matematycznym, zwykle mają na myśli zbiór przedmiotów oznaczonych jednym terminem (słowo lub grupa słów). Mówiąc więc o kwadracie, mają na myśli wszystkie kształty geometryczne, które są kwadratami. Uważa się, że zbiór wszystkich kwadratów jest zakresem pojęcia „kwadrat”.

W ogóle zakres pojęcia to zbiór wszystkich przedmiotów oznaczonych jednym terminem.

Każda koncepcja ma nie tylko zakres, ale także treść.

Rozważmy na przykład pojęcie „prostokąta”.

Zakres pojęcia to zbiór różnych prostokątów, a jego treść obejmuje takie właściwości prostokątów, jak „mieć cztery kąty proste”, „mieć równe przeciwne boki”, „mieć równe przekątne” itp.

Istnieje zależność między objętością pojęcia a jego treścią: jeśli objętość pojęcia wzrasta, to jego zawartość maleje i odwrotnie. Na przykład zakres pojęcia „kwadrat” jest częścią zakresu pojęcia „prostokąt”, a treść pojęcia „kwadrat” zawiera więcej właściwości niż treść pojęcia „prostokąt” („wszystkie boki są równe”, „przekątne są wzajemnie prostopadłe” itp.).

Żadne pojęcie nie może być zasymilowane bez uświadomienia sobie jego związku z innymi pojęciami. Dlatego ważne jest, aby wiedzieć, w jakich relacjach mogą znajdować się koncepcje i być w stanie nawiązać te połączenia.

Relacje między pojęciami są ściśle powiązane z relacjami między ich objętościami, tj. zestawy.

Umówmy się na oznaczenie pojęć małymi literami alfabetu łacińskiego: a, b, c, ..., z.

Niech dane będą dwa pojęcia a i b. Oznaczmy ich objętości odpowiednio jako A i B.

Jeśli B (A ≠ B), to mówią, że pojęcie a - specyficzny w stosunku do koncepcjib i koncepcja b- rodzajowy w stosunku do pojęcia a.

Na przykład, jeśli a jest „prostokątem”, b jest „czworokątem”, to ich objętości A i B są w stosunku do włączenia (A B i A ≠ B), ponieważ każdy prostokąt jest czworokątem. Dlatego można argumentować, że pojęcie „prostokąta” jest specyficzne w stosunku do pojęcia „czworokąt”, a pojęcie „czworokąta” jest ogólne w stosunku do pojęcia „prostokąt”.

Jeśli A = B, to mówimy, że koncepcje ibsą identyczne.

Na przykład pojęcia „trójkąta równobocznego” i „trójkąta równokątnego” są identyczne, ponieważ ich objętości są takie same.

Jeśli zbiory A i B nie są połączone relacją włączenia, to mówią, że pojęcia a i b nie są w relacji do rodzaju i gatunku i nie są identyczne. Na przykład pojęcia „trójkąta” i „prostokąta” nie są połączone takimi relacjami.

Rozważmy bardziej szczegółowo stosunek rodzaju i gatunku między pojęciami. Po pierwsze, pojęcia rodzaju i gatunku są względne: to samo pojęcie może być rodzajowe w odniesieniu do jednego pojęcia, a gatunki w odniesieniu do drugiego. Na przykład pojęcie „prostokąta” jest ogólne w stosunku do pojęcia „kwadrat” i specyficzne w stosunku do pojęcia „czworokąt”.

Po drugie, dla ta koncepcja często można określić kilka ogólnych pojęć. Tak więc w przypadku pojęcia „prostokąt” pojęcia „czworokąta”, „równoległoboku”, „wielokąta” są ogólne. Wśród nich możesz określić najbliższy. Pojęciu „prostokąta” najbliższe jest pojęcie „równoległoboku”.

Po trzecie, pojęcie szczegółowe posiada wszystkie właściwości pojęcia rodzajowego. Na przykład kwadrat, będący pojęciem gatunkowym w stosunku do pojęcia „prostokąta”, ma wszystkie właściwości tkwiące w prostokącie.

Ponieważ zakres pojęcia jest zbiorem, przy ustalaniu relacji między zakresami pojęć wygodnie jest przedstawić je za pomocą okręgów Eulera.

Ustalmy na przykład związek między następującymi parami pojęć a i b, jeśli:

1) a - „prostokąt”, b - „romb”;

2) a - „wielokąt”, b - „równoległobok”;

3) a - "linia prosta", b - "segment".

W przypadku 1) tomy pojęć przecinają się, ale żaden zbiór nie jest podzbiorem innego (ryc. 27).

Dlatego można argumentować, że te pojęcia a i b nie są w związku z rodzajem i gatunkiem.

W przypadku 2) objętości tych pojęć odnoszą się do inkluzji, ale nie pokrywają się - każdy równoległobok jest wielokątem, ale nie odwrotnie (ryc. 28). Można zatem argumentować, że pojęcie „równoległoboku” jest specyficzne w stosunku do pojęcia „wielokąta”, a pojęcie „wielokąta” jest ogólne w stosunku do pojęcia „równoległoboku”.

W przypadku 3) tomy pojęć nie przecinają się, ponieważ o żadnym odcinku nie można powiedzieć, że jest linią prostą, a żadnej prostej nie można nazwać odcinkiem (ryc. 29).

Dlatego te koncepcje nie są związane z rodzajem i gatunkiem.

O pojęciach „prosta linia” i „segment” można powiedzieć, że są w stosunku do całości i części: Odcinek jest częścią linii, a nie jej rodzajem. A jeśli konkretne pojęcie ma wszystkie właściwości pojęcia rodzajowego, to część niekoniecznie ma wszystkie właściwości całości. Na przykład segment nie ma takiej właściwości linii prostej jak jego nieskończoność.

Formowanie elementarnych pojęć matematycznych młodszego ucznia

E.Yu. Togobeckaja, studentka studiów magisterskich na Wydziale Pedagogiki i Metod Dydaktycznych

Uniwersytet Pedagogiczny w Togliatti, Togliatti (Rosja)

Słowa kluczowe: pojęcia matematyczne, pojęcia absolutne, pojęcia względne, definicje.

Adnotacja: W praktyce szkolnej wielu nauczycieli stara się nakłonić uczniów do zapamiętywania definicji pojęć i wymaga znajomości ich podstawowych właściwości, które można udowodnić. Jednak rezultaty takiego treningu są zwykle nieistotne. Dzieje się tak, ponieważ większość uczniów, stosując pojęcia wyuczone w szkole, opiera się na nieistotnych znakach, podczas gdy uczniowie uświadamiają sobie i odtwarzają istotne znaki pojęć tylko wtedy, gdy odpowiadają na pytania wymagające zdefiniowania pojęcia. Często uczniowie dokładnie odtwarzają pojęcia, to znaczy odkrywają wiedzę o jej zasadniczych cechach, ale nie potrafią zastosować tej wiedzy w praktyce, polegają na tych przypadkowych cechach zidentyfikowanych poprzez bezpośrednie doświadczenie. Proces przyswajania pojęć można kontrolować, można je formować z określonymi cechami.

słowa kluczowe: pojęcia matematyczne, pojęcia absolutne, pojęcia względne, definicje.

Abstrakcyjny: W praktyce szkolnej wielu nauczycieli osiąga od uczniów poznanie definicji pojęć i znajomość ich podstawowych udowodnionych właściwości. Jednak rezultaty takiego treningu są zwykle nieistotne. Dzieje się tak dlatego, że większość uczniów, posługując się pojęciami nabytymi w szkole, opiera się na nieistotnych znakach, istotne znaki pojęć uświadamiają sobie i odtwarzają dopiero w odpowiedzi na pytania wymagające zdefiniowania pojęcia. Często uczniowie bezbłędnie odtwarzają pojęcia, to znaczy odkrywają wiedzę o jej podstawowych znakach, ale wcielanie tej wiedzy w życie nie może oprzeć się na tych przypadkowych znakach przydzielonych dzięki doświadczeniu z pierwszej ręki. Proces opanowania pojęć można operować, formować je z założonymi cechami.

Opanowując wiedzę naukową, uczniowie szkół podstawowych mają do czynienia z różnymi rodzajami pojęć. Nieumiejętność rozróżniania pojęć przez ucznia prowadzi do ich niewystarczającej asymilacji.

Logika pojęć rozróżnia objętość i treść. Objętość rozumiana jest jako klasa obiektów, które należą do tego pojęcia, są przez nią zjednoczone. Zatem zakres pojęcia trójkąta obejmuje cały zbiór trójkątów, niezależnie od ich specyficznych cech (rodzaje kątów, wielkość boków itp.).

Treść pojęć rozumiana jest jako układ podstawowych właściwości, zgodnie z którymi przedmioty te są łączone w jedną klasę. Aby odsłonić treść pojęcia, konieczne jest ustalenie przez porównanie, jakie znaki są konieczne i wystarczające do podkreślenia jego relacji z innymi przedmiotami. Dopóki treść i cechy nie zostaną ustalone, istota przedmiotu odzwierciedlona w tym pojęciu nie jest jasna, nie można dokładnie i wyraźnie odróżnić tego przedmiotu od sąsiadujących z nim, następuje pomieszanie myślenia.

Na przykład pojęcie trójkąta, takie właściwości obejmują: figura zamknięta, składa się z trzech odcinków linii. Zbiór właściwości, za pomocą których obiekty są łączone w jedną klasę, nazywamy niezbędnymi i wystarczającymi cechami. W niektórych koncepcjach cechy te wzajemnie się uzupełniają, tworząc razem treść, zgodnie z którą obiekty są łączone w jedną klasę. Przykładem takich pojęć jest trójkąt, kąt, dwusieczna i wiele innych.

Zbiór tych obiektów, do którego odnosi się to pojęcie, stanowi logiczną klasę obiektów. Logiczna klasa obiektów to zbiór obiektów, które mają wspólne cechy, w wyniku czego wyrażają się one wspólną koncepcją. Logiczna klasa obiektów i zakres odpowiedniego pojęcia są takie same.Pojęcia są podzielone na typy według treści i zakresu, w zależności od charakteru i liczby obiektów, do których się odnoszą. Pod względem objętości pojęcia matematyczne dzielą się na pojedyncze i ogólne. Jeśli zakres pojęcia obejmuje tylko jeden przedmiot, nazywa się to liczbą pojedynczą.

Przykłady pojedynczych pojęć: „najmniejsza liczba dwucyfrowa”, „liczba 5”, „kwadrat o długości boku 10 cm”, „koło o promieniu 5 cm”. Ogólna koncepcja przedstawia cechy pewnego zestawu obiektów. Objętość takich pojęć zawsze będzie większa niż objętość jednego elementu. Przykłady pojęć ogólnych: „zbiór liczb dwucyfrowych”, „trójkąty”, „równania”, „nierówności”, „liczby będące wielokrotnością 5”, „podręczniki do matematyki w szkole podstawowej”. Zgodnie z treścią rozróżnia się pojęcia conjunctive i disjunctive, absolutne i konkretne, nierelatywne i względne.

Koncepcje nazywane są conjunctive, jeśli ich cechy są ze sobą połączone i żadna z nich indywidualnie nie pozwala na identyfikację obiektów tej klasy, cechy są połączone unią „i”. Na przykład obiekty związane z pojęciem trójkąta muszą koniecznie składać się z trzech odcinków linii i być zamknięte.

W innych koncepcjach relacja między cechami koniecznymi i wystarczającymi jest inna: nie uzupełniają się one, lecz zastępują. Oznacza to, że jedna funkcja jest równoważna drugiej. Przykładem tego typu relacji między znakami mogą być znaki równości odcinków, kątów. Wiadomo, że klasa równych odcinków obejmuje takie odcinki, które: a) albo pokrywają się, gdy się nakładają; b) lub oddzielnie równy trzeciej; c) lub składają się z równych części itp.

W tym przypadku wymienione cechy nie są wymagane wszystkie jednocześnie, jak ma to miejsce w przypadku pojęć typu koniunkcyjnego; tutaj wystarczy mieć jedną ze wszystkich wymienionych cech: każda z nich odpowiada dowolnej innej. Z tego powodu znaki są połączone związkiem „lub”. Takie połączenie atrybutów nazywamy dysjunkcją, a pojęcia nazywamy dysjunktywnymi. Ważne jest również uwzględnienie podziału pojęć na absolutne i względne.

Pojęcia absolutne łączą przedmioty w klasy według pewnych cech charakteryzujących istotę tych przedmiotów jako takich. Zatem pojęcie kąta odzwierciedla właściwości charakteryzujące istotę każdego kąta jako takiego. Podobnie sytuacja wygląda w przypadku wielu innych pojęć geometrycznych: koło, promień, romb itp.

Pojęcia względne łączą obiekty w klasy zgodnie z właściwościami, które charakteryzują ich związek z innymi obiektami. Tak więc w pojęciu linii prostopadłych to, co charakteryzuje stosunek dwóch linii do siebie, jest ustalone: ​​przecięcie, formacja w tym samym czasie prosty kąt. Podobnie pojęcie liczby odzwierciedla stosunek wartości mierzonej do przyjętej normy. Pojęcia względne sprawiają uczniom większe trudności niż pojęcia bezwzględne. Istota trudności polega właśnie na tym, że uczniowie nie biorą pod uwagę względności pojęć i operują nimi jak z pojęciami absolutnymi. Tak więc, gdy nauczyciel prosi uczniów o narysowanie prostopadłego, niektórzy z nich rysują pion. Szczególną uwagę należy zwrócić na pojęcie liczby.

Liczba jest stosunkiem tego, co jest określane ilościowo (długość, waga, objętość itp.) do normy stosowanej do tej oceny. Oczywiście liczba ta zależy zarówno od zmierzonej wartości, jak i od normy. Im większa zmierzona wartość, tym większa liczba będzie przy tym samym standardzie. Wręcz przeciwnie, im większa norma (miara), tym mniejsza będzie liczba przy ocenie tej samej wartości. Dlatego uczniowie powinni od samego początku rozumieć, że porównania wielkości liczb można dokonać tylko wtedy, gdy są one poparte tym samym standardem. Rzeczywiście, jeśli na przykład pięć otrzymuje się przy pomiarze długości w centymetrach, a trzy przy pomiarze w metrach, to trzy oznacza wartość większą niż pięć. Jeśli uczniowie nie nauczą się względnej natury liczby, będą mieli poważne trudności w nauce systemu liczbowego. Trudności w przyswajaniu pojęć względnych utrzymują się wśród uczniów środkowych, a nawet wyższych klas szkoły. Istnieje związek między treścią a zakresem pojęcia: im mniejszy zakres pojęcia, tym większa jego treść.

Na przykład pojęcie „kwadrat” ma mniejszy zakres niż zakres pojęcia „prostokąt”, ponieważ każdy kwadrat jest prostokątem, ale nie każdy prostokąt jest kwadratem. Dlatego pojęcie „kwadrat” ma większą treść niż pojęcie „prostokąt”: kwadrat ma wszystkie właściwości prostokąta i kilka innych (dla kwadratu wszystkie boki są równe, przekątne są wzajemnie prostopadłe).

W procesie myślenia każde pojęcie nie istnieje oddzielnie, ale wchodzi w określone powiązania i relacje z innymi pojęciami. W matematyce ważną formą związku jest zależność rodzajowa.

Rozważmy na przykład pojęcia „kwadrat” i „prostokąt”. Zakres pojęcia „kwadrat” jest częścią zakresu pojęcia „prostokąt”. Dlatego pierwszy nazywa się gatunkami, a drugi - rodzajowym. W relacjach rodzaj-gatunek należy odróżnić pojęcie najbliższego rodzaju od kolejnych etapów gatunkowych.

Na przykład dla widoku „kwadrat” najbliższym rodzajem będzie rodzaj „prostokąt”, dla prostokąta najbliższym rodzajem będzie rodzaj „równoległobok”, dla „równoległoboku” - „czworokąt”, dla „czworokąta” - "wielokąt", a dla "wielokąta" - " figura płaska.

W Szkoła Podstawowa po raz pierwszy każde pojęcie jest wprowadzane wizualnie, poprzez obserwację określonych obiektów lub przez praktyczną obsługę (np. podczas ich liczenia). Nauczyciel korzysta z wiedzy i doświadczenia dzieci, które zdobyli w wiek szkolny. Zapoznanie się z pojęciami matematycznymi utrwala się za pomocą terminu lub terminu i symbolu. Ta metoda pracy nad pojęciami matematycznymi w Szkoła Podstawowa nie oznacza, że ​​w tym kursie nie stosuje się różnego rodzaju definicji.

Zdefiniowanie pojęcia to wymienienie wszystkich istotnych cech obiektów, które są zawarte w tym pojęciu. Słowna definicja pojęcia nazywana jest terminem. Na przykład „liczba”, „trójkąt”, „okrąg”, „równanie” to terminy.

Definicja rozwiązuje dwa problemy: wyróżnia i oddziela pewne pojęcie od wszystkich innych oraz wskazuje te główne cechy, bez których pojęcie nie może istnieć i od których zależą wszystkie inne cechy.

Definicja może być mniej lub bardziej głęboka. Zależy to od poziomu wiedzy o pojęciu, o które chodzi. Im lepiej go znamy, tym większe prawdopodobieństwo, że będziemy w stanie nadać mu lepszą definicję. W praktyce nauczania młodszych uczniów stosuje się definicje jawne i niejawne. Wyraźne definicje przyjmują formę równości lub zbieżności dwóch pojęć.

Na przykład: „Propedeutyka to wstęp do każdej nauki”. Tutaj dwa pojęcia są zrównane jeden do jednego - „propedeutyka” i „wejście do jakiejkolwiek nauki”. W definicji „Kwadrat to prostokąt, w którym wszystkie boki są równe” mamy zbieżność pojęć. W nauczaniu młodszych uczniów, definicje kontekstowe i ostensywne są szczególnie interesujące wśród definicji niejawnych.

Każdy fragment tekstu, niezależnie od kontekstu, w którym pojawia się interesujące nas pojęcie, jest w pewnym sensie dorozumianą jego definicją. Kontekst stawia pojęcie w związku z innymi pojęciami i tym samym ujawnia jego treść.

Na przykład podczas pracy z dziećmi takie wyrażenia, jak „znajdź wartości wyrażenia”, „porównaj wartość wyrażeń 5 + a i (a - 3) 2, jeśli a = 7”, „odczytaj wyrażenia będące sumami ”, „odczytaj wyrażenia , a następnie odczytaj równania”, ujawniamy pojęcie „wyrażenia matematycznego” jako zapisu składającego się z liczb lub zmiennych i znaków działań. Prawie wszystkie definicje, które spotykamy w Życie codzienne są definicjami kontekstowymi. Usłyszawszy nieznane słowo, staramy się sami ustalić jego znaczenie na podstawie tego, co zostało powiedziane. To samo dotyczy nauczania młodszych uczniów. Wiele pojęć matematycznych w szkole podstawowej jest definiowanych poprzez kontekst. Są to na przykład takie pojęcia jak „duży - mały”, „dowolny”, „dowolny”, „jeden”, „wiele”, „liczba”, „operacja arytmetyczna”, „równanie”, „zadanie” itp.

Pozostają definicje kontekstowe przez większą część niekompletne i niekompletne. Stosuje się je w związku z nieprzygotowaniem młodszego ucznia do przyswojenia pełnej, a tym bardziej naukowej definicji.

Definicje ostensywne to definicje poprzez demonstrację. Przypominają zwykłe definicje kontekstowe, ale kontekstem nie jest tu fragment jakiegoś tekstu, ale sytuacja, w której znajduje się przedmiot desygnowany przez pojęcie. Na przykład nauczyciel pokazuje kwadrat (rysunek lub papierowy model) i mówi „Spójrz – to kwadrat”. To jest typowa definicja ostensywna.

W klasach podstawowych stosuje się definicje ostensywne przy rozważaniu takich pojęć, jak „kolor czerwony (biały, czarny itp.), „Od lewej do prawej”, „od lewej do prawej”, „liczba”, „liczba poprzedzająca i następna”, „ znaki operacje arytmetyczne, „znaki porównania”, „trójkąt”, „czworokąt”, „sześcian” itp.

Opierając się na przyswajaniu znaczeń słów w sposób ostensywny, można wprowadzić do słownika dziecka już werbalne znaczenie nowych słów i zwrotów. Definicje ostensywne – i tylko one – łączą słowo z rzeczami. Bez nich język jest tylko słowną koronką, która nie ma obiektywnej, merytorycznej treści. Zwróć uwagę, że w klasach podstawowych dopuszczalne definicje to: „Słowo „pięciokąt” będziemy nazywać wielokątem z pięcioma bokami”. Jest to tak zwana „definicja nominalna”. W matematyce używa się różnych wyraźnych definicji. Najczęstszym z nich jest definicja poprzez najbliższy rodzaj i charakter gatunku. Definicja rodzajowa jest również nazywana klasyczną.

Przykłady definicji poprzez rodzaj i szczególną cechę: „Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe”, „Romb to równoległobok o równych bokach”, „Prostokąt to równoległobok o kącie prostym”, „A kwadrat to prostokąt, w którym boki są równe”, „Kwadrat to romb o kątach prostych”.

Rozważ definicje kwadratu. W pierwszej definicji najbliższym rodzajem byłby „prostokąt”, a cechą gatunkową byłoby „wszystkie boki są równe”. W drugiej definicji najbliższym rodzajem jest „romb”, a cechą charakterystyczną są „kąty proste”. Jeśli nie weźmiemy najbliższego rodzaju („równoległobok”), pojawią się dwa specyficzne znaki kwadratu „Równoległobok nazywa się kwadratem, w którym wszystkie boki są równe i wszystkie kąty są proste”.

W relacji rodzajowej występują pojęcia „dodawanie (odejmowanie, mnożenie, dzielenie)” i „operacja arytmetyczna”, pojęcia „kąta ostrego (prawego, rozwartego)” i „kąta”. Nie ma tak wielu przykładów wyraźnych relacji generycznych wśród wielu pojęć matematycznych, które są rozważane w klasach podstawowych. Biorąc jednak pod uwagę znaczenie definicji poprzez rodzaj i cechę gatunkową w dalszej edukacji, pożądane jest osiągnięcie przez uczniów zrozumienia istoty definicji tego gatunku już w klasach podstawowych.

Odrębne definicje mogą dotyczyć pojęcia i sposobu jego powstawania lub występowania. Ten rodzaj definicji nazywa się genetycznym. Przykłady definicji genetycznych: „Kąt to promienie wychodzące z jednego punktu”, „Przekątna prostokąta to odcinek łączący przeciwległe wierzchołki prostokąta”. W klasach podstawowych definicje genetyczne są używane dla takich pojęć, jak „segment”, „linia łamana”, „kąt prosty”, „koło”. Definicję z listy można również przypisać pojęciom genetycznym.

Na przykład „Naturalny ciąg liczb to liczby 1, 2, 3, 4 itd.” Niektóre pojęcia w klasach podstawowych są wprowadzane dopiero za pośrednictwem semestru. Na przykład jednostkami czasu są rok, miesiąc, godzina, minuta. Istnieją pojęcia w klasach podstawowych, które są przedstawione w języku symbolicznym w postaci równości, na przykład a 1 = a i 0 = 0

Z powyższego możemy wywnioskować, że w klasach podstawowych wiele pojęć matematycznych przyswaja się najpierw powierzchownie, niejasno. Przy pierwszej znajomości uczniowie dowiadują się tylko o niektórych właściwościach pojęć, mają bardzo wąskie pojęcie o ich zakresie. I to jest naturalne. Nie wszystkie koncepcje są łatwe do zrozumienia. Ale bezsporne jest, że zrozumienie i terminowe wykorzystanie przez nauczyciela pewnych typów definicji pojęć matematycznych jest jednym z warunków kształtowania u uczniów solidnej wiedzy na temat tych pojęć.

Bibliografia:

1. Bogdanovich M.V. Definicja pojęć matematycznych // Szkoła podstawowa 2001. - nr 4.

2. Gluzman N. A. Kształtowanie uogólnionych metod aktywności umysłowej u młodszych dzieci w wieku szkolnym. - Jałta: KSGI, 2001. - 34 pkt.

3. Drozd V.L. magister miejski Od małych problemów po wielkie odkrycia. //Szkoła Podstawowa. - 2000. - nr 5.

Ministerstwo Edukacji Republiki Białoruś

„Homel Uniwersytet stanowy ich. F. Skaryny”

Wydział Matematyki

Wydział MPM

abstrakcyjny

Koncepcje matematyczne

Wykonawca:

Uczeń grupy M-32

Molodtsova A.Yu.

Doradca naukowy:

Cand. fizyka i matematyka Nauki, profesor nadzwyczajny

Lebiediewa M.T.

Homel 2007

Wstęp

Sformułowania wielu definicji (twierdzenia, aksjomaty) są zrozumiałe dla studentów, łatwe do zapamiętania po niewielkiej liczbie powtórzeń, dlatego warto najpierw zaproponować ich zapamiętanie, a dopiero później nauczyć ich stosowania do rozwiązywania problemów.

oddzielny.

1. Zakres i treść pojęcia. Klasyfikacja koncepcji

Przedmioty rzeczywistości mają: a) wspólne właściwości, które wyrażają ich charakterystyczne właściwości (na przykład równanie trzeciego stopnia z jedną zmienną - równanie sześcienne); b) właściwości ogólne, które mogą być odróżniające, jeśli wyrażają zasadnicze właściwości przedmiotu (jego cechy), które odróżniają go od wielu innych przedmiotów.

Termin „koncepcja” jest używany na określenie mentalnego obrazu pewnej klasy obiektów, procesów. Psychologowie wyróżniają trzy formy myślenia:

1) koncepcje (na przykład mediana to odcinek łączący wierzchołek z przeciwną stroną trójkąta);

2) wyroki (na przykład dla kątów dowolnego trójkąta to prawda:);

3) wnioskowanie (na przykład, jeśli a>bi b>c, to a>c).

Charakterystyczne dla formy myślenia w koncepcjach są: a) jest produktem wysoce zorganizowanej materii; b) odzwierciedla świat materialny; c) pojawia się w poznaniu jako środek uogólniający; d) oznacza specyficznie działalność człowieka; e) jej powstawanie w umyśle jest nierozerwalnie związane z wyrażaniem się poprzez mowę, pismo lub symbol.

Pojęcie matematyczne odzwierciedla w naszym myśleniu pewne formy i relacje rzeczywistości, wyabstrahowane z rzeczywistych sytuacji. Ich tworzenie odbywa się zgodnie ze schematem:

Każda koncepcja łączy w sobie zestaw obiektów lub relacji, zwanych zakres koncepcji, oraz charakterystyczne właściwości tkwiące we wszystkich elementach tego zbioru i tylko je, wyrażające treść koncepcji.

Na przykład pojęcie matematyczne jest czworokątem. Jego Tom: kwadrat, prostokąt, równoległobok, romb, trapez itp. Zawartość: 4 boki, 4 rogi, 4 szczyty (charakterystyczne właściwości).

Treść pojęcia sztywno określa jego zakres i odwrotnie, zakres pojęcia całkowicie określa jego treść. Przejście z poziomu sensorycznego na logiczny następuje poprzez uogólnienia: lub poprzez wybór wspólnych cech obiektu (równoległobok - czworokąt - wielokąt); lub za pomocą ogólnych znaków w połączeniu ze specjalnymi lub liczbą pojedynczą, co prowadzi do konkretnego pojęcia.

W procesie generalizacji objętość rozszerza się, a treść zawęża. W procesie specjalizacji koncepcji objętość zawęża się, a zawartość rozszerza.

Na przykład:

wielokąty - równoległoboki;

trójkąty są trójkątami równobocznymi.

Jeżeli zakres jednego pojęcia mieści się w zakresie innego pojęcia, to drugie pojęcie nosi nazwę ogólny, w stosunku do pierwszego; a pierwszy nazywa się konkretny w stosunku do drugiego. Na przykład: równoległobok - romb (rodzaj) (pogląd).

Proces wyjaśniania zakresu pojęcia nazywa się Klasyfikacja, którego schemat wygląda tak:

niech będzie dany zbiór i pewna własność, i niech będą elementy zarówno w posiadaniu, jak i nie posiadaniu tej własności. Zostawiać:

Wybierz do nowej usługi i podziel według tej usługi:

Na przykład: 1) klasyfikacja zbiorów liczbowych, odzwierciedlająca rozwój pojęcia liczby; 2) klasyfikacja trójkątów: a) bokami; b) narożniki.

Zadanie numer 1. Zbiór trójkątów przedstawiamy za pomocą punktów kwadratu.

Własność równoramienna;

Właściwość prostokątności;

Czy istnieją trójkąty, które mają jednocześnie te właściwości?

2. Definicje matematyczne. Rodzaje błędów w definiowaniu pojęć

Ostatnim etapem powstawania koncepcji jest jej definicja, tj. akceptacja umowy warunkowej. Definicja rozumiana jest jako wyliczenie koniecznych i wystarczających cech pojęcia, sprowadzonych do spójnego zdania (werbalnego lub symbolicznego).

2.1 Sposoby definiowania pojęć

Początkowo wyróżnia się pojęcia niezdefiniowane, na podstawie których pojęcia matematyczne definiuje się w następujący sposób:

1) poprzez najbliższą różnicę rodzajową i gatunkową: ale) opisowy(wyjaśnienie procesu, za pomocą którego budowana jest definicja, lub opisanie wewnętrznej struktury, w zależności od tych operacji, za pomocą których ta definicja został zbudowany z niezdefiniowanych pojęć); b) konstruktywny(lub genetyczny) ze wskazaniem pochodzenia koncepcji.

Na przykład: a) prostokąt to równoległobok ze wszystkimi kątami prostymi; b) okrąg to figura składająca się ze wszystkich punktów płaszczyzny równoodległych od danego punktu. Ten punkt nazywa się środkiem koła.

2) indukcyjnie. Na przykład definicja progresji arytmetycznej:

3) poprzez abstrakcję. Na przykład liczba naturalna jest cechą klas równoważnych zbiorów skończonych;

4) aksjomatyczny (definicja pośrednia). Np. określenie powierzchni figury w geometrii: dla prostych figur powierzchnia jest wartością dodatnią, wartość numeryczna który ma następujące właściwości: a) równe liczby mają równe pola; b) jeśli figura jest podzielona na części, które są prostymi figurami, wówczas powierzchnia tej figury jest równa sumie powierzchni jej części; c) powierzchnia kwadratu o boku równym jednostce miary jest równa jeden.

2.2 Definicje jawne i niejawne

Definicje dzielą się na:

ale) wyraźny, w którym wyraźnie rozróżnia się pojęcia zdefiniowane i definiujące (na przykład definicja poprzez najbliższy rodzaj i różnicę konkretną);

b) domniemany, które zbudowane są na zasadzie zastępowania jednego pojęcia drugim o szerszym zakresie, a zakończeniem łańcucha jest pojęcie nieokreślone, tj. formalna definicja logiczna (na przykład kwadrat to romb o kącie prostym; romb to równoległobok o równych sąsiadujących bokach; równoległobok to czworokąt o parach równoległych boków; czworokąt to figura składająca się z 4 kątów, 4 wierzchołków, 4 strony). W definicje szkolne najczęściej stosuje się pierwszą metodę, której schemat wygląda następująco: mamy wtedy zbiory i pewną własność

Głównym wymaganiem przy konstruowaniu definicji jest to, że definiowany zbiór musi być podzbiorem zbioru minimalnego. Na przykład porównajmy dwie definicje: (1) Kwadrat jest rombem o kącie prostym; (2) Kwadrat to równoległobok o równych bokach i kącie prostym (nadmiarowy).

Każda definicja jest rozwiązaniem problemu „dowodu istnienia”. Na przykład trójkąt prostokątny to trójkąt o kącie prostym; jego istnienie jest konstrukcją.

2.3 Charakterystyka głównych rodzajów błędów

Notatka typowe błędy z jakimi uczniowie spotykają się podczas definiowania pojęć:

1) użycie nieminimalnego zbioru jako definiującego, włączenie logicznie zależnych właściwości (typowe przy powtarzaniu materiału).

Na przykład: a) równoległobok jest czworobokiem, którego przeciwległe boki są równe i równoległe; b) prostą nazywamy prostopadłą do płaszczyzny, jeżeli przecinając się z tą płaszczyzną tworzy kąt prosty z każdą linią poprowadzoną na płaszczyźnie przez punkt przecięcia, zamiast: „prostopadłą do płaszczyzny nazywamy prostą, jeżeli jest prostopadła do wszystkich linii tej płaszczyzny”;

2) użycie pojęcia zdefiniowanego i jako definiującego.

Na przykład kąt prosty jest zdefiniowany nie jako jeden z równych kątów sąsiednich, ale jako kąty o wzajemnie prostopadłych bokach;

3) tautologia - pojęcie jest definiowane przez samo pojęcie.

Na przykład dwie figury są nazywane podobnymi, jeśli są przekładane na siebie przez transformację podobieństwa;

4) czasami definicja nie wskazuje zbioru definiującego, z którego wyodrębniony jest określony podzbiór.

Na przykład „mediana to linia prosta…” zamiast „mediana to odcinek łączący…”;

5)w definicjach podawanych przez uczniów czasami nie ma pojęcia definiowanego w ogóle, co jest możliwe tylko wtedy, gdy uczniowie nie są przyzwyczajeni do udzielania pełnych odpowiedzi.

Metodologia poprawiania błędów w definicjach polega na wstępnym poznaniu istoty popełnianych błędów, a następnie zapobieganiu ich powtórzeniu.

3. Struktura definicji

1) Struktura koniunkcyjna: dwa punkty i nazywane są symetrycznymi względem prostej p( A(x)) jeśli ta prosta p jest prostopadła do odcinka i przechodzi przez jej punkt środkowy. Założymy również, że każdy punkt linii p jest symetryczny względem siebie w stosunku do linii p (obecność sumy „i”) (* - „Dwusieczna kąta to promień wychodzący z jego wierzchołka, przechodzi między jego bokami i dzieli kąt na pół”).

2)Struktura strukturalna: „Niech będzie daną figurą i p linią stałą. Weź dowolny punkt figury i upuść prostopadłą do linii p. Na kontynuacji prostopadłej poza punkt odłóż segment równy segmentowi. Przekształcenie figury w figurę, w której każdy punkt przechodzi do punktu skonstruowanego w określony sposób, nazywamy symetrią względem prostej p.”

3) Struktura dysjunktywna: ustaw definicję Z liczby całkowite można zapisać w języku właściwości w postaci ZN lub n lub =0, gdzie N- zbiór liczb przeciwnych do liczb naturalnych.

4. Charakterystyka głównych etapów badania pojęć matematycznych

Metodyka pracy nad definicją obejmuje: 1) znajomość definicji; 2) nauka rozpoznawania przedmiotu odpowiadającego podanej definicji; 3) konstruowanie różnych kontrprzykładów. Na przykład pojęcie „trójkąta prostokątnego” i praca nad rozpoznaniem jego elementów składowych:

Badanie definicji matematycznych można podzielić na trzy etapy:

Etap 1 - wprowadzenie - stworzenie na lekcji sytuacji, w której uczniowie albo sami "odkryją" nowe rzeczy, samodzielnie tworzą dla nich definicje, albo po prostu przygotowują się do ich zrozumienia.

Etap 2 – zapewnienie asymilacji – sprowadza się do tego, aby uczniowie:

a) nauczył się stosować definicję;

b) zapamiętać je szybko i dokładnie;

c) rozumieli każde słowo w swoich sformułowaniach.

Etap III - utrwalanie - realizowany jest na kolejnych lekcjach i sprowadza się do powtarzania ich sformułowań i przerabiania umiejętności zastosowania do rozwiązywania problemów.

Zapoznanie się z nowymi koncepcjami odbywa się:

Metoda 1: studenci przygotowują się do samodzielnego tworzenia definicji.

Metoda 2: uczniowie przygotowują do świadomego spostrzegania, rozumienia nowego zdania matematycznego, którego sformułowanie jest następnie im przekazywane w formie gotowej.

Metoda 3: nauczyciel sam formułuje nową definicję bez żadnego przygotowania, a następnie skupia wysiłki uczniów na ich przyswajaniu i utrwalaniu.

Metody 1 i 2 reprezentują metodę heurystyczną, metoda 3 - dogmatyczną. Stosowanie którejkolwiek z metod powinno być odpowiednie do poziomu przygotowania klasy i doświadczenia nauczyciela.

5. Charakterystyka metod wprowadzania pojęć

Przy wprowadzaniu pojęć możliwe są następujące metody:

1) Możesz tworzyć ćwiczenia, które pozwolą uczniom szybko sformułować definicję nowego pojęcia.

Na przykład: a) Wypisz kilka pierwszych członków ciągu (), który ma =2, . Ta sekwencja nazywa się postępem geometrycznym. Spróbuj sformułować jego definicję. Możesz ograniczyć się do przygotowania do percepcji nowej koncepcji.

b) Wypisz kilka pierwszych członków ciągu (), który ma = 4, Następnie nauczyciel mówi, że taki ciąg nazywa się postępem arytmetycznym i sam podaje jego definicję.

2) podczas studiowania pojęć geometrycznych ćwiczenia są formułowane w taki sposób, aby uczniowie sami zbudowali niezbędną figurę i byli w stanie podkreślić znaki nowej koncepcji niezbędne do sformułowania definicji.

Na przykład: zbuduj dowolny trójkąt, połącz jego wierzchołek z segmentem do środka przeciwnej strony. Ten segment nazywa się medianą. Sformułuj definicję mediany.

Niekiedy proponuje się sporządzenie makiety lub, biorąc pod uwagę gotowe modele i rysunki, podkreślenie cech nowej koncepcji i sformułowanie jej definicji.

Na przykład: definicja równoległościanu została wprowadzona w klasie 10. Zgodnie z zaproponowanymi modelami równoległościanów ukośnych, prostych i prostokątnych, zidentyfikuj cechy, którymi różnią się te pojęcia. Sformułuj odpowiednie definicje równoległościanów prawych i prostokątnych.

3) Wiele pojęć algebraicznych zostało wprowadzonych na podstawie konkretnych przykładów.

Na przykład: wykres funkcji liniowej jest linią prostą.

4)sposób celowych zadań,(opracowany przez S.I. Shokhor-Trotsky) Za pomocą specjalnie wybranego zadania uczniowie dochodzą do wniosku, że konieczne jest wprowadzenie nowej koncepcji i celowość nadania jej dokładnie tego samego znaczenia, jakie ma już w matematyce.

W klasach 5-6 wprowadza się tą metodą pojęcia: równanie, pierwiastek równania, rozwiązanie nierówności, pojęcie dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia przez liczby naturalne, ułamki dziesiętne i zwykłe itp.

Metoda indukcyjna betonu

Istota:

a) brane są pod uwagę konkretne przykłady;

b) podkreślono podstawowe właściwości;

c) sformułowano definicję;

d) wykonuje się ćwiczenia: do uznania; do projektowania;

e) prace na nieruchomościach nieobjętych definicją;

e) zastosowanie właściwości.

Na przykład: temat - równoległoboki:

1, 3, 5 - równoległoboki.

b) istotne cechy: czworobok, parami równoległości boków.

c) rozpoznanie, budowa:

d) znajdź (zbuduj) czwarty wierzchołek równoległoboku (* - zadanie nr 3, art. 96, Ocena geometrii 7-11: Ile równoległoboków można zbudować z wierzchołkami w trzech podane punkty nie leżysz na tej samej linii prostej? Zbuduj je.).

e) inne właściwości:

AC i BD przecinają się w punkcie O i AO=OC, BO=OD; AB=CD, AD=BC.

e) A=C, B=D.

Konsolidacja: rozwiązywanie problemów nr 4-23, s. 96-97, Geometria 7-11, Pogorelov.

Wartość perspektywiczna:

a) jest używany w nauce i definicji prostokąta i rombu;

b) zasada równoległości i równości odcinków zawartych między liniami równoległymi w twierdzeniu Talesa;

c) pojęcie przekładu równoległego (wektorowego);

d) właściwość równoległoboku jest wykorzystywana przy wyznaczaniu obszaru trójkąta;

e) równoległość i prostopadłość w przestrzeni; równoległościan; pryzmat.

Metoda abstrakcyjno-dedukcyjna

Istota:

a) definicja pojęcia: - równanie kwadratowe;

b) wybór podstawowych właściwości: x - zmienna; a, b, c - liczby; a?0 w?

c) konkretyzacja koncepcji: - zredukowana; przykłady równań

d) ćwiczenia: do uznania, do budowy;

e) badanie właściwości nieobjętych definicją: pierwiastki równania i ich właściwości;

e) rozwiązywanie problemów.

W szkole metoda abstrakcyjno-dedukcyjna jest stosowana, gdy nowa koncepcja jest w pełni przygotowana poprzez przestudiowanie poprzednich pojęć, w tym studium najbliższego pojęcia ogólnego, a specyficzna różnica nowego pojęcia jest bardzo prosta i zrozumiała dla uczniów.

Na przykład: definicja rombu po przestudiowaniu równoległoboku.

Stosowana jest również powyższa metoda:

1) przy opracowywaniu „rodowód” definicji pojęcia:

Kwadrat to prostokąt o równych wszystkich bokach.

Prostokąt to równoległobok ze wszystkimi kątami prostymi.

Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe boki są równoległe.

Czworobok to figura składająca się z czterech punktów i czterech odcinków łączących je szeregowo.

Innymi słowy, genealogia to łańcuch pojęć zbudowany przez uogólnienia poprzedniego pojęcia, którego finałem jest pojęcie niedefiniowalne (przypomnijmy, że w szkolnej geometrii są to punkt, figura, płaszczyzna, odległość ( leżeć pomiędzy));

2) klasyfikacja;

3) stosowane do dowodów twierdzeń i rozwiązywania problemów;

4) ma szerokie zastosowanie w procesie aktualizacji wiedzy.

Rozważ ten proces, reprezentowany przez system zadań:

a) Biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny o bokach 3 cm i 4 cm. Znajdź długość mediany narysowanej do przeciwprostokątnej.

b) Udowodnij, że mediana wyciągnięta z wierzchołka kąta prostego trójkąta jest równa połowie przeciwprostokątnej.

c) Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego przecina kąt pomiędzy medianą a wysokością przyłożoną do przeciwprostokątnej.

d) Na kontynuacji najdłuższego boku AC trójkąta ABC wykreślony jest odcinek CM, równy bokowi BC. Udowodnij, że AVM jest tępy.

W większości przypadków w nauczaniu szkolnym stosuje się metodę betonowo-indukcyjną. W szczególności metoda ta wprowadza pojęcia w cykle propedeutyczne początków algebry i geometrii w klasach 1-6, a wiele pojęć definiujących wprowadza się opisowo, bez ścisłych sformułowań.

Nieznajomość przez nauczyciela różnych sposobów wprowadzania definicji prowadzi do formalizmu, który objawia się następująco:

a) uczniowie mają trudności ze stosowaniem definicji w nietypowej sytuacji, chociaż pamiętają jej sformułowanie.

Na przykład: 1) uważają funkcję za parzystą, ponieważ „cos” - nawet;

2) - nie rozumie związku między monotonicznością funkcji a rozwiązaniem nierówności, tj. nie może zastosować odpowiednich definicji, w których główną metodą badań jest oszacowanie znaku różnicy między wartościami funkcji, tj. w rozwiązywaniu nierówności.

b) student posiada umiejętności rozwiązywania problemów dowolnego typu, ale nie potrafi wyjaśnić na podstawie jakich definicji, aksjomatów, twierdzeń dokonuje określonych przekształceń.

Na przykład: 1) - przekształć zgodnie z tym wzorem i 2) wyobraź sobie, że na stole znajduje się model czworokątnej piramidy. Jaki wielokąt będzie podstawą tej piramidy, jeśli model zostanie umieszczony na stole boczną ścianą? (czworoboczny).

Proces kształtowania wiedzy, umiejętności i zdolności nie ogranicza się do przekazywania nowej wiedzy.

Ta wiedza musi zostać zdobyta i utrwalona.

6. Metodologia zapewnienia asymilacji pojęć matematycznych (zdań)

1. Sformułowania wielu definicji (twierdzenia, aksjomaty) są zrozumiałe dla studentów, łatwe do zapamiętania po niewielkiej liczbie powtórzeń, dlatego wskazane jest najpierw zasugerować ich zapamiętanie, a następnie nauczyć ich stosowania do rozwiązywania problemów.

Metodę, w której procesy zapamiętywania definicji i kształtowania umiejętności ich stosowania zachodzą u uczniów nie jednocześnie (oddzielnie) nazywa się oddzielny.

Odrębną metodę stosuje się w badaniu definicji akordu, trapezu, funkcji parzystych i nieparzystych, twierdzeń Pitagorasa, znaków prostych równoległych, twierdzenia Viety, własności nierówności liczbowych, reguł mnożenia dla ułamków zwykłych, dodawania ułamków o tych samych mianownikach, itp.

Metodologia:

a) nauczyciel formułuje nową definicję;

b) uczniowie klasy do zapamiętywania powtarzają ją 1-3 razy;

c) ćwiczony na ćwiczeniach.

2. Kompaktowy metoda polega na tym, że uczniowie czytają definicję matematyczną lub zdanie w częściach i w trakcie czytania wykonują jednocześnie ćwiczenie.

Czytając to sformułowanie kilka razy, zapamiętują je po drodze.

Metodologia:

a) przygotowanie matematycznej propozycji aplikacji. Definicja podzielona jest na części według cech, twierdzenie - na warunek i wniosek;

b) próbka działań zaproponowanych przez nauczyciela, która pokazuje, jak pracować z przygotowanym tekstem: czytamy go w częściach i jednocześnie wykonujemy ćwiczenia;

c) uczniowie czytają definicję w częściach i jednocześnie wykonują ćwiczenia, kierując się przygotowanym tekstem i wzorem prowadzącego;

Na przykład: definicja dwusiecznej w klasie piątej:

1) wprowadzenie pojęcia realizowane jest metodą problemów celowych na modelu kątowym;

2) wypisuje się definicję: „Promień wychodzący z wierzchołka kąta i dzielący go na dwie równe części nazywamy dwusieczną kąta”;

3) wykonywane jest zadanie: wskazać, które z linii na rysunkach są dwusiecznymi kąta (równe kąty są oznaczone tą samą liczbą łuków).

Na jednym z rysunków nauczyciel pokazuje zastosowanie definicji (patrz poniżej);

4) praca jest kontynuowana przez studentów.

3. Połączenie metody oddzielnej i kompaktowej : po zakończeniu nowej reguły powtarza się ją 2-3 razy, a następnie nauczyciel wymaga w trakcie wykonywania ćwiczeń sformułowania reguły w częściach.

4. Metoda algorytmiczna służy do kształtowania umiejętności stosowania zdań matematycznych.

Metodologia: Zdania matematyczne są zastępowane algorytmem. Czytając naprzemiennie instrukcje algorytmu, student rozwiązuje problem. W ten sposób rozwija umiejętność stosowania definicji, aksjomatów i twierdzeń. W takim przypadku dozwolone jest albo późniejsze zapamiętanie definicji, albo odczytanie samej definicji wraz z algorytmem.

Główne etapy metody:

a) przygotowanie do pracy spisu instrukcji, który jest albo podany w formie gotowej, z wyjaśnieniem, albo uczniowie są kierowani do samodzielnego jej sporządzenia;

b) próbkę odpowiedzi nauczyciela;

c) studenci pracują w ten sam sposób.

W badaniu definicji stosuje się metody odrębne i zwarte. Algorytmę można zastosować tylko podczas studiowania definicji trudnych do przyswojenia (np. warunki konieczne i wystarczające). Metoda algorytmiczna jest najczęściej stosowana w kształtowaniu umiejętności rozwiązywania problemów.

7. Metody utrwalania pojęć i zdań matematycznych

I recepcja:

nauczyciel proponuje sformułowanie i zastosowanie pewnych definicji, aksjomatów, twierdzeń, które napotyka w trakcie rozwiązywania problemów.

Na przykład: wykreśl wykres funkcji; definicja funkcji parzystej (nieparzystej); konieczny i wystarczający warunek istnienia.

II recepcja:

nauczyciel proponuje sformułowanie szeregu definicji, twierdzeń, aksjomatów podczas frontalnego przeglądu w celu ich powtórzenia i jednoczesnego sprawdzenia, czy uczniowie je pamiętają. Ta technika nie jest skuteczna poza rozwiązywaniem problemów. Możliwe jest połączenie badania frontalnego ze specjalnymi ćwiczeniami, które wymagają od uczniów umiejętności stosowania definicji, twierdzeń, aksjomatów w różne sytuacje, możliwość szybkiego poruszania się po warunkach problemu.

Wniosek

Znajomość definicji nie gwarantuje przyswojenia pojęcia. Praca metodyczna z pojęciami powinny dążyć do przezwyciężenia formalizmu, który przejawia się w tym, że uczniowie nie potrafią rozpoznać definiowanego przedmiotu w różnych sytuacjach, w których on występuje.

Rozpoznanie przedmiotu odpowiadającego danej definicji i skonstruowanie kontrprzykładów jest możliwe tylko przy jasnym zrozumieniu struktur rozważanej definicji, która w schemacie definicji () oznacza strukturę prawej strony.

Literatura

1. KO. Anańczenko ” Ogólna metodologia nauczanie matematyki w szkole”, Mn., „Universitetskaya”, 1997

2. N.M. Roganovsky „Metody nauczania w Liceum", Mn., " Liceum”, 1990

3. G. Freudenthal „Matematyka jako zadanie pedagogiczne”, M., „Oświecenie”, 1998

4. N.N. "Laboratorium matematyczne", M., "Oświecenie", 1997

5. Yu.M. Kolagin „Metody nauczania matematyki w szkole średniej”, M., „Prosveshchenie”, 1999

6. AA Stolyar "Logiczne problemy nauczania matematyki", Mn., "Szkoła Wyższa", 2000

Podobne dokumenty

Podstawy metodyki badania pojęć matematycznych. Pojęcia matematyczne, ich treść i zakres, klasyfikacja pojęć. Psychologiczne i pedagogiczne cechy nauczania matematyki w klasach 5-6. Psychologiczne aspekty powstawania pojęć.

praca dyplomowa, dodana 08.08.2007


Istota powstawania pojęć, jej ogólny schemat i cechy, etapy realizacji i możliwe sposoby. Klasyfikacja pojęć i jej metodologia dla dyscyplin matematycznych. Definicja jako ostatni etap powstawania pojęcia, jego odmiany i cechy.

streszczenie, dodane 24.04.2009


„Koncepcja” w ujęciu psychologicznym, pedagogicznym, filozoficznym, literatura edukacyjna. Rodzaje i definicje pojęć matematycznych w matematyce elementarnej. Rola, funkcje klasyfikacji w tworzeniu pojęć. System powstawania pojęć matematycznych.

praca dyplomowa, dodana 23.11.2008


Psychologiczne i pedagogiczne podstawy kształtowania się koncepcji naukowych. Istota i źródła edukacji witagenicznej. Metody i techniki identyfikowania i aktualizowania witalnościowych doświadczeń uczniów. Formowanie pojęć naukowych jako problem pedagogiczny. Rodzaje pojęć naukowych.

praca dyplomowa, dodana 13.12.2009


Analiza podstawowych pojęć matematycznych. Metody badania tabelarycznych przypadków mnożenia i dzielenia. Zadania dla niezależna praca studenci. Wdrażanie indywidualnego podejścia do nauki. Ćwiczenia do opanowania tabliczki mnożenia, metody sprawdzania wiedzy.

praca dyplomowa, dodana 13.12.2013


artykuł, dodany 15.09.2009


Wizualizacja jako sposób na opanowanie pojęć gramatycznych. System do nauki pojęć gramatycznych na lekcjach języka rosyjskiego z wykorzystaniem wizualizacji. Wyniki eksperymentu określającego poziom opanowania pojęć gramatycznych przez młodszych uczniów.

praca dyplomowa, dodana 05.03.2015


Składniki zdolności matematycznych, stopień ich przejawów w wieku szkolnym, przesłanki przyrodnicze i warunki formacji. Główne formy i metody zajęć pozalekcyjnych: zajęcia z koła, wieczory matematyczne, olimpiady, gry.

praca dyplomowa, dodana 11.06.2010


Sposób zapoznania studentów z aksjomatami w toku szkolnej geometrii, tradycyjne metody syntetycznych wektorów współrzędnych, rola aksjomatów w budowaniu kursu szkolnego. Metody wprowadzania pojęć i twierdzeń, schemat badania znaków równości trójkątów.

streszczenie, dodane 03.07.2010


Cechy nauki matematyki w szkole podstawowej zgodnie z federalnym stanowym standardem edukacyjnym dla szkolnictwa podstawowego. Zawartość kursu. Analiza podstawowych pojęć matematycznych. Istota indywidualnego podejścia w dydaktyce.

Wykład 5. Pojęcia matematyczne

1. Zakres i treść pojęcia. Relacje między pojęciami

2. Definicje pojęć. Pojęcia zdefiniowane i niezdefiniowane.

3. Sposoby definiowania pojęć.

4. Kluczowe ustalenia

Pojęcia, które są studiowane na podstawowym kursie matematyki, przedstawiane są zwykle w formie czterech grup. Pierwsza obejmuje pojęcia związane z liczbami i operacjami na nich: liczba, dodawanie, wyraz, więcej itp. Druga obejmuje pojęcia algebraiczne: wyrażenie, równość, równania itp. Trzecia grupa składa się z pojęć geometrycznych: prosta, odcinek, trójkąt itd. .d. Czwartą grupę tworzą pojęcia związane z wielkościami i ich pomiarem.

Aby zbadać całą różnorodność pojęć, musisz mieć pojęcie o tym pojęciu jako kategorii logicznej i cechach pojęć matematycznych.

W logice koncepcje traktować jako forma myślenia odzwierciedlanie obiektów (przedmiotów i zjawisk) w ich zasadniczym i wspólne właściwości Oh. Forma językowa pojęcia to słowo (termin) lub grupa słów.

Skomponować pojęcie o przedmiocie - ϶ᴛᴏ oznacza umieć odróżnić go od innych podobnych do niego obiektów. Pojęcia matematyczne mają wiele cech. Głównym z nich jest w istocie to, że obiekty matematyczne, co do których niezwykle ważne jest sformułowanie pojęcia, w rzeczywistości nie istnieją. Obiekty matematyczne są tworzone przez ludzki umysł. Są to idealne obiekty, które odzwierciedlają rzeczywiste obiekty lub zjawiska. Na przykład w geometrii badany jest kształt i wielkość obiektów, bez uwzględniania innych właściwości: koloru, masy, twardości itp. Z tego wszystkiego są wyabstrahowani. Z tego powodu w geometrii zamiast słowa „obiekt” mówi się „figura geometryczna”.

Wynikiem abstrakcji są również takie pojęcia matematyczne jak „liczba” i „wartość”.

Ogólnie rzecz biorąc, przedmioty matematyczne istnieją tylko w ludzkim myśleniu oraz w tych znakach i symbolach, które tworzą język matematyczny.

Można to dodać do tego, co zostało powiedziane, studiując formy przestrzenne i relacje ilościowe świata materialnego matematyka nie tylko posługuje się różnymi metodami abstrakcji, ale sama abstrakcja działa jako proces wieloetapowy. W matematyce bierze się pod uwagę nie tylko pojęcia, które pojawiły się w badaniu przedmiotów rzeczywistych, ale także pojęcia, które powstały na podstawie tych pierwszych. Na przykład ogólne pojęcie funkcji jako korespondencji jest uogólnieniem pojęć określonych funkcji, ᴛ.ᴇ. abstrakcja od abstrakcji.

1. Zakres i treść koncepcji. Relacje między pojęciami

Każdy przedmiot matematyczny ma określone właściwości. Na przykład kwadrat ma cztery boki, cztery kąty proste równe przekątnej. Możesz również określić inne właściwości.

Wśród właściwości obiektu znajdują się: niezbędne i nieistotne. Poczucie nieruchomości istotne dla przedmiotu (jeśli jest nieodłączne od tego przedmiotu i bez niego nie może istnieć). Na przykład w przypadku kwadratu wszystkie wymienione powyżej właściwości są niezbędne. Właściwość „bok AB jest poziomy” nie jest istotna dla kwadratu ABCD.

Mówiąc o pojęciu matematycznym, zwykle mają na myśli zbiór obiektów oznaczonych przez jeden termin(słowo lub grupa słów). Mówiąc więc o kwadracie, mają na myśli wszystkie figury geometryczne, które są kwadratami. Uważa się, że zbiór wszystkich kwadratów jest zakresem pojęcia „kwadrat”.

W ogóle, zakres pojęcia to ϶ᴛᴏ zbiór wszystkich obiektów oznaczonych jednym terminem.

Każda koncepcja ma nie tylko zakres, ale także treść.

Rozważmy na przykład pojęcie prostokąta.

Zakres pojęcia to ϶ᴛᴏ zbiór różnych prostokątów, a jego treść obejmuje takie właściwości prostokątów jak „mieć cztery kąty proste”, „mieć równe przeciwne boki”, „mieć równe przekątne” itp.

Pomiędzy zakresem pojęcia a jego treścią znajduje się: zależność: jeśli objętość konceptu wzrasta, to zmniejsza się jego zawartość i odwrotnie. Na przykład zakres pojęcia „kwadrat” jest częścią zakresu pojęcia „prostokąt”, a treść pojęcia „kwadrat” zawiera więcej właściwości niż treść pojęcia „prostokąt” („wszystkie boki są równe”, „przekątne są wzajemnie prostopadłe” itd.).

Żadne pojęcie nie może być zasymilowane bez uświadomienia sobie jego związku z innymi pojęciami. Z tego powodu ważne jest, aby wiedzieć, w jakich relacjach mogą znajdować się koncepcje i być w stanie ustanowić te połączenia.

Relacje między pojęciami są ściśle związane z relacjami między ich objętościami, ᴛ.ᴇ. zestawy.

Umówmy się na oznaczenie pojęć małymi literami alfabetu łacińskiego: a, b, c, d, ..., z.

Niech dane będą dwa pojęcia a i b. Oznaczmy ich objętości odpowiednio jako A i B.

Jeśli A B (A ≠ B), to mówią, że pojęcie a jest specyficzne w stosunku do pojęcia b, a pojęcie b jest gatunkowe w stosunku do pojęcia a.

Na przykład, jeśli a jest „prostokątem”, b jest „czworokątem”, to ich objętości A i B są w stosunku do włączenia (A ⊂ B i A ≠ B), w związku z tym każdy prostokąt jest czworokątem. Z tego powodu można argumentować, że pojęcie „prostokąt” jest specyficzne w stosunku do pojęcia „czworokąt”, a pojęcie „czworokąt” jest ogólne w stosunku do pojęcia „prostokąt”.

Jeśli A = B, to pojęcia A i B są uważane za identyczne.

Na przykład pojęcia „trójkąta równobocznego” i „trójkąta równoramiennego” są identyczne, ponieważ ich objętości są takie same.

Rozważmy bardziej szczegółowo stosunek rodzaju i gatunku między pojęciami.

1. Po pierwsze, pojęcia rodzaju i gatunku są względne: to samo pojęcie może być rodzajowe w stosunku do jednego pojęcia, a gatunki w stosunku do drugiego. Na przykład pojęcie „prostokąta” jest ogólne w stosunku do pojęcia „kwadrat” i specyficzne w stosunku do pojęcia „czworokąt”.

2. Po drugie, dla danego pojęcia często można określić kilka pojęć generycznych. Tak więc w przypadku pojęcia „prostokąt” pojęcia „czworokąta”, „równoległoboku”, „wielokąta” są ogólne. Wśród nich możesz określić najbliższy. Pojęciu „prostokąta” najbliższe jest pojęcie „równoległoboku”.

3. Po trzecie, pojęcie gatunku ma wszystkie właściwości pojęcia gatunkowego. Na przykład kwadrat, będąc konkretną koncepcją w stosunku do pojęcia „prostokąta”, ma wszystkie właściwości tkwiące w prostokącie.

Ponieważ zakres pojęcia jest zbiorem, przy ustalaniu relacji między zakresami pojęć wygodnie jest przedstawić je za pomocą okręgów Eulera.

Ustalmy na przykład związek między następującymi parami pojęć a i b, jeśli:

1) a - „prostokąt”, b - „romb”;

2) a - „wielokąt”, b - „równoległobok”;

3) a - „prosto”, b - „segment”.

Relacje między zestawami przedstawiono odpowiednio na rysunku.

2. Definicja pojęć. Pojęcia zdefiniowane i niezdefiniowane.

Pojawienie się w matematyce nowych pojęć, a tym samym nowych terminów oznaczających te pojęcia, zakłada ich definicję.

Definicja zwykle nazywane zdaniem wyjaśniającym istotę nowego terminu (lub oznaczenia). Z reguły odbywa się to na podstawie wcześniej wprowadzonych koncepcji. Na przykład prostokąt można zdefiniować w następujący sposób: „Prostokąt nazywany jest czworokątem, w którym wszystkie rogi są prawe”. Ta definicja składa się z dwóch części - pojęcia zdefiniowanego (prostokąt) i pojęcia definiującego (czworokąta ze wszystkimi kątami prostymi). Jeśli pierwsze pojęcie oznaczymy przez a, a drugie pojęcie przez b, to definicję tę można przedstawić w następujący sposób:

a jest (z definicji) b.

Słowa „jest (z definicji)” są zwykle zastępowane symbolem ⇔, a następnie definicja wygląda tak:

Czytają: „a jest równoważne b z definicji”. Możesz też przeczytać ten wpis w ten sposób: „i wtedy i tylko wtedy, gdy b.

Definicje o takiej strukturze nazywane są wyraźny. Rozważmy je bardziej szczegółowo.

Przejdźmy do drugiej części definicji „prostokąta”.

Można wyróżnić:

1) pojęcie „czworokąta”, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ jest ogólne w stosunku do pojęcia „prostokąt”.

2) właściwość „mieć wszystkie kąty proste”, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ pozwala wybrać jeden typ spośród wszystkich możliwych czworokątów - prostokąty; w związku z tym nazywa się to różnicą gatunkową.

Ogólnie rzecz biorąc, konkretną różnicą są ϶ᴛᴏ właściwości (jedna lub więcej), które pozwalają odróżnić zdefiniowane obiekty od zakresu pojęcia generycznego.

Wyniki naszej analizy można przedstawić w postaci wykresu:

Znak „+” zastępuje cząstkę „i”.

Wiemy, że każda koncepcja ma swój zakres. Jeśli pojęcie a definiujemy poprzez rodzaj i różnicę specyficzną, to jego objętość – zbiór A – można powiedzieć, że zawiera takie przedmioty, które należą do zbioru C (objętość pojęcia rodzajowego c) i mają własność P:

A = (x/x C i P(x)).

Ponieważ definicja pojęcia poprzez rodzaj i konkretną różnicę jest zasadniczo umową warunkową na wprowadzenie nowego terminu w celu zastąpienia dowolnego zestawu znanych terminów, nie można powiedzieć, czy definicja jest prawdziwa, czy fałszywa; nie jest ani udowodnione, ani obalone. Ale przy formułowaniu definicji przestrzegają wielu zasad. Zadzwońmy do nich.

1. Definicja musi być: procentowy. Oznacza to, że zakres zdefiniowanych i definiujących pojęć musi być zgodny.

2. W definicji (lub ich systemie) nie powinno być błędnego koła. Oznacza to, że pojęcie nie może być zdefiniowane w kategoriach samego siebie.

3. Definicja musi być: jasny. Wymagane jest na przykład, aby znaczenia terminów zawartych w definiującym pojęciu były znane do czasu wprowadzenia definicji nowego pojęcia.

4. Zdefiniuj to samo pojęcie poprzez rodzaj i specyficzną różnicę, przestrzegając sformułowanych powyżej reguł, może być na różne sposoby. Tak więc kwadrat można zdefiniować jako:

a) prostokąt, którego sąsiednie boki są równe;

b) prostokąt, którego przekątne są wzajemnie prostopadłe;

c) romb o kącie prostym;

d) równoległobok, w którym wszystkie boki są równe, a kąty proste.

Różne definicje tego samego pojęcia są możliwe ze względu na dużą liczbę właściwości zawartych w treści pojęcia, tylko nieliczne są zawarte w definicji. A następnie wybiera się jedną z możliwych definicji, wychodząc z której jedna jest prostsza i wygodniejsza dla dalszej konstrukcji teorii.

Nazwijmy sekwencję działań, które musimy wykonać, jeśli chcemy odtworzyć definicję znanego pojęcia lub zbudować definicję nowego:

1. Nazwij definiowane pojęcie (termin).

2. Wskaż najbliższe pojęcie rodzajowe (w stosunku do zdefiniowanego) pojęcia.

3. Wymień właściwości, które odróżniają definiowane obiekty od objętości generycznej, tj. sformułuj konkretną różnicę.

4. Sprawdź, czy spełnione są zasady definiowania pojęcia (czy jest ono proporcjonalne, czy istnieje błędne koło itp.).

Wśród umiejętności, których uczy matematyka i których wszyscy musicie się nauczyć, bardzo ważne ma umiejętność klasyfikować koncepcje.

Faktem jest, że matematyka, podobnie jak wiele innych nauk, bada nie pojedyncze przedmioty czy zjawiska, ale masywny. Tak więc, kiedy studiujesz trójkąty, studiujesz właściwości dowolnych trójkątów, a jest ich nieskończona liczba. Ogólnie rzecz biorąc, objętość każdej koncepcji matematycznej jest z reguły nieskończona.

W celu odróżnienia obiektów pojęć matematycznych, zbadania ich właściwości, pojęcia te zwykle dzieli się na typy, klasy. W końcu, oprócz ogólnych właściwości, każda koncepcja matematyczna ma o wiele więcej ważne właściwości, nieodłączny nie wszystkim przedmiotom tego pojęcia, ale tylko przedmiotom określonego rodzaju. Więc, prawe trójkąty, oprócz ogólnych właściwości dowolnych trójkątów, mają wiele właściwości, które są bardzo ważne w praktyce, na przykład twierdzenie Pitagorasa, relacje między kątami i bokami itp.

W procesie wielowiekowego badania pojęć matematycznych, w procesie ich licznych zastosowań w życiu, w innych naukach, niektórzy specjalne typy mieć najwięcej ciekawe właściwości najczęściej spotykane i stosowane w praktyce. Istnieje więc nieskończenie wiele różnych czworokątów, ale w praktyce w technice najczęściej używane są tylko niektóre ich typy: kwadraty, prostokąty, równoległoboki, romby, trapezy.

Podział zakresu pojęcia na części jest klasyfikacją tego pojęcia. Dokładniej, przez klasyfikację rozumie się podział przedmiotów pojęcia na powiązane ze sobą klasy (rodzaje, typy) według najbardziej podstawowe cechy(nieruchomości). Znak (właściwość), według którego dokonuje się klasyfikacji (podziału) pojęcia na typy (klasy), nazywa się podstawa Klasyfikacja.

Prawidłowo skonstruowana klasyfikacja pojęcia odzwierciedla najistotniejsze właściwości i powiązania między przedmiotami pojęcia, pomaga lepiej poruszać się w mnogości tych obiektów, umożliwia ustalenie takich właściwości tych obiektów, które są najważniejsze dla zastosowania tego pojęcie w innych naukach i codziennej praktyce.

Pojęcie jest klasyfikowane według jednej lub kilku najważniejszych podstaw.

Tak więc trójkąty można klasyfikować według wielkości kątów. Otrzymujemy następujące typy: ostrokątny (wszystkie kąty są ostre), prostokątny (jeden kąt prosty, pozostałe ostre), rozwarty (jeden kąt rozwarty, pozostałe ostre). Jeśli jako podstawę podziału trójkątów przyjmiemy stosunki między bokami, otrzymamy następujące typy: uniwersalny, równoramienny i regularny (równoboczny).

Trudniej jest, gdy trzeba sklasyfikować pojęcie na kilku podstawach. Tak więc, jeśli wypukłe czworokąty są klasyfikowane zgodnie z równoległością boków, to w istocie musimy podzielić wszystkie wypukłe czworokąty jednocześnie według dwóch kryteriów: 1) jedna para przeciwległych boków jest równoległa lub nie; 2) druga para przeciwległych boków jest równoległa lub nie. W rezultacie otrzymujemy trzy rodzaje czworokątów wypukłych: 1) czworokąty o nierównoległych bokach; 2) czworoboki z jedną parą boków równoległych - trapezy; 3) czworoboki z dwiema parami równoległych boków - równoległoboki.

Dość często pojęcie jest klasyfikowane etapami: najpierw według jednej podstawy, następnie niektóre typy dzieli się na podgatunki według innej podstawy itp. Przykładem jest klasyfikacja czworokątów. W pierwszym etapie są dzielone na zasadzie wypukłości. Następnie czworoboki wypukłe dzieli się zgodnie z równoległością przeciwległych boków. Z kolei równoległoboki są podzielone zgodnie z obecnością kątów prostych itp.

Podczas klasyfikacji należy przestrzegać pewnych zasad. Zwróćmy uwagę na główne.

1. Za podstawę klasyfikacji można przyjąć tylko wspólną cechę wszystkich obiektów danego pojęcia. Nie można więc np. przyjąć za podstawę klasyfikacji wyrażeń algebraicznych znaku układu wyrazów w potęgach jakiejś zmiennej. Ta cecha nie jest wspólna dla wszystkich wyrażeń algebraicznych, na przykład nie ma sensu dla wyrażeń ułamkowych lub jednomianów. Tylko wielomiany mają tę cechę, więc wielomiany mogą być klasyfikowane według najwyższego stopnia zmiennej głównej.
2. Za podstawę klasyfikacji należy przyjąć podstawowe właściwości (cechy) pojęć. Rozważmy ponownie pojęcie wyrażenia algebraicznego. Jedną z właściwości tego pojęcia jest to, że zmienne zawarte w wyrażeniu algebraicznym są oznaczone kilkoma literami. Ta właściwość jest ogólna, ale nie istotna, ponieważ charakter wyrażenia nie zależy od tego, jaką literę oznaczono tę lub inną zmienną. A więc wyrażenia algebraiczne x+y I a+b są zasadniczo tym samym wyrażeniem. Dlatego nie jest konieczne klasyfikowanie wyrażeń na podstawie oznaczenia zmiennych literami. Inną rzeczą jest to, że za podstawę klasyfikacji wyrażeń algebraicznych przyjmiemy znak typu działań, którymi są połączone zmienne, czyli działań, które są wykonywane na zmiennych. Ta wspólna cecha jest bardzo istotna, a klasyfikacja według tej cechy będzie poprawna i użyteczna.
3. Na każdym etapie klasyfikacji można zastosować tylko jedną podstawę. Nie da się jednocześnie sklasyfikować pojęcia według dwóch różnych kryteriów. Na przykład niemożliwe jest natychmiastowe sklasyfikowanie trójkątów zarówno według rozmiaru, jak i stosunku boków, ponieważ w rezultacie otrzymamy klasy trójkątów, które mają wspólne elementy (na przykład ostrokątne i równoramienne lub rozwarte i równoramienne itp.). Naruszony jest tutaj następujący wymóg klasyfikacji: w wyniku klasyfikacji na każdym etapie wynikowe klasy (typy) nie powinny się przecinać.
4. W tym samym czasie klasyfikacja z jakiegoś powodu musi być wyczerpująca, a każdy przedmiot pojęcia musi w wyniku klasyfikacji należeć do jednej i tylko jednej klasy.

Dlatego podział wszystkich liczb całkowitych na dodatnie i ujemne jest niepoprawny, ponieważ liczba całkowita zero nie należała do żadnej z klas. Musimy powiedzieć tak: liczby całkowite dzielą się na trzy klasy - dodatnią, ujemną i liczbę zero.

Często przy klasyfikowaniu pojęć tylko niektóre klasy są wyraźnie rozróżniane, podczas gdy pozostałe są tylko dorozumiane. Na przykład podczas badania wyrażeń algebraicznych zwykle rozróżnia się tylko takie typy wyrażeń: jednomiany, wielomiany, wyrażenia ułamkowe, irracjonalne. Ale te typy nie wyczerpują wszystkich typów wyrażeń algebraicznych, więc taka klasyfikacja jest niekompletny.

Kompletną poprawną klasyfikację wyrażeń algebraicznych można przeprowadzić w następujący sposób.

Na pierwszym etapie klasyfikacji wyrażeń algebraicznych dzieli się je na dwie klasy: racjonalną i nieracjonalną. Na drugim etapie wyrażenia wymierne dzielą się na liczby całkowite i ułamkowe. Na trzecim etapie wyrażenia liczb całkowitych są dzielone na jednomiany, wielomiany i złożone wyrażenia liczb całkowitych.

Ta klasyfikacja może być przedstawiona w następujący sposób

Zadanie 7

7.1. Dlaczego liczb wymiernych nie można sklasyfikować według ich parzystości?

7.2. Sprawdź, czy podział pojęcia jest prawidłowy:

a) Wartości mogą być równe lub nierówne.

b) Funkcje rosną lub maleją.

c) Trójkąty równoramienne mogą być ostre, prawe lub rozwarte.

d) Prostokąty to kwadraty i romby.

7.3. Dokonaj podziału pojęcia „figury geometrycznej” według właściwości zajmowanej części płaszczyzny i podaj przykłady każdego typu.

7.4. Konstruuj możliwe schematy klasyfikacji liczb wymiernych.

7.5. Zbuduj schemat klasyfikacji dla następujących pojęć:

a) czworokąt;

b) dwa rogi.

7.6. Klasyfikuj następujące pojęcia:

a) trójkąt i okrąg;

b) kąty w kole;

c) dwa koła;

d) linia prosta i okrąg;

e) równania kwadratowe;

f) układ dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.