Stokastik süreç modeli oluşturmaya bir örnek. Stokastik süreç modeli. İdeal modelleme, nesne ile model arasında ideal, akla uygun bir bağlantıya dayanan malzeme modellemeden temel olarak farklıdır. İdeal modelleme yöntemleri
Adından da anlaşılacağı gibi, bu tür bir model istatistiksel olarak düzenli performans sergileyen sistemleri tanımlamaya odaklanmıştır. rastgele davranış ve içlerindeki zaman ayrı bir miktar olarak düşünülebilir. Zaman ayrıklaştırmanın özü, ayrık deterministik modellerdekiyle aynıdır. Bu tür sistem modelleri, iki resmileştirilmiş açıklama şeması temelinde oluşturulabilir. Öncelikle bunlar değişkenler arasında rastgele süreçleri tanımlayan fonksiyonların kullanıldığı sonlu fark denklemleridir. İkinci olarak olasılıksal otomata kullanırlar.
Ayrık stokastik bir sistem oluşturmaya bir örnek. Yapısı Şekil 2'de gösterilen bir üretim sistemi olsun. 3.8. Bu sistem içerisinde depolama ve üretim aşamalarında homojen bir malzeme akışı gerçekleşir.
Örneğin, bir hammadde akışının giriş deposunda depolanan metal külçelerden oluştuğunu varsayalım. Daha sonra bu boşluklar, bir tür ürün üretmek için kullanıldıkları üretime gidiyor. Bitmiş ürünler, daha sonraki işlemler için alındıkları çıkış deposunda depolanır (bir sonraki üretim aşamalarına veya satışa aktarılır). Genel olarak böyle bir üretim sistemi, hammadde, malzeme ve yarı mamul ürün akışlarını bitmiş ürün akışına dönüştürür.
Bu üretim sistemindeki zaman adımı bire eşit olsun (D? = 1). Bu sistemin işleyişinde bir değişikliği tek vücut olarak ele alacağız. Bir ürünün üretim sürecinin bir adım sürdüğünü varsayıyoruz.
Pirinç. 3.8, Üretim sistemi şeması
Üretim süreci, hedef üretim yoğunluğu (birim zamanda, bu durumda vardiya başına üretilmesi gereken ürün sayısı) şeklinde bir ürün üretim planı verilen özel bir düzenleyici kurum tarafından kontrol edilir. Bu yoğunluğu ifade edelim dt. Aslında bu üretim hızıdır. İzin vermek d t =a+ bt, yani doğrusal fonksiyon. Bu, sonraki her vardiyada planın arttığı anlamına gelir ama.
Homojen bir malzeme akışı ile uğraştığımız için ortalama olarak birim zamanda sisteme giren hammadde hacminin, birim zaman başına üretim hacminin, birim zamanda sistemden çıkan bitmiş ürün hacminin ortalama olarak olması gerektiğine inanıyoruz. eşit ol dt.
Düzenleyici kurum için giriş ve çıkış akışları kontrol edilemez, yoğunlukları (veya hızları - sırasıyla sisteme giren ve çıkan birim zaman başına külçe veya ürün sayısı) eşit olmalıdır dt. Ancak nakliye sırasında ham parçalar kaybolabilir, bazıları kalitesiz olabilir veya bazı nedenlerden dolayı gereğinden fazla gelebilir, vb. Bu nedenle, giriş akışının yoğunluğuna sahip olduğunu varsayacağız:
x kalay =d t +ξ t içeride,
burada ξ 1 -15'ten +15'e kadar düzgün dağılmış bir rastgele değişkendir.
Çıkış akışında da yaklaşık olarak aynı işlemler gerçekleşebilir. Bu nedenle çıkış akışı aşağıdaki yoğunluğa sahiptir:
y'de x t x =d t + dışarıdayım,
burada ξ tout sıfır matematiksel beklentisi ve varyansı 15'e eşit olan normal dağılımlı bir rastgele değişkendir.
Üretim sürecinde işçilerin işe gelmemesi, makine arızaları vb. ile ilgili kazaların meydana geldiğini varsayacağız. Bu rastgelelikler, matematiksel beklentisi sıfır ve varyansı 15'e eşit olan normal dağılmış bir rastgele değişken ile tanımlanır. Bunu ξ t/ olarak gösterelim. Üretim süreci bir birim zaman sürer ve bu süre zarfında girdi deposundan çıkarılır. xt Daha sonra bu hammaddeler işlenerek aynı birim sürede çıkış deposuna aktarılır. Düzenleyici kurum, sistemin çalışmasıyla ilgili bilgileri üç olası yolla alır (bunlar Şekil 3.8'de 1, 2, 3 sayılarıyla işaretlenmiştir). Bazı nedenlerden dolayı bu bilgi edinme yöntemlerinin sistemde birbirini dışladığına inanıyoruz.
Yöntem 1. Düzenleyici kurum yalnızca girdi deposunun durumu hakkında bilgi alır (örneğin, depodaki stoklardaki değişiklikler veya stok hacminde standart seviyeden sapmalar hakkında) ve bunu üretim sürecinin hızını değerlendirmek için kullanır ( Hammaddelerin depodan çekilme hızı):
1) ( girdin - u t-1 girişi )- depodaki envanter hacmindeki değişiklik (u t girdi - o sırada girdi deposundaki hammadde hacmi) T);
2) (ù- u t in) - giriş deposundaki hammadde hacminin stok normundan sapması.
Yol 2. Düzenleyici kurum bilgiyi doğrudan üretimden alır (x t - gerçek üretim yoğunluğu) ve bunu hedef yoğunlukla karşılaştırır (d t -x t).
Yöntem 3. Düzenleyici kurum, bilgileri yöntem 1'deki gibi alır, ancak çıktı deposundan şu biçimde alır: ( dışarıdasın - u t-1 dışarı )- veya (ù-u tout). Ayrıca üretim sürecini dolaylı verilere (nihai ürün stoklarındaki artış veya azalış) dayanarak değerlendiriyor.
Belirli bir çıktı yoğunluğunu korumak için dt, düzenleyici kurum karar verir YT ,(veya (y t - y t - 1)), gerçek çıktı yoğunluğunu değiştirmeyi amaçlayan xt.Çözüm olarak düzenleyici kurum, üretime çalışması gereken yoğunluk değerleri hakkında bilgi verir; xt = yt. Kontrol çözümü için ikinci seçenek (y t -y t-1), onlar. düzenleyici kurum üretime, üretim yoğunluğunun ne kadar artırılacağını veya azaltılacağını söyler (x t -x t-1).
Bilgi edinme yöntemine ve kontrol eylemini tanımlayan değişkenin türüne bağlı olarak aşağıdaki nicelikler karar almayı etkileyebilir.
1. Karar esası (sapma olmadığı takdirde gerçek üretim yoğunluğunun eşit olması gereken değer):
şu anda salınımın yönlendirici yoğunluğu t(dt);
şu anda salınımın direktif yoğunluğunun değişim hızı t(d t -d t-1).
2. Sapma miktarı:
gerçek çıktının hedeften sapması (d t -x t);
fiili çıktı hacminin planlanan hacimden sapması
Σ d τ - Σ x τ
girdi envanter düzeyindeki değişiklik ( ( girdin - u t-1 giriş) veya çıkış
(dışarıdasın - u t-1 çıkış) depolar;
giriş (ù- u t giriş) veya çıkıştaki stok seviyesinin sapması ( ù-u t out) depolar standart seviyeden.
Genel olarak düzenleyici kurum tarafından verilen yönetim kararı aşağıdaki bileşenlerden oluşur:
Çözüm örnekleri:
y t = d t +y(d t-1 -x t-1);
y t = d t -y(ù -uçığırtkanlık)
Düzenleyici kurum, çeşitli şekillerde kararlar alarak ana hedefe ulaşmaya çalışır - gerçek çıktı yoğunluğunu hedefe yaklaştırmak. Ancak kararlarını her zaman doğrudan bu hedefe ulaşma derecesine odaklayamaz. (d t - x t). Nihai sonuçlar, yerel hedeflere - giriş veya çıkış deposundaki stok seviyelerinin stabilizasyonuna - ulaşılmasında ifade edilebilir ( ve t giriş (çıkış) - ve t-1 giriş(çıkış)) veya depodaki stok seviyesinin standarda yaklaştırılmasında (Ve-Ve içeri (dışarı)). Ulaşılan hedefe bağlı olarak kontrol kararında düzenleme için kullanılan uyumsuzluk fraksiyonunun önündeki işaretin türü (+ veya -) belirlenir.
Bizim durumumuzda düzenleyici otoritenin girdi deposunun durumu (envanter düzeyindeki değişiklik) hakkında bilgi almasına izin verin. Herhangi bir yönetim sisteminde çözümlerin geliştirilmesinde ve uygulanmasında gecikmelerin olduğu bilinmektedir. Bu örnekte, girdi deposunun durumuna ilişkin bilgi düzenleyici otoriteye bir zaman adımı gecikmeyle ulaşmaktadır. Bu gecikmeye karar vermedeki gecikme denir ve düzenleyici kurumdan bilgi alındığında girdi deposundaki stok seviyesinin gerçek durumunun zaten farklı olacağı anlamına gelir. Düzenleyici bir karar verdikten sonra YT Kararın icracıya iletilmesi de zaman alacaktır (örneğimizde bu bir zaman birimi olacaktır). Bu, gerçek üretim yoğunluğunun şuna eşit olduğu anlamına gelir: YT , ancak yönetim kurulunun bir süre önce verdiği karara göre. Bu, çözümün uygulanmasında bir gecikmedir.
Üretim sistemimizi tanımlamak için aşağıdaki denklemlere sahibiz:
xtBx =d t +ξ t içeride
xt dışarı =dt+ξ t dışarı;
y t = d t + sen(sen-u) t-2 girişi)
x t = y t-1 + ξt
sen teneke - sen t-1 girişi = xt içinde - xt
Bu denklem sistemi, girdi değişkenlerinin belirleneceği bir üretim sistemi modeli oluşturmamızı sağlar. dt,ξ t giriş, ξ t çıkış, ξ t,a
izin günü - xt. Bunun nedeni, dışarıdan bir gözlemcinin üretimimizi, hammaddeleri yoğun bir şekilde alan bir sistem olarak görmesidir. d t ve yoğunlukla ürünler üretmek xt, rastgeleliğe tabidir ξ t giriş, ξ t çıkış, ξ t. Ortaya çıkan denklem sistemindeki tüm ikameleri gerçekleştirdikten sonra davranışı karakterize eden bir dinamik denkleme ulaşıyoruz. xt bağlı olarak dt,ξ t içeri, ξ t dışarı, ξ t.
Yukarıda tartışılan model, depo hacimleri ve üretim kapasitesi ile ilgili kısıtlamalar içermiyordu. Giriş deposunun kapasitesinin V in, çıkış deposunun kapasitesinin V BX, üretim kapasitesinin ise şöyle olduğunu varsayarsak: M, O yeni sistem Böyle doğrusal olmayan bir üretim sistemi için denklemler aşağıdaki gibi olacaktır:
xtBX=dakika((d t+ ξ t inç),(V inç - sen t in)) - girdi deposuna alanın izin verdiğinden daha fazlasını koyamazsınız;
X dışarı =dakika((d t+ ξ t dışarı),(V dışarı - sen t out)) - çıkış deposundan orada mevcut olandan daha fazla ürün alamazsınız;
y t =d t + y(u teneke -u t-1 girişi)
xtBX = dk(( sen teneke, ( y t-1+ ξ t inç), M,(V çıkışı - sen t out)) - sipariş edilenden daha fazla ürün üretmek imkansızdır, sınırlayıcı faktörler mevcut iş parçalarının sayısı ve çıkış deposundaki boş alanın varlığıdır;
sen teneke -u t-1 girişi = xtBX-xt
Bu kitabın sonraki bölümlerinde stokastik süreçler neredeyse her zaman beyaz gürültü tarafından yönlendirilen doğrusal diferansiyel sistemler kullanılarak temsil edilir. Stokastik bir sürecin bu temsili genellikle aşağıdaki formu alır. Öyleymiş gibi yapalım
a - beyaz gürültü. V stokastik sürecinin böyle bir temsilini seçerek modellenebilir. Bu tür modellerin kullanımı aşağıdaki şekilde gerekçelendirilebilir.
a) Hızla değişen dalgalanmaların eylemsiz diferansiyel sistem üzerindeki etkisiyle ilişkili stokastik olaylara doğada sıklıkla rastlanır. Bir diferansiyel sistemi etkileyen beyaz gürültünün tipik bir örneği, elektronik devredeki termal gürültüdür.
b) Aşağıda görüleceği gibi doğrusal kontrol teorisinde yalnızca ortalama değer dikkate alınır ve hemen hemen her zaman dikkate alınır. Stokastik sürecin kovaryansı. Doğrusal bir model için, ortalama değerin ve kovaryans matrisinin deneysel olarak elde edilen herhangi bir karakteristiğine keyfi bir doğrulukla yaklaşmak her zaman mümkündür.
c) Bazen problem, bilinen bir spektral enerji yoğunluğu ile durağan bir stokastik sürecin modellenmesinde ortaya çıkar. Bu durumda üretmek her zaman mümkündür. Stokastik süreç doğrusal diferansiyel sistemin çıkışındaki bir süreç olarak; bu durumda, enerjinin spektral yoğunlukları matrisi, başlangıçtaki stokastik sürecin spektral enerji yoğunlukları matrisine keyfi bir doğrulukla yaklaşır.
Örnek 1.36 ve 1.37 ile Problem 1.11 modelleme yöntemini göstermektedir.
Örnek 1.36. Birinci dereceden diferansiyel sistem
Durağan olduğu bilinen bir stokastik skaler sürecin ölçülen kovaryans fonksiyonunun üstel fonksiyonla tanımlandığını varsayalım.
Bu süreç birinci dereceden diferansiyel sistemin durumu olarak modellenebilir (bkz. örnek 1.35)
beyaz gürültünün yoğunluğu nerede - sıfır ortalama ve varyansa sahip stokastik bir miktar.
Örnek 1.37. Karıştırma tankı
Örnek 1.31'deki (Bölüm 1.10.3) karıştırma tankını düşünün ve bunun için çıkış değişkeninin varyans matrisini hesaplayın. Örnek 1.31, akışlardaki konsantrasyon dalgalanmalarının üstel olarak ilişkili gürültü ile tanımlandığını ve bu nedenle, bir çözüm olarak modellenebileceğini varsaydı. beyaz gürültüyle uyarılan birinci dereceden bir sistem. Şimdi karıştırma tankının diferansiyel denklemine stokastik süreç modellerinin denklemlerini ekleyelim.
İşte skaler beyaz gürültü yoğunluğu, böylece
Sürecin varyansını eşit elde etmek için süreç için benzer bir model kullandığımızı varsayalım. Böylece bir denklem sistemi elde ederiz
Stokastik bir modelin oluşturulması, incelenen süreci tanımlayan denklemler kullanılarak sistemin davranışının geliştirilmesini, kalite değerlendirmesini ve incelenmesini içerir.
Bunun için gerçek bir sistemle özel bir deney yapılarak ilk bilgiler elde edilir. Bu durumda, deneyi planlamak, sonuçları işlemek için yöntemler ve ayrıca matematiksel istatistiklerin dağılım, korelasyon gibi bölümlerine dayanarak ortaya çıkan modellerin değerlendirilmesine yönelik kriterler kullanılır. regresyon analizi ve benzeri.
Teknolojik süreci tanımlayan istatistiksel bir model oluşturma yöntemleri (Şekil 6.1) “kara kutu” kavramına dayanmaktadır. Bunun için girdi faktörlerinin birden fazla ölçümü mümkündür: x 1 ,x 2 ,…,x k ve çıkış parametreleri: y 1 ,y 2 ,…,y p, bağımlılıkların oluşturulduğu sonuçlara göre:
İstatistiksel modellemede problem (1)'in formülasyonu sonrasında en az önemli faktörler itibaren çok sayıda sürecin gidişatını etkileyen girdi değişkenleri (2). Daha ileri araştırmalar için seçilen girdi değişkenleri, faktörlerin bir listesini oluşturur x 1 ,x 2 ,…,x k(6.1)'de, çıkış parametrelerini ayarlayabileceğinizi kontrol ederek e-n. Deneysel ve veri işleme maliyetlerini azaltmak için mümkün olan yerlerde model çıktılarının sayısı da azaltılmalıdır.
İstatistiksel bir model geliştirirken, yapısı (3) genellikle keyfi olarak, deneysel verilere yaklaşan, kullanımı kolay işlevler biçiminde belirlenir ve daha sonra modelin yeterliliğinin değerlendirilmesine dayalı olarak iyileştirilir.
Modelin polinom formu en yaygın olarak kullanılır. Evet, için ikinci dereceden fonksiyon:
(6.2)
Nerede b 0 , b ben , b ij , b ii– regresyon katsayıları.
Genellikle kendimizi ilk önce (6.2)'deki en basit doğrusal modelle sınırlandırırız. b ii =0, b ij =0. Yetersizse, faktörlerin etkileşimini dikkate alan terimler getirilerek model karmaşıklaştırılır. x ben ,x j ve (veya) ikinci dereceden terimler.
Gerçekleştirilen deneylerden bilgi çıkarımını en üst düzeye çıkarmak ve sayılarını azaltmak için deneyler planlanır (4), yani. Problemleri çözmek için gerekli ve yeterli deney sayısı ve koşullarının seçimi belirtilen doğruluk atanmış görev.
İstatistiksel modeller oluşturmak için iki tür deney kullanılır: pasif ve aktif. Pasif deney istatistiksel analiz için geniş bir veri yelpazesinin toplanmasını mümkün kılan, kontrolsüz bir sürecin ilerlemesinin uzun vadeli gözlemlenmesi şeklinde gerçekleştirilir. İÇİNDE aktif deney deneylerin koşullarını düzenlemek mümkündür. Bunu gerçekleştirirken, tüm faktörlerin büyüklüğünü aynı anda değiştirmek en etkili yöntemdir. belli bir plan Bu, faktörlerin etkileşimini tanımlamayı ve deney sayısını azaltmayı mümkün kılar.
Deneylerin sonuçlarına (5) dayanarak regresyon katsayıları (6.2) hesaplanır ve bunların istatistiksel anlamlılığı değerlendirilir, böylece modelin yapısı tamamlanır (6). Model (7)'nin yeterliliğinin bir ölçüsü dağılımdır, yani. hesaplanan değerlerin deneysel değerlerden standart sapması. Ortaya çıkan dağılım, deneylerin elde edilen doğruluğu göz önüne alındığında izin verilen dağılımla karşılaştırılır.
Seri “Ekonomi ve Yönetim”
6. Kondratyev N.D. Büyük konjonktür döngüleri ve öngörü teorisi. - M .: Ekonomi, 2002. 768 s.
7. Kuzyk B.N., Kushlin V.I., Yakovets Yu.V. Tahmin, stratejik planlama ve ulusal programlama. M.: Yayınevi "Ekonomi", 2008. 573 s.
8. Lyasnikov N.V., Dudin M.N. Risk piyasasının oluşumu ve gelişimi bağlamında yenilikçi ekonominin modernizasyonu // Sosyal bilimler. M.: Yayınevi "MII Science", 2011. No. 1. S. 278-285.
9. Şekerin V.D., Kuznetsova O.S. Bir inovasyon proje yönetimi stratejisinin geliştirilmesi // Moskova Bülteni devlet akademisi iş idaresi. Seri: Ekonomi. - 2013. No.1 (20). - S.129 - 134.
10. Yakovlev V.M., Senin A.S. Rus ekonomisinin yenilikçi kalkınma türünün alternatifi yok // Yenilikçi ekonominin güncel sorunları. M.: Yayınevi “Bilim”; Rusya Federasyonu Başkanına bağlı Rusya Bilimler Akademisi ve Devlet Üniversitesi Yönetim ve Pazarlama Enstitüsü, 2012. No. 1(1).
11. Baranenko S.P., Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Busygin KD. Endüstriyel işletmelerin inovasyon odaklı gelişiminde çevresel yaklaşımın kullanılması // American Journal of Applied Sciences.- 2014.- Cilt. 11, No.2, - S. 189-194.
12. Dudin M.N. Büyük ve küçük işletmelerin etkileşim biçimlerini belirlemeye yönelik sistematik bir yaklaşım // Avrupa Ekonomik Araştırmalar Dergisi. 2012. Cilt. (2), No. 2, S. 84-87.
13. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Kuznecov A.V., Fedorova I.Ju. Sosyo-Ekonomik Sistemlerin Yenilikçi Dönüşümü ve Dönüşüm Potansiyeli // Orta Doğu Bilimsel Araştırma Dergisi, 2013. Cilt. 17, No. 10. S. 1434-1437.
14. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Pankov S.V., Sepiashvili E.N. İş yapılarının stratejik sürdürülebilir gelişiminin yönetimi için yöntem olarak yenilikçi öngörü // World Applied Sciences Journal. - 2013. - Cilt. 26, No. 8. - S. 1086-1089.
15. Sekerin V.D., Avramenko S.A., Veselovsky M.Ya., Aleksakhina V.G. B2G Pazarı: Öz ve İstatistiksel Analiz // World Applied Sciences Journal 31 (6): 1104-1108, 2014
Üretim sürecinin tek parametreli stokastik modelinin oluşturulması
Doktora Doç. Mordasov Yu.P.
Makine Mühendisliği Üniversitesi, 8-916-853-13-32, mordasov2001@mail. gi
Dipnot. Yazar, bir parametreye bağlı olarak üretim sürecinin matematiksel, stokastik bir modelini geliştirdi. Model test edildi. Bu amaçla, rastgele bozulmaların ve arızaların etkisi dikkate alınarak üretim ve makine mühendisliği sürecinin bir simülasyon modeli oluşturulmuştur. Matematiksel ve simülasyon modelleme sonuçlarının karşılaştırılması, matematiksel modelin pratikte kullanılmasının fizibilitesini doğrulamaktadır.
Anahtar kelimeler: teknolojik süreç, matematik, simülasyon modeli, operasyonel kontrol, test, rastgele bozucular.
Operasyonel planlama maliyetleri ile planlanan göstergeler ile fiili üretim süreçlerinin göstergeleri arasındaki uyumsuzluktan kaynaklanan kayıplar arasında optimumun bulunmasına olanak tanıyan bir metodoloji geliştirilerek operasyonel yönetimin maliyetleri önemli ölçüde azaltılabilir. Bu, devrede en uygun sinyal geçiş süresini bulmak anlamına gelir geri bildirim. Uygulamada bu, montaj birimlerinin üretime başlatılması için takvim programlarının hesaplama sayısının azaltılması ve dolayısıyla malzeme kaynaklarından tasarruf edilmesi anlamına gelir.
Makine mühendisliğinde üretim sürecinin ilerlemesi doğası gereği olasılıksaldır. Sürekli değişen faktörlerin sürekli etkisi, üretim sürecinin uzay ve zamandaki seyrini belirli bir dönem (ay, çeyrek) için tahmin etmeyi mümkün kılmamaktadır. İstatistiksel planlama modellerinde, bir parçanın zamanın her belirli noktasındaki durumu, parçanın çeşitli işyerlerinde bulunmasının karşılık gelen olasılığı (olasılık dağılımı) biçiminde belirtilmelidir. Aynı zamanda işletmenin faaliyetlerinin nihai sonucunun belirleyiciliğinin sağlanması gerekmektedir. Bu da deterministik yöntemler kullanılarak parçaların üretime geçmesi için belirli periyotların planlanması olanağını varsayar. Ancak deneyimler, gerçek üretim süreçlerindeki çeşitli ilişkilerin ve karşılıklı geçişlerin çeşitli ve çok sayıda olduğunu göstermektedir. Bu, deterministik modeller geliştirirken önemli zorluklar yaratır.
Üretim sürecini etkileyen tüm faktörlerin dikkate alınmaya çalışılması modeli hantal hale getirir ve bir planlama, muhasebe ve düzenleme aracı olmaktan çıkar.
Dikkate alınması zor, hatta imkansız olan çok sayıda farklı faktöre bağlı olan karmaşık gerçek süreçlerin matematiksel modellerini oluşturmak için daha basit bir yöntem, stokastik modellerin oluşturulmasıdır. Bu durumda, gerçek bir sistemin çalışma prensiplerini analiz ederken veya bireysel özelliklerini gözlemlerken, bazı parametreler için olasılık dağılım fonksiyonları oluşturulur. Sürecin niceliksel özelliklerinin yüksek istatistiksel kararlılığı ve düşük dağılımları göz önüne alındığında, oluşturulan model kullanılarak elde edilen sonuçlar, gerçek sistemin performans göstergeleriyle iyi bir uyum içindedir.
İstatistiksel modeller oluşturmanın temel önkoşulları ekonomik süreçlerşunlardır:
İlgili deterministik modelin aşırı karmaşıklığı ve buna bağlı ekonomik verimsizliği;
Bir model üzerinde yapılan deney sonucunda elde edilen teorik göstergelerin gerçekte işleyen nesnelerin göstergelerinden büyük sapmaları.
Bu nedenle stokastik bozuklukların üretim sürecinin küresel özellikleri (ticari çıktı, devam eden iş hacmi, vb.) üzerindeki etkisini tanımlayan basit bir matematiksel aparatın olması arzu edilir. Yani, az sayıda parametreye bağlı olarak ve farklı nitelikteki birçok faktörün üretim süreci üzerindeki toplam etkisini yansıtan üretim sürecinin matematiksel bir modelini oluşturmak. Bir araştırmacının bir model oluştururken kendisi için belirlemesi gereken asıl görev, gerçek bir sistemin parametrelerinin pasif olarak gözlemlenmesi değil, bozuklukların etkisi altında herhangi bir sapma olması durumunda parametreleri getirecek bir modelin oluşturulmasıdır. Görüntülenen süreçlerin belirli bir moda aktarılması. Yani sistemdeki herhangi bir rastgele faktörün etkisi altında, planlı bir çözüme yakınsayan bir sürecin kurulması gerekmektedir. Günümüzde otomatik kontrol sistemlerinde bu fonksiyon esas olarak üretim süreçlerinin yönetiminde geri bildirim zincirinin halkalarından birini oluşturan bir kişiye atanmaktadır.
Gerçek üretim sürecinin analizine dönelim. Tipik olarak planlama döneminin süresi (planların atölyelere verilme sıklığı) geleneksel takvim zaman aralıklarına göre seçilir: vardiya, gün, beş günlük dönem vb. Esas olarak pratik düşüncelerle yönlendirilirler. Planlama döneminin asgari süresi, planlanan organların operasyonel yeteneklerine göre belirlenir. İşletmenin üretim ve sevkıyat departmanı, atölyelere ayarlanmış vardiya atamaları verilmesiyle başa çıkıyorsa, her vardiya için hesaplama yapılır (yani, planlanan görevlerin hesaplanması ve analizi ile ilgili maliyetler her vardiyada karşılanır).
Belirlemek için sayısal özellikler rastgele olasılıkların olasılık dağılımları
“Ekonomi ve Yönetim” serisinde, bir montaj ünitesinin imalatına ilişkin gerçek teknolojik sürecin olasılıksal bir modelini oluşturacağız. Burada ve aşağıda, bir montaj ünitesinin üretilmesine ilişkin teknolojik süreç, teknolojide belgelenen bir dizi işlem (bir parça veya montaj üzerinde veri üretme çalışması) anlamına gelir. Bir ürünün teknolojik rotaya uygun olarak üretilmesine ilişkin her teknolojik işlem ancak bir öncekinden sonra gerçekleştirilebilir. Sonuç olarak, bir montaj biriminin üretilmesinin teknolojik süreci bir dizi olay-işlemdir. Çeşitli stokastik nedenlerin etkisi altında, bireysel bir operasyonun süresi değişebilir. Bazı durumlarda bu vardiya görevi süresince operasyon tamamlanamayabilir. Bu olayların temel bileşenlere ayrıştırılabileceği açıktır: bireysel operasyonların yürütülmesi ve yürütülmemesi; bunlar aynı zamanda yürütme ve başarısızlık olasılıklarıyla da ilişkilendirilebilir.
Belirli bir teknolojik süreç için, K işlemden oluşan bir diziyi yürütme olasılığı aşağıdaki formülle ifade edilebilir:
RS5 = k) = (1-rk+1)PG = 1Р1 , (1)
burada: P1 ayrı olarak alınan 1. işlemi gerçekleştirme olasılığıdır; g - teknolojik süreçteki sıralı işlem sayısı.
Bu formül, üretime alınan ürün yelpazesi ve belirli bir planlama döneminde yapılması gereken işlerin listesinin bilindiği belirli bir planlama döneminin stokastik özelliklerini ve bunların stokastik özelliklerini belirlemek için kullanılabilir. deneysel olarak belirlendi. Uygulamada, listelenen gereksinimler yalnızca yüksek istatistiksel kararlılığa sahip bazı seri üretim türleri tarafından karşılanmaktadır.
Tek bir işlemi gerçekleştirme olasılığı yalnızca dış faktörlere değil, aynı zamanda yapılan işin özel niteliğine ve montaj biriminin türüne de bağlıdır.
Verilen formülün parametrelerini belirlemek için, nispeten küçük bir montaj birimi setiyle bile, ürün yelpazesinde küçük değişikliklerle, önemli miktarda deneysel veri gereklidir, bu da önemli malzeme ve organizasyonel maliyetlere neden olur ve bu belirleme yöntemini yapar. az kullanılan ürünlerin kesintisiz üretim olasılığı.
Basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini görmek için ortaya çıkan modeli inceleyelim. Analizin başlangıç değeri, ürün imalatının teknolojik sürecinin bir işleminin hatasız gerçekleştirilme olasılığıdır. Gerçek üretim koşullarında her türden işlemin gerçekleştirilme olasılığı farklıdır. Belirli bir teknolojik süreç için bu olasılık aşağıdakilere bağlıdır:
Yapılan işlemin türüne göre;
Belirli bir montaj biriminden;
Paralel olarak üretilen ürünlerden;
Dış etkenlerden.
Bu model kullanılarak belirlenen, imalat ürünlerinin üretim sürecinin toplu özellikleri (ticari çıktı hacmi, devam eden iş hacmi vb.) Üzerinde bir işlemi gerçekleştirme olasılığındaki dalgalanmaların etkisini analiz edelim. Çalışmanın amacı, modelde bir işlemi gerçekleştirmenin çeşitli olasılıklarını ortalama bir değerle değiştirme olasılığını analiz etmektir.
Ortalama bir teknolojik sürecin bir işlemini gerçekleştirmenin geometrik ortalama olasılığı hesaplanırken tüm bu faktörlerin birleşik etkisi dikkate alınır. Modern üretimin analizi, bunun hafif dalgalandığını gösteriyor: pratik olarak 0,9 - 1,0 aralığında.
Bir işlemi tamamlama olasılığının ne kadar düşük olduğunun açık bir örneği
radyo 0,9 değerine karşılık gelir, aşağıdaki soyut örnektir. On parça yapmamız gerektiğini varsayalım. Her birinin üretimine yönelik teknolojik süreçler on işlemi içerir. Her işlemin gerçekleştirilme olasılığı 0,9'dur. Farklı sayıdaki teknolojik süreçlerin zamanlamanın gerisinde kalma olasılıklarını bulalım.
Bir montaj biriminin imalatına yönelik belirli bir teknolojik sürecin programın gerisinde kalmasından oluşan rastgele bir olay, bu süreçteki en az bir işlemin düşük performansına karşılık gelir. Bir olayın tam tersidir: tüm işlemlerin hatasız yürütülmesi. Olasılığı 1 - 0,910 = 0,65'tir. Program gecikmeleri olduğundan bağımsız olaylar Farklı sayıda teknolojik sürecin zamanlamanın gerisinde kalma olasılığını belirlemek için Bernoulli olasılık dağılımını kullanabilirsiniz. Hesaplama sonuçları Tablo 1'de gösterilmektedir.
tablo 1
Teknolojik süreç takviminin gerisinde kalma olasılıklarının hesaplanması
k С^о0.35к0.651О-к Tutar
Tablo, 0,92 olasılıkla beş teknolojik sürecin, yani yarısının programın gerisinde kalacağını göstermektedir. Programın gerisinde kalan teknolojik süreç sayısına ilişkin matematiksel beklenti 6,5 olacaktır. Bu, ortalama olarak 10 montaj biriminden 6,5'inin programın gerisinde kalacağı, yani ortalama 3 ila 4 parçanın hatasız üretileceği anlamına gelir. Yazar, gerçek üretimde bu kadar düşük düzeyde emek örgütlenmesinin örneklerinin farkında değil. Ele alınan örnek, bir işlemi hatasız gerçekleştirme olasılığına getirilen sınırlamanın uygulamayla çelişmediğini açıkça göstermektedir. Yukarıdaki gereksinimlerin tümü, makine mühendisliği üretiminin mekanik montaj atölyelerinin üretim süreçleri tarafından karşılanmaktadır.
Bu nedenle, üretim süreçlerinin stokastik özelliklerini belirlemek için, bir teknolojik sürecin operasyonel yürütülmesi için, bir montaj biriminin imalatı için bir dizi teknolojik işlemin geometrik ortalama olasılık yoluyla gerçekleştirilme olasılığını ifade eden bir olasılık dağılımı oluşturulması önerilmektedir. bir işlem gerçekleştiriyor. Bu durumda K işlemi gerçekleştirme olasılığı, her bir işlemi tamamlama olasılıklarının çarpımına eşit olacak ve teknolojik sürecin geri kalanını tamamlayamama olasılığı ile çarpılacaktır; bu, (K) işlemini gerçekleştirmedeki başarısızlık olasılığıyla örtüşmektedir. + T)'inci işlem. Bu durum herhangi bir işlem yapılmadığı takdirde aşağıdaki işlemlerin gerçekleştirilemeyeceği gerçeğiyle açıklanmaktadır. Son giriş, tüm teknolojik sürecin hatasız olarak tamamlanma olasılığını ifade ettiği için diğerlerinden farklıdır. Bir teknolojik sürecin K ilk operasyonunu tamamlama olasılığı, geri kalan operasyonların tamamlanamama olasılığı ile benzersiz bir şekilde ilişkilidir. Dolayısıyla olasılık dağılımı aşağıdaki forma sahiptir:
RY=0)=р°(1-р),
Р(§=1) = р1(1-р), (2)
Р(^=1) = р1(1-р),
P(^=u-1) = pn"1(1 - p), P(£=p) = pn,
burada: ^ - rastgele değişken, gerçekleştirilen işlemlerin sayısı;
p, bir işlemi gerçekleştirmenin geometrik ortalama olasılığıdır, n, teknolojik süreçteki işlem sayısıdır.
Ortaya çıkan tek parametreli olasılık dağılımının uygulanmasının adilliği, aşağıdaki akıl yürütmeden sezgisel olarak görülebilir. n'nin yeterince büyük olduğu, n öğeden oluşan bir örnek üzerinde bir 1 işlemi gerçekleştirme olasılığının geometrik ortalamasını hesapladığımızı varsayalım.
р = УШТ7Р7= tl|p]t=1р!), (3)
burada: Iу - aynı yürütme olasılığına sahip operasyonların sayısı; ] - aynı yürütme olasılığına sahip bir grup işlemin dizini; t aynı yürütme olasılığına sahip operasyonlardan oluşan grupların sayısıdır;
^ = - - yürütme olasılığı p^ olan işlemlerin göreceli oluşma sıklığı.
Hukuk büyük sayılar Sınırsız sayıda operasyonla, belirli stokastik özelliklere sahip bir operasyon dizisinde meydana gelme nispi sıklığı, olasılık açısından bu olayın olasılığına yönelir. Buradan şu sonuç çıkıyor
yeterince büyük iki örnek için = , bunun anlamı:
burada: t1, t2 - sırasıyla birinci ve ikinci örneklerdeki grupların sayısı;
1*, I2 - sırasıyla birinci ve ikinci numunelerin grubundaki elementlerin sayısı.
Bu, eğer parametre çok sayıda test için hesaplanırsa, yeterince büyük bir örnek için hesaplanan P parametresine yakın olacağını gösterir.
Farklı sayıda teknolojik süreç işleminin gerçekleştirilme olasılıklarının gerçek değerine farklı yakınlığına dikkat edilmelidir. Sonuncusu dışındaki dağılımın tüm öğeleri bir çarpan (I - P) içerir. P parametresinin değeri 0,9 - 1,0 aralığında olduğundan çarpan (I - P) 0 - 0,1 arasında dalgalanır. Bu faktör orijinal modeldeki (I - p;) faktörüne karşılık gelmektedir. Deneyimler, belirli bir olasılık için yapılan bu eşleştirmenin %300'e kadar hataya neden olabileceğini göstermektedir. Bununla birlikte, pratikte genellikle belirli sayıda işlemin gerçekleştirilme olasılığıyla değil, teknolojik sürecin hatasız olarak tam olarak gerçekleştirilme olasılığıyla ilgilenilir. Bu olasılık bir çarpan (I - P) içermez ve bu nedenle gerçek değerden sapması küçüktür (pratik olarak% 3'ten fazla değildir). Ekonomik problemler için bu oldukça yüksek bir doğruluktur.
Bu şekilde oluşturulan bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı, bir montaj biriminin imalat sürecinin stokastik bir dinamik modelidir. Zaman, bir operasyonun süresi gibi örtülü olarak işin içindedir. Model, belirli bir süre sonra (karşılık gelen işlem sayısı), bir montaj ünitesinin üretim sürecinin kesintiye uğramama olasılığını belirlememize olanak tanır. Makine mühendisliği üretiminin mekanik montaj atölyeleri için, bir teknolojik sürecin ortalama işlem sayısı oldukça fazladır (15 - 80). Bu sayıyı temel bir sayı olarak ele alırsak ve ortalama olarak bir montaj ünitesinin imalatında küçük bir dizi genişletilmiş iş türünün (torna, metal işleme, frezeleme vb.) kullanıldığını varsayarsak,
daha sonra ortaya çıkan dağılım, stokastik bozuklukların üretim sürecinin gidişatı üzerindeki etkisini değerlendirmek için başarıyla kullanılabilir.
Yazar bu prensibe dayalı bir simülasyon deneyi gerçekleştirdi. Sahte bir dizi oluşturmak için rastgele değişkenler 0,9 - 1,0 aralığında düzgün bir şekilde dağıtılan, çalışmada açıklanan sözde rastgele sayı sensörü kullanıldı. Deney yazılımı COBOL algoritmik dilinde yazılmıştır.
Deneyde, belirli bir teknolojik sürecin tam olarak yürütülmesinin gerçek olasılıklarını simüle ederek oluşturulan rastgele değişkenlerin ürünleri oluşturulur. Aynı dağılıma sahip belirli bir rastgele sayı dizisi için hesaplanan geometrik ortalama değer kullanılarak elde edilen teknolojik bir işlemi gerçekleştirme olasılığı ile karşılaştırılırlar. Geometrik ortalama, çarpımdaki faktörlerin sayısına eşit bir kuvvete yükseltilir. Bu iki sonuç arasındaki bağıl yüzde farkı hesaplanır. Deney, çarpımlardaki farklı sayıda faktör ve geometrik ortalaması hesaplanan sayı sayısı için tekrarlanır. Deney sonuçlarının bir kısmı Tablo 2'de gösterilmektedir.
Tablo 2
Simülasyon deneyinin sonuçları:
n - geometrik ortalama değerin derecesi; k - ürün derecesi
p Ürün Sapmasından Ürün Sapmasına Ürün Sapmasına
10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%
10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%
10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%
10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%
10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%
10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%
13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%
13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%
13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%
13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%
13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%
16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%
16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%
16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%
16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%
16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%
16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%
19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%
19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%
19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%
19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%
19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%
19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%
22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%
22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%
22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%
22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%
22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%
22 100 0,0048 1%
25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%
25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%
25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%
25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%
25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%
28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%
28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%
28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%
28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%
28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%
28 94 0,0075 100 0,0048 5%
31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%
31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%
31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%
31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%
31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%
Bu simülasyon deneyini kurarken amaç, olasılık dağılımını (2) kullanarak, üretim sürecinin genişletilmiş istatistiksel özelliklerinden biri olan bir montaj biriminin imalatına ilişkin bir teknolojik süreci hatasız yürütme olasılığı, elde etme olasılığını araştırmaktı. K operasyonlarından oluşur. Belirli bir teknolojik süreç için bu olasılık, tüm işlemlerini gerçekleştirme olasılıklarının çarpımına eşittir. Simülasyon deneyinin gösterdiği gibi, geliştirilen olasılıksal model kullanılarak elde edilen olasılıktan göreceli sapmalar %9'u aşmamaktadır.
Simülasyon deneyinde gerçek olandan daha uygunsuz bir olasılık dağılımı kullanıldığı için pratik farklılıklar daha da küçük olacaktır. Ortalama özelliklere göre elde edilen değerin hem azalma yönünde hem de aşılması yönünde sapmalar görülmektedir. Bu gerçek, tek bir teknolojik sürecin değil, birkaçının hatasız yürütülmesi olasılığındaki sapmayı dikkate alırsak, bunun önemli ölçüde daha az olacağını göstermektedir. Açıkçası, ne kadar çok teknolojik süreç dikkate alınırsa, o kadar küçük olacaktır. Dolayısıyla simülasyon deneyi, ürünlerin teknolojik sürecini hatasız tamamlama olasılığı ile tek parametreli bir matematiksel model kullanıldığında elde edilen olasılık arasında iyi bir uyum olduğunu göstermektedir.
Ayrıca simülasyon deneyleri yapıldı:
Olasılık dağılımı parametre tahmininin istatistiksel yakınsamasını incelemek;
Başarısız tamamlanan operasyon sayısının matematiksel beklentisinin istatistiksel istikrarını incelemek;
Planlanan ve üretim dönemleri zamanla örtüşmediğinde, minimum planlama döneminin süresini belirlemek ve üretim sürecinin planlanan ve fiili göstergeleri arasındaki tutarsızlığı değerlendirmek için yöntemleri analiz etmek.
Deneyler, tekniklerin kullanımı yoluyla elde edilen teorik veriler ile simülasyon yoluyla elde edilen ampirik veriler arasında iyi bir uyum olduğunu göstermiştir.
Seri "Ekonomi ve Yönetim"
Gerçek üretim süreçlerinin bilgisayarları.
Yazar, oluşturulan matematiksel modelin uygulanmasına dayanarak operasyonel yönetimin verimliliğini artırmak için üç özel yöntem geliştirmiştir. Bunları test etmek için ayrı simülasyon deneyleri yapıldı.
1. Planlama dönemi için üretim görevinin rasyonel hacmini belirleme metodolojisi.
2. Operasyonel planlama döneminin en etkili süresinin belirlenmesine yönelik metodoloji.
3. Planlama ve üretim dönemleri arasında zaman farkı olması durumunda uyumsuzluğun değerlendirilmesi.
Edebiyat
1. Mordasov Yu.P. Rastgele bozulma koşulları altında minimum operasyonel planlama süresinin süresinin belirlenmesi / Bilgisayar kullanılarak ekonomik-matematiksel ve simülasyon modellemesi. - M: MIU im. S. Ordzhonikidze, 1984.
2. Naylor T. Ekonomik sistem modelleri ile makine simülasyon deneyleri. -M: Mir, 1975.
Yoğunlaşmadan çeşitlendirmeye geçiş, küçük ve orta ölçekli işletmelerin ekonomisini geliştirmenin etkili bir yoludur
prof. Kozlenko N. N. Makine Mühendisliği Üniversitesi
Dipnot. Bu makale en çok seçim yapma sorununu tartışıyor etkili gelişme Rus küçük ve orta ölçekli işletmelerin yoğunlaşma stratejisinden çeşitlendirme stratejisine geçiş süreci. Çeşitlendirmenin uygulanabilirliği, avantajları, çeşitlendirme yolunu seçme kriterleri dikkate alınmakta ve çeşitlendirme stratejilerinin bir sınıflandırması verilmektedir.
Anahtar kelimeler: küçük ve orta ölçekli işletmeler; çeşitlendirme; stratejik uyum; rekabet avantajları.
Makro çevre parametrelerindeki aktif değişiklikler (piyasa koşullarındaki değişiklikler, ilgili sektörlerde yeni rakiplerin ortaya çıkması, genel olarak rekabet düzeyindeki artış) çoğu zaman küçük ve orta ölçekli işletmelerin planlanan stratejik planlarının yerine getirilmemesine yol açmaktadır. Küçük ve orta ölçekli işletmelerin nesnel koşulları ile bunları yönetmeye yönelik teknoloji düzeyi arasındaki önemli boşluk nedeniyle işletmelerin finansal ve ekonomik istikrarındaki kayıplar.
Ekonomik istikrarın ana koşulları ve rekabet avantajlarını sürdürme olasılığı, yönetim sisteminin zamanında yanıt verebilme ve iç üretim süreçlerini değiştirebilme yeteneğidir (çeşitlendirmeyi dikkate alarak ürün çeşitliliğini değiştirin, üretimi ve teknolojik süreçleri yeniden inşa edin, üretimin yapısını değiştirin). organizasyon, yenilikçi pazarlama ve yönetim araçlarını kullanın).
Rusya'daki küçük ve orta ölçekli üretim türü ve hizmet işletmelerinin uygulamalarına ilişkin bir çalışma, aşağıdaki özellikleri ve aşağıdakilerle ilgili temel neden-sonuç ilişkilerini tanımlamamızı sağladı: modern trend Küçük işletmelerin yoğunlaşmadan çeşitlendirmeye geçişi.
Çoğu KOBİ, yerel veya bölgesel pazarlara hizmet veren küçük, tek hatlı işletmeler olarak başlar. Faaliyetin başlangıcında böyle bir şirketin ürün yelpazesi çok sınırlıdır, sermaye tabanı zayıftır ve rekabet gücü zayıftır. Tipik olarak bu tür şirketlerin stratejisi satış büyümesine ve pazar payına odaklanır.
480 ovmak. | 150 UAH | $7,5 ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Tez - 480 RUR, teslimat 10 dakika, 24 saat, haftanın yedi günü ve tatil günleri
Demidova Anastasia Vyacheslavovna. Tek adımlı süreçlerin stokastik modellerini oluşturma yöntemi: tez... fiziksel ve matematik bilimleri adayı: 05.13.18 / Anastasia Vyacheslavovna Demidova; [Savunma Yeri: Rusya Halkların Dostluk Üniversitesi] - Moskova, 2014.- 126 P.
giriiş
Bölüm 1. Tez konusuna ilişkin çalışmaların gözden geçirilmesi 14
1.1. Nüfus Dinamikleri Modellerinin İncelenmesi 14
1.2. Stokastik nüfus modelleri 23
1.3. Stokastik diferansiyel denklemler 26
1.4. Stokastik analize ilişkin bilgiler 32
Bölüm 2. Tek adımlı süreçleri modelleme yöntemi 39
2.1. Tek adımlı süreçler. Kolmogorov-Chapman denklemi. Temel kinetik denklem 39
2.2. Çok boyutlu tek adımlı süreçleri modellemek için bir yöntem. 47
2.3. Sayısal modelleme 56
Bölüm 3. Tek adımlı süreç modelleme yönteminin uygulanması 60
3.1. Nüfus dinamiklerinin stokastik modelleri 60
3.2. Çeşitli türler arası ve tür içi etkileşimlere sahip popülasyon sistemlerinin stokastik modelleri 75
3.3. Ağ solucanlarının yayılmasının stokastik modeli. 92
3.4. Eşler arası protokollerin stokastik modelleri 97
Sonuç 113
Edebiyat 116
Stokastik diferansiyel denklemler
Tezin amaçlarından biri, stokastik terimin incelenen sistemin yapısıyla ilişkili olmasını sağlayacak şekilde bir sistem için stokastik diferansiyel denklem yazma problemidir. Bu problemin olası bir çözümü, aynı denklemden stokastik ve deterministik kısımların elde edilmesidir. Bu amaçlar için, Fokker-Planck denklemi ile yaklaşık olarak tahmin edilebilecek temel kinetik denklemin kullanılması uygundur; bunun için eşdeğer stokastik diferansiyel denklem, Langevin denklemi biçiminde yazılabilir.
Bölüm 1.4. stokastik diferansiyel denklem ile Fokker-Planck denklemi arasındaki bağlantıyı belirtmek için gerekli temel bilgilerin yanı sıra stokastik hesabın temel kavramlarını içerir.
İkinci bölümde rastgele süreçler teorisinden temel bilgiler verilmektedir ve bu teoriye dayanarak tek adımlı süreçleri modellemek için bir yöntem formüle edilmektedir.
Bölüm 2.1, rastgele tek adımlı süreçler teorisinden temel bilgileri sağlar.
Tek adımlı süreçler, geçiş matrisi yalnızca bitişik bölümler arasında geçişlere izin veren tamsayı aralığında değerler alan sürekli zamanlı Markov süreçleri olarak anlaşılmaktadır.
Segment boyunca değişen, çok boyutlu, tek adımlı bir X() = (i(),2(), ...,n()) = ( j(), = 1, ) , (0.1) sürecini göz önünde bulunduruyoruz, yani. Є, burada X() işleminin belirtildiği zaman aralığının uzunluğudur. G = (x, = 1, Є NQ x NQ1 kümesi, rastgele bir sürecin alabileceği bir dizi ayrık değerdir.
Belirli bir tek adımlı süreç için, birim zaman başına s+ ve s başına Xj durumundan Xj__i ve Xj_i durumuna geçiş olasılıkları sırasıyla tanıtılmıştır. X durumundan birim zamanda iki veya daha fazla adıma geçiş olasılığının çok küçük olduğuna inanılmaktadır. Bu nedenle, sistemin durumuna ait Xj vektörünün Г( uzunluğundaki adımlarla değiştiğini söyleyebiliriz ve ardından x'ten Xj+i ve Xj_i'ye geçişler yerine, X'ten X + Гі ve X -'ye geçişleri dikkate alabiliriz. Sırasıyla.
Sistem elemanlarının etkileşimi sonucu zaman gelişiminin meydana geldiği sistemleri modellerken, bunu ana kinetik denklem (başka bir isim kontrol denklemi ve İngiliz literatüründe Ana denklem olarak adlandırılır) kullanarak tanımlamak uygundur.
Daha sonra, temel kinetik denklemden Langevin denklemi biçiminde bir stokastik diferansiyel denklem kullanılarak, incelenmekte olan sistemin tek adımlı süreçlerle açıklanan bir tanımının nasıl elde edileceği sorusu ortaya çıkar. Resmi olarak, yalnızca stokastik fonksiyonları içeren denklemler stokastik denklemler olarak sınıflandırılmalıdır. Dolayısıyla yalnızca Langevin denklemleri bu tanımı karşılar. Ancak bunlar doğrudan diğer denklemlerle, yani Fokker-Planck denklemiyle ve temel kinetik denklemle ilişkilidir. Dolayısıyla tüm bu denklemleri bir arada düşünmek mantıklı görünüyor. Bu nedenle, bu sorunu çözmek için, ana kinetik denklemin, Langevin denklemi biçiminde eşdeğer bir stokastik diferansiyel denklem yazabileceğimiz Fokker-Planck denklemi ile yaklaşıklaştırılması önerilmektedir.
Bölüm 2.2, çok boyutlu tek adımlı süreçlerle tanımlanan sistemlerin tanımlanması ve stokastik modellenmesi için bir yöntem formüle etmektedir.
Ek olarak, Fokker-Planck denklemi katsayılarının, incelenen sistemin etkileşim şeması, durum değişim vektörü r ve geçiş olasılıkları s+ ve s- için ifadeler kaydedildikten hemen sonra elde edilebileceği gösterilmiştir; en pratik uygulama Bu yöntemle temel kinetik denklemi yazmaya gerek yoktur.
Bölüm 2.3'te. stokastik denklemlerin sayısal çözümü için Runge-Kutta yöntemini dikkate aldı diferansiyel denklemlerÜçüncü bölümde elde edilen sonuçları göstermek için kullanılmıştır.
Üçüncü bölüm, "yırtıcı-av", simbiyoz, rekabet ve bunların modifikasyonları gibi etkileşim halindeki popülasyonların büyüme dinamiklerini tanımlayan sistemler örneğini kullanarak, ikinci bölümde açıklanan stokastik modeller oluşturma yönteminin uygulanmasına ilişkin bir örnek sunmaktadır. . Amaç, bunları stokastik diferansiyel denklemler biçiminde yazmak ve stokastiklerin sistemin davranışı üzerindeki etkisini incelemektir.
Bölüm 3.1'de. İkinci bölümde anlatılan yöntemin uygulaması “yırtıcı-av” modeli örneği kullanılarak anlatılmıştır. “Yırtıcı-av” tipindeki iki tür popülasyonun etkileşimi olan sistemler geniş çapta incelenmiştir, bu da elde edilen sonuçların zaten iyi bilinenlerle karşılaştırılmasını mümkün kılmaktadır.
Ortaya çıkan denklemlerin analizi, sistemin deterministik davranışını incelemek için, ortaya çıkan stokastik diferansiyel denklemin sürüklenme vektörü A'yı kullanmanın mümkün olduğunu gösterdi; Geliştirilen yöntem hem stokastik hem de deterministik davranışı analiz etmek için kullanılabilir. Ayrıca stokastik modellerin sistem davranışının daha gerçekçi bir tanımını sağladığı sonucuna varılmıştır. Özellikle deterministik durumda "yırtıcı-av" sistemi için denklemlerin çözümleri periyodik bir forma sahiptir ve faz hacmi korunurken, stokastiklerin modele dahil edilmesi faz hacminde monotonik bir artış sağlar. Bir veya her iki popülasyonun kaçınılmaz ölümünü gösterir. Elde edilen sonuçları görselleştirmek için sayısal simülasyon yapıldı.
Bölüm 3.2'de. Geliştirilen yöntem, av arasındaki türler arası rekabeti, simbiyozu, rekabeti ve üç popülasyonun etkileşim modelini hesaba katan "yırtıcı-av" modeli gibi popülasyon dinamiğinin çeşitli stokastik modellerini elde etmek ve analiz etmek için kullanılır.
Stokastik hesap hakkında bilgi
Rastgele süreçler teorisinin gelişimi, doğal olayların incelenmesinde deterministik kavram ve nüfus dinamiği modellerinden olasılıksal olanlara geçişe ve bunun sonucunda matematiksel biyolojide stokastik modellemeye ayrılmış çok sayıda çalışmanın ortaya çıkmasına yol açtı. kimya, ekonomi vb.
Deterministik popülasyon modelleri göz önüne alındığında, bu gibi önemli noktalarÇeşitli faktörlerin sistemin evrimi üzerindeki rastgele etkileri olarak. Popülasyon dinamiklerini tanımlarken, bireylerin çoğalmasının ve hayatta kalmasının rastgele doğasının yanı sıra, zamanla ortamda meydana gelen ve sistem parametrelerinde rastgele dalgalanmalara yol açan rastgele dalgalanmalar da dikkate alınmalıdır. Bu nedenle, bu noktaları yansıtan olasılık mekanizmaları herhangi bir nüfus dinamiği modeline dahil edilmelidir.
Stokastik modelleme, hem tüm deterministik faktörleri hem de deterministik modellerden elde edilen sonuçları önemli ölçüde değiştirebilecek rastgele etkileri hesaba katarak popülasyon özelliklerindeki değişikliklerin daha eksiksiz bir şekilde tanımlanmasına olanak tanır. Öte yandan, onların yardımıyla nüfus davranışının niteliksel olarak yeni yönlerini belirlemek mümkündür.
Nüfus durumlarındaki değişimlerin stokastik modelleri rastgele süreçler kullanılarak açıklanabilir. Belirli varsayımlar altında, mevcut durumu verilen bir popülasyonun davranışının, bu duruma nasıl ulaşıldığına bağlı olmadığını varsayabiliriz (yani, sabit bir şimdiyle gelecek, geçmişe bağlı değildir). O. Nüfus dinamiği süreçlerini modellemek için çalışmanın ikinci bölümünde ayrıntılı olarak anlatılan Markov doğum-ölüm süreçlerini ve bunlara karşılık gelen kontrol denklemlerini kullanmak uygundur.
N. N. Kalinkin, çalışmalarında etkileşimli elemanlara sahip sistemlerde meydana gelen süreçleri göstermek için etkileşim şemaları kullanır ve bu şemalara dayanarak, dallanma aparatını kullanarak bu sistemlerin modellerini oluşturur. Markov süreçleri. Bu yaklaşımın uygulanması kimya, nüfus, telekomünikasyon ve diğer sistemlerdeki modelleme süreçlerinin örneğiyle gösterilmektedir.
Çalışma, doğum-ölüm süreçleri aparatının kullanıldığı olasılıksal nüfus modellerini inceliyor ve ortaya çıkan diferansiyel fark denklemleri sistemleri, rastgele süreçler için dinamik denklemleri temsil ediyor. Makalede ayrıca bu denklemlere çözüm bulma yöntemleri de tartışılmaktadır.
Nüfus değişimlerinin dinamiklerini etkileyen çeşitli faktörleri dikkate alan stokastik modellerin oluşturulmasına ayrılmış birçok makale bulabilirsiniz. Örneğin makalelerde, bireylerin aşağıdakileri içeren gıda kaynaklarını tükettiği bir biyolojik topluluğun nüfus dinamiklerine ilişkin bir model yer almaktadır: zararlı maddeler. Ve popülasyon evrimi modelinde makale, popülasyon temsilcilerinin yaşam alanlarına yerleşme faktörünü dikkate alıyor. Model, kendi içinde tutarlı bir Vlasov denklemleri sistemidir.
Dalgalanma teorisine ve stokastik yöntemlerin uygulanmasına adanmış çalışmaları belirtmekte fayda var. Doğa Bilimleri Fizik, kimya, biyoloji vb. gibi. Özellikle “yırtıcı-av” gibi etkileşim içinde olan popülasyon sayısındaki değişimlerin matematiksel modeli, çok boyutlu Markov doğum-ölüm süreçleri temel alınarak inşa ediliyor.
“Yırtıcı-av” modelini doğum-ölüm süreçlerinin uygulanması olarak düşünebiliriz. Bu yorumda pek çok bilim dalında mod olarak kullanmak mümkündür. 70'lerde M. Doi, yaratma-yok etme operatörlerine dayanan bu tür modelleri incelemek için (ikincil kuantizasyona benzer şekilde) bir teknik önerdi. Çalışmalar burada not edilebilir. Ayrıca bu yöntem şu anda M. M. Gnatich'in grubunda aktif olarak geliştirilmektedir.
Nüfus dinamiği modellerinin modellenmesine ve incelenmesine yönelik başka bir yaklaşım, optimal kontrol teorisiyle ilişkilidir. Çalışmalar burada not edilebilir.
Popülasyon süreçlerinin stokastik modellerinin oluşturulmasına yönelik çalışmaların çoğunun, diferansiyel fark denklemlerini ve ardından sayısal uygulamayı elde etmek için rastgele süreç aygıtlarını kullandığı belirtilebilir. Ek olarak, Langevin formundaki stokastik diferansiyel denklemler yaygın olarak kullanılmaktadır; burada sistemin davranışı hakkındaki genel değerlendirmelerden stokastik bir terim eklenir ve rastgele etkileri tanımlaması amaçlanır. çevre. Modelin daha fazla incelenmesi, niteliksel analizi veya sayısal yöntemler kullanılarak çözüm bulunmasıdır.
Stokastik Diferansiyel Denklemler Tanım 1. Stokastik diferansiyel denklem, bir veya daha fazla terimin stokastik bir süreci temsil ettiği bir diferansiyel denklemdir. Stokastik diferansiyel denklemin (SDE) en çok kullanılan ve iyi bilinen örneği, beyaz gürültüyü tanımlayan ve bir Wiener süreci Wt, t 0 olarak kabul edilebilecek bir terim içeren bir denklemdir.
Stokastik diferansiyel denklemler, çeşitli rastgele rahatsızlıklara maruz kalan dinamik sistemlerin incelenmesinde ve modellenmesinde önemli ve yaygın olarak kullanılan bir matematiksel araçtır.
Doğal olayların stokastik modellemesinin başlangıcı, R. Brown tarafından 1827'de bitki poleninin bir sıvı içindeki hareketi üzerine araştırma yaptığı sırada keşfedilen Brown hareketi olgusunun tanımı olarak kabul edilir. Bu olgunun ilk kesin açıklaması bağımsız olarak A. Einstein ve M. Smoluchowski tarafından yapılmıştır. A. Einstein ve M. Smoluchowski'nin Brown hareketi üzerine çalışmalarını içeren bir makale koleksiyonunu belirtmekte fayda var. Bu çalışmalar Brown hareketi teorisinin geliştirilmesine ve deneysel olarak doğrulanmasına önemli katkılarda bulunmuştur. A. Einstein, Brown hareketinin niceliksel bir açıklaması için moleküler kinetik teoriyi yarattı. Ortaya çıkan formüller, J. Perrin'in 1908-1909'daki deneyleriyle doğrulandı.
Çok boyutlu tek adımlı süreçleri modellemek için bir yöntem.
Etkileşimli unsurlara sahip sistemlerin evrimini tanımlamak için iki yaklaşım vardır: deterministik veya stokastik modellerin oluşturulması. Deterministik modellerden farklı olarak stokastik modeller, incelenen sistemlerde meydana gelen süreçlerin olasılıksal doğasını ve model parametrelerinde rastgele dalgalanmalara neden olan dış ortamın etkilerini dikkate almayı mümkün kılar.
Çalışmanın konusu, tek adımlı süreçler kullanılarak tanımlanabilen ve durumlarının diğerine geçişinin sistem elemanlarının etkileşimi ile ilişkili olduğu süreçler olan sistemlerdir. Bir örnek, "avcı-avcı", simbiyoz, rekabet ve bunların modifikasyonları gibi etkileşim halindeki popülasyonların büyüme dinamiklerini açıklayan modeller olabilir. Amaç, bu tür sistemler için SDE'leri yazmak ve deterministik davranışı tanımlayan denklemin çözümünün davranışına stokastik bir parça eklemenin etkisini incelemektir.
Kimyasal kinetik
Etkileşen elementlere sahip sistemleri tanımlarken ortaya çıkan denklem sistemleri, birçok açıdan kimyasal reaksiyonların kinetiğini tanımlayan diferansiyel denklem sistemlerine yakındır. Örneğin, Lotka-Volterra sistemi başlangıçta Lotka tarafından bazı varsayımsal kimyasal reaksiyonları tanımlayan bir sistem olarak geliştirildi ve ancak daha sonra Volterra tarafından yırtıcı-av modelini açıklayan bir sistem olarak geliştirildi.
Kimyasal kinetik, stokiyometrik denklemler olarak adlandırılan, reaktiflerin ve ürünlerin niceliksel oranlarını yansıtan denklemleri kullanarak kimyasal reaksiyonları tanımlar. Kimyasal reaksiyon ve aşağıdakilere sahip olmak Genel form: Nerede tamsayılarТі ve Ш stokiyometrik katsayılar olarak adlandırılır. Bu, Xi reaktifinin moleküllerinin, Xh reaktifinin ni2 moleküllerinin, ..., Xp reaktifinin 3 molekülünün reaksiyona girdikten sonra Yi, n maddesinin n molekülünü oluşturduğu bir kimyasal reaksiyonun sembolik bir kaydıdır. I2 maddesinin molekülleri, ..., nq Yq maddesinin molekülleri sırasıyla .
Kimyasal kinetikte, kimyasal reaksiyonun yalnızca reaktiflerin doğrudan etkileşimi yoluyla gerçekleşebileceğine inanılır ve kimyasal reaksiyonun hızı, birim hacimde birim zamanda oluşan parçacıkların sayısı olarak tanımlanır.
Ana varsayım kimyasal kinetik Bir kimyasal reaksiyonun hızının, reaksiyona giren maddelerin konsantrasyonlarının stokiyometrik katsayılarının kuvvetleriyle çarpımı ile doğru orantılı olduğunu belirten kütle etkisi yasasıdır. Bu nedenle, karşılık gelen maddelerin konsantrasyonlarını XI ve y I ile belirtirsek, o zaman kimyasal reaksiyonun bir sonucu olarak bir maddenin konsantrasyonundaki zaman içindeki değişim oranı için bir denklemimiz olur:
Daha sonra, zaman içinde evrimi belirli bir sistemin elemanlarının birbirleriyle etkileşimi sonucu ortaya çıkan sistemleri tanımlamak için kimyasal kinetiğin temel fikirlerinin kullanılması ve aşağıdaki temel değişikliklerin getirilmesi önerilmektedir: 1. reaksiyon değil oranlar dikkate alınıyor ancak geçiş olasılıkları; 2. Bir etkileşimin sonucu olan bir durumdan diğerine geçiş olasılığının, belirli bir türdeki olası etkileşimlerin sayısıyla orantılı olduğu ileri sürülmektedir; 3. Bu yöntemde sistemi tanımlamak için temel kinetik denklem kullanılır; 4. Deterministik denklemlerin yerini stokastik denklemler alır. Bu tür sistemlerin tanımlanmasına yönelik benzer bir yaklaşım eserlerde bulunabilir. Simüle edilen sistemde meydana gelen süreçleri tanımlamak için yukarıda belirtildiği gibi Markov tek adımlı süreçlerin kullanılması önerilmektedir.
Birbirleriyle etkileşime girebilen farklı türdeki öğelerden oluşan bir sistem düşünün Farklı yollar. = 1 olan -tipinin bir elemanıyla ve -tipinin eleman sayısıyla belirtelim.
İzin vermek (), .
Dosyanın tek parçadan oluştuğunu varsayalım. Böylece, bir dosyayı indirmek isteyen yeni bir düğüm ile dosyayı dağıtan bir düğüm arasındaki etkileşimin bir adımında, yeni düğüm tüm dosyayı indirir ve dağıtım düğümü haline gelir.
Yeni düğümün tanımı, dağıtım düğümü ve etkileşim katsayısı olsun. Sisteme yeni düğümler yoğunlukla gelebilir ve dağıtıcı düğümler yoğunlukla sistemden çıkabilir. Daha sonra etkileşim diyagramı ve r vektörü şöyle görünecektir:
İlgili formül (1.15) kullanılarak Langevin formunda bir stokastik diferansiyel denklem elde edilebilir. Çünkü A sürüklenme vektörü, sistemin deterministik davranışını tamamen tanımlar; yeni müşteri ve tohum sayısının dinamiklerini tanımlayan bir sıradan diferansiyel denklemler sistemi elde edebiliriz:
Böylece parametre seçimine bağlı olarak tekil nokta farklı bir karaktere sahip olabilir. Böylece, /ZA 4/I2 için tekil nokta kararlı bir odaktır ve zıt oran için ise kararlı bir düğümdür. Her iki durumda da tekil nokta kararlıdır, çünkü katsayı değerlerinin seçimi ve sistem değişkenlerindeki değişiklikler iki yörüngeden biri boyunca meydana gelebilir. Odak noktası tekil bir nokta ise, sistemde yeni ve dağıtıcı düğümlerin sayısında sönümlü salınımlar meydana gelir (bkz. Şekil 3.12). Ve düğüm durumunda, sayıların durağan değerlere yaklaşımı salınımsız bir modda gerçekleşir (bkz. Şekil 3.13). Her iki durum için sistemin faz portreleri sırasıyla grafikler (3.14) ve (3.15)'te gösterilmektedir.
