عدد المحاضرة 2

الرياضيات

الموضوع: "مفاهيم رياضية"

مفاهيم رياضية

تعريف المفاهيم

متطلبات التعريف

بعض أنواع التعريفات

1. مفاهيم رياضية

عادة ما يتم تقديم المفاهيم التي يتم دراستها في المقرر الدراسي الابتدائي للرياضيات في شكل أربع مجموعات. الأول يتضمن المفاهيم المتعلقة بالأرقام والعمليات عليها: العدد ، الجمع ، الجمع ، المزيد ، إلخ. الثاني يشمل المفاهيم الجبرية: التعبير ، المساواة ، المعادلة ، إلخ. والثالث يتكون من مفاهيم هندسية: خط ، قطعة ، مثلث ، إلخ. المجموعة الرابعة تتكون من مفاهيم تتعلق بالكميات وقياسها.

كيف يمكن للمرء دراسة مثل هذه الوفرة من المفاهيم المختلفة للغاية؟

بادئ ذي بدء ، يجب أن يكون لدى المرء فكرة عن المفهوم كفئة منطقية وخصائص المفاهيم الرياضية.

في المنطق ، تعتبر المفاهيم شكلاً من أشكال التفكير ، تعكس الأشياء (الأشياء أو الظواهر) في خصائصها الأساسية والعامة. الشكل اللغوي للمفهوم هو كلمة أو مجموعة كلمات.

إن تكوين فكرة عن كائن يعني القدرة على تمييزه عن الأشياء الأخرى المشابهة له. تحتوي المفاهيم الرياضية على عدد من الخصائص المميزة. النقطة الأساسية هي أن الأشياء الرياضية التي من الضروري صياغة مفهوم بشأنها لا وجود لها في الواقع. الأشياء الرياضية يصنعها العقل البشري. هذه أشياء مثالية تعكس أشياء أو ظواهر حقيقية. على سبيل المثال ، في الهندسة ، يتم دراسة شكل وحجم الأشياء ، دون مراعاة خصائصها الأخرى: اللون ، والكتلة ، والصلابة ، إلخ. إنهم مشتتون عن كل هذا ، مجردين بعيداً. لذلك ، في الهندسة ، بدلاً من كلمة "كائن" يقولون " الشكل الهندسي».

ينتج عن التجريد مفاهيم رياضية مثل "العدد" و "المقدار".

بشكل عام ، الأشياء الرياضية موجودة فقط في تفكير الشخص وفي تلك العلامات والرموز التي تشكل لغة رياضية.

إلى ما قيل ، يمكننا أن نضيف أنه من خلال دراسة الأشكال المكانية والعلاقات الكمية للعالم المادي ، لا تستخدم الرياضيات طرقًا مختلفة للتجريد فحسب ، بل تستخدم التجريد نفسه كعملية متعددة المراحل. في الرياضيات ، فهم لا يأخذون فقط في الاعتبار المفاهيم التي ظهرت في دراسة الأشياء الحقيقية ، ولكن أيضًا المفاهيم التي نشأت على أساس الأول. على سبيل المثال، المفهوم العامالوظيفة كمراسلة هي تعميم لمفاهيم وظائف محددة ، أي التجريد من التجريد.

لإتقان المناهج العامة لدراسة المفاهيم في المقرر الابتدائي للرياضيات ، يحتاج المعلم إلى معرفة حجم ومحتوى المفهوم ، وحول العلاقة بين المفاهيم وأنواع تعريفات المفاهيم.

2. نطاق ومحتوى المفهوم. العلاقات بين المفاهيم

كل كائن رياضي له خصائص معينة. على سبيل المثال ، للمربع أربعة جوانب ، أربع زوايا قائمة تساوي القطر. يمكنك أيضًا تحديد خصائصه الأخرى.

من بين خصائص الكائن ، يتم تمييز الأساسي وغير المهم. تعتبر الخاصية ضرورية للكائن إذا كانت متأصلة في هذا الكائن وبدونها لا يمكن أن توجد. على سبيل المثال ، بالنسبة للمربع ، تعتبر جميع الخصائص المذكورة أعلاه ضرورية. الخاصية "الجانب AD أفقي" لا علاقة لها بالمربع ABCD. إذا قلبت المربع ، فسيتم تحديد موقع الجانب AD بطريقة مختلفة (الشكل 26).

لذلك ، من أجل فهم ماهية كائن رياضي معين ، يجب على المرء أن يعرف خصائصه الأساسية.

عندما يتحدثون عن مفهوم رياضي ، فإنهم عادة ما يقصدون مجموعة من الأشياء يُشار إليها بمصطلح واحد (كلمة أو مجموعة كلمات). لذا ، عند الحديث عن مربع ، فإنهم يقصدون كل الأشكال الهندسية التي تكون مربعة. من المعتقد أن مجموعة كل المربعات هي حجم مفهوم "المربع".

عموما نطاق المفهوم هو مجموعة كل الأشياء المعينة بمصطلح واحد.

أي مفهوم لا يحتوي فقط على الحجم ، ولكن أيضًا المحتوى.

تأمل ، على سبيل المثال ، مفهوم "المستطيل".

نطاق المفهوم عبارة عن مجموعة من المستطيلات المختلفة ، ويتضمن محتواها خصائص المستطيلات مثل "لها أربع زوايا قائمة" ، "لها جوانب متقابلة متساوية" ، "لها أقطار متساوية" ، إلخ.

هناك علاقة بين حجم المفهوم ومحتواه: إذا زاد حجم المفهوم ، ينخفض ​​محتواه ، والعكس صحيح. لذلك ، على سبيل المثال ، نطاق مفهوم "مربع" هو جزء من نطاق مفهوم "المستطيل" ، ومحتوى مفهوم "مربع" يحتوي على خصائص أكثر من محتوى مفهوم "المستطيل" ("جميع الجوانب متساوية" ، "الأقطار متعامدة بشكل متبادل" ، إلخ.).

لا يمكن تعلم أي مفهوم دون إدراك علاقته بالمفاهيم الأخرى. لذلك ، من المهم معرفة ما يمكن أن تكون عليه مفاهيم العلاقات ، وأن تكون قادرًا على إنشاء هذه الروابط.

ترتبط العلاقة بين المفاهيم ارتباطًا وثيقًا بالعلاقة بين أحجامها ، أي مجموعات.

دعونا نتفق على الإشارة إلى المفاهيم بأحرف صغيرة من الأبجدية اللاتينية: أ ، ب ، ج ، ... ، ض.

دعونا نعطي مفهومين أ و ب. سيتم الإشارة إلى أحجامهم بواسطة A و B على التوالي.

اذا كان ب (أ ≠ ب) ، ثم يقولون أن المفهوم أ - محدد فيما يتعلق بالمفهومب، والمفهوم ب- عامة فيما يتعلق بالمفهوم أ.

على سبيل المثال ، إذا كان a "مستطيل" ، و b "رباعي الزوايا" ، فإن المجلدين A و B مرتبطان بالتضمين (A B و A ≠ B) ، لأن كل مستطيل عبارة عن رباعي الزوايا. لذلك ، يمكن القول أن مفهوم "المستطيل" محدد فيما يتعلق بمفهوم "رباعي الزوايا" ، ومفهوم "رباعي الزوايا" عام فيما يتعلق بمفهوم "المستطيل".

إذا كان أ = ب ، فيقولون ذلك المفاهيم أ وبمتطابقة.

على سبيل المثال ، مفهوما "المثلث المتساوي الأضلاع" و "المثلث متساوي الأضلاع" متطابقان ، لأن أحجامهما تتطابق.

إذا لم تكن المجموعتان A و B متصلين بعلاقة التضمين ، فإنهما يقولان أن المفهومين أ و ب ليسا مرتبطين بالجنس والأنواع وليسا متطابقتين. على سبيل المثال ، لا ترتبط مفهومي "المثلث" و "المستطيل" بمثل هذه العلاقات.

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في علاقة الجنس والأنواع بين المفاهيم. أولاً ، مفاهيم الجنس والأنواع نسبية: يمكن أن يكون المفهوم نفسه عامًا فيما يتعلق بمفهوم واحد ومحدّدًا بالنسبة إلى الآخر. على سبيل المثال ، مفهوم "المستطيل" عام فيما يتعلق بمفهوم "مربع" ومحدّد فيما يتعلق بمفهوم "رباعي الزوايا".

ثانيًا ، لـ من هذا المفهومفي كثير من الأحيان يمكن تحديد عدة مفاهيم عامة. لذلك ، بالنسبة لمفهوم "المستطيل" العام ، توجد مفاهيم "رباعي الزوايا" ، "متوازي الأضلاع" ، "المضلع". من بينها ، يمكنك الإشارة إلى الأقرب. لمفهوم "المستطيل" الأقرب هو مفهوم "متوازي الأضلاع".

ثالثًا ، مفهوم محدد له كل خصائص المفهوم العام. على سبيل المثال ، المربع ، كونه مفهومًا محددًا فيما يتعلق بمفهوم "المستطيل" ، له جميع الخصائص الكامنة في المستطيل.

نظرًا لأن نطاق المفهوم عبارة عن مجموعة ، فمن الملائم ، عند إنشاء العلاقات بين نطاق المفاهيم ، تصويرها باستخدام دوائر أويلر.

دعونا نؤسس ، على سبيل المثال ، العلاقة بين أزواج المفاهيم التالية أ و ب ، إذا:

1) أ - "مستطيل" ، ب - "معين" ؛

2) أ - "مضلع" ، ب - "متوازي الأضلاع" ؛

3) أ - "خط مستقيم" ، ب - "مقطع".

في الحالة 1) تتقاطع أحجام المفاهيم ، ولكن ليست مجموعة واحدة ليست مجموعة فرعية من أخرى (الشكل 27).

لذلك ، يمكن القول أن هذين المفهومين (أ) و (ب) لا يرتبطان بالجنس والأنواع.

في الحالة 2) تكون أحجام بيانات المفهوم مرتبطة بالتضمين ، ولكنها لا تتطابق - كل متوازي أضلاع هو مضلع ، ولكن ليس العكس (الشكل 28). لذلك ، يمكن القول إن مفهوم "متوازي الأضلاع" محدد فيما يتعلق بمفهوم "المضلع" ، ومفهوم "المضلع" عام فيما يتعلق بمفهوم "متوازي الأضلاع".

في الحالة 3) لا تتقاطع أحجام المفاهيم ، حيث لا يمكن القول أن أي مقطع هو خط مستقيم ، ولا يمكن تسمية أي خط مستقيم بمقطع (الشكل 29).

وبالتالي ، فإن هذه المفاهيم لا علاقة لها بالجنس والأنواع.

حول مفاهيم "الخط" و "المقطع" يمكننا القول أنهم تتعلق بالكل والجزء:المقطع هو جزء من خط مستقيم ، وليس نوعه. وإذا كان لمفهوم معين كل خصائص المفهوم العام ، فلن يكون للجزء بالضرورة جميع خصائص الكل. على سبيل المثال ، لا يحتوي المقطع على نفس خاصية الخط المستقيم مثل ما لا نهاية له.

تكوين مفاهيم رياضية أولية لطالب أصغر سنًا

إي يو. توجوبيتسكايا طالبة ماجستير في قسم التربية وطرق التدريس

جامعة توجلياتي التربوية ، تولياتي (روسيا)

الكلمات الدالة: مفاهيم رياضية ، مفاهيم مطلقة ، مفاهيم نسبية ، تعاريف.

حاشية. ملاحظة: في الممارسة المدرسية ، يطلب العديد من المعلمين من الطلاب حفظ تعريفات المفاهيم والمعرفة بخصائصها الأساسية لإثباتها. ومع ذلك ، فإن نتائج هذا التدريب عادة ما تكون غير ذات أهمية. وذلك لأن غالبية الطلاب ، الذين يطبقون المفاهيم التي تم تعلمها في المدرسة ، يعتمدون على علامات تافهة ، بينما يتم التعرف على السمات الأساسية للمفاهيم وإعادة إنتاجها من قبل الطلاب فقط عند الإجابة على الأسئلة التي تتطلب تعريف المفهوم. في كثير من الأحيان ، يعيد الطلاب إنتاج المفاهيم بدقة ، أي أنهم يكتشفون معرفة ميزاتها الأساسية ، لكن لا يمكنهم تطبيق هذه المعرفة في الممارسة ، فهم يعتمدون على تلك الميزات العشوائية المحددة من خلال التجربة المباشرة. يمكن التحكم في عملية استيعاب المفاهيم ، وتشكيلها بالصفات المحددة.

الكلمات الدالة: مفاهيم رياضية ، مفاهيم مطلقة ، مفاهيم نسبية ، تعاريف.

حاشية. ملاحظة: في الممارسة المدرسية ، يحقق العديد من المعلمين من التلاميذ تعلم تعريفات المفاهيم ومعرفة خصائصها الأساسية المثبتة. ومع ذلك ، فإن نتائج هذا التدريب عادة ما تكون غير مهمة. يحدث ذلك لأن غالبية التلاميذ ، الذين يطبقون المفاهيم المكتسبة في المدرسة ، يتكئون على العلامات غير المهمة ، والعلامات الأساسية للمفاهيم تدرك وتتكاثر فقط عند الإجابة على الأسئلة التي تتطلب تعريف المفهوم. غالبًا ما يقوم التلاميذ بإعادة إنتاج المفاهيم بشكل لا لبس فيه ، أي معرفة علاماتها الأساسية ، ولكن لا يمكن تطبيق هذه المعرفة موضع التنفيذ ، ضد تلك العلامات العرضية المخصصة بفضل التجربة المباشرة. عملية إتقان المفاهيم من الممكن تشغيلها ، وتشكيلها بالصفات المحددة.

في استيعاب المعرفة العلمية ، يواجه طلاب المدارس الابتدائية أنواعًا مختلفة من المفاهيم. يؤدي عدم قدرة الطالب على التفريق بين المفاهيم إلى استيعابها بشكل غير ملائم.

المنطق في المصطلحات يميز بين الحجم والمحتوى. يُفهم الحجم على أنه فئة الأشياء التي تنتمي إلى هذا المفهوم ، متحدون بها. لذا ، فإن نطاق مفهوم المثلث يشمل المجموعة الكاملة من المثلثات ، بغض النظر عن خصائصها المحددة (أنواع الزوايا ، وحجم الأضلاع ، وما إلى ذلك).

يُفهم محتوى المفاهيم على أنه نظام الخصائص الأساسية ، والذي يتم بموجبه دمج هذه الكائنات في فئة واحدة. للكشف عن محتوى مفهوم ما ، من الضروري تحديد العلامات الضرورية والكافية عن طريق المقارنة لإبراز علاقتها بالأشياء الأخرى. حتى يتم إنشاء المحتوى والعلامات ، فإن جوهر الشيء الذي يعكسه هذا المفهوم غير واضح ، ومن المستحيل التمييز بدقة ووضوح بين هذا الكائن وبين أولئك المجاورين له ، يحدث ارتباك في التفكير.

على سبيل المثال ، مفهوم المثلث ، تتضمن هذه الخصائص ما يلي: الشكل المغلق ، يتكون من ثلاثة مقاطع خطية. تسمى مجموعة الخصائص التي يتم من خلالها دمج الكائنات في فئة واحدة الميزات الضرورية والكافية. في بعض المفاهيم ، تكمل هذه الميزات بعضها البعض ، وتشكل المحتوى معًا ، وفقًا للكائنات التي يتم دمجها في فئة واحدة. ومن الأمثلة على هذه المفاهيم المثلث والزاوية والمنصف والعديد من المفاهيم الأخرى.

تشكل مجموعة هذه الأشياء ، التي ينطبق عليها هذا المفهوم ، فئة منطقية من الكائنات. الفئة المنطقية للكائنات هي مجموعة من الكائنات لها سمات مشتركة ، ونتيجة لذلك يتم التعبير عنها من خلال مفهوم عام. تتطابق الفئة المنطقية للكائنات ونطاق المفهوم المقابل ، وتنقسم المفاهيم إلى أنواع من حيث المحتوى والحجم ، اعتمادًا على طبيعة وعدد العناصر التي تنطبق عليها. من حيث الحجم ، تنقسم المفاهيم الرياضية إلى مفاهيم فردية وعامة. إذا كان نطاق المفهوم يتضمن كائنًا واحدًا فقط ، فيُطلق عليه اسم مفرد.

أمثلة على المفاهيم الفردية: "أصغر رقم مكون من رقمين" ، "رقم 5" ، "مربع بطول ضلع يبلغ 10 سم" ، "دائرة نصف قطرها 5 سم". يعكس المفهوم العام علامات مجموعة معينة من الأشياء. سيكون حجم هذه المفاهيم دائمًا أكبر من حجم عنصر واحد. أمثلة على المفاهيم الشائعة: "العديد من الأعداد المكونة من رقمين" ، "المثلثات" ، "المعادلات" ، "عدم المساواة" ، "مضاعفات الرقم 5" ، "كتب الرياضيات المدرسية للمدارس الابتدائية." من حيث المحتوى ، يميزون بين مفاهيم الوصلة والمفصلة ، المطلقة والمحددة ، غير النسبية والنسبية.

تسمى المفاهيم ارتباطًا إذا كانت ميزاتها مترابطة ولا يسمح لك أي منها بشكل منفصل بتحديد كائنات من هذه الفئة ، وترتبط الميزات من خلال الاتحاد "و". على سبيل المثال ، يجب أن تتكون العناصر المتعلقة بمفهوم المثلث بالضرورة من ثلاثة مقاطع سطرية وأن يتم إغلاقها.

في مفاهيم أخرى ، تختلف العلاقة بين الميزات الضرورية والكافية: فهي لا تكمل بعضها البعض ، ولكنها تحل محلها. هذا يعني أن ميزة واحدة مكافئة لميزة أخرى. يمكن أن يكون مثال على هذا النوع من العلاقة بين العلامات بمثابة علامات على تساوي الأجزاء والزوايا. من المعروف أن فئة الأجزاء المتساوية تشمل تلك المقاطع التي: أ) أو تتزامن عند فرضها ؛ ب) أو يساوي الثلث بشكل منفصل ؛ ج) أو تتكون من أجزاء متساوية ، إلخ.

في هذه الحالة ، الميزات المدرجة ليست مطلوبة كلها في نفس الوقت ، كما هو الحال مع نوع المفاهيم المرتبطة ؛ هنا يكفي أن يكون لديك واحد من كل العناصر المدرجة: كل واحد منهم يعادل أيًا من الآخرين. وبسبب هذا ، يتم ربط العلامات بواسطة حرف العطف "أو". يسمى اتصال الميزات هذا بالفصل ، وتسمى المفاهيم ، على التوالي ، مفصولة. من المهم أيضًا مراعاة تقسيم المفاهيم إلى مطلق ونسبي.

توحد المفاهيم المطلقة الأشياء في فئات وفقًا لخصائص معينة تميز جوهر هذه الأشياء على هذا النحو. لذا ، فإن مفهوم الزاوية يعكس الخصائص التي تميز جوهر أي زاوية على هذا النحو. الوضع مشابه للعديد من المفاهيم الهندسية الأخرى: الدائرة ، الشعاع ، المعين ، إلخ.

تجمع المفاهيم النسبية الكائنات في فئات وفقًا للخصائص التي تميز علاقتها بالكائنات الأخرى. لذلك ، في مفهوم الخطوط المستقيمة العمودية ، ما يميز نسبة خطين مستقيمين إلى بعضهما البعض ثابت: التقاطع ، والتكوين في نفس الوقت زاوية مستقيمة... وبالمثل ، يعكس مفهوم الرقم نسبة القيمة المقاسة والمعيار المقبول. المفاهيم النسبية تسبب صعوبات أكثر خطورة للطلاب من المفاهيم المطلقة. يكمن جوهر الصعوبات بالتحديد في حقيقة أن تلاميذ المدارس لا يأخذون في الحسبان نسبية المفاهيم ويعملون معها كما هو الحال مع المفاهيم المطلقة. لذلك ، عندما يطلب المعلم من الطلاب رسم عمودي ، فإن البعض منهم يصور عموديًا. ينبغي إيلاء اهتمام خاص لمفهوم العدد.

الرقم هو نسبة ما يتم قياسه كميًا (الطول والوزن والحجم وما إلى ذلك) إلى المعيار المستخدم في هذا التقييم. من الواضح أن الرقم يعتمد على كل من القيمة المقاسة والمعيار. كلما كانت القيمة المقاسة أكبر ، كلما كان الرقم أكبر بنفس المعيار. على العكس من ذلك ، فكلما كان المعيار (المقياس) أكبر ، كلما كان الرقم أصغر عند تقييم نفس القيمة. لذلك ، يجب أن يفهم الطلاب منذ البداية أن مقارنة الأرقام في الحجم لا يمكن إجراؤها إلا عندما يكون نفس المعيار وراءهم. في الواقع ، إذا تم الحصول على خمسة ، على سبيل المثال ، عند قياس الطول بالسنتيمتر ، وثلاثة عند القياس بالأمتار ، فإن ثلاثة تشير إلى قيمة أكبر من خمسة. إذا لم يفهم الطلاب الطبيعة النسبية للعدد ، فسيواجهون صعوبات خطيرة في تعلم نظام الأرقام. تستمر الصعوبات في استيعاب المفاهيم النسبية بين الطلاب في المدرسة الإعدادية وحتى في المدرسة الثانوية. هناك علاقة بين المحتوى وحجم المفهوم: كلما كان حجم المفهوم أصغر ، زاد محتواه.

على سبيل المثال ، مفهوم "المربع" له حجم أصغر من حجم مفهوم "المستطيل" لأن أي مربع هو مستطيل ، ولكن ليس كل مستطيل هو مربع. لذلك ، فإن مفهوم "المربع" يحتوي على محتوى أكثر من مفهوم "المستطيل": يحتوي المربع على جميع خصائص المستطيل وبعض الخصائص الأخرى (جميع جوانب المربع متساوية ، والأقطار متعامدة بشكل متبادل).

في عملية التفكير ، لا يوجد كل مفهوم بشكل منفصل ، ولكنه يدخل في روابط وعلاقات معينة مع مفاهيم أخرى. في الرياضيات ، يعد الاعتماد العام أحد الأشكال المهمة للتواصل.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مفهومي "مربع" و "مستطيل". نطاق مفهوم "مربع" هو جزء من نطاق مفهوم "المستطيل". لذلك ، يسمى الأول محددًا ، والثاني - عام. في العلاقات الخاصة بالجنس ، يجب التمييز بين مفهوم أقرب جنس والمراحل العامة التالية.

على سبيل المثال ، بالنسبة للنوع "مربع" ، سيكون أقرب جنس هو جنس "مستطيل" ، أما بالنسبة إلى المستطيل ، فسيكون أقرب جنس هو جنس "متوازي الأضلاع" ، وبالنسبة إلى "متوازي الأضلاع" - "رباعي الزوايا" ، أو "رباعي الأضلاع" - " المضلع "، و" المضلع "-" الشكل المسطح ".

الخامس الصفوف الابتدائيةلأول مرة ، يتم تقديم كل مفهوم بصريًا ، من خلال مراقبة أشياء محددة أو من خلال عملية عملية (على سبيل المثال ، عند عدهم). يعتمد المعلم على معرفة وخبرة الأطفال التي اكتسبوها من قبل سن الدراسة... يتم تسجيل التعارف مع المفاهيم الرياضية باستخدام مصطلح أو مصطلح ورمز. هذه التقنية للعمل على المفاهيم الرياضية في مدرسة ابتدائيةلا يعني عدم استخدام أنواع مختلفة من التعريفات في هذه الدورة التدريبية.

لتعريف المفهوم هو سرد جميع الميزات الأساسية للأشياء التي يتضمنها هذا المفهوم. التعريف اللفظي للمفهوم يسمى مصطلح. على سبيل المثال ، "الرقم" ، "المثلث" ، "الدائرة" ، "المعادلة" هي مصطلحات.

يحل التعريف مشكلتين: فهو يفرد مفهومًا معينًا عن الآخرين ويفصله عن الآخرين ويشير إلى تلك السمات الرئيسية ، والتي بدونها لا يمكن للمفهوم أن يوجد والتي تعتمد عليها جميع الميزات الأخرى.

يمكن أن يكون التعريف أكثر أو أقل عمقًا. يعتمد ذلك على مستوى المعرفة بالمفهوم المقصود. كلما عرفناه بشكل أفضل ، زاد احتمال قدرتنا على تحديده بشكل أفضل. في ممارسة تعليم الطلاب الأصغر سنًا ، يتم استخدام تعريفات صريحة وضمنية. تأخذ التعريفات الصريحة شكل المساواة أو المصادفة بين مفهومين.

على سبيل المثال: "Propedeutics هي مقدمة لأي علم." هنا يقتربون من واحد إلى واحد بين مفهومين - "المبادئ التمهيدية" و "الدخول في أي علم". في تعريف "المربع هو مستطيل تتساوى فيه جميع الجوانب" لدينا تطابق المفاهيم. في تعليم تلاميذ المدارس الصغار ، تعتبر التعريفات السياقية والظاهرية ذات أهمية خاصة بين التعاريف الضمنية.

أي مقطع من النص ، سواء كان أي سياق يحدث فيه المفهوم الذي يثير اهتمامنا ، هو ، بمعنى ما ، تعريف ضمني له. يضع السياق مفهومًا في اتصال مع مفاهيم أخرى وبالتالي يكشف عن محتواه.

على سبيل المثال ، باستخدام تعبيرات مثل "اعثر على قيم تعبير" في العمل مع الأطفال ، "قارن قيمة التعبيرات 5 + a و (a - 3) 2 ، إذا كانت a = 7" ، "اقرأ التعبيرات التي تكون المجاميع "،" قراءة التعبيرات ، ثم قراءة المعادلات "، نكشف عن مفهوم" التعبير الرياضي "كسجل مكون من أرقام أو متغيرات وعلامات الإجراءات. تقريبا كل التعريفات التي نلتقي بها الحياة اليوميةهي تعريفات سياقية. بعد أن سمعنا كلمة غير معروفة ، نحاول تحديد معناها بأنفسنا على أساس كل ما قيل. نفس الشيء هو الحال في تعليم الأطفال الصغار. يتم تعريف العديد من مفاهيم الرياضيات في المدرسة الابتدائية من خلال السياق. هذه ، على سبيل المثال ، مفاهيم مثل "كبير - صغير" ، "أي" ، "أي" ، "واحد" ، "كثير" ، "رقم" ، "عملية حسابية" ، "معادلة" ، "مهمة" وما إلى ذلك.

التعريفات السياقية لا تزال قائمة بالنسبة للجزء الاكبرغير مكتمل وغير مكتمل. يتم استخدامها فيما يتعلق بعدم استعداد الطالب الأصغر لاستيعاب تعريف كامل ، بل وأكثر علميًا.

التعريفات المزعومة هي تعريفات من خلال العرض. إنها تشبه التعريفات السياقية العادية ، لكن السياق هنا ليس مقطعًا من أي نص ، ولكنه الموقف الذي يجد فيه الكائن المحدد بواسطة المفهوم نفسه. على سبيل المثال ، يعرض المعلم مربعًا (رسمًا أو نموذجًا ورقيًا) ويقول "انظر - هذا مربع." هذا هو تعريف نموذجي صريح.

في الدرجات الابتدائية ، يتم استخدام التعريفات الظاهرية عند النظر في مفاهيم مثل "اللون الأحمر (أبيض ، أسود ، إلخ)" ، "اليسار - اليمين" ، "من اليسار إلى اليمين" ، "الرقم" ، "الرقم السابق والتالي" ، " علامات العمليات الحسابية "،" علامات المقارنة "،" المثلث "،" الرباعي "،" المكعب "، إلخ.

بناءً على الاستيعاب الظاهري لمعاني الكلمات ، يمكن إدخال المعنى اللفظي للكلمات والعبارات الجديدة في قاموس الطفل. التعريفات المزعومة - وهم فقط - تربط الكلمة بالأشياء. بدونهم ، اللغة هي مجرد شريط لفظي ، ليس له محتوى موضوعي وموضوعي. لاحظ أنه في الصفوف الابتدائية ، التعريفات المقبولة مثل "كلمة" خماسي "سوف نطلق عليها اسم مضلع بخمسة جوانب." هذا هو ما يسمى ب "التعريف الاسمي". يتم استخدام تعريفات صريحة مختلفة في الرياضيات. وأكثرها شيوعًا هو التعريف من خلال أقرب سمة للجنس والأنواع. يُطلق على التعريف العام أيضًا اسم كلاسيكي.

أمثلة على التعريفات من خلال الجنس والأنواع: "متوازي الأضلاع هو رباعي الزوايا تكون أضلاعه المتقابلة متوازية" ، "المعين هو متوازي أضلاع أضلاعه متساوية ،" متساوية "،" المعين يسمى مربعًا له زوايا قائمة. "

ضع في اعتبارك تعريفات المربع. في التعريف الأول ، أقرب جنس هو "المستطيل" ، وميزة الأنواع هي "جميع الجوانب متساوية". في التعريف الثاني ، أقرب جنس هو "المعين" ، وخصائص النوع هي "الزوايا القائمة". إذا لم نأخذ أقرب جنس ("متوازي الأضلاع") ، فسيكون هناك نوعان من خصائص المربع. "المربع هو متوازي الأضلاع حيث جميع الأضلاع متساوية وجميع الزوايا مستقيمة."

في العلاقة العامة هي مفاهيم "الجمع (الطرح ، الضرب ، القسمة)" و "العملية الحسابية" ، مفهوم الزاوية الحادة (المستقيمة ، المنفرجة) و "الزاوية". لا يوجد الكثير من الأمثلة على العلاقات العامة الواضحة بين العديد من المفاهيم الرياضية التي يتم أخذها في الاعتبار في الصفوف الابتدائية. ولكن مع الأخذ في الاعتبار أهمية التعريف من خلال سمات الجنس والأنواع في التعليم الإضافي ، فمن المستحسن تحقيق فهم من قبل الطلاب لجوهر تعريف هذا النوع بالفعل في الصفوف الابتدائية.

يمكن أن تأخذ التعريفات المنفصلة في الاعتبار المفهوم وطريقة تكوينه أو حدوثه. هذا النوع من التعريف يسمى الجيني. أمثلة على التعريفات الجينية: "الزاوية هي أشعة تخرج من نقطة واحدة" ، "قطري المستطيل هو جزء يربط الرؤوس المتقابلة في المستطيل". في الصفوف الابتدائية ، تستخدم التعريفات الجينية لمفاهيم مثل "مقطع" ، "خط مكسور" ، "زاوية قائمة" ، "دائرة". يمكن أيضًا أن يُعزى التعريف من خلال قائمة إلى المفاهيم الجينية.

على سبيل المثال ، "سلسلة الأرقام الطبيعية هي الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، إلخ.". يتم تقديم بعض المفاهيم في الصفوف الابتدائية فقط من خلال المصطلح. على سبيل المثال ، وحدات الوقت هي السنة والشهر والساعة والدقيقة. توجد مفاهيم في الصفوف الابتدائية يتم تقديمها بلغة رمزية في شكل مساواة ، على سبيل المثال ، 1 = أ ، و 0 = 0

مما سبق ، يمكننا أن نستنتج أنه في الصفوف الابتدائية ، يتم إتقان العديد من المفاهيم الرياضية أولاً بشكل سطحي وغامض. في التعارف الأول ، يتعلم تلاميذ المدارس فقط بعض خصائص المفاهيم ، ويمثلون نطاقهم بشكل ضيق للغاية. وهذا طبيعي. ليست كل المفاهيم سهلة التعلم. لكن مما لا جدال فيه أن فهم المعلم واستخدامه في الوقت المناسب لأنواع معينة من تعريفات المفاهيم الرياضية هو أحد الشروط لتكوين معرفة قوية بهذه المفاهيم لدى الطلاب.

فهرس:

1. بوجدانوفيتش م. تعريف المفاهيم الرياضية // المدرسة الابتدائية 2001. - № 4.

2. جلوزمان ن. أ. تكوين طرق معممة للنشاط العقلي لدى الطلاب الأصغر سنًا. - يالطا: KGGI ، 2001. - 34 ص.

3 - دروزد ف. الحضري ماجستير من المشاكل الصغيرة إلى الاكتشافات الكبيرة. //مدرسة ابتدائية. - 2000. - رقم 5.

وزارة التربية والتعليم في جمهورية بيلاروسيا

"جوميل جامعة الدولةمعهم. سكارينا "

كلية الرياضيات

قسم MPM

نبذة مختصرة

مفاهيم رياضية

المنفذ:

طالب المجموعة M-32

مولودتسوفا أ.

مشرف:

كاند. فيز مات. علوم ، أستاذ مشارك

ليبيديفا إم تي.

جوميل 2007

مقدمة

إن صيغ العديد من التعاريف (النظريات ، البديهيات) واضحة للطلاب ، يسهل حفظها بعد عدد قليل من التكرار ، لذلك يُنصح أولاً بعرضها على التذكر ، ثم تعليمهم كيفية تطبيقها على حل المشكلات.

منفصل.

1. نطاق ومحتوى المفهوم. تصنيف المفاهيم

تحتوي كائنات الواقع على: أ) خصائص موحدة تعبر عن خصائصها المميزة (على سبيل المثال ، معادلة من الدرجة الثالثة بمتغير واحد - معادلة تكعيبية) ؛ ب) الخصائص العامة ، والتي يمكن أن تكون مميزة إذا كانت تعبر عن الخصائص الأساسية للشيء (سماته) ، مما يميزه عن العديد من الأشياء الأخرى.

يستخدم مصطلح "المفهوم" للدلالة على صورة ذهنية لفئة معينة من الأشياء ، العمليات. يميز علماء النفس ثلاثة أشكال من التفكير:

1) المفاهيم (على سبيل المثال ، الوسيط هو قطعة تربط الرأس بالجانب المقابل للمثلث) ؛

2) الأحكام (على سبيل المثال ، بالنسبة لزوايا المثلث التعسفي هذا صحيح :) ؛

3) الاستدلالات (على سبيل المثال ، إذا كانت أ> ب و ب> ج ، ثم أ> ج).

سمة من سمات أشكال التفكير في المفاهيمهي: أ) نتاج مادة عالية التنظيم ؛ ب) يعكس العالم المادي ؛ ج) يظهر في الإدراك كوسيلة للتعميم ؛ د) يعني النشاط البشري على وجه التحديد ؛ هـ) لا ينفصل تكوينه في الوعي عن التعبير عنه من خلال الكلام أو الكتابة أو الرمز.

يعكس المفهوم الرياضي في تفكيرنا أشكالًا وعلاقات معينة للواقع ، مستخلصة من مواقف حقيقية. يتم تكوينها وفقًا للمخطط:

كل مفهوم يوحد العديد من الأشياء أو العلاقات ، ودعا نطاق المفهوم، والخصائص المميزة الملازمة لجميع عناصر هذه المجموعة وفقط لهم ، معبرة محتوى المفهوم.

على سبيل المثال ، المفهوم الرياضي هو رباعي الزوايا. له الصوت: مربع ، مستطيل ، متوازي أضلاع ، معين ، شبه منحرف ، إلخ. المحتوى: 4 جوانب ، 4 زوايا ، 4 رؤوس (خصائص مميزة).

يحدد محتوى المفهوم نطاقه بشكل صارم ، وعلى العكس من ذلك ، فإن نطاق المفهوم يحدد محتواه تمامًا. يحدث الانتقال من المرحلة الحسية إلى المرحلة المنطقية التعميمات:إما عن طريق إبراز السمات العامة للكائن (متوازي الأضلاع - رباعي الأضلاع - مضلع) ؛ إما من خلال السمات العامة مع السمات الخاصة أو الفردية ، مما يؤدي إلى مفهوم محدد.

في عملية التعميم ، يتوسع الحجم ويضيق المحتوى. في عملية تخصص المفهوم ، يضيق الحجم ويتسع المحتوى.

على سبيل المثال:

المضلعات - متوازي الأضلاع.

المثلثات مثلثات متساوية الأضلاع.

إذا كان حجم أحد المفاهيم واردًا في حجم مفهوم آخر ، فسيتم استدعاء المفهوم الثاني نوعي، فيما يتعلق بالأول ؛ والأول يسمى محددفيما يتعلق بالثاني. على سبيل المثال: متوازي الأضلاع - المعين (جنس) (عرض).

تسمى عملية توضيح نطاق المفهوم تصنيف، المخطط الذي يبدو كالتالي:

دعونا نعطي مجموعة وبعض الممتلكات ، وليكن فيها عناصر ، تمتلك هذه الخاصية ولا تحوزها. اسمحوا ان:

دعنا نختار خاصية جديدة ونقسمها على هذه الخاصية:

على سبيل المثال: 1) تصنيف المجموعات العددية التي تعكس تطور مفهوم العدد. 2) تصنيف المثلثات: أ) حسب الأضلاع. ب) في الزوايا.

رقم المشكلة 1.ارسم الكثير من المثلثات باستخدام نقاط المربع.

ملكية متساوي الساقين ؛

خاصية التربيع

هل توجد مثلثات بهذه الخصائص في نفس الوقت؟

2. التعاريف الرياضية. أنواع أخطاء تعريف المفهوم

المرحلة الأخيرة في تكوين المفهوم هي تعريف، بمعنى آخر. قبول اتفاقية مشروطة. يُفهم التعريف على أنه قائمة بالسمات الضرورية والكافية لمفهوم ما ، مختصرة إلى جملة متماسكة (كلام أو رمزي).

2.1 طرق تعريف المفاهيم

في البداية ، يتم تمييز المفاهيم غير المحددة ، على أساسها يتم تحديد المفاهيم الرياضية بالطرق التالية:

1) من خلال اختلاف الجنس والأنواع الأقرب: أ) وصفي(توضيح العملية التي يتم من خلالها بناء التعريف ، أو وصف الهيكل الداخلي ، اعتمادًا على العمليات التي يتم بواسطتها هذا التعريفتم بناؤه من مفاهيم غير محددة) ؛ ب) بناء(أو وراثي) يشير إلى أصل المفهوم.

على سبيل المثال: أ) المستطيل متوازي أضلاع مستقيمة جميع الزوايا. ب) الدائرة عبارة عن شكل يتكون من جميع نقاط المستوى على مسافات متساوية من نقطة معينة. هذه النقطة تسمى مركز الدائرة.

2) حثي.على سبيل المثال ، تعريف التقدم الحسابي:

3) من خلال التجريد... على سبيل المثال ، الرقم الطبيعي هو سمة من سمات فئات المجموعات المحدودة المكافئة ؛

4) بديهي (تعريف غير مباشر)... على سبيل المثال ، تحديد مساحة الشكل في الهندسة: بالنسبة للأشكال البسيطة ، تعتبر المنطقة قيمة موجبة ، قيمة عدديةالتي لها الخصائص التالية: أ) الأرقام المتساوية لها مساحات متساوية ؛ ب) إذا كان الشكل مقسمًا إلى أجزاء بسيطة ، فإن مساحة هذا الشكل تساوي مجموع مناطق أجزائه ؛ ج) مساحة مربع ضلع يساوي وحدة القياس تساوي واحدًا.

2.2 تعريفات صريحة وضمنية

تنقسم التعريفات إلى:

أ) صريح، حيث يتم تحديد المفاهيم المحددة والمحددة بوضوح (على سبيل المثال ، التعريف من خلال أقرب جنس وفرق بين الأنواع) ؛

ب) ضمني، والتي بنيت على مبدأ استبدال مفهوم بمفهوم آخر بنطاق أوسع ونهاية السلسلة هي مفهوم غير محدد ، أي التعريف المنطقي الرسمي (على سبيل المثال ، المربع هو معين بزاوية قائمة ؛ المعين هو متوازي أضلاع له جوانب متجاورة متساوية ؛ متوازي الأضلاع هو رباعي الأضلاع مع جوانب متوازية زوجية ؛ الرباعي هو شكل يتكون من 4 زوايا ، 4 رؤوس ، 4 جوانب). الخامس تعريفات المدرسةغالبًا ما يتم ممارسة الطريقة الأولى ، ويكون مخططها على النحو التالي: لدينا مجموعات وبعض الخصائص بعد ذلك

المطلب الرئيسي عند إنشاء التعريفات: يجب أن تكون المجموعة التي يتم تحديدها مجموعة فرعية من الحد الأدنى للمجموعة. على سبيل المثال ، دعنا نقارن تعريفين: (1) المربع هو معين بزاوية قائمة. (2) المربع هو متوازي أضلاع له جوانب متساوية وزاوية قائمة (زائدة عن الحاجة).

أي تعريف هو حل لمشكلة "إثبات الوجود". على سبيل المثال ، المثلث القائم الزاوية هو مثلث قائم الزاوية ؛ وجودها هو البناء.

2.3 خصائص الأنواع الرئيسية من الأخطاء

ملحوظة أخطاء نموذجيةالتي يواجهها الطلاب عند تحديد المفاهيم:

1) استخدام مجموعة غير مبسطة كتعريف ، وإدراج خصائص تابعة منطقيًا (نموذجي عند تكرار المادة).

على سبيل المثال: أ) متوازي الأضلاع هو رباعي الزوايا حيث الأضلاع المتقابلة متساوية ومتوازية. ب) يسمى الخط المستقيم عموديًا على المستوى إذا كان ، يتقاطع مع هذا المستوى ، يشكل زاوية قائمة مع كل خط مستقيم مرسوم على المستوى عبر نقطة التقاطع ، بدلاً من: "يسمى الخط المستقيم عموديًا على المستوى إذا كان عموديًا على جميع خطوط هذا المستوى "؛

2) استخدام مفهوم محدد وكمفهوم محدد.

على سبيل المثال ، لا يتم تعريف الزاوية القائمة على أنها زاوية متجاورة متساوية ، ولكن كزاوية ذات جوانب متعامدة بشكل متبادل ؛

3) الحشو - يتم تعريف المفهوم من خلال هذا المفهوم نفسه.

على سبيل المثال ، يتم استدعاء رقمين متشابهين إذا تمت ترجمتهما إلى بعضهما البعض عن طريق تحويل التشابه ؛

4) يشير التعريف أحيانًا إلى مجموعة التعريف الخاطئة التي يتم تخصيص المجموعة الفرعية المحددة منها.

على سبيل المثال ، "الوسيط هو خط مستقيم ..." بدلاً من "الوسيط هو جزء يصل ..." ؛

5)في التعريفات التي قدمها الطلاب ، أحيانًا يكون المفهوم المحدد غائبًا تمامًا ،وهو أمر ممكن فقط عندما لا يتم تدريب الطلاب على إعطاء إجابات كاملة.

تتضمن طريقة تصحيح الأخطاء في التعريفات ، في البداية ، توضيح جوهر الأخطاء المرتكبة ، ثم منع تكرارها.

3. هيكل التعريف

1) هيكل ربط: نقطتان وتسمى متناظرة بالنسبة للخط ص ( أ(x)) إذا كان هذا الخط p عموديًا على المقطع ويمر عبر نقطة المنتصف. سنفترض أيضًا أن كل نقطة من الخط p متناظرة مع نفسها فيما يتعلق بالخط المستقيم p (وجود الاتحاد "و") (* - "منصف الزاوية هو شعاع ينبعث من رأسها ، يمر بين جانبيها ويقسم الزاوية إلى نصفين ").

2)الهيكل البناء: "دعونا رقم معطى و p خط ثابت. خذ نقطة اعتباطية من الشكل وقم بإسقاط العمود العمودي على الخط p. عند استمرار العمود العمودي بعد النقطة ، ضع جانباً قطعة مساوية للمقطع. يسمى تحويل الشكل إلى شكل ، حيث تذهب كل نقطة إلى نقطة تم إنشاؤها بهذه الطريقة ، التناظر حول الخط المستقيم p. "

3) هيكل مفكك: تحديد التعريف ضيمكن كتابة الأعداد الصحيحة بلغة الخصائص مثل Z نأو نأو = 0 ، أين ن -مجموعة من الأعداد مقابل الأعداد الطبيعية.

4. خصائص المراحل الأساسية في دراسة المفاهيم الرياضية

منهجية العمل على التعريف تفترض: 1) معرفة التعريف؛ 2) تعلم التعرف على كائن يتوافق مع هذا التعريف ؛ 3) بناء نماذج مضادة مختلفة. على سبيل المثال ، مفهوم "المثلث القائم الزاوية" والعمل على التعرف على العناصر المكونة له:

يمكن تقسيم دراسة التعريفات الرياضية إلى ثلاث مراحل:

المرحلة 1 - مقدمة - خلق موقف في الدرس حيث "يكتشف" الطلاب أشياء جديدة بأنفسهم ، أو يشكلون تعريفات لهم بأنفسهم ، أو ببساطة يستعدون لفهمها.

المرحلة الثانية - ضمان الاستيعاب - تتلخص في ضمان أن الطلاب:

أ) تعلمت تطبيق التعريف ؛

ب) حفظها بسرعة وبدقة ؛

ج) فهم كل كلمة في صياغتها.

يتم تنفيذ المرحلة الثالثة - الدمج - في دروس لاحقة ، وتتمثل في تكرار صياغاتها ومعالجة مهارات تطبيقها في حل المشكلات.

يتم التعرف على المفاهيم الجديدة:

الطريقة الأولى: يستعد الطلاب للتكوين المستقل للتعريف.

الطريقة الثانية: يستعد الطلاب للإدراك الواعي ، وفهم جملة رياضية جديدة ، ثم يتم توصيل صياغتها لهم في شكل نهائي.

الطريقة الثالثة: يقوم المعلم نفسه بصياغة تعريف جديد دون أي إعداد ، ثم يركز جهود الطلاب على استيعابهم وتوحيدهم.

يمثل 1 و 2 طريقة الكشف عن مجريات الأمور ، 3 عقائدي. يجب أن يكون استخدام أي من الأساليب مناسبًا لمستوى إعداد الفصل وخبرة المعلم.

5. خصائص طرق إدخال المفاهيم

الأساليب التالية ممكنة عند تقديم المفاهيم:

1) يمكن تصميم التمارين لتمكين الطلاب من صياغة تعريف لمفهوم جديد بسرعة.

على سبيل المثال: أ) اكتب العناصر القليلة الأولى من المتسلسلة () ، حيث = 2 ،. هذا التسلسل يسمى التقدم الهندسي. حاول صياغة تعريفه. يمكنك أن تقتصر على التحضير لتصور مفهوم جديد.

ب) اكتب الأعضاء القليلة الأولى من المتسلسلة () ، والتي فيها = 4 ، ثم يعلم المعلم أن مثل هذا التسلسل يسمى تقدمًا حسابيًا ويبلغ هو نفسه عن تعريفه.

2) في دراسة المفاهيم الهندسية ، تتم صياغة التمارين بطريقة تجعل الطلاب أنفسهم يبنون الشكل الضروري ويكونون قادرين على تسليط الضوء على علامات مفهوم جديد ضرورية لصياغة تعريف.

على سبيل المثال: أنشئ مثلثًا عشوائيًا ، وقم بتوصيل رأسه بقطعة في منتصف الجانب المقابل. هذا الجزء يسمى الوسيط. صِغ تعريف الوسيط.

يُقترح أحيانًا وضع نموذج أو ، بالنظر إلى النماذج والرسومات الجاهزة ، تسليط الضوء على علامات مفهوم جديد وصياغة تعريفه.

على سبيل المثال: تم تقديم تعريف خط الموازي في الصف 10. باستخدام النماذج المقترحة لمتوازي السطوح المائلة والمستقيمة والمستطيلة ، حدد السمات التي تختلف بها هذه المفاهيم. صياغة التعاريف المناسبة للمتوازي السطوح المستقيمة والمستطيلة.

3) يتم تقديم العديد من المفاهيم الجبرية بناءً على النظر في أمثلة معينة.

على سبيل المثال: الرسم البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم.

4)طريقة المهام المناسبة ،(من تطوير S.

في الصفوف 5-6 ، تقدم هذه الطريقة المفاهيم التالية: المعادلة ، جذر المعادلة ، حل عدم المساواة ، مفهوم الجمع ، الطرح ، الضرب ، القسمة على الأعداد الطبيعية، الكسور العشرية والمشتركة ، إلخ.

طريقة حثي محددة

جوهر:

أ) يتم أخذ أمثلة محددة في الاعتبار ؛

ب) يتم إبراز الخصائص الأساسية ؛

ج) صياغة تعريف ؛

د) يتم تنفيذ التمارين: للاعتراف ؛ للبناء

هـ) العمل على ممتلكات غير واردة في التعريف.

و) تطبيق الخصائص.

على سبيل المثال: النسق - متوازي الأضلاع:

1 ، 3 ، 5 - متوازي الأضلاع.

ب) السمات الأساسية: رباعي ، التوازي الزوجي من الجانبين.

ج) الاعتراف والبناء:

د) إيجاد (بناء) الرأس الرابع من متوازي الأضلاع (* - المسألة رقم 3 ، المادة 96 ، الهندسة الصف 7-11: كم عدد متوازي الأضلاع يمكن بناؤه برؤوس في ثلاثة نقاط معينةلا ترقد على خط مستقيم واحد؟ قم ببنائها).

هـ) خصائص أخرى:

يتقاطع AC و BD عند النقطة O و AO = OC ، BO = OD ؛ AB = CD ، AD = BC.

و) أ = ج ، ب = د.

التوحيد: حل المشاكل رقم 4-23 ، ص.96-97 ، الهندسة 7-11 ، بوجوريلوف.

القيمة المتوقعة:

أ) يستخدم في دراسة وتعريف المستطيل والمعين ؛

ب) مبدأ التوازي والمساواة بين المقاطع المحصورة بين الخطوط المتوازية في نظرية طاليس ؛

ج) مفهوم النقل المتوازي (ناقل) ؛

د) يتم استخدام خاصية متوازي الأضلاع عند عرض مساحة المثلث ؛

ه) التوازي والعمودي في الفضاء ؛ متوازي السطوح. نشور زجاجي.

طريقة الخلاصة الاستنتاجية

جوهر:

أ) تعريف المفهوم: - المعادلة التربيعية.

ب) إبراز الخصائص الأساسية: x - متغير ؛ أ ، ب ، ج - أرقام ؛ أ؟ 0 في

ج) تجسيد المفهوم: - معطى ؛ أمثلة من المعادلات

د) تمارين: للاعتراف ، للبناء ؛

هـ) دراسة الخصائص التي لم يشملها التعريف: جذور المعادلة وخصائصها.

و) حل المشكلة.

في المدرسة ، يتم استخدام الطريقة الاستنتاجية المجردة عندما يتم إعداد مفهوم جديد بالكامل من خلال دراسة المفاهيم السابقة ، بما في ذلك دراسة أقرب مفهوم عام ، ويكون الاختلاف المحدد للمفهوم الجديد بسيطًا للغاية ومفهومًا للطلاب.

على سبيل المثال: تحديد المعين بعد فحص متوازي الأضلاع.

بالإضافة إلى ذلك ، يتم استخدام الطريقة المحددة:

1) عند تجميع تعريف "النسب" للمفهوم:

المربع هو مستطيل متساوي الأضلاع.

المستطيل متوازي أضلاع مستقيمة جميع الزوايا.

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية.

الشكل الرباعي هو شكل يتكون من أربع نقاط وأربعة مقاطع خطية تربطهم في سلسلة.

بمعنى آخر ، النسب عبارة عن سلسلة من المفاهيم التي تم إنشاؤها من خلال تعميمات المفهوم السابق ، والتي تعتبر نهايتها مفهومًا غير محدد (تذكر أنه في سياق هندسة المدرسة ، تشمل هذه النقاط نقطة ، وشكل ، ومستوى ، ومسافة (لتكمن بين )) ؛

2) التصنيف.

3) ينطبق على إثبات النظرية وحل المشكلة ؛

4) يستخدم على نطاق واسع في عملية تحديث المعرفة.

تأمل هذه العملية ممثلة بنظام المهام:

أ) إعطاء مثلث قائم الزاوية ضلعه 3 سم و 4 سم. أوجد طول الوسيط المرسوم على الوتر.

ب) إثبات أن الوسيط المرسوم من رأس الزاوية اليمنى للمثلث يساوي نصف طول الوتر.

ج) إثبات أنه في مثلث قائم الزاوية ، يقوم منصف الزاوية اليمنى بتقسيم الزاوية بين الوسيط والارتفاع المرسوم على الوتر.

د) عند استمرار أكبر ضلع AC في المثلث ABC ، ​​يتم رسم القطعة CM ، والتي تساوي الضلع BC. إثبات أن التشوه الشرياني الوريدي غبي.

في معظم الحالات ، يتم استخدام طريقة استقرائية محددة في التدريس المدرسي. على وجه الخصوص ، تقدم هذه الطريقة مفاهيم في الدورات التمهيدية لبدايات الجبر والهندسة في الصفوف 1-6 ، ويتم تقديم العديد من المفاهيم التعريفية بشكل وصفي ، دون صيغ صارمة.

جهل المعلم بمختلف طرق إدخال التعريفات يؤدي إلى الشكليات التي تتجلى على النحو التالي:

أ) يجد الطلاب صعوبة في تطبيق التعريف في موقف غير عادي ، على الرغم من أنهم يتذكرون صياغته.

على سبيل المثال: 1) ضع في اعتبارك الوظيفة - حتى ، لأن "كوس" - حتى ؛

2) - لا يفهمون العلاقة بين رتابة الوظيفة وحل عدم المساواة ، أي لا يمكن تطبيق التعريفات المقابلة ، حيث تتمثل طريقة البحث الرئيسية في تقييم علامة الاختلاف في قيم الوظيفة ، أي في حل عدم المساواة.

ب) يمتلك الطلاب المهارات اللازمة لحل المشكلات من أي نوع ، لكن لا يمكنهم الشرح على أساس التعريفات والبديهيات والنظريات التي يؤدونها تحولات معينة.

على سبيل المثال: 1) - قم بالتحويل وفقًا لهذه الصيغة و 2) تخيل أن هناك نموذجًا لهرم رباعي الزوايا على الطاولة. ما المضلع الذي سيكون قاعدة هذا الهرم إذا تم وضع النموذج على المنضدة ذات الوجه الجانبي؟ (رباعي).

لا تقتصر عملية تكوين المعرفة والمهارات والقدرات على توصيل المعرفة الجديدة.

يجب تعلم هذه المعرفة وتوحيدها.

6. طرق التأكد من استيعاب المفاهيم الرياضية (الجمل)

1. إن صيغ العديد من التعريفات (النظريات ، البديهيات) واضحة للطلاب ، ويمكن حفظها بسهولة بعد عدد قليل من التكرارات ، لذلك يُنصح أولاً بعرضها على التذكر ، ثم تعليمهم كيفية تطبيقها في حل المشكلات.

الطريقة التي تحدث بها عمليات حفظ التعريفات وتكوين المهارات في تطبيقها عند الطلاب في أوقات مختلفة (بشكل منفصل) تسمى منفصل.

تُستخدم الطريقة المنفصلة لدراسة تعريفات الوتر ، شبه المنحرف ، الزوجي والدالة الفردية ، نظريات فيثاغورس ، علامات الخطوط المتوازية ، نظرية فييتا ، خصائص عدم المساواة العددية ، قواعد ضرب الكسور العادية ، إضافة الكسور بنفس المقام ، إلخ. .

المنهجية:

أ) يصوغ المعلم تعريفًا جديدًا ؛

ب) الطلاب في الفصل يكررونها 1-3 مرات للحفظ ؛

ج) يمارس في التمارين.

2. المدمج طريقةيتكون من حقيقة أن الطلاب يقرؤون في أجزاء من تعريف رياضي أو جملة ، وأثناء القراءة ، يؤدون التمرين في وقت واحد.

قراءة الصياغة عدة مرات ، وحفظها على طول الطريق.

المنهجية:

أ) إعداد اقتراح رياضي للاستخدام. ينقسم التعريف إلى أجزاء وفقًا للميزات ، والنظرية - إلى شرط وخاتمة ؛

ب) عينة من الإجراءات التي اقترحها المعلم ، والتي توضح كيفية العمل مع النص المعد: نقرأه في أجزاء ونقوم في نفس الوقت بتنفيذ التمارين ؛

ج) يقرأ الطلاب التعريف في أجزاء ويؤدون التمارين في نفس الوقت ، مسترشدين بالنص المعد ونموذج المعلم ؛

على سبيل المثال: تعريف المنصف في الصف الخامس:

1) يتم تقديم المفهوم من خلال طريقة المشكلات الملائمة في نموذج الزاوية ؛

2) التعريف مكتوب: "الشعاع الخارج من أعلى الزاوية ويقسمها إلى قسمين متساويين يسمى منصف الزاوية" ؛

3) يتم تنفيذ المهمة: حدد أي الخطوط في الرسومات هي منصف الزوايا (يُشار إلى الزوايا المتساوية بنفس عدد الأقواس).

في أحد الرسومات ، يوضح المعلم تطبيق التعريف (انظر أدناه) ؛

4) استمرار العمل من قبل الطلاب.

3. مزيج من طريقة الانقسام والمدمجة : بعد إبرام قاعدة جديدة ، تتكرر 2-3 مرات ، ثم يطلب المعلم في عملية أداء التمارين صياغة القاعدة على أجزاء.

4. طريقة حسابية تستخدم لتنمية المهارات في تطبيق الجمل الرياضية.

المنهجية: يتم استبدال الجمل الرياضية بخوارزمية. من خلال قراءة تعليمات الخوارزمية واحدة تلو الأخرى ، يحل الطالب المشكلة. وهكذا ، فإنه يطور مهارة تطبيق التعريف والبديهية والنظرية. في هذه الحالة ، يُسمح إما بالحفظ اللاحق للتعريف ، أو القراءة ، مع الخوارزمية ، للتعريف نفسه.

المراحل الرئيسية للطريقة:

أ) إعداد قائمة بالتعليمات الخاصة بالعمل ، والتي تكون إما جاهزة ، مع توضيح لاحق ، أو يتم توجيه الطلاب إلى تجميعها بأنفسهم ؛

ب) عينة من إجابة المعلم.

ج) يعمل الطلاب بطريقة مماثلة.

تستخدم طرق منفصلة ومضغوطة لدراسة التعاريف. يمكن تطبيق الخوارزمية فقط عند دراسة التعاريف التي يصعب هضمها (على سبيل المثال ، الشروط الضرورية والكافية). يتم استخدام الطريقة الأكثر استخدامًا في الخوارزمية في تكوين مهارات حل المشكلات.

7. أسلوب ترسيخ المفاهيم والجمل الرياضية

الموعد الأول:

يقترح المعلم صياغة وتطبيق بعض التعريفات والبديهيات والنظريات التي يتم مواجهتها في سياق حل المشكلات.

على سبيل المثال: بناء رسم بياني لوظيفة ؛ تعريف الوظيفة الزوجية (الفردية) ؛ شرط ضروري وكافي للوجود.

الاستقبال الثاني:

يقترح المعلم صياغة عدد من التعريفات والنظريات والبديهيات خلال المسح الأمامي ، من أجل تكرارها وفي نفس الوقت التحقق مما إذا كان طلابهم يتذكرونها. هذه التقنية ليست فعالة خارج حل المشكلة. من الممكن الجمع بين الاقتراع الأمامي والتمارين الخاصة التي تتطلب من الطلاب أن يكونوا قادرين على تطبيق التعاريف والنظريات والبديهيات في حالات مختلفة، القدرة على التنقل بسرعة في حالة المشكلة.

استنتاج

معرفة التعريف لا تضمن استيعاب المفهوم. يجب أن يهدف العمل المنهجي مع المفاهيم إلى التغلب على الشكليات ، والتي تتجلى في حقيقة أن الطلاب لا يمكنهم التعرف على الكائن المحدد في المواقف المختلفة التي يحدث فيها.

لا يمكن التعرف على كائن يتوافق مع هذا التعريف وبناء أمثلة مضادة إلا من خلال فهم واضح لهياكل التعريف قيد الدراسة ، والتي يتم من خلالها فهم بنية الجانب الأيمن في مخطط التعريف ().

المؤلفات

1. K.O. أنانتشينكو " المنهجية العامةتدريس الرياضيات في المدرسة "، مينسك ،" Universitetskae "، 1997

2. ن. روجانوفسكي "منهجية التدريس في المدرسة الثانوية"، رر ،" تخرج من المدرسه"، 1990

3. G. Freudenthal “الرياضيات مهمة تربوية"، M. ،" التعليم "، 1998

4. ن. "معمل الرياضيات" ، M. ، "التربية" ، 1997

5. Yu.M. Kolyagin "طرق تدريس الرياضيات في المرحلة الثانوية" ، M. ، "التربية" ، 1999

6. أ. نجار "مشاكل منطقية في تدريس الرياضيات" مينسك "المدرسة العليا" 2000

وثائق مماثلة

أساسيات طرق دراسة المفاهيم الرياضية. المفاهيم الرياضية ومحتواها ونطاقها وتصنيف المفاهيم. السمات النفسية والتربوية لتدريس الرياضيات للصفوف 5-6. الجوانب النفسية لتكوين المفاهيم.

أطروحة تمت الإضافة في 08/08/2007


جوهر تكوين المفاهيم ومخططها العام وخصائصها ومراحل تنفيذها والطرق الممكنة. تصنيف المفاهيم ومنهجيتها للتخصصات الرياضية. التعريف هو المرحلة النهائية في تكوين المفهوم ، تنوعه وخصائصه.

الملخص ، تمت إضافة 04.24.2009


"المفهوم" في علم النفس والتربوي والفلسفي ، الأدب التربوي... أنواع وتعريفات المفاهيم الرياضية في الرياضيات الابتدائية. دور ووظيفة التصنيف في تكوين المفاهيم. نظام تكوين المفاهيم الرياضية.

أطروحة تمت إضافتها في 11/23/2008


الأسس النفسية والتربوية لتكوين المفاهيم العلمية. جوهر ومصادر التعلم الفيتاجيني. طرق وتقنيات تحديد وتحقيق تجربة فيتاجينية للطلاب. تكوين مفاهيم علمية مثل مشكلة تربوية... أنواع المفاهيم العلمية.

أطروحة تمت إضافة 12/13/2009


تحليل المفاهيم الرياضية الأساسية. تقنية لدراسة حالات الضرب والقسمة المجدولة. التعيينات لـ عمل مستقلالطلاب. تنفيذ نهج فردي للتدريب. تمارين لإتقان جدول الضرب ، وتقنيات لاختبار المعرفة.

أطروحة ، تمت إضافة 12/13/2013


تمت إضافة المقال في 15/09/2009


الرؤية كوسيلة لإتقان المفاهيم النحوية. نظام دراسة المفاهيم النحوية في دروس اللغة الروسية باستخدام التصور. نتائج تجربة لتحديد مستوى تعلم المفاهيم النحوية لدى الطلاب الأصغر سنًا.

أطروحة ، تمت إضافتها في 05/03/2015


مكونات القدرات الرياضية ، ودرجة ظهورها في سن المدرسة الابتدائية ، والمتطلبات الطبيعية وشروط التكوين. الأشكال والأساليب الرئيسية لتنفيذ الأنشطة اللامنهجية: فصول الحلقة ، أمسيات الرياضيات ، الألعاب الأولمبية ، الألعاب.

تمت إضافة أطروحة 11/06/2010


طرق تعريف الطلاب بالبديهيات في سياق الهندسة المدرسية ، وطرق الإحداثيات الصناعية التقليدية ، ودور البديهيات في بناء مقرر مدرسي. منهجية لإدخال المفاهيم والنظريات ، مخطط لدراسة علامات المساواة بين المثلثات.

الملخص ، تمت الإضافة في 03/07/2010


ميزات دراسة الرياضيات في المدرسة الابتدائية وفقًا للمعيار التعليمي الفيدرالي للتعليم العام الابتدائي. محتوى الدورة. تحليل المفاهيم الرياضية الأساسية. جوهر النهج الفردي في التعليم.

المحاضرة 5. مفاهيم رياضية

1. نطاق ومحتوى المفهوم. العلاقات بين المفاهيم

2. تعريف المفاهيم. مفاهيم محددة وغير محددة.

3. طرق تحديد المفاهيم.

4. النتائج الرئيسية

عادة ما يتم تقديم المفاهيم التي يتم دراستها في مقرر الرياضيات الابتدائية في شكل أربع مجموعات. الأول يتضمن المفاهيم المتعلقة بالأرقام والعمليات عليها: العدد ، الجمع ، الجمع ، أكبر ، إلخ. يتضمن الثاني مفاهيم جبرية: التعبير ، المساواة ، المعادلات ، إلخ. المجموعة الثالثة تتكون من مفاهيم هندسية: خط ، مقطع ، مثلث ، إلخ. د. المجموعة الرابعة تتكون من مفاهيم تتعلق بالكميات وقياسها.

لدراسة كل مجموعة متنوعة من المفاهيم ، يجب أن يكون لديك فكرة عن المفهوم كفئة منطقية وخصائص المفاهيم الرياضية.

في المنطق المفاهيمينظر إليها على أنها شكل الفكرتعكس الأشياء (الأشياء والظواهر) في جوهرها و الخصائص العامةأوه. الشكل اللغوي للمفهوم هو كلمة (مصطلح) أو مجموعة كلمات.

لتكوين فكرة عن كائن - يعني أن تكون قادرًا على تمييزه عن الأشياء الأخرى المشابهة له. تحتوي المفاهيم الرياضية على عدد من الخصائص المميزة. النقطة الأساسية هي أن الأشياء الرياضية ، التي من المهم للغاية تكوين مفهوم عنها ، لا توجد في الواقع. الأشياء الرياضية يصنعها العقل البشري. هذه أشياء مثالية تعكس أشياء أو ظواهر حقيقية. على سبيل المثال ، في الهندسة ، يتم دراسة شكل وحجم الأشياء ، دون مراعاة الخصائص الأخرى: اللون ، والكتلة ، والصلابة ، إلخ. كل هذا مجردة. لهذا السبب ، في الهندسة ، بدلاً من كلمة "كائن" يقولون "شكل هندسي".

ينتج عن التجريد مفاهيم رياضية مثل "العدد" و "المقدار".

بشكل عام ، الأشياء الرياضية موجودة فقط في تفكير الشخص وفي تلك العلامات والرموز التي تشكل لغة رياضية.

إلى ما قيل ، يمكننا أن نضيف ذلك ، دراسة الأشكال المكانية والعلاقات الكمية للعالم المادي، الرياضيات لا تستخدم فقط طرقًا مختلفة للتجريد ، ولكن التجريد نفسه يعمل كعملية متعددة المراحل. في الرياضيات ، فهم لا يأخذون فقط في الاعتبار المفاهيم التي ظهرت في دراسة الأشياء الحقيقية ، ولكن أيضًا المفاهيم التي نشأت على أساس الأول. على سبيل المثال ، المفهوم العام للوظيفة كمطابقة هو تعميم لمفاهيم وظائف محددة ، ᴛ.ᴇ. التجريد من التجريد.

1. نطاق ومحتوى المفهوم. العلاقات بين المفاهيم

أي كائن رياضي له خصائص معينة. على سبيل المثال ، للمربع أربعة جوانب ، أربع زوايا قائمة تساوي القطر. يمكنك أيضًا تحديد خصائصه الأخرى.

من بين خصائص الكائن مهم وغير مهم... النظر في الملكية ضروري لكائن إذا كان متأصلاً في هذا الكائن وبدونه لا يمكن أن يوجد... على سبيل المثال ، بالنسبة للمربع ، تعتبر جميع الخصائص المذكورة أعلاه ضرورية. الخاصية "الجانب AB أفقي" ليست ضرورية لمربع ABCD.

عندما يتحدثون عن مفهوم رياضي ، فإنهم عادة ما يقصدون مجموعة من الأشياء ، يُشار إليها بواحد مصطلح(بكلمة أو مجموعة كلمات). لذا ، عند الحديث عن مربع ، فإنهم يقصدون كل الأشكال الهندسية التي تكون مربعة. من المعتقد أن مجموعة كل المربعات هي حجم مفهوم "المربع".

عموما، نطاق المفهوم - ϶ᴛᴏ مجموعة من جميع الأشياء المعينة بمصطلح واحد.

أي مفهوم لا يحتوي فقط على الحجم ، ولكن أيضًا المحتوى.

تأمل ، على سبيل المثال ، مفهوم "المستطيل".

نطاق المفهوم ϶ᴛᴏ مجموعة من المستطيلات المختلفة ، ويتضمن محتواها خصائص المستطيلات مثل "لها أربع زوايا قائمة" ، "لها جوانب متقابلة متساوية" ، "لها أقطار متساوية" ، إلخ.

بين نطاق المفهوم ومحتواه هناك العلاقة: إذا زاد حجم المفهوم ، ينخفض ​​محتواه ، والعكس صحيح... لذلك ، على سبيل المثال ، نطاق مفهوم "مربع" هو جزء من نطاق مفهوم "المستطيل" ، ومحتوى مفهوم "مربع" يحتوي على خصائص أكثر من محتوى مفهوم "المستطيل" ("جميع الجوانب متساوية" ، "الأقطار متعامدة بشكل متبادل" وما إلى ذلك).

لا يمكن تعلم أي مفهوم دون إدراك علاقته بالمفاهيم الأخرى. لهذا السبب ، من المهم معرفة ما يمكن أن تكون عليه مفاهيم العلاقات ، وأن تكون قادرًا على إقامة هذه العلاقات.

ترتبط العلاقة بين المفاهيم ارتباطًا وثيقًا بالعلاقة بين أحجامها ، ᴛ.ᴇ. مجموعات.

دعونا نتفق على الإشارة إلى المفاهيم بأحرف صغيرة من الأبجدية اللاتينية: أ ، ب ، ج ، د ، ... ، ض.

دعونا نعطي مفهومين أ و ب. سيتم الإشارة إلى أحجامهم بواسطة A و B على التوالي.

إذا كان أ ⊂ ب (أ ≠ ب) ، فإنهم يقولون إن المفهوم أ محدد فيما يتعلق بالمفهوم ب ، والمفهوم ب عام فيما يتعلق بالمفهوم أ.

على سبيل المثال ، إذا كان a "مستطيلاً" ، و b "رباعي الزوايا" ، فإن مجلديهما A و B مرتبطان بعلاقة التضمين (A ⊂ B و A ≠ B) ، في هذا الصدد ، أي مستطيل هو رباعي الزوايا. لهذا السبب ، يمكن القول أن مفهوم "المستطيل" محدد فيما يتعلق بمفهوم "رباعي الزوايا" ، ومفهوم "رباعي الزوايا" عام فيما يتعلق بمفهوم "المستطيل".

إذا كان A = B ، فيقولون أن المفهومين A و B متطابقان.

على سبيل المثال ، مفهوما "المثلث متساوي الأضلاع" و "المثلث متساوي الساقين" متطابقان ، لأن أحجامهما تتطابق.

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في علاقة الجنس والأنواع بين المفاهيم.

1. أولاً وقبل كل شيء ، تعتبر مفاهيم الجنس والأنواع نسبية: يمكن أن يكون المفهوم نفسه عامًا فيما يتعلق بمفهوم واحد ومحدّدًا بالنسبة إلى الآخر. على سبيل المثال ، مفهوم "المستطيل" عام فيما يتعلق بمفهوم "مربع" ومحدّد فيما يتعلق بمفهوم "رباعي الزوايا".

2. ثانيًا ، بالنسبة لمفهوم معين ، غالبًا ما يكون من الممكن الإشارة إلى عدة مفاهيم عامة. لذلك ، بالنسبة لمفهوم "المستطيل" العام ، توجد مفاهيم "رباعي الزوايا" ، "متوازي الأضلاع" ، "المضلع". من بين المشار إليها ، يمكنك الإشارة إلى الأقرب. لمفهوم "المستطيل" الأقرب هو مفهوم "متوازي الأضلاع".

3. ثالثًا ، مفهوم محدد له كل خصائص المفهوم العام. على سبيل المثال ، المربع ، كونه مفهومًا محددًا فيما يتعلق بمفهوم "المستطيل" ، له جميع الخصائص الكامنة في المستطيل.

نظرًا لأن نطاق المفهوم عبارة عن مجموعة ، فمن الملائم ، عند إنشاء العلاقات بين نطاق المفاهيم ، تصويرها باستخدام دوائر أويلر.

دعونا نؤسس ، على سبيل المثال ، العلاقة بين أزواج المفاهيم التالية أ و ب ، إذا:

1) أ - "مستطيل" ، ب - "معين" ؛

2) أ - "مضلع" ، ب - "متوازي الأضلاع" ؛

3) أ - "خط مستقيم" ، ب - "مقطع".

العلاقات بين المجموعات موضحة في الشكل ، على التوالي.

2. تعريف المفاهيم. مفاهيم محددة وغير محددة.

إن ظهور مفاهيم جديدة في الرياضيات ، وبالتالي المصطلحات الجديدة التي تدل على هذه المفاهيم ، يفترض تعريفها مسبقًا.

حسب التعريفتسمى عادة جملة توضح جوهر المصطلح الجديد (أو التسمية). كقاعدة عامة ، يقومون بذلك على أساس المفاهيم المقدمة مسبقًا. على سبيل المثال ، يمكن تعريف المستطيل على النحو التالي: "يسمى المستطيل عادةً رباعي الزوايا ، حيث تكون جميع الزوايا مستقيمة." هناك جزءان لهذا التعريف - المفهوم الذي يتم تعريفه (المستطيل) والمفهوم المحدد (رباعي الزوايا مع جميع الزوايا على اليمين). إذا أشرنا إلى المفهوم الأول بـ a والثاني بـ b ، فيمكن تمثيل هذا التعريف بالشكل التالي:

أ هو (بالتعريف) ب.

عادةً ما يتم استبدال الكلمات "هو (بالتعريف)" بالرمز ⇔ ، ومن ثم يبدو التعريف كما يلي:

قرأوا: "أ يساوي ب بحكم التعريف." يمكنك أيضًا قراءة هذا الإدخال على النحو التالي: "ولكن إذا وفقط إذا ب.

تسمى التعاريف مع هذا الهيكل صريح... دعونا ننظر فيها بمزيد من التفصيل.

دعنا ننتقل إلى الجزء الثاني من تعريف "المستطيل".

يمكن تمييزها:

1) مفهوم "رباعي الزوايا" ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ عام فيما يتعلق بمفهوم "المستطيل".

2) الخاصية "لها جميع الزوايا مستقيمة" ، تسمح لك بتحديد نوع واحد من جميع المربعات الممكنة - المستطيلات ؛ في هذا الصدد ، يطلق عليه اختلاف الأنواع.

بشكل عام ، التمييز المحدد هو ϶ᴛᴏ خصائص (واحدة أو أكثر) التي تجعل من الممكن تمييز الكائنات المحددة من نطاق مفهوم عام.

يمكن تقديم نتائج تحليلنا في شكل رسم بياني:

يتم استخدام علامة "+" كبديل عن "و" الجسيم.

نحن نعلم أن أي مفهوم له حجم. إذا تم تعريف المفهوم أ من خلال اختلاف الجنس والأنواع ، فعندئذٍ حول حجمه - المجموعة أ - يمكننا القول أنه يحتوي على كائنات تنتمي إلى المجموعة C (حجم المفهوم العام ج) ولها الخاصية P:

A = (x / x ∈ C و P (x)).

نظرًا لأن تعريف المفهوم من خلال اختلاف الجنس والأنواع هو في الأساس اتفاق مشروط على إدخال مصطلح جديد ليحل محل أي مجموعة من المصطلحات المعروفة ، فمن المستحيل القول عن التعريف ما إذا كان صحيحًا أم خطأ ؛ لم يثبت ولا يدحض. لكن عند صياغة التعريفات ، فإنهم يلتزمون بعدد من القواعد. دعنا نسميهم.

1. يجب أن يكون التعريف متكافئ... هذا يعني أن أحجام المفاهيم المحددة والمحددة يجب أن تتطابق.

2. في التعريف (أو نظامهم) يجب ألا تكون هناك حلقة مفرغة... هذا يعني أنه لا يمكنك تحديد مفهوم من خلال نفسه.

3. التعريف يجب أن يكون صافي... من الضروري ، على سبيل المثال ، أن تكون معاني المصطلحات المدرجة في المفهوم التعريفي معروفة بحلول الوقت الذي يتم فيه تقديم تعريف المفهوم الجديد.

4. يتم تعريف نفس المفهوم من خلال اختلاف الجنس والأنواع ، مع مراعاة القواعد التي تمت صياغتها أعلاه ، يمكن أن تكون مختلفة... لذلك ، يمكن تعريف المربع على أنه:

أ) مستطيل تتساوى أضلاعه المجاورة ؛

ب) مستطيل أقطارها متعامدة بشكل متبادل ؛

ج) معين له زاوية قائمة ؛

د) متوازي أضلاع تكون فيه جميع الجوانب متساوية وزواياه مستقيمة.

من الممكن وجود تعريفات مختلفة لنفس المفهوم بسبب العدد الكبير من الخصائص المضمنة في محتوى المفهوم ، ولم يتم تضمين سوى عدد قليل منها في التعريف. وبعد ذلك من التعاريف الممكنة يتم اختيار المرء ، انطلاقا من أي منها يكون أبسط وأكثر ملاءمة لمزيد من بناء النظرية.

دعنا نسمي تسلسل الإجراءات التي يجب أن نتبعها إذا أردنا إعادة إنتاج تعريف مفهوم مألوف أو بناء تعريف لمفهوم جديد:

1. اسم المفهوم المحدد (المصطلح).

2. أشر إلى أقرب مفهوم عام (فيما يتعلق بالمفهوم المحدد).

3. ضع قائمة بالخصائص التي تميز الكائنات المحددة عن النطاق العام ، أي صياغة اختلاف الأنواع.

4. تحقق مما إذا كان قد تم اتباع قواعد تحديد المفهوم (سواء كانت متناسبة ، أو ما إذا كانت هناك حلقة مفرغة ، وما إلى ذلك).

من بين المهارات التي تعلمها الرياضيات والتي تحتاج جميعًا لتعلمها ، القدرة على ذلك صنفالمفاهيم.

الحقيقة هي أن الرياضيات ، مثل العديد من العلوم الأخرى ، لا تدرس أشياء أو ظواهر مفردة ، ولكنها تدرس جسيم... لذلك ، عندما تدرس المثلثات ، فإنك تدرس خصائص أي مثلثات ، وهناك عدد لا حصر له منها. بشكل عام ، نطاق أي مفهوم رياضي ، كقاعدة عامة ، لا نهائي.

من أجل التمييز بين كائنات المفاهيم الرياضية ، ودراسة خصائصها ، يتم عادةً تقسيم هذه المفاهيم إلى أنواع ، فئات. في الواقع ، بالإضافة إلى الخصائص العامة ، فإن أي مفهوم رياضي له العديد من الخصائص الأكثر أهمية التي ليست متأصلة في جميع كائنات هذا المفهوم ، ولكن فقط في أشياء من نوع معين. وبالتالي، مثلثات قائمة الزاوية، بالإضافة إلى الخصائص العامة لأي مثلثات ، فإن لها العديد من الخصائص المهمة جدًا للممارسة ، على سبيل المثال نظرية فيثاغورس, النسب بين الزوايا والجوانب ، إلخ.

في عملية دراسة المفاهيم الرياضية منذ قرون ، في عملية تطبيقاتها العديدة في الحياة ، في العلوم الأخرى ، أنواع خاصةالحصول على أكثر خصائص مثيرة للاهتمام، والتي غالبًا ما يتم العثور عليها واستخدامها في الممارسة. لذلك ، هناك عدد لا نهائي من الأشكال الرباعية المختلفة ، ولكن من الناحية العملية ، في التكنولوجيا ، يتم استخدام أنواع معينة فقط منها: المربعات ، المستطيلات ، متوازي الأضلاع ، المعينات ، شبه المنحرف.

تصنيف هذا المفهوم هو تقسيم حجم المفهوم إلى أجزاء. بتعبير أدق ، يُفهم التصنيف على أنه توزيع كائنات مفهوم ما في فئات مترابطة (أنواع وأنواع) وفقًا لأكثر من الميزات الأساسية(الخصائص). يتم استدعاء السمة (الخاصية) التي يتم من خلالها تصنيف (تقسيم) المفهوم إلى أنواع (فئات) أساستصنيف.

يعكس التصنيف المصمم بشكل صحيح للمفهوم أهم الخصائص والصلات بين كائنات المفهوم ، ويساعد على التنقل بشكل أفضل في مجموعة هذه الكائنات ، ويجعل من الممكن إنشاء مثل هذه الخصائص لهذه الكائنات الأكثر أهمية لتطبيق هذا المفهوم في العلوم الأخرى والممارسة اليومية.

يتم تصنيف المفهوم بناءً على واحد أو أكثر من الأسباب الأكثر أهمية.

لذلك ، يمكن تصنيف المثلثات حسب حجم الزوايا. نحصل على الأنواع التالية: زاوية حادة (جميع الزوايا حادة) ، مستطيل (زاوية واحدة مستقيمة ، والباقي حادة) ، زاوية منفرجة (زاوية منفرجة ، والباقي حاد). إذا أخذنا العلاقة بين الأضلاع كأساس لتقسيم المثلثات ، فإننا نحصل على الأنواع التالية: متعدد الاستخدامات ، متساوي الساقين ومنتظم (متساوي الأضلاع).

يكون الأمر أكثر صعوبة عندما يتعين عليك تصنيف مفهوم على عدة أسس. لذلك ، إذا تم تصنيف المربعات المحدبة وفقًا لتوازي الجوانب ، فإننا في جوهرها نحتاج إلى تقسيم كل المربعات المحدبة في وقت واحد وفقًا لمعيارين: 1) زوج واحد من الأضلاع المتقابلة متوازي أم لا ؛ 2) الزوج الثاني من الأضلاع المتقابلة متوازي أم لا. نتيجة لذلك ، نحصل على ثلاثة أنواع من المربعات المحدبة: 1) رباعي الزوايا مع جوانب غير متوازية ؛ 2) رباعي الزوايا مع زوج واحد من الجوانب المتوازية - شبه المنحرف ؛ 3) رباعي الزوايا بزوجين من الأضلاع المتوازية - متوازي الأضلاع.

في كثير من الأحيان ، يتم تصنيف المفهوم على مراحل: أولاً ، على أساس واحد ، ثم يتم تقسيم بعض الأنواع إلى سلالات فرعية على أساس مختلف ، وما إلى ذلك. ومن الأمثلة على ذلك تصنيف المربعات. في المرحلة الأولى ، يتم تقسيمهم حسب تحدبهم. ثم يتم تقسيم المربعات المحدبة وفقًا لتوازي الجانبين. في المقابل ، يتم تقسيم متوازي الأضلاع وفقًا لوجود الزوايا القائمة ، إلخ.

عند إجراء التصنيف ، يجب اتباع قواعد معينة. دعونا نشير إلى أهمها.

1. كأساس للتصنيف ، يمكن للمرء أن يأخذ فقط سمة مشتركة لجميع كائنات مفهوم معين.لذلك ، على سبيل المثال ، من المستحيل أخذ علامة ترتيب المصطلحات حسب درجات بعض المتغيرات كأساس لتصنيف التعبيرات الجبرية. هذه الميزة ليست شائعة في جميع التعبيرات الجبرية ؛ على سبيل المثال ، لا معنى لها للتعبيرات الكسرية أو الأحادية. تمتلك كثيرات الحدود فقط هذه الميزة ، لذلك يمكن تصنيف كثيرات الحدود وفقًا لأعلى درجة من المتغير الأساسي.
2. يجب أن يؤخذ أساس التصنيف بالخصائص الأساسية (السمات) للمفاهيم.لنتأمل مرة أخرى في مفهوم التعبير الجبري. تتمثل إحدى خصائص هذا المفهوم في أن المتغيرات المضمنة في التعبير الجبري يتم الإشارة إليها ببعض الأحرف. هذه الخاصية عامة ، لكنها ليست ضرورية ، لأن طابع التعبير لا يعتمد على الحرف الذي تم تعيينه لهذا المتغير أو ذاك. وهكذا ، التعبيرات الجبرية س + صو أ + بهو في الأساس نفس التعبير. لذلك ، يجب ألا تصنف التعبيرات على أساس تعيين المتغيرات بالحروف. إنها مسألة أخرى إذا أخذنا كأساس لتصنيف التعبيرات الجبرية سمة نوع الإجراءات التي ترتبط بها المتغيرات ، أي الإجراءات التي يتم تنفيذها على المتغيرات. هذه الميزة المشتركة ضرورية للغاية ، وسيكون التصنيف القائم على هذه الميزة صحيحًا ومفيدًا.
3. في كل مرحلة من مراحل التصنيف ، يمكن تطبيق نوع واحد فقط من الأساس.لا يمكنك تصنيف مفهوم في وقت واحد على أساسين مختلفين. على سبيل المثال ، من المستحيل تصنيف المثلثات دفعة واحدة من حيث الحجم والنسبة بين الأضلاع ، لأنه نتيجة لذلك نحصل على فئات من المثلثات التي تحتوي على عناصر مشتركة (على سبيل المثال ، الزاوية الحادة ومتساوية الساقين أو المنفرجة والمتساوية الساقين ، إلخ. .). تم هنا انتهاك متطلبات التصنيف التالية: نتيجة التصنيف في كل مرحلة ، يجب ألا تتداخل الفئات (الأنواع) الناتجة.
4. في نفس الوقت يجب أن يكون التصنيف لأي سبب شاملاً ويجب أن يقع كل موضوع في المفهوم نتيجة التصنيف في فئة واحدة وفئة واحدة فقط.

لذلك ، فإن تقسيم جميع الأعداد الصحيحة إلى موجب وسالب غير صحيح ، لأن العدد الصحيح صفر لم يقع في أي من الفئات. يجب أن نقول هذا: الأعداد الصحيحة تنقسم إلى ثلاث فئات - موجب وسالب والعدد صفر.

في كثير من الأحيان ، عند تصنيف المفاهيم ، يتم تمييز بعض الفئات فقط بوضوح ، والباقي ضمني فقط. لذلك ، على سبيل المثال ، في دراسة التعبيرات الجبرية ، عادة ما يتم تمييز هذه الأنواع منها: أحادية ، متعددة الحدود ، تعبيرات كسرية ، غير منطقية. لكن هذه الأنواع لا تستنفد جميع أنواع التعبيرات الجبرية ، وبالتالي فإن هذا التصنيف هو غير مكتمل.

يمكن إجراء التصنيف الصحيح الكامل للتعبيرات الجبرية على النحو التالي.

في المرحلة الأولى من تصنيف التعبيرات الجبرية ، يتم تقسيمها إلى فئتين: عقلاني وغير عقلاني. في المرحلة الثانية ، يتم تقسيم التعبيرات المنطقية إلى تعابير صحيحة وجزئية. في الخطوة الثالثة ، يتم تقسيم التعبيرات الكاملة إلى عبارات أحادية ومتعددة الحدود وتعبيرات كاملة معقدة.

يمكن تمثيل هذا التصنيف على النحو التالي

التكليف 7

7.1. لماذا لا يمكن تصنيف الأعداد المنطقية حسب تساويها؟

7.2. حدد ما إذا كان تقسيم المفهوم صحيحًا:

أ) يمكن أن تكون القيم متساوية أو غير متساوية.

ب) الوظائف تتزايد وتتناقص.

ج) يمكن أن تكون المثلثات متساوية الساقين حادة الزاوية ومستطيلة ومنفرجة الزاوية.

د) المستطيلات عبارة عن مربعات ومعينات.

7.3. قسّم مفهوم "الشكل الهندسي" على خاصيته ليحتل جزءًا من المستوى مع إعطاء أمثلة لكل نوع.

7.4. بناء مخططات تصنيف ممكنة للأرقام المنطقية.

7.5. بناء مخطط تصنيف للمفاهيم التالية:

أ) رباعي الزوايا.

ب) زاويتين.

7.6. صنف المفاهيم التالية:

أ) مثلث ودائرة.

ب) الزوايا في دائرة.

ج) دائرتان.

د) الخط والدائرة.

ه) المعادلات التربيعية.

و) نظام من معادلتين من الدرجة الأولى مع مجهولين.