প্রতিদিন। ফুরিয়ার সিরিজ: বিজ্ঞানের বিকাশের উপর গাণিতিক প্রক্রিয়ার ইতিহাস এবং প্রভাব ফুরিয়ার সিরিজের ধ্রুবক উপাদান ই এর সমান

ফুরিয়ার সিরিজ হল একটি সিরিজ হিসাবে একটি নির্দিষ্ট সময়ের সাথে একটি নির্বিচারে নেওয়া ফাংশনের একটি উপস্থাপনা। AT সাধারণ দৃষ্টিকোণএই দ্রবণকে অর্থোগোনাল ভিত্তিতে একটি উপাদানের পচন বলা হয়। ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশনগুলির সম্প্রসারণ এই রূপান্তরের বৈশিষ্ট্যগুলির কারণে বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য একটি মোটামুটি শক্তিশালী হাতিয়ার যখন একীভূতকরণ, পার্থক্যকরণ এবং সেইসাথে একটি আর্গুমেন্ট এবং কনভল্যুশনে একটি অভিব্যক্তি স্থানান্তরিত করা হয়।

একজন ব্যক্তি যিনি উচ্চতর গণিতের সাথে পরিচিত নন, সেইসাথে ফরাসি বিজ্ঞানী ফুরিয়ারের কাজের সাথে, সম্ভবত এই "সিরিজ" কী এবং এগুলি কীসের জন্য তা বুঝতে পারবেন না। এদিকে, এই রূপান্তরটি আমাদের জীবনে বেশ ঘন হয়ে উঠেছে। এটি শুধুমাত্র গণিতবিদদের দ্বারাই নয়, পদার্থবিদ, রসায়নবিদ, চিকিত্সক, জ্যোতির্বিজ্ঞানী, সিসমোলজিস্ট, সমুদ্রবিজ্ঞানী এবং আরও অনেকে ব্যবহার করেন। আসুন আমরা মহান ফরাসি বিজ্ঞানীর কাজগুলিও ঘনিষ্ঠভাবে দেখি, যিনি তার সময়ের আগে একটি আবিষ্কার করেছিলেন।

ম্যান অ্যান্ড দ্য ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম

ফুরিয়ার সিরিজ পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি (বিশ্লেষণ এবং অন্যান্য সহ) এই প্রক্রিয়াটি প্রতিবার ঘটে যখন একজন ব্যক্তি কোন শব্দ শোনেন। আমাদের কান স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রাথমিক কণাগুলিকে একটি ইলাস্টিক মাধ্যমে রূপান্তরিত করে, তারা বিভিন্ন উচ্চতার টোনের জন্য ভলিউম স্তরের ধারাবাহিক মানের সারি (বর্ণালী বরাবর) পচে যায়। এর পরে, মস্তিষ্ক এই ডেটাটিকে আমাদের কাছে পরিচিত শব্দে পরিণত করে। এই সব আমাদের ইচ্ছা বা চেতনা ছাড়াও ঘটে, নিজে থেকে, কিন্তু এই প্রক্রিয়াগুলি বুঝতে, উচ্চতর গণিত অধ্যয়ন করতে কয়েক বছর সময় লাগবে।

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম সম্পর্কে আরও

ফুরিয়ার রূপান্তর বিশ্লেষণাত্মক, সংখ্যাসূচক এবং অন্যান্য পদ্ধতি দ্বারা বাহিত হতে পারে। ফুরিয়ার সিরিজ কোন দোলক প্রক্রিয়ার পচনের সংখ্যাগত উপায়কে নির্দেশ করে - সমুদ্রের জোয়ার এবং আলোর তরঙ্গ থেকে সৌর (এবং অন্যান্য জ্যোতির্বিজ্ঞানের বস্তু) কার্যকলাপের চক্র পর্যন্ত। এই গাণিতিক কৌশলগুলি ব্যবহার করে, ফাংশন বিশ্লেষণ করা সম্ভব, যেকোন দোলনীয় প্রক্রিয়াকে সাইনোসয়েডাল উপাদানগুলির একটি সিরিজ হিসাবে উপস্থাপন করে যা সর্বনিম্ন থেকে সর্বোচ্চ এবং এর বিপরীতে যায়। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম একটি ফাংশন যা একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সির সাথে সম্পর্কিত সাইনোসয়েডের ফেজ এবং প্রশস্ততা বর্ণনা করে। এই প্রক্রিয়াটি খুব সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে জটিল সমীকরণ, যা বর্ণনা করে গতিশীল প্রক্রিয়াতাপ, আলো বা বৈদ্যুতিক শক্তির কর্মের অধীনে উদ্ভূত। এছাড়াও, ফুরিয়ার সিরিজ জটিল দোলক সংকেতগুলিতে ধ্রুবক উপাদানগুলিকে বিচ্ছিন্ন করা সম্ভব করে, যা ওষুধ, রসায়ন এবং জ্যোতির্বিদ্যায় প্রাপ্ত পরীক্ষামূলক পর্যবেক্ষণগুলিকে সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করা সম্ভব করে।

ইতিহাসের রেফারেন্স

এই তত্ত্বের প্রতিষ্ঠাতা হলেন ফরাসি গণিতবিদ জিন ব্যাপটিস্ট জোসেফ ফুরিয়ার। এই রূপান্তরটি পরবর্তীকালে তার নামে নামকরণ করা হয়েছিল। প্রাথমিকভাবে, বিজ্ঞানী তাপ সঞ্চালনের প্রক্রিয়াগুলি অধ্যয়ন এবং ব্যাখ্যা করার জন্য তার পদ্ধতি প্রয়োগ করেছিলেন - তাপের বিস্তার কঠিন পদার্থ. ফুরিয়ার পরামর্শ দিয়েছিলেন যে মূল অনিয়মিত বন্টনটি সহজতম সাইনোসয়েডগুলিতে পচনশীল হতে পারে, যার প্রত্যেকটির নিজস্ব তাপমাত্রা সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ এবং সেইসাথে নিজস্ব ফেজ থাকবে। এই ক্ষেত্রে, এই জাতীয় প্রতিটি উপাদান সর্বনিম্ন থেকে সর্বোচ্চ এবং তদ্বিপরীত পরিমাপ করা হবে। গাণিতিক ফাংশন যা বক্ররেখার উপরের এবং নীচের শিখরগুলিকে বর্ণনা করে, সেইসাথে প্রতিটি হারমোনিক্সের পর্যায়গুলিকে তাপমাত্রা বন্টন প্রকাশের ফুরিয়ার রূপান্তর বলে। তত্ত্বের লেখক সাধারণ বিতরণ ফাংশন হ্রাস করেছেন, যা করা কঠিন গাণিতিক বর্ণনা, কোসাইন এবং সাইনের একটি খুব সুবিধাজনক সিরিজে, মূল বন্টন দেওয়ার জন্য সংক্ষিপ্তকরণ।

রূপান্তরের নীতি এবং সমসাময়িকদের মতামত

বিজ্ঞানীর সমসাময়িকরা - উনিশ শতকের প্রথম দিকের নেতৃস্থানীয় গণিতবিদরা - এই তত্ত্বটি গ্রহণ করেননি। প্রধান আপত্তি ছিল ফুরিয়ারের দাবী যে একটি বিচ্ছিন্ন ফাংশন একটি সরল রেখা বা একটি বিচ্ছিন্ন বক্ররেখা বর্ণনা করে যা অবিচ্ছিন্ন সাইনোসয়েডাল অভিব্যক্তির সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। একটি উদাহরণ হিসাবে, হেভিসাইডের "পদক্ষেপ" বিবেচনা করুন: এর মান ফাঁকের বাম দিকে শূন্য এবং ডানে একটি। এই ফাংশনটি সার্কিট বন্ধ থাকাকালীন সময়ের পরিবর্তনশীলের উপর বৈদ্যুতিক প্রবাহের নির্ভরতা বর্ণনা করে। তৎকালীন তত্ত্বের সমসাময়িকরা কখনও এমন পরিস্থিতির সম্মুখীন হননি, যখন একটি অবিচ্ছিন্ন অভিব্যক্তি একটি সূচকীয়, সাইনুসয়েড, রৈখিক বা চতুর্মাত্রিকের মতো অবিচ্ছিন্ন, সাধারণ ফাংশনের সংমিশ্রণ দ্বারা বর্ণনা করা হবে।

ফুরিয়ার তত্ত্বে ফরাসি গণিতবিদদের কি বিভ্রান্ত?

সর্বোপরি, গণিতবিদ যদি তার বিবৃতিতে সঠিক ছিলেন, তাহলে অসীম ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজের সংকলন করে, কেউ ধাপে ধাপে অভিব্যক্তিটির সঠিক উপস্থাপনা পেতে পারে যদিও এটির অনেকগুলি অনুরূপ পদক্ষেপ রয়েছে। ঊনবিংশ শতাব্দীর শুরুতে এ ধরনের বক্তব্য অযৌক্তিক মনে হয়েছিল। কিন্তু সমস্ত সন্দেহ সত্ত্বেও, অনেক গণিতবিদ এই ঘটনাটির অধ্যয়নের সুযোগকে প্রসারিত করেছেন, এটিকে তাপ পরিবাহিতা অধ্যয়নের সুযোগের বাইরে নিয়ে গেছেন। যাইহোক, বেশিরভাগ বিজ্ঞানীরা এই প্রশ্ন দ্বারা যন্ত্রণার শিকার হতে থাকেন: "সাইনুসয়েডাল সিরিজের যোগফল কি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের সঠিক মানের সাথে একত্রিত হতে পারে?"

ফুরিয়ার সিরিজ কনভারজেন্স: একটি উদাহরণ

যখনই সংখ্যার অসীম সিরিজ যোগ করার প্রয়োজন হয় তখনই কনভারজেন্সের প্রশ্ন উত্থাপিত হয়। এই ঘটনাটি বুঝতে, বিবেচনা করুন ক্লাসিক উদাহরণ. আপনি কি কখনও প্রাচীরের কাছে পৌঁছাতে পারবেন যদি প্রতিটি ধারাবাহিক পদক্ষেপ পূর্ববর্তীটির আকারের অর্ধেক হয়? ধরুন আপনি লক্ষ্য থেকে দুই মিটার দূরে, প্রথম ধাপটি আপনাকে অর্ধেক পয়েন্টের কাছাকাছি নিয়ে আসবে, পরেরটি তিন-চতুর্থাংশ চিহ্নের কাছাকাছি, এবং পঞ্চম ধাপের পর আপনি পথের প্রায় 97 শতাংশ কভার করবেন। যাইহোক, আপনি যতই পদক্ষেপ নিন না কেন, আপনি কঠোর গাণিতিক অর্থে অভিপ্রেত লক্ষ্য অর্জন করতে পারবেন না। সংখ্যাসূচক গণনা ব্যবহার করে, এটি দেখানো যেতে পারে যে শেষ পর্যন্ত একটি নির্বিচারে ছোট প্রদত্ত দূরত্বের কাছে যাওয়া সম্ভব। এই প্রমাণটি দেখানোর সমতুল্য যে এক-অর্ধেক, এক-চতুর্থাংশ ইত্যাদির মোট মান একের দিকে ঝোঁকবে।

কনভারজেন্সের একটি প্রশ্ন: দ্য সেকেন্ড কমিং বা লর্ড কেলভিনের অ্যাপ্লায়েন্স

এই প্রশ্নটি ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে আবার উত্থাপিত হয়েছিল, যখন ভাটা এবং প্রবাহের তীব্রতা অনুমান করার জন্য ফুরিয়ার সিরিজ ব্যবহার করার চেষ্টা করা হয়েছিল। এই সময়ে, লর্ড কেলভিন একটি ডিভাইস আবিষ্কার করেন, যা একটি এনালগ কম্পিউটিং ডিভাইস যা সামরিক এবং বণিক বহরের নাবিকদের এই প্রাকৃতিক ঘটনাটি ট্র্যাক করার অনুমতি দেয়। এই প্রক্রিয়াটি জোয়ারের উচ্চতা এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সময়ের মুহূর্তগুলির একটি টেবিল থেকে পর্যায় এবং প্রশস্ততার সেটগুলি নির্ধারণ করে, বছরের সময় একটি প্রদত্ত বন্দরে সাবধানে পরিমাপ করা হয়। প্রতিটি প্যারামিটার ছিল জোয়ারের উচ্চতা প্রকাশের একটি সাইনোসয়েডাল উপাদান এবং নিয়মিত উপাদানগুলির মধ্যে একটি ছিল। পরিমাপের ফলাফলগুলি লর্ড কেলভিনের ক্যালকুলেটরে প্রবেশ করানো হয়েছিল, যা একটি বক্ররেখা সংশ্লেষিত করেছিল যা পরবর্তী বছরের জন্য সময়ের ফাংশন হিসাবে জলের উচ্চতা পূর্বাভাস দেয়। খুব শীঘ্রই বিশ্বের সমস্ত পোতাশ্রয়ের জন্য একই বক্ররেখা তৈরি করা হয়েছিল।

এবং যদি প্রক্রিয়া একটি বিচ্ছিন্ন ফাংশন দ্বারা ভাঙ্গা হয়?

সেই সময়ে, এটা সুস্পষ্ট বলে মনে হয়েছিল যে বিপুল সংখ্যক গণনা উপাদান সহ একটি জোয়ার-ভাটার ভবিষ্যদ্বাণীকারী অনেকগুলি পর্যায় এবং প্রশস্ততা গণনা করতে পারে এবং এইভাবে আরও সঠিক ভবিষ্যদ্বাণী প্রদান করতে পারে। তবুও, দেখা গেল যে এই নিয়মিততা সেই ক্ষেত্রে পরিলক্ষিত হয় না যখন সংশ্লেষিত হওয়া জোয়ারের অভিব্যক্তিতে একটি তীক্ষ্ণ লাফ থাকে, অর্থাৎ, এটি অবিচ্ছিন্ন ছিল। ইভেন্টে যে ডেটা সময় সারণী থেকে ডিভাইসে প্রবেশ করা হয়, তারপর এটি বেশ কয়েকটি ফুরিয়ার সহগ গণনা করে। সাইনোসয়েডাল উপাদানগুলির জন্য মূল ফাংশন পুনরুদ্ধার করা হয় (পাওয়া সহগ অনুযায়ী)। মূল এবং পুনরুদ্ধার করা অভিব্যক্তির মধ্যে পার্থক্য যে কোনো সময়ে পরিমাপ করা যেতে পারে। বারবার গণনা এবং তুলনা করার সময়, এটি দেখা যায় যে মান সবচেয়ে বড় ভুলকমে না। যাইহোক, এগুলি বিচ্ছিন্নতা বিন্দুর সাথে সংশ্লিষ্ট অঞ্চলে স্থানীয়করণ করা হয় এবং অন্য যে কোনও বিন্দুতে শূন্যের দিকে ঝোঁক। 1899 সালে, এই ফলাফলটি তাত্ত্বিকভাবে ইয়েল বিশ্ববিদ্যালয়ের জোশুয়া উইলার্ড গিবস দ্বারা নিশ্চিত করা হয়েছিল।

ফুরিয়ার সিরিজের কনভারজেন্স এবং সাধারণভাবে গণিতের বিকাশ

ফুরিয়ার বিশ্লেষণ একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে অসীম সংখ্যক বিস্ফোরণ ধারণকারী অভিব্যক্তির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। সাধারণভাবে, ফুরিয়ার সিরিজ, যদি আসল ফাংশনটি বাস্তবের ফলাফল দ্বারা উপস্থাপন করা হয় শারীরিক মাত্রা, সবসময় একত্রিত হয়. ফাংশনের নির্দিষ্ট শ্রেণীর জন্য এই প্রক্রিয়ার একত্রিত হওয়ার প্রশ্নগুলি গণিতে নতুন বিভাগগুলির উত্থানের দিকে পরিচালিত করেছে, উদাহরণস্বরূপ, সাধারণীকৃত ফাংশনের তত্ত্ব। এটি L. Schwartz, J. Mikusinsky এবং J. Temple এর মতো নামের সাথে যুক্ত। এই তত্ত্বের কাঠামোর মধ্যে, একটি পরিষ্কার এবং সুনির্দিষ্ট তত্ত্বীয় পেছনভাগডিরাক ডেল্টা ফাংশন (এটি একটি বিন্দুর অসীম আশেপাশে কেন্দ্রীভূত একটি একক এলাকার একটি অঞ্চলকে বর্ণনা করে) এবং হেভিসাইডের "পদক্ষেপ" এর মতো অভিব্যক্তির অধীনে। এই কাজের জন্য ধন্যবাদ, ফুরিয়ার সিরিজ সমীকরণ এবং সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য প্রযোজ্য হয়েছে যেখানে স্বজ্ঞাত ধারণাগুলি উপস্থিত হয়: একটি বিন্দু চার্জ, একটি বিন্দু ভর, চৌম্বকীয় ডাইপোল এবং একটি বিমের উপর একটি ঘনীভূত লোড।

ফুরিয়ার পদ্ধতি

ফুরিয়ার সিরিজ, হস্তক্ষেপের নীতি অনুসারে, জটিল ফর্মগুলির পচন দিয়ে সহজে শুরু হয়। উদাহরণস্বরূপ, তাপ প্রবাহের পরিবর্তনকে ব্যাখ্যা করা হয় অনিয়মিত আকারের তাপ-অন্তরক উপাদান দিয়ে তৈরি বিভিন্ন বাধা বা পৃথিবীর পৃষ্ঠের পরিবর্তন - একটি ভূমিকম্প, কক্ষপথের পরিবর্তন স্বর্গীয় শরীরের- গ্রহের প্রভাব। একটি নিয়ম হিসাবে, সাধারণ শাস্ত্রীয় সিস্টেমের বর্ণনাকারী অনুরূপ সমীকরণগুলি প্রতিটি পৃথক তরঙ্গের জন্য প্রাথমিকভাবে সমাধান করা হয়। ফুরিয়ার সেটা দেখিয়েছেন সহজ সমাধানআরও জটিল সমস্যার সমাধান পেতেও সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে। গণিতের ভাষায় প্রকাশ করা হয়েছে, ফুরিয়ার সিরিজ হল একটি অভিব্যক্তিকে হারমোনিক্স - কোসাইন এবং সাইনুসয়েডের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করার একটি কৌশল। এই জন্য এই বিশ্লেষণ"হারমোনিক বিশ্লেষণ" নামেও পরিচিত।

ফুরিয়ার সিরিজ - "কম্পিউটার যুগ" এর আগে আদর্শ কৌশল

কম্পিউটার প্রযুক্তি তৈরির আগে, আমাদের বিশ্বের তরঙ্গ প্রকৃতির সাথে কাজ করার সময় ফুরিয়ার কৌশলটি বিজ্ঞানীদের অস্ত্রাগারের সেরা অস্ত্র ছিল। একটি জটিল আকারে ফুরিয়ার সিরিজটি কেবলমাত্র সাধারণ সমস্যাগুলিই সমাধান করতে দেয় না যা সরাসরি নিউটনের বলবিদ্যার নিয়মগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে, তবে মৌলিক সমীকরণগুলিও। ঊনবিংশ শতাব্দীতে নিউটনীয় বিজ্ঞানের বেশিরভাগ আবিষ্কার শুধুমাত্র ফুরিয়ারের কৌশল দ্বারা সম্ভব হয়েছিল।

আজ ফুরিয়ার সিরিজ

কম্পিউটারের বিকাশের সাথে, ফুরিয়ার রূপান্তরগুলি গুণগতভাবে নতুন স্তরে উন্নীত হয়েছে। এই কৌশলটি বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির প্রায় সব ক্ষেত্রেই দৃঢ়ভাবে নিহিত রয়েছে। একটি উদাহরণ হল একটি ডিজিটাল অডিও এবং ভিডিও সংকেত। ঊনবিংশ শতাব্দীর শুরুতে একজন ফরাসি গণিতবিদ দ্বারা বিকশিত তত্ত্বের কারণেই এর উপলব্ধি সম্ভব হয়েছিল। এইভাবে, একটি জটিল আকারে ফুরিয়ার সিরিজটি বাইরের মহাকাশের অধ্যয়নে একটি অগ্রগতি করা সম্ভব করেছিল। এছাড়াও, এটি অর্ধপরিবাহী পদার্থ এবং প্লাজমা, মাইক্রোওয়েভ অ্যাকোস্টিক, সমুদ্রবিদ্যা, রাডার এবং সিসমোলজির পদার্থবিদ্যার অধ্যয়নকে প্রভাবিত করে।

ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজ

গণিতে, একটি ফুরিয়ার সিরিজ নির্বিচারে প্রতিনিধিত্ব করার একটি উপায় জটিল ফাংশনসরলদের যোগফল। সাধারণ ক্ষেত্রে, এই ধরনের অভিব্যক্তির সংখ্যা অসীম হতে পারে। তদুপরি, গণনায় তাদের সংখ্যা যত বেশি বিবেচনা করা হয়, চূড়ান্ত ফলাফল তত বেশি নির্ভুল। প্রায়শই, কোসাইন বা সাইনের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি সহজতম হিসাবে ব্যবহৃত হয়। এই ক্ষেত্রে, ফুরিয়ার সিরিজকে বলা হয় ত্রিকোণমিতিক, এবং এই ধরনের রাশির সমাধানকে বলা হয় হারমোনিকের প্রসারণ। এই পদ্ধতি খেলে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকাগণিতে প্রথমত, ত্রিকোণমিতিক সিরিজ ছবির জন্য একটি উপায় প্রদান করে, সেইসাথে ফাংশন অধ্যয়ন, এটি তত্ত্বের প্রধান যন্ত্রপাতি। এছাড়াও, এটি গাণিতিক পদার্থবিদ্যার বেশ কয়েকটি সমস্যা সমাধানের অনুমতি দেয়। অবশেষে, এই তত্ত্বটি জীবনে আনা বিকাশে অবদান রেখেছিল পুরো লাইনগাণিতিক বিজ্ঞানের অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বিভাগ (অখণ্ডের তত্ত্ব, পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের তত্ত্ব)। উপরন্তু, এটি একটি বাস্তব পরিবর্তনশীলের নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির বিকাশের জন্য একটি সূচনা বিন্দু হিসাবে কাজ করে এবং সুরেলা বিশ্লেষণের সূচনাও চিহ্নিত করে।

পিরিয়ড 2π সহ পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ।

ফুরিয়ার সিরিজ আপনাকে পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলিকে উপাদানগুলিতে পচিয়ে অধ্যয়ন করতে দেয়। বিকল্প স্রোত এবং ভোল্টেজ, স্থানচ্যুতি, ক্র্যাঙ্ক মেকানিজমের গতি এবং ত্বরণ এবং শাব্দ তরঙ্গ প্রকৌশল গণনার মধ্যে পর্যায়ক্রমিক ফাংশন প্রয়োগের সাধারণ ব্যবহারিক উদাহরণ।

ফুরিয়ার সিরিজের সম্প্রসারণটি এই ধারণার উপর ভিত্তি করে যে ব্যবধানে ব্যবহারিক গুরুত্বের সমস্ত ফাংশন -π ≤ x ≤ π অভিসারী ত্রিকোণমিতিক সিরিজ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে (একটি সিরিজকে অভিসারী হিসাবে বিবেচনা করা হয় যদি এর সদস্যদের দ্বারা গঠিত আংশিক যোগফলের ক্রম একত্রিত হয়) :

sinx এবং cosx এর যোগফলের মাধ্যমে স্ট্যান্ডার্ড (=স্বাভাবিক) স্বরলিপি

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

যেখানে a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. বাস্তব ধ্রুবক, যেমন

যেখানে, -π থেকে π পর্যন্ত পরিসরের জন্য, ফুরিয়ার সিরিজের সহগগুলি সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

a o,a n এবং b n সহগকে বলা হয় ফুরিয়ার সহগ, এবং যদি সেগুলি পাওয়া যায়, তাহলে সিরিজ (1) বলা হয় ফুরিয়ারের কাছে,ফাংশন f(x) এর সাথে সম্পর্কিত। সিরিজ (1) এর জন্য, শব্দটিকে (a 1 cosx+b 1 sinx) বলা হয় প্রথম বা প্রধান হারমোনিকা,

একটি সিরিজ লেখার আরেকটি উপায় হল সম্পর্ক ব্যবহার করা acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...c n sin(nx+α n)

যেখানে a o একটি ধ্রুবক, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 হল বিভিন্ন উপাদানের প্রশস্ততা, এবং একটি n \ এর সমান u003d arctg a n /b n.

সিরিজ (1) এর জন্য, শব্দটি (a 1 cosx + b 1 sinx) বা c 1 sin (x + α 1) বলা হয় প্রথম বা প্রধান হারমোনিকা,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) বা c 2 sin(2x+α 2) বলা হয় দ্বিতীয় সুরেলাএবং তাই

একটি জটিল সংকেতকে সঠিকভাবে উপস্থাপন করতে, সাধারণত অসীম সংখ্যক পদের প্রয়োজন হয়। যাইহোক, অনেক ব্যবহারিক সমস্যায় শুধুমাত্র প্রথম কয়েকটি পদ বিবেচনা করাই যথেষ্ট।

পিরিয়ড 2π সহ অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ।

একটি ফুরিয়ার সিরিজে অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের বিস্তার।

যদি ফাংশন f(x) অ-পর্যায়ক্রমিক হয়, তাহলে x এর সমস্ত মানের জন্য এটি একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করা যাবে না। যাইহোক, 2π প্রস্থের যেকোনো পরিসরের উপর একটি ফাংশনের প্রতিনিধিত্ব করে একটি ফুরিয়ার সিরিজ সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব।

একটি অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশন দেওয়া হলে, কেউ একটি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে f(x) মানগুলি বেছে নিয়ে এবং 2π ব্যবধানে এই সীমার বাইরে তাদের পুনরাবৃত্তি করে একটি নতুন ফাংশন রচনা করতে পারে। যেহেতু নতুন ফাংশনটি পর্যায়ক্রমিক 2π সময়কালের, তাই এটি x এর সমস্ত মানের জন্য একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন f(x)=x পর্যায়ক্রমিক নয়। যাইহোক, যদি এটিকে 0 থেকে 2π পর্যন্ত ব্যবধানে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করার প্রয়োজন হয়, তাহলে এই ব্যবধানের বাইরে 2π এর একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন তৈরি করা হয় (নিচের চিত্রে দেখানো হয়েছে)।

অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের জন্য যেমন f(x)=x, যোগফল ফুরিয়ার সিরিজনির্দিষ্ট পরিসরের সমস্ত বিন্দুতে f(x) এর মানের সমান, কিন্তু সীমার বাইরের বিন্দুর জন্য এটি f(x) এর সমান নয়। 2π পরিসরে একটি অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ খুঁজে পেতে, ফুরিয়ার সহগগুলির একই সূত্র ব্যবহার করা হয়।

জোড় এবং বিজোড় ফাংশন।

তারা বলে ফাংশন y=f(x) এমন কি x এর সকল মানের জন্য f(-x)=f(x) হলে। জোড় ফাংশনের গ্রাফ সবসময় y-অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম হয় (অর্থাৎ, তারা মিরর করা হয়)। জোড় ফাংশনের দুটি উদাহরণ: y=x 2 এবং y=cosx।

তারা বলে যে ফাংশন y=f(x) অস্বাভাবিক, x এর সকল মানের জন্য f(-x)=-f(x) হলে। বিজোড় ফাংশনের গ্রাফ সর্বদা উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম।

অনেক ফাংশন জোড় বা বিজোড় নয়।

কোসাইনে ফুরিয়ার সিরিজের বিস্তার।

পিরিয়ড 2π সহ একটি জোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f(x) এর ফুরিয়ার সিরিজে শুধুমাত্র কোসাইন পদ থাকে (অর্থাৎ, সাইন পদ থাকে না) এবং একটি ধ্রুবক পদ অন্তর্ভুক্ত হতে পারে। অতএব,

ফুরিয়ার সিরিজের সহগ কোথায়,

পিরিয়ড 2π সহ একটি বিজোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f(x) এর ফুরিয়ার সিরিজে শুধুমাত্র সাইন সহ পদ রয়েছে (অর্থাৎ, কোসাইন সহ পদ নেই)।

অতএব,

ফুরিয়ার সিরিজের সহগ কোথায়,

অর্ধ-চক্রে ফুরিয়ার সিরিজ।

যদি একটি ফাংশন একটি পরিসরের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, বলুন 0 থেকে π, এবং শুধুমাত্র 0 থেকে 2π নয়, এটি শুধুমাত্র সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে বা শুধুমাত্র কোসাইনগুলির পরিপ্রেক্ষিতে একটি সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে। ফলে ফুরিয়ার সিরিজ বলা হয় অর্ধ সাইকেলে ফুরিয়ারের কাছে।

যদি আপনি একটি পচন পেতে চান কোসাইনে অর্ধ-চক্রে ফুরিয়ারফাংশন f(x) 0 থেকে π পর্যন্ত পরিসরে, তারপর একটি জোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন রচনা করা প্রয়োজন। ডুমুর উপর. নিচে x=0 থেকে x=π পর্যন্ত ব্যবধানে নির্মিত f(x)=x ফাংশন রয়েছে। যেহেতু জোড় ফাংশনটি f(x) অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম, তাই আমরা AB রেখা আঁকছি, যেমনটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। নিচে. যদি আমরা ধরে নিই যে বিবেচিত ব্যবধানের বাইরে, ফলস্বরূপ ত্রিভুজাকার আকৃতিটি পর্যায়ক্রমিক 2π এর সাথে, তাহলে চূড়ান্ত গ্রাফের ফর্ম, প্রদর্শন রয়েছে। ডুমুর মধ্যে নিচে. যেহেতু এটি কোসাইনে ফুরিয়ার সম্প্রসারণ প্রাপ্ত করার জন্য প্রয়োজন, আগের মতো, আমরা ফুরিয়ার সহগ a o এবং a n গণনা করি

আপনি যদি 0 থেকে π পর্যন্ত ফাংশন f (x) পেতে চান, তাহলে আপনাকে একটি বিজোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন রচনা করতে হবে। ডুমুর উপর. নিচে x=0 থেকে x=π পর্যন্ত ব্যবধানে নির্মিত f(x)=x ফাংশন রয়েছে। যেহেতু বিজোড় ফাংশন উৎপত্তির সাপেক্ষে প্রতিসম, তাই আমরা লাইন সিডি তৈরি করি, যেমন চিত্রে দেখানো হয়েছে। যদি আমরা ধরে নিই যে বিবেচিত ব্যবধানের বাইরে, প্রাপ্ত করাতথুথ সংকেতটি পর্যায়ক্রমিক 2π এর সময়কালের সাথে, তাহলে চূড়ান্ত গ্রাফটিতে চিত্রে দেখানো ফর্মটি রয়েছে। যেহেতু সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে একটি অর্ধ-চক্রে ফুরিয়ার সম্প্রসারণ করা প্রয়োজন, আগের মতো, আমরা ফুরিয়ার সহগ গণনা করি। খ

একটি নির্বিচারে বিরতির জন্য ফুরিয়ার সিরিজ।

পিরিয়ড এল সহ একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের প্রসারণ।

পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f(x) পুনরাবৃত্তি হয় যখন x L দ্বারা বৃদ্ধি পায়, অর্থাৎ f(x+L)=f(x)। পিরিয়ড 2π এর সাথে পূর্বে বিবেচনা করা ফাংশন থেকে পিরিয়ড L এর সাথে ফাংশনে রূপান্তরটি বেশ সহজ, কারণ এটি পরিবর্তনশীল পরিবর্তন ব্যবহার করে করা যেতে পারে।

-L/2≤x≤L/2 পরিসরে ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ খুঁজে পেতে, আমরা একটি নতুন চলক u চালু করি যাতে f(x) ফাংশনের সময়কাল 2π থাকে। যদি u=2πx/L, তাহলে u=-π এর জন্য x=-L/2 এবং u=π এর জন্য x=L/2। এছাড়াও f(x)=f(Lu/2π)=F(u) দিন। ফুরিয়ার সিরিজ F(u) এর ফর্ম আছে

ফুরিয়ার সিরিজের সহগ কোথায়,

প্রায়শই, যাইহোক, উপরের সূত্রটি x এর উপর নির্ভরতার দিকে পরিচালিত করে। যেহেতু u=2πх/L, তাহলে du=(2π/L)dx, এবং একীকরণের সীমা -π থেকে π-এর পরিবর্তে -L/2 থেকে L/2। অতএব, x-এর উপর নির্ভরতার জন্য ফুরিয়ার সিরিজের ফর্ম আছে

যেখানে -L/2 থেকে L/2 পর্যন্ত ফুরিয়ার সিরিজের সহগ,

(একীকরণ সীমা L দৈর্ঘ্যের যেকোনো ব্যবধান দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, 0 থেকে L পর্যন্ত)

L≠2π ব্যবধানে প্রদত্ত ফাংশনের জন্য অর্ধ-চক্রে ফুরিয়ার সিরিজ।

u=πx/L প্রতিস্থাপনের জন্য, x=0 থেকে x=L পর্যন্ত ব্যবধানটি u=0 থেকে u=π পর্যন্ত ব্যবধানের সাথে মিলে যায়। অতএব, ফাংশনটি শুধুমাত্র কোসাইনের পরিপ্রেক্ষিতে বা শুধুমাত্র সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে একটি সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে, যেমন ভিতরে অর্ধ সাইকেলে ফুরিয়ার সিরিজ.

0 থেকে L পরিসরে কোসাইনগুলির প্রসারণের ফর্ম রয়েছে

সমস্ত মানের জন্য ফাংশন সংজ্ঞায়িত এক্স ডাকা সাময়িক, যদি এমন একটি সংখ্যা থাকে T (T≠ 0), যে কোনো মান জন্য এক্সসমতা f(x + T) = f(x). সংখ্যা টিএই ক্ষেত্রে ফাংশনের সময়কাল।

পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:

1) পর্যায়ক্রমিক সময়ের ফাংশনের যোগফল, পার্থক্য, গুণফল এবং ভাগফল টিসময়ের একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন টি.

2) যদি ফাংশন f(x)একটি সময়কাল আছে টি, তারপর ফাংশন চ(কুঠার)একটি সময়কাল আছে

প্রকৃতপক্ষে, কোন যুক্তি জন্য এক্স:

(সংখ্যা দিয়ে আর্গুমেন্টকে গুণ করার অর্থ হল এই ফাংশনের গ্রাফটিকে অক্ষ বরাবর চেপে দেওয়া বা প্রসারিত করা উহু)

উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশনের একটি সময়কাল আছে, একটি ফাংশনের সময়কাল

3) যদি f(x)পর্যায়ক্রমিক ফাংশন টি, তাহলে এই ফাংশনের যেকোনো দুটি অখণ্ড সমান, দৈর্ঘ্যের ব্যবধান ধরে নেওয়া হয় টি(এটি অনুমান করা হয় যে এই অবিচ্ছেদ্যগুলি বিদ্যমান)।

পিরিয়ড T= সহ একটি ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ .

একটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজ ফর্মের একটি সিরিজ:

বা, সংক্ষেপে,

যেখানে , , , , , , … , , , … প্রকৃত সংখ্যা, যাকে সিরিজের সহগ বলা হয়।

ত্রিকোণমিতিক সিরিজের প্রতিটি পদই সময়কালের একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন (কারণ - কোনো আছে

সময়কাল, এবং সময়কাল () হল , এবং তাই)। প্রতিটি পদ (), সহ n= 1,2,3… একটি সরল সুরেলা দোলনের একটি বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি, যেখানে ক- প্রশস্ততা,

প্রাথমিক ধাপ. উপরে দেওয়া, আমরা পাই: যদি ত্রিকোণমিতিক সিরিজটি সময়ের দৈর্ঘ্যের একটি অংশে একত্রিত হয়, তবে এটি সম্পূর্ণ সংখ্যাসূচক অক্ষের উপর একত্রিত হয় এবং এর যোগফলটি সময়ের একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন।

ত্রিকোণমিতিক সিরিজকে একটি সেগমেন্টে (এবং সেইজন্য যেকোন সেগমেন্টে) সমানভাবে একত্রিত হতে দিন এবং এর যোগফল . এই সিরিজের সহগ নির্ধারণ করতে, আমরা নিম্নলিখিত সমতা ব্যবহার করি:

আমরা নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলিও ব্যবহার করি।

1) যেমনটি জানা যায়, একটি নির্দিষ্ট অংশে অভিন্ন অবিচ্ছিন্ন ক্রমাগত ফাংশনগুলির সমন্বয়ে গঠিত একটি সিরিজের যোগফল নিজেই এই অংশের একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন। এর পরিপ্রেক্ষিতে, আমরা বুঝতে পারি যে একটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজের সমষ্টি একটি অংশে অভিন্নভাবে অভিসারিত হচ্ছে সমগ্র বাস্তব অক্ষের উপর একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন।

2) একটি সেগমেন্টে সিরিজের অভিন্ন কনভারজেন্স লঙ্ঘন করা হবে না যদি এই সেগমেন্টে ক্রমাগত একটি ফাংশন দ্বারা সিরিজের সমস্ত পদকে গুণ করা হয়।

বিশেষ করে, একটি প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক সিরিজের একটি অংশে অভিন্ন অভিসরণ লঙ্ঘন করা হবে না যদি সিরিজের সমস্ত সদস্যকে দ্বারা বা দ্বারা গুণ করা হয়।

শর্ত অনুসারে

অভিন্ন অভিসারী সিরিজ (4.2) এর টার্ম-বাই-টার্ম ইন্টিগ্রেশনের ফলস্বরূপ এবং উপরোক্ত সমতা (4.1) (ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অর্থগোনালিটি) বিবেচনায় নিয়ে আমরা পাই:

অতএব, সহগ

সমতা (4.2) দ্বারা গুন করে, থেকে এবং পর্যন্ত সীমার মধ্যে এই সমতাকে একীভূত করে, উপরের অভিব্যক্তিগুলি (4.1) বিবেচনায় নিয়ে, আমরা পাই:

অতএব, সহগ

একইভাবে, সমতাকে (4.2) দ্বারা গুন করা এবং সীমার মধ্যে এটিকে একীভূত করা, সমতা (4.1) বিবেচনায় নিয়ে, আমাদের আছে:

অতএব, সহগ

সুতরাং, ফুরিয়ার সিরিজের সহগগুলির জন্য নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি পাওয়া যায়:

ফুরিয়ার সিরিজে একটি ফাংশন সম্প্রসারণের জন্য যথেষ্ট মানদণ্ড।যে বিন্দু প্রত্যাহার এক্স o ফাংশন বিরতি f(x)ফাংশনের ডানে এবং বামে সসীম সীমা থাকলে তাকে প্রথম ধরণের বিচ্ছিন্নতা বিন্দু বলা হয় f(x)বিন্দুর আশেপাশে

ডানদিকে সীমা

বাম সীমা।

উপপাদ্য (Dirichlet)।যদি ফাংশন f(x)একটি পিরিয়ড আছে এবং সেগমেন্টে ক্রমাগত থাকে বা প্রথম ধরণের একটি সীমিত সংখ্যক বিচ্ছিন্নতা বিন্দু রয়েছে এবং উপরন্তু, সেগমেন্টটিকে একটি সীমিত সংখ্যক সেগমেন্টে ভাগ করা যেতে পারে যাতে তাদের প্রতিটির ভিতরে f(x)একঘেয়ে, তারপর ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ f(x)সমস্ত মানের জন্য একত্রিত হয় এক্স. তদুপরি, ফাংশনের ধারাবাহিকতার পয়েন্টে f(x)এর যোগফল হল f(x), এবং ফাংশনের বিচ্ছিন্নতা বিন্দুতে f(x)এর যোগফল হল, অর্থাৎ বাম এবং ডানে সীমা মানগুলির গাণিতিক গড়। উপরন্তু, ফাংশন জন্য ফুরিয়ার সিরিজ f(x)যেকোন সেগমেন্টে অভিন্নভাবে একত্রিত হয় যেটি, তার প্রান্তের সাথে, ফাংশনের ধারাবাহিকতার ব্যবধানের অন্তর্গত f(x).

উদাহরণ: ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশনটি প্রসারিত করুন

শর্ত সন্তুষ্ট।

সমাধান।ফাংশন f(x)ফুরিয়ার সম্প্রসারণের শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে, তাই আমরা লিখতে পারি:

সূত্র (4.3) অনুসারে, কেউ ফুরিয়ার সিরিজের সহগগুলির নিম্নলিখিত মানগুলি পেতে পারে:

ফুরিয়ার সিরিজের সহগ গণনা করার সময়, "অংশ দ্বারা একীকরণ" সূত্রটি ব্যবহার করা হয়েছিল।

এবং সেইজন্য

পিরিয়ড T = সহ জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ।

আমরা সাপেক্ষে একটি প্রতিসমের উপর অখণ্ডের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করি x=0স্প্যান:

যদি একটি f(x)- অদ্ভুত ফাংশন,

যদি f(x)একটি সমান ফাংশন.

মনে রাখবেন যে দুটি জোড় বা দুটি বিজোড় ফাংশনের গুণফল একটি জোড় ফাংশন, এবং একটি জোড় ফাংশন এবং একটি বিজোড় ফাংশনের গুণফল একটি বিজোড় ফাংশন। এখন যাক f(x)- এমনকি পিরিয়ড সহ পর্যায়ক্রমিক ফাংশন , যা একটি ফুরিয়ার সিরিজে সম্প্রসারণের শর্ত পূরণ করে। তারপর, অখণ্ডের উপরোক্ত সম্পত্তি ব্যবহার করে, আমরা পাই:

সুতরাং, একটি জোড় ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজে শুধুমাত্র জোড় ফাংশন থাকে - কোসাইন এবং এটি নিম্নরূপ লেখা হয়:

এবং সহগ bn = 0।

একইভাবে তর্ক করা, আমরা যে পেতে যদি f(x)-একটি বিজোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন যা একটি ফুরিয়ার সিরিজে সম্প্রসারণের শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে, তারপরে, একটি বিজোড় ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজে শুধুমাত্র বিজোড় ফাংশন রয়েছে - সাইন এবং নিম্নরূপ লেখা হয়:

যেখানে an=0এ n=0, 1,…

উদাহরণ:একটি ফুরিয়ার সিরিজে একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন প্রসারিত করুন

যেহেতু প্রদত্ত বিজোড় ফাংশন f(x)ফুরিয়ার সম্প্রসারণের শর্ত পূরণ করে, তারপর

বা, যা একই,

এবং এই ফাংশন জন্য ফুরিয়ার সিরিজ f(x)এভাবে লেখা যেতে পারে:

যেকোনো সময়ের ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ T=2 l.

দিন f(x)- যেকোনো সময়ের পর্যায়ক্রমিক ফাংশন T=2l(l-অর্ধ-পর্যায়), ব্যবধানে টুকরো টুকরো-মসৃণ বা টুকরো টুকরো-একঘেয়ে [ -l,l]। অনুমান x=এ,ফাংশন পান চ (এ)যুক্তি টি,যার সময়কাল . এর বাছাই করা যাক কযাতে ফাংশনের সময়কাল চ (এ)সমান ছিল, অর্থাৎ T = 2l

সমাধান।ফাংশন f(x)- অদ্ভুত, একটি ফুরিয়ার সিরিজে সম্প্রসারণের শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে, তাই, সূত্র (4.12) এবং (4.13) এর উপর ভিত্তি করে, আমাদের আছে:

(অখণ্ড গণনা করার সময়, "অংশ দ্বারা একীকরণ" সূত্রটি ব্যবহার করা হয়েছিল)।

ফুরিয়ার সিরিজের জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের বিস্তার একটি অর্থোগোনাল সিস্টেমে ফুরিয়ার সহগগুলির ন্যূনতম সম্পত্তি বেসেলের অসমতা সমতা পার্সেভাল বন্ধ সিস্টেম সম্পূর্ণতা এবং সিস্টেমের বন্ধত্ব

জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ সম্প্রসারণ ফাংশন f(x), সেগমেন্টে সংজ্ঞায়িত \-1, যেখানে I > 0, বলা হয় এমনকি যদি জোড় ফাংশনের গ্রাফটি y-অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম হয়। J অংশে সংজ্ঞায়িত ফাংশন f(x), যেখানে I > 0, তাকে বিজোড় বলা হয় যদি বিজোড় ফাংশনের গ্রাফ উৎপত্তির সাপেক্ষে প্রতিসম হয়। উদাহরণ। ক) ফাংশনটি জোড় সেগমেন্টে |-jt, jt), যেহেতু সকলের জন্য x e b) ফাংশনটি বিজোড়, যেহেতু ফুরিয়ার সিরিজের জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের বিস্তৃতি হল সেগমেন্টে প্রদত্ত একটি ফাংশনের সম্প্রসারণ সাইনস বা কোসাইন ফুরিয়ার সিরিজ একটি নির্বিচারে সময়ের সাথে একটি ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজের জটিল স্বরলিপি সাধারণ অর্থোগোনাল ফাংশন সিস্টেমে ফুরিয়ার সিরিজ ফুরিয়ার সিরিজ একটি অর্থোগোনাল সিস্টেমে ফুরিয়ার সিরিজ ফুরিয়ার সহগগুলির ন্যূনতম সম্পত্তি বেসেল অসমতা পার্সেভাল সমতা বন্ধ সিস্টেম সম্পূর্ণতা এবং সিস্টেমের বন্ধতা ফাংশন f(x)=x2-x, যেখানে জোড় বা বিজোড় ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত নয়, যেহেতু ফাংশন f(x) উপপাদ্য 1 এর শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে x| সেগমেন্টে সমান হতে দিন। তারপর সবার জন্য i.e. /(g) cos nx একটি জোড় ফাংশন, এবং f(x)sinnx একটি বিজোড়। সুতরাং, একটি জোড় ফাংশনের ফুরিয়ার সহগ /(x) সমান হবে। অতএব, একটি জোড় ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজের ফর্ম f(x) sin nx হল একটি জোড় ফাংশন। সুতরাং, আমাদের থাকবে এইভাবে, একটি বিজোড় ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজের ফর্ম আছে আমরা দুইবার পার্টস দ্বারা ইন্টিগ্রেশন প্রয়োগ করেছি, আমরা পেয়েছি যে তাই, এই ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজটি এরকম দেখাচ্ছে: বা, প্রসারিত আকারে, এই সমতা যেকোনো x €-এর জন্য বৈধ, যেহেতু বিন্দুতে x = ±ir এর যোগফল সিরিজ f(x ) = x2 ফাংশনের মানের সাথে মিলে যায়, যেহেতু ফাংশন f(x) = x এর গ্রাফ এবং ফলস্বরূপ সিরিজের যোগফল ডুমুরে দেওয়া আছে। মন্তব্য করুন। এই ফুরিয়ার সিরিজটি আপনাকে অভিসারী সংখ্যাসূচক সিরিজগুলির একটির যোগফল খুঁজে পেতে দেয়, যথা, x \u003d 0 এর জন্য, আমরা তা পাই ফাংশন /(x) উপপাদ্য 1 এর শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে, তাই এটিকে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে, যা এই ফাংশনের অদ্ভুততার কারণে, অংশগুলির দ্বারা একীভূত করার ফর্ম থাকবে, আমরা ফুরিয়ার সহগ খুঁজে পাই তাই, ফুরিয়ার এই ফাংশনের সিরিজের ফর্ম আছে এই সমতা সমস্ত x В পয়েন্ট x - ±tg ফুরিয়ার সিরিজের যোগফল ফাংশনের মানের সাথে মিলে না / (x) = x, যেহেতু এটি এর বাইরের সমান সেগমেন্ট [- *, n-] সিরিজের যোগফল ফাংশনের একটি পর্যায়ক্রমিক ধারাবাহিকতা / (x) \u003d x; এর গ্রাফ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 6. § 6. একটি ব্যবধানে প্রদত্ত একটি ফাংশনকে সাইন বা কোসাইনের পরিপ্রেক্ষিতে একটি সিরিজে সম্প্রসারণ করা যাক। একটি সীমাবদ্ধ টুকরাওয়াইজ একঘেয়ে ফাংশন / একটি ব্যবধানে দেওয়া হোক। ব্যবধানে এই ফাংশনের মান 0| বিভিন্ন উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনটিকে / সেগমেন্টের উপর mc] এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব যে /। এই ক্ষেত্রে বলা হয় যে) "একটি সমান উপায়ে 0] অংশে প্রসারিত হয়"; এর ফুরিয়ার সিরিজে শুধুমাত্র কোসাইন থাকবে। যাইহোক, যদি, ফাংশন /(x) কে সেগমেন্টে [-x, mc] সংজ্ঞায়িত করা হয় যাতে /(, তারপর একটি বিজোড় ফাংশন পাওয়া যায়, এবং তারপরে আমরা বলি যে /" সেগমেন্টে [-*, 0 প্রসারিত হয়েছে। ] একটি বিজোড় উপায়ে"; এই ক্ষেত্রে, ফুরিয়ার সিরিজে শুধুমাত্র সাইন থাকবে৷ সুতরাং, প্রতিটি আবদ্ধ পিসওয়াইজ-মোনোটোন ফাংশন /(x), যা সেগমেন্টে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, উভয় ক্ষেত্রেই ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে সাইনস এবং কোসাইন। উদাহরণ 1. ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশনটি প্রসারিত করুন: ক) কোসাইন দ্বারা; খ) সাইন বরাবর। M এই ফাংশনটি, তার জোড় এবং বিজোড় এক্সটেনশন সহ সেগমেন্টে |-x, 0) আবদ্ধ এবং টুকরো টুকরো একঘেয়ে হবে। ক) আমরা / (z) সেগমেন্ট 0 এ চালিয়ে যাই) ক) আমরা j \ x) সেগমেন্টে (-m, 0 | সমানভাবে (চিত্র 7) চালিয়ে যাই, তাহলে এর ফুরিয়ার সিরিজ i এর ফর্ম P থাকবে \u003d 1 যেখানে ফুরিয়ার সহগ সমান, তাই এর জন্য যথাক্রমে, b) চলুন /(z) সেগমেন্টে [-x,0] একটি বিজোড় উপায়ে (চিত্র 8) চালিয়ে যাই। তারপর এর ফুরিয়ার সিরিজ §7। আরবিট্রারি পিরিয়ড সহ একটি ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ চলুন ফাংশনটি স্থির করা যাক) 21.1 ^ 0 এর সময়কালের সাথে পর্যায়ক্রমিক হতে হবে। এটিকে একটি ফুরিয়ার সিরিজে ব্যবধানে প্রসারিত করতে যেখানে I > 0, আমরা x = jt সেট করে পরিবর্তনশীল পরিবর্তন করি . তারপর F(t) = / ^tj ফাংশনটি একটি পিরিয়ড সহ আর্গুমেন্ট t-এর একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন হবে এবং এটিকে ফুরিয়ার সিরিজের একটি সেগমেন্টে প্রসারিত করা যেতে পারে x ভেরিয়েবলে ফিরে আসা, অর্থাত্, সেটিং, আমরা প্রাপ্ত করি, থাকবে একটি নির্বিচারে সময়ের সাথে পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের জন্যও বল করুন 21. বিশেষ করে, ফুরিয়ার সিরিজে একটি ফাংশন সম্প্রসারণের জন্য পর্যাপ্ত মানদণ্ডও বৈধ থাকে। উদাহরণ 1. একটি ফুরিয়ার সিরিজে একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন প্রসারিত করুন যার একটি পিরিয়ড 21, সূত্র দ্বারা সেগমেন্টে [-/,/] দেওয়া হয়েছে (চিত্র 9)। যেহেতু এই ফাংশনটি জোড়, তাই এর ফুরিয়ার সিরিজের ফর্ম রয়েছে ফুরিয়ার সহগগুলির পাওয়া মানগুলিকে ফুরিয়ার সিরিজে প্রতিস্থাপন করে, আমরা একটি জিনিস লক্ষ্য করি গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন। উপপাদ্য 5. যদি একটি ফাংশনের একটি পিরিয়ড T থাকে এবং এটি অখণ্ডনীয় হয়, তাহলে যেকোনো সংখ্যার জন্য a সমতা m ধারণ করে। অর্থাত একটি রেখাংশের অবিচ্ছেদ্য যার দৈর্ঘ্য T সময়ের সমান, বাস্তব অক্ষের উপর এই অংশটির অবস্থান নির্বিশেষে একই মান রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, আমরা দ্বিতীয় অখণ্ডে পরিবর্তনশীল পরিবর্তন করি, ধরে নিই এটি দেয় এবং সেইজন্য, জ্যামিতিকভাবে, এই সম্পত্তিটির অর্থ হল চিত্রে ছায়াযুক্ত এলাকার ক্ষেত্রে। 10টি এলাকা একে অপরের সমান। বিশেষ করে, একটি পিরিয়ডের সাথে একটি ফাংশন f(x) এর জন্য, আমরা জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজের সম্প্রসারণে একটি ফাংশনের জন্য সাইন বা কোসাইনগুলির পরিপ্রেক্ষিতে একটি সেগমেন্টে প্রদত্ত একটি ফাংশনের প্রসারণ পাই। একটি স্বেচ্ছাচারী সময়কাল ফুরিয়ার সিরিজের জটিল উপস্থাপনা সাধারণ অর্থোগোনাল সিস্টেমে ফুরিয়ার সিরিজ ফাংশন একটি অর্থোগোনাল সিস্টেমে ফুরিয়ার সিরিজ ফুরিয়ার সহগগুলির ন্যূনতম সম্পত্তি বেসেল অসমতা পার্সেভাল সমতা বন্ধ সিস্টেম সম্পূর্ণতা এবং সিস্টেমের বন্ধত্ব যা একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের ফুরিয়ার সহগ 21 এর সময়কালের সাথে সূত্রগুলি ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে যেখানে a একটি নির্বিচারে বাস্তব সংখ্যা (উল্লেখ্য যে ফাংশন cos - এবং sin এর সময়কাল 2/)। উদাহরণ 3. একটি ফুরিয়ার সিরিজে একটি ফাংশন প্রসারিত করুন যা 2x (চিত্র 11) এর একটি ব্যবধানে দেওয়া হয়। 4 এই ফাংশনের ফুরিয়ার সহগ খুঁজুন। সূত্রগুলি রাখলে আমরা দেখতে পাই যে অতএব, ফুরিয়ার সিরিজটি এইরকম দেখাবে: x = jt বিন্দুতে (প্রথম ধরণের বিচ্ছিন্নতা বিন্দু) আমাদের §8 আছে। ফুরিয়ার সিরিজের জটিল স্বরলিপি এই বিভাগে, জটিল বিশ্লেষণের কিছু উপাদান ব্যবহার করা হয়েছে (এক্সএক্সএক্স অধ্যায় দেখুন, যেখানে জটিল অভিব্যক্তি সহ এখানে সম্পাদিত সমস্ত অপারেশন কঠোরভাবে ন্যায়সঙ্গত)। ফাংশন f(x) ফুরিয়ার সিরিজে সম্প্রসারণের জন্য যথেষ্ট শর্ত পূরণ করতে দিন। তারপর সেগমেন্টে x] এটিকে ফর্মের একটি সিরিজ দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে অয়লার সূত্র ব্যবহার করে এই রাশিগুলিকে cos nx এবং sin xy এর পরিবর্তে সিরিজে (1) প্রতিস্থাপন করে আমরা নিম্নলিখিত স্বরলিপি চালু করি তারপর সিরিজ (2) ফর্ম নেয় এইভাবে, ফুরিয়ার সিরিজ (1) জটিল আকারে (3) উপস্থাপিত হয়। আসুন আমরা পূর্ণসংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে সহগগুলির জন্য অভিব্যক্তি খুঁজে পাই। আমরা একইভাবে, আমরা অবশেষে দেখতে পাই, с„, с_п এবং с-এর সূত্রগুলি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে: . . সহগ cn কে ফাংশনের জটিল ফুরিয়ার সহগ বলা হয় একটি পিরিয়ডের সাথে একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের জন্য), ফুরিয়ার সিরিজের জটিল ফর্মটি সীমা বিদ্যমান থাকলে ফর্ম মান w নেয় উদাহরণ। একটি জটিল ফুরিয়ার সিরিজে পিরিয়ড ফাংশন প্রসারিত করুন এই ফাংশনটি ফুরিয়ার সিরিজে সম্প্রসারণের জন্য যথেষ্ট শর্ত পূরণ করে। এই ফাংশনের জটিল ফুরিয়ার সহগ খুঁজে বের করা যাক। আমরা জোড় n জন্য বিজোড় জন্য আছে, বা, সংক্ষেপে. মানগুলি প্রতিস্থাপন করে), আমরা অবশেষে লক্ষ্য করি যে এই সিরিজটিও নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে: ফাংশন 9.1 এর সাধারণ অর্থোগোনাল সিস্টেমে ফুরিয়ার সিরিজ। অর্থোগোনাল সিস্টেম অফ ফাংশন সমস্ত (বাস্তব) ফাংশনের সেট দ্বারা বোঝায় যেগুলি বর্গাকার-সংজ্ঞায়িত এবং ব্যবধানে একত্রিত হয় [a, 6], অর্থাৎ, যেগুলির জন্য একটি অবিচ্ছেদ্য বিদ্যমান। বিশেষত, সমস্ত ফাংশন f(x) যেগুলি ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন [a , 6], 6 এর অন্তর্গত], এবং তাদের লেবেসগুয়ে অখণ্ডের মানগুলি রিম্যান ইন্টিগ্রেলগুলির মানের সাথে মিলে যায়। সংজ্ঞা। ফাংশনের সিস্টেম, যেখানে, ব্যবধানে অর্থোগোনাল বলা হয় [a, b\, যদি শর্ত (1) ধরে নেয়, বিশেষ করে, ফাংশনগুলির কোনোটিই শূন্যের সমান নয়। অখণ্ডটি লেবেসগুয়ের অর্থে বোঝা যায়। এবং আমরা রাশিকে একটি ফাংশনের আদর্শ বলি।আমাদের যে কোনো n এর জন্য যদি অর্থোগোনাল সিস্টেমে থাকে, তাহলে ফাংশনের সিস্টেমকে অর্থনর্মাল বলে। যদি সিস্টেম (y>n(x)) অর্থোগোনাল হয়, তাহলে সিস্টেম উদাহরণ 1. একটি ত্রিকোণমিতিক সিস্টেম একটি অংশে অর্থোগোনাল। ফাংশন সিস্টেম হল ফাংশনগুলির একটি অর্থনর্মাল সিস্টেম, উদাহরণ 2. কোসাইন সিস্টেম এবং সাইন সিস্টেম অর্থনর্মাল। আসুন আমরা স্বরলিপিটি প্রবর্তন করি যে তারা সেগমেন্টে অর্থোগোনাল (0, f|, কিন্তু অর্থনর্মাল নয় (I ↦ 2 এর জন্য)। যেহেতু তাদের নিয়মগুলি COS যে ফাংশনগুলি একটি সেগমেন্টে ফাংশনগুলির একটি অর্থনর্মাল সিস্টেম তৈরি করে। আসুন দেখান, উদাহরণস্বরূপ, Legendre বহুপদীগুলি অর্থোগোনাল। ধরুন m > n। এই ক্ষেত্রে, অংশ দ্বারা n বারকে একীভূত করলে, আমরা পাই, যেহেতু t/m = (z2 - I)m ফাংশনের জন্য, সমস্ত ডেরিভেটিভ m - ক্রম পর্যন্ত। আমি সেগমেন্টের শেষে অদৃশ্য হয়ে যাই [-1,1)। সংজ্ঞা। ফাংশনের সিস্টেমকে (pn(x)) ব্যবধানে অর্থোগোনাল বলা হয় (a, b) ওভারহ্যাং p(x) দ্বারা যদি: 1) সমস্ত n = 1,2,... এখানে অনুমান করা হয় যে ওজন ফাংশন p(x) ব্যবধানে (a, b) সর্বত্র সংজ্ঞায়িত এবং ধনাত্মক, একটি সীমিত সংখ্যক বিন্দুর সম্ভাব্য ব্যতিক্রম যেখানে p(x) অদৃশ্য হয়ে যেতে পারে। সূত্রে পার্থক্য করার পর (3), আমরা খুঁজে পাই। এটি দেখানো যেতে পারে যে চেবিশেভ-হার্মাইট বহুপদীগুলি ব্যবধানে অর্থোগোনাল উদাহরণ 4. বেসেল ফাংশনের সিস্টেম (jL(pix)^ হল বেসেল ফাংশনের শূন্যের ব্যবধানে অর্থোগোনাল উদাহরণ 5. চেবিশেভ-হার্মাইট বহুপদ বিবেচনা করুন, যা সমতা ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একটি অর্থোগোনাল সিস্টেমে ফুরিয়ার সিরিজ ইন্টারভালে (a, 6) ফাংশনগুলির একটি অর্থোগোনাল সিস্টেম যাক এবং সিরিজ (cj = const) কে এই ব্যবধানে f(x) ফাংশনে একত্রিত হতে দিন: শেষ সমতার উভয় দিক দিয়ে গুণ করুন - স্থির) এবং সিস্টেমের অর্থোগোনালিটির কারণে, a থেকে 6 পর্যন্ত x এর উপর একীভূত করে, আমরা পাই যে এই অপারেশনটিতে, সাধারণভাবে বলতে গেলে, একটি সম্পূর্ণরূপে আনুষ্ঠানিক চরিত্র রয়েছে। যাইহোক, কিছু ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, যখন সিরিজ (4) একইভাবে একত্রিত হয়, সমস্ত ফাংশন অবিচ্ছিন্ন থাকে এবং ব্যবধান (a, 6) সসীম হয়, এই অপারেশনটি আইনী। তবে এটি আনুষ্ঠানিক ব্যাখ্যা যা এখন আমাদের জন্য গুরুত্বপূর্ণ। তাই একটি ফাংশন দেওয়া আছে বলা যাক. আমরা সূত্র (5) অনুসারে c * সংখ্যাগুলি তৈরি করি এবং ডান পাশের সিরিজটিকে সিস্টেম (^n (n)) এর সাপেক্ষে f (x) ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ বলা হয় - Cn সংখ্যাগুলি হল এই সিস্টেমে f(x) ফাংশনের ফুরিয়ার সহগ বলা হয়। সূত্রে ~ চিহ্ন (6) এর অর্থ হল Cn সংখ্যাগুলি সূত্র (5) দ্বারা f(x) ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত (এই ক্ষেত্রে, এটা ধরে নেওয়া যায় না যে ডানদিকের সিরিজটি মোটেই একত্রিত হয়, অনেক কম একত্রিত হয় ফাংশন f(x))। অতএব, স্বাভাবিকভাবেই প্রশ্ন ওঠে: এই সিরিজের বৈশিষ্ট্যগুলি কী কী? কোন অর্থে এটি "প্রতিনিধিত্ব" ফাংশন f(x)? 9.3। গড় কনভারজেন্স সংজ্ঞা। একটি ক্রম একটি উপাদানে রূপান্তরিত হয় ] যদি আদর্শটি মহাকাশে থাকে তাহলে থিওরেম 6. যদি একটি ক্রম ) একইভাবে একত্রিত হয়, তবে এটিও গড়ে একত্রিত হয়। M অনুক্রমটি ()) অংশে [a, b] ফাংশনে f(x) সমানভাবে একত্রিত হতে দিন। এর মানে হল যে যে কোনও জন্য, সমস্ত যথেষ্ট পরিমাণে বড় n এর জন্য, আমাদের কাছে তাই আছে, যা থেকে আমাদের দাবি অনুসরণ করা হয়। কথোপকথনটি সত্য নয়: ক্রম () গড়ে /(x) এ একত্রিত হতে পারে, কিন্তু অভিন্নভাবে অভিসারী হতে পারে না। উদাহরণ। ক্রম nx বিবেচনা করা যাক এটা দেখা সহজ কিন্তু এই অভিসরণ অভিন্ন নয়: সেখানে e বিদ্যমান, উদাহরণস্বরূপ, যেমন n যত বড়ই হোক না কেন, ফুরিয়ার সিরিজের সেগমেন্টে একটি নির্বিচারে সময়ের সাথে একটি ফাংশনের জটিল উপস্থাপনা ফুরিয়ার সিরিজ ফুরিয়ার সিরিজ সাধারণ অর্থোগোনাল সিস্টেমের ফাংশনগুলির মধ্যে ফুরিয়ার সিরিজ একটি অর্থোগোনাল সিস্টেমে ফুরিয়ার সহগগুলির ন্যূনতম সম্পত্তি বেসেল অসমতা পার্সেভাল সমতা বন্ধ সিস্টেম সম্পূর্ণতা এবং সিস্টেমের বন্ধত্ব এবং যাক ) অর্থনর্মাল সিস্টেমে b একটি লিনিয়ার সমন্বয় বিবেচনা করুন যেখানে ^1 আছে একটি নির্দিষ্ট পূর্ণসংখ্যা, এবং ধ্রুবকগুলির মানগুলি সন্ধান করুন যার জন্য অখণ্ডটি তার সর্বনিম্ন মান নেয়। আসুন আমরা এটিকে আরও বিস্তারিতভাবে লিখি শব্দ দ্বারা একীভূত করা, সিস্টেমের অস্থিরতার কারণে, আমরা পাই সমতার ডান দিকের প্রথম দুটি পদ (7) স্বতন্ত্র, এবং তৃতীয় পদটি অঋণাত্মক। তাই, integral (*) ak = sk-এ একটি ন্যূনতম মান গ্রহণ করে। integral কে Tn(x) এর রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে f(x) ফাংশনের রুট-মান-বর্গীয় অনুমান বলা হয়। এইভাবে, ফাংশনের রুট-মান-বর্গ আনুমানিক /\ একটি সর্বনিম্ন মান নেয় যখন। যখন Tn(x) ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজের 71তম আংশিক যোগফল /(x) সিস্টেমে (. ak = ck সেট করে, (7) থেকে আমরা সমতা (9) পাই তাকে বেসেল পরিচয় বলে। যেহেতু এটির বাম দিকটি অ-নেতিবাচক, তারপর এটি থেকে বেসেলের অসমতা অনুসরণ করে যেহেতু আমি এখানে স্বেচ্ছাচারী, বেসেলের অসমতা একটি শক্তিশালী আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে, অর্থাত্, যে কোনও ফাংশনের জন্য /, একটি অর্থনর্মাল সিস্টেমে এই ফাংশনের বর্গাকার ফুরিয়ার সহগগুলির সিরিজ) একত্রিত হয় . যেহেতু সিস্টেমটি ব্যবধানে অর্থনর্মাল [-x, r], তাহলে অসমতা (10), ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজের স্বাভাবিক স্বরলিপিতে অনুবাদ করা হয়, একটি অখণ্ডিত বর্গক্ষেত্রের সাথে f(x) কোনো ফাংশনের জন্য সম্পর্কটিকে বৈধ করে। যদি f2(x) ইন্টিগ্রেবল হয়, তাহলে এর কারণে প্রয়োজনীয় শর্তঅসমতার বাম দিকে সিরিজের কনভারজেন্স (11), আমরা তা পাই। পার্সেভালের সমতা কিছু সিস্টেমের জন্য (^n(x)) সূত্রে অসমতা চিহ্ন (10) প্রতিস্থাপিত হতে পারে (সমস্ত ফাংশনের জন্য f(x) 6 x) একটি সমান চিহ্ন দ্বারা। ফলস্বরূপ সমতাকে পার্সেভাল-স্টেক্লভ সমতা (সম্পূর্ণতার শর্ত) বলা হয়। বেসেল পরিচয় (9) আমাদের শর্ত (12) একটি সমতুল্য আকারে লিখতে দেয় স্থান আদর্শ দ্বারা 6]। সংজ্ঞা। একটি অর্থনর্মাল সিস্টেম ( b2 [ay b] তে সম্পূর্ণ বলা হয় যদি কোনো ফাংশনকে যথেষ্ট পরিমাণে ফর্মের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ দ্বারা গড়ে যেকোন নির্ভুলতার সাথে আনুমানিক করা যায় একটি বড় সংখ্যাপদ, যেমন, যদি কোনো ফাংশনের জন্য f(x) ∈ b2[a, b\ এবং যেকোনো e > 0 এর জন্য বিদ্যমান থাকে স্বাভাবিক সংখ্যা nq এবং সংখ্যাগুলি a\, a2y..., যেমন No উপরের যুক্তিটি উপপাদ্য 7 বোঝায়। যদি, অর্থনর্মালাইজেশন দ্বারা, সিস্টেমটি ) মহাকাশে সম্পূর্ণ হয়, তবে এই সিস্টেমে যেকোন ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ / f(x) এ একত্রিত হয় গড়ে, অর্থাৎ, আদর্শ দ্বারা এটি দেখানো যেতে পারে যে ত্রিকোণমিতিক সিস্টেমটি মহাকাশে সম্পূর্ণ। এটি দাবীকে বোঝায়। উপপাদ্য 8. যদি একটি ফাংশন /0 তার ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজ গড়ে এটিতে একত্রিত হয়। 9.5। বন্ধ সিস্টেম। সিস্টেমের সম্পূর্ণতা এবং বন্ধত্ব সংজ্ঞা। ফাংশনগুলির একটি অর্থনর্মাল সিস্টেম \,কে বন্ধ বলা হয় যদি Li\a মহাশূন্যে, b) সমস্ত ফাংশনের জন্য অ-শূন্য ফাংশন অর্থোগোনাল থাকে না। স্থান L2\a, b\ অর্থনর্মাল সিস্টেমের সম্পূর্ণতা এবং বদ্ধতার ধারণা মিলিত অনুশীলনী 1. ব্যবধানে ফুরিয়ার সিরিজের ফাংশনটি প্রসারিত করুন (-i-, x) 2. ব্যবধানে ফুরিয়ার সিরিজের ফাংশনটি প্রসারিত করুন (-r, r) 3. ব্যবধানে ফুরিয়ার সিরিজের ফাংশনটি প্রসারিত করুন (-r, r) 4. ব্যবধানে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করুন (-jt, r) ফাংশন 5. ব্যবধানে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করুন (-r, r) ফাংশন f (x) \u003d x + x . 6. ব্যবধানে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করুন (-jt, r) ফাংশন n 7. একটি ফুরিয়ার সিরিজে ব্যবধানে প্রসারিত করুন (-r, x) ফাংশন / (x) \u003d sin2 x। 8. ব্যবধানে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করুন (-m, jt) ফাংশন f(x) = y 9. ব্যবধানে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করুন (-mm, -k) ফাংশন f(x) = | sinx| 10. ব্যবধানে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করুন (-x-, r) ফাংশন f(x) = g। 11. একটি ফুরিয়ার সিরিজে ব্যবধানে (-r, r) ফাংশন f (x) \u003d sin § প্রসারিত করুন। 12. একটি ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশনটি প্রসারিত করুন f (x) = n -2x, ব্যবধানে দেওয়া (0, x), এটিকে বিরতিতে (-x, 0): একটি সমান উপায়ে চালিয়ে যান; খ) একটি অদ্ভুত উপায়ে। 13. ব্যবধানে দেওয়া ফাংশন / (x) \u003d x2 সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করুন (0, x)। 14. একটি ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশন / (x) \u003d 3-x, ব্যবধানে প্রদত্ত (-2,2) প্রসারিত করুন। 15. একটি ফুরিয়ার সিরিজে ব্যবধানে (-1,1) দেওয়া f (x) \u003d |x | ফাংশনটি প্রসারিত করুন। 16. ব্যবধানে (0,1) নির্দিষ্ট করা f (x) \u003d 2x ফাংশন সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করুন।