ყოველ დღეზე. ფურიეს სერია: მათემატიკური მექანიზმის ისტორია და გავლენა მეცნიერების განვითარებაზე ფურიეს სერიის მუდმივი კომპონენტი e უდრის
ფურიეს სერია არის თვითნებურად აღებული ფუნქციის წარმოდგენა კონკრეტული პერიოდით, როგორც სერია. AT ზოგადი ხედიამ ამოხსნას ეწოდება ელემენტის დაშლა ორთოგონალურ საფუძველზე. ფურიეს სერიებში ფუნქციების გაფართოება საკმაოდ მძლავრი ინსტრუმენტია სხვადასხვა პრობლემების გადასაჭრელად, ამ ტრანსფორმაციის თვისებების გამო, როდესაც ინტეგრირება, დიფერენცირება, ასევე გამოხატვის გადატანა არგუმენტში და კონვოლუციაში.
ადამიანი, რომელიც არ იცნობს უმაღლეს მათემატიკას, ისევე როგორც ფრანგი მეცნიერის ფურიეს ნაშრომებს, დიდი ალბათობით ვერ გაიგებს, რა არის ეს „სერიები“ და რისთვის არის განკუთვნილი. ამასობაში ეს ტრანსფორმაცია საკმაოდ მკვრივი გახდა ჩვენს ცხოვრებაში. მას იყენებენ არა მხოლოდ მათემატიკოსები, არამედ ფიზიკოსები, ქიმიკოსები, ექიმები, ასტრონომები, სეისმოლოგები, ოკეანოგრაფები და მრავალი სხვა. მოდით, უფრო ახლოს მივხედოთ დიდი ფრანგი მეცნიერის ნაშრომებს, რომელმაც თავის დროზე ადრე გააკეთა აღმოჩენა.
ადამიანი და ფურიეს ტრანსფორმაცია
ფურიეს სერია ერთ-ერთი მეთოდია (ანალიზთან და სხვასთან ერთად) ეს პროცესი ხდება ყოველ ჯერზე, როცა ადამიანს რაიმე ხმა ესმის. ჩვენი ყური ავტომატურად გარდაქმნის ელემენტარულ ნაწილაკებს ელასტიურ გარემოში, ისინი იშლება მოცულობის დონის თანმიმდევრული მნიშვნელობების რიგებად (სპექტრის გასწვრივ) სხვადასხვა სიმაღლის ტონებისთვის. შემდეგ, ტვინი ამ მონაცემებს ჩვენთვის ნაცნობ ხმებად აქცევს. ეს ყველაფერი ხდება ჩვენი სურვილისა თუ ცნობიერების გარდა, თავისთავად, მაგრამ ამ პროცესების გასაგებად, უმაღლესი მათემატიკის შესწავლას რამდენიმე წელი დასჭირდება.
მეტი ფურიეს ტრანსფორმაციის შესახებ
ფურიეს ტრანსფორმაცია შეიძლება განხორციელდეს ანალიტიკური, რიცხვითი და სხვა მეთოდებით. ფურიეს სერიები ეხება ნებისმიერი რხევითი პროცესის დაშლის რიცხვით გზას - ოკეანის მოქცევიდან და სინათლის ტალღებიდან მზის (და სხვა ასტრონომიული ობიექტების) აქტივობის ციკლებამდე. ამ მათემატიკური ტექნიკის გამოყენებით შესაძლებელია ფუნქციების ანალიზი, რომლებიც წარმოადგენენ ნებისმიერ რხევად პროცესს სინუსოიდური კომპონენტების სერიად, რომლებიც მიდიან მინიმალურიდან მაქსიმუმამდე და პირიქით. ფურიეს ტრანსფორმაცია არის ფუნქცია, რომელიც აღწერს სინუსოიდების ფაზას და ამპლიტუდას, რომელიც შეესაბამება კონკრეტულ სიხშირეს. ეს პროცესი შეიძლება გამოყენებულ იქნას გადაჭრისთვის რთული განტოლებები, რომლებიც აღწერენ დინამიური პროცესებიწარმოიქმნება თერმული, მსუბუქი ან ელექტრო ენერგიის ზემოქმედებით. ასევე, ფურიეს სერიები შესაძლებელს ხდის მუდმივი კომპონენტების იზოლირებას რთულ რხევის სიგნალებში, რამაც შესაძლებელი გახადა მიღებული ექსპერიმენტული დაკვირვებების სწორად ინტერპრეტაცია მედიცინაში, ქიმიასა და ასტრონომიაში.
ისტორიის მინიშნება
ამ თეორიის ფუძემდებელია ფრანგი მათემატიკოსი ჟან ბატისტ ჟოზეფ ფურიე. ამ ტრანსფორმაციას შემდგომში მისი სახელი დაარქვეს. თავდაპირველად, მეცნიერმა გამოიყენა თავისი მეთოდი, რათა შეესწავლა და აეხსნა სითბოს გამტარობის მექანიზმები - სითბოს გავრცელება მყარი. ფურიემ ვარაუდობს, რომ თავდაპირველი არარეგულარული განაწილება შეიძლება დაიშალოს უმარტივეს სინუსოიდებად, რომელთაგან თითოეულს ექნება საკუთარი ტემპერატურის მინიმალური და მაქსიმალური, ისევე როგორც საკუთარი ფაზა. ამ შემთხვევაში, თითოეული ასეთი კომპონენტი გაიზომება მინიმალურიდან მაქსიმუმამდე და პირიქით. მათემატიკურ ფუნქციას, რომელიც აღწერს მრუდის ზედა და ქვედა მწვერვალებს, ისევე როგორც თითოეული ჰარმონიის ფაზას, ეწოდება ტემპერატურის განაწილების გამოხატვის ფურიეს ტრანსფორმაცია. თეორიის ავტორმა შეამცირა ზოგადი განაწილების ფუნქცია, რაც ძნელია მათემატიკური აღწერა, კოსინუსებისა და სინუსების ძალიან მოსახერხებელ სერიამდე, რომელიც აჯამებს თავდაპირველ განაწილებას.
ტრანსფორმაციის პრინციპი და თანამედროვეთა შეხედულებები
მეცნიერის თანამედროვეებმა - მეცხრამეტე საუკუნის დასაწყისის წამყვანმა მათემატიკოსებმა - არ მიიღეს ეს თეორია. მთავარი წინააღმდეგობა იყო ფურიეს მტკიცება, რომ უწყვეტი ფუნქცია, რომელიც აღწერს სწორ ხაზს ან უწყვეტ მრუდს, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სინუსოიდური გამონათქვამების ჯამი, რომლებიც უწყვეტია. მაგალითად, განიხილეთ ჰევისაიდის "ნაბიჯი": მისი მნიშვნელობა არის ნული უფსკრულიდან მარცხნივ და ერთი მარჯვნივ. ეს ფუნქცია აღწერს ელექტრული დენის დამოკიდებულებას დროის ცვლადზე, როდესაც წრე დახურულია. თეორიის იმდროინდელ თანამედროვეებს არასოდეს შეხვედრიათ ისეთ სიტუაციაში, როდესაც წყვეტილი გამოხატულება აღწერილი იქნებოდა უწყვეტი, ჩვეულებრივი ფუნქციების კომბინაციით, როგორიცაა ექსპონენციალური, სინუსოიდი, წრფივი ან კვადრატული.
რამ დააბნია ფრანგი მათემატიკოსები ფურიეს თეორიაში?
ბოლოს და ბოლოს, თუ მათემატიკოსი მართალი იყო თავის განცხადებებში, მაშინ უსასრულო ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერიის შეჯამებით შეიძლება მივიღოთ ეტაპობრივი გამოხატვის ზუსტი წარმოდგენა, თუნდაც მას ბევრი მსგავსი ნაბიჯი ჰქონდეს. მეცხრამეტე საუკუნის დასაწყისში ასეთი განცხადება აბსურდულად ჩანდა. მაგრამ ყველა ეჭვის მიუხედავად, ბევრმა მათემატიკოსმა გააფართოვა ამ ფენომენის შესწავლის ფარგლები, აიღო იგი თბოგამტარობის კვლევების ფარგლებს გარეთ. თუმცა, მეცნიერთა უმეტესობას კვლავ აწუხებდა კითხვა: „შეიძლება თუ არა სინუსოიდური სერიის ჯამი მიახლოება უწყვეტი ფუნქციის ზუსტ მნიშვნელობამდე?
ფურიეს სერიის კონვერგენცია: მაგალითი
დაახლოების საკითხი დგება მაშინ, როცა საჭიროა რიცხვების უსასრულო სერიის შეჯამება. ამ ფენომენის გასაგებად, განიხილეთ კლასიკური მაგალითი. შეგიძლიათ ოდესმე მიაღწიოთ კედელს, თუ ყოველი მომდევნო ნაბიჯი წინას ზომის ნახევარია? დავუშვათ, რომ თქვენ მიზნიდან ორი მეტრით ხართ, პირველი ნაბიჯი მოგაახლოებთ სანახევროდ, შემდეგი - სამი მეოთხედის ნიშნულს და მეხუთე ნაბიჯის შემდეგ თქვენ დაფარავთ გზის თითქმის 97 პროცენტს. თუმცა, რამდენი ნაბიჯიც არ უნდა გადადგათ, მკაცრი მათემატიკური გაგებით დასახულ მიზანს ვერ მიაღწევთ. რიცხვითი გამოთვლების გამოყენებით შეიძლება აჩვენოს, რომ საბოლოო ჯამში შესაძლებელია მიახლოება თვითნებურად მცირე მოცემულ მანძილზე. ეს მტკიცებულება უდრის იმის დემონსტრირებას, რომ ნახევრის, მეოთხედის და ა.შ. ჯამური მნიშვნელობა ერთისკენ მიისწრაფვის.
კონვერგენციის საკითხი: მეორედ მოსვლა, ან ლორდ კელვინის მოწყობილობა
ეს კითხვა კვლავ წამოიჭრა მეცხრამეტე საუკუნის ბოლოს, როდესაც ფურიეს სერიები ცდილობდნენ გამოეყენებინათ ღვარცოფებისა და დინების ინტენსივობის პროგნოზირებისთვის. ამ დროს ლორდ კელვინმა გამოიგონა მოწყობილობა, რომელიც არის ანალოგური გამოთვლითი მოწყობილობა, რომელიც საშუალებას აძლევდა სამხედრო და სავაჭრო ფლოტის მეზღვაურებს თვალყური ადევნონ ამ ბუნებრივ მოვლენას. ეს მექანიზმი განსაზღვრავდა ფაზებისა და ამპლიტუდების კომპლექტს მოქცევის სიმაღლის ცხრილიდან და მათი შესაბამისი დროის მომენტებიდან, რომლებიც ყურადღებით გაზომილი იყო მოცემულ ნავსადგურში წლის განმავლობაში. თითოეული პარამეტრი იყო მოქცევის სიმაღლის გამოხატვის სინუსოიდური კომპონენტი და იყო ერთ-ერთი რეგულარული კომპონენტი. გაზომვების შედეგები შევიდა ლორდ კელვინის კალკულატორში, რომელმაც მოახდინა მრუდის სინთეზი, რომელიც იწინასწარმეტყველებდა წყლის სიმაღლეს დროის ფუნქციის მიხედვით მომავალი წლისთვის. ძალიან მალე მსგავსი მრუდები შედგენილი იქნა მსოფლიოს ყველა ნავსადგურისთვის.
და თუ პროცესი წყდება წყვეტილი ფუნქციით?
იმ დროს აშკარად ჩანდა, რომ მოქცევის ტალღის პროგნოზირს დიდი რაოდენობის დამთვლელი ელემენტებით შეეძლო გამოეთვალა დიდი რაოდენობის ფაზები და ამპლიტუდები და ამით უფრო ზუსტი პროგნოზების უზრუნველყოფა. მიუხედავად ამისა, აღმოჩნდა, რომ ეს კანონზომიერება არ შეინიშნება იმ შემთხვევებში, როდესაც სინთეზირებული მოქცევის გამოხატულება შეიცავდა მკვეთრ ნახტომს, ანუ ის იყო წყვეტილი. იმ შემთხვევაში, თუ მონაცემები შეიტანება მოწყობილობაში დროის მომენტების ცხრილიდან, მაშინ იგი ითვლის რამდენიმე ფურიეს კოეფიციენტს. თავდაპირველი ფუნქცია აღდგება სინუსოიდური კომპონენტების წყალობით (აღმოჩენილი კოეფიციენტების მიხედვით). შეუსაბამობა ორიგინალსა და აღდგენილ გამონათქვამს შორის შეიძლება გაიზომოს ნებისმიერ წერტილში. განმეორებითი გამოთვლებისა და შედარებების განხორციელებისას ჩანს, რომ მნიშვნელობა ყველაზე დიდი შეცდომაარ მცირდება. თუმცა, ისინი ლოკალიზებულია რეგიონში, რომელიც შეესაბამება შეწყვეტის წერტილს და მიდრეკილია ნულისკენ ნებისმიერ სხვა წერტილში. 1899 წელს ეს შედეგი თეორიულად დაადასტურა იელის უნივერსიტეტის ჯოშუა უილარდ გიბსმა.
ფურიეს სერიების კონვერგენცია და ზოგადად მათემატიკის განვითარება
ფურიეს ანალიზი არ გამოიყენება გამონათქვამებზე, რომლებიც შეიცავს უსასრულო რაოდენობის აფეთქებებს გარკვეულ ინტერვალში. ზოგადად, ფურიეს სერია, თუ თავდაპირველი ფუნქცია წარმოდგენილია რეალურის შედეგით ფიზიკური განზომილება, ყოველთვის თანხვედრა. ფუნქციების კონკრეტული კლასებისთვის ამ პროცესის დაახლოების კითხვებმა გამოიწვია მათემატიკაში ახალი სექციების გაჩენა, მაგალითად, განზოგადებული ფუნქციების თეორია. ის ასოცირდება ისეთ სახელებთან, როგორიცაა L. Schwartz, J. Mikusinsky და J. Temple. ამ თეორიის ფარგლებში, ნათელი და ზუსტი თეორიული ფონიისეთი გამონათქვამებით, როგორიცაა დირაკის დელტას ფუნქცია (ის აღწერს ერთი ტერიტორიის რეგიონს, რომელიც კონცენტრირებულია წერტილის უსასრულოდ მცირე სამეზობლოში) და ჰევისაიდის "ნაბიჯი". ამ სამუშაოს წყალობით, ფურიეს სერიები გამოიყენებოდა განტოლებებისა და პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებშიც ჩნდება ინტუიციური ცნებები: წერტილის მუხტი, წერტილის მასა, მაგნიტური დიპოლები და ასევე კონცენტრირებული დატვირთვა სხივზე.
ფურიეს მეთოდი
ფურიეს სერიები, ჩარევის პრინციპების შესაბამისად, იწყება რთული ფორმების უფრო მარტივებად დაშლით. მაგალითად, სითბოს ნაკადის ცვლილება აიხსნება მისი გავლით სხვადასხვა დაბრკოლებებით, რომლებიც დამზადებულია არარეგულარული ფორმის თბოსაიზოლაციო მასალისგან ან დედამიწის ზედაპირის ცვლილებით - მიწისძვრა, ორბიტის ცვლილება. ციური სხეული- პლანეტების გავლენა. როგორც წესი, მარტივი კლასიკური სისტემების აღწერის მსგავსი განტოლებები ელემენტარულად წყდება თითოეული ცალკეული ტალღისთვის. ფურიემ აჩვენა ეს მარტივი გადაწყვეტილებებიასევე შეიძლება შეჯამდეს უფრო რთული პრობლემების გადაწყვეტის მისაღებად. მათემატიკის ენაზე გამოხატული ფურიეს სერიები არის გამოსახულების წარმოდგენის ტექნიკა, როგორც ჰარმონიის ჯამი - კოსინუსი და სინუსოიდები. Ამიტომაც ეს ანალიზიასევე ცნობილია როგორც "ჰარმონიული ანალიზი".
ფურიეს სერია - იდეალური ტექნიკა "კომპიუტერის ეპოქამდე"
კომპიუტერული ტექნოლოგიების შექმნამდე ფურიეს ტექნიკა იყო საუკეთესო იარაღი მეცნიერთა არსენალში ჩვენი სამყაროს ტალღოვან ბუნებასთან მუშაობისას. ფურიეს სერიები რთული ფორმით იძლევა არა მხოლოდ მარტივი ამოცანების გადაჭრის საშუალებას, რომლებიც შეიძლება პირდაპირ იქნას გამოყენებული ნიუტონის მექანიკის კანონებზე, არამედ ფუნდამენტური განტოლებებიც. XIX საუკუნეში ნიუტონის მეცნიერების აღმოჩენების უმეტესობა შესაძლებელი გახდა მხოლოდ ფურიეს ტექნიკით.
ფურიეს სერია დღეს
კომპიუტერების განვითარებასთან ერთად, ფურიეს ტრანსფორმაციები ავიდა ხარისხობრივად ახალ დონეზე. ეს ტექნიკა მტკიცედ არის დამკვიდრებული მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების თითქმის ყველა სფეროში. მაგალითად არის ციფრული აუდიო და ვიდეო სიგნალი. მისი განხორციელება შესაძლებელი გახდა მხოლოდ მეცხრამეტე საუკუნის დასაწყისში ფრანგი მათემატიკოსის მიერ შემუშავებული თეორიის წყალობით. ამრიგად, ფურიეს სერიამ რთული ფორმით შესაძლებელი გახადა გარღვევა გარე სივრცის შესწავლაში. გარდა ამისა, ამან გავლენა მოახდინა ნახევარგამტარული მასალების და პლაზმის ფიზიკის, მიკროტალღური აკუსტიკის, ოკეანოგრაფიის, რადარის და სეისმოლოგიის შესწავლაზე.
ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერია
მათემატიკაში ფურიეს სერია არის თვითნებური წარმოდგენის საშუალება რთული ფუნქციებიუმარტივესთა ჯამი. ზოგადად, ასეთი გამონათქვამების რაოდენობა შეიძლება იყოს უსასრულო. უფრო მეტიც, რაც უფრო მეტია მათი რიცხვი გათვალისწინებული გაანგარიშებისას, მით უფრო ზუსტია საბოლოო შედეგი. ყველაზე ხშირად, კოსინუსის ან სინუსის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები გამოიყენება როგორც უმარტივესი. ამ შემთხვევაში, ფურიეს სერიას ტრიგონომეტრიული ეწოდება, ხოლო ასეთი გამონათქვამების ამოხსნას ჰარმონიის გაფართოება. ეს მეთოდი თამაშობს მნიშვნელოვანი როლიმათემატიკაში. უპირველეს ყოვლისა, ტრიგონომეტრიული სერია იძლევა გამოსახულების საშუალებას, ასევე ფუნქციების შესწავლას, ეს არის თეორიის მთავარი აპარატი. გარდა ამისა, ის იძლევა მათემატიკური ფიზიკის რიგი ამოცანების გადაჭრის საშუალებას. საბოლოოდ, ამ თეორიამ ხელი შეუწყო განვითარებას მთელი ხაზიმათემატიკური მეცნიერების ძალიან მნიშვნელოვანი სექციები (ინტეგრალების თეორია, პერიოდული ფუნქციების თეორია). გარდა ამისა, იგი იყო საწყისი წერტილი რეალური ცვლადის შემდეგი ფუნქციების განვითარებისთვის და ასევე აღნიშნა ჰარმონიული ანალიზის დასაწყისი.
პერიოდული ფუნქციების ფურიეს სერია 2π პერიოდით.
ფურიეს სერია საშუალებას გაძლევთ შეისწავლოთ პერიოდული ფუნქციები კომპონენტებად დაშლით. ალტერნატიული დენები და ძაბვები, გადაადგილებები, ამწე მექანიზმების სიჩქარე და აჩქარება და აკუსტიკური ტალღები საინჟინრო გამოთვლებში პერიოდული ფუნქციების გამოყენების ტიპიური პრაქტიკული მაგალითებია.
ფურიეს სერიის გაფართოება ემყარება დაშვებას, რომ ყველა პრაქტიკული მნიშვნელობის ფუნქცია ინტერვალში -π ≤ x ≤ π შეიძლება გამოისახოს როგორც კონვერგენტული ტრიგონომეტრიული სერია (სერიები ითვლება კონვერგენტურად, თუ მისი წევრებისგან შემდგარი ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობა იყრის თავს) :
სტანდარტული (=ჩვეულებრივი) აღნიშვნა sinx-ისა და cosx-ის ჯამის მეშვეობით
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
სადაც a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. არის რეალური მუდმივები, ე.ი.
სადაც, -π-დან π-მდე დიაპაზონისთვის, ფურიეს სერიის კოეფიციენტები გამოითვლება ფორმულებით:
კოეფიციენტებს a o , a n და b n ეწოდება ფურიეს კოეფიციენტებიდა თუ მათი პოვნა შესაძლებელია, მაშინ სერია (1) იწოდება ფურიეს მახლობლად, f(x) ფუნქციის შესაბამისი. სერიისთვის (1) ტერმინს (a 1 cosx+b 1 sinx) ეწოდება პირველი ან მთავარი ჰარმონიკა,
სერიის დაწერის კიდევ ერთი გზაა მიმართების გამოყენება acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
სადაც a o არის მუდმივი, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 არის სხვადასხვა კომპონენტის ამპლიტუდები და უდრის a n \ u003d arctg a n /b n.
სერიისთვის (1) ტერმინს (a 1 cosx + b 1 sinx) ან c 1 sin (x + α 1) ეწოდება პირველი ან მთავარი ჰარმონიკა,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) ან c 2 sin(2x+α 2) ე.წ. მეორე ჰარმონიულიდა ასე შემდეგ.
რთული სიგნალის ზუსტად წარმოსადგენად, ჩვეულებრივ საჭიროა ტერმინების უსასრულო რაოდენობა. თუმცა, ბევრ პრაქტიკულ პრობლემაში საკმარისია მხოლოდ პირველი რამდენიმე ტერმინის გათვალისწინება.
არაპერიოდული ფუნქციების ფურიეს სერია 2π პერიოდით.
არაპერიოდული ფუნქციების გაფართოება ფურიეს სერიაში.
თუ ფუნქცია f(x) არაპერიოდულია, მაშინ ის არ შეიძლება გაფართოვდეს ფურიეს სერიაში x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. თუმცა, შესაძლებელია ფურიეს სერიის განსაზღვრა, რომელიც წარმოადგენს ფუნქციას 2π სიგანის ნებისმიერ დიაპაზონში.
არაპერიოდული ფუნქციის გათვალისწინებით, შეგიძლიათ შეადგინოთ ახალი ფუნქცია f(x) მნიშვნელობების არჩევით გარკვეულ დიაპაზონში და გაიმეოროთ ისინი ამ დიაპაზონის გარეთ 2π ინტერვალით. ვინაიდან ახალი ფუნქცია პერიოდულია 2π პერიოდით, ის შეიძლება გაფართოვდეს ფურიეს სერიაში x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. მაგალითად, ფუნქცია f(x)=x არ არის პერიოდული. თუმცა, თუ საჭიროა მისი გაფართოება ფურიეს სერიაში 0-დან 2π-მდე ინტერვალით, მაშინ პერიოდული ფუნქცია 2π პერიოდით აგებულია ამ ინტერვალის გარეთ (როგორც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ სურათზე).
არაპერიოდული ფუნქციებისთვის, როგორიცაა f(x)=x, ჯამი ფურიეს სერიაუდრის f(x)-ის მნიშვნელობას მითითებულ დიაპაზონში ყველა წერტილში, მაგრამ ის არ არის f(x)-ის ტოლი დიაპაზონის გარეთ არსებული წერტილებისთვის. 2π დიაპაზონში არაპერიოდული ფუნქციის ფურიეს სერიის საპოვნელად გამოიყენება ფურიეს კოეფიციენტების იგივე ფორმულა.
ლუწი და კენტი ფუნქციები.
ისინი ამბობენ ფუნქციას y=f(x) თუნდაცთუ f(-x)=f(x) x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. ლუწი ფუნქციების გრაფიკები ყოველთვის სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ (ანუ ისინი ასახულია). ლუწი ფუნქციების ორი მაგალითი: y=x 2 და y=cosx.
ისინი ამბობენ, რომ ფუნქცია y=f(x) უცნაური,თუ f(-x)=-f(x) x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. უცნაური ფუნქციების გრაფიკები ყოველთვის სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.
ბევრი ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.
ფურიეს სერიის გაფართოება კოსინუსებში.
ლუწი პერიოდული ფუნქციის f(x) ფურიეს სერია 2π პერიოდით შეიცავს მხოლოდ კოსინუსს (ანუ არ შეიცავს სინუსს) და შეიძლება შეიცავდეს მუდმივ წევრს. შესაბამისად,
სად არის ფურიეს სერიის კოეფიციენტები,
კენტი პერიოდული ფუნქციის ფ(x) 2π ფუნქციის ფურიეს სერია შეიცავს მხოლოდ ნაწილებს სინუსებთან (ანუ არ შეიცავს ნაწილებს კოსინუსებით).
შესაბამისად,
სად არის ფურიეს სერიის კოეფიციენტები,
ფურიეს სერია ნახევარ ციკლზე.
თუ ფუნქცია განსაზღვრულია დიაპაზონისთვის, ვთქვათ 0-დან π, და არა მხოლოდ 0-დან 2π-მდე, ის შეიძლება გაფართოვდეს სერიაში მხოლოდ სინუსების ან მხოლოდ კოსინუსების თვალსაზრისით. შედეგად მიღებული ფურიეს სერია ე.წ ფურიეს მახლობლად ნახევარ ციკლზე.
თუ გსურთ მიიღოთ დაშლა ფურიე ნახევარციკლზე კოსინუსებშიფუნქციები f(x) 0-დან π-მდე დიაპაზონში, მაშინ აუცილებელია ლუწი პერიოდული ფუნქციის შედგენა. ნახ. ქვემოთ მოცემულია ფუნქცია f(x)=x, რომელიც აგებულია x=0-დან x=π-მდე ინტერვალზე. ვინაიდან ლუწი ფუნქცია სიმეტრიულია f(x) ღერძის მიმართ, ჩვენ ვხატავთ AB წრფეს, როგორც ნაჩვენებია ნახ. ქვევით. თუ ჩავთვლით, რომ განხილული ინტერვალის მიღმა, მიღებული სამკუთხა ფორმა პერიოდულია 2π პერიოდით, მაშინ საბოლოო გრაფიკს აქვს ფორმა, ჩვენება. ნახ. ქვევით. ვინაიდან საჭიროა ფურიეს გაფართოების მიღება კოსინუსებში, როგორც ადრე, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფურიეს კოეფიციენტებს a o და a n.
თუ გსურთ მიიღოთ f (x) ფუნქციები 0-დან π დიაპაზონში, მაშინ უნდა შეადგინოთ კენტი პერიოდული ფუნქცია. ნახ. ქვემოთ მოცემულია ფუნქცია f(x)=x, რომელიც აგებულია x=0-დან x=π-მდე ინტერვალზე. ვინაიდან კენტი ფუნქცია სიმეტრიულია საწყისის მიმართ, ჩვენ ვაშენებთ CD ხაზს, როგორც ნაჩვენებია ნახ. თუ ჩავთვლით, რომ განხილული ინტერვალის მიღმა, მიღებული ხერხის კბილის სიგნალი პერიოდულია 2π პერიოდით, მაშინ საბოლოო გრაფიკს აქვს ნახ. ვინაიდან საჭიროა ფურიეს გაფართოების მიღება ნახევარციკლზე სინუსების თვალსაზრისით, როგორც ადრე, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფურიეს კოეფიციენტს. ბ
ფურიეს სერია თვითნებური ინტერვალისთვის.
პერიოდული ფუნქციის გაფართოება პერიოდით L.
პერიოდული ფუნქცია f(x) მეორდება, როცა x იზრდება L-ით, ე.ი. f(x+L)=f(x). ადრე განხილული ფუნქციებიდან 2π პერიოდით ფუნქციებზე გადასვლა L პერიოდით საკმაოდ მარტივია, რადგან ეს შეიძლება გაკეთდეს ცვლადის ცვლილების გამოყენებით.
f(x) ფუნქციის ფურიეს სერიის საპოვნელად დიაპაზონში -L/2≤x≤L/2, შემოგვაქვს ახალი ცვლადი u ისე, რომ f(x) ფუნქციას ჰქონდეს 2π პერიოდი u მიმართ. თუ u=2πx/L, მაშინ x=-L/2 u=-π-თვის და x=L/2 u=π. ასევე მივცეთ f(x)=f(Lu/2π)=F(u). ფურიეს სერიებს F(u) აქვს ფორმა
სად არის ფურიეს სერიის კოეფიციენტები,
თუმცა, უფრო ხშირად, ზემოაღნიშნული ფორმულა იწვევს x-ზე დამოკიდებულებას. ვინაიდან u=2πх/L, მაშინ du=(2π/L)dx და ინტეგრაციის საზღვრები არის -L/2-დან L/2-მდე -π-ის ნაცვლად π. მაშასადამე, x-ზე დამოკიდებულების ფურიეს სერიას აქვს ფორმა
სადაც -L/2-დან L/2-მდე არის ფურიეს სერიის კოეფიციენტები,
(ინტეგრაციის ლიმიტები შეიძლება შეიცვალოს L სიგრძის ნებისმიერი ინტერვალით, მაგალითად, 0-დან ლ-მდე)
ფურიეს სერია ნახევარციკლზე L≠2π ინტერვალში მოცემული ფუნქციებისთვის.
u=πx/L ჩანაცვლებისთვის, x=0-დან x=L-მდე ინტერვალი შეესაბამება u=0-დან u=π-მდე ინტერვალს. მაშასადამე, ფუნქცია შეიძლება გაფართოვდეს სერიებად მხოლოდ კოსინუსების ან მხოლოდ სინუსების მიხედვით, ე.ი. in ფურიეს სერია ნახევარ ციკლზე.
კოსინუსებში გაფართოებას 0-დან L-მდე აქვს ფორმა
ფუნქცია განსაზღვრულია ყველა მნიშვნელობისთვის x დაურეკა პერიოდული, თუ არის ასეთი რიცხვი T (T≠ 0), ეს ნებისმიერი ღირებულებისთვის xთანასწორობა f(x + T) = f(x). ნომერი თამ შემთხვევაში არის ფუნქციის პერიოდი.
პერიოდული ფუნქციების თვისებები:
1) პერიოდული პერიოდის ფუნქციების ჯამი, სხვაობა, ნამრავლი და კოეფიციენტი თპერიოდის პერიოდული ფუნქციაა თ.
2) თუ ფუნქცია f(x)აქვს პერიოდი თ, შემდეგ ფუნქცია f(ცული)აქვს პერიოდი
მართლაც, ნებისმიერი არგუმენტისთვის X:
(არგუმენტის რიცხვით გამრავლება ნიშნავს ამ ფუნქციის გრაფიკის შეკუმშვას ან გაჭიმვას ღერძის გასწვრივ ოჰ)
მაგალითად, ფუნქციას აქვს პერიოდი, ფუნქციის პერიოდი არის
3) თუ f(x)პერიოდული პერიოდული ფუნქცია თ, მაშინ ამ ფუნქციის ნებისმიერი ორი ინტეგრალი ტოლია, აღებული სიგრძის ინტერვალზე თ(ვარაუდობენ, რომ ეს ინტეგრალები არსებობს).
ფურიეს სერია T= პერიოდის მქონე ფუნქციისთვის .
ტრიგონომეტრიული სერია არის ფორმის სერია:
ან მოკლედ
სადაც , , , , , … , , , … არის რეალური რიცხვები, რომელსაც უწოდებენ რიგის კოეფიციენტებს.
ტრიგონომეტრიული სერიის თითოეული წევრი არის პერიოდის პერიოდული ფუნქცია (რადგან - აქვს ნებისმიერი
პერიოდი, და პერიოდი () არის და აქედან გამომდინარე). ყოველი ტერმინი (), თან n= 1,2,3… არის მარტივი ჰარმონიული რხევის ანალიტიკური გამოხატულება, სადაც ა- დიაპაზონი,
საწყისი ეტაპი. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, მივიღებთ: თუ ტრიგონომეტრიული სერია ემთხვევა პერიოდის ხანგრძლივობის სეგმენტს, მაშინ ის ემთხვევა მთელ რიცხვით ღერძს და მისი ჯამი პერიოდის პერიოდული ფუნქციაა.
მოდით, ტრიგონომეტრიული სერია ერთნაირად გადაიზარდოს სეგმენტზე (და შესაბამისად ნებისმიერ სეგმენტზე) და მისი ჯამი უდრის. ამ სერიის კოეფიციენტების დასადგენად ვიყენებთ შემდეგ ტოლობებს:
ჩვენ ასევე ვიყენებთ შემდეგ თვისებებს.
1) როგორც ცნობილია, უწყვეტი ფუნქციებისაგან შემდგარი სერიის ჯამი, რომელიც ერთნაირად კონვერგირებულია გარკვეულ სეგმენტზე, თავისთავად არის უწყვეტი ფუნქცია ამ სეგმენტზე. ამის გათვალისწინებით, მივიღებთ, რომ ტრიგონომეტრიული სერიების ჯამი, რომელიც ერთნაირად ემთხვევა სეგმენტს, არის უწყვეტი ფუნქცია მთელ რეალურ ღერძზე.
2) სერიის ერთგვაროვანი კონვერგენცია სეგმენტზე არ დაირღვევა, თუ სერიის ყველა წევრი გამრავლდება ფუნქციაზე, რომელიც უწყვეტია ამ სეგმენტზე.
კერძოდ, ერთიანი კონვერგენცია მოცემული ტრიგონომეტრიული სერიის სეგმენტზე არ დაირღვევა, თუ სერიის ყველა წევრი გამრავლებულია ან ზე.
პირობით
ერთგვაროვნად კონვერგენტული სერიების (4.2) ტერმინებით ინტეგრაციის შედეგად და ზემოაღნიშნული ტოლობების (4.1) გათვალისწინებით (ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ორთოგონალობა) მივიღებთ:
აქედან გამომდინარე, კოეფიციენტი
ტოლობის (4.2) გამრავლება ზე, ამ ტოლობის ინტეგრირება დიაპაზონში მდე და, ზემოთ მოცემული გამონათქვამების (4.1) გათვალისწინებით, მივიღებთ:
აქედან გამომდინარე, კოეფიციენტი
ანალოგიურად, ტოლობის (4.2) გამრავლება და მისი ინტეგრირება საზღვრებში დან მდე, ტოლობების (4.1) გათვალისწინებით, გვაქვს:
აქედან გამომდინარე, კოეფიციენტი
ამრიგად, მიიღება შემდეგი გამონათქვამები ფურიეს სერიის კოეფიციენტებისთვის:
ფუნქციის გაფართოების საკმარისი კრიტერიუმები ფურიეს სერიაში.შეგახსენებთ, რომ წერტილი x o ფუნქციის შესვენება f(x)ეწოდება პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილს, თუ ფუნქციის მარჯვნივ და მარცხნივ არის სასრული ლიმიტები. f(x)წერტილის სიახლოვეს.
ლიმიტი მარჯვნივ
მარცხენა ლიმიტი.
თეორემა (დირიხლე).თუ ფუნქცია f(x)აქვს პერიოდი და არის უწყვეტი სეგმენტზე ან აქვს პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილების სასრული რაოდენობა და, გარდა ამისა, სეგმენტი შეიძლება დაიყოს სეგმენტების სასრულ რაოდენობად ისე, რომ თითოეული მათგანის შიგნით f(x)არის მონოტონური, შემდეგ ფურიეს სერია ფუნქციისთვის f(x)თანხვედრა ყველა მნიშვნელობისთვის x. უფრო მეტიც, ფუნქციის უწყვეტობის წერტილებში f(x)მისი ჯამი არის f(x)და ფუნქციის შეწყვეტის წერტილებში f(x)მისი ჯამი არის ე.ი. მარცხნივ და მარჯვნივ ზღვრული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული. გარდა ამისა, ფურიეს სერია ფუნქციისთვის f(x)ერთნაირად ერწყმის ნებისმიერ სეგმენტს, რომელიც მის ბოლოებთან ერთად ფუნქციის უწყვეტობის ინტერვალს მიეკუთვნება f(x).
მაგალითი: გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში
პირობის დაკმაყოფილება.
გამოსავალი.ფუნქცია f(x)აკმაყოფილებს ფურიეს გაფართოების პირობებს, ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ:
ფორმულების შესაბამისად (4.3), შეგიძლიათ მიიღოთ ფურიეს სერიის კოეფიციენტების შემდეგი მნიშვნელობები:
ფურიეს სერიის კოეფიციენტების გაანგარიშებისას გამოყენებული იქნა ფორმულა „ნაწილების მიხედვით ინტეგრაცია“.
Და, შესაბამისად
ფურიეს რიგი ლუწი და კენტი ფუნქციებისთვის პერიოდით T = .
ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრალის შემდეგ თვისებას სიმეტრიის მიმართ x=0 span:
Თუ f(x)- უცნაური ფუნქცია,
თუ f(x)თანაბარი ფუნქციაა.
გაითვალისწინეთ, რომ ორი ლუწი ან ორი კენტი ფუნქციის ნამრავლი არის ლუწი ფუნქცია, ხოლო ლუწი ფუნქციისა და კენტი ფუნქციის ნამრავლი არის კენტი ფუნქცია. მოდით ახლა f(x)- თუნდაც პერიოდული ფუნქცია წერტილით , რომელიც აკმაყოფილებს ფურიეს სერიაში გაფართოების პირობებს. შემდეგ ინტეგრალების ზემოაღნიშნული თვისების გამოყენებით მივიღებთ:
ამრიგად, ფურიეს სერია ლუწი ფუნქციისთვის შეიცავს მხოლოდ ლუწი ფუნქციებს - კოსინუსებს და იწერება შემდეგნაირად:
და კოეფიციენტები bn = 0.
ანალოგიურად კამათით მივიღებთ, რომ თუ f(x) -კენტი პერიოდული ფუნქცია, რომელიც აკმაყოფილებს ფურიეს სერიაში გაფართოების პირობებს, ამიტომ, კენტი ფუნქციის ფურიეს სერია შეიცავს მხოლოდ კენტ ფუნქციებს - სინუსებს და იწერება შემდეგნაირად:
სადაც an=0ზე n=0, 1,…
მაგალითი:გაფართოება ფურიეს სერიაში პერიოდული ფუნქცია
მოცემული კენტი ფუნქციიდან გამომდინარე f(x)აკმაყოფილებს ფურიეს გაფართოების პირობებს, მაშინ
ან, რაც იგივეა,
და ფურიეს სერია ამ ფუნქციისთვის f(x)შეიძლება დაიწეროს ასე:
ფურიეს რიგი ნებისმიერი პერიოდის ფუნქციებისთვის T=2 ლ.
დაე f(x)- ნებისმიერი პერიოდის პერიოდული ფუნქცია T=2ლ(l-ნახევარპერიოდი), ცალ-ცალკე-გლუვი ან ცალ-ცალკე-მონოტონური ინტერვალზე [ - მე, ლ]. ვარაუდით x=at,მიიღეთ ფუნქცია f(at)არგუმენტი ტ,რომლის პერიოდიც არის . ავირჩიოთ აისე რომ ფუნქციის პერიოდი f(at)ტოლი იყო, ე.ი. T = 2ლ
გამოსავალი.ფუნქცია f(x)- კენტი, რომელიც აკმაყოფილებს ფურიეს სერიაში გაფართოების პირობებს, შესაბამისად, (4.12) და (4.13) ფორმულებზე დაყრდნობით, გვაქვს:
(ინტეგრალის გამოთვლისას გამოყენებული იქნა ფორმულა „ნაწილების მიხედვით ინტეგრაცია“).
ლუწი და კენტი ფუნქციების ფურიეს სერიების გაფართოება სეგმენტზე მოცემული ფუნქციის გაფართოება სერიად სინუსების ან კოსინუსების მიხედვით ფურიეს სერიების ფუნქციისთვის თვითნებური პერიოდით ორთოგონალურ სისტემაში ფურიეს კოეფიციენტების მინიმალური თვისება ბესელის უტოლობა თანასწორობა პარსევალი დახურული სისტემები სისტემების სისრულე და დახურულობა
ლუწი და კენტი ფუნქციების ფურიეს სერიის გაფართოება ფუნქცია f(x), განსაზღვრული \-1 სეგმენტზე, სადაც I > 0, იწოდება მაშინაც კი, თუ ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია y ღერძის მიმართ. J სეგმენტზე განსაზღვრულ f(x) ფუნქციას, სადაც I > 0, კენტი ეწოდება, თუ კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ. მაგალითი. ა) ფუნქცია არის ლუწი სეგმენტზე |-jt, jt), რადგან ყველა x e ბ) ფუნქცია კენტია, ვინაიდან ლუწი და კენტი ფუნქციების ფურიეს სერიის გაფართოება არის სეგმენტზე მოცემული ფუნქციის გაფართოება სერიებში. სინუსები ან კოსინუსები ფურიეს სერიები თვითნებური პერიოდის მქონე ფუნქციისთვის ფურიეს სერიის რთული აღნიშვნა ფურიეს სერიის ფუნქციების ზოგად ორთოგონალურ სისტემებში ფურიეს სერიები ორთოგონალურ სისტემაში ფურიეს კოეფიციენტების მინიმალური თვისება ბესელის უტოლობა პარსევალის ტოლობა დახურული სისტემები სისტემების სისრულე და დახურულობა c) ფუნქცია f(x)=x2-x, სადაც არ მიეკუთვნება არც ლუწი და არც კენტი ფუნქციებს, ვინაიდან 1 თეორემის პირობებს დამაკმაყოფილებელი ფუნქცია f(x) იყოს ლუწი x| სეგმენტზე. მაშინ ყველასთვის ე.ი. /(g) cos nx არის ლუწი ფუნქცია, ხოლო f(x)sinnx არის კენტი. მაშასადამე, ლუწი ფუნქციის /(x) ფურიეს კოეფიციენტები ტოლი იქნება, ამიტომ ლუწი ფუნქციის ფურიეს სერიას აქვს ფორმა f(x) sin nx არის ლუწი ფუნქცია. მაშასადამე, გვექნება ასე, კენტი ფუნქციის ფურიეს სერიას აქვს ფორმა ჩვენ გვაქვს ორჯერ ნაწილებად ინტეგრაციის გამოყენება, მივიღებთ, რომ მაშასადამე, ამ ფუნქციის ფურიეს სერია ასე გამოიყურება: ან, გაფართოებული ფორმით, ეს ტოლობა მოქმედებს ნებისმიერ x €-ზე, ვინაიდან x = ± ir წერტილებში ჯამი. სერია ემთხვევა f(x) = x2 ფუნქციის მნიშვნელობებს, ვინაიდან f(x) = x ფუნქციის გრაფიკები და მიღებული სერიების ჯამები მოცემულია ნახ. კომენტარი. ფურიეს ეს სერია საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ერთ-ერთი კონვერგენტული რიცხვითი სერიის ჯამი, კერძოდ, x \u003d 0-სთვის, ჩვენ ვიღებთ ამას ფუნქცია /(x) აკმაყოფილებს თეორემა 1-ის პირობებს, ამიტომ შეიძლება გაფართოვდეს ფურიეს სერიაში, რომელსაც ამ ფუნქციის უცნაურობის გამო ექნება ფორმა ნაწილებით ინტეგრირება, ვპოულობთ ფურიეს კოეფიციენტებს, შესაბამისად, ფურიეს ამ ფუნქციის სერიას აქვს ფორმა ეს ტოლობა მოქმედებს ყველა x В წერტილზე x - ± tg ფურიეს სერიის ჯამი არ ემთხვევა / (x) = x ფუნქციის მნიშვნელობებს, რადგან ის უდრის გარეთ სეგმენტი [- *, n-] სერიის ჯამი არის ფუნქციის პერიოდული გაგრძელება / (x) \u003d x; მისი გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 6. § 6. ინტერვალზე მოცემული ფუნქციის გაფართოება რიგად სინუსების ან კოსინუსების მიხედვით. მოდით შემოსაზღვრული ნაწილებად მონოტონური ფუნქცია / იყოს მოცემული ინტერვალზე. ამ ფუნქციის მნიშვნელობები ინტერვალზე 0| შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა გზით. მაგალითად, შესაძლებელია განვსაზღვროთ ფუნქცია / სეგმენტზე mc] ისე, რომ /. ამ შემთხვევაში ნათქვამია, რომ) "გაგრძელებულია სეგმენტზე 0] თანაბრად"; მისი ფურიეს სერია შეიცავს მხოლოდ კოსინუსებს. თუმცა, თუ ფუნქცია /(x) არის განსაზღვრული [-x, mc] სეგმენტზე ისე, რომ /(, მაშინ მიიღება კენტი ფუნქცია და შემდეგ ვამბობთ, რომ / "გაგრძელებულია სეგმენტზე [-*, 0. ] უცნაური გზით"; ამ შემთხვევაში, ფურიეს სერია შეიცავს მხოლოდ სინუსებს. ასე რომ, თითოეული შემოსაზღვრული ცალ-ცალკე-მონოტონური ფუნქცია /(x), განსაზღვრული სეგმენტზე, შეიძლება გაფართოვდეს ფურიეს სერიებად ორივე თვალსაზრისით. სინუსები და კოსინუსები.მაგალითი 1. გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში: ა) კოსინუსებით; ბ) სინუსების გასწვრივ. M ეს ფუნქცია, მისი ლუწი და კენტი გაფართოებებით სეგმენტზე |-x, 0) იქნება შემოსაზღვრული და ნაწილებად მონოტონური. ა) ვაგრძელებთ / (z) სეგმენტში 0) ა) ვაგრძელებთ j \ x) სეგმენტში (-m, 0 | ლუწი სახით (ნახ. 7), მაშინ მის ფურიეს რიგის i ექნება P ფორმა. \u003d 1 სადაც ფურიეს კოეფიციენტები ტოლია, შესაბამისად, ამიტომ, ბ) გავაგრძელოთ /(z) სეგმენტში [-x,0] კენტი გზით (ნახ. 8). შემდეგ მისი ფურიეს სერია §7. ფურიეს სერიები თვითნებური პერიოდის მქონე ფუნქციისთვის. მოდით, ფუნქცია დაფიქსირდეს) იყოს პერიოდული პერიოდით 21.1 ^ 0. მის გასაფართოვებლად ფურიეს სერიად იმ ინტერვალზე, სადაც I > 0, ვაკეთებთ ცვლადის ცვლილებას x = jt დაყენებით. . შემდეგ ფუნქცია F(t) = / ^tj იქნება t არგუმენტის პერიოდული ფუნქცია წერტილით და ის შეიძლება გაფართოვდეს სეგმენტზე ფურიეს სერიებში. x ცვლადში დაბრუნება, ანუ პარამეტრი, ვიღებთ , რჩება ძალა ასევე თვითნებური პერიოდის მქონე პერიოდულ ფუნქციებზე 21. კერძოდ, ფუნქციის ფურიეს სერიებად გაფართოების საკმარისი კრიტერიუმი ასევე ძალაში რჩება. მაგალითი 1. ფურიეს სერიაში გააფართოვეთ პერიოდული ფუნქცია 21-იანი პერიოდით, რომელიც მოცემულია [-/,/] სეგმენტზე ფორმულით (ნახ. 9). ვინაიდან ეს ფუნქცია ლუწია, მის ფურიეს სერიებს აქვს ფორმა. მნიშვნელოვანი ქონება პერიოდული ფუნქციები. თეორემა 5. თუ ფუნქციას აქვს პერიოდი T და ინტეგრირებადია, მაშინ ნებისმიერი a რიცხვისთვის მოქმედებს m ტოლობა. ანუ ინტეგრალი სეგმენტზე, რომლის სიგრძე ტოლია T პერიოდს, აქვს იგივე მნიშვნელობა, მიუხედავად ამ სეგმენტის პოზიციისა რეალურ ღერძზე. მართლაც, ჩვენ ვაკეთებთ ცვლადის ცვლილებას მეორე ინტეგრალში, ვარაუდით ეს იძლევა და, შესაბამისად, გეომეტრიულად, ეს თვისება ნიშნავს, რომ ნახ. 10 უბანი ერთმანეთის ტოლია. კერძოდ, პერიოდის მქონე f(x) ფუნქციისთვის, ფურიეს სერიის ლუწი და კენტი ფუნქციების გაფართოებაზე ვიღებთ სეგმენტზე მოცემული ფუნქციის სერიას სინუსების ან კოსინუსების მიხედვით ფურიეს სერიების ფუნქციის გაფართოებას. თვითნებური პერიოდი ფურიეს სერიების კომპლექსური წარმოდგენა ზოგადად ორთოგონალური სისტემების ფუნქციები ფურიეს სერიები ორთოგონალურ სისტემაში ფურიეს კოეფიციენტების მინიმალური თვისება ბესელის უტოლობა პარსევალის თანასწორობა დახურული სისტემები სისტემების სისრულე და დახურულობა, რომლებიც პერიოდული ფუნქციის ფურიეს კოეფიციენტები f(x) 21 პერიოდით შეიძლება გამოითვალოს ფორმულების გამოყენებით, სადაც a არის თვითნებური რეალური რიცხვი (გაითვალისწინეთ, რომ cos - და sin ფუნქციებს აქვთ პერიოდი 2/). მაგალითი 3. გააფართოვეთ ფურიეს სერიაში 2x პერიოდის მქონე ინტერვალზე მოცემული ფუნქცია (ნახ. 11). 4 იპოვეთ ამ ფუნქციის ფურიეს კოეფიციენტები. ფორმულებში ჩასვით, აღმოვაჩენთ, რომ ამიტომ, ფურიეს სერია ასე გამოიყურება: x = jt წერტილში (პირველი სახის შეწყვეტის წერტილი) გვაქვს §8. ფურიეს სერიის რთული აღნიშვნა ამ განყოფილებაში გამოყენებულია კომპლექსური ანალიზის ზოგიერთი ელემენტი (იხ. თავი XXX, სადაც კომპლექსური გამონათქვამებით აქ შესრულებული ყველა ოპერაცია მკაცრად გამართლებულია). დაე, ფუნქცია f(x) აკმაყოფილებდეს საკმარის პირობებს ფურიეს სერიაში გაფართოებისთვის. შემდეგ x] სეგმენტზე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმის სერიით ეილერის ფორმულების გამოყენებით ამ გამონათქვამების ჩანაცვლება cos nx-ისა და sin xy-ის ნაცვლად (1) სერიით, გვექნება შემდეგი აღნიშვნა, შემდეგ სერია (2) იღებს ფორმას ამრიგად, ფურიეს სერია (1) წარმოდგენილია რთული ფორმით (3). მოდი ვიპოვოთ კოეფიციენტების გამონათქვამები ინტეგრალის მიხედვით. ჩვენ გვაქვს ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ და ბოლოს, ფორმულები с„, с_п და с შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: . . cn კოეფიციენტებს უწოდებენ ფუნქციის კომპლექსურ ფურიეს კოეფიციენტებს პერიოდული ფუნქციისთვის წერტილით), ფურიეს სერიის რთული ფორმა იღებს ფორმის მნიშვნელობებს w თუ ლიმიტები არსებობს, მაგალითად. პერიოდის ფუნქციის გაფართოება კომპლექსურ ფურიეს სერიებში ეს ფუნქცია აკმაყოფილებს საკმარის პირობებს ფურიეს სერიაში გაფართოებისთვის. ვიპოვოთ ამ ფუნქციის რთული ფურიეს კოეფიციენტები. გვაქვს კენტი ლუწი n-სთვის, ან, მოკლედ. მნიშვნელობების ჩანაცვლებით) საბოლოოდ მივიღებთ შენიშვნა, რომ ეს სერია ასევე შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: ფურიეს რიგი ფუნქციების ზოგად ორთოგონალურ სისტემებში 9.1. ფუნქციების ორთოგონალური სისტემები აღვნიშნავთ ყველა (რეალური) ფუნქციის სიმრავლით, რომლებიც განსაზღვრულია კვადრატში და ინტეგრირებადია [a, 6] ინტერვალზე, ანუ მათზე, რომელთათვისაც არსებობს ინტეგრალი. კერძოდ, ყველა ფუნქცია f(x), რომელიც უწყვეტია [a, 6] ინტერვალზე, ეკუთვნის 6] და მათი Lebesgue ინტეგრალების მნიშვნელობები ემთხვევა რიმანის ინტეგრალების მნიშვნელობებს. განმარტება. ფუნქციათა სისტემას, სადაც, ორთოგონალური ეწოდება [a, b\ ინტერვალზე, თუ პირობა (1) ითვალისწინებს, კერძოდ, რომ არცერთი ფუნქცია არ არის ნულის იდენტური ტოლი. ინტეგრალი გაგებულია ლებეგის მნიშვნელობით. და რაოდენობას ვუწოდებთ ფუნქციის ნორმას.თუ ორთოგონალურ სისტემაში რომელიმე n-ს გვაქვს, მაშინ ფუნქციათა სისტემას ორთონორმალური ეწოდება. თუ სისტემა (y>n(x)) არის ორთოგონალური, მაშინ სისტემა მაგალითი 1. ტრიგონომეტრიული სისტემა ორთოგონალურია სეგმენტზე. ფუნქციების სისტემა არის ფუნქციების ორთონორმალური სისტემა, მაგალითი 2. კოსინუსური სისტემა და სინუს სისტემა ორთონორმალურია. მოდით შემოვიტანოთ აღნიშვნა, რომ ისინი ორთოგონალურები არიან სეგმენტზე (0, f|, მაგრამ არა ორთონორმალური (I ↦ 2-ისთვის). ვინაიდან მათი ნორმები არის COS, რომ ფუნქციები ქმნიან ფუნქციების ორთონორმალურ სისტემას სეგმენტზე. მაგალითად, რომ ლეჟანდრის პოლინომები ორთოგონალურია, მოდით m > n. ამ შემთხვევაში, n-ჯერ ნაწილების მიხედვით ინტეგრირება, ჩვენ ვპოულობთ, რადგან ფუნქციისთვის t/m = (z2 - I)m, ყველა წარმოებული m რიგით - I-ის ჩათვლით გაქრება სეგმენტის ბოლოებზე [-1,1). განმარტება. ფუნქციების სისტემას (pn(x)) ეწოდება ორთოგონალური (a, b) ინტერვალზე გადახურვით p(x) თუ: 1) არის ინტეგრალი ყველა n = 1,2,... აქ ვარაუდობენ, რომ წონის ფუნქცია p(x) არის განსაზღვრული და დადებითი ყველგან (a, b) ინტერვალზე, შესაძლო გამონაკლისია წერტილების სასრული რაოდენობა, სადაც p(x) შეიძლება გაქრეს. დიფერენცირების შესრულების შემდეგ (3) ფორმულაში ვპოულობთ. შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ ჩებიშევი-ჰერმიტის მრავალწევრები ორთოგონალურია ინტერვალზე მაგალითი 4. ბესელის ფუნქციების სისტემა (jL(pix)^ ორთოგონალურია ბესელის ფუნქციის ნულების ინტერვალზე. მაგალითი 5. განვიხილოთ ჩებიშევ-ჰერმიტის პოლინომები, რომელიც შეიძლება განისაზღვროს თანასწორობის გამოყენებით. ფურიეს სერიები ორთოგონალურ სისტემაში დავუშვათ ფუნქციების ორთოგონალური სისტემა ინტერვალში (a, 6) და სერიები (cj = const) გადავიდეს ამ ინტერვალზე f(x) ფუნქციამდე: ბოლო ტოლობის ორივე მხარის გამრავლება - ფიქსირებული) და x-ზე ინტეგრირება 6-მდე, სისტემის ორთოგონალურობის გამო, მივიღებთ, რომ ამ ოპერაციას, ზოგადად რომ ვთქვათ, აქვს წმინდა ფორმალური ხასიათი. თუმცა, ზოგიერთ შემთხვევაში, მაგალითად, როდესაც სერია (4) ერთნაირად იყრის თავს, ყველა ფუნქცია უწყვეტია და ინტერვალი (a, 6) სასრულია, ეს ოპერაცია ლეგალურია. მაგრამ ჩვენთვის ახლა მნიშვნელოვანია ფორმალური ინტერპრეტაცია. ვთქვათ, მოცემულია ფუნქცია. (5) ფორმულის მიხედვით ვაყალიბებთ c * რიცხვებს და ვწერთ მარჯვენა მხარეს მდებარე სერიებს უწოდებენ f (x) ფუნქციის ფურიეს სერიას სისტემის მიმართ (^n (n)) - რიცხვები Cn არის. ამ სისტემაში f (x) ფუნქციის ფურიეს კოეფიციენტებს უწოდებენ. ნიშანი ~ ფორმულაში (6) მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ რიცხვები Cn დაკავშირებულია f(x) ფუნქციასთან (5) (ამ შემთხვევაში, არ არის ვარაუდი, რომ მარჯვნივ მდებარე სერიები საერთოდ იყრის თავს, მით უმეტეს, რომ იყრის თავს. ფუნქცია f(x)). აქედან გამომდინარე, ბუნებრივად ჩნდება კითხვა: რა თვისებები აქვს ამ სერიას? რა გაგებით „წარმოადგენს“ ფუნქციას f(x)? 9.3. საშუალო კონვერგენციის განმარტება. მიმდევრობა ემთხვევა ელემენტს ] საშუალოდ, თუ ნორმა არის სივრცეში თეორემა 6. თუ მიმდევრობა ) ერთნაირად იყრის თავს, მაშინ ის ასევე იყრის საშუალოდ. M მოდით, მიმდევრობა ()) თანაბრად გადავიდეს [a, b] სეგმენტზე f(x) ფუნქციამდე. ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი, ყველა საკმარისად დიდი n-სთვის გვაქვს აქედან, საიდანაც გამომდინარეობს ჩვენი მტკიცება. საპირისპირო არ არის მართალი: () თანმიმდევრობა შეიძლება გადავიდეს საშუალოდ /(x-მდე), მაგრამ არ იყოს ერთნაირად კონვერგენტული. მაგალითი. განვიხილოთ nx-ის თანმიმდევრობა მარტივია იმის დანახვა, რომ მაგრამ ეს კონვერგენცია არ არის ერთგვაროვანი: არსებობს e, მაგალითად, ისეთი, რომ რაც არ უნდა დიდი იყოს n, ფურიეს სეგმენტზე ფუნქციის თვითნებური პერიოდის კომპლექსური წარმოდგენა. ფურიეს სერიები ფურიეს სერიები ზოგადად ფუნქციების ორთოგონალურ სისტემებში ფურიეს სერიები ორთოგონალურ სისტემაში ფურიეს კოეფიციენტების მინიმალური თვისება ბესელის უტოლობა პარსევალის ტოლობა დახურული სისტემები სისტემების სისრულე და დახურულობა და მოდით ) ორთონორმალურ სისტემაში b განვიხილოთ წრფივი კომბინაცია, სადაც n ^ 1 არის ფიქსირებული მთელი რიცხვი და იპოვეთ მუდმივების მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც ინტეგრალი იღებს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას. მოდით დავწეროთ უფრო დეტალურად ტერმინების მიხედვით ინტეგრირებისას, სისტემის ორთონორმალურობის გამო, მივიღებთ ტოლობის მარჯვენა მხარეს პირველი ორი ტერმინი (7) დამოუკიდებელი, ხოლო მესამე წევრი არის არაუარყოფითი. მაშასადამე, ინტეგრალი (*) იღებს მინიმალურ მნიშვნელობას ak = sk-ზე. ინტეგრალს ეწოდება f(x) ფუნქციის ფესვის საშუალო კვადრატული მიახლოება, როგორც Tn(x) წრფივი კომბინაცია. ამრიგად, ფუნქციის ძირი-საშუალო კვადრატის მიახლოება /\ იღებს მინიმალურ მნიშვნელობას, როდესაც. როდესაც Tn(x) არის /(x) ფუნქციის ფურიეს სერიის 71-ე ნაწილობრივი ჯამი სისტემაში (. ak = ck, (7)-დან ვიღებთ ტოლობას (9) ეწოდება ბესელის იდენტობა. მხარე არაუარყოფითია, მაშინ მისგან გამომდინარეობს ბესელის უტოლობა, ვინაიდან i აქ თვითნებურია, ბესელის უტოლობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გაძლიერებული სახით, ანუ ნებისმიერი ფუნქციისთვის / ამ ფუნქციის კვადრატული ფურიეს კოეფიციენტების სერია ორთონორმალურ სისტემაში ) იყრის თავს. . ვინაიდან სისტემა ორთონორმალურია [-x, r] სეგმენტზე, მაშინ უტოლობა (10) გადათარგმნილი ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერიის ჩვეულებრივ აღნიშვნაში იძლევა მართებულობას ნებისმიერი f(x) ფუნქციისთვის ინტეგრირებადი კვადრატით. თუ f2(x) ინტეგრირებადია, მაშინ გამო აუცილებელი პირობარიგის კონვერგენცია უტოლობის მარცხენა მხარეს (11), მივიღებთ ამას. პარსევალის ტოლობა ზოგიერთი სისტემისთვის (^n(x)) ფორმულაში უტოლობის ნიშანი (10) შეიძლება შეიცვალოს (ყველა ფუნქციისთვის f(x) 6 x) ტოლობის ნიშნით. მიღებულ თანასწორობას ეწოდება პარსევალ-სტეკლოვის თანასწორობა (სისრულის პირობა). ბესელის იდენტობა (9) საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ პირობა (12) ექვივალენტური ფორმით სივრცის ნორმით 6]. განმარტება. ორთონორმალურ სისტემას ( b2[ay b]-ში სრული ეწოდება, თუ რომელიმე ფუნქცია შეიძლება მიახლოებული იყოს ნებისმიერი სიზუსტით საშუალოდ ფორმის ხაზოვანი კომბინაციით საკმარისად დიდი რიცხვიტერმინები, ანუ, თუ რომელიმე ფუნქციისთვის f(x) ∈ b2[a, b\ და ნებისმიერი e > 0 არსებობს ბუნებრივი რიცხვი nq და რიცხვები a\, a2y..., ისეთი, რომ No. ზემოაღნიშნული მსჯელობა გულისხმობს თეორემა 7-ს. თუ ორთონორმალიზაციით სისტემა ) სრულია სივრცეში, ნებისმიერი ფუნქციის / ამ სისტემის ფურიეს სერია კონვერგირდება f(x)-მდე. საშუალოდ, ანუ ნორმით შეიძლება აჩვენოს, რომ ტრიგონომეტრიული სისტემა სრულია სივრცეში, რაც გულისხმობს მტკიცებას. თეორემა 8. თუ ფუნქცია /0 მისი ტრიგონომეტრიული ფურიეს რიგი უახლოვდება მას საშუალოზე. 9.5. დახურული სისტემები. სისტემების სისრულე და დახურულობა განმარტება. ფუნქციათა ორთონორმალურ სისტემას \, დახურულს უწოდებენ, თუ Li\a სივრცეში არ არის ყველა ფუნქციის ორთოგონალური ფუნქცია.L2\a, b\ სივრცეში ორთონორმალური სისტემების სისრულის და დახურულობის ცნებები. ემთხვევა. სავარჯიშოები 1. გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიებში ინტერვალში (-i-, x) 2. გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიებში ინტერვალში (-r, r) 3. გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიებში ინტერვალში. (-r, r) 4. გააფართოვეთ ფურიეს სერიებში ინტერვალში (-jt, r) ფუნქცია 5. გააფართოვეთ ფურიეს სერიებში ინტერვალში (-r, r) ფუნქცია f (x) \u003d x + x . 6. გააფართოვეთ ფურიეს სერიაში ინტერვალში (-jt, r) ფუნქცია n 7. გააფართოვეთ ფურიეს სერიაში ინტერვალში (-r, x) ფუნქცია / (x) \u003d sin2 x. 8. გააფართოვეთ ფურიეს სერიაში (-m, jt) ინტერვალში ფუნქცია f(x) = y 9. გააფართოვეთ ფურიეს სერიაში (-mm, -k) ინტერვალში ფუნქცია f(x) = | sinx|. 10. გააფართოვეთ ფურიეს სერიაში (-x-, r) ინტერვალში f(x) = g ფუნქცია. 11. გააფართოვეთ ფურიეს სერიებში ინტერვალში (-r, r) ფუნქცია f (x) \u003d sin §. 12. გააფართოვეთ ფურიეს სერიებში ფუნქცია f (x) = n -2x, მოცემული ინტერვალში (0, x), გააგრძელეთ იგი ინტერვალში (-x, 0): ა) ლუწი სახით; ბ) უცნაური გზით. 13. გააფართოვეთ ფურიეს სერიაში სინუსების მიხედვით ფუნქცია / (x) \u003d x2, მოცემული ინტერვალში (0, x). 14. გააფართოვეთ ფურიეს სერიაში ფუნქცია / (x) \u003d 3-x, მოცემული ინტერვალში (-2,2). 15. გააფართოვეთ ფურიეს სერიაში (-1,1) ინტერვალში მოცემული ფუნქცია f (x) \u003d |x |. 16. გააფართოვეთ ფურიეს სერიაში სინუსების მიხედვით ფუნქცია f (x) \u003d 2x, მითითებული ინტერვალში (0,1).
