Дәріс нөмірі 2

математикадан

Тақырыбы: «Математикалық ұғымдар»

Математикалық ұғымдар

Ұғымдардың анықтамасы

Анықтау талаптары

Анықтамалардың кейбір түрлері

1. Математикалық ұғымдар

Математиканың бастауыш курсында оқытылатын ұғымдар әдетте төрт топ түрінде беріледі. Біріншісі сандарға байланысты ұғымдарды және оларға амалдар: сан, қосу, қосынды, үлкен т.б.. Екіншісіне алгебралық ұғымдар: өрнек, теңдік, теңдеу т.б.. Үшіншісі геометриялық ұғымдардан құралған: түзу, кесінді, үшбұрыш. және т.б. Төртінші топ шама және олардың өлшеміне байланысты ұғымдардан тұрады.

Әртүрлі ұғымдардың мұндай көптігін қалай зерттеуге болады?

Ең алдымен логикалық категория ретіндегі ұғым және математикалық ұғымдардың ерекшеліктері туралы түсінік болуы керек.

Логикада ұғымдар объектілерді (заттарды немесе құбылыстарды) өзінің маңызды және жалпы қасиеттерінде көрсететін ойлау формасы ретінде қарастырылады. Ұғымның тілдік формасы – сөз немесе сөз табы.

Нысан туралы түсінік құрастыру дегеніміз оны оған ұқсас басқа заттардан ажырата білу. Математикалық ұғымдардың бірқатар ерекшеліктері бар. Ең бастысы, ол туралы түсінік қалыптастыру қажет математикалық объектілер шындықта жоқ. Математикалық объектілерді адам санасы жасайды. Бұл нақты объектілерді немесе құбылыстарды бейнелейтін идеалды нысандар. Мысалы, геометрияда заттардың пішіні мен өлшемі олардың басқа қасиеттерін: түсі, массасы, қаттылығы және т.б. ескерілмей зерттеледі. Олар осының бәрінен ауытқып, абстракцияланады. Сондықтан геометрияда «объект» сөзінің орнына « геометриялық фигура».

Абстракция нәтижесінде «сан» және «магнитуда» сияқты математикалық ұғымдар пайда болады.

Жалпы алғанда, математикалық объектілер адамның ойлауында және математикалық тілді құрайтын белгілер мен белгілерде ғана болады.

Айтылғандарға мынаны қоса аламыз: материалдық әлемнің кеңістіктік формалары мен сандық қатынастарын зерттей отырып, математика абстракцияның әртүрлі әдістерін қолданып қана қоймайды, абстракцияның өзі көп сатылы процесс ретінде әрекет етеді. Математикада олар нақты объектілерді зерттеуде пайда болған ұғымдарды ғана емес, сонымен бірге бұрынғысының негізінде пайда болған ұғымдарды да қарастырады. Мысалға, жалпы түсініксәйкестік ретінде функция нақты функциялар ұғымдарын жалпылау болып табылады, яғни. абстракциялардан абстракциялау.

Математиканың бастауыш курсында ұғымдарды зерттеудің жалпы тәсілдерін меңгеру үшін мұғалімге ұғымның көлемі мен мазмұны туралы, ұғымдар арасындағы байланыс және ұғымдарды анықтау түрлері туралы білім қажет.

2. Ұғымның көлемі мен мазмұны. Ұғымдар арасындағы байланыстар

Әрбір математикалық объект белгілі бір қасиеттерге ие. Мысалы, шаршының төрт қабырғасы, төрт бұрышы диагональге тең. Басқа сипаттарды да көрсетуге болады.

Нысанның қасиеттерінің ішінде маңызды және елеусіз болып бөлінеді. Сипат объект үшін маңызды болып саналады, егер ол осы объектіге тән болса және онсыз ол өмір сүре алмайды. Мысалы, шаршы үшін жоғарыда аталған барлық қасиеттер маңызды. "AD жағы көлденең" сипаты ABCD шаршысы үшін маңызды емес. Егер сіз шаршыны бұрсаңыз, онда AD жағы басқа жолмен орналасады (Cурет 26).

Сондықтан берілген математикалық объектінің не екенін түсіну үшін оның маңызды қасиеттерін білу керек.

Олар математикалық ұғым туралы айтқанда, әдетте бір терминмен (сөз немесе сөздер тобы) белгіленген объектілердің жиынтығын білдіреді. Сонымен, шаршы туралы айтатын болсақ, олар квадрат болып табылатын барлық геометриялық фигураларды білдіреді. Барлық квадраттардың жиыны «шаршы» ұғымының ауқымы болып табылады деп есептеледі.

Жалпы ұғымның аясы – бір терминмен белгіленген барлық объектілердің жиынтығы.

Кез келген ұғымның көлемі ғана емес, мазмұны да болады.

Мысалы, «тіктөртбұрыш» түсінігін қарастырайық.

Ұғымның қолданылу аясы әр түрлі тіктөртбұрыштар жиынтығы болып табылады және оның мазмұны тіктөртбұрыштардың «төрт бұрышы бар», «қарама-қарсы қабырғалары тең», «диагональдары бірдей» т.б қасиеттерін қамтиды.

Ұғымның көлемі мен оның мазмұнының арасында байланыс бар: егер ұғымның көлемі ұлғайса, онда оның мазмұны азаяды және керісінше. Сонымен, мысалы, «шаршы» ұғымының қолданылу аясы «тіктөртбұрыш» түсінігінің бір бөлігі болып табылады, ал «шаршы» ұғымының мазмұны «тіктөртбұрыш» ұғымының мазмұнына қарағанда көбірек қасиеттерді қамтиды. («барлық қабырғалары тең», «диагональдары өзара перпендикуляр» және т.б.).

Кез келген ұғымды оның басқа ұғымдармен байланысын түсінбей меңгеру мүмкін емес. Сондықтан ұғымдардың қандай қарым-қатынаста бола алатынын білу және осы байланыстарды орната білу маңызды.

Ұғымдар арасындағы байланыс олардың көлемдерінің арақатынасымен тығыз байланысты, яғни. жинақтар.

Ұғымдарды латын әліпбиінің кіші әріптерімен белгілеуге келісейік: a, b, c, ..., z.

Екі а және в ұғымы берілсін. Олардың көлемдері сәйкесінше А және В арқылы белгіленеді.

Егер А B (A ≠ B), содан кейін олар тұжырымдаманы айтады а – ұғымға қатысты нақтыб, және тұжырымдамасы б- ұғымына қатысты жалпылама а.

Мысалы, егер a "тіктөртбұрыш", b "төртбұрыш" болса, олардың A және B көлемдері қосуға қатысты болады (A B және A ≠ B), өйткені әрбір төртбұрыш төртбұрыш. Сондықтан «төртбұрыш» ұғымы «төртбұрыш» ұғымына қатысты ерекше, ал «төртбұрыш» ұғымы «тіктөртбұрыш» ұғымына қатысты жалпылама болып табылады деп дәлелдеуге болады.

Егер A = B болса, онда олар осылай дейді а және ұғымдарыббірдей.

Мысалы, «теңбүйірлі үшбұрыш» және «теңбүйірлі үшбұрыш» ұғымдары бірдей, өйткені олардың көлемдері сәйкес келеді.

Егер А және В жиындары қосу қатынасы арқылы байланыспаса, онда олар а және б ұғымдары текке және түрге қатысты емес және бірдей емес деп айтады. Мысалы, «үшбұрыш» және «тіктөртбұрыш» ұғымдары мұндай қатынастар арқылы байланыспайды.

Тұқым мен түрдің ұғымдар арасындағы байланысын толығырақ қарастырайық. Біріншіден, тектік және түр ұғымдары салыстырмалы: бір ұғым бір ұғымға қатысты тектік, екінші ұғымға қатысты нақты болуы мүмкін. Мысалы, «тіктөртбұрыш» ұғымы «шаршы» ұғымына қатысты жалпылама және «төртбұрыш» ұғымына қатысты нақты.

Екіншіден, үшін осы тұжырымдаманыңжиі бірнеше жалпы ұғымдарды көрсетуге болады. Сонымен, «тіктөртбұрыш» ұғымы үшін «төртбұрыш», «параллелограмм», «көпбұрыш» ұғымдары жалпы болып табылады. Олардың ішінде ең жақынын көрсетуге болады. «Тіктөртбұрыш» ұғымы үшін ең жақыны «параллелограмм» ұғымы.

Үшіншіден, нақты ұғымда жалпылама ұғымның барлық қасиеттері болады. Мысалы, шаршы «тіктөртбұрыш» ұғымына қатысты нақты ұғым бола отырып, тіктөртбұрышқа тән барлық қасиеттерге ие.

Ұғымның ауқымы жиынтық болғандықтан, ұғымдар ауқымы арасындағы қатынастарды орнату кезінде Эйлер шеңберлерін пайдаланып бейнелеу ыңғайлы.

Мысалы, а және b ұғымдарының келесі жұптары арасындағы байланысты анықтайық, егер:

1) а - "тіктөртбұрыш", b - "ромб";

2) а - "көпбұрыш", b - "параллелограмм";

3) а - "түзу сызық", б - "сегмент".

1) жағдайда ұғымдардың көлемдері қиылысады, бірақ бір жиын басқа жиынның ішкі жиыны болып табылмайды (27-сурет).

Сондықтан бұл а және б ұғымдары тек пен түрге қатысты емес деп айтуға болады.

2) жағдайда ұғымның деректер көлемдері қосуға қатысты, бірақ сәйкес келмейді – әрбір параллелограмм көпбұрыш болып табылады, бірақ керісінше емес (28-сурет). Демек, «параллелограмм» ұғымы «көпбұрыш» ұғымына қатысты ерекше, ал «көпбұрыш» ұғымы «параллелограмм» ұғымына қатысты жалпылама болып табылады деп дәлелдеуге болады.

3) жағдайда ұғымдардың көлемдері қиылыспайды, өйткені ешбір кесіндіні түзу деп айтуға болмайды, ал ешбір түзуді кесінді деп атауға болмайды (29-сурет).

Демек, бұл ұғымдар тек пен түрге қатысты емес.

«Сызық» және «сегмент» ұғымдары туралы біз оларды айта аламыз бүтінге және бөлікке қатысты:кесінді түзудің түрі емес, бөлігі болып табылады. Ал егер нақты ұғымда тектік ұғымның барлық қасиеттері болса, онда бөлікте міндетті түрде бүтіннің барлық қасиеттері болмайды. Мысалы, кесіндіде түзудің шексіздігі сияқты қасиеті болмайды.

Кіші оқушының бастауыш математикалық түсініктерін қалыптастыру

Е.Ю. Тогобецкая, «Педагогика және оқыту әдістемесі» кафедрасының магистранты

Тольятти педагогикалық университеті, Тольятти (Ресей)

Түйінді сөздер: математикалық ұғымдар, абсолютті ұғымдар, салыстырмалы ұғымдар, анықтамалар.

Аннотация: Мектеп тәжірибесінде көптеген мұғалімдер оқушылардан ұғымдардың анықтамаларын есте сақтауды талап етеді және дәлелдену үшін олардың негізгі қасиеттерін білуді талап етеді. Алайда мұндай оқытудың нәтижесі әдетте мардымсыз. Себебі, оқушылардың көпшілігі мектепте меңгерген ұғымдарды қолдана отырып, елеусіз белгілерге сүйенеді, ал ұғымдардың мәнді белгілерін оқушылар ұғымды анықтауды қажет ететін сұрақтарға жауап бергенде ғана танып, қайта шығарады. Көбінесе оқушылар ұғымдарды дәл қайталайды, яғни оның маңызды белгілері туралы білімдерін ашады, бірақ бұл білімді практикада қолдана алмайды, олар тікелей тәжірибе арқылы анықталған кездейсоқ белгілерге сүйенеді. Ұғымдарды ассимиляциялау процесін басқаруға, берілген қасиеттермен қалыптастыруға болады.

Түйін сөздер: математикалық ұғымдар, абсолютті ұғымдар, салыстырмалы ұғымдар, анықтамалар.

Аннотация: Мектеп тәжірибесінде көптеген мұғалімдер оқушылардан ұғымдардың анықтамаларын меңгеруге және олардың негізгі дәлелденген қасиеттерін білуге ​​қол жеткізеді. Алайда мұндай жаттығулардың нәтижелері әдетте мардымсыз. Бұл оқушылардың көпшілігінің мектепте алған ұғымдарын қолдана отырып, маңызды емес белгілерге сүйеніп, ұғымның мәнді белгілерін ұғымды анықтауды талап ететін сұрақтарға жауап бергенде ғана жүзеге асырып, жаңғыртып отыруынан туындайды. Көбінесе оқушылар ұғымдарды қатесіз жаңғыртады, яғни оның маңызды белгілерін біледі, бірақ бұл білімді іс жүзінде қолдана алмайды, алғашқы тәжірибенің арқасында бөлінген кездейсоқ белгілерге сүйене алмайды. Ұғымдарды меңгеру үдерісінде әрекет етуге, оларды белгіленген қасиеттермен қалыптастыруға болады.

Ғылыми білімді меңгеруде бастауыш сынып оқушылары әртүрлі ұғымдармен бетпе-бет келеді. Студенттің ұғымдарды ажырата алмауы олардың дұрыс игерілмеуіне әкеледі.

Логика тұрғысынан көлем мен мазмұнды ажыратады. Көлем деп осы ұғымға жататын, онымен біріктірілген объектілер класы түсініледі. Сонымен, үшбұрыш түсінігінің аясына олардың спецификалық сипаттамаларына (бұрыштардың түрлері, қабырғаларының өлшемі және т.б.) қарамастан үшбұрыштардың барлық жиынтығы кіреді.

Ұғымдардың мазмұны деп маңызды қасиеттер жүйесі түсініледі, оған сәйкес бұл объектілер бір сыныпқа біріктіріледі. Ұғымның мазмұнын ашу үшін оның басқа объектілермен байланысын көрсету үшін қандай белгілер қажет және жеткілікті екенін салыстыру арқылы анықтау керек. Мазмұны мен белгілері белгіленбейінше, бұл ұғым арқылы бейнеленетін объектінің мәні анық емес, бұл объектіні оған іргелес жатқандардан дәл және нақты ажырату мүмкін емес, ойлаудың шатасуы орын алады.

Мысалы, үшбұрыш ұғымы, бұл қасиеттерге мыналар жатады: тұйық фигура, үш сызық кесіндісінен тұрады. Объектілерді бір классқа біріктіретін қасиеттер жиынтығы қажетті және жеткілікті белгілер деп аталады. Кейбір ұғымдарда бұл белгілер бірін-бірі толықтырып, мазмұнды біріктіреді, соған сәйкес объектілер бір сыныпқа біріктіріледі. Мұндай ұғымдардың мысалдары үшбұрыш, бұрыш, биссектриса және тағы басқалар.

Осы тұжырымдама қолданылатын осы объектілердің жиынтығы объектілердің логикалық класын құрайды. Объектілердің логикалық класы – жалпы белгілері бар объектілердің жиынтығы, нәтижесінде олар ортақ ұғым арқылы көрінеді. Объектілердің логикалық класы мен сәйкес ұғымның көлемі сәйкес келеді.Ұғымдар қолданылатын объектілердің сипаты мен санына қарай мазмұны мен көлеміне қарай түрлерге бөлінеді. Көлемі жағынан математикалық ұғымдар дара және жалпы болып бөлінеді. Егер ұғымның аясы бір ғана объектіні қамтыса, оны жалғыз деп атайды.

Бірыңғай ұғымдарға мысалдар: «ең кіші екі таңбалы сан», «5 саны», «қабырғасының ұзындығы 10 см шаршы», «радиусы 5 см шеңбер». Жалпы ұғым объектілердің белгілі бір жиынтығының белгілерін көрсетеді. Мұндай ұғымдардың көлемі әрқашан бір элементтің көлемінен үлкен болады. Жалпы ұғымдарға мысалдар: «көп екі таңбалы сандар», «үшбұрыштар», «теңдеулер», «теңсіздіктер», «5-ке еселік», «бастауыш сыныпқа арналған математика оқулықтары». Мазмұны жағынан конъюнктивтік және дизъюнктивтік, абсолютті және нақты, салыстырмалы емес және салыстырмалы ұғымдарды ажыратады.

Ұғымдар конъюнктивті деп аталады, егер олардың белгілері өзара байланысты болса және жеке олардың ешқайсысы осы кластың объектілерін анықтауға мүмкіндік бермесе, белгілер «және» одағының көмегімен байланысады. Мысалы, үшбұрыш ұғымына қатысты объектілер міндетті түрде үш сызық сегментінен тұруы және жабық болуы керек.

Басқа ұғымдарда қажетті және жеткілікті белгілердің арақатынасы әртүрлі: олар бірін-бірі толықтырмайды, керісінше алмастырады. Бұл бір функцияның екіншісіне эквивалентті екенін білдіреді. Белгілер арасындағы қатынастың бұл түрінің мысалы кесінділердің, бұрыштардың теңдігінің белгілері бола алады. Тең кесінділер класына мынандай сегменттер кіретіні белгілі: а) немесе қабаттасқан кезде сәйкес келеді; б) немесе үшіншіге жеке тең; в) немесе тең бөліктерден тұрады және т.б.

Бұл жағдайда конъюнктивтік типтегі ұғымдар сияқты аталған белгілердің барлығы бір уақытта талап етілмейді; мұнда барлық аталғандардың біреуі болуы жеткілікті: олардың әрқайсысы басқалардың кез келгеніне тең. Осыған байланысты белгілер «немесе» жалғауы арқылы байланысады. Ерекшеліктердің мұндай байланысы дизъюнкция, ал ұғымдар сәйкесінше дизъюнктивтік деп аталады. Ұғымдардың абсолютті және салыстырмалы болып бөлінуін де ескеру қажет.

Абсолюттік ұғымдар объектілерді осы объектілердің мәнін сипаттайтын белгілі бір белгілері бойынша сыныптарға біріктіреді. Сонымен, бұрыш ұғымы кез келген бұрыштың мәнін сипаттайтын қасиеттерді көрсетеді. Жағдай көптеген басқа геометриялық ұғымдармен ұқсас: шеңбер, сәуле, ромб және т.б.

Салыстырмалы ұғымдар объектілерді олардың басқа объектілерге қатынасын сипаттайтын қасиеттеріне сәйкес сыныптарға біріктіреді. Сонымен, перпендикуляр түзулер ұғымында екі түзудің бір-біріне қатынасын сипаттайтын нәрсе бекітіледі: қиылысу, бір мезгілде түзу тікбұрыш... Сол сияқты сан ұғымы да өлшенетін шама мен қабылданған эталонның қатынасын көрсетеді. Салыстырмалы ұғымдар студенттерге абсолютті ұғымдарға қарағанда күрделірек қиындықтар туғызады. Қиындықтардың мәні мектеп оқушыларының ұғымдардың салыстырмалылығын есепке алмауында және олармен абсолютті ұғымдардағыдай әрекет етуінде жатыр. Сонымен, мұғалім оқушыларға перпендикуляр салуды сұрағанда, олардың кейбіреулері вертикалды бейнелейді. Сан ұғымына ерекше назар аудару керек.

Сан – сандық түрде анықталатын нәрсенің (ұзындық, салмақ, көлем және т.б.) осы бағалау үшін қолданылатын стандартқа қатынасы. Әлбетте, сан өлшенетін мәнге де, стандартқа да байланысты. Өлшенетін мән неғұрлым үлкен болса, сан бірдей эталонмен соғұрлым көп болады. Керісінше, стандарт (өлшем) неғұрлым үлкен болса, бірдей мәнді бағалау кезінде сан аз болады. Демек, оқушылар сандарды шама бойынша салыстыру олардың артында бір эталон тұрғанда ғана жүргізілетінін ең басынан түсінуі керек. Шынында да, мысалы, ұзындықты сантиметрмен өлшегенде бес, ал метрмен өлшегенде үш алынса, үшеуі бестен үлкен мәнді білдіреді. Егер оқушылар санның салыстырмалы табиғатын түсінбесе, онда олар санау жүйесін меңгеруде үлкен қиындықтарға тап болады. Салыстырмалы ұғымдарды меңгерудегі қиындықтар орта және тіпті жоғары сынып оқушылары арасында сақталады. Ұғымның мазмұны мен көлемінің арасында өзара байланыс бар: ұғымның көлемі неғұрлым аз болса, мазмұны да соғұрлым кең болады.

Мысалы, «шаршы» ұғымының көлемі «тіктөртбұрыш» ұғымының көлемінен кішірек, өйткені кез келген шаршы тіктөртбұрыш, бірақ әрбір төртбұрыш шаршы емес. Сондықтан «шаршы» түсінігі «тіктөртбұрыш» ұғымына қарағанда көбірек мазмұнға ие: шаршы тіктөртбұрыштың және кейбір басқалардың барлық қасиеттеріне ие (шаршының барлық қабырғалары тең, диагональдары өзара перпендикуляр).

Ойлау процесінде әрбір ұғым жеке өмір сүрмейді, басқа ұғымдармен белгілі байланыстар мен қатынастарға түседі. Математикада коммуникацияның маңызды түрі – жалпы тәуелділік.

Мысалы, «шаршы» және «тіктөртбұрыш» ұғымдарын қарастырайық. «Квадрат» ұғымының қолданылу аясы «тіктөртбұрыш» ұғымының қолданылу аясының бір бөлігі болып табылады. Сондықтан біріншісі спецификалық, ал екіншісі жалпылама деп аталады. Тұқымдық-тұқымдық қатынастарда жақын туыс ұғымы мен келесі тектік кезеңдерді ажырату керек.

Мысалы, «шаршы» түрі үшін ең жақын тұқым «тіктөртбұрыш», тіктөртбұрыш үшін ең жақын тұқымдас «параллелограмм», «параллелограмм» үшін - «төртбұрыш», «төртбұрыш» үшін - « көпбұрыш», ал «көпбұрыш» үшін - «жалпақ фигура».

В бастауыш сыныптаралғаш рет әрбір ұғым көрнекі түрде, нақты объектілерді бақылау арқылы немесе практикалық әрекет арқылы енгізіледі (мысалы, оларды санағанда). Мұғалім балалардың бұрын алған білімі мен тәжірибесіне сүйенеді мектеп жасы... Математикалық ұғымдармен танысу термин немесе термин және таңба арқылы жазылады. Математикалық ұғымдармен жұмыс істеудің бұл әдістемесі бастауыш мектепБұл курста әртүрлі анықтамалар қолданылмайды дегенді білдірмейді.

Тұжырымдаманы анықтау - бұл ұғымға кіретін объектілердің барлық маңызды белгілерін тізіп көрсету. Ұғымның сөздік анықтамасы термин деп аталады. Мысалы, «сан», «үшбұрыш», «дөңгелек», «теңдеу» терминдер.

Анықтама екі мәселені шешеді: ол белгілі бір ұғымды барлық басқалардан бөліп алып, ажыратады және оларсыз ұғым өмір сүре алмайтын және барлық басқа белгілер тәуелді болатын негізгі белгілерді көрсетеді.

Анықтама көп немесе аз терең болуы мүмкін. Бұл айтылған ұғым туралы білім деңгейіне байланысты. Біз оны неғұрлым жақсы білсек, соғұрлым оны жақсырақ анықтай аламыз. Кіші жастағы оқушыларды оқыту тәжірибесінде айқын және жасырын анықтамалар қолданылады. Айқын анықтамалар екі ұғымның теңдігі немесе сәйкестігі түрінде болады.

Мысалы: «Пропедевтика кез келген ғылымға кіріспе». Мұнда олар «пропедевтика» және «кез келген ғылымға ену» деген екі ұғымды бір-біріне теңестіреді. «Шаршы – барлық қабырғалары тең тіктөртбұрыш» деген анықтамада бізде ұғымдардың сәйкестігі бар. Кіші мектеп оқушыларын оқытуда жасырын анықтамалардың ішінде контекстік және экстенсивті анықтамалар ерекше қызығушылық тудырады.

Мәтіннен кез келген үзінді, мейлі ол бізді қызықтыратын концепцияда орын алатын кез келген контекст, қандай да бір мағынада оның жасырын анықтамасы болып табылады. Контекст ұғымды басқа ұғымдармен байланыстырады және сол арқылы оның мазмұнын ашады.

Мысалы, балалармен жұмыс істегенде «өрнектің мәндерін тап», «5+a және (а - 3) 2 өрнектерінің мәнін салыстыр, егер а = 7 болса», «өрнектерді оқы қосындылар болып табылады», «өрнектерді оқыңыз, содан кейін теңдеулерді оқыңыз «, біз сандардан немесе айнымалылардан және әрекет белгілерінен тұратын жазба ретінде «математикалық өрнек» ұғымын ашамыз. Біз кездестіретін барлық дерлік анықтамалар Күнделікті өмірконтекстік анықтамалар болып табылады. Белгісіз сөзді естігеннен кейін біз оның мағынасын барлық айтылғандардың негізінде анықтауға тырысамыз. Кіші мектеп оқушыларын оқытуда да солай. Бастауыш мектептегі көптеген математикалық ұғымдар контекст арқылы анықталады. Бұл, мысалы, «үлкен – кіші», «кез келген», «кез келген», «бір», «көп», «сан», «арифметикалық амал», «теңдеу», «тапсырма» және т.б.

Мәтінмәндік анықтамалар қалады көп бөлігіндетолық емес және толық емес. Олар кіші оқушының толық, тіпті одан да көп ғылыми анықтаманы игеруге дайын болмауына байланысты қолданылады.

Остенсивті анықтамалар – көрсету арқылы берілген анықтамалар. Олар кәдімгі контекстік анықтамаларға ұқсайды, бірақ мұндағы контекст қандай да бір мәтіннің үзіндісі емес, концепциямен көрсетілген объектінің өзін табатын жағдайы болып табылады. Мысалы, мұғалім шаршыны (сызба немесе қағаз үлгісі) көрсетіп, «Қара - бұл шаршы» дейді. Бұл әдеттегі экстенсивті анықтама.

Бастауыш сыныптарда «қызыл (ақ, қара, т.б.) түс», «солдан – оңға», «солдан оңға», «цифр», «алдыңғы және келесі сан», » сияқты ұғымдарды қарастыру кезінде экстенсивті анықтамалар қолданылады. таңбалар арифметикалық амалдар "," салыстыру белгілері "," үшбұрыш "," төртбұрыш "," текше ", т.б.

Сөздердің мағыналарын экстенсивті түрде ассимиляциялау негізінде баланың сөздік қорына жаңа сөздер мен сөз тіркестерінің сөздік мағынасын енгізуге болады. Остенсивті анықтамалар – тек олар – сөзді заттармен байланыстырады. Оларсыз тіл объективті, объективті мазмұны жоқ сөздік шілтер ғана. Бастауыш сыныптарда «бесбұрыш» сөзі «бес жағы бар көпбұрышты атаймыз» сияқты қолайлы анықтамаларға назар аударыңыз. Бұл «номиналды анықтама» деп аталады. Математикада әртүрлі айқын анықтамалар қолданылады. Бұлардың ең көп тарағаны – ең жақын тұқымдас және түр белгісі арқылы анықтау. Жалпы анықтама классикалық деп те аталады.

Тұқым мен түрге тән анықтамаларға мысалдар: «Параллелограмм – қарама-қарсы қабырғалары параллель төртбұрыш», «Ромб — қабырғалары тең параллелограмм», «Тіктөртбұрыш — бұрыштары түзу, тең параллелограмм», Шаршы - тік бұрыштары бар ромб».

Шаршының анықтамаларын қарастырыңыз. Бірінші анықтамада ең жақын тұқымдас «тіктөртбұрыш», ал түр ерекшелігі «барлық жақтары тең». Екінші анықтамада ең жақын тұқымдас «ромб», ал түр сипаты «тік бұрыштар». Ең жақын тұқымды («параллелограмм») алмасақ, онда шаршының екі түрлік сипаттамасы болады.«Квадрат — барлық қабырғалары тең және барлық бұрыштары түзу параллелограмм».

Жалпы қатынаста «қосу (алу, көбейту, бөлу)» және «арифметикалық амал» ұғымдары, «сүйір (түз, доғал) бұрыш» және «бұрыш» ұғымдары. Бастауыш сыныптарда қарастырылатын көптеген математикалық ұғымдардың арасында айқын жалпы байланыстардың мысалдары онша көп емес. Бірақ қосымша білім беруде тектік және түрлік белгі арқылы анықтаудың маңыздылығын ескере отырып, бұл түрдің анықтамасының мәнін бастауыш сыныптарда оқушылардың түсінуіне қол жеткізген жөн.

Жеке анықтамалар ұғымды және оның қалыптасу немесе пайда болу жолын қарастыруы мүмкін. Анықтаудың бұл түрі генетикалық деп аталады. Генетикалық анықтамалардың мысалдары: «Бұрыш – бір нүктеден шығатын сәулелер», «Тік төртбұрыштың диагоналы – тіктөртбұрыштың қарама-қарсы төбелерін қосатын кесінді». Бастауыш сыныптарда «сегмент», «сынық сызық», «тік бұрыш», «шеңбер» сияқты ұғымдарға генетикалық анықтамалар қолданылады. Тізім арқылы анықтауды генетикалық түсініктерге де жатқызуға болады.

Мысалы, «Сандардың натурал қатары 1, 2, 3, 4 және т.б. сандар». Бастауыш сыныптарда кейбір ұғымдар тек термин арқылы енгізіледі. Мысалы, уақыт өлшем бірліктері – жыл, ай, сағат, минут. Бастауыш сыныптарда символдық тілде теңдік түрінде берілген ұғымдар бар, мысалы, а 1 = а, 0 = 0.

Жоғарыда айтылғандардан мынадай қорытынды жасауға болады: бастауыш сыныптарда көптеген математикалық ұғымдар алдымен үстірт, анық емес түрде игеріледі. Алғашқы танысу кезінде мектеп оқушылары ұғымдардың кейбір қасиеттерін ғана біледі, олардың қолданылу аясын өте тар көрсетеді. Және бұл табиғи нәрсе. Барлық ұғымдарды үйрену оңай емес. Бірақ мұғалімнің математикалық ұғымдарға анықтамалардың жекелеген түрлерін түсініп, дер кезінде қолдануы студенттерде осы ұғымдар туралы берік білім қалыптастырудың бір шарты екені даусыз.

Әдебиеттер тізімі:

1. Богданович М.В. Математикалық ұғымдардың анықтамасы // Бастауыш мектеп 2001. - № 4.

2. Глузман Н.А. Кіші жастағы оқушыларда ақыл-ой әрекетінің жалпыланған әдістерін қалыптастыру. - Ялта: КГГИ, 2001 .-- 34 б.

3. Дрозд В.Л. Қалалық М.А. Кішкентай мәселелерден үлкен жаңалықтарға дейін. //Бастауыш мектеп. - 2000. - № 5.

Беларусь Республикасының Білім министрлігі

«Гомель Мемлекеттік университетіолар. Ф. Скарына»

Математика факультеті

MPM бөлімі

реферат

Математикалық ұғымдар

Орындаушы:

М-32 тобының студенті

Молодцова А.Ю.

Ғылыми жетекші:

Cand. физмат. ғылымдары, доцент

Лебедева М.Т.

Гомель 2007 ж

Кіріспе

Көптеген анықтамалардың тұжырымдары (теоремалар, аксиомалар) оқушыларға түсінікті, олар аздаған қайталаулардан кейін оңай есте сақталады, сондықтан алдымен есте сақтауды ұсынып, сосын есептерді шығаруда қолдана білуге ​​үйреткен жөн.

бөлек.

1. Ұғымның көлемі мен мазмұны. Ұғымдардың классификациясы

Шындық объектілері: а) оның ерекше қасиеттерін білдіретін біркелкі қасиеттерге ие (мысалы, бір айнымалысы бар үшінші дәрежелі теңдеу – кубтық теңдеу); б) объектінің көптеген басқа объектілерден ерекшеленетін маңызды қасиеттерін (оның белгілерін) білдірсе, ерекшеленуі мүмкін жалпы қасиеттер.

«Ұғым» термині объектілердің, процестердің белгілі бір класының психикалық бейнесін белгілеу үшін қолданылады. Психологтар ойлаудың үш түрін ажыратады:

1) ұғымдар (мысалы, медиана үшбұрыштың қарама-қарсы қабырғасымен төбесін қосатын кесінді);

2) пайымдаулар (мысалы, ерікті үшбұрыштың бұрыштары үшін бұл дұрыс :);

3) қорытындылар (мысалы, a> b және b> c болса, онда а> в).

тән ұғымдардағы ойлау формаларымыналар: а) бұл жоғары ұйымдасқан материяның туындысы; б) материалдық дүниені бейнелейді; в) танымда жалпылау құралы ретінде пайда болады; г) адамның нақты іс-әрекетін білдіреді; д) оның санада қалыптасуы сөйлеу, жазу немесе таңба арқылы білдіруден бөлінбейді.

Математикалық ұғым біздің ойлауымызда нақты жағдайлардан абстракцияланған шындықтың белгілі бір формалары мен қатынастарын көрсетеді. Олардың қалыптасуы схемаға сәйкес жүреді:

Әрбір тұжырымдама деп аталатын көптеген объектілерді немесе қатынастарды біріктіреді тұжырымдаманың ауқымы, және осы жиынның барлық элементтеріне тән және тек соларға ғана тән сипаттамалық қасиеттер тұжырымдаманың мазмұны.

Мысалы, математикалық ұғым – төртбұрыш. Оның көлемі: шаршы, төртбұрыш, параллелограмм, ромб, трапеция, т.б. Мазмұны: 4 жағы, 4 бұрышы, 4 шыңы (сипаттама қасиеттері).

Ұғымның мазмұны оның қолданылу аясын қатаң түрде анықтайды және керісінше, ұғымның ауқымы оның мазмұнын толығымен анықтайды. Сенсорлық кезеңнен логикалық кезеңге өту арқылы жүзеге асады жалпылау:не объектінің жалпы белгілерін ерекшелеу арқылы (параллелограмм – төртбұрыш – көпбұрыш); немесе жалпы белгілер арқылы арнайы немесе жеке белгілермен үйлеседі, бұл белгілі бір ұғымға әкеледі.

Жалпылау барысында көлемі кеңейіп, мазмұны тарылады. Ұғымның мамандану барысында қолданылу аясы тарылып, мазмұны кеңейеді.

Мысалға:

көпбұрыштар - параллелограммдар;

үшбұрыштар тең қабырғалы үшбұрыштар.

Бір ұғымның көлемі екінші ұғымның көлемінде болса, екінші ұғым деп аталады жалпы, біріншісіне қатысты; және біріншісі деп аталады нақтыекіншісіне қатысты. Мысалы: параллелограмм – ромб (тек) (көрініс).

Ұғымның көлемін нақтылау процесі деп аталады классификация, оның схемасы келесідей:

жиын және кейбір қасиет берілсін және осы қасиетке ие де, ие емес элементтер де болсын. Болсын:

Жаңа сипатты таңдап, оны осы сипат бойынша бөлейік:

Мысалы: 1) сан ұғымының дамуын көрсететін сандық жиындардың жіктелуі; 2) үшбұрыштардың жіктелуі: а) қабырғалары бойынша; б) бұрыштарда.

№1 мәселе.Шаршының нүктелерін пайдаланып үшбұрыштар жиынын саламыз.

Тең бүйірлік қасиеті;

Шаршылық қасиеті;

Осы қасиеттерге ие үшбұрыштар бір уақытта бар ма?

2. Математикалық анықтамалар. Ұғымды анықтау қателерінің түрлері

Ұғымды қалыптастырудың соңғы кезеңі оның анықтамасы, яғни. шартты келісімді қабылдау. Анықтама деп концептті сөйлемге (сөйлеу немесе символдық) дейін қысқартылған қажетті және жеткілікті белгілерінің тізімі түсініледі.

2.1 Ұғымдарды анықтау әдістері

Бастапқыда анықталмаған ұғымдар ажыратылады, олардың негізінде математикалық ұғымдар келесі жолдармен анықталады:

1) ең жақын тұқым және түр айырмашылығы арқылы: a) сипаттаушы(анықтаманы салу процесін нақтылау немесе операцияларға байланысты ішкі құрылымды сипаттау бұл анықтамаанықталмаған ұғымдардан құрылған); б) конструктивті(немесе генетикалық) ұғымның шығу тегін көрсетеді.

Мысалы: а) тіктөртбұрыш – барлық бұрыштары түзу параллелограмм; б) шеңбер – берілген нүктеден бірдей қашықтықта орналасқан жазықтықтың барлық нүктелерінен тұратын фигура. Бұл нүкте шеңбердің центрі деп аталады.

2) индуктивті түрде.Мысалы, арифметикалық прогрессияның анықтамасы:

3) абстракция арқылы... Мысалы, натурал сан эквивалентті ақырлы жиындар кластарының сипаттамасы;

4) аксиоматикалық (жанама анықтама)... Мысалы, геометриядағы фигураның ауданын анықтау: қарапайым фигуралар үшін аудан оң мән болып табылады, сандық мәноның келесі қасиеттері бар: а) тең фигуралардың аудандары бірдей; б) егер фигура қарапайым фигуралар болып табылатын бөліктерге бөлінсе, онда бұл фигураның ауданы оның бөліктерінің аудандарының қосындысына тең болады; в) қабырғасы өлшем бірлігіне тең шаршының ауданы бірге тең.

2.2 Айқын және жасырын анықтамалар

Анықтамалар бөлінеді:

а) айқын, онда анықталған және анықтаушы ұғымдар нақты анықталған (мысалы, ең жақын тұқым және түр айырмашылығы арқылы анықтау);

б) жасырын, олар бір ұғымды екіншісімен ауыстыру принципі бойынша кеңірек ауқымды және тізбектің соңы анықталмаған ұғым болып табылады, яғни. формальды логикалық анықтама (мысалы, шаршы – тік бұрышты ромб; ромб – қабырғалары бірдей көршілес параллелограмм; параллелограмм – төртбұрыш, қабырғалары жұп параллель; төртбұрыш – 4 бұрыштан, 4 төбеден тұратын фигура , 4 жағы). В мектеп анықтамаларыКөбінесе бірінші әдіс қолданылады, оның схемасы келесідей: бізде жиынтықтар және кейбір қасиеттер бар.

Анықтамаларды құрастыру кезіндегі негізгі талап: анықталатын жиын минималды жиынның ішкі жиыны болуы керек. Мысалы, екі анықтаманы салыстырайық: (1) Шаршы - тік бұрышты ромб; (2) Шаршы - қабырғалары тең және тік бұрышы (артық) параллелограмм.

Кез келген анықтама «бар болуды дәлелдеу» мәселесінің шешімі болып табылады. Мысалы, тік бұрышты үшбұрыш - тік бұрышты үшбұрыш; оның бар болуы құрылыс.

2.3 Қателердің негізгі түрлерінің сипаттамасы

Ескерту типтік қателерОқушылар ұғымдарды анықтау кезінде кездесетін:

1) анықтаушы ретінде минималды емес жиынды пайдалану, логикалық тәуелді қасиеттерді қосу (материалды қайталау кезіндегі типтік).

Мысалы: а) параллелограмм – қарама-қарсы қабырғалары тең және параллель болатын төртбұрыш; б) түзу жазықтыққа перпендикуляр деп аталады, егер ол осы жазықтықпен қиылыса отырып, қиылысу нүктесі арқылы жазықтықта жүргізілген әрбір түзумен тік бұрыш түзсе, оның орнына: «түзу жазықтыққа перпендикуляр деп аталады. егер ол осы жазықтықтың барлық түзулеріне перпендикуляр болса»;

2) анықталған ұғымды және анықтаушы ретінде пайдалану.

Мысалы, тік бұрыш тең ​​іргелес бұрыштардың бірі ретінде емес, қабырғалары өзара перпендикуляр бұрыштар ретінде анықталады;

3) тавтология – ұғым осы ұғымның өзі арқылы анықталады.

Мысалы, екі фигура ұқсастық түрленуі арқылы бір-біріне аударылса, ұқсас деп аталады;

4) кейде анықтама анықталған ішкі жиын бөлінген анықтаушы жиынды көрсетпейді.

Мысалы, «медиана – түзу сызық...» орнына «медиана – қосылатын сегмент...»;

5)студенттер берген анықтамаларда кейде анықталған ұғым мүлдем жоқ,бұл студенттер толық жауап беруге дағдыланбаған кезде ғана мүмкін болады.

Анықтамалардағы қателерді түзету әдісі, ең алдымен, жіберілген қателердің мәнін нақтылауды, содан кейін олардың қайталануын болдырмауды қамтиды.

3. Анықтама құрылымы

1) Конъюнктивті құрылым: екі нүкте және р түзуіне қатысты симметриялы деп аталады ( А(x)) егер бұл p түзуі кесіндіге перпендикуляр болса және оның ортасынан өтсе. Сонымен қатар p түзуінің әрбір нүктесі p түзуіне қатысты өзіне симметриялы деп есептейміз («және» одағының болуы) (* - «Бұрыштың биссектрисасы – оның төбесінен шығатын сәуле. , оның қабырғаларының арасынан өтіп, бұрышты екіге бөледі»).

2)Конструктивтік құрылым: «Берілген фигура, ал p - тұрақты түзу. Фигураның ерікті нүктесін алып, p түзуіне перпендикуляр түсіріңіз. Перпендикулярды нүктеден тыс жалғастыру үшін кесіндіге тең кесіндіні бөлек қойыңыз. Әрбір нүкте осылай салынған нүктеге баратын фигураның фигураға айналуы p түзуіне қатысты симметрия деп аталады.

3) Дизьюнктивтік құрылым: анықтаманы орнату Зсияқты қасиеттер тілінде бүтін сандар жазылуы мүмкін З Ннемесе Ннемесе = 0, мұндағы N -натурал сандарға қарама-қарсы сандар жиыны.

4. Математикалық ұғымдарды оқытудың негізгі кезеңдерінің сипаттамасы

Анықтамамен жұмыс істеу әдістемесі мыналарды көздейді: 1) анықтаманы білу; 2) осы анықтамаға сәйкес келетін объектіні тануға үйрету; 3) әртүрлі қарсы мысалдарды құрастыру. Мысалы, «тікбұрышты үшбұрыш» түсінігі және оның құрамдас элементтерін тану жұмыстары:

Математикалық анықтамаларды зерттеуді үш кезеңге бөлуге болады:

1-кезең – кіріспе – сабақта студенттер жаңа нәрселерді өздері «ашатын», олар үшін анықтамалар жасайтын немесе жай ғана түсінуге дайындалатын жағдайды құру.

Екінші кезең – ассимиляцияны қамтамасыз ету – студенттердің:

а) анықтаманы қолдануды үйренді;

ә) оларды тез және дәл есте сақтау;

в) өз сөзіндегі әрбір сөзді түсінді.

Үшінші кезең – бекіту – келесі сабақтарда жүзеге асырылады және олардың тұжырымдарын қайталауға және есептерді шешуде қолдану дағдыларын өңдеуге түседі.

Жаңа ұғымдармен танысу жүзеге асырылады:

1-әдіс: Оқушылар анықтаманы өз бетінше қалыптастыруға дайындалады.

2-әдіс: оқушылар жаңа математикалық сөйлемді саналы қабылдауға, түсінуге дайындалады, оның тұжырымы кейін оларға дайын түрде жеткізіледі.

3-әдіс: мұғалімнің өзі ешбір дайындықсыз жаңа анықтаманы тұжырымдайды, содан кейін оқушылардың күш-жігерін оларды сіңіріп, бекітуге бағыттайды.

1 және 2 эвристикалық әдісті, 3 догматикалық әдісті білдіреді. Кез келген әдісті қолдану сыныптың дайындық деңгейіне және мұғалімнің тәжірибесіне сәйкес болуы керек.

5. Ұғымдарды енгізу әдістерінің сипаттамасы

Ұғымдарды енгізу кезінде келесі әдістер мүмкін:

1) Жаттығулар студенттерге жаңа ұғымның анықтамасын жылдам тұжырымдауға мүмкіндік беру үшін жасалуы мүмкін.

Мысалы: а) Тізбектің алғашқы бірнеше мүшелерін жазыңыз (), онда = 2,. Бұл тізбекті геометриялық прогрессия деп атайды. Оның анықтамасын тұжырымдауға тырысыңыз. Сіз өзіңізді жаңа тұжырымдаманы қабылдауға дайындалумен шектей аласыз.

ә) Тізбектің алғашқы бірнеше мүшелерін жазыңыз (), ол = 4, Содан кейін мұғалім мұндай тізбектің арифметикалық прогрессия деп аталатынын хабарлайды және оның анықтамасын өзі хабарлайды.

2) Геометриялық ұғымдарды оқу кезінде жаттығулар оқушылардың өздері қажетті фигураны құрастыратындай және анықтаманы тұжырымдауға қажетті жаңа ұғымның белгілерін бөліп көрсете алатындай етіп құрастырылады.

Мысалы: ерікті үшбұрыш салу, оның төбесін кесіндімен қарама-қарсы жақтың ортасына қосу. Бұл сегмент медиана деп аталады. Медиананың анықтамасын тұжырымдаңыз.

Кейде үлгіні құрастыру немесе дайын үлгілер мен сызбаларды ескере отырып, жаңа ұғымның белгілерін бөліп көрсету және оның анықтамасын тұжырымдау ұсынылады.

Мысалы: параллелепипедтің анықтамасы 10-сыныпта енгізілген. Ұсынылған қиғаш, түзу және тік бұрышты параллелепипедтердің үлгілерін пайдалана отырып, осы ұғымдардың айырмашылығын анықтаңыз. Түзу және тік бұрышты параллелепипедтердің сәйкес анықтамаларын тұжырымдаңыз.

3) Көптеген алгебралық ұғымдар нақты мысалдарды қарастыру негізінде енгізіледі.

Мысалы: сызықтық функцияның графигі түзу болады.

4)Мақсатты тапсырмалар әдісі,(С.И.Шохор-Троцкий әзірлеген) Арнайы таңдалған есептің көмегімен оқушылар жаңа ұғымды енгізу қажет және оның математикада бұрыннан бар мағынасын дәл берудің орындылығы туралы қорытындыға келеді.

5-6 сыныптарда бұл әдістеме: теңдеу, теңдеудің түбірі, теңсіздіктерді шешу, қосу, алу, көбейту, көбейту ұғымдарымен таныстырады. натурал сандар, ондық және жай бөлшектер, т.б.

Арнайы индуктивті әдіс

Мәні:

а) нақты мысалдар қарастырылады;

б) маңызды қасиеттер ерекшеленген;

в) анықтама тұжырымдалады;

г) жаттығулар орындалады: тану үшін; құрылыс үшін;

д) анықтамаға кірмейтін қасиеттер бойынша жұмыс;

f) қасиеттерді қолдану.

Мысалы: тақырып - параллелограммдар:

1, 3, 5 - параллелограммдар.

б) мәнді белгілері: төртбұрышты, жақтарының жұптық параллелдігі.

в) тану, құрастыру:

г) параллелограммның төртінші төбесін табу (салу) (* - есеп нөмірі 3, 96-бап, Геометрия 7-11 сынып: Үш төбемен неше параллелограмм салуға болады. ұпайлар берілгенбір түзу сызықта жатпау керек пе? Оларды құрастырыңыз.).

д) басқа қасиеттері:

AC және BD О нүктесінде қиылысады және AO = OC, BO = OD; AB = CD, AD = BC.

f) A = C, B = D.

Бекіту: есептерді шешу No4-23, 96-97 б., Геометрия 7-11, Погорелов.

Перспективті мән:

а) тіктөртбұрыш пен ромбты зерттеуде және анықтауда қолданылады;

б) Фалес теоремасындағы параллель түзулер арасына салынған кесінділердің параллельдік және теңдігі принципі;

в) параллель тасымалдау түсінігі (вектор);

г) үшбұрыштың ауданын бейнелеу кезінде параллелограмм қасиеті қолданылады;

д) кеңістіктегі параллелизм мен перпендикулярлық; параллелепипед; призма.

Абстрактілі-дедуктивтік әдіс

Мәні:

а) ұғымды анықтау: - квадрат теңдеу;

б) маңызды қасиеттерді бөлектеу: x - айнымалы; a, b, c - сандар; а?0 кезінде

в) ұғымды нақтылау: - берілген; теңдеу мысалдары

г) жаттығулар: тану үшін, құрастыру үшін;

д) анықтамаға кірмейтін қасиеттерді зерттеу: теңдеудің түбірлері және олардың қасиеттері;

f) есептерді шешу.

Мектепте абстрактілі-дедуктивті әдіс бұрынғы ұғымдарды зерттеу арқылы жаңа ұғымды толық дайындап, оның ішінде ең жақын жалпылама ұғымды зерттегенде және жаңа ұғымның ерекше айырмашылығы оқушыларға өте қарапайым және түсінікті болған жағдайда қолданылады.

Мысалы: параллелограммды тексергеннен кейін ромбты анықтау.

Сонымен қатар, көрсетілген әдіс қолданылады:

1) ұғымның «тектік» анықтамасын құрастыру кезінде:

Шаршы - барлық қабырғалары тең тіктөртбұрыш.

Тіктөртбұрыш - барлық бұрыштары түзу параллелограмм.

Параллелограмм – қарама-қарсы қабырғалары параллель болатын төртбұрыш.

Төртбұрыш – төрт нүктеден және оларды тізбектей қосатын төрт кесіндіден тұратын фигура.

Басқаша айтқанда, асыл тұқымды – алдыңғы ұғымды жалпылау арқылы құрастырылған ұғымдар тізбегі, оның соңы анықталмаған ұғым (еске салайық, мектеп геометриясы курсында бұларға нүкте, фигура, жазықтық, қашықтық жатады. )))

2) жіктеу;

3) теореманы дәлелдеуге және есептер шығаруға қолданылады;

4) білімді жаңарту процесінде кеңінен қолданылады.

Тапсырмалар жүйесімен ұсынылған бұл процесті қарастырыңыз:

а) Қабырғалары 3см және 4см болатын тік бұрышты үшбұрыш берілген. Гипотенузаға түсірілген медиананың ұзындығын табыңыз.

б) Үшбұрыштың тік бұрышының төбесінен жүргізілген медиана гипотенузаның жартысына тең екенін дәлелдеңдер.

в) Тік бұрышты үшбұрышта тік бұрыштың биссектрисасы медиана мен гипотенузаға түсірілген биіктік арасындағы бұрышты екіге бөлетінін дәлелдеңдер.

г) АВС үшбұрышының ең үлкен АС қабырғасының жалғасында ВС қабырғасына тең болатын СМ кесіндісі салынады. AVM ақымақ екенін дәлелдеңіз.

Көп жағдайда мектептегі оқытуда нақты-индуктивті әдіс қолданылады. Атап айтқанда, бұл әдіс 1-6 сыныптардағы алгебра мен геометрия бастауларының пропедевтикалық циклдерінде ұғымдарды енгізеді және көптеген анықтаушы ұғымдар қатаң тұжырымдарсыз сипаттамалық түрде енгізіледі.

Мұғалімнің анықтамаларды енгізудің әртүрлі әдістерін білмеуі формализмге әкеледі, ол келесідей көрінеді:

а) оқушыларға әдеттен тыс жағдайда анықтамаларды қолдану қиынға соғады, бірақ олар оның тұжырымын есте сақтайды.

Мысалы: 1) функциясын қарастырайық – жұп, өйткені «Кос» - жұп;

2) – функцияның монотондылығы мен теңсіздіктің шешімі арасындағы байланысты түсінбейді, т.б. негізгі зерттеу әдісі функция мәндерінің айырмашылығының белгісін бағалау болып табылатын сәйкес анықтамаларды қолдана алмайды, яғни. теңсіздікті шешуде.

б) оқушылардың кез келген типтегі есептерді шығару дағдысы бар, бірақ қандай анықтамалар, аксиомалар, теоремалар негізінде белгілі бір түрлендірулерді орындайтынын түсіндіре алмайды.

Мысалы: 1) - осы формула бойынша түрлендіру және 2) үстелде төртбұрышты пирамиданың үлгісі бар деп елестету. Модель үстелге бүйір бетімен қойылса, бұл пирамиданың негізі қандай көпбұрыш болады? (төртбұрыш).

Білім, білік, дағдыны қалыптастыру процесі жаңа білімді хабарлаумен ғана шектелмейді.

Бұл білімді меңгеру және бекіту керек.

6. Математикалық ұғымдарды (сөйлемдерді) меңгеруді қамтамасыз ету әдістері

1. Көптеген анықтамалардың (теоремалардың, аксиомалардың) тұжырымдары оқушыларға түсінікті, аздаған қайталаулардан кейін есте сақтау оңай, сондықтан алдымен есте сақтауды ұсынып, сосын есептерді шығаруда қолдана білуге ​​үйреткен жөн.

Анықтамаларды есте сақтау және оларды қолдану дағдыларын қалыптастыру процестері оқушыларда әртүрлі уақытта (бөлек) болатын әдіс деп аталады. бөлек.

Бөлек әдіс хорда, трапеция, жұп және тақ функциялардың анықтамаларын, Пифагор теоремаларын, түзулердің параллелизм белгілерін, Виет теоремасын, сандық теңсіздіктердің қасиеттерін, жай бөлшектерді көбейту ережелерін, бөлгіші бірдей бөлшектерді қосу ережелерін зерттеу үшін қолданылады. , т.б.

Әдістеме:

а) мұғалім жаңа анықтаманы тұжырымдайды;

ә) сынып оқушылары жаттау үшін 1-3 рет қайталайды;

в) жаттығуларда жаттығады.

2. Ықшам әдісоқушылардың математикалық анықтаманы немесе сөйлемді бөліктерге бөліп оқып, оқу барысында бір мезгілде жаттығуды орындауынан тұрады.

Сөзді бірнеше рет оқып, жол бойы жаттап алады.

Әдістеме:

а) пайдалануға математикалық ұсыныс дайындау. Анықтама белгілеріне қарай бөліктерге, теорема – шарт пен қорытындыға бөлінеді;

ә) дайындалған мәтінмен жұмыс істеу жолын көрсететін мұғалім ұсынған іс-әрекеттер үлгісі: оны бөліктерге бөліп оқып, бір уақытта жаттығуларды орындаймыз;

в) оқушылар анықтаманы бөліктерге бөліп оқиды және бір уақытта дайындалған мәтін мен мұғалім үлгісін басшылыққа ала отырып, жаттығуларды орындайды;

Мысалы: бессектрисаның анықтамасы бесінші сыныпта:

1) ұғым бұрыштық модель бойынша мақсатқа сай есептер әдісімен енгізілген;

2) анықтама жазылады: «Бұрыштың төбесінен шығып, оны тең екі бөлікке бөлетін сәуле бұрыштың биссектрисасы деп аталады»;

3) тапсырма орындалады: сызбалардағы сызықтардың қайсысы бұрыштардың биссектрисасы екенін көрсетіңіз (тең бұрыштар бірдей доғалар санымен белгіленеді).

Сызбалардың бірінде мұғалім анықтаманың қолданылуын көрсетеді (төменде қараңыз);

4) жұмысты студенттер жалғастырады.

3. Бөлу және компакт әдісінің комбинациясы : жаңа ережені қорытқаннан кейін ол 2-3 рет қайталанады, содан кейін мұғалім жаттығуларды орындау барысында ережені бөліктерге бөлуді талап етеді.

4. Алгоритмдік әдіс математикалық сөйлемдерді қолдану дағдыларын дамыту үшін қолданылады.

Әдістеме: математикалық сөйлемдер алгоритммен ауыстырылады. Алгоритмнің нұсқауларын бір-бірлеп оқу арқылы оқушы есепті шешеді. Осылайша ол анықтаманы, аксиома мен теореманы қолдану дағдысын қалыптастырады. Бұл жағдайда не анықтаманы кейіннен есте сақтауға, не алгоритммен бірге анықтаманың өзін оқуға рұқсат етіледі.

Әдістің негізгі кезеңдері:

а) дайын нысанда берілген, кейіннен нақтылаумен немесе студенттер оны өз бетінше құрастыруға әкелетін жұмыс бойынша нұсқаулар тізімін дайындау;

б) мұғалімнің жауабының үлгісі;

в) оқушылар ұқсас жұмыс жасайды.

Анықтамаларды зерттеу үшін жеке және жинақы әдістер қолданылады. Алгоритмді қорыту қиын анықтамаларды (мысалы, қажетті және жеткілікті шарттарды) зерттегенде ғана қолдануға болады. Алгоритмдік әдіс есептерді шығару дағдыларын қалыптастыруда кеңінен қолданылады.

7. Математикалық ұғымдар мен сөйлемдерді бекіту әдістері

1-ші кездесу:

мұғалім есептерді шешу барысында кездесетін белгілі бір анықтамаларды, аксиомаларды, теоремаларды тұжырымдап, қолдануды ұсынады.

Мысалы: функцияның графигін салу; жұп (тақ) функцияның анықтамасы; болуы үшін қажетті және жеткілікті шарт.

2-ші қабылдау:

Мұғалім фронтальды шолу кезінде бірнеше анықтамаларды, теоремаларды, аксиомаларды тұжырымдауды ұсынады, оларды қайталау және сонымен бірге олардың оқушыларының есте сақтауын тексеру. Бұл әдіс мәселені шешуден басқа тиімді емес. Фронтальды сауалнаманы студенттерден анықтамаларды, теоремаларды, аксиомаларды қолдана білуді талап ететін арнайы жаттығулармен біріктіруге болады. әртүрлі жағдайлар, мәселенің жағдайында жылдам шарлау мүмкіндігі.

Қорытынды

Анықтаманы білу ұғымды ассимиляциялауға кепілдік бермейді. Ұғымдармен әдістемелік жұмыс формализмді жеңуге бағытталуы керек, ол студенттердің анықталған объектіні ол орын алған әртүрлі жағдайларда тани алмауынан көрінеді.

Осы анықтамаға сәйкес келетін объектіні тану және қарсы мысалдарды құрастыру қарастырылып отырған анықтаманың құрылымдарын нақты түсінгенде ғана мүмкін болады, ол анықтау схемасында () оң жақ бөлігінің құрылымы ретінде түсініледі.

Әдебиет

1. Қ.О. Ананченко» Жалпы әдістемемектепте математиканы оқыту», Минск, «Университетская», 1997 ж

2. Н.М. Рогановский «Оқыту әдістері орта мектеп", Пл.," магистратура«, 1990 ж

3. Г.Фрейденталь «Математика ретінде педагогикалық міндет«, М., «Білім», 1998 ж

4. Н.Н. «Математикалық лаборатория», М., «Білім», 1997 ж

5. Ю.М. Колягин «Орта мектепте математиканы оқыту әдістемесі», М., «Білім», 1999 ж.

6. А.А. Бірлестіруші «Математиканы оқытудың логикалық мәселелері», Мн., «Жоғары мектеп», 2000 ж.

Ұқсас құжаттар

Математикалық ұғымдарды зерттеу әдістерінің негіздері. Математикалық ұғымдар, олардың мазмұны мен көлемі, ұғымдардың жіктелуі. 5-6 сыныптарда математиканы оқытудың психологиялық-педагогикалық ерекшеліктері. Ұғымдардың қалыптасуының психологиялық аспектілері.

Диссертация, 08.08.2007 қосылған


Ұғымдарды қалыптастырудың мәні, оның жалпы схемасы мен ерекшеліктері, жүзеге асыру кезеңдері және мүмкін жолдары. Математикалық пәндер үшін ұғымдардың классификациясы және оның әдістемесі. Анықтама ұғымды қалыптастырудың соңғы кезеңі ретінде, оның түрлері мен ерекшеліктері.

аннотация, 24.04.2009 қосылды


«Тұжырымдама» психологиялық, педагогикалық, философиялық, оқу әдебиеті... Бастауыш математикадағы математикалық ұғымдардың түрлері мен анықтамалары. Ұғымдарды қалыптастырудағы классификацияның рөлі, қызметі. Математикалық түсініктерді қалыптастыру жүйесі.

диссертация, 23.11.2008 қосылған


Ғылыми түсініктерді қалыптастырудың психологиялық-педагогикалық негіздері. Витагендік оқытудың мәні мен көздері. Студенттердің өмірлік тәжірибесін анықтау және өзекті ету әдістері мен тәсілдері. сияқты ғылыми түсініктерді қалыптастыру педагогикалық мәселе... Ғылыми ұғымдардың түрлері.

диссертация, 12.13.2009 қосылған


Негізгі математикалық ұғымдарды талдау. Көбейту мен бөлудің кестелік жағдайларын зерттеу әдістемесі. Тапсырмалар өзіндік жұмысстуденттер. Оқытуға жеке көзқарасты жүзеге асыру. Көбейту кестесін меңгеруге арналған жаттығулар, білімді тексеру әдістері.

диссертация, 12.13.2013 қосылған


мақала 15.09.2009 жылы қосылды


Көрнекілік грамматикалық ұғымдарды меңгеру құралы ретінде. Орыс тілі сабақтарында көрнекіліктің көмегімен грамматикалық ұғымдарды оқыту жүйесі. Бастауыш мектеп оқушыларының грамматикалық ұғымдарды меңгеру деңгейін анықтауға арналған эксперимент нәтижелері.

диссертация, 05.03.2015 жылы қосылды


Математикалық қабілеттердің құрамдас бөліктері, олардың бастауыш мектеп жасындағы көріну дәрежесі, табиғи алғышарттары мен қалыптасу жағдайлары. Сыныптан тыс жұмыстарды өткізудің негізгі формалары мен әдістері: үйірме сабақтары, математикалық кештер, олимпиадалар, ойындар.

диссертация, 11.06.2010 қосылған


Мектеп геометриясы курсында оқушыларды аксиомалармен таныстыру әдістемесі, дәстүрлі синтетикалық координат-векторлық әдістер, мектеп курсын құрудағы аксиомалардың рөлі. Ұғымдар мен теоремаларды енгізу әдістемесі, үшбұрыштардың теңдік белгілерін зерттеу схемасы.

аннотация, 07.03.2010 қосылған


Бастауыш жалпы білім берудің Федералдық мемлекеттік білім беру стандарты бойынша бастауыш мектепте математиканы оқытудың ерекшеліктері. Курс мазмұны. Негізгі математикалық ұғымдарды талдау. Дидактикадағы жеке көзқарастың мәні.

Дәріс 5. Математикалық ұғымдар

1. Ұғымның көлемі мен мазмұны. Ұғымдар арасындағы байланыстар

2. Ұғымдардың анықтамасы. Анықталған және анықталмаған ұғымдар.

3. Ұғымдарды анықтау жолдары.

4. Негізгі қорытындылар

Математиканың бастауыш курсында оқытылатын ұғымдар әдетте төрт топ түрінде беріледі. Біріншісіне сандарға байланысты ұғымдар және оларға амалдар: сан, қосу, қосынды, үлкен т.б.. Екіншісіне алгебралық ұғымдар: өрнек, теңдік, теңдеулер, т.б.. Үшінші топқа геометриялық ұғымдар жатады: түзу, кесінді, үшбұрыш, т.б. .d. Төртінші топ шама және олардың өлшеміне байланысты ұғымдардан тұрады.

Тұжырымдамалардың барлық алуан түрін зерттеу үшін логикалық категория ретінде тұжырымдама және математикалық ұғымдардың ерекшеліктері туралы түсінік болуы керек.

Логикада ұғымдарретінде қарастырылады ойлау формасыобъектілерді (заттар мен құбылыстарды) олардың маңыздылығында бейнелеу және жалпы қасиеттеріО. Ұғымның тілдік формасы болып табылады сөз (термин) немесе сөздер тобы.

Объектінің идеясын құрастыру - ϶ᴛᴏ оны оған ұқсас басқа объектілерден ажырата білу дегенді білдіреді. Математикалық ұғымдардың бірқатар ерекшеліктері бар. Ең бастысы, ол туралы түсінік қалыптастыру өте маңызды математикалық объектілер шындықта жоқ. Математикалық объектілерді адам санасы жасайды. Бұл нақты объектілерді немесе құбылыстарды бейнелейтін идеалды нысандар. Мысалы, геометрияда заттардың пішіні мен өлшемі басқа қасиеттерін: түсі, массасы, қаттылығы және т.б. ескерілмей зерттеледі. Мұның бәрі абстракцияланған. Осы себепті геометрияда «зат» сөзінің орнына «геометриялық фигура» дейді.

Абстракция нәтижесінде «сан» және «магнитуда» сияқты математикалық ұғымдар пайда болады.

Жалпы алғанда, математикалық объектілер адамның ойлауында және математикалық тілді құрайтын белгілер мен белгілерде ғана болады.

Айтылғандарға зерделей отырып, соны қосуға болады материалдық әлемнің кеңістіктік формалары мен сандық қатынастары, математика абстракцияның әртүрлі әдістерін қолданып қана қоймайды, абстракцияның өзі көп сатылы процесс ретінде әрекет етеді. Математикада олар нақты объектілерді зерттеуде пайда болған ұғымдарды ғана емес, сонымен бірге бұрынғысының негізінде пайда болған ұғымдарды да қарастырады. Мысалы, функцияның сәйкестік ретіндегі жалпы түсінігі нақты функциялар ұғымдарын жалпылау болып табылады, ᴛ.ᴇ. абстракциялардан абстракциялау.

1. Ұғымның көлемі мен мазмұны. Ұғымдар арасындағы байланыстар

Кез келген математикалық объект белгілі бір қасиеттерге ие. Мысалы, шаршының төрт қабырғасы, төрт бұрышы диагональге тең. Басқа сипаттарды да көрсетуге болады.

Объектінің қасиеттерінің арасында маңызды және елеусіз... Мүлік саны объект үшін маңызды, егер ол осы объектіге тән болса және онсыз ол өмір сүре алмайды... Мысалы, шаршы үшін жоғарыда аталған барлық қасиеттер маңызды. ABCD квадраты үшін «AB жағы көлденең» қасиеті маңызды емес.

Математикалық ұғым туралы айтқанда, олар әдетте біреуімен белгіленген объектілердің жиынтығын білдіреді мерзімі(сөз немесе сөз тобы). Сонымен, шаршы туралы айтатын болсақ, олар квадрат болып табылатын барлық геометриялық фигураларды білдіреді. Барлық квадраттардың жиыны «шаршы» ұғымының көлемі болып табылады деп есептеледі.

Жалпы, ұғымның көлемі - ϶ᴛᴏ бір терминмен белгіленген барлық объектілердің жиынтығы.

Кез келген ұғымның көлемі ғана емес, мазмұны да болады.

Мысалы, «тіктөртбұрыш» түсінігін қарастырайық.

Тұжырымдаманың қолданылу аясы ϶ᴛᴏ әр түрлі тіктөртбұрыштар жиынтығы және оның мазмұны тіктөртбұрыштардың «төрт тік бұрыштары бар», «қарсы қабырғалары тең», «диагональдары бірдей» және т.б. қасиеттерін қамтиды.

Ұғымның ауқымы мен оның мазмұнының арасында бар қатынасы: ұғымның көлемі ұлғайса, мазмұны азаяды және керісінше... Так, к примеру, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («всœе стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» және т.б.).

Кез келген ұғымды оның басқа ұғымдармен байланысын түсінбей меңгеру мүмкін емес. Осы себепті ұғымдардың қандай қарым-қатынаста болуы мүмкін екенін білу және бұл қатынастарды орнату мүмкіндігін білу маңызды.

Ұғымдар арасындағы байланыс олардың көлемдерінің арақатынасымен тығыз байланысты, ᴛ.ᴇ. жинақтар.

Ұғымдарды латын әліпбиінің кіші әріптерімен белгілеуге келісейік: a, b, c, d,…, z.

Екі а және в ұғымы берілсін. Олардың көлемдері сәйкесінше А және В арқылы белгіленеді.

Егер A ⊂ B (A ≠ B) болса, онда олар а ұғымы б ұғымына қатысты ерекше, ал а ұғымына қатысты b ұғымы жалпылық дейді.

Мысалы, егер а «тіктөртбұрыш», b «төртбұрыш» болса, онда олардың А және В көлемдері қосу қатынасында болады (A ⊂ B және A ≠ B), осыған байланысты кез келген төртбұрыш төртбұрыш болып табылады. Осы себепті «төртбұрыш» ұғымы «төртбұрыш» ұғымына қатысты ерекше, ал «төртбұрыш» ұғымы «тік төртбұрыш» ұғымына қатысты жалпылама болып табылады деп дәлелдеуге болады.

Егер A = B болса, онда олар А және В ұғымдары бірдей дейді.

Мысалы, «тең қабырғалы үшбұрыш» және «тең қабырғалы үшбұрыш» ұғымдары бірдей, өйткені олардың көлемдері сәйкес келеді.

Тұқым мен түрдің ұғымдар арасындағы байланысын толығырақ қарастырайық.

1. Біріншіден, тектік және түр ұғымдары салыстырмалы: бір ұғымға қатысты жалпылама, екінші ұғымға қатысты нақты ұғым болуы мүмкін. Мысалы, «тіктөртбұрыш» ұғымы «шаршы» ұғымына қатысты жалпылама және «төртбұрыш» ұғымына қатысты нақты.

2. Екіншіден, берілген ұғым үшін көбінесе бірнеше жалпы ұғымдарды көрсетуге болады. Сонымен, «тіктөртбұрыш» ұғымы үшін «төртбұрыш», «параллелограмм», «көпбұрыш» ұғымдары жалпы болып табылады. Көрсетілгендердің ішінде ең жақынын көрсетуге болады. «Тіктөртбұрыш» ұғымы үшін ең жақыны «параллелограмм» ұғымы.

3. Үшіншіден, нақты ұғымда жалпылама ұғымның барлық қасиеттері болады. Мысалы, шаршы «тіктөртбұрыш» ұғымына қатысты нақты ұғым бола отырып, тіктөртбұрышқа тән барлық қасиеттерге ие.

Ұғымның ауқымы жиынтық болғандықтан, ұғымдар ауқымы арасындағы қатынастарды орнату кезінде Эйлер шеңберлерін пайдаланып бейнелеу ыңғайлы.

Мысалы, а және b ұғымдарының келесі жұптары арасындағы байланысты анықтайық, егер:

1) а - "тіктөртбұрыш", b - "ромб";

2) а - "көпбұрыш", b - "параллелограмм";

3) а - "түзу сызық", б - "сегмент".

Жиындар арасындағы байланыстар сәйкесінше суретте көрсетілген.

2. Ұғымдардың анықтамасы. Анықталған және анықталмаған ұғымдар.

Математикада жаңа ұғымдардың, демек, осы ұғымдарды білдіретін жаңа терминдердің пайда болуы олардың анықтамасын болжайды.

Анықтама бойыншаәдетте жаңа терминнің (немесе белгілеудің) мәнін түсіндіретін сөйлем деп аталады. Әдетте, олар мұны бұрын енгізілген ұғымдар негізінде жасайды. Мысалы, тіктөртбұрышты келесідей анықтауға болады: «Тіктөртбұрыш әдетте төртбұрыш деп аталады, оның барлық бұрыштары түзу болады». Бұл анықтаманың екі бөлігі бар - анықталатын ұғым (тіктөртбұрыш) және анықтаушы ұғым (барлық бұрыштары оң жақ төртбұрыш). Егер бірінші ұғымды а, екіншісін b деп белгілесек, онда бұл анықтаманы келесі түрде көрсетуге болады:

a (анықтама бойынша) b.

«(анықтамасы бойынша)» деген сөздер әдетте ⇔ белгісімен ауыстырылады, содан кейін анықтама келесідей болады:

Олар: «а анықтамасы бойынша b-ға тең» деп оқиды. Сондай-ақ бұл жазбаны келесідей оқуға болады: «бірақ егер және тек b.

Бұл құрылымы бар анықтамалар деп аталады айқын... Оларды толығырақ қарастырайық.

«Тіктөртбұрыш» анықтамасының екінші бөлігіне көшейік.

Оны ажыратуға болады:

1) «төртбұрыш» ұғымы, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ «тіктөртбұрыш» ұғымына қатысты жалпылама болып табылады.

2) «барлық бұрыштарды түзу» қасиеті, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ барлық мүмкін төртбұрыштардың бір түрін таңдауға мүмкіндік береді – тіктөртбұрыштар; осыған байланысты түр айырмашылығы деп аталады.

Жалпы алғанда, белгілі бір ерекшелік - жалпы ұғымның ауқымынан анықталған объектілерді бөліп алуға мүмкіндік беретін ϶ᴛᴏ қасиеттері (бір немесе бірнеше).

Біздің талдау нәтижелеріміз диаграмма түрінде ұсынылуы мүмкін:

«+» белгісі «және» бөлшектің орнына қолданылады.

Кез келген ұғымның көлемі бар екенін білеміз. Егер а ұғымы тектік және түр айырмашылығы арқылы анықталса, онда оның көлемі – А жиыны туралы оның құрамында С жиынына (жалпы ұғымның көлемі с) жататын және Р қасиетіне ие объектілер бар деп айта аламыз:

A = (x / x ∈ C және P (x)).

Тұжырымдаманы тектік және түрлік айырмашылық арқылы анықтау мәні бойынша белгілі терминдердің кез келген жиынтығын ауыстыру үшін жаңа термин енгізу туралы шартты келісім болғандықтан, оның ақиқат немесе жалған екенін анықтау туралы айту мүмкін емес; ол дәлелденбейді де, жоққа да шығарылмайды. Бірақ анықтамаларды құрастырған кезде олар бірқатар ережелерді ұстанады. Оларды шақырайық.

1. Анықтама болуы керек сәйкес... Бұл анықталған және анықтаушы ұғымдардың көлемдері сәйкес келуі керек дегенді білдіреді.

2. Анықтамада (немесе олардың жүйесі) тұйық шеңбер болмауы керек... Бұл ұғымды өзі арқылы анықтау мүмкін емес дегенді білдіреді.

3. Анықтама болуы керек анық... Мысалы, анықтауыш ұғымға кіретін терминдердің мағыналары жаңа ұғымның анықтамасы енгізілген кезде белгілі болуы талап етіледі.

4. Жоғарыда тұжырымдалған ережелерді сақтай отырып, тектік және түр айырмашылығы арқылы бір ұғым анықталады, әртүрлі болуы мүмкін... Сонымен, шаршыны келесідей анықтауға болады:

а) іргелес қабырғалары тең тіктөртбұрыш;

б) диагональдары өзара перпендикуляр тіктөртбұрыш;

в) тік бұрышы бар ромб;

г) барлық қабырғалары тең, ал бұрыштары түзу параллелограмм.

Ұғымның мазмұнына кіретін қасиеттердің көптігіне байланысты бір ұғымның әртүрлі анықтамалары мүмкін болады, анықтамаға санаулысы ғана кіреді. Содан кейін ықтимал анықтамалардың ішінен олардың қайсысы қарапайым және теорияны одан әрі құру үшін мақсатқа сай келетіні таңдалады.

Егер біз таныс ұғымның анықтамасын қайта жасағымыз келсе немесе жаңасының анықтамасын жасағымыз келсе, орындауымыз керек әрекеттер тізбегін атаймыз:

1. Анықталған ұғымды (термин) атаңыз.

2. Ең жақын жалпылама ұғымды (анықталғанға қатысты) көрсетіңіз.

3. Анықталған объектілерді жалпы ауқымнан ажырататын қасиеттерді атап өтіңіз, яғни түр айырмашылығын тұжырымдаңыз.

4. Ұғымды анықтау ережелерінің орындалғанын тексеріңіз (пропорционалды ма, тұйық шеңбер бар ма, т.б.).

Математика үйрететін және бәріңіз де үйренуіңіз керек дағдылардың ішінде қабілет жіктеуұғымдар.

Өйткені, математика, көптеген басқа ғылымдар сияқты, жеке заттарды немесе құбылыстарды емес, зерттейді массивтік... Сонымен, сіз үшбұрыштарды зерттегенде, кез келген үшбұрыштардың қасиеттерін зерттейсіз және олардың шексіз саны бар. Жалпы, кез келген математикалық ұғымның ауқымы, әдетте, шексіз.

Математикалық ұғымдардың объектілерін ажырату, олардың қасиеттерін зерттеу үшін бұл ұғымдар әдетте түрлерге, кластарға бөлінеді. Шынында да, жалпы қасиеттерден басқа, кез келген математикалық ұғымның осы ұғымның барлық объектілеріне тән емес, тек қандай да бір түрдегі объектілерге ғана тән көптеген маңызды қасиеттері бар. Сонымен, тік бұрышты үшбұрыштар, кез келген үшбұрыштардың жалпы қасиеттерінен басқа, олар практика үшін өте маңызды көптеген қасиеттерге ие, мысалы Пифагор теоремасы, бұрыштар мен қабырғалар арасындағы қатынас және т.б.

Математикалық ұғымдарды сан ғасырлық зерттеу барысында олардың өмірде, басқа ғылымдарда сан алуан қолданылуы барысында кейбір ерекше түрлерібарынша ие болу қызықты қасиеттер, олар тәжірибеде жиі кездеседі және қолданылады. Сонымен, шексіз көп төртбұрыштар бар, бірақ іс жүзінде, технологияда олардың белгілі бір түрлері ғана қолданылады: шаршылар, тіктөртбұрыштар, параллелограммдар, ромбтар, трапециялар.

Ұғымның көлемін бөліктерге бөлу – бұл ұғымның классификациясы. Дәлірек айтсақ, жіктеу ұғым объектілерін ең көп белгілері бойынша өзара байланысты сыныптарға (түрлерге, түрлерге) бөлу деп түсініледі. маңызды ерекшеліктері(қасиеттері). Ұғымды түрлерге (сыныптарға) жіктеу (бөлу) жасалатын атрибут (қасиет) деп аталады. негізіклассификация.

Ұғымның дұрыс құрастырылған классификациясы ұғымның объектілері арасындағы ең маңызды қасиеттер мен байланыстарды көрсетеді, осы объектілердің жиынтығында жақсы шарлауға көмектеседі, осы объектілердің осыны қолдану үшін ең маңызды қасиеттерін орнатуға мүмкіндік береді. басқа ғылымдардағы және күнделікті тәжірибедегі ұғым.

Ұғымның жіктелуі бір немесе бірнеше маңызды негіздер бойынша жасалады.

Сонымен, үшбұрыштарды бұрыштардың шамасына қарай жіктеуге болады. Біз келесі түрлерді аламыз: сүйір бұрышты (барлық бұрыштары сүйір), тікбұрышты (бір бұрышы түз, қалғандары өткір), доғал-бұрышты (бір бұрышы доғал, қалғандары өткір). Егер үшбұрыштарды бөлудің негізі ретінде қабырғалардың арасындағы қатынасты алсақ, онда келесі түрлерді аламыз: жан-жақты, тең қабырғалы және регулярлы (теңбүйірлі).

Ұғымды бірнеше белгілер бойынша жіктеу қиынырақ. Сонымен, егер дөңес төртбұрыштар қабырғаларының параллельдігі бойынша жіктелетін болса, онда мәні бойынша барлық дөңес төртбұрыштарды екі критерий бойынша бір мезгілде бөлу керек: 1) қарама-қарсы қабырғалардың бір жұбы параллель немесе параллель емес; 2) қарама-қарсы жақтардың екінші жұбы параллель немесе жоқ. Нәтижесінде дөңес төртбұрыштың үш түрін аламыз: 1) қабырғалары параллель емес төртбұрыштар; 2) бір жұп параллель қабырғалары бар төртбұрыштар – трапециялар; 3) екі жұп параллель қабырғалары бар төртбұрыштар – параллелограммдар.

Көбінесе ұғым кезең-кезеңімен жіктеледі: алдымен бір негізде, содан кейін кейбір түрлер басқа негізде түршелерге бөлінеді және т.б. Мысал ретінде төртбұрыштардың жіктелуін келтіруге болады. Бірінші кезеңде олар дөңестігі бойынша бөлінеді. Содан кейін дөңес төртбұрыштар қарама-қарсы жақтарының параллельдігі бойынша бөлінеді. Өз кезегінде параллелограммдар тік бұрыштардың болуына қарай бөлінеді, т.б.

Жіктеуді жүргізу кезінде белгілі бір ережелерді сақтау қажет. Негізгілеріне тоқталайық.

1. Жіктеу үшін негіз ретінде берілген ұғымның барлық объектілерінің ортақ белгісін ғана алуға болады.Сонымен, мысалы, алгебралық өрнектерді жіктеу үшін негіз ретінде қандай да бір айнымалының дәрежелері бойынша терминдердің орналасу белгісін алу мүмкін емес. Бұл мүмкіндік барлық алгебралық өрнектерге тән емес, мысалы, бөлшек өрнектер немесе мономалдар үшін мағынасы жоқ. Мұндай қасиет тек көпмүшелерде болады, сондықтан көпмүшелерді негізгі айнымалының ең жоғары дәрежесіне қарай жіктеуге болады.
2. Жіктеу үшін негіз ретінде ұғымдардың маңызды қасиеттерін (атрибуттарын) алу керек.Алгебралық өрнек ұғымын қайта қарастырайық. Бұл ұғымның бір қасиеті – алгебралық өрнекке кіретін айнымалылар кейбір әріптермен белгіленеді. Бұл қасиет жалпы, бірақ маңызды емес, өйткені өрнектің сипаты осы немесе басқа айнымалының қандай әріппен белгіленгеніне байланысты емес. Сонымен, алгебралық өрнектер x + yжәне a + bмәні бойынша бірдей өрнек. Сондықтан айнымалыларды әріптермен белгілеу негізінде өрнектерді жіктемеу керек. Алгебралық өрнектерді жіктеуге негіз ретінде айнымалылар байланыстыратын әрекеттер түрінің атрибутын, яғни айнымалыларға орындалатын әрекеттерді алатын болсақ, ол басқа мәселе. Бұл жалпы мүмкіндік өте маңызды және осы мүмкіндікке негізделген жіктеу дұрыс және пайдалы болады.
3. Классификацияның әрбір кезеңінде негіздің тек бір түрін қолдануға болады.Ұғымды екі түрлі негізде бір уақытта жіктей алмайсыз. Мысалы, үшбұрыштарды өлшемдері бойынша да, қабырғаларының арақатынасы бойынша да бірден жіктеу мүмкін емес, өйткені нәтижесінде ортақ элементтері бар үшбұрыштар кластарын аламыз (мысалы, сүйір бұрышты және тең қабырғалы немесе доғал және тең қабырғалы және т.б.) .). Мұнда келесі жіктеу талабы бұзылған: әрбір кезеңдегі жіктеу нәтижесінде алынған сыныптар (түрлер) бір-біріне сәйкес келмеуі керек.
4. Сол уақытта қандай да бір себептермен жіктеу толық болуы керек және тұжырымдаманың әрбір объектісі жіктелу нәтижесінде бір және бір ғана классқа түсуі керек.

Сондықтан барлық бүтін сандарды оң және теріс деп бөлу дұрыс емес, өйткені бүтін нөл класстардың ешқайсысына енбеді. Біз мынаны айтуымыз керек: бүтін сандар үш класқа бөлінеді - оң, теріс және нөл саны.

Көбінесе ұғымдарды жіктеу кезінде тек кейбір класстар нақты ажыратылады, ал қалғандары тек тұспалданады. Мәселен, мысалы, алгебралық өрнектерді зерттеуде әдетте олардың тек осындай түрлері ажыратылады: мономалдар, көпмүшелер, бөлшек өрнектер, иррационал. Бірақ бұл түрлер алгебралық өрнектердің барлық түрлерін түгелдей алмайды, сондықтан мұндай жіктеу болып табылады толық емес.

Алгебралық өрнектердің толық дұрыс жіктелуін келесі түрде жасауға болады.

Алгебралық өрнектерді жіктеудің бірінші кезеңінде олар екі класқа бөлінеді: рационал және иррационал. Екінші кезеңде рационал өрнектер бүтін және бөлшек болып бөлінеді. Үшінші қадамда бүтін өрнектер бірмүше, көпмүше және күрделі бүтін өрнек болып бөлінеді.

Бұл классификацияны келесідей көрсетуге болады

Тапсырма 7

7.1. Неліктен рационал сандарды жұптығына қарай жіктеуге болмайды?

7.2. Ұғымды бөлудің дұрыстығын анықтаңыз:

а) Мәндер тең немесе тең емес болуы мүмкін.

б) Функциялар көбейіп, кемиді.

в) Тең қабырғалы үшбұрыштар сүйір бұрышты, тікбұрышты және доғал бұрышты болуы мүмкін.

г) Тіктөртбұрыштар – шаршылар мен ромбтар.

7.3. «Геометриялық фигура» ұғымын жазықтықтың бір бөлігін алу қасиетіне қарай бөліңіз және әр түрге мысал келтіріңіз.

7.4. Рационал сандар үшін мүмкін болатын жіктеу схемаларын құрастырыңыз.

7.5. Төмендегі ұғымдар бойынша жіктеу схемасын құрастырыңыз:

а) төртбұрыш;

б) екі бұрыш.

7.6. Келесі ұғымдарды жіктеңіз:

а) үшбұрыш және шеңбер;

б) шеңбердегі бұрыштар;

в) екі шеңбер;

г) сызық және шеңбер;

д) квадрат теңдеулер;

f) екі белгісізі бар бірінші дәрежелі екі теңдеулер жүйесі.