Подолу \(f\) означува афина трансформација напишана во Декартов системкоординати \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\) по формули
$$
x^(*)=a_(1)x+b_(1)y+c_(1),\ y^(*)=a_(2)x+b_(2)y+c_(2).\label( ref1)
$$
под услов
$$
\почеток(vmatrix)
a_(1) и b_(1)\\
a_(2) и b_(2)
\end(vmatrix) \neq 0.\label(ref2)
$$

Размислете за права линија на рамнината со равенката \(\boldsymbol(r)=\boldsymbol(r)_(0)+\boldsymbol(a)t\) и пронајдете ја нејзината слика под трансформацијата \(f\). (Сликата на правата се подразбира како збир на слики од нејзините точки.) Векторот на радиусот на сликата \(M^(*)\) на произволна точка \(M\) може да се пресмета на следниов начин:
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\overrightarrow(Of(O))+f\overrightarrow((O)M^(*))=\boldsymbol(c)+f(\boldsymbol(r)).\неброј
$$

Овде \(\boldsymbol(c)\) е константниот вектор \(\overrightarrow(Of)(O)\), а \(\boldsymbol(r)\) е вектор на радиус на точката \(M\). Според (11) §2 добиваме
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\boldsymbol(c)+f(\boldsymbol(r)_(0))+f(\boldsymbol(a))t.\label(ref3)
$$
Бидејќи \(f\) е афина трансформација и \(\boldsymbol(a) \neq \boldsymbol(0)\), тогаш \(\boldsymbol(a)\) ќе оди во векторот \(f(\boldsymbol( а) ) \neq 0\), а равенката \eqref(ref3) е праволиниска равенка. Така, сликите на сите точки од правата \(\boldsymbol(r)=\boldsymbol(r)_(0)+\boldsymbol(a)t\) лежат на правата \eqref(ref3).

Покрај тоа, трансформацијата \(f\) дефинира пресликување еден-на-еден од една линија до друга, бидејќи со изборот на почетните точки и вектори на насока направени овде, точката \(M^(*)\) на правата \eqref(ref3) го има истиот вредносен параметар \(t\) како точката \(M\) на оригиналната линија. Оттука го добиваме првото тврдење.

Изјава 1.

Со афина трансформација:

• права линија станува права линија;
• сегмент оди во сегмент;
• паралелните линии стануваат паралелни.

Доказ.

За да се докаже второто тврдење, доволно е да се забележи дека линискиот сегмент се состои од точки за кои вредностите на параметарот ја задоволуваат нееднаквоста на формата \(t_(1) \leq t \leq t_(2)\) Третото тврдење произлегува од фактот дека при афина трансформација -ти вектори стануваат колинеарни.

Изјава 2.

Со афина трансформација, односот на должините на паралелните отсечки не се менува.

Доказ.

Нека отсечките \(AB\) и \(CD\) се паралелни. Ова значи дека постои број \(\lambda\) таков што \(\overrightarrow(AB)=\lambda \overrightarrow(CD)\). Сликите на векторите \(\overrightarrow(AB)\) и \(\overrightarrow(CD)\) се поврзани со иста зависност \(\overrightarrow(A^(*)B^(*))=\lambda \ overrightarrow(C^( *)D^(*))\). Оттука произлегува дека
$$
\frac(|\overrightarrow(AB)|)(|\overrightarrow(CD)|)=\frac(|\overrightarrow(A^(*)B^(*)|)(|\overrightarrow(C^(* )D^(*)|)=|\ламбда|.\неброј
$$

Последица.

Ако точка \(C\) го дели сегментот \(AB\) во некоја релација \(\lambda\), тогаш нејзината слика \(C^(*)\) ја дели сликата \(A^(*)B^ (*) \) сегмент \(AB\) во иста релација \(\ламбда\).

Промена на областите под афина трансформација.

Ајде прво да погледнеме. Избираме заеднички Декартов координатен систем \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\) и означуваме со \((p_(1), p_(2))\) и \ ((q_(1), q_(2))\) компоненти на векторите \(\boldsymbol(p)\) и \(\boldsymbol(q)\) на кои е изграден. Можеме да ја пресметаме плоштината на паралелограм користејќи:
$$
S_(\pm)=S_(\pm) (\boldsymbol(p), \boldsymbol(q))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1)) S_(\pm) ( \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)).\неброј
$$

Нека афината трансформација \(f\) е запишана во избраниот координатен систем со формулите \eqref(ref1). Од горенаведеното произлегува дека векторите \(f(\boldsymbol(p))\) и \(f(\boldsymbol(q))\) имаат \(f(\boldsymbol(e)_(1)), f (\boldsymbol(e)_(2))\) истите компоненти \((p_(1), p_(2))\) и \((q_(1), q_(2))\) тоа и вектори \(\boldsymbol(p)\) и \(\boldsymbol(q)\) во основата \(\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\). Сликата на паралелограмот е изградена на векторите \(f(\boldsymbol(p))\) и \(f(\boldsymbol(q))\), а неговата плоштина е еднаква на
$$
S_(\pm)^(*)=S_(\pm) (f(\boldsymbol(p)), f(\boldsymbol(q)))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_ (1)) S_(\pm) (f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))).\неброј
$$

Да го пресметаме последниот фактор. Како што знаеме од она што е веќе докажано, координатите на векторите \(f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))\) се соодветно \((a_ (1), a_( 2))\) и \((b_(1), b_(2))\). Значи \(S_(\pm) (f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))=(a_(1)b_(2)-a_(2) b_(1)) S_(\pm) (\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2))\) и
$$
S_(\pm)^(*)=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1))(a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)) S_( \pm) (\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)).\неброј
$$
Од тука го гледаме тоа
$$
\frac(S_(\pm)^(*))(S_(\pm))=\begin(vmatrix)
a_(1) и b_(1)\\
a_(2) и b_(2)
\end(vmatrix).\label(ref4)
$$

Така, односот на површината на сликата на ориентиран паралелограм со областа на овој паралелограм е ист за сите паралелограми и е еднаков на \(a_(1)b_(2)-a_(2)b_ (1)\).

Оттука произлегува дека оваа детерминанта не зависи од изборот на координатниот систем во кој е запишана трансформацијата, иако се пресметува со коефициенти кои зависат од координатниот систем. Оваа величина е непроменлива што го изразува геометриското својство на трансформацијата.

Од формулата \eqref(ref4) може да се види дека односот на површината на сликата на неориентиран паралелограм со неговата површина е еднаков на
$$
S^(*)/S=|a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)|.\label(ref5)
$$

Ако \(a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1) > 0\), тогаш ориентациите на сите ориентирани паралелограми се зачувани при трансформацијата и ако \(a_(1)b_(2) -a_(2)b_(1)< 0\), то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации.

Сега да се занимаваме со областите на други фигури. Секој триаголник може да се комплетира на паралелограм чија површина е двапати поголема од плоштината на триаголникот. Затоа, односот на плоштината на сликата на триаголник до плоштината на овој триаголник ја задоволува еднаквоста \eqref(ref5).

Секој многуаголник може да се подели на триаголници. Според тоа, формулата \eqref(ref5) важи и за произволни многуаголници.

Овде нема да допреме до дефиницијата на областа на произволна криволинеарна фигура. Ќе кажеме само дека во оние случаи кога оваа област е дефинирана, таа е еднаква на границата на плоштините на одредена низа многуаголници впишана на сликата што се разгледува. Од теоријата на границите е позната следнава претпоставка: ако низата \(S_(n)\) се стреми кон границата \(S\), тогаш низата \(\delta S_(n)\), каде \(\ делта\) е константна, има тенденција да го ограничи \(\делта S\). Врз основа на овој предлог, заклучуваме дека формулата \eqref(ref5) е валидна во најопшт случај.

Како пример, да го најдеме изразот за областа на елипсата во однос на нејзините полуоски. Претходно забележавме дека елипсата со полуоски \(a\) и \(b\) може да се добие со собирање на круг со радиус \(a\) до права линија што минува низ нејзиниот центар. Односот на компресија е \(b/a\). Во еден од нив ја добивме координатната нотација на компресија на линијата \(x^(*)=x\), \(y^(*)=\lambda y\). Детерминантата на коефициентите во овие формули е еднаква на \(\ламбда\), односно во нашиот случај \(b/a\). Така, односот на површината на елипсата до областа на кругот е \(b/a\), а оваа област е \(S=(b/a)\pi a^(2)\ ). Конечно имаме
$$
S=\pi ab.\број
$$

Слики од линии од втор ред.

Видовме дека права линија се претвора во права линија. Ова е посебен случај на следната изјава.

Изјава 3.

Афина трансформација трансформира алгебарска линија во алгебарска линија од ист ред.

Доказ.

Навистина, нека правата \(L\) во Декартов координатен систем \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\) има алгебарска равенка од ред \(p\ ). Веќе знаеме дека сликите на сите точки од правата \(L\) под афината трансформација \(f\) имаат во координатниот систем \(f(O), f(\boldsymbol(e)_(1)) , f(\boldsymbol( e)_(2))\) се исти координати како нивните предслики во координатниот систем \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2 )\). Затоа, координатите на сликите во системот \(f(O), f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))\) се поврзани со истата алгебарска равенка од ред \(p\ ). Ова е доволно за да го извлечеме заклучокот што ни треба.

Од тврдењето докажано погоре, особено, произлегува дека линија од втор ред под афина трансформација преминува во линија од втор ред. Ќе докажеме посилно тврдење. Како што веќе знаеме, линиите од втор ред можат да се поделат на . Ќе видиме дека класата на линијата е зачувана под афината трансформација. Врз основа на тоа, класите на линии наведени во оваа теорема се нарекуваат афини класи. Значи, да докажеме ново тврдење.

Изјава 4.

Линија од втор ред што припаѓа на една од афините класи, под која било афина трансформација, може да оди само до линија од истата класа. Секоја линија од втор ред може да се пренесе со соодветна афина трансформација на која било друга линија од истата афина класа.

Доказ.

Правата ја нарекуваме ограничена ако лежи во некој паралелограм. Лесно е да се види дека, при афина трансформација, ограничената линија мора да премине во ограничена, а неограничената линија во неограничена.

1. Елипса - ограничена линија од втор ред. Покрај елипсите, ограничени се само линиите што се состојат од една точка, односно пар имагинарни линии што се пресекуваат. Бидејќи елипсата е ограничена и се состои од повеќе од една точка, таа може да оди само до елипса.
2. Хиперболата се состои од две посебни гранки. Ова својство може да се формулира на таков начин што неговата непроменливост при афините трансформации ќе биде јасна. Имено, постои права која не ја пресекува хиперболата, туку пресекува некои нејзини акорди.Од сите прави од втор ред, само хиперболите и паровите паралелни прави го имаат ова својство. Гранките на хиперболата не се прави линии, и затоа, под афина трансформација, таа може да оди само до хипербола.
3. Парабола - неограничена линија од втор ред, која се состои од едно неправолиниско парче. Ниту една друга линија од втор ред го нема ова својство, и затоа параболата може да оди само до парабола.
4. Ако правата од втор ред е точка (пар имагинарни линии што се пресекуваат), права (пар линии кои се совпаѓаат), пар прави што се сечат или пар паралелни прави, тогаш таа следи од претходно докажаните својства. на афините трансформации кои оваа линија не може да ги пренесе во линија од која било друга класа.

Да го докажеме вториот дел од предлогот. Во веќе докажаното канонски равенкилиниите од втор ред се напишани во Декартов правоаголен координатен систем и содржат параметри \(a, b, ...\) Ако ја напуштиме ортонормалноста на основата, можеме да направиме дополнителни поедноставувања на канонските равенки и да ги доведеме до форма што не содржи параметри. На пример, промената на координатите \(x'=x/a\), \(y'=y/b\) ја преведува равенката на елипсата \(x^(2)a^(2)+y^(2) b^(2 )=1\) во равенката \(x'^(2)+y'^(2)=1\), што и да се \(a\) и \(b\). (Последната равенка не е равенка на кругот, бидејќи нов системкоординатите не е Декартов правоаголник.)

Читателот лесно ќе покаже дека канонските равенки на линиите од втор ред може да се трансформираат во следните равенки со префрлање на соодветен координатен систем:

1. \(x^(2)+y^(2)=1\);
2. \(x^(2)+y^(2)=0\);
3. \(x^(2)-y^(2)=1\);
4. \(x^(2)-y^(2)=0\);
5. \(y^(2)=2x\);
6. \(y^(2)-1=0\);
7. \(y^(2)=0\).

Таквиот координатен систем го нарекуваме афин канонски координатен систем.

Од претходно произлегува дека афина трансформација која ги комбинира афините канонски координатни системи на две линии од иста афина класа, исто така, ги комбинира овие линии. Ова го комплетира доказот.

Разложување на ортогонална трансформација.

Теорема 1.

Секоја ортогонална трансформација се распаѓа во производ на транслација, ротација и можеби аксијална симетрија.

Доказ.

Нека \(f\) е ортогонална трансформација и \(\вартриаголник ABC\) е рамнокрак правоаголен триаголник со прав агол \(A\). Кога \(f\) ќе се трансформира, ќе оди во еднаков триаголник \(\вартриаголник A^(*)B^(*)C^(*)\) со прав агол на темето \(A^(* )\). Теоремата ќе се докаже ако, со последователно извршување на паралелен превод \(p\), ротација \(q\) и (ако е потребно) аксијална симетрија \(r\), можеме да ги комбинираме триаголниците \(ABC\) и \( A^ (*)B^(*)C^(*)\). Навистина, производот \(rqp\) е афина трансформација на ист начин како и \(f\), а афинската трансформација е уникатно одредена од сликите на три точки кои не лежат на една права линија. Затоа \(rqp\) е исто како \(f\).

Значи, ги преведуваме \(A\) и \(A^(*)\) со паралелен превод \(p\) во векторот \(\overrightarrow(AA^(*))\) (ако \(A=A ^ (* )\), потоа \(p\) - трансформација на идентитетот). Потоа со ротирање на \(q\) околу точката \(A^(*)\) го правиме \(p(B)\) компатибилен со \(B^(*)\) (можеби и оваа трансформација ќе испадне да бидат идентични). Точката \(q(p(C))\) или се совпаѓа со \(C^(*)\) или е симетрична кон неа во однос на правата \(A^(*)B^(*)\). Во првиот случај, целта е веќе постигната, а во вториот, потребна е аксијална симетрија околу наведената линија. Теоремата е докажана.

Треба да се има предвид дека добиеното разложување на ортогоналната трансформација не е единствено. Згора на тоа, може да се разложи ротација или паралелна транслација во производ на аксијални симетрии, производ на паралелен превод и ротација може да се претстави како една ротација итн. Ние нема да прецизираме како да го направите ова, но дознајте го следново заеднички имотсите такви проширувања.

Изјава 5.

За секое разложување на ортогонална трансформација во производ од кој било број на паралелни преводи, ротации и аксијални симетрии, паритетот на бројот на аксијални симетрии вклучени во распаѓањето е ист.

Доказ.

За да го докажете ова, разгледајте произволна основа на рамнината и следете ја промената во нејзината ориентација (правецот на најкраткото вртење од \(\boldsymbol(e)_(1)\) до \(\boldsymbol(e)_(2 )\)) под трансформациите. Забележете дека ротацијата и транслацијата не ја менуваат ориентацијата на која било основа, додека аксијалната симетрија ја менува ориентацијата на која било основа. Затоа, ако дадена ортогонална трансформација ја промени ориентацијата на основата, тогаш секое нејзино проширување мора да вклучува непарен број на аксијални симетрии. Ако ориентацијата на основата не се промени, тогаш бројот на аксијални симетрии вклучени во проширувањето може да биде само парен.

Дефиниција.

Се нарекуваат ортогонални трансформации кои можат да се разложат во производ на транслација и ротација ортогонални трансформации од прв вид и останатото - ортогонални трансформации од втор вид .

Ортогонална трансформација во Декартов правоаголен координатен систем е напишана:
$$
\почеток(низа)(cc)


\крај (низа).\број
$$
Со горните знаци на коефициентите y\(y\) во овие формули, детерминантата, составена од коефициентите, е еднаква на +1, а со долните знаци е еднаква на -1. Од тука и од формулата \eqref(ref4) следува следното тврдење.

Изјава 6.

Ортогонална трансформација од првиот вид е запишана во Декартов правоаголен координатен систем со формулите
$$
\почеток(низа)(cc)
& x^(*)=x \cos \varphi \mp y \sin \varphi+c_(1),\\
& y^(*)=x \sin \varphi \pm y \cos \varphi+c_(2).
\крај (низа).\број
$$
со горните знаци на коефициентите на \(y\), и ортогонална трансформација од вториот вид - со пониски знаци.

Распаѓање на афина трансформација.

Видовме како афина трансформација може да промени рамнина: круг може да се претвори во елипса, правилен триаголник во сосема произволен. Се чини дека во овој случај не може да се зачуваат агли. Сепак, важи следнава изјава

Изјава 7.

За секоја афина трансформација, постојат две меѓусебно нормални линии кои одат до меѓусебно нормални линии.

Доказ.

За да го докажете ова, разгледајте круг. Со оваа афина трансформација ќе се претвори во елипса. Секоја оска на елипсата е збир од средни точки на акорди паралелни со другата оска. Со афина трансформација, акордот ќе се претвори во акорд, паралелизмот мора да се зачува, а средната точка на сегментот ќе оди до средината на нејзината слика. Според тоа, инверзните слики на оските на елипсата се отсечки кои имаат исто својство: секоја од нив е збир на средни точки на акордите на кругот паралелни со другиот сегмент. Таквите сегменти се нужно два меѓусебно нормални дијаметри на круг. Ова е она што ни требаше: има два меѓусебно нормални дијаметри на кругот, кои минуваат во меѓусебно нормални сегменти - оските на елипсата.

Вреди да се забележи еден посебен случај: круг под афина трансформација може да се претвори во круг. Во овој случај, истото размислување оди со било кои два меѓусебно нормални дијаметри на сликата на кругот. Очигледно, во овој случај, кои било две меѓусебно нормални насоки остануваат нормални.

Дефиниција.

Две меѓусебно нормални насоки се нарекуваат главни или сингуларни насоки на афината трансформација \(f\) ако одат во меѓусебно нормални насоки.

Теорема 2.

Секоја афина трансформација се распаѓа во производ на ортогонална трансформација и две контракции до две меѓусебно нормални линии.

Доказ.

Доказот е сличен на доказот. Размислете за афина трансформација \(f\) и изберете рамнокрак правоаголен триаголник \(ABC\) така што неговите катети \(AB\) и \(AC\) се насочени по главните насоки на трансформацијата \(f\). Означете ги со \(A^(*)\), \(B^(*)\) и \(C^(*)\) сликите на неговите темиња. Да направиме ортогонална трансформација \(g\) така што \(g(A)=A^(*)\) и точките \(g(B)\) и \(g(C)\) лежат соодветно на зраците \(A^(*)B^(*)\) и \(A^(*)C^(*)\). (Ова може лесно да се постигне, како во теорема 1, со паралелно преведување, ротација и аксијална симетрија.)

Нека \(\lambda=|A^(*)B^(*)|/|A^(*)g(B)|\), и \(\mu=|A^(*)C^(*) |/|A^(*)g(C)|\). Потоа, собирањето \(p_(1)\) до линијата \(A^(*)C^(*)\) во однос на \(\lambda\) зема \(g(B)\) до \(p_( 1) g(B)=B^(*)\) и не ги поместува точките \(A^(*)\) и \(g(C)\). Слично на тоа, со намалувањето на \(p_(2)\) до линијата \(A^(*)B^(*)\) ќе се преслика \(g(C)\) на \(p_(2)g(C)= C^ (*)\) и не ги поместува точките на правата \(A^(*)B^(*)\).

Ова значи дека производот \(p_(2)p_(1)g\) ги пресликува точките \(A\), \(B\) и \(C\) до точките \(A^(*)\) , \ (B^(*)\) и \(C^(*)\) како и трансформацијата \(f\) што ни е дадена. Како што беше претходно докажано, имаме \(p_(2)p_(1)g=f\), по потреба.

Поглавје I. Концептот на геометриска трансформација

1.1 Што е геометриска трансформација?

Аксијалната симетрија, централната симетрија, ротацијата, паралелното преведување, хомотетот имаат заедничко тоа што сите тие ја „трансформираат“ секоја фигура F во некоја нова фигура F1. Затоа се нарекуваат геометриски трансформации.

Општо земено, секое правило се нарекува геометриска трансформација која дозволува секоја точка А на рамнината да означи нова точка А "на која точката А се пренесува со разгледуваната трансформација. Ако било која фигура F е дадена на рамнината, тогаш множеството од сите точки во кои поминуваат тенките фигури на фигурата F на разгледуваната трансформација е нова фигура F. Во овој случај, велиме дека F" се добива од F користејќи ја предметната трансформација.

Пример. Симетријата за правата l е геометриска трансформација. Правилото што ви овозможува да ја пронајдете точката А што одговара на неа од точката А, во овој случај, е следново: од точката А, нормалната АП се спушта на права линија l, а на нејзиното продолжение надвор од точката P. , се поставува сегментот PA "=AP.

Собирање на геометриски трансформации

Да претпоставиме дека разгледуваме две геометриски трансформации, од кои едната ја нарекуваме „прва“, а другата „втора“. Да земеме произволна точка А на рамнината и да ја означиме со А „точката до која поминува А при првата трансформација. За возврат, точката А“ се пренесува со втората трансформација во некоја нова точка А. Со други зборови, точката А се добива од точката А користејќи последователна примена на две трансформации - прво првата, а потоа втората.

Резултатот од последователното извршување на двете преземени трансформации е исто така геометриска трансформација: ја зема точката А до точката А. Оваа „резултатна“ трансформација се нарекува збир на првата и втората разгледувана трансформација.

Нека е дадена некоја бројка F на рамнината. Првата трансформација ја трансформира во некоја фигура F". Со втората трансформација, оваа бројка F" се претвора во некоја нова фигура F"". Збирот на првата и втората трансформација веднаш ја трансформира фигурата F во фигурата F.

Пример. Нека првата трансформација е симетрија во однос на точката O1, а втората трансформација е симетрија во однос на друга точка O2. Ајде да го најдеме збирот на овие две трансформации.

Нека А е произволна точка на рамнината. Прво да претпоставиме дека точката А не лежи на правата O1O2. Нека А е поентата симетрична точкаА во однос на О1, а преку А „- точка симетрична до точката А“ во однос на О2. Бидејќи O1O2 е средната линија на триаголникот AA "A", "отсечката AA" е паралелна со отсечката O1O2 и има двојно поголема должина. Насоката од точката А до точката А“ е иста како и насоката од точката

О1 до точката О2. Сега да означиме со MN вектор така што отсечките MN и O1 O2 се паралелни, отсечката MN е двојно подолга од отсечката O1O2, а зраците MN и O1O2 имаат иста насока. Тогаш AA" = MN, т.е. точката А" се добива од точката А со паралелно пренесување на векторот MN.

Истото важи и за точка што лежи на правата O1O2.

Конечно, добиваме: збирот на симетријата околу точката О1 и симетријата околу точката О2 е паралелен превод.

1.2 Движење

Аксијалната симетрија, ротацијата (особено централната симетрија) и паралелното преведување имаат заедничко тоа што секоја од овие трансформации ја преведува секоја фигура F на рамнината во еднаква фигура F ". Трансформациите што го имаат ова својство се нарекуваат движења. Хомотеноста е пример за трансформација Навистина, секое движење ја трансформира секоја фигура во фигура еднаква на неа, т.е. ја менува само положбата на фигурите на рамнината, додека хомотетот ги менува и големините на фигурите.

Улогата на движењето во геометријата

Движењата играат во геометријата исклучително важна улога. Тие не ја менуваат формата или големината на фигурите, само ја менуваат локацијата на фигурата. Но, бројките, кои се разликуваат само по нивната локација на авионот, се сосема исти од гледна точка на геометријата. Затоа во геометријата се нарекуваат „еднакви фигури“. Ниту еден имот геометриска фигуране се разликува од соодветното својство на неговата еднаква фигура. Така, на пример, еднаквите триаголници имаат не само исти страни, туку и исти агли, медијани, симетрали, плоштини, радиуси на впишаните и опишаните кругови итн.

На часовите по геометрија, отсекогаш сме ги сметале еднаквите фигури (односно оние што можат да се комбинираат со помош на движење) за исти или неразлични. Ваквите бројки често се мешаат со иста фигура. Затоа можеме да кажеме дека, на пример, проблемот со конструирање на триаголник од двете страни a, b и аголот C затворен меѓу нив има само едно решение. Всушност, се разбира, има бесконечно многу триаголници со дадени страни a и b и агол C со дадена вредност меѓу нив. Меѓутоа, сите овие триаголници се исти, еднакви, па може да се земат како „еден“ триаголник.

Така, геометријата ги проучува оние својства на фигурите кои се исти за еднакви фигури. Таквите својства може да се наречат „геометриски својства“. Со други зборови: геометријата ги проучува својствата на фигурите кои не зависат од нивната локација. Но, фигурите што се разликуваат само по распоред (еднакви фигури) се оние што можат да се комбинираат со движење. Според тоа, доаѓаме до следната дефиниција за предметот геометрија; геометријата ги проучува оние својства на фигурите кои се зачувани при движењата.

Движења во геометријата и физиката

Така, концептот на движење игра главна улога во геометријата. Движењата („преклопувања“) се користеле во VI класа за одредување еднакви фигури, за докажување знаци на еднаквост на триаголниците; концептот на движење, како што видовме погоре, исто така ни овозможува да дадеме опис на објектот на геометријата.

Во меѓувреме, постои празнина во дефинициите на концептот на еднаквост на фигурите и концептот на движење. Всушност, еднакви фигури беа дефинирани (во класата VI) како такви фигури што може да се комбинираат со суперпозиција (т.е. со движење). Движењата беа дефинирани погоре како такви трансформации кои преведуваат два многуаголници F1 и F така што постои многуаголник F" хомотетски F и еднаков на F1, тогаш аглите на многуаголникот F се соодветно еднакви на аглите на многуаголникот F" и страните на многуаголникот F, соодветно, се пропорционални со страните на многуаголникот F". Но, многуаголникот F ги има истите агли и страни како неговиот еднаков многуаголник F1. Следствено, многуаголниците F1 и F се слични во смисла во која беше сфатена во текот на геометријата од класа VIII.

Спротивно на тоа, многуаголниците F1 и F нека бидат такви што нивните агли се соодветно еднакви и нивните страни соодветно пропорционални. Односот на страните на многуаголникот F1 со соодветните страни на многуаголникот F се означува со k. Понатаму, со F" го означуваме многуаголникот добиен од F со хомотетија со коефициент k (и кој било центар на хомотетија. Во овој случај, врз основа на теоремата, многуаголниците F" и F1 ќе имаат еднакви страни и агли, соодветно, т.е. , овие многуаголници ќе бидат еднакви.Затоа и многуаголниците F1 и F ќе бидат слични во смисла на дефиницијата за сличност дадена овде.

Глава II.Афини трансформации

2.1 Афини трансформации на рамнината

Афина трансформација α е таква трансформација на рамнината што ја зема секоја права линија во права линија и ја зачувува релацијата во која точката ја дели отсечката.

На сл.1: L"= α(L), A"=α(A), B"=α(B), C"=α(C),

|

Трансформациите - движење и сличност - се посебни случаи на афини, бидејќи, поради својствата на движењето и сличноста, за нив се исполнети сите барања за дефинирање на афините трансформации.

Дозволете ни да дадеме пример за трансформација на афина која не се сведува на оние што беа разгледани претходно. За таа цел, прво ја разгледуваме паралелната проекција на рамнина на рамнина.

Нека се дадени рамнините: w и w1 права линија l (насока на проекција), не паралелна со ниту една од овие рамнини (сл. 2). Точката Аєw се нарекува проекција на точката А1єw1, ако АА1||l , тогаш правата АА1 се нарекува проекција. Паралелната проекција е пресликување на рамнината w1 на w.

Забележете ги следните својства на паралелната проекција.

1) Сликата на која било линија a1 е права.

Навистина, линиите што ги проектираат точките на правата a1 формираат рамнина (поминува низ a1 паралелно со l), која, кога се пресекува со w, ја дава сликата на правата a1 - правата a (сл. 2).

2) Зачувана е релацијата во која точката ја дели отсечката, т.е.

(сл.2)

Веднаш следи од теоремата за пресекот на страните на аголот со паралелни прави.

Да продолжиме директно со изградбата на пример за афина трансформација.

Да земеме два примероци од рамнината w и да преместиме еден од нив во друга положба w1 (сл. 3). Означете ја новата позиција на некоја точка Аєw со А1єw1. Сега ја проектираме рамнината w1 во некоја позиција на w, ја означуваме проекцијата на точката A1 како A".

Добивме трансформација на рамнината w на себе, под која

. Врз основа на симетричните својства на паралелната проекција, двете барања за одредена афина трансформација се задоволени за оваа трансформација, затоа, трансформацијата конструирана сега е проспективно афина.

Афина трансформација е онаа која зачувува паралелни линии, но не мора да значи агли или должини.
Во компјутерската графика, сè што е поврзано со дводимензионалното куќиште обично се означува со симболот 2D (2-димензија). Да претпоставиме дека на рамнината е воведен праволиниски координатен систем. Потоа на секоја точка М и се доделува подреден пар броеви (x, y) од нејзините координати (сл. 1).

Горенаведените формули може да се разгледуваат на два начина: или точката е зачувана и координатниот систем се менува; во овој случај, произволна точка М останува иста, само нејзините координати (x, y) (x*, y*) се менуваат, или точката се менува и координатниот систем се зачувува во овој случај.Во овој случај, формулите дефинираат пресликување кое зема произволна точка M(x, y) до точката M*(x*, y*), чии координати се дефинирани во истиот координатен систем. Во иднина ќе ги толкуваме формулите, по правило, дека точките на рамнината се трансформираат во даден систем на праволиниски координати.
Во афините трансформации на рамнината посебна улога имаат неколку важни посебни случаи кои имаат добро дефинирани геометриски карактеристики. При проучување на геометриското значење на нумеричките коефициенти во формулите за овие случаи, погодно е да се претпостави дека дадениот координатен систем е правоаголен Декартов.
Најчесто се користат следните техники на компјутерска графика: превод, скалирање, ротација, рефлексија. Алгебарските изрази и бројки кои ги објаснуваат податоците за трансформацијата се сумирани во Табела 1.

Афински трансформации на авионот

Транслацијата е поместување на излезните примитиви за истиот вектор.
Скалирањето е зголемување или намалување на целата слика или дел од неа. При скалирање, координатите на точките на сликата се множат со одреден број.
Ротација се однесува на ротација на излезните примитиви околу дадена оска. (Во рамнината на цртање, ротацијата се случува околу точка.)
Рефлексијата се подразбира како добивање на огледална слика на слика за една од оските (на пример, X).
Изборот на овие четири посебни случаи е определен од две околности:
1. Секоја од горенаведените трансформации има едноставно и јасно геометриско значење (константните броеви вклучени во горенаведените формули се исто така опремени со геометриско значење).
2. Како што е докажано во текот аналитичка геометрија, секоја трансформација на формата (*) секогаш може да се претстави како секвенцијално извршување (суперпозиција) на наједноставните трансформации од формата A, B, C и D (или дел од овие трансформации).
Така, следново е точно. важен имотафини трансформации на рамнината: секое пресликување на формата (*) може да се опише со користење на пресликувања дадени со формулите A, B, C и D.
За ефикасно користење на овие добро познати формули во компјутерски графички проблеми, попогодно е да се пишуваат во форма на матрица.
За да се комбинираат овие трансформации, се воведуваат хомогени координати. Хомогени координати на точка се која било тројка од истовремено ненула броеви x1 , x2 , x3 поврзани со дадените броеви x и y со следните односи:

Тогаш точката M(x, y) се запишува како M(hX, hY, h), каде што h 0 е фактор на скала. Дводимензионалните Декартови координати може да се најдат како

Во проективната геометрија, овие координати се воведуваат за да се елиминираат несигурностите што се јавуваат при специфицирање на бесконечно оддалечени (несоодветни) елементи. Хомогени координати може да се толкуваат како вградување на рамнина скала со коефициент h во рамнината Z= h во тродимензионален простор.
Точките во хомогени координати се запишуваат како вектори со редици со три елементи. Матриците за трансформација мора да имаат големина 3x3.
Со помош на тројки хомогени координати и матрици од трет ред, може да се опише секоја афина трансформација на рамнината.
Навистина, под претпоставка h = 1, споредуваме два записи: означени со симболот (*) и следнава, матрица:

Сега можете да користите композиции за трансформација со примена на еден резултат наместо низа трансформации кои следат една по друга. Можете, на пример, да разделите сложен проблем на неколку едноставни. Вртењето на точката А околу произволна точка Б може да се подели на три задачи:
трансфер, во кој B \u003d 0 (каде што 0 е потеклото);
пресврт;
обратен пренос, во кој точка Б се враќа на своето место итн.
Составот на најопштата форма на операциите T, D, R, M има матрица:

Врвот 2x2 е комбинирана матрица за ротација и скалирање, а tx и ty го опишуваат вкупниот превод.
Основните трансформации наведени се како што следува:
лизгањепоместување на прозорец на површината за рендерирање (ако движењето е ограничено само на насоките нагоре и надолу, тогаш тоа се нарекува вертикално лизгање);

зумирањепостепено зумирање;
превртувањединамично претставување на излезните примитиви кои ротираат околу некоја оска, чија ориентација постојано се менува во просторот;
тавапостепено пренесување на сликата со цел да се создаде визуелна сензација на движење.

UDC 004.932

Кудрина М.А., Мурзин А.В.

С.П. Королев Самара Државен авијациски универзитет (национален истражувачки универзитет)“, Самара, Русија

АФИНИ ТРАНСФОРМАЦИИ НА ОБЈЕКТИ ВО КОМПЈУТЕРСКАТА ГРАФИКА

Една од типичните задачи што треба да се реши со растерска графика е трансформацијата и на целата слика како целина и на нејзините поединечни фрагменти, како што се: движење, ротирање околу даден центар, менување на линеарни димензии итн.

Овој проблем е решен со помош на афини трансформации.

Афинските трансформации можат да бидат многу корисни во следниве ситуации:

1. Да се ​​состави рамна слика или тродимензионална сцена со подредување од елементи од ист тип, со копирање, конвертирање и преместување на различни места на сликата. На пример, за создавање симетрични предмети како снегулка. Можете да развиете еден мотив и потоа да составите слика на целиот објект со рефлексии, ротации и движења на овој мотив.

2. Да гледате 3D објекти од различни перспективи. Во овој случај, можете да ја поправите положбата на камерата и да ја ротирате сцената, или обратно, да ја оставите сцената неподвижна и да ја движите камерата околу неа. Слични манипулации може да се спроведат со користење на тридимензионални афини трансформации.

3. За проектирање тродимензионални објекти на рамнина и прикажување на сцената во прозорец. Така, на пример, за аксонометриска проекција се користи низа од две ротации на проекциската рамнина, а за прикажување во прозорец се користи комбинација на скалирање и движење.

Афини трансформации на авионот во општ погледсе опишани со следните формули:

J X = Ax + By + C,. Програмата ви овозможува да го автоматизирате процесот на составување тест задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Porev V. N. Компјутерска графика. - Санкт Петербург: БХВ-Петербург, 2002. - 432 стр. : болен.

2. Рид F. Отворен GL. Програмирање на компјутерска графика. За професионалци. - Санкт Петербург: Петар,

2002. - 1088s.: ill. ISBN 5-318-00219-6

3. Кудрина М.А., Кудрин К.А., Витјагов А.А., Јонов Д.О. Развој на системот учење на далечиназа предметот „Компјутерска графика“ со користење на Moodle: Зборник на трудови од меѓународниот симпозиум Сигурност и квалитет. 2010. T. I. S. 165.

4. Кудрина М.А., Кудрин К.А., Дегтјарева О.А. Атестиран педагошки мерен материјал за предметот „Компјутерска графика“ / / Сигурност и квалитет 2008. Зборник на трудови од инт. симпозиум. Пенза, 2008, стр 162-163.

5. Кудрина М.А. Употреба на атестирани и педагошки мерни материјали за курсот

„Компјутерската графика“ во образовниот процес „//Образованието е инвестиција во успехот: Материјали на научно -

Карактеристики на афина трансформација

1. Сликата на паралелни прави се паралелни прави.

Доказ со контрадикторност. Да претпоставиме дека сликите на паралелните прави l и m се прави l" и m" кои се сечат во точката A (сл. 8). Поради трансформацијата еден-на-еден, точката има претслика, која ја означуваме со A. Но бидејќи A „єl“, потоа Аєl Слично на Аєm Ова е во спротивност со паралелизмот на правите l и m.

2. Со афина трансформација зачуван е односот на два сегменти кои се наоѓаат на иста права линија: (сл. 9)

Навистина, според дефиницијата за афина трансформација:

3. Со афина трансформација се зачува односот на паралелни отсечки.

Дадени: AB||CD. Според својството 2, ќе има и A "B" | | C "D" (Слика 10)

Мора да докажеме:

За да го докажеме тоа, цртаме AC, потоа DL||AC. Ќе конструираме и A"C" и D"L"||A"C". Според својството 2, линијата DL преминува во D"L" и, според тоа, . Сега по дефиниција: . Но AL=CD, A"L"=C"L", па од тука веднаш го добиваме тоа што ни треба.

4. При афина трансформација, аголот и односот на произволните отсечки, општо земено, не се зачувани, бидејќи секој триаголник може да се преведе во кој било друг. Според тоа, висината и симетралата на триаголникот обично се трансформираат во други прави, додека средната се префрлаат во средната, бидејќи средната точка на отсечката оди во средината.

5. Под афина трансформација, паралелограм станува паралелограм, трапез во трапез.

Еквивалентни бројки

Слично на концептот за еднаквост и сличност на фигурите, се воведува концептот на нивната афина еквивалентност.

За фигурата F1 се вели дека е афино еквивалентна на сликата F2 ако F1 може да се преведе во F2 со афина трансформација.

Точноста на оваа дефиниција произлегува од фактот дека афинските трансформации формираат група и, следствено, афинската еквивалентност воведена овде е транзитивна, рефлексна и симетрична.

Забележуваме некои класи на афино еквивалентни фигури.

еден). Сите триаголници се афини еквиваленти (следи од главната теорема).

2). Сите паралелограми се афини еквивалентни.

3). За трапезоидна афина еквивалентност потребно е и доволно нивните основи да бидат пропорционални.

Перспективно-афина кореспонденција на две рамнини

Да претпоставиме дека две рамнини w и w „се сечат по линијата xx (сл. 1). Да дефинираме некоја права линија l што ги пресекува двете рамнини. Означете произволна точка A на рамнината w и проектирајте ја на рамнината w“, цртајќи права линија низ А, паралелна l. Нека проектираната линија ја пресекува рамнината w" во точката А". Точката А“ може да се смета како проекција на точката А на рамнината w“. Таквата проекција се нарекува паралелна и се одредува со наведување на правата линија l.

Од самата конструкција на проекцијата А „на точката А, јасно е дека, пак, точката А може да се смета како проекција на точката А“ на рамнината w. Така, паралелна проекција е апарат кој има точно иста вредност во однос на двете рамнини w и w ". Таа се однесува на секоја точка (A) од првата рамнина добро дефинирана точка (A") од втората, и Обратно. Добиваме парна кореспонденција на точките на рамнините w и w". Оваа кореспонденција е еден-на-еден, т.е. секоја точка на една рамнина одговара на една точка од втората и обратно.

Кореспонденцијата на рамнините w и w“, воспоставена со помош на паралелна проекција, се нарекува перспективна-афина или поврзана.

Ако го земеме предвид процесот на премин од една од дадените рамнини (на пример, w) во друга рамнина (w"), во која секоја точка (A) од една рамнина (w) поминува до соодветната точка (A") на другата рамнина (w"), како еднострана, тогаш се нарекува трансформација на рамнината (w) во рамнина (w "- Во овој случај, точката A се нарекува инверзна слика, а точката A" се нарекува нејзин имиџ.

Проектирајќи ја рамнината w паралелна со рамнината w", вршиме перспективна-афина трансформација на рамнината w во рамнина w".

Исто така, можно е множеството од сите точки на рамнината w да се нарече поле на точки w и да се зборува за трансформација на полето на точките w во полето на точките w.

Да си поставиме задача да ги проучуваме својствата на перспективна-афина кореспонденција на рамнините.

Најпрво да се занимаваме со прашањето за двојните или фиксните точки на нашата кореспонденција, односно за таквите точки што се совпаѓаат со нивните соодветни точки. Бидејќи секоја двојна точка мора да припаѓа и на едната и на другата рамнина, тие мора да лежат на линијата на пресек xx на рамнините w и w. Правата се нарекува оска на кореспонденција Според претходното, оската на кореспонденција може да се дефинира како локус на двојни точки.

Така, права линија на една рамнина одговара на права линија на друга. Ова својство на перспективна-афина кореспонденција се нарекува колинеарност. Врз основа на самата дефиниција на паралелна проекција на фигура како локус на проекции на сите точки на оваа фигура, секоја точка што лежи на права секогаш одговара на точка што лежи на соодветната права. Според тоа, меѓусебната припадност на точка и права линија на една рамнина повлекува взаемна припадност на соодветните елементи на втората.

2. Следното својство на перспективна-афина кореспонденција се однесува на т.н едноставна врскатри точки на права линија.

Размислете за три точки A, B, C, кои лежат на истата права линија (слика 1). Едноставниот однос на точките A, B, C се одредува со формулата:

геометриска трансформација афина кореспонденција

Во оваа формула, точките A и B се сметаат за основни (или основни), а точката C е деллива. Едноставниот однос (ABC) е односот на должините на оние отсечки што точката на делење ги формира со главните. Ако точката C лежи надвор од отсечката A B, тогаш и двете отсечки AC и BC се подеднакво насочени, и затоа во овој случај едноставниот однос (ABC) е позитивен. Во случај кога точката на поделба C е помеѓу A и B, едноставниот однос (ABC) е негативен.

Слика 1 покажува дека точки А, Б, C од рамнината w одговараат на точките A", B, C" од рамнината w". Бидејќи проектираните линии AA", BB", CC" се паралелни, ќе имаме:

или (ABC) = (A"B"C").

Доаѓаме до заклучок дека во кореспонденцијата перспектива-афина, едноставниот однос на три точки од права линија на една рамнина е секогаш еднаков на едноставниот однос на три соодветни точки на друга.

3. Пред да продолжиме со разгледување на понатамошните својства на перспективна-афина кореспонденција, да се задржиме на прашањето за можната локација на соодветните рамнини w и w" во просторот.

Досега, претпоставувавме дека овие рамнини не се совпаѓаат и се сечат по линијата xx за да ја утврдиме кореспонденцијата перспектива-афина разгледана погоре со помош на паралелна проекција. Откако ќе се воспостави таква кореспонденција, би било можно двете рамнини да се поклопат со ротирање на едната од нив околу оската xx. Во исто време, сите геометриски слики лоцирани во која било рамнина не подлежат на никакви промени. Следствено, и во секој момент на ротација на рамнината и кога се комбинира со втората рамнина, не се нарушува претходно утврдената перспективна-афина кореспонденција.

Правите што ги поврзуваат соодветните точки, како AA", BB", SS", ..., остануваат паралелни на која било позиција на ротирачката рамнина, како и откако ќе се порамни со фиксната рамнина. Тоа е очигледно од фактот дека секои две од споменатите линии (на пример, AA "и BB") секогаш лежат во иста рамнина, дефинирана со пар линии кои се пресекуваат (AB и AB "B") и се отсечени на страните на аголот пропорционални сегменти, бидејќи (ABX) \u003d (A "B" X). Кога рамнините w и w "се комбинираат, проектираните линии (AA", BB", ...) ќе лежат во рамнината формирана од две коинцидентни рамнини w и w" (сл. 2).

Од особен интерес за нас е случајот со комбинираната положба на авионите, бидејќи во овој случај можеме да користиме рамен цртеж што ја прикажува воспоставената кореспонденција без изобличување.

Во случај на суперпозиција, секоја точка на (двојната) рамнина може да се смета дека припаѓа на рамнината w или w "и да ја означиме, во зависност од тоа, со голема буква без проста или со проста буква. Така, имаме трансформација на рамнината во себе, и нејзината почетна состојба (рамнината пред трансформацијата) се означува со буквата w, а новата состојба (рамнината по трансформацијата) се означува со буквата w".

Забележете дека по порамнувањето на рамнините, оската на кореспонденција xx престанува да биде линијата на вкрстување на овие рамнини, но зад неа втората дефиниција се задржува како локус на двојни или фиксни точки.

4. Сега би можеле да го напуштиме просторниот апарат (паралелна проекција), кој ни послужи да ја утврдиме перспективата-афина кореспонденција на две рамнини и да ја одредиме втората за двојна рамнина без да одиме во вселената. За таа цел, ја докажуваме следнава претпоставка: Перспективно-афина трансформација на рамнина во себе е целосно одредена од оската (xx) и пар соодветни точки (A, A").

Доказ. Нека се дадени оската xx и пар соодветни точки (АА") на перспективна-афина трансформација (сл. 3. Да докажеме дека за која било точка B во рамнината е можно да се конструира добро дефинирана и единствена соодветната точка Б“.

Ајде да нацртаме права AB. Нека X е точката на неговото пресекување со оската xx. Бидејќи точката X одговара на самата себе (како што лежи на оската), тогаш правата AX одговара на правата A „X. Конечно, точката B“ мора да лежи на правата A „X и проектираната линија BB“, паралелна со A A ". Ова ни овозможува да ја конструираме саканата точка Б". Така, имаше доволно податоци, а соодветната точка Б“ претставува единствено решение.

Забележете дека кореспонденцијата перспектива-афина навистина ќе се реализира, бидејќи наведената конструкција не може да доведе до контрадикторност. Лесно е да се потврди ова со намалување на конструкцијата на апаратот за паралелна проекција.

Навистина, ако го преклопиме цртежот 3 по линијата xx така што рамнините w и w „формираат диедрален агол, тогаш сите проектирани линии (линии што ги поврзуваат соодветните точки, на пример BB“) ќе испаднат дека се паралелни со правата AA " (поради пропорционалноста на сегментите). Затоа, кореспонденцијата што ја конструиравме може да се смета како резултат на паралелна проекција.

Забелешка. Ако на цртежот 3 ја упативме точката B на рамнината w ", означувајќи ја со C", тогаш конструкцијата на соодветната точка ќе не доведе до точката C, која, како што може да се види од цртежот 3, не секогаш се совпаѓа со Б ". Може да се докаже дека неопходниот и доволен услов за такво совпаѓање, т.е. независноста на перспективна-афина кореспонденција од тоа дали точката е упатена на една или друга рамнина, се состои во делење на отсечката А А "на половина на точката на пресек со оската xx.

Затоа, во овој случај, кореспонденцијата е коси или директна симетрија (во однос на оската xx).

5. Во понатамошното проучување на кореспонденцијата перспектива-афина, ќе се потпреме на својствата утврдени погоре: 1) колинеарност и 2) еднаквост на едноставни соодноси на тројки од соодветните точки.

Забележете дека во перспективно-афините трансформации овие својства ја изразуваат непроменливоста или непроменливоста на концептот на права линија и концептот на едноставен однос на три точки на права линија.

Од овие својства, може да се заклучи цела линијадруги „непроменливи“ на трансформацијата на перспектива-афина, кои на тој начин повеќе не се независни. Најпрво да ја докажеме непроменливоста на паралелизмот на правите. Да претпоставиме дека на рамнината w имаме две прави a и b, на кои на рамнината w" одговараат правите a" и b". Да претпоставиме дека правите a и b се паралелни (a || b). Да докажеме дека а „|| б". Да го примениме доказот "со контрадикција". Да претпоставиме дека правите a "и b" се сечат, а пресечната точка ја означуваме со буквата М "(сл. 4). Тогаш, поради кореспонденцијата еден-на-еден на рамнините w и w „до точката M“ на рамнината w „одговара на точката M на рамнината w. Точката M мора да припаѓа и на правата a и на права b. Според тоа, M е пресечната точка на правите a и b. Така, доаѓаме до контрадикција. Претпоставката дека правата a" и b" се сечат е невозможна. Затоа, a" || б“.

Така, паралелизмот на правите е непроменливо својство на перспективна-афина трансформација.

Го спојуваме B со D и цртаме права CF || преку C. ДБ. На рамнината w" правата СF ќе одговара на правата С"F" D"В" (поради непроменливоста на паралелизмот) и, следствено, точката F ќе одговара на точката F". Знаејќи дека едноставната врска на три точки е непроменлива, можеме да напишеме:

Така, доаѓаме до еднаквоста:

Последново покажува дека односот на два паралелни отсечки е инваријанта на кореспонденцијата перспектива-афина.

Ако отсечките AB и CD лежат на иста права линија (сл. 6), тогаш нивниот однос е исто така непроменлив во кореспонденцијата перспектива-афина. Навистина, нека PQ е произволна отсечка паралелна на правата AB. Тогаш имаме:

6. Се свртуваме кон разгледување на областите на соодветните фигури. Ја докажуваме следната лема: Растојанието на две соодветни точки (A, A") до кореспондентната оска (xx) се во постојан однос, независен од изборот на пар соодветни точки. Доказ. Да претпоставиме дека точките A и B одговараат на точките A" и B" ((сл. 7) Спуштајќи ги нормалните точки од овие точки на оската xx, ги добиваме нивните растојанија до оската Растојанијата секогаш ќе ги сметаме за позитивни, без оглед на насоката на нормалните.

Можеме да напишеме:

Но, како што можете да видите од цртежот:

Добиената еднаквост ја докажува лемата формулирана погоре.

Константниот однос на растојанијата на соодветните точки го означуваме со k. Да ја докажеме следната теорема.

Односот на плоштините на два соодветни триаголници е константен и еднаков на k.

Доказот на теоремата се дели на следниве случаи:

1. Триаголниците имаат заедничка страна на оската xx.

Ваквите триаголници се прикажани на цртежот 8. Односот на нивните површини е изразен на следниов начин:

2. Триаголниците имаат заедничко теме на оската xx.

Ова се двата триаголници на слика 9. Соодветните страни BC и B"C" на овие триаголници мора да се сечат на оската xx (во точката X). Случајот што се разгледува се сведува на претходниот. Навистина, врз основа на претходното, може да се напише:

Затоа ќе имаме:

3. Општ случај на два соодветни триаголници.

Нека на цртежот 10 имаме два соодветни триаголници ABC и A "B" C. Размислете за еден од овие триаголници, на пример ABC. Областа на овој триаголник може да се претстави на следниов начин:

Сите триаголници од десната страна на оваа еднаквост се однесуваат на двата веќе разгледани случаи, затоа, применувајќи ја докажаната теорема на нив, можеме да ја преработиме еднаквоста најдена погоре на следниов начин:

Следствено,

7. Својството на плоштините на два соодветни триаголници што го изведовме може лесно да се прошири на случајот на соодветните многуаголници. Навистина, секој многуаголник може да се подели на неколку триаголници, а плоштината на многуаголникот се изразува како збир на плоштините на неговите составни триаголници.

За соодветниот многуаголник добиваме слична партиција во триаголници. Ако плоштините на двата соодветни многуаголници се означени со буквите S и S“, а плоштините на двата соодветни составни триаголници се означени со букви, тогаш можеме да напишеме:

Бидејќи, дополнително, за плоштините на соодветните триаголници имаме:

Така, добиваме:

Конечно, теоремата за односот на плоштините може да се генерализира во случај на две области ограничени со соодветни криви со произволна форма.

Да ги означиме областите ограничени со две соодветни криви со и. Ние го впишуваме многуаголникот во кривата што ја граничи областа, а плоштината на овој многуаголник ја означуваме со буквата S. Ќе го зголемиме бројот на страните на впишаниот многуаголник до бесконечност, под услов секоја негова страна да се стреми кон нула, а потоа добиваме:

За областа, ќе имаме сличен процес:

каде што S" ја означува областа на многуаголникот што одговара на многуаголникот S. Бидејќи во текот на целиот процес (промени во многуаголниците), според теоремата докажана погоре, тие мора да имаат:

тогаш поминувајќи до границата се добива =k.

Следствено,

Резултирачкото својство може да се претстави како инваријанта на кореспонденцијата перспектива-афина.

Навистина, ги означуваме со и областите ограничени со две криви од произволна форма, а со „и“ - областите ограничени со соодветните криви, тогаш, според докажаното, ќе имаме:

или, преуредување на средните членови на пропорцијата:

што може да се изрази со следните зборови: односот на било кои две области не се менува (е непроменлива) во перспективна-афина кореспонденција.

Општа афина кореспонденција

Може да се добие перспективна-афина кореспонденција на две рамнини со помош на паралелна проекција.

Сега разгледајте ја кореспонденцијата на две рамнини формирани со повторена примена на паралелна проекција. Значи, на цртежот 11, рамнината w е проектирана паралелно со правата l на рамнината w. „Оваа рамнина е проектирана паралелно со правата l“ на рамнината w. Конечно, втората е проектирана паралелно со правата l“ на авионот w"". Така, се воспоставува кореспонденција помеѓу рамнините w и w "" во кои точките А, Б, Вточките А"", Б"", Ц" одговараат на првата рамнина. Лесно е да се види дека оваа кореспонденција можеби не е паралелна проекција, но во исто време има непроменливи својства на кореспонденција перспектива-афина. Навистина , кореспонденцијата на рамнините w и w"" е синџир од последователни паралелни проекции. Бидејќи секоја таква проекција ја зачувува колинеарноста и едноставниот однос на три точки, добиената кореспонденција на рамнините w и w""" очигледно мора да има иста својства.

Истото може да се каже и за другите непроменливи својства што се разгледуваат во случај на кореспонденција на перспектива-афина, што на тој начин излегува дека е само оној посебен случај кога линиите што ги поврзуваат соодветните точки се паралелни една со друга:

Поради оваа причина, таквата кореспонденција се нарекува перспектива-афина.

Кореспонденцијата на рамнините w и w """ се нарекува афина. „и добиената трансформација со буквата А, можеме да ја претставиме афината трансформација А со следната симболична формула:

A \u003d P * P "* P",

во кои десната страна е „производ“ на перспективно-афини трансформации, односно резултат на нивната последователна примена.

Истото размислување може да се спроведе без да се остави една рамнина, за што е доволно да се разгледа синџирот на перспективна-афина трансформации на рамнината во себе. Секоја од трансформациите може да се даде со оска и пар соодветни точки. Така, на пример, на цртежот 12, првата трансформација P е дадена со оската xx и парот (A, A "); втората P" е дадена со оската и парот (A", A "); третото P" е оската x"x" и парот (А""А""). Во добиената трансформација А, точката А одговара на точката А"". Истиот цртеж ја прикажува конструкцијата на точката Б"", што одговара на точка Б.

Горенаведеното покажува дека трансформациите добиени со помош на синџир на паралелни проекции (или перспективно-афини трансформации) имаат својства на колинеарност и зачувување на едноставен однос од три точки.