Пример за градење на модел на стохастички процес. Стохастички модел на процесот. Идеалното моделирање е фундаментално различно од моделирањето на материјалот, засновано на идеална, замислива врска помеѓу објектот и моделот. Идеални методи за моделирање

Како што имплицира името, овој тип на модел е фокусиран на описот на системи кои покажуваат статистички регуларна случајно однесување, а времето во нив може да се смета како дискретна количина. Суштината на временската дискретизација е иста како кај дискретно-детерминистичките модели. Моделите на системи од овој вид можат да се градат врз основа на две формализирани шеми за опис. Прво, ова се равенки со конечни разлики, меѓу чии променливи има функции кои дефинираат случајни процеси. Второ, тие користат веројатни автомати.

Пример за конструирање на дискретен стохастички систем.Нека има некој производствен систем, чија структура е прикажана на сл. 3.8. Во рамките на овој систем, хомоген проток на материјали се движи низ фазите на складирање и производство.

Нека, на пример, протокот на суровини се состои од метални инготи, кои се складираат во влезниот склад. Потоа овие дискови одат во производство, каде што од нив се произведува некаков производ. Готовите производи се складираат во излезниот магацин, од каде се земаат за понатамошни дејствија со нив (префрлени во следните фази на производство или за продажба). Во општиот случај, таквиот производствен систем ги претвора материјалните текови на суровини, материјали и полупроизводи во проток на готови производи.

Нека временскиот чекор во овој производствен систем е еднаков на еден (D? = 1). Промената во работењето на овој систем ќе ја земеме како целина. Претпоставуваме дека процесот на производство на производот трае еден временски чекор.

Ориз. 3.8, дијаграм на производствен систем

Процесот на производство го контролира посебно регулаторно тело, на кое му е даден план за ослободување на производите во форма на директивен интензитет на производство (бројот на производи што треба да се произведуваат по единица време, во овој случај, по смена). Го означуваме овој интензитет d t .Всушност, ова е стапката на производство. Нека d t \u003d a + bt,т.е е линеарна функција. Ова значи дека со секоја наредна смена, планот се зголемува за bt.

Бидејќи се работи за хомоген проток на материјали, веруваме дека, во просек, обемот на суровини што влегуваат во системот по единица време, обемот на производство по единица време, обемот на готови производи што го напуштаат системот по единица време времето треба да биде еднакво на d t .

Влезните и излезните текови за регулаторното тело се неконтролирани, нивниот интензитет (или брзина - бројот на празни места или производи по единица време, соодветно, кои влегуваат во системот и излегуваат од него) треба да биде еднаков на d t .Сепак, дисковите може да се изгубат за време на транспортот, или некои од нив ќе бидат со слаб квалитет или поради некоја причина ќе пристигнат повеќе од потребното итн. Затоа, претпоставуваме дека влезниот тек има интензитет:

x t во \u003d d t +ξ t во,

каде ξ 1 in е рамномерно распределена случајна променлива од -15 до +15.

Приближно истите процеси може да се случат со излезниот тек. Затоа, излезниот тек го има следниот интензитет:

x t во s x \u003d d t +ξ t надвор,

каде ξ t out е нормално распределена случајна променлива со нула математичко очекување и варијанса еднаква на 15.

Ќе претпоставиме дека во производниот процес има несреќи поврзани со отсуство на работници на работа, дефекти на машини итн. Овие случајности се опишани со нормално распределена случајна променлива со нула математичко очекување и варијанса еднаква на 15. Да ја означиме со ξ t/ Процесот на производство трае единица време, при што x тсуровини, потоа овие суровини се обработуваат и се пренесуваат во излезниот магацин во иста единица време. Регулаторното тело добива информации за работата на системот на три можни начини (тие се означени со броевите 1, 2, 3 на сл. 3.8). Ние веруваме дека овие методи за добивање информации меѓусебно се исклучуваат во системот поради некоја причина.

Метод 1.Регулаторното тело добива само информации за состојбата на влезниот склад (на пример, за промена на залихите во складиште или за отстапување на обемот на залихи од нивното стандардно ниво) и од него ја проценува брзината на производниот процес ( за брзината на повлекување на суровините од магацинот):

1) (ти во - u t-1 во )- промена на обемот на залихи во складиштето (u t in - обемот на суровини во влезниот склад во тоа време т);

2) (ù- u t in) - отстапување на обемот на суровините во влезниот склад од стапката на залиха.

Начин 2. Регулаторот добива информации директно од производството (x t -вистинскиот интензитет на производство) и го споредува со директивниот интензитет (dt-xt).

Метод 3.Регулаторното тело добива информации како во методот 1, но од излезниот склад во форма (не сте излезени - u t-1 надвор )- или (у -ут надвор). Тој го оценува и производниот процес врз основа на индиректни податоци - зголемување или намалување на залихите на готови производи.

Да се ​​одржи дадена стапка на производство d t,регулаторното тело донесува одлуки y t,(или (y t - y t - 1)),насочени кон промена на вистинскиот излезен интензитет x t .Како одлука, регулаторното тело го известува производството на вредностите на интензитетот со кои треба да се работи, т.е. x t = y t.Втората верзија на контролното решение - (yt-yt-1),тие. регулаторот му кажува на производството колку да го зголеми или намали интензитетот на производството (x t -x t-1).

Во зависност од начинот на добивање информации и видот на променливата што ја опишува контролната акција, следните количини можат да влијаат на донесувањето одлуки.

1. Основа на одлуки (вредноста што треба да биде еднаква на вистинскиот интензитет на производство ако нема отстапувања):

излезниот интензитет на директивата во моментот t(dt);

стапката на промена на директивниот интензитет на производството во моментот t(dt-dt-1).

2. Износ на отстапување:

отстапување на реалниот излез од директивата (dt-xt);

отстапување на вистинскиот волумен на излез од планираниот волумен

Σ d τ - Σ x τ

промена на нивото на залихи на влезот ( (ти во - u t-1 во) или излез

(не излезеш - у т-1 надвор) магацини;

отстапување на нивото на акции на влезот (ù- u t влез) или излезот ( у -ут надвор) магацини од стандардно ниво.

Генерално, одлуката за управување донесена од регулаторното тело се состои од следниве компоненти:

Примери за решенија:

y t = d t +y(d t-1 -x t-1);

y t = d t -y(ù -uнадвор)

Преземајќи различни одлуки во форма, регулаторното тело настојува да ја постигне главната цел - да го приближи вистинскиот излезен интензитет до директивниот. Сепак, тој не може секогаш директно да се води во своите одлуки од степенот до кој оваа цел е постигната. (dt - xt).Конечните резултати може да се изразат во постигнување на локалните цели - стабилизирање на нивото на залихи во влезниот или излезниот склад ( и тво (надвор) - и т-1 во (надвор)) или во приближување на нивото на залихи во магацинот до стандардот (и-иво (надвор)). Во зависност од целта што треба да се постигне, во контролното решение се одредува типот на знакот (+ или -) пред фракцијата на несовпаѓање што се користи за регулација.

Нека во нашиот случај, регулаторното тело добива информации за состојбата на влезниот склад (промена на нивото на залихи). Познато е дека во секој контролен систем има одложувања во развојот и имплементацијата на решение. Во овој пример, информациите за состојбата на влезниот склад влегуваат во регулаторното тело со задоцнување од еден временски чекор. Таквото доцнење се нарекува доцнење на одлуката и значи дека до моментот кога информациите ќе бидат примени од регулаторното тело, фактичката состојба на нивото на залиха во влезниот склад веќе ќе биде различна. Откако регулаторот ќе донесе одлука на тисто така ќе биде потребно време (во нашиот пример тоа ќе биде единица време) за да се донесе решението до изведувачот. Ова значи дека вистинскиот интензитет на производство не е y t,туку на одлуката што управниот орган ја донел пред единица време. Ова е доцнење во имплементацијата на решението.

За да го опишеме нашиот производствен систем, ги имаме следните равенки:

x тbx=d t +ξ t во

x тизлез =dt +ξ t надвор;

y t = dt + y(u -uт-2 инчи)

x t = yт-1 + ξt

uт во - u t-1 во = x тво - x т

Овој систем на равенки ви овозможува да изградите модел на производниот систем, во кој влезните променливи ќе бидат d t,ξ t во, ξ t надвор, ξ t ,a

слободен ден - x t .Ова е точно затоа што надворешен набљудувач го гледа нашето производство како систем кој прима суровини по стапка dtи производство на производи со интензитет x t,предмет на случајност ξ t во, ξ t надвор, ξ t . Откако ги извршивме сите замени во добиениот систем на равенки, доаѓаме до една равенка на динамика што го карактеризира однесувањето x тво зависност од d t,ξ t во, ξ t надвор, ξ t .

Моделот разгледан погоре не содржеше ограничувања на обемот на магацини и производствени капацитети. Ако претпоставиме дека капацитетот на влезниот магацин е Vx, капацитетот на излезниот склад е V BX, а производствениот капацитет е М,тогаш нов системравенките за таков нелинеарен производствен систем ќе бидат како што следува:

x тBX=мин((д т+ ξ t во), (V во - uт во)) - невозможно е да се стави повеќе во влезниот магацин отколку што дозволува просторот;

xизлез =мин((д т+ ξ t надвор), (V надвор - uт надвор)) - не можете да земете повеќе производи од излезниот магацин отколку што има;

y t =d t + y(uт во -ут-1 инчи)

x тBX = мин (( uт во, ( y t-1+ ξ t во), М,(V надвор - u t надвор)) - невозможно е да се произведат повеќе производи од нарачаните, ограничувачките фактори се бројот на достапни празни места и достапноста на слободен простор во излезниот магацин;

uт во -у t-1 во = x тBX-x т

Во последните поглавја од оваа книга, стохастичките процеси речиси секогаш се претставени со користење на линеарни диференцијални системи возбудени од бел шум. Ова претставување на стохастичкиот процес обично ја има следната форма. Ајде да се преправаме дека

а е бел шум. Со избирање на таков приказ на стохастичкиот процес V може да се симулира. Употребата на такви модели може да се оправда на следниов начин.

а) Во природата, често се среќаваат стохастички феномени, поврзани со дејството на брзо менување на флуктуации на инерцијален диференцијален систем. Типичен пример за бел шум кој делува на диференцијален систем е термичкиот шум во електронското коло.

б) Како што ќе се види од следново, линеарна теоријаконтролите речиси секогаш се сметаат само за средната вредност на u. коваријанса на стохастичкиот процес. За линеарен модел, секогаш е можно да се приближат сите експериментално добиени карактеристики на средната вредност и матрицата на коваријанса со произволна точност.

в) Понекогаш се јавува проблемот со моделирање на стационарен стохастички процес со позната спектрална густина на енергија. Во овој случај, секогаш е можно да се генерира стохастички процес како процес на излезот од линеарен диференцијален систем; во овој случај, матрицата на густини на спектрална анергија се приближува со произволна точност на матрицата на густините на спектралната енергија на почетниот стохастички процес.

Примерите 1.36 и 1.37, како и проблемот 1.11, го илустрираат методот на моделирање.

Пример 1.36. Диференцијален систем од прв ред

Да претпоставиме дека измерената коваријансна функција на стохастички скаларен процес за кој е познато дека е стационарен е опишана со експоненцијалната функција

Овој процес може да се моделира како состојба на диференцијален систем од прв ред (види пример 1.35)

каде е интензитетот бел шум - стохастичка величина со нулта средина и варијанса .

Пример 1.37. резервоар за мешање

Размислете за резервоарот за мешање од Пример 1.31 (сек. 1.10.3) и пресметајте ја матрицата на варијансата на излезната променлива за него.шум. Сега да ги додадеме равенките на модели на стохастички процеси на диференцијалната равенка на резервоарот за мешање.

Еве, е интензитетот скаларен бел шум да

за да се добие варијансата на процесот еднаква на прифаќање За процесот користиме сличен модел. Така, добиваме систем на равенки

Изградбата на стохастички модел вклучува развој, проценка на квалитетот и проучување на однесувањето на системот користејќи равенки кои го опишуваат процесот што се проучува.

За да го направите ова, со спроведување на посебен експеримент со реален систем, се добиваат првичните информации. Во овој случај, се користат методи на планирање на експериментот, обработка на резултати, како и критериуми за евалуација на добиените модели врз основа на таквите делови. математичка статистикакако дисперзија, корелација, регресивна анализаи сл.

Методите за конструирање на статистички модел кој го опишува технолошкиот процес (сл. 6.1) се засновани на концептот на „црна кутија“. За него се можни повеќе мерења на влезните фактори: x 1, x 2,…, x kи излезни параметри: y 1, y 2 ,…,y стр, според чии резултати се воспоставуваат зависности:

Во статистичкото моделирање, по формулацијата на проблемот (1), најмалку важни факториод голем број влезни променливи кои влијаат на текот на процесот (2). Влезните варијабли избрани за понатамошно истражување сочинуваат листа на фактори x 1, x 2,…, x kво (6.1), со контролирање на кое е можно да се контролираат излезните параметри y n. Бројот на излези од моделот исто така треба да се намали колку што е можно повеќе за да се намалат трошоците за експериментирање и обработка на податоци.

При развивање на статистички модел, неговата структура (3) обично се поставува произволно, во форма на удобни за користење функции што ги приближуваат експерименталните податоци, а потоа се рафинира врз основа на проценка на адекватноста на моделот.

Најчесто се користи полиномната форма на моделот. Да, за квадратна функција:

(6.2)

каде b 0 , b i , b ij , b iiсе регресивните коефициенти.

Обично, прво се ограничуваме на наједноставниот линеарен модел, за кој во (6.2) b ii =0, b ij =0. Во случај на негова несоодветност, моделот се комплицира со воведување на термини кои ја земаат предвид интеракцијата на факторите x i, x jи (или) квадратни поими .

За да се максимизира извлекувањето на информации од тековните експерименти и да се намали нивниот број, се планираат експерименти (4) т.е. избор на бројот и условите на експериментите неопходни и доволни за решавање на проблеми дадена точностдоделена задача.

За да се изградат статистички модели, се користат два вида експерименти: пасивни и активни. Пасивен експериментСе спроведува во форма на долгорочно набљудување на текот на неконтролиран процес, што овозможува да се соберат широк опсег на податоци за статистичка анализа. AT активен експериментможно е да се контролираат условите на експериментите. Кога се спроведува, најефективно е симултаното менување на големината на сите фактори според одреден план, што овозможува да се открие интеракцијата на факторите и да се намали бројот на експерименти.

Врз основа на резултатите од експериментите (5) се пресметуваат коефициентите на регресија (6.2) и се проценува нивната статистичка значајност, со што се комплетира конструкцијата на моделот (6). Мерката за адекватноста на моделот (7) е варијансата, т.е. стандардно отстапување на пресметаните вредности од експерименталните. Добиената варијанса се споредува со дозволената со постигната точност на експериментите.

Серија „Економија и менаџмент“

6. Кондратиев Н.Д. Големи конјуктурни циклуси и теорија на предвидливост. - М.: Економика, 2002. 768 стр.

7. Кузик Б.Н., Кушлин В.И., Јаковец Ју.В. Прогнозирање, стратешко планирање и национално програмирање. М.: Издавачка куќа „Економија“, 2008. 573 стр.

8. Лјасников Н.В., Дудин М.Н. Модернизација на иновациската економија во контекст на формирање и развој на пазарот на вложување // Општествени науки. М.: Издавачка куќа „МИИ Наука“, 2011. бр. 1. С. 278-285.

9. Шекерин В.Д., Кузњецова О.С. Развој на стратегија за управување со проекти за иновации // Билтен на Москва државна академијаБизнис администрација. Серија: Економија. - 2013. бр.1 (20). - S. 129 - 134.

10. Јаковлев В.М., Сенин А.С. Нема алтернатива за иновативниот тип на развој на руската економија // Актуелни прашања на иновативната економија. М.: Издавачка куќа „Наука“; Институт за менаџмент и маркетинг на Руската академија на науките и уметностите под претседателот на Руската Федерација, 2012 година. Бр. 1(1).

11. Бараненко С.П., Дудин М.Н., Љасников Н.В., Бусигин К.Д. Користење на еколошки пристап за развој ориентиран кон иновации на индустриски претпријатија // Американски весник за применети науки.- 2014.- Vol. 11, бр.2, - P. 189-194.

12. Дудин М.Н. Систематски пристап кон одредување на начините на интеракција на големите и малите бизниси // Европски весник за економски студии. 2012. Vol. (2), бр.2, стр.84-87.

13. Дудин М.Н., Љасников Н.В., Кузнецов А.В., Федорова И.Ју. Иновативна трансформација и трансформациски потенцијал на социо-економските системи // Списание за научни истражувања на Блискиот Исток, 2013 година. 17, бр. 10. P. 1434-1437.

14. Дудин М.Н., Љјасников Н.В., Панков С.В., Сепиашвили Е.Н. Иновативно предвидување како метод за управување со стратешки одржлив развој на деловните структури // World Applied Sciences Journal. - 2013. - Ред. 26, бр. 8. - P. 1086-1089.

15. Шекерин В.Д., Авраменко С. А., Веселовски М. Ја., Алексахина В.

Изработка на еднопараметарски, стохастички модел на производниот процес

д-р. Доц. Мордасов Ју.П.

Машински универзитет, 8-916-853-13-32, [заштитена е-пошта]ги

Прибелешка. Авторот има развиено математички, стохастички модел на производниот процес, во зависност од еден параметар. Моделот е тестиран. За ова е креиран симулациски модел на процесот на производство, машинско градење, земајќи го предвид влијанието на случајни нарушувања-неуспеси. Споредбата на резултатите од математичкото и симулационото моделирање ја потврдува целесообразноста на примената на математичкиот модел во пракса.

Клучни зборови: технолошки процес, математички, симулациски модел, оперативна контрола, одобрување, случајни пертурбации.

Трошоците за оперативно управување може значително да се намалат со развивање на методологија која ви овозможува да го пронајдете оптимумот помеѓу трошоците за оперативно планирање и загубите што произлегуваат од несовпаѓањето помеѓу планираните индикатори и индикаторите за реалните производни процеси. Ова значи наоѓање на оптималното времетраење на сигналот во колото повратни информации. Во пракса, ова значи намалување на бројот на пресметки на календарски распореди за лансирање на монтажни единици во производство и, поради тоа, заштеда на материјални ресурси.

Текот на производниот процес во машинството е по веројатен карактер. Постојаното влијание на факторите кои постојано се менуваат не овозможува за одредена перспектива (месец, квартал) да се предвиди текот на производниот процес во просторот и времето. Во моделите за статистичко распоредување, состојбата на делот во секој специфичен временски период треба да се даде во форма на соодветна веројатност (распределба на веројатноста) да се наоѓа на различни работни места. Сепак, неопходно е да се обезбеди детерминизам на конечниот резултат на претпријатието. Тоа, пак, подразбира можност, користејќи детерминистички методи, да се планираат одредени термини за деловите да бидат во производство. Сепак, искуството покажува дека различните меѓусебни односи и меѓусебни транзиции на реалните производни процеси се разновидни и многубројни. Кога се развиваат детерминистички модели, тоа создава значителни тешкотии.

Обидот да се земат предвид сите фактори кои влијаат на текот на производството го прави моделот гломазен и тој престанува да функционира како алатка за планирање, сметководство и регулација.

Поедноставен метод за конструирање на математички модели на сложени реални процеси кои зависат од голем број различни фактори, кои се тешки, па дури и невозможно да се земат предвид, е изградбата на стохастички модели. Во овој случај, кога се анализираат принципите на функционирање на реален систем или кога се набљудуваат неговите индивидуални карактеристики, се градат функции за дистрибуција на веројатност за некои параметри. Во присуство на висока статистичка стабилност на квантитативните карактеристики на процесот и нивната мала дисперзија, резултатите добиени со конструираниот модел се во добра согласност со перформансите на реалниот систем.

Главните предуслови за градење статистички модели на економски процеси се:

Прекумерна сложеност и поврзана економска неефикасност на соодветниот детерминистички модел;

Големи отстапувања на теоретските показатели добиени како резултат на експериментот на моделот од индикаторите на реално функционалните објекти.

Затоа, пожелно е да се има едноставен математички апарат кој го опишува влијанието на стохастичките нарушувања врз глобалните карактеристики на производниот процес (производство на стоки, обем на работа во тек итн.). Односно, да се изгради математички модел на производниот процес кој зависи од мал број параметри и го одразува вкупното влијание на многу фактори од различна природа врз текот на производниот процес. Главната задача што треба да си ја постави истражувачот при градењето на моделот не е пасивно набљудување на параметрите на реалниот систем, туку изградба на таков модел што при секое отстапување под влијание на нарушувања, би ги донело параметрите на прикажаниот процеси во даден режим. Односно, под дејство на кој било случаен фактор, мора да се воспостави процес во системот што конвергира до планирано решение. Во моментов, во автоматизираните системи за контрола, оваа функција главно се доделува на лице, кое е една од алките во синџирот на повратни информации во управувањето со производните процеси.

Да се ​​свртиме кон анализата на реалниот производствен процес. Обично, времетраењето на планскиот период (фреквенцијата на издавање планови на работилници) се избира врз основа на традиционално утврдените календарски временски интервали: смена, ден, пет дена итн. Тие се водени главно од практични размислувања. Минималното времетраење на планскиот период се одредува според оперативните можности на планираните тела. Ако одделот за производство и испраќање на претпријатието се справува со издавање на приспособени задачи за смена во продавниците, тогаш пресметката се прави за секоја смена (односно, трошоците поврзани со пресметката и анализата на планираните цели се направени секоја смена).

За одредување нумерички карактеристикираспределба на веројатност на случаен

Серијата нарушувања на „Економија и менаџмент“ ќе изградат веројатен модел на вистински технолошки процес на производство на една монтажна единица. Овде и во понатамошниот текст, технолошкиот процес на производство на монтажна единица значи низа операции (работи за производство на овие делови или склопови), документирани во технологијата. Секоја технолошка операција на производство на производи во согласност со технолошкиот пат може да се изврши само по претходната. Следствено, технолошкиот процес на производство на монтажна единица е низа од настани-операции. Под влијание на различни стохастички причини, времетраењето на индивидуалната операција може да се промени. Во некои случаи, операцијата може да не биде завршена за време на важноста на оваа смена. Очигледно е дека овие настани можат да се разложат на елементарни компоненти: изведба и неизвршување на поединечни операции, што исто така може да се стави во кореспонденција со веројатностите за извршување и неизвршување.

За специфичен технолошки процес, веројатноста за извршување на низа составена од K операции може да се изрази со следнава формула:

PC5 \u003d k) \u003d (1-pk + 1) PG \u003d 1P1, (1)

каде што: P1 - веројатноста за извршување на првата операција, земена посебно; r е бројот на операцијата по ред во технолошкиот процес.

Оваа формула може да се користи за одредување на стохастичките карактеристики на одреден плански период, кога опсегот на производи што се лансираат во производство и списокот на работи што мора да се извршат во даден плански период, како и нивните стохастички карактеристики, кои се одредуваат емпириски , се познати. Во пракса, само одредени видови масовно производство, кои имаат висока статистичка стабилност на карактеристиките, ги задоволуваат наведените барања.

Веројатноста за извршување на една операција зависи не само од надворешни фактори, туку и од специфичната природа на извршената работа и од типот на монтажната единица.

За да се одредат параметрите на горната формула, дури и со релативно мал сет на монтажни единици, со мали промени во опсегот на произведени производи, потребна е значителна количина на експериментални податоци, што предизвикува значителни материјални и организациски трошоци и го прави овој метод на утврдување на веројатноста за непречено производство на производи тешко применливо.

Добиениот модел да го подложиме на студија за можноста за негово поедноставување. Почетната вредност на анализата е веројатноста за извршување без неуспех на една операција на технолошкиот процес на производство на производи. Во реални услови на производство, веројатностите за извршување на операции од секој тип се различни. За одреден технолошки процес, оваа веројатност зависи од:

Од типот на извршената операција;

Од одредена монтажна единица;

Од производи произведени паралелно;

од надворешни фактори.

Дозволете ни да го анализираме влијанието на флуктуациите во веројатноста за извршување на една операција врз збирните карактеристики на производниот процес на производствени производи (обемот на комерцијално производство, обемот на работа во тек итн.) утврдени со овој модел. Целта на студијата е да се анализира можноста за замена во моделот на различни веројатности за извршување на една операција со просечна вредност.

Комбинираниот ефект на сите овие фактори се зема предвид при пресметување на просечната геометриска веројатност за извршување на една операција од просечниот технолошки процес. Анализата на модерното производство покажува дека тоа малку флуктуира: практично во рамките на 0,9 - 1,0.

Јасна илустрација за тоа колку мала е веројатноста за извршување на една операција

воки-токи одговара на вредност од 0,9, е следниот апстрактен пример. Да речеме дека имаме десет парчиња за правење. Технолошките процеси на производство на секој од нив содржат десет операции. Веројатноста за извршување на секоја операција е 0,9. Дозволете ни да ги најдеме веројатностите за заостанување зад распоредот за различен број технолошки процеси.

Случаен настан, кој се состои во фактот дека специфичен технолошки процес на производство на монтажна единица ќе заостане зад распоредот, одговара на недоволно извршување на барем една операција во овој процес. Тоа е спротивно на настанот: извршување на сите операции без неуспех. Неговата веројатност е 1 - 0,910 = 0,65. Бидејќи доцнењата на распоредот се независни настани, за да ја одредите веројатноста за заостанување зад распоредот за различен број технолошки процеси, можете да ја користите распределбата на веројатноста Бернули. Резултатите од пресметката се прикажани во Табела 1.

Табела 1

Пресметка на веројатностите за заостанување зад распоредот на технолошките процеси

до C^o0.35k0.651O-k Збир

Табелата покажува дека со веројатност од 0,92 пет технолошки процеси ќе заостанат зад распоредот, односно половина. Математичкото очекување за бројот на технолошки процеси кои заостануваат зад распоредот ќе биде 6,5. Тоа значи дека во просек 6,5 монтажни единици од 10 ќе заостануваат зад распоредот, односно во просек од 3 до 4 делови ќе се произведуваат без дефекти. Авторот не знае за примери на толку ниско ниво на организираност на трудот во реалното производство. Разгледаниот пример јасно покажува дека наметнатото ограничување на вредноста на веројатноста за извршување на една операција без дефекти не е во спротивност со практиката. Сите горенаведени барања ги исполнуваат производните процеси на машинско-монтажни продавници за машинско производство.

Така, за да се утврдат стохастичките карактеристики на производните процеси, се предлага да се конструира распределба на веројатност за оперативно извршување на еден технолошки процес, што ја изразува веројатноста за извршување на низа технолошки операции за производство на монтажна единица преку геометриската просечна веројатност на извршување на една операција. Веројатноста за извршување на К операции во овој случај ќе биде еднаква на производот од веројатностите за извршување на секоја операција, помножена со веројатноста да не се изврши остатокот од технолошкиот процес, што се совпаѓа со веројатноста да не се изврши (K + T )-та операција. Овој факт се објаснува со фактот дека ако не се изврши некоја операција, тогаш следните не можат да се извршат. Последниот запис се разликува од останатите, бидејќи ја изразува веројатноста за целосно поминување без неуспех на целиот технолошки процес. Веројатноста за извршување на К од првите операции од технолошкиот процес е единствено поврзана со веројатноста да не се извршат преостанатите операции. Така, распределбата на веројатност ја има следната форма:

PY=0)=p°(1-p),

Р(§=1) = р1(1-р), (2)

P(^=1) = p1 (1-p),

P(t=u-1) = pn"1(1 - p), P(t=n) = pn,

каде што: ^ - случајна вредност, бројот на извршени операции;

p е геометриска средна веројатност за извршување на една операција, n е бројот на операции во технолошкиот процес.

Валидноста на примената на добиената еднопараметарска распределба на веројатност е интуитивно видлива од следното расудување. Да претпоставиме дека ја пресметавме геометриската средина на веројатноста да се изврши една операција 1 на примерок од n елементи, каде што n е доволно голем.

p = USHT7P7= tl|n]t=1p!), (3)

каде што: Iy - бројот на операции кои имаат иста веројатност за извршување; ] - индекс на група операции кои имаат иста веројатност за извршување; m - бројот на групи што се состојат од операции кои имаат иста веројатност за извршување;

^ = - - релативна фреквенција на појава на операции со веројатност за извршување p^.

Во Законот големи бројки, со неограничен број операции, релативната фреквенција на појавување во низа операции со одредени стохастички карактеристики веројатно се стреми кон веројатноста за овој настан. Од каде произлегува дека

за два доволно големи примероци = , тогаш:

каде што: t1, t2 - бројот на групи во првиот и вториот примерок, соодветно;

1*, I2 - бројот на елементи во групата на првиот и вториот примерок, соодветно.

Од ова може да се види дека ако параметарот се пресметува за голем број тестови, тогаш тој ќе биде блиску до параметарот P пресметан за овој прилично голем примерок.

Треба да се обрне внимание на различната близина на вистинската вредност на веројатностите за извршување на различен број на операции на процесот. Во сите елементи на распределбата, освен последниот, има фактор (I - P). Бидејќи вредноста на параметарот P е во опсег од 0,9 - 1,0, факторот (I - P) флуктуира помеѓу 0 - 0,1. Овој множител одговара на множителот (I - p;) во оригиналниот модел. Искуството покажува дека оваа кореспонденција за одредена веројатност може да предизвика грешка до 300%. Меѓутоа, во пракса, обично се интересира не за веројатноста за извршување на кој било број операции, туку за веројатноста за целосно извршување без неуспеси на технолошкиот процес. Оваа веројатност не содржи фактор (I - P), и, според тоа, неговото отстапување од вистинската вредност е мало (практично не повеќе од 3%). За економски задачи, ова е прилично висока точност.

Дистрибуцијата на веројатност на случајна променлива конструирана на овој начин е стохастички динамички модел на производниот процес на монтажна единица. Времето учествува во него имплицитно, како времетраење на една операција. Моделот ви овозможува да ја одредите веројатноста дека по одреден временски период (соодветниот број на операции) нема да се прекине производниот процес на производство на монтажна единица. За продавниците за механичко склопување на машинско производство, просечниот број на операции на еден технолошки процес е доста голем (15 - 80). Ако го земеме овој број како основен број и претпоставиме дека, во просек, при производство на една монтажна единица се користи мал сет на зголемени видови на работа (вртење, бравар, мелење итн.),

тогаш добиената дистрибуција може успешно да се искористи за да се процени влијанието на стохастичките нарушувања врз текот на производниот процес.

Авторот спроведе симулациски експеримент изграден на овој принцип. Да се ​​генерира низа од псевдо случајни променливи, рамномерно распоредени на сегментот 0,9 - 1,0, користен е генератор на псевдо-случајни броеви, опишан во делото. Софтверот на експериментот е напишан на алгоритамскиот јазик COBOL.

Во експериментот се формираат производи од генерирани случајни променливи, симулирајќи ги реалните веројатности за целосно извршување на одреден технолошки процес. Тие се споредуваат со веројатноста за извршување на технолошкиот процес, добиена со помош на геометриската средна вредност, која е пресметана за одредена низа од случајни броеви со иста распределба. Геометриската средина е подигната на моќност еднаква на бројот на фактори во производот. Помеѓу овие два резултати, се пресметува релативната разлика во проценти. Експериментот се повторува за различен број на фактори во производите и бројот на броеви за кои се пресметува геометриската средина. Фрагмент од резултатите од експериментот е прикажан во Табела 2.

табела 2

Резултати од симулациски експеримент:

n е степенот на геометриската средина; k - степенот на производот

n до отстапување од производ до отстапување од производ

10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%

10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%

10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%

10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%

10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%

10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%

13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%

13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%

13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%

13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%

13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%

16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%

16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%

16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%

16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%

16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%

16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%

19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%

19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%

19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%

19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%

19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%

19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%

22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%

22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%

22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%

22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%

22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

22 100 0,0048 1%

25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%

25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%

25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%

25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%

25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%

28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%

28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%

28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%

28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%

28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%

28 94 0,0075 100 0,0048 5%

31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%

31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%

31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%

31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%

31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

При поставувањето на овој симулациски експеримент, целта беше да се истражи можноста за добивање, користејќи ја распределбата на веројатноста (2), една од зголемените статистички карактеристики на производниот процес - веројатноста за извршување на еден технолошки процес на производство на монтажна единица која се состои од K операции без неуспеси. За специфичен технолошки процес, оваа веројатност е еднаква на производот од веројатностите за извршување на сите негови операции. Како што покажува експериментот за симулација, неговите релативни отстапувања од веројатноста добиена со користење на развиениот веројатноствен модел не надминуваат 9%.

Бидејќи симулациониот експеримент користи понепогодна од реалната распределба на веројатност, практичните несовпаѓања ќе бидат уште помали. Отстапувањата се забележани и во насока на намалување и во насока на надминување на вредноста добиена од просечните карактеристики. Овој факт сугерира дека ако го земеме предвид отстапувањето на веројатноста за извршување без неуспех на ниту еден технолошки процес, туку неколку, тогаш тоа ќе биде многу помалку. Очигледно, колку ќе биде помало, толку повеќе ќе се разгледуваат технолошките процеси. Така, симулациониот експеримент покажува добра согласност помеѓу веројатноста за изведување без неуспеси на технолошкиот процес на производство на производи со веројатноста добиена со помош на еднопараметарски математички модел.

Покрај тоа, беа спроведени симулациски експерименти:

Да се ​​проучува статистичката конвергенција на проценката на параметрите за распределба на веројатноста;

Да ја проучува статистичката стабилност на математичкото очекување на бројот на операции извршени без неуспеси;

Да се ​​анализираат методите за одредување на времетраењето на минималниот плански период и проценка на неусогласеноста помеѓу планираните и реалните показатели на производниот процес, доколку планираниот и производствениот период не се совпаѓаат временски.

Експериментите покажаа добра согласност помеѓу теоретските податоци добиени преку употреба на техники и емпириските податоци добиени со симулација на

Серијал „Економија и менаџмент“

Компјутер на реални производни процеси.

Врз основа на примената на конструираниот математички модел, авторот разви три специфични методи за подобрување на ефикасноста на оперативното управување. За нивно одобрување, беа спроведени посебни симулациски експерименти.

1. Методологија за определување на рационален обем на производната задача за планскиот период.

2. Методологија за определување на најефикасното времетраење на периодот на оперативно планирање.

3. Евалуација на неусогласеноста во случај на неусогласеност во времето помеѓу планираниот и производствениот период.

Литература

1. Мордасов Ју.П. Одредување на времетраење на минималниот период на оперативно планирање под дејство на случајни нарушувања / Економско-математичко и симулациско моделирање со помош на компјутери. - М: МИУ им. С. Орџоникиџе, 1984 година.

2. Naylor T. Експерименти со машинска симулација со модели на економски системи. -М: Мир, 1975 година.

Преминот од концентрација кон диверзификација е ефикасен начин за развој на економијата на малите и средни бизниси

проф. Козленко Н.Н. Универзитет за машинско инженерство

Прибелешка. Оваа статија го разгледува проблемот со изборот на најефективниот развој на руските мали и средни бизниси преку преминот од стратегија за концентрација во стратегија за диверзификација. Разгледани се прашањата за целисходноста на диверзификацијата, нејзините предности, критериумите за избор на патот на диверзификација, дадена е класификација на стратегии за диверзификација.

Клучни зборови: мали и средни бизниси; диверзификација; стратешко вклопување; конкурентни предности.

Активната промена на параметрите на макрото опкружување (промени во пазарните услови, појава на нови конкуренти во сродните индустрии, зголемување на нивото на конкуренција воопшто) често доведува до неисполнување на планираните стратешки планови на малите и средните -големи бизниси, губење на финансиската и економската стабилност на претпријатијата поради значителен јаз помеѓу објективните услови за активностите на малите бизниси.претпријатијата и нивото на технологија на нивното управување.

Главните услови за економска стабилност и можноста за одржување на конкурентските предности се способноста на системот за управување навремено да реагира и да ги промени внатрешните производни процеси (промена на асортиманот земајќи ја предвид диверзификацијата, обнова на производните и технолошките процеси, промена на структурата на организацијата, користете иновативни алатки за маркетинг и управување).

Студијата за практиката на руските мали и средни претпријатија од производен тип и услуга ги откри следните карактеристики и основни причинско-последични односи во врска со актуелен трендтранзиција на малите претпријатија од концентрација во диверзификација.

Повеќето мали и средни претпријатија започнуваат како мали бизниси кои одговараат на сите кои служат на локални или регионални пазари. На почетокот на својата дејност, асортиманот на производи на една ваква компанија е многу ограничен, нејзината капитална основа е слаба, а конкурентната позиција е ранлива. Вообичаено, стратегијата на таквите компании се фокусира на растот на продажбата и уделот на пазарот, како и

480 рубли. | 150 UAH | 7,5 $ ", Глувче, FGCOLOR, "#FFFFCC", BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Теза - 480 рубли, испорака 10 минути 24 часа на ден, седум дена во неделата и празници

Демидова Анастасија Вјачеславовна Метод за конструирање стохастички модели на процеси во еден чекор: дисертација ... Кандидат за физичко-математички науки: 05.13.18 / Демидова Анастасија Вјачеславовна; стр.

Вовед

Поглавје 1. Преглед на трудови на тема дисертација 14

1.1. Преглед на моделите за динамика на населението 14

1.2. Стохастички модели на популација 23

1.3. Стохастички диференцијални равенки 26

1.4. Информации за стохастичко сметање 32

Поглавје 2 Метод на моделирање на процес во еден чекор 39

2.1. Процеси во еден чекор. Колмогоров-Чепменова равенка. Основна кинетичка равенка 39

2.2. Метод за моделирање на повеќедимензионални едностепени процеси. 47

2.3. Нумеричка симулација 56

Поглавје 3 Примена на методот на моделирање на едностепени процеси 60

3.1. Стохастички модели на динамика на населението 60

3.2. Стохастички модели на популациони системи со различни меѓусебни и интраспецифични интеракции 75

3.3. Стохастички моделдистрибуција на мрежни црви. 92

3.4. Стохастички модели на peer-to-peer протоколи 97

Заклучок 113

Литература 116

Стохастички диференцијални равенки

Една од целите на дисертацијата е задачата да се напише стохастичка диференцијална равенка за систем, така што стохастичкиот поим е поврзан со структурата на системот што се проучува. Едно можно решение за овој проблем е да се добијат стохастичките и детерминистичките делови од истата равенка. За овие цели, погодно е да се користи основната кинетичка равенка, која може да се приближи со равенката Фокер-Планк, за која, пак, можете да напишете еквивалентна стохастичка диференцијална равенка во форма на равенката Лангевин.

Дел 1.4. ги содржи основните информации неопходни за означување на односот помеѓу стохастичката диференцијална равенка и Фокер-Планковата равенка, како и основните концепти за стохастичко сметање.

Второто поглавје дава основни информации од теоријата на случајни процеси и врз основа на оваа теорија е формулиран метод за моделирање на процеси во еден чекор.

Дел 2.1 дава основни информации од теоријата на случајни процеси во еден чекор.

Процесите во еден чекор се разбираат како Марков процеси со континуирано време, земајќи вредности во регионот на цели броеви, чија транзициона матрица дозволува само транзиции помеѓу соседните делови.

Сметаме повеќедимензионален процес во еден чекор Х() = (i(),2(), ...,n()) = ( j(), = 1, ) , (0.1) Є, каде е должината на временскиот интервал на кој е наведен процесот X(). Множеството G \u003d (x, \u003d 1, Є NQ x NQ1 е збир на дискретни вредности што може да ги преземе случаен процес.

За овој процес во еден чекор, воведени се веројатностите за премини по единица време s+ и s од состојба Xj во состојба Xj__i и Xj_i, соодветно. Во овој случај, се смета дека веројатноста за премин од состојба x на два или повеќе чекори по единица време е многу мала. Според тоа, можеме да кажеме дека векторот на состојбата Xj на системот се менува во чекори со должина Г( и потоа наместо премини од x во Xj+i и Xj_i, можеме да разгледаме транзиции од X во X + Гі и X - Гі, соодветно .

При моделирање на системи во кои временската еволуција се јавува како резултат на интеракцијата на системските елементи, погодно е да се опише со користење на главната кинетичка равенка (другото име е главната равенка, а во англиската литература се нарекува Главна равенка).

Следно, се поставува прашањето како да се добие опис на системот што се проучува, опишан со процеси во еден чекор, со помош на стохастичка диференцијална равенка во форма на равенката Ланжевина од основната кинетичка равенка. Формално, само равенките што содржат стохастички функции треба да се класифицираат како стохастички равенки. Така, само равенките Лангевин ја задоволуваат оваа дефиниција. Сепак, тие се директно поврзани со други равенки, имено Фокер-Планковата равенка и основната кинетичка равенка. Затоа, се чини логично да се разгледаат сите овие равенки заедно. Затоа, за да се реши овој проблем, се предлага да се приближи главната кинетичка равенка со Фокер-Планковата равенка, за која е можно да се напише еквивалентна стохастичка диференцијална равенка во форма на равенката Лангевин.

Делот 2.2 формулира метод за опишување и стохастичко моделирање на системи опишани со повеќедимензионални процеси во еден чекор.

Дополнително, покажано е дека коефициентите за Фокер-Планковата равенка може да се добијат веднаш по пишувањето за системот што се проучува шемата за интеракција, векторот на промена на состојбата r и изразите за веројатностите на транзиција s+ и s-, т.е. на практична применаСо овој метод, нема потреба да се запишува главната кинетичка равенка.

Дел 2.3. се разгледува методот Runge-Kutta за нумеричко решение на стохастички диференцијални равенки, кој се користи во третото поглавје за илустрација на добиените резултати.

Третото поглавје претставува илустрација за примената на методот на конструирање стохастички модели опишан во второто поглавје, користејќи го примерот на системи кои ја опишуваат динамиката на растот на популациите кои содејствуваат, како што се „предатор-плен“, симбиоза, конкуренција и нивни модификации. Целта е да се запишат како стохастички диференцијални равенки и да се истражи ефектот од воведувањето стохастика врз однесувањето на системот.

Во делот 3.1. примената на методот опишан во второто поглавје е илустрирана на примерот на моделот „предатор-плен“. Системите со интеракција на два типа популации од типот „предатор-плен“ се широко проучени, што овозможува да се споредат добиените резултати со веќе добро познатите.

Анализата на добиените равенки покажа дека за проучување на детерминистичкото однесување на системот може да се користи дрифт векторот А на добиената стохастичка диференцијална равенка, т.е. Развиениот метод може да се користи за да се анализира и стохастичкото и детерминистичкото однесување. Дополнително, беше заклучено дека стохастичките модели даваат пореален опис на однесувањето на системот. Конкретно, за системот „предатор-плен“ во детерминистичкиот случај, решенијата на равенките имаат периодична форма и фазниот волумен е зачуван, додека воведувањето на стохастиката во моделот дава монотоно зголемување на фазниот волумен, што укажува на неизбежна смрт на едната или двете популации. Со цел да се визуелизираат добиените резултати, спроведена е нумеричка симулација.

Дел 3.2. Развиениот метод се користи за добивање и анализа на различни стохастички модели на динамиката на популацијата, како што е моделот „предатор-плен“, земајќи ја предвид меѓуспецифичната конкуренција меѓу пленот, симбиозата, конкуренцијата и моделот на интеракција на три популации.

Информации за стохастичко сметање

Развојот на теоријата на случајни процеси доведе до транзиција во проучувањето на природните феномени од детерминистички претстави и модели на динамиката на населението кон веројатност и, како резултат на тоа, појавата на голем број дела посветени на стохастичко моделирање во математичката биологија. , хемија, економија итн.

Кога се разгледуваат детерминистичките модели на популација, како важни точки, како случајни влијанија на различни фактори врз еволуцијата на системот. Кога се опишува динамиката на населението, треба да се земе предвид случајната природа на репродукција и преживување на поединците, како и случајните флуктуации кои се случуваат во околината со текот на времето и водат до случајни флуктуации на параметрите на системот. Затоа, веројатните механизми кои ги одразуваат овие моменти треба да се воведат во секој модел на динамика на населението.

Стохастичкото моделирање овозможува поцелосен опис на промените во карактеристиките на населението, земајќи ги предвид и сите детерминистички фактори и случајните ефекти кои можат значително да ги променат заклучоците од детерминистичките модели. Од друга страна, тие можат да се користат за откривање на квалитативно нови аспекти на однесувањето на населението.

Стохастичките модели на промени во популациските состојби може да се опишат со употреба на случајни процеси. Според некои претпоставки, можеме да претпоставиме дека однесувањето на населението, со оглед на неговата сегашна состојба, не зависи од тоа како е постигната оваа состојба (т.е., со фиксна сегашност, иднината не зависи од минатото). Тоа. За моделирање на процесите на динамиката на населението, погодно е да се користат процесите на раѓање-смрт на Марков и соодветните контролни равенки, кои се детално опишани во вториот дел од трудот.

Н.Н. Калинкин во своите дела за да ги илустрира процесите што се случуваат во системите со елементи во интеракција користи шеми за интеракција и, врз основа на овие шеми, гради модели на овие системи користејќи го апаратот за разгранување. Марков процеси. Примената на овој пристап е илустрирана со примерот на процесите на моделирање во хемиски, популациски, телекомуникациски и други системи.

Во трудот се разгледуваат веројатностични модели на популација, за чија конструкција се користи апаратот на процесите на раѓање-смрт, а добиените системи на равенки со диференцијална разлика се динамични равенки за случајни процеси. Во трудот се разгледуваат и методите за изнаоѓање решенија за овие равенки.

Можете да најдете многу статии посветени на изградбата на стохастички модели кои земаат предвид различни фактори кои влијаат на динамиката на промените во бројот на популации. Така, на пример, во написите е изграден и анализиран модел на динамиката на бројот на биолошка заедница, во кој поединците консумираат прехранбени ресурси кои содржат штетни материи. И во моделот на еволуција на населението, написот го зема предвид факторот на населување на претставници на популации во нивните живеалишта. Моделот е систем на самоконзистентни равенки на Власов.

Вреди да се истакнат трудовите кои се посветени на теоријата на флуктуации и примената на стохастичките методи во природните наукикако што се физиката, хемијата, биологијата итн. Особено, математичкиот модел на промената на бројот на популации кои комуницираат според типот „предатор-плен“ се заснова на повеќедимензионални Марковови процеси раѓање-смрт.

Моделот „предатор-плен“ може да се смета како реализација на процесите на раѓање-смрт. Во ова толкување, тие можат да се користат за модели во многу области на науката. Во 1970-тите, М. Дои предложи метод за проучување на таквите модели заснован на оператори за создавање-уништување (по аналогија со втората квантизација). Овде можете да ја означите работата. Покрај тоа, овој метод сега активно се развива во групата на М. М. Гнатич.

Друг пристап за моделирање и проучување на моделите на динамиката на населението е поврзан со теоријата на оптимална контрола. Овде можете да ја означите работата.

Може да се забележи дека повеќето од работите посветени на изградбата на стохастички модели на процесите на популација користат апарат на случајни процеси за да се добијат равенки со диференцијални разлики и последователна нумеричка имплементација. Покрај тоа, стохастичките диференцијални равенки во формата Лангевин се широко користени, во кои стохастичкиот термин е додаден од општи размислувања за однесувањето на системот и е дизајниран да ги опише случајните ефекти животната средина. Понатамошно проучување на моделот е нивна квалитативна анализа или изнаоѓање решенија со помош на нумерички методи.

Стохастички диференцијални равенки Дефиниција 1. Стохастичка диференцијална равенка е диференцијална равенка во која еден или повеќе поими претставуваат стохастички процес. Најкористениот и добро познат пример за стохастичка диференцијална равенка (SDE) е равенка со термин што го опишува белиот шум и може да се гледа како процес на Винер Wt, t 0.

Стохастичките диференцијални равенки се важна и широко користена математичка алатка во проучувањето и моделирањето на динамичките системи кои се предмет на различни случајни пертурбации.

Почеток на стохастичкото моделирање на природните појави се смета за опис на феноменот на Брауново движење, кој го открил Р. Браун во 1827 година, кога го проучувал движењето на растителниот полен во течност. Првото ригорозно објаснување на овој феномен е независно дадено од А. Ајнштајн и М. Смолучовски. Вреди да се истакне збирката статии во кои се собрани делата на А. Ајнштајн и М. Смолучовски за Брауновото движење. Овие студии дадоа значаен придонес во развојот на теоријата на Брауновото движење и нејзината експериментална верификација. А. Ајнштајн создал молекуларна кинетичка теорија за квантитативниот опис на Брауновото движење. Добиените формули беа потврдени со експериментите на J. Perrin во 1908-1909 година.

Метод за моделирање на повеќедимензионални едностепени процеси.

За да се опише еволуцијата на системите со елементи во интеракција, постојат два пристапи - ова е конструкција на детерминистички или стохастични модели. За разлика од детерминистичките, стохастичките модели овозможуваат да се земе предвид веројатноста на процесите што се случуваат во системите што се проучуваат, како и ефектите на надворешното опкружување што предизвикуваат случајни флуктуации во параметрите на моделот.

Предмет на проучување се системи, процесите што се случуваат во кои може да се опишат со користење на процеси во еден чекор и оние во кои преминот од една во друга состојба е поврзан со интеракцијата на системските елементи. Пример се моделите кои ја опишуваат динамиката на раст на популациите кои комуницираат, како што се „предатор-плен“, симбиоза, конкуренција и нивните модификации. Целта е да се запише за ваквите системи SDE и да се истражи влијанието на воведувањето на стохастичкиот дел врз однесувањето на решението на равенката што го опишува детерминистичкото однесување.

Хемиска кинетика

Системите на равенки кои се појавуваат кога се опишуваат системи со елементи кои дејствуваат на многу начини се слични на системите на диференцијални равенки кои ја опишуваат кинетиката на хемиските реакции. Така, на пример, системот Лотка-Волтера првично бил заклучен од Лотка како систем кој опишува некоја хипотетичка хемиска реакција, а дури подоцна Волтера го заклучил како систем кој го опишува моделот „предатор-плен“.

Хемиската кинетика ги опишува хемиските реакции користејќи ги таканаречените стехиометриски равенки - равенки што ги рефлектираат квантитативните соодноси на реактантите и производите од хемиската реакција и го имаат следново општа форма: каде цели броеви ti и U се нарекуваат стехиометриски коефициенти. Ова е симболичен запис за хемиска реакција во која ti молекули на реагенсот Xi, ni2 молекули на реагенсот Xh, ..., tr молекули на реагенсот Xp, откако влегле во реакцијата, формираат u молекули на супстанцијата Yї, u молекули на супстанцијата I2, ..., nq молекули на супстанцијата Yq, соодветно .

Во хемиската кинетика, се верува дека хемиската реакција може да се случи само со директна интеракција на реагенси, а брзината на хемиската реакција се дефинира како број на честички формирани по единица време по единица волумен.

Главниот постулат хемиска кинетикае законот за масовно дејство, кој вели дека брзината на хемиската реакција е директно пропорционална со производот од концентрациите на реактантите во моќност на нивните стехиометриски коефициенти. Затоа, ако ги означиме со XI и y I концентрациите на соодветните супстанции, тогаш имаме равенка за брзината на промена на концентрацијата на која било супстанција со текот на времето како резултат на хемиска реакција:

Понатаму, се предлага да се користат основните идеи за хемиската кинетика за да се опишат системи чија еволуција во времето се јавува како резултат на интеракцијата на елементите на даден систем едни со други, правејќи ги следните главни промени: 1. не брзината на реакцијата се разгледуваат, но веројатностите за транзиција; 2. се предлага веројатноста за премин од една во друга состојба, која е резултат на интеракција, да е пропорционална на бројот на можни интеракции од овој тип; 3. За да се опише системот во овој метод, се користи главната кинетичка равенка; 4. детерминистичките равенки се заменуваат со стохастички. Сличен пристап кон описот на таквите системи може да се најде во делата. За да се опишат процесите што се случуваат во симулираниот систем, тој треба да користи, како што е наведено погоре, Марков процеси во еден чекор.

Размислете за систем кој се состои од типови на различни елементи кои можат да комуницираат едни со други на различни начини. Означете со елемент од -тиот тип, каде што = 1, и со - бројот на елементи од -тиот тип.

Нека (), .

Да претпоставиме дека датотеката се состои од еден дел. Така, во еден чекор од интеракцијата помеѓу новиот јазол што сака да ја преземе датотеката и јазолот што ја дистрибуира датотеката, новиот јазол ја презема целата датотека и станува дистрибутивен јазол.

Let е ознаката на новиот јазол, е дистрибутивен јазол и е коефициентот на интеракција. Новите јазли можат да влезат во системот со интензитет, а дистрибутивните јазли може да го напуштат со интензитет. Тогаш шемата за интеракција и векторот r ќе изгледаат вака:

Стохастичка диференцијална равенка во формата Лангевин може да се добие 100 користејќи ја соодветната формула (1.15). Бидејќи векторот дрифт А целосно го опишува детерминистичкото однесување на системот, можете да добиете систем на обични диференцијални равенки кои ја опишуваат динамиката на бројот на нови клиенти и семиња:

Така, во зависност од изборот на параметри единствена точкаможе да биде од различна природа. Така, за /3A 4/I2, единствената точка е стабилен фокус, а за инверзната релација, таа е стабилен јазол. Во двата случаи, единствената точка е стабилна, бидејќи при изборот на вредностите на коефициентите, промените во системските променливи може да се појават по една од двете траектории. Ако единствената точка е фокус, тогаш во системот се јавуваат пригушени осцилации во бројот на нови и дистрибутивни јазли (види Сл. 3.12). И во нодалниот случај, приближувањето на броевите до стационарни вредности се случува во режим без вибрации (види Сл. 3.13). Фазните портрети на системот за секој од двата случаи се прикажани, соодветно, на графиконите (3.14) и (3.15).