Na co dzień. Szeregi Fouriera: historia i wpływ mechanizmu matematycznego na rozwój nauki Składowa stała e szeregu Fouriera jest równa

Szereg Fouriera jest reprezentacją arbitralnie przyjętej funkcji z określonym okresem jako szereg. W ogólna perspektywa to rozwiązanie nazywa się dekompozycją elementu w bazie ortogonalnej. Rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera jest dość potężnym narzędziem do rozwiązywania różnych problemów ze względu na właściwości tej transformacji podczas całkowania, różniczkowania, a także przesuwania wyrażenia w argumencie i splotu.

Osoba, która nie jest zaznajomiona z wyższą matematyką, a także z pracami francuskiego naukowca Fouriera, najprawdopodobniej nie zrozumie, czym są te „serie” i do czego służą. Tymczasem ta transformacja stała się dość gęsta w naszym życiu. Używają go nie tylko matematycy, ale także fizycy, chemicy, lekarze, astronomowie, sejsmolodzy, oceanografowie i wielu innych. Przyjrzyjmy się też bliżej pracom wielkiego francuskiego naukowca, który dokonał odkrycia wyprzedzając swoje czasy.

Człowiek i transformacja Fouriera

Jedną z metod jest szereg Fouriera (obok analizy i innych). Proces ten zachodzi za każdym razem, gdy człowiek słyszy jakikolwiek dźwięk. Nasze ucho automatycznie przekształca cząstki elementarne w elastyczny ośrodek, rozkładają się one na rzędy (wzdłuż widma) kolejnych wartości poziomu głośności dla tonów o różnej wysokości. Następnie mózg zamienia te dane w znajome nam dźwięki. Wszystko to dzieje się oprócz naszego pragnienia lub świadomości samo w sobie, ale aby zrozumieć te procesy, nauka wyższej matematyki zajmie kilka lat.

Więcej o transformacji Fouriera

Przekształcenie Fouriera można przeprowadzić metodami analitycznymi, numerycznymi i innymi. Seria Fouriera odnosi się do liczbowego sposobu rozkładu dowolnych procesów oscylacyjnych - od pływów oceanicznych i fal świetlnych po cykle aktywności Słońca (i innych obiektów astronomicznych). Korzystając z tych technik matematycznych, możliwe jest analizowanie funkcji, reprezentujących dowolne procesy oscylacyjne jako szereg składowych sinusoidalnych, które przechodzą od minimum do maksimum i odwrotnie. Transformata Fouriera to funkcja opisująca fazę i amplitudę sinusoid odpowiadających określonej częstotliwości. Ten proces może być użyty do rozwiązania bardzo złożone równania, które opisują procesy dynamiczne powstające pod działaniem energii cieplnej, świetlnej lub elektrycznej. Również seria Fouriera umożliwia izolację stałych składowych w złożonych sygnałach oscylacyjnych, co umożliwiło prawidłową interpretację uzyskanych obserwacji eksperymentalnych w medycynie, chemii i astronomii.

Odniesienie do historii

Ojcem założycielem tej teorii jest francuski matematyk Jean Baptiste Joseph Fourier. Ta przemiana została później nazwana jego imieniem. Początkowo naukowiec zastosował swoją metodę do zbadania i wyjaśnienia mechanizmów przewodzenia ciepła - rozprzestrzeniania się ciepła w ciała stałe. Fourier zasugerował, że pierwotny nieregularny rozkład można rozłożyć na najprostsze sinusoidy, z których każda będzie miała własne minimum i maksimum temperatury, a także własną fazę. W takim przypadku każdy taki składnik będzie mierzony od minimum do maksimum i odwrotnie. Funkcja matematyczna opisująca górne i dolne piki krzywej, jak również fazę każdej z harmonicznych, nazywana jest transformatą Fouriera wyrażenia rozkładu temperatury. Autor teorii zredukował ogólną funkcję dystrybucji, która jest trudna do opis matematyczny, do bardzo wygodnej serii cosinusa i sinusa, sumując się do oryginalnego rozkładu.

Zasada transformacji i poglądy współczesnych

Współcześni naukowcowi - czołowi matematycy początku XIX wieku - nie akceptowali tej teorii. Głównym zarzutem było twierdzenie Fouriera, że ​​funkcję nieciągłą opisującą linię prostą lub krzywą nieciągłą można przedstawić jako sumę wyrażeń sinusoidalnych, które są ciągłe. Jako przykład rozważmy „krok” Heaviside'a: jego wartość to zero na lewo od luki i jeden na prawo. Funkcja ta opisuje zależność prądu elektrycznego od zmiennej czasowej, gdy obwód jest zamknięty. Współcześni teorii w tamtym czasie nigdy nie spotkali się z taką sytuacją, w której wyrażenie nieciągłe byłoby opisane kombinacją ciągłych, zwyczajnych funkcji, takich jak wykładnicza, sinusoidalna, liniowa czy kwadratowa.

Co zdezorientowało francuskich matematyków w teorii Fouriera?

W końcu, jeśli matematyk miał rację w swoich twierdzeniach, to sumując nieskończone szeregi trygonometryczne Fouriera, można otrzymać dokładne odwzorowanie wyrażenia krokowego, nawet jeśli ma ono wiele podobnych kroków. Na początku XIX wieku takie stwierdzenie wydawało się absurdalne. Jednak pomimo wszystkich wątpliwości, wielu matematyków rozszerzyło zakres badań tego zjawiska, wyprowadzając je poza zakres badań przewodnictwa cieplnego. Jednak większość naukowców nadal dręczyło pytanie: „Czy suma szeregu sinusoidalnego jest zbieżna z dokładną wartością funkcji nieciągłej?”

Zbieżność szeregu Fouriera: przykład

Kwestia zbieżności jest podnoszona, ilekroć trzeba zsumować nieskończone szeregi liczb. Aby zrozumieć to zjawisko, rozważ klasyczny przykład. Czy zdołasz kiedykolwiek dotrzeć do ściany, jeśli każdy kolejny krok jest o połowę mniejszy od poprzedniego? Załóżmy, że jesteś dwa metry od bramki, pierwszy krok przybliża cię do połowy, następny do trzech czwartych, a po piątym kroku pokonasz prawie 97 procent drogi. Jednak bez względu na to, ile kroków podejmiesz, nie osiągniesz zamierzonego celu w ścisłym matematycznym sensie. Korzystając z obliczeń numerycznych można wykazać, że w końcu można zbliżyć się do dowolnie małej zadanej odległości. Ten dowód jest równoznaczny z wykazaniem, że całkowita wartość połowy, jednej czwartej itd. będzie dążyć do jednego.

Kwestia zbieżności: drugie przyjście, czyli aparat Lorda Kelvina

Pytanie to pojawiło się ponownie pod koniec XIX wieku, kiedy próbowano wykorzystać szeregi Fouriera do przewidywania intensywności przypływów i odpływów. W tym czasie Lord Kelvin wynalazł urządzenie, które jest analogowym urządzeniem komputerowym, które umożliwiało marynarzom floty wojskowej i handlowej śledzenie tego naturalnego zjawiska. Mechanizm ten określał zestawy faz i amplitud na podstawie tabeli wysokości pływów i odpowiadających im momentów czasowych, dokładnie mierzonych w danym porcie w ciągu roku. Każdy parametr był sinusoidalną składową wyrażenia wysokości pływu i był jedną z regularnych składowych. Wyniki pomiarów zostały wprowadzone do kalkulatora Lorda Kelvina, który zsyntetyzował krzywą, która przewidywała wysokość wody w funkcji czasu na następny rok. Wkrótce podobne krzywe zostały narysowane dla wszystkich portów świata.

A jeśli proces zostanie przerwany przez nieciągłą funkcję?

W tamtym czasie wydawało się oczywiste, że predyktor fal pływowych z dużą liczbą elementów liczących może obliczyć dużą liczbę faz i amplitud, a tym samym zapewnić dokładniejsze przewidywania. Okazało się jednak, że prawidłowości tej nie obserwuje się w tych przypadkach, gdy syntetyzowana ekspresja pływowa zawierała ostry skok, to znaczy była nieciągła. W przypadku wprowadzenia do urządzenia danych z tabeli momentów czasowych, obliczane jest kilka współczynników Fouriera. Pierwotna funkcja zostaje przywrócona dzięki składowym sinusoidalnym (zgodnie z ustalonymi współczynnikami). Rozbieżność między oryginalną i przywróconą ekspresją można zmierzyć w dowolnym momencie. Przeprowadzając powtarzające się obliczenia i porównania można zauważyć, że wartość największy błąd nie zmniejsza się. Są one jednak zlokalizowane w regionie odpowiadającym punktowi nieciągłości i dążą do zera w każdym innym punkcie. W 1899 r. wynik ten został teoretycznie potwierdzony przez Joshua Willard Gibbs z Yale University.

Zbieżność szeregu Fouriera i ogólny rozwój matematyki

Analiza Fouriera nie ma zastosowania do wyrażeń zawierających nieskończoną liczbę impulsów w określonym przedziale. Ogólnie szereg Fouriera, jeśli funkcja pierwotna jest reprezentowana przez wynik liczby rzeczywistej wymiar fizyczny, zawsze zbiegają się. Kwestie zbieżności tego procesu dla określonych klas funkcji doprowadziły do ​​pojawienia się nowych działów w matematyce, na przykład teorii funkcji uogólnionych. Związany jest z takimi nazwiskami jak L. Schwartz, J. Mikusinsky i J. Temple. W ramach tej teorii jasne i precyzyjne: podłoże teoretyczne pod takimi wyrażeniami jak funkcja delta Diraca (opisuje obszar pojedynczego obszaru skoncentrowanego w nieskończenie małym sąsiedztwie punktu) i „krok” Heaviside'a. Dzięki tej pracy szereg Fouriera znalazł zastosowanie do rozwiązywania równań i problemów, w których pojawiają się intuicyjne pojęcia: ładunek punktowy, masa punktowa, dipole magnetyczne, a także obciążenie skupione na wiązce.

Metoda Fouriera

Szeregi Fouriera, zgodnie z zasadami interferencji, rozpoczynają się od rozkładu form złożonych na formy prostsze. Na przykład zmianę przepływu ciepła tłumaczy się jego przejściem przez różne przeszkody wykonane z materiału termoizolacyjnego o nieregularnym kształcie lub zmianą powierzchni ziemi - trzęsieniem ziemi, zmianą orbity ciało niebieskie- wpływ planet. Z reguły podobne równania opisujące proste klasyczne układy są rozwiązywane elementarnie dla każdej pojedynczej fali. Fourier pokazał, że proste rozwiązania można również podsumować w celu uzyskania rozwiązań bardziej złożonych problemów. Wyrażona w języku matematyki seria Fouriera jest techniką przedstawiania wyrażenia jako sumy harmonicznych - cosinusów i sinusoid. Dlatego ta analiza znany również jako „analiza harmoniczna”.

Seria Fouriera - idealna technika przed "erą komputerów"

Przed stworzeniem technologii komputerowej technika Fouriera była najlepszą bronią w arsenale naukowców podczas pracy z falową naturą naszego świata. Szereg Fouriera w postaci złożonej pozwala rozwiązywać nie tylko proste problemy, które można bezpośrednio zastosować do praw mechaniki Newtona, ale także równania podstawowe. Większość odkryć nauki Newtona w XIX wieku była możliwa tylko dzięki technice Fouriera.

Seria Fouriera dzisiaj

Wraz z rozwojem komputerów transformaty Fouriera wzniosły się na jakościowo nowy poziom. Ta technika jest mocno zakorzeniona w prawie wszystkich dziedzinach nauki i technologii. Przykładem jest cyfrowy sygnał audio i wideo. Jego realizacja stała się możliwa tylko dzięki teorii opracowanej przez francuskiego matematyka na początku XIX wieku. W ten sposób szereg Fouriera w złożonej formie umożliwił dokonanie przełomu w badaniu przestrzeni kosmicznej. Ponadto wpłynęło to na badania fizyki materiałów półprzewodnikowych i plazmy, akustyki mikrofalowej, oceanografii, radaru i sejsmologii.

Trygonometryczne szeregi Fouriera

W matematyce szereg Fouriera jest sposobem przedstawiania arbitralnego złożone funkcje suma prostszych. W ogólnych przypadkach liczba takich wyrażeń może być nieskończona. Co więcej, im bardziej ich liczba zostanie uwzględniona w obliczeniach, tym dokładniejszy jest wynik końcowy. Najczęściej jako najprostsze używa się funkcji trygonometrycznych cosinusa lub sinusa. W tym przypadku szeregi Fouriera nazywamy trygonometrycznymi, a rozwiązanie takich wyrażeń nazywamy rozwinięciem harmonicznej. Ta metoda gra ważna rola w matematyce. Przede wszystkim szereg trygonometryczny dostarcza środków do obrazu, a także badania funkcji, jest głównym aparatem teorii. Ponadto pozwala rozwiązać szereg problemów fizyki matematycznej. Wreszcie ta teoria przyczyniła się do rozwoju, który został powołany do życia cała linia bardzo ważne działy nauk matematycznych (teoria całek, teoria funkcji okresowych). Ponadto stanowiła punkt wyjścia do rozwoju następujących funkcji zmiennej rzeczywistej, a także wyznaczała początek analizy harmonicznej.

Szereg Fouriera funkcji okresowych z okresem 2π.

Seria Fouriera pozwala na badanie funkcji okresowych poprzez rozkład ich na składowe. Prądy i napięcia przemienne, przemieszczenia, prędkość i przyspieszenie mechanizmów korbowych oraz fale akustyczne są typowymi praktycznymi przykładami zastosowania funkcji okresowych w obliczeniach inżynierskich.

Rozwinięcie szeregu Fouriera opiera się na założeniu, że wszystkie funkcje o znaczeniu praktycznym w przedziale -π ≤ x ≤ π można wyrazić jako zbieżny szereg trygonometryczny (szereg uważa się za zbieżny, jeśli ciąg sum cząstkowych składających się z jego członków jest zbieżny) :

Standardowa (=zwykła) notacja poprzez sumę sinx i cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

gdzie a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. są rzeczywistymi stałymi, tj.

Gdzie dla zakresu od -π do π współczynniki szeregu Fouriera oblicza się ze wzorów:

Współczynniki a o ,a n i b n nazywamy Współczynniki Fouriera, a jeśli można je znaleźć, to seria (1) nazywa się w pobliżu Fouriera, odpowiadające funkcji f(x). Dla szeregu (1) termin (a 1 cosx+b 1 sinx) nazywa się pierwszym lub harmonijka główna,

Innym sposobem napisania serii jest użycie relacji acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Gdzie a o jest stałą, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 to amplitudy różnych składników i jest równe a n \ u003d arctg za n /b n.

Dla szeregu (1) termin (a 1 cosx + b 1 sinx) lub c 1 sin (x + α 1) nazywa się pierwszym lub harmonijka główna,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) lub c 2 sin(2x+α 2) nazywamy druga harmoniczna i tak dalej.

Aby dokładnie przedstawić złożony sygnał, zwykle wymagana jest nieskończona liczba terminów. Jednak w wielu praktycznych problemach wystarczy wziąć pod uwagę tylko kilka pierwszych pojęć.

Szeregi Fouriera funkcji nieokresowych z okresem 2π.

Rozwinięcie funkcji nieokresowych w szereg Fouriera.

Jeżeli funkcja f(x) jest nieokresowa, to nie można jej rozwinąć w szereg Fouriera dla wszystkich wartości x. Jednak możliwe jest zdefiniowanie szeregu Fouriera reprezentującego funkcję w dowolnym zakresie szerokości 2π.

Mając funkcję nieokresową, można skomponować nową funkcję, wybierając wartości f(x) w pewnym zakresie i powtarzając je poza tym zakresem w odstępach 2π. Ponieważ nowa funkcja jest okresowa z okresem 2π, może być rozszerzona w szereg Fouriera dla wszystkich wartości x. Na przykład funkcja f(x)=x nie jest okresowa. Jeśli jednak konieczne jest rozwinięcie go w szereg Fouriera na przedziale od 0 do 2π, to funkcja okresowa o okresie 2π jest konstruowana poza tym przedziałem (jak pokazano na rysunku poniżej).

Dla funkcji nieokresowych, takich jak f(x)=x, suma Szeregi Fouriera jest równe wartości f(x) we wszystkich punktach z określonego zakresu, ale nie jest równe f(x) dla punktów spoza tego zakresu. Aby znaleźć szereg Fouriera funkcji nieokresowej w zakresie 2π, stosuje się ten sam wzór na współczynniki Fouriera.

Funkcje parzyste i nieparzyste.

Mówią, że funkcja y=f(x) nawet jeśli f(-x)=f(x) dla wszystkich wartości x. Wykresy funkcji parzystych są zawsze symetryczne względem osi y (czyli są lustrzane). Dwa przykłady funkcji parzystych: y=x 2 i y=cosx.

Mówią, że funkcja y=f(x) dziwne, jeśli f(-x)=-f(x) dla wszystkich wartości x. Wykresy funkcji nieparzystych są zawsze symetryczne względem początku.

Wiele funkcji nie jest ani parzystych, ani nieparzystych.

Rozszerzenie szeregu Fouriera w cosinusach.

Szereg Fouriera parzystej funkcji okresowej f(x) z okresem 2π zawiera tylko wyrazy cosinusowe (tj. nie zawiera wyrazów sinusowych) i może zawierać wyraz stały. W konsekwencji,

gdzie są współczynniki szeregu Fouriera,

Szereg Fouriera nieparzystej funkcji okresowej f(x) o okresie 2π zawiera tylko wyrazy z sinusami (tzn. nie zawiera wyrazów z cosinusami).

W konsekwencji,

gdzie są współczynniki szeregu Fouriera,

Szeregi Fouriera na półcyklu.

Jeśli funkcja jest zdefiniowana dla zakresu, powiedzmy od 0 do π, a nie tylko od 0 do 2π, można ją rozszerzyć w szereg tylko pod względem sinusów lub tylko pod względem cosinusów. Powstały szereg Fouriera nazywa się w pobliżu Fouriera na pół cyklu.

Jeśli chcesz uzyskać rozkład Fouriera na półcyklu w cosinusach funkcji f(x) w zakresie od 0 do π, to konieczne jest złożenie parzystej funkcji okresowej. Na ryc. poniżej funkcja f(x)=x zbudowana na przedziale od x=0 do x=π. Ponieważ funkcja parzysta jest symetryczna względem osi f(x), rysujemy linię AB, jak pokazano na rys. poniżej. Jeżeli założymy, że poza rozpatrywanym przedziałem otrzymany trójkątny kształt jest okresowy o okresie 2π, to końcowy wykres ma postać display. na ryc. poniżej. Ponieważ wymagane jest otrzymanie rozwinięcia Fouriera w cosinusach, jak poprzednio, obliczamy współczynniki Fouriera a o i n

Jeśli chcesz otrzymać funkcje f (x) w zakresie od 0 do π, musisz skomponować nieparzystą funkcję okresową. Na ryc. poniżej funkcja f(x)=x zbudowana na przedziale od x=0 do x=π. Ponieważ funkcja nieparzysta jest symetryczna względem początku, konstruujemy linię CD, jak pokazano na rys. Jeżeli założymy, że poza rozpatrywanym przedziałem odbierany sygnał piłokształtny jest okresowy o okresie 2π, to końcowy wykres ma postać pokazaną na rys. Ponieważ wymagane jest otrzymanie rozwinięcia Fouriera na półcyklu w postaci sinusów, tak jak poprzednio, obliczamy współczynnik Fouriera. b

Szeregi Fouriera dla dowolnego przedziału.

Rozwinięcie funkcji okresowej o okres L.

Funkcja okresowa f(x) powtarza się, gdy x rośnie o L, tj. f(x+L)=f(x). Przejście z poprzednio rozważanych funkcji o okresie 2π do funkcji o okresie L jest dość proste, ponieważ można to zrobić za pomocą zmiany zmiennej.

Aby znaleźć szereg Fouriera funkcji f(x) w zakresie -L/2≤x≤L/2, wprowadzamy nową zmienną u tak, aby funkcja f(x) miała okres 2π względem u. Jeśli u=2πx/L, to x=-L/2 dla u=-π i x=L/2 dla u=π. Niech także f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Szereg Fouriera F(u) ma postać

Gdzie są współczynniki szeregu Fouriera,

Częściej jednak powyższy wzór prowadzi do zależności od x. Ponieważ u=2πх/L, to du=(2π/L)dx, a granice całkowania wynoszą od -L/2 do L/2 zamiast od -π do π. Dlatego szereg Fouriera dla zależności od x ma postać

gdzie w zakresie od -L/2 do L/2 znajdują się współczynniki szeregu Fouriera,

(Granice całkowania można zastąpić dowolnym przedziałem długości L, na przykład od 0 do L)

Szeregi Fouriera na półcyklu dla funkcji podanych w przedziale L≠2π.

Dla podstawienia u=πx/L przedział od x=0 do x=L odpowiada przedziałowi od u=0 do u=π. W związku z tym funkcja może być rozszerzona na szereg tylko pod względem cosinusów lub tylko pod względem sinusów, tj. w Szeregi Fouriera na pół cyklu.

Rozszerzenie w cosinusach w zakresie od 0 do L ma postać

Funkcja zdefiniowana dla wszystkich wartości x nazywa czasopismo, jeśli jest taka liczba T (T≠ 0), że za każdą wartość x równość f(x + T) = f(x). Numer T w tym przypadku jest to okres funkcji.

Własności funkcji okresowych:

1) Suma, różnica, iloczyn i iloraz funkcji okresowych T jest funkcją okresową okresu T.

2) Jeśli funkcja f(x) ma okres T, to funkcja faks) ma okres

Rzeczywiście, za każdym argumentem X:

(pomnożenie argumentu przez liczbę oznacza ściśnięcie lub rozciągnięcie wykresu tej funkcji wzdłuż osi OH)

Na przykład funkcja ma okres , okres funkcji to

3) Jeśli f(x) okresowa funkcja okresowa T, to dowolne dwie całki tej funkcji są równe, pobrane na przedziale długości T(zakłada się, że całki te istnieją).

Szereg Fouriera dla funkcji o okresie T= .

Seria trygonometryczna to seria o postaci:

lub w skrócie

Gdzie , , , , , … , , , … są liczbami rzeczywistymi, zwanymi współczynnikami szeregu.

Każdy wyraz szeregu trygonometrycznego jest funkcją okresową okresu (ponieważ - ma dowolną

okres, a okres () to , a zatem ). Każdy termin (), z n= 1,2,3… jest analitycznym wyrażeniem prostej oscylacji harmonicznej , gdzie A- amplituda,

faza początkowa. Biorąc powyższe pod uwagę, otrzymujemy: jeżeli szereg trygonometryczny zbiega się na odcinku długości okresu, to zbiega się na całej osi liczbowej, a jego suma jest funkcją okresową okresu.

Niech szereg trygonometryczny zbiega się równomiernie na odcinku (a zatem na dowolnym odcinku), a jego suma jest równa . Aby określić współczynniki tej serii, używamy następujących równości:

Używamy również następujących właściwości.

1) Jak wiadomo, suma szeregu złożonego z funkcji ciągłych jednostajnie zbieżnych na pewnym odcinku sama jest funkcją ciągłą na tym odcinku. Biorąc to pod uwagę, otrzymujemy, że suma szeregu trygonometrycznego jednostajnie zbieżnego na odcinku jest funkcją ciągłą na całej osi rzeczywistej.

2) Zbieżność jednostajna szeregu na odcinku nie zostanie naruszona, jeśli wszystkie wyrazy szeregu zostaną pomnożone przez funkcję ciągłą na tym odcinku.

W szczególności jednostajna zbieżność na odcinku danego szeregu trygonometrycznego nie zostanie naruszona, jeśli wszystkie elementy szeregu zostaną pomnożone przez lub przez .

Według warunku

W wyniku całkowania wyrażeń szeregów jednostajnie zbieżnych (4.2) i uwzględnienia powyższych równości (4.1) (ortogonalność funkcji trygonometrycznych) otrzymujemy:

Dlatego współczynnik

Mnożąc równość (4.2) przez , całkując tę ​​równość w przedziale od do i uwzględniając powyższe wyrażenia (4.1) otrzymujemy:

Dlatego współczynnik

Podobnie mnożąc równość (4.2) przez i całkując ją w granicach od do , uwzględniając równości (4.1) otrzymujemy:

Dlatego współczynnik

W ten sposób otrzymujemy następujące wyrażenia dla współczynników szeregu Fouriera:

Kryteria dostateczne rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera. Przypomnij sobie, że punkt x o przerwanie funkcji f(x) nazywamy punktem nieciągłości pierwszego rodzaju, jeśli istnieją skończone granice po prawej i lewej stronie funkcji f(x) w sąsiedztwie punktu.

Limit po prawej stronie

Limit lewy.

Twierdzenie (Dirichleta). Jeśli funkcja f(x) ma okres i jest ciągły na odcinku lub ma skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, a dodatkowo odcinek można podzielić na skończoną liczbę odcinków tak, aby wewnątrz każdego z nich f(x) jest monotoniczny, to szereg Fouriera dla funkcji f(x) zbiega dla wszystkich wartości x. Ponadto w punktach ciągłości funkcji f(x) jego suma to f(x), oraz w punktach nieciągłości funkcji f(x) jego suma to , tj. średnia arytmetyczna wartości granicznych po lewej i prawej stronie. Ponadto seria Fouriera dla funkcji f(x) zbiega się jednostajnie na dowolnym odcinku, który wraz z jego końcami należy do przedziału ciągłości funkcji f(x).

Przykład: rozszerzyć funkcję w szereg Fouriera

Spełniający warunek.

Rozwiązanie. Funkcjonować f(x) spełnia warunki rozwinięcia Fouriera, więc możemy napisać:

Zgodnie ze wzorami (4.3) można otrzymać następujące wartości współczynników szeregu Fouriera:

Przy obliczaniu współczynników szeregu Fouriera zastosowano formułę „całkowanie przez części”.

I dlatego

Szeregi Fouriera dla funkcji parzystych i nieparzystych o okresie T = .

Używamy następującej własności całki nad symetrycznym względem x=0 Zakres:

Jeśli f(x)- funkcja nieparzysta,

jeśli f(x) jest funkcją parzystą.

Zauważ, że iloczyn dwóch parzystych lub dwóch nieparzystych funkcji jest funkcją parzystą, a iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją nieparzystą. Niech teraz f(x)- nawet funkcja okresowa z okresem , który spełnia warunki rozwinięcia w szereg Fouriera. Następnie korzystając z powyższej własności całek otrzymujemy:

Zatem szereg Fouriera dla funkcji parzystej zawiera tylko funkcje parzyste - cosinusy i jest zapisany w następujący sposób:

i współczynniki b = 0.

Argumentując podobnie, otrzymamy to, jeśli f(x) - nieparzystej funkcji okresowej, która spełnia warunki rozwinięcia w szereg Fouriera, zatem szereg Fouriera dla funkcji nieparzystej zawiera tylko funkcje nieparzyste - sinusy i jest zapisany w następujący sposób:

w którym an=0 w n=0, 1,…

Przykład: rozwiń w szereg Fouriera funkcję okresową

Ponieważ podana funkcja nieparzysta f(x) spełnia warunki ekspansji Fouriera, to

lub, co jest tym samym,

A seria Fouriera dla tej funkcji f(x) można napisać tak:

Szeregi Fouriera dla funkcji dowolnego okresu T=2 ja.

Wynajmować f(x)- funkcja okresowa dowolnego okresu T=2l(ja- półokresu), odcinkowo-gładkie lub odcinkowo-monotoniczne na interwale [ -ll]. Zarozumiały x=w, zdobądź funkcję tłuszcz) argument t, którego okres jest . Wybierzmy a tak, że okres funkcji tłuszcz) był równy , tj. T = 2l

Rozwiązanie. Funkcjonować f(x)- nieparzyste, spełniające warunki rozwinięcia w szereg Fouriera, zatem na podstawie wzorów (4.12) i (4.13) mamy:

(przy obliczaniu całki zastosowano wzór „całkowanie przez części”).

Szereg Fouriera rozwinięcie funkcji parzystych i nieparzystych rozwinięcie funkcji podanej na odcinku w szereg w postaci sinusów lub cosinusów Szereg Fouriera dla funkcji z dowolnym okresem Złożona reprezentacja szeregu Fouriera Szereg Fouriera w ogólnych ortogonalnych układach funkcji Szereg Fouriera w układzie ortogonalnym Minimalna własność współczynników Fouriera Nierówność Bessela Równość Parseval Układy zamknięte Kompletność i zamknięcie układów

Rozwinięcie funkcji parzystych i nieparzystych w szereg Fouriera Funkcja f(x), zdefiniowana na odcinku \-1, gdzie I > 0, jest wywoływana, nawet jeśli wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi y. Funkcja f(x) zdefiniowana na odcinku J, gdzie I > 0, nazywana jest nieparzystą, jeśli wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku. Przykład. a) Funkcja jest parzysta na odcinku |-jt, jt), ponieważ dla wszystkich x e b) Funkcja jest nieparzysta, ponieważ rozwinięcie funkcji parzystych i nieparzystych w szereg Fouriera jest rozwinięciem funkcji podanej na tym odcinku w szeregu sinusy lub cosinusy Szereg Fouriera dla funkcji z dowolnym okresem Złożona notacja szeregu Fouriera Szereg Fouriera w ogólnych ortogonalnych układach funkcji Szereg Fouriera w układzie ortogonalnym Minimalna własność współczynników Fouriera Nierówność Bessela Równość Parsevala Układy zamknięte Kompletność i domkliwość układów c) Funkcja f(x)=x2-x, gdzie nie należy ani do parzystych, ani nieparzystych funkcji, ponieważ Niech funkcja f(x) spełniająca warunki Twierdzenia 1 będzie parzysta na odcinku x|. Wtedy dla wszystkich tj. /(g) cos nx jest funkcją parzystą, a f(x)sinnx jest funkcją nieparzystą. Zatem współczynniki Fouriera funkcji parzystej /(x) będą równe.W związku z tym szereg Fouriera funkcji parzystej ma postać f(x) sin nx jest funkcją parzystą. Zatem będziemy mieli Tak więc szereg Fouriera funkcji nieparzystej ma postać Mamy Stosując całkowanie przez części dwukrotnie, otrzymujemy to Stąd szereg Fouriera tej funkcji wygląda tak: lub w rozwiniętej formie Ta równość jest ważna dla dowolnego x €, ponieważ w punktach x = ±ir suma szereg pokrywa się z wartościami funkcji f(x ) = x2, ponieważ wykresy funkcji f(x) = x i sumy otrzymanego szeregu podano na ryc. Komentarz. Ta seria Fouriera pozwala znaleźć sumę jednego ze zbieżnych szeregów liczbowych, a mianowicie dla x \u003d 0 otrzymujemy to Funkcja /(x) spełnia warunki Twierdzenia 1, dlatego może być rozszerzona na szereg Fouriera, który ze względu na nieparzystość tej funkcji będzie miał postać Całkując przez części, znajdujemy współczynniki Fouriera. szereg tej funkcji ma postać Ta równość obowiązuje dla wszystkich x В punktów x - ±tg suma szeregu Fouriera nie pokrywa się z wartościami funkcji / (x) = x, ponieważ jest równa Poza odcinek [- *, n-] suma szeregu jest okresową kontynuacją funkcji / (x) \u003d x; jego wykres pokazano na ryc. 6. § 6. Rozwinięcie funkcji podanej na przedziale w szereg w postaci sinusów lub cosinusów Niech na przedziale będzie dana ograniczona odcinkowo funkcja monotoniczna. Wartości tej funkcji w przedziale 0| można definiować na różne sposoby. Na przykład możliwe jest zdefiniowanie funkcji /na segmencie mc] w taki sposób, że /. W tym przypadku mówi się, że) „rozszerza się do segmentu 0] w równy sposób”; jego szereg Fouriera będzie zawierał tylko cosinusy. Jeśli jednak funkcja /(x) jest zdefiniowana na odcinku [-x, mc] tak, że /(, to otrzymujemy funkcję nieparzystą, a następnie mówimy, że / "rozszerza się na odcinek [-*, 0 ] w dziwny sposób"; w tym przypadku szereg Fouriera będzie zawierał tylko sinusy. Tak więc każda ograniczona funkcja odcinkowo-monotoniczna /(x), zdefiniowana na odcinku , może zostać rozszerzona do szeregu Fouriera zarówno pod względem sinusy i cosinusy.Przykład 1. Rozwiń funkcję w szeregu Fouriera: a) o cosinusy; b) wzdłuż sinusów. M Ta funkcja, z jej parzystymi i nieparzystymi rozszerzeniami segmentu |-x, 0) będzie ograniczona i odcinkowo monotoniczna. a) kontynuujemy / (z) do odcinka 0) a) kontynuujemy j \ x) do odcinka (-m, 0 | w sposób parzysty (rys. 7), wtedy jego szereg Fouriera i będzie miał postać P \u003d 1 gdzie współczynniki Fouriera są równe odpowiednio dla Dlatego b) Kontynuujmy /(z) w segmencie [-x,0] w dziwny sposób (ryc. 8). Następnie jego szereg Fouriera §7. Szereg Fouriera dla funkcji o dowolnym okresie Niech funkcja fix) będzie okresowa z okresem 21,1 ^ 0. Aby rozwinąć ją w szereg Fouriera na przedziale, gdzie I > 0, dokonujemy zmiany zmiennej przez ustawienie x = jt . Wtedy funkcja F(t) = / ^tj będzie funkcją okresową argumentu t z okresem i będzie można ją rozwinąć na odcinku w szeregu Fouriera. siła również dla funkcji okresowych z dowolnym okresem 21. W szczególności pozostaje również ważne kryterium wystarczające do rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera. Przykład 1. Rozwiń w szeregu Fouriera funkcję okresową o okresie 21, podaną na odcinku [-/,/] wzorem (rys. 9). Ponieważ ta funkcja jest parzysta, jej szereg Fouriera ma postać Podstawiając znalezione wartości współczynników Fouriera do szeregu Fouriera, otrzymujemy Uwaga jedno ważna własność funkcje okresowe. Twierdzenie 5. Jeśli funkcja ma okres T i jest całkowalna, to dla dowolnej liczby a zachodzi równość m. tzn. całka na odcinku o długości równej okresowi T ma taką samą wartość niezależnie od położenia tego odcinka na osi rzeczywistej. Rzeczywiście, dokonujemy zmiany zmiennej w drugiej całce, zakładając: Daje to i dlatego geometrycznie ta właściwość oznacza, że ​​w przypadku obszaru zacienionego na ryc. 10 obszarów jest sobie równych. W szczególności dla funkcji f(x) z okresem otrzymujemy na rozwinięciu szeregu Fouriera funkcji parzystych i nieparzystych rozwinięcie funkcji podanej na odcinku w szereg w postaci sinusów lub cosinusów Szereg Fouriera dla funkcji z dowolny okres Złożona reprezentacja szeregu Fouriera Szereg Fouriera w ogólnych funkcjach układów ortogonalnych Szereg Fouriera w układzie ortogonalnym Minimalna własność współczynników Fouriera Nierówność Bessela Równość Parsevala Układy zamknięte Kompletność i domkliwość układów, w których współczynniki Fouriera funkcji okresowej f(x) z okresem 21 można obliczyć za pomocą wzorów, w których a jest dowolną liczbą rzeczywistą (zauważ, że funkcje cos - i sin mają okres 2/). Przykład 3. Rozwiń w szeregu Fouriera funkcję podaną na przedziale o okresie 2x (rys. 11). 4 Znajdź współczynniki Fouriera tej funkcji. Umieszczając formuły stwierdzamy, że dla Dlatego szereg Fouriera będzie wyglądał następująco: W punkcie x = jt (punkt nieciągłości pierwszego rodzaju) mamy §8. Złożona notacja szeregu Fouriera W tym podrozdziale wykorzystano niektóre elementy analizy złożonej (patrz rozdział XXX, gdzie wszystkie operacje wykonywane tutaj na wyrażeniach złożonych są ściśle uzasadnione). Niech funkcja f(x) spełnia warunki wystarczające do rozwinięcia w szereg Fouriera. Wtedy na odcinku x] może być reprezentowany przez szereg postaci Korzystając ze wzorów Eulera Podstawiając te wyrażenia do szeregu (1) zamiast cos nx i sin xy otrzymamy Wprowadzimy następującą notację Następnie szereg (2) przyjmuje postać Tak więc szereg Fouriera (1) jest przedstawiony w postaci zespolonej (3). Znajdźmy wyrażenia na współczynniki w postaci całek. Mamy Podobnie, znajdujemy Wreszcie wzory na с„, с_п i с można zapisać w następujący sposób: . . Współczynniki cn nazywane są zespolonymi współczynnikami Fouriera funkcji Dla funkcji okresowej z okresem, zespolona postać szeregu Fouriera przyjmuje postać wartości w jeśli istnieją granice Przykład. Rozwiń funkcję okresu w złożony szereg Fouriera Funkcja ta spełnia wystarczające warunki do rozwinięcia w szereg Fouriera. Znajdźmy zespolone współczynniki Fouriera tej funkcji. Mamy za nieparzyste dla parzystego n, w skrócie. Podstawiając wartości), w końcu otrzymujemy Zauważ, że szereg ten można również zapisać w następujący sposób: Szereg Fouriera w ogólnych układach ortogonalnych funkcji 9.1. Ortogonalne układy funkcji Oznaczmy zbiorem wszystkich (rzeczywistych) funkcji, które są zdefiniowane kwadratowo i całkowalne na przedziale [a, 6], tj. takie, dla których istnieje całka, w szczególności wszystkie funkcje f(x), które są ciągłe na przedziale [a , 6], należą do 6], a wartości ich całek Lebesgue'a pokrywają się z wartościami całek Riemanna. Definicja. Układ funkcji, gdzie, nazywamy ortogonalnym na przedziale [a, b\, jeśli Warunek (1) zakłada w szczególności, że żadna z funkcji nie jest identycznie równa zeru. Całka jest rozumiana w sensie Lebesgue'a. a wielkość nazywamy normą funkcji.Jeśli w układzie ortogonalnym dla dowolnego n, to układ funkcji nazywamy ortonormalnym. Jeżeli układ (y>n(x)) jest ortogonalny, to układ Przykład 1. Układ trygonometryczny jest ortogonalny na odcinku. Układ funkcji jest ortonormalnym układem funkcji, Przykład 2. Układ cosinus i układ sinus są ortonormalne. Wprowadźmy zapis, że są one ortogonalne na odcinku (0, f|, ale nie ortonormalne (dla I ↦ 2)).Ponieważ ich normy to COS, to funkcje tworzą ortonormalny układ funkcji na odcinku. Pokażmy, na przykład, że wielomiany Legendre'a są ortogonalne.Niech m > n. W tym przypadku całkując n razy przez części, znajdujemy, ponieważ dla funkcji t/m = (z2 - I)m, wszystkie pochodne do rzędu m - I włącznie znikają na końcach przedziału [-1,1). Definicja. Układ funkcji (pn(x)) nazywamy ortogonalnym na przedziale (a, b) przez nawis p(x), jeśli: 1) istnieją całki dla wszystkich n = 1,2,... Tutaj zakłada się, że funkcja wagi p(x) jest zdefiniowana i dodatnia wszędzie na przedziale (a, b), z możliwym wyjątkiem skończonej liczby punktów, w których p(x) może zniknąć. Po wykonaniu zróżnicowania we wzorze (3) znajdujemy. Można wykazać, że wielomiany Czebyszewa-Hermite'a są ortogonalne na przedziale Przykład 4. Układ funkcji Bessela (jL(pix)^ jest ortogonalny na przedziale zerowym funkcji Bessela Przykład 5. Rozważmy wielomiany Czebyszewa-Hermite'a, które można zdefiniować za pomocą równości. Szereg Fouriera w układzie ortogonalnym Niech ortogonalny układ funkcji w przedziale (a, 6) i szereg (cj = const) zbiega się na tym przedziale do funkcji f(x): Mnożenie obu stron ostatniej równości przez - naprawiono) i całkując po x od a do 6, dzięki ortogonalności układu otrzymujemy, że Operacja ta ma, ogólnie rzecz biorąc, charakter czysto formalny. Jednak w niektórych przypadkach, na przykład, gdy szereg (4) jest zbieżny jednostajnie, wszystkie funkcje są ciągłe, a przedział (a, 6) jest skończony, operacja ta jest dozwolona. Ale teraz ważna jest dla nas interpretacja formalna. Powiedzmy, że dana jest funkcja. Tworzymy liczby c * zgodnie ze wzorem (5) i piszemy Szereg po prawej stronie nazywamy szeregiem Fouriera funkcji f (x) względem układu (^n (n)) - Liczby Cn to nazwane współczynnikami Fouriera funkcji f (x) w tym układzie. Znak ~ we wzorze (6) oznacza jedynie, że liczby Cn są powiązane z funkcją f(x) wzorem (5) (w tym przypadku nie zakłada się, że szereg po prawej stronie w ogóle jest zbieżny, a tym bardziej jest zbieżny do funkcji f(x)). Dlatego naturalnie pojawia się pytanie: jakie są właściwości tej serii? W jakim sensie „reprezentuje” funkcję f(x)? 9.3. Średnia definicja zbieżności. Ciąg zbieżny do elementu ] średnio, jeśli norma znajduje się w przestrzeni Twierdzenie 6. Jeśli ciąg ) jest zbieżny jednostajnie, to również zbiega się średnio. M Niech ciąg ()) zbiega się jednostajnie na odcinku [a, b] do funkcji f(x). Oznacza to, że dla każdego, dla wszystkich wystarczająco dużych n, mamy Stąd, z którego wynika nasze twierdzenie. Odwrotność nie jest prawdą: ciąg () może być średnio zbieżny do /(x), ale nie może być jednostajnie zbieżny. Przykład. Rozważmy ciąg nx Łatwo to zauważyć Ale ta zbieżność nie jest jednostajna: istnieje e, na przykład, takie, że bez względu na to, jak duże jest n, na odcinku szeregu Fouriera dla funkcji o dowolnym okresie Złożona reprezentacja szereg Fouriera szereg Fouriera w ogólnych ortogonalnych układach funkcji szereg Fouriera w układzie ortogonalnym Minimalna własność współczynników Fouriera Nierówność Bessela Równość Parsevala Układy zamknięte Kompletność i domkliwość układów i niech ) w układzie ortonormalnym b Rozważ kombinację liniową, w której n ^ 1 jest stała liczba całkowita i znajdź wartości stałych, dla których całka przyjmuje swoją minimalną wartość. Napiszmy to bardziej szczegółowo. Całkując wyraz po wyrazie, ze względu na ortonormalność układu otrzymujemy Pierwsze dwa wyrazy po prawej stronie równości (7) są niezależne, a wyraz trzeci jest nieujemny. Dlatego całka (*) przyjmuje wartość minimalną przy ak = sk. Całka nazywana jest przybliżeniem pierwiastkowym funkcji f(x) jako kombinacją liniową Tn(x). Tak więc przybliżenie średniej kwadratowej funkcji /\ przyjmuje minimalną wartość kiedy. gdy Tn(x) jest 71. sumą cząstkową szeregu Fouriera funkcji /(x) w układzie (. Ustawiając ak = ck, z (7) otrzymujemy Równość (9) nazywamy tożsamością Bessela. Od lewej strona jest nieujemna, to z niej wynika nierówność Bessela Ponieważ i jest tu arbitralne, nierówność Bessela można przedstawić w postaci wzmocnionej, tj. dla dowolnej funkcji / szereg kwadratów współczynników Fouriera tej funkcji w układzie ortonormalnym ) jest zbieżny . Ponieważ układ jest ortonormalny na odcinku [-x, r], to nierówność (10) przełożona na zwykły zapis szeregu trygonometrycznego Fouriera daje zależność poprawną dla dowolnej funkcji f(x) z całkowalnym kwadratem. Jeżeli f2(x) jest całkowalna, to z powodu warunek konieczny zbieżność szeregu po lewej stronie nierówności (11), otrzymujemy to. Równość Parsevala Dla niektórych systemów (^n(x)) znak nierówności we wzorze (10) można zastąpić (dla wszystkich funkcji f(x) 6 x) znakiem równości. Powstała równość nazywana jest równością Parsevala-Steklova (warunkiem zupełności). Tożsamość Bessela (9) pozwala nam zapisać warunek (12) w formie równoważnej przez normę przestrzenną 6]. Definicja. Układ ortonormalny ( jest nazywany kompletnym w b2[ay b] jeśli jakakolwiek funkcja może być przybliżona z dowolną dokładnościąśrednio przez kombinację liniową postaci z dostatecznie duża liczba warunki, tj. jeśli dla dowolnej funkcji f(x) ∈ b2[a, b\ i dla dowolnego e > 0 istnieje Liczba naturalna nq i liczby a\, a2y..., takie, że Nie Z powyższego rozumowania wynika Twierdzenie 7. Jeżeli przez ortonormalizację układ ) jest zupełny w przestrzeni, szereg Fouriera dowolnej funkcji / w tym układzie jest zbieżny do f(x) przeciętnie, tj. według normy Można wykazać, że układ trygonometryczny jest kompletny w przestrzeni, co implikuje twierdzenie. Twierdzenie 8. Jeśli funkcja /0 jej szereg trygonometryczny Fouriera jest zbieżny do niej średnio. 9.5. systemy zamknięte. Kompletność i zamknięcie systemów Definicja. Układ ortonormalny funkcji \, nazywamy zamkniętym, jeśli w przestrzeni Li\a, b) nie istnieje niezerowa funkcja ortogonalna do wszystkich funkcji.W przestrzeni L2\a, b\ pojęcia zupełności i domknięcia układów ortonormalnych zbiec się. Ćwiczenia 1. Rozwiń funkcję w szeregu Fouriera na przedziale (-i-, x) 2. Rozwiń funkcję w szeregu Fouriera na przedziale (-r, r) 3. Rozwiń funkcję w szeregu Fouriera na przedziale (-r, r) 4. Rozwiń w szeregu Fouriera w funkcji przedziału (-jt, r) 5. Rozwiń w szeregu Fouriera w przedziale (-r, r) funkcję f (x) \u003d x + x . 6. Rozwiń w szeregu Fouriera w przedziale (-jt, r) funkcję n 7. Rozwiń w szeregu Fouriera w przedziale (-r, x) funkcję / (x) \u003d sin2 x. 8. Rozwiń w szeregu Fouriera w przedziale (-m, jt) funkcję f(x) = y 9. Rozwiń w szeregu Fouriera w przedziale (-mm, -k) funkcję f(x) = | sinx|. 10. Rozwiń w szeregu Fouriera w przedziale (-x-, r) funkcję f(x) = g. 11. Rozwiń w szeregu Fouriera w przedziale (-r, r) funkcję f (x) \u003d sin §. 12. Rozwiń w szeregu Fouriera funkcję f (x) = n -2x, podaną w przedziale (0, x), kontynuując ją w przedziale (-x, 0): a) w sposób parzysty; b) w dziwny sposób. 13. Rozwiń w szeregu Fouriera pod względem sinusów funkcję / (x) \u003d x2, podaną w przedziale (0, x). 14. Rozwiń w szeregu Fouriera funkcję / (x) \u003d 3-x, podaną w przedziale (-2,2). 15. Rozwiń w szeregu Fouriera funkcję f (x) \u003d |x |, podaną w przedziale (-1,1). 16. Rozwiń w szeregu Fouriera pod względem sinusów funkcję f (x) \u003d 2x, określoną w przedziale (0,1).