Ang tunay na kaalaman sa lahat ng oras ay batay sa pagtatatag ng isang huwaran at pagpapatunay ng katotohanan nito sa ilang mga pangyayari. Para sa isang mahabang panahon ng pagkakaroon ng lohikal na pangangatwiran, ibinigay ang mga pormulasyon ng mga patakaran, at si Aristotle ay nagtipon pa ng isang listahan ng "tamang pangangatwiran." Sa kasaysayan, kaugalian na hatiin ang lahat ng mga hinuha sa dalawang uri - mula sa kongkreto hanggang sa maramihan (induction) at vice versa (deduction). Dapat pansinin na ang mga uri ng ebidensya mula partikular hanggang pangkalahatan at mula pangkalahatan hanggang partikular ay umiiral lamang sa pagkakaugnay at hindi maaaring palitan.

Induction sa matematika

Ang terminong "induction" (induction) ay may mga salitang Latin at literal na isinasalin bilang "guidance". Sa masusing pag-aaral, maaaring makilala ng isang tao ang istraktura ng salita, katulad ng Latin na unlapi - in- (nagsasaad ng direktang aksyon papasok o nasa loob) at -duction - panimula. Kapansin-pansin na mayroong dalawang uri - kumpleto at hindi kumpletong induction. Ang buong anyo ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga konklusyon na nakuha mula sa pag-aaral ng lahat ng mga paksa ng isang tiyak na klase.

Hindi kumpleto - mga konklusyon na inilapat sa lahat ng mga paksa ng klase, ngunit ginawa batay sa pag-aaral ng ilang mga yunit lamang.

Ang kumpletong mathematical induction ay isang konklusyon batay sa isang pangkalahatang konklusyon tungkol sa buong klase ng anumang mga bagay na gumagana na nauugnay sa pamamagitan ng mga relasyon ng natural na serye ng mga numero batay sa kaalaman sa functional na koneksyon na ito. Sa kasong ito, ang proseso ng patunay ay nagaganap sa tatlong yugto:

• sa unang yugto, napatunayan ang kawastuhan ng pahayag ng induction ng matematika. Halimbawa: f = 1, induction;
• ang susunod na yugto ay batay sa pagpapalagay na ang posisyon ay wasto para sa lahat ng natural na numero. Ibig sabihin, f=h, ito ang inductive assumption;
• sa ikatlong yugto, ang bisa ng posisyon para sa bilang na f=h+1 ay napatunayan, batay sa kawastuhan ng posisyon ng nakaraang talata - ito ay isang induction transition, o isang hakbang ng mathematical induction. Ang isang halimbawa ay ang tinatawag na kung ang unang buto sa hilera ay bumagsak (batay), pagkatapos ang lahat ng mga buto sa hilera ay bumagsak (transisyon).

Parehong pabiro at seryoso

Para sa kadalian ng pang-unawa, ang mga halimbawa ng mga solusyon sa pamamagitan ng pamamaraan ng induction ng matematika ay tinuligsa sa anyo ng mga problema sa biro. Ito ang gawain ng Polite Queue:

• Ang mga alituntunin ng pag-uugali ay nagbabawal sa isang lalaki na lumiko sa harap ng isang babae (sa ganoong sitwasyon, hinahayaan siya sa harap). Batay sa pahayag na ito, kung ang huling nasa linya ay isang lalaki, kung gayon ang lahat ng iba ay mga lalaki.

Ang isang kapansin-pansing halimbawa ng paraan ng matematikal na induction ay ang problemang "Dimensionless flight":

• Kinakailangang patunayan na anumang bilang ng mga tao ang magkasya sa minibus. Totoo na ang isang tao ay maaaring magkasya sa loob ng transportasyon nang walang kahirapan (basis). Ngunit gaano man kapuno ang minibus, 1 pasahero ang palaging kasya dito (induction step).

pamilyar na mga bilog

Ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema at equation sa pamamagitan ng mathematical induction ay medyo karaniwan. Bilang isang paglalarawan ng pamamaraang ito, maaari nating isaalang-alang ang sumusunod na problema.

Kundisyon: h ang mga bilog ay inilalagay sa eroplano. Ito ay kinakailangan upang patunayan na, para sa anumang pag-aayos ng mga figure, ang mapa na nabuo sa pamamagitan ng mga ito ay maaaring tama ang kulay na may dalawang kulay.

Solusyon: para sa h=1 ang katotohanan ng pahayag ay halata, kaya ang patunay ay itatayo para sa bilang ng mga lupon h+1.

Ipagpalagay natin na ang pahayag ay totoo para sa anumang mapa, at ang h + 1 na bilog ay ibinibigay sa eroplano. Sa pamamagitan ng pag-alis ng isa sa mga bilog mula sa kabuuan, maaari kang makakuha ng isang mapa na may tamang kulay na may dalawang kulay (itim at puti).

Kapag ibinabalik ang isang tinanggal na bilog, ang kulay ng bawat lugar ay nagbabago sa kabaligtaran (sa kasong ito, sa loob ng bilog). Ito ay lumiliko ang isang mapa na may tamang kulay sa dalawang kulay, na kinakailangan upang mapatunayan.

Mga halimbawa na may natural na mga numero

Ang aplikasyon ng pamamaraan ng induction ng matematika ay malinaw na ipinapakita sa ibaba.

Mga halimbawa ng solusyon:

Patunayan na para sa anumang h ang pagkakapantay-pantay ay magiging tama:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. Hayaan ang h=1, pagkatapos ay:

R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

Ito ay sumusunod mula dito na para sa h=1 ang pahayag ay tama.

2. Ipagpalagay na h=d, ang sumusunod na equation ay nakuha:

R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1

3. Sa pag-aakalang h=d+1, lumalabas na:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

Kaya, ang bisa ng pagkakapantay-pantay para sa h=d+1 ay napatunayan, kaya ang pahayag ay totoo para sa alinman natural na numero, na ipinapakita sa halimbawa ng solusyon sa pamamagitan ng mathematical induction.

Isang gawain

Kundisyon: kailangan ng patunay na para sa anumang halaga ng h, ang expression na 7 h -1 ay mahahati ng 6 na walang natitira.

Solusyon:

1. Sabihin nating h=1, sa kasong ito:

R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (i.e. hinati sa 6 na walang natitira)

Samakatuwid, para sa h=1 ang pahayag ay totoo;

2. Hayaang h=d at 7 d -1 ay mahahati ng 6 na walang nalalabi;

3. Ang patunay ng bisa ng pahayag para sa h=d+1 ay ang formula:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

Sa kasong ito, ang unang termino ay nahahati sa 6 sa pamamagitan ng pagpapalagay ng unang talata, at ang pangalawang termino ay katumbas ng 6. Ang pahayag na ang 7 h -1 ay nahahati ng 6 na walang nalalabi para sa anumang natural na h ay totoo.

Pagkakamali ng paghatol

Kadalasan, ang maling pangangatwiran ay ginagamit sa mga patunay, dahil sa hindi kawastuhan ng mga lohikal na konstruksiyon na ginamit. Karaniwan, ito ay nangyayari kapag ang istraktura at lohika ng patunay ay nilabag. Ang isang halimbawa ng maling pangangatwiran ay ang sumusunod na paglalarawan.

Isang gawain

Kundisyon: nangangailangan ng patunay na ang anumang tumpok ng mga bato ay hindi isang tumpok.

Solusyon:

1. Sabihin nating h=1, sa kasong ito ay mayroong 1 bato sa tumpok at ang pahayag ay totoo (batayan);

2. Hayaang totoo para sa h=d na ang isang tumpok ng mga bato ay hindi isang tumpok (pagpapalagay);

3. Hayaan ang h=d+1, kung saan ito ay sumusunod na kapag ang isa pang bato ay idinagdag, ang hanay ay hindi magiging isang bunton. Ang konklusyon ay nagmumungkahi mismo na ang palagay ay wasto para sa lahat ng natural na h.

Ang pagkakamali ay nakasalalay sa katotohanan na walang kahulugan kung gaano karaming mga bato ang bumubuo ng isang tumpok. Ang ganitong pagkukulang ay tinatawag na madaliang paglalahat sa paraan ng matematikal na induction. Ang isang halimbawa ay malinaw na nagpapakita nito.

Induction at ang mga batas ng lohika

Sa kasaysayan, palagi silang "maglakad nang magkahawak-kamay." ganyan mga siyentipikong disiplina tulad ng lohika, ang pilosopiya ay naglalarawan sa kanila bilang magkasalungat.

Mula sa punto ng view ng batas ng lohika, ang mga inductive na kahulugan ay batay sa mga katotohanan, at ang katotohanan ng mga lugar ay hindi tumutukoy sa kawastuhan ng nagresultang pahayag. Kadalasan ang mga konklusyon ay nakuha na may isang tiyak na antas ng posibilidad at pagiging totoo, na, siyempre, ay dapat na ma-verify at kumpirmahin ng karagdagang pananaliksik. Ang isang halimbawa ng induction sa lohika ay ang pahayag:

Tagtuyot sa Estonia, tagtuyot sa Latvia, tagtuyot sa Lithuania.

Ang Estonia, Latvia at Lithuania ay ang mga estado ng Baltic. Tagtuyot sa lahat ng estado ng Baltic.

Mula sa halimbawa, mahihinuha natin na ang bagong impormasyon o katotohanan ay hindi makukuha gamit ang paraan ng induction. Ang tanging maaasahan ay ang ilang posibleng katotohanan ng mga konklusyon. Bukod dito, ang katotohanan ng lugar ay hindi ginagarantiyahan ang parehong mga konklusyon. Gayunpaman, ang katotohanang ito ay hindi nangangahulugan na ang induction ay nagtatanim sa likod-bahay ng pagbabawas: isang malaking bilang ng mga probisyon at mga batas na pang-agham ay napatunayan gamit ang paraan ng induction. Mathematics, biology at iba pang mga agham ay maaaring magsilbi bilang isang halimbawa. Ito ay higit sa lahat dahil sa paraan ng kumpletong induction, ngunit sa ilang mga kaso bahagyang ay naaangkop din.

Ang kagalang-galang na edad ng induction ay pinahintulutan itong tumagos sa halos lahat ng larangan ng aktibidad ng tao - ito ay agham, ekonomiya, at pang-araw-araw na konklusyon.

Induction sa kapaligirang pang-agham

Ang pamamaraan ng induction ay nangangailangan ng isang maingat na saloobin, dahil ang labis ay nakasalalay sa bilang ng mga detalye ng buong pinag-aralan: ano higit pa pinag-aralan, mas maaasahan ang resulta. Batay sa tampok na ito, ang mga pang-agham na batas na nakuha sa pamamagitan ng paraan ng induction ay nasubok para sa isang sapat na mahabang panahon sa antas ng probabilistic na pagpapalagay upang ihiwalay at pag-aralan ang lahat ng posibleng mga elemento ng istruktura, koneksyon at impluwensya.

Sa agham, ang inductive na konklusyon ay batay sa makabuluhang tampok, maliban sa mga random na posisyon. Itong katotohanan mahalaga dahil sa kalikasan siyentipikong kaalaman. Ito ay malinaw na nakikita sa mga halimbawa ng induction sa agham.

Mayroong dalawang uri ng induction sa siyentipikong mundo (kaugnay ng paraan ng pag-aaral):

1. induction-selection (o pagpili);
2. induction - pagbubukod (pag-aalis).

Ang unang uri ay nakikilala sa pamamagitan ng methodical (scruttinous) sampling ng isang klase (subclasses) mula sa iba't ibang lugar nito.

Ang isang halimbawa ng ganitong uri ng induction ay ang mga sumusunod: ang pilak (o mga silver salt) ay nagpapadalisay ng tubig. Ang konklusyon ay batay sa mga pangmatagalang obserbasyon (isang uri ng pagpili ng mga kumpirmasyon at pagtanggi - pagpili).

Ang pangalawang uri ng induction ay batay sa mga konklusyon na nagtatatag sanhi at hindi kasama ang mga pangyayari na hindi nakakatugon sa mga pag-aari nito, ibig sabihin, pagiging pangkalahatan, pagsunod sa temporal na pagkakasunud-sunod, pangangailangan at hindi malabo.

Induction at deduction mula sa pananaw ng pilosopiya

Kung titingnan mo ang historical retrospective, ang terminong "induction" ay unang binanggit ni Socrates. Inilarawan ni Aristotle ang mga halimbawa ng induction sa pilosopiya sa isang mas tinatayang terminolohikal na diksyunaryo, ngunit ang tanong ng hindi kumpletong induction ay nananatiling bukas. Matapos ang pag-uusig ng Aristotelian syllogism, ang inductive method ay nagsimulang kilalanin bilang mabunga at ang tanging posible sa natural na agham. Ang Bacon ay itinuturing na ama ng induction bilang isang independiyenteng espesyal na pamamaraan, ngunit nabigo siyang maghiwalay, tulad ng hinihiling ng kanyang mga kontemporaryo, induction mula sa deductive method.

Ang karagdagang pag-unlad ng induction ay isinagawa ni J. Mill, na isinasaalang-alang ang induction theory mula sa pananaw ng apat na pangunahing pamamaraan: kasunduan, pagkakaiba, nalalabi at kaukulang mga pagbabago. Hindi nakakagulat na ngayon ang mga nakalistang pamamaraan, kung isasaalang-alang nang detalyado, ay deductive.

Ang kamalayan sa hindi pagkakapare-pareho ng mga teorya ng Bacon at Mill ay humantong sa mga siyentipiko na siyasatin ang probabilistikong batayan ng induction. Gayunpaman, kahit na dito mayroong ilang mga sukdulan: ang mga pagtatangka ay ginawa upang bawasan ang induction sa teorya ng probabilidad, kasama ang lahat ng kasunod na mga kahihinatnan.

Ang induction ay tumatanggap ng boto ng pagtitiwala kapag praktikal na aplikasyon sa tiyak mga lugar ng paksa at salamat sa metric accuracy ng inductive base. Ang isang halimbawa ng induction at deduction sa pilosopiya ay maaaring ituring na batas ng unibersal na grabitasyon. Sa petsa ng pagkatuklas ng batas, nagawang i-verify ito ni Newton na may katumpakan na 4 na porsyento. At kapag nagsuri pagkatapos ng higit sa dalawang daang taon, ang kawastuhan ay nakumpirma na may katumpakan na 0.0001 porsyento, kahit na ang pagsusuri ay isinagawa ng parehong inductive generalizations.

Ang modernong pilosopiya ay mas binibigyang pansin ang pagbabawas, na idinidikta ng isang lohikal na pagnanais na makakuha ng bagong kaalaman (o katotohanan) mula sa kung ano ang alam na, nang hindi gumagamit ng karanasan, intuwisyon, ngunit gumagamit ng "dalisay" na pangangatwiran. Kapag tinutukoy ang totoong premises sa deductive method, sa lahat ng kaso, ang output ay isang totoong pahayag.

Ang napakahalagang katangiang ito ay hindi dapat lumalim sa halaga ng inductive method. Dahil ang induction, batay sa mga nakamit ng karanasan, ay nagiging paraan din ng pagproseso nito (kabilang ang generalization at systematization).

Paglalapat ng induction sa ekonomiya

Ang induction at deduction ay matagal nang ginagamit bilang mga paraan ng pag-aaral ng ekonomiya at paghula sa pag-unlad nito.

Ang saklaw ng paggamit ng paraan ng induction ay medyo malawak: ang pag-aaral ng katuparan ng mga tagapagpahiwatig ng forecast (kita, pamumura, atbp.) at pangkalahatang marka estado ng negosyo; pagbuo ng isang epektibong patakaran sa promosyon ng negosyo batay sa mga katotohanan at kanilang mga relasyon.

Ang parehong paraan ng induction ay ginagamit sa mga tsart ni Shewhart, kung saan, sa ilalim ng pagpapalagay na ang mga proseso ay nahahati sa kontrolado at hindi pinamamahalaan, ito ay nakasaad na ang balangkas ng kinokontrol na proseso ay hindi aktibo.

Dapat pansinin na ang mga siyentipikong batas ay nabibigyang-katwiran at nakumpirma gamit ang paraan ng induction, at dahil ang ekonomiya ay isang agham na madalas na gumagamit ng mathematical analysis, risk theory at statistical data, hindi nakakagulat na ang induction ay kasama sa listahan ng mga pangunahing pamamaraan.

Ang sumusunod na sitwasyon ay maaaring magsilbing halimbawa ng induction at deduction sa ekonomiya. Ang pagtaas sa presyo ng pagkain (mula sa basket ng mamimili) at mahahalagang produkto ay nagtutulak sa mamimili na isipin ang umuusbong na mataas na gastos sa estado (induction). Kasabay nito, mula sa katotohanan ng mataas na gastos sa tulong ng mga pamamaraan sa matematika posibleng makakuha ng mga tagapagpahiwatig ng paglago ng presyo para sa mga indibidwal na kalakal o kategorya ng mga kalakal (bawas).

Kadalasan, ang mga tauhan ng pamamahala, mga tagapamahala, at mga ekonomista ay bumaling sa paraan ng induction. Upang mahulaan ang pag-unlad ng isang negosyo, pag-uugali sa merkado, at ang mga kahihinatnan ng kompetisyon na may sapat na katotohanan, isang inductive-deductive na diskarte sa pagsusuri at pagproseso ng impormasyon ay kinakailangan.

Isang mapaglarawang halimbawa ng induction sa economics, na tumutukoy sa mga maling paghatol:

• bumaba ng 30% ang tubo ng kumpanya;
  pinalawak ng isang katunggali ang linya ng produkto nito;
  walang ibang nagbago;
• ang patakaran sa produksyon ng isang nakikipagkumpitensyang kumpanya ay nagdulot ng pagbawas ng tubo ng 30%;
• samakatuwid, ang parehong patakaran sa produksyon ay kailangang ipatupad.

Ang halimbawa ay isang makulay na paglalarawan kung paano ang hindi tamang paggamit ng paraan ng induction ay nakakatulong sa pagkasira ng isang negosyo.

Pagbawas at induction sa sikolohiya

Dahil mayroong isang pamamaraan, kung gayon, lohikal, mayroon ding maayos na pag-iisip (para sa paggamit ng pamamaraan). Sikolohiya bilang isang agham na nag-aaral Proseso ng utak, ang kanilang pagbuo, pag-unlad, relasyon, pakikipag-ugnayan, ay binibigyang pansin ang "deductive" na pag-iisip, bilang isa sa mga anyo ng pagpapakita ng pagbabawas at induction. Sa kasamaang palad, sa mga pahina ng sikolohiya sa Internet, halos walang katwiran para sa integridad ng paraan ng deductive-inductive. Bagaman ang mga propesyonal na psychologist ay mas malamang na makatagpo ng mga pagpapakita ng induction, o sa halip, mga maling konklusyon.

Ang isang halimbawa ng induction sa sikolohiya, bilang isang paglalarawan ng mga maling paghatol, ay ang pahayag: ang aking ina ay isang manlilinlang, samakatuwid, ang lahat ng mga kababaihan ay manlilinlang. Mayroong higit pang mga "mali" na halimbawa ng induction mula sa buhay:

• ang isang mag-aaral ay walang kakayahan sa anumang bagay kung nakatanggap siya ng deuce sa matematika;
• siya ay isang hangal;
• matalino siya;
• Kaya kong gawin lahat;

At marami pang ibang paghatol sa halaga batay sa ganap na random at kung minsan ay hindi gaanong mahalaga na mga mensahe.

Dapat pansinin: kapag ang kamalian ng mga paghatol ng isang tao ay umabot sa punto ng kahangalan, isang harap ng trabaho ay lilitaw para sa psychotherapist. Isang halimbawa ng induction sa isang appointment sa espesyalista:

"Ang pasyente ay ganap na sigurado na ang pulang kulay ay nagdadala lamang ng panganib para sa kanya sa anumang mga pagpapakita. Bilang isang resulta, ang isang tao ay hindi kasama ang scheme ng kulay na ito mula sa kanyang buhay - hangga't maaari. Sa kapaligiran ng tahanan, maraming pagkakataon para sa komportableng pamumuhay. Maaari mong tanggihan ang lahat ng mga pulang item o palitan ang mga ito ng mga analogue na ginawa sa ibang scheme ng kulay. Ngunit sa sa mga pampublikong lugar, sa trabaho, sa tindahan - imposible. Pagpasok sa isang sitwasyon ng stress, ang pasyente sa bawat oras ay nakakaranas ng isang "tide" na ganap na naiiba emosyonal na estado na maaaring magdulot ng panganib sa iba."

Ang halimbawang ito ng induction, at walang malay, ay tinatawag na "fixed ideas." Kung nangyari ito sa isang taong malusog sa pag-iisip, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa kakulangan ng organisasyon mental na aktibidad. Ang paraan para maalis obsessive states ay maaaring maging isang elementarya na pag-unlad ng deduktibong pag-iisip. Sa ibang mga kaso, nakikipagtulungan ang mga psychiatrist sa mga naturang pasyente.

Ang mga halimbawa sa itaas ng induction ay nagpapahiwatig na "ang kamangmangan sa batas ay hindi exempt mula sa mga kahihinatnan (maling mga paghatol)."

Ang mga psychologist, na nagtatrabaho sa paksa ng deduktibong pag-iisip, ay nagtipon ng isang listahan ng mga rekomendasyon na idinisenyo upang matulungan ang mga tao na makabisado ang pamamaraang ito.

Ang unang hakbang ay paglutas ng problema. Tulad ng makikita, ang anyo ng induction na ginagamit sa matematika ay maaaring ituring na "klasikal", at ang paggamit ng pamamaraang ito ay nakakatulong sa "disiplina" ng isip.

Ang susunod na kondisyon para sa pagbuo ng deduktibong pag-iisip ay ang pagpapalawak ng mga abot-tanaw (yaong mga nag-iisip nang malinaw, malinaw na nagsasaad). Idinidirekta ng rekomendasyong ito ang "pagdurusa" sa mga yaman ng agham at impormasyon (mga aklatan, website, mga hakbangin sa edukasyon, paglalakbay, atbp.).

Hiwalay, dapat na banggitin ang tinatawag na "psychological induction". Ang terminong ito, kahit na madalang, ay matatagpuan sa Internet. Ang lahat ng mga mapagkukunan ay hindi nagbibigay ng hindi bababa sa isang maikling kahulugan ng terminong ito, ngunit tumutukoy sa "mga halimbawa mula sa buhay", habang nagpapasa bilang ang bagong uri induction alinman sa mungkahi, o ilang uri ng sakit sa isip, o matinding estado ng pag-iisip ng tao. Mula sa lahat ng nasa itaas, malinaw na ang isang pagtatangka na maghinuha " bagong termino”, na umaasa sa mga huwad (madalas na hindi totoo) na mga lugar, ay humahamak sa eksperimento na makatanggap ng isang maling (o padalos-dalos) na pahayag.

Dapat tandaan na ang pagtukoy sa mga eksperimento noong 1960 (nang hindi ipinapahiwatig ang lugar, ang mga pangalan ng mga nag-eksperimento, ang sample ng mga paksa, at higit sa lahat, ang layunin ng eksperimento) ay mukhang, upang ilagay ito nang mahinahon, hindi nakakumbinsi, at ang pahayag na ang utak ay nakakakita ng impormasyon na lumalampas sa lahat ng mga organo ng pang-unawa (ang pariralang "nakaranas" sa kasong ito ay magkasya sa mas organikong paraan), ay nag-iisip tungkol sa pagiging mapaniwalain at hindi mapanuri ng may-akda ng pahayag.

Sa halip na isang konklusyon

Ang reyna ng mga agham - matematika, hindi walang kabuluhan ay gumagamit ng lahat ng posibleng reserba ng paraan ng induction at deduction. Ang isinasaalang-alang na mga halimbawa ay nagbibigay-daan sa amin upang tapusin na ang mababaw at hindi wasto (walang pag-iisip, gaya ng sinasabi nila) na paggamit ng kahit na ang pinakatumpak at maaasahang mga pamamaraan ay palaging humahantong sa mga maling resulta.

AT kamalayan ng masa ang paraan ng pagbabawas ay nauugnay sa sikat na Sherlock Holmes, na sa kanyang mga lohikal na konstruksyon ay madalas na gumagamit ng mga halimbawa ng induction, gamit ang pagbabawas sa mga kinakailangang sitwasyon.

Isinasaalang-alang ng artikulo ang mga halimbawa ng aplikasyon ng mga pamamaraang ito sa iba't ibang agham at larangan ng buhay ng tao.

Ang induction ng matematika ay sumasailalim sa isa sa mga pinakakaraniwang pamamaraan ng mga patunay sa matematika. Maaari itong magamit upang patunayan karamihan mga formula na may mga natural na numero n, halimbawa, ang formula para sa paghahanap ng kabuuan ng mga unang termino ng pag-unlad S n \u003d 2 a 1 + n - 1 d 2 n, binomial formula ng Newton a + b n \u003d C n 0 a n C n 1 a n - 1 b + . . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n .

Sa unang talata, susuriin namin ang mga pangunahing konsepto, pagkatapos ay isasaalang-alang namin ang mga pangunahing kaalaman ng pamamaraan mismo, at pagkatapos ay sasabihin namin sa iyo kung paano gamitin ito upang patunayan ang mga pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay.

Mga konsepto ng induction at deduction

Una, tingnan natin kung ano ang induction at deduction sa pangkalahatan.

Kahulugan 1

Induction ay ang paglipat mula sa partikular tungo sa pangkalahatan, at bawas sa kabaligtaran, mula sa pangkalahatan hanggang sa partikular.

Halimbawa, mayroon tayong pahayag: 254 ay maaaring nahahati sa dalawa nang buo. Mula dito maaari tayong gumuhit ng maraming konklusyon, kung saan magkakaroon ng parehong totoo at mali. Halimbawa, ang pahayag na ang lahat ng mga integer na may numerong 4 sa dulo ay maaaring hatiin ng dalawa nang walang natitira ay totoo, ngunit ang anumang bilang ng tatlong digit na mahahati ng 2 ay mali.

Sa pangkalahatan, masasabi na sa tulong ng induktibong pangangatwiran ay makakakuha ng maraming konklusyon mula sa isang kilala o malinaw na pangangatwiran. Binibigyang-daan tayo ng induction ng matematika na matukoy kung gaano kabisa ang mga konklusyong ito.

Ipagpalagay na mayroon tayong pagkakasunod-sunod ng mga numero tulad ng 1 1 2 , 1 2 3 , 1 3 4 , 1 4 5 , . . . , 1 n (n + 1) , kung saan ang n ay nagsasaad ng ilang natural na numero. Sa kasong ito, kapag nagdaragdag ng mga unang elemento ng pagkakasunud-sunod, nakukuha namin ang sumusunod:

S 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 2, S 2 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 \u003d 2 3, S 3 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 \u003d 4 3 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + 1 4 5 = 4 5 , . . .

Gamit ang induction, maaari nating tapusin na S n = n n + 1 . Sa ikatlong bahagi ay patunayan natin ang formula na ito.

Ano ang paraan ng mathematical induction

Ang pamamaraang ito ay batay sa prinsipyo ng parehong pangalan. Ito ay nabuo tulad nito:

Kahulugan 2

Ang isang tiyak na pahayag ay magiging totoo para sa isang natural na halaga n kapag 1) ito ay magiging totoo para sa n = 1 at 2) mula sa katotohanan na ang expression na ito ay totoo para sa isang di-makatwirang natural na halaga n = k, ito ay sumusunod na ito ay magiging totoo din. para sa n = k + 1 .

Ang aplikasyon ng pamamaraan ng induction ng matematika ay isinasagawa sa 3 yugto:

1. Una, sinusuri namin ang kawastuhan ng orihinal na pahayag sa kaso ng isang di-makatwirang natural na halaga ng n (karaniwang ang pagsubok ay ginagawa para sa pagkakaisa).
2. Pagkatapos nito, sinusuri namin ang katapatan sa n = k .
3. At pagkatapos ay patunayan natin ang bisa ng pahayag kung n = k + 1 .

Paano ilapat ang pamamaraan ng induction ng matematika kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay at mga equation

Kunin natin ang halimbawang pinag-usapan natin kanina.

Halimbawa 1

Patunayan ang formula S n = 1 1 2 + 1 2 3 + . . . + 1 n (n + 1) = n n + 1 .

Solusyon

Tulad ng alam na natin, upang mailapat ang pamamaraan ng induction ng matematika, tatlong magkakasunod na hakbang ang dapat gawin.

1. Una, sinusuri namin kung ang pagkakapantay-pantay na ito ay magiging wasto para sa n katumbas ng isa. Nakukuha namin ang S 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 1 + 1 \u003d 1 2. Lahat ay tama dito.
2. Dagdag pa, ginagawa namin ang pagpapalagay na ang formula S k = k k + 1 ay tama.
3. Sa ikatlong hakbang, kailangan nating patunayan na S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2 , batay sa bisa ng nakaraang pagkakapantay-pantay.

Maaari nating katawanin ang k + 1 bilang kabuuan ng mga unang termino ng orihinal na pagkakasunod-sunod at k + 1:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)

Dahil sa pangalawang hakbang nakuha namin na S k = k k + 1, maaari naming isulat ang sumusunod:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) .

Ngayon ginagawa namin ang mga kinakailangang pagbabago. Kailangan nating bawasan ang fraction sa karaniwang denominador, na nagdadala ng mga katulad na termino, ilapat ang pinaikling formula ng pagpaparami at bawasan ang nangyari:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = k k + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = k 2 + 2 k + 1 k + 1 (k + 2) = (k + 1) 2 k + 1 (k + 2) = k + 1 k + 2

Kaya, napatunayan namin ang pagkakapantay-pantay sa ikatlong punto sa pamamagitan ng pagsasagawa ng lahat ng tatlong hakbang ng pamamaraan ng mathematical induction.

Sagot: tama ang palagay tungkol sa formula na S n = n n + 1.

Isaalang-alang natin ang isang mas kumplikadong problema sa mga function ng trigonometriko.

Halimbawa 2

Magbigay ng patunay ng pagkakakilanlan cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 n α \u003d sin 2 n + 1 α 2 n sin 2 α.

Solusyon

Tulad ng naaalala natin, ang unang hakbang ay dapat na suriin ang kawastuhan ng pagkakapantay-pantay kapag ang n ay katumbas ng isa. Upang malaman, kailangan nating tandaan ang mga pangunahing trigonometric formula.

cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α

Samakatuwid, para sa n katumbas ng isa, ang pagkakakilanlan ay magiging totoo.

Ngayon ipagpalagay na ang bisa nito ay napanatili para sa n = k , i.e. magiging totoo na cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 k α \u003d sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α.

Pinatutunayan namin ang pagkakapantay-pantay cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 k + 1 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α para sa kaso kapag n = k + 1, batay sa nakaraang palagay.

Ayon sa trigonometric formula,

sin 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (sin (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + sin (2 k + 1 α - 2 k + 1 α)) = = 1 2 kasalanan (2 2 k + 1 α) + sin 0 = 1 2 sin 2 k + 2 α

Dahil dito,

cos 2 α cos 4 α . . . · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 k α cos 2 k + 1 α = = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α cos 2 k + 1 α = 1 2 sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α

Ang isang halimbawa ng paglutas ng problema ng pagpapatunay ng hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraang ito ay ibinigay sa artikulo sa pamamaraang least squares. Basahin ang talata kung saan hinango ang mga formula para sa paghahanap ng mga approximation coefficient.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

MBOU Lyceum "Teknikal at Pang-ekonomiya"

PARAAN NG MATHEMATICAL INDUCTION

PARAAN NG MATHEMATICAL INDUCTION.

PALIWANAG TALA

Ang metodolohikal na pag-unlad na "Paraan ng mathematical induction" ay pinagsama-sama para sa mga mag-aaral ng ika-10 baitang ng mathematical profile.

Pangunahing layunin: upang ipaalam sa mga mag-aaral ang paraan ng matematikal na induction at ituro kung paano ilapat ito sa paglutas ng iba't ibang mga problema.

AT pag-unlad ng pamamaraan ang mga tanong ng elementarya na matematika ay isinasaalang-alang: ang mga problema sa divisibility, patunay ng pagkakakilanlan, patunay ng hindi pagkakapantay-pantay, mga problema ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado ay iminungkahi, kabilang ang mga problema na inaalok sa olympiads.

Napakahusay ng papel ng mga inductive inferences sa mga pang-eksperimentong agham. Ibinibigay nila ang mga probisyong iyon, kung saan ang mga karagdagang konklusyon ay ginawa sa pamamagitan ng pagbabawas. Pangalan paraan ng mathematical induction mapanlinlang - sa katunayan, ang pamamaraang ito ay deduktibo at nagbibigay ng mahigpit na patunay ng mga pahayag na hinulaan ng induction. Ang pamamaraan ng induction ng matematika ay nag-aambag sa pagkilala ng mga koneksyon sa pagitan ng iba't ibang mga seksyon ng matematika, tumutulong upang mabuo ang kultura ng matematika ng mag-aaral.

Kahulugan ng paraan ng mathematical induction. Kumpleto at hindi kumpletong induction. Patunay ng hindi pagkakapantay-pantay. Patunay ng pagkakakilanlan. Paglutas ng mga problema sa divisibility. Paglutas ng iba't ibang mga problema sa paksang "Paraan ng mathematical induction".

PANITIKAN PARA SA GURO

1. M.L. Galitsky. Malalim na Pag-aaral kurso ng algebra at mathematical analysis. - M. Enlightenment. 1986.

2. L.I. Zvavich. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Mga materyales sa didactic. M. Drofa. 2001.

3. N.Ya. Vilenkin. Algebra at mathematical analysis. M Enlightenment. 1995.

4. Yu.V. Mikheev. Paraan ng mathematical induction. NGU.1995.

PANITIKAN PARA SA MGA MAG-AARAL

1. N.Ya. Vilenkin. Algebra at mathematical analysis. M Enlightenment. 1995.

2. Yu.V. Mikheev. Paraan ng mathematical induction. NGU.1995.

MGA KEYWORDS

Induction, axiom, prinsipyo ng mathematical induction, complete induction, incomplete induction, assertion, identity, inequality, divisibility.

DIDACTIC APPENDIX SA PAKSA

"PARAAN NG MATHEMATICAL INDUCTION".

Aralin #1

Kahulugan ng paraan ng mathematical induction.

Ang paraan ng mathematical induction ay isa sa napakahusay na pamamaraan maghanap ng mga bagong resulta at patunay ng katotohanan ng mga iminungkahing pagpapalagay. Bagama't hindi bago ang pamamaraang ito sa matematika, hindi nawawala ang interes dito. Sa unang pagkakataon sa isang malinaw na presentasyon, ang pamamaraan ng matematikal na induction ay inilapat noong ika-17 siglo ng namumukod-tanging Pranses na siyentipiko na si Blaise Pascal sa pagpapatunay ng mga katangian ng isang tatsulok na numero, na mula noon ay ipinangalan sa kanya. Gayunpaman, ang ideya ng induction ng matematika ay kilala sa mga sinaunang Greeks. Ang pamamaraan ng mathematical induction ay batay sa prinsipyo ng mathematical induction, na tinatanggap bilang isang axiom. Isasaalang-alang namin ang ideya ng induction ng matematika na may mga halimbawa.

Halimbawa #1.

Ang parisukat ay nahahati sa isang segment sa dalawang bahagi, pagkatapos ay ang isa sa mga resultang bahagi ay nahahati sa dalawang bahagi, at iba pa. Tukuyin kung ilang bahagi ang nahahati sa parisukat P hakbang?

Solusyon.

Pagkatapos ng unang hakbang, kami, ayon sa kondisyon, ay nakakakuha ng 2 bahagi. Sa pangalawang hakbang, iniiwan namin ang isang bahagi na hindi nagbabago, at hatiin ang pangalawa sa 2 bahagi at kumuha ng 3 bahagi. Sa ikatlong hakbang, iniiwan namin ang 2 bahagi na hindi nagbabago, at hatiin ang pangatlo sa dalawang bahagi at kumuha ng 4 na bahagi. Sa ika-apat na hakbang, iniiwan namin ang 3 bahagi na hindi nagbabago, at hatiin ang huling bahagi sa dalawang bahagi at kumuha ng 5 bahagi. Sa ikalimang hakbang, makakakuha tayo ng 6 na bahagi. Ang mungkahi ay ginawa na sa pamamagitan ng P hakbang na nakukuha namin (n+1) bahagi. Ngunit ang panukalang ito ay kailangang patunayan. Ipagpalagay natin na sa pamamagitan ng sa mga hakbang na nahahati ang parisukat (k+1) bahagi. Pagkatapos ay sa (k+1) hakbang tayo sa ang mga bahagi ay iiwang hindi magbabago, at (k+1) hatiin ang bahagi sa dalawang bahagi at makuha (k+2) mga bahagi. Napansin mo na maaari kang makipagtalo ng ganito hangga't gusto mo, ad infinitum. Ibig sabihin, assumption natin yun P hahatiin ang mga steps square sa (n+1) bahagi, nagiging napatunayan.

Halimbawa #2.

Ang aking lola ay may isang apo na mahilig sa jam, at lalo na ang nasa isang litro ng garapon. Ngunit hindi siya pinayagan ng lola na hawakan. At nagpasya ang mga apo na linlangin ang kanilang lola. Nagpasya siyang kumain araw-araw ng 1/10 litro mula sa garapon na ito at lagyan ito ng tubig, hinahalo nang maigi. Makalipas ang ilang araw matutuklasan ni lola ang panlilinlang kung ang jam ay nananatiling pareho sa hitsura kapag natunaw ng tubig sa kalahati?

Solusyon.

Alamin kung gaano karaming purong jam ang mananatili sa garapon pagkatapos P araw. Pagkatapos ng unang araw, ang halo ay mananatili sa garapon, na binubuo ng 9/10 jam at 1/10 tubig. Pagkatapos ng dalawang araw, 1/10 ng pinaghalong tubig at jam ang mawawala sa garapon at mananatili (1 litro ng halo ay naglalaman ng 9/10 litro ng jam, 1/10 litro ng halo ay naglalaman ng 9/100 litro ng jam)

9/10 - 9/100=81/100=(9/10) 2 litro ng jam. Sa ikatlong araw, mawawala sa garapon ang 1/10 litro ng halo na binubuo ng 81/100 jam at 19/100 na tubig. Sa 1 litro ng pinaghalong mayroong 81/100 litro ng jam, sa 1/10 litro ng pinaghalong 81/1000 litro ng jam. 81/100 – 81/1000=

729/1000=(9/10) 3 litro ng jam ang maiiwan pagkatapos ng 3 araw, at ang natitira ay kukunin ng tubig. Lumilitaw ang isang pattern. Sa pamamagitan ng P mga araw na natitira sa bangko (9/10) P siksikan ako. Ngunit muli, ito ay aming hula lamang.

Hayaan sa ay isang arbitrary na natural na numero. Ipagpalagay natin na sa pamamagitan ng sa araw sa bangko ay mananatili (9/10) sa l jam. Tingnan natin kung ano ang nasa bangko sa ibang araw, iyon ay, sa (k+1) araw. Mawawala sa bangko 1/10l isang halo ng (9/10) sa l jam at tubig. AT 1l timpla ay (9/10) sa l jam, sa 1/10l pinaghalong (9/10) k+1 l jam. Ngayon ay ligtas nating masasabi iyon sa pamamagitan ng P araw na natitira sa bangko (9/10) P l jam. Sa 6 na araw magkakaroon ang bangko 531444/1000000l jam, pagkatapos ng 7 araw - 4782969/10000000l jam, iyon ay, wala pang kalahati.

Sagot: pagkatapos ng 7 araw, matutuklasan ng lola ang panloloko.

Subukan nating isa-isa ang pinakapangunahing solusyon sa mga isinasaalang-alang na problema. Sinimulan naming lutasin ang bawat isa sa kanila sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng hiwalay o, gaya ng sinasabi nila, mga espesyal na kaso. Pagkatapos, batay sa aming mga obserbasyon, gumawa kami ng ilang mga pagpapalagay P(n), depende sa natural P.

ang assertion ay nasuri, iyon ay, napatunayan P(1), P(2), P(3);

nagmungkahi na P(n) wasto para sa n=k at deduced na pagkatapos ito ay magiging wasto para sa susunod n, n=k+1.

At pagkatapos ay nagtalo sila ng ganito: P(1) tama, P(2) tama, P(3) tama, P(4) tama... tama P(n).

Ang prinsipyo ng mathematical induction.

Pahayag P(n), depende sa natural P, ay may bisa para sa lahat ng natural P, kung

1) ang bisa ng assertion para sa n=1;

2) mula sa pagpapalagay ng bisa ng pahayag P(n) sa n=k dapat

hustisya P(n) sa n=k+1.

Sa matematika, ang prinsipyo ng mathematical induction ay pinili, bilang panuntunan, bilang isa sa mga axiom na tumutukoy sa natural na serye ng mga numero, at, samakatuwid, ay tinatanggap nang walang patunay. Ang paraan ng patunay sa pamamagitan ng prinsipyo ng mathematical induction ay karaniwang tinatawag na paraan ng mathematical induction. Tandaan na ang paraang ito ay malawakang ginagamit sa pagpapatunay ng mga teorema, pagkakakilanlan, hindi pagkakapantay-pantay sa paglutas ng mga problema sa divisibility at marami pang ibang problema.

Aralin #2

Kumpleto at hindi kumpletong induction.

Sa kaso kapag ang isang matematikal na pahayag ay may kinalaman sa isang may hangganang bilang ng mga bagay, ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng pagsuri sa bawat bagay, halimbawa, ang pahayag na "Bawat dalawang halaga kahit na numero ay ang kabuuan ng dalawa mga pangunahing numero". Ang paraan ng patunay kung saan sinusuri natin ang isang pahayag para sa isang may hangganang bilang ng mga kaso ay tinatawag na kumpletong mathematical induction. Ang pamamaraang ito ay medyo bihirang ginagamit, dahil ang mga pahayag ay madalas na isinasaalang-alang sa mga walang katapusan na hanay. Halimbawa, ang theorem na "Anumang kahit na numero ay katumbas ng kabuuan ng dalawang prime na numero" ay hindi pa napatunayan o tinatanggihan sa ngayon. Kahit na sinubukan natin ang theorem na ito para sa unang bilyon, hindi ito magdadala sa atin ng isang hakbang na palapit sa patunay nito.

AT mga likas na agham ilapat ang hindi kumpletong induction, suriin ang eksperimento nang maraming beses, paglilipat ng resulta sa lahat ng mga kaso.

Halimbawa #3

Hulaan gamit ang hindi kumpletong induction formula para sa kabuuan ng mga cube ng natural na mga numero.

Solusyon.

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; …; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .

Patunay.

Hayaan itong maging totoo para sa n=k.

Patunayan natin na totoo iyon para sa n=k+1.

Konklusyon: ang formula para sa kabuuan ng mga cube ng mga natural na numero ay totoo para sa anumang natural P.

Halimbawa #4

Isaalang-alang ang pagkakapantay-pantay at hulaan kung anong pangkalahatang batas ang humahantong sa mga halimbawang ito.

Solusyon.

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

Halimbawa #5

Isulat ang mga sumusunod na expression bilang kabuuan:

1)
2)
3)
; 4)
.

Greek letter "sigma".

Halimbawa #6.

Isulat ang mga sumusunod na kabuuan gamit ang tanda
:

2)

Halimbawa #7.

Isulat ang mga sumusunod na expression bilang mga produkto:

1)

3)
4)

Halimbawa #8.

Isulat ang mga sumusunod na akda gamit ang tanda

(kapital na letrang Griyego na "pi")

1)
2)

Halimbawa #9.

Pag-compute ng halaga ng isang polynomial f ( n )= n 2 + n +11 , sa n=1,2,3,4.5,6,7 maaari itong ipagpalagay na para sa anumang naturalP numero f ( n ) simple lang.

Tama ba ang palagay na ito?

Solusyon.

Kung ang bawat summand ay nahahati sa isang numero, kung gayon ang kabuuan ay mahahati sa numerong iyon,
ay hindi isang prime number para sa anumang natural na numeroP.

Naglalaro ang pag-parse ng may hangganang bilang ng mga case mahalagang papel sa matematika: nang hindi nagbibigay ng patunay ng ito o ang pahayag na iyon, nakakatulong na hulaan ang tamang pagbabalangkas ng pahayag na ito, kung ito ay hindi pa rin alam. Ganito naisip ni Goldbach, isang miyembro ng St. Petersburg Academy of Sciences, na ang anumang natural na numero, simula sa dalawa, ay ang kabuuan ng hindi hihigit sa tatlong prime.

Aralin #3

Ang paraan ng mathematical induction ay nagpapahintulot sa amin na patunayan ang iba't ibang pagkakakilanlan.

Halimbawa #10. Patunayan natin ito para sa lahat P ang pagkakakilanlan

Solusyon.

Ilagay natin

Kailangan nating patunayan iyon

Patunayan natin na Noon mula sa katotohanan ng pagkakakilanlan

sumusunod ang katotohanan ng pagkakakilanlan

Sa pamamagitan ng prinsipyo ng mathematical induction, ang katotohanan ng pagkakakilanlan para sa lahat P.

Halimbawa #11.

Patunayan natin ang pagkakakilanlan

Patunay.

termino-by-term na pagkakapantay-pantay.

;
. Kaya ang pagkakakilanlan na ito ay totoo para sa lahatP .

Aralin bilang 4.

Patunay ng pagkakakilanlan sa pamamagitan ng mathematical induction.

Halimbawa #12. Patunayan natin ang pagkakakilanlan

Patunay.

Sa paglalapat ng prinsipyo ng mathematical induction, napatunayan namin na ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa lahat P.

Halimbawa #13. Patunayan natin ang pagkakakilanlan

Patunay.

Sa paglalapat ng prinsipyo ng mathematical induction, napatunayan namin na ang pahayag ay totoo para sa anumang natural P.

Halimbawa #14. Patunayan natin ang pagkakakilanlan

Patunay.

Halimbawa #15. Patunayan natin ang pagkakakilanlan

1) n=1;

2) para sa n=k pagkakapantay-pantay

3) patunayan na ang pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan n=k+1:

Konklusyon: ang pagkakakilanlan ay may bisa para sa anumang natural P.

Halimbawa #16. Patunayan natin ang pagkakakilanlan

Patunay.

Kung ang n=1 , pagkatapos

Hayaang manatili ang pagkakakilanlan n=k.

Patunayan natin na pinanghahawakan ang pagkakakilanlan n=k+1.

Kung gayon ang pagkakakilanlan ay wasto para sa anumang natural P.

Aralin bilang 5.

Patunay ng pagkakakilanlan sa pamamagitan ng mathematical induction.

Halimbawa #17. Patunayan natin ang pagkakakilanlan

Patunay.

Kung ang n=2 , pagkatapos ay makukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay:

Hayaang maging totoo ang pagkakapantay-pantayn=k:

Patunayan natin ang bisa ng assertion para sa n=k+1.

Ayon sa prinsipyo ng mathematical induction, ang pagkakakilanlan ay napatunayan.

Halimbawa #18. Patunayan natin ang pagkakakilanlan
para sa n≥2.

Sa n=2 ang pagkakakilanlang ito ay maaaring muling isulat sa isang napakasimpleng anyo

at halatang totoo.

Hayaan sa n=k Talaga

.

Patunayan natin ang bisa ng assertion para san=k+1, ibig sabihin, ang pagkakapantay-pantay ay nasiyahan: .

Kaya, napatunayan namin na ang pagkakakilanlan ay totoo para sa anumang natural n≥2.

Halimbawa #19. Patunayan natin ang pagkakakilanlan

Sa n=1 nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay:

Ipagpalagay natin na sa n=k nakukuha rin natin ang tamang pagkakapantay-pantay:

Patunayan natin na ang bisa ng pagkakapantay-pantay ay sinusunod n=k+1:

Kung gayon ang pagkakakilanlan ay wasto para sa anumang natural P.

Aralin bilang 6.

Paglutas ng mga problema sa divisibility.

Halimbawa #20. Patunayan sa pamamagitan ng mathematical induction na

hinati ng 6 walang bakas.

Patunay.

Sa n=1 may dibisyon sa6 walang bakas,
.

Hayaan sa n=k pagpapahayag
maramihan6.

Patunayan natin na kung kailan n=k+1 pagpapahayag
maramihan6 .

Ang bawat termino ay maramihang 6 , kaya ang kabuuan ay multiple ng 6 .

Halimbawang numero 21.
sa5 walang bakas.

Patunay.

Sa n=1 mahahati ang ekspresyon
.

Hayaan sa n=k pagpapahayag
nahahati din sa5 walang bakas.

Sa n=k+1 hinati ng 5 .

Halimbawa #22. Patunayan ang divisibility ng isang expression
sa16.

Patunay.

Sa n=1 maramihan 16 .

Hayaan sa n=k
maramihan16.

Sa n=k+1

Ang lahat ng mga termino ay nahahati ng 16: ang una ay malinaw naman ang pangalawa sa pamamagitan ng pagpapalagay, at ang pangatlo ay may pantay na numero sa mga bracket.

Halimbawa #23. Patunayan ang divisibility
sa676.

Patunay.

Patunayan muna natin yan
hinati ng
.

Sa n=0
.

Hayaan sa n=k
hinati ng26 .

Pagkatapos sa n=k+1 hinati ng 26 .

Patunayan natin ngayon ang assertion na nabuo sa kondisyon ng problema.

Sa n=1 hinati ng 676.

Sa n=k totoo ba na
hinati ng26 2 .

Sa n=k+1 .

Ang parehong mga termino ay nahahati ng 676 ; ang una ay dahil napatunayan natin ang divisibility sa pamamagitan ng 26 expression sa mga bracket, at ang pangalawa ay mahahati ng inductive hypothesis.

Aralin bilang 7.

Paglutas ng mga problema sa divisibility.

Halimbawang numero 24.

Patunayan mo yan
hinati ng5 walang bakas.

Patunay.

Sa n=1
hinati ng5.

Sa n=k
hinati ng5 walang bakas.

Sa n=k+1 ang bawat termino ay nahahati ng5 walang bakas.

Halimbawa #25.

Patunayan mo yan
hinati ng6 walang bakas.

Patunay.

Sa n=1
hinati ng6 walang bakas.

Hayaan sa n=k
hinati ng6 walang bakas.

Sa n=k+1 hinati ng 6 walang natitira, dahil ang bawat termino ay nahahati ng6 nang walang natitira: ang unang termino, sa pamamagitan ng inductive assumption, ang pangalawa, malinaw naman, ang pangatlo, dahil
kahit na numero.

Halimbawa #26.

Patunayan mo yan
kapag hinahati sa9 nagbibigay ng natitira 1 .

Patunay.

Patunayan natin yan
hinati ng9 .

Sa n=1
hinati ng 9 . Hayaan sa n=k
hinati ng9 .

Sa n=k+1 hinati ng 9 .

Halimbawang numero 27.

Patunayan na mahahati ng15 walang bakas.

Patunay.

Sa n=1 hinati ng 15 .

Hayaan sa n=k hinati ng 15 walang bakas.

Sa n=k+1

Ang unang termino ay maramihang15 sa pamamagitan ng induction hypothesis, ang pangalawang termino ay isang multiple ng15 – malinaw naman, ang ikatlong termino ay maramihan ng15 , dahil
maramihan5 (napatunayan sa halimbawa Blg. 21), ang ikaapat at ikalimang termino ay maramihan din5 , na kitang-kita, kung gayon ang kabuuan ay isang multiple ng15 .

Aralin bilang 8-9.

Patunay ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng mathematical induction

Halimbawa #28.
.

Sa n=1 meron kami
- tama.

Hayaan sa n=k
ay isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay.

Sa n=k+1

Kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto para sa anumang natural P.

Halimbawa #29. Patunayan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo
para sa anumang P.

Sa n=1 nakukuha natin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay 4 >1.

Hayaan sa n=k ang hindi pagkakapantay-pantay
.

Patunayan natin na kung kailan n=k+1 ang hindi pagkakapantay-pantay

Para sa anumang natural sa ang hindi pagkakapantay-pantay ay sinusunod.

Kung ang
sa
pagkatapos

Halimbawa #30.

para sa anumang natural P at anuman

Hayaan n=1
, tama.

Ipagpalagay natin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak para sa n=k:
.

Sa n=k+1

Halimbawang numero 31. Patunayan ang bisa ng hindi pagkakapantay-pantay

para sa anumang natural P.

Patunayan muna natin iyon para sa anumang natural t ang hindi pagkakapantay-pantay

I-multiply ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa
. Nakakakuha tayo ng katumbas na hindi pagkakapantay-pantay o
;
; - ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nananatili sa anumang natural t.

Sa n=1 ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay totoo
;
;
.

Hayaang manatili ang hindi pagkakapantay-pantay n=k:
.

Sa n=k+1

Aralin bilang 10.

Paglutas ng mga problema sa paksa

Paraan ng mathematical induction.

Halimbawa #32. Patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bernoulli.

Kung ang
, pagkatapos ay para sa lahat ng natural na halagaP ang hindi pagkakapantay-pantay

Patunay.

Sa n=1 ang hindi pagkakapantay-pantay na pinatutunayan ay tumatagal ng anyo
at halatang tama. Ipagpalagay natin na totoo ito para san=k , ibig sabihin, ano
.

Dahil ayon sa kondisyon
, pagkatapos
, at samakatuwid ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago ng kahulugan nito kapag ang parehong mga bahagi nito ay pinarami ng
:

kasi
, pagkatapos makuha namin iyon

.

Kaya ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa n=1, at mula sa katotohanan nito sa n=k ito ay sumusunod na ito ay totoo at n=k+1. Samakatuwid, sa pamamagitan ng mathematical induction, ito ay humahawak para sa lahat ng natural P.

Halimbawa,

Halimbawa numero 33. Hanapin ang lahat ng natural na halagaP , kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon.

Sa n=1 tama ang hindi pagkakapantay-pantay. Sa n=2 totoo rin ang hindi pagkakapantay-pantay.

Sa n=3 hindi na nasisiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay. Kapag lang n=6 ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak, upang para sa batayan ng induction na maaari nating kunin n=6.

Ipagpalagay na ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa ilang natural sa:

Isaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay

Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak kung
Pagsusulit sa paksa n=1 ay ibinibigay nang paulit-ulit: n≥5 , kung saan P- -natural na numero.

Ministri ng Edukasyon ng Rehiyon ng Saratov

Saratov State Socio-Economic University

Rehiyonal na kompetisyon ng matematika at gawain sa kompyuter mga mag-aaral

"Vector ng Hinaharap - 2007"

"Paraan ng mathematical induction.

Ang aplikasyon nito sa paglutas ng mga problema sa algebraic"

(seksyon "matematika")

malikhaing gawain

10 "A" na mga mag-aaral sa klase

MOU "Gymnasium No. 1"

Oktyabrsky distrito ng Saratov

Harutyunyan Gayane.

Tagapamahala ng trabaho:

guro sa matematika

Grishina Irina Vladimirovna

Saratov

2007

Panimula……………………………………………………………………………………3

Ang prinsipyo ng mathematical induction at nito

patunay…………………………………………………………………………..4

Mga halimbawa ng paglutas ng suliranin…………………………………………………………………………..9

Konklusyon……………………………………………………………………………..16

Panitikan……………………………………………………………………………………17

Panimula.

Ang pamamaraan ng induction ng matematika ay maihahambing sa pag-unlad. Nagsisimula kami mula sa pinakamababa, bilang isang resulta lohikal na pag-iisip dumating tayo sa pinakamataas. Ang tao ay palaging nagsusumikap para sa pag-unlad, para sa kakayahang paunlarin ang kanyang pag-iisip nang lohikal, na nangangahulugan na ang kalikasan mismo ang nagtalaga sa kanya na mag-isip nang pasaklaw at palakasin ang kanyang pag-iisip sa pamamagitan ng ebidensya na isinasagawa ayon sa lahat ng mga patakaran ng lohika.
Sa kasalukuyan, ang larangan ng aplikasyon ng pamamaraan ng induction ng matematika ay lumago, ngunit sa kurikulum ng paaralan Sa kasamaang palad, wala siyang maraming oras. Ngunit ito ay napakahalaga - ang makapag-isip nang pasaklaw.

Ang prinsipyo ng mathematical induction at ang patunay nito

Bumaling tayo sa kakanyahan ng pamamaraan ng induction ng matematika. Isaalang-alang natin ang iba't ibang mga pahayag. Maaari silang hatiin sa pangkalahatan at partikular.Magbigay tayo ng mga halimbawa ng pangkalahatang pahayag.

Lahat ng mamamayan ng Russia ay may karapatan sa edukasyon.

Sa anumang paralelogram, ang mga dayagonal sa punto ng intersection ay hinati.

Ang lahat ng mga numero na nagtatapos sa zero ay nahahati sa 5.

Mga nauugnay na halimbawa ng mga pribadong pahayag:

May karapatan si Petrov sa edukasyon.

Sa parallelogram ABCD, ang mga diagonal sa punto ng intersection ay nahahati.

Ang 140 ay nahahati sa 5.

Ang paglipat mula sa mga pangkalahatang pahayag patungo sa mga partikular ay tinatawag na pagbabawas (mula sa Latin deductio - konklusyon ayon sa mga patakaran ng lohika).

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng deductive inference.

Lahat ng mamamayan ng Russia ay may karapatan sa edukasyon. (isa)

Si Petrov ay isang mamamayan ng Russia. (2)

May karapatan si Petrov sa edukasyon. (3)

Mula sa pangkalahatang assertion (1) sa tulong ng (2) nakuha ang partikular na assertion (3).

Ang baligtad na paglipat mula sa partikular na mga pahayag patungo sa pangkalahatang mga pahayag ay tinatawag na induction (mula sa Latin pagtatalaga sa tungkulin - gabay).

Ang induction ay maaaring humantong sa parehong tama at maling konklusyon.

Ipaliwanag natin ito sa dalawang halimbawa.

Ang 140 ay nahahati sa 5. (1)

Ang lahat ng mga numero na nagtatapos sa zero ay nahahati sa 5. (2)

Ang 140 ay nahahati sa 5. (1)

Ang lahat ng tatlong-digit na numero ay nahahati sa 5. (2)

Mula sa partikular na pahayag (1) ang pangkalahatang pahayag (2) ay nakuha. Ang pahayag (2) ay totoo.

Ang pangalawang halimbawa ay nagpapakita kung paano ang isang pangkalahatang pahayag (3) ay maaaring makuha mula sa isang partikular na pahayag (1) , bukod pa rito, ang pahayag (3) ay hindi totoo.

Tanungin natin ang ating sarili kung paano gamitin ang induction sa matematika upang makakuha lamang ng mga tamang konklusyon. Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa ng induction, na hindi katanggap-tanggap sa matematika.

Halimbawa 1.

Isaalang-alang ang isang parisukat na trinomial ng sumusunod na anyo Р(x)= x 2 + x + 41, na binigyang pansin ni Leonard Euler.

P(0) = 41, P(1) = 43, P(2) = 47, P(3) = 53, P(4) = 61, P(5) = 71, P(6) = 83, P (7) = 97, P(8) = 113, P(9)=131, P(10) = 151.

Nakikita natin na sa tuwing ang halaga ng trinomial ay isang prime number. Batay sa mga resultang nakuha, iginiit namin na kapag pinapalitan ang trinomial na isinasaalang-alang, sa halip na x Ang anumang hindi negatibong integer ay palaging nagreresulta sa isang prime number.

Gayunpaman, ang konklusyong iginuhit ay hindi maituturing na maaasahan. Anong problema? Ang katotohanan ay na sa pangangatwiran, ang mga pangkalahatang pahayag ay ginawa tungkol sa anumang x lamang sa batayan na ang pahayag na ito ay naging totoo para sa ilang mga halaga ng x.

Sa katunayan, sa mas malapit na pagsusuri sa trinomial na P(x), ang mga numerong P(0), P(1), ..., P(39) ay mga prime number, ngunit ang P(40) = 41 2 ay isang composite number. At medyo malinaw: P(41) = 41 2 +41+41 ay isang multiple ng 41.

Sa halimbawang ito, nakatagpo kami ng isang pahayag na totoo sa 40 espesyal na kaso ngunit naging hindi patas sa pangkalahatan.

Tingnan natin ang ilan pang halimbawa.

Halimbawa 2

Noong ika-17 siglo, si V.G. Pinatunayan ni Leibniz na para sa anumang natural na n, ang mga numero ng anyong n 3 - n ay multiple ng 3, n 5 - n ay multiple ng 5, n 7 - n ay multiple ng 7. Batay dito, iminungkahi niya na para sa anumang odd k at natural n, ang bilang n k - n multiple ng k, ngunit hindi nagtagal ay napansin niya mismo na 2 9 -2=510, na, malinaw naman, ay hindi nahahati ng 9.

Ang isinasaalang-alang na mga halimbawa ay nagpapahintulot sa amin na gumawa ng isang mahalagang konklusyon: ang isang pahayag ay maaaring totoo sa ilang mga espesyal na kaso at sa parehong oras ay hindi makatarungan sa pangkalahatan.

Ang tanong ay natural na lumitaw: mayroong isang pahayag na totoo sa ilang mga espesyal na kaso; imposibleng isaalang-alang ang lahat ng mga espesyal na kaso; paano mo malalaman kung totoo ang pahayag na ito?

Ang tanong na ito kung minsan ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paglalapat ng isang espesyal na paraan ng pangangatwiran na tinatawag na paraan ng matematikal na induction. Ang pamamaraang ito ay batay sa prinsipyo ng mathematical induction, natapos sa sumusunod: ang pahayag ay totoo para sa anumang natural n kung:

ito ay may bisa para sa n = 1;

mula sa bisa ng pahayag para sa ilang di-makatwirang natural n =k , ito ay sumusunod na ito ay totoo para sa n = k +1.

Patunay.

Ipagpalagay ang kabaligtaran, iyon ay, hayaan ang pahayag ay totoo hindi para sa bawat natural n. Pagkatapos ay mayroong isang natural na numero m tulad na

ang pahayag para sa n =m ay hindi totoo,

para sa lahat n

Malinaw na ang m >1, dahil totoo ang assertion para sa n =1 (kondisyon 1). Samakatuwid, ang m -1 ay isang natural na numero. Para sa isang natural na numero m -1 ang pahayag ay totoo, ngunit para sa susunod na natural na bilang m ito ay hindi totoo. Ito ay sumasalungat sa kondisyon 2. Ang resultang kontradiksyon ay nagpapakita na ang palagay ay mali. Samakatuwid, ang assertion ay totoo para sa anumang natural n, h.e.d.

Ang isang patunay batay sa prinsipyo ng mathematical induction ay tinatawag na isang patunay sa pamamagitan ng pamamaraan ng mathematical induction. Ang nasabing patunay ay dapat na binubuo ng dalawang bahagi, mula sa patunay ng dalawang independiyenteng theorems.

Teorama 1. Ang pahayag ay totoo para sa n =1.

Teorama 2. Ang pahayag ay totoo para sa n =k +1 kung ito ay totoo para sa n=k, kung saan ang k ay isang arbitraryong natural na numero.

Kung ang parehong mga teorema ay napatunayan, kung gayon, batay sa prinsipyo ng matematikal na induction, ang pahayag ay totoo para sa anumang
natural n .

Dapat bigyang-diin na ang patunay sa pamamagitan ng mathematical induction ay tiyak na nangangailangan ng patunay ng parehong Theorems 1 at 2. Ang pagpapabaya sa Theorem 2 ay humahantong sa maling konklusyon (halimbawa 1-2). Ipakita natin sa pamamagitan ng isang halimbawa kung gaano kinakailangan ang patunay ng Theorem 1.

Halimbawa 3. "Theorem": bawat natural na numero ay katumbas ng natural na bilang na sumusunod dito.

Ang patunay ay isasagawa sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction.

Ipagpalagay na ang k = k +1 (1).

Patunayan natin na k +1=k +2 (2). Upang gawin ito, magdagdag ng 1 sa bawat bahagi ng "pagkakapantay-pantay" (1). Nakukuha namin ang "pagkakapantay-pantay" (2). Ito ay lumalabas na kung ang pahayag ay totoo para sa n =k , kung gayon ito ay totoo rin para sa n =k +1., atbp.

Isang halatang "kinahinatnan" mula sa "teorem": lahat ng natural na numero ay pantay.

Ang error ay nakasalalay sa katotohanan na ang Theorem 1, na kinakailangan para sa paglalapat ng prinsipyo ng mathematical induction, ay hindi napatunayan at hindi totoo, ngunit ang pangalawang teorama lamang ang napatunayan.

Ang theorems 1 at 2 ay partikular na kahalagahan.

Ang Theorem 1 ay lumilikha ng batayan para sa induction. Ang Theorem 2 ay nagbibigay ng karapatan sa walang limitasyong awtomatikong pagpapalawak ng base na ito, ang karapatang lumipat mula sa partikular na kaso patungo sa susunod, mula n hanggang n + 1.

Kung ang Theorem 1 ay hindi pa napatunayan, ngunit ang Theorem 2 ay napatunayan, kung gayon, samakatuwid, ang batayan para sa induction ay hindi nilikha, at pagkatapos ay walang saysay na ilapat ang Theorem 2, dahil mayroong, sa katunayan, walang dapat palawakin.

Kung ang Theorem 2 ay hindi napatunayan, at ang Theorem 1 lamang ang napatunayan, kung gayon, kahit na ang batayan para sa pagsasagawa ng induction ay nilikha, ang karapatang palawakin ang base na ito ay wala.

Remarks.

Minsan ang ikalawang bahagi ng patunay ay batay sa bisa ng pahayag hindi lamang para sa n =k, kundi pati na rin para sa n =k -1. Sa kasong ito, ang pahayag sa unang bahagi ay dapat na masuri para sa susunod na dalawang halaga ng n .

Minsan ang pahayag ay pinatunayan hindi para sa anumang natural n , ngunit para sa n > m , kung saan ang m ay ilang integer. Sa kasong ito, sa unang bahagi ng patunay, ang assertion ay napatunayan para sa n =m +1, at kung kinakailangan, para sa ilang kasunod na mga halaga ng n.

Ang pagbubuod sa kung ano ang sinabi, mayroon tayo: ang paraan ng matematikal na induction ay nagpapahintulot, sa paghahanap ng isang pangkalahatang batas, na subukan ang mga hypotheses na lumitaw sa kasong ito, itapon ang mga mali at igiit ang totoo.

Alam ng lahat ang papel ng mga proseso ng pag-generalize ng mga resulta ng mga indibidwal na obserbasyon at eksperimento (ibig sabihin, induction) para sa empirical, eksperimental na agham. Ang matematika, sa kabilang banda, ay matagal nang itinuturing na isang klasikong halimbawa ng pagpapatupad ng mga purong deduktibong pamamaraan, dahil laging tahasan o implicit na ipinapalagay na ang lahat ng mga proposisyon sa matematika (maliban sa mga tinanggap bilang mga paunang - axiom) ay napatunayan, at mga partikular na aplikasyon. ng mga proposisyong ito ay hinango mula sa mga patunay na angkop para sa mga pangkalahatang kaso (bawas).

Ano ang ibig sabihin ng induction sa matematika? Dapat ba itong maunawaan bilang isang hindi lubos na maaasahang pamamaraan, at kung paano maghanap ng isang pamantayan para sa pagiging maaasahan ng naturang mga pamamaraan ng pasaklaw? O ang katiyakan ng mga konklusyon sa matematika na kapareho ng mga pang-eksperimentong paglalahat ng mga pang-eksperimentong agham, nang sa gayon ay hindi masamang "i-verify" ang anumang napatunayang katotohanan? Sa katotohanan, hindi ito ang kaso.

Ang induction (guidance) sa isang hypothesis ay gumaganap ng isang napakahalaga ngunit purong heuristic na papel sa matematika: pinapayagan nito ang isa na hulaan kung ano ang dapat na solusyon. Ngunit ang mga proposisyong matematikal ay itinatag lamang nang deduktibo. At ang paraan ng mathematical induction ay isang purong deductive na paraan ng patunay. Sa katunayan, ang patunay na isinagawa ng pamamaraang ito ay binubuo ng dalawang bahagi:

ang tinatawag na "batayan" - isang deduktibong patunay ng nais na pangungusap para sa isa (o ilang) natural na mga numero;

isang pasaklaw na hakbang na binubuo ng isang deduktibong patunay ng isang pangkalahatang pahayag. Ang teorama ay tiyak na napatunayan para sa lahat ng mga natural na numero. Mula sa batayan na napatunayan, halimbawa, para sa numero 0, nakukuha namin, sa pamamagitan ng hakbang sa induction, ang patunay para sa numero 1, pagkatapos ay sa parehong paraan para sa 2, para sa 3 ... - at sa gayon ang pahayag ay maaaring makatwiran para sa anumang natural na numero.

Sa madaling salita, ang pangalang "mathematical induction" ay dahil sa ang katunayan na ang pamamaraang ito ay iniuugnay lamang sa ating isipan sa tradisyonal na inductive na pangangatwiran (pagkatapos ng lahat, ang batayan ay talagang napatunayan lamang para sa isang partikular na kaso); ang inductive step, sa kaibahan sa plausibility criteria ng inductive reasoning batay sa karanasan sa natural at social sciences, ay isang pangkalahatang pahayag na hindi nangangailangan ng anumang partikular na premise at pinatutunayan ayon sa mahigpit na canon ng deductive reasoning. Samakatuwid, ang mathematical induction ay tinatawag na "kumpleto" o "perpekto", dahil ito ay isang deduktibo, ganap na maaasahang paraan ng patunay.

Mga halimbawa ng solusyon sa problema

Induction sa algebra

Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng mga problema sa algebraic, pati na rin ang patunay ng iba't ibang hindi pagkakapantay-pantay na maaaring malutas gamit ang paraan ng matematikal na induction.

Gawain 1. Hulaan ang formula para sa kabuuan at patunayan ito.

PERO( n )= 2  1 2 + 3 2 2 + …..+(n +1) n 2 .

Solusyon.

1. Ibahin natin ang expression para sa kabuuan А(n):

A(n)= 2  1 2 + 3  2 2 + ….+ (n+1) n 2 = (1+1) 1 2 + (2+1) 2 2 + …. + (n+1) n 2 = =1  1 2 + 2  2 2 + …+n  n 2 + 1 2 + 2 2 +… +n 2 =1 3 + 2 3 +… +n 3 +1 2 + 2 2 +… +n 2 = В(n) + C(n), kung saan B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 , C(n)= 1 2 + 2 2 + …+ n 2 .

2. Isaalang-alang ang mga kabuuan C (n) at B (n).

a) C( n ) = 1 2 + 2 2 +…+ n 2 . Isa sa mga madalas na nakakaharap na mga problema sa paraan ng matematikal na induction ay upang patunayan na para sa anumang natural n , ang pagkakapantay-pantay

1 2 + 2 2 +…+ n 2 = (1)

Ipagpalagay na ang (1) ay totoo para sa lahat ng n  N.

b ) B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 . Pagmasdan natin kung paano nagbabago ang mga halaga ng B (n) depende sa n.

B(1) = 1 3 = 1 .

B(2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2

B(3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 =

Kaya, maaari itong ipagpalagay na
B (n) = (1 + 2 + ….+ n) 2 =
(2)

c) Bilang resulta, para sa kabuuan na А(n) na nakukuha natin

PERO( n ) ==

= (*)

3. Patunayan natin ang nakuhang formula (*) sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction.

a) suriin ang pagkakapantay-pantay (*) para sa n = 1.

A(1) = 2  =2,

Malinaw, ang formula (*) ay totoo para sa n = 1.

b) ipagpalagay na ang formula (*) ay totoo para sa n=k , kung saan k N, iyon ay, ang pagkakapantay-pantay

A(k)=

Batay sa palagay, patunayan natin ang bisa ng formula para sa n =k +1. Talaga,

A(k+1)=

Dahil ang formula (*) ay totoo para sa n =1, at mula sa pagpapalagay na ito ay totoo para sa ilang natural na k , ito ay sumusunod na ito ay totoo para sa n =k +1, batay sa prinsipyo ng mathematical induction ay napagpasyahan namin na ang pagkakapantay-pantay

humahawak para sa anumang natural n .

Gawain 2.

Kalkulahin ang kabuuan 1-2 + 3-4 +…(-1) n -1 n .

Solusyon.

Isulat natin ang mga halaga ng mga kabuuan para sa magkakaibang mga halaga ng n nang sunud-sunod.

A(1)=1, A(2)=1-2= -1, A(3)=1-2+3=2, A(4)=1-2+3-4= -2,

A(5)=1-2+3-4+5=3, A(6)=1-2+3-4+5-6= -3.

Sa pagmamasid sa pattern, maaari nating ipagpalagay na A (n)= - para sa kahit na n at A (n)=
para sa kakaiba n. Pagsamahin natin ang parehong mga resulta sa isang solong formula:

A(n) =
, kung saan ang r ay ang natitira sa paghahati ng n sa 2.

At r , ay malinaw na tinutukoy ng sumusunod na panuntunan

0 kung n ay pantay,

r=

1 kung n ay kakaiba.

Pagkatapos r(maaaring hulaan) ay maaaring katawanin bilang:

Sa wakas nakuha namin ang formula para sa A (n):

A(n)=

(*)

Patunayan natin ang pagkakapantay-pantay (*) para sa lahat ng n  N paraan ng mathematical induction.

2. a) Suriin ang pagkakapantay-pantay (*) para sa n =1. A(1) = 1=

Ang pagkakapantay-pantay ay patas

b) Ipagpalagay na ang pagkakapantay-pantay

1-2+3-4+…+(-1) n-1 n=

totoo sa n=k. Patunayan natin na ito ay wasto din para sa n =k + 1, i.e.

A(k+1)=

talaga,

A(k+1)=A(k)+(-1) k (k+1) =

=

Q.E.D.

Ang paraan ng mathematical induction ay ginagamit din upang malutas ang mga problema sa divisibility.

Gawain 3.

Patunayan na ang bilang N (n)=n 3 + 5n ay nahahati sa 6 para sa anumang natural na n.

Patunay.

Sa n =1 ang bilang N (1)=6 at samakatuwid ang pahayag ay totoo.

Hayaang ang bilang na N (k )=k 3 +5k ay nahahati ng 6 para sa ilang natural na k. Patunayan natin na ang N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1) ay nahahati ng 6. Sa katunayan, mayroon kami
N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1)=(k 3 +5k )+3k (k +1)+6.

Dahil ang Ang k at k +1 ay magkatabing natural na mga numero, kung gayon ang isa sa mga ito ay kinakailangang pantay, kaya ang expression na 3k (k +1) ay nahahati sa 6. Kaya, nakuha namin na ang N (k +1) ay nahahati din ng 6. Output numero N (n)=n 3 + 5n ay nahahati sa 6 para sa anumang natural na n.

Isaalang-alang ang solusyon ng isang mas kumplikadong problema sa divisibility, kapag ang paraan ng kumpletong mathematical induction ay kailangang ilapat nang maraming beses.

Gawain 4.

Patunayan na para sa anumang natural n ang numero
ay hindi kahit na mahahati ng 2 n +3 .

Patunay.

Imagine
sa anyo ng isang akda
=

= (*)

Sa pamamagitan ng pagpapalagay, ang unang salik sa (*) ay hindi pantay na nahahati sa bilang na 2 k +3 , iyon ay, sa representasyon ng isang pinagsama-samang numero
sa anyo ng isang produkto ng mga prime number, ang numero 2 ay inuulit nang hindi hihigit sa (k + 2) beses. Kaya upang patunayan na ang bilang
ay hindi nahahati ng 2 k +4 , dapat nating patunayan iyon
ay hindi nahahati sa 4.

Upang patunayan ang assertion na ito, pinatutunayan namin ang isang auxiliary assertion: para sa anumang natural na n, ang bilang na 3 2 n +1 ay hindi nahahati ng 4. Para sa n =1, ang assertion ay halata, dahil ang 10 ay hindi nahahati ng 4 na walang natitira. Ipagpalagay na ang 3 2 k +1 ay hindi mahahati ng 4, pinatutunayan namin na ang 3 2(k +1) +1 ay hindi rin mahahati.
sa pamamagitan ng 4. Katawanin natin ang huling expression bilang kabuuan:

3 2(k+1) +1=3 2k+2 +1=3 2k * 9+1=(3 2k +1)+8 * 3 2k . Ang pangalawang termino ng kabuuan ay nahahati sa 4, ngunit ang una ay hindi mahahati. Samakatuwid, ang buong kabuuan ay hindi mahahati ng 4 nang walang natitira. Ang auxiliary assertion ay napatunayan.

Ngayon ay malinaw na iyon
ay hindi nahahati sa 4 dahil ang 2k ay isang even na numero.

Sa wakas, nakuha namin ang numero
ay hindi pantay na nahahati ng 2 n +3 para sa anumang natural n .

Isaalang-alang ngayon ang isang halimbawa ng paglalapat ng induction sa patunay ng hindi pagkakapantay-pantay.

Gawain 5.

Para sa aling natural n ang hindi pagkakapantay-pantay 2 n > 2n + 1 ay totoo?

Solusyon.

1. Kailan n=1 2 1< 2*1+1,

sa n=2 2 2< 2*2+1,

sa n =3 2 3 > 2*3+1,

sa n =4 2 4 > 2*4+1.

Tila, ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto para sa anumang natural n  3. Patunayan natin ang assertion na ito.

2. Kailan n =3 naipakita na ang bisa ng hindi pagkakapantay-pantay. Ngayon hayaan ang hindi pagkakapantay-pantay na maging wasto para sa n =k , kung saan ang k ay ilang natural na bilang na hindi bababa sa 3, i.e.

2 k > 2k+1 (*)

Patunayan natin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto din para sa n =k +1, ibig sabihin, 2 k +1 >2(k +1)+1. Multiply (*) sa 2, makakakuha tayo ng 2 k +1 >4k +2. Ihambing natin ang mga expression na 2(k +1)+1 at 4k +2.

4k+2-(2(k+1)+1)=2k-1. Malinaw, 2k -1>0 para sa anumang natural na k . Pagkatapos ay 4k +2>2(k +1)+1, ibig sabihin. 2k+1 >2(k+1)+1. Napatunayan na ang assertion.

Gawain 6.

Inequality para sa arithmetic mean at geometric mean ng n non-negative na numero (Cauchy's inequality)., nakukuha namin =

Kung hindi bababa sa isa sa mga numero
ay katumbas ng zero, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay (**) ay wasto din.

Konklusyon.

Sa paggawa ng gawain, pinag-aralan ko ang kakanyahan ng pamamaraan ng induction ng matematika at ang patunay nito. Ang papel ay nagpapakita ng mga problema kung saan ang isang mahalagang papel ay ginampanan ng hindi kumpletong induction, na humahantong sa ang tamang desisyon, at pagkatapos ay isinasagawa ang patunay na nakuha ng pamamaraan ng induction ng matematika.

Panitikan.

Boltyansky V.G., Sidorov Yu.V., Shaburin M.I. Mga lektura at problema sa elementarya na matematika; Agham, 1974.

Vilenkin N.Ya. , Shvartburd S.I. Pagsusuri sa matematika.-
M.: Edukasyon, 1973.

Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Malalim na pag-aaral ng kurso ng algebra at mathematical analysis - M .: Education, 1990.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I. Algebra at pagsusuri ng elementarya function.- M.: Nauka, 1980.

Sominsky I.S., Golovina M.L., Yaglom I.M. Sa mathematical induction. - M.: Nauka, 1967.

Kung ang pangungusap na A(n), na nakasalalay sa isang natural na bilang n, ay totoo para sa n=1, at mula sa katotohanang ito ay totoo para sa n=k (kung saan ang k ay anumang natural na numero), ito ay sumusunod na ito ay true para sa susunod na numero n=k +1, kung gayon ang Assumption A(n) ay totoo para sa anumang natural na numero n.

Sa ilang mga kaso, maaaring kailanganing patunayan ang bisa ng isang tiyak na pahayag hindi para sa lahat ng natural na numero, ngunit para lamang sa n>p, kung saan ang p ay isang nakapirming natural na numero. Sa kasong ito, ang prinsipyo ng mathematical induction ay nabuo bilang mga sumusunod.

Kung totoo ang proposisyon A(n) para sa n=p at kung A(k) X A(k+1) para sa anumang k>p, totoo ang proposisyon A(n) para sa anumang n>p.

Ang patunay sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction ay isinasagawa bilang mga sumusunod. Una, ang assertion na patunayan ay sinusuri para sa n=1, ibig sabihin, ang katotohanan ng pahayag A(1) ay itinatag. Ang bahaging ito ng patunay ay tinatawag na batayan ng induction. Sinusundan ito ng isang bahagi ng patunay na tinatawag na induction step. Sa bahaging ito, ang bisa ng pahayag para sa n=k+1 ay pinatutunayan sa ilalim ng pagpapalagay na ang pahayag ay totoo para sa n=k (ang inductive assumption), i.e. patunayan na A(k) ~ A(k+1)

Patunayan na 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

• 1) Mayroon kaming n=1=1 2 . Samakatuwid, ang pahayag ay totoo para sa n=1, i.e. A(1) totoo
• 2) Patunayan natin na A(k) ~ A(k+1)

Hayaang k ang anumang natural na numero at hayaang maging totoo ang pahayag para sa n=k, i.e.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

Patunayan natin na kung gayon ang assertion ay totoo din para sa susunod na natural na numero n=k+1, i.e. Ano

• 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 Sa katunayan,
• 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

Kaya, A(k) X A(k+1). Batay sa prinsipyo ng mathematical induction, napagpasyahan namin na ang palagay na A(n) ay totoo para sa anumang n О N

Patunayan mo yan

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \u003d (x n + 1 -1) / (x-1), kung saan ang x No. 1

• 1) Para sa n=1 nakukuha natin
• 1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

samakatuwid, para sa n=1 ang formula ay totoo; A(1) totoo

• 2) Hayaang k ang anumang natural na numero at hayaang totoo ang formula para sa n=k,
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

Patunayan natin na pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay

• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) Talaga
• 1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

Kaya A(k) ⋅ A(k+1). Batay sa prinsipyo ng mathematical induction, napagpasyahan namin na ang formula ay totoo para sa anumang natural na numero n

Patunayan na ang bilang ng mga dayagonal ng isang matambok n-gon ay n(n-3)/2

Solusyon: 1) Para sa n=3, ang pahayag ay totoo, dahil sa tatsulok

Isang 3 \u003d 3 (3-3) / 2 \u003d 0 diagonal; A 2 A(3) totoo

2) Ipagpalagay na sa anumang convex k-gon ay may A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 diagonals. A k Patunayan natin na sa isang matambok na A k+1 (k+1)-gon ang bilang ng mga dayagonal A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

Hayaang А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -matambok (k+1)-gon. Gumuhit tayo ng dayagonal na A 1 A k dito. Bilangin kabuuang bilang diagonal nito (k + 1)-gon, kailangan mong bilangin ang bilang ng mga diagonal sa k-gon A 1 A 2 ...A k , idagdag ang k-2 sa resultang numero, i.e. ang bilang ng mga diagonal ng (k+1)-gon na nagmumula sa vertex A k+1 , at, bilang karagdagan, dapat isaalang-alang ang dayagonal A 1 A k

Sa ganitong paraan,

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

Kaya A(k) ⋅ A(k+1). Dahil sa prinsipyo ng mathematical induction, ang pahayag ay totoo para sa anumang convex n-gon.

Patunayan na para sa anumang n ang pahayag ay totoo:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

2) Ipagpalagay na n=k

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6

3) Isaalang-alang ang pahayag na ito para sa n=k+1

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

Napatunayan namin ang bisa ng pagkakapantay-pantay para sa n=k+1, samakatuwid, sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang pahayag ay totoo para sa anumang natural n

Patunayan na para sa anumang natural n ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4

Solusyon: 1) Hayaan n=1

Pagkatapos X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1. Nakikita natin na para sa n=1 ang pahayag ay totoo.

2) Ipagpalagay na ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa n=k

X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4

3) Patunayan natin ang katotohanan ng pahayag na ito para sa n=k+1, i.e.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

Ito ay makikita mula sa itaas na patunay na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1, samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa anumang natural n

Patunayan mo yan

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ … ґ ((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), kung saan n>2

Solusyon: 1) Para sa n=2, ang pagkakakilanlan ay mukhang:

• (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), ibig sabihin. ito ay totoo
• 2) Ipagpalagay na ang expression ay totoo para sa n=k
• (2 3 +1) / (2 3 -1) ґ ... ґ (k 3 +1) / (k 3 -1) \u003d 3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1)
• 3) Papatunayan natin ang kawastuhan ng expression para sa n=k+1
• (((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ґ (((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ґ ((k+2)((k+)

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)

Napatunayan namin ang bisa ng pagkakapantay-pantay para sa n=k+1, samakatuwid, sa pamamagitan ng pamamaraan ng induction ng matematika, ang pahayag ay totoo para sa anumang n>2

Patunayan mo yan

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) para sa anumang natural n

Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos

• 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
• 2) Ipagpalagay na n=k, kung gayon
• 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
• 3) Patunayan natin ang katotohanan ng pahayag na ito para sa n=k+1
• (1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

Ang bisa ng pagkakapantay-pantay para sa n=k+1 ay napatunayan din, samakatuwid ang pahayag ay totoo para sa anumang natural na n.

Patunayan ang bisa ng pagkakakilanlan

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2 /3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) para sa anumang natural n

• 1) Para sa n=1 ang pagkakakilanlan ay totoo 1 2 /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
• 2) Ipagpalagay na para sa n=k
• (1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
• 3) Pinatunayan namin na ang pagkakakilanlan ay totoo para sa n=k+1
• (1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1)

Ito ay makikita mula sa itaas na patunay na ang assertion ay totoo para sa anumang positibong integer n.

Patunayan na ang (11 n+2 +12 2n+1) ay nahahati sa 133 nang walang natitira

Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

Ngunit ang (23 ґ 133) ay nahahati sa 133 nang walang nalalabi, kaya para sa n=1 ang pahayag ay totoo; A(1) ay totoo.

• 2) Ipagpalagay na ang (11 k+2 +12 2k+1) ay nahahati sa 133 nang walang natitira
• 3) Patunayan natin na sa kasong ito (11 k+3 +12 2k+3) ay nahahati sa 133 nang walang nalalabi. Sa totoo lang
• 11 k+3 +12 2k+3 =11 ґ 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 ґ 11 k+2 +

+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

Ang resultang halaga ay nahahati sa 133 nang walang natitira, dahil ang unang termino nito ay nahahati sa 133 na walang nalalabi sa pamamagitan ng pagpapalagay, at sa pangalawa sa mga salik ay 133. Kaya, A (k) Yu A (k + 1). Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, napatunayan ang assertion

Patunayan na para sa anumang n 7 n -1 ay nahahati sa 6 na walang nalalabi

• 1) Hayaan ang n=1, pagkatapos ay ang X 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 ay hinati sa 6 na walang natitira. Kaya para sa n=1 ang pahayag ay totoo
• 2) Ipagpalagay na para sa n \u003d k 7 k -1 ay mahahati ng 6 nang walang natitira
• 3) Patunayan natin na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1

X k+1 \u003d 7 k + 1 -1 \u003d 7 ґ 7 k -7 + 6 \u003d 7 (7 k -1) + 6

Ang unang termino ay nahahati sa 6, dahil ang 7 k -1 ay nahahati sa 6 sa pamamagitan ng pagpapalagay, at ang pangalawang termino ay 6. Kaya ang 7 n -1 ay isang multiple ng 6 para sa anumang natural na n. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, napatunayan ang assertion.

Patunayan na ang 3 3n-1 +2 4n-3 para sa isang arbitrary positive integer n ay nahahati ng 11.

1) Hayaan n=1, pagkatapos

X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 ay nahahati sa 11 nang walang natitira.

Kaya para sa n=1 ang pahayag ay totoo

• 2) Ipagpalagay na para sa n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 ay nahahati ng 11 nang walang natitira
• 3) Pinatutunayan namin na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 3 3k-1 +2 4 2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16 2 4k-3 =(16+11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16 3 3k-1 +

11 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 3 3k-1

Ang unang termino ay nahahati ng 11 nang walang natitira, dahil ang 3 3k-1 +2 4k-3 ay nahahati sa 11 sa pamamagitan ng pagpapalagay, ang pangalawa ay nahahati ng 11, dahil ang isa sa mga kadahilanan nito ay ang numero 11. Kaya, ang kabuuan ay mahahati din ng 11 na walang nalalabi para sa anumang natural n. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, napatunayan ang assertion.

Patunayan na ang 11 2n -1 para sa isang arbitrary na positive integer n ay nahahati ng 6 na walang natitira

• 1) Hayaang n=1, pagkatapos ay 11 2 -1=120 ay nahahati sa 6 na walang natitira. Kaya para sa n=1 ang pahayag ay totoo
• 2) Ipagpalagay na para sa n=k 1 2k -1 ay nahahati sa 6 na walang natitira
• 11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

Ang parehong termino ay nahahati ng 6 na walang nalalabi: ang una ay naglalaman ng maramihang 6 na numero 120, at ang pangalawa ay nahahati ng 6 na walang nalalabi sa pamamagitan ng pagpapalagay. Kaya't ang kabuuan ay nahahati sa 6 na walang natitira. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, napatunayan ang assertion.

Patunayan na ang 3 3n+3 -26n-27 para sa isang arbitrary positive integer n ay nahahati ng 26 2 (676) nang walang natitira

Patunayan muna natin na ang 3 3n+3 -1 ay nahahati sa 26 na walang nalalabi

• 1. Kapag n=0
• 3 3 -1=26 ay nahahati sa 26
• 2. Ipagpalagay na para sa n=k
• 3 3k+3 -1 ay nahahati sa 26
• 3. Patunayan natin na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1
• 3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - ay nahahati ng 26

Patunayan natin ngayon ang assertion na nabuo sa kondisyon ng problema

• 1) Malinaw na para sa n=1 ang pahayag ay totoo
• 3 3+3 -26-27=676
• 2) Ipagpalagay na para sa n=k ang expression na 3 3k+3 -26k-27 ay nahahati ng 26 2 nang walang natitira
• 3) Patunayan natin na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1
• 3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

Ang parehong termino ay nahahati sa 26 2 ; ang una ay nahahati ng 26 2 dahil napatunayan natin na ang expression sa mga bracket ay nahahati ng 26, at ang pangalawa ay nahahati ng inductive hypothesis. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, napatunayan ang assertion

Patunayan na kung n>2 at х>0, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay (1+х) n >1+n ґ х

• 1) Para sa n=2, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, dahil
• (1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

Kaya ang A(2) ay totoo

• 2) Patunayan natin na A(k) ⋅ A(k+1) kung k> 2. Ipagpalagay na totoo ang A(k), ibig sabihin, na ang hindi pagkakapantay-pantay
• (1+х) k >1+k ґ x. (3)

Patunayan natin na ang A(k+1) ay totoo rin, ibig sabihin, na ang hindi pagkakapantay-pantay

(1+x) k+1 >1+(k+1) x

Sa katunayan, ang pagpaparami ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay (3) sa isang positibong numero 1+x, nakukuha natin

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

Isaalang-alang ang kanang bahagi ng huling hindi pagkakapantay-pantay; meron kami

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

Bilang resulta, nakuha namin iyon (1+х) k+1 >1+(k+1) ґ x

Kaya A(k) ⋅ A(k+1). Batay sa prinsipyo ng mathematical induction, maaaring pagtalunan na ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bernoulli ay wasto para sa anumang n> 2

Patunayan na ang hindi pagkakapantay-pantay (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 ay totoo para sa a> 0

Solusyon: 1) Para sa m=1

• (1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 parehong bahagi ay pantay
• 2) Ipagpalagay na para sa m=k
• (1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
• 3) Patunayan natin na para sa m=k+1 ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo
• (1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((k+1)(k+2)/2) ґ a 2

Napatunayan namin ang bisa ng hindi pagkakapantay-pantay para sa m=k+1, samakatuwid, dahil sa paraan ng induction ng matematika, ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto para sa anumang natural na m

Patunayan na para sa n>6 ang hindi pagkakapantay-pantay 3 n >n ґ 2 n+1

Isulat muli natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo (3/2) n >2n

• 1. Para sa n=7 mayroon tayong 3 7 /2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo
• 2. Ipagpalagay na para sa n=k (3/2) k >2k
• 3) Patunayan natin ang bisa ng hindi pagkakapantay-pantay para sa n=k+1
• 3k+1 /2k+1 =(3k /2k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

Mula k>7, ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay halata.

Dahil sa paraan ng mathematical induction, ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto para sa anumang natural n

Patunayan na para sa n>2 ang hindi pagkakapantay-pantay

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)

• 1) Para sa n=3 ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
• 2. Ipagpalagay na para sa n=k
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k)
• 3) Patunayan natin ang bisa ng hindi pagkakapantay-pantay para sa n=k+1
• (1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

Patunayan natin na 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

S (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

s k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

Ang huli ay halata, at samakatuwid

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)

Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang hindi pagkakapantay-pantay ay napatunayan.