Isang halimbawa ng pagbuo ng isang stochastic na modelo ng proseso. Modelo ng proseso ng Stochastic. Ang ideal na pagmomodelo ay sa panimula ay naiiba sa materyal na pagmomodelo, batay sa isang perpekto, naiisip na koneksyon sa pagitan ng bagay at ng modelo. Tamang paraan ng pagmomodelo

Gaya ng iminumungkahi ng pangalan, ang ganitong uri ng modelo ay nakatuon sa paglalarawan ng mga system na nagpapakita ng regular na istatistika random na pag-uugali, at ang oras sa mga ito ay maaaring ituring bilang isang discrete na dami. Ang esensya ng discretization ng oras ay kapareho ng sa mga discrete-deterministic na modelo. Ang mga modelo ng ganitong uri ay maaaring itayo batay sa dalawang pormal na mga scheme ng paglalarawan. Una, ito ay mga finite-difference equation, kabilang sa mga variable kung saan ginagamit ang mga function na tumutukoy sa mga random na proseso. Pangalawa, gumagamit sila ng probabilistic automata.

Isang halimbawa ng pagbuo ng isang discrete-stochastic system. Hayaang magkaroon ng ilang sistema ng produksyon, ang istraktura nito ay ipinapakita sa Fig. 3.8. Sa loob ng sistemang ito, ang isang homogenous na daloy ng materyal ay gumagalaw sa mga yugto ng imbakan at produksyon.

Ipagpalagay, halimbawa, na ang daloy ng hilaw na materyal ay binubuo ng mga metal ingot na nakaimbak sa isang papasok na bodega. Pagkatapos ang mga blangko na ito ay napupunta sa produksyon, kung saan ginagamit ang mga ito upang makagawa ng ilang uri ng produkto. Ang mga natapos na produkto ay naka-imbak sa output warehouse, mula sa kung saan sila ay kinuha para sa karagdagang mga aksyon sa kanila (inilipat sa susunod na mga yugto ng produksyon o para sa pagbebenta). Sa pangkalahatan, ang ganitong sistema ng produksyon ay nagko-convert ng mga daloy ng materyal ng mga hilaw na materyales, materyales at semi-tapos na mga produkto sa daloy ng mga natapos na produkto.

Hayaang ang hakbang ng oras sa sistemang ito ng produksyon ay katumbas ng isa (D? = 1). Magsasagawa kami ng pagbabago sa pagpapatakbo ng sistemang ito bilang isa. Ipinapalagay namin na ang proseso ng paggawa ng isang produkto ay tumatagal ng isang beses na hakbang.

kanin. 3.8, Diagram ng sistema ng produksyon

Ang proseso ng produksyon ay kinokontrol ng isang espesyal na katawan ng regulasyon, na binibigyan ng isang plano sa produksyon ng produkto sa anyo ng isang target na intensity ng produksyon (ang bilang ng mga produkto na dapat gawin bawat yunit ng oras, sa kasong ito bawat shift). Ipahiwatig natin ang intensity na ito dt. Sa katunayan, ito ang bilis ng produksyon. Hayaan d t =a+ bt, ibig sabihin ay linear function. Nangangahulugan ito na sa bawat kasunod na paglilipat ang plano ay tataas ng bt.

Dahil nakikitungo kami sa isang homogenous na daloy ng materyal, naniniwala kami na sa karaniwan ang dami ng mga hilaw na materyales na pumapasok sa system bawat yunit ng oras, ang dami ng produksyon bawat yunit ng oras, ang dami ng mga natapos na produkto na umaalis sa system bawat yunit ng oras ay dapat maging pantay dt.

Ang mga daloy ng input at output para sa regulatory body ay hindi makontrol, ang kanilang intensity (o bilis - ang bilang ng mga ingot o mga produkto sa bawat yunit ng oras, ayon sa pagkakabanggit, na pumapasok sa system at umalis dito) ay dapat na pantay. dt. Gayunpaman, sa panahon ng transportasyon ang mga blangko ay maaaring mawala, o ang ilan sa mga ito ay mababa ang kalidad, o sa ilang kadahilanan ay higit pa sa kanila ang darating kaysa sa kinakailangan, atbp. Samakatuwid, ipagpalagay namin na ang daloy ng input ay may intensity:

x lata =d t +ξ t sa,

kung saan ang ξ 1 in ay isang pare-parehong ipinamahagi na random variable mula -15 hanggang +15.

Tinatayang ang parehong mga proseso ay maaaring mangyari sa output stream. Samakatuwid, ang daloy ng output ay may sumusunod na intensity:

x t sa y x =d t + lumabas ka,

kung saan ang ξ tout ay isang normal na ipinamamahagi na random na variable na may zero na inaasahan sa matematika at pagkakaiba na katumbas ng 15.

Ipagpalagay namin na sa proseso ng produksyon ay may mga aksidente na nauugnay sa mga manggagawa na hindi nagpapakita sa trabaho, mga pagkasira ng makina, atbp. Ang mga randomness na ito ay inilalarawan ng isang normal na distributed random variable na may zero mathematical expectation at variance na katumbas ng 15. Let us denote it ξ t/ Ang proseso ng produksyon ay tumatagal ng isang yunit ng oras, kung saan ito ay tinanggal mula sa input warehouse xt hilaw na materyales, pagkatapos ang mga hilaw na materyales na ito ay pinoproseso at inililipat sa output warehouse sa parehong yunit ng oras. Ang regulatory body ay tumatanggap ng impormasyon tungkol sa pagpapatakbo ng system sa tatlong posibleng paraan (sila ay minarkahan ng mga numero 1, 2, 3 sa Fig. 3.8). Naniniwala kami na sa ilang kadahilanan ang mga paraan ng pagkuha ng impormasyon ay kapwa eksklusibo sa system.

Paraan 1. Ang katawan ng regulasyon ay tumatanggap lamang ng impormasyon tungkol sa estado ng input warehouse (halimbawa, tungkol sa mga pagbabago sa mga imbentaryo sa bodega o tungkol sa mga paglihis sa dami ng mga imbentaryo mula sa kanilang karaniwang antas) at ginagamit ito upang hatulan ang bilis ng proseso ng produksyon (ang bilis ng pag-alis ng mga hilaw na materyales mula sa bodega):

1) ( input ka - u t-1 input )- pagbabago sa dami ng imbentaryo sa bodega (u t input - dami ng hilaw na materyales sa input warehouse sa panahong iyon t);

2) (ù- u t in) - paglihis ng dami ng mga hilaw na materyales sa input warehouse mula sa stock norm.

Paraan 2. Direktang tumatanggap ang regulatory body ng impormasyon mula sa produksyon (x t - aktwal na intensity ng produksyon) at inihambing ito sa target na intensity (d t -x t).

Paraan 3. Ang regulatory body ay tumatanggap ng impormasyon tulad ng sa paraan 1, ngunit mula sa output warehouse sa form ( lumabas ka - ikaw t-1 out )- o (ù -u tout). Hinuhusgahan din niya ang proseso ng produksyon batay sa hindi direktang data - ang pagtaas o pagbaba sa mga imbentaryo ng mga natapos na produkto.

Upang mapanatili ang isang naibigay na intensity ng output dt, gumagawa ng mga desisyon ang regulatory body y t ,(o (y t - y t - 1)), naglalayong baguhin ang aktwal na intensity ng output xt. Bilang isang solusyon, ipinapaalam ng regulatory body ang produksyon ng mga halaga ng intensity kung saan dapat itong gumana, i.e. x t = y t . Ang pangalawang opsyon para sa control solution ay (y t -y t-1), mga. ang regulatory body ay nagsasabi sa produksyon kung magkano ang tataas o bawasan ang intensity ng produksyon (x t -x t-1).

Depende sa paraan ng pagkuha ng impormasyon at ang uri ng variable na naglalarawan sa pagkilos ng kontrol, ang mga sumusunod na dami ay maaaring makaimpluwensya sa paggawa ng desisyon.

1. Batayan ng desisyon (ang halaga kung saan dapat magkapantay ang aktwal na intensity ng produksyon kung walang mga paglihis):

direktiba intensity ng release sa sandaling ito t(dt);

rate ng pagbabago ng direktiba intensity ng release sa sandaling ito t(d t -d t-1).

2. halaga ng paglihis:

paglihis ng aktwal na output mula sa target (d t -x t);

paglihis ng aktwal na dami ng output mula sa nakaplanong dami

Σ d τ - Σ x τ

pagbabago sa antas ng imbentaryo ng input ( ( input ka - u t-1 input) o output

(labas ka - u t-1 out) mga bodega;

paglihis ng antas ng imbentaryo sa input (ù- u t input) o output ( ù -u t out) mga bodega mula sa karaniwang antas.

Sa pangkalahatan, ang desisyon sa pamamahala na ginawa ng regulatory body ay binubuo ng mga sumusunod na bahagi:

Mga halimbawa ng solusyon:

y t = d t +y(d t-1 -x t-1);

y t = d t -y(ù -u tout)

Sa pamamagitan ng paggawa ng mga desisyon sa iba't ibang anyo, nagsusumikap ang regulatory body na makamit ang pangunahing layunin - upang mailapit ang aktwal na intensity ng output sa target. Gayunpaman, hindi niya palaging direktang ituon ang kanyang mga desisyon sa antas kung saan nakamit ang layuning ito. (d t - x t). Ang mga huling resulta ay maaaring ipahayag sa pagkamit ng mga lokal na layunin - pagpapapanatag ng mga antas ng imbentaryo sa input o output warehouse ( at t sa loob (labas) - at t-1 input(output)) o sa pagdadala ng antas ng imbentaryo sa bodega na mas malapit sa pamantayan (At-At sa (labas)). Depende sa nakamit na layunin, ang uri ng sign (+ o -) sa harap ng mismatch fraction na ginamit para sa regulasyon ay tinutukoy sa control decision.

Hayaan sa aming kaso ang awtoridad sa regulasyon na makatanggap ng impormasyon tungkol sa estado ng input warehouse (pagbabago sa antas ng imbentaryo). Ito ay kilala na sa anumang sistema ng pamamahala ay may mga pagkaantala sa pagbuo at pagpapatupad ng mga solusyon. Sa halimbawang ito, ang impormasyon tungkol sa estado ng input warehouse ay dumarating sa awtoridad ng regulasyon na may pagkaantala ng isang beses na hakbang. Ang pagkaantala na ito ay tinatawag na pagkaantala sa paggawa ng desisyon at nangangahulugan na sa oras na matanggap ang impormasyon mula sa regulatory body, ang aktwal na estado ng antas ng imbentaryo sa input warehouse ay magiging iba na. Kapag nakapagdesisyon na ang regulator y t aabutin din ng oras (sa aming halimbawa ito ay isang yunit ng oras) upang dalhin ang desisyon sa tagapagpatupad. Nangangahulugan ito na ang aktwal na intensity ng produksyon ay katumbas ng y t , ngunit sa desisyon na ginawa ng lupong tagapamahala isang yunit ng panahon ang nakalipas. Ito ay isang pagkaantala sa pagpapatupad ng solusyon.

Upang ilarawan ang aming sistema ng produksyon mayroon kaming mga sumusunod na equation:

xtBX =d t +ξ t sa

xt palabas =dt+ξ t out;

y t = d t + y(u -u t-2 input)

x t = y t-1 + ξt

u t sa - u t-1 input = xt sa - xt

Ang sistemang ito ng mga equation ay nagpapahintulot sa amin na bumuo ng isang modelo ng isang sistema ng produksyon kung saan ang mga variable ng input ay magiging dt,ξ t in, ξ t out, ξ t,a

araw ng pahinga - xt. Ito ay dahil tinitingnan ng isang tagamasid sa labas ang aming produksyon bilang isang sistema na tumatanggap ng mga hilaw na materyales sa isang intensity d t at paggawa ng mga produkto na may intensity xt, napapailalim sa randomness ξ t in, ξ t out, ξ t. Matapos maisagawa ang lahat ng mga pagpapalit sa nagresultang sistema ng mga equation, nakarating tayo sa isang dinamikong equation na nagpapakilala sa pag-uugali. xt depende sa dt,ξ t in, ξ t out, ξ t.

Ang modelong tinalakay sa itaas ay hindi naglalaman ng mga paghihigpit sa dami ng bodega at kapasidad ng produksyon. Kung ipagpalagay natin na ang kapasidad ng input warehouse ay V in, ang kapasidad ng output warehouse ay V BX, at ang production capacity ay M, yun bagong sistema Ang mga equation para sa naturang nonlinear na sistema ng produksyon ay ang mga sumusunod:

xtBX=min((d t+ ξ t sa),(V sa - u t in)) - hindi ka maaaring maglagay ng higit pa sa input warehouse kaysa pinapayagan ng espasyo;

x palabas =min((d t+ ξ t out),(V out - u t out)) - hindi ka maaaring kumuha ng higit pang mga produkto mula sa output warehouse kaysa sa magagamit doon;

y t =d t + y(u t sa -u t-1 input)

xtBX = min(( u lata, ( y t-1+ ξ t in), M,(V out- u t out)) - imposibleng makagawa ng higit pang mga produkto kaysa sa iniutos, ang mga salik na naglilimita ay ang bilang ng magagamit na mga blangko at ang pagkakaroon ng libreng puwang sa output warehouse;

u t sa -u t-1 input = xtBX-xt

Sa mga susunod na kabanata ng aklat na ito, ang mga prosesong stochastic ay halos palaging kinakatawan gamit ang mga linear differential system na hinihimok ng puting ingay. Ang representasyong ito ng isang stochastic na proseso ay karaniwang tumatagal sa sumusunod na anyo. Magpanggap na tayo

a - puting ingay. Sa pamamagitan ng pagpili ng gayong representasyon ng stochastic na proseso V, maaari itong ma-modelo. Ang paggamit ng gayong mga modelo ay maaaring makatwiran bilang mga sumusunod.

a) Ang mga stochastic phenomena na nauugnay sa impluwensya ng mabilis na pagbabago ng pagbabagu-bago sa isang inertial differential system ay madalas na nakatagpo sa kalikasan. Ang karaniwang halimbawa ng puting ingay na nakakaapekto sa isang differential system ay ang thermal noise sa isang electronic circuit.

b) Tulad ng makikita mula sa mga sumusunod, sa linear control theory lamang ang average na halaga at halos palaging isinasaalang-alang. covariance ng isang Stochastic na proseso. Para sa isang linear na modelo, palaging posible na tantiyahin ang anumang nakuhang eksperimentong katangian ng mean value at covariance matrix na may arbitraryong katumpakan.

c) Minsan ang problema ay lumitaw sa pagmomodelo ng isang nakatigil na proseso ng stochastic na may kilalang spectral energy density. Sa kasong ito, laging posible na makabuo stochastic na proseso bilang isang proseso sa output ng isang linear differential system; sa kasong ito, ang matrix ng spectral density ng enerhiya ay tinatantya na may arbitrary na katumpakan ang matrix ng spectral density ng enerhiya ng paunang stochastic na proseso.

Ang mga halimbawa 1.36 at 1.37, gayundin ang Problema 1.11, ay naglalarawan ng paraan ng pagmomodelo.

Halimbawa 1.36. First order differential system

Ipagpalagay na ang sinusukat na covariance function ng isang stochastic scalar na proseso na kilala na nakatigil ay inilalarawan ng exponential function

Ang prosesong ito ay maaaring imodelo bilang ang estado ng isang first-order differential system (tingnan ang halimbawa 1.35)

nasaan ang intensity white noise - isang stochastic na dami na may zero mean at variance.

Halimbawa 1.37. Paghahalo ng tangke

Isaalang-alang ang tangke ng paghahalo mula sa Halimbawa 1.31 (Seksyon 1.10.3) at kalkulahin para dito ang variance matrix ng output variable. Ipinapalagay ng Halimbawa 1.31 na ang pagbabagu-bago ng konsentrasyon sa mga daloy ay inilalarawan ng exponentially correlated na ingay at, sa gayon, ay maaaring imodelo bilang solusyon sa isang first-order system na nasasabik ng white noise. Idagdag natin ngayon sa differential equation ng mixing tank ang mga equation ng mga modelo ng stochastic na proseso.

Narito ang scalar white noise intensity kaya na

upang makuha ang pagkakaiba ng proseso na pantay, ipagpalagay natin na para sa proseso ay gumagamit tayo ng katulad na modelo. Kaya, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation

Kasama sa pagbuo ng isang stochastic na modelo ang pagbuo, pagtatasa ng kalidad at pag-aaral ng pag-uugali ng system gamit ang mga equation na naglalarawan sa prosesong pinag-aaralan.

Upang gawin ito, sa pamamagitan ng pagsasagawa ng isang espesyal na eksperimento sa isang tunay na sistema, nakuha ang paunang impormasyon. Sa kasong ito, ang mga pamamaraan ay ginagamit para sa pagpaplano ng eksperimento, pagproseso ng mga resulta, pati na rin ang mga pamantayan para sa pagsusuri ng mga resultang modelo, batay sa mga seksyon ng mga istatistika ng matematika tulad ng pagpapakalat, ugnayan, pagsusuri ng regression at iba pa.

Ang mga pamamaraan para sa pagbuo ng isang istatistikal na modelo na naglalarawan sa teknolohikal na proseso (Larawan 6.1) ay batay sa konsepto ng isang "itim na kahon". Maramihang mga sukat ng input factor ay posible para dito: x 1 ,x 2 ,…,x k at mga parameter ng output: y 1 ,y 2 ,…,y p, batay sa mga resulta kung saan itinatag ang mga dependency:

Sa istatistikal na pagmomolde, kasunod ng pagbabalangkas ng problema (1), ang pinakamaliit mahahalagang salik mula sa Malaking numero mga variable ng input na nakakaimpluwensya sa kurso ng proseso (2). Ang mga input variable na pinili para sa karagdagang pananaliksik ay bumubuo ng isang listahan ng mga salik x 1 ,x 2 ,…,x k sa (6.1), sa pamamagitan ng pagkontrol kung saan maaari mong ayusin ang mga parameter ng output y n. Dapat ding bawasan ang bilang ng mga output ng modelo kung saan posible upang mabawasan ang mga gastos sa pag-eksperimento at pagproseso ng data.

Kapag bumubuo ng isang istatistikal na modelo, ang istraktura nito (3) ay karaniwang tinutukoy nang basta-basta, sa anyo ng mga madaling gamitin na function na tinatantya ang pang-eksperimentong data, at pagkatapos ay pinino batay sa isang pagtatasa ng kasapatan ng modelo.

Ang polynomial form ng modelo ay pinakakaraniwang ginagamit. Oo, para sa quadratic function:

(6.2)

saan b 0 , b i , b ij , b ii– mga coefficient ng regression.

Karaniwan, nililimitahan muna natin ang ating sarili sa pinakasimpleng linear na modelo, kung saan sa (6.2) b ii =0, b ij =0. Kung ito ay hindi sapat, ang modelo ay kumplikado sa pamamagitan ng pagpapasok ng mga termino na isinasaalang-alang ang pakikipag-ugnayan ng mga salik x i ,x j at (o) mga terminong parisukat.

Upang ma-maximize ang pagkuha ng impormasyon mula sa mga eksperimento na isinasagawa at mabawasan ang kanilang bilang, ang mga eksperimento ay binalak (4), i.e. pagpili ng bilang at kundisyon ng mga eksperimento na kailangan at sapat upang malutas ang mga problema tinukoy na katumpakan nakatalagang gawain.

Upang bumuo ng mga istatistikal na modelo, dalawang uri ng mga eksperimento ang ginagamit: pasibo at aktibo. Passive na eksperimento na isinasagawa sa anyo ng pangmatagalang pagmamasid sa pag-unlad ng isang hindi nakokontrol na proseso, na ginagawang posible upang mangolekta ng isang malawak na hanay ng data para sa pagtatasa ng istatistika. SA aktibong eksperimento posibleng i-regulate ang mga kondisyon ng mga eksperimento. Kapag isinasagawa ito, ito ay pinaka-epektibong sabay-sabay na pag-iba-iba ang laki ng lahat ng mga kadahilanan ayon sa isang tiyak na plano, na ginagawang posible upang matukoy ang pakikipag-ugnayan ng mga salik at bawasan ang bilang ng mga eksperimento.

Batay sa mga resulta ng mga eksperimento (5), ang mga regression coefficient (6.2) ay kinakalkula at ang kanilang istatistikal na kahalagahan ay tinasa, na kumukumpleto sa pagbuo ng modelo (6). Ang isang sukatan ng kasapatan ng modelo (7) ay dispersion, i.e. karaniwang paglihis ng mga kinakalkula na halaga mula sa mga pang-eksperimentong. Ang resultang dispersion ay inihahambing sa pinahihintulutang isa dahil sa nakamit na katumpakan ng mga eksperimento.

Serye "Ekonomya at Pamamahala"

6. Kondratyev N.D. Malaking cycle ng conjuncture at theory of foresight. - M.: Economics, 2002. 768 p.

7. Kuzyk B.N., Kushlin V.I., Yakovets Yu.V. Pagtataya, estratehikong pagpaplano at pambansang programa. M.: Publishing house "Economy", 2008. 573 p.

8. Lyasnikov N.V., Dudin M.N. Modernisasyon ng makabagong ekonomiya sa konteksto ng pagbuo at pag-unlad ng venture market // Mga agham panlipunan. M.: Publishing house "MII Science", 2011. No. 1. P. 278-285.

9. Sekerin V.D., Kuznetsova O.S. Pag-unlad ng isang diskarte sa pamamahala ng proyekto ng pagbabago // Moscow Bulletin Akademya ng Estado pangangasiwa ng negosyo. Serye: Ekonomiks. - 2013. No. 1 (20). - P. 129 - 134.

10. Yakovlev V.M., Senin A.S. Walang alternatibo sa makabagong uri ng pag-unlad ng ekonomiya ng Russia // Mga kasalukuyang isyu ng makabagong ekonomiya. M.: Publishing House "Science"; Institute of Management and Marketing ng Russian Academy of Sciences at State University sa ilalim ng Pangulo ng Russian Federation, 2012. No. 1(1).

11. Baranenko S.P., Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Busygin KD. Paggamit ng diskarte sa kapaligiran sa innovation-oriented na pag-unlad ng mga pang-industriyang negosyo // American Journal of Applied Sciences.- 2014.- Vol. 11, No.2, - P. 189-194.

12. Dudin M.N. Isang sistematikong diskarte sa pagtukoy ng mga mode ng pakikipag-ugnayan ng malalaki at maliliit na negosyo // European Journal of Economic Studies. 2012. Vol. (2), No. 2, P. 84-87.

13. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Kuznecov A.V., Fedorova I.Ju. Innovative Transformation at Transformational Potential ng Socio-Economic Systems // Middle East Journal of Scientific Research, 2013. Vol. 17, Blg. 10. P. 1434-1437.

14. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Pankov S.V., Sepiashvili E.N. Makabagong foresight bilang paraan para sa pamamahala ng estratehikong napapanatiling pag-unlad ng mga istruktura ng negosyo // World Applied Sciences Journal. - 2013. - Vol. 26, No. 8. - P. 1086-1089.

15. Sekerin V. D., Avramenko S. A., Veselovsky M. Ya., Aleksakhina V. G. B2G Market: The Essence and Statistical Analysis // World Applied Sciences Journal 31 (6): 1104-1108, 2014

Konstruksyon ng isang isang parameter, stochastic na modelo ng proseso ng produksyon

Ph.D. Sinabi ni Assoc. Mordasov Yu.P.

Unibersidad ng Mechanical Engineering, 8-916-853-13-32, mordasov2001@mail. gi

Anotasyon. Ang may-akda ay bumuo ng isang mathematical, stochastic na modelo ng proseso ng produksyon, depende sa isang parameter. Ang modelo ay nasubok. Para sa layuning ito, isang modelo ng simulation ng proseso ng produksyon at mekanikal na engineering ay nilikha, na isinasaalang-alang ang impluwensya ng mga random na kaguluhan at pagkabigo. Ang paghahambing ng mga resulta ng mathematical at simulation modeling ay nagpapatunay sa pagiging posible ng paggamit ng mathematical model sa pagsasanay.

Key words: teknolohikal na proseso, matematika, simulation model, operational control, testing, random disturbances.

Ang mga gastos sa pamamahala ng pagpapatakbo ay maaaring makabuluhang bawasan sa pamamagitan ng pagbuo ng isang pamamaraan na nagpapahintulot sa isa na mahanap ang pinakamabuting kalagayan sa pagitan ng mga gastos ng pagpaplano ng pagpapatakbo at ang mga pagkalugi na nagreresulta mula sa hindi pagkakatugma sa pagitan ng mga nakaplanong tagapagpahiwatig at mga tagapagpahiwatig ng aktwal na mga proseso ng produksyon. Nangangahulugan ito ng paghahanap ng pinakamainam na tagal ng pagpasa ng signal sa circuit puna. Sa pagsasagawa, nangangahulugan ito ng pagbawas sa bilang ng mga kalkulasyon ng mga iskedyul ng kalendaryo para sa paglulunsad ng mga yunit ng pagpupulong sa produksyon at, dahil dito, nagse-save ng mga materyal na mapagkukunan.

Ang progreso ng proseso ng produksyon sa mechanical engineering ay probabilistic sa kalikasan. Ang patuloy na impluwensya ng patuloy na pagbabago ng mga kadahilanan ay hindi ginagawang posible na mahulaan para sa isang tiyak na panahon (buwan, quarter) ang kurso ng proseso ng produksyon sa espasyo at oras. Sa mga modelo ng pag-iiskedyul ng istatistika, ang estado ng isang bahagi sa bawat partikular na punto ng oras ay dapat na tukuyin sa anyo ng kaukulang probabilidad (probability distribution) ng paghahanap nito sa iba't ibang lugar ng trabaho. Kasabay nito, kinakailangan upang matiyak ang determinismo ng pangwakas na resulta ng mga aktibidad ng negosyo. Ito, sa turn, ay nagpapahiwatig ng posibilidad, gamit ang mga deterministikong pamamaraan, upang magplano ng ilang mga panahon para sa mga bahagi na maging sa produksyon. Gayunpaman, ipinapakita ng karanasan na ang iba't ibang mga relasyon at magkaparehong paglipat ng mga tunay na proseso ng produksyon ay magkakaiba at marami. Lumilikha ito ng mga makabuluhang kahirapan kapag bumubuo ng mga deterministikong modelo.

Ang pagtatangkang isaalang-alang ang lahat ng mga salik na nakakaimpluwensya sa takbo ng produksyon ay nagpapahirap sa modelo, at hindi na ito nagsisilbing kasangkapan sa pagpaplano, accounting at regulasyon.

Ang isang mas simpleng paraan para sa pagbuo ng mga modelo ng matematika ng mga kumplikadong tunay na proseso na nakasalalay sa isang malaking bilang ng iba't ibang mga kadahilanan, na mahirap o kahit na imposibleng isaalang-alang, ay ang pagbuo ng mga stochastic na modelo. Sa kasong ito, kapag sinusuri ang mga prinsipyo ng pagpapatakbo ng isang tunay na sistema o kapag sinusunod ang mga indibidwal na katangian nito, ang mga function ng pamamahagi ng posibilidad ay itinayo para sa ilang mga parameter. Dahil sa mataas na istatistikal na katatagan ng mga quantitative na katangian ng proseso at ang kanilang mababang dispersion, ang mga resulta na nakuha gamit ang itinayong modelo ay naaayon sa mga tagapagpahiwatig ng pagganap ng tunay na sistema.

Ang pangunahing mga kinakailangan para sa pagbuo ng mga istatistikal na modelo mga prosesong pang-ekonomiya ay:

Labis na pagiging kumplikado at nauugnay na pang-ekonomiyang inefficiency ng kaukulang deterministic na modelo;

Malaking paglihis ng mga teoretikal na tagapagpahiwatig na nakuha bilang isang resulta ng isang eksperimento sa isang modelo mula sa mga tagapagpahiwatig ng aktwal na gumaganang mga bagay.

Samakatuwid, ito ay kanais-nais na magkaroon ng isang simpleng mathematical apparatus na naglalarawan sa impluwensya ng stochastic disturbances sa mga pandaigdigang katangian ng proseso ng produksyon (komersyal na output, dami ng trabaho sa progreso, atbp.). Iyon ay, upang bumuo ng isang matematikal na modelo ng proseso ng produksyon, depende sa isang maliit na bilang ng mga parameter at sumasalamin sa kabuuang impluwensya ng maraming mga kadahilanan ng iba't ibang kalikasan sa kurso ng proseso ng produksyon. Ang pangunahing gawain na dapat itakda ng isang mananaliksik para sa kanyang sarili kapag nagtatayo ng isang modelo ay hindi passive na pagmamasid sa mga parameter ng isang tunay na sistema, ngunit ang pagtatayo ng isang modelo na, sa kaganapan ng anumang paglihis sa ilalim ng impluwensya ng mga kaguluhan, ay magdadala ng mga parameter ng mga ipinapakitang proseso sa isang ibinigay na mode. Iyon ay, sa ilalim ng impluwensya ng anumang random na kadahilanan sa system, ang isang proseso ay dapat na maitatag na nagtatagpo sa isang nakaplanong solusyon. Sa kasalukuyan, sa mga awtomatikong sistema ng kontrol, ang function na ito ay pangunahing nakatalaga sa isang tao, na bumubuo ng isa sa mga link sa feedback chain sa pamamahala ng mga proseso ng produksyon.

Bumaling tayo sa pagsusuri ng tunay na proseso ng produksyon. Karaniwan, ang tagal ng panahon ng pagpaplano (ang dalas ng pag-isyu ng mga plano sa mga workshop) ay pinipili batay sa tradisyonal na mga agwat ng oras sa kalendaryo: shift, araw, limang araw na panahon, atbp. Sila ay ginagabayan pangunahin ng mga praktikal na pagsasaalang-alang. Ang pinakamababang tagal ng panahon ng pagpaplano ay tinutukoy ng mga kakayahan sa pagpapatakbo ng mga nakaplanong katawan. Kung ang departamento ng produksyon at pagpapadala ng negosyo ay nakayanan ang pag-isyu ng mga naayos na takdang-aralin sa shift sa mga workshop, kung gayon ang pagkalkula ay ginawa para sa bawat shift (iyon ay, ang mga gastos na nauugnay sa pagkalkula at pagsusuri ng mga nakaplanong pagtatalaga ay natamo sa bawat shift).

Para sa pagtukoy mga katangiang numero mga pamamahagi ng posibilidad ng mga random na posibilidad

Sa seryeng "Economics and Management", bubuo kami ng probabilistikong modelo ng totoong teknolohikal na proseso ng pagmamanupaktura ng isang yunit ng pagpupulong. Dito at sa mga sumusunod, ang teknolohikal na proseso ng pagmamanupaktura ng isang yunit ng pagpupulong ay nangangahulugang isang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon (trabaho upang makagawa ng data sa isang bahagi o pagpupulong), na dokumentado sa teknolohiya. Ang bawat teknolohikal na operasyon ng pagmamanupaktura ng isang produkto alinsunod sa teknolohikal na ruta ay maaaring isagawa lamang pagkatapos ng nauna. Dahil dito, ang teknolohikal na proseso ng pagmamanupaktura ng isang yunit ng pagpupulong ay isang pagkakasunud-sunod ng mga kaganapan-operasyon. Sa ilalim ng impluwensya ng iba't ibang stochastic na dahilan, ang tagal ng isang indibidwal na operasyon ay maaaring magbago. Sa ilang mga kaso, maaaring hindi makumpleto ang operasyon sa tagal ng gawaing ito ng shift. Malinaw na ang mga kaganapang ito ay maaaring mabulok sa mga elementong elementarya: pagpapatupad at hindi pagpapatupad ng mga indibidwal na operasyon, na maaari ding maiugnay sa mga posibilidad ng pagpapatupad at pagkabigo.

Para sa isang tiyak na teknolohikal na proseso, ang posibilidad ng pagsasagawa ng isang pagkakasunod-sunod na binubuo ng mga operasyong K ay maaaring ipahayag ng sumusunod na formula:

RS5 = k) = (1-rk+1)PG = 1Р1 , (1)

kung saan: Ang P1 ay ang posibilidad na maisagawa ang unang operasyon, kinuha nang hiwalay; g - bilang ng mga operasyon sa pagkakasunud-sunod sa teknolohikal na proseso.

Ang formula na ito ay maaaring gamitin upang matukoy ang mga stochastic na katangian ng isang tiyak na panahon ng pagpaplano, kapag ang hanay ng mga produkto na inilunsad sa produksyon at ang listahan ng mga gawa na dapat gawin sa isang partikular na panahon ng pagpaplano ay kilala, pati na rin ang kanilang mga stochastic na katangian, na kung saan ay natukoy sa eksperimento. Sa pagsasagawa, ang mga nakalistang kinakailangan ay natutugunan lamang ng ilang uri ng mass production na may mataas na istatistikal na katatagan ng mga katangian.

Ang posibilidad ng pagsasagawa ng isang indibidwal na operasyon ay nakasalalay hindi lamang sa mga panlabas na kadahilanan, kundi pati na rin sa tiyak na katangian ng gawaing ginagawa at sa uri ng yunit ng pagpupulong.

Upang matukoy ang mga parameter ng ibinigay na pormula, kahit na may medyo maliit na hanay ng mga yunit ng pagpupulong, na may maliit na pagbabago sa hanay ng mga produkto, kinakailangan ang isang malaking halaga ng pang-eksperimentong data, na nagiging sanhi ng makabuluhang mga gastos sa materyal at organisasyon at ginagawa ang pamamaraang ito ng pagtukoy ang posibilidad ng walang patid na produksyon ng mga produkto na hindi gaanong ginagamit.

Suriin natin ang resultang modelo upang makita kung maaari itong gawing simple. Ang paunang halaga ng pagsusuri ay ang posibilidad ng walang kabiguan na pagpapatupad ng isang operasyon ng teknolohikal na proseso ng pagmamanupaktura ng produkto. Sa totoong mga kondisyon ng produksyon, ang mga probabilidad ng pagsasagawa ng mga operasyon ng bawat uri ay iba. Para sa isang partikular na teknolohikal na proseso, ang posibilidad na ito ay nakasalalay sa:

Sa uri ng operasyon na isinagawa;

Mula sa isang partikular na yunit ng pagpupulong;

Mula sa mga produktong ginawa nang magkatulad;

Mula sa panlabas na mga kadahilanan.

Suriin natin ang impluwensya ng mga pagbabagu-bago sa posibilidad ng pagsasagawa ng isang operasyon sa pinagsama-samang mga katangian ng proseso ng produksyon ng mga produkto ng pagmamanupaktura (dami ng komersyal na output, dami ng trabaho sa progreso, atbp.), Na tinutukoy gamit ang modelong ito. Ang layunin ng pag-aaral ay pag-aralan ang posibilidad ng pagpapalit ng iba't ibang probabilidad ng pagsasagawa ng isang operasyon sa modelo na may average na halaga.

Ang pinagsamang impluwensya ng lahat ng mga salik na ito ay isinasaalang-alang kapag kinakalkula ang geometric average na posibilidad ng pagsasagawa ng isang operasyon ng isang average na teknolohikal na proseso. Ang isang pagsusuri sa modernong produksyon ay nagpapakita na ito ay bahagyang nagbabago: halos nasa loob ng saklaw na 0.9 - 1.0.

Isang malinaw na paglalarawan kung gaano kababa ang posibilidad na makumpleto ang isang operasyon

radio ay tumutugma sa isang halaga ng 0.9, ay ang sumusunod na abstract na halimbawa. Ipagpalagay natin na kailangan nating gumawa ng sampung bahagi. Ang mga teknolohikal na proseso para sa pagmamanupaktura ng bawat isa sa kanila ay naglalaman ng sampung operasyon. Ang posibilidad ng pagsasagawa ng bawat operasyon ay 0.9. Hanapin natin ang mga probabilidad ng iba't ibang bilang ng mga teknolohikal na proseso na nahuhuli sa iskedyul.

Ang isang random na kaganapan, na binubuo sa katotohanan na ang isang tiyak na teknolohikal na proseso para sa paggawa ng isang yunit ng pagpupulong ay mahuhuli sa iskedyul, ay tumutugma sa hindi magandang pagganap ng hindi bababa sa isang operasyon sa prosesong ito. Ito ay kabaligtaran ng isang kaganapan: ang pagpapatupad ng lahat ng mga operasyon nang walang kabiguan. Ang posibilidad nito ay 1 - 0.910 = 0.65. Dahil ang mga pagkaantala ng iskedyul ay mga malayang kaganapan, upang matukoy ang posibilidad ng ibang bilang ng mga teknolohikal na proseso na nahuhuli sa iskedyul, maaari mong gamitin ang Bernoulli probability distribution. Ang mga resulta ng pagkalkula ay ipinapakita sa Talahanayan 1.

Talahanayan 1

Pagkalkula ng mga probabilidad ng pagbagsak sa iskedyul ng mga teknolohikal na proseso

k С^о0.35к0.651О-к Halaga

Ipinapakita ng talahanayan na may posibilidad na 0.92, limang teknolohikal na proseso, iyon ay, kalahati, ay mahuhuli sa iskedyul. Ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga teknolohikal na proseso sa likod ng iskedyul ay magiging 6.5. Nangangahulugan ito na, sa karaniwan, 6.5 na yunit ng pagpupulong sa 10 ay mahuhuli sa iskedyul. Ibig sabihin, sa karaniwan, 3 hanggang 4 na bahagi ang gagawin nang walang mga pagkabigo. Hindi alam ng may-akda ang mga halimbawa ng mababang antas ng organisasyon ng paggawa sa tunay na produksyon. Ang isinasaalang-alang na halimbawa ay malinaw na nagpapakita na ang ipinataw na limitasyon sa posibilidad ng pagpapatupad ng isang operasyon nang walang mga pagkabigo ay hindi sumasalungat sa kasanayan. Ang lahat ng mga kinakailangan sa itaas ay natutugunan ng mga proseso ng produksyon ng mga mechanical assembly shop ng mechanical engineering production.

Kaya, upang matukoy ang mga stochastic na katangian ng mga proseso ng produksyon, iminungkahi na bumuo ng isang pamamahagi ng posibilidad para sa pagpapatupad ng pagpapatakbo ng isang teknolohikal na proseso, na nagpapahayag ng posibilidad ng pagsasagawa ng isang pagkakasunud-sunod ng mga teknolohikal na operasyon para sa pagmamanupaktura ng isang yunit ng pagpupulong sa pamamagitan ng geometric average na posibilidad ng nagsasagawa ng isang operasyon. Ang posibilidad ng pagsasagawa ng mga operasyon ng K sa kasong ito ay magiging katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng pagkumpleto ng bawat operasyon, na pinarami ng posibilidad ng pagkabigo upang makumpleto ang natitirang proseso ng teknolohikal, na tumutugma sa posibilidad ng pagkabigo na maisagawa ang (K + T) na operasyon. Ang katotohanang ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na kung ang anumang operasyon ay hindi ginanap, kung gayon ang mga sumusunod na operasyon ay hindi maisagawa. Ang huling entry ay naiiba mula sa iba, dahil ito ay nagpapahayag ng posibilidad ng kumpletong pagkumpleto ng buong teknolohikal na proseso nang walang mga pagkabigo. Ang posibilidad na makumpleto ang K ang mga unang operasyon ng isang teknolohikal na proseso ay natatanging nauugnay sa posibilidad ng pagkabigo upang makumpleto ang natitirang mga operasyon. Kaya, ang pamamahagi ng posibilidad ay may sumusunod na anyo:

RY=0)=р°(1-р),

Р(§=1) = р1(1-р), (2)

Р(^=1) = р1(1-р),

P(^=u-1) = pn"1(1 - p), P(£=p) = pn,

kung saan: ^ - random variable, ang bilang ng mga operasyong isinagawa;

p ay ang geometric average na posibilidad ng pagsasagawa ng isang operasyon, n ay ang bilang ng mga operasyon sa teknolohikal na proseso.

Ang pagiging patas ng paglalapat ng nagreresultang pamamahagi ng probabilidad ng isang parameter ay intuitively na nakikita mula sa sumusunod na pangangatwiran. Ipagpalagay na nakalkula natin ang geometric na ibig sabihin ng posibilidad na magsagawa ng isang 1 operasyon sa isang sample na binubuo ng n elemento, kung saan ang n ay sapat na malaki.

р = УШТ7Р7= tl|p]t=1р!), (3)

kung saan: Iу - ang bilang ng mga operasyon na may parehong posibilidad ng pagpapatupad; ] - index ng isang pangkat ng mga operasyon na may parehong posibilidad ng pagpapatupad; t ay ang bilang ng mga pangkat na binubuo ng mga operasyon na may parehong posibilidad ng pagpapatupad;

^ = - - relatibong dalas ng paglitaw ng mga operasyon na may posibilidad ng pagpapatupad p^.

Sa batas malalaking numero, na may walang limitasyong bilang ng mga operasyon, ang relatibong dalas ng paglitaw sa isang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon na may ilang partikular na stochastic na katangian ay may posibilidad sa probabilidad ng kaganapang ito. Kung saan sinusundan iyon

para sa dalawang sapat na malalaking sample = , na nangangahulugang:

kung saan: t1, t2 - ang bilang ng mga grupo sa una at pangalawang sample, ayon sa pagkakabanggit;

1*, I2 - ang bilang ng mga elemento sa pangkat ng una at pangalawang sample, ayon sa pagkakabanggit.

Ito ay nagpapakita na kung ang parameter ay kinakalkula para sa isang malaking bilang ng mga pagsubok, ito ay magiging malapit sa parameter P na kinakalkula para sa isang ibinigay na sapat na malaking sample.

Dapat bigyan ng pansin ang iba't ibang kalapitan sa tunay na halaga ng mga probabilidad ng pagsasagawa ng iba't ibang bilang ng mga teknolohikal na proseso ng operasyon. Ang lahat ng elemento ng pamamahagi, maliban sa huli, ay naglalaman ng multiplier (I - P). Dahil ang halaga ng parameter P ay nasa hanay na 0.9 - 1.0, ang multiplier (I - P) ay nagbabago sa pagitan ng 0 - 0.1. Ang kadahilanan na ito ay tumutugma sa kadahilanan (I - p;) sa orihinal na modelo. Ipinapakita ng karanasan na ang pagtutugma na ito para sa isang partikular na posibilidad ay maaaring magdulot ng error na hanggang 300%. Gayunpaman, sa pagsasagawa, ang isa ay karaniwang interesado hindi sa mga probabilidad ng pagsasagawa ng isang tiyak na bilang ng mga operasyon, ngunit sa posibilidad ng kumpletong pagpapatupad nang walang mga pagkabigo ng proseso ng teknolohikal. Ang posibilidad na ito ay hindi naglalaman ng isang multiplier (I - P), at, samakatuwid, ang paglihis nito mula sa aktwal na halaga ay maliit (halos hindi hihigit sa 3%). Para sa mga problema sa ekonomiya ito ay medyo mataas na katumpakan.

Ang probability distribution ng isang random variable na binuo sa ganitong paraan ay isang stochastic dynamic na modelo ng proseso ng pagmamanupaktura ng isang assembly unit. Ang oras ay kasangkot dito nang tahasan, tulad ng tagal ng isang operasyon. Ang modelo ay nagpapahintulot sa amin na matukoy ang posibilidad na pagkatapos ng isang tiyak na tagal ng panahon (ang kaukulang bilang ng mga operasyon) ang proseso ng produksyon ng pagmamanupaktura ng isang yunit ng pagpupulong ay hindi maaantala. Para sa mga mechanical assembly shop ng mechanical engineering production, ang average na bilang ng mga operasyon ng isang teknolohikal na proseso ay medyo malaki (15 - 80). Kung isasaalang-alang natin ang numerong ito bilang isang pangunahing at ipagpalagay na sa karaniwan, sa paggawa ng isang yunit ng pagpupulong, isang maliit na hanay ng mga pinalaki na uri ng trabaho (pagliko, paggawa ng metal, paggiling, atbp.) ay ginagamit,

pagkatapos ang resultang pamamahagi ay maaaring matagumpay na magamit upang masuri ang impluwensya ng stochastic disturbances sa kurso ng proseso ng produksyon.

Nagsagawa ang may-akda ng simulation experiment na binuo sa prinsipyong ito. Upang makabuo ng pseudo sequence mga random na variable, pantay na ibinahagi sa pagitan ng 0.9 - 1.0, ginamit ang isang pseudorandom number sensor, na inilarawan sa trabaho. Ang software ng eksperimento ay nakasulat sa algorithmic na wika na COBOL.

Sa eksperimento, nabuo ang mga produkto ng mga nabuong random na variable, na ginagaya ang mga tunay na probabilidad ng kumpletong pagpapatupad ng isang partikular na teknolohikal na proseso. Inihahambing ang mga ito sa posibilidad ng pagsasagawa ng isang teknolohikal na proseso na nakuha gamit ang isang geometric na mean na halaga, na kinakalkula para sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng mga random na numero ng parehong pamamahagi. Ang geometric na ibig sabihin ay itinaas sa isang kapangyarihan na katumbas ng bilang ng mga kadahilanan sa produkto. Ang kamag-anak na pagkakaiba sa porsyento ay kinakalkula sa pagitan ng dalawang resultang ito. Inuulit ang eksperimento para sa ibang bilang ng mga salik sa mga produkto at ang bilang ng mga numero kung saan kinakalkula ang geometric mean. Ang isang fragment ng mga resulta ng eksperimento ay ipinapakita sa Talahanayan 2.

talahanayan 2

Mga resulta ng simulation experiment:

n - antas ng geometric mean na halaga; k - antas ng produkto

p sa Product Deviation sa Product Deviation sa Product Deviation

10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%

10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%

10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%

10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%

10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%

10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%

13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%

13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%

13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%

13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%

13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%

16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%

16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%

16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%

16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%

16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%

16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%

19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%

19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%

19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%

19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%

19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%

19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%

22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%

22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%

22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%

22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%

22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

22 100 0,0048 1%

25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%

25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%

25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%

25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%

25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%

28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%

28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%

28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%

28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%

28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%

28 94 0,0075 100 0,0048 5%

31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%

31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%

31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%

31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%

31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

Kapag na-set up ang simulation experiment na ito, ang layunin ay upang siyasatin ang posibilidad ng pagkuha, gamit ang probability distribution (2), isa sa pinalaki na istatistikal na katangian ng proseso ng produksyon - ang posibilidad ng pagpapatupad nang walang pagkabigo ng isang teknolohikal na proseso ng pagmamanupaktura ng isang assembly unit, na binubuo ng K operations. Para sa isang tiyak na teknolohikal na proseso, ang posibilidad na ito ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng pagsasagawa ng lahat ng mga operasyon nito. Tulad ng ipinapakita ng simulation experiment, ang mga relatibong deviations nito mula sa probabilidad na nakuha gamit ang binuong probabilistic model ay hindi lalampas sa 9%.

Dahil ang simulation experiment ay gumagamit ng mas hindi maginhawang probability distribution kaysa sa tunay, ang mga praktikal na pagkakaiba ay magiging mas maliit. Ang mga paglihis ay sinusunod pareho sa direksyon ng pagbaba at sa direksyon ng paglampas sa halaga na nakuha batay sa mga average na katangian. Ang katotohanang ito ay nagmumungkahi na kung isasaalang-alang natin ang paglihis sa posibilidad ng walang kabiguan na pagpapatupad hindi ng isang solong teknolohikal na proseso, ngunit ng ilang, kung gayon ito ay magiging mas kaunti. Malinaw, ang higit pang mga teknolohikal na proseso ay isinasaalang-alang, mas maliit ito. Kaya, ang simulation experiment ay nagpapakita ng magandang kasunduan sa pagitan ng posibilidad na makumpleto ang teknolohikal na proseso ng pagmamanupaktura ng mga produkto nang walang pagkabigo at ang probabilidad na nakuha kapag gumagamit ng isang-parameter na modelo ng matematika.

Bilang karagdagan, ang mga eksperimento sa simulation ay isinagawa:

Upang pag-aralan ang statistical convergence ng probability distribution parameter estimate;

Upang pag-aralan ang istatistikal na katatagan ng matematikal na inaasahan ng bilang ng mga operasyon na nakumpleto nang walang pagkabigo;

Upang pag-aralan ang mga pamamaraan para sa pagtukoy ng tagal ng pinakamababang panahon ng pagpaplano at pagtatasa ng pagkakaiba sa pagitan ng binalak at aktwal na mga tagapagpahiwatig ng proseso ng produksyon, kapag ang binalak at mga panahon ng produksyon ay hindi nag-tutugma sa oras.

Ang mga eksperimento ay nagpakita ng magandang pagkakasundo sa pagitan ng teoretikal na datos na nakuha sa pamamagitan ng paggamit ng mga teknik at empirikal na datos na nakuha sa pamamagitan ng simulation sa

Serye "Ekonomya at Pamamahala"

Mga computer ng tunay na proseso ng produksyon.

Batay sa aplikasyon ng constructed mathematical model, ang may-akda ay nakabuo ng tatlong partikular na pamamaraan para sa pagtaas ng kahusayan ng operational management. Upang subukan ang mga ito, ang mga hiwalay na eksperimento sa simulation ay isinagawa.

1. Pamamaraan para sa pagtukoy ng makatwirang dami ng gawain sa produksyon para sa panahon ng pagpaplano.

2. Pamamaraan para sa pagtukoy ng pinakamabisang tagal ng panahon ng pagpaplano ng pagpapatakbo.

3. Pagtatasa ng mismatch kapag may pagkakaiba sa oras sa pagitan ng mga panahon ng pagpaplano at produksyon.

Panitikan

1. Mordasov Yu.P. Pagpapasiya ng tagal ng minimum na panahon ng pagpaplano ng pagpapatakbo sa ilalim ng mga kondisyon ng random na kaguluhan / Economic-mathematical at simulation modeling gamit ang isang computer. - M: MIU ako. S. Ordzhonikidze, 1984.

2. Naylor T. Mga eksperimento sa simulation ng makina na may mga modelo ng mga sistemang pang-ekonomiya. -M: Mir, 1975.

Ang paglipat mula sa konsentrasyon patungo sa sari-saring uri ay isang epektibong paraan upang mapaunlad ang ekonomiya ng mga maliliit at katamtamang laki ng mga negosyo

ang prof. Kozlenko N. N. Unibersidad ng Mechanical Engineering

Anotasyon. Tinatalakay ng artikulong ito ang problema sa pagpili ng pinakamarami mabisang pag-unlad Ang mga maliliit at katamtamang laki ng negosyo ng Russia sa pamamagitan ng paglipat mula sa isang diskarte sa konsentrasyon patungo sa isang diskarte sa pagkakaiba-iba. Ang mga isyu ng pagiging posible ng sari-saring uri, ang mga pakinabang nito, ang pamantayan para sa pagpili ng landas ng sari-saring uri ay isinasaalang-alang, at ang pag-uuri ng mga diskarte sa sari-saring uri ay ibinigay.

Mga pangunahing salita: maliit at katamtamang laki ng mga negosyo; sari-saring uri; madiskarteng akma; mapagkumpitensyang mga kalamangan.

Ang mga aktibong pagbabago sa mga parameter ng macroenvironment (mga pagbabago sa mga kondisyon ng merkado, ang paglitaw ng mga bagong kakumpitensya sa mga kaugnay na industriya, isang pagtaas sa antas ng kumpetisyon sa pangkalahatan) ay madalas na humahantong sa pagkabigo upang matupad ang nakaplanong estratehikong mga plano ng maliliit at katamtamang laki ng mga negosyo , pagkalugi sa pinansiyal at pang-ekonomiyang katatagan ng mga negosyo dahil sa isang makabuluhang agwat sa pagitan ng mga layunin na kondisyon ng maliliit at katamtamang laki ng mga negosyo na mga negosyo at ang antas ng teknolohiya para sa pamamahala sa kanila.

Ang mga pangunahing kondisyon para sa katatagan ng ekonomiya at ang posibilidad ng pagpapanatili ng mga bentahe ng mapagkumpitensya ay ang kakayahan ng sistema ng pamamahala na tumugon sa isang napapanahong paraan at baguhin ang mga panloob na proseso ng produksyon (baguhin ang assortment na isinasaalang-alang ang pagkakaiba-iba, muling itayo ang produksyon at teknolohikal na proseso, baguhin ang istraktura ng sa organisasyon, gumamit ng mga makabagong tool sa marketing at pamamahala).

Ang isang pag-aaral ng kasanayan ng mga maliliit at katamtamang laki ng mga negosyo ng Russia ng uri ng produksyon at serbisyo ay nagbigay-daan sa amin na matukoy ang mga sumusunod na tampok at pangunahing sanhi-at-epekto na mga relasyon na nauugnay sa modernong kalakaran paglipat ng maliliit na negosyo mula sa konsentrasyon tungo sa sari-saring uri.

Karamihan sa mga SMB ay nagsisimula bilang maliliit, single-line na negosyo na nagsisilbi sa mga lokal o rehiyonal na merkado. Sa simula ng aktibidad nito, napakalimitado ang hanay ng produkto ng naturang kumpanya, mahina ang base ng kapital nito, at mahina ang posisyon nito sa kompetisyon. Karaniwan, ang diskarte ng naturang mga kumpanya ay nakatuon sa paglago ng mga benta at bahagi ng merkado, pati na rin

480 kuskusin. | 150 UAH | $7.5 ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Dissertation - 480 RUR, paghahatid 10 minuto, sa buong orasan, pitong araw sa isang linggo at mga pista opisyal

Demidova Anastasia Vyacheslavovna. Paraan para sa pagbuo ng mga stochastic na modelo ng isang hakbang na proseso: disertasyon... kandidato ng pisikal at matematikal na agham: 05.13.18 / Anastasia Vyacheslavovna Demidova; [Lugar ng depensa: Peoples' Friendship University of Russia]. - Moscow, 2014.- 126 p.

Panimula

Kabanata 1. Pagsusuri ng mga gawa sa paksa ng disertasyon 14

1.1. Pagsusuri ng mga Modelo ng Population Dynamics 14

1.2. Stochastic na mga modelo ng populasyon 23

1.3. Stochastic differential equation 26

1.4. Impormasyon sa stochastic calculus 32

Kabanata 2. Paraan para sa pagmomodelo ng isang hakbang na proseso 39

2.1. Isang hakbang na mga proseso. Kolmogorov-Chapman equation. Basic kinetic equation 39

2.2. Isang paraan para sa pagmomodelo ng multidimensional na isang hakbang na proseso. 47

2.3. Numerical modelling 56

Kabanata 3. Paglalapat ng one-step process modeling method 60

3.1. Stochastic na mga modelo ng dynamics ng populasyon 60

3.2. Stochastic na mga modelo ng mga sistema ng populasyon na may iba't ibang inter- at intraspecific na pakikipag-ugnayan 75

3.3. Stochastic na modelo ng pagkalat ng mga network worm. 92

3.4. Stochastic na mga modelo ng mga peer-to-peer na protocol 97

Konklusyon 113

Panitikan 116

Stochastic differential equation

Isa sa mga layunin ng disertasyon ay ang problema sa pagsulat ng stochastic differential equation para sa isang sistema upang ang stochastic term ay nauugnay sa istruktura ng sistemang pinag-aaralan. Ang isang posibleng solusyon sa problemang ito ay ang pagkuha ng stochastic at deterministic na bahagi mula sa parehong equation. Para sa mga layuning ito, maginhawang gamitin ang pangunahing kinetic equation, na maaaring tantiyahin ng Fokker-Planck equation, kung saan, sa turn, ang katumbas na stochastic differential equation ay maaaring isulat sa anyo ng Langevin equation.

Seksyon 1.4. naglalaman ng pangunahing impormasyong kinakailangan upang ipahiwatig ang koneksyon sa pagitan ng stochastic differential equation at ng Fokker-Planck equation, pati na rin ang mga pangunahing konsepto ng stochastic calculus.

Ang ikalawang kabanata ay nagbibigay ng pangunahing impormasyon mula sa teorya ng mga random na proseso at, batay sa teoryang ito, ay bumubuo ng isang paraan para sa pagmomodelo ng isang hakbang na proseso.

Ang Seksyon 2.1 ay nagbibigay ng pangunahing impormasyon mula sa teorya ng random na isang hakbang na proseso.

Ang mga proseso ng isang hakbang ay nauunawaan bilang tuluy-tuloy na mga proseso ng Markov na kumukuha ng mga halaga sa hanay ng mga integer, ang transition matrix na nagbibigay-daan lamang sa mga transition sa pagitan ng mga katabing seksyon.

Isinasaalang-alang namin ang isang multidimensional na one-step na proseso X() = (i(),2(), ...,n()) = ( j(), = 1, ) , (0.1) na nag-iiba-iba sa segment, i.e. Є, kung saan ang haba ng agwat ng oras kung saan ang proseso X() ay tinukoy. Ang set G = (x, = 1, Є NQ x NQ1 ay isang set ng mga discrete values ​​na maaaring gawin ng random na proseso.

Para sa isang naibigay na isang hakbang na proseso, ang mga probabilidad ng mga paglipat sa bawat yunit ng oras s+ at s mula sa estadong Xj patungo sa estadong Xj__i at Xj_i ay ipinakilala, ayon sa pagkakabanggit. Ito ay pinaniniwalaan na ang posibilidad ng paglipat mula sa estado x sa dalawa o higit pang mga hakbang sa bawat yunit ng oras ay napakaliit. Samakatuwid, maaari nating sabihin na ang vector Xj ng estado ng system ay nagbabago sa mga hakbang ng haba Г( at pagkatapos, sa halip na mga paglipat mula sa x hanggang Xj+i at Xj_i, maaari nating isaalang-alang ang mga paglipat mula sa X hanggang X + Гі at X - Гі, ayon sa pagkakabanggit.

Kapag nagmomodelo ng mga sistema kung saan nangyayari ang ebolusyon ng oras bilang resulta ng pakikipag-ugnayan ng mga elemento ng system, madaling ilarawan ito gamit ang pangunahing kinetic equation (isa pang pangalan ay ang control equation, at sa literatura ng Ingles ito ay tinatawag na Master equation).

Susunod, ang tanong ay lumitaw kung paano makakuha ng isang paglalarawan ng sistemang pinag-aaralan, na inilarawan ng isang hakbang na proseso, gamit ang isang stochastic differential equation sa anyo ng Langevin equation mula sa pangunahing kinetic equation. Sa pormal na paraan, ang mga equation lamang na naglalaman ng mga stochastic na function ang dapat na uriin bilang mga stochastic equation. Kaya, ang mga equation lamang ni Langevin ang nakakatugon sa kahulugang ito. Gayunpaman, direktang nauugnay ang mga ito sa iba pang mga equation, katulad ng Fokker-Planck equation at ang pangunahing kinetic equation. Samakatuwid, tila lohikal na isaalang-alang ang lahat ng mga equation na ito nang magkasama. Samakatuwid, upang malutas ang problemang ito, iminungkahi na tantiyahin ang pangunahing kinetic equation ng Fokker-Planck equation, kung saan maaari tayong magsulat ng katumbas na stochastic differential equation sa anyo ng Langevin equation.

Ang Seksyon 2.2 ay bumubuo ng isang paraan para sa paglalarawan at stochastic na pagmomodelo ng mga system na inilarawan ng multidimensional na isang hakbang na proseso.

Bilang karagdagan, ipinapakita na ang mga coefficient para sa Fokker-Planck equation ay maaaring makuha kaagad pagkatapos i-record ang scheme ng pakikipag-ugnayan para sa system na pinag-aaralan, ang state change vector r at mga expression para sa transition probabilities s+ at s-, i.e. sa praktikal na aplikasyon Sa pamamaraang ito ay hindi na kailangang isulat ang pangunahing kinetic equation.

Sa seksyon 2.3. isinasaalang-alang ang paraan ng Runge-Kutta para sa numerical na solusyon ng stochastic differential equation, na ginagamit sa ikatlong kabanata upang ilarawan ang mga resultang nakuha.

Ang ikatlong kabanata ay nagbibigay ng isang paglalarawan ng aplikasyon ng paraan ng pagbuo ng mga stochastic na modelo na inilarawan sa ikalawang kabanata, gamit ang halimbawa ng mga sistema na naglalarawan sa dinamika ng paglago ng mga nakikipag-ugnayang populasyon, tulad ng "predator-prey", symbiosis, kompetisyon at kanilang mga pagbabago . Ang layunin ay isulat ang mga ito sa anyo ng stochastic differential equation at pag-aralan ang epekto ng pagpapakilala ng stochastics sa pag-uugali ng system.

Sa seksyon 3.1. Ang aplikasyon ng pamamaraang inilarawan sa ikalawang kabanata ay inilalarawan gamit ang halimbawa ng modelong "predator-prey". Ang mga sistema na may pakikipag-ugnayan ng dalawang uri ng mga populasyon ng uri ng "predator-prey" ay malawakang pinag-aralan, na ginagawang posible na ihambing ang mga resulta na nakuha sa mga kilalang-kilala na.

Ang pagsusuri sa mga resultang equation ay nagpakita na upang pag-aralan ang deterministic na pag-uugali ng system, posibleng gamitin ang drift vector A ng nagreresultang stochastic differential equation, i.e. Ang binuong pamamaraan ay maaaring gamitin upang pag-aralan ang parehong stochastic at deterministic na pag-uugali. Bilang karagdagan, napagpasyahan na ang mga stochastic na modelo ay nagbibigay ng isang mas makatotohanang paglalarawan ng pag-uugali ng system. Sa partikular, para sa sistemang "predator-prey" sa deterministic na kaso, ang mga solusyon sa mga equation ay may periodic form at ang phase volume ay napanatili, habang ang pagpapakilala ng stochastics sa modelo ay nagbibigay ng isang monotonikong pagtaas sa phase volume, na kung saan ay nagpapahiwatig ng hindi maiiwasang pagkamatay ng isa o parehong populasyon. Upang mailarawan ang mga resulta na nakuha, ang numerical simulation ay isinagawa.

Sa seksyon 3.2. Ang binuong pamamaraan ay ginagamit upang makakuha at pag-aralan ang iba't ibang mga stochastic na modelo ng dinamika ng populasyon, tulad ng modelong "predator-prey" na isinasaalang-alang ang interspecific na kompetisyon sa mga biktima, symbiosis, kompetisyon at ang modelo ng pakikipag-ugnayan ng tatlong populasyon.

Impormasyon sa stochastic calculus

Ang pag-unlad ng teorya ng mga random na proseso ay humantong sa isang paglipat sa pag-aaral ng mga natural na phenomena mula sa mga deterministikong konsepto at mga modelo ng dinamika ng populasyon hanggang sa probabilistic at, bilang kinahinatnan, ang hitsura ng isang malaking bilang ng mga gawa na nakatuon sa stochastic modeling sa mathematical biology , kimika, ekonomiya, atbp.

Kapag isinasaalang-alang ang mga deterministikong modelo ng populasyon, tulad mahahalagang puntos, bilang mga random na impluwensya ng iba't ibang mga kadahilanan sa ebolusyon ng system. Kapag inilalarawan ang dinamika ng populasyon, dapat isaalang-alang ang random na katangian ng pagpaparami at kaligtasan ng mga indibidwal, pati na rin ang mga random na pagbabagu-bago na nangyayari sa kapaligiran sa paglipas ng panahon at humantong sa mga random na pagbabago sa mga parameter ng system. Samakatuwid, ang mga probabilistikong mekanismo na sumasalamin sa mga puntong ito ay dapat ipakilala sa anumang modelo ng dinamika ng populasyon.

Ang Stochastic modeling ay nagbibigay-daan sa isang mas kumpletong paglalarawan ng mga pagbabago sa mga katangian ng populasyon, na isinasaalang-alang ang lahat ng mga deterministikong salik at mga random na epekto na maaaring makabuluhang baguhin ang mga konklusyon mula sa mga deterministikong modelo. Sa kabilang banda, sa kanilang tulong posible na matukoy nang may husay ang mga bagong aspeto ng pag-uugali ng populasyon.

Ang mga stochastic na modelo ng mga pagbabago sa mga estado ng populasyon ay maaaring ilarawan gamit ang mga random na proseso. Sa ilalim ng ilang mga pagpapalagay, maaari nating ipagpalagay na ang pag-uugali ng isang populasyon na ibinigay sa kasalukuyang estado nito ay hindi nakasalalay sa kung paano nakamit ang estado na ito (ibig sabihin, sa isang nakapirming kasalukuyan, ang hinaharap ay hindi nakasalalay sa nakaraan). yun. Upang gawing modelo ang mga proseso ng dinamika ng populasyon, maginhawang gamitin ang mga proseso ng kapanganakan-kamatayan ni Markov at ang kaukulang mga equation ng kontrol, na inilarawan nang detalyado sa ikalawang bahagi ng trabaho.

Si N. N. Kalinkin sa kanyang mga gawa ay gumagamit ng mga scheme ng pakikipag-ugnayan upang ilarawan ang mga prosesong nagaganap sa mga system na may mga elementong nakikipag-ugnayan at, batay sa mga scheme na ito, ay nagtatayo ng mga modelo ng mga system na ito gamit ang apparatus ng branching Mga proseso ni Markov. Ang aplikasyon ng diskarteng ito ay inilalarawan ng halimbawa ng mga proseso ng pagmomodelo sa kemikal, populasyon, telekomunikasyon at iba pang mga sistema.

Sinusuri ng gawain ang mga probabilistikong modelo ng populasyon, para sa pagtatayo kung saan ginagamit ang kagamitan ng mga proseso ng kapanganakan-kamatayan, at ang mga nagresultang sistema ng mga equation ng pagkakaiba-iba ay kumakatawan sa mga dinamikong equation para sa mga random na proseso. Tinatalakay din ng papel ang mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga solusyon sa mga equation na ito.

Makakahanap ka ng maraming artikulo na nakatuon sa pagbuo ng mga stochastic na modelo na isinasaalang-alang ang iba't ibang mga kadahilanan na nakakaimpluwensya sa dinamika ng mga pagbabago sa populasyon. Halimbawa, sa mga artikulo, isang modelo ng dinamika ng populasyon ng isang biyolohikal na komunidad kung saan ang mga indibidwal ay kumakain ng mga mapagkukunan ng pagkain na naglalaman ng mga nakakapinsalang sangkap. At sa modelo ng ebolusyon ng populasyon, isinasaalang-alang ng artikulo ang kadahilanan ng pag-aayos ng mga kinatawan ng mga populasyon sa kanilang mga tirahan. Ang modelo ay isang sistema ng self-consistent na mga equation ng Vlasov.

Ito ay nagkakahalaga ng pagpuna sa mga gawa na nakatuon sa teorya ng pagbabagu-bago at ang paggamit ng mga stochastic na pamamaraan sa mga likas na agham, tulad ng physics, chemistry, biology, atbp. Sa partikular, ang mathematical model ng mga pagbabago sa bilang ng mga populasyon na nakikipag-ugnayan tulad ng "predator-prey" ay binuo batay sa multidimensional na proseso ng birth-death ni Markov.

Maaaring isaalang-alang ng isa ang modelong "predator-prey" bilang pagpapatupad ng mga proseso ng kapanganakan-kamatayan. Sa interpretasyong ito, posibleng gamitin ang mga ito para sa mga mode sa maraming larangan ng agham. Noong dekada 70, iminungkahi ni M. Doi ang isang paraan para sa pag-aaral ng mga naturang modelo batay sa mga operator ng paglikha–pagpuksa (sa pamamagitan ng pagkakatulad sa pangalawang quantization). Maaaring mapansin ang mga gawa dito. Bilang karagdagan, ang pamamaraang ito ay aktibong binuo sa pangkat ng M. M. Gnatich.

Ang isa pang diskarte sa pagmomodelo at pag-aaral ng mga modelo ng dinamika ng populasyon ay nauugnay sa teorya ng pinakamainam na kontrol. Maaaring mapansin ang mga gawa dito.

Mapapansin na ang karamihan sa mga gawa na nakatuon sa pagtatayo ng mga stochastic na modelo ng mga proseso ng populasyon ay gumagamit ng apparatus ng mga random na proseso upang makakuha ng differential-difference equation at kasunod na numerical na pagpapatupad. Bilang karagdagan, ang stochastic differential equation sa Langevin form ay malawakang ginagamit, kung saan ang isang stochastic na termino ay idinagdag mula sa mga pangkalahatang pagsasaalang-alang tungkol sa pag-uugali ng system at nilayon upang ilarawan ang mga random na impluwensya. kapaligiran. Ang karagdagang pag-aaral ng modelo ay ang kanilang qualitative analysis o paghahanap ng mga solusyon gamit ang mga numerical na pamamaraan.

Stochastic Differential Equation Depinisyon 1. Ang stochastic differential equation ay isang differential equation kung saan ang isa o higit pang termino ay kumakatawan sa isang stochastic na proseso. Ang pinaka ginagamit at kilalang halimbawa ng isang stochastic differential equation (SDE) ay isang equation na may terminong naglalarawan ng puting ingay at maaaring ituring na isang proseso ng Wiener Wt, t 0.

Ang mga Stochastic differential equation ay isang mahalaga at malawakang ginagamit na mathematical apparatus sa pag-aaral at pagmomodelo ng mga dynamic na system na napapailalim sa iba't ibang random na kaguluhan.

Ang simula ng stochastic modeling ng natural phenomena ay itinuturing na paglalarawan ng phenomenon ng Brownian motion, na natuklasan ni R. Brown noong 1827, nang magsagawa siya ng pananaliksik sa paggalaw ng pollen ng halaman sa isang likido. Ang unang mahigpit na paliwanag ng hindi pangkaraniwang bagay na ito ay ibinigay nang nakapag-iisa nina A. Einstein at M. Smoluchowski. Ito ay nagkakahalaga ng pagpuna sa isang koleksyon ng mga artikulo na naglalaman ng mga gawa ni A. Einstein at M. Smoluchowski sa Brownian motion. Ang mga pag-aaral na ito ay gumawa ng isang makabuluhang kontribusyon sa pagbuo ng teorya ng Brownian motion at ang experimental verification nito. A. Nilikha ni Einstein ang molecular kinetic theory para sa isang quantitative na paglalarawan ng Brownian motion. Ang mga resultang formula ay nakumpirma ng mga eksperimento ni J. Perrin noong 1908-1909.

Isang paraan para sa pagmomodelo ng multidimensional na isang hakbang na proseso.

Mayroong dalawang paraan upang ilarawan ang ebolusyon ng mga system na may mga elementong nakikipag-ugnayan - ang pagbuo ng mga deterministic o stochastic na mga modelo. Hindi tulad ng mga deterministikong modelo, ginagawang posible ng mga stochastic na modelo na isaalang-alang ang probabilistikong katangian ng mga prosesong nagaganap sa mga sistemang pinag-aaralan, pati na rin ang mga impluwensya ng panlabas na kapaligiran na nagdudulot ng mga random na pagbabago sa mga parameter ng modelo.

Ang paksa ng pag-aaral ay mga sistema, ang mga prosesong nagaganap kung saan maaaring ilarawan gamit ang isang hakbang na proseso at ang mga kung saan ang paglipat ng kanilang estado sa isa pa ay nauugnay sa pakikipag-ugnayan ng mga elemento ng system. Ang isang halimbawa ay ang mga modelong naglalarawan sa dynamics ng paglago ng mga nakikipag-ugnayang populasyon, tulad ng "predator-prey", symbiosis, kompetisyon at ang kanilang mga pagbabago. Ang layunin ay isulat ang mga SDE para sa mga naturang sistema at pag-aralan ang epekto ng pagpapakilala ng isang stochastic na bahagi sa pag-uugali ng solusyon sa equation na naglalarawan ng deterministikong pag-uugali.

Mga kinetika ng kemikal

Ang mga sistema ng mga equation na lumilitaw kapag naglalarawan ng mga sistema na may mga elementong nakikipag-ugnayan sa maraming paraan ay malapit sa mga sistema ng mga differential equation na naglalarawan sa mga kinetika ng mga reaksiyong kemikal. Halimbawa, ang sistemang Lotka-Volterra ay orihinal na binuo ni Lotka bilang isang sistemang naglalarawan ng ilang hypothetical na kemikal na reaksyon, at nang maglaon ay binuo ito ni Volterra bilang isang sistemang naglalarawan sa modelo ng predator-prey.

Inilalarawan ng mga kemikal na kinetika ang mga reaksiyong kemikal gamit ang tinatawag na stoichiometric equation - mga equation na sumasalamin sa mga quantitative ratios ng mga reagents at produkto kemikal na reaksyon at pagkakaroon ng mga sumusunod pangkalahatang anyo: Saan mga integer Ang Ті at Ш ay tinatawag na stoichiometric coefficients. Ito ay isang simbolikong rekord ng isang kemikal na reaksyon kung saan ang mga molekula ng reagent Xi, ni2 molekula ng reagent Xh, ..., 3 molekula ng reagent Xp, sa pagpasok sa anyo ng reaksyon n mga molekula ng sangkap na Yi, n mga molekula ng sangkap na I2, ..., nq mga molekula ng sangkap na Yq, ayon sa pagkakabanggit .

Sa chemical kinetics, pinaniniwalaan na ang isang kemikal na reaksyon ay maaari lamang mangyari sa pamamagitan ng direktang pakikipag-ugnayan ng mga reagents, at ang rate ng isang kemikal na reaksyon ay tinukoy bilang ang bilang ng mga particle na nabuo sa bawat yunit ng oras sa isang dami ng yunit.

Ang pangunahing postulate kinetika ng kemikal ay ang batas ng mass action, na nagsasaad na ang rate ng isang kemikal na reaksyon ay direktang proporsyonal sa produkto ng mga konsentrasyon ng mga tumutugon na sangkap sa mga kapangyarihan ng kanilang mga stoichiometric coefficient. Samakatuwid, kung ipahiwatig namin sa pamamagitan ng XI at y I ang mga konsentrasyon ng kaukulang mga sangkap, kung gayon mayroon kaming isang equation para sa rate ng pagbabago sa konsentrasyon ng isang sangkap sa paglipas ng panahon bilang isang resulta ng isang kemikal na reaksyon:

Susunod, iminumungkahi na gamitin ang mga pangunahing ideya ng kinetika ng kemikal upang ilarawan ang mga sistema, ang ebolusyon sa panahon na nangyayari bilang resulta ng pakikipag-ugnayan ng mga elemento ng isang partikular na sistema sa isa't isa, na nagpapakilala ng mga sumusunod na pangunahing pagbabago: 1. hindi reaksyon ang mga rate ay isinasaalang-alang, ngunit ang mga posibilidad ng paglipat; 2. iminumungkahi na ang posibilidad ng paglipat mula sa isang estado patungo sa isa pa, na bunga ng isang pakikipag-ugnayan, ay proporsyonal sa bilang ng mga posibleng pakikipag-ugnayan ng isang partikular na uri; 3. upang ilarawan ang sistema sa pamamaraang ito, ang pangunahing kinetic equation ay ginagamit; 4. ang mga deterministikong equation ay pinalitan ng mga stochastic. Ang isang katulad na diskarte sa paglalarawan ng mga naturang sistema ay matatagpuan sa mga gawa. Upang ilarawan ang mga prosesong nagaganap sa simulate na sistema, iminungkahi na gamitin, tulad ng nabanggit sa itaas, ang Markov na isang hakbang na proseso.

Isaalang-alang ang isang sistema na binubuo ng mga uri ng iba't ibang elemento na maaaring makipag-ugnayan sa isa't isa iba't ibang paraan. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng isang elemento ng -type, kung saan = 1, at sa pamamagitan ng bilang ng mga elemento ng -type.

Hayaan (), .

Gawin natin ang pagpapalagay na ang file ay binubuo ng isang bahagi. Kaya, sa isang hakbang ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng bagong node na gustong mag-download ng file at ng node na namamahagi ng file, dina-download ng bagong node ang buong file at nagiging distribution node.

Let is the designation of the new node, is the distributing node, and is the interaction coefficient. Ang mga bagong node ay maaaring pumasok sa system na may intensity, at ang pamamahagi ng mga node ay maaaring umalis dito nang may intensity. Pagkatapos ang diagram ng pakikipag-ugnayan at vector r ay magiging ganito:

Ang isang stochastic differential equation sa Langevin form ay maaaring makuha gamit ang kaukulang formula (1.15). kasi Ang drift vector A ay ganap na naglalarawan ng deterministikong pag-uugali ng system; makakakuha tayo ng isang sistema ng mga ordinaryong differential equation na naglalarawan sa dinamika ng bilang ng mga bagong kliyente at buto:

Kaya, depende sa pagpili ng mga parameter iisang punto maaaring magkaroon ng ibang karakter. Kaya, para sa /ZA 4/I2, ang singular na punto ay isang matatag na pokus, at para sa kabaligtaran na ratio, ito ay isang matatag na node. Sa parehong mga kaso, ang singular na punto ay matatag, dahil ang pagpili ng mga halaga ng koepisyent at mga pagbabago sa mga variable ng system ay maaaring mangyari sa isa sa dalawang tilapon. Kung ang isang singular na punto ay isang focus, pagkatapos ay ang mga damped oscillations sa mga bilang ng mga bago at pamamahagi ng mga node ay nangyayari sa system (tingnan ang Fig. 3.12). At sa nodal na kaso, ang pagtatantya ng mga numero sa mga nakatigil na halaga ay nangyayari sa isang non-oscillation mode (tingnan ang Fig. 3.13). Ang mga phase portrait ng system para sa bawat isa sa dalawang kaso ay inilalarawan, ayon sa pagkakabanggit, sa mga graph (3.14) at (3.15).