Sayıları çarparken üslere ne olur? Derecelerin özellikleri: formülasyonlar, ispatlar, örnekler. Negatif tabanlı derece

Matematikte bir derece kavramı, bir cebir dersinde 7. sınıf kadar erken bir tarihte tanıtılır. Ve gelecekte, matematik eğitimi boyunca bu kavram çeşitli biçimlerde aktif olarak kullanılmaktadır. Dereceler, değerlerin ezberlenmesini ve doğru ve hızlı bir şekilde sayma yeteneğini gerektiren oldukça zor bir konudur. Matematik dereceleriyle daha hızlı ve daha iyi çalışmak için bir derecenin özelliklerini buldular. Büyük bir örneği bir dereceye kadar tek bir sayıya dönüştürmek için büyük hesaplamaları azaltmaya yardımcı olurlar. Çok fazla özellik yoktur ve hepsinin hatırlanması ve pratikte uygulanması kolaydır. Bu nedenle, makale, derecenin temel özelliklerini ve bunların nerede uygulanacağını tartışmaktadır.

derece özellikleri

Aynı tabana sahip güçlerin özellikleri de dahil olmak üzere bir derecenin 12 özelliğini ele alacağız ve her özellik için bir örnek vereceğiz. Bu özelliklerin her biri, dereceli problemleri daha hızlı çözmenize yardımcı olacak ve sizi sayısız hesaplama hatasından kurtaracaktır.

1. mülk.

Birçok insan bu özelliği çok sık unutur, bir sayıyı sıfır dereceye kadar sıfır olarak temsil ederek hatalar yapar.

2. mülk.

3. mülk.

Unutulmamalıdır ki bu özellik sadece sayılar çarpılırken kullanılabilir, toplamla çalışmaz! Ve unutmamalıyız ki bu ve aşağıdaki özellikler sadece aynı temele sahip güçler için geçerlidir.

4. mülk.

Paydadaki sayı negatif bir güce yükseltilirse, çıkarma sırasında, sonraki hesaplamalarda işareti doğru bir şekilde değiştirmek için paydanın derecesi parantez içinde alınır.

Özellik sadece bölerken çalışır, çıkarırken değil!

5. mülk.

6. mülk.

Bu özellik tersine de uygulanabilir. Bir sayıya bir dereceye kadar bölünen birim, o sayının negatif bir kuvvetidir.

7. mülk.

Bu özellik, toplama ve farka uygulanamaz! Bir kuvvete bir toplamı veya farkı yükseltirken, kuvvetin özellikleri değil, kısaltılmış çarpma formülleri kullanılır.

8. mülk.

9. mülk.

Bu özellik, payı bire eşit olan herhangi bir kesirli derece için çalışır, formül aynı olacaktır, derecenin paydasına bağlı olarak sadece kökün derecesi değişecektir.

Bu özellik aynı zamanda sıklıkla kullanılır. Ters sipariş. Bir sayının herhangi bir kuvvetinin kökü, o sayının bir kuvvetinin kökün kuvvetine bölümü olarak temsil edilebilir. Bu özellik, sayının kökünün çıkarılmadığı durumlarda çok kullanışlıdır.

10. mülk.

Bu özellik yalnızca kare kök ve ikinci derece. Kökün derecesi ve bu kökün yükselme derecesi aynıysa, cevap radikal bir ifade olacaktır.

11. mülk.

Kendinizi büyük hesaplardan kurtarmak için çözerken bu özelliği zamanında görebilmeniz gerekir.

12. mülk.

Bu özelliklerin her biri görevlerde sizi bir kereden fazla karşılayacaktır, saf haliyle verilebilir veya bazı dönüşümler ve başka formüllerin kullanımını gerektirebilir. Bu nedenle, doğru karar sadece özellikleri bilmek yeterli değil, pratik yapmak ve matematiksel bilginin geri kalanını birbirine bağlamak gerekiyor.

Derecelerin uygulanması ve özellikleri

Cebir ve geometride aktif olarak kullanılırlar. Matematikte derecelerin ayrı, önemli bir yeri vardır. Onların yardımıyla, üstel denklemler ve eşitsizlikler çözülür, ayrıca güçler genellikle denklemleri ve matematiğin diğer bölümleriyle ilgili örnekleri karmaşıklaştırır. Üsler, büyük ve uzun hesaplamalardan kaçınmaya yardımcı olur, üsleri azaltmak ve hesaplamak daha kolaydır. Ancak büyük güçlerle veya çok sayıdaki güçlerle çalışmak için, yalnızca derecenin özelliklerini bilmeniz değil, aynı zamanda temellerle yetkin bir şekilde çalışmanız, görevinizi kolaylaştırmak için bunları ayrıştırabilmeniz gerekir. Kolaylık sağlamak için, bir kuvvete yükseltilmiş sayıların anlamını da bilmelisiniz. Bu, uzun hesaplamalara olan ihtiyacı ortadan kaldırarak çözme zamanınızı azaltacaktır.

Derece kavramı logaritmalarda özel bir rol oynar. Logaritma, özünde bir sayının gücü olduğundan.

Kısaltılmış çarpma formülleri, güçlerin kullanımına başka bir örnektir. Derecelerin özelliklerini kullanamazlar, özel kurallara göre ayrıştırılırlar, ancak her kısaltılmış çarpma formülünde değişmez dereceler vardır.

Dereceler ayrıca fizik ve bilgisayar bilimlerinde aktif olarak kullanılmaktadır. SI sistemine yapılan tüm çeviriler dereceler kullanılarak yapılır ve gelecekte problemler çözülürken derecenin özellikleri uygulanır. Bilgisayar biliminde, sayıların algılanmasını sayma ve basitleştirme kolaylığı için ikinin kuvvetleri aktif olarak kullanılır. Tıpkı fizikte olduğu gibi, ölçü birimlerinin dönüştürülmesi veya problemlerin hesaplanması için daha ileri hesaplamalar, derecenin özellikleri kullanılarak yapılır.

Dereceler, bir derecenin özelliklerinin kullanımını nadiren bulabileceğiniz astronomide de çok faydalıdır, ancak derecelerin kendileri, çeşitli miktar ve mesafelerin kaydını kısaltmak için aktif olarak kullanılır.

Dereceler ayrıca günlük yaşamda alanları, hacimleri, mesafeleri hesaplarken kullanılır.

Derecelerin yardımıyla, herhangi bir bilim alanında çok büyük ve çok küçük değerler yazılır.

üstel denklemler ve eşitsizlikler

Derece özellikleri tam olarak özel bir yere sahiptir. üstel denklemler ve eşitsizlikler. Bu görevler hem okul kursunda hem de sınavlarda çok yaygındır. Hepsi derecenin özellikleri uygulanarak çözülür. Bilinmeyen her zaman derecenin kendisindedir, bu nedenle tüm özellikleri bilerek, böyle bir denklemi veya eşitsizliği çözmek zor olmayacaktır.

Yetkilerin toplanması ve çıkarılması

Açıkçası, güçleri olan sayılar diğer nicelikler gibi eklenebilir. , işaretleri ile tek tek ekleyerek.

Yani a 3 ve b 2'nin toplamı a 3 + b 2'dir.
a 3 - b n ve h 5 -d 4'ün toplamı a 3 - b n + h 5 - d 4'tür.

oranlar aynı değişkenlerin aynı güçleri eklenebilir veya çıkarılabilir.

Yani 2a 2 ve 3a 2'nin toplamı 5a 2'dir.

Ayrıca iki a karesi veya üç a karesi veya beş a karesi alırsak açıktır.

Ama derece çeşitli değişkenler ve çeşitli dereceler özdeş değişkenler, işaretlerine eklenerek eklenmelidir.

Yani a 2 ve 3'ün toplamı, 2 + a 3'ün toplamıdır.

a'nın karesi ve a'nın küpü, a'nın karesinin iki katı değil, a'nın küpünün iki katı olduğu açıktır.

a 3 b n ve 3a 5 b 6'nın toplamı a 3 b n + 3a 5 b 6'dır.

Çıkarma Yetkiler, çıkarma işaretlerinin buna göre değiştirilmesi gerektiği dışında, ekleme ile aynı şekilde gerçekleştirilir.

Veya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Güç çarpımı

Kuvvetli sayılar, diğer nicelikler gibi, aralarında çarpma işareti olsun veya olmasın arka arkaya yazılarak çarpılabilir.

Yani a 3'ü b 2 ile çarpmanın sonucu a 3 b 2 veya aaabb'dir.

Veya:
x -3 ⋅ bir m = bir m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ bir 3 b 2 y = bir 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Son örnekteki sonuç, aynı değişkenler eklenerek sıralanabilir.
İfade şu şekilde olacaktır: a 5 b 5 y 3 .

Birkaç sayıyı (değişkenleri) kuvvetlerle karşılaştırarak, bunlardan herhangi ikisi çarpılırsa sonucun, gücü şuna eşit olan bir sayı (değişken) olduğunu görebiliriz. toplam terimlerin dereceleri.

Yani, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Burada 5, terimlerin kuvvetlerinin toplamı olan 2 + 3'e eşit olan çarpma sonucunun kuvvetidir.

Yani, bir n .a m = bir m+n .

Bir n için, a, n'nin kuvveti kadar çarpan olarak alınır;

Ve a m , m derecesinin eşit olduğu kadar bir faktör olarak alınır;

Bu yüzden, Üsler toplanarak aynı tabanlara sahip kuvvetler çarpılabilir.

Yani, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ve x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Veya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) ile çarpın.
Cevap: x 4 - y4.
Çarpın (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Bu kural, üsleri − olan sayılar için de geçerlidir. olumsuz.

1. Yani, a -2 .a -3 = a -5 . Bu (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa olarak yazılabilir.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = bir m-n .

a + b a - b ile çarpılırsa sonuç a 2 - b 2 olur: yani

İki sayının toplamı veya farkının çarpılmasının sonucu, karelerinin toplamı veya farkına eşittir.

İki sayının toplamı ve farkı şuna yükseltilirse Meydan, sonuç bu sayıların toplamına veya farkına eşit olacaktır. dördüncü derece.

Yani, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

yetkiler ayrılığı

Kuvvetli sayılar da diğer sayılar gibi bölenden çıkarılarak veya kesir şeklinde yerleştirilerek bölünebilir.

Yani a 3 b 2 bölü b 2 a 3 .

5 bölü 3 yazmak $\frac gibi görünüyor $. Ama bu 2'ye eşittir. Bir dizi numarada
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
herhangi bir sayı diğerine bölünebilir ve üs eşittir fark bölünebilir sayıların göstergeleri

Aynı tabana sahip kuvvetleri bölerken üsleri çıkarılır..

Yani, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yani, $\frac = y$.

Ve bir n+1:a = bir n+1-1 = bir n . Yani, $\frac = a^n$.

Veya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Kural aynı zamanda şu numaralar için de geçerlidir: olumsuz derece değerleri.
-5'i -3'e bölmenin sonucu -2'dir.
Ayrıca, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 veya $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Cebirde bu tür işlemler çok yaygın olarak kullanıldığından, kuvvetlerin çarpımı ve bölünmesinde çok iyi ustalaşmak gerekir.

Kuvvetli sayılar içeren kesirlerle örnek çözme örnekleri

1. $\frac $ cinsinden üsleri azaltın Cevap: $\frac $.

2. $\frac$ cinsinden üsleri azaltın. Cevap: $\frac $ veya 2x.

3. Üsleri a 2 / a 3 ve a -3 / a -4'ü azaltın ve ortak payda.
a 2 .a -4 bir -2 birinci paydır.
a 3 .a -3, ikinci pay olan 0 = 1'dir.
a 3 .a -4, ortak pay olan -1'dir.
Sadeleştirmeden sonra: a -2 /a -1 ve 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 ve 2 /a 4 üslerini küçültün ve ortak bir paydaya getirin.
Cevap: 2a 3 / 5a 7 ve 5a 5 / 5a 7 veya 2a 3 / 5a 2 ve 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4'ü (a - b)/3 ile çarpın.

6. (a 5 + 1)/x 2'yi (b 2 - 1)/(x + a) ile çarpın.

7. b 4 /a -2'yi h -3 /x ve a n /y -3 ile çarpın.

8. 4 /y 3'ü 3 /y 2'ye bölün. Cevap: a/y.

derece özellikleri

Size bu derste anladığımızı hatırlatıyoruz derece özellikleri doğal göstergeler ve sıfır ile. Rasyonel göstergeleri olan dereceler ve özellikleri 8. sınıf derslerinde tartışılacaktır.

derece c doğal gösterge birkaç tane var önemli özellikler, güçlerle örneklerde hesaplamaları basitleştirmenize izin verir.

Emlak #1
Güçlerin ürünü

Aynı tabanla kuvvetler çarpılırken taban değişmeden kalır ve üsler toplanır.

a m a n \u003d a m + n, burada "a" herhangi bir sayıdır ve "m", "n" herhangi bir doğal sayıdır.

Güçlerin bu özelliği, üç veya daha fazla gücün çarpımını da etkiler.

• Ifadeyi basitleştir.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Derece olarak sunmak.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Derece olarak sunmak.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Lütfen belirtilen özellikte sadece aynı üslere sahip kuvvetlerin çarpılmasıyla ilgili olduğunu unutmayın.. Onların eklenmesi için geçerli değildir.

Toplamı (3 3 + 3 2) 3 5 ile değiştiremezsiniz. Bu anlaşılabilir eğer
hesapla (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ve 3 5 = 243

Emlak #2
Özel dereceler

Aynı tabana sahip kuvvetleri bölerken, taban değişmeden kalır ve bölenin üssü temettü üssünden çıkarılır.

• Bölümü bir güç olarak yazın
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Hesaplamak.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Örnek. Denklemi çözün. Kısmi derecelerin özelliğini kullanıyoruz.
3 8: t = 3 4

Cevap: t = 3 4 = 81

1 ve 2 numaralı özellikleri kullanarak ifadeleri kolayca basitleştirebilir ve hesaplamalar yapabilirsiniz.

Örnek. Ifadeyi basitleştir.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Örnek. Derece özelliklerini kullanarak bir ifadenin değerini bulun.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Lütfen 2. özelliğin sadece aynı esaslara sahip güçler ayrılığı ile ilgili olduğunu unutmayın.

Farkı (4 3 −4 2) 4 1 ile değiştiremezsiniz. (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ve 4 1 = 4'ü hesaplarsanız bu anlaşılabilir bir durumdur.

Mülk #3
üs alma

Bir gücü bir güce yükseltirken derece temeli değişmeden kalır ve üsler çarpılır.

(a n) m \u003d a n m, burada "a" herhangi bir sayıdır ve "m", "n" herhangi bir doğal sayıdır.

Bir bölümün bir kesir olarak temsil edilebileceğini hatırlatırız. Bu nedenle, bir sonraki sayfada bir kesri bir güce yükseltme konusunu daha ayrıntılı olarak ele alacağız.

Güçler nasıl çarpılır

Güçler nasıl çoğaltılır? Hangi yetkiler çoğaltılabilir, hangileri çoğaltılamaz? Bir sayıyı bir kuvvetle nasıl çarparsınız?

Cebirde, kuvvetlerin çarpımını iki durumda bulabilirsiniz:

1) Dereceler aynı temele sahipse;

2) dereceler aynı göstergelere sahipse.

Aynı tabanla kuvvetler çarpılırken taban aynı kalmalı ve üsler eklenmelidir:

Dereceleri aynı göstergelerle çarparken, toplam gösterge parantezlerden alınabilir:

Belirli örneklerle güçleri nasıl çoğaltacağınızı düşünün.

Üsteki birim yazılmaz, ancak dereceleri çarparken şunları dikkate alırlar:

Çarparken, derece sayısı herhangi biri olabilir. Harften önce çarpma işaretini yazamayacağınız unutulmamalıdır:

İfadelerde önce üs alma işlemi yapılır.

Bir sayıyı bir kuvvetle çarpmanız gerekiyorsa, önce üs alma ve ancak o zaman - çarpma işlemi yapmalısınız:

Aynı tabana sahip güçleri çarpma

Bu video eğitimi abonelikle kullanılabilir

Zaten bir aboneliğiniz var mı? İçeri gel

Bu dersimizde, aynı taban ile kuvvetlerin nasıl çarpılacağını öğreneceğiz. İlk olarak, derecenin tanımını hatırlıyoruz ve eşitliğin geçerliliği üzerine bir teorem formüle ediyoruz. . Daha sonra belirli sayılara uygulanmasına örnekler veriyoruz ve kanıtlıyoruz. Teoremi çeşitli problemleri çözmek için de uygulayacağız.

Konu: Doğal göstergeli derece ve özellikleri

Ders: Aynı tabanlarla kuvvetleri çarpma (formül)

1. Temel tanımlar

Temel tanımlar:

n- üs,

— n bir sayının -th kuvveti.

2. Teorem 1 İfadesi

Teorem 1. herhangi bir sayı için a ve herhangi bir doğal n ve k eşitlik doğrudur:

Başka bir deyişle: eğer a- herhangi bir numara; n ve k doğal sayılar, o zaman:

Dolayısıyla kural 1:

3. Görevleri açıklamak

Çözüm:özel durumlar Teorem No. 1'in doğruluğunu onayladı. Bunu genel durumda kanıtlayalım, yani herhangi bir a ve herhangi bir doğal n ve k.

4. Teorem 1'in Kanıtı

bir sayı verildi a- hiç; sayılar n ve k- doğal. Kanıtlamak:

Kanıt, derecenin tanımına dayanmaktadır.

5. Teorem 1'i kullanarak örneklerin çözümü

Örnek 1: Derece olarak sunmak.

Aşağıdaki örnekleri çözmek için Teorem 1'i kullanıyoruz.

ve)

6. Teorem 1'in Genelleştirilmesi

İşte bir genelleme:

7. Teorem 1'in genelleştirilmesini kullanarak örneklerin çözümü

8. Teorem 1'i kullanarak çeşitli problemleri çözme

Örnek 2: Hesaplayın (temel derece tablosunu kullanabilirsiniz).

a) (tabloya göre)

b)

Örnek 3: Taban 2 ile bir kuvvet olarak yazın.

a)

Örnek 4: Sayının işaretini belirleyin:

, a - negatif çünkü -13'teki üs tektir.

Örnek 5:( ) 'yi bir tabana sahip bir güçle değiştirin r:

var, yani.

9. Özetlemek

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir 7. 6. baskı. M.: Aydınlanma. 2010

1. Okul Asistanı (Kaynak).

1. Derece olarak ifade edin:

bir B C D E)

3. Taban 2 ile bir kuvvet olarak yazın:

4. Sayının işaretini belirleyin:

a)

5. ( ) yerine bir sayının üssünü koyun r:

a) r4 ( ) = r15 ; b) ( ) r 5 = r 6

Aynı üslü kuvvetlerin çarpımı ve bölünmesi

Bu dersimizde aynı üslü kuvvetlerin çarpımını işleyeceğiz. İlk olarak, kuvvetleri aynı tabanlarla çarpma ve bölme ve bir kuvveti bir kuvvete yükseltme ile ilgili temel tanım ve teoremleri hatırlayalım. Daha sonra aynı üslerle çarpma ve kuvvetler bölümü ile ilgili teoremleri formüle eder ve ispatlarız. Ve sonra onların yardımıyla bir dizi tipik problemi çözeceğiz.

Temel tanım ve teoremlerin hatırlatılması

Burada a- derece temeli

— n bir sayının -th kuvveti.

Teorem 1. herhangi bir sayı için a ve herhangi bir doğal n ve k eşitlik doğrudur:

Aynı tabanla kuvvetler çarpılırken üsler toplanır, taban değişmez.

Teorem 2. herhangi bir sayı için a ve herhangi bir doğal n ve k,öyle ki n > k eşitlik doğrudur:

Aynı tabana sahip kuvvetleri bölerken, üsler çıkarılır ve taban değişmez.

Teorem 3. herhangi bir sayı için a ve herhangi bir doğal n ve k eşitlik doğrudur:

Yukarıdaki tüm teoremler aynı güce sahip güçler hakkındaydı. zemin, bu ders dereceleri aynı göstergeler.

Aynı üslü kuvvetleri çarpma örnekleri

Aşağıdaki örnekleri göz önünde bulundurun:

Dereceyi belirlemek için ifadeleri yazalım.

Çözüm:Örneklerden anlarsınız ki , ancak bunun hala kanıtlanması gerekiyor. Teoremi formüle ediyoruz ve genel durumda, yani herhangi bir durumda kanıtlıyoruz. a ve b ve herhangi bir doğal n.

Teorem 4'ün ifadesi ve ispatı

herhangi bir sayı için a ve b ve herhangi bir doğal n eşitlik doğrudur:

Kanıt teorem 4 .

Derece tanımına göre:

Yani bunu kanıtladık .

Aynı üs ile kuvvetleri çarpmak için tabanları çarpmak ve üsleri değiştirmeden bırakmak yeterlidir.

Teorem 5'in ifadesi ve ispatı

Aynı üslü kuvvetleri bölmek için bir teorem formüle ediyoruz.

herhangi bir sayı için a ve b() ve herhangi bir doğal n eşitlik doğrudur:

Kanıt Teorem 5 .

Derecenin tanımına göre yazalım:

Kelimelerde teoremlerin ifadesi

Yani bunu kanıtlamış olduk.

Üsleri aynı olan dereceleri birbirine bölmek için bir tabanı diğerine bölmek ve üssü değiştirmeden bırakmak yeterlidir.

Teorem 4 kullanarak tipik problemlerin çözümü

Örnek 1: Güçlerin bir ürünü olarak ifade edin.

Aşağıdaki örnekleri çözmek için Teorem 4'ü kullanıyoruz.

Aşağıdaki örneği çözmek için formülleri hatırlayın:

Teorem 4'ün Genelleştirilmesi

Teorem 4'ün Genelleştirilmesi:

Genelleştirilmiş Teorem 4 Kullanarak Örnekleri Çözme

Tipik sorunları çözmeye devam etme

Örnek 2:Ürün derecesi olarak yazın.

Örnek 3:Üssü 2 olan bir kuvvet olarak yazın.

Hesaplama Örnekleri

Örnek 4: En mantıklı şekilde hesaplayın.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebir 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ve diğerleri Cebir 7 .M.: Eğitim. 2006

2. Okul asistanı (Kaynak).

1. Güçlerin bir ürünü olarak mevcut:

a) ; b) ; içinde) ; G) ;

2. Ürünün derecesi olarak yazın:

3. Göstergesi 2 olan bir derece şeklinde yazın:

4. En rasyonel şekilde hesaplayın.

"Çarpma ve kuvvetler bölümü" konulu matematik dersi

Bölümler: Matematik

Pedagojik hedef:

öğrenci öğrenecek doğal bir üs ile çarpma ve güçlerin bölünmesi özelliklerini ayırt etmek; aynı bazlar durumunda bu özellikleri uygulayın;

öğrencinin fırsatı olacak Farklı tabanlarla derece dönüşümlerini gerçekleştirebilir ve birleşik görevlerde dönüşümleri gerçekleştirebilir.

Görevler:

daha önce çalışılan materyalleri tekrarlayarak öğrencilerin çalışmalarını organize etmek;

çeşitli türlerde egzersizler yaparak üreme seviyesini sağlamak;

Test yoluyla öğrencilerin öz değerlendirmelerini organize edin.

Doktrinin faaliyet birimleri: doğal bir gösterge ile derecenin belirlenmesi; derece bileşenleri; özel tanımı; birleştirici çarpma yasası.

I. Öğrenciler tarafından mevcut bilgilere hakim olma gösterisinin organizasyonu. (Aşama 1)

a) Bilginin güncellenmesi:

2) Derecenin tanımını doğal bir gösterge ile formüle edin.

bir n \u003d a a a a ... a (n kez)

b k \u003d b b b b a ... b (k kez) Cevabınızı gerekçelendirin.

II. Stajyerin ilgili deneyime sahip olma derecesine göre öz değerlendirmesinin organizasyonu. (Adım 2)

Kendi kendini test :( bireysel çalışma iki versiyonda.)

A1) 7 7 7 7 x x x ürününü bir güç olarak ifade edin:

A2) (-3) 3 x 2 derecesini çarpım olarak ifade edin

A3) Hesapla: -2 3 2 + 4 5 3

Sınavdaki görev sayısını sınıf seviyesinin hazırlanmasına uygun olarak seçerim.

Test için, kendi kendini test etmek için bir anahtar veriyorum. Kriterler: başarılı oldu.

III. Eğitimsel ve pratik görev (adım 3) + adım 4. (öğrenciler özellikleri kendileri formüle edeceklerdir)

hesaplayın: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Basitleştirin: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 = ?

1) ve 2) problemlerini çözme sürecinde, öğrenciler bir çözüm önerir ve ben bir öğretmen olarak, aynı tabanlarla çarparken güçleri basitleştirmenin bir yolunu bulmak için bir sınıf düzenlerim.

Öğretmen: Aynı tabanla çarparken güçleri basitleştirmenin bir yolunu bul.

Kümede bir giriş görünür:

Dersin konusu formüle edilmiştir. Güçlerin çarpımı.

Öğretmen: Dereceleri aynı temellere bölmek için bir kural bul.

Akıl yürütme: hangi eylem bölümü kontrol eder? a 5: a 3 = ? 2 a 3 = a 5

Şemaya geri dönüyorum - bir küme ve girişi tamamlıyorum - ..bölerken, dersin konusunu çıkarın ve ekleyin. ...ve derecelerin bölünmesi.

IV. Bilginin sınırları hakkında öğrencilere iletişim (asgari ve azami olarak).

Öğretmen: Bugünün dersi için minimumun görevi, çarpma ve kuvvetler bölümünün özelliklerini aynı tabanlarla nasıl uygulayacağınızı ve maksimumu nasıl uygulayacağınızı öğrenmek: çarpma ve bölmeyi birlikte uygulamak.

Tahtaya yaz : bir m bir n = bir m + n ; bir m: bir n = bir m-n

V. Yeni materyal çalışmasının organizasyonu. (Adım 5)

a) Ders kitabına göre: No. 403 (a, c, e) farklı ifadelere sahip görevler

404 (a, e, f) bağımsız iş, sonra karşılıklı bir çek düzenlerim, anahtarları veririm.

b) Eşitlik hangi m değeri için geçerlidir? 16 a m \u003d bir 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Görev: bölme için benzer örnekler bulun.

c) No. 417(a), No. 418(a) Öğrenciler için tuzaklar: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; 16: 8 \u003d 2.

VI. Öğrenilenleri özetlemek, teşhis çalışması yapmak (öğretmenleri değil öğrencileri bu konuyu incelemeye teşvik eder) (6. adım)

teşhis çalışması.

Ölçek(anahtarları takın ters tarafÖlçek).

Görev seçenekleri: x 15: x 3 bölümünü derece olarak sunar; çarpımı bir güç olarak temsil eder (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; bunun için m eşitliği a 16 a m = a 32 doğrudur; h 0: h 2 ifadesinin değerini h = 0.2 ile bulun; (5 2 5 0) : 5 2 ifadesinin değerini hesaplayın .

Dersin özeti. Refleks. Sınıfı iki gruba ayırıyorum.

Grup I'in argümanlarını bulun: derecenin özelliklerinin bilgisi lehine ve grup II - özellikler olmadan yapabileceğinizi söyleyecek argümanlar. Tüm cevapları dinliyoruz, sonuçlar çıkarıyoruz. Sonraki derslerde istatistiksel veriler sunabilir ve değerlendirme tablosuna “Kafama uymuyor!” adını verebilirsiniz.

Ortalama bir insan yaşamı boyunca 32 10 2 kg salatalık yer.

Yaban arısı, 3,2 10 2 km'lik kesintisiz uçuş yapma yeteneğine sahiptir.

Cam çatladığında, çatlak yaklaşık 5 10 3 km/h hızla yayılır.

Bir kurbağa hayatı boyunca 3 tondan fazla sivrisinek yer. Dereceyi kullanarak kg cinsinden yazın.

En üretkeni okyanus balığıdır - bir yumurtlamada yaklaşık 1,3 mm çapında 300.000.000 yumurta bırakan ay (Mola mola). Bu numarayı bir derece kullanarak yazın.

VII. Ev ödevi.

Tarih referansı. Hangi sayılara Fermat sayıları denir.

s.19. #403, #408, #417

Kullanılmış Kitaplar:

Ders kitabı "Cebir-7", yazarlar Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk ve diğerleri.

7. sınıf için didaktik materyal, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvaviç, S.B. Suvorov.

Matematik Ansiklopedisi.

"Kuantum" dergisi.

Derecelerin özellikleri, formülasyonlar, ispatlar, örnekler.

Sayının derecesi belirlendikten sonra bundan bahsetmek mantıklıdır. derece özellikleri. Bu yazımızda bir sayının derecesinin temel özelliklerini verirken olası tüm üslere değineceğiz. Burada derecenin tüm özelliklerinin kanıtlarını vereceğiz ve ayrıca bu özelliklerin örnekler çözerken nasıl uygulandığını göstereceğiz.

Sayfa gezintisi.

Doğal göstergeli derecelerin özellikleri

Doğal üslü bir gücün tanımıyla, a n'nin gücü, her biri a'ya eşit olan n faktörünün ürünüdür. Bu tanımdan yola çıkarak ve gerçek sayı çarpma özellikleri, aşağıdakileri elde edebilir ve haklı çıkarabiliriz doğal üslü derecenin özellikleri:

a m ·a n =a m+n derecesinin ana özelliği, genelleştirilmesi an n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

aynı tabanlara sahip kısmi kuvvetlerin özelliği a m:a n =a m−n ;

çarpım derecesi özelliği (a b) n =a n bn , uzantısı (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a kn ;

ayni bölüm özelliği (a:b) n =a n:b n ;

üs alma (a m) n =a mn , genellemesi (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

dereceyi sıfırla karşılaştırmak:

• a>0 ise, herhangi bir doğal n için bir n >0;
• a=0 ise, o zaman bir n=0;
• 2 m >0 ise, 2 m−1 n ise;
• m ve n, m>n olacak şekilde doğal sayılarsa, o zaman 0m n için ve a>0 için a m >a n eşitsizliği doğrudur.

Hemen not edelim ki tüm yazılı eşitlikler birebir aynı belirtilen koşullar altında ve sağ ve sol kısımları değiştirilebilir. Örneğin, a m a n = a m + n kesrinin ana özelliği ile ifadelerin sadeleştirilmesi genellikle a m+n = a m a n biçiminde kullanılır.

Şimdi her birine ayrıntılı olarak bakalım.

Aynı tabanlara sahip iki kuvvetin çarpımının özelliği ile başlayalım. derecenin ana özelliği: herhangi bir gerçek sayı için a ve herhangi doğal sayılar m ve n eşitliği a m ·a n =a m+n doğrudur.

Derecenin ana özelliğini ispatlayalım. Doğal üslü bir derecenin tanımıyla, a m a n formunun aynı tabanlarına sahip kuvvetlerin çarpımı, çarpım olarak yazılabilir. . Çarpma işleminin özelliklerinden dolayı elde edilen ifade şu şekilde yazılabilir: , ve bu çarpım a'nın doğal üslü m+n , yani bir m+n 'nin kuvvetidir. Bu ispatı tamamlar.

Derecenin ana özelliğini doğrulayan bir örnek verelim. Aynı tabanlara sahip dereceler alalım 2 ve doğal güçler 2 ve 3, derecenin ana özelliğine göre 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 eşitliğini yazabiliriz. 2 2 ·2 3 ve 2 5 ifadelerinin değerlerini hesapladığımız geçerliliğini kontrol edelim. Üs alma işlemini gerçekleştirdiğimizde 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 ve 2 5 =2 2 2 2=32 elde ederiz. eşit değerler, o zaman 2 2 2 3 =2 5 eşitliği doğrudur ve derecenin ana özelliğini doğrular.

Çarpma özelliklerine dayanan derecenin ana özelliği, üçün çarpımına genelleştirilebilir ve daha fazla aynı tabanlara ve doğal üslere sahip dereceler. Yani n 1 , n 2 , …, n k doğal sayılarının herhangi bir k sayısı için, a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k eşitliği doğrudur.

Örneğin, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .

Doğal bir gösterge ile derecelerin bir sonraki özelliğine geçebilirsiniz - aynı esaslara sahip kısmi güçlerin özelliği: m>n koşulunu sağlayan sıfır olmayan herhangi bir gerçek sayı ve m ve n rastgele doğal sayıları için, a m:a n =a m−n eşitliği doğrudur.

Bu özelliğin kanıtını vermeden önce, formülasyondaki ek koşulların anlamını tartışalım. 0 n =0 olduğundan sıfıra bölmeyi önlemek için a≠0 koşulu gereklidir ve bölme ile tanıştığımızda sıfıra bölmenin imkansız olduğu konusunda anlaşmıştık. Doğal üslerin ötesine geçmememiz için m>n koşulu getirilir. Gerçekten de, m>n için, a m−n üssü doğal bir sayıdır, aksi takdirde ya sıfır (m−n olduğunda olur) ya da negatif bir sayı olacaktır (m m−n a n =a (m−n) + n = a m Elde edilen a m−n bir n = a m eşitliğinden ve çarpma ile bölme ilişkisinden, a m−n'nin a m ve a n'nin kısmi kuvveti olduğu sonucu çıkar. Bu, aynı tabanlara sahip kısmi kuvvetlerin özelliğini kanıtlar.

Bir örnek alalım. Aynı π tabanları ve 5 ve 2 doğal üsleri ile iki derece alalım, derecenin dikkate alınan özelliği π 5 eşitliğine karşılık gelir: π 2 = π 5−3 = π3.

Şimdi düşünün ürün derecesi özelliği: herhangi iki gerçek sayının a ve b ürününün doğal derecesi n, a n ve b n derecelerinin çarpımına eşittir, yani (a b) n =a n bn .

Gerçekten de, doğal üslü bir derece tanımı gereği, . Çarpma özelliklerine dayanan son ürün şu şekilde yeniden yazılabilir: , bu da a n b n'ye eşittir.

İşte bir örnek: .

Bu özellik, üç veya daha fazla faktörün çarpım derecesine kadar uzanır. Yani, k faktörünün çarpımının n doğal derece özelliği (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a kn olarak yazılır.

Anlaşılır olması için bu özelliği bir örnekle gösteriyoruz. 7'nin gücüne üç faktörün ürünü için, elimizde .

Bir sonraki özellik doğal mülk: a ve b , b≠0 reel sayılarının n doğal kuvvetine bölümü, a n ve b n kuvvetlerinin bölümüne eşittir, yani (a:b) n =a n:b n .

Kanıt önceki özellik kullanılarak gerçekleştirilebilir. Yani (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , ve (a:b) n b n =an n eşitliğinden, (a:b) n'nin a n'den bn'ye bir bölümü olduğu sonucu çıkar.

Bu özelliği belirli sayılar örneğini kullanarak yazalım: .

şimdi ses verelim üstel özellik: herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir doğal sayı m ve n için, a m'nin n'nin kuvvetine kuvveti, m·n üslü a'nın kuvvetine eşittir, yani (a m) n =a m·n .

Örneğin, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Güç özelliğinin bir derecede ispatı aşağıdaki eşitlikler zinciridir: .

Değerlendirilen özellik derece içinde derece içinde derece içinde genişletilebilir, vb. Örneğin, herhangi bir doğal sayı p, q, r ve s için eşitlik . Daha fazla netlik için, belirli sayılarla bir örnek verelim: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Dereceleri doğal bir üsle karşılaştırmanın özellikleri üzerinde durmaya devam ediyor.

Sıfır ve gücün karşılaştırma özelliğini doğal bir üsle kanıtlayarak başlıyoruz.

İlk olarak, herhangi bir a>0 için a n >0 olduğunu doğrulayalım.

İki pozitif sayının çarpımı, çarpma tanımından aşağıdaki gibi pozitif bir sayıdır. Bu gerçek ve çarpmanın özellikleri, herhangi bir sayıda pozitif sayıyı çarpmanın sonucunun da pozitif bir sayı olacağını iddia etmemizi sağlar. Ve doğal üssü n olan a'nın gücü, tanım gereği, her biri a'ya eşit olan n faktörünün ürünüdür. Bu argümanlar, herhangi bir pozitif taban için a n'nin derecesinin pozitif bir sayı olduğunu iddia etmemize izin verir. Kanıtlanmış özellik sayesinde 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 ve .

a=0 olan herhangi bir doğal n için a n'nin derecesinin sıfır olduğu oldukça açıktır. Gerçekten de, 0 n =0·0·…·0=0 . Örneğin, 0 3 =0 ve 0 762 =0 .

Negatif temellere geçelim.

Üsün çift sayı olduğu durumla başlayalım, bunu 2 m olarak belirtin, burada m bir doğal sayıdır. O zamanlar . Negatif sayıların çarpımı kuralına göre, a a formunun her bir ürünü, a ve a sayılarının modüllerinin çarpımına eşittir, bu da onun pozitif bir sayı olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, ürün de olumlu olacaktır. ve derece a 2 m . İşte örnekler: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ve .

Son olarak, a'nın tabanı negatif bir sayı ve üs tek sayı 2 m-1 olduğunda, o zaman . Tüm a·a ürünleri pozitif sayılardır, bu pozitif sayıların çarpımı da pozitiftir ve kalan negatif a sayısı ile çarpımı negatif bir sayı verir. Bu özellik sayesinde, (−5) 3 17 n n, n gerçek eşitsizlik a'nın sol ve sağ kısımlarının çarpımıdır. eşitsizliklerin özellikleri, ispatlanan eşitsizlik a n n biçimindedir. Örneğin, bu özellik nedeniyle, eşitsizlikler 3 7 7 ve .

Doğal üslü güçlerin listelenen özelliklerinin sonunu kanıtlamak için kalır. Hadi formüle edelim. Doğal göstergeleri ve aynı pozitif temelleri olan iki dereceden birden az, derecesi daha büyüktür, göstergesi daha azdır; ve doğal göstergeleri olan ve aynı tabanları birden büyük olan iki derecenin göstergesi büyük olanın derecesi daha büyüktür. Bu özelliğin kanıtına dönüyoruz.

Bunu m>n ve 0m n için ispatlayalım. Bunu yapmak için, a m - a n farkını yazıp sıfırla karşılaştırıyoruz. Parantez içinde bir n alındıktan sonraki yazılı fark, a n ·(a m−n −1) biçimini alacaktır. Elde edilen ürün, pozitif bir a n sayısının ve negatif bir a m−n −1 sayısının çarpımı olarak negatiftir (a n, pozitif bir sayının doğal kuvveti olarak pozitiftir ve a m−n −1 farkı negatiftir, çünkü m−n >0 m>n başlangıç ​​koşulundan dolayıdır, buradan 0m−n için birden küçük olduğu sonucu çıkar). Bu nedenle, ispatlanması gereken a m - bir n m n . Örneğin, doğru eşitsizliği veriyoruz.

Mülkün ikinci bölümünü kanıtlamak için kalır. m>n ve a>1 için a m >a n'nin doğru olduğunu ispatlayalım. Köşeli parantezlerden bir n çıkardıktan sonraki a m −a n farkı, a n ·(a m−n −1) biçimini alır. Bu çarpım pozitiftir, çünkü a>1 için a n'nin derecesi pozitif bir sayıdır ve a m−n −1 farkı pozitif bir sayıdır, çünkü m−n>0 başlangıç ​​koşulundan ve a>1 için bir m−n'nin derecesi birden büyüktür. Bu nedenle, ispatlanması gereken a m − an n >0 ve a m >a n . Bu özellik 3 7 >3 2 eşitsizliği ile gösterilir.

Tamsayı üslü derecelerin özellikleri

Pozitif tamsayılar doğal sayılar olduğundan, pozitif tamsayı üslü üslerin tüm özellikleri, bir önceki paragrafta listelenen ve kanıtlanmış doğal üslü üslerin özellikleriyle tam olarak örtüşür.

Negatif tamsayı üslü bir derece ve sıfır üslü bir derece tanımladık, böylece eşitliklerle ifade edilen doğal üslü derecelerin tüm özellikleri geçerli kalır. Bu nedenle, tüm bu özellikler hem sıfır üsler için hem de negatif üsler için geçerlidir, oysa derecelerin tabanları elbette sıfır değildir.

Dolayısıyla, herhangi bir gerçek ve sıfır olmayan a ve b sayıları ile m ve n tam sayıları için aşağıdakiler doğrudur. tamsayı üslü derecelerin özellikleri:

• bir m bir n \u003d bir m + n;
• bir m: bir n = bir m−n;
• (a b) n = bir n bn ;
• (a:b) n = bir n:b n ;
• (bir m) n = bir mn;
• n pozitif bir tam sayıysa, a ve b pozitif sayılardır ve a n n ve a−n>b−n ;
• m ve n tamsayılarsa ve m>n ise, 0m n için ve a>1 için a m >an eşitsizliği sağlanır.

a=0 için, a m ve a n kuvvetleri yalnızca hem m hem de n pozitif tam sayılar, yani doğal sayılar olduğunda anlamlıdır. Böylece, az önce yazılan özellikler, a=0 ve m ve n sayılarının pozitif tam sayılar olduğu durumlar için de geçerlidir.

Bu özelliklerin her birini kanıtlamak zor değildir, bunun için doğal ve tamsayı üslü derece tanımlarının yanı sıra gerçek sayılarla eylemlerin özelliklerini kullanmak yeterlidir. Örnek olarak, power özelliğinin hem pozitif tamsayılar hem de pozitif olmayan tamsayılar için geçerli olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için, p sıfır veya bir doğal sayı ve q sıfır veya bir doğal sayı ise, (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , eşitliklerini göstermemiz gerekir. (a p ) −q =a p (−q) ve (a −p) −q =a (−p) (−q) . Haydi Yapalım şunu.

Pozitif p ve q için, (a p) q =a p·q eşitliği önceki alt bölümde kanıtlanmıştır. p=0 ise, o zaman (a 0) q =1 q =1 ve a 0 q =a 0 =1'e sahibiz, bu nedenle (a 0) q =a 0 q . Benzer şekilde, eğer q=0 ise, o zaman (a p) 0 =1 ve a p 0 =a 0 =1 , buradan (a p) 0 =a p 0 . Hem p=0 hem de q=0 ise, (a 0) 0 =1 0 =1 ve a 0 0 =a 0 =1 , buradan (a 0) 0 =a 0 0 .

Şimdi (a −p) q =a (−p) q olduğunu ispatlayalım. Negatif tamsayı üslü bir derece tanımına göre, o zaman . Derecedeki bölümün özelliğine göre, . 1 p=1·1·…·1=1 olduğundan ve , o zaman . Son ifade, tanım gereği, çarpma kuralları sayesinde a (−p) q olarak yazılabilen a −(p q) formunun bir kuvvetidir.

benzer şekilde .

Ve .

Aynı prensibe göre, bir derecenin diğer tüm özellikleri, eşitlikler şeklinde yazılmış bir tamsayı üslü ile ispatlanabilir.

Kaydedilen özelliklerin sondan bir önceki bölümünde, a −n >b −n eşitsizliğinin ispatı üzerinde durmaya değer; bu, herhangi bir −n negatif tamsayı ve a koşulunun kendisi için olduğu herhangi bir pozitif a ve b için doğrudur. . Bu eşitsizliğin sol ve sağ kısımları arasındaki farkı yazıp dönüştürüyoruz: . A koşuluna göre n n , bu nedenle, b n - bir n >0 . a n ·b n çarpımı da a n ve b n pozitif sayılarının çarpımı kadar pozitiftir. O zaman elde edilen kesir, b n − a n ve a n b n pozitif sayılarının bir bölümü olarak pozitiftir. Dolayısıyla, a −n >b −n'nin nereden geldiği kanıtlanacaktı.

Tamsayı üslü derecelerin son özelliği, doğal üslü derecelerin benzer özelliği ile aynı şekilde kanıtlanmıştır.

Rasyonel üslü kuvvetlerin özellikleri

derece c kesirli gösterge bir tamsayı üslü bir derecenin özelliklerini ona genişleterek belirledik. Başka bir deyişle, kesirli üslü dereceler, tamsayılı üslü derecelerle aynı özelliklere sahiptir. Yani:

1. aynı tabana sahip güçlerin ürününün özelliği a>0 için ve if ve , o zaman a≥0 için;
2. aynı esaslara sahip kısmi güçlerin mülkiyeti a>0 için;
3. kesirli ürün özelliği a>0 ve b>0 için ve eğer ve ise, o zaman a≥0 ve (veya) b≥0 için;
4. kesirli bir güce bölüm özelliği a>0 ve b>0 için ve eğer , o zaman a≥0 ve b>0 için;
5. derece özelliği a>0 için ve if ve , o zaman a≥0 için;
6. güçleri eşit rasyonel üslerle karşılaştırma özelliği: herhangi bir pozitif sayı için a ve b, a 0 eşitsizliği a p p geçerlidir ve p p >b p için;
7. kuvvetleri rasyonel üslerle ve eşit tabanlarla karşılaştırma özelliği: p ve q rasyonel sayıları için, 0p q için p>q ve a>0 için a p >a q eşitsizliği.

Derecelerin özelliklerinin kesirli üslerle ispatı, derecenin kesirli üslü tanımına, n'inci derecenin aritmetik kökünün özelliklerine ve tamsayı üslü bir derecenin özelliklerine dayanır. Kanıt verelim.

Bir kesirli üs ile derecenin tanımına göre ve , sonra . Aritmetik kökün özellikleri aşağıdaki eşitlikleri yazmamıza izin verir. Ayrıca, bir tamsayı üslü derecenin özelliğini kullanarak, kesirli üslü bir derecenin tanımıyla şunu elde ederiz: , ve elde edilen derecenin üssü aşağıdaki gibi dönüştürülebilir: . Bu ispatı tamamlar.

Kesirli üslü kuvvetlerin ikinci özelliği tam olarak aynı şekilde kanıtlanmıştır:


Eşitliklerin geri kalanı benzer ilkelerle kanıtlanmıştır:


Bir sonraki özelliğin kanıtına dönüyoruz. Herhangi bir pozitif a ve b için a olduğunu ispatlayalım. 0 eşitsizliği a p p geçerlidir ve p p >b p için geçerlidir. p rasyonel sayısını m/n olarak yazıyoruz, burada m bir tam sayı ve n bir doğal sayıdır. Bu durumda p 0 koşulları sırasıyla m 0 koşullarına eşdeğer olacaktır. m>0 ve am m için. Bu eşitsizlikten, köklerin özelliği ile elde ederiz ve a ve b pozitif sayılar olduğundan, o zaman, derecenin kesirli üslü tanımına dayanarak, elde edilen eşitsizlik , yani a p p olarak yeniden yazılabilir.

Benzer şekilde, m m >b m , nereden, yani ve a p >b p olduğunda.

Listelenen özelliklerin sonunu kanıtlamak için kalır. p ve q rasyonel sayıları için 0p q için p>q ve a>0 için a p >a q eşitsizliğinin olduğunu kanıtlayalım. p ve q rasyonel sayılarını her zaman ortak bir paydaya indirgeyebiliriz, m 1 ve m 2 tam sayılar ve n bir doğal sayı olmak üzere adi kesirler ve 'yi elde edelim. Bu durumda, p>q koşulu, karşılaştırma kuralından çıkan m 1 >m 2 koşuluna karşılık gelecektir. sıradan kesirler aynı paydalarla. Daha sonra, aynı tabanlara ve doğal üslere sahip kuvvetlerin karşılaştırılması özelliği ile 0m 1 m 2 ve a>1 için eşitsizlik a m ​​1 >a m 2 . Köklerin özellikleri bakımından bu eşitsizlikler sırasıyla şu şekilde yeniden yazılabilir: ve . Ve rasyonel bir üslü bir derecenin tanımı, sırasıyla eşitsizliklere geçmemize izin verir. Buradan son sonuca varıyoruz: p>q ve 0p q için ve a>0 için a p >a q eşitsizliği.

İrrasyonel üslü derecelerin özellikleri

İrrasyonel üslü bir derecenin nasıl tanımlandığından, rasyonel üslü derecelerin tüm özelliklerine sahip olduğu sonucuna varabiliriz. Yani herhangi bir a>0 , b>0 ve p ve q irrasyonel sayıları için aşağıdakiler doğrudur irrasyonel üslü derecelerin özellikleri:

1. a p bir q = bir p + q ;
2. bir p:a q = bir p−q ;
3. (a b) p = a p b p;
4. (a:b) p =a p:b p;
5. (a p) q = bir p q ;
6. herhangi bir pozitif sayı için a ve b , a 0 eşitsizliği a p p geçerlidir ve p p >b p için;
7. p ve q irrasyonel sayıları için, 0p q için p>q ve a>0 için a p >a q eşitsizliği.

Bundan, a>0 için herhangi bir reel üslü p ve q olan güçlerin aynı özelliklere sahip olduğu sonucuna varabiliriz.

• Cebir - 10. sınıf. Trigonometrik denklemler Konuyla ilgili ders ve sunum: "En basit trigonometrik denklemlerin çözümü" Ek Malzemeler Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm malzemeler […]
• "SATICI - DANIŞMAN" pozisyonu için bir yarışma açıldı: Sorumluluklar: Beeline, Tele2, MTS aboneleri için mobil iletişim hizmeti için cep telefonları ve aksesuarlarının satışı, Beeline ve Tele2 tarife planlarının ve hizmetlerinin bağlantısı, MTS danışmanlık […]
• A formülünün paralel yüzlü bir paralelyüzlü, her biri bir paralelkenar olan 6 yüzlü bir çokyüzlüdür. Küboid, her yüzü bir dikdörtgen olan bir küboiddir. Herhangi bir paralel yüzlü, 3 […]
• Astana Tüketici Haklarını Koruma Derneği Astana Sitemizde bu dokümana erişim için pin kodu almak için GSM operatörlerinin (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) abone numarasına zan yazıp SMS gönderiniz. odaya SMS göndererek, […]
• KONUŞMANIN FARKLI BÖLÜMLERİNDE Н VE НН HAZIRLANMASI 2. Bu kuralların istisnalarını adlandırın. 3. Son eki -n- olan bir fiil sıfatını, son eki olan bir katılımcıdan nasıl ayırt edebilirim?
• Aile çiftlikleri yasasını kabul edin federal yasa her istekli vatandaşa ücretsiz tahsis konusunda Rusya Federasyonu veya üzerinde düzenlemek için bir toprak parçasının vatandaşları ailesi Aile Çiftliği aşağıdaki koşullar altında: 1. Site, […]
• BRYANSK BÖLGESİ GOSTEKHNADZOR DENETİMİ Devlet vergisi ödeme makbuzu (İndir-12.2 kb) Bireyler için kayıt başvuruları (İndir-12 kb) Tüzel kişiler için kayıt başvuruları (İndir-11.4 kb) 1. Yeni bir araba kaydederken: 1.uygulama 2.pasaport […]
• Uzun zamandır 1x1 turnuva oynamadık. Ve bu geleneği sürdürmenin zamanı geldi. 1v1 oyuncular için ayrı bir merdiven ve turnuvalar organize edene kadar, sitedeki takım profillerinizi kullanmanızı öneririz. Maçlardaki oyunlar için puanları çıkarın veya ekleyin […]

Daha önce bir sayının kuvvetinin ne olduğundan bahsetmiştik. Sorunları çözmede yararlı olan belirli özelliklere sahiptir: onlar ve bu makalede analiz edeceğimiz tüm olası üslerdir. Ayrıca pratikte nasıl ispatlanabileceklerini ve doğru uygulanabileceklerini örneklerle göstereceğiz.

Daha önce formüle ettiğimiz doğal üslü bir derece kavramını hatırlayalım: bu, her biri a'ya eşit olan n'inci faktör sayısının ürünüdür. Ayrıca gerçek sayıları nasıl doğru bir şekilde çarpacağımızı da hatırlamamız gerekiyor. Bütün bunlar, doğal göstergeli bir derece için aşağıdaki özellikleri formüle etmemize yardımcı olacaktır:

tanım 1

1. Derecenin ana özelliği: a m a n = a m + n

Şu şekilde genelleştirilebilir: bir n 1 · bir n 2 · … · bir n k = bir n 1 + n 2 + … + n k .

2. Aynı tabana sahip kuvvetler için bölüm özelliği: a m: a n = a m − n

3. Ürün derecesi özelliği: (a b) n = a n b n

Eşitlik şu şekilde genişletilebilir: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Bir doğal derecenin özelliği: (a: b) n = a n: b n

5. Gücü güce yükseltiyoruz: (a m) n = a m n ,

Şuna genelleştirilebilir: (((a n 1) n 2) …) n k = bir n 1 n 2 … n k

6. Dereceyi sıfırla karşılaştırın:

• a > 0 ise, herhangi bir doğal n için, a n sıfırdan büyük olacaktır;
• 0'a eşit olduğunda, n de sıfıra eşit olacaktır;
• için< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• için< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Eşitlik bir n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. a m > a n eşitsizliği, m ve n'nin doğal sayılar olması, m'nin n'den büyük ve a'nın sıfırdan büyük ve birden küçük olmaması koşuluyla doğru olacaktır.

Sonuç olarak, birkaç eşitlik elde ettik; yukarıda belirtilen tüm koşulları karşılıyorsanız, bunlar aynı olacaktır. Eşitliklerin her biri için, örneğin ana mülk için, sağ ve sol kısımları değiştirebilirsiniz: a m · a n = a m + n - a m + n = a m · a n ile aynı. Bu formda, genellikle ifadeleri sadeleştirirken kullanılır.

1. Derecenin ana özelliği ile başlayalım: a m · a n = a m + n eşitliği, herhangi bir doğal m ve n ve gerçek a için doğru olacaktır. Bu ifade nasıl kanıtlanır?

Doğal üslü güçlerin temel tanımı, eşitliği faktörlerin bir ürününe dönüştürmemize izin verecektir. Bunun gibi bir girdi alacağız:

Bu kısaltılabilir (çarpmanın temel özelliklerini hatırlayın). Sonuç olarak, doğal üssü m + n olan a sayısının derecesini elde ettik. Böylece a m + n , yani derecenin ana özelliği ispatlanmış olur.

Bunu kanıtlamak için somut bir örnek alalım.

örnek 1

Yani tabanı 2 olan iki gücümüz var. Doğal göstergeleri sırasıyla 2 ve 3'tür. Eşitliği elde ettik: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Bu eşitliğin doğruluğunu kontrol etmek için değerleri hesaplayalım.

Gerekli matematiksel işlemleri yapalım: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 ve 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Sonuç olarak şunu elde ederiz: 2 2 2 3 = 2 5 . Mülkiyet kanıtlanmıştır.

Çarpmanın özelliklerinden dolayı, üsleri doğal sayılar ve tabanları aynı olan üç veya daha fazla kuvvet şeklinde formüle ederek özelliği genelleştirebiliriz. n 1, n 2 vb. doğal sayıların sayısını k harfi ile gösterirsek, doğru eşitliği elde ederiz:

bir n 1 bir n 2 … bir n k = bir n 1 + n 2 + … + n k .

Örnek 2

2. Daha sonra, bölüm özelliği olarak adlandırılan ve aynı temellere sahip güçlerin doğasında bulunan aşağıdaki özelliği kanıtlamamız gerekir: bu, herhangi bir doğal m ve n (ve m) için geçerli olan a m: a n = a m − n eşitliğidir. n'den büyüktür)) ve sıfır olmayan herhangi bir gerçek a .

Öncelikle, formülasyonda bahsedilen koşulların tam olarak ne anlama geldiğini açıklayalım. Sıfıra eşit alırsak, sonunda yapılamayan sıfıra bölme elde ederiz (sonuçta 0 n = 0). Doğal üsler içinde kalabilmemiz için m sayısının n'den büyük olması şartı gereklidir: n'yi m'den çıkararak bir doğal sayı elde ederiz. Koşul karşılanmazsa, negatif bir sayı veya sıfır alacağız ve yine doğal göstergelerle derece çalışmasının ötesine geçeceğiz.

Şimdi ispata geçebiliriz. Daha önce çalışılanlardan, kesirlerin temel özelliklerini hatırlıyoruz ve eşitliği aşağıdaki gibi formüle ediyoruz:

bir m - n bir n = bir (m - n) + n = bir m

Bundan şunu çıkarabiliriz: a m − n bir n = a m

Bölme ve çarpma arasındaki bağlantıyı hatırlayın. Bundan, a m - n'nin a m ve a n kuvvetlerinin bir bölümü olduğu sonucu çıkar. Bu, ikinci derece özelliğin kanıtıdır.

Örnek 3

Göstergelerde netlik için belirli sayıları değiştirin ve π derecesinin tabanını belirtin: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Daha sonra, ürünün derecesinin özelliğini analiz edeceğiz: (a · b) n = a n · b n herhangi bir gerçek a ve b ve doğal n için.

Doğal üslü bir derecenin temel tanımına göre eşitliği şu şekilde yeniden formüle edebiliriz:

Çarpmanın özelliklerini hatırlayarak şunu yazıyoruz: . a n · b n ile aynı anlama gelir.

Örnek 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Üç veya daha fazla faktörümüz varsa, bu özellik bu durum için de geçerlidir. Faktör sayısı için k gösterimini tanıtıyoruz ve şunu yazıyoruz:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Örnek 5

Belirli sayılarla aşağıdaki doğru eşitliği elde ederiz: (2 (- 2 , 3) ​​​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​​​7a

4. Bundan sonra, bölüm özelliğini kanıtlamaya çalışacağız: (a: b) n = a n: b n herhangi bir gerçek a için ve b eğer b 0'a eşit değilse ve n bir doğal sayıysa.

Kanıt için önceki derece özelliğini kullanabiliriz. (a: b) n b n = ((a: b) b) n = bir n ve (a: b) n b n = bir n ise, o zaman (a: b) n, a n'yi bn'ye bölmenin bir bölümüdür.

Örnek 6

Örneği sayalım: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Örnek 7

Hemen bir örnekle başlayalım: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Ve şimdi bize eşitliğin doğruluğunu kanıtlayacak bir eşitlikler zinciri formüle ediyoruz:

Örnekte derecelerimiz varsa, bu özellik onlar için de geçerlidir. Herhangi bir p, q, r, s doğal sayımız varsa, bu doğru olacaktır:

bir p q y s = bir p q y s

Örnek 8

Ayrıntıları ekleyelim: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Doğal üslü derecelerin kanıtlamamız gereken bir başka özelliği de karşılaştırma özelliğidir.

İlk önce, üssü sıfırla karşılaştıralım. a'nın 0'dan büyük olması koşuluyla neden a n > 0?

Bir pozitif sayıyı diğeriyle çarparsak, pozitif bir sayı da elde ederiz. Bu gerçeği bilerek, bunun faktör sayısına bağlı olmadığını söyleyebiliriz - herhangi bir sayıda pozitif sayının çarpılmasının sonucu pozitif bir sayıdır. Ve sayıları çarpmanın sonucu değilse, derece nedir? O zaman pozitif tabanlı ve doğal üssü olan herhangi bir a n kuvveti için bu doğru olacaktır.

Örnek 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 ve 34 9 13 51 > 0

Tabanı sıfıra eşit olan bir gücün kendisinin de sıfır olduğu açıktır. Sıfırı hangi güce yükseltirsek yükseltelim, sıfır kalacaktır.

Örnek 10

0 3 = 0 ve 0 762 = 0

Derecenin tabanı negatif bir sayı ise, çift / tek üs kavramı önemli hale geldiğinden, ispat biraz daha karmaşıktır. Üssün çift olduğu durumla başlayalım ve onu 2 · m ile gösterelim, burada m bir doğal sayıdır.

Negatif sayıları doğru şekilde nasıl çarpacağımızı hatırlayalım: a · a çarpımı modüllerin çarpımına eşittir ve bu nedenle pozitif bir sayı olacaktır. O zamanlar ve a 2 · m derecesi de pozitiftir.

Örnek 11

Örneğin, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 ve - 2 9 6 > 0

Negatif tabanlı üs tek bir sayıysa? 2 · m − 1 olarak gösterelim.

O zamanlar

Tüm a · a çarpımları, çarpma özelliklerine göre pozitiftir ve onların çarpımı da pozitiftir. Ancak bunu kalan tek sayı a ile çarparsak, nihai sonuç negatif olacaktır.

Sonra şunu elde ederiz: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Nasıl kanıtlanır?

bir< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Örnek 12

Örneğin, eşitsizlikler doğrudur: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Son özelliği kanıtlamak bize kalır: Tabanları aynı ve pozitif olan ve üsleri doğal sayılar olan iki derecemiz varsa, bunlardan biri daha büyüktür, üssü daha küçüktür; ve doğal göstergeleri olan ve aynı tabanları birden büyük olan iki derecenin göstergesi büyük olanın derecesi daha büyüktür.

Bu iddiaları kanıtlayalım.

İlk önce bir m olduğundan emin olmalıyız.< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Parantezlerden bir n alıyoruz, bundan sonra farkımız a n · (am - n - 1) biçimini alacak. Sonucu negatif olacaktır (çünkü pozitif bir sayıyı negatif bir sayı ile çarpmanın sonucu negatiftir). Sonuçta, göre başlangıç ​​koşulları, m − n > 0 , o zaman a m − n − 1 negatiftir ve birinci faktör, pozitif tabanlı herhangi bir doğal güç gibi pozitiftir.

Bir m - bir n olduğu ortaya çıktı< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Geriye, yukarıda formüle edilen ifadenin ikinci bölümünü kanıtlamak kalıyor: a m > a, m > n ve a > 1 için doğrudur. Farkı gösteriyoruz ve parantezlerden bir n alıyoruz: (a m - n - 1) Bir n'nin birden büyük kuvveti pozitif bir sonuç verecektir; ve başlangıç ​​koşulları nedeniyle farkın kendisi de pozitif olacaktır ve a > 1 için a m − n'nin derecesi birden büyüktür. Kanıtlamamız gereken şey, a m − an n > 0 ve a m > a n olduğu ortaya çıktı.

Örnek 13

Belirli sayılarla örnek: 3 7 > 3 2

Tamsayı üslü derecelerin temel özellikleri

Pozitif tamsayı üslü dereceler için özellikler benzer olacaktır, çünkü pozitif tamsayılar doğal sayılardır, yani yukarıda ispatlanan tüm eşitlikler onlar için de geçerlidir. Üslerin negatif veya sıfıra eşit olduğu durumlar için de uygundurlar (derecenin tabanının sıfır olmaması şartıyla).

Bu nedenle, (bu sayıların gerçek olması ve 0'a eşit olmaması şartıyla) herhangi bir a ve b tabanı ve herhangi bir m ve n üs (tamsayı olmaları koşuluyla) için kuvvetlerin özellikleri aynıdır. Bunları kısaca formüller şeklinde yazıyoruz:

tanım 2

1. bir m bir n = bir m + n

2. bir m: bir n = bir m - n

3. (a b) n = bir n b n

4. (a: b) n = bir n: b n

5. (am) n = bir m n

6. bir n< b n и a − n >b - n pozitif tamsayılı n , pozitif a ve b , a< b

7. bir m< a n , при условии целых m и n , m >n ve 0< a < 1 , при a >1 bir m > bir n .

Derecenin tabanı sıfıra eşitse, o zaman a m ve a n girişleri yalnızca doğal ve pozitif m ve n durumunda anlamlıdır. Sonuç olarak, yukarıdaki formülasyonların, diğer tüm koşullar yerine getirildiği takdirde, sıfır tabanlı dereceli durumlar için de uygun olduğunu bulduk.

Bu durumda bu özelliklerin ispatları basittir. Doğal ve tamsayı üslü bir derecenin ne olduğunu ve gerçek sayılarla eylemlerin özelliklerini hatırlamamız gerekecek.

Derecenin derecedeki özelliğini analiz edelim ve hem pozitif tam sayılar hem de pozitif olmayan tam sayılar için doğru olduğunu kanıtlayalım. (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) ve (a − p) − q = a (−) eşitliklerini kanıtlayarak başlıyoruz. p) (-q)

Koşullar: p = 0 veya doğal sayı; q - benzer şekilde.

p ve q değerleri 0'dan büyükse, (a p) q = a p · q elde ederiz. Benzer bir eşitliği daha önce de kanıtlamıştık. p = 0 ise:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = bir 0 = 1

Bu nedenle, (a 0) q = a 0 q

q = 0 için her şey tamamen aynıdır:

(a p) 0 = 1 bir p 0 = bir 0 = 1

Sonuç: (a p) 0 = bir p 0 .

Her iki gösterge de sıfırsa, (a 0) 0 = 1 0 = 1 ve a 0 0 = a 0 = 1, o zaman (a 0) 0 = a 0 0 .

Yukarıda ispatlanan kuvvette bölümün özelliğini hatırlayın ve şunu yazın:

1 a p q = 1 q bir p q

1 p = 1 1 … 1 = 1 ve a p q = a p q ise, o zaman 1 q a p q = 1 a p q

Bu gösterimi temel çarpma kuralları sayesinde a (− p) · q 'ya dönüştürebiliriz.

Ayrıca: a p - q = 1 (ap p) q = 1 a p q = a - (p q) = bir p (- q) .

VE (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = bir p q = bir (- p) (- q)

Derecenin kalan özellikleri, var olan eşitsizlikler dönüştürülerek benzer şekilde kanıtlanabilir. Bunun üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız, sadece zor noktaları belirteceğiz.

Sondan bir önceki özelliğin kanıtı: a - n > b - n'nin, n'nin herhangi bir negatif tamsayı değeri ve a'nın b'den küçük olması koşuluyla, herhangi bir pozitif a ve b için doğru olduğunu hatırlayın.

Daha sonra eşitsizlik aşağıdaki gibi dönüştürülebilir:

1 bir n > 1 bn

Sağ ve sol kısımları fark olarak yazıp gerekli dönüşümleri yapıyoruz:

1 bir n - 1 b n = b n - bir n bir n b n

a'nın b'den küçük olduğu durumda, doğal üslü bir derecenin tanımına göre: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n, çarpanları pozitif olduğu için pozitif bir sayı olur. Sonuç olarak, sonunda pozitif bir sonuç veren b n - bir n a n · b n kesirimiz var. Dolayısıyla 1 a n > 1 b n, a - n > b - n'dir, ki bunu kanıtlamamız gerekiyordu.

Tamsayı üslü derecelerin son özelliği, doğal üslü derecelerin özelliğine benzer şekilde kanıtlanmıştır.

Rasyonel üslü derecelerin temel özellikleri

Önceki makalelerde, rasyonel (kesirli) üslü bir derecenin ne olduğunu tartıştık. Özellikleri tamsayı üslü derecelerin özellikleriyle aynıdır. Hadi yaz:

tanım 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 a > 0 için ve m 1 n 1 > 0 ve m 2 n 2 > 0 ise a ≥ 0 için (ürün özelliği güçleri aynı taban ile).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 eğer a > 0 ise (bölüm özelliği).

3. a b m n = a m n b m n a > 0 ve b > 0 için ve m 1 n 1 > 0 ve m 2 n 2 > 0 ise, o zaman a ≥ 0 ve (veya) b ≥ 0 (kesirli derecede ürün özelliği).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n a > 0 ve b > 0 için ve m n > 0 ise, o zaman a ≥ 0 ve b > 0 (bir bölümün kesirli dereceye kadar özelliği).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 a > 0 için ve m 1 n 1 > 0 ve m 2 n 2 > 0 ise, o zaman a ≥ 0 için (derece özelliği derece).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; mümkünse< 0 - a p >b p (dereceleri eşit rasyonel üslerle karşılaştırma özelliği).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >0'da q< a < 1 ; если a >0 – bir p > bir q

Bu hükümleri kanıtlamak için, kesirli üslü bir derecenin ne olduğunu, n'inci derecenin aritmetik kökünün özelliklerinin neler olduğunu ve tamsayı üslü bir derecenin özelliklerinin neler olduğunu hatırlamamız gerekir. Her bir mülke bir göz atalım.

Kesirli üslü bir derecenin ne olduğuna göre, şunu elde ederiz:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 ve a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, bu nedenle, bir m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 bir m 2 n 2

Kökün özellikleri eşitlikleri türetmemize izin verecektir:

bir m 1 m 2 n 1 n 2 bir m 2 m 1 n 2 n 1 = bir m 1 n 2 bir m 2 n 1 n 1 n 2

Bundan şunu elde ederiz: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Hadi dönüştürelim:

bir m 1 n 2 bir m 2 n 1 n 1 n 2 = bir m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Üs şu şekilde yazılabilir:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Kanıt bu. İkinci özellik tam olarak aynı şekilde kanıtlanmıştır. Eşitlikler zincirini yazalım:

bir m 1 n 1: bir m 2 n 2 = bir m 1 n 1: bir m 2 n 2 = bir m 1 n 2: bir m 2 n 1 n 1 n 2 = = bir m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = bir m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = bir m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = bir m 1 n 1 - m 2 n 2

Kalan eşitliklerin kanıtları:

bir b m n = (a b) m n = bir m b m n = bir m n b m n = bir m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = bir m: b m n = = bir m n: b m n = bir m n: b m n ; bir m 1 n 1 m 2 n 2 = bir m 1 n 1 m 2 n 2 = bir m 1 n 1 m 2 n 2 = = bir m 1 m 2 n 1 n 2 = bir m 1 m 2 n 1 n 2 = = bir m 1 m 2 n 2 n 1 = bir m 1 m 2 n 2 n 1 = bir m 1 n 1 m 2 n 2

Sonraki özellik: a ve b'nin 0'dan büyük herhangi bir değeri için, a, b'den küçükse, a p yürütüleceğini kanıtlayalım.< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Bir rasyonel sayı p'yi m n olarak gösterelim. Bu durumda m bir tamsayıdır, n bir doğal sayıdır. Daha sonra koşullar p< 0 и p >0 m'ye uzatılacak< 0 и m >0 . m > 0 ve a için< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Köklerin özelliğini kullanırız ve şunu elde ederiz: a m n< b m n

a ve b değerlerinin pozitifliğini dikkate alarak eşitsizliği a m n olarak yeniden yazıyoruz.< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Aynı şekilde m< 0 имеем a a m >b m , a m n > b m n yani a m n > b m n ve a p > b p elde ederiz.

Son özelliği kanıtlamak bize kalır. p ve q rasyonel sayıları için p > q'nun 0'da olduğunu ispatlayalım.< a < 1 a p < a q , а при a >0 doğru olur a p > a q .

Rasyonel sayılar p ve q ortak bir paydaya indirgenebilir ve m 1 n ve m 2 n kesirlerini alabilir

Burada m 1 ve m 2 tam sayılardır ve n bir doğal sayıdır. p > q ise, o zaman m 1 > m 2 (kesirleri karşılaştırma kuralı dikkate alınarak). sonra 0'da< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – eşitsizlik a 1 m > a 2 m .

Aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilirler:

bir m 1 n< a m 2 n a m 1 n >bir m 2 n

Sonra dönüşümler yapabilir ve sonuç olarak şunları elde edebilirsiniz:

bir m 1 n< a m 2 n a m 1 n >bir m 2 n

Özetlemek gerekirse: p > q ve 0 için< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – bir p > bir q .

İrrasyonel üslü derecelerin temel özellikleri

Yukarıda açıklanan, rasyonel üslü bir derecenin sahip olduğu tüm özellikler, böyle bir dereceye kadar genişletilebilir. Bu, önceki makalelerden birinde verdiğimiz tanımından kaynaklanmaktadır. Bu özellikleri kısaca formüle edelim (koşullar: a > 0 , b > 0 , p ve q göstergeleri irrasyonel sayılardır):

Tanım 4

1. a p bir q = bir p + q

2. a p: bir q = bir p − q

3. (a b) p = bir p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = bir p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , ardından a p > a q .

Böylece, a > 0 olması koşuluyla, p ve q üsleri reel sayı olan tüm kuvvetler aynı özelliklere sahiptir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Sekizinci dereceye dikkat etmezsek burada ne görüyoruz? 7. sınıf programına bir göz atalım. Hatırla? Bu kısaltılmış çarpma formülüdür, yani karelerin farkı! Alırız:

Paydaya dikkatlice bakıyoruz. Pay faktörlerinden birine çok benziyor, ama sorun ne? Terimlerin yanlış sırası. Değiştirilirlerse, kural geçerli olabilir.

Ama bunu nasıl yapmalı? Çok kolay olduğu ortaya çıktı: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.

Terimler sihirli bir şekilde yerleri değiştirdi. Bu "fenomen" herhangi bir ifade için eşit derecede geçerlidir: parantez içindeki işaretleri serbestçe değiştirebiliriz.

Ancak şunu hatırlamak önemlidir: tüm işaretler aynı anda değişir!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

tüm doğal sayıları, karşıtlarını (yani "" işaretiyle alınan) ve sayıyı adlandırırız.

pozitif tamsayı ve doğaldan farklı değil, o zaman her şey önceki bölümdeki gibi görünüyor.

Şimdi yeni vakalara bakalım. Eşit bir gösterge ile başlayalım.

Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir:

Her zaman olduğu gibi kendimize soruyoruz: Bu neden böyle?

Tabanlı bir güç düşünün. Örneğin alın ve şununla çarpın:

Böylece sayıyı çarpıp - olduğu gibi elde ettik. Hiçbir şeyin değişmemesi için hangi sayı ile çarpılmalıdır? Bu doğru, devam. Anlamına geliyor.

Aynısını rastgele bir sayıyla da yapabiliriz:

Kuralı tekrarlayalım:

Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir.

Ancak birçok kuralın istisnaları vardır. Ve burada da var - bu bir sayıdır (taban olarak).

Bir yandan, herhangi bir dereceye eşit olmalıdır - sıfırı kendisiyle ne kadar çarparsanız çarparsanız, yine de sıfır alırsınız, bu açıktır. Ama öte yandan, sıfır dereceye kadar herhangi bir sayı gibi, eşit olmalıdır. Peki bunun gerçeği nedir? Matematikçiler karışmamaya karar verdiler ve sıfırı sıfıra yükseltmeyi reddettiler. Yani, şimdi sadece sıfıra bölmekle kalmıyor, aynı zamanda onu sıfıra yükseltiyoruz.

Daha ileri gidelim. Doğal sayılar ve sayılara ek olarak, tam sayılar negatif sayılar içerir. Negatif derecenin ne olduğunu anlamak için, geçen seferkinin aynısını yapalım: bazı normal sayıları negatif derecede aynı ile çarpıyoruz:

Buradan isteneni ifade etmek zaten çok kolay:

Şimdi ortaya çıkan kuralı keyfi bir dereceye kadar genişletiyoruz:

Öyleyse kuralı formüle edelim:

Bir sayının negatif kuvveti, aynı sayının pozitif kuvvetinin tersidir. Ama aynı zamanda taban boş olamaz:(çünkü bölmek imkansızdır).

Özetleyelim:

I. Durumda ifade tanımlanmamıştır. Eğer öyleyse.

II. Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir: .

III. Negatif bir kuvvete sıfıra eşit olmayan bir sayı, aynı sayının pozitif bir kuvvetin tersidir: .

Bağımsız çözüm için görevler:

Eh, her zamanki gibi, bağımsız bir çözüm için örnekler:

Bağımsız çözüm için görevlerin analizi:

Biliyorum, biliyorum, rakamlar korkutucu ama sınavda her şeye hazır olmalısın! Bu örnekleri çözün veya çözemediyseniz çözümlerini analiz edin ve sınavda bunlarla nasıl kolayca başa çıkacağınızı öğreneceksiniz!

Üs olarak "uygun" sayıların aralığını genişletmeye devam edelim.

Şimdi düşünün rasyonel sayılar. Hangi sayılara rasyonel denir?

Cevap: Kesir olarak temsil edilebilecek her şey, burada ve tamsayılar, ayrıca.

ne olduğunu anlamak için "fraksiyonel derece" Bir kesir düşünelim:

Denklemin her iki tarafını da bir kuvvete yükseltelim:

Şimdi kuralı hatırla "derece derece":

Almak için hangi sayının bir güce yükseltilmesi gerekir?

Bu formülasyon, inci derecenin kökünün tanımıdır.

Size hatırlatmama izin verin: bir sayının () kuvvetinin kökü, bir kuvvete yükseltildiğinde eşit olan bir sayıdır.

Yani, inci derecenin kökü, üs almanın ters işlemidir: .

Şekline dönüştü. Açıkçası, bu özel durum genişletilebilir: .

Şimdi payı ekleyin: nedir? Güç-güç kuralıyla yanıt almak kolaydır:

Ama taban herhangi bir sayı olabilir mi? Sonuçta, kök tüm sayılardan çıkarılamaz.

Hiçbiri!

Kuralı hatırlayın: çift kuvvete yükseltilmiş herhangi bir sayı pozitif bir sayıdır. Yani, negatif sayılardan çift dereceli kökler çıkarmak imkansızdır!

Ve bu, bu tür sayıların eşit bir payda ile kesirli bir güce yükseltilemeyeceği, yani ifadenin mantıklı olmadığı anlamına gelir.

Peki ya ifade?

Ama burada bir sorun ortaya çıkıyor.

Sayı, örneğin veya gibi diğer indirgenmiş kesirler olarak temsil edilebilir.

Ve onun var olduğu ama var olmadığı ortaya çıktı ve bunlar sadece aynı sayının iki farklı kaydı.

Veya başka bir örnek: bir kez, sonra yazabilirsiniz. Ancak göstergeyi farklı bir şekilde yazar yazmaz yine sorun yaşıyoruz: (yani tamamen farklı bir sonuç elde ettik!).

Bu tür paradokslardan kaçınmak için kesirli üslü sadece pozitif taban üssü.

Yani:

• - doğal sayı;
• bir tamsayıdır;

Örnekler:

Rasyonel üslü kuvvetler, kökleri olan ifadeleri dönüştürmek için çok kullanışlıdır, örneğin:

5 uygulama örneği

Eğitim için 5 örneğin analizi

1. Derecelerin olağan özelliklerini unutmayınız:

2. . Burada derece tablosunu öğrenmeyi unuttuğumuzu hatırlıyoruz:

sonuçta - bu veya. Çözüm otomatik olarak bulunur: .

Peki, şimdi - en zoru. Şimdi analiz edeceğiz irrasyonel üslü derece.

Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, aşağıdakiler dışında, rasyonel üslü derecelerle tamamen aynıdır.

Gerçekten de, tanım gereği irrasyonel sayılar, tamsayı olan bir kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır (yani, irrasyonel sayılar, rasyonel olanlar dışındaki tüm gerçek sayılardır).

Doğal, tamsayı ve rasyonel bir göstergeyle dereceleri incelerken, her seferinde daha tanıdık terimlerle belirli bir “imaj”, “analoji” veya açıklama oluşturduk.

Örneğin, doğal bir üs, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır;

...sıfır güç- bu, olduğu gibi, bir kez kendisiyle çarpılmış bir sayıdır, yani henüz çarpılmaya başlamamıştır, yani sayının kendisi henüz ortaya çıkmamıştır - bu nedenle sonuç yalnızca belirli bir "boş sayı" , yani sayı;

...negatif tamsayı üssü- sanki belirli bir “ters işlem” gerçekleşmiş, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüş gibi.

Bu arada, bilim genellikle karmaşık bir üslü bir derece kullanır, yani bir üs gerçek bir sayı bile değildir.

Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatınız olacak.

GİDECEĞİNİZDEN EMİN OLDUĞUMUZ YERLER! (bu tür örnekleri nasıl çözeceğinizi öğrenirseniz :))

Örneğin:

Kendin için karar ver:

Çözümlerin analizi:

1. Bir dereceyi bir dereceye yükseltmek için zaten bilinen kuralla başlayalım:

Şimdi skora bakın. Sana bir şey hatırlatıyor mu? Kareler farkının kısaltılmış çarpımı için formülü hatırlıyoruz:

Bu durumda,

Şekline dönüştü:

Cevap: .

2. Üslerdeki kesirleri aynı forma getiriyoruz: ya ondalık ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunları elde ederiz:

Cevap: 16

3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini uyguluyoruz:

İLERİ DÜZEY

derece tanımı

Derece, şu formun bir ifadesidir: , burada:

• — derece temeli;
• - üs.

Doğal üslü derece (n = 1, 2, 3,...)

Bir sayıyı n doğal kuvvetine yükseltmek, sayıyı kendisiyle çarpmak anlamına gelir:

Tamsayı üslü güç (0, ±1, ±2,...)

üs ise pozitif tamsayı sayı:

ereksiyon sıfır güce:

İfade belirsizdir, çünkü bir yandan herhangi bir dereceye kadar budur ve diğer yandan, herhangi bir sayı inci dereceye kadardır.

üs ise tamsayı negatif sayı:

(çünkü bölmek imkansızdır).

Boş değerler hakkında bir kez daha: ifade durumda tanımlanmadı. Eğer öyleyse.

Örnekler:

Rasyonel üslü derece

• - doğal sayı;
• bir tamsayıdır;

Örnekler:

Derece özellikleri

Sorunları çözmeyi kolaylaştırmak için anlamaya çalışalım: bu özellikler nereden geldi? Onları kanıtlayalım.

Bakalım: nedir ve?

Tanım olarak:

Böylece, bu ifadenin sağ tarafında aşağıdaki ürün elde edilir:

Ancak tanım gereği, bu, üslü bir sayının kuvvetidir, yani:

Q.E.D.

Örnek : Ifadeyi basitleştir.

Çözüm : .

Örnek : Ifadeyi basitleştir.

Çözüm : Dikkat etmemiz gereken husus, kuralımızda mutlaka aynı temele sahip olmalıdır. Bu nedenle, dereceleri tabanla birleştiririz, ancak ayrı bir faktör olarak kalırız:

Bir başka önemli not: bu kural - sadece güçlerin ürünleri için!

Hiçbir durumda bunu yazmamalıyım.

Önceki özellikte olduğu gibi, derecenin tanımına dönelim:

Bunu şu şekilde yeniden düzenleyelim:

İfadenin bir kez kendisiyle çarpıldığı ortaya çıktı, yani tanıma göre, bu sayının -inci gücü:

Aslında buna "göstergeyi parantez içine alma" denilebilir. Ama bunu asla toplamda yapamazsınız:!

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik? Ama bu doğru değil, gerçekten.

Negatif tabanlı güç.

Bu noktaya kadar sadece olması gerekenleri tartıştık. dizin derece. Ama temel ne olmalı? derece cinsinden doğal gösterge temel olabilir herhangi bir numara .

Aslında, pozitif, negatif veya çift olsun, herhangi bir sayıyı birbiriyle çarpabiliriz. Hangi işaretlerin (" " veya "") pozitif ve negatif sayıların derecelerine sahip olacağını düşünelim?

Örneğin, sayı pozitif mi yoksa negatif mi olacak? ANCAK? ?

Birincisi ile her şey açıktır: birbirimizle ne kadar pozitif sayı çarparsak çarpalım, sonuç pozitif olacaktır.

Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. Ne de olsa 6. sınıftan basit bir kuralı hatırlıyoruz: “eksi çarpı eksi artı verir.” Yani, veya. Ama () ile çarparsak - alırız.

Ve sonsuza kadar böyle devam eder: sonraki her çarpma ile işaret değişecektir. Bu basit kuralları formüle edebilirsiniz:

1. Bile derece, - sayı pozitif.
2. Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı olumsuz.
3. Herhangi bir kuvvete göre pozitif bir sayı, pozitif bir sayıdır.
4. Herhangi bir güce sıfır sıfıra eşittir.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Becerebildin mi? İşte cevaplar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

İlk dört örnekte, umarım her şey açıktır? Sadece tabana ve üsse bakarız ve uygun kuralı uygularız.

Örnek 5), her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece eşittir, bu da sonucun her zaman olumlu olacağı anlamına gelir. Eh, üssün sıfır olduğu zamanlar hariç. Temel aynı değil, değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil. Burada hangisinin daha az olduğunu bulmanız gerekiyor: veya? Bunu hatırlarsanız, bu, tabanın sıfırdan küçük olduğu anlamına gelir. Yani kural 2'yi uygularız: sonuç olumsuz olur.

Ve yine derece tanımını kullanıyoruz:

Her şey her zamanki gibi - derecelerin tanımını yazıp birbirine böldük, çiftlere böldük ve şunu elde ettik:

Son kuralı analiz etmeden önce birkaç örnek çözelim.

İfadelerin değerlerini hesaplayın:

Çözümler :

Sekizinci dereceye dikkat etmezsek burada ne görüyoruz? 7. sınıf programına bir göz atalım. Hatırla? Bu kısaltılmış çarpma formülüdür, yani karelerin farkı!

Alırız:

Paydaya dikkatlice bakıyoruz. Pay faktörlerinden birine çok benziyor, ama sorun ne? Terimlerin yanlış sırası. Tersine çevrilmiş olsaydı, kural 3 uygulanabilirdi ama bu nasıl yapılır? Çok kolay olduğu ortaya çıktı: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.

Bununla çarparsan hiçbir şey değişmez, değil mi? Ama şimdi şöyle görünüyor:

Terimler sihirli bir şekilde yerleri değiştirdi. Bu "fenomen" herhangi bir ifade için eşit derecede geçerlidir: parantez içindeki işaretleri serbestçe değiştirebiliriz. Ancak şunu hatırlamak önemlidir: tüm işaretler aynı anda değişir! Sadece bir sakıncalı eksi bize değiştirilerek değiştirilemez!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Şimdi son kural:

Nasıl kanıtlayacağız? Tabii ki, her zamanki gibi: hadi derece kavramını genişletelim ve basitleştirelim:

Şimdi parantezleri açalım. Kaç harf olacak? çarpanlara göre kez - neye benziyor? Bu bir operasyonun tanımından başka bir şey değil çarpma işlemi: toplam çarpanlar çıktı. Yani, tanımı gereği, üslü bir sayının kuvvetidir:

Örnek:

İrrasyonel üslü derece

Ortalama seviye için dereceler hakkında bilgilere ek olarak, dereceyi irrasyonel bir gösterge ile analiz edeceğiz. Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, istisna dışında, rasyonel bir üslü bir derece ile tamamen aynıdır - sonuçta, tanım gereği, irrasyonel sayılar bir kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır, burada ve tam sayılardır (yani , irrasyonel sayılar, rasyonel olanlar hariç tüm gerçek sayılardır).

Doğal, tamsayı ve rasyonel bir göstergeyle dereceleri incelerken, her seferinde daha tanıdık terimlerle belirli bir “imaj”, “analoji” veya açıklama oluşturduk. Örneğin, doğal bir üs, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır; sıfır dereceye kadar bir sayı, kendisi ile bir kez çarpılan bir sayıdır, yani henüz çarpılmaya başlamamıştır, bu, sayının kendisinin henüz ortaya çıkmadığı anlamına gelir - bu nedenle, sonuç yalnızca bir belirli bir “sayı hazırlığı”, yani bir sayı; tamsayı negatif göstergeli bir derece - sanki belirli bir “ters süreç” meydana gelmiş, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüş gibidir.

İrrasyonel bir üslü bir derece hayal etmek son derece zordur (4 boyutlu bir uzay hayal etmek zor olduğu gibi). Daha ziyade, matematikçilerin bir derece kavramını tüm sayılar uzayına genişletmek için yarattıkları tamamen matematiksel bir nesnedir.

Bu arada, bilim genellikle karmaşık bir üslü bir derece kullanır, yani bir üs gerçek bir sayı bile değildir. Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatınız olacak.

Peki irrasyonel bir üs görürsek ne yaparız? Ondan kurtulmak için elimizden geleni yapıyoruz! :)

Örneğin:

Kendin için karar ver:

1)

2)

3)

Yanıtlar:

1. Kareler formülünün farkını hatırlayın. Cevap: .
2. Kesirleri aynı forma getiriyoruz: ya her iki ondalık sayı ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunları elde ederiz: .
3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini uyguluyoruz:

BÖLÜM ÖZETİ VE TEMEL FORMÜL

Derece formun ifadesi olarak adlandırılır: , burada:

Tamsayı üslü derece

Üssü bir doğal sayı olan derece (yani tamsayı ve pozitif).

Rasyonel üslü derece

göstergesi negatif ve kesirli sayılar olan derece.

İrrasyonel üslü derece

üssü sonsuz olan derece ondalık veya kök.

Derece özellikleri

Derecelerin özellikleri.

• Negatif sayı yükseltildi Bile derece, - sayı pozitif.
• Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı olumsuz.
• Herhangi bir kuvvete göre pozitif bir sayı, pozitif bir sayıdır.
• Sıfır herhangi bir güce eşittir.
• Herhangi bir sayının sıfır kuvveti eşittir.

ŞİMDİ BİR SÖZÜNÜZ VAR...

Makaleyi nasıl buldunuz? Beğenip beğenmediğinizi aşağıdaki yorumlarda bana bildirin.

Güç özellikleriyle ilgili deneyiminizi bize anlatın.

Belki sorularınız var. Veya öneriler.

Yorumlara yazın.

Ve sınavlarında iyi şanslar!

Cebirdeki ve aslında tüm matematikteki ana özelliklerden biri bir derecedir. Elbette 21. yüzyılda tüm hesaplamalar çevrimiçi bir hesap makinesinde yapılabilir, ancak beyin gelişimi için bunu kendiniz yapmayı öğrenmek daha iyidir.

Bu yazıda en çok önemli sorular bu tanımla ilgili. Yani, genel olarak ne olduğunu ve ana işlevlerinin neler olduğunu, matematikte hangi özelliklerin bulunduğunu anlayacağız.

Hesaplamanın nasıl göründüğüne, temel formüllerin neler olduğuna dair örneklere bakalım. Ana miktar türlerini ve bunların diğer işlevlerden nasıl farklı olduklarını analiz edeceğiz.

Bu değeri kullanarak çeşitli sorunları nasıl çözeceğimizi anlayacağız. Sıfır dereceye nasıl yükseltileceğini, irrasyonel, negatif vb. örneklerle göstereceğiz.

Çevrimiçi üs hesaplama

bir sayının derecesi nedir

"Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek" ifadesiyle ne kastedilmektedir?

Bir a sayısının n derecesi, art arda n kez büyüklük faktörlerinin çarpımıdır.

Matematiksel olarak şöyle görünür:

bir n = a * a * a * … bir n .

Örneğin:

• Üçüncü adımda 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 adımda. iki = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 adımda. dört = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 5 adımda 10 5 \u003d 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 4 adımda 10 4 \u003d 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Aşağıda 1'den 10'a kadar kareler ve küpler tablosu verilmiştir.

1'den 10'a kadar derece tablosu

Aşağıda, doğal sayıların pozitif güçlere yükseltilmesinin sonuçları verilmiştir - "1'den 100'e".

Ch-lo	2. sınıf	3. sınıf
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Derece özellikleri

Böyle bir matematiksel fonksiyonun özelliği nedir? Temel özelliklere bakalım.

Bilim adamları aşağıdakileri kurdular tüm derecelerin karakteristik işaretleri:

• bir n * bir m = (a) (n+m) ;
• bir n: bir m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Örneklerle kontrol edelim:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Öte yandan 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Benzer şekilde: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Aksi takdirde 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ya farklıysa? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Gördüğünüz gibi kurallar işliyor.

Ama nasıl olmak toplama ve çıkarma ile? Her şey basit. İlk üs alma gerçekleştirilir ve ancak bundan sonra toplama ve çıkarma yapılır.

Örneklere bakalım:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ancak bu durumda, parantez içinde eylemler olduğu için önce toplamayı hesaplamanız gerekir: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

nasıl üretilir daha fazla bilgi işlem zor vakalar ? Sıra aynı:

• parantez varsa, onlarla başlamanız gerekir;
• sonra üstelleştirme;
• sonra çarpma, bölme işlemlerini gerçekleştirir;
• toplama, çıkarma işleminden sonra.

Tüm derecelerin özelliği olmayan belirli özellikler vardır:

1. a sayısından m derecesine kadar olan n'inci derecenin kökü şu şekilde yazılacaktır: a m / n .
2. Bir kesri bir kuvvete yükseltirken: hem pay hem de paydası bu işleme tabidir.
3. Farklı sayıların çarpımı bir kuvvete yükseltildiğinde, ifade bu sayıların çarpımına karşılık gelecektir. verilen derece. Yani: (a * b) n = bir n * b n .
4. Bir sayıyı negatif bir kuvvete yükseltirken, aynı adımda ancak “+” işaretiyle bir sayıya 1'i bölmeniz gerekir.
5. Bir kesrin paydası negatif bir kuvvette ise, bu ifade pay ve paydanın pozitif bir kuvvette çarpımına eşit olacaktır.
6. 0 = 1'in kuvvetine ve adıma herhangi bir sayı. 1 = kendine.

Bu kurallar bireysel durumlarda önemlidir, bunları aşağıda daha ayrıntılı olarak ele alacağız.

Negatif üslü derece

Negatif derecede, yani gösterge negatif olduğunda ne yapmalı?

Özellik 4 ve 5'e göre(yukarıdaki noktaya bakın) ortaya çıkıyor:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Ve tam tersi:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Peki ya bir kesir ise?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Doğal göstergeli derece

Üsleri tam sayılara eşit olan bir derece olarak anlaşılır.

Hatırlanacak şeyler:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…vb.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…vb.

Ayrıca (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… ise sonuç “+” işaretiyle olacaktır. Negatif bir sayı tek bir güce yükseltilirse, bunun tersi de geçerlidir.

Genel özellikler ve yukarıda açıklanan tüm özel özellikler de onların karakteristiğidir.

kesirli derece

Bu görünüm bir şema olarak yazılabilir: A m / n. Şu şekilde okunur: A sayısının n'inci derecesinin köküne m kuvveti.

Kesirli bir gösterge ile her şeyi yapabilirsiniz: azaltın, parçalara ayırın, başka bir dereceye yükseltin, vb.

İrrasyonel üslü derece

α bir irrasyonel sayı ve А ˃ 0 olsun.

Derecenin özünü böyle bir gösterge ile anlamak, Farklı olası durumlara bakalım:

• A \u003d 1. Sonuç 1'e eşit olacaktır. Bir aksiyom olduğundan - 1, tüm güçlerde bire eşittir;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 rasyonel sayılardır;

• 0˂А˂1.

Bu durumda, tam tersi: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1, ikinci paragraftakiyle aynı koşullar altında.

Örneğin, üs π sayısıdır. Mantıklı.

r 1 - bu durumda 3'e eşittir;

r 2 - 4'e eşit olacaktır.

O halde A = 1 için 1 π = 1.

A = 2, sonra 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, sonra (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Bu dereceler, yukarıda açıklanan tüm matematiksel işlemler ve belirli özellikler ile karakterize edilir.

Çözüm

Özetleyelim - bu değerler ne için, bu tür işlevlerin avantajları nelerdir? Tabii ki, her şeyden önce, hesaplamaları en aza indirmeye, algoritmaları azaltmaya, verileri sistematize etmeye ve çok daha fazlasına izin verdikleri için, örnekleri çözerken matematikçilerin ve programcıların hayatlarını basitleştirirler.

Bu bilgi başka nerede yararlı olabilir? Herhangi bir uzmanlık alanında: tıp, farmakoloji, diş hekimliği, inşaat, teknoloji, mühendislik, tasarım vb.