Лекция №2

математика

Тема: "Математически понятия"

Математически понятия

Дефиниция на понятията

Изисквания за дефиниране на понятия

Някои видове дефиниции

1. Математически понятия

Понятията, които се изучават в начален курс по математика, обикновено се представят под формата на четири групи. Първият включва понятия, свързани с числата и операциите с тях: число, събиране, член, по-голямо и др. Вторият включва алгебрични понятия: израз, равенство, уравнение и др. Третият се състои от геометрични понятия: права линия, отсечка, триъгълник, и т.н. d. Четвъртата група се състои от понятия, свързани с величините и тяхното измерване.

Как да изучаваме такова изобилие от различни концепции?

На първо място, трябва да имате представа за понятието като логическа категория и характеристиките на математическите понятия.

В логиката понятията се разглеждат като форма на мислене, която отразява обекти (обекти или явления) в техните съществени и общи свойства. Езиковата форма на понятието е дума или група от думи.

Да си съставиш представа за даден обект означава да можеш да го разграничиш от други подобни на него обекти. Математическите понятия имат редица характеристики. Основното е, че математическите обекти, за които е необходимо да се формулира концепция, не съществуват в действителност. Математическите обекти са създадени от човешкия ум. Това идеални обекти, отразяващи реални обекти или явления. Например в геометрията те изучават формата и размера на обектите, без да вземат предвид другите им свойства: цвят, маса, твърдост и др. Те са разсеяни от всичко това, абстрахирани. Затова в геометрията вместо думата „обект“ казват „ геометрична фигура».

Резултатът от абстракцията са математически понятия като "число" и "величина".

Като цяло математическите обекти съществуват само в човешкото мислене и в онези знаци и символи, които формират математическия език.

Към казаното можем да добавим, че при изучаването на пространствените форми и количествените отношения на материалния свят математиката не само използва различни техники за абстракция, но и самата абстракция действа като многоетапен процес. В математиката те разглеждат не само понятия, възникнали по време на изучаването на реални обекти, но и понятия, възникнали въз основа на първите. Например, обща концепцияфункции като съответствие е обобщение на понятията за конкретни функции, т.е. абстракция от абстракциите.

За да овладее общите подходи към изучаването на понятията в началния курс по математика, учителят се нуждае от знания за обхвата и съдържанието на понятието, връзките между понятията и видовете определения на понятията.

2. Обхват и съдържание на понятието. Връзки между понятията

Всеки математически обект има определени свойства. Например квадратът има четири страни, четири прави ъгъла и равни диагонали. Можете да посочите другите му свойства.

Сред свойствата на обекта се разграничават съществени и несъществени. Едно свойство се счита за съществено за даден обект, ако е присъщо на този обект и без него то не може да съществува. Например, за един квадрат всички свойства, споменати по-горе, са съществени. Свойството „страната AD е хоризонтална“ не е от съществено значение за квадрат ABCD. Ако квадратът се завърти, тогава страната AD ще бъде разположена по различен начин (фиг. 26).

Следователно, за да разберете какво представлява даден математически обект, трябва да знаете неговите основни свойства.

Когато хората говорят за математическа концепция, те обикновено имат предвид набор от обекти, обозначени с един термин (дума или група от думи). И така, като говорим за квадрат, имаме предвид всички геометрични фигури, които са квадрати. Смята се, че наборът от всички квадрати съставлява обхвата на понятието "квадрат".

Изобщо обхватът на понятието е съвкупността от всички обекти, обозначени с един термин.

Всяко понятие има не само обем, но и съдържание.

Помислете например за понятието "правоъгълник".

Обхватът на понятието е набор от различни правоъгълници, а съдържанието му включва такива свойства на правоъгълниците като „имат четири прави ъгъла“, „имат равни противоположни страни“, „имат равни диагонали“ и т.н.

Съществува връзка между обема на понятието и неговото съдържание: ако обемът на понятието се увеличава, то съдържанието му намалява и обратно. Така например обхватът на понятието „квадрат“ е част от обхвата на понятието „правоъгълник“, а съдържанието на понятието „квадрат“ съдържа повече свойства от съдържанието на понятието „правоъгълник“ („всички страни са равни”, „диагоналите са взаимно перпендикулярни” и др.).

Всяко понятие не може да бъде научено, без да се осъзнае връзката му с други понятия. Ето защо е важно да се знае в какви отношения могат да бъдат открити понятията и да се умеят да се установяват тези връзки.

Отношенията между понятията са тясно свързани с отношенията между техните обеми, т.е. комплекти.

Нека се съгласим да обозначаваме понятията с малки букви от латинската азбука: a, b, c,..., z.

Нека са дадени две понятия a и b. Нека обозначим техните обеми съответно с A и B.

Ако B (A ≠ B), тогава те казват, че концепцията а - специфичен по отношение на понятиетоb, и концепцията b- родово по отношение на понятието а.

Например, ако a е „правоъгълник“, b е „четириъгълник“, тогава техните обеми A и B са в релацията на включване (A B и A ≠ B), тъй като всеки правоъгълник е четириъгълник. Следователно може да се твърди, че понятието „правоъгълник“ е специфично по отношение на понятието „четириъгълник“, а понятието „четириъгълник“ е родово по отношение на понятието „правоъгълник“.

Ако A = B, тогава те казват това понятия а иbса идентични.

Например, понятията „равностранен триъгълник“ и „равноъгълен триъгълник“ са идентични, тъй като техните обеми съвпадат.

Ако множествата A и B не са свързани чрез отношението на включване, тогава те казват, че понятията a и b не са в отношението на род и вид и не са идентични. Например, понятията "триъгълник" и "правоъгълник" не са свързани с такива отношения.

Нека разгледаме по-подробно връзката на рода и вида между понятията. Първо, понятията за род и вид са относителни: едно и също понятие може да бъде родово по отношение на едно понятие и специфично по отношение на друго. Например понятието „правоъгълник“ е родово по отношение на понятието „квадрат“ и специфично по отношение на понятието „четириъгълник“.

Второ, за тази концепцияЧесто могат да бъдат посочени няколко общи понятия. Така за понятието „правоъгълник“ родовите понятия са „четириъгълник“, „успоредник“, „многоъгълник“. Сред тях можете да посочите най-близкия. За понятието "правоъгълник" най-близкото понятие е "успоредник".

Трето, видовото понятие има всички свойства на родовото понятие. Например, квадрат, като специфична концепция по отношение на концепцията за „правоъгълник“, има всички свойства, присъщи на правоъгълника.

Тъй като обемът на понятието е набор, е удобно, когато се установяват връзки между обемите на понятията, те да се изобразяват с помощта на кръгове на Ойлер.

Нека установим например връзката между следните двойки понятия a и b, ако:

1) a - "правоъгълник", b - "ромб";

2) a - "многоъгълник", b - "паралелограм";

3) a - „прав“, b - „сегмент“.

В случай 1) обемите на понятията се пресичат, но нито едно множество не е подмножество на другото (фиг. 27).

Следователно може да се твърди, че тези понятия a и b не са в отношението на род и вид.

В случай 2) обемите на дадените понятия са в отношение на включване, но не съвпадат - всеки успоредник е многоъгълник, но не и обратното (фиг. 28). Следователно може да се твърди, че понятието „успоредник“ е специфично по отношение на понятието „многоъгълник“, а понятието „многоъгълник“ е родово по отношение на понятието „успоредник“.

В случай 3) обемите на понятията не се пресичат, тъй като нито един сегмент не може да се каже, че е права линия, нито една права линия не може да се нарече сегмент (фиг. 29).

Следователно тези понятия не са във връзка с род и вид.

За понятията „права линия“ и „отсечка“ можем да кажем, че те са във връзка с цялото и частта:Отсечката е част от права линия, а не нейният тип. И ако понятието за вид има всички свойства на родово понятие, тогава частта не е задължително да притежава всички свойства на цялото. Например един сегмент няма същото свойство на права линия като неговата безкрайност.

Формиране на елементарни математически представи на учениците от началното училище

Е.Ю. Тогобецкая, Магистър в катедра "Педагогика и методика на обучението".

Толиати Педагогически университет, Толиати (Русия)

Ключови думи: математически понятия, абсолютни понятия, относителни понятия, определения.

Анотация: В училищната практика много учители принуждават учениците да запомнят дефиниции на понятия и изискват познаване на техните основни доказуеми свойства. Резултатите от подобно обучение обаче обикновено са незначителни. Това се случва, защото повечето ученици, когато прилагат понятия, научени в училище, разчитат на маловажни знаци, докато учениците осъзнават и възпроизвеждат основните признаци на понятията само когато отговарят на въпроси, които изискват дефиниране на понятието. Често учениците точно възпроизвеждат концепции, тоест те откриват знания за основните му характеристики, но не могат да приложат това знание на практика; те разчитат на онези случайни характеристики, идентифицирани чрез пряк опит. Процесът на усвояване на понятия може да се контролира и формира с дадени качества.

Ключови думи: математически понятия, абсолютни понятия, относителни понятия, определения.

Анотация: В училищната практика много учители постигат от учениците научаване на дефиниции на понятия и познаване на техните основни доказани изисквания за свойства. Резултатите от подобно обучение обаче обикновено са незначителни. Това се дължи на факта, че по-голямата част от учениците, прилагайки понятията, придобити в училище, се опират на маловажни знаци, съществените знаци на понятията осъзнават и възпроизвеждат само при отговор на въпроси, изискващи дефиниране на понятието. Често учениците безпогрешно възпроизвеждат концепции, т.е. откриват знания за основните му признаци, но не могат да приложат това знание на практика, като се опират на тези случайни признаци, разпределени благодарение на личен опит. Процесът на овладяване на концепции е възможно да се управлява, да се формират с определени качества.

При асимилиране научно познаниеУчениците в началното училище са изложени на различни видове концепции. Неспособността на ученика да разграничава понятията води до тяхното неадекватно усвояване.

Логиката в понятията прави разлика между обем и съдържание. Под обем разбираме класа обекти, които се отнасят към това понятие и са обединени от него. По този начин обхватът на понятието триъгълник включва целия набор от триъгълници, независимо от техните специфични характеристики (видове ъгли, размер на страните и т.н.).

Съдържанието на понятията се разбира като тази система от съществени свойства, чрез които тези обекти се обединяват в един клас. За да се разкрие съдържанието на понятието, е необходимо да се установи чрез сравнение какви характеристики са необходими и достатъчни, за да се подчертае връзката му с други обекти. Докато съдържанието и характеристиките не бъдат установени, същността на обекта, отразен от това понятие, не е ясна, невъзможно е точно и ясно да се разграничи този обект от съседните до него и възниква объркване на мисленето.

Например за концепцията за триъгълник такива свойства включват следното: затворена фигура, състояща се от три прави сегмента. Наборът от свойства, чрез които обектите се комбинират в един клас, се наричат ​​необходими и достатъчни характеристики. В някои концепции тези характеристики се допълват взаимно, образувайки заедно съдържанието, чрез което обектите са обединени в един клас. Примери за такива понятия са триъгълник, ъгъл, ъглополовяща и много други.

Колекцията от тези обекти, към които се прилага тази концепция, съставлява логически клас от обекти. Логическият клас от обекти е съвкупност от обекти, които имат общи характеристики, в резултат на което се изразяват с общо понятие. Логическият клас на обектите и обхватът на съответното понятие са еднакви.Понятията се разделят на типове по съдържание и обхват в зависимост от естеството и броя на обектите, към които се прилагат. Според обхвата си математическите понятия се делят на индивидуални и общи. Ако обхватът на едно понятие включва само един обект, той се нарича единичен.

Примери за единични понятия: „най-малкото двуцифрено число“, „числото 5“, „квадрат с дължина на страната 10 cm“, „окръжност с радиус 5 cm“. Общата концепция отразява характеристиките на определен набор от обекти. Обемът на такива концепции винаги ще бъде по-голям от обема на един елемент. Примери за общи понятия: „множество от двуцифрени числа”, „триъгълници”, „уравнения”, „неравенства”, „числа, кратни на 5”, „учебници по математика за основно училище”. Според съдържанието си понятията се различават съчинителни и разделителни, абсолютни и конкретни, неотносителни и относителни.

Понятията се наричат ​​съединителни, ако техните характеристики са взаимосвързани и поотделно никой от тях не позволява идентифициране на обекти от този клас; характеристиките са свързани чрез връзката "и". Например, обектите, свързани с концепцията за триъгълник, трябва задължително да се състоят от три прави сегмента и да бъдат затворени.

В други концепции връзката между необходими и достатъчни характеристики е различна: те не се допълват, а се заменят. Това означава, че един атрибут е еквивалентен на друг. Пример за този тип връзка между характеристиките могат да бъдат знаците за равенство на сегменти и ъгли. Известно е, че класът на равните отсечки включва онези отсечки, които: а) или съвпадат при наслагване; б) или отделно равен на третия; в) или се състои от равни части и др.

В този случай изброените характеристики не са задължителни всички едновременно, както е при конюнктивния тип понятия; тук е достатъчен само един атрибут от всички изброени: всеки от тях е еквивалентен на всеки от останалите. Поради това знаците са свързани със съюза „или“. Такава връзка на характеристиките се нарича дизюнкция, а понятията съответно се наричат ​​дизюнктивни. Също така е важно да се вземе предвид разделението на понятията на абсолютни и относителни.

Абсолютните понятия обединяват обекти в класове според определени характеристики, които характеризират същността на тези обекти като такива. По този начин понятието ъгъл отразява свойствата, които характеризират същността на всеки ъгъл като такъв. Подобно е положението и с много други геометрични понятия: кръг, лъч, ромб и др.

Относителните понятия обединяват обекти в класове според свойствата, които характеризират връзката им с други обекти. По този начин концепцията за перпендикулярни линии обхваща това, което характеризира връзката на две линии една към друга: пресичане, образуване в този случай прав ъгъл. По подобен начин концепцията за число отразява връзката между измереното количество и приетия стандарт. Относителните понятия създават по-сериозни затруднения на учениците от абсолютните понятия. Същността на трудностите се състои именно в това, че учениците не отчитат относителността на понятията и оперират с тях като с абсолютни понятия. И така, когато учителят кара учениците да начертаят перпендикуляр, някои от тях начертават вертикал. Особено внимание трябва да се обърне на понятието число.

Числото е съотношението на това, което се определя количествено (дължина, тегло, обем и т.н.) към стандарта, който се използва за тази оценка. Очевидно броят зависи както от измерваното количество, така и от стандарта. Колкото по-голяма е измерената стойност, толкова по-голямо ще бъде числото със същия стандарт. Напротив, колкото по-голям е стандартът (мярката), толкова по-малко ще бъде числото при оценяване на същата стойност. Следователно, учениците трябва да разберат от самото начало, че сравненията на числа по големина могат да бъдат направени само когато имат един и същ стандарт зад себе си. Всъщност, ако например се получи пет при измерване на дължина в сантиметри и три се получи при измерване в метри, тогава три означава по-голяма стойност от пет. Ако учениците не разбират относителния характер на числата, те ще имат сериозни трудности при изучаването на бройната система. Трудностите при усвояването на относителни понятия продължават да съществуват сред учениците в средното и дори в гимназиалното училище. Съществува връзка между съдържанието и обхвата на едно понятие: колкото по-малък е обхватът на понятието, толкова по-голямо е неговото съдържание.

Например понятието „квадрат“ има по-малък обхват от обхвата на понятието „правоъгълник“, тъй като всеки квадрат е правоъгълник, но не всеки правоъгълник е квадрат. Следователно понятието „квадрат“ има повече съдържание от понятието „правоъгълник“: квадратът има всички свойства на правоъгълник и някои други (всички страни на квадрата са равни, диагоналите са взаимно перпендикулярни).

В процеса на мислене всяко понятие не съществува отделно, а влиза в определени връзки и отношения с други понятия. В математиката важна форма на връзка е родово-специфичната зависимост.

Например, помислете за понятията „квадрат“ и „правоъгълник“. Обхватът на понятието „квадрат“ е част от обхвата на понятието „правоъгълник“. Следователно, първият се нарича вид, а вторият - родов. В отношенията род-вид трябва да се прави разлика между понятието най-близък род и следващите родови етапи.

Например за типа "квадрат" най-близкият род ще бъде родът "правоъгълник", за правоъгълникът най-близкият род ще бъде родът "успоредник", за "успоредник" - "четириъгълник", за "четириъгълник" - "многоъгълник", а за "многоъгълник" - "плоска фигура."

IN начално училищеза първи път всяко понятие се въвежда нагледно, чрез наблюдение на конкретни обекти или практическа работа (например при броенето им). Учителят разчита на знанията и опита на децата, които те са придобили преди училищна възраст. Запознаването с математическите понятия се фиксира с помощта на термин или термин и символ. Този метод за работа върху математически концепции в начално училищене означава, че този курс не използва различни видове дефиниции.

Да се ​​дефинира едно понятие означава да се изброят всички съществени характеристики на обектите, които са включени в това понятие. Словесното определение на едно понятие се нарича термин. Например „число“, „триъгълник“, „окръжност“, „уравнение“ са термини.

Дефиницията решава два проблема: идентифицира и разграничава дадено понятие от всички останали и посочва онези основни признаци, без които понятието не може да съществува и от които зависят всички останали признаци.

Дефиницията може да бъде повече или по-малко задълбочена. Зависи от нивото на познаване на понятието, което се има предвид. Колкото по-добре го познаваме, толкова по-вероятно е да можем да го дефинираме по-добре. В учебната практика младши ученициприлагат се изрични и имплицитни определения. Експлицитните определения са под формата на равенство или съвпадение на две понятия.

Например: „Пропедевтиката е въведение във всяка наука“. Тук две понятия са приравнени едно към едно - „пропедевтика“ и „навлизане във всяка наука“. В определението „Квадратът е правоъгълник, в който всички страни са равни“ имаме съвпадение на понятията. При обучението на ученици от началното училище контекстуалните и остензивните определения са от особен интерес сред имплицитните определения.

Всеки пасаж от текст, независимо от контекста, в който се среща концепцията, която ни интересува, е в известен смисъл нейна имплицитна дефиниция. Контекстът поставя едно понятие във връзка с други понятия и по този начин разкрива неговото съдържание.

Например, когато работите с деца, използвайте такива изрази като „намерете значението на израза“, „сравнете значението на изразите 5 + a и (a - 3) 2, ако a = 7“, „четете изрази, които са суми“, „четене на изрази и след това четене на уравненията“, ние разширяваме концепцията за „математически израз“ като запис, който се състои от числа или променливи и знаци за действие. Почти всички дефиниции, които срещаме в ЕжедневиетоТова са контекстуални определения. Чувайки непозната дума, ние се опитваме сами да установим нейното значение въз основа на всичко казано. Подобно нещо се случва и при обучението на по-малки ученици. Много математически концепции в началното училище се дефинират чрез контекст. Това са например понятия като „голямо – малко“, „всяко“, „всяко“, „едно“, „много“, „число“, „аритметично действие“, „уравнение“, „задача“ и др.

Контекстуалните определения остават през по-голямата частнезавършени и незавършени. Те се използват поради неподготвеността на по-младите ученици да овладеят пълната и особено научна дефиниция.

Остензивните определения са определения чрез демонстрация. Те приличат на обикновени контекстуални определения, но контекстът тук не е пасаж от текст, а ситуацията, в която се намира обектът, обозначен с понятието. Например, учителят показва квадрат (рисунка или хартиен модел) и казва „Вижте - това е квадрат“. Това е типично остензивно определение.

В началното училище се използват остензивни дефиниции, когато се разглеждат такива понятия като „червен (бял, черен и т.н.) цвят“, „ляво - дясно“, „отляво надясно“, „цифра“, „предходно и следващо число“, „ знаци” аритметични действия”, “сравнителни знаци”, “триъгълник”, “четириъгълник”, “куб” и др.

Въз основа на остензивното усвояване на значенията на думите е възможно да се въведе словесното значение на нови думи и фрази в речника на детето. Остензивните определения - и само те - свързват думите с нещата. Без тях езикът е просто словесна дантела, която няма обективно, съдържателно съдържание. Имайте предвид, че в началните класове са приемливи дефиниции като „Ще използваме думата „петоъгълник“, за да означава многоъгълник с пет страни.“ Това е така нареченото „номинално определение“. В математиката се използват различни ясни определения. Най-разпространеният от тях е определянето чрез най-близкия родов и видов признак. Общата дефиниция се нарича още класическа.

Примери за дефиниции чрез род и специфични признаци: „Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни“, „Ромбът е успоредник, чиито страни са равни“, „Правоъгълникът е успоредник, чиито ъгли са прави“, „Квадратът е правоъгълник, чиито страни са равни”, „Ромб с прави ъгли се нарича квадрат.”

Нека да разгледаме дефинициите на квадрат. В първата дефиниция най-близкият род ще бъде „правоъгълник“, а специфичната характеристика ще бъде „всички страни са равни“. Във втората дефиниция най-близкият род е „ромб“, а специфичният знак е „прав ъгъл“. Ако не вземем най-близкия род („паралелограм“), тогава ще има две специфични характеристики на квадрата: „Квадратът е успоредник, в който всички страни са равни и всички ъгли са прави.“

В родово отношение има понятията „събиране (изваждане, умножение, деление)“ и „аритметична операция“, понятието „остър (прав, тъп) ъгъл“ и „ъгъл“. Сред многото математически понятия, които се обсъждат в началните класове, няма толкова много примери за изрични родово-видови връзки. Но като се има предвид значението на определението чрез род и вид в по-нататъшното образование, препоръчително е да се гарантира, че учениците разбират същността на определението на този вид още в началните класове.

Отделни дефиниции могат да разглеждат понятие според метода на неговото формиране или възникване. Този тип определяне се нарича генетично. Примери за генетични дефиниции: "Ъгълът е лъчите, които излизат от една точка", "Диагоналът на правоъгълник е сегмент, който свързва противоположните върхове на правоъгълник." В началните класове се използват генетични дефиниции за такива понятия като „сегмент“, „прекъсната линия“, „прав ъгъл“, „окръжност“. Генетичните концепции също могат да бъдат определени чрез списък.

Например, „Естествената редица от числа са числата 1, 2, 3, 4 и т.н.“ Някои понятия в началните класове се въвеждат само чрез термина. Например единиците за време са година, месец, час, минута. В началните класове има понятия, които са представени на символичен език под формата на равенство, например a 1 = a и 0 = 0

От гореизложеното можем да заключим, че в началните класове много математически понятия първо се усвояват повърхностно и неясно. При първото запознаване учениците научават само за някои свойства на понятията и имат много тясна представа за техния обхват. И това е естествено. Не всички концепции са лесни за разбиране. Но няма съмнение, че разбирането и навременното използване от страна на учителя на определени видове дефиниции на математически понятия е едно от условията учениците да развият солидни знания за тези понятия.

Библиография:

1. Богданович М.В. Дефиниция на математически понятия //Начално училище 2001. - № 4.

2. Глузман Н. А. Формиране на обобщени техники на умствена дейност при ученици от началното училище. - Ялта: KGGI, 2001. - 34 с.

3. Дрозд В.Л. Urban M.A. От малки проблеми до големи открития. //Основно училище. - 2000. - № 5.

Министерство на образованието на Република Беларус

„Гомел Държавен университеттях. Ф. Скорина"

Факултет по математика

Катедра МПМ

Есе

Математически понятия

Изпълнител:

Студент от група М-32

Молодцова А.Ю.

Научен ръководител:

канд. физика и математика науки, ст.н.с

Лебедева М.Т.

Гомел 2007 г

Въведение

Формулировките на много определения (теореми, аксиоми) са ясни за учениците и лесни за запомняне след малък брой повторения, така че е препоръчително първо да им предложите да запомнят и след това да ги научите как да ги прилагат при решаване на проблеми.

отделно.

1. Обхват и съдържание на понятието. Класификация на понятията

Обектите на реалността имат: а) общи свойства, които изразяват нейните отличителни свойства (например уравнение от трета степен с една променлива - кубично уравнение); б) общи свойства, които могат да бъдат отличителни, ако изразяват съществените свойства на даден обект (неговите характеристики), отличаващи го от много други обекти.

Терминът "концепция" се използва за обозначаване на умствен образ на определен клас обекти или процеси. Психолозите разграничават три форми на мислене:

1) понятия (например медианата е сегмент, свързващ връх с противоположната страна на триъгълник);

2) преценки (например за ъглите на произволен триъгълник е вярно следното:);

3) изводи (например, ако a>b и b>c, тогава a>c).

Характерно за форми на мислене в понятияса: а) продукт е на високо организирана материя; б) отразява материалния свят; в) се явява в познанието като средство за обобщение; г) означава специфично човешка дейност; д) формирането му в съзнанието е неотделимо от изразяването му чрез реч, писане или символ.

Математическата концепция отразява в нашето мислене определени форми и отношения на реалността, абстрахирани от реални ситуации. Образуването им става по следната схема:

Всяко понятие обединява набор от обекти или отношения, наречени обхват на понятието, и характерните свойства, присъщи на всички елементи от това множество и само тях, изразяващи съдържание на понятието.

Например, математическа концепция е четириъгълник. Неговата сила на звука: квадрат, правоъгълник, успоредник, ромб, трапец и др. Съдържание: 4 страни, 4 ъгъла, 4 върха (характерни свойства).

Съдържанието на едно понятие стриктно определя неговия обхват и, обратно, обхватът на едно понятие напълно определя неговото съдържание. Преходът от сетивния етап към логическия се осъществява чрез обобщения:или чрез идентифициране на общи характеристики на обект (успоредник - четириъгълник - многоъгълник); или чрез общи характеристики в комбинация със специални или индивидуални, което води до конкретно понятие.

В процеса на обобщаване обемът се разширява, а съдържанието се стеснява. В процеса на специализация на едно понятие обхватът се стеснява и съдържанието се разширява.

Например:

многоъгълници - успоредници;

триъгълниците са равностранни триъгълници.

Ако обхватът на едно понятие се съдържа в обхвата на друго понятие, тогава се извиква второто понятие родовия, по отношение на първия; и първият се нарича видовепо отношение на второто. Например: успоредник - ромб (род) (изглед).

Процесът на изясняване на обхвата на едно понятие се нарича класификация, чиято диаграма изглежда така:

Нека са дадени набор и някакво свойство и нека има елементи, които притежават и не притежават това свойство. Нека бъде:

Нека изберем ново свойство и го разделим според това свойство:

Например: 1) класификация набори от числа, отразяващи развитието на понятието число; 2) класификация на триъгълниците: а) по страни; б) в ъглите.

Задача No1.Нека изобразим набор от триъгълници, използвайки точките на квадрат.

Свойство равнобедреност;

Свойство на правоъгълност;

Има ли триъгълници, които имат тези свойства едновременно?

2. Математически дефиниции. Видове грешки при дефиниране на понятия

Последният етап от формирането на концепцията е неговият определение, т.е. приемане на условно споразумение. Дефиницията се разбира като списък на необходимите и достатъчни характеристики на понятието, обобщени в последователно изречение (вербално или символно).

2.1 Начини за дефиниране на понятия

Първоначално се идентифицират недефинирани понятия, въз основа на които математическите понятия се дефинират по следните начини:

1) чрез най-близката родова и видова разлика: А) описателен(обяснявайки процеса, чрез който се конструира определението, или описвайки вътрешната структура в зависимост от операциите, чрез които това определениее изграден от недефинирани концепции); б) градивен(или генетични), което показва произхода на концепцията.

Например: а) правоъгълникът е успоредник с всички прави ъгли; б) окръжност е фигура, която се състои от всички точки на равнината, еднакво отдалечени от дадена точка. Тази точка се нарича център на окръжността.

2) индуктивно.Например дефиницията на аритметична прогресия:

3) чрез абстракция. Например, естествено число е характеристика на класове от еквивалентни крайни множества;

4) аксиоматичен (непряко определение). Например, определяне на площта на фигура в геометрията: за прости фигури площта е положително количество, числова стойносткойто има следните свойства: а) еднакви фигури имат равни повърхнини; б) ако една фигура е разделена на части, които са прости фигури, тогава площта на тази фигура е равна на сумата от площите на нейните части; в) площта на квадрат със страна, равна на една мерна единица, е равна на едно.

2.2 Явни и имплицитни дефиниции

Дефинициите се разделят на:

а) очевидно, в които дефинираните и дефиниращите понятия са ясно подчертани (например дефиниция чрез най-близката родова и видова разлика);

б) имплицитно, които са изградени на принципа на замяна на едно понятие с друго с по-широк обхват и краят на веригата е недефинирано понятие, т.е. формална логическа дефиниция (например квадрат е ромб с прав ъгъл; ромб е успоредник с равни съседни страни; успоредник е четириъгълник с по двойки успоредни страни; четириъгълник е фигура, състояща се от 4 ъгъла, 4 върха, 4 страни). IN училищни определенияНай-често се практикува първият метод, чиято схема е следната: тогава имаме множества и някакво свойство

Основното изискване при конструиране на дефиниции: дефинираното множество трябва да бъде подмножество на минималното множество. Например, нека сравним две определения: (1) Квадратът е ромб с прав ъгъл; (2) Квадратът е успоредник с равни страни и прав ъгъл (излишен).

Всяка дефиниция е решение на проблема с „доказателството за съществуване“. Например правоъгълен триъгълник е триъгълник с прав ъгъл; неговото съществуване е конструкция.

2.3 Характеристика на основните видове грешки

Забележка типични грешкикоито учениците срещат, когато дефинират понятията:

1) използването на неминимално множество като определящо, включването на логически зависими свойства (типично при повтаряне на материал).

Например: а) успоредник е четириъгълник, чиито срещуположни страни са равни и успоредни; б) права линия се нарича перпендикулярна на равнина, ако, пресичайки се с тази равнина, тя образува прав ъгъл с всяка права линия, начертана в равнината през пресечната точка, вместо: „права линия се нарича перпендикулярна на равнина ако е перпендикулярна на всички прави от тази равнина”;

2) използването на дефинираното понятие като определящо.

Например прав ъгъл се определя не като един от равни съседни ъгли, а като ъгли с взаимно перпендикулярни страни;

3) тавтология - едно понятие се дефинира чрез самото понятие.

Например, две фигури се наричат ​​подобни, ако се трансформират една в друга чрез трансформация на подобие;

4) Понякога дефиницията указва грешния дефиниращ набор, от който е избрано дефинираното подмножество.

Например „медианата е права линия...“ вместо „медианата е отсечка, свързваща...“;

5)в дефинициите, дадени от учениците, понякога изобщо няма дефинирано понятие,което е възможно само когато учениците не са обучени да дават пълни отговори.

Методът за коригиране на грешки в дефинициите включва първоначално изясняване на същността на направените грешки и след това предотвратяване на тяхното повторение.

3. Структура на дефиницията

1) Конюнктивна структура: две точки и се наричат ​​симетрични по отношение на правата p( А(х)), ако тази права p е перпендикулярна на отсечката и минава през нейната среда. Ще приемем също, че всяка точка от правата линия p е симетрична на себе си спрямо правата линия p (наличието на връзката „и“) (* - „Сеглополовящата на ъгъл е лъч, който излиза от неговия връх, минава между страните му и разделя ъгъла наполовина”).

2)Структурна структура: „Нека е дадена фигура и p е фиксирана права линия. Нека вземем произволна точка от фигурата и спуснем перпендикуляра към права p. За да продължите перпендикуляра отвъд точката, заделете сегмент, равен на сегмента. Превръщането на фигура във фигура, при което всяка точка отива в точка, построена по посочения начин, се нарича симетрия спрямо правата p.”

3) Дизюнктивна структура: определение на множество Зцелите числа могат да бъдат записани на езика на свойствата като Z Nили нили =0, където Н-набор от числа, противоположни на естествените.

4. Характеристика на основните етапи на изучаване на математическите понятия

Методиката за работа върху дефиницията предполага: 1) познаване на дефиницията; 2) обучение за разпознаване на обект, който отговаря на дадено определение; 3) изграждане на различни контрапримери. Например концепцията за „правоъгълен триъгълник“ и работата по разпознаване на съставните му елементи:

Изследването на математическите определения може да бъде разделено на три етапа:

Етап 1 - въведение - създаване на ситуация в урока, в която учениците или сами „откриват“ нови неща, самостоятелно формират дефиниции за тях, или просто се подготвят да ги разберат.

Вторият етап - осигуряване на асимилация - се свежда до гарантиране, че учениците:

а) се научиха да прилагат определението;

б) бързо и точно ги запомня;

в) разбират всяка дума в техните формулировки.

Третият етап - консолидация - се извършва в следващите уроци и се свежда до повтаряне на техните формулировки и развиване на умения за прилагане за решаване на проблеми.

Извършва се запознаване с нови понятия:

Метод 1: учениците се подготвят самостоятелно да формулират определение.

Метод 2: учениците се подготвят за съзнателно възприемане и разбиране на ново математическо изречение, чиято формулировка след това им се съобщава в завършен вид.

Метод 3: учителят сам формулира нова дефиниция без никаква подготовка и след това фокусира усилията на учениците върху тяхното асимилиране и консолидиране.

Методи 1 и 2 представляват евристичен метод, метод 3 е догматичен. Използването на някой от методите трябва да съответства на нивото на подготовка на класа и опита на учителя.

5. Характеристики на методите за въвеждане на понятия

При въвеждането на концепции са възможни следните техники:

1) Можете да създавате упражнения, които позволяват на учениците бързо да формулират дефиниция на ново понятие.

Например: а) Запишете първите няколко членове на редицата (), за които =2, . Тази последователност се нарича геометрична прогресия. Опитайте се да формулирате неговото определение. Можете да се ограничите до подготовка за възприемане на нова концепция.

б) Запишете първите няколко членове на редицата (), която има = 4. След това учителят съобщава, че такава редица се нарича аритметична прогресия и сам докладва нейната дефиниция.

2) При изучаване на геометрични понятия упражненията са формулирани по такъв начин, че учениците сами да конструират необходимата фигура и да могат да идентифицират характеристиките на ново понятие, необходимо за формулиране на определение.

Например: изградете произволен триъгълник, свържете върха му със средата на противоположната страна със сегмент. Този сегмент се нарича медиана. Формулирайте определението за медиана.

Понякога се предлага да се състави модел или, като се разгледат готови модели и чертежи, да се подчертаят характеристиките на нова концепция и да се формулира нейното определение.

Например: определението за паралелепипед беше въведено в 10 клас. Въз основа на предложените модели на наклонени, прави и правоъгълни паралелепипеди, идентифицирайте характеристиките, по които тези понятия се различават. Формулирайте съответните определения за прав и правоъгълен паралелепипед.

3) Много алгебрични понятия се въвеждат въз основа на разглеждане на конкретни примери.

Например: график линейна функцияе прав.

4)Метод на целесъобразните задачи,(разработено от S.I. Shokhor-Trotsky) С помощта на специално подбрана задача учениците стигат до извода за необходимостта от въвеждане на ново понятие и целесъобразността да му се придаде точно това значение, което то вече има в математиката.

В 5-6 клас този метод въвежда следните понятия: уравнение, корен на уравнение, решаване на неравенства, понятието за операциите събиране, изваждане, умножение, деление на естествени числа, десетични и обикновени дроби и др.

Конкретно-индуктивен метод

Същност:

а) разглеждат се конкретни примери;

б) съществените свойства са подчертани;

в) формулира се определение;

г) изпълняват се упражнения: разпознаване; за проектиране;

д) работа върху имоти, които не са включени в определението;

е) приложение на свойствата.

Например: тема - успоредници:

1, 3, 5 - успоредници.

б) съществени признаци: четириъгълник, двоен паралелизъм на страните.

в) разпознаване, конструиране:

г) намерете (конструирайте) четвъртия връх на успоредник (* - задача № 3, чл. 96, Геометрия 7-11 клас: Колко успоредника могат да се построят с върхове в три дадени точки, които не лежат на една и съща права линия? Изградете ги.).

д) други имоти:

AC и BD се пресичат в точка O и AO=OS, BO=OD; AB=CD, AD=BC.

д) A=C, B=D.

Затвърдяване: решаване на задачи No 4-23, стр. 96-97, Геометрия 7-11, Погорелов.

Перспективно значение:

а) използвани при изследване и дефиниране на правоъгълници и ромби;

б) принципът на успоредността и равенството на сегментите, затворени между успоредни прави в теоремата на Талес;

в) понятието паралелен трансфер (вектор);

г) свойството на успоредник се използва за извличане на площта на триъгълник;

д) успоредност и перпендикулярност в пространството; паралелепипед; призма.

Абстрактно-дедуктивен метод

Същност:

а) определение на понятието: - квадратно уравнение;

б) подчертаване на съществени свойства: x - променлива; a, b, c - числа; a?0 при

в) конкретизация на понятието: - дадено; примери за уравнения

г) упражнения: разпознаване, проектиране;

д) изследване на свойства, които не са включени в дефиницията: корени на уравнението и техните свойства;

д) решаване на проблеми.

В училище абстрактно-дедуктивният метод се използва, когато нова концепция е напълно подготвена чрез изучаване на предишни концепции, включително изучаването на най-близката родова концепция, а специфичната разлика на новата концепция е много проста и разбираема за учениците.

Например: идентифициране на ромб след изучаване на успоредник.

Освен това се използва посоченият метод:

1) при съставяне на „родословие“ на определението на понятието:

Квадратът е правоъгълник с равни страни.

Правоъгълникът е успоредник с всички прави ъгли.

Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни.

Четириъгълник е фигура, която се състои от четири точки и четири последователни сегмента, които ги свързват.

С други думи, генеалогията е верига от понятия, конструирани чрез обобщения на предходната концепция, чийто финал е недефинирана концепция (припомнете си, че в училищния курс по геометрия те включват точка, фигура, равнина, разстояние (до лежи между));

2) класификация;

3) прилага се при доказване на теореми и решаване на проблеми;

4) се използва широко в процеса на актуализиране на знанията.

Помислете за този процес, представен от система от задачи:

а) Даден е правоъгълен триъгълник със страни 3 cm и 4 cm. Намерете дължината на медианата, прекарана към хипотенузата.

б) Докажете, че медианата, прекарана от върха на прав ъгъл на триъгълник, е равна на половината от хипотенузата.

в) Докажете, че в правоъгълен триъгълник ъглополовящата на правия ъгъл разполовява ъгъла между медианата и височината, прекарани към хипотенузата.

г) Върху продължението на най-дългата страна AC на триъгълник ABC е нанесена отсечка CM, равна на страната BC. Докажете, че AVM е глупав.

В повечето случаи училищното обучение използва конкретен индуктивен метод. По-специално, този метод въвежда понятия в пропедевтичните цикли на началото на алгебрата и геометрията в 1-6 клас, а много определящи понятия се въвеждат описателно, без строги формулировки.

Незнанието на учителя за различни методи за въвеждане на определения води до формализъм, който се проявява, както следва:

а) на учениците им е трудно да прилагат дефиниции в непозната ситуация, въпреки че помнят нейната формулировка.

Например: 1) считайте функцията за четна, защото “cos” - дори;

2) - не разбират връзката между монотонността на функция и решението на неравенството, т.е. не могат да се прилагат съответните определения, при които основният метод на изследване е да се оцени знакът на разликата между стойностите на функцията, т.е. при решаване на неравенства.

б) учениците имат умения да решават задачи от всякакъв тип, но не могат да обяснят въз основа на какви определения, аксиоми, теореми извършват определени трансформации.

Например: 1) - трансформирайте по тази формула и 2) представете си, че на масата има модел на четириъгълна пирамида. Кой многоъгълник ще бъде основата на тази пирамида, ако моделът се постави на масата със страничното си лице? (четириъгълник).

Процесът на формиране на знания, умения и способности не се ограничава до съобщаване на нови знания.

Тези знания трябва да се научат и затвърдят.

6. Методика за осигуряване на усвояването на математически понятия (изречения)

1. Формулировките на много определения (теореми, аксиоми) са ясни за учениците и лесни за запомняне след малък брой повторения, така че е препоръчително първо да им предложите да запомнят и след това да ги научите как да ги прилагат при решаване на проблеми.

Методът, при който процесите на запомняне на дефиниции и развиване на умения за тяхното прилагане протичат при учениците едновременно (отделно), се нарича отделно.

Отделният метод се използва за изучаване на определенията за хорди, трапеци, четни и нечетни функции, Питагорови теореми, признаци за успоредност на прави, теорема на Виета, свойства на числови неравенства, правила за умножение на обикновени дроби, събиране на дроби с еднакви знаменатели и др.

Методология:

а) учителят формулира ново определение;

б) учениците в класа го повтарят 1-3 пъти, за да го запомнят;

в) практикува се в упражнения.

2. Компактен методсе състои от ученици, които четат математическа дефиниция или изречение на части и едновременно изпълняват упражнение, докато четат.

Прочитайки формулировката няколко пъти, те я запомнят по пътя.

Методология:

а) изготвяне на математическо предложение за кандидатстване. Дефиницията е разделена на части според характеристиките, теоремата на условия и заключения;

б) извадка от действия, предложена от учителя, която показва как да работим с подготвения текст: четем го на части и в същото време изпълняваме упражненията;

в) учениците четат определението на части и същевременно изпълняват упражнения, като се ръководят от подготвения текст и модела на учителя;

Например: дефиниция на ъглополовяща в пети клас:

1) въвеждането на концепцията се извършва с помощта на метода на целесъобразните задачи върху модел на ъгъл;

2) изписва се определение: „Лъчът, излизащ от върха на ъгъл и разделящ го на две равни части, се нарича ъглополовяща“;

3) задачата се изпълнява: посочете кои от линиите на чертежите са ъглополовящи ( равни ъглиса обозначени с еднакъв брой дъги).

В една от рисунките учителят показва приложението на определението (виж по-долу);

4) работата се продължава от учениците.

3. Комбинация от отделен и компактен метод : след извеждане на ново правило, то се повтаря 2-3 пъти, след което учителят изисква правилото да се формулира на части по време на упражненията.

4. Алгоритмичен метод използвани за развиване на умения за прилагане на математически изречения.

Методика: математическите изречения се заменят с алгоритъм. Като чете инструкциите на алгоритъма една по една, ученикът решава проблема. По този начин той развива умения за прилагане на определения, аксиоми и теореми. В този случай е разрешено или последващо запомняне на дефиницията, или самото четене на дефиницията заедно с алгоритъма.

Основни етапи на метода:

а) изготвяне на списък с инструкции за работа, който или се дава в завършен вид, последван от обяснение, или учениците се карат да го съставят самостоятелно;

б) примерен отговор на учителя;

в) учениците работят по същия начин.

При изучаване на дефиниции се използват отделни и компактни методи. Алгоритмичното може да се използва само при изучаване на трудни за разбиране дефиниции (например необходими и достатъчни условия). Алгоритмичният метод е най-широко използван при развиване на умения за решаване на проблеми.

7. Методика за затвърдяване на математически понятия и изречения

1-ва среща:

учителят предлага формулиране и прилагане на определени дефиниции, аксиоми, теореми, които се срещат в хода на решаването на задачи.

Например: начертайте функция; дефиниция на четна (нечетна) функция; необходимо и достатъчно условие за съществуване.

2-ри прием:

Учителят предлага да се формулират редица определения, теореми, аксиоми по време на фронтална анкета, за да се повторят и в същото време да се провери дали учениците ги помнят. Тази техника не е ефективна извън решаването на проблеми. Възможно е да се комбинира фронтално проучване със специални упражнения, които изискват от учениците да могат да прилагат определения, теореми и аксиоми в различни ситуации, възможност за бързо навигиране в условията на задачата.

Заключение

Познаването на определението не гарантира овладяване на концепцията. Методическа работас понятия трябва да са насочени към преодоляване на формализма, който се изразява в това, че учениците не могат да разпознаят определен обект в различни ситуации, в които се среща.

Разпознаването на обект, съответстващ на дадена дефиниция, и изграждането на контрапримери е възможно само с ясно разбиране на структурите на разглежданата дефиниция, която в схемата на дефиниция () се разбира като структура на дясната страна.

Литература

1. K.O. Ананченко" Обща техникаобучение по математика в училище", Мн., "Университет", 1997г.

2. Н.М. Рогановски „Методи на преподаване в гимназия", Мн., " висше училище“, 1990 г

3. Г. Фройдентал „Математиката като педагогическа задача", М., "Просвещение", 1998 г

4. Н.Н. "Математическа лаборатория", М., "Просвещение", 1997 г

5. Ю.М. Колягин "Методика на преподаване на математика в средното училище", М., "Просвещение", 1999 г.

6. А.А. Столяр “Логически проблеми на обучението по математика”, Мн., “Висше училище”, 2000 г.

Подобни документи

Основи на методите за изучаване на математически понятия. Математически понятия, тяхното съдържание и обхват, класификация на понятията. Психолого-педагогически особености на обучението по математика в 5-6 клас. Психологически аспекти на формирането на понятия.

дисертация, добавена на 08.08.2007 г


Същността на формирането на концепцията, нейната обща схема и характеристики, етапи на изпълнение и възможни пътища. Класификация на понятията и нейната методология за математическите дисциплини. Дефиницията като последен етап от формирането на понятието, неговите разновидности и характеристики.

резюме, добавено на 24.04.2009 г


"Концепция" в психолого-педагогическата, философската, учебна литература. Видове и определения на математическите понятия в началната математика. Ролята и функциите на класификацията при формирането на понятия. Система за формиране на математически представи.

дисертация, добавена на 23.11.2008 г


Психолого-педагогически основи на формирането на научни понятия. Същност и източници на витагенното обучение. Методи и техники за идентифициране и актуализиране на жизнения опит на учениците. Формиране на научни понятия като педагогически проблем. Видове научни понятия.

дисертация, добавена на 13.12.2009 г


Анализ на основни математически понятия. Методика за изучаване на таблични случаи на умножение и деление. Задачи за самостоятелна работастуденти. Прилагане на индивидуален подход към обучението. Упражнения за усвояване на таблицата за умножение, техники за проверка на знанията.

дисертация, добавена на 13.12.2013 г


статия, добавена на 15.09.2009 г


Визуализацията като средство за овладяване на граматическите понятия. Система за изучаване на граматически понятия в уроците по руски с помощта на визуални средства. Резултати от експеримент за определяне на нивото на усвояване на граматическите понятия от учениците в началното училище.

дисертация, добавена на 03.05.2015 г


Компоненти на математическите способности, степента на тяхното проявление в начална училищна възраст, естествени предпоставки и условия за формиране. Основни форми и методика извънкласни дейности: клубни занимания, математически вечери, олимпиади, игри.

дисертация, добавена на 11/06/2010


Методика за запознаване на учениците с аксиоми в училищен курс по геометрия, традиционни синтетични координатно-векторни методи, ролята на аксиомите в изграждането на училищен курс. Методика за въвеждане на понятия и теореми, схема за изучаване на признаци за равенство на триъгълници.

резюме, добавено на 03/07/2010


Характеристики на изучаването на математика в началното училище според Федералния държавен образователен стандарт за начално образование общо образование. Съдържание на учебната дисциплина. Анализ на основни математически понятия. Същността на индивидуалния подход в дидактиката.

Лекция 5. Математически понятия

1. Обхват и съдържание на понятието. Връзки между понятията

2. Дефиниране на понятията. Определими и неопределими понятия.

3. Методи за дефиниране на понятия.

4. Основни изводи

Концепциите, преподавани във въвеждащия курс по математика, обикновено се представят в четири групи. Първата включва понятия, свързани с числата и операциите с тях: число, събиране, член, по-голямо и др. Втората включва алгебрични понятия: израз, равенство, уравнения и др. Третата група се състои от геометрични понятия: права линия, отсечка, триъгълник и др. .d. Четвъртата група се състои от понятия, свързани с величините и тяхното измерване.

За да изучите цялото разнообразие от понятия, трябва да имате представа за понятието като логическа категория и характеристиките на математическите понятия.

В логиката концепцииразглежда като форма на мисълта, отразяващи обекти (субекти и явления) в тяхната същност и общи свойствао Езиковата форма на понятието е дума (термин) или група от думи.

Да си съставиш представа за даден обект означава да можеш да го разграничиш от други подобни на него обекти. Математическите понятия имат редица характеристики. Основното е, че математическите обекти, за които е изключително важно да се формулира концепция, не съществуват в действителност. Математическите обекти са създадени от човешкия ум. Това са идеални обекти, които отразяват реални обекти или явления. Например в геометрията изучават формата и размера на обектите, без да вземат предвид други свойства: цвят, маса, твърдост и др. Абстрахират се от всичко това. Поради тази причина в геометрията вместо думата „обект“ казваме „геометрична фигура“.

Резултатът от абстракцията са математически понятия като "число" и "величина".

Като цяло математическите обекти съществуват само в човешкото мислене и в онези знаци и символи, които формират математическия език.

Към казаното можем да добавим, че изучавайки пространствени форми и количествени отношения на материалния свят, математиката не само използва различни техники за абстракция, но самата абстракция действа като многоетапен процес. В математиката те разглеждат не само понятия, възникнали по време на изучаването на реални обекти, но и понятия, възникнали въз основа на първите. Например, общото понятие за функция като съответствие е обобщение на понятията за специфични функции, ᴛ.ᴇ. абстракция от абстракциите.

1. Обхват и съдържание на понятието. Връзки между понятията

Всеки математически обект има определени свойства. Например квадратът има четири страни, четири прави ъгъла и равни диагонали. Можете да посочите другите му свойства.

Сред свойствата на даден обект има съществени и незначителни. Разгледан имот съществено за даден обект, ако е присъщо на този обект и без него той не може да съществува. Например, за един квадрат всички свойства, споменати по-горе, са съществени. Свойството „страната AB е хоризонтална“ не е важно за квадрат ABCD.

Когато говорят за математическа концепция, те обикновено имат предвид набор от обекти, обозначени с единица срок(дума или група от думи). И така, като говорим за квадрат, имаме предвид всички геометрични фигури, които са квадрати. Смята се, че наборът от всички квадрати съставлява обхвата на понятието "квадрат".

Изобщо, обхватът на понятието е съвкупността от всички обекти, обозначени с един термин.

Всяко понятие има не само обем, но и съдържание.

Помислете например за понятието "правоъгълник".

Обхватът на понятието е набор от различни правоъгълници, а съдържанието му включва такива свойства на правоъгълниците като „имат четири прави ъгъла“, „имат равни противоположни страни“, „имат равни диагонали“ и т.н.

Между обхвата на едно понятие и неговото съдържание има връзка: ако обемът на понятието се увеличава, то съдържанието му намалява и обратно. Така например обхватът на понятието „квадрат“ е част от обхвата на понятието „правоъгълник“, а съдържанието на понятието „квадрат“ съдържа повече свойства от съдържанието на понятието „правоъгълник“ („всички страни са равни”, „диагоналите са взаимно перпендикулярни” и др.).

Всяко понятие не може да бъде научено, без да се осъзнае връзката му с други понятия. Поради тази причина е важно да се знае в какви взаимоотношения могат да се намерят понятията и да можете да установите тези връзки.

Отношенията между понятията са тясно свързани с отношенията между техните обеми, ᴛ.ᴇ. комплекти.

Нека се съгласим да обозначаваме понятията с малки букви на латинската азбука: a, b, c, d, …, z.

Нека са дадени две понятия a и b. Нека обозначим техните обеми съответно с A и B.

Ако A ⊂ B (A ≠ B), тогава те казват, че понятието a е специфично по отношение на понятието b, а понятието b е родово по отношение на понятието a.

Например, ако a е „правоъгълник“, b е „четириъгълник“, тогава техните обеми A и B са в релацията на включване (A ⊂ B и A ≠ B) и следователно всеки правоъгълник е четириъгълник. Поради тази причина може да се твърди, че понятието „правоъгълник” е специфично по отношение на понятието „четириъгълник”, а понятието „четириъгълник” е родово по отношение на понятието „правоъгълник”.

Ако A = B, тогава се казва, че понятията A и B са идентични.

Например, понятията „равностранен триъгълник“ и „равнобедрен триъгълник“ са идентични, тъй като техните обеми съвпадат.

Нека разгледаме по-подробно връзката на рода и вида между понятията.

1. На първо място, понятията за род и вид са относителни: едно и също понятие може да бъде родово по отношение на едно понятие и специфично по отношение на друго. Например понятието „правоъгълник“ е родово по отношение на понятието „квадрат“ и специфично по отношение на понятието „четириъгълник“.

2. Второ, за дадено понятие често е възможно да се посочат няколко родови понятия. Така за понятието „правоъгълник“ родовите понятия са „четириъгълник“, „успоредник“, „многоъгълник“. Сред изброените можете да посочите най-близкия. За понятието "правоъгълник" най-близкото понятие е "успоредник".

3. На трето място, видовото понятие притежава всички свойства на родовото понятие. Например, квадрат, като специфична концепция по отношение на концепцията за „правоъгълник“, има всички свойства, присъщи на правоъгълника.

Тъй като обемът на понятието е набор, е удобно, когато се установяват връзки между обемите на понятията, те да се изобразяват с помощта на кръгове на Ойлер.

Нека установим например връзката между следните двойки понятия a и b, ако:

1) a - "правоъгълник", b - "ромб";

2) a – „многоъгълник“, b – „успоредник“;

3) a – „права“, b – „отсечка“.

Отношенията между множествата са показани съответно на фигурата

2. Дефиниране на понятията. Определими и неопределими понятия.

Появата в математиката на нови понятия и следователно на нови термини, обозначаващи тези понятия, предполага тяхното дефиниране.

Определениеобикновено се нарича изречение, което обяснява същността на нов термин (или обозначение). По правило това се прави въз основа на предварително въведени понятия. Например, правоъгълник може да се дефинира по следния начин: „Правоъгълник обикновено се нарича четириъгълник, чиито ъгли са прави.“ Тази дефиниция има две части - дефинирана концепция (правоъгълник) и дефинираща концепция (четириъгълник с всички прави ъгли). Ако означим първото понятие с a, а второто с b, тогава тази дефиниция може да бъде представена в следната форма:

a е (по дефиниция) b.

Думите „е (по дефиниция)“ обикновено се заменят със символа ⇔ и тогава определението изглежда така:

Те гласят: „a е еквивалентно на b по дефиниция“. Можете също да прочетете този запис по следния начин: „и ако и само ако b.

Дефинициите с такава структура се наричат очевидно. Нека ги разгледаме по-отблизо.

Нека се обърнем към втората част от дефиницията на "правоъгълник".

Включва:

1) понятието „четириъгълник“, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ е родово по отношение на понятието „правоъгълник“.

2) свойството „да има всички прави ъгли“, което ни позволява да различим един вид от всички възможни четириъгълници - правоъгълници; в това отношение се нарича видова разлика.

Като цяло специфичната разлика е свойство (едно или повече), което прави възможно разграничаването на определени обекти от обхвата на родовата концепция.

Резултатите от нашия анализ могат да бъдат представени под формата на диаграма:

Знакът "+" се използва за замяна на частицата "и".

Знаем, че всяко понятие има обем. Ако понятието a е дефинирано чрез род и специфична разлика, тогава за неговия обем - множеството A - можем да кажем, че то съдържа обекти, които принадлежат към множеството C (обхватът на родовото понятие c) и имат свойството P:

A = (x/ x ∈ C и P(x)).

Тъй като дефинирането на понятие чрез род и специфична разлика е по същество условно споразумение за въвеждане на нов термин, който да замени който и да е набор от известни термини, невъзможно е да се каже за определението дали е правилно или неправилно; не е нито доказано, нито опровергано. Но когато формулират дефиниции, те се придържат към редица правила. Нека ги назовем.

1. Дефиницията трябва да бъде пропорционален. Това означава, че обхватът на дефинираните и определящите понятия трябва да съвпадат.

2. В дефиницията (или тяхната система) не трябва да има порочен кръг. Това означава, че едно понятие не може да бъде дефинирано само по себе си.

3. Дефиницията трябва да бъде ясно. Изисква се например значенията на термините, включени в дефиниращото понятие, да бъдат известни в момента, в който се въвежда определението на ново понятие.

4. Дефинирайте едно и също понятие чрез родова и видова разлика, като спазвате правилата, формулирани по-горе, може да се направи по различни начини. И така, квадрат може да се дефинира като:

а) правоъгълник, чиито съседни страни са равни;

б) правоъгълник, чиито диагонали са взаимно перпендикулярни;

в) ромб, който има прав ъгъл;

г) успоредник, в който всички страни са равни и ъглите са прави.

Възможни са различни дефиниции на едно и също понятие поради големия брой свойства, включени в съдържанието на понятието, само няколко са включени в определението. След това от възможните дефиниции се избира едно, което е по-просто и подходящо за по-нататъшното изграждане на теорията.

Нека назовем последователността от действия, които трябва да следваме, ако искаме да възпроизведем определението на познато понятие или да изградим определение на ново:

1. Назовете дефинираното понятие (термин).

2. Посочете най-близкото родово понятие (спрямо дефинираното).

3. Избройте свойствата, които отличават дефинираните обекти от общия обем, т.е. формулирайте специфична разлика.

4. Проверете дали са спазени правилата за дефиниране на понятието (пропорционално ли е, има ли порочен кръг и др.).

Сред уменията, които математиката учи и които всички трябва да научите, са: голямо значениеима умението класифицирамконцепции.

Факт е, че математиката, подобно на много други науки, изучава не отделни обекти или явления, а масивна. Така че, когато изучавате триъгълници, вие изучавате свойствата на всеки триъгълник, а има безкраен брой от тях. Като цяло обхватът на всяка математическа концепция като правило е безкраен.

За да се разграничат обектите на математическите понятия и да се изучат техните свойства, тези понятия обикновено се разделят на типове и класове. Наистина, в допълнение към общите свойства, всяка математическа концепция има много повече важни свойства, присъщи не на всички обекти от това понятие, а само на обекти от определен тип. Така, правоъгълни триъгълници, в допълнение към общите свойства на всеки триъгълник, имат много свойства, които са много важни за практиката, например Питагорова теорема, връзки между ъгли и страни и др.

В процеса на вековно изучаване на математическите понятия, в процеса на многобройните им приложения в живота, в други науки, някои специални видове, като най-много интересни свойства, които най-често се срещат и използват в практиката. По този начин има безкраен брой различни четириъгълници, но на практика в технологията най-често се използват само някои видове от тях: квадрати, правоъгълници, успоредници, ромби, трапеци.

Разделянето на обхвата на определено понятие на части е класификацията на това понятие. По-точно класификацията се разбира като разпределението на обектите на понятието във взаимосвързани класове (типове, видове) според най- съществени характеристики(Имоти). Признакът (свойството), по който се извършва класификацията (разделянето) на едно понятие на типове (класове), се нарича базакласификации.

Правилно изградената класификация на понятието отразява най-съществените свойства и връзки между обектите на понятието, помага за по-добрата навигация в набора от тези обекти и дава възможност да се установят онези свойства на тези обекти, които са най-важни за прилагането на тази концепция в други науки и ежедневната практика.

Класификацията на едно понятие се прави по едно или повече от най-значимите признаци.

По този начин триъгълниците могат да бъдат класифицирани според размера на техните ъгли. Получаваме следните видове: остроъгълен (всички ъгли са остри), правоъгълен (един ъгъл е прав, останалите са остри), тъпоъгълен (един ъгъл е тъп, останалите са остри). Ако вземем отношенията между страните като основа за разделяне на триъгълници, тогава ще получим следните видове: скален, равнобедрен и правилен (равностранен).

По-трудно е, когато трябва да класифицирате едно понятие по няколко признака. Така че, ако изпъкналите четириъгълници се класифицират според успоредността на техните страни, тогава по същество трябва да разделим всички изпъкнали четириъгълници едновременно според два критерия: 1) една двойка противоположни страни е успоредна или не; 2) втората двойка противоположни страни са успоредни или не. В резултат на това получаваме три вида изпъкнали четириъгълници: 1) четириъгълници с непаралелни страни; 2) четириъгълници с една двойка успоредни страни - трапеци; 3) четириъгълниците с две двойки успоредни страни са успоредници.

Доста често едно понятие се класифицира на етапи: първо според една основа, след това някои видове се разделят на подвидове според друга основа и т.н. Пример за това е класификацията на четириъгълниците. На първия етап те се разделят въз основа на изпъкналост. След това изпъкналите четириъгълници се разделят въз основа на успоредността на противоположните страни. От своя страна паралелограмите се разделят въз основа на наличието на прави ъгли и т.н.

При извършване на класификация трябва да се спазват определени правила. Нека посочим основните.

1. Като основа за класификация може да се вземе само обща чертавсички обекти на дадено понятие.Така например е невъзможно да се вземе като основа за класификацията на алгебричните изрази знакът на подреждането на термините в степени на някаква променлива. Тази функция не е обща за всички алгебрични изрази; например няма смисъл за дробни изрази или мономи. Само полиномите имат тази характеристика, така че полиномите могат да бъдат класифицирани според най-високата степен на основната променлива.
2. Основата на класификацията трябва да бъдат съществените свойства (признаци) на понятията.Нека разгледаме отново концепцията за алгебричен израз. Едно от свойствата на тази концепция е, че променливите, включени в алгебричен израз, са обозначени с някои букви. Това свойство е общо, но не е съществено, тъй като естеството на израза не зависи от това с каква буква е обозначена определена променлива. По този начин, алгебрични изрази x+yИ a+b- това е по същество същият израз. Следователно не трябва да класифицирате изрази въз основа на обозначението на променливите с букви. Друг е въпросът, ако като основа за класификацията на алгебричните изрази вземем знака за типа действия, чрез които променливите са свързани, тоест действията, които се извършват върху променливите. Тази обща характеристика е много важна и класификацията според тази характеристика ще бъде правилна и полезна.
3. На всеки етап от класификацията може да се използва само една основа.Невъзможно е едно понятие да се класифицира едновременно по два различни критерия. Например, невъзможно е да класифицираме триъгълниците наведнъж както по размер, така и по връзката между страните, защото в резултат ще получим класове триъгълници, които имат общи елементи (например остри и равнобедрени или тъпи и равнобедрени и т.н.). ). Тук е нарушено следното изискване за класификация: В резултат на класификация на всеки етап, получените класове (типове) не трябва да се пресичат.
4. В същото време класификацията на всяка основа трябва да бъде изчерпателна и всеки обект на понятието трябва да попада в един и само един клас в резултат на класификацията.

Следователно разделянето на всички цели числа на положителни и отрицателни е неправилно, тъй като цялото число нула не попада в нито един от класовете. Трябва да се каже така: целите числа са разделени на три класа - положителни, отрицателни и числото нула.

Често, когато се класифицират понятия, само някои класове са ясно идентифицирани, докато останалите са само подразбиращи се. Така например, когато се изучават алгебрични изрази, обикновено се разграничават само тези видове изрази: мономи, полиноми, дробни изрази, ирационални. Но тези типове не изчерпват всички видове алгебрични изрази, така че тази класификация е такава непълна.

Пълна правилна класификация на алгебричните изрази може да се направи, както следва.

На първия етап от класификацията на алгебричните изрази те се разделят на два класа: рационални и ирационални. На втория етап рационалните изрази се разделят на цели числа и дроби. На третия етап целочислените изрази се разделят на мономи, полиноми и комплексни цели числа.

Тази класификация може да бъде представена по следния начин

Задача 7

7.1. Защо рационалните числа не могат да бъдат класифицирани според тяхната четност?

7.2. Определете дали разделянето на понятието е правилно:

а) Стойностите могат да бъдат равни или неравни.

б) Функциите могат да бъдат нарастващи или намаляващи.

в) Равнобедрените триъгълници могат да бъдат остри, прави или тъпи.

г) Правоъгълниците са квадрати и ромби.

7.3. Разделете понятието „геометрична фигура“ според свойството да заема част от равнина и дайте примери за всеки тип.

7.4. Конструирайте възможни схеми за класификация на рационални числа.

7.5. Изградете класификационна схема за следните понятия:

а) четириъгълник;

б) два ъгъла.

7.6. Класифицирайте следните понятия:

а) триъгълник и кръг;

б) ъгли в окръжност;

в) два кръга;

г) права линия и кръг;

д) квадратни уравнения;

е) система от две уравнения от първа степен с две неизвестни.